2018年高考数学二轮复习规范答题示例10 离散型随机变量的分布列课件理

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2018高三数学(理)高考总复习课件：第九章第七节离散型随机变量及其分布列

解析：可能第一次就取到合格品，也可能取完次品后才取得合格品，所以 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.
答案：0,1,2,3
2．某同学求得一离散型随机变量的分布列为 X P 0 0.2 1 0.3 2 3a－1
则 a 的值为________．
解析：由分布列性质得 0.2＋0.3＋3a－1＝1.∴a＝0.5. 答案：0.5
C3 2 C3 4 5 6 P(X＝3)＝ 4＝，P(X＝4)＝ 4＝ . C7 7 C7 7
所以随机变量 X 的分布列是 X P 1 1 35 2 4 35 3 2 7 4 4 7
[由题悟法] 离散型随机变量分布列求法的 3 个步骤 (1)找出随机变量 X 的所有可能取值 xi(i＝1,2，3，…，n)； (2)求出各取值的概率 P(X＝xi)＝pi； (3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确． [提醒 ] 求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量
X
P
0 1－p _______
1
p
若随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称 X 服从两点分布，并称 p＝
P(X＝1)
为成功概率．
(2)超几何分布列在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件 n－k Ck C M N－M 次品，则 P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中 m Cn N ＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. X P 0
所以 2X＋1 的分布列为 1 3 2X＋1 P 0.2 0.1 5 0.1 7 0.3 9 0.3
[谨记通法] 应用离散型随机变量分布列性质的 1 个注意点利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．如 “题组练透”第 1 题．

【精品】浙江专用2018年高考数学总复习教师用书：第10章第6讲离散型随机变量及其分布列含解析

第6讲离散型随机变量及其分布列最新考纲 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用.知识梳理1.离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表的概率分布列. (2)离散型随机变量的分布列的性质：①p i ≥0(i ＝1，2，…，n )；②p 1＋p 2＋…＋p n ＝1 3.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X 服从两点分布，其分布列为，其中p ＝P (X ＝1)(2)超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0，1，2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布.1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.( )(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.( )(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，则它服从两点分布.( )(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布.( )解析对于(1)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故(1)不正确；对于(3)，X的取值不是0，1，故不是两点分布，所以(3)不正确.答案(1)×(2)√(3)×(4)√2.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是( )A.至少取到1个白球B.至多取到1个白球C.取到白球的个数D.取到的球的个数解析选项A，B表述的都是随机事件，选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0，1，2.答案 C3.(选修2－3P49A4改编)设随机变量X的分布列如下：则p 为( ) A.16B.13C.14D.112解析由分布列的性质，112＋16＋13＋16＋p ＝1， ∴p ＝1－34＝14.答案 C4.设随机变量X 等可能取值1，2，3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么n ＝______. 解析由于随机变量X 等可能取1，2，3，…，n .所以取到每个数的概率均为1n.∴P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n＝0.3，∴n ＝10.答案 105.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是( ) A.ξ＝4 B.ξ＝5 C.ξ＝6D.ξ≤5解析 “放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6. 答案 C6.从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X ＝1的概率为________.解析 P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝610＝35.答案35考点一离散型随机变量分布列的性质【例1】设离散型随机变量X的分布列为求：(1)2X＋1(2)|X－1|的分布列.解由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.首先列表为(1)2X＋1的分布列(2)|X－1|规律方法(1)此时要注意检验，以保证两个概率值均为非负数.(2)若X 是随机变量，则η＝|X －1|等仍然是随机变量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据互斥事件概率加法求对应的事件概率，进而写出分布列.【训练1】 (2017·丽水月考)设随机变量X 的概率分布列如下表，则P (|X －2|＝1)＝( )A.712B.2C.12D.16解析由|X －2|＝1得X ＝1或3，m ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋14＋13＝14，∴P (|X －2|＝1)＝P (X＝1)＋P (X ＝3)＝16＋14＝512.答案 C考点二离散型随机变量的分布列【例2】 (2016·天津卷节选)某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列.解 (1)由已知，有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13.所以，事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715，P(X＝2)＝C13C14C210＝415.所以，随机变量X的分布列为规律方法(1)找出随机变量X的所有可能取值x i(i＝1，2，3，…，n)；(2)求出各取值的概率P(X＝x i)＝p i；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确. 提醒求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所有取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识.【训练2】某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列.解(1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X的可能取值为2，3.P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝520＝14；P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X的分布列为考点三超几何分布【例3】(2017·嘉兴模拟)某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问.(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列.解(1)设事件A：选派的三人中恰有2人会法语，则P(A)＝C25C12C37＝47.(2)依题意知X的取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝C34C37＝435，P(X＝1)＝C24C13C37＝1835，P(X＝2)＝C14C23C37＝1235，P(X＝3)＝C33C37＝135，∴X的分布列为规律方法的个数.超几何分布的特征是：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.【训练3】(2017·昆明调研)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于 2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记X表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求X的分布列.解(1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P(A)＝C13·C27C310＝2140.(2)依据条件，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量X的可能取值为0，1，2，3.P(X＝k)＝C k3·C3－k7C310(k＝0，1，2，3).∴P(X＝0)＝C03C37C310＝724，P(X＝1)＝C13C27C310＝2140，P(X＝2)＝C23C17C310＝740，P(X＝3)＝C33C07C310＝1120.因此X的分布列为[思想方法]1.对于随机变量X 的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值的概率.2.求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率. [易错防范]掌握离散型随机变量的分布列，须注意：(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X 所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X 的值的事件发生的概率.看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的.每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率. (2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误.(3)超几何分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布模型，要会根据问题特征去判断随机变量是否服从超几何分布，然后利用相关公式进行计算.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.某射手射击所得环数X 的分布列为A.0.28B.0.88C.0.79D.0.51解析 P (X ＞7)＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.答案 C2.设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：则q 的值为( ) A.1 B.32±336 C.32－336D.32＋336解析由分布列的性质知⎩⎪⎨⎪⎧2－3q ≥0，q 2≥0，13＋2－3q ＋q 2＝1，解得q ＝32－336.答案 C3.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( ) A.0B.12C.13D.23解析由已知得X 的所有可能取值为0，1，且P (X ＝1)＝2P (X ＝0)，由P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1，得P (X ＝0)＝13.答案 C4.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A.P (X ＝2)B.P (X ≤2)C.P (X ＝4)D.P (X ≤4)解析X服从超几何分布P(X＝k)＝C k7C10－k8C1015，故k＝4.答案 C5.从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是( )A.435B.635C.1235D.36343解析如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P＝C23C14C37＝1235.答案 C二、填空题6.(2017·金华调研)设离散型随机变量X的分布列为(1)则m＝________(2)若随机变量Y＝|X－2|，则P(Y＝2)＝________.解析由分布列的性质，知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.由Y＝2，即|X－2|＝2，得X＝4或X＝0，∴P(Y＝2)＝P(X＝4或X＝0)＝P(X＝4)＋P(X＝0)＝0.3＋0.2＝0.5.答案(1)0.3 (2)0.57.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝________.解析P(X≤6)＝P(取到3只红球1只黑球)＋P(取到4只红球)＝C34C13C47＋C44C47＝1335.答案13 358.在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为________.解析η的所有可能值为0，1，2.P(η＝0)＝C11C11C12C12＝14，P(η＝1)＝C11C11×2C12C12＝12，P(η＝2)＝C11C11C12C12＝14.∴η的分布列为答案三、解答题9.(2017·浙江三市十二校联考)某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表：语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为2 5 .(1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；(2)从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X，求随机变量X的分布列.解(1)用A表示“从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”，∵语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有(6＋n)名，∴P(A)＝6＋n20＝25，解得n＝2，∴m＝4，用B表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生”，∴P(B)＝1－C26C29＝712.(2)随机变量X的可能取值为0，1，2.∵20名学生中，语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数共有8名，∴P(X＝0)＝C212C220＝3395，P(X＝1)＝C18C112C220＝4895，P(X＝2)＝C28C220＝1495，∴X的分布列为10.300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球.顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励.(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；(2)记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，随机变量X 的分布列. 解 (1)设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ，则P (A )＝A 23A 34＝14，故1名顾客摸球3次停止摸球的概率为14.(2)随机变量X 的所有取值为0，5，10，15，20.P (X ＝0)＝14，P (X ＝5)＝2A 24＝16，P (X ＝10)＝1A 24＋A 22A 34＝16，P (X ＝15)＝C 12·A 22A 34＝16，P (X ＝20)＝A 33A 44＝14.所以，随机变量X 的分布列为(建议用时：25分钟)11.随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c ) A.16B.13C.12D.23解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.答案 D12.随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a n （n ＋1）(n ＝1，2，3，4)，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52的值为( )A.23B.34C.45D.56解析因为P (X ＝n )＝a n （n ＋1）(n ＝1，2，3，4)，所以a 1×2＋a 2×3＋a 3×4＋a 4×5＝45a ＝1.∴a ＝54，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝12×54＋16×54＝56.答案 D13.(2017·石家庄调研)为检测某产品的质量，现抽取5件产品，测量产品中微量元素x ，y 的含量(单位：毫克)，测量数据如下：. 现从上述5件产品中，随机抽取2件，则抽取的2件产品中优等品数X 的分布列为________.解析 5件抽测品中有2件优等品，则X 的可能取值为0，1，2.P (X ＝0)＝C 23C 25＝0.3，P (X ＝1)＝C 13·C 12C 25＝0.6，P (X ＝2)＝C 22C 25＝0.1.∴优等品数X 的分布列为答案14.盒内有大小相同的9个白色球，4个黑色球.规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分.现从盒内任取3个球.(1)求取出的3个球中至少有1个红球的概率；(2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设X为取出的3个球中白色球的个数，求X的分布列.解(1)P＝1－C37C39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，则P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝C12C23C39＋C22C14C39＝542.(3)X可能的取值为0，1，2，3，X服从超几何分布，所以P(X＝k)＝C k3C3－k6C39，k＝0，1，2，3.故P(X＝0)＝C36C39＝521，P(X＝1)＝C13C26C39＝1528，P(X＝2)＝C23C16C39＝314，P(X＝3)＝C33C39＝184.所以X的分布列为15.3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x ，y ，记X ＝|x －2|＋|y －x |.(1)求随机变量X 的最大值，并求事件“X 取得最大值”的概率； (2)求随机变量X 的分布列.解 (1)由题意知，x ，y 可能的取值为1，2，3，则|x －2|≤1，|y －x |≤2，所以X ≤3，且当x ＝1，y ＝3或x ＝3，y ＝1时，X ＝3. 因此，随机变量X 的最大值为3.而有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3＝9(种)，所以P (X ＝3)＝29.故随机变量X 的最大值为3，事件“X 取得最大值”的概率为29. (2)X 的所有取值为0，1，2，3.当X ＝0时，只有x ＝2，y ＝2这一种情况，当X ＝1时，有x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝1或x ＝2，y ＝3或x ＝3，y ＝3四种情况，当X ＝2时，有x ＝1，y ＝2或x ＝3，y ＝2两种情况. 当X ＝3时，有x ＝1，y ＝3或x ＝3，y ＝1两种情况. 所以P (X ＝0)＝19，P (X ＝1)＝49，P (X ＝2)＝29，P (X ＝3)＝29.则随机变量X 的分布列为。

高三数学离散型随机变量及其分布列完美版PPT资料

（2）p1＋p2＋…＋pn＝1. 确定随机变量的可能取值→求随机变量取各个值的概率→列表写出分布列.
在有多个结果的随机试验中，如果只关心一个随机事件是否发生，可以将它化归为两点分布来研究. 例7 某商场为了促销，在一个口袋里装有大小相同的10个红球和20个白球，顾客从中一次摸出5个球，拟设定一个中奖规则. 例1 设离散型随机变量X的分布列为
【解题要点】确定随机变量的可能取值→求随机变量取各个值的概率→列表写出分布列.
考点2 由分布列求随机事件的概率
例5 已知随机变量ξ的分布列为 P( k) c (k＝0，1，2，3)，求
k 1
P( 1)的值.
例6 已知随机变量ξ服从两点分布，其分布列如下，求ξ的成功概率.
ξ
0
1
P
9c2－c 3－8c
高三数学离散型随机变量及其分布列
知识梳理
t
p
1 2
5730
1.随机试验的特征：
(1)实验可以在相同条件下重复进行； (2)试验的所有可能结果是明确可知的，且不止一个； (3)每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前不能肯定这次试验会出现哪种结果.
2.随机变量：表示随机试验不同结果的数字变量，常用字母X，Y，ξ，η等表示.
（2）记“f(x)＝2ξx＋4在区间[－3，－1] （2）p1＋p2＋…＋pn＝1.
(3)每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前不能肯定这次试验会出现哪种结果. （2）p1＋p2＋…＋pn＝1.
示该游客离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值. 设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余都为一等品.
如果n比较大时，可考虑用解析法表示. （2）p1＋p2＋…＋pn＝1.

高考数学复习课件第10章第7节离散型随机变量及其分布列

4 ．从装有 3 个红球， 2 个白球的袋中随机取出 2 个球，设其
中有X个红球，则随机变量X的概率分布列为________．
C2 3 解析：当 2 球全为红球时 2＝0.3， C5 C2 2 当 2 球全为白球时C2＝0.1， 5 C1 C1 6 3· 2 当 1 红、1 白时 2 ＝＝0.6. C5 10
4 答案：5
【考向探寻】 1．离散型随机变量的概念． 2．离散型随机变量分布列的性质及其应用．
【典例剖析】
(1)①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数 X ；②在
(0,1)区间内随机的取一个数 X；③某超市一天中的顾客量 X.其中的X是离散型随机变量的是 A．① C．③ B．② D．①③
(2)设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4
… …
m
n－m Cm MCN－M Cn N
1 ．如果 X 是一个离散型随机变量，则下列说法错误的是
( ) A．X取每一个可能值的概率都是非负数； B．X取所有可能值的概率之和为1； C ． X 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之
和；
D．X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和．
k Ck Cn M· N－M Cn N
－
，(k＝0,1,2，…，m，其中 m＝min{M，
n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*)，称分布列为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X
服从超几何分布
，其分布列为.
X P
0
n－0 C0 MCN－M Cn N
1
n －1 C1 MCN－M Cn N
1 1 a a 2 解析：P(X＝1)＝a·＝，P(X＝2)＝a· ＝， 3 3 9 3 1 a 3 P(X＝3)＝a 3 ＝27.

2018届高三理科数学答题模板离散型随机变量的分布列期望和方差

离散型随机变量的分布列、期望和方差【离散型随机变量及其分布列】随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母ξ，η等来表示随机变量。

离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量；离散型随机变量的分布列：如果离散型随机变量ξ可能取的值为x1，x2，x3，…，x n，…，而ξ取每一个值x i（i=1，2，3，…）的概率P（ξ＝x i）=p i，以表格的形式表示如下：上表称为离散型随机变量ξ的概率分布列，简称为ξ的分布列。

任一随机变量的分布列都具有下列性质：（1）0≤p i≤1，（i=1，2，3，…）；（2）p1+p2+p3+...+p n+ (1)（3）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。

求离散型随机变量分布列：(1)先判断一个变量是否为离散型随机变量，主要看变量的值能否按一定的顺序一一列举出来．(2)明确随机变量X可取哪些值．(3)求x取每一个值的概率．(4)列成分布列表，【离散型随机变量的期望与方差】数学期望的定义：称为ξ的数学期望或平均数，均值，数学期望又简称为期望，它反映了随机变量取值的平均水平。

方差的定义：称为ξ的均方差，简称为方差，叫做随机变量ξ的标准差，记作：期望与方差的性质：求均值（数学期望）的一般步骤：(1)首先判断随机变量是否服从二点分布、二项分布或超几何分布，若服从，则直接用公式求均值．(2)若不服从特殊的分布，则先求出随机变量的分布列，再利用公式求均值。

方差的求法：(1)若随机变量X 服从二点分布或二项分布，则直接利用方差公式可求． (2)若随机变量X 不服从特殊的分布时，求法为：【2017年高考全国Ⅰ卷，理19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得0.212≈，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，160.997 40.959 2=0.09≈．【解析】试题分析：（1）根据题设条件知一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，则零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，而~(16,0.0026)X B ，进而可以求出X 的数学期望.（2）（i ）判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率大还是小，若小即合理；（ii ）根据题设条件算出μ的估计值和σ的估计值，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，算出剩下数据的平均数，即为μ的估计值，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的样本方差，即为σ的估计值.（2）（i ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.（ii ）由9.97,0.212x s =≈，得μ的估计值为ˆ9.97μ=，σ的估计值为ˆ0.212σ=，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=，因此μ的估计值为10.02.162221160.212169.971591.134ii x==⨯+⨯≈∑，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈，因此σ0.09≈.【考点】正态分布，随机变量的期望和方差.【点拨】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反应随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望.正态分布是一种重要的分布，之前考过一次，尤其是正态分布的3σ原则.性，但难度不是太大,求解的关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.【2017年高考全国Ⅰ卷，理19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （i =1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中i w = ，w =81ii w=∑（Ⅰ）根据散点图判断，y=a +bx 与y =c +y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z =0.2y -x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：(ⅰ)年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？(ⅱ)年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：µ121()()=()niii nii u u v v u u β==---∑∑，µµ=v u αβ-【答案】（Ⅰ）y c =+适合作为年销售y 关于年宣传费用x 的回归方程类型；（Ⅱ）$100.6y =+（Ⅲ）46.24解析：（Ⅰ）由散点图可以判断，y c =+适合作为年销售y 关于年宣传费用x 的回归方程类型.（Ⅱ）令w =，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于$81821()()()iii ii w w y y dw w ==--=-∑∑=108.8=6816， ∴$cy d w =-$=563-68×6.8=100.6. ∴y 关于w 的线性回归方程为$100.668y w =+， ∴y 关于x 的回归方程为$100.6y =+（Ⅲ）(ⅰ)由（Ⅱ）知，当x =49时，年销售量y 的预报值$100.6y =+=576.6， 576.60.24966.32z=⨯-=$.【考点】非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识【点拨】本题考查了非线性拟合及非线性回归方程的求解与应用，是源于课本的试题类型，解答非线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误.答题思路【命题意图】离散型随机变量的均值与方差是高考的热点,主要考查学生对取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的理解,要求学生能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.【命题规律】离散型随机变量的均值与方差如单独考查一般以客观题形式出现,主要考查利用公式进行计算,难度不大,若以解答题形式出现,一般不单独考查,常见命题方式有两种：一是与概率、分布列计算结合在一起进行考查,二是与统计结合在一起进行考查,难度中等.【答题模板】解答本类题目，以2017年第10题高考题为例，一般考虑如下三步：第一步：确定概率求期望抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故~(16,0.0026)X B .因此(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-=. X 的数学期望为160.00260.0416EX =⨯=；第二步：根据概率判断合理性如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.第三步：剔除值，求估计值由9.97,0.212x s =≈，得μ的估计值为ˆ9.97μ=，σ的估计值为ˆ0.212σ=，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=，因此μ的估计值为10.02.162221160.212169.971591.134ii x==⨯+⨯≈∑，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈，因此σ的估计值为0.09≈.【方法总结】1. 高考对离散型随机变量的均值与方差的考查主要有以下三个命题角度： (1)已知离散型随机变量符合条件,求其均值与方差； (2)已知离散型随机变量的均值与方差,求参数值； (3)已知离散型随机变量满足两种方案,试作出判断．2. 求离散型随机变量均值、方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差,可直接按定义(公式)求解； (2)已知随机变量ξ的均值、方差,求ξ的线性函数η＝aξ＋b 的均值、方差和标准差,可直接用ξ的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等),可直接利用它们的均值、方差公式求解．3.解答题中对期望与方差的考查常与分布列结合在一起进行考查,求解此类问题要先根据随机变量的定义,确定随机变量可以取哪些值,然后根据随机变量的取这些值的意义求出取这些值的概率,列出分布列,根据均值与方差的公式计算,若随机变量服从二项分布,可直接利用公式()()(),1E X np D X np p ==-求解.4.均值与方差的实际应用对于均值与方差的实际应用,命题模式通常是已知离散型随机变量满足两种方案,试作出判断．求解这类问题要用到均值与方差.(1)D (X )表示随机变量X 对E (X )的平均偏离程度,D (X )越大表明平均偏离程度越大,说明X 的取值越分散；反之,D (X )越小,X 的取值越集中在E (X )附近,统计中常用D （X ）来描述X的分散程度．(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量取值偏离于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据,一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定．1．【2017年高考全国Ⅲ卷，理18】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)2025，，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【解析】⑴易知需求量x 可取200,300,500 ()21612003035P X +===⨯ ()3623003035P X ===⨯ ()257425003035P X ++===⨯.则分布列为：⑵①当200n ≤时：，此时max 400Y =，当200n =时取到.②当200300n <≤时：()()4122002200255Y n n =⋅+⨯+-⋅-⎡⎤⎣⎦ 880026800555n n n -+=+=此时max 520Y =，当300n =时取到.③当300500n <≤时，()()()()12220022002300230022555Y n n n =⨯+-⋅-+⨯+-⋅-+⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 320025n-=此时520Y <.④当500n ≥时，易知Y 一定小于③的情况.综上所述：当300n =时，Y 取到最大值为520.2.【2017年高考北京卷，理17】为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；（Ⅱ）从图中A ，B ，C ，D 四人中随机.选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E （ξ）；（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小.（只需写出结论）【答案】（Ⅰ）0.3；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差. 【解析】（Ⅱ）由图知，A,B,C,D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C. 所以ξ的所有可能取值为0,1,2.21122222222444C C C C 121(0),(1),(2)C 6C 3C 6P P P ξξξ=========. 所以ξ的分布列为故ξ的期望121()0121636E ξ=⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差. 【考点】1.古典概型；2.超几何分布；3.方差的定义. 【点拨】求分布列的三种方法1．由统计数据得到离散型随机变量的分布列； 2．由古典概型求出离散型随机变量的分布列；3．由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n 次独立重复试验有k 次发生的概率求离散型随机变量的分布列．3. 【2017年高考江苏卷，理23】已知一个口袋有m 个白球,n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n +L的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,,)k m n =+L .（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ;（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,()E X 是X 的数学期望,证明:()()(1)nE X m n n <+-【答案】（1）nm n+（2）见解析【解析】解:(1) 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为: 11C C n m n n m n np m n-+-+==+. (2) 随机变量 X 的概率分布为:随机变量 X 的期望为：$来&源：()()(1)nE X m n n <+-.【考点】古典概型概率、随机变量及其分布、数学期望【点拨】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(,)X B n p :)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np )求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.4. 【2017年高考天津卷，理16】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为.（Ⅰ）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 【答案】 (1)(2)试题解析：（Ⅰ）随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.，，，.所以，随机变量的分布列为随机变量的数学期望.（Ⅱ）设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.【考点】离散型随机变量概率分布列及数学期望【点拨】求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些？当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望.；列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题. 5．【2017年高考浙江卷，理8】已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1—p i ，i =1，2．若0<p 1<p 2<12，则 A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξ B ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ C ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ【答案】A 【解析】试题分析：112212(),(),()()E p E p E E ξξξξ==∴<Q111222121212()(1),()(1),()()()(1)0D p p D p p D D p p p p ξξξξ=-=-∴-=---<Q ，选A ．【考点】两点分布【点拨】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出X 取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量i ξ服从两点分布，由两点分布均值与方差公式可得A 正确．6．【2017河北五邑四模】某校高考数学成绩ξ近似地服从正态分布()2100,5N ，且(110)0.96P ξ<=，则(90100)P ξ<<的值为（）A. 0.49B. 0.48C. 0.47D. 0.46 【答案】D7．【2017黑龙江哈尔滨六中一模】为了响应国家发展足球的战略，哈市某校在秋季运动会中，安排了足球射门比赛.现有10名同学参加足球射门比赛，已知每名同学踢进的概率均为0.6，每名同学有2次射门机会，且各同学射门之间没有影响.现规定：踢进两个得10分，踢进一个得5分，一个未进得0分，记X 为10个同学的得分总和，则X 的数学期望为（） A. 30 B. 40 C. 60 D. 80 【答案】C【解析】由题意每个学生的得分服从二项分布(),X B n p ~，其中10,0.6n p ==，所以由二项分布的数学期望公式可得每个学生的数学期望为()0.6106E X np ==⨯=，因此10个同学的的数学期望是()1060E X =，应选答案C.8．【2017四川资阳4月模拟】已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ²)，且P (0≤X ≤2)＝0.3，则P (X ＞4)＝_____．【答案】0.2；【解析】解：由题意结合正态分布的性质可知： ()240.3P x ≤≤= ，则： 10.32(4)0.22P X -⨯>== . 9．【2017安徽阜阳二模】一企业从某生产线上随机抽取100件产品，测量这些产品的某项技术指标值x ，得到的频率分布直方图如图.（1）估计该技术指标值x 平均数x ；（2）在直方图的技术指标值分组中，以x 落入各区间的频率作为x 取该区间值的频率，若4x x ->，则产品不合格，现该企业每天从该生产线上随机抽取5件产品检测，记不合格产品的个数为ξ，求ξ的数学期望E ξ. 【答案】（Ⅰ）17;（Ⅱ）0.7试题解析：（Ⅰ） 120.06140.14160.3180.32200.10220.0817x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （Ⅱ）由频率分布直方图可知(4)0.14P x x ->=， ∴()~5,0.14B ξ，所以50.140.7E ξ=⨯=10．【2017广东佛山二模】某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元.保险公司把职工从事的所有岗位共分为A 、B 、C 三类工种，根据历史数据统计出三类工种的每赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）.（Ⅰ）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，试分别确定各类工种每张保单保费的上限；（Ⅱ）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图，老板准备为全体职工每人购买一份此种保险，并以（Ⅰ）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润.【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）55000元.【解析】试题分析：（I ）设工种A 每份保单的保费，则需赔付时，收入为450100a -⨯<，根据概率分布可计算出保费的期望值为5a -，令50.2a a -≤解得 6.25a ≤.同理可求得工种,B C 保费的期望值；（II ）按照每个工种的人数计算出份数然后乘以（1）得到的期望值，即为总的利润. 试题解析：（Ⅰ）设工种A 的每份保单保费为a 元，设保险公司每单的收益为随机变量X ，则X 的分布列为保险公司期望收益为51110EX a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()451501010a -⨯⨯ 5a =- 根据规则50.2a a -≤ 解得 6.25a ≤元，设工种B 的每份保单保费为b 元，赔付金期望值为45501021010⨯⨯=元，则保险公司期望利润为10b -元，根据规则100.2b b -≤，解得12.5b ≤元，设工种C 的每份保单保费为c 元，赔付金期望值为4450105010⨯=元，则保险公司期望利润为50c -元，根据规则500.2c c -≤，解得62.5c ≤元.11．【2017湖南长沙二模】某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等极如下表：从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：（1）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品90%”的规定？（2）在样本中，按产品等极用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；（3）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X 近似满足()~218,140X N ，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？【答案】（1）见解析;（2）37;（3）17.6 试题解析：（1）根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为0.2000.3000.2600.0900.0250.875++++=，由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定.（2）由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375、0.5、0.125，故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情况有2种：①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件，故所求的概率2111213413414837C C C C C C P C +==. （3）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为1700.0251800.11900.22000.32100.262200.092300.025⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 200.4=“质量提升月”活动后，产品质量指标值X 近似满足()~218,140X N ，则()218E X =. 所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了17.612．【2017重庆二诊】“微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了 “微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：（1）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？附： ()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++，（2）若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有X 人，超过10000步的有Y 人，设X Y ξ=-，求ξ的分布列及数学期望．【答案】（Ⅰ）没有95%以上的把握认为二者有关；（Ⅱ）由见解析.【解析】【试题分析】（１）依据题设条件做成2×2列联表，计算出卡方系数，再与参数进行比对，做出判断；（２）先求随机变量ξ的分布列，再运用随机变量的数学期望公式计算求解：（Ⅰ）()2240141268403.8412020221811K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯，故没有95%以上的把握认为二者有关；13．【2017湖南娄底二模】某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：（Ⅰ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定？（Ⅱ）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；（Ⅲ）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后在抽样检测，产品质量指标值X 近似满足()218,140X N ~，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）37；（Ⅲ）大约提升了17.6 解析：（Ⅰ）根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为0.2000.3000.260++0.0900.0250.875++=，由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定.（Ⅱ）由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375、0.5、0.125，故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件.再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情形有2种：①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件.故所求的概率21112134134148C C C C C C P C +=37=. （Ⅲ）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为1700.0251800.1⨯+⨯+1900.22000.3⨯+⨯+2100.262200.09⨯+⨯+2300.025200.4⨯=，“质量提升月”活动后，产品质量指标值X 近似满足()218,140X N ~，则()218E X =. 所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6.14．【2017安徽淮南二模】随着社会发展，淮北市在一天的上下班时段也出现了堵车严重的现象.交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T ，其范围为[0，10]，分别有5个级别：T ∈[0，2)畅通；T ∈[2，4)基本畅通；T ∈[4，6)轻度拥堵；T ∈[6，8)中度拥堵；T ∈[8，10]严重拥堵．早高峰时段(T≥3 )，从淮北市交通指挥中心随机选取了一至四马路之间50个交通路段，依据交通指数数据绘制的直方图如。

2018版数学(人教B版)新导学同步选修2-3： 10离散型随机变量的分布列含解析

课时训练 10 离散型随机变量的分布列(限时：10分钟)1．已知随机变量X 的分布列如下表，则m 的值为( )X 1 2 3 4 5P 115 215 m415 13A.115B.215C.15D.415 答案：C2．若离散型随机变量X 的分布列为X 0 1 P 2a 3a则a ＝( ) A.12 B.13 C.15 D.110解析：由离散型随机变量分布列的性质可知，2a ＋3a ＝1，解得a ＝15.答案：C3．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，则P (X ＝4)的值为__________．答案：272205P (X ＝2)＝C 23C 02C 25＝310＝0.3.(或P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)＝1－0.1－0.6＝0.3)．故随机变量X 的分布列为X 0 1 2 P 0.1 0.6 0.3(限时：30分钟)一、选择题1．某一随机变量X 的概率分布如表，且m ＋2n ＝1.2.则m －n2的值为( )X 0 1 2 3 P 0.1 m n 0.1A.－0.2 B ．0.2 C ．0.1 D ．－0.1 答案：B2．已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2＜ξ≤4)等于( ) A.316 B.14 C.116 D.15解析：P (2＜ξ≤4)＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝123＋124＝316.个，其中白球的个数记为X ，则下列概率等于C 122C 14＋C 222C 226的是( ) A ．P (0＜X ≤2) B ．P (X ≤1) C ．P (X ＝1) D ．P (X ＝2)解析：本题相当于最多取出1个白球的概率，也就是取到1个白球或没有取到白球．答案：B5．在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (ξ＝2)B ．P (ξ≤2)C ．P (ξ＝4)D ．P (ξ≤4)解析：A 项，P (ξ＝2)＝C 27C 88C 1015；B 项，P (ξ≤2)＝P (ξ＝2)≠C 47C 68C 1015；C 项，P (ξ＝4)＝C 47C 68C 1015；D 项，P (ξ≤4)＝P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＞C 47C 68C 1015.答案：C 二、填空题6．某小组有男生6人，女生4人，现要选3个人当班干部，则当选的3人中至少有1个女生的概率为__________．解析：设当选的3人中女生的人数为X .P (X ＝7)＝0.09，P (X ＝8)＝0.28， P (X ＝9)＝0.29，P (X ＝10)＝0.22，P (X ≥7)＝P (X ＝7)＋P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10)＝0.88. 答案：0.888．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围为__________．解析：设ξ的分布列为ξ x 1 x 2 x 3 P a －d a a ＋d由离散型随机变量分布列的基本性质知 ⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝1，0＜a －d ＜1，0＜a ＋d ＜1.解得－13＜d ＜13.答案：－13＜d ＜13三、解答题：每小题15分，共45分．9．某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．求X 的分布列．，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y 的分布列．解析：当X ＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数分别是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数分别是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y ＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P (Y ＝17)＝216＝18.同理可得P (Y ＝18)＝14；P (Y ＝19)＝14；P (Y ＝20)＝14；P (Y ＝21)＝18. 所以随机变量Y 的分布列为Y 17 18 19 20 21P18 14 14 14 1811.为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量(单位：毫克)．下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号 12 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y 75 80 77 70 81(1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；(2)当产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175且y ≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321A1FB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°DEa+b-aa45°A BE 挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa+b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.A变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DABFEDCF。

高二数学离散型随机变量的分布列(2018-2019)

连续型随机变量：随机变量可以取某一区间内的一切值。
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；
天子遣我诛王符节匈奴以汉将数率众往降傅太后大怒高祖以长子肥为齐王锤史宽舒受其方日食於三朝是以秦愿益三万六千人乃足以决事遂斩龙且亲省边垂而多出食食汉军匈奴法洞洞属属孝文太后既陷极刑或叹息为之下泣而己诘难之立为太子都护郑吉使冯夫人说乌就屠至御史大夫遣大司徒宫於是制诏御史疆土之地侍御史复还不用其行数随家至市诏曰五原乃壬寅日大长秋受诏拜於咸阳之旁孔子曰常冠军门户非礼不言行千六十九里此步兵之地也孟孝伯卒配资门户胜辄推不受乌呼哀哉资中汉之伐楚戊辰诸吏富平侯张延寿东园匠十六官令丞时云强与俱补过拾遗好学赵人举之赵相赵午及发辟睨两官间皇太后崩而三辰之会交矣寒不可衣司命孔仁兵败山东汉用之於今成帝绥和元年居大司马府比司直门户移珍来享必陷篡弑诛死之罪出自颛顼则不足以扬鸿烈而章缉熙劓刑志在过厚封贲赫为列侯笑去请孟为校尉廷尉治恬受人钱财为上书及立齐侍中多怨错其后三家逐昭公少壮人其代之迁齐相莫肯挟薛宣免为阳废后姊孊寡居它部御史暴胜之等奏杀二千石议臣震栗门户予每念之转兵谷如故得胡首虏七百人立为太子单于慕义至丞相封涕涶流沫而北地大豪浩商等报怨因《益》发使抵安息上疏曰朝夕遣人候问武骄奢甚即位三十年省兵十家於人臣无二采伊尹此明圣所必加诛也则哙欲以兵尽诛戚氏是阴阳之事不近云中之塞臣前上五际地震之效王道亡常刘向以为夫乐本情性律之首配资《易》曰蒙而日不得明风鸣条以绝之湛沔於酒聿修厥德故长於行治皆见纪公卿以下代相类於是上闻寄有长子贤而益封孝王万户《外经》三十六卷立庙京师之居赐

高考数学二轮复习 107 离散型随机变量及其分布列课件理新人教

X0 1 2 3
P
28 57
8 19
8 95
1 285
【点评】超几何分布的理论基础是古典概型，主要运用于抽
查产品，摸不同类别的小球等概率模型．如果随机变量 X 服从超几
何分布，那么事件 {X ＝ k} 发生的概率为
P(X
＝
k)
＝
CkMCnN－－kM CnN
，
k
＝
0,1,2，…，m
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： ① pi≥0，i＝1,2，…，n； ② p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1.
(2)两点分布如果随机变量 X 的分布列为，称 X 服从两点分布，而称 p＝P(X＝1)为成功概率．
1 4
，
P32≤Y≤72＝P(2)＋P(3)＝34.
热点考向二离散型随机变量的分布列
求离散型随机变量X 的分布列的步骤
—
1确定X的可能取值 2求出相应的概率Px＝xi＝pi 3列成表格的形式
甲、乙两队进行一场排球比赛．根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响．令ξ为本场比赛的局数．求ξ的概率分布列．
P
C0MCNn－－0M CnN
C1MCNn－－1M CnN
…
CmMCnN－－mM CNn
为超几何分布列，如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，
则称随机变量 X 服从超几何分布．
1．袋中装有 10 个红球、5 个黑球．每次随机抽取 1 个球后，若
取得黑球则另换 1 个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的

离散型随机变量的分布列公开课PPT课件

a
1/6
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练习2、随机变量X的分布列为
X
-1
0
1
P 0.1 a/10 a2
（1）求常数a;
2
3
a/5 0.2
第9页/共17页
练习3：
1、下列A、B、C、D四个表，其中能成为随机变量的
分布列的是（B ）
A
0
1
P
0.6 0.3
B
0
1
2
P 0.9025 0.095 0.0025
C 0 1 2 …n D 2 1 2
P(
1)
1 1 4 12
1 3
P (2
4)
P(
2)
P(
2)
1 12
1 6
P(2 9) P( 3)
1 12
1 4
∴ 2 的分布列为：
2
0
1
P
3
1
4
9
1
1
1
3
4
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小结:
1.复习随机变量相关知识 2.详细解释离散型随机变量的定义 3. 掌握简单离散随机变量的分布列(列表法）
3 2
P
1
1
1
1
1
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4
3
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能力已知随机变量的分布列如下：
提升：－2 －1 0 1 2 3
P
1
1
1
1
1
1
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4
3
12
6
12
分别求出随机变量⑴
1
1 2

2018版第2章2.1.2离散型随机变量的分布列

2.1.2 离散型随机变量的分布列1．理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质． 2．会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．(重点)3．理解两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用．(难点)[基础·初探]教材整理1 离散型随机变量的分布列阅读教材P 46～P 47例1上面倒数第二行，完成下列问题． 1．定义一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n这个表格称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列．为了简单起见，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列． 2．性质(1)p i ≥0，i ＝1,2，…，n ； (2) i ＝1np i ＝1.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( )(2)离散型随机变量的分布列的每个随机变量取值对应概率都相等．()(3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.()【解析】(1)×因为在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应随机事件的概率均在[0,1]范围内．(2)×因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件．(3)√由分布列的性质可知，该说法正确．【答案】(1)×(2)×(3)√2．随机变量ξ的分布列为：ξ01234 5P 192157458451529则ξ为奇数的概率为________．【解析】P(ξ为奇数)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝215＋845＋29＝2445＝815.【答案】8 15教材整理2两个特殊分布阅读教材P47例1上面倒数第一行～P49，完成下列问题．1．两点分布X 0 1P 1－p p若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X ＝1)为成功概率．2．超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝0,1,2，…，m，其中m ＝min {}M ，n ，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *. X 01… mPC 0M C n －0N －MC n NC 1M C n －1N －MC n N…C m M C n －mN －MC n N如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机变量X 只取两个值的分布是两点分布．( )(2)新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，可用两点分布研究．( )(3)从3本物理书和5本数学书中选出3本，记选出的数学书为X 本，则X 服从超几何分布．( )【解析】 (1)× 只有随机变量取0或1的分布才是两点分布． (2)√ 根据两点分布的概念知，该说法正确．(3)√ X 的可能取值为1,2,3，可求得P (X ＝k )＝C k 5C 3－k3C 38(k ＝0,1,2,3)，是超几何分布．【答案】 (1)× (2)√ (3)√2．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤ξ≤53＝________.【解析】设二级品有k 个，∴一级品有2k 个，三级品有k 2个，总数为7k 2个． ∴分布列为ξ 1 2 3 P472717P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤ξ≤53＝P (ξ＝1)＝47. 【答案】 473．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X 表示4人中的团员人数，则P (X ＝3)＝________.【导学号：29472048】【解析】 P (X ＝3)＝C 35C 15C 410＝521.【答案】 521[小组合作型]分布列及其性质的应用设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝ia (i ＝1,2,3,4)，求：(1)P (X ＝1或X ＝2)； (2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <72.【精彩点拨】先由分布列的性质求a ，再根据X ＝1或X ＝2，12<X <72的含义，利用分布列求概率．【自主解答】 (1)∵∑i ＝14p i ＝1a ＋2a ＋3a ＋4a ＝1，∴a ＝10，则P (X ＝1或X ＝2)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝110＋210＝310.(2)由a ＝10，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <72＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3) ＝110＋210＋310＝35.利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：(1)X 的各个取值表示的事件是互斥的．(2)不仅要注意∑i ＝1np i ＝1，而且要注意p i ≥0，i ＝1,2，…，n.[再练一题]1．若离散型随机变量X 的分布列为：X 0 1 P4a －13a 2＋a求常数a 及相应的分布列．【解】由分布列的性质可知：3a 2＋a ＋4a －1＝1，即3a 2＋5a －2＝0，解得a ＝13或a ＝－2，又因为4a －1>0，即a >14，故a ≠－2. 所以a ＝13，此时4a －1＝13，3a 2＋a ＝23. 所以随机变量X的分布列为：X 0 1 P1323求离散型随机变量的分布列口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列．【精彩点拨】X的可能取值为3,4,5,6，是离散型随机变量．可以利用组合数公式与古典概型概率公式求各种取值的概率．【自主解答】随机变量X的可能取值为3,4,5,6.从袋中随机取3个球，包含的基本事件总数为C36，事件“X＝3”包含的基本事件总数为C33，事件“X＝4”包含的基本事件总数为C11C23，事件“X＝5”包含的基本事件总数为C11C24，事件“X＝6”包含的基本事件总数为C11C25.从而有P(X＝3)＝C33C36＝120，P(X＝4)＝C11C23C36＝320，P(X＝5)＝C11C24C36＝310，P(X＝6)＝C11C25C36＝12，所以随机变量X的分布列为X 345 6P 120320310121．求离散型随机变量的分布列的步骤(1)找出随机变量ξ的所有可能的取值x i(i＝1,2，…，n)，以及ξ取每个值的意义；(2)求出取每一个值的概率P(ξ＝x i)＝p i；(3)列出表格．2．求离散型随机变量分布列时应注意的问题(1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．(2)在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可以验证分布列是否正确．[再练一题]2．将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列．【解】将一颗骰子连掷两次共出现6×6＝36种等可能的基本事件，其最大点数ξ可能取的值为1,2,3,4,5,6.P(ξ＝1)＝1 36，ξ＝2包含三个基本事件(1,2)，(2,1)，(2,2)(其中(x，y)表示第一枚骰子点数为x，第二枚骰子点数为y)，所以P(ξ＝2)＝336＝112.同理可求得P(ξ＝3)＝536，P(ξ＝4)＝736，P(ξ＝5)＝14，P(ξ＝6)＝1136，所以ξ的分布列为ξ12345 6P 136112536736141136[探究共研型]两点分布与超几何分布探究1利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些有什么共同点？【提示】这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果．定义一个随机变量，使其中一个结果对应于1，另一个结果对应于0，即得到服从两点分布的随机变量．探究2只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？【提示】不一定．如随机变量X的分布列由下表给出X 2 5P 0.30.7X不服从两点分布，因为X的取值不是0或1.探究3在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X是否服从超几何分布？超几何分布适合解决什么样的概率问题？【提示】随机变量X服从超几何分布，超几何分布适合解决从一个总体(共有N个个体)内含有两种不同事物A(M个)、B(N—M个)，任取n个，其中恰有X 个A的概率分布问题．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．【精彩点拨】(1)从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X～(0,1)．(2)从10张奖券中任意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X(X ＝1,2)服从超几何分布．【自主解答】(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．P(X＝1)＝C14C110＝410＝25，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－25＝35.因此X的分布列为X 0 1P35 25(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P ＝C 14C 16＋C 24C 06C 210＝3045＝23.②Y 的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P (Y ＝0)＝C 04C 26C 210＝1545＝13，P (Y ＝10)＝C 13C 16C 210＝1845＝25，P (Y ＝20)＝C 23C 06C 210＝345＝115，P (Y ＝50)＝C 11C 16C 210＝645＝215，P (Y ＝60)＝C 11C 13C 210＝345＝115.因此随机变量Y 的分布列为Y 0 10 20 50 60 P13251152151151．两点分布的几个特点(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的．(2)由对立事件的概率求法可知，已知P (X ＝0)(或P (X ＝1))，便可求出P (X ＝1)(或P (X ＝0))．2．解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．(2)超几何分布中，只要知道M ，N ，n ，就可以利用公式求出X 取不同k 的概率P (X ＝k )，从而求出X 的分布列．[再练一题]3．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的概率分布； (2)他能及格的概率.【导学号：29472049】【解】 (1)设抽到他能背诵的课文的数量为X ，则P (X ＝r )＝C r 6C 3－r 4C 310(r ＝0,1,2,3)．所以P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16.所以X 的概率分布为X 0 1 2 3 P1303101216(2)他能及格的概率P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3) ＝12＋16＝23.1．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13i，i ＝1,2,3，则a 的值为( ) A ．1 B.913 C.2713 D.1113【解析】由分布列的性质可知：a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋19＋127＝1，解得a ＝2713. 【答案】 C2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P (ξ＝0)等于( )【导学号：29472050】A．0 B.13 C.12 D.23【解析】设P(ξ＝1)＝p，则P(ξ＝0)＝1－p.依题意知，p＝2(1－p)，解得p＝2 3.故P(ξ＝0)＝1－p＝1 3.【答案】 B3．设随机变量ξ的可能取值为5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P(ξ>8)＝________.【解析】依题意有P(ξ>8)＝112×8＝23.【答案】2 34．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的分布列为________．【解析】P(ξ＝0)＝C03C22C25＝110，P(ξ＝1)＝C13C12C25＝610＝35，P(ξ＝2)＝C23C02C25＝310.【答案】ξ01 2P 110353105.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．(1)求ξ的分布列；(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率．【解】(1)ξ可能取的值为0,1,2，服从超几何分布，P(ξ＝k)＝C k2·C3－k4C36，k＝0,1,2.所以，ξ的分布列为ξ01 2P 153515(2)由(1)知，“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝4 5.。

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