4.1对弧长的曲线积分

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对弧长的曲线积分

都有 f (x, y) K.
函数f (x, y)在L上连续：＞０，＞０，当点(x, y), (x0 , y0 ) L,且 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，总有 f (x, y) f (x0 , y0 ) . (5)可积性．若函数 f (x, y)在有限长光滑曲线 L上连续，则
B,
第i段弧M
i
1
M
的长度记为
i
si
,
(i
1,, n).
n
任取点(i ,i ) M i1M i ,作积分和 I n f (i ,i )si ,并令
max
1in
si
.如果无论如何分割，无论如何i取1 点，极限
n
lim
0
i 1
f (i ,i )si
存在，则称此极限值为函数f (x, y)在曲线L上的对弧长的曲线
圆关于平面z y对称，关于平面 z x对称,关于平面y x对称,
故 x2ds y 2ds z 2ds 1 (x2 y 2 z 2 )ds 1 a2ds
L
L
L
3L
3L
2 a3.
3
例28.4 计算I L xds,其中L为双纽线
(x2 y2) 2 a2(x2 y2) (a 0)
L
L
a
(4)若光滑曲线 L : x x( y), y [c, d], f (x, y)在L上连续，则
f (x, y)ds
f (x( y), x)ds
d
f (x( y), y)
1 x2 ( y)dy.
L
L
c
(5)若光滑曲线 L : r r( ), [, ], f (x, y)在L上连续，则
其中, i [ti1, ti ], i 1,2,, n.

(整理)对弧长的曲线积分.

对弧长的曲线积分一、概念的引进假设xoy 面内有一段曲线弧L 具有质量,在L 上任一点(,)x y 处的线密度为ρ(,)x y ,且ρ(,)x y 在L 上连续,A 与B 分别是弧L 的端点,现计算弧L 的质量m 。

在L 上任意地插入n +1个分点A M M M M M MB i i n n ==--0111,,,,,,,将L 分划成n 个小弧段。

对于第 i 个小弧段弧M i M i -1,由于线密度函数ρ(,)x y 在L 上连续,当该小弧段的长度充分小时,它的质量近似地等于ρξηξη(,)(,),i i ii i M i M i s i M i M i s ∆∆∀--弧表示弧的长度11于是,整个曲线弧L 的质量近似值为m s i i ii n≈⋅=∑ρξη(,)∆1用λ表示这n 个小弧段长度的最大者, 即λ=≤≤max {}1i ni s ∆为了得到质量m 的精确值,只需对上述和式取极限,令λ→0,即m s i i ii n=⋅→=∑lim (,)λρξη01∆ (1)撇开上例的物理意义,我们引入对弧长的曲线积分的概念。

【定义】设L 为xoy 面内的一条光滑曲线弧,函数f x y (,)在L 上有界,在L 内任意地插入n +1点,A M M M M M MB i i n n ==--0111,,,,,,,它把L 分成n 个小弧段,设第i 个小段弧M i M i -1的长度为∆s i ,(,)ξηi i 为弧M i M i -1上任取的一点,记λ=≤≤max {}1i ni s ∆作和式 f s i i ii n(,)ξη⋅=∑∆1如果极限 lim (,)λξη→=⋅∑01f s i i ii n∆ 存在,这个极限值就叫做函数f x y (,)在曲线弧L 上对弧长的曲线积分,记作f x y dsL(,)⎰。

亦即 f x y ds f s L i i i i n(,)lim (,)⎰∑=⋅→=λξη01∆其中:f x y (,)叫做被积函数, L 叫做积分弧段。

第一节对弧长的曲线积分

, 对区域
应用格
记 L 和 l ¯ 所围的区域为
林公式 , 得
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 ,
在D 内
具有一阶连续偏导数,
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分
(3)
(4) 在 D 内每一点都有
与路径无关, 只与起止点有关.
(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧
(2) 用L－表示 L 的反向弧 , 则
则
定积分是第二类曲线积分的特例.
说明:
对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !
二、对坐标的曲线积分的计算法
定理:
在有向光滑弧 L 上有定义且
L 的参数方程为
则曲线积分
连续,
证明: 下面先证
存在, 且有
对应参数
1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且
则
即
同理可证
①
②
①、②两式相加得:
2) 若D不满足以上条件,
则可通过加辅助线将其分割
为有限个上述形式的区域 , 如图
证毕
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
格林公式
例如, 椭圆
所围面积
例1.
设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
沿直
求 F 所作的功 W.
已知 F 的方向指
一质点在力场F 作用下由点
2. 设曲线C为曲面
与曲面
从 O x 轴正向看去为逆时针方向,
(1) 写出曲线 C 的参数方程 ;
(2) 计算曲线积分
解: (1)
(2) 原式 =

对弧长的曲线积分

对弧长的曲线积分曲线积分是微积分中的一个重要概念，它在物理、工程学以及数学中都有广泛的应用。

本文将重点讨论对弧长的曲线积分，以及其在实际问题中的意义和计算方法。

一、对弧长的曲线积分的概念对弧长的曲线积分是指在一条曲线上的某个定点到另一定点的路径上，对曲线上的某个物理量在路径上的积分运算。

这个物理量可以是向量场、标量场或者其他更一般的场。

在二维空间中，对弧长的曲线积分可以表示为：∮(Pdx+Qdy)其中，P和Q是曲线上的某个向量场的分量。

在三维空间中，对弧长的曲线积分可以表示为：∮(Pdx+Qdy+Rdz)其中，P、Q和R分别是曲线上的某个向量场的分量。

二、对弧长的曲线积分的意义对弧长的曲线积分可以用于描述物理量在曲线上的累积变化。

例如，在电磁场中，对弧长的曲线积分可以用于计算沿着路径的电场强度变化，从而求解电场对电荷的做功。

此外，对弧长的曲线积分还可以用于计算力场对物体所做的功。

例如，在物体受到重力场作用下沿一条曲线移动时，对弧长的曲线积分可以用于计算重力场对物体的功。

三、对弧长的曲线积分的计算方法对弧长的曲线积分的计算方法与路径的参数化有关。

一般而言，我们需要先将曲线进行参数化，然后根据参数化得到的表达式来计算积分。

在二维空间中，如果曲线的参数化方程为x=t，y=f(t)，那么对弧长的曲线积分可以表示为：∫(P(t)x'(t)+Q(t)y'(t))dt，其中x'(t)和y'(t)分别表示参数化方程的偏导数。

在三维空间中，如果曲线的参数化方程为x=r(t)，y=s(t)，z=g(t)，那么对弧长的曲线积分可以表示为：∫(P(t)r'(t)+Q(t)s'(t)+R(t)g'(t))dt，其中r'(t)，s'(t)和g'(t)分别表示参数化方程的偏导数。

需要注意的是，对弧长的曲线积分的计算过程中，参数化的选取会影响最终的结果。

对弧长曲线积分课件

对弧长的曲线积分的结果是一个标量，与积分路径无关，只与起点和终点有关。
02 对弧长的曲线积分性质
线性性质
总结词
线性性质是指对弧长的曲线积分满足线性运算规则，即对弧长的曲线积分可以按照线性组合进行计算。
详细描述
对于两个或多个函数的线性组合，其对应的对弧长的曲线积分等于各函数对弧长的曲线积分的线性组合。即，如果 $f(x) 和 g(x)$ 是定义在同一直线上的函数，那么 $(f(x) + g(x))$ 的对弧长的曲线积分等于 $f(x)$ 的对弧长的曲线积分加上 $g(x)$ 的对弧长的曲线积分。
要点二
平面曲线的面积
通过计算平面曲线围成的区域的面积，可以利用曲线积分的方法。这种方法在几何学、物理学等领域有广泛应用。
平面曲线的曲率和挠率
平面曲线的曲率
曲率描述了曲线在某一点的弯曲程度。通过计算弧长曲线积分，可以得到曲线的曲率。这对于分析曲线的形状和性质具有重要意义。
平面曲线的挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的变化率，即曲线在某一点的倾斜程度。通过计算弧长曲线积分，可以得到曲线的挠率。这对于研究曲线的全局几何特征具有重要意义。
积分区间的可加性
总结词
积分区间的可加性是指对弧长的曲线积分可以在不同的区间上分别计算，然后再相加。
详细描述
如果函数 $f(x)$ 在两个不重叠的区间 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上有定义，那么 $f(x)$ 在整个区间 $[a, b] cup [c, d]$ 上的对弧长的曲线积分等于在 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上的对弧长的曲线积分之和。
03 对弧长的曲线积分的应用
平面曲线的长度
总结词
对弧长的曲线积分可以用来计算平面曲线的长度。

对弧长和曲线积分

则 f (x, y, z)ds
f ((t) , (t),(t) )
2 (t) 2 (t) 2 (t) d t
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例1. 计算
其中 L 是抛物线
与点 B (1,1) 之间的一段弧 .
解: L : y x2 ( 0 x 1)
1
0 x
1
x
1 4x2 dx
0
（k 为常数)
(3) f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds
1
2
( 由
组成)
( l 为曲线弧的长度)
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4、几何与物理意义
(1) 当( x, y)表示 L的线密度时,
M L ( x, y)ds ;
(2)
o
x
4 4 r cos
r 2 ( ) r2 ( ) d
0
4 4 a2 cos d 0
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例4. 计算曲线积分线
解: (x2 y2 z2 ) ds
其中为螺旋的一段弧.
a2 k 2 2 [a2 k 2t 2]d t 0
2 a2 k 2 (3a2 4 2k 2 )
解:
d
Fx
k
ds
R2
cos
(x, y)
d
Fy
k
ds
R2
sin
2k sin cos
R
0
Fy
2k R
0
sin
d
2k R
cos
sin
0
故所求引力为 F 4k , 2k
RR
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对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分

对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分
对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分是两种不同的积分方法，它们有不同的积分公式和不同的应用场景。

1. 对弧长的曲线积分：
对弧长的曲线积分也被称为第一类曲线积分，它是对弧长进行积分的一种方法。

这种积分方法可以求得曲线段上变力所做的功。

在这种方法中，我们假设线段在每一点的线密度为
f(x,y)，那么在这段线段上任意一点的附近取一个微小弧长ds，则有ds与dx、dy满足勾股定理。

在这种情况下，我们可以将
力F分解为两个分量，即沿着x轴的分力和沿着y轴的分力，它们分别记为P和Q。

这样，力F所做的功就可以分解为沿着
x轴和y轴的两个分量分别所做的功，再将它们相加即可得到
总功。

2. 对坐标的曲线积分：
对坐标的曲线积分也被称为第二类曲线积分，它是对坐标进行积分的一种方法。

这种积分方法可以求得沿着曲线段的功。

在这种方法中，我们将曲线段看作是由许多微小的线段组成的，然后对每一段微小的线段进行积分。

在线段上每一点，我们都有P=Fcosα，Q=Fcosβ，其中F是与x轴夹角为α，与y轴夹
角为β的力。

这样，我们就可以将力F分解为两个分量，即沿着x轴的分力和沿着y轴的分力，它们分别记为P和Q。

然后，我们可以将沿着x轴和y轴的两个分量分别与坐标x和y相乘，再将它们相加即可得到总功。

总之，对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分是两种不同的积分方法，它们有不同的积分公式和不同的应用场景。

在解决实际问题时，我们需要根据具体场景选择合适的积分方法。

第一节对弧长的曲线积分

计算曲线积分？
例2 计算L 的一段弧．
y d s, 其中L是抛物线 y x2 上从点O(0,0)到点B(1,1)
解曲线的方程为yx2 (0x1)，因此

L
y ds
1
0 1
x 2 1 ( x 2 ) 2 dx
2
1 x 1 4 x dx (5 5 1) ． 0 12 y
A f ( x, y )ds
C
z
z f ( x, y)
y
C
si
x
５．对弧长的曲线积分的性质：
(1)、 L [ f ( x, y ) g ( x, y )]ds L f ( x, y )ds L g ( x, y )ds ； (2)、 L kf ( x, y )ds k L f ( x, y )ds (k 为常数)； (3)、 L f ( x, y )ds f ( x, y)ds f ( x, y)ds (L=L1L2)．
[(a cost )
2
(x 2 y 2 z 2 )ds
2
0
(a sin t ) 2 (kt) 2 ] (a sin t ) 2 (a cost ) 2 k 2 dt
2 2
(a k t ) a k dt
2 2 2 0
2
z k
2 a 2 k 2 (3a 2 4 2 k 2 ) ． 3
作乘积f(x i, h i) s i，并作和
f (x ,h )s ，
i 1 i i i
n
若当各小弧段的长度的最大值l0时，这和的极限总存在，则称
此极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线

对弧长的曲线积分的计算方法

对弧长的曲线积分的计算方法
对弧长的曲线积分是一种第一类曲线积分，其计算方法主要包括以下步骤:
1. 确定被积函数：首先需要确定被积函数，通常是曲线的参数方程或极坐标方程。

2. 确定积分区间：确定积分区间，即曲线的不同段，通常需要分成多个区间进行积分。

3. 计算积分值：根据被积函数和积分区间，计算曲线每段弧长乘以段数，再对所有段数进行求和，即可得到曲线积分的值。

4. 化简积分式：如果需要，可以将积分式进行化简，以简化计算过程。

下面是一些典型的例题:
- 计算圆的对弧长的曲线积分：被积函数为圆的参数方程
(x,y)= (rcos(t), rsin(t)),积分区间为 [0,2π],结果求和。

- 计算椭圆的对弧长的曲线积分：被积函数为椭圆的参数方程x=rcos(t),y=rsin(t),积分区间为 [0,2π],结果求和。

- 计算空间曲线的对弧长的曲线积分：被积函数为空间曲线的参数方程，积分区间为 [0,2π],结果求和。

- 计算分段光滑曲线的对弧长的曲线积分：被积函数为分段光滑的曲线函数，积分区间为 [0,2π],结果求和。

对弧长的曲线积分的计算方法相对简单，但需要确定被积函数和积分区间，并计算积分值，化简积分式等步骤。

在实际应用中，需要
根据具体情况选择适当的积分方法，并进行详细的计算和分析。

高等数学-第一节-对弧长的曲线积分知识讲解

n
mlim 0 i1
f
i,i si,
y •B
• M n1
(i,i)•• M i
• M i1 L
•M2
• M1 •A
o
x
图9-1
定义2 设L为xOy平面内的一条光滑曲线, z = f (x, y)
为L上的连续函数, 用分点M1, M2, …, Mn-1, 把L分成n
小段, 在 Mi-1Mi 上任意取一点(i, i), si表示 Mi-1Mi
的长度, 记 = max{s1, s2, , sn}, 如果
n
mlim 0 i1
f
i,i si,
存在, 则将此极限值称为函数f (x, y)在L上对弧长的曲
线积分, 记为 L f x, yds,
其中, f (x, y)称为被积函数, L称为积分弧段.
定理1 当 f(x, y)在光滑曲线或分段光滑曲线弧L上
1.
线密度为连续函数z = f (x, y),
L
利用分割作和、取极限的方法求
该构件的质量.
o
x
图9-1
在L上取点M1, M2, …, Mn-1 , 把L分成n小段, 在 Mi-1Mi上任
意取一点(i, i), 弧段 Mi-1Mi
的长度为si, 记
= max{s1, s2, , sn}
则该构件的质量为
性质3 将L分成L1 与L2, 则
L fx ,y d s L 1fx ,y d s L 2fx ,y d s 性质4 L ds L0 , 其中L0表示L的长度
性质5 f (x, y) g (x, y), 则
Lfx,ydsLfx,yds
性质6 在L上若设m f (x) M, 则

4.对弧长的曲线积分

L
不要以为只有一个积分号就一定是定积分, 或者一定是第一型曲线积分. 定积分
b ∫ a f ( x) dx
第一型曲线积分
∫L f ( x, y ) ds
L =[ a ,b ]
如
∫a sin( xy)dx,
b
∫ sin( xy )ds
若L是空间曲线, f (x, y, z)是定义在空间曲线L上的三元函数. 则 f (x, y, z)沿L的第一型线积分为
y 2 y2=2x
1 dy ds = 1 + dx = 1 + dx 2x dx
2
∴
0 2 x
∫
L
yds = ∫
2
0
1 2 x ⋅ 1 + dx 2x
1 2 x＋ dx = (5 5 − 1) 1 3
=∫
2
0
y2 解 2： L : x = , 0≤y≤2 2
dx 2 ds = 1 + dy = 1 + y dy dy
n
lim ∫ f (x, y, z)ds = λ→0 ∑ f (ξi ,ηi ,ζi )∆si
L i=1
对弧长的曲线积分的性质
与定积分、重积分性质类似。此外，
∫
L
f ( x , y ) ds
y L A D
B
因为ds>0. 所以对弧长的曲线积分与曲线的方向无关：
x
) ∫
AB
= ∫)
BA
对弧长的曲线积分的计算
∫
L
f ( x , y ) ds = lim ∑ f (ξ i ,ηi )∆si .
λ →0
i =1
n
称为对弧长的曲线积分. (第一型曲线积分). 如, 曲线型构件的质量 M = ∫L µ ( x, y ) ds

对弧长的曲线积分定义(一)

对弧长的曲线积分定义(一)对弧长的曲线积分定义•对弧长的曲线积分是在曲线上对标量或向量值函数积分的过程。

它可以用来计算沿曲线的某个属性的累积值，比如质量、电荷、能量等。

曲线积分的类型:1.第一类曲线积分•定义：对弧长的曲线积分将一个标量函数沿曲线求积分。

•理由：第一类曲线积分在物理和工程中具有广泛的应用，用于计算流体力学、电磁学和力学相关的问题。

2.第二类曲线积分•定义：对弧长的曲线积分将一个向量函数沿曲线求积分。

•理由：第二类曲线积分在向量场中的环流、工作和流量等问题中起着重要的作用。

它可以用于计算电磁场、流体流量、力学和热力学等领域。

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对弧长的曲线积分计算思路、步骤与典型例题

对弧长的曲线积分计算思路、步骤与典型例题展开全文一、对弧长的曲线积分的几何意义与物理意义1、构建对弧长的曲线积分的模型对弧长的曲线积分即在微元弧微分ds分布的曲线上求分布的量的和。

比如小段ds的质量近似量，即为ds上一点(x,y,z)的线密度与弧长的乘积ρ(x,y,z)ds，总的曲线型构建的质量即为ds分布的曲线Γ上求和，从而得到对弧长的曲线积分模型描述形式为其中平面上的曲线积分即为以上模型的特殊情况，即z=0的情形。

2、对弧长的曲线积分的几何意义(1) 当f(x,y)=1时，表示积分曲线段L的长度；(2) 当f(x,y)>0时，表示以xOy面上的曲线L为准线，母线平行于z轴，顶部为(x,y,f(x,y))点构成的曲线的柱面片的面积。

当f(x,y,z)=1时，表示积分曲线段Γ的长度。

3、对弧长的曲线积分的物理意义当f(x,y)>0,f(x,y,z)>0时，分别表示平面曲线段L与空间曲线段Γ的长度。

二、对弧长的曲线积分的计算方法不管是空间曲线还是平面曲线，曲线积分的计算公式可以统一描述为其中C:r=r(t),a≤t≤b，即由曲线C的参数方程式分量构成的向量值函数描述形式，其中|r’(t)|表示向量值函数r=r(t)的导数向量的模。

1．积分曲线为平面曲线的情形● 当C:y=y(x),a≤x≤b时，则r=r(x)=(x,f(x))，a≤x≤b，所以有● 当C:x=x(x),y=y(t),a≤t≤b时，则r=r(t)=(x(t),y(t))，a≤t≤b，所以有● 当C:ρ=ρ(θ),α≤θ≤β时，则r=r(θ)=( ρ(θ)cosθ, ρ(θ)sinθ)，α≤θ≤β，所以有2．积分曲线为空间曲线的情形当C:x=x(x),y=y(t),z=z(t),a≤t≤b时，则r=r(t)=(x(t),y(t), z(t))，a≤t≤b，所以有【注】|r’(t)|dt即为弧微分，弧长大于0，所以以上的定积分计算式中一定有积分下限小于积分上限。

对弧长的曲线积分的概念与性质

对弧长的曲线积分，或称为第一类曲线积分，是计算沿曲线弧段上函数值对弧长的累积效应。其概念源于曲线形构件的质量计算，通过将曲线弧段分割成无数小段，每小段上函数值视为常数，乘以该小段弧长，再将所有乘积求和取极限得到。在形式上，它表示为函数f(x, y, z)与弧长微元ds的乘积在曲线上的积分。若曲线位于xOy面上，则积分简化为f(x, y)对弧长的积分。此外，当被积函数恒等于1时，对弧长的曲线积分就表示曲线弧本身的长度。需要注意的是，虽然对弧长的曲线积分与定积分有相似之处，但二者并不等同，因为对弧长的曲线积分要求弧长微元ds始终非负，而定积分中的dx可为负。第一类曲线积分具有线性性质，即两个函数之和的积分等于各函数积的积分等于各部分积分的和。

对弧长的曲线积分

对弧长的曲线积分
弧长积分，也叫弧长积分法，是一种数学方法，用于计算曲线的积分。

弧长法的基本
思想是将曲线段等分成多个小段，而每个段的弧长都是可以精确计算出来的；经过一定计算，每一小段的弧长就可累计起来，从而计算出和弧线曲线对应的曲线积分值。

弧长法在计算曲线积分时，与定积分法一样，都是要求求解曲线上每个点的弧长。

其原理
是根据曲线函数及其对应的函数曲线上的点，采用数学原理进行连续分段，并求解出两点
之间的弧长，最后把这些离散的曲线弧长相加起来，得出曲线的总弧长，即曲线积分的值。

弧长法作为一种数学计算方法，在很多场合发挥着重要作用，如物流运输中，比如计算公
路交通流量、高速公路环境考察等。

而且，由于可以近似曲线，弧长法还可以计算图形的
积分，应用较为广泛。

归纳起来，弧长法介于定积分法和椭圆曲线积分法之间，可以满足特殊的曲线的积分要求，并且弧长的计算简单而精确，是高等数学中应用最多的方法之一。