北京三十五中高三数学综合提高测试题(3)理北师大版

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2017-2018北京西城35中高三上12月月考【理】【详解】数学试卷

北京市西城35中2018届高三12月月考数学（理）试题一、选择题1．极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是（）．A ．直线、直线B ．圆、圆C ．直线、圆D ．圆、直线【答案】D【解析】由cos ρθ=，得2cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入上式得220x y x +-=，故极坐标方程表示的图形为圆；由123x ty t =--⎧⎨=+⎩消去参数t 整理得310x y ++=，故参数方程表示的图形为直线．故选D ．2．直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位，所得到的直线（）．A ．1133y x =-+B ．113y x =-+C ．33y x =-D ．113y x =+【答案】A【解析】试题分析：将直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒所得到的直线为13y x =-，再向右平移1个单位，所得到的直线1(1)3y x =--，即1133y x =-+．故选A ．【考点】图象的变换．3．若集合{}|23M x x =-<<，{}1|21x N x +=≥，则M N = （）．A ．(3,)+∞B ．(1,3)-C ．[)1,3-D ．(]2,1--【答案】C【解析】由题意得{}{}{}1|21|10|1x N x x x x x +==+=-≥≥≥，{}|13M N x x =-< ≤．故选C ．【点睛】研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步．第二步常常是不等式，求得不等式的解集．在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零．解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响．元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系．4．为了得到函数3lg 10x y +=的图象，只需要把函数lg y x =的图象上所有的点（）．A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【答案】C【解析】试题分析：因为3lglg(3)110x y x +==+-，所以得到函数3lg 10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点左平移3个单位再向下平移1个单位．故选C ．【考点】1对数的运算；2图像平移．5．设函数π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象为C ，下面结论中正确的是（）．A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．图象C 关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．图象C 向右平移π2个单位后关于原点对称 D ．函数()f x 的区间ππ,122⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数【答案】B【解析】A 项．()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 项错误； B 项．πππ2sin 20663f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于点对称π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 项正确；C 项．π()2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭向右平移π2个单位后得到π2sin 23y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，不关于原点对称，故C 项错误；D 项．ππ,122x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，ππ2π2,323x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，当πππ2,322x ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，即π5π,1212x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时，()f x 单调递增，当ππ2π2,323x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，即5ππ,122x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减，故D 错误；综上．故选B ．【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性、单调性、以及图象的对称性，sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题；最小正周期为2πϕ，正弦函数的图象过对称中心，正弦函数sin y u =的增区间满足ππ2π2π22k u k -++≤≤，k ∈Z 等．6．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且n ，n a ，n S 成等差数列()n +∈N ，则4a =（）．A ．1B ．4C ．7D ．15【答案】D【解析】∵n ，n a ，n S 成等差数列，∴2n n a n S =+，当1n =时，1121a S =+，11a =，当2n ≥时，1211n n a n S -=-+-，， ∴1221n n n a a a --=+，即121n n a a -=+， ∴112(1)n n a a +-=+，∴1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴12n n a +=， ∴21n n a =-， ∴442115a =-=．故选D ．7．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，给出下面四个命题： ①m n ∥，m n αα⊥⇒⊥ ②αβ∥，m α⊂，n m n β⊂⇒∥ ③m n ∥，m n αα⇒∥∥④αβ∥，m n ∥，m n αβ⊥⇒⊥其中正确命题的序号是（）．A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③【答案】C【解析】命题②m ，n 结果可能异面，故②错误；命题③结果可能n α⊂，故③错误；命题①显然正确；命题④m n ∥，n m n ααβαβ⊥⎫⊥⇒⇒⊥⎬⎭∥，故④正确；综上正确命题为①④．故选C ．【点睛】本题主要考查线面垂直的判定与性质、线面平行的性质和面面平行的性质等知识，涉及数形结合思想和分类与整合思想，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题型．解决此种主要采取特例法和排除法，例如：命题②m ，n 结果可能异面，故②错误；命题③结果可能n α⊂，故③错误．8．在空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，则该四面体的体积为（）．A ．2B ．43C D ．23【答案】D【解析】112212323V =⨯⨯⨯⨯=．故选D ．9．设命题:p n ∃∈N ，22n n >，则p ⌝为（）．A ．n ∀∈N ，22n n >B ．n ∃∈N ，22n n ≤C ．n ∀∈N ，22n n ≤D ．n ∃∈N ，22n n <【答案】C【解析】∵命题:p n ∃∈N ，22n n >， ∴p ⌝为：n ∀∈N ，22n n ≤．故选C ．10．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-，则不等式()0xf x >的解集为（）．A ．(,4)(4,)-∞-+∞B ．(4,0)(4,)-+∞C ．(,4)(0,4)-∞-D ．(4,4)-【答案】A【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-，∴当0x <时，()(4)f x x x =-+，当0x >时，2()0()0404xf x f x x x x >⇔>⇔->⇔>，当0x <时，()0()0(4)04xf x f x x x x >⇔<⇔-+<⇔<-，∴不等式()0xf x >的解集为(,4)(4,)-∞-+∞ ．故选A ．二、填空题11．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =4c =，60A =︒，则b =__________．【答案】1或3【解析】由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，将a =4c =，60A =︒，代入得2430b b -+=，解得1b =或3b =，故答案为1或3．【点睛】此题考查了余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．在ABC △中，涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解． 12．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是__________．【答案】500π35=，故球的体积为34π500π533⨯=，故答案为500π3．13．已知向量a ，b 满足||||1a b == 且34,55a b ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则a 与b 的夹角为__________．【答案】120︒【解析】∵||||1a b == 且34,55a b ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴22()||||2||||cos 1a b a b a b θ+=++=，∴1cos 2θ=-，120θ=︒，即a 与b的夹角为120︒，故答案为120︒．14．已知方程22240x y x y m +--+=表示圆，则m 的取值范围为__________．【答案】(,5)-∞【解析】若方程22240x y x y m +--+=表示圆，则41640m +->，解得5m <，故m 的取值范围为(,5)-∞．故答案为(,5)-∞．15．如图，已知边长为4的正方形ABCD ，E 是BC 边上一动点（与B 、C 不重合），连结AE ，作E F A E⊥交BCD ∠的外角平分线于F ．设BE x =，记()f x EC CF =⋅，则函数()f x 的值域是__________．【答案】(]0,4【解析】如图，作FG BC ⊥，交BC 延长线于G ，则CG FG =，D A BCE F易证得E ABE GF ∽△△， ∴AB BEEG FG=，设FG CG m ==，则4EG EC CG x m =+=-+， ∴44xm x x m m===-+．∴π()(4)cos (4)4f x EC CF x x x =⋅=-⋅=- ，由题知04x <<，所以0()4f x <≤，故()f x 的值域是(]0,4．故答案为(]0,4．16．已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≤≤，使(0)z x ay a =+>取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为__________．【答案】1【解析】∵z x ay =+，则11y x z a a =-+，z a 为直线1zy x a a=-+在y 轴上的截距，要使目标函数的最优解有无穷多个，则截距最小时的最优解有无数个，∵0a >，把x ay z +=平移，使之与可行域的边界AC 重合即可， ∴1a -=-，1a =，故答案为1．【点睛】本题主要考查了简单线性规划的应用、二元一次不等式（组）与平面区域等知识，解题的关键是明确z 的几何意义，属于中档题；先根据约束条件画出可行域，由z x ay =+，利用z 的几何意义求最值，要使得取得最小值的最优解有无数个，只需直线z x ay =+与可行域的边界AC 平行时，从而得到a 值即可．GFE C BA D17．已知平面量(2,1)a ，(1,3)b =-，若向量()a a b λ⊥+ ，则实数λ的值是__________．【答案】5-【解析】∵(2,1)a = ，(1,3)b =-， ∴(2,13)a b λλλ⊥=-+， ∵()a a b λ⊥+ ， ∴()0a a b λ⋅+=，∴2(2)130λλ-++=，解得5λ=-，故答案为5-．18．如图中的曲线为2()2f x x x =-，则阴影部分面积为__________．【答案】83【解析】由定积分的几何意义可得：0210448()d ()d 333S f x x f x x -⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭⎰⎰，故答案为83．三、解答题19．设函数2()ln ()f x x ax x a =+-∈R ．（1）若1a =，求函数()f x 的单调区间．（2）若函数()f x 在区间(]0,1上是减函数，求实数a 的取值范围．（3）过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，证明：切点的横坐标为l ．【答案】（1）单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）1a -≤．（3）见解析．【解析】（1）当1a =时，2()ln (0)f x x x x x =+->，1(21)(1)()21x x f x x x x-+'=+-=，令()0f x '>，则12x >，令()0f x '<，则102x <<，∴函数()f x 的单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）1()2f x x a x '=+-，∵()f x 在区间(]0,1上是减函数，∴()0f x '≤对任意(]0,1x ∈恒成立，即12a x x-≤对任意(]0,1x ∈恒成立，令1()2g x x x =-，则min ()a g x ≤，易知()g x 在(]0,1上单调递减，∴min ()(1)1g x f ==-， ∴1a -≤．（3）设切点为(,())M t f t ，1()2f x x a x'=+-，∴切线的斜率12k t a t =+-，又切线过原点，()f t k t=，∴()12f t t a t t =+-，即22ln 21t at t t at +-=+-， ∴21ln 0t t -+=，存在性，1t =满足方程21ln 0t t -+=，所以1t =是方程21ln 0t t -+=的根唯一性，设2()1ln t t t ϕ=-+，则1()20t t tϕ'-+>，∴()t ϕ在(0,)+∞上单调递增，且(1)0ϕ=，∴方程21ln 0t t -+=有唯一解1t =，综上，过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，则切点的横坐标为1．【分析】（1）当1a =时，求出函数的导函数(21)(1)()x x f x x -+'=，分别令()0f x '>和()0f x '<，解出不等式得单调区间．（2）函数()f x 在区间(]0,1上是减函数，即()0f x '≤对任意(]0,1x ∈恒成立，利用分离参数法可得最后结果．（3）设切点为(,())M t f t ，对函数进行求导，根据导数的几何意义得12k t a t=+-，根据切线过原点，可得斜率为()f t k t =，两者相等化简可得21ln 0t t -+=，先证存在性，再通过单调性证明唯一性．【点睛】本题主要考察了导数与函数单调性的关系，导数的几何意义，属于中档题；由()0f x '>，得函数单调递增，()0f x '<得函数单调递减；函数单调递减等价于()0f x '≤恒成立，考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为()a h x >或()a h x <恒成立，即max ()a h x >或min ()a h x <即可，利用导数知识结合单调性求出max ()h x 或min ()h x 即得解．20．已知圆C 过点(0,1)，，且圆心C 在y 轴上．（1）求圆C 的标准方程．（2）若过原点的直线l 与圆C 无交点，求直线l 斜率的取值范围．【答案】（1）22(3)4x y +-=．（2）k <<．【解析】（1）∵圆心C 在y 轴上， ∴可设的标准方程为222()x y b γ+-=，∵圆C 过点(0,1)和点，∴2222(1)3(4)b r b r⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得32b γ=⎧⎨=⎩， ∴圆C 的标准方程为22(3)4x y +-=．（2）设过原点的直线l 的方程为y kx =，即0kx y -=， ∵l 与圆C 无交点，∴圆心(0,3)到直线l 的距离大于γ，2>，解得k <<．【分析】（1）由于圆心在y 轴上，利用待定系数法可设标准方程为222()x y b γ+-=，将点代入方程．可得方程组，解出方程组即可；（2）设直线的方程为y kx =，直线与圆无交点，等价于圆心到直线的距离大于半径，列出不等式即可．21．已知向量(sin ,2)a x =- ，(1,cos )b x = 互相垂直，其中π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求sin x ，cos x 的值．（2）若5cos()x θθ-=，π02θ<<，求cos θ的值．【答案】（1．（2．【解析】（1）∵a b ⊥， ∴sin 2cos 0a b x x ⋅=-=，即sin 2cos x x =，又∵22sin cos 1x x +=，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin x =cos x =．（2）∵5cos()5(cos cos sin sin )x x x θθθθθθ-=+=-=， ∴sin cos θθ=，又22sin cos 1θθ+=，π02θ<<，∴cos θ=【分析】（1）两向量垂直等价于数量积为0，即s i n2c o s x x =，结合三角恒等式及x 的取值范围可得sin x ，cos x 的值．（2）利用两角差的余弦展开可得sin cos θθ=，结合三角恒等式可得结果．22．如图，在三棱柱111ABC A B C -，1AA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，1AC AB AA ==，E ，F 分别是棱BC ，1A A 的中点，G 为棱1CC 上的一点，且1C F ∥平面AEG ．（1）求1CGCC 的值．（2）求证：1EG AC ⊥．（3）求二面角1A AG E --的余弦值．【答案】（1）12．（2）见解析．（3）．【解析】（1）因为1C F ∥平面AEG ，又1C F ⊂平面11ACC A ，平面11ACC A 平面AEG AG =，所以1C F AG ∥．因为F 为1AA 中点，且侧面11ACC A 为平行四边形，所以G 为1CC 中点，所以112CG CC =．（2）因为1AA ⊥底面ABC ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥，又AB AC ⊥，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则由1AB AC AA ==可得(2,0,0)C ，(0,2,0)B ，1(2,0,2)C ，1(0,0,2)A ，因为E ，G 分别是BC ，1CC 的中点，所以(1,1,0)E ，(2,0,1)G ．1(1,1,1)(2,0,2)0EG CA ⋅=-⋅-=．所以1EG CA ⊥ ，所以1EG AC ⊥．（3）设平面AEG 的法向量(,,)n x y z =，则G AB CEF C 1B 1A110,0,n AE n AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20,x y x z +=⎧⎨+=⎩ 令1x =，则1y =-，2z =-，所以(1,1,2)n =--．由已知可得平面1A AG 的法向量(0,1,0)m =．所以cos ,||||n m n m n m ⋅==⋅，由题意知二面角1A AG E --为钝角，所以二面角1A AG E --的余弦值为．【分析】（1）求1CGCC 的值，关键是找G 在1CC 的位置，注意到1C F ∥平面AEG ，有线面平行的性质，可得1C F AG ∥，由已知F 为1AA 中点，由平面几何知识可得G 为1CC 中点，从而可得1CGCC 的值．（2）求证：1EG AC ⊥，有图观察，用传统方法比较麻烦，而本题由于1AA ⊥底面ABC ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥，又AB AC ⊥，这样建立空间坐标比较简单，故以A 为原点，以AC ，AB ，1AA 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，取2AB =，可写出个点坐标，从而得向量EG ，1CA的坐标，证10EG CA ⋅=即可．（3）求二面角1A AG E --的余弦值，由题意可得向量AB是平面1A AG 的一个法向量，只需求出平面AEG 的一个法向量，可设平面AEG 的法向量(,,)n x y z =，利用0,0,n AE n AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即可求出平面AEG 的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求出二面角1A AG E -=的余弦值．【考点】线面平行的性质，线线垂直的判断，二面角的求法．23．已知等比数列{}n a 中，11a =，48a =．（1）求数列{}n a 的通项公式．（2）若3a ，5a 分别为等差数列{}n b 的第6项和第8项，求123||||||||()n b b b b n +++∈N *．【答案】（1）12n n a -=．（2）21232329,5,||||||||329140,6,n n n n n b b b b n n n n ⎧-+∈⎪+++=⎨++∈⎪⎩NN **≤≥．【解析】（1）∵在等比数列{}n a 中，11a =，48a =， ∴2q =，∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，n ∈N *．（2）∵3a ，5a 分别为等差数列{}n b 的第6项和第8项， ∴634b a ==，8516b a ==，设等差数列{}n b 的公差为d ，则：1171654b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得126b =-，6d =，∴等差数列{}n b 的通项公式1(1)632n b b n d n =+-=-，当5n ≤时，21212||||||()329n n b b b b b b n n +++=-+++=-+ ，当6n ≥时，22121256||||||()70(32970)329140n n b b b b b b b b n n n +++=-++++++=+-+=-+ ．综上所述：21232329,5,||||||||329140,6,n n n n n b b b b n n n n ⎧-+∈⎪++++=⎨++∈⎪⎩N N≤≥**．【分析】（1）利用等比数列的定义可得2q =，故而可得等比数列通项公式．（2）根据3a ，5a 的值可求出等差数列{}n b 的通项公式632n b n =-，分为5n ≤和6n ≥两种情况可得数列前n 项和．。

2009—2010北京35中高三数学综合测试一(理)新人教版

正（主）视侧（左）视俯视图2009—2010北京三十五中高三数学综合测试一（理）一、选择题 1、复数21i i+等于（A ）1i -+（B ）1i +（C ）i 22+-（D ）22i +2、设全集U R =，A =(2){|21},{|ln(1)}x x x B x y x -<==-，则右图中阴影部分表示的集合为A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|1}x x ≤3、“ 212k παπ=+()k Z ∈ ”是“1sin 22α=”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4、直线20x y m -+=与圆225x y +=交于A 、B ，O 为坐标原点，若OB OA ⊥，则m的值为（A ）5±（B ）52± （C ）52±（D ）522±5、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且⎰+=310)21(dx x S ，2017,S =则30S 为( )A.30B. 25C. 20D. 15 6、用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如图，则此立体模型的表面积为（A ）24 （B ）23 （C ）22（D ）217、对任意非零实数a 、b ,若a b ⊗的运算原理如图所示，则221log 163-⎛⎫⊗ ⎪⎝⎭ 的值为 ( )A.23 B.1 C.54D.2 8、已知关于x 的函数2()21f x ax bx =--，（其中常数a 、b R ∈），满足6000a b a b +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩，则函数()y f x =在区间[)2,+∞上是增函数的概率是（）A. 14B. 13C. 12D. 23二、填空题 9．圆的参数方程2cos 12sin x y θθ⎧⎪⎨⎪⎩=+=（θ为参数）化成普通方程为．10．在ABC ∆中，若120A ∠=︒，5AB =，7BC =，则=AC ． 11．设向量()3,2=-a ，()1,2=b ，若λ+a b 与a 垂直，则实数λ= ． 12．如图，⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A 、B 两点，割线PCD 经过圆心，已知6PA =，173AB =，12PO =，则⊙O 的半径为． 13．已知()(2)2(1)log (1)a a x a x f x xx ⎧⎪⎨⎪⎩+-<=≥是R 上的增函数，则a 的取值范围是．14．已知数列{}n a 满足11a =，1231111231n n a a a a a n -=++++-()2,n n N *∈≥，则2010a = ．三、解答题15、已知函数2211()sin 2(sin cos )22f x x x x =+-⑴ 求函数()f x 的最小正周期;⑵ 在锐角ABC 中,若1()2f A =，3B π∠=，2BC =，求AC 的长.BCA D EP16、设不等式组222x y -⎧⎨⎩≤≤≤≤0确定的平面区域为U ，20200x y x y y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩-++-≥≤≥确定的平面区域为V ．⑴ 定义坐标为整数的点为“整点”．在区域U 内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V 的概率；⑵ 在区域U 内任取3个点，记此3个点在区域V 的个数为X ，求X 的概率分布列及其数学期望．17、如图：PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，AB //CD ，90ADC ∠=，222PD CD AD AB ====，,PE EC 2=． ⑴ 求证：PA //平面BDE ； ⑵ 求证：平面BDP ⊥平面PBC ； ⑶ 求二面角B PC D --的余弦值．18、已知函数()2,0ax f x x e a -=>其中． ⑴ 求()x f 的单调区间； ⑵ 求()x f 在[]2,1上的最大值．19. 设)0(1),(),,(22222211>>=+b a bx a y y x B y x A 是椭圆上的两点，已知向量11(,)x y m b a =，22(,)x yn b a=,若0m n =⋅且椭圆的离心率,23=e 短轴长为2，O 为坐标原点.(Ⅰ) 求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线AB 过椭圆的焦点()0,F c ，（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k的值；（Ⅲ）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.20.已知数列}{n a 满足：).(221,1*111N n na a a n n n ∈+==++ （I ）已知数列}{n a 的通项公式；（II ）证明：;1211≤≤-n n a（III ）设.21)1ln(,4222n n n n n T T K a n n n T ++=⋅+-=且证明：.22n n n K T T <+2009—2010北京三十五中高三数学综合测试一（理）解答一、选择题1. B2.B3.A4.D5.B6. C7. D8.二、9．()4122=+-y x ， 10．３， 11．13， 12．8， 13．[)+∞,2， 14．1005．17．解：（Ⅰ）由题意，区域Ｕ内共有15个整点，区域Ｖ内共有9个整点，设所取3个整点中恰有2个整点在区域Ｖ的概率为()V P ，则()4552163151629=⋅=C C C V P ． 6分（Ⅱ）区域U 的面积为8，区域V 的面积为4， ∴在区域U 内任取一点，该点在区域V 内的概率为2184=． 8分 X 的取值为0，1，2，3． 9分()81212103003=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛==C X P ，()83212112113=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ，()83212121223=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ，()81212130333=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ． 11分()23813832831810=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ． 13分解：法一：证明：建立如图所示的坐标系，（Ⅰ）(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0)A B C ,(0,0,0),(0,0,2)D P ……………………………1分24(0,,)33E 14(1,,)33BE =--，(1,1,0)DB =，(1,0,2)PA =-设PA xBE yDB =+，可得3122PA BE DB =--因为PA ⊄平面BDE ，所以PA //平面BDE ．……3分（Ⅱ）因为(1,1,0),(1,1,0)BC DB =-=，所以0BC DB =BD BC ⊥ 因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD BC ⊥所以 BC ⊥平面PBD ，所以平面BDP ⊥平面PBC ． …………8分（Ⅲ）因为,AD DC AD PD ⊥⊥所以DA 是平面PDC 的法向量，(1,0,0)DA =，设平面PBC 的法向量为)1,,(y x n =→，由0,0=⋅=⋅→→→→PC n BC n 得：)1,1,1(=→n ，设二面角B PCD --为θ，则cos DA nDA nθ→→⋅===• 所以二面角B PC D -- ……14分 18．解：（Ⅰ）()()()x ax e e a x xe x f ax ax ax 2222+-=-+='--- 2分令()0>'x f ，∵0>-ax e 3分∴022>+-x ax ，解得ax 20<<． 4分 ∴()x f 在()0,∞-和⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,2a 内是减函数，在⎪⎭⎫⎝⎛a 2,0内是增函数． 6分（Ⅱ）①当120<<a，即2>a 时，()x f 在()2,1内是减函数． ∴在[]2,1上()()a e f x f -==1max ； 8分 ②当221≤≤a ，即21≤≤a 时，()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛a 2,1内是增函数，在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2a 内是减函数．∴在[]2,1上()22max 42--=⎪⎭⎫⎝⎛=e a a f x f ； 10分③当22>a，即10<<a 时，()x f 在()2,1是增函数． ∴在[]2,1上()()a e f x f 2max 42-==． 12分综上所述，当10<<a 时，()x f 在[]2,1上的最大值为a e 24-；当21≤≤a 时，()x f 在[]2,1上的最大值为224--e a ；当2>a 时，()x f 在[]2,1上的最大值为a e -． 13分19.解：（Ⅰ）2 2.1,2,c 2c b b e a a a =====⇒==椭圆的方程为1422=+x y ………………………………3分（Ⅱ）由题意，设AB 的方程为3+=kx y2222121222(4)10.................4 141,. .................5 44y kx k x y x x x x x k k ⎧=⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩--+==++分分由已知0=⋅得：1212121222212121(43(1)() .................6 444x x y y x x kx kx b a k x x x x +=+=++++分22413()0,444k k k +=-+==+解得7分(Ⅲ) （1）当直线AB 斜率不存在时，即1212,x x y y ==-,由0=⋅22221111044y x y x -=⇒=………………………………8分又 11(,)A x y 在椭圆上，所以2,22144112121==⇒=+y x x x 11211112122s x y y x y =-== 所以三角形的面积为定值. ……………………………………9分（2）当直线AB 斜率存在时：设AB 的方程为y=kx+b42042)4(1422122222+-=+=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=k kb x x b kbx x k x y bkx y 得到 442221+-=k b x x ……………………………………10分:04))((0421212121代入整理得=+++⇔=+b kx b kx x x y y x x 2224b k -= ………………………………………12分21|||24b S AB b k ===+1||242==b b 所以三角形的面积为定值. 20.解：（I ）由条件可得.2211n a a n n n n +⋅=⋅++…………2分令,,21n b b a b n n n nn =-=+则有∴)()(1121--++-+=n n n b b b b b b)]1(21[1-+++=n b,2)1(2.22,1,2)1(1111-+=∴==∴=∴-+=n n b a b a n n b n 即.)21()4(,22)1(212+⋅+-=∴+-=⋅n n n nn n a n n a …………4分（II ）先证：.211-≥n n a由于,442≥+-n n;21)21(4)21()4(1112-++=⋅≥⋅+-=∴n n n n n n a…………5分再证：.1≤n a,8224)4(24)1()1(22221+-++=+-++-+=+n n n n n n n n a a n n而,147)23(43)4()822(2222>+-=+-=++-+-n n n n n n n}{,11n nn a a a ∴<∴+为递减数列。

北京市西城区35中2017届高三上学期期中考试数学(理)试题

北京市第三十五中学2016-2017年度第一学期期中试卷高三数学（理科）一、选择题（共8个小题，每题5分，共40分．每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在机读卡相应的题号处．）1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}2|,B x x n n A ==∈，则AB =（）．A ．{}1,2B ．{}1,4C ．{}2,3D ．{}9,16【答案】B【解析】∵{}1,2,3,4A =，{}1,4,9,16B =， ∴{}1,4A B =．故选B ．2．cos15cos 45cos105sin 45︒︒+︒︒的值为（）．A ．12BC ．12-D．【答案】A【解析】∵cos15cos 45cos105sin 45︒︒+︒︒ sin(1590)cos45cos105sin 45=︒+︒︒+︒︒ sin(10545)=︒+︒sin150=︒12=．故选A ．3．曲线24y x =和直线4y =及y 轴所围成图形的面积为（）．A ．23B ．43C ．2D ．83【答案】D 【解析】如图所示，12301444d 033x x x ==⎰， 484133S =⨯-=阴影．【注意有文字】故选D ．4．下列命题中错误．．的是（）．A ．x ∀∈R ，不等式2243x x x +>-均成立B ．若2log log 22x x +≥，则1x >C ．命题“若0a b >>，0c <，则c ca b>”的逆否命题是真命题 D ．若命题:p x ∀∈R ，211x +≥，命题:q x ∃∈R ，210x x --≤，则()p q ∧⌝是真命题【答案】D【解析】A 项：∵22224323(1)22x x x x x x +-+=-+=-+≥， ∴x ∀∈R ，不等式2243x x x +>-均成立，A 对；B 项：若2log log 22x x +≥，则221log 2log x x+≥，则2log 0log 20xx >⎧⎨>⎩，接触：1x >，B 对；C 项：∵()0c c c b a a b ab--=>， ∴00b a c >>⎧⎨>⎩或00b ac <<⎧⎨<⎩，原命题是真命题，C 对，则原命题的逆否命题也是真命题．D 项：∵20x ≥恒成立．211x +≥恒成立，命题p 是真命题．又∵221551244x x x ⎛⎫--=--- ⎪⎝⎭≥，∴x ∃∈R ，210x x --≤，命题q 是真命题．∴()p q ∧-是假命题．D 错．5．函数y = ）．A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,1]-∞-C ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]1,2-【答案】C 【解析】设2t y =， 12t m =，22m x x =-++，由图像可知，该复合函数单调区间为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选C ．26．函数ln e1xy x=--的图象大致为（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】令12x=，ln21113e20222y=-=-=>，排除C、D．令2x=，ln22e11y=-=，令3x=，ln33e21y=-=，排除A．故选B．7．函数21e xaxy-=存在极值点，则实数a的取值范围是（）．A．1a<-B．0a>C．1a≤-或0a≥D．1a<-或0a>【答案】C【解析】∵21e xaxy-=，2222e e(1)21(e)ex xx xax ax ax axy---++'===恒有解，∴0a≠，2440a a∆=+≥，4(1)0a a+≥，∴1a-≤或0a>，当1a =-时，2(1)0e xx y -'=≥（舍去）， ∴1a <-或0a >，故选C ．8．已知1()12F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，*121(0)(1)()n n a f f f f f n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭N ，则数列{}n a 的通项公式为（）． A ．n a n =B ．2n a n =C ．1n a n =+D ．223n a n n =-+【答案】C【解析】∵1()12F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是奇函数，∴11022F F ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令12x =，1(1)12F f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令12x =-，1(0)12F f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴(0)(1)2f f +=， ∴1(0)(1)2a f f =+=，令112x n =-， ∴11112F f n n ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令112x n=-， ∴11112n F f n n -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵1111022F F n n ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴112n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理可得222n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 332n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴1221(n n a n n n+-=+⨯=+∈N ），故选CⅡ卷二、选择题（共6个小题，共30分，请将正确答案填在答题纸相应的题号处．）9．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A 在第二象限，3cos 5α=-，则点A 的坐标为__________．【答案】4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】∵3cos 5α=-，∴4sin 5α，∴43,55A ⎛⎫- ⎪⎝⎭．10．极坐标系下，方程πcos 4ρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭2ρ=表示的曲线的公共点个数为__________．【答案】2【解析】∵πcos 4ρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭ππcos cos sin sin 44ρθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，cos sin )ρθρθ+= ∴直线方程为20x y +-=．又∵2ρ=，24ρ=，∴曲线方程为圆：224x y +=．圆中心(0,0)到直线20x y +-=的距离2d ，即直线与圆相交．∴两曲线共有两个公共点．11．在ABC △中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，已知三个内角度数之比::1:2:3A B C ∠∠∠=，那么三边长之比::a b c 等于__________．【答案】2【解析】∵::1:2:3A B C ∠∠∠=， ∴118030123A ∠=︒⨯=︒++，218060123B ∠=︒⨯=︒++，318090123C ∠=︒⨯=︒++，∴::2a b c =．12．将函数cos2y x =的图象向右平移π4个单位，得到函数()sin y f x x =⋅，则()f x 的表达式为__________．【答案】2cos x【解析】∵cos2y x =， ↓向右平移π4个单位， ππcos 2cos 242y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，sin 2x = ()sin f x x =⋅∴sin 2()2cos sin xf x x x==．13．数列{}n a 的前n 项和n S 满足2log n S n =，则数列的通项公式n a =__________．【答案】12()n n -+∈N 【解析】∵2log n S n = ∴2n n S =， 112n n S --=，∴112()n n n n a S S n --+=-=∈N ．14．定义在区间[],a b 上的连续函数()y f x =，如果[],a b ξ∃∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-，则称ξ为区间[],a b 上的“中值点”，下列函数：①()32f x x =+；②2()1f x x x =-+；③()ln(1)f x x =+；④31()2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，在区间[]0,1上“中值点”多于一个的函数序号为__________．（写出所有满足条件的函数的序号）【答案】①④【解析】①∵()3f x '=， ()()3()f b f a b a -=-，∴[]0,1ξ∀∈，均符合题意． ②∵()21f x x '=-，()()()(1)f b f a b a b a ⋅=-+-()()b a f ξ'=-． ∵b a ≠，∴()1f a b ξ'=+-， ∴211a b ξ-=+-，1()2a b ξ=+不符合题意；③∵1()1f x x '=+，1()()ln 1b f b f a a +⎛⎫-= ⎪+⎝⎭()()f b a ξ'=-∴1ln 11()1b a f b a ξξ+⎛⎫ ⎪+⎝⎭'==-+， ∴11ln 1b ab a ξ-=-+⎛⎫ ⎪+⎝⎭不符合题意； ④∵21()32f x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，3311()()22f b f a b a ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()f b a ξ'=-．∴221111()2222f b a b a ξ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-+-+--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2132ξ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．符合题意．三、解答题（共6个小题，共80分，请将解答过程及答案填在答题纸相应的题号处．） 15．（满分13分）若二次函数2()(,,)f x ax bx c a b c =++∈R 满足(1)()41f x f x x +-=+，(0)3f =．（1）求()f x 的解析式．（2）若区间[]1,1-上，不等式()6f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】见解析【解析】（1）∵(0)3f c ==， (1)()41f x f x x +-=+，令0x =，∴(1)(0)1f f -=， ∴(1)(0)143f f a b =+==++， ∴1a b +=，①令1x =-，∴(0)(1)3f f --=-，∴(1)(0)363f f a b -=+==-+， ∴3a b -=，②联立①②解出2a =，1b =-， ∴2()23f x x x =-+．（2）∵()6f x x m >+在[]1,1-上恒成立， ∴22360x x x m -+-->， ∴22730x x m -+->，又∵函数2273y x x m =-+-的对称轴为771224x -=-=>⨯， ∴函数在[]1,1-上单调递减，∴当1x =时，2730m -+->恒成立， ∴20m +<，2m <-，∴(,2)m ∈--∞．16．（满分13分）等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=．（1）求{}n a 的通项公式．（2）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？（3）试比较n a 与n b 的大小，并说明理由．【答案】见解析【解析】（1）∵{}n a 是等差数列， 121431021022a a a d a a d +=+=⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩， ∴解出2d =，14a =， ∴1(1)n a a d n =+-422n =+- 22n =+．（2）∵232328b a ==⨯+=， 3727216b a ==⨯+=，{}n b 是等比数列，322b q b ==， ∴1n n b b q -=⨯ 22n b q -=⨯ 12n +=．又∵6176222(1)n b a n +====+， ∴63n =，∴6b 与数列{}n a 的第63项相等．（3）猜想n n a b ≤，即12(1)2n n ++≤，即12n n +≤，用数学归纳法证明如下：①当1n =时，1112+=，显然成立，②假设当n k =时，12k k +≤成立，即120k k +-≤成立；则当1n k =+时，1(1)12k k +++- 2122k k ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2122022k k k k k ⎛⎫=+---⨯=-< ⎪⎝⎭≤成立，由①②得，猜想成立． ∴n n a b ≤．17．（满分13分）某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为60海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为600海里，每小时的运输成本由燃料费和其它费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0.5，其余费用为每小时1250元．（1）把全程运输成本y （元）表示为速度x （海里/小时）的函数．（2）为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？【答案】见解析【解析】（1）∵速度为x 海里/小时，航行时间为600x小时，总燃料费为216003002x x x⋅=元，其余费用为6001250x ⨯元，∴750000300y x x =+．（2）∵750000300y x x =+≥ 当且仅当750000300x x=时，等号成立， 50x =，即轮船以50海里/小时速度行驶时，全程运输成本最小．18．（满分14分）设函数ππ()sin sin cos 63f x x x x ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求数()f x 的最小正周期和对称轴方程．（2）锐角ABC △的三个顶点A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若()f A 2a =，b C ∠及边c ．（3）若ABC △中，()1f C =，求2π2cos )4A A B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围．【答案】见解析【解析】（1）∵ππππ()sin sin cos sin cos cos cos sin sin 6633f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11sin cos cos 22x x x x x =++ sin cos x x =+π4x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．()f x 最小正周期2π2π1T ==，对称轴方程：πππ()42x k k +=+∈Z ，ππ()4x k k =+∈Z ．（2）∵π()4f A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴πsin 14A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，ππ2π()42A k k +=+∈Z ，又∵ABC △是锐角三角形， ∴π4A =，又∵222cos 2b c a A bc +-==2a =，b解出1c =1．又∵由正弦定理sin sin a bA B =，∴sin 2sin 2b A B a=== ∴在锐角ABC △中，π3B ∠=， ∴5ππ12C B A ∠=-∠-∠=， ∵在ABC △中，C B A ∠>∠>∠， ∴c b a >>，∴1c ．综上，5π12C ∠=，1c ．（3）∵π()14f c c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πsin 4c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∴ππ2π44c k +=+或3π2π()4k k +∈Z ，在ABC △中， π2C ∠=，又∵2π2cos )4A A B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ []πcos 21(π)4A A C A ⎡⎤⎛⎫=-+--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ππcos 21222A A ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令π22A θ=-，原式cos 1θθ=+1cos 12θθ⎫=+⎪⎪⎭ π2sin 16θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ π2sin 213A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． ∵在ABC △中，ππ2A B C B =--=-， π2B A =-，且π02B <<，π02A <<，代入不等式，解出π02A <<． ∴02πA <<，ππ2π2333A -<-<，πsin 213A ⎛⎫<- ⎪⎝⎭≤，∴π12sin 2133A ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭≤．19．（满分14分）已知关于x 的函数()(0)e xax a f x a -=≠．（1）当1a =-时，求函数()f x 在点(0,1)处的切线方程．（2）设()e ()ln x g x f x x '=+，讨论函数()g x 的单调区间．（3）若函数()()1F x f x =+没有零点，求实数a 的取值范围．【答案】见解析【解析】（1）当1a =-时，1()e xx f x -+=， 2e e (1)112()(e )e ex x x x x x x x f x ---+-+--'===， 002(0)2e f -'==-， ∴12y x -=-，即()f x 在(0,1)处的切线方程为210y x +-=．（2）∵2e e ()()e ln (e )x x xx a ax a g x x --=⋅+ 2ln (0)ax a x a =-++≠，1()g x a x'=-+，当0a <时，()0g x '>在(0,)+∞上恒成立，∴()g x 在(0,)+∞单调递增，当0a >时，令()0g x '>，解得10x a <<，令()0g x '<，解得1x a>， ∴()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞单调递减．（3）∵e ()0e xxax a F x -+==没有零点，即e (1)x a x =--无解，∴1e x y =与2(1)y a x =-+两图象无交点，设两图象相交于(,)m n 点，∴e (1)e m m a m a ⎧=--⎪⎨=-⎪⎩， ∴2m =，2e a =-．∵两图象无交点，∴2(e ,0)a ∈-，20．（满分13分）若函数()f x 满足：集合{}*()|A f n n =∈N 中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数()f x 是等比源函数．（1）判断下列函数：①2y x =；②1y x=；③2log y x =中，哪些是等比源函数？（不需证明）（2）判断函数()21x f x =+是否为等比源函数，并证明你的结论．（3）证明：d ∀，*b ∈N ，函数()g x dx b =+都是等比源函数．【答案】见解析【解析】（1）①当x 取1，2，4时， y 得1，4，16构成等比数列，∴2y x =是等比源函数．②当x 取1，2，4时，y 得1，12，14构成等比数列， ∴1y x=是等比源函数． ③当x 取2，4，16时，y 得1，2，4构成等比数列，∴2log y x =是等比源函数．综上①②③均为等比源函数．（2）函数()21x f x =+不是等比源函数，证明如下：假设存在正整数m ，n ，k ，且m n k <<，是()f m ，()f n ，()f k 成等比数列， ∴2()()()f n f m f k =，2(21)(21)(21)n m k +=++，∴2122222n n m k m k +++=++，等式两边同除以2m ，∴2122212n m n m k k m --+-+=++，又∵1n m -≥，2k m -≥，∴等式左边为偶数，等式右边为奇数， ∴2122212n m n m k k m --+-+=++不可能成立，故假设不成立，∴()21x f x =+不是等比源函数．（3）证明：∵b ∀，n +∈N ，都有(1)()g n g n d +-=， ∴d ∀，b +∈N ，数列{}()g n 都是以(1)g 为首项，公差为d 的等差数列， d ∀，b +∈N ，(1)g ，(1)(1)g d +，2(1)(1)g d +成等比数列， ∴[][](1)(1)(1)(1)11(1)1g d g g d g g +=++-=+， []2(1)(1)(1)2(1)(1)11g d g g g d d +=+++-， []2(1)(1)1g g g d =++∴(1)g ，[](1)1g g +，[]{}2(1)(1)1()|g g g d g n n +++∈∈N ， ∴d ∀，b +∈N ，函数()g x dx b =+都是等比源函数．。

2025届北京北大附中高三第三次测评数学试卷含解析

2025届北京北大附中高三第三次测评数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．48122+B ．60122+C ．72122+D ．842．一个四面体所有棱长都是4，四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（） A ．24πB ．86πC ．433πD ．12π3．已知函数()2121f x ax x ax =+++-（a R ∈）的最小值为0，则a =（）A ．12B ．1-C ．±1D ．12±4．已知等比数列{}n a 满足21a =，616a =，等差数列{}n b 中54b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则9S =（） A ．36B ．72C ．36-D ．36±5．20201i i=-（） A ．22B ． 2C ．1D ．146．函数cos 23sin 20,2y x x x π⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递增区间是（）A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．设()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，0.22log 0.3,log 0.3a b ==，则（） A ．()()(0)f a b f ab f +>> B ．()(0)()f a b f f ab +>> C ．()()(0)f ab f a b f >+> D ．()(0)()f ab f f a b >>+8．1x <是12x x+<-的（）条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要9．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC 的形状为（） A ．直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C ．等腰或直角三角形D ．钝角三角形10．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F ，G ，H 分别为棱1AA 、1CC 、11B C 、11A B 的中点，则下列各直线中，不与平面1ACD 平行的是（）A ．直线EFB ．直线GHC ．直线EHD ．直线1A B11．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A ．B ．C ．D ．12．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线交两渐近线于,M N 两点，与双曲线的其中一个交点为P ，若(,)OP OM ON R λμλμ=+∈，且625λμ=，则该双曲线的离心率为( ) A ．324B ．5212C 53D 56二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市西城35中2025届高考数学三模试卷含解析

北京市西城35中2025届高考数学三模试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量(,1)a m =，(1,2)b =-，若(2)a b b -⊥，则a 与b 夹角的余弦值为（） A ．21313-B ．21313C ．61365-D ．613652．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（） A ．12πB ．3πC ．2πD ．1π3．已知圆锥的高为3，底面半径为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为( ) A ．53B ．329C ．43D ．2594．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点P 是平面1111D C B A 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图的面积之和为（）A ．2B ．3C ．4D ．55．在复平面内，复数z a bi =+（a ，b R ∈）对应向量OZ （O 为坐标原点），设OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：()()cos sin cos sin nnr i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，已知)4z i =，则z =（）A ．B ．4C ．D ．166．方程()()f x f x '=的实数根0x 叫作函数()f x 的“新驻点”，如果函数()ln g x x =的“新驻点”为a ，那么a 满足（）A ．1a =B ．01a <<C ．23a <<D ．12a <<7．已知角α的终边经过点()3,4-,则1sin cos αα+= A ．15-B ．3715C ．3720D ．13158．已知等差数列{}n a 的公差为-2，前n 项和为n S ，若2a ，3a ，4a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，则n S 的最大值为（） A ．5B ．11C ．20D ．259．若集合{}|sin 21A x x ==，,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（） A ．A B A ⋃=B ．R RC B C A ⊆C ．AB =∅D ．R R C A C B ⊆10．己知集合{|13}M y y =-<<，{|(27)0}N x x x =-，则M N ⋃=（） A ．[0,3)B ．70,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．71,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．∅11．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（） A ．a b c +>B ．2ab c >C ．a b2c +> D ．112a b c+> 12．已知角α的终边经过点P(0sin 47,cos 47)，则sin(013α-)=A ．12B C ．12-D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市西城35中2025届数学高三上期末检测模拟试题含解析

北京市西城35中2025届数学高三上期末检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数21()log 1||f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭(lg )3f x >的解集为（）A ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,(10,)10⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(1,10)D ．1,1(1,10)10⎛⎫⋃⎪⎝⎭2．设1tan 2α=，4cos()((0,))5πββπ+=-∈，则tan 2()αβ-的值为（）A ．724-B ．524-C ．524D ．7243．将函数sin 2y x =的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则ϕ的最小值为（） A ．6π B ．12πC ．1112πD ．56π4．已知点P 是双曲线2222:1(0,0,x y C a b c a b-=>>=上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（）A B CD ．25．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( ) A ．αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ B ．//αβ，m β⊥ C ．αβ⊥，//m βD ．n ⊂α，m n ⊥6．设复数z 满足31ii z=+，则z =（）A ．1122i + B ．1122-+i C ．1122i - D ．1122i -- 7．己知函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩的图象与直线(2)(0)y m x m =+>恰有四个公共点()()()()11123344,,,,.,,,A x y B x y C x y D x y ，其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=（） A ．1-B ．0C ．1D ．222+ 8．()2523(2)x x x --+的展开式中，5x 项的系数为（） A ．－23B ．17C ．20D ．639．已知双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( ) A ．21+ B ．31+C ．2D ．510．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．11．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．12．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．10102021二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京三十五中高三数学综合提高测试题(1)理北师大版

2011-2012北京三十五中高三数学综合提高测试一 (理)一、选择题1、设直线x m =与函数3()f x x =，()ln g x x =的图象分别交于点M 、N ，则||MN 的最小值A ．1(1ln 3)3+B ．1ln 33C ．1(1ln 3)3- D ．ln 31-2、在ABC ∆中，,,a b c 为C B A ∠∠∠,,的对边，且1)cos(cos 2cos =-++C A B B ，则（）A ．c b a ,,成等差数列B ．b c a ,,成等差数列C ．b c a ,,成等比数列D ．c b a ,,成等比数列3、函数32()393,f x x x x =--+若函数()()[2,5]g x f x m x =-∈-在上有3个零点，则m的取值范围为（）A ．()-24,8B ．(]-24,1C ．[1,8]D ． [)1,84.已知321,,a a a 为一等差数列，321,,b b b 为一等比数列，且这6个数都为实数，则下面四个结论：①21a a <与32a a >可能同时成立； ②21b b <与32b b >可能同时成立； ③若021<+a a ，则032<+a a ； ④若021<⋅b b ，则032<⋅b b其中正确的是A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③二、填空题5.设,x y 满足约束条件3123x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩≥≥≤，若目标函数(0,0)x y z a b a b =+>>的最大值为10，则54a b + 的最小值为．6.已知椭圆22:12x C y +=的两焦点为12,F F ,点00(,)P x y 满足2200012x y <+<,则|1PF |+2PF |的取值范围为，直线0012x xy y +=与椭圆C 的公共点个数 . 7.已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则n an的最小值为 .8.已知以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点,A B 满足3AF FB =,则弦AB 的中点到准线的距离为 . 三、解答题9.若1212()x x x x ≠、是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点．（Ⅰ）若121,13x x =-=，求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）若12x x +=，求b 的最大值；（Ⅲ）若13-为函数()f x 的一个极值点，设函数()()13g x f x ax a '=--，当1,3x a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时求()g x 的最大值．宣武一模20已知数列}{n a 满足11=a ，点),(1+n n a a 在直线12+=x y 上. （I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）若数列}{n b 满足),2(111,*12111N n n a a a a b a b n n n ∈≥+++==-且求11)1(+++-n n n n a b a b 的值；（III ）对于（II ）中的数列}{n b ，求证：n n b b b b b b 2121310)1()1)(1(<+++10.抛物线2:C y x =，过定点()0,0A x 01()8x ≥，作直线l 交抛物线于,P Q （点P 在第一象限）.（Ⅰ）当点A 是抛物线C 的焦点，且弦长2PQ =时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设点Q 关于x 轴的对称点为M ，直线PM 交x 轴于点B ，且BQ BP ⊥.求证：点B 的坐标是0(,0)x -并求点B 到直线l 的距离d 的取值范围.2011-2012北京三十五中高三数学综合提高测试一（理）答案一、选择题1、A ．2、D ．3、D ．4、由等差数列知21232()(),a a a a d --=-3212()2a a a a d d +=++（为公差），故①③均不正确，由等比数列q （为公比）知231b b q =知④正确，当10,0b q ><时②正确，故选B二、填空题5.86.依题意知，点P 在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得，当P 在原点处时12max (||||) 2 PF PF +=，当P 在椭圆顶点处时，取到12max (||||)PF PF +为1)+，故范围为[.因为00(,)x y 在椭圆2212x y +=的内部，则直线012x x y y ⋅+⋅=上的点（x, y ）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.7.a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2) +…+(a 2-a 1)+a 1=2[1+2+…(n -1)]+33=33+n 2-n所以331n a n n n =+-，设()f n =331n n +-，令'()f n =23310n-+>，则()f n在)+∞上是单调递增，在上是递减的，因为n∈N +,所以当n =5或6时()f n 有最小值。

北京市第三十五中学高三数学上学期期中试题理

年度第一学期期中试卷120分钟. I 卷为选择题，包括一个大题，共10个题.I 卷40分。

每小题只有一个正确选项，请选择正确答1{}42≥∈=x x R ，则=B A I {}322<≤-≤x x x 或 D. R 2; ”的否定. 3*n N ∈，都有1n n a a +>，则实数k 的取值．k >1 D ．k >04x x cos sin 22=，则下列结论正确的是成中心对称 4π成轴对称 5(1)(1)f x f x -=+成立，则()y f x = x =1对称 2的周期函数 6A B C D7．,a r b r 为非零向量，“函数2()()f x ax b =+r r 为偶函数”是“a b ⊥r r ”的A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件8．函数()cos x f x e x =的图象在点(0, f (0))处的切线的倾斜角为 A ．0 B ．4πC ．1 D ．2π 9．若0,04a b a b >>+=，且，则下列不等式恒成立的是 A ．114ab≤B ．1114a b +≤ C ．2ab ≥D ．228a b +≥10．对于定义域和值域均为[0，1]的函数f (x )，定义1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，1()(())n n f x f f x -=，n =1，2，3，…．满足()n f x x =的点x ∈[0，1]称为f 的n 阶周期点．设12,0,2()122,1,2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩则f 的n 阶周期点的个数是 A. 2n B. 2(2n -1) C. 2nD. 2n2II 卷二、选择题（共6个小题，每题5分，共30分。

请将正确答案填在答题纸相应的题号处） 11．如右图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α=12．已知点P (1,- 2)及其关于原点对称点均在不等式210x by -+>表示的平面区域内，则实数b13．已知平面向量a ，b 的夹角为60°，=a ，||1=b ，则⋅a b =1，|2|+=ab 14．函数3()2x f x e x =+-在区间(0,1)内的零点个数是 __________.115．已知函数221,0()2,0x x f x x x x -⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，若2(2)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是12a -<< Aαxy O16．已知函数：①，②，③.对如下两个命题：命题甲：在区间上是增函数；命题乙：在区间上恰有两个零点，且.能使甲、乙两个命题均为真的函数的序号是____________.○1○2三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 17.（本小题共12分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项和为180，S n =324（n >6）（Ⅰ）求数列的项数n ；（Ⅱ）求910a a +的值及数列的通项公式解：（1）依题意得：1261516()36180(())n n n n a a a a a a a a --=+=++++++++L L ………3分136n a a ⇒+=………1分1()3242n n n a a S +==⇒18n =………2分（2）118910a a a a ++==36………2分11181613(25)362,1217a S a d d a a a d =+=⇒==+=+且………3分所以21n a n =-………1分 18．（本小题满分13分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2+c 2-a 2=bc ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）设函数2cos2cos 2sin 3)(2xx x x f +=, 求()f B 的最大值，并判断此时△ABC 的形状．解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b 2+c 2-a 2=bc ，由余弦定理a 2= b 2+c 2-2bc cos A 可得cos A =12． (余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分)……3分∵ 0<A <π，（或写成A 是三角形内角）……………………4分5分2cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=311sin cos 222x x =++……………………7分 1sin()62x π=++，……………………9分∵3A π=∴2(0,)3B π∈∴5666B πππ<+<（没讨论，扣1分）…………………10分∴当62B ππ+=即3B π=时()f B 有最大值是23．……………………11分又∵3A π=，∴3C π=∴△ABC 为等边三角形．……………13分19．（本小题满分13分）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y （万元）与年产量x （吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为210吨。

北京市第三十五中学2024-2025学年高三上学期开学检测数学试卷

北京市第三十五中学2024-2025学年高三上学期开学检测数学试卷一、单选题1．设集合{}1,0,1A =-，{}22B x x x =-<，则集合A B =I （） A ．{}1,0,1- B ．{}1,0- C ．{}0,1 D ．{}1,1- 2．设23z i =-+，则在复平面内z 对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．在()312x -的展开式中，x 的系数为（）A ．2-B ．2C ．6-D ．64．某地区居民血型的分布为O 型49%,A 型19%,B 型25%,AB 型7%.已知同种血型的人可以互相输血，O 型血的人可以给任何一种血型的人输血，AB 型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血.现有一血型为A 型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则能为该病人输血的概率为（）A ．19%B ．26%C ．68%D ．75% 5．下列函数中，在区间()0,∞+上为增函数的是（）A ．y x =-B ．22y x x =-C ．sin y x x =-D ．1y x x =+ 6．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2log f x x =，则()4f -=（）A ．12B ．2C ．12-D ．2- 7．若133142log 2,log 2,2a b c -===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a 8．已知0a >且1a ≠，则“12a >且1a ≠”是“log 21>-a ”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 9．已知函数()1ln 1x f x x+=-，则（）A ．()f x 在()1,1-上是减函数，且曲线()y f x =存在对称轴B ．()f x 在()1,1-上是减函数，且曲线()y f x =存在对称中心C ．()f x 在()1,1-上是增函数，且曲线()y f x =存在对称轴D ．()f x 在()1,1-上是增函数，且曲线()y f x =存在对称中心10．已知函数()2log ,021,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，实数,,a b m 满足a m b ≤≤.若对任意的m ，总有不等式()3f m m +≤成立，则b a -的最大值为（）A ．83B ．103C ．4D ．6二、填空题11．函数()()ln 2f x x =+.12．已知函数()()222log log 1f x x x =--，则()f x 的定义域是；()f x 的最小值是. 13．某学校有A ，B 两家餐厅，甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第一天去A 餐厅，那么第二天去A 餐厅的概率为0.6；如果第一天去B 餐厅，那么第二天去A 餐厅的概率为0.8．则甲同学第二天去A 餐厅用餐的概率为；14．已知等比数列{}n a 满足：0n a >，465a a +=，351a a =，则公比q =，12n a a a L 的最小值为.15．函数()21e x y kx =+的图象可能是.三、解答题16．已知函数()2ex x f x =，()222e x x x g x ax ++=-+. (1)()f x '=______，()g x '=______；(2)()f x 的极小值点为______，极小值为______；(3)()f x 的极大值点为______，极大值为______；(4)画出函数()f x 的图象草图：(5)若方程()f x m =恰好有2个解，则实数m =______；(6)若()g x 在R 上单调，则实数a 的取值范围是______；(7)若函数()g x 存在极值，则极值点的个数可能为______.（写出所有可能）17．科学家发现某种特别物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （时间：分钟）的变化规律满足关系式：122x x y m -=⋅+（04x ≤≤，0m >）.（1）若2m =，求经过多少分钟，该物质的温度为5摄氏度；（2）如果该物质温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围.18．为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的（1）班~（8）班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（x 轴表示对应的班号，y 轴表示对应的优秀人数）：(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，试估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；(2)若从高一（2）班抽测的10人中随机抽取2人，从高一（4）班抽测的10人中随机抽取1人，设X 表示这3人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求2X =的概率；(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“1k ξ=”表示第k 班抽到的这名同学身体素质优秀，“0k ξ=”表示第k 班抽到的这名同学身体素质不是优秀()1,2,,8k =L .写出方差()1D ξ，()2D ξ，()3D ξ，()4D ξ的大小关系（不必写出证明过程）. 19．已知函数()()ln 1f x x a x a =--∈R .(1)若曲线y =f x 在点 1,0 处的切线为x 轴，求a 的值；(2)讨论()f x 在区间 1,+∞ 内的极值点个数；(3)若2a =，求证：()f x 存在两个零点()1212,x x x x <，且满足124x x <.20．已知函数()()222ln 0f x a x x a =+≠.(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当0a >时，求函数()f x 的极值点；(3)当0a <时，若函数()f x 无零点，求a 的取值范围. 21．首项为0的无穷数列{}n a 同时满足下面两个条件： ①1n n a a n +-=；②12n n a -≤ (1)请直接写出4a 的所有可能值；(2)记2n n b a =，若1n n b b +<对任意*n N ∈成立，求{}n b 的通项公式；(3)对于给定的正整数k ，求12...k a a a +++的最大值．。

—北京35中高三数学综合测试二(理)新人教版

2009—2010北京三十五中高三数学综合测试二（理）一、选择题1．已知集合{}2|1A x x =<，集合{}2|log 0B x x =<，则A B =I ( ) A.()0,1 B.()1,0- C.()1,1- D. (),1-∞2. 函数13-=x y 的定义域为[]2,1-，则其值域为（）A. []8,2B.[]8,1C. []8,0D. []8,1- 3.下列四个命题中的真命题为（）A ．0x ∃∈Z ，0143x <<B ．0x ∃∈Z ，0510x +=C ．x ∀∈R x ，210x -=D ．x ∀∈R x ，220x x ++> 4. 在平面直角坐标系中，若点(2,)t -在直线240x y -+=的上方，则t 的取值范围是（）A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(1,)-+∞D ．(0,1)5．已知)2,1(-=a，),2(λ=b ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）A ．(),1-∞B ．()0,1C ．()1,+∞D ．()(),44,1-∞--6. 某框图如图所示，若输出S 的值为2-，则输入的n 是（）A ．10B ．9C ．100D ．997. 已知函数31()3f x x x =+，则不等式2(2)(21)0f x f x -++>的解集是（）A.()),11,-∞+∞UB.()1C.()(),13,-∞-+∞UD. ()1,3- 8.在区间[]0,1上任取两个实数a 、b ，则函数31()3f x x ax =+在区间()1,1-上有且仅有一个零点的概率为（）A. 19B. 29C. 79D. 89二、填空题 9．若a,=则a = .10．设66221024)1()1()1()12()1(-++-+-+=++x a x a x a a x x ，则6210a a a a ++++ 的值为 . 11．若(nax +的展开式共有6项，并且2x 项的系数为10，则n = .实数a = 12.如图,PA 切圆O 于A ，割线PBC 经过圆心O ，将OA 绕点O 顺时针旋转060到D ，设1OB PB ==，则POD V 的面积等于 13.设曲线C 的极坐标方程为θρcos 2= )0(>ρ，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-==2t y tx （t 为参数），则曲线C 与直线l 交点的直角坐标 . 14、已知函数()y f x =满足()(2),(1)(1f x f x f x f x =++=-，当[0,1]x ∈时，1()2x f x -=，则(99.5)f = . 三、解答题15.甲、乙两位同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取⑴ 现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由；DABCOP⑵ 若将频率视为概率，对乙同学在今后的3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为X ，求X 的分布列及数学期望EX .16．已知：四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面A B C D ,底面A B C D 是菱形, 且2PA AB ==,060ABC ∠=,BC 、PD 的中点分别为E 、F .⑴ 求证BC PE ⊥⑵ 求二面角F AC D --的余弦值⑶ 在线段AB 上是否存在一点G ，使得AF ||平面PCG ?若存在指出G 在AB 上位置并给以证明，若不存在，请说明理由.17．设a R ∈，函数2()()x f x e a ax x -=+- （e 是自然对数的底数） ⑴ 若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程 ⑵ 判断()f x 在R 上的单调性B18．已知两点(0,1)M (0,1)N -，平面上动点(,)P x y 满足||||0NM MP MN NP ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r⑴ 求动点(,)P x y 的轨迹C 的方程；⑵ 设(0,)Q m ，(0,)R m -（0m ≠）是y 轴上两点，过Q 作直线与曲线C 交于A 、B 两点，试证：直线RA 、RB 与y 轴所成的锐角相等；⑶ 在Ⅱ的条件中，若0m <，直线AB 的斜率为1，求RAB V 面积的最大值.19．在数列{}n a 、{}n b 中，已知16a =，14b =，且n b 、n a 、1n b +成等比数列，n a 、1n b +、1n a +成等差数列，（n N +∈）⑴ 求2a 、3a 、4a 及2b 、3b 、4b ,由此猜想{}n a 、{}n b 的通项公式，并证明你的结论； ⑵ 证明：1122331111720n n a b a b a b a b +++⋅⋅⋅+<++++.2009—2010北京三十五中高三数学综合测试二（理）答案一、选择题1.A2. C3. D4. B5.D6. D7.D8.B二、填空题9.5,1；13．()1,1-，()2,0三、解答题15．（本小题共13分）解：Ⅰ.本小题的结论唯一但理由不唯一，只要考生从统计学的角度给出其合理解答即可得分。

北京市第三十五中学2022届高三2月月考数学试卷(解析版)

给出下列四个结论：①若点，点，则；
②到点的“出租车距离”不超过的点的集合所构成的平面图形面积是；
③若点，点是抛物线上的动点，则的最小值是；
④若点，点是圆上的动点，则的最大值是 .
其中，所有正确结论的序号是______________.
【15题答案】
【答案】①③④
【解析】
（1）写出使函数有意义的不等式（组）；
（2）解不等式（组）；
（3）写出函数的定义域（注意用区间或集合的形式写出）
2、求函数定义域的主要考虑如下：
（1）不为零：即分式的分母、负指数幂和零指数幂的底数不能为零；
（2）非负：即偶次方根的被开方式其值非负；
（3）大于零：对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.
（4）特殊位置：正切函数，
（5）实际问题或几何问题：除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；
（6）复合函数定义域，本着内层函数的值域为外层函数定义域的原则求得定义域；
（7）组合函数：取各个基本函数定义域的公共部分.
12. 展开式中的系数为___________.（用数字作答）
北京市第三十五中学2021-2022年度第二学期2月月考
高三数学2022 2
I卷
一．选择题（共10个小题，每题4分，共40分）
1.在复平面内，复数对应的点位于（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【1题答案】
【答案】B
【解析】
【详解】，
∴复数对应的点位于第二象限
故选B
点睛：复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．
11.函数的定义域为_______________.

2024-2025学年北京市西城区第三十五中学高三上学期10月月考数学试题(含答案)

2024-2025学年北京市西城区第三十五中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|−1≤x≤2},B={x|x2−3x−4<0,x∈Z}，则A∩B=( )A. {0,1}B. {x|−1≤x<1}C. {0,1,2}D. {x|−1<x≤2}2.已知a=3−2,b=tan2,c=log23，则( )A. a>b>cB. a>c>bC. b>c>aD. c>a>b3.下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是A. f(x)=x3B. f(x)=lg|x|C. f(x)=−xD. f(x)=cos x4.在(1x−x2)6的展开式中，常数项是( )A. −20B. −15C. 15D. 305.已知函数f(x)=e|x|−e−|x|，则函数f(x)( )A. 是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增B. 是奇函数，且在(0,+∞)上单调递减C. 是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增D. 是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减6.阅读下段文字：“已知2为无理数，若(2)2为有理数，则存在无理数a=b=2，使得a b为有理数；若(2)2为无理数，则取无理数a=(2)2，b=2，此时a b=((2)2)2=(2)2⋅2=(2)2 =2为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是( )A. (2)2是有理数B. (2)2是无理数C. 存在无理数a，b，使得a b为有理数D. 对任意无理数a，b，都有a b为无理数7.若点M(sin5π6,cos5π6)在角α的终边上，则tan2α=( )A. 33B. −33C. 3D. −38.已知函数f(x)=ln x+ax，则“a<0”是“函数f(x)在区间(1,+∞)上存在零点”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v(单位：m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q.科学研究发现v与log3Q100成正比.当v=1m/s时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900.当v=2m/s时，其耗氧量的单位数为( )A. 1800B. 2700C. 7290D. 810010.已知各项均为整数的数列{a n}满足a1=1,a2=2,a n>a n−1+a n−2(n≥3,n∈N∗)，则下列结论中一定正确的是( )A. a5>20B. a10<100C. a15>1000D. a20<2000二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

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