追击问题初探

追击问题初探
王志刚
农垦佳木斯学校,黑龙江省佳木斯市154007 追及是运动学在研究同一直线上两个物
体的运动常常涉及的问题,也是匀变速直线运动
规律在实际中的具体应用。

追及的主要条件
是两个物体追赶过程中处在同一位置。

这类问题
是运动学中较难的问题,在考察运用数学工具处
理物理问题能力方面有较高要求,高考中时有涉
及。

1 追及问题类
1.1 做匀速运动的物体追做匀加速运动的物
体
模型1 甲、乙两个质点,相距为S,乙在前,
甲在后,沿着同一条直线,向同一个方向同时开
始运动,甲以速度v做匀速运动,乙由静止开始
以加速度a做匀加速运动,试研究在什么情况下
甲才能追上乙?什么情况下乙再追上甲?
析与解 在时间t内,甲、乙的位移分别为
S1=vt,S2=1
2
at2
甲追上乙,甲、乙相遇。

应有S1-S2=S
1
2
at2-vt+S=0则
at2-2vt+2S=0
这是关于时间t的一元二次方程,解此方程,得
t=2v!4v2-8aS
2a
=v
a
!(v
a
)2-
2S
a
由此可见:
(1)当(v
a
)2-
2S
a
<0即v<2aS,v2<
2aS方程无解,表示甲的匀速运动的速度小于2aS,它不可能追上乙。

(a t=v,甲、乙两物体
速度相等时,相距最近S m in=S-v2 2a )
(2)当(v
a
)2-
2S
a
=0,即v=2aS,v2=
2aS,方程有一个解:t=v
a
(3)当(
v
a
)2-
2S
a
>0,即v>2aS,v2>
2aS,方程有两个解:t1=
v
a
-(
v
a
)2-
2S
a
,
t2=
v
a
+(
v
a
)2-
2S
a
,显然t2>t1,t1时刻,甲
的速度大小乙的速度,甲追上乙并超过乙,t2时
刻乙的速度大于甲的速度,乙追上甲,乙又超过
甲,然后乙的速度大于甲的速度。

(4)在特殊情况下,S=0甲、乙从同一点开
始向同一方向运动,则vt-
1
2
a t2=0。

即t(2v-
a t)=0,得t1=0,t2=2(
v
a
)只能相遇一次,是
乙追上甲,此时匀加速运动的物体的速度等于匀
速运动的物体速度的2倍。

(当t=
v
a
,两物体速
度相等时,相距最远S max=
v2
a
)
1.2 匀加速运动物体追做匀速运动的物体
模型2 甲、乙两个质点,相距S,乙在前,甲
在后,沿着同一条直线,向同一个方向,同时开始
运动,乙以速度v做匀速直线运动,甲由静止开
始以加速度a做匀加速直线运动,讨论:(1)甲
经多少时间追上乙?(2)甲追上乙时速度有多
大?(3)甲追上乙之前,何时相距最大?相距的最
大距离是多少?
分析与解 (1)在时间t内,甲、乙位移分别
为:S1=
1
2
at2,S2=vt
甲追上乙应有S1-S2=S,
1
2
at2-vt=S
即a t2-2vt-2S=0
这是关于时间t的一元二次方程,解这个方
程,可得:t=
v
a
!(v
a
)2-
2S
a
由于时间t<0无意义,可见问题只有唯一
解,t=
v
a
+(
v
a
)2-
2S
a
(下转第52页)
三、计算题
21.一质点从静止开始作直线运动,第1s 内以加速度a =1m /s 2
运动,第2s 内加速度a '=-1m /s 2
,第3s 又以a =1m /s 2
运动,第4s 内加速度a '=-1m /s 2
,如此反复,经100s 此质点的总位移多大?
22.甲车以加速度3m /s 2
由静止开始作匀加速直线运动,乙车落后2s 钟在同一地点由静止开始,以加速度4m /s 2
作匀加速直线运动,两车的运动方向相同,求:
(1)在乙车追上甲车之前,两车距离的最大值是多少?
(2)乙车出发后经多长时间可追上甲车?此时它们离开出发点多远?
(上接第46页)
(2)甲追上乙,甲的速度v ∀=at =v +
v 2
+2aS >2v
(3)甲追上乙之前,甲、乙相距 S =(vt+S )-12at
2
=-12
at 2
+vt +S =-a 2(t-v a )2+(v 2
2a +S )
可见当t =v
a 时, S 有最大值,
即 S m a x
=v 2
2a
+S 讨论:(1)在t =
v
a
时,甲、乙相距最远。

该时刻甲的速度v 1=at =v 2,甲与乙的速度相等。

这个讨论十分重要,而且很有实际应用价值。

(2)当S =0,即甲和乙同时从同一地点开始向同一方向运动。

则唯一解是t =2(v a ),甲追
上乙时,甲的速度(v ∀=2v)是乙的速度值的2倍,在甲追上乙之前,在t =
v
a
时刻,它们相距最远,最大距离 S max =v 2
2a
,该时刻甲与乙的速度
相等。

1.3 匀减速运动物体追赶匀速的物体
模型3 甲、乙两物体沿同一条直线向同一方向运动,速度分别为v 10、v 20,且乙在前,甲在后;当它们相距S 时,甲以大小为a 的加速度做匀减速运动。

试分析研究,在什么条件下,甲才会撞上乙?(或甲才不会撞上乙)
分析与解 甲开始减速t 秒内的位移为S 1=v 10t-12
a t 2
在相同时间内乙的位移S 2=v 20t 甲撞上乙时应有S 1=S 2+S,则(v 10t -12
at 2
)-v 20t =S a t 2
-2(v 10-v 20)t+2S =0解此方程得:t =
v 10-v 20
a
!(
v 10-v 20a )2-2S
a
由此方程,甲在后,甲撞上乙时甲的速度大于乙的速度,
即v 10-at >v 20,t <
v 10-v 20
a
,所以符合题意的解只能有一个t =
v 10-v 20
a
-(
v 10-v 20a )2-2S
a
要这个解有意义,须满足条件(
v 10-v 20a )2-2S
a
#0
只有(v 10-v 20)#2aS,甲才能撞上乙。

讨论:若(v 10-v 20)<
2aS,甲才不会撞上乙,两者之间距离 S =S 乙+S -S 甲
即 S =v 20t +S -(v 10t -
12
at 2
)=12a(t -v 10-v 20a )2+S -(v 10-v 20)2
2a 当t =
v 10-v 20
a ,此时甲的速度v 1=v 20时,甲、乙速度相等时,相距最近
S m in
=S -(v 10-v 20)
2
2a
2 解追及问题的思路
解题基本思路是:(1)根据两个物体运动过程的分析,画出物体的运动示意图。

(2)根据两物体的运动性质,分别列出两物体的位移方程。

注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中。

(3)由运动示意图找出两物体位移关联方程。

(4)联立方程求解。