11.5第二类曲面积分
11.5 第二型曲面积分
曲线积分与曲面积分
11.5 第二型曲面积分
11.5.1 第二型曲面积分的概念
曲面有可定向和不可定向之分, 需给出曲面的侧的概念.
先从一个连通曲面S开始, 设S上的每一点P处都有一个切平面, 在点P处
曲面有两个单位法向量n1和n2(=−n1). 当取定其中一个指向为正方向时, 另一
个指向就是负方向. 如果在S上的每个点P处都可以选择一个单位法向量n,
①
定义11.5.1 设S是光滑的有向曲面, 其正侧的单位法向量为
n(x, y, z)=cosαi+cosβj+cosγk,
又设 F(x, y, z)=P(x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z)k 为定义在曲面S上的
向量函数. 若数值函数
F(x, y, z)·n(x, y, z)=P(x, y, z)cosα+Q(x, y, z)cosβ+R(x, y, z)cosγ
F(x, y, z)·n(x, y, z)dA = [P(x, y, z)cosα+Q(x, y, z)cosβ+R(x, y, z)cosγ]dA.
③
容易看出, 当S为光滑曲面, F(x, y, z)的三个分量函数P(x, y, z)、
Q(x, y, z)、 R(x, y, z)在S上连续时, F(x, y, z)·n(x, y, z)在S上也连续,
数学分析第二曲面积分解析
给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数
P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) z
都在Σ上连续, 求在单位
时间内流向Σ指定侧的流
体的质量.
o
y
x
1. 分割 把曲面Σ分成
第i 小块曲面的面积),
在 si 上任取一点
(i ,i , i ),
则该点流速为
vi
.
n小块
si
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
曲面分左侧和 右侧
曲面分上侧和 下侧
曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面.
典
型 双 侧
n
曲
面
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
播放
设连通曲面 S 上处处有连续
ML
变动的切平面（或法线）
M0
设 M0 为曲面 S 上一点，确定
曲面在M0 点的一个法线
S
方向为正方向，另一个方向为负方向.
二、概念的引入
实例: 流向曲面一侧的流量.
(1)
流速场为常向量
v
,有向平面区域
A,求单位
时间流过 A 的流体的质量 (假 定密度为 1). v
A
n
0
流量
Av cos
Av
n 0
v
A
(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1)
第十一章 第5节 对坐标的曲面积分
Si
xy
,
(i ,i ,i )是Si上任意取定的一点.
如果当各小块曲面的直径的最大值 0 时，
n
lim
0
i 1
R(i ,i , i )(Si )xy
总存在，
则称此极限为函数 R(x, y, z) 在有向曲面 上对坐标 x, y 的曲面积分,
记作 R(x, y, z)dxdy， 即
n
0
0
2
30
例5* 计算积分 (x y)dydz ( y z)dzdx (z x)dxdy, 其中 是 以原点为中心，边长为 a 的正立方体的整个表面的外侧,如图.
解: 由轮换坐标系可知
原式=3 (z x)dxdy
顶部为 1：z
a, 2
取上侧；
底部为
2：z
a 2
,
取下侧.
z
y
x
3 (z x)dxdy 3 (z x)dxdy
1
2
(2) P(x, y, z)dydz P(x, y, z)dydz
Q(x, y, z)dzdx Q(x, y, z)dzdx
R(x, y, z)dxdy R(x, y, z)dxdy
13
四、计算方法
设积分曲面 是由方程 z z(x, y) 所给出的曲面上侧，
在 xoy 面上的投影区域为 Dxy ,
曲面积分的向量点积法
(z2 x)dydz zdxdy
D
2
[(z2 x) z 0 z z]dxdy
下侧取负号
D
[( 1
(x2
x y2
)2
y x)x
1
(x2
y2
)]dxdy
1
D
4 (x2
y2 )2 xdxdy
2 [x2 1 (x2 y2 )]dxdy
11.5 对坐标的曲面积分 1
计算对坐标的曲面积分的
向量点积法
四川大学数学学院 徐小湛
长M江ay22001122.4.30 李庄
11.5 对坐标的曲面积分 2
“向量点积法”是计算第二类曲面积 分的一个常用公式。
本课件先给出这个公式并加以推导， 然后用它来计算教材中的曲面积分。
四川大学数学学院 徐小湛
4 D 关于x为奇函数
D
2
积分为零
2
d
2
[(r
cos
)2
1
r
2
]rdr
8
0
0
2
四川大学数学学院 徐小湛
May 2012
Q
z y
R)dxdy
Σ 取上（下）侧时，取正（负）号
第二类曲面积分
对于符号(s) xy 有如下规定：
在有向曲面Σ 上取一小块曲面 S
S在xoy面上的投影 (S) xy 为
( ) xy 当 cos 0 时 ( ) xy 当 cos 0 时. 当 cos 0 时 0
( S ) xy
其中( ) xy 表示投影区域的面积 .
若 ：z z( x , y )
(1)若 取上侧，则法向量n朝上 ( 2)若 取下侧，则法向量n朝下
n ( zx , zy ,1) n ( z , zy ,1) x
5
若 ：x x( y , z )
(1)若 取前侧，则法向量n朝前 n (1, xy , x ) z ( 2)若 取后侧，则法向量n朝后 n ( 1, xy , x ) z
2
2 2 r sin cos 1 r rdrd . 15 D
2 2
xy
y
1
x
20
奇偶对称性？
五、两类曲面积分的联系
Pd y d z Qdz d x Rdx d y n lim P( i ,i , i )(Si ) y z Q( i ,i , i )(Si ) z x 0
18
例 1: 计算 xyzdxdy
z
2
其中Σ 是球面 x y z 1外侧
第十一章 曲线积分与曲面积分(整理解答)
第十一章 曲线积分与曲面积分
一、 第一类、第二类曲线积分的计算，格林公式 11.6
⎰L
xds =( )，其中L 是连接(1,0)及(0,1)的直线段
A.
21 B. 22 C. 2
2 D. 2 解：如图所示，L 所在直线方程参数为 1,,01y x x x x =-=≤≤，
1
1
02
L
xds x x ===⎰
⎰⎰
所以，选B 。
11.9
ds y x
L
)(22
+⎰=( )，其中L 是圆周)20(sin ,cos π≤≤==t t y t x
A.π4
B.2
π
C.π2
D.π
解：
2222220
()(cos sin )2L
x y ds t t dt π
π
π+=+==⎰
⎰⎰
所以，选C 。
11.14 下列为第一类曲线积分的是( )； A ．⎰
Γ
s z y x f d ),,(，其中Γ为3R 中的光滑曲线 B ．⎰
Γ
x z y x f d ),,(，其中Γ为3R 中的光滑曲线 C ．⎰Γ
y z y x f d ),,(，其中Γ为3
R
中的光滑曲线 D ．
⎰Γ
z z y x f d ),,(，其中Γ为3
R
中的光滑曲线
解：由第一类曲线积分的表示，选A 。
11.18 L 为曲线t y t x sin ,cos ==上0=t 到π=t 的一段弧，则
=+⎰L
s y x d )( ( )；
A. 1-
B. 0
C. 1
D. 2
解：
()(cos sin )(cos sin )2L
x y ds t t t t dt π
π
+=+=+=⎰⎰
⎰
所以，选D 。
11.21 L 为曲线2
12y x =
上0x =到1x =的一段弧，则d L
D11_5对坐标曲面积分
+ R (ξ i ,ηi , ζ i )(∆Si ) x y
曲面的方向用法向量的方向余弦刻画
n
]
= lim
[ P(ξ i ,ηi , ζ i ) cos α i + Q(ξi ,ηi , ζ i ) cos β i ∑ λ →0
i =1
+ R (ξ i ,ηi , ζ i ) cos γ i ]∆S i
引例中, 流过有向曲面 Σ 的流体的流量为
Φ = ∫∫ Pd y d z + Qd z d x + Rd x d y
Σ
若记 Σ 正侧的单位法向量为 n = ( cosα , cos β , cos γ ) 令 d S = n d S = (d yd z, d zd x, d x d y )
A = ( P ( x, y , z ) , Q ( x, y , z ) , R ( x, y , z ) )
n
= lim = ∫∫
R (ξ i ,ηi , ∑ λ →0
i =1
Dx y
z (ξi , ηi ) ) (∆σ i ) x y
R ( x, y, z ( x,y )) d x d y
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说明: 如果积分曲面 Σ 取下侧, 则
∫∫Σ R( x, y, z ) d x d y = − ∫∫Dx y R( x, y, z ( x, y )) d x d y
曲线积分与曲面积分
曲线积分与曲面积分
曲线积分与曲面积分是微积分中重要的概念和计算方法，它们在物理、工程和其他科学领域中的应用广泛。本文将重点介绍曲线积分和曲面积分的概念、计算方法和应用。
一、曲线积分
曲线积分是对曲线上的函数进行积分运算的方法。它可以用来计算曲线上的物理量或者曲线周围的环量。曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。
1. 第一类曲线积分
第一类曲线积分也叫标量场的曲线积分，是对曲线上函数的积分。设曲线C为参数方程r(t) = {x(t), y(t), z(t)}，函数f(x, y, z)在曲线C上有定义，则第一类曲线积分的计算公式为：
∫[C]f(x, y, z)ds = ∫[a,b]f(x(t), y(t), z(t))|r'(t)|dt
其中ds表示曲线上的长度元素，|r'(t)|表示参数方程的导数的模。
2. 第二类曲线积分
第二类曲线积分也叫矢量场的曲线积分，是对曲线上的矢量场进行积分。设曲线C为参数方程r(t) = {x(t), y(t), z(t)}，矢量场F(x, y, z)在曲线C上有定义，则第二类曲线积分的计算公式为：
∫[C]F(x, y, z)•dr = ∫[a,b]F(x(t), y(t), z(t))•r'(t)dt
其中•表示矢量的点积运算。
二、曲面积分
曲面积分是对曲面上的函数进行积分运算的方法。曲面积分可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。
1. 第一类曲面积分
第一类曲面积分也叫标量场的曲面积分，是对曲面上函数的积分。设曲面S为参数方程r(u, v) = {x(u, v), y(u, v), z(u, v)}，函数f(x, y, z)在曲面S上有定义，则第一类曲面积分的计算公式为：
05 第五节 第二类曲面积分
第五节第二类曲面积分
分布图示
★有向曲面的概念
★引例流向曲面制定侧的流量
★第二类曲面积分的概念
★第二类曲面积的计算
★例1 ★例2 ★例3
★内容小结★课堂练习
★习题11-5
★返回
内容要点
一、有向曲面：双侧曲面单侧曲面
在科学幻想故事“一列名叫麦比乌斯的地铁”②“另一个”面上跑它的正常路线. 面对极度惊愕的市政官员, 他耐心地解释了这种系统的拓扑奇异性. 在经过一段时间——确切地说是十星期之后——这列丢失的列车又重新出现了，它的乘客都安然无恙，只是有一点累.
二、第二类曲面积分的概念与性质
定义1设为光滑的有向曲面, 其上任一点处的单位法向量又设
其中函数在上有界, 则函数
则上的第一类曲面积分
(5.5)
称为函数在有向曲面上的第二类曲面积分.
三、第二类曲面积分的计算法
设光滑曲面：，与平行于轴的直线至多交于一点，它在面上的投影区域为, 则.
. (5.9)
上式右端取“+”号或“-”号要根据是锐角还是钝角而定.
例题选讲
第二类曲面积分的计算法
例1 (E01) 计算曲面积分其中是长方体
的整个表面的外侧.
解如图(见系统演示), 把有向曲面分成六部分.除外，其余四片曲面在面上的投影值为零,因此
类似地可得
于是所求曲面积分为
例2 (E02) 计算其中是球面外侧在的部分.
解把分成和两部分
利用极坐标
例3 (E03) 计算其中是旋转抛物面介于平面及之间的部分的下侧.
解
在曲面上，有
课堂练习
1.当是面内的一个闭区域时, 曲面积分与二重积分有什么关系?
2.计算曲面积分其中为平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.
第二类曲面积分
Dxy
2 sin 2d
1r3
1 r2 dr 2
0
0
15
例2 计算流速为 v = {x,2y,3z}的不可压缩流体在单位
时间内穿过 x2 y2 z2 (0 z a) 表面外侧的流量Φ
解 设ρ =1 则流量
xdydz 2ydzdx 3zdxdy
化成∑的投影区域上的二重积分
(1) 设∑的方程为: z=z(x,y) ,Σ 在xoy面上的投影为 Dxy
z(x,y) 在 Dxy 上有一阶连续偏导数, 可以证明:
R(x, y, z)dxdy R[x, y, z(x, y)]dxdy
Dxy
注意： Σ 取上侧时为正号; Σ 取下侧时为负号.
其中d为n个子曲面的最大直径
定义 设R(x,y,z)是定义在有向曲面Σ 上的有界函数,
Σ 的单位法向量为 n0 , 将Σ 任意分成n个子曲面 Si ,
Si 在xoy面上的投影为 Si,xy, Si 上任取一点
n
(i ,i , i ), 作和式
R(i ,i , i )Si,xy
两者的投影域相同,为
1
Dxy : x2 y2 1(x 0, y 0)
xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy
1
2
曲面积分
1． 第二类曲面积分
方法1： Gauss 公式(绝大部分问题都用此方法)
(
)d d d d d d d S
Q P R V P y z Q z x R x y x
y
z
Ω
∂∂∂+
+
=
++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰
方法2： 对三个面分别作投影化成二重积分求解
()()[]⎰⎰⎰⎰±=S
D dxdy y x z y x R dxdy
z y x R xy
,,,,,
方法3： 矢量法，将三个面变成一个一个面做投影
d d d d d d (,,)()(,,)()(,,)d d
S
D x y
z z
P y z Q z x R x y P x y z Q x y z R x y z x y x y ⎡⎤∂∂++=±-+-+⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰
⎰⎰
若曲面S 指定一侧的法向量与Z 轴正向成锐角取正号，成钝角取负号，这样把这部分曲面
积分化为xy 平面上的二重积分，其它两部分类似地处理。
例1 求3
222
2
, ()S
zd xd y xd zd y yd xd z
I S x y z ++=
++⎰⎰
其中
1）2221,()x y z ++=外 2）222
(2)1,()x y z -++=外 3）
2222
2
2
1()x y z a
b
c
+
+
=外。
解：设⎰⎰
++=
S
Rdxdy Qdzdx Pdydz I 通过计算可知0=∂∂+
∂∂+
∂∂z
R y
Q x
P
（1）3
222
2
()S
S
zd xd y xd zd y yd xd z
I zd xd y xd zd y yd xd z x y z ++=
=
++
++⎰⎰
⎰⎰
4 33
43
V
d xd yd z ππ===⎰⎰
第二类曲面积分11.5.31
的夹角. 注意: 投影有正负之分. 的夹角 注意 投影有正负之分 类似可以给出有向曲面在其它坐标面上的投影 类似可以给出有向曲面在其它坐标面上的投影. 投影
4. 引例 流向曲面一侧的流量 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 稳定流动的不可压缩流体的速度场为 的流量Φ 求单位时间流过有向曲面 ∑ 的流量Φ. (假定密度为 (假定密度为1) 假定密度为1) r (1) 若 ∑ 是面积为 的平面域 注. v 与 t无关： 是面积为S 的平面域, 无关： r θ 单位法向量： en 单位法向量： 稳定流动； 稳定流动； ρ S 常数： = 常数： 流速为常向量 流速为常向量 不可压缩流体. 不可压缩流体 则单位时间内流量为
1 1 , cos β = − ∴ cosα = cosγ = 3 3
I = ∫∫ (Pcosα + Qcos β + Rcosγ )d S
Σ
1 1 1 = ∫∫[( f + x) ⋅ + (2 f + y) ⋅ (− ) + ( f + z) ⋅ ]d S 3 3 3 Σ z 1 = ∫∫ ( x − y + z)d S 3 (0,0,1)
典型双侧曲面
典型单侧曲面 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 单侧曲面
2. 曲面的侧与有向曲面 对于双侧曲面， 可用曲面法向量的指向 对于双侧曲面，其侧可用曲面法向量的指向 来确定. 来确定 决定了侧的曲面称为有向曲面 有向曲面. 决定了侧的曲面称为有向曲面
高等数学c第二版教材答案
高等数学c第二版教材答案第一章微积分
1.1 重要概念和定理
1.2 基本求导法则
1.3 函数的求导法则
1.4 高阶导数和导数的几何应用
1.5 隐函数与由参数方程所确定的函数的求导法则1.6 微分中值定理和拉格朗日中值定理
1.7 泰勒公式和幂级数的微分
1.8 函数的单调性和凸性
1.9 函数图形的描绘及其应用
1.10 微分学中的极值问题
1.11 不定积分
1.12 定积分
1.13 定积分的计算
1.14 不定积分与定积分的应用
1.15 微积分学基本公式与定积分的计算方法
第二章无穷级数和傅里叶级数
2.1 数项级数
2.2 收敛级数的性质
2.3 收敛级数的运算
2.4 幂级数
2.5 傅里叶级数
第三章多元函数微分学
3.1 二元函数的极限与连续
3.2 偏导数
3.3 全微分
3.4 多元复合函数微分法
3.5 隐函数与由参数方程所确定的函数的求导法则3.6 方向导数、梯度与法向导数
3.7 高阶偏导数及其几何应用
3.8 多元函数的极值与最值
第四章重积分
4.1 二重积分的概念与性质
4.2 二重积分的计算方法
4.3 二重积分的应用
4.4 三重积分的概念与性质
4.5 三重积分的计算方法
4.6 三重积分的应用
第五章曲线与曲面积分
5.1 第一类曲线积分
5.2 第二类曲线积分
5.3 平面曲线的曲率
5.4 第一类曲面积分
5.5 第二类曲面积分
第六章向量场与散度定理、斯托克斯定理6.1 向量场
6.2 散度与散度定理
6.3 旋度与斯托克斯定理
6.4 散度和旋度的计算
6.5 矢量场的可微性
第七章常微分方程
7.1 方程y'=f(x,y)的基本概念
第二类曲面积分
R(i ,i , i )(Si )xy ]
3.取极限 0 取极限得到流量的精确值.
lim
0
n i 1
vi
ni0Si
n
lim
0
[P(i ,i
i 1
,
i
)(Si
) yz
Q(i
,i ,
i
)(Si
)xz
R(i ,i , i )(Si )xy ]
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第二类曲面积分的定义：
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例 1：计算曲面积分 Q xdydz ydzdx zdxdy，其中 是球面 x2 y2 z2 a2 的外侧 。
解： 设 F {x, y, z}，则 Q F n0dS 其中 n0 是球面外侧的单位法向量。
因为 F //n0 ，且同向，所以 F n0 | F | a
曲
面
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典型单侧曲面: 莫比乌斯带
播放
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定义： 设 为一光滑曲面，M 为 上任意一点，
在 M 处的法向量有两个指向，取定一个指 向，记为 n，若动点从 M 点出发，在 上不 越过边界移动，最后回到 M 点时，n 的方向 没有改变，则称 为双侧曲面。否则称为单 侧曲面。
Q F n0dS adS a dS
曲面积分计算公式
曲面积分计算公式有：
第一类曲面积分：∮c ds=∫∫cdzdx+c(-z)dy。
第二类曲面积分：∮c·ndS=∫∫cncosdydz+csin dxdy。
其中，c为积分曲线的平面闭区域，n为积分曲线在闭区域上某点的曲面法向量。
第二类曲面积分总结
第二类曲面积分总结
第二类曲面积分总结
前言
在数学中，曲面积分是研究曲面上的函数积分的一种方法。曲面积分分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。本文将重点介绍第二类曲面积分及其相关内容。
正文
1. 第二类曲面积分的概念
第二类曲面积分也称为“通量”，是一种通过曲面的向量场计算流量的方法。第二类曲面积分可以用来求解流体的流量、电场的电通量等问题。
2. 曲面方程的参数化表示
为了进行曲面积分的计算，需要将曲面方程进行参数化表示。参数化表示可以将曲面上的点用参数方程表示，从而简化曲面积分的计算过程。
3. 第二类曲面积分的计算公式
根据曲面的参数化表示和向量场的定义，可以推导出第二类曲面积分的计算公式。常见的计算公式包括高斯定理和斯托克斯定理。
4. 曲面法向量的确定
在计算曲面积分时，需要确定曲面的法向量。法向量的确定可以根据曲面方程的表达式及参数化表示进行求解，常见的方法包括求偏导和向量积等。
5. 应用举例
第二类曲面积分在物理学等领域有广泛的应用。例如，可以用来计算物体受力、电荷分布等方面的问题，也可以应用于流体力学、电磁学等学科。
结尾
通过本文的介绍，我们了解到第二类曲面积分是一种通过曲面的向量场计算流量的方法。它在数学和物理学等领域有着广泛的应用。掌握了第二类曲面积分的概念、参数化表示、计算公式和曲面法向量的确定方法，我们能够更好地应用它进行问题求解。希望本文对读者能够有所帮助，进一步拓展对第二类曲面积分的理解和运用。
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2 2 r sin cos 1 r rdrd . 15 D
2 2
xy
求 P d y d z Q d z d x R d x d y的步骤 :
1)观察积分域的方程所含的变量与积分域变量是否一致.
2)如果不一致,改变积分域方程或改变积分变量.
如果一致,上、前、右投影后为正,下、后、左投影后为负.
2 2
2 : z2 1 x y ,
2 2
xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy
xy 1 x 2 y 2 dxdy xy( 1 x 2 y 2 )dxdy
D xy D xy
1
2
2 xy 1 x y dxdy
（4）第二类曲面积分也有与二重积分类似的性质. 如 积分的可加性等.
三、第二类曲面积分的计算 先考察积分 形依此类推.
----化为二重积分
R( x, y, z )dxdy 的计算问题, 其它情
设光滑曲面 : z z( x , y )与平行于 z 轴的直线至
多交于一点,它在 xOy 面上的投影区域为Dxy , 则
小结：
1.如果由 z z( x, y)给出, 则有
R( x, y, z)dxdy R[ x, y, z( x, y)]dxdy (上正下负)
Dxy
2.如果由 x x( y, z)给出, 则有
P ( x, y, z )dydz P[ x( y, z ), y, z ]dydz
2 2 2 2 x dydz x dydz x dydz a dydz 0dydz 3 4
D yz D yz
a2bc
同理可得
2 2 y dzdx b ac 2 2 z dxdy c ab
于是所求曲面积分为(abc)abc
（2）、物理意义:
P ( x , y , z )dydz Q( x , y , z )dzdx R( x , y , z )dxdy
（3）第二类曲面积分与有向曲面 的法向量的指向有
关。 如果改变曲面 的法向量的指向, 则积分要改
变符号, 即 A ndS A ndS .
例 1 计算曲面积分 x2dydz y 2dzdx z 2dxdy 其中 是长
方体的整个表面的外侧 {(x y z)|0xa 0yb 0zc} 解 把的上下面分别记为1和2 前后面分别记为3和 4 左右面分别记为5和6 除3、4外 其余四片曲面在yOz 面上的投影为零 因此
在第二类曲面积分 A ndS 中, 我们称 ndS 为 有向曲面元, 常将其记为dS .它在三个坐标在上的
投影分别记为
cos dS dydz , cos dS dzdx , cos dS dxdy .
于是, 第二类曲面积分可写成如下形式:
A dS A ndS
Baidu Nhomakorabea
v
A
A
0 n
流量 v A cos 0 v n A v A
(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1) 的速度场由
v ( x , y, z ) P ( x , y, z )i Q( x , y, z ) j R( x , y, z )k
D yz
(前正后负)
3.如果由 y y( z, x)给出, 则有
Q( x , y, z )dzdx Q[ x , y( z , x ), z ]dzdx
Dzx
(右正左负)
第二类曲面积分的计算应注意的问题:
(1)曲面S用什么方程表示； (2)向哪个坐标面投影； (3)曲面S取哪一侧； (4)积分前取什么符号。
曲面的边界) 回到原来的 位置时, 相应的法向量的 方向与原方向相同, 就称 是一个双侧曲面;
如果相应的法向量的方向与原方向相反, 就称 是一个单侧曲面. 旋转 通常我们遇到的曲面都是双侧的, 如球面、 马鞍面等.但是单侧曲面也是存在的,所 抛物面、 谓的莫比乌斯带就是一个典型的单侧曲面的例子.
第二类曲面积分
一、基本概念
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
曲面分上侧和下侧
曲面分左侧和右侧
莫比乌斯带
1、曲面侧的概念 在光滑曲面 上任取定一点 P , 并作曲面的法线,
该法线有两个可能的方向, 选定其中一个方向,如果 点 P 在曲面 上沿任一路 径连续地变动后 (不跨越
P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z )
z
给出,Σ 是速度场中的一片有向曲面,函数 都在Σ 上连续, 求在单位时间 内流向Σ 指定侧的流体的 质量 .
x
o
y
2、第二类曲面积分的概念与性质 定义 设 为光滑的有向曲面, 其上任一点( x , y , z )
D yz
如果曲面 由 y y( z , x ) 给出,则有
Q( x , y, z )dzdx Q[ x, y( z , x ), z ]dzdx .
当 时,有
Dzx
2
P ( x, y, z )dydz 0.
注: 积分曲面更复杂的情形可分片计算之.
• 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向表示。
方向余弦
cos
cos
cos
封闭曲面 外侧
侧的规定
> 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧
< 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧
内侧
3、曲面在坐标面上的投影
在有向曲面上取一小块曲面S 用()xy表示S在 xOy 面上的投影区域的面积 假定 S 上各点处的法向量 与z轴的夹角的余弦cos有相同的符号(即cos都是正的 或都是负的)
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
2、有向曲面的概念（曲面的定侧）
今后我们总假定所考虑的曲面是双侧的.对于双 侧曲面,我们可通过选定曲面上的一个法向量来 规定曲面的侧. 反之,我们也可通过选定曲面的侧来规定曲面上 各点处的法向量的指向.
例如 由方程zz(x y)表示的曲面为双侧曲面，可分为上 侧与下侧 如果取定曲面的上侧，我们就认为它的法向量指向被 取定。 曲面的侧确定与它的法向量有何关系呢？
R[ x , y , z( x , y )]dxdy .
D xy
cos R[ x , y , z( x , y )] d | cos | 2 D xy
号或 上式右端取 号要根据 是锐角还是 “ ” “”
当 时,有 R( x , y , z )dxdy 0, 2
同理, 如果曲面 由 x x( y , z ) 给出, 则有
钝角而定.
P ( x, y, z )dydz P[ x( y, z ), y, z ]dydz .
D yz
P ( x, y, z )dydz P[ x( y, z ), y, z ]dydz . 当 时,有 P ( x , y , z )dydz 0, 2
2 2 2 2 x dydz x dydz x dydz a dydz 0dydz 3 4
D yz D yz
例 1 计算曲面积分 x2dydz y 2dzdx z 2dxdy 其中 是长
方体的整个表面的外侧 {(x y z)|0xa 0yb 0zc} 解 把的上下面分别记为1和2 前后面分别记为3和 4 左右面分别记为5和6 除3、4外 其余四片曲面在yOz 面上的投影为零 因此
由 cos dS dxdy , d cos dS ,有
R( x, y, z )dxdy R( x, y, z ) cos dS
cos R[ x , y , z( x , y )] d | cos | 2 D xy
例 2 计算 xyzdxdy ，其中Σ 是
z
球面 x 2 y 2 z 2 1外侧在
x 0, y 0的部分.
解
1
x
2
y
把分成1和 2两部分
1 : z1 1 x y ,
2 2
2 : z2 1 x y ;
2 2
解
把分成1和 2两部分 1 : z1 1 x y ;
A n P cos Q cos R cos
它在 上的第一类曲面积分 ，称为函数 A ndS ( P cos Q cos R cos )dS
上的第二类曲面积分. A( x , y , z )在有向曲面
要注意到,这里的dydz ,dzdx , dxdy可能为正也可能
为负, 甚至为零, 而且当 n改变方向时,它们都要改
变符号, 与二重积分的面积微分元 dxdy 总取正值 是有区别的.
（1）、存在条件:
当 P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z ) 在有向光滑曲 面Σ 上连续时,对坐标的曲面积分存在.
处的单位法向量 n cos i cos j cos k , 又设 A( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q( x , y , z ) j R( x , y , z )k ,
其中函数 P , Q , R 在 上有界,则有函数
我们规定S 在 xOy 面上的投影
( ) xy , cos 0 ( S ) xy ( ) xy , cos 0. 0, cos 0
类似地, 可以定义S 在 yOz 及 zOx面上的投影。
二、第二类曲面积分的概念与性质
1、实例: 流向平面一侧的流量. (1) 流速场为常向量 v ,有向平面区域 A,求单位时间 流过 A 的流体的质量 (假定密度为 1).
( P cos Q cos R cos )dS (1) Pdydz Qdzdx Rdxdy .
第二类曲面积分在实际应用中常出现的形式是
Pdydz Qdzdx Rdxdy .
这种形式的第二类曲面积分又称为对坐标的曲面 积分. 注: (1) 式给出了两类曲面积分之间的联系.其中
• 曲面分类
双侧曲面
单侧曲面
典 型 双 侧 曲 面
n
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
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典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
设 n {cos ,cos ,cos }为曲面上 的法向量，则当cos0时 n所指向的
一侧是上侧 同理 当cos0时 n所指向的一侧就是 下侧
类似地 如果曲面的方程为yy(z x) 则曲面分为 左侧与右侧。当cos0时，法向量指向的一侧是曲面的 右侧当cos0时，法向量指向的一侧是曲面的左侧 如果曲面的方程为xx(y z) 则曲面分为前侧与后 侧。当cos0时，法向量指向的一侧是曲面的前侧当 cos0时，法向量指向的一侧是曲面的后侧