3-4定轴转动刚体的功和能
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刚体定轴转动的功和能
2 3 R 0 转过的圈数： n 16g 2
(解毕 )
· 10 ·
Chapter 4. 刚体的转动
§4. 5 刚体定轴转动的功和能
五、刚体的机械能守恒
当系统中只有保守力作功，系统的机械能守恒：
E0 E
其中 E
m ,l
l 2
1 mv 2 1 J 2 2 2
C
mgh 1 kx 2 2
滑轮(R, M)，m从静止开始下落，求下落 h 时物体的速 度及加速度。 系统 = 弹簧 + 滑轮 + 物体 + 地球： 提示： 机械能守恒
k
M ,R
2mgh kh 2 答案： v m M / 2
m
2(mg kh) a 2m M
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
减速、加速?
h
· 13 ·
Chapter 4. 刚体的转动
三、刚体绕定轴转动的动能定理
W Md
0
M J J d dt
d ω 0 J dt d 0 J d
·4 ·
Chapter 4. 刚体的转动
§4. 5 刚体定轴转动的功和能
1 1 2 2 积分得： W J J 0 2 2
1 2 [定义] 刚体转动动能： E k J 2 1 1 2 2 W J J 0 E k E k 0 E k 2 2
mg
前例 已知：匀质细杆 (m，l )，光滑轴，从竖直位置静 止摆下，求细杆摆到θ 位置时的角速度。
· 11 ·
Chapter 4. 刚体的转动
§4. 5 刚体定轴转动的功和能
解：以杆、地球为一系统，则系统机械能守恒：
(解毕 )
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Chapter 4. 刚体的转动
§4. 5 刚体定轴转动的功和能
五、刚体的机械能守恒
当系统中只有保守力作功，系统的机械能守恒：
E0 E
其中 E
m ,l
l 2
1 mv 2 1 J 2 2 2
C
mgh 1 kx 2 2
滑轮(R, M)，m从静止开始下落，求下落 h 时物体的速 度及加速度。 系统 = 弹簧 + 滑轮 + 物体 + 地球： 提示： 机械能守恒
k
M ,R
2mgh kh 2 答案： v m M / 2
m
2(mg kh) a 2m M
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
减速、加速?
h
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Chapter 4. 刚体的转动
三、刚体绕定轴转动的动能定理
W Md
0
M J J d dt
d ω 0 J dt d 0 J d
·4 ·
Chapter 4. 刚体的转动
§4. 5 刚体定轴转动的功和能
1 1 2 2 积分得： W J J 0 2 2
1 2 [定义] 刚体转动动能： E k J 2 1 1 2 2 W J J 0 E k E k 0 E k 2 2
mg
前例 已知：匀质细杆 (m，l )，光滑轴，从竖直位置静 止摆下，求细杆摆到θ 位置时的角速度。
· 11 ·
Chapter 4. 刚体的转动
§4. 5 刚体定轴转动的功和能
解：以杆、地球为一系统，则系统机械能守恒：
物理-定轴转动刚体的动能定理
2
mi
2 i
1 2
miri2 2
(2) 刚体中所有质元的动能之和
即为刚体绕定轴转动的动能
三、刚体定轴转动的功能定理
合外力矩对刚体做的功，等于刚体转动动能的增加量.
说明
1、这是质点系动能定理的特殊表述形式； 讨论：为何不考虑刚体的内力的功？
2、该定理只对惯性系中的单个刚体成立。
如何计算刚体的重力势能？
附：探究过程
由转动定理
Mz
I
I
d
dt
M zd
I
d
dt
d
Id
2
1
Mzd
2 Id
1
1 2
I22
1 2
I12
合外力矩的功
转动动能的增量
力学第十八讲
刚体定轴转动的动能定理
一、外力矩的功
设F定i (d轴1W)F转iiFi动cFF的Fo的iiis//元(刚9—— d0r功体0i——在在做中)p定功不点d轴r做处i 转功中动受到od某iz一力ridFriidFθ的i /Pr/作id用rdiφ
回顾：刚体定轴转动的冲量定理
刚体定轴转动的冲量定理反映了刚体所受对 转轴 的合外力矩的时间累积作用效果。
问题与探究： 若刚体在定轴转动过程中所受对转轴的合外 力矩 为 Mz，则此合外力矩的空间累积作用效果是什么？
设在合外力矩 Mz 的作用下，刚体绕z轴由1 转到 2 相应地，刚体绕z 轴的角速度由1 转到2 。
四、刚体的重力势能
刚体重力势能定义为刚体各质元重力势能之和。
E pi mghi
E p mi ghi
i
mihi
mg i m
mghc
m
C
mi
mi
2 i
1 2
miri2 2
(2) 刚体中所有质元的动能之和
即为刚体绕定轴转动的动能
三、刚体定轴转动的功能定理
合外力矩对刚体做的功，等于刚体转动动能的增加量.
说明
1、这是质点系动能定理的特殊表述形式； 讨论：为何不考虑刚体的内力的功？
2、该定理只对惯性系中的单个刚体成立。
如何计算刚体的重力势能？
附：探究过程
由转动定理
Mz
I
I
d
dt
M zd
I
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dt
d
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2
1
Mzd
2 Id
1
1 2
I22
1 2
I12
合外力矩的功
转动动能的增量
力学第十八讲
刚体定轴转动的动能定理
一、外力矩的功
设F定i (d轴1W)F转iiFi动cFF的Fo的iiis//元(刚9—— d0r功体0i——在在做中)p定功不点d轴r做处i 转功中动受到od某iz一力ridFriidFθ的i /Pr/作id用rdiφ
回顾：刚体定轴转动的冲量定理
刚体定轴转动的冲量定理反映了刚体所受对 转轴 的合外力矩的时间累积作用效果。
问题与探究： 若刚体在定轴转动过程中所受对转轴的合外 力矩 为 Mz，则此合外力矩的空间累积作用效果是什么？
设在合外力矩 Mz 的作用下，刚体绕z轴由1 转到 2 相应地，刚体绕z 轴的角速度由1 转到2 。
四、刚体的重力势能
刚体重力势能定义为刚体各质元重力势能之和。
E pi mghi
E p mi ghi
i
mihi
mg i m
mghc
m
C
mi
3-3转动中的功与能,3-4
一、角动量定理的微分形式
M z J J d dt d ( J ) dt dLz dt
刚体所受到的对某给定轴的总外力矩等于刚体对该轴的 角动量的时间变化率。 系统对转轴的角动量为： Lz J ii
i
d Mz J ii dt dt i dLz
7
2
3r / s
由于中子星的致密性和极快的自转角速度，在星体周围 形成极强的磁场，并沿着磁轴的方向发出很强的无线电波、 光或X射线。当这个辐射束扫过地球时，就能检测到脉冲信号 ，由此，中子星又叫脉冲星。目前已探测到的脉冲星超过300 个。
质点的运动
机械能守恒定律 动量
F
P mv
有质量为 m1和 m2的物体1和2，且m1 m2。设滑轮的质量 为m，半径为r，所受的摩擦阻力矩为 M r 。绳与滑轮之间 无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。 解:滑轮具有一定的转动惯量。 在转动中受到阻力矩的作用， 两边的张力不再相等， T '1
T '1 T '2
m e R
2
M
2 3
mg R
根据定轴转动定律
2 3
mgR J
1 2
mR
2
d dt
设圆盘经过时间t停止转动，则有
2 3
g 0 dt
t
1 2
R d
0
0
由此求得
t
3 R 4 g
0
§3－3、定轴转动刚体的角动量定理 和角动量守恒定律
刚体对转轴的角动量： L J
刚体定轴转动的动能定理：
2
1
Md
大学物理 3.3刚体定轴转动中的功与能
1
冲头做的功。
解：以 1和 2 分别表示冲孔前后的飞轮的角速度
2n 1
8rad s1
1 60
1 0.2 0.8
2
1
1
由转动动能定理 A 1 J 2 1 J 2 1 J 2 0.82 1
2
2 2
1
2
1
又 J 1 mr2 2
A 5.45103 J
1.绕定轴转动刚体的动能
Δm ,Δm ,,Δm ,,Δm
1
2
i
N
r, r, , r , r
1
2
i,
N
v,v ,,v,,v
1
2
i
N
v r
i
i
E 1 Δmv 2
i2
ii
刚体的总动能
E 1 Δm v 2 1 Δm r 2 2
例3-7半径R质量M的圆盘滑轮可绕通过盘心的水平轴转 动，滑轮上绕有轻绳，绳的一端悬挂质量为m的物体。 当物体从静止下降距离h时，物体速度是多少？
解：以滑轮、物体和地球组成系统为研究对 象。由于只有保守力做功，故机械能守恒。
设终态时重力势能为零
R M
初态：动能为零，重力势能为
v
末态：动能包括滑轮转动动能和物体平动动能
2
合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。 这就是刚体定轴转动的动能定理
例3-6 某一冲床利用飞轮的转动动能通过曲柄连杆机构 的传动，带动冲头在铁板上穿孔。已知飞轮为均匀圆盘， 其半径为r=0.4m，质量为m=600kg，飞轮的正常转速 是 n 240r min，1 冲一次孔转速降低20%。求冲一次孔
冲头做的功。
解：以 1和 2 分别表示冲孔前后的飞轮的角速度
2n 1
8rad s1
1 60
1 0.2 0.8
2
1
1
由转动动能定理 A 1 J 2 1 J 2 1 J 2 0.82 1
2
2 2
1
2
1
又 J 1 mr2 2
A 5.45103 J
1.绕定轴转动刚体的动能
Δm ,Δm ,,Δm ,,Δm
1
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i
N
r, r, , r , r
1
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1
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i2
ii
刚体的总动能
E 1 Δm v 2 1 Δm r 2 2
例3-7半径R质量M的圆盘滑轮可绕通过盘心的水平轴转 动，滑轮上绕有轻绳，绳的一端悬挂质量为m的物体。 当物体从静止下降距离h时，物体速度是多少？
解：以滑轮、物体和地球组成系统为研究对 象。由于只有保守力做功，故机械能守恒。
设终态时重力势能为零
R M
初态：动能为零，重力势能为
v
末态：动能包括滑轮转动动能和物体平动动能
2
合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。 这就是刚体定轴转动的动能定理
例3-6 某一冲床利用飞轮的转动动能通过曲柄连杆机构 的传动，带动冲头在铁板上穿孔。已知飞轮为均匀圆盘， 其半径为r=0.4m，质量为m=600kg，飞轮的正常转速 是 n 240r min，1 冲一次孔转速降低20%。求冲一次孔
刚体的定轴转动定律
刚体的定轴转动定律一、前言刚体的定轴转动定律是物理学中的重要概念之一，它描述了刚体在绕固定轴进行运动时的物理规律。
本文将从定义、公式、特点和应用四个方面来全面介绍刚体的定轴转动定律。
二、定义刚体的定轴转动指的是一个刚体在绕一个固定轴进行旋转运动时，其各个部分都沿着圆周运动，且旋转轴不发生移动。
而刚体的定轴转动定律则是描述这种运动状态下物理量之间关系的规律。
三、公式1. 角加速度公式角加速度指的是角速度随时间变化率，通常用符号α表示。
根据牛顿第二定律和角动量守恒原理，可以得到以下公式：Iα = τ其中，I表示刚体绕固定轴旋转时所具有的惯性矩，τ表示作用在刚体上的扭矩。
2. 角位移公式角位移指的是一个物体在绕某一点旋转时所经过的角度变化量，通常用θ表示。
根据定义可以得到以下公式：θ = s / r其中，s表示弧长，r表示绕定轴旋转的半径。
3. 角速度公式角速度指的是一个物体在绕某一点旋转时所具有的单位时间内经过的角度变化量，通常用符号ω表示。
根据定义可以得到以下公式：ω = Δθ / Δt其中，Δθ表示角位移变化量，Δt表示时间变化量。
4. 动能公式刚体绕定轴旋转时所具有的动能可以通过以下公式计算：E = 1/2 Iω²其中，I表示刚体绕固定轴旋转时所具有的惯性矩，ω表示角速度。
四、特点1. 惯性矩与扭矩之间存在直接关系。
根据牛顿第二定律和角动量守恒原理可以得到Iα = τ这一公式，表明惯性矩与扭矩之间存在直接关系。
当扭矩增大时，刚体的角加速度也会增大；当惯性矩增大时，则需要更大的扭矩来产生相同大小的角加速度。
2. 角加速度与扭矩之间存在反比关系。
根据Iα = τ这一公式可以看出，当惯性矩不变时，角加速度与扭矩之间存在反比关系。
也就是说，当扭矩增大时，角加速度会减小；当扭矩减小时，角加速度会增大。
3. 角速度与角位移之间存在直接关系。
根据定义可以得到ω = Δθ / Δt这一公式，表明角速度与角位移之间存在直接关系。
定轴转动刚体的功能原理
2
2 3R 0 则转过的圈数：n 2 16g
8
l 1 mg J 2 2 2
o
m,l
mg
l 1 1 2 2 mg ml 2 2 3
3g , l
6
例2、质量为m、半径为 R 的圆盘，以初角速度 0在摩擦系数为 的水平 面上绕质心轴转动，问： 圆盘转动几圈后静止？ 解：分割圆盘为圆环
0
m
dr
ro R
m dM阻 2 2 rdr gr R M阻
除重力矩以外其它力矩所作的功为： 1 1 2 2 Md ( mgz J ) ( mgz J c c0 0 ) 0 2 2 重力场中刚体定轴转动的功能原理
1 2 M=0 时 mgz c J 常量 刚体的机械能守恒 2
5
例1、一细杆质量为m，长度 为l，一端固定在轴上，静止 从水平位置摆下，求细杆摆 到铅直位置时的角速度。 解： 系统机械能守恒，以杆 在竖直位置的质心位置 为重力势能零点。
i o d ds ri P
Fi
A Md
0
刚体绕定轴转动时，力矩对转动物体作的功等于 力矩对刚体角位移的积分来表示。
3
三、刚体定轴转动的动能定理
由定轴转动定理有
d d d d M J J J dt d d dt
Md Jd
积分
0
2 Md Jd 1 J 2 1 J 0
R 0
m 2 mgR 2 2 rdr gr 3 R
7
2 A阻 M阻 mg R 3
由动能定理： A Ek Ek 0
2 11 2 2 m gR 0 m R 0 3 22
2 3R 0 则转过的圈数：n 2 16g
8
l 1 mg J 2 2 2
o
m,l
mg
l 1 1 2 2 mg ml 2 2 3
3g , l
6
例2、质量为m、半径为 R 的圆盘，以初角速度 0在摩擦系数为 的水平 面上绕质心轴转动，问： 圆盘转动几圈后静止？ 解：分割圆盘为圆环
0
m
dr
ro R
m dM阻 2 2 rdr gr R M阻
除重力矩以外其它力矩所作的功为： 1 1 2 2 Md ( mgz J ) ( mgz J c c0 0 ) 0 2 2 重力场中刚体定轴转动的功能原理
1 2 M=0 时 mgz c J 常量 刚体的机械能守恒 2
5
例1、一细杆质量为m，长度 为l，一端固定在轴上，静止 从水平位置摆下，求细杆摆 到铅直位置时的角速度。 解： 系统机械能守恒，以杆 在竖直位置的质心位置 为重力势能零点。
i o d ds ri P
Fi
A Md
0
刚体绕定轴转动时，力矩对转动物体作的功等于 力矩对刚体角位移的积分来表示。
3
三、刚体定轴转动的动能定理
由定轴转动定理有
d d d d M J J J dt d d dt
Md Jd
积分
0
2 Md Jd 1 J 2 1 J 0
R 0
m 2 mgR 2 2 rdr gr 3 R
7
2 A阻 M阻 mg R 3
由动能定理： A Ek Ek 0
2 11 2 2 m gR 0 m R 0 3 22
刚体定轴转动动能定理公式
刚体定轴转动动能定理公式刚体定轴转动动能定理是描述刚体绕某一固定轴转动时动能变化的物理定理。
在物理学中，刚体定轴转动动能定理是非常重要的定理之一，它能够帮助我们更好地理解物体在转动时的能量变化规律。
我们需要了解一下刚体的概念。
刚体是指在运动或者受力作用下不会发生形变的物体，也就是说，在运动或者受力作用下，刚体的形状和大小都不会发生任何改变。
我们可以将刚体分为两种类型，一种是平面刚体，另一种是空间刚体。
平面刚体指的是只有面积，没有厚度的物体，空间刚体指的是有一定大小和形状的物体。
接下来，我们来了解一下刚体定轴转动动能定理。
刚体定轴转动动能定理的表达式是：E = 1/2 * I * ω²，其中E表示刚体定轴转动的动能，I表示刚体对于轴的转动惯量，ω表示刚体绕轴的角速度。
从这个公式中，我们可以看出，刚体定轴转动动能与刚体的转动惯量和角速度的平方成正比。
那么，什么是转动惯量呢？转动惯量是描述物体转动惯性的物理量，它表示物体绕着某一轴旋转时所具有的旋转惯性。
不同形状的刚体，其转动惯量也是不同的。
例如，对于一个质量均匀分布的球体，其转动惯量为2/5 * m * r²，其中m表示球体的质量，r表示球体的半径。
刚体定轴转动动能定理的应用非常广泛。
例如，在机械制造和工程设计中，我们可以通过刚体定轴转动动能定理来计算物体旋转时所需要的能量和功率。
同时，在运动学和动力学研究中，刚体定轴转动动能定理也是非常重要的工具。
刚体定轴转动动能定理是描述刚体绕某一固定轴转动时动能变化的重要定理。
通过刚体定轴转动动能定理，我们可以更好地理解物体在转动时的能量变化规律，这对于物理学的研究和应用都具有非常重要的意义。
3.4 刚体定轴转动的功能关系
3-0
3-1 3-2 3-3 3-4 3-5
教学基本要求
刚体运动的描述 转动动能与转动惯量 刚体定轴转动定律 刚体定轴转动的功能关系 刚体角动量定理与角动量守恒定律
第3章 刚体的定轴转动
13
4
2013-7-22Biblioteka 3.4 刚体定轴转动的功能关系
三
刚体的势能——质心的势能
mi zi E p mi gzi (mg ) mgzc i m
其中 四 含有刚体力学系统的机械能守恒定律
zc ——质心相对于重力势能零点的高度
条件：A 外 A非 0(或只有保守力作功) 1 2 1 1 2 2 mv J mgzc Kx 恒量 2 2 2
（作匀加速转动）
M 4 g J 3R
由
0 t
可求得
2 (3) 由 2 0 2 转过的角度为
3R t 4 g 可得在 0 到 t 的时间内，
3 2 R 8g
1 驱动力矩做的功为 A M mR 2 2 4
2013-7-22 9
F
dr
o
r
A
比较
2013-7-22
2 1
Md
x
A F dr
2
3.4 刚体定轴转动的功能关系
2
力矩的功率
比较
3
dA d P M M dt dt
P F v
转动动能
1 2 Ek mi vi i 2 1 1 2 2 2 ( mi ri ) J 2 i 2
2013-7-22 3
3.4 刚体定轴转动的功能关系
二
刚体绕定轴转动的动能定理
2 d d Jd A Md 1 J 1 dt 1 1 2 2 A 1 Md J 2 J 12 2 2
3-4定轴转动刚体的功与能
m
c
c
R
h
1 1 2 2 mgh mc I 2 2
c R
例、一个质量为M、半径为R的定 滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细 绳，绳的一端固定在滑轮边上，另 一端挂一质量为m的物体而下垂。 忽略轴处摩擦，求物体m由静止下 落高度h时的速度。 h
1 1 1 2 2 2 mgh m ( MR )( ) 2 2 2 R
例、一半径为 R，质量为 m匀质圆盘，平放在粗糙 的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ，令圆 盘最初以角速度 0 绕通过中心且垂直盘面的轴旋 转，问当它停止转动时，转动了多少圈？
R
O rdrR圆盘所受摩 擦阻力矩为
M rdm g 2 m gR 3
0
mg r 2rdr 2 R
课堂练习：如图所示，物体的质量为m1、m2，且 m1>m2，圆盘状的定滑轮质量为M1和M2，半径分别 为R1和R2，质量均匀分布，绳轻且不可伸长，绳与 滑轮之间无相对滑动，滑轮轴光滑，求当m1下降了 h的距离时两物体的速度。
R2 m2
m1 gh m2 gh
R1 m1
1 1 1 1 1 1 2 m1 2 m2 2 ( M 1 R12 )( ) 2 ( M 2 R2 )( ) 2 2 2 2 2 R1 2 2 R2
2 1 1 2 2 mgR 0 ( mR )0 3 2 2
n 2
外力矩所做元功为：
d d dW Md I d Id Id dt dt
总外力矩对刚体所作的功为：
2 2
W Md
1
1
1 1 2 2 Id I2 I1 2 2
刚体定轴转动的动能定理 合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。
4第四章 刚体的定轴转动
七、能综合应用转动定律和牛顿运动定律及质点、刚体定轴转 动的运动学公式计算质点刚体系统的简单动力学问题. 八、能综合应用守恒定律求解质点刚体系统的简单动力学问题. 明确选择分析解决质点刚体系统力学问题规律时的优先考虑顺序.
第 1 讲 刚体的定轴转动
预习要点 1. 理解刚体的运动； 2. 掌握描述刚体定轴转动的运动学方法； 3. 理解力矩的概念及力矩的功；
式中 mi ri2 表示第i个质点对转轴的转动惯量；
对质量连续分布的刚体，任取质量元 dm ，其到轴的
距离为 r ，则转动惯量：
J r2dm 单位：kg ·m2
若系统由多个刚体组成，则系统对转轴的总转动惯量， 等于各部分对同一转轴的转动惯量之和
一个长为4L的轻杆，连有两个质量都是m的小球（大小可 忽略），此系统可绕垂直于杆的轴转动，求下列转动惯量；
在转动平面内，O为转动平面与转轴的焦点，r 为从O 点指向
M 力的作用点 A 的位矢，两矢量的夹角为 ；
力 F 对定轴 OZ 的力矩 ：
（力臂：力的作用线到转轴的距离）
z
M Z Fd Fr sin
通常，从OZ轴正向俯视，有 逆时针转动（趋势）力矩为正， 反之为负；
单位：牛·米（N ·m）
F
Or
例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬
有质量为m1和m2的物体，滑轮可视为均质圆盘， 质量 为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无相对 滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳子的张
力. 设 m2 m1
解: 受力分析如图：
FT1 m1g m1a m2g FT2 m2a
FT2R FT1R J a r
m2
)
gl
sin
α
第 1 讲 刚体的定轴转动
预习要点 1. 理解刚体的运动； 2. 掌握描述刚体定轴转动的运动学方法； 3. 理解力矩的概念及力矩的功；
式中 mi ri2 表示第i个质点对转轴的转动惯量；
对质量连续分布的刚体，任取质量元 dm ，其到轴的
距离为 r ，则转动惯量：
J r2dm 单位：kg ·m2
若系统由多个刚体组成，则系统对转轴的总转动惯量， 等于各部分对同一转轴的转动惯量之和
一个长为4L的轻杆，连有两个质量都是m的小球（大小可 忽略），此系统可绕垂直于杆的轴转动，求下列转动惯量；
在转动平面内，O为转动平面与转轴的焦点，r 为从O 点指向
M 力的作用点 A 的位矢，两矢量的夹角为 ；
力 F 对定轴 OZ 的力矩 ：
（力臂：力的作用线到转轴的距离）
z
M Z Fd Fr sin
通常，从OZ轴正向俯视，有 逆时针转动（趋势）力矩为正， 反之为负；
单位：牛·米（N ·m）
F
Or
例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬
有质量为m1和m2的物体，滑轮可视为均质圆盘， 质量 为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无相对 滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳子的张
力. 设 m2 m1
解: 受力分析如图：
FT1 m1g m1a m2g FT2 m2a
FT2R FT1R J a r
m2
)
gl
sin
α
刚体-功能关系
合外力矩对刚体作的功等于刚体转动动能的增量。
A
1 2
J
2 2
1 2
J12
A内=0
四、刚体的重力势能
推导：重力矩的功
重力矩的元功为
dA
M
P
d
m
gacos
d
当刚体的质心位置从
1
C
a2
mg
hc2 hc1
zc1 zc2时，重力矩做的总
功为
AP
d AP
2 m gacos d
1
m gasin 2 sin 1 m ghc1 hc2
度h时，其速度为多大？
解：由刚体的动能定理：
M T'
对M :
Md
1 2
J
2
1 2
J
2 0
T
TR
1 2
J
2
1 2
J
2 0
对m利用质点动能定理：
mm v0 0 , 0 0 mg
mgh
Th
1 2
mv
2
1 2
mv
2 0
h
h R v R
(v, )
v0 0 , 0 0 , J M R2 2
芭蕾舞演员等
对物体系（包括刚体和质点），角动量为
J11,
J
22
,,
r1
m1v1,
r2
m2v2
,
当Mz 0时，
Jii
rj
mjvj
常矢量
i
j
（对同一转轴）
注意：
角动量守恒条件：M合外z=0 M合外z=0 ？ F合外z=0 F合外z=0 ？ M合外z=0
F
F . F
3-4刚体绕定轴转动的动能定理
1 2 T h m v 根据 1 , 立即可以求得张力T1 1 2
1 2 1 T1 m1v 2 h
m1m 2 g m1 m 2
1 2
M
第3章 刚体力学
大学物理学 刘成林等编
1 2 根据 (m2 g T2 )h m2 v 或 T2 r T1 r J 2
可以立即算出张力T2
A M z 75 2.8 10 J 2.1 10 J
2
4
第3章 刚体力学 例 5：质量为 m1 的物体置于完全光滑的水平桌面 上 , 用一根不可伸长的细绳拉着 , 细绳跨过固定于 桌子边缘的定滑轮后，在下端悬挂一个质量为 m2 的 物体 , 如图所示。已知滑轮是一个质量为 M ,半径为r 的圆盘, 轴间的摩擦力忽略不计。求滑轮与 m1 之间 的绳子的张力 T1 、滑轮与 m2 之间的绳子的张力 T2 以 及物体运动的加速度 a 。
大学物理学 刘成林等编
N
闸瓦
解：为了求得飞轮从制 f 飞轮 动到停止所转过的角度 和摩擦力矩所作的功A, 必须先求得摩擦力、摩擦力矩 和飞轮的角加速度。
第3章 刚体力学 闸瓦对飞轮施加的摩擦力的大小等于摩擦系数与 正压力的乘积
大学物理学 刘成林等编
f N 0.50 500 N 2.5 10 N
i 1
n
2
代入动能公式中, 得到刚体转动动能的一般表达式
Ek
1 2 J 2
刚体转动动能与质点运动动能在表达形式上是 相似性的。
第3章 刚体力学 三、刚体定轴转动动能定理
大学物理学 刘成林等编
根据功能原理, 外力和非保守内力对系统作的 总功等于系统机械能的增量。对于刚体一切内力 所作的功都为零。对定轴转动的刚体 , 外力的功 即为外力矩所作的功; 系统的机械能为刚体的转 动动能。
大学物理刚体定轴转动中的功和能
大学 物理
4-3 刚体定轴转动中的功和能
4.3.1 力矩作功
角位移d，元路程ds，元位移 dr 力 F 在元路程ds上的元功
z
F
dA F dr F ds
M F r
F rd Md
O d ds
r
P
力矩对刚体所作的功：
A 2 Md 1
第四章 刚体力学
1
大学 物理
4-3 刚体定轴转动中的功和能
dt l
dt
d 3g cos
dt 2l
第四章 刚体力学
5
大学 物理
4-3 刚体定轴转动中的功和能
例：一质量为m0 ，半径R的圆盘，盘上绕由细绳，一端挂有
质量为m的物体。问物体由静止下落高度h时，其速度为多大？
解：选重物，圆盘，地球作为一个系统。
mgh
1 2
J2
1 2
mv2
(1 2
J02
1 2
Md
0
mgl cos d mgl sin
02
2
动能增量： 1 J2 0 mgl sin
2
2
2 3g sin
l
3g sin
l
N
)
n
t mg ( d )
dt
对上式求d 3g cos
dt 2l
第四章 刚体力学
4
大学 物理
4-3 刚体定轴转动中的功和能
解法3：用机械能守恒求解
N
研究对象：棒和地组成的系统。
在转动过程中，只有保守内力（重力）作功。 )
n
水平状态机械能
E初 0
角时机械能
E末
J 2
2
mg
l 2
sin
4-3 刚体定轴转动中的功和能
4.3.1 力矩作功
角位移d，元路程ds，元位移 dr 力 F 在元路程ds上的元功
z
F
dA F dr F ds
M F r
F rd Md
O d ds
r
P
力矩对刚体所作的功：
A 2 Md 1
第四章 刚体力学
1
大学 物理
4-3 刚体定轴转动中的功和能
dt l
dt
d 3g cos
dt 2l
第四章 刚体力学
5
大学 物理
4-3 刚体定轴转动中的功和能
例：一质量为m0 ，半径R的圆盘，盘上绕由细绳，一端挂有
质量为m的物体。问物体由静止下落高度h时，其速度为多大？
解：选重物，圆盘，地球作为一个系统。
mgh
1 2
J2
1 2
mv2
(1 2
J02
1 2
Md
0
mgl cos d mgl sin
02
2
动能增量： 1 J2 0 mgl sin
2
2
2 3g sin
l
3g sin
l
N
)
n
t mg ( d )
dt
对上式求d 3g cos
dt 2l
第四章 刚体力学
4
大学 物理
4-3 刚体定轴转动中的功和能
解法3：用机械能守恒求解
N
研究对象：棒和地组成的系统。
在转动过程中，只有保守内力（重力）作功。 )
n
水平状态机械能
E初 0
角时机械能
E末
J 2
2
mg
l 2
sin
刚体的能量定轴转动的动能定理
/2 mg L cosd
0
2
mgL / 2
N
YZ
XO
r
mg
依动能定理
A力矩
1 2
J2
1 2
J02
A力矩
mg
L 2
mg
L 2
1 2
J
2
0
mgL J
mgL
1 mL2
3g L
3
三、转动动能
刚体绕定轴以角速度旋转 刚体的动能应为各质元动能之 和为此将刚体分割成很多很小的
r i vi mi
M
质元 m1, m2 mi mn
r 任取一质元 mi 距转轴 i ，则该质元动能：
mivi2 / 2 mi (ri)2 / 2 miri22 / 2
故刚体的转动动能：
n
Ek Ek
力 F 作的功：
ds rd
dA F ds F sin rd Md
在一微小过程中 力矩作的功
dA Md (1)
在一微小过程中
XX 力1矩O1作的2功2 M M
dA Md (1)
在考虑一个有限过程，设
在力矩作用下，刚体的角
位置由 功
1
2
则力矩的
A dA 2 Md (2) 1
力矩的功反映力矩对空间的积累作用，力矩越 大，在空间转过的角度越大，作的功就越大。 这种力矩对空间的积累作用的规律是什么呢？
XX
1
1 O
2
2
2 1
Md
1 2
J
2 2
1 2
J12
M
M
例）设一细杆的质量为m，长为L，一端支以
枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。
3-4 定轴转动刚体的角动量定理
§3-4 定轴转动刚体的角动量定理 和角动量守恒定律
一、 刚体的角动量
对于定点转动而言：
P mv
L
L r P
m v r
o
r sin
r
m
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对于绕固定轴oz的 转动的质元 mi 而言:
Li ri mi vi
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定轴转动刚体的角动量守恒定律
由角动量守恒，得：J
m0v0 a
(1)
(2)子弹随杆一起绕轴O 转 动。以子弹、细杆及地球构 成一系统，只有保守内力作 功，机械能守恒。选取细杆 处于竖直位置时子弹的位置 为重力势能零点，系统在始 末状态的机械能为：
a
1 2 l m0 E0 J mg (a ) 2 2 l E m0 ga(1 cos ) mg (a cos ) 势能零点 2
第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减 速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为
mg ma
（3）
由匀减速直线运动的公式得
0 v 2as
2
亦即
v 2 2gs
（4）
由式（1）、（2）与（4）联合求解，即得
3 gl 3 2 gs l
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例如：花样滑冰运动员 的“旋”动作 再如：跳水运动员的“团 身--展体”动作
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c.若系统内既有平动也有转动现象发生，若对某一定 轴的合外力矩为零,则系统对该轴的角动量守恒。
如： 常平架上的回转仪
1 2 3 v0 (ml 2m0 a)( ml 2 3m0 a 2 ) g m0 a 6
一、 刚体的角动量
对于定点转动而言：
P mv
L
L r P
m v r
o
r sin
r
m
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对于绕固定轴oz的 转动的质元 mi 而言:
Li ri mi vi
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定轴转动刚体的角动量守恒定律
由角动量守恒，得：J
m0v0 a
(1)
(2)子弹随杆一起绕轴O 转 动。以子弹、细杆及地球构 成一系统，只有保守内力作 功，机械能守恒。选取细杆 处于竖直位置时子弹的位置 为重力势能零点，系统在始 末状态的机械能为：
a
1 2 l m0 E0 J mg (a ) 2 2 l E m0 ga(1 cos ) mg (a cos ) 势能零点 2
第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减 速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为
mg ma
（3）
由匀减速直线运动的公式得
0 v 2as
2
亦即
v 2 2gs
（4）
由式（1）、（2）与（4）联合求解，即得
3 gl 3 2 gs l
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例如：花样滑冰运动员 的“旋”动作 再如：跳水运动员的“团 身--展体”动作
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c.若系统内既有平动也有转动现象发生，若对某一定 轴的合外力矩为零,则系统对该轴的角动量守恒。
如： 常平架上的回转仪
1 2 3 v0 (ml 2m0 a)( ml 2 3m0 a 2 ) g m0 a 6
定轴转动刚体的功能原理
定轴转动刚体 的功能原理
1
一、力矩的功
刚体在力
F
作用绕轴转过一微小角位移
d，z
d力AF作F功 d为r： F cos( ) | dr|
F
sin
|
dr|
2
F sinds
ds F
o r d P
Frsind
Frsin M dA Md
3
三、刚体定轴转动的动能定理
刚体定轴转动时，力矩的功和动能的关系？
将定轴转动的转动定律 M dL I d 两边乘以d
再同时对 积分,
dt dt
定轴转动刚体
Md
I d d
I d
的动能定理
0
dt
0
A
1 2
I
2
1 2
I
2 0
即：A Ek
Ek0
由转动动能定理得
mg
h
v0
A
1 2
mgh
0
1 2
I02
1 2
I
v02 l2
解得 h v02 3g
5
四、刚体的重力势能
刚体的重力势能可按质心携带总质量在重力场中 的势能来计算。
五、定轴转动刚体的功能原理
质点系的功能定理： A外 A非保内 (Ek Ep ) E
刚体：A非保内 0
下端达到的高度h。
l l
c hc
m
ho
h’
h=3h0/2
a
b
解:碰撞前单摆摆锤的速度为 v0 2gh0 7
令碰撞后直杆的角速度为，摆锤的速度为v＇。
1
一、力矩的功
刚体在力
F
作用绕轴转过一微小角位移
d，z
d力AF作F功 d为r： F cos( ) | dr|
F
sin
|
dr|
2
F sinds
ds F
o r d P
Frsind
Frsin M dA Md
3
三、刚体定轴转动的动能定理
刚体定轴转动时，力矩的功和动能的关系？
将定轴转动的转动定律 M dL I d 两边乘以d
再同时对 积分,
dt dt
定轴转动刚体
Md
I d d
I d
的动能定理
0
dt
0
A
1 2
I
2
1 2
I
2 0
即：A Ek
Ek0
由转动动能定理得
mg
h
v0
A
1 2
mgh
0
1 2
I02
1 2
I
v02 l2
解得 h v02 3g
5
四、刚体的重力势能
刚体的重力势能可按质心携带总质量在重力场中 的势能来计算。
五、定轴转动刚体的功能原理
质点系的功能定理： A外 A非保内 (Ek Ep ) E
刚体：A非保内 0
下端达到的高度h。
l l
c hc
m
ho
h’
h=3h0/2
a
b
解:碰撞前单摆摆锤的速度为 v0 2gh0 7
令碰撞后直杆的角速度为，摆锤的速度为v＇。
定轴转动刚体的动能定理
它在水平位置
求 它由此下摆 角时的
解 定轴转动动能定理
重力矩的功 等于 直杆动能增量
Md 1 J 2 0
0
2
重力矩 M 1 mgl cos
2
O
ml
h
c
2 3g sin
l
例 均匀细直棒m 、l ，可绕轴 O 在竖直平面内转动，初始时
它在水平位置
求 它由此下摆 角时的
一. 定轴转动刚体动能
第 i 个质点的动能
Eki
1 2
mivi 2
刚体转动动能
vi ri
o ri mi
Ek
(1 2
mivi2 )
(
1 2
mi
ri22)1 2miri2 2
Ek
1 J 2
2
转动惯量 J miri2
说明
与质点动能比较 Ek
O
ml
解 机械能守恒( 以初始位置为0势能点)
h
00
=
1 J 2 mgh
2
h l sin
2
J 1 ml2 3
c
2 3g sin
l
dA dAi M id ( M i )d Md
i
i
i
三.定轴转动动能定理
• 刚体定轴转动
A外 = Ek - Ek0
A外 的力矩表示 Ek 的角量表示
A 2 Md 1
Ek
1 J 2
2
讨论 • 质点系动能变化取决于所有外力、内力做功； • 刚体的内力作功之和为零； • 刚体动能的增量，等于外力的功。
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R1 R2
m2
m1
m 1 g m 2 h g 1 2 h m 1 2 1 2 m 2 2 1 2 ( 1 2 M 1 R 1 2 ) R 1 ( ) 2 1 2 ( 1 2 M 2 R 2 2 ) R 2 ( ) 2
例、一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙
的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为，令圆 盘最初以角速度0绕通过中心且垂直盘面的轴旋
3
m,l
ω 3g(1cosθ) l
θ mg
O
例、质量、半径相同的圆柱体、薄球壳和球体从 相同的光滑斜面的相同高度由静止无相对滑动下 滑，求质心所获得的速度。
m
c c
h
R
mgh12mc212I2 c R
例、一个质量为M、半径为R的定 滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细
绳，绳的一端固定在滑轮边上，另
刚体定轴转动的动能定理 合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。
例：一均匀细长棒，长度为L，质量为M， 起初直立在墙边，并自由倒下，求触地的 瞬间，其端部A的速度。 A
MgL1mg
例 一长为 l 、质量为
m 匀质细杆竖直放置，其
下端与一固定铰链O相接， m,l
并可绕其转动．由于此竖
θ mg
直放置的细杆处于非
O
稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细
杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转
动．试计算细杆转动到与竖直线成角时
的角速度．
解 由于机械能守恒
刚体转动动能的增加等于重力势能的减少
1I2 mgl（ 1cos）
2
2
将 I 1 m gl 2 代入上式得
转，问当它停止转动时，转动了多少圈？
R O r dr
圆盘所受摩 擦阻力矩为
M
rdmg
R 0
r
mRg2 2rdr
2mgR
3
3 2m gR 01 2(1 2m2)R 0 2
n 2
1、定轴转动刚体的转动动能
E ki n 11 2 m iri2 21 2(i n 1 m iri2)21 2I2
刚体绕定轴转动时转
动动能等于刚体的转动惯量 与角速度平方乘积的一半。
显然，同一刚体以相
ri i
mi
同的角速度转动时，转轴位
置不同，转动动能不同。
一端挂一质量为m的物体而下垂。 忽略轴处摩擦，求物体m由静止下
h 落高度h时的速度。
m g1h m 21(1M2)R ()2
2 22 R
课堂练习：如图所示，物体的质量为m1、m2，且 m1>m2，圆盘状的定滑轮质量为M1和M2，半径分别 为R1和R2，质量均匀分布，绳轻且不可伸长，绳与 滑轮之间无相对滑动，滑轮轴光滑，求当m1下降了 h的距离时两物体的速度。
rm m
M
Ek1 2m 21 2m2 r21 2I2 Ek1 2I21 2(1 3M2)r2 E k1 2I21 2(1 3M2 rm2)r 2
2、力矩的功
Ft
rd dr F
因 FcrosM
d W F d r c o F c s r o d F t r s d M
力矩作功：
0
WMd0Md
对于刚体定轴转动
情形，因质点间无相对
0‘
位移，任何一对内力作
功为零。
F
d
dr
r
P
3.定轴转动刚体的动能定理
外力矩所做元功为：
dW M d Id d I dd I d
dt
dt
总外力矩对刚体所作的功为：
W 1 2M d 1 2Id 1 2I2 2 1 2I1 2