11.5第二类曲面积分
曲线积分与曲面积分-第二类曲面积分
曲线积分与曲面积分-第二类曲面积分第十章第五节第二类曲面积分一、主要内容(一) 第二类曲面积分的概念及性质上下内外1. 曲面的分类双侧曲面:双侧曲面.单侧曲面. 典型双侧曲面莫比乌斯带2. 曲面的侧与有向曲面侧法向量的指向有向曲面.( 1 ) 闭曲面的侧内侧:外侧:( 2 ) 非闭曲面的侧1 ) 上、下侧r ,上侧 : , , ( n , 轴 z )r , 下侧 : , , ( n , 轴 z )2 ) 左、右侧r , 右侧 : , , ( n , 轴 y ) r , 左侧 : , , ( n , 轴 y ) 3 ) 前、后侧r , 前侧 : ， , ( n , 轴 x ) (, ) (后) (钝)3. 有向曲面的投影注意: 投影有正负之分投影4. 引例流向曲面一侧的流量稳定流动不可压缩稳定常流动向;量v，S 常数:不可压缩(1) 若是面积为S 的平面域, 注. vr与 t无关: 流体.=r v ,S(2) 若为有向曲面 ,―分割, 近似, 求和, 取极限‖, ,(, i ,,i ,, i ) ,, ，， v ( x, y, z ) , e n ( x, y, z ) d S,5. 定义 10.5F( x, y, z) , P( x, y, z) i ， Q( x, y, z) j ， R( x, y, z) k，， F ( x, y, z ) , dS,注1º 第二类曲面积分的其他表达形式F(x,y,z),dS dS ，， ,,，， [ ]dS,r rr, z )iF ( x,y, z )P(x, y,，Q( x, y, z ) j ， R( x, y, z )k，， , F ( x, y, z ) , dS, ，，, P ( x, y, z )dydz ， Q( x, y, z )dzdx ， R( x, y, z ) dxdy2º 投影转换关系r同方向与 ne有向曲面元,d y d z , cos， d S 有向曲面元 dS分别在 x 轴、 ,, d d cos Sxzy 轴、z 轴上的, ;Sγyxd d cos d, d,,, ，，kγjβinα e x y z cos( , , ) cos cos投影去掉限制:cos , , 0, d x d y , cos, d S , (d S ) xyd y d z , cos， d S , (d S ) yzd z d x , cos , d S , (d S )zx3º如:，， z d S , 0,4º 存在性:5º6:, , ，， Pd y d z ， Qd z d x ， Rd x d y. ,6. 性质(1) 线性性质:(2) 可加性:(3) 有向性:研究第二类曲面积分, 必须注意曲面所取的侧.(二) 两类曲面积分之间的联系，， P ( x, y, z )dydz ， Q( x, y, z )dzdx ， R( x, y, z )dxdy ,, ，，[ P( x, y, z)cosα ，Q( x, y, z)cos β ， R( x, y,z)cosγ ]dS,(三) 第二类曲面积分的计算法转化基本思路:情形1z , z( x, y), 上侧，Dxy ,z y 1 z x， , , e n , , ，1 ， z2 ， z 2 1 ， z 2 ， z 2 1 ， z 2 ， z 2x y x y x y取曲面的上侧，， R( x, y, z )d x d y,,，， R[ x, y, z( x, y)]d x d yDxy下，， R( x, y, z )d x d y,, ，， R[ x, y, z( x, y)]d x d yDxy，， R[ x, y, z( x, y)]d x d y +–，， R( x, y, z ) d x d y , Dxy,上侧正，下侧负.情形 2后–情形 3左–注 1?2?区别:d x d y , d, , 0二、典型例题例1 计算I , ，， [ f ( x, y, z ) ， x]d y d z ， [2 f ( x, y, z ) ， y]d z d x,， [ f ( x, y, z ) ， z]d x d y其中 f为连续函数， ,是平面 x y ， z , 1在第四卦限部分的上侧 .+上侧解 n , (1, 1, 1 ))1,0,0( r, 1,， zyxn)0,1,0(,2, , , , ,1 1 6 1 232 2 )0,0,1( ,,d, , 当cos, , 0时,d x d y , , d, , 当cos, , 0时., 0 当cos, , 0时 ;联系:(下)-例2 计算，， xyzdxdy, 其中Σ是球面,x 2 ， y 2 ， z 2 , 1 外侧在x , 0, y , 0的部分 . ,2 解,1思考:注例3 计算 I , ，， ydydz xdzdx ， z 2dxdy, 其中为,x 2 ， y 2 被平面 z , 1, z , 2 所截部分的外侧( 锥面 z ,解(方法1)D被积函数对变量x是偶函数(方法2) 投影转换法cos，, d x d y cos,cos ,, d x d ycos,r , f n , ,( f x y , 1)x ) ， Q , ( f y ) ， R]dxdy , ，， [ P , ( f ,向量点积法x y, 1 , dxdy, , ，， { y, x, z 2 } , ,x 2 ， y 2 x 2 ， y 2 ,{ y, x, z 2 } , , , ,1,I , ，，, dxdy例4,4解 (方法1),1,6 ,5,3,2I , ，，，，，，，L，，，， [(x ， y)d ydz ， ( y ， z)dzd x ，(z ， x)d xd y],1 ,2 ,6，，，，，, ，，，， ,IL,, , 1 2 63 .3a,例5 位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为q qx 2 ， y 2 ， z 2 ) r , E , 3 3 ( x , y , z ) ( r ,rr求E 通过球面 : r = R 外侧的电通量 , .解 q。
第二类曲面积分概念与性质
P( x, y, z)cos α dS Q( x, y, z)cos β dS
F(
x,
y,
z)
R (Px(,xy,,yz,)zc)oisγdQS(
x,
y,
z)
j
R(
x,
y,
z)k
通常把上式三项分别记作
PQR((xx,y,y,z,z))在在上上对对坐坐 标标yzx,,,zxy的的曲曲面面积积分分
P( x, y, z)dy dz P( x, y, z)cosα dS
Q( x, y, z)dz dx Q( x, y, z)cos β dS
R( x, y, z)dx dy R( x, y, z)cos γ dS
因此第二类曲面积分又记为
(2) F ( x, y, z) dS
P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z) dxdy
F(x, y, z) P(x, y, z) i Q(x, y, z) j R(x, y, z) k
在Σ上有界, e n( x, y, z)是有向曲面上点( x, y, z)处
的单位法向量, 如果积分
[F (
x,
y,
z)
e
n
(
x
,
y,
z
)]dS
存在, 则称此积分为 向量值函数 F ( x, y, z)在有向
当cos γ 0 时 当cos γ 0 时 当cos γ 0 时
其中(σ )xy 表示投影区域的面积, γ为法向量与 z轴正向
的夹角. 注意: 投影有正负之分.
类似可以给出有向曲面在其它坐标面上的投影.
4. 引例 流向曲面一侧的流量
设稳定流动的不可压缩流体的速度场为
第二类曲面积分
d S n d S (d yd z, d zd x, d x d y) A ( P( x, y, z ) , Q( x, y, z ) , R( x, y, z ) )
则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式
P d y d z Q d z d x R d x d y A n d S A d S
2
26
例3. 设
夹成的锐角, 计算
是其外法线与 z 轴正向
解: I z 2 cos d S
Q( x , y , z )dzdx Q( x , y , z )dzdx
R( x , y , z )dxdy R( x , y , z )dxdy
表明，当积分曲面改变为相反侧时， 对坐标的曲面积分要变号。
15
四、计算法（第二类曲面积分----化为二重积分）
若 ：y y( z , x )
(1)若 取左侧，则法向量n朝左 ( 2)若 取右侧，则法向量n朝右
n ( y ,1, y ) x z n ( y ,1, y ) x z
6
即有向曲面方向用法向量指向来表示： 方向余弦 侧的规定
cos
cos
cos
dS n dS (d ydz, dzdx, dxd y) 称为有向曲面元,
令 A ( P, Q, R), n (cos , cos , cos )
向量形式
A d S A n d S
A n A n ( A 在 n 上的投影)
A n dS
封闭曲面 外侧
> 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧
一、有向曲面概念
如果Σ由 y = y( z , x )给出, 则有
∫∫ Q( x , y, z )dzdx = ± ∫∫ Q[ x , y( z, x ), z ]dzdx
Σ Dzx
注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.
计算时应注意以下两点 曲面的侧 “一投,二代,三定号”
∫∫ R( x, y, z )dxdy = ± ∫∫ R[ x, y, z( x , y )]dxdy
λ → 0 i =1
r r lim ∑ F ( ξ i , η i , ζ i ) ⋅ n ( ξ i , η i , ζ i ) ∆ s i =
n
r r ∫∫ F ( x , y , z ) ⋅ n( x , y , z )ds
Σ
r r r r ∫∫ F ⋅ n ds = ∫∫ F ds
Σ Σ
= ∫∫ P ( x , y , z )dydz + Q ( x , y , z )dzdx + R( x , y , z )dxdy
若Σ取下侧, cos γ < 0,
Σ D xy
∴ ( ∆Si ) xy = − ( ∆σ ) xy ,
∫∫ R( x , y, z )dxdy = − ∫∫ R[ x , y, z( x , y)]dxdy
如果Σ由 x = x( y , z )给出, 则有 ∫∫ P ( x , y , z )dydz = ± ∫∫ P[ x( y , z ), y , z ]dydz
曲面 ∆S , ∆S在xoy面上的投影 ( ∆S ) xy 为
( ∆S ) xy ( ∆σ ) xy 当 cos γ > 0 时 = − ( ∆σ ) xy 当 cos γ < 0 时. 0 当 cos γ = 0 时
《高等数学教学课件》2011 第五、六节 二型曲面积分、高斯公式
R 0
R2 r 2 r 5dr
d 1 2 1cos4
R
40
2
0
R2
r 2 r 5dr
4
R 0
R2 r 2 r 5dr
r R sin t
4
2 Rcos t(Rsint)5 Rcos tdt
0
4
R7
2 cos2t sin5 tdt
0
4
R7
2 (1 sin2 t ) sin5 tdt
P1dydz Q1dzdx R1dxdy P2dydz Q2dzdx R2dxdy.
(2).有限可加性
Pdydz Qdzdx Rdxdy ( )Pdydz Qdzdx Rdxdy
1 (32).反向变号性
1 2
设 为的相反侧曲面,则
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy.
上侧
前侧 右侧
下侧
后侧 左侧
定理(第二型曲面积分计算方法)
设定向曲面为 : z z( x, y), ( x, y) Dxy 在xoy面投影区域
如果是上侧,那么: R( x, y, z)dxdy R[x, y, z( x, y)]dxdy
Dxy
如果是下侧,那么: R( x, y, z)dxdy R[x, y, z( x, y)]dxdy
2
h4
z 2dxdy h4
h2dxdy
h4 h2h2
h4 .
2
2
D
2
2
例4、计算 x 2dydz 2xydzdx 2xzdxdy,其中是球面
( x a)2 ( y b)2 (z c)2 R2的内侧.
解 由高斯公式
第二类曲面积分计算方法
第二类曲面积分计算方法曲面积分是计算曲面上某一物理量总量的一种数学方法，可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。
在第一类曲面积分中，被积函数与曲面切向量的点积构成的积分称为第一类曲面积分；而在第二类曲面积分中，被积函数是曲面上的一种标量函数或矢量场，用来描述场量沿曲面的流量，即曲面流量。
下面将介绍第二类曲面积分的计算方法。
第二类曲面积分的计算需要首先确定曲面的参数方程，根据参数方程求得曲面切向量和曲面元素面积。
然后根据被积函数，将其寻找最合适的表示方式，可以是标量函数或者矢量场。
最后根据积分的定义，将函数乘以曲面元素面积并对整个曲面进行积分，即可求得第二类曲面积分的结果。
对于标量函数的第二类曲面积分，需要将被积函数表示为曲面法向量和曲面切向量的点积形式。
例如，对于一个平面区域上的标量场函数 f(x,y)，其第二类曲面积分的计算可以表示为：∫∫f(x,y)·dS其中，dS表示曲面元素面积，可以表示为：dS = ||r_x × r_y||dxdy其中，r_x 和 r_y 分别是曲面参数方程的偏导数。
对于矢量场的第二类曲面积分，需要先将矢量场表示为矢量形式，然后将其与曲面法向量进行点积。
例如，对于一个平面区域上的矢量场 F(x,y) = (P(x,y), Q(x,y))，其第二类曲面积分的计算可以表示为：∫∫F(x,y)·n·dS其中，n表示曲面法向量，可以表示为：n = r_x × r_y同样，曲面元素面积 dS 可以表示为：dS = ||r_x × r_y||dxdy这样就能够得到矢量场的第二类曲面积分计算公式。
在实际问题中，第二类曲面积分的应用非常广泛，例如在流体力学、电磁学、热力学等领域中，均需要涉及到曲面积分的计算。
因此，掌握曲面积分的物理意义和计算方法，对于工程、科学和应用数学领域的从业人员具有重要的指导意义。
教学课件第五节对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)
进阶习题2
求对坐标的曲面积分∫∫(x^2 + y^2)dydz z^2dxdz，其中Σ为曲面z = x^2 + y^2在第
一卦限的部分。
综合习题
综合习题1
求对坐标的曲面积分∫∫(x^2 + y^2)dydz z^2dxdz，其中Σ为曲面z = x^2 + y^2在 第一卦限的部分，并给出其几何意义。
03
第二类曲面积分的几何意义
几何意义的解释
1 2
3
曲面积分
第二类曲面积分是针对曲面侧的正向或负向的积分，其几何 意义表现为对曲面侧的“净流量”或“净通量”的度量。
净流量
当积分号前的函数表示某种物理量（如力、速度、密度等） 时，第二类曲面积分的几何意义可以解释为通过被积分的曲 面侧的净流量，即流入与流出的差值。
第二类曲面积分的计算方法概述
计算步骤
计算第二类曲面积分需要确定定向曲面、选择适当的坐标系、计算面积分范围、 选择合适的方向场，并利用微元法或高斯公式等工具进行计算。
注意事项
在计算过程中，需要注意坐标系的选取要便于计算和简化问题，同时要准确理 解和应用方向场的定义和性质。
02
第二类曲面积分的计算公式
净通量
在某些物理或工程问题中，第二类曲面积分的几何意义可以 解释为通过被积分的曲面侧的净通量，即流入与流出的通量 之差。
几何意义的应用场景
流体动力学
在流体动力学中，第二类曲面积分的几何意义可以用来描述流体通过某一曲面的流量或通量。
电磁学
在电磁学中，第二类曲面积分的几何意义可以用来描述电场或磁场通过某一曲面的通量或流量。
公式推导与理解
公式推导
通过引入向量场、定向曲面等概念，利用散度定理和微积分基本定理推导得出第 二类曲面积分的计算公式。
第二曲面积分-文档资料
其 中 为 各 小 块 曲 面 S i 1 , 2 , , n 中 直 径 的 i
S
最大值.
第二类曲面积分 的定义 定 义 设 S 为 一 光 滑 有 向 曲 面 ， n 为 曲 面 S 上 任 0
3.
一 点处 M的 单 位 法 向 量 , 其 方 向 与 曲 面 S 侧 的
（１）分割
（２）近似
在 S 上 任 取 一 点 ,, . i i i i
n i
vi
i, i, i S v 则该点流速为 i . 法向量为 n i . v v ( , , ) i i i i P ( , , ) i Q ( , , ) j R ( , , ) k , i i i i i i i i i
S
S
● 若 向 量 值 函 数 F x , y , z 在 光 滑 曲 面 或 分 片 光
滑 的 有 向 曲 面 S 上 连 续 ， 则 第 二 类 曲 面 积 分
F n d S F d S 存 在 . 0
第二类曲面积分
（对坐标的曲面积分） 一、第二类曲面积分的概念与性质
1 . 曲面的侧 曲面法向量的指向决定曲面的侧. 决定了侧的曲面称为有向曲面.
以下总假定曲面是光滑的或分片光滑的。
对于曲面S：z=z(x,y), 若每一点的法向量与
z 轴正向夹 角为锐角，则称法向量指向曲面
的上侧; 否则为下侧. z x2 y2 例如旋转抛物面 在抛物面上每一点处的法向 量有两个，其中 n 2 x , 2 y , 1 ,
Si
该点处的单位法向量为：
第五节第二类曲面积分
n
i
)(Si ) yz
称为P 在有向曲面上对 y, z 的曲面积分;
Q( x, y, z ) d z d x lim Q( , ,
0 i i i 1
n
i
)(Si ) zx
称为Q 在有向曲面上对 z, x 的曲面积分;
R( x, y, z) d x d y lim R( , ,
第十一章 第五节 第二类（对坐标）曲面积分
一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质
三、对坐标的曲面积分的计算法
四、两类曲面积分的联系
一、有向曲面及曲面元素的投影
• 曲面分类
双侧曲面 单侧曲面
曲面分内侧和 外侧
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
曲面分左侧和 右侧
曲面分上侧和 下侧
（1）若曲面方程为 z = z (x , y)，则将曲面分为上、下 两侧。此时曲面上任意一点处的法向量为 ( z x , z y ,1)
其中，n1 ( z x , z y , 1) n2 ( z x , z y , 1)
朝上，代表曲面的上侧，
朝下，代表曲面的下侧。
（2）若曲面方程为 y = y (x , z)，则将曲面分为左、右 两侧。此时曲面上任意一点处的法向量为 ( y x , 1, yz )
( ) xz , ( ) xy ,
cos 0
投影取正
若 取右侧
若 取左侧
（2）若的方程为： y y ( x, z )
( S ) x z
（3）若的方程为： x x( y, z )
( S ) y z ( ) yz , ( ) yz ,
第二类曲面积分的计算方法
第二类曲面积分的计算方法赵海林张纬纬摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes公式，积分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解.关键词第二类曲面积分定义法参数法投影法高斯公式Stokes公式向量计算形式1引言曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧•由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点，许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用2预备知识2. 1第二型曲面积分的概念2.1.1 流量问题(物理背景)设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1 )的速度为v v v vv(x, y,z) P(x, y,z)i Q(x,y,z)j R(x, y,z)k,刀是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面刀一侧流向另一侧的流量若为平面上面积为S的区域，而流速v是常向量，指定侧的单位法向量v v v vn cos i cos j cosk则v v vS v cos S v n.若为曲面，流速v不是常向量，则用下面的方法计算流量(1) 分割将任意分成小块S i(i 1,2…,n), S同时代表其面积•M i( i, i, i) S 以点M j处的流速v i v(M i)和单位法向量^分别代替(2) 近似S i 上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过S i指定侧的流量的近似值：v vS i v i n i (i 1,2,…,n).(3) 求和n v vV i n i S ii 1(4) 取极限n v v设T| i吧｛ S的直径｝,则=常。
第二类曲面积分的计算方法,DOC
第二类曲面积分的计算方法赵海林张纬纬摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法,分项投影法,高斯公式，Stokes公式，积1数学知识面广,掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点，许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前,体现了第二型曲面积分计算方法的应用.2预备知识2．1第二型曲面积分的概念 2.1。
1流量问题（物理背景）设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为(,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++，而流速v 是常向量量cos cos cos n i j k αβ=++为曲面，流速v 不是常向量,则用下面的方法计算流量任意分成小块(1,2i i S i n S ∆=∆…,),同时代表其面积。
，以点i M 处的流速()i i v v M =和单位法向量i 上其他各点处的流速和单位法向量,得到流过i 定侧的流量的近似值： （3）求和 （4)取极限2.1。
2定义.S S i i 的面积，他们的符号由的方向来确定若的法线正向与轴正向成锐角时,z.S xy i i i S xoy S z ∆在平面的投影区域的面积为正反之,若法线正向与轴正向成钝角时,.S xy i i xoy S ∆他在平面的投影区域的面积为负在各个小曲面上任取一点,(,)i i i ξηζ。
若lim1T ni P →=∑,(,)i iiξηζyziS ∆0lim1T ni Q →=+∑,(,)i iiξηζzxi S∆0lim1T ni R →=+∑,(,)i iiξηζxyiS ∆存在，或者2v 在定向的光滑曲面取相反侧的曲面，则v 在S -上的且成立SSv ndS v ndS -⋅=-⋅⎰⎰⎰⎰.注意这个等式两边的n 是方向相反的线性性)若i Sdzdx R dxdy +⎰⎰(1,2,k i =…，)存在，1()k i ii c Q dzdx =+∑2k ⋯，，，）是常数性质3（曲面可加性)若曲面S 是由两两无公共内点的曲面块12,,S k S S …，所组成，且 存在，则有2.3第二型曲面积分的数量表达式记{cos ,cos ,cos }{,,}dS n dS dS dS dS dydz dzdx dxdy αβγ=⋅==，称dS 为曲面 从而SSA ndS Pdydz Qdzdx Rdxdy ⋅=++⎰⎰⎰⎰.即(,,)S SA x y z ndS Pdydz Qdzdx Rdxdy ⋅=++⎰⎰⎰⎰，dydz 是dS 在yoz 面上的投影；dzdx 是dS 在zox 面上的投影;dxdy 在dS 在xoy 面上的投S⎰⎰S⎰⎰S⎰⎰cos i xyi S γi 与z 轴正向的交角，它是定义在xyi S 上的函数.因为积分沿曲面正侧进行，所以γ是锐角.又由S 是光滑的,所以cos γ在闭区域xy i S 上连续。
第二类曲面积分
S 在xOy面上的投影(S )xy , 实际上就是 S 在xOy面上的投影区域的面积附以一定的
正负号.
类似地,可定义S在yOz面及zOx面的投影:
, 恰好等于S与坐标面yOz、zOx 的二面角.
希自己写出
二、概念的引入
实例: 流向曲面一侧的流量. (1) 流速场为常向量 v ,有向平面区域 A,求单位
:2x 2y z 2
取上侧
z
xdydz ydzdx ( x z)dxdy x
O
y
1
dy
22 y
(1
y
z )dz
0
0
2
1
dx
22 x
(1
x
z )dz
0
0
2
1 dx
1 x
(2
2x
2
y
x)dy
7
.
0
0
6
z 2 2x 2y
法二 利用向量的点积法计算.
Σ取上侧, 则法向量n与z轴正向的夹角为z 锐角. n (zx ,zy ,1) (2,2,1)
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一、基本概念
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面.
典 型 双 侧 曲 面
规定 法向量的方向来区分曲面的两侧.
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
播放
曲面法向量的指向决定曲面的侧. 决定了侧的曲面称为有向曲面. 曲面的投影问题: 曲面 S
练习题答案
一、1、0；
2、 (P cos Q cos R cos )dS ,法向量.
第二类曲面积分
Rd x d y 称为R 在有向曲面上对 x, y 的曲面积分.
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说明：
引例中，流向 指定一侧的液体的流量 为：
v(
x,
y,
z)
n
0
(
x,
y,
z)dS
Pd y d z Qd z d x Rdx d y
第二类曲面积分存在的必要条件:
i 1
R(i ,i , i )(Si )xy ]
3.取极限 0 取极限得到流量的精确值.
lim
0
n i 1
vi
ni0Si
n
lim
0
[P(i ,i
i 1
,
i
)(Si
) yz
Q(i
,i ,
i
)(Si
)xz
R(i ,i , i )(Si )xy ]
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第二类曲面积分的定义：
为 的前侧（正侧），另一侧称为后侧（负侧）。
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（3）若的方程为 y y(z, x)： 规定：法向量与 y 轴正向的夹角为锐角的一侧称
为 的右侧（正侧），另一侧称为左侧（负侧）。 （4）若 为封闭曲面:
规定：法向量朝外的一侧称为 的外侧（正侧）， 朝内的一侧称为内侧（负侧）。
Q F n0dS adS a dS
a 表面积 4 a3
事实上，容易求得：n0
1 {x,
y, z}
a
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例 2：把对坐标的曲面积分
P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy
第二型曲面积分课件
Dxy
2
x2 y2R2
R2
x2
y2
Dxy
dxdy
4 R3
3
综上, 3
4
(
R3
x
4
y)dydz
R3
(
y
z)dzdx
(
z
3x)dxdy
3
五、两类曲面积分之间的联系
设有向曲面Σ是由方程z z( x, y) 给出,Σ在
xoy面上的投影区域为Dxy , 函数z z( x, y) 在Dxy
上具有一阶连续偏导数, R( x, y, z)在Σ上连续.
{[1 ( x2 y2 ) x] ( x) 1 ( x2 y2 )}dxdy
4 Dxy
2
[ x2 1 ( x2 y2 )]dxdy
Dxy
2
2
d
2 (r 2 cos2 1 r 2 )rdr
8.
0
0
2
六、小结
1、物理意义 2、计算时应注意以下两点
曲面的侧 “一投,二代,三定号”
都在Σ上连续, 求在单位
时间内流向Σ指定侧的流
体的质量 .
o
y
x
1. 分割 把曲面Σ分成n
第i 小块曲面的面积),
在si 上任取一点
z
(i ,i , i ),
小块si
(si
同时也代表
Si
ni
vi
(i ,i , i
)
则该点流速为
vi
.
•
法向量为
ni
.
o
y
x
vi
v(i ,i , i )
P(i ,i , i )i Q(i ,i , i ) j R(i ,i , i )k ,
11.5第二类曲面积分
v
A
A
0 n
流量 v A cos 0 v n A v A
(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1) 的速度场由
v ( x , y, z ) P ( x , y, z )i Q( x , y, z ) j R( x , y, z )k
2 2 2 2 x dydz x dydz x dydz a dydz 0dydz 3 4
D yz D yz
例 1 计算曲面积分 x2dydz y 2dzdx z 2dxdy 其中 是长
方体的整个表面的外侧 {(x y z)|0xa 0yb 0zc} 解 把的上下面分别记为1和2 前后面分别记为3和 4 左右面分别记为5和6 除3、4外 其余四片曲面在yOz 面上的投影为零 因此
要注意到,这里的dydz ,dzdx , dxdy可能为正也可能
为负, 甚至为零, 而且当 n改变方向时,它们都要改
变符号, 与二重积分的面积微分元 dxdy 总取正值 是有区别的.
（1）、存在条件:
当 P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z ) 在有向光滑曲 面Σ 上连续时,对坐标的曲面积分存在.
（2）、物理意义:
P ( x , y , z )dydz Q( x , y , z )dzdx R( x , y , z )dxdy
（3）第二类曲面积分与有向曲面 的法向量的指向有
关。 如果改变曲面 的法向量的指向, 则积分要改
变符号, 即 A ndS A ndS .
D yz
(前正后负)
第二类曲面积分的概念
(3) F( x, y, z) dS F( x, y, z) dS .
(4) 若为定向封闭曲面, 记为 F( x, y, z) dS .
P cos dS, Q cos dS,
同时存在, 则称积分
Rcos dS
(P cos Q cos Rcos )dS
为向量值函数
F ( x, y, z)
在定向曲面
上的积分，
或称第二类曲面积分，记为
F ( x, y, z) d S [F ( x, y, z) en ( x, y, z)]dS .
Pdydz Qdzdx Rdxdy
化
曲
其中
d S : 定向曲面元素；
公 面
dxdy, dydz, dzdx :
d S 的坐标或的投影元素.
式 积
二、第二类曲面积分的性质
(1) 若 F( x, y, z) 在分片光滑定向曲面 上连续 , 则
F( x, y, z) d S 存在.
(2) 第二类曲面积分有线性性、定向曲面积分可加性.
(P cos Q积分的几个等价表达式：
F( x, y, z) d S [F ( x, y, z) en ( x, y, z)]dS
(P cos Q cos Rcos )dS
分
P
cos
dS
Q
cos
dS
R
cos
dS
两 互 类
第二类曲面积分的概念
一、第二类曲面积分的定义
定义：设 为一定向光滑曲面, 向量值函数
F( x, y, z) (P( x, y, z) , Q( x, y, z) , R( x, y, z)) 在
上有界 , en ( x, y, z) (cos , cos , cos ) 是 上
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z
给出,Σ 是速度场中的一片有向曲面,函数 都在Σ 上连续, 求在单位时间 内流向Σ 指定侧的流体的 质量 .
x
o
y
2、第二类曲面积分的概念与性质 定义 设 为光滑的有向曲面, 其上任一点( x , y , z )
第二类曲面积分
一、基本概念
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
曲面分上侧和下侧
曲面分左侧和右侧
莫比乌斯带
1、曲面侧的概念 在光滑曲面 上任取定一点 P , 并作曲面的法线,
该法线有两个可能的方向, 选定其中一个方向,如果 点 P 在曲面 上沿任一路 径连续地变动后 (不跨越
例 1 计算曲面积分 x2dydz y 2dzdx z 2dxdy 其中 是长
方体的整个表面的外侧 {(x y z)|0xa 0yb 0zc} 解 把的上下面分别记为1和2 前后面分别记为3和 4 左右面分别记为5和6 除3、4外 其余四片曲面在yOz 面上的投影为零 因此
2 2 2 2 x dydz x dydz x dydz a dydz 0dydz 3 4
D yz D yz
a2bc
同理可得
2 2 y dzdx b ac 2 2 z dxdy c ab
于是所求曲面积分为(abc)abc
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
2、有向曲面的概念（曲面的定侧）
今后我们总假定所考虑的曲面是双侧的.对于双 侧曲面,我们可通过选定曲面上的一个法向量来 规定曲面的侧. 反之,我们也可通过选定曲面的侧来规定曲面上 各点处的法向量的指向.
例如 由方程zz(x y)表示的曲面为双侧曲面，可分为上 侧与下侧 如果取定曲面的上侧，我们就认为它的法向量指向被 取定。 曲面的侧确定与它的法向量有何关系呢？
2 2
2 : z2 1 x y ,
2 2
xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy
xy 1 x 2 y 2 dxdy xy( 1 x 2 y 2 )dxdy
D xy D xy
1
2
2 xy 1 x y dxdy
由 cos dS dxdy , d cos dS ,有
R( x, y, z )dxdy R( x, y, z ) cos dS
cos R[ x , y , z( x , y )] d | cos | 2 D xy
在第二类曲面积分 A ndS 中, 我们称 ndS 为 有向曲面元, 常将其记为dS .它在三个坐标在上的
投影分别记为
cos dS dydz , cos dS dzdx , cos dS dxdy .
于是, 第二类曲面积分可写成如下形式:
A dS A ndS
要注意到,这里的dydz ,dzdx , dxdy可能为正也可能
为负, 甚至为零, 而且当 n改变方向时,它们都要改
变符号, 与二重积分的面积微分元 dxdy 总取正值 是有区别的.
（1）、存在条件:
当 P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z ) 在有向光滑曲 面Σ 上连续时,对坐标的曲面积分存在.
小结：
1.如果由 z z( x, y)给出, 则有
R( x, y, z)dxdy R[ x, y, z( x, y)]dxdy (上正下负)
Dxy
2.如果由 x x( y, z)给出, 则有
P ( x, y, z )dydz P[ x( y, z ), y, z ]dydz
处的单位法向量 n cos i cos j cos k , 又设 A( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q( x , y , z ) j R( x , y , z )k ,
其中函数 P , Q , R 在 上有界,则有函数
R[ x , y , z( x , y )]dxdy .
D xy
cos R[ x , y , z( x , y )] d | cos | 2 D xy
号或 上式右端取 号要根据 是锐角还是 “ ” “”
当 时,有 R( x , y , z )dxdy 0, 2
D yz
(前正后负)
3.如果由 y y( z, x)给出, 则有
Q( x , y, z )dzdx Q[ x , y( z , x ), z ]dzdx
Dzx
(右正左负)
第二类曲面积分的计算应注意的问题:
(1)曲面S用什么方程表示； (2)向哪个坐标面投影； (3)曲面S取哪一侧； (4)积分前取什么符号。
（4）第二类曲面积分也有与二重积分类似的性质. 如 积分的可加性等.
三、第二类曲面积分的计算 先考察积分 形依此类推.
----化为二重积分
R( x, y, z )dxdy 的计算问题, 其它情
设光滑曲面 : z z( x , y )与平行于 z 轴的直线至
多交于一点,它在 xOy 面上的投影区域为Dxy , 则
我们规定S 在 xOy 面上的投影
( ) xy , cos 0 ( S ) xy ( ) xy , cos 0. 0, cos 0
类似地, 可以定义S 在 yOz 及 zOx面上的投影。
二、第二类曲面积分的概念与性质
1、实例: 流向平面一侧的流量. (1) 流速场为常向量 v ,有向平面区域 A,求单位时间 流过 A 的流体的质量 (假定密度为 1).
例 2 计算 xyzdxdy ，其中Σ 是
z
球面 x 2 y 2 z 2 1外侧在
x 0, y 0的部分.
解
1
x
2
y
把分成1和 2两部分
1 : z1 1 x y ,
2 2
2 : z2 1 x y ;
2 2
解
把分成1和 2两部分 1 : z1 1 x y ;
D yz
如果曲面 由 y y( z , x ) 给出,则有
Q( x , y, z )dzdx Q[ x, y( z , x ), z ]dzdx .
当 时,有
Dzx
2
P ( x, y, z分片计算之.
• 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向表示。
方向余弦
cos
cos
cos
封闭曲面 外侧
侧的规定
> 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧
< 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧
内侧
3、曲面在坐标面上的投影
在有向曲面上取一小块曲面S 用()xy表示S在 xOy 面上的投影区域的面积 假定 S 上各点处的法向量 与z轴的夹角的余弦cos有相同的符号(即cos都是正的 或都是负的)
设 n {cos ,cos ,cos }为曲面上 的法向量，则当cos0时 n所指向的
一侧是上侧 同理 当cos0时 n所指向的一侧就是 下侧
类似地 如果曲面的方程为yy(z x) 则曲面分为 左侧与右侧。当cos0时，法向量指向的一侧是曲面的 右侧当cos0时，法向量指向的一侧是曲面的左侧 如果曲面的方程为xx(y z) 则曲面分为前侧与后 侧。当cos0时，法向量指向的一侧是曲面的前侧当 cos0时，法向量指向的一侧是曲面的后侧
同理, 如果曲面 由 x x( y , z ) 给出, 则有
钝角而定.
P ( x, y, z )dydz P[ x( y, z ), y, z ]dydz .
D yz
P ( x, y, z )dydz P[ x( y, z ), y, z ]dydz . 当 时,有 P ( x , y , z )dydz 0, 2
( P cos Q cos R cos )dS (1) Pdydz Qdzdx Rdxdy .
第二类曲面积分在实际应用中常出现的形式是
Pdydz Qdzdx Rdxdy .
这种形式的第二类曲面积分又称为对坐标的曲面 积分. 注: (1) 式给出了两类曲面积分之间的联系.其中
曲面的边界) 回到原来的 位置时, 相应的法向量的 方向与原方向相同, 就称 是一个双侧曲面;
如果相应的法向量的方向与原方向相反, 就称 是一个单侧曲面. 旋转 通常我们遇到的曲面都是双侧的, 如球面、 马鞍面等.但是单侧曲面也是存在的,所 抛物面、 谓的莫比乌斯带就是一个典型的单侧曲面的例子.
v
A
A
0 n
流量 v A cos 0 v n A v A
(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1) 的速度场由
v ( x , y, z ) P ( x , y, z )i Q( x , y, z ) j R( x , y, z )k
A n P cos Q cos R cos
它在 上的第一类曲面积分 ，称为函数 A ndS ( P cos Q cos R cos )dS