2014广州调研(理数)【含答案--全WORD--精心排版】

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【名师解析】广东省广州市2014届高三毕业班综合测试(一)数学(理)试题 Word版含解析

第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，若()234m i i +=-，则实数m 的值为（）A.2-B.2±C.D.22.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2C B =，则cb为（） A.2sin C B.2cos B C.2sin B D.2cos C3.圆()()22121x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为（） A.()()22211x y -+-=B.()()22121x y ++-=C.()()22211x y ++-=D.()()22121x y -++=4.若函数()f x =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（）A.()2,2-B.()(),22,-∞-+∞C.(][),22,-∞-+∞D.[]2,2-5.某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制成如图1所示的频率分布直方图，样本数据分组为[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100.若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在[]80,100范围内的数据16个，则其中分数在[]90,100范围内的样本数据有（）A.5个B.6个C.8个D.10个6.已知集合32A x x Z Z x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭且，则集合A 中的元素个数为（） A.2 B.3 C.4 D.57.设a 、b 是两个非零向量，则使a b a b ⋅=⋅成立的一个必要非充分的条件是（）A.a b =B.a b ⊥C.()0a b λλ=>D.//a b8.设a 、b 、m 为整数()0m >，若a 和b 被m 除得余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记()mod a b m =.若0122202020202020222a C C C C =+⋅+⋅++⋅，且()mo d 10a b =，则b 的值可以为（）A.2011B.2012C.2013D.2014【解析】第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，，每小题5分，满分30分）（一）必做题（9~13题）.9.若不等式1x a -<的解集为{}13x x <<，则实数a 的值为 .10.执行如图2所示的程序框图，若输出7S =，则输入()k k N *∈的值为 .【解析】11.一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图3所示，则这个四棱锥的体积是 .12.设α为锐角，若3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.【解析】13.在数列{}n a 中，已知11a =，111n n a a +=-+，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2014S = .（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线()sin cos a ρθθ-=与曲线2cos 4sin ρθθ=-相交于A 、B 两点，若AB =，则实数a 的值为 .15.（几何证明选讲选做题）如图3，PC 是圆O 的切线，切点为点C ，直线PA 与圆O 交于A 、B 两点，APC ∠的角平分线交弦CA 、CB 于D 、E 两点，已知3PC =，2PB =，则PEPD的值为 .三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭. （1）求实数a 的值；（2）设()()22g x f x =-⎡⎤⎣⎦，求函数()g x 的最小正周期与单调递增区间.【解析】17.（本小题满分12分）甲、乙、丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是25，甲、丙两人同时不能被聘用的概率是625，乙、丙两人同时能被聘用的概率为310，且三人各自能否被聘用相互独立.（1）求乙、丙两人各自被聘用的概率；（2）设ξ为甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值（数学期望）.18.（本小题满分14分）如图5，在棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -中，点E 是棱1D D 的中点，点F 在棱1B B 上，且满足12B F BF =.（1）求证：11EF AC ；（2）在棱1C C 上确定一点G ，使A 、E 、G 、F 四点共面，并求此时1C G 的长；（3）求平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值.【解析】B D，试题解析：（1）如下图所示，连接11在直角梯形11B C GF 中，下底112233B F BB a ==，直角腰11BC a =，斜腰2GF AE a ==，19.（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，等比数列{}n b 的首项为1，公比为2，n N *∈.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设第n 个正方形的边长为{}min ,n n n c a b =，求前n 个正方形的面积之和n S . （注：{}min ,a b 表示a 与b 的最小值.）【解析】20.（本小题满分14分）已知双曲线()222:104x y E a a -=>的中心为原点O ，左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 是直线23a x =上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足220PF QF ⋅=.（1）求实数a 的值；（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；（3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M 、N ，在线段MN 上去异于点M 、N 的点H ，满足PMMHPN HN =，证明点H 恒在一条定直线上.【解析】证法二：依题意，直线l 的斜率k 存在，设直线l 的方程为513y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，21.（本小题满分14分）已知函数()()221x f x x x e =-+（其中e 为自然对数的底数）.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）定义：若函数()h x 在区间[](),s t s t <上的取值范围为[],s t ，则称区间[],s t 为函数()h x 的“域同区间”.试问函数()f x 在()1,+∞上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由.【解析】因为()110g =-<，()()010g x g <<，()22310g e =->，。

2014广州一模(理数)【含答案--全WORD--精心排版】

2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2n n ++=一、选择题：1．已知i 是虚数单位，若()2i 34i m +=-，则实数m 的值为（） A ．2-B ．2±CD ．22．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2C B =，则） A ．2sin C B ．2cos B C ．2sin B D ．2cos C3．圆()()22121x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为（）A ．()()22211x y -+-= B ．()()22121x y ++-= C ．()()22211x y ++-= D ．()()22121x y -++= 4．的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为（）A ．()2,2-B ．()(),22,-∞-+∞C ．(][),22,-∞-+∞D ．[]2,2-5．某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制成如图1 的频率分布直方图．样本数据分组为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100．若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在 []80,100范围内的数据16个，则其中分数在[]90,100范围内的样本数据有（）A ．5个B ．6个C ．8个D ．10个 6．，则集合A 中的元素个数为（） A ．2 B ．3 C ．4D ．57．设a ，b 是两个非零向量，则使a b =a b 成立的一个必要非充分条件是（） A ．=a b B ．⊥a b C ．λ=a b()0λ> D ．ab8．设a ，b ，m 为整数（m>0），若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．若0122202020202020C C 2C 2C 2a =+⋅+⋅++⋅，()mod10a b ≡，则b 的值可以是（）A ．2011B ．2012C ．2013D ．2014二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．图1分数9．，则实数a 的值为．10．执行如图2的程序框图，若输出7S =，则输入k ()*k ∈N 的值为．11．一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图3所示，则这个四棱锥的体积是．12．设α为锐角，若13．在数列{}n a 中，已知11a =，，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2014S = ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线()sin cos a ρθθ-=与曲线2cos 4sin ρθθ=-相交于A ，B 两点，若，则实数a 的值为．15．的切线，切点为C ，直线PA与圆O 交于A ，B 两点，的平分线分别交弦CA ，CB 于D ，E 两点，已知3PC =，的值为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点（1）求实数a 的值；（2）设[]2()()2g x fx =-，求函数()g x 的最小正周期与单调递增区间．侧（左）视图图3俯视图P图417．（本小题满分12分）（1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率；（2）设ξ表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值（数学期望）．18．（本小题满分14分）如图5，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1D D 的中点，点F 在棱1B B 上，且满足12B F FB =．（1）求证：11EF AC ⊥；（2）在棱1C C 上确定一点G ，使A ，E ，G ，F 四点共面，并求此时1C G 的长；（3）求平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值． C1C 1DABDEF1A1B图519．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，等比数列{}n b 的首项为1，公比为2，*n ∈N ．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设第n 个正方形的边长为{}min ,n n n c a b =，求前n 个正方形的面积之和n S ．（注：{}min ,a b 表示a 与b 的最小值．）20．（本小题满分14分）已知双曲线E ：的中心为原点O ，左，右焦点分别为1F ，2F ，离，点P 是直线上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足220PF QF =．（1）求实数a 的值；（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；（3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同两点M ，N ，在线段MN 上取异于点M ，N 的点H ，满足，证明点H 恒在一条定直线上．21．（本小题满分14分）已知函数()()221e xf x x x =-+（其中e 为自然对数的底数）．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）定义：若函数()h x 在区间[],s t ()s t <上的取值范围为[],s t ，则称区间[],s t 为函数()h x 的“域同区间”．试问函数()f x 在()1,+∞上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由．2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：二、填空题：三、解答题：本大题共6小题，满分80分． 16．（本小题满分1）解：（1）因为函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点（2）方法1：由（1．所以()g x 的最小正周期为因为函数sin y x =的单调递增区间为时，函数()g x 单调递增，时，函数()g x 递增．所以函数()g x 的增区间为方法2：由（1，因为函数cos y x =的单调递减区间为[]2,2k k ππ+π()k ∈Z ，时，函数()g x 单调递增．1D ABCD EF 1A1B1C （k ∈Z ）时，函数()g x 递增．所以函数()g x 的增区间为 17．（本小题满分1）解：（1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为1A ，2A ，3A ，由已知1A ，2A ，3A 相互独立，且满足所以乙，（2）ξ的可能取值为1，3．18．（本小题满分1）推理论证法：（1）证明：连结11B D ，BD ，因为四边形1111A B C D 是正方形，所以1111AC B D ⊥．在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面1111A B C D ，11AC ⊂平面1111A B C D ，所以111AC DD ⊥．因为1111B D DD D =，11B D ，1DD ⊂平面11BB D D ，所以11AC ⊥平面11BB D D ．因为EF ⊂平面11BB D D ，所以11EF AC ⊥．（2）解：取1C C 的中点H ，连结BH ，则BH AE ．在平面11BB C C 中，过点F 作FG BH ，则FGAE ．连结EG ，则A ，E ，G ，F 四点共面． EF DB M = 1DACD EF 1A1B1C 1D ABCD EF 1A1B 1CG H因为FB AM ⊥，FB BN B =，所以AM ⊥平面BNF ．因为所以FNB ∠为平面AEF与平面ABCD 所成二面角的平面角．在△ABM 中，AB a =，135ABM ∠=，cos135= sin135， sin135a ⨯=空间向量法：（1）证明：以点D 为坐标原点，DA，DC ，1DD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则(),0,0A a ，()1,0,A a a ，()10,,C a a ，所以()11,,0AC a a =-，,EF a a ⎛= 因为221100AC EF a a =-++=，所以11AC EF⊥．所以11EF AC ⊥．（2）解：设()0,,G a h ，因为平面11ADD A 平面11BCC B ，平面11ADD A 平面AEGF AE =，平面11BCC B 平面AEGF FG=，所以FG AE ．所以存在实数λ，使得FG AE λ=．因为AE a ⎛=- ，FG a ⎛=- 所以1λ=，h ．所以1C G CC =时，A ，E ，G ，F 四点共面．⎛⎛设(),,x y z =n 是平面AEF 的法向量，则0,0.AE AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩nn即取6z =，则3x =，2y =-．所以()3,2,6=-n 是平面AEF 的一个法向量．而()10,0,DD a =是平面ABCD 的一个法向量，设平面AEF 与平面ABCD 所成的二面角为θ，则11DD DD n n 0=故平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为第（1）、（2）问用推理论证法，第（3）问用空间向量法：（1）、（2）给分同推理论证法．（3）解：以点D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则(),0,0A a ，则AE a ⎛=- ，0,AF a ⎛= 设(),,x y z =n 是平面AEF 的法向量，则0,0.AE AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩nn即1ax az -+取6z =，则3x =，2y =-．所以()3,2,6=-n 是平面AEF 的一个法向量．而()10,0,DD a =是平面ABCD 的一个法向量，设平面AEF 与平面ABCD 所成的二面角为θ，则11DD DD n n．故平面AEF 与平面ABCD19．（本小题满分1）解：（1）因为等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，所以()1012n a n =+-⨯，即28n a n =+．因为等比数列{}n b 的首项为1，公比为2，所以112n n b -=⨯，即12n n b -=．（2）因为110a =，212a =，314a =，416a =，518a =，620a =，11b =，22b =，34b =，48b =，516b =，632b =．易知当5n ≤时，n n a b >．方法1：①当6n =时，616232b -==620268a >=⨯+=，不等式显然成立． ②假设当n k =()6k ≥时，不等式成立，即1228k k ->+．则有()()()()122222821826218kk k k k k -=⨯>+=++++>++．这说明当1n k =+时，不等式也成立．综合①②可知，不等式对6n ≥的所有整数都成立．所以当6n ≥时，n n b a >．方法2：因为当6n ≥时()()()112281128n n n n b a n n ---=-+=+-+()()01211111C C C C 28n n n n n n -----=++++-+()()012321111111C C C C C C 28n n n n n n n n n n ---------≥+++++-+()()0121112C C C 28n n n n ---=++-+()()236460n n n n n =--=-+->，所以当6n ≥时，n n b a >．所以{}min ,n n n c a b =12,5,28,5.n n n n -⎧≤=⎨+>⎩则()22222,5,44, 5.n n n c n n -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩当5n ≤时，2222123n n S c c c c =++++2222123n b b b b =++++222n -++=．当5n >时， 2222123n n S c c c c =++++()()22222212567n b b b a a a =+++++++()4n +++()()()222341467867165n n n ⎡⎤=+++++++++-⎣⎦ ()()()()2222223414121253267645n n n ⎡⎤=++++-++++++++-⎣⎦20．（本小题满分1）（1）解：设双曲线E 的半焦距为c ，由题意可得（2）证明：由（1）可知，直线x ，点()23,0F ．设点因为220PF QF =，所以(03,x y ⎫--⎪⎭因为点()00,Q x y 在双曲线E 上，所以200x y -（3）证法1：设点(),H x y ，的直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，则22114520x y -=，22224520x y -=，即，则,.PM PN MH HNλλ⎧=⎪⎨=⎪⎩．即由①×③，②×⑦ ．所以点H 恒在定直线43120x y --=上．证法2：依题意，直线l 的斜率k 存在．设直线l 的方程为消去y 得()()()22229453053255690k x k k x k k -+---+=．因为直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，设点(),H x y ，由．整理得()()1212635100x x x x x x -+++=．1 整理得()354150x k x --+=． ④，因为点H 在直线l 上，所以 ⑤联立④⑤消去k 得43120x y --=．所以点H 恒在定直线43120x y --=上．（本题（3）只要求证明点H 恒在定直线43120x y --=上，无需求出x 或y 的范围．）21．（本小题满分1）解：（1）因为()()221e x f x x x =-+，所以2()(22)e (21)e x x f x x x x '=-+-+()21e x x =-(1)(1)e x x x =+-．当1x <-或1x >时，()0f x '>，即函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞．当11x -<<时，()0f x '<，即函数()f x 的单调递减区间为()1,1-．所以函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞，单调递减区间为()1,1-．（2）假设函数()f x 在()1,+∞上存在“域同区间”[,](1)s t s t <<，由（1）知函数()f x 在()1,+∞上是增函数，所以(),().f s s f t t =⎧⎨=⎩ 即22(1)e ,(1)e .s t s s t t ⎧-⋅=⎨-⋅=⎩也就是方程2(1)e x x x -=有两个大于1的相异实根．设2()(1)e (1)xg x x x x =-->，则2()(1)e 1x g x x '=--．设()h x =2()(1)e 1x g x x '=--，则()()221e x h x x x '=+-．因为在(1,)+∞上有()0h x '>，所以()h x 在()1,+∞上单调递增．因为()110h =-<，()223e 10h =->，即存在唯一的()01,2x ∈，使得()00h x =．当()01,x x ∈时，()()0h x g x '=<，即函数()g x 在()01,x 上是减函数；① ② ③当()0,x x ∈+∞时，()()0h x g x '=>，即函数()g x 在()0,x +∞上是增函数．因为()110g =-<，0()(1)0g x g <<，2(2)e 20g =->，所以函数()g x 在区间()1,+∞上只有一个零点．这与方程2(1)e x x x -=有两个大于1的相异实根相矛盾，所以假设不成立．所以函数()f x 在()1,+∞上不存在“域同区间”．。

广东省广州增城市2014届高三上学期调研测试数学理试题(含答案)

增城市2014届高中毕业班调研测试理科试题数学试题分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．第I 卷（选择题）每小题选出答案后，用铅笔把答卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上； 2．第II 卷（非选择题）答案写在答卷上。

参考公式：24R S π=球,3114,,(),333V Sh V Sh V S S S S h V R π''===++=柱锥台球如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+. 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P =⋅.第I 卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={2，4，5}，集合B={1，3，5，7}，则()U A C B = （A ） {5} （B ） {2,4} （C ）{2,4,5} （D ）{2,4,6} 2.下列函数中与函数f(x )=x 相同的是（A ）()()2f x x = (B) ()2f x x = (C) ()33f x x = (D) ()2x f x x=3.复平面内复数11i-对应的点在（A ）第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 4.计算633 1.512⨯⨯=（A ）6 (B) 23 (C) 33 (D) 3 5. 已知两个平面垂直，下列命题中：（1）一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；（2）一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；（3）一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；（4）过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数有（A ）. 1 （B ）. 2 （C ）. 3 （D ）. 4 6.与圆221x y +=及圆228120x y x +-+=都相外切的圆的圆心在(A)一个椭圆上 (B) 一支双曲线上 (C) 一条抛物线上 (D) 一个圆上 7.已知函数()()22log 1f x x ax =++的定义域是R ，则实数a 的取值范围是(A) （0,2） (B) （-2,2） (C) [-2,2] (D)()()22,-∞-+∞8.已知3177cos ,45124x x πππ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，则2sin 22sin 1tan x x x +=-（A ）2875- （B ）2875（C ）21100- （D ）21100第II 卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分.其中14～15题是选做题，只能做一题，两题全答的，只计算前一题得分.（一）必做题（9～13题）9.已知()()4,2,6,a b y == ，且a 与b 共线，则y= .10.如图1，是一问题的程序框图，则输出的结果是 . 16．二项式81x x ⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中常数项是 . 17．设函数()21f x x =+，对任意12,x x R ∈，恒有()()1212f x f x M x x -<-，其中M 是常数，则M 的最小值是 .18．要将两种大小不同的钢板截成A,B,C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型 A B C 第一 2 1 1 第二 1 2 3今需要A,B,C 三种规格的成品分别是15,18, 27块，至少需要这两种钢板共是张.（二）选做题（14、15题）14（几何证明选讲选做题）如图2，在△ABC 中，DE//BC,DF//AC,AE=4，EC=2，BC=8，则BF= .15（坐标系与参数方程选做题）圆的极坐标方程为2c o s 23s i n ρθθ=-，则圆的圆心的极坐标是()02θπ≤<.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16（12分）已知函数()()2sin cos sin .f x x x x =-（1）当0x π<<时，求()f x 的最大值及相应的x 值；（2）利用函数y=sin x 的图象经过怎样的变换得到f(x)的图象.图1i=i+3S=0S=S+ii=1否是i ≤100输出S结束开始图2FAE BCD17（12分）在一个盒子里装有6枝圆珠笔，其中3枝一等品，2枝二等品，1枝三等品. （1）从盒子里任取3枝恰有1枝三等品的概率多大？；（2）从盒子里任取3枝，设ξ为取出的3枝里一等品的枝数，求ξ的分布列及数学期望.18（14分）如图3，边长为2的正方形ABCD ，E,F 分别是AB,BC 的中点，将△AED ， △DCF 分别沿DE,DF 折起，使A,C 两点重合于A '。

2014广州二模(理数)【含答案--全WORD--精心排版】

2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）一、选择题：1．若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（）A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i 2．若函数()y f x =是函数3x y =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（） A ．2log 3- B ．3log 2- C ．19D3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是（）A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x > C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤ 4．将函数()2cos 2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()y g x =，则函数 ()y g x =（）A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数 5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是（） A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为（） A ．16 B ．13 CD7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为（）A ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为（）A ．257B ．256C ．254D ．2539．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 . （二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点，且1AB AD ==，BD =. （1）求cos A 的值；（2）求sin C 的值.FEDCBa 图3重量/克0.0320.02452515O 17．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3.（1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x (1,2,3,i =112233n n X x p x p x p x p =++++.）（3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18．（本小题满分14分）如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ，1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值；（2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+.2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：二、填空题：9．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭10．8 11．2a12．4 13．222n n -+ 141 15．3三、解答题：16．（本小题满分12分）（1）解：在△ABD中，1AB AD ==，BD =，∴222cos 2AB AD BD A AB AD +-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯.……4分（2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sinA ==.………6分∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分，解得BC =………10分，由正弦定理得，sin sin BC AB A C =，………11分，∴1sin sin 33AB A C BC⋅===.………12分17．（本小题满分12分）（1）解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=，………1分，解得0.03x =.………2分（2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）……3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. …………4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭.………5分 ξ的取值为0,1,2,3，………6分，()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ………10分，∴ξ的分布列为：MO HFEDCBA ……11分，∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.……12分（或者13355E ξ=⨯=） 18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =，∴EF ∥AB ，即EF ∥MB .………1分，∵EF =MB 1=，∴四边形EMBF 是平行四边形.………2分∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt △BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM =………3分，在△AME中，AE =1AM =，EM∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥.………4分，∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥.∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥.……5分，∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF .………6分（2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =，∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH ==……7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥.………8分，∵FH BC ⊥，,ABBC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD .………9分，∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO .………10分 ∵AO BD ⊥，,EOBD O EO =⊂平面EBD ，BD ⊂平面EBD ， ∴AO ⊥平面EBD .………11分∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角.…12分，在Rt △AOE中，tan AOAEO EO∠==……13分 ∴直线AE 与平面BDE………14分证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =，∴EF ∥OH ，且EF OH =.∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH ==.…7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,ABBC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD .………8分，以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -.∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--.………9分，设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=，n 0BE ⋅=，得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-.……10分，设直线AE 与平面BDE 所成角为θ，则sin θ=cos ,n AE ⋅=n AE nAE= (11)分，∴cos θ==sin tan cos θθθ==…13分 ∴直线AE 与平面BDE………14分 19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--，………3分即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=.…5分，当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=……6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-.………7分解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++，………1分整理得，()()111n n nS n S n n +=+++，………2分，两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+.………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列.∴011n S n n n =+-=-.∴()1n S n n =-.…………4分当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-.………5分又10a =适合上式，…………6分，∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-.…………7分（2）解法1：∵22log log n n a n b +=，∴221224n an n n b n n n --=⋅=⋅=⋅.………9分 ∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，②………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.………13分 ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦.………14分解法2：∵22log log n n a n b +=，∴221224n an n n b n n n --=⋅=⋅=⋅.…………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-，………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx-++++=()()12111n n nx n x x +-++-.……12分令4x =，得()()0122114243414431419n n n n n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦.………13分 ∴ ()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦.…………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意，点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离，故点M 的轨迹是以点F 为焦点，l 为准线的抛物线.………1分，∴曲线E 的方程为24x y =.………2分解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+1y =+…………1分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =.………2分（2）解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±.∴12124,4x x k x x +==-.………3分，直线AB 的斜率2111111124224ABx y x k x x --+===--，故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-.………4分，令1y =-，得1822x x =-+， ∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭.……5分，同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭.………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭()()()121212121288248x x x x x x x x x x k k---===+++.……7分 ∴2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x kkk+-+-==.………8分，设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭()()()1212444444222248k k x x x x k k ++=-=-=-+++.……9分 ∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k+=.………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=.………11分，令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-.………12分，∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-.………14分解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=，即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-.………4分，∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+.…………5分，同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242kk k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+.……7分，又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k k k k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =.………8分，设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=，………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，……10分，整理得，()224410x x y k +-++=.……11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-.………12分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-.………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+，∴()a f x b x '=+.∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，……1分∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-.………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-. 当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x k x x -+<，等价于2ln 2x k x x <-.………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--.………5分令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=. 当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=.………6分从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增，故()()112g x g >=.………7分因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤.………8分，∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.………9分解法2：由（1）得()ln 2x f x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立.………4分令()ln 2x k g x x x =-+，则()222112222k x x kg x x x x-+'=--=-. 方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<，故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022kg k g =-+>=-+>，则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x kx x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分 (ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x =<=>，则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<. 故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减，从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+，由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x -+<，得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <.故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意.………8分综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.………9分1x 21x -11 又ln 0x x >，从而，21211ln 111x x x x x >=---+.………11分把2,3,4,,x n =分别代入上面不等式，并相加得， 11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………12分 111121n n =+--+……13分，223222n n n n--=+.………14分。

2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(广东卷带解析)试题

2014年全国普通高等学校招生统一考试理科（广东卷）数学试题1、【题文】已知集合，，则（）A．B．C．D．2、【题文】已知复数满足，则（）A．B．C．D．3、【题文】若变量、满足约束条件，且的最大值和最小值分别为和，则（）A．B．C．D．4、【题文】若实数满足，则曲线与曲线的（）A．离心率相等B．虚半轴长相等C．实半轴长相等D．焦距相等5、【题文】已知向量，则下列向量中与成的是（）A．B．C．D．6、【题文】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A．，B．，C．，D．，7、【题文】若空间中四条直线两两不同的直线、、、，满足，，，则下列结论一定正确的是（）A．B．C．、既不平行也不垂直D．、的位置关系不确定8、【题文】设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（）A．B．C．D．9、【题文】不等式的解集为 .10、【题文】曲线在点处的切线方程为 .11、【题文】在中，角、、所对应的边分别为、、，已知，则 .12、【题文】若等比数列的各项均为正数，且，则.13、【题文】（几何证明选讲选做题）如图，在平行四边形中，点在上且，与交于点，则 .14、【题文】已知函数，，且.（1）求的值；（2）若，，求.15、【题文】随机观测生产某种零件的某工厂名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率（1）确定样本频率分布表中、、和的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取人，至少有人的日加工零件数落在区间的概率.16、【题文】如图4，四边形为正方形，平面，，于点，，交于点.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.17、【题文】设数列的前项和为，满足，，且. （1）求、、的值；（2）求数列的通项公式.18、【题文】已知椭圆的一个焦点为，离心率为. （1）求椭圆的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.19、【题文】设函数，其中. （1）求函数的定义域（用区间表示）；（2）讨论函数在上的单调性；（3）若，求上满足条件的的集合（用区间表示）.。

(完整版)2014广东高考理科数学试题及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1} 答案:B2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 答案:A 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i i i i --===-++-提示故选A3.若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.5:(),(2,1)(1,1)3,3,6,.CM m M m C --==-∴-=答案:提示画出可行域略易知在点与处目标函数分别取得最大值与最小值选4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又25故两双曲线的焦距相等,选D.5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）0:11,,60,.22B B =∴答案提示即这两向量的夹角余弦值为从而夹角为选6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 A. 200,20 B. 100,20 C. 200,10 D. 100,10::(350045002000)2%200,20002%50%20,.AA ++⋅=⋅⋅=∴答案提示样本容量为抽取的高中生近视人数为:选7.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是 A.14l l ⊥ B.14//l l C.14,l l 既不垂直也不平行 D.14,l l 的位置关系不确定答案:D 8.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130 答案: D1234511122252551311225254:1,2,31:C 10;:C 40;:C C C 80.104080130, D.x x x x x C C A C C ++++=+=+=++=提示可取和为的元素个数为和为2的元素个数为和为3的元素个数为故满足条件的元素总的个数为选二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.不等式521≥++-x x 的解集为 .(][)(][),32,:12532,,32,.-∞-+∞---∞-+∞答案:提示数轴上到与距离之和为的数为和故该不等式的解集为:10.曲线25+=-xe y 在点)3,0(处的切线方程为 .'5'0:530:5,5,35,530.xx x y y eyy x x y -=+-==-∴=-∴-=-+-=答案提示所求切线方程为即11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .367101:6:67,36,136,.6C C =答案提示要使为取出的个数中的中位数则取出的数中必有个不大于另外个不小于故所求概率为12.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba. 2222222:2::cos cos ,2, 2.sin cos sin cos 2sin ,sin()2sin ,sin 2sin ,2, 2.::2,24,222, 2.ab Cc B a a b bB C C B B B C B aA B a b ba b c a c b b b a ab ab acaa b b+==∴=+=+=∴==∴=+-+-⋅+==∴==答案提示解法一由射影定理知从而解法二:由上弦定理得:即即解法三由余弦定理得即即13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++= .51011912101112202019151201011:50,,ln ln ln ,ln ln ln ,220ln 20ln 20ln 100,50.a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e S =∴==+++=+++∴====∴=答案提示:设则（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿221212:(1,1):(sin )cos ,,:1,(1,1).C y x C y C C ρθρθ===∴答案提示即故其直角坐标方程为:的直角坐标方程为与的交点的直角坐标为15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝＿＿＿22:9:,()()9.CDFAEF CDF CD EB AE AEF AE AE∆∆∴∆+===∆答案提示显然的面积的面积三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16、（12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ，（1）求A 的值；（2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f . 55233:(1)()sin()sin , 3.121243223(2)(1):()3sin(),4()()3sin()3sin()443(sin coscos sin )3(sin()cos cos()sin )4444323cos sin 6cos 426cos ,(0,),42f A A A f x x f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴=⋅==+∴+-=++-+=++-+-===∴=∈解由得10sin 4331030()3sin()3sin()3sin 3.44444f θπππθθπθθ∴=∴-=-+=-==⨯=17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率.121272:(1)7,2,0.28,0.08;2525(2):n n f f======解频率分布直方图如下所示(](](]0044(3),30,350.2,30,35(4,0.2),130,35:1(0.2)(0.8)10.40960.5904.BCξξ-=-=根据频率分布直方图可得工人们日加工零件数落在区间的概率为设日加工零件数落在区间的人数为随机变量,则故4人中,至少有人的日加工零件数落在区间的概率为18.（13分）如图4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝030，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D－AF－E的余弦值.:(1):,,,,A,,,,,,,,,,.(2):E EG//CF DF G,,,G GH AF H,EH,PD ABCD PD PCDPCD ABCDPCD ABCD CDD ABCD AD CD AD PCDCF PCD CF AD AF PC CF AFAD AF ADF AD AF A CF ADFCF DF EG DF⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥∴⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥⊥∠解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面解法一过作交于平面A平面A过作于连则022,CD2,30,130,==1,213324,,,=,,,3,222333319322EG.,7,,4231933193193622,()()474747EHG D AF E DPCCDF CF CDDE CFCP EF DC DE DFDP CPDE EFAE AF EFDFAE EFEH HGAF--=∠=∴∠==∴=∴==⋅⋅======⋅⋅∴====-=为二面角的平面角设从而∥即还易求得EF=从而易得故3,476347257cos.47319GHEHGEH∴∠==⋅=12:,,,,,2,1(0,0,2),C(0,2,0),,(23,22,0),,,431(,0),(ADF CP (3,1,0),2222AEF (x DP DC DA x y z DC A CF CP F DFCF F E n n λλλλ==-⊥===-=解法二分别以为轴建立空间直角坐标系设则设则可得从而易得取面的一个法向量为设面的一个法向量为2212212,y,z),0,0,||||2n AE n AF n n n n n ⋅=⋅=⋅==⋅⨯利用且得可以是从而所求二面角的余弦值为19.（14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =. (1)求123,,a a a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式;211222122331212121331221232121:(1)2314127+=432424()204(15)20,+83,,1587,53,5,7,(2)2342,2(1)3(1)4(n n n n a S a a a a S a S a a a a a a a a S a a a a a a S na n nn S n a n n +-==-⨯-⨯=-=-⨯-⨯=---=---∴==⎧∴=--=-=⎨=⎩====--∴≥=-----解①②联立①②解得综上③当时11121)2161,22(1)21,:()(1),1,3211,;(),,21,21611,22211(21)322411322232(1)11n n n k k k n n a a n na n i n a ii n k a k k k n k a a k k k k k k k k k k k n k ++-+-=+=+===⨯+==+-+=+=+-=⋅+++-=++=+=++=+④③④并整理得:由猜想以下用数学归纳法证明由知当时猜想成立假设当时猜想成立即则当时这就是说,,,2 1.n n N a n *∈=+时猜想也成立从而对一切20.（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2222200220022:(1)3,954,1.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(c c e a b a c a x y C x y y y k x x x y y k x x y k x k y ====∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:2000022222200000022220000012202200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kx k y kx y kx k y kx k y x k x y k y k k x x y ⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y ∴+=程点的轨迹方程为21.（本题14分）设函数()f x =2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）；（2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）.222222122222:(1)(2)2(2)30,2123:210,44(1)4(2)0(2),21=01210:11230,23044(3)x x k x x k x x k x x k x x k k k k x x k x x k x x x x k x x k k +++++->++>++<-++->∆=--=-><-∴++--∴++-><->-++++<+++=∆=-+=解则①或②由①得方程的解为由得由②得:方程的判别式23'24(2)0(2),1230:112,11111(,1(12,12)(12,).(2)0,1()2(2k k x x k x k D k k k u f x u x ---><-∴-+++<--<<-<-∴-<-<-<--+∴=-∞------+---+-+∞==-⋅⋅该方程的解为由得设则23222'2'22)(22)2(22)2(1)(21)()(,1,10,21110,()0;()(11),10,21310,()0;()(1,1,10,21310,x k x x u x x x k i x x x x k f x ii x x x x k f x iii x x x x k f -⎡⎤++⋅+++⎣⎦=-+⋅+++∈-∞-+<+++>+>∴>∈--+<+++<-+<∴<∈--++>+++<-+<∴当时当时当时'2'()0;()(1),10,21110,()0.,():(,11,1,():(11),(1).x iv x x x x k f x f x D f x D >∈-+∞+>+++>+>∴<-∞------++∞当时综上在上的单调增区间为在上的单调减区间为22222222222(3)g(x)(2)2(2)3,(1),x D,g(x)0;g(1)(3k)2(3)3(6)(2),,6,(1)0,()(1)()(1),()(1)[(2)2(2)3][(3k)2(3)3][(2)(3k)]x x k x x k k k k k g f x f g x g g x g x x k x x k k x x k =+++++-∈>=+++-=++<->>⇔<-=+++++--+++-=++-+设由知当时又显然当时从而不等式2222[(2)(3)](3)(1)(225),()(3)(1)0,()(1),()(6,111311111,1111),2250,k x x k k x x x x k i x x x f x f g x x g x k x x +++-+=+-++<-∴-<----<<--+-+--+<+->∴><+<<-+++<当欲使即亦即即2222(3)(1)0,225(2)(5)3(5)0,()(1),()(1);(1iii)31,(3)(1)0,2253(5)0,()(1),;(iv)1(()13,13)(1)0,,2ii xx x x x kx x k k kg x g f x f x x x x x k k g x g x x x x x <+->+++=++++<-++<<>-<<+---<<--+<+++<-++<∴><<+->++时此时即时不合题意21,11253(5)0,()(1),;(v)(3)(1)0,()(1),2250,()(1)11,11(13)(1(1(,11k k g x x g x x x g x g x x x k f x f --<<-+<-++<∴<>+->∴<++-+<---⋃--⋃-+⋃-+-+++<>从而综合题意欲使则即的解集为:上所述。

2014广一模(理数)word试题·答案

广州市2014届普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． ()()22221211236n n n n ++++++=()*n ∈N ．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 是虚数单位，若()2i 34i m +=-，则实数m 的值为 A ．2- B ．2± C ．2±D ．22．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2C B =，则c b为 A ．2sin C B ．2cos B C ．2sin B D ．2cos C3．圆()()22121x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为A ．()()22211x y -+-= B ．()()22121x y ++-= C ．()()22211x y ++-= D ．()()22121x y -++= 4．若函数()21f x x ax =++的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为A ．()2,2-B ．()(),22,-∞-+∞C ．(][),22,-∞-+∞ D ．[]2,2-5．某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制成如图1的频率分布直方图．样本数据分组为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100．若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在[]80,100范围内的数据16个，则其中分数在[]90,100范围内的样本数据有A ．5个B ．6个C ．8个D ．10个 6．已知集合32A x x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭Z Z 且，则集合A 中的元素个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．57．设a ，b 是两个非零向量，则使a b =a b 成立的一个必要非充分条件是 A ．=a b B ．⊥a b C ．λ=a b()0λ> D ．ab8．设a ，b ，m 为整数（0m >），若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．若0122202020202020C C 2C 2C 2a =+⋅+⋅++⋅，()mod10a b ≡，则b 的值可以是A ．2011B ．2012C ．2013D ．2014二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．若不等式1x a -<的解集为{}13x x <<，则实数a 的值为．10．执行如图2的程序框图，若输出7S =，则输入k ()*k ∈N 的值为．11．一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图3所示，则这个四棱锥的体积是．11 正（主）视图侧（左）视图图3俯视图452 2图2开始结束输入k否是输出S 1n n =+?n k < 0,0n S ==log y x =12n S S -=+图1分数频率/组距50 60 70 80 90 100 0.0100.015 0.020 0.025 0.030 012．设α为锐角，若3cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 12απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ．13．在数列{}n a 中，已知11a =，111n n a a +=-+，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2014S = ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线()sin cos a ρθθ-=与曲线2cos 4sinρθθ=-相交于A ，B 两点，若AB =23，则实数a 的值为．15．（几何证明选讲选做题）如图4，PC 是圆O 的切线，切点为C ，直线PA 与圆O 交于A ，B 两点，APC ∠的平分线分别交弦CA ，CB 于D ，E两点，已知3PC =，2PB =，则PEPD的值为．题号 1 23 4 5 67 8答案 A B A D B C D A二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．题号 9 10 11 12131415答案23421020112-1-或5-23PEABC D 图4O。

广东省广州市2014届高三调研测试数学理试题 PDF版含答案

115～150 中度污染
150～250 重度污染
＞250 严重污染
从甲城市 2013 年 9 月份的 30 天中随机抽取 15 天的 PM2.5 日均浓度指数数据茎叶图如图 5 所示．（1）试估计甲城市在 2013 年 9 月份 30 天的空气质量类别为优或良的天数；（2）在甲城市这 15 个监测数据中任取 2 个，设 X 为空气质量类别为优或良的天数，求 X 的分布列及数学期望． 3 5 6 7 8 9 204 5 4 697 807 1809 图5
C
B
M O N
A
．
图4 ．
y x 2 cos （为参数， R ）上，则的取值范围是 x y sin
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分 12 分）在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 cos （1）求 cos B 的值；（2）若 a 3 ， b 2 2 ，求 c 的值．
1 Sh ，其中 S 为锥体的底面积， h 为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ体的高． 3
一．选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知 i 为虚数单位，则复数
i 的模等于 2i
C．
A． 5
B． 3
3 3
D．
5 5
2．设集合 A x x 2 x 3 0 ， B x x 1 ，则 A B 等于
试卷类型：A
广州市 2014 届高三年级调研测试
数学（理科）
本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．

2014广东高考理科试卷含详细答案(WORD版)

（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在
区间（30,50］的概率.
18.（13分）如图4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.
（1）证明：CF⊥平面ADF；
A．8B.7C.6D.5
4.若实数k满足则曲线与曲线的
A．离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等
5.已知向量则下列向量中与成夹角的是
A．（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）
6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和
演算步骤．
16、（12分）已知函数，且，
（1）求的值；
（2）若，，求 .
17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：
根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
（1）确定样本频率分布表中和的值；
（一）必做题（9～13题）
9.不等式的解集为.
10.曲线在点处的切线方程为.
11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为.
12.在中，角所对应的边分别为，已知，
则 .
13.若等比数列 பைடு நூலகம்各项均为正数，且，则 .
（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）

2014届高三数学调研考试卷(理科)

1 / 4试卷类型：A广州市2014届高三年级调研测试数学（理科） 2014．1本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 为虚数单位，则复数i2i-的模等于 ABCD2．设集合{}0322=--=x x x A ，{}12==x x B ，则B A 等于A ．{}1-B ．{}1,3C ．{}1,1,3-D ．R 3．已知向量(3,1)=a ，(,2)x =-b ，(0,2)=c ，若()⊥-a b c ，则实数x 的值为 A ．43 B ．34 C ．34- D ．43- 4．定义在R 上的函数()f x 满足2log (16), 0,()(1), 0,x x f x f x x -≤⎧=⎨->⎩则()3f 的值为A ．4-B ．2C ．2log 13D ．42 / 45．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图1所示，则函数()y f x =对应的解析式为 A ．sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭6．执行如图2的程序框图，如果输入的N 的值是6，那么输出的p 的值是A ．15B ．105C ．120D ．7207．若点(1,0)A 和点(4,0)B 到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条8．对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *2221, ,, .a ab a b b b ab a b ⎧-+-≤⎪=⎨->⎪⎩设()()21f x x =-*()1x -，且关于x 的方程为()()f x m m =∈R 恰有三个互不相等的实数根1x ，2x ，3x ，则321x x x ⋅⋅的取值范围是 A ．1,032⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．1,016⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．10,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,16⎛⎫⎪⎝⎭ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．在等比数列{}n a 中，若1323a a a =⋅，则4a = ．10．若x ，y 满足约束条件0,0,1,3412,x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩则x y +的最大值为_______．11．如图3，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数2y x =图象下方的点构成的区域．在D 内随机取一点，则该点落在E 中的概率为． 12．已知点P 在曲线4e 1xy =+（其中e 为自然对数的底数）上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则αtan 的取值范围是．13．有4名优秀学生A ，B ，C ，D 全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所3 / 4学校至少去一名，则不同的保送方案共有种．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图4，AC 为⊙O 的直径，OB AC ⊥，弦BN 交AC 于点M ．若OC =1OM =，则MN 的长为． 15．（坐标系与参数方程选讲选做题）若点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，θ∈R ）上，则y x 的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且cos 23A C +=．（1）求cosB 的值；（2）若3a =，b =c 的值． 17．（本小题满分12分）空气质量指数PM2.5 (单位:3/m μg )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重．PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：从甲城市2013年9月份的30天中随机抽取15天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如图5所示．（1）试估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数；（2）在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X 为空气质量类别为优或良的天数，求X 的分布列及数学期望．18．（本小题满分14分）在如图6的几何体中，平面CDEF 为正方形，平面ABCD 为等腰梯形，AB∥CD ，BC AB 2=，3 2 0 45 56 47 6 9 78 8 0 79 1 8 0 9 图5B4 / 460ABC ︒∠=，AC FB ⊥．（1）求证：⊥AC 平面FBC ；（2）求直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值． 19．（本小题满分14分）已知数列{a n }满足135a =，1321n n n a a a +=+，*n ∈N ．（1）求证：数列1 1 n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）是否存在互不相等的正整数m ，s ，t ，使m ，s ，t 成等差数列，且1m a -，1s a -，1t a -成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m ，s ，t ；如果不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）设函数()313f x x ax =-()0a >，()221g x bx b =+-. （1）若曲线()x f y =与()x g y =在它们的交点()c ,1处有相同的切线，求实数a ，b 的值；（2）当12ab -=时，若函数()()()h x f x g x =+在区间()0,2-内恰有两个零点，求实数a 的取值范围；（3）当1a =，0b =时，求函数()()()h x f x g x =+在区间[]3,+t t 上的最小值．21．（本小题满分14分）如图7，已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，双曲线12222=-by a x 的两条渐近线为21,l l ．过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使1l l ⊥，又l 与2l 交于点P ，设l 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A ，B ．（1）若1l 与2l 的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，求椭圆C 的方程；（2）求||||AP FA 的最大值．图7。

广东省广州市2014届高三年级调研测试(理数)试卷及答案

广州市2014届高三年级调研测试数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 为虚数单位，则复数i2i-的模等于 A ．5 B ．3 C ．33 D ．552．设集合{}0322=--=x x x A ，{}12==x x B ，则B A 等于A ．{}1-B ．{}1,3C ．{}1,1,3-D ．R 3．已知向量(3,1)=a ，(,2)x =-b ，(0,2)=c ，若()⊥-a b c ，则实数x 的值为 A ．43 B ．34 C ．34- D ．43- 4．定义在R 上的函数()f x 满足2log (16), 0,()(1), 0,x x f x f x x -≤⎧=⎨->⎩则()3f 的值为A ．4-B ．2C ．2log 13D ．45．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图1所示，则函数()y f x =对应的解析式为 A ．sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭6．执行如图2的程序框图，如果输入的N 的值是6，那么输出的p 的值是 A ．15 B ．105 C ．120 D ．7207．若点(1,0)A 和点(4,0)B 到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条8．对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *2221, ,, .a ab a b b b ab a b ⎧-+-≤⎪=⎨->⎪⎩设()()21f x x =-*()1x -，且关于x 的方程为()()f x m m =∈R 恰有三个互不相等的实数根1x ，2x ，3x ，则321x x x ⋅⋅的取值范围是 A ．1,032⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．1,016⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．10,32⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．在等比数列{}n a 中，若1323a a a =⋅，则4a = ．10．若x ，y 满足约束条件0,0,1,3412,x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩则x y +的最大值为_______．O xy1π611π12图1 O x y 24-2图3是否开始 1,1==p k p p k =⋅?k N <输出p 图22k k =+输入N结束11．如图3，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数2y x =图象下方的点构成的区域．在D 内随机取一点，则该点落在E 中的概率为． 12．已知点P 在曲线4e 1xy =+（其中e 为自然对数的底数）上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则αtan 的取值范围是．13．有4名优秀学生A ，B ，C ，D 全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有种．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图4，AC 为⊙O 的直径，OB AC ⊥，弦BN 交AC 于点M ．若3OC =，1OM =，则MN 的长为． 15．（坐标系与参数方程选讲选做题）若点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，θ∈R ）上，则y x 的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos 23A C +=．（1）求cos B 的值；（2）若3a =，22b =，求c 的值． 17．（本小题满分12分）空气质量指数PM2.5 (单位:3/m μg )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重．PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：PM2.5日均浓度0～35 35～75 75～115 115～150 150～250 ＞250空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染从甲城市2013年9月份的30天中随机抽取15天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如图5所示．（1）试估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数；3 2 0 4ABCOM N图4（2）在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X 为空气质量类别为优或良的天数，求X 的分布列及数学期望．18．（本小题满分14分）在如图6的几何体中，平面CDEF 为正方形，平面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，BC AB 2=，60ABC ︒∠=，AC FB ⊥．（1）求证：⊥AC 平面FBC ；（2）求直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值． 19．（本小题满分14分）已知数列{a n }满足135a =，1321n n n a a a +=+，*n ∈N ．（1）求证：数列1 1 n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）是否存在互不相等的正整数m ，s ，t ，使m ，s ，t 成等差数列，且1m a -，1s a -，1t a -成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m ，s ，t ；如果不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）设函数()313f x x ax =-()0a >，()221g x bx b =+-. （1）若曲线()x f y =与()x g y =在它们的交点()c ,1处有相同的切线，求实数a ，b 的值；（2）当12ab -=时，若函数()()()h x f x g x =+在区间()0,2-内恰有两个零点，求实数a 的取值范围；（3）当1a =，0b =时，求函数()()()h x f x g x =+在区间[]3,+t t 上的最小值．21．（本小题满分14分）如图7，已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，双曲线12222=-by a x 的两条渐近线为21,l l ．过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使1l l ⊥，又l 与2l 交于点P ，设l 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A ，B ．yAP l 1图6ABCDE F（1）若1l 与2l 的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，求椭圆C 的方程；（2）求||||AP FA 的最大值．图7数学（理科）参考答案及评分标准说明：1．参考答案及评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）解：（1）在△ABC 中，A B C π++=．………………………………………………………………1分所以coscos 22A C Bπ+-= …………………………………………………………………………2分 3sin23B ==．………………………………………………………………………3分所以2cos 12sin2BB =- ……………………………………………………………………………5分 13=．………………………………………………………………………………………7分（2）因为3a =，22b =，1cos 3B =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，………………………………………………………………9分得2210c c -+=．……………………………………………………………………………………11分解得1c =．……………………………………………………………………………………………12分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A D A B C A 题号 9 10 11 12 13 14 15 答案 3 4 13 [)01,- 36 1 33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦17．（本小题满分12分）解：（1）由茎叶图可知，甲城市在2013年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数为5天．…………………………………………………………………………………………………1分所以可估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10天．…………2分（2）X 的取值为0，1，2，………………………………………………………………………………3分因为()02510215C C 30C 7P X ===，………………………………………………………………………5分 ()11510215C C 101C 21P X ===，……………………………………………………………………………7分()20510215C C 22C 21P X ===．…………………………………………………………………………9分所以X 的分布列为：X0 1 2P73 2110 212所以数学期望32212221101730=⨯+⨯+⨯=EX ．…………………………………………………12分18．（本小题满分14分）（1）证明1：因为BC AB 2=，60ABC ︒∠=，在△ABC 中，由余弦定理可得BC AC 3=．……………………………………………………2分所以222AC BC AB +=．所以BC AC ⊥．………………………………………………………………………………………3分因为AC FB ⊥，BF BC B =，BF 、BC ⊂平面FBC ，所以⊥AC 平面FBC ．………………………………………………………………………………4分证明2：因为60ABC ︒∠=，设BAC α∠=()0120α<<，则120ACB α∠=-．在△ABC 中，由正弦定理，得()sin sin 120BC ABαα=-．…………………………………………1分因为BC AB 2=，所以()sin 1202sin αα-=．整理得3tan 3α=，所以30α=．…………………………………………………………………2分所以BC AC ⊥．………………………………………………………………………………………3分因为AC FB ⊥，BF BC B =，BF 、BC ⊂平面FBC ，所以⊥AC 平面FBC ．………………………………………………………………………………4分……………………10分（2）解法1：由（1）知，⊥AC 平面FBC ，FC ⊂平面FBC ，所以FC AC ⊥．因为平面CDEF 为正方形，所以FC CD ⊥．因为AC CD C =，所以⊥FC 平面ABCD ．……………………………………………………6分取AB 的中点M ，连结MD ，ME ，因为ABCD 是等腰梯形，且BC AB 2=，60DAM ∠=，所以MD MA AD ==．所以△MAD 是等边三角形，且MEBF ．…………………………7分取AD 的中点N ，连结MN ，NE ，则MN AD ⊥．………8分因为MN ⊂平面ABCD ，ED FC ，所以ED MN ⊥．因为ADED D =，所以MN ⊥平面ADE ． ……………9分所以MEN ∠为直线BF 与平面ADE 所成角． ……………10分因为NE ⊂平面ADE ，所以MN ⊥NE ．…………………11分因为32MN AD =，222ME MD DE AD =+=，…………………………………………12分在Rt △MNE 中，6sin 4MN MEN ME ∠==．……………………………………………………13分所以直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值为64．………………………………………………14分解法2：由（1）知，⊥AC 平面FBC ，FC ⊂平面FBC ，所以FC AC ⊥．因为平面CDEF 为正方形，所以FC CD ⊥．因为AC CD C =，所以⊥FC 平面ABCD ．……………………………………………………6分所以CA ，CB ，CF 两两互相垂直，建立如图的空间直角坐标系xyz C -．………………………7分因为ABCD 是等腰梯形，且BC AB 2=，60ABC ︒∠=所以CB CD CF ==．不妨设1BC =，则()0,1,0B ，()0,0,1F ，()3,0,0A，31,,022D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，31,,122E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()0,1,1BF =-，31,,022DA ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,1DE =．………………………………………9分MN ABCD EFx AB CDEFyz设平面ADE 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.DA DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即30,220.y x z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩取1x =，得=n ()1,3,0-是平面ADE 的一个法向量．………………………………………11分设直线BF 与平面ADE 所成的角为θ，则()()0,1,11,3,06sin cos ,422BF BF BF --⋅θ=〈〉===n n n．……………………………13分所以直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值为64．………………………………………………14分 19．（本小题满分14分）解：（1）因为1321n n n a a a +=+，所以111233n n a a +=+．…………………………………………………1分所以1111113n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．…………………………………………………………………………3分因为135a =，则11213a -=．…………………………………………………………………………4分所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为32，公比为31的等比数列．…………………………………………5分（2）由（1）知，112121333n n n a -⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭，所以332nn n a =+．……………………………………7分假设存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件，则有()()()22,111.s m t m t s a a a +=⎧⎪⎨-=--⎪⎩……………………………………………………………………9分由332n n n a =+与()()()2111s m t a a a -=--，得2333111323232s m t sm t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．……………………………………………………10分即232323343m tm t s s ++⨯+⨯=+⨯．……………………………………………………………11分因为2m t s +=，所以3323m t s+=⨯．……………………………………………………………12分因为332323m t m t s ++≥=⨯，当且仅当m t =时等号成立，这与m ，s ，t 互不相等矛盾．……………………………………………………………………13分所以不存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件．……………………………………………14分 20．（本小题满分14分）解：（1）因为()313f x x ax =-，()221g x bx b =+-，所以()2f x x a '=-，()2g x bx '=.…………………………………………………………………1分因为曲线()x f y =与()x g y =在它们的交点()c ,1处有相同切线, 所以()()11g f =,且()()11g f '='。

2014年高考理科数学试题广东卷【word版-含答案】

2014年高考理科数学试题广东卷【word版-含答案】D（2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f 。

17．（本小题满分13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36。

根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25,30 ] 30.12(30,35 ] 50.20(35,40 ] 80.32(40,45 ] n 1f 1(45,50 ] n 2f 2（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率。

18．（本小题满分13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，030DPC ∠=，AF PC ⊥于点F ， A BC D EFP//FE CD，交PD 于点E . （1）证明：CF ADF ⊥平面（2）求二面角D AF E --的余弦值。

19．（本小题满分14分）设数列{}na 的前n 和为nS ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =， (1)求123,,a a a 的值;(2)求数列{}na 的通项公式。

20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)xy C a b a b+=>>的一个焦点为(5,0)，离心率为53，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点0(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程。

21．（本小题满分14分）设函数222()(2)2(2)3f x x x k x x k =+++++-，其中2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）；（2）讨论函数()f x 在D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）。

广州市2014届高三调研测试数学理科试题参考答案及评分标准

分
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…………7 分
= 1 ．…………………………………………………………………………… 3
பைடு நூலகம்（2）因为 a = 3 ， b = 2 2 ， cos B = 1 ， 3
由
余
弦
定
理
b2 = a2 + c2 − 2ac cos B ，………………………………………………………………9 分
建立如图的空间直角坐标系 C − xyz ．………………………7 分
平
面
z
E
F
因为 ABCD 是等腰梯形，且 AB = 2BC ， ∠ABC = 60°
所以 CB = CD = CF ．
D
( ) 不妨设 BC = 1，则 B (0,1, 0) ， F (0, 0,1) ， A 3,0, 0 ， xA
即
1 − a = b + 2b −1
,
且
3
1 − a = 2b , ………………………………………………………………2 分
解
得
a = 1 , b = 1 .……………………………………………………………………………………3 33
分
（2）当 a = 1 − 2b 时， h ( x) = 1 x3 + 1− a x2 − ax − a (a > 0) ，
=
0,
即
3 2
x+
y 2
= 0,
n ⋅ DE = 0. z = 0.
( ) 取 x = 1 ，得 n = 1, − 3, 0 是平面 ADE 的一个法向
量．………………………………………11 分
设直线 BF 与平面 ADE 所成的角为θ ，

数学(理)卷·2014届广东省广州市高三调研测试(2014.01)

A． 5
B． 3
C． 3 3
{ } { } 2．设集合 A = x x2 − 2x − 3 = 0 ， B = x x2 = 1 ，则 A U B 等于
D． 5 5
A．{−1}
B． {1, 3}
C． {−1,1, 3}
D． R
3．已知向量 a = (3,1) ， b = (x, −2) ， c = (0, 2) ，若 a ⊥ (b − c) ，则实数 x 的值为
广州市 2014 届高三年级调研测试
试卷类型：A
数学（理科）
2014．1
本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．
注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位
号填写在答题卡上．用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，
解得 c = 1 ．……………………………………………………………………………12 分
17．（本小题满分 12 分）解：（1）由茎叶图可知，甲城市在 2013 年 9 月份随机抽取的 15 天中的空气质量类别为优或良的天数
为 5 天．…………………………………………………………………………1 分所以可估计甲城市在 2013 年 9 月份 30 天的空气质量类别为优或良的天数为 10 天．…………2 分
近线为 l1 , l2 ．过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l ，使 l ⊥ l1 ，又 l 与 l2 交于点 P ，设 l 与椭圆 C 的两个交
点由上至下
依次为 A ， B ．（1）若 l1 与 l2 的夹角为 60°，且双曲线的焦距为 4，

2014年广东卷数学试题及答案(理)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学理一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1}2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+3.若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.54.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B. （1,-1,0） C. （0,-1,1） D. （-1,0,1）6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A 、200,20B 、100,20C 、200,10D 、100,107、若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是A ．14l l ⊥B ．14//l lC ．14,l l 既不垂直也不平行D ．14,l l 的位置关系不确定8.设集合(){}12345=,,,,1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A ．60 B90 C.120 D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为。