理论力学：第10章 动量定理
理论力学--动量定理
质心运动的思考与比较
F′
A F
B
两个相同的均质圆盘，放在光滑水平面上， 两个相同的均质圆盘，放在光滑水平面上，在圆盘的不 同位置上，各作用一水平力F 同位置上，各作用一水平力 和F′，使圆盘由静止开始运动 ， ，设F = F′，试问哪个圆盘的质心运动得快？ ，试问哪个圆盘的质心运动得快？ (A)．A盘质心运动得快 ． 盘质心运动得快 (B)．B盘质心运动得快 ． 盘质心运动得快 (C)．两盘质心的运动相同 ． (D)．无法判断 ．
1 2 h = gt 2
r P
以接触工件时刻的锻锤为对象，由积分形式的动量定理： 以接触工件时刻的锻锤为对象，由积分形式的动量定理：
mv − mv0 = (P − F )t0
v 1 1 + 0 P = 1 + F = gt 0 t0 2h g
30° °
﹡ FN
P
Q
P ∗ v0 sin 30o − 0 = (FN − P −Q)t g
例：未固定偏心转子电机的分析 未固定偏心转子电机的分析 偏心转子
例：未固定偏心转子电机的分析 未固定偏心转子电机的分析 偏心转子
y1
ω
o2
y
r aO 2 = eω 2 ϕ o1 r m1 g FY
r x1 r aO1 m2 g
y1
r vO 2 o2
y
eω 2 ϕ o1 r m1 g FY
& r x m2 g
x1
x
外壳质心的速度， 轴正向: 其中 vO1 — 外壳质心的速度，沿 x 轴正向 vO2 — 转子质心的速度，且 转子质心的速度，
例：电机在水平方向的运动规律
(m v
理论力学第十章PPT
) =0
∑ Fi dt = 0
d(mi vi ) = Fi (e) dt + Fi (i) dt
质点系： ∑d(mi vi ) = ∑ Fi (e) dt + ∑ Fi (i) dt
得 dp = ∑ F dt = ∑dI i
(e)
(e) i
或
dp (e) = ∑ Fi dt
称为质点系动量定理的微分形式 即质点系动量的增量等于作用于质点系的外力 元冲量的矢量和； 或质点系动量对时间的导数等于作用于质点系 的外力的矢量和。
在 t1 t2 内，动量由 p1~ p2 ，有 ~
p2 − p1 = ∑ Ii(e)
i=1
n
称为质点系动量定理的积分形式，即在某一时间 间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内 作用于质点系外力冲量的矢量和。 动量定理微分形式的投影式
dpx = ∑ Fx(e) dt
dpy dt
= ∑F
(e) y
dpz = ∑ Fz(e) dt
动量定理积分形式的投影式
( p2x − p1x = ∑ I xe)
( p2y − p1y = ∑I ye)
p2z − p1z = ∑ I z(e)
3．质点系动量守恒定律 ．
若 ∑F
(e)
≡ 0 ， 则 p = 恒矢量
若 ∑ Fx
(e)
≡ 0， 则 px = 恒量
解决动量定理习题步骤
第十章 动 量 定 理
§10-1 动量与冲量
1．动量 ． 质点的动量 质点系的动量
mv
n i=1
单位： kg⋅ m/ s
p = ∑mivi
dri d p = ∑mivi = ∑mi = ∑mi ri dt dt ∑mi ri 质心 rc = ， m = ∑mi m
理论力学-动量定理
内力虽不能改变整个质点系的动量，但是可改变质点系 中各个质点的动量。
11.3 质心运动定理
(1)当质点系动量守恒时，即
F
(e) i
=0，则质点系质心的
速度vC为常矢量，质点系质心做惯性运动。若初始时系统静
(2)当质点系在x方向上动量守恒时，即
F
(e) x
=0，则质
点系的质心沿该轴x的速度vCx为常量，质点系质心沿x轴做惯
当曲柄转过φ=ωt时，平台质心位置变为（x,y0），此时系统质心的水平
11.1 动量与冲量
t
式(11-9)的积分形式为 mv m v0 Fdt I
质点动量定理的积分形式：在某一时间间0隔内，质点动量 的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量。
(1)当作用在质点上的力等于零，即F=0时，质点动量守恒，
(2)
Fx=0，则质点在轴x
11.2 质点和质点系动量定理
m m。i 与计算重 i 1
心位置公式相似，定义质点系的质量中心(简称质心)C
rC mi ri m
11.1 动量与冲量
vC
d rC dt
mi vi m
由此可得质点系动量的另一种表示形式
p mvC
即质点系动量等于质点系质量与质心速度的乘积，其方向与 质心速度的方向一致。此式也可理解为，质点系动量等于把质点系
11.2 质点和质点系动量定理
例11-1
两个重物M1和M2的质量分别为m1与m2，系在两个质量不计
的绳子上，如图11-3所示。两个绳子分别缠绕在半径为r1和r2
上的鼓轮上，鼓轮的质量为m3，其质心在轮心O处。若轮以角
加速度α逆时针转动，试求轮心O
11.2 质点和质点系动量定理
理论力学复习资料
力学复习选择：力系简化最后结果（平面，空间）牵连运动概念（运动参考系运动，牵连点运动） 平面运动刚体上的点的运动平面运动的动能计算（对瞬心，及柯里西算法） 质心运动定理（投影法x ，y ，z ，轨迹）惯性力系想一点简化计算：刚体系统平衡计算（多次取分能力体，一般为2次） 平面运动 速度的综合计算 动能定理应用动静法（其他方法不得分），已知运动求力（先用动能（动量）定理求运动，在用动静法求力）注意：1.功的单位是m WN ------∙2.注意检验fs N F f F ≤∙,判断是否是静摩擦，当为临界状态时max f s s N F F f F ==∙，纯滚动为静摩擦S F ,且只能根据平衡方程解出，与正压力无关。
动摩擦f NF f F =∙。
3. 动静法中惯性力简化()=-IC i i CIC c IC c F m a c F ma c M J α⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭⎧⎫⎪⎪⇒⎨⎬=------⎪⎪⎩⎭∑质心过点到底惯性力绕点的惯性力偶二维刚体4.e c i i F ma m a ==∑∑， 22d ,d i i cc c m r r r a m t==∑eF ∑=0，则x v =常数=0（初始静止）则c x =常数=坐标系中所在位置，且c S 为直线。
（一直运动求力）5.平面运动刚体动能*222121122c c c J T mv J ωω⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪+⎪⎪⎩⎭瞬心法：柯里希法： 6.平面运动速度分析方法：a,基点法：,BA BA BA v v v v AB ω=+=，以Bv为对角线的平行四边形b,速度投影法：cos cos B B A A v v θθ=,,B A θθ是以AB 为基准。
c,速度瞬心法：***,*,0,0AB c c v v BC v a ACωω==∙=≠ 7.平面运动加速度分析：A.基点法：nB A BA BA a a a a τ=++，其中，多数情况下n A A A a a a τ=+，n B B B a a a τ=+注：当牵连运动为转动时，有科氏加速度k a ，2kr av ω=⨯大小：2kr a v ω=，方向：r v 向ω方向转90即可。
理论力学第十章质心运动定理动量定理习题
yOyO第十章 质心运动定理 动量定理 习题解[习题10-1] 船A 、B 的重量别离为kN 4.2及kN 3.1，两船原处于静止间距m 6。
设船B 上有一人，重N 500，使劲拉动船A ，使两船靠拢。
若不计水的阻力，求当两船靠拢在一路时，船B 移动的距离。
解：以船A 、B 及人组成的物体系统为质点 系。
因为质点系在水平方向不受力。
即：0=∑ixF，设B 船向左移动了S 米， 则A 船向右移动了6－S 米。
由质点系的动量定理得：t v m m v m B B A A x F 0])([＝－－人+0])([＝－人B B A A v m m v m + B B A A v m m v m )(人+= B B A A v m m v m )(人+=tsm m t s m B A)(6人+=- s m m s m B A )()6(人+=-s s )5.03.1()6(4.2+=-s s )5.03.1()6(4.2+=- s s 3)6(4=- )(43.3724m s ==[习题10-2] 电动机重1P ，放置在滑腻的水平面上，还有一匀质杆，长L 2，重2P ，一端与电动机机轴固结，并与机轴的轴线垂直，另一端则刚连一重3P 的物体，设机轴的角速度为ω（ω为常量），开始时杆处于铅垂位置而且系统静止。
试求电动机的水平运动。
rC 3C v →y解：以电动机、匀质杆和球组成的质点系为研究对象。
其受力与运动分析如图所示。
匀质杆作平面运动。
→→→+=1212C C C C v v v ωl v r C =212cos C x C v t l v -=ωω→→→+=1313C C C C v v v ωl v r C 23=13cos 2C x C v t l v -=ωω因为质点系在水平方向上不受力，所以0==∑ix x F F由动量定理得：t F v t l m v t l m v m x C C C =--+-+-0)]cos 2()cos ([111321ωωωω 00)]cos 2()cos ([111321=--+-+-C C C v t l m v t l m v m ωωωω 111132)cos 2()cos (C C C v m v t l m v t l m =-+-ωωωω 11113322cos 2cos C C C v m v m t l m v m t l m =-+-ωωωω 1)(cos 2cos 32132C v m m m t l m t l m ++=+ωωωωt m m m m m l v C ωωcos )(321321+++=At m m m m m l dtdx C ωωcos )(321321+++=tdt m m m m m l dx C ωωcos )(321321+++=tdt m m m m m l x C ωωcos )(321321⎰+++=)(cos )(321321t td m m m m m l x C ωω⎰+++=t m m m m m l x C ωsin )(321321+++=t P P P P P l x C ωsin )(321321+++=这就是电动机的水平运动方程。
理论力学十动量定理
？
§10-1 动量和冲量
动量——表征物体机械运动强度的一种度量。 质点的动量 —— 质点的质量与质点速度的乘积， 称为质点的动量。
p m
质点系的动量——各质点动量的矢量和，称为质点
系的动量。
p m1 1 m2 2 mn n mi i
冲量——力在一段时间内的累积效应。
dp y P 2 r sin FN1 FN 2 FN 3 3Q P dt g
F
B D O2
P
φ
Q
FN2
t
1、FN 2和FN 3 为静压力，则 设 FN
D
DO
2
φ
D
1 FN 2 FN 3 3Q P 0 FN
1、约束反力 Fx Fx Fx , Fy Fy Fy 静约束反力 Fx 0, Fy m1 g m2 g 动约束反力 Fx m2e 2cost ；Fy m2e 2sin t 动约束反力的最大值
2 Fx m2e
Fy m2e 2
B D O2 φ
P
F
Q
FN2
§10-3 质心运动定理 设质点系由n个质点组成，其中第i个质点的质 量为 m i ，矢径为 ri ，则质点系的质量中心C的坐 标为 mi ri rC m 将上式对时间求两次导数
d rC m mC mii dt d C m m aC mi ai dt
2、电动机跳起的条件；
Fy m1 g m2 g m2 e 0
2
m1 g m2 g m2 e
地面拔河与太空拔河，谁胜谁负
？
若以首先越过AB中点为负，那么质量大的宇航员胜。
理论力学第10章(动量定理)
从而摩擦力为 Fd f FN f (F sin 45o mg cos 30o)
代入(1)式，求得所需时间为
t
mv
0.0941 s
F cos 45o mg sin 30o f (F sin 45o mg cos 30o)
理论力学
18
[例6]如图所示，已知小车重为2 kN，沙箱重1 kN，二者以速度v0＝3.5 m/s 运动。此时有一重为0.5 kN的铅球垂直落入沙中后，测得箱在车上滑 动0.2 s，不计车与地面摩擦，求箱与车之间的摩擦力。
rvC
mi rvi mi
mirvi m
设rrC
r xCi
r yC j
r zCk ,则
xC
mi xi m
,
yC
mi m
yi
,
zC
mi zi m
理论力学
4
在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采 用确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是，质心与重心 是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学意义。
d dt
(mvz )
Fz
质点的动量守恒
Fx
dt
mv2 y
mv1y
Iy
t2
t1
Fy
dt
mv2z
mv1z
Iz
t2
t1
Fz
dt
若 F 0 ，则 mv 常矢量，质点作惯性运动
若 Fx 0 ，则 mvx 常量，质点沿 x 轴的运动是惯性运动
二、质点系的动量定理
对质点系内任一质点 i，
都是匀质杆, 质量各为m , 滑块B的质量
也为m。求当 = 45º时系统的动量。
解:
曲柄OA： m , vC1
理论力学@10动量定理
第10章 动量定理主要内容10.1.1 质点系动量及冲量的计算质点的动量为v K m =质点系的动量为C i i m m v v K ∑=∑=式中m 为整个质点系的质量；对于刚体系常用i C i i m v k K ∑=∑=计算质点系的动量，式中v Ci 为第i 个刚体质心的速度。
常力的冲量t ⋅=F S力系的冲量⎰∑=∑=21d )(t t i i t t F S S或⎰⎰=∑=2121d )(d )(R t t t t i t t t t F F S10.1.2 质点系动量定理质点系动量定理建立了质点系动量对于时间的变化率与外力系的主矢量之间的关系，即)(d de i tF K ∑= （1）质点系动量的变化只决定于外力的主矢量而与内力无关。
（2）质点系动量守恒定律：当作用于质点系的外力系的主矢量0)(=∑e iF ，质点系动量守恒，即K =常矢量。
或外力系的主矢量在某一轴上的投影为零，则质点系的动量在此轴上的投影守恒，如0=∑x F ，则x K =常量。
10.1.3 质心运动定理质点系的质量与质心加速度的乘积等于外力系的主矢量。
即()())(d d d de i i i c m tM t F v v ∑=∑= 对于刚体系可表示为)(1Cie i ni m F a∑=∑=式中a Ci 表示第i 个刚体质心的加速度。
10.1.4 定常流体流经弯管时的动约束力定常流体流经弯管时，v C =常矢量，流出的质量与流入的质量相等。
若流体的流量为Q ，密度为ρ。
流体流经弯管时的附加动约束力为)(12Nv v F -=''Q ρ 式中v 2,v 1分别为出口处和入口处流体的速度矢量。
基本要求1． 能理解并熟练计算动量、冲量等基本物理量。
2． 会应用动量定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的情形。
当外力主矢量为零时，会应用动量守恒定理求运动的问题。
3． 会求解定常流体流经弯管时的附加动反力。
第十章动量定理PPT课件
va a a1
FN qV r(vb va )
FN
G
b b1
b b1
Fb vb
第27页/共42页
例 水流在等截面直角弯管中作定常流动，流速为v，弯管横截面面积为A， 求管壁对流体的附加动反力。
y v1
v2 x
第28页/共42页
FN qV r(vb va ) qv A1v1 A2v2 Av
第22页/共42页
解: 应用动量定理求解
p m2ew px m2ew coswt py m2ewsinwt
由
dpx dt
Fx
dpy dt
Fy
m1g m2g
得 Fx m2ew 2 sin wt Fy (m1 m2 )g m2ew 2 coswt
第23页/共42页
另解 应用质心运动定理求解
rC
miri m
m m i
z
Mi
ri rC
C
zi
zC
O
yi
xi
y xC
x
yC
xC
mixi m
,
yC
mi m
y
i
,
zC
m iz m
i
在地面附近，质点系的质心与重心相重合。 质心比重心具有更广泛的意义。
第31页/共42页
2、 质心运动定理
rC
miri m
改写为 mrC miri
两边对时间求导
py mvCy myC m1lw coswt
系统动量的大小为:
p
p
2 x
p
2 y
lw
4(m1 m2 )2 sin 2 wt m12 cos2 wt
第9页/共42页
理论力学第十章课件 动量定理
qV dt(vb va )
流体受外力如图, 由动量定理,有
qV
dt(vb
va
)
(P
Fa
Fb
F )dt
即
qV
(vb
va
)
P
Fa
Fb
F
设
F
F
F
F
解:如图所示
m1 m2 aCx Fx F
xC
m1
r 2
cos
m2 r cos
b
m1
1 m2
aCx
d2 xC dt 2
r 2
m1 m2
m1 2
m2
cos
t
应用质心运动定理,解得
Fx
F
r 2
m1 2
m2
cos
t
显然,最大水平约束力为
Fmax
F
r 2
m1 2
m2
e 例 10-6 地面水平,光 质量 m2.
求:质心运动方程、轨迹及系统动量.
解:设 t ，质心运动方程为
xC
m1
l 2
m1
3l 2
2m1 m2
2m2l
cos t
2(m1 m2 ) l cost
2m1 m2
yC
2m1
l 2
2m1 m2
sin
t
m1 2m1
m2
l sin
t
消去t 得轨迹方程
[
xc
mAxA mB (xA a b) 0
mA 3mB
xA
理论力学动量定理
本演示将介绍理论力学动量定理，包括定义、原理、公式、应用、优点和缺 点、限制条件以及应用案例。让我们一起来探索这个引人入胜的主题吧！
动量定理的定义
动量定理是物理学中的基本定律之一，它描述了一个物体的动量和施加在物 体上的力之间的关系。
Hale Waihona Puke 动量定理的原理动量定理的原理是根据牛顿第二定律得出的，即物体的加速度与施加在物体上的力成正比，与物体的质量成反 比。
动量定理的公式
动量定理的数学表示为：力的大小等于物体动量变化率的乘积。
动量定理在实际中的应用
动量定理在实际中有广泛的应用，例如在车辆碰撞测试、火箭发射和体育比 赛中的运动力学分析。
动量定理的优点和缺点
动量定理的优点是简单易懂，可以直观地解释物体的运动行为。然而，它的 缺点是在处理复杂系统时可能存在准确性和适用性的限制。
动量定理的限制条件
动量定理在应用时需要考虑一些限制条件，例如忽略空气阻力、忽略外力的 变化等。
动量定理的应用案例
一个应用动量定理的案例是火箭发射，通过控制燃料的喷射速度和方向，可以使火箭获得所需的动量并达到预 定轨道。
第十章.动量定理哈工大理论力学课件ppt
m1
l 2
cos
2m1
l
cos
m2
2l
cos
5 2
m1
2m2
l
cos
p
p
2 x
p
2 y
1 2
5m1
4m2 l
cos
p,
x
px ,
cos
p,
y
py
p
p
§11-1 动量与冲量
例10-1
曲柄OA的动量 pOA m1vE
大小： pOA m1vE m1l 2
方向：与 vE 方向一致，垂直 于OA并顺着ω的方向
Fx e
dp
F
e
dt
dpy
dt
Fy e
dpz
dt
Fz e
三、动量守恒定理
1、如果在上式中
F
e
0 ，则 有 p p0
常矢量
结论
其中：p0 为质点系初始瞬时的动量
在运动过程中，如作用于质点系的所有外力的矢量和始终等 于零，则质点系的动量保持不变。这就是质点系的动量守恒 定理
lim t0
K t
Q(v2
v1
)W
P1
P2
R
即
R (W P1 P2 )Q(v2 v1)
静反力 R'(W P1 P2 ) ， 动反力 R''Q(v2 v1)
计算 R时'' ，常采用投影形式
Rx '' Q(v2x v1x ) Ry '' Q(v2 y v1y )
与 R'相' 反的力就是管壁上受到的流体作用的动压力．
解：取火炮和炮弹(包括炸药)为研究对象
理论力学10动量矩定理
在更高维度的空间中，动量矩定理可以通过向量的外积和叉积进行推广，适用于描述更复杂系统的动量矩变化。
n维空间推广
定理在更高维度空间的应用
多体系统
动量矩定理可以应用于多体系统，描述多个刚体之间的相互作用和运动关系，为多体动力学提供了基础。
非惯性参考系
在非惯性参考系中，动量矩定理需要考虑科里奥利力和离心力等因素的影响，以准确描述系统的动量矩变化。
定理证明的思路
在证明过程中，需要引入质点的质量、速度、位置矢量等概念，以及力、力矩等物理量。
引入相关概念
根据物理定律和数学公式，进行详细的数学推导，包括向量的点乘、叉乘等运算。
进行数学推导
经过推导，得出动量矩定理的结论，即质点系的动量矩等于外力矩对时间的积分。
得出结论Βιβλιοθήκη 定理证明的过程通过证明，得出的动量矩定理表述为：质点系的动量矩等于外力矩对时间的积分。
力矩的作用
力矩是描述力对物体运动轴的转动效应的物理量。在动量矩定理中，力矩的作用是改变物体的动量，即改变物体的运动状态。
时间和空间的影响
动量矩定理不仅涉及到物体的运动状态（动量和速度），还涉及到时间的变化率（即加速度），以及力作用的空间效应（即力矩）。因此，这个定理全面地描述了物体在空间和时间中的运动规律。
定理的物理意义
02
CHAPTER
定理的证明
首先明确动量矩定理的定义和意义，即对于一个质点系，其动量矩与外力矩之间的关系。
引入动量矩定理
建立证明框架
推导定理的表达式
根据定理的证明需求，建立证明的框架，包括定义、假设、推导和结论等部分。
根据牛顿第二定律和动量定理，推导出动量矩定理的表达式。
03
理论力学第10章
第 第10 10章 动量定理和 动量定理和动量矩定理动量矩定理第 第10 10章 动量定理和动量矩定理 □ 动量定理、动量矩定理 □ 质心运动定理 □ 讨论□ 质点系相对质心的动量矩定理□动量定理和动量矩定理的应用□ 动量、动量矩动量、动量矩★ 质点动量质点动量 质点的动量质点的动量 (momentum) —— 质点的 质量与质点速度的乘积，称为质点的动量质量与质点速度的乘积，称为质点的动量 = vp m = 动量具有矢量的全部特征，所以动量 是矢量，而且是定位矢量。
是矢量，而且是定位矢量。
所有质点动量的矢量和，称为 所有质点动量的矢量和，称为质点系的动 量 量，又称为 ，又称为动量系的主矢量 动量系的主矢量，简称为 ，简称为动量主矢 动量主矢。
= ii im v p å = ★ 质点系动量质点系动量 质点系运动时，系统中的所有质点在每一瞬时都具有各自的动量矢。
质点系中所有质点动量矢的集合，称为 的动量矢。
质点系中所有质点动量矢的集合，称为动量系。
动量系。
= ) , , , ( 2 2 1 1 nn m m m v v v p × × × = 根据质点系质心的位矢公式根据质点系质心的位矢公式 iii Cmm i i i C å = rr iii Cmm i i i C å = vv Cm v p =★ 冲量冲量 作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量，用I 表示即 I = F t若作用力F 为变量，在微小时间间隔d t 内，F 的冲量称为元冲量。
即 d I = F d t力F 在作用时间t 内的冲量是矢量积分ò = ttd F I★ 质点动量矩 ★ 质点系动量矩□ 动量矩动量矩( v r v M mm O ´ = ) ( 质点对于点 质点对于点OO 的位矢与质点 动量叉乘，所得到的矢量称为 质点对于点 质点对于点O O 的动量矩。
理论力学-动量定理
第10章 动量定理
几个有意义的实际问题 动量定理与动量守恒 质心运动定理 应用举例
几个有意义的实际问题
？ 地面拔河与太空拔河，谁胜谁负
几个有意义的实际问题
？ 偏心转子电动机工作时为什么会左右运动？
这种运动有什么规律？ 会不会上下跳动？
几个有意义的实际问题
蹲在磅秤上的人站起来时， 磅 秤指示数会不会发生的变化？
建立Oxy 坐标系。
yA 2lsin
xB 2lcos
vA yA 2l cos 2l cos
vB
vxB xB 2l sin 2l sin
B p 2lm sini 2lm cosj
2lm (-sini cosj)
参考性例题 1
动量定理与动量守恒
质点系的动量定理
对质点系中第i个质点应用牛顿第二定律有：
d dt
(mi
vi )
Fiபைடு நூலகம்
Fii Fie
其中
F
i i
内力）；
为质点系中其它质点作用在第 i 个质点上的力（即
F
e i
为质点系以外的物体作用在第
i 个质点上的力（即外
力）质。点的动量定理 —— 质点的动量对时间的一阶导数，等于作
p mv
动量具有矢量的全部特征，所以动量是矢量。 动量具有明显的物理意义，它是力的作用效应的一种量度。 如：子弹的质量很小，但由于其运动速度很大，故可穿透坚硬 的钢板；即将靠岸的轮船，虽速度很慢，但由于质量很大，仍 可撞坏用钢筋混凝土筑成的码头。
动量定理
质点系的动量
质点系中所有质点动量的矢量和，称 为质点系的动量。
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)
1 2
mB
vB2
1 2
mA (vr2
vB2
2vrvB
cos )
1 2
mBvB2
得
1 2
mA
(vr2
vB2
2vr vB
cos
)
1 2
mB vB2
0
mA gsr
sin
（c）
将式（d）代入上式并化简可得
1
2
vB2
mA
mB
mA mA
mB cos2
设两柱体间的接触是光滑的，其斜角均为 ，如图。若开始时，系统处于静止，不计水平地
面的摩擦。试求此时棱柱体 B 的加速度 aB。
解：由整体受力图看出， Fx 0 ，所以整个系统在 x 方向的动量守恒。
初始时系统静止，即
K x mAvAx mBvBx mA (vr cos vB ) mBvB ＝0
＝v2＝v，叶片仅改变水流速的方向。由动约束力的计算公式
FN Q(v2 v1)
向 x、y 方向投影，有
Fx Av2 cos 1
得
Fx Av2 1 cos
或
Fy Av2 sin
例 10－2 质量为 mA 的小棱柱体 A 在重力作用下沿着质量为 mB 的大棱柱 B 的斜面滑下，
mA
cos2
mA
gsr
sin
将式（d）对
t
求导，且
d sr dt
vr ，再与式（a）、式（b）联立求解得
aB
mA sin2 mB cos
mAg sin
（d）
于是求得
aB
mAg cos sin mA sin 2 mB
2
mAg sin 2 mA sin 2 mB
10.4 例题分析
例 10-1 一水柱以速度 v 沿水平方向射入一光滑叶片。设水柱的射入速度与叶片相切， 水柱的截面积为 A，密度为 ，水柱离开叶片时的倾角为 ，不计水柱的重量。若叶片固定 不动，求叶片对水柱的附加动约束力主矢的分量 Fx 和 Fy。
2
解：选择叶片上的水柱为研究对象。因 AB、CD 两处截面积 A 和密度 均相等，所以 v1
FP 2 g
e 2
解得
FP1 FP2 g FP 2e
电动机将跳离地面。蛙式夯机的夯头架所以能自动跳起来，就是这个道理。
例 10-7 今有长为 AB＝2a，重为 Q 的船，船上有重为 FP 的人，设人最初是在船上 A 处，后来沿甲板向右行走， 如不计水对于船的阻力，求当人走到船上 B 处时，船向左方
1
FN Q(v2 v1)
式中 v2,v1 分别为出口处和入口处流体的速度矢量。
10.2 基本要求
1． 能理解并熟练计算动量、冲量等基本物理量。 2． 会应用动量定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的情 形。当外力主矢量为零时，会应用动量守恒定理求运动的问题。 3． 会求解定常流体流经弯管时的附加动反力。 4． 会应用质心运动定理解决质点系动力学两类问题。
FP1 g
s
FP 2 g
s
e sin t
0
解得
s
P2e P1 P2
sin t
式中负号说明，定子的位移不是向右而是向左平移。
由此可见，当转子有偏心而又没有螺栓紧固在基础时，电动机转动起来后，机座将在光
滑的水平面上作简谐运动。在铅垂方向， Fy 的最小值为
Fy min
FP1
FP 2
（2）质点系动量守恒定律：当作用于质点系的外力系的主矢量 Fi(e) 0 ，质点系动
量守恒，即 K=常矢量。或外力系的主矢量在某一轴上的投影为零，则质点系的动量在此轴
上的投影守恒，如 Fx 0 ，则 K x =常量。
10.1.3 质心运动定理
质点系的质量与质心加速度的乘积等于外力系的主矢量。即
得
vB
mA mA mB
vr
cos
将式（a）求导，得
aB
mA mA mB
ar
cos
（a） （b）
3
式中还包含一个未知量 ar。因此，解决此问题还必须找到其他方程。由题设条件，棱柱体 A
沿棱柱体 B 滑下，由动能定理
T T0 W
其中
T0 0
T
1 2
mA
(v
2 Ax
v
2 Ay
12g sin 3l 2 sin 2 2l(3sin2 1)
(e)
6
最后，为求约束力 FN ，先求质心 C 的加速度 aC ，现以 B 为基点求 aC ，如图（c）
所示
aC aB aC B aCnB
(f)
其中
aC BΒιβλιοθήκη l , 2aCnB
l 2 2
将式（f）在铅垂上投影，有
第 10 章 动量定理
10.1 主要内容
10.1.1 质点系动量及冲量的计算
质点的动量为
K mv
质点系的动量为
K mivi mvC 式中 m 为整个质点系的质量；对于刚体系常用 K ki mivCi 计算质点系的动量，式中
vCi 为第 i 个刚体质心的速度。 常力的冲量
S F t
v2
1 2
FP 2 g
v2
T1
FP1s sin
a
FP 2 s
(a)
对（a）式两边同时取导数，其中
ds dt
v
，整理得
a
FP1 sin a FP2 FP1 FP2
g
(b)
以整个系统包括楔块 D 为研究对象，应用质心运动定理，有
miaCix Fx
P1 g
a cos
Fx
(c)
物 D 作用于地板凸出部分 E 的水平压力。
s
FP1 FP2
（a）
（b）
解：首先应用动能定理求出系统的运动，然后用质心运动定理来求约束力。由动能定理
T2 T1 W
其中
T2
1 2
FP1 g
v2
1 2
FP 2 g
v2
T1 常数
W FP1s sin a FP2s
于是，有
1 2
FP1 g
于铅垂位置如图示，受扰动后，杆倒下。求杆运动到与铅垂线成角φ时，杆的角速度、角加 速度和地面的约束力 FN。
（a）
（b）
（c）
解： 以杆为研究对象，从其受力图（a）可知，Fx 0 ，即质心在 x 方向的位置守恒，
利用此条件，可知质心 C 的速度沿铅垂方向：然后，用动能定理求杆的角速度、角加速度。
向始终指向转轴。所受外力为 FP1、FP2、Fx、Fy 和力偶距 M。由质心运动定理
max Fx,
FP 2 g
e 2
sin t
Fx
may Fy,
FP 2 g
e 2
cost
Fy
FP1
FP 2
于是
7
Fx
FP 2 g
e 2
sin t
Fy
FP1
FP 2
FP 2 g
aC
l 2 2
cos
l 2
sin
将 ω 及 ε 的表达式（d）、式（e）代入，再用质心运动定理
maC mg FN
求得
FN mg maC
mg
m
12
g
(2
cos
2
cos2 4(3
sin2 sin2
) 1)
3l
2
sin
2
sin
例 10-6 电动机的外壳固定在水平基础上，定子重 FP1、质心为 C1；转子重 FP2、质心 为 C2。由于制造、安装误差，C2 不在转轴上，其偏心距为 e 。已知转子匀角速度转动，角 速度为 ，求基础的支座约束力。又假设电动机没有螺栓固定，且各处摩擦均不计，若整个
例 10－3 真空中斜向抛出一物体，在最高点时，物体炸裂成两块，一块恰好沿原轨道
返回抛射点 O，另一块落地点的水平距离 OB 则是未炸裂时应有水平距离 OB0 的两倍，求物
体炸裂后两块质量之比。
解：设炸裂后两物块的质量分别为 m1 与 m2，炸裂前共同速度为 v，炸裂后的速度分别
为 v1 与 v2。
e 2
cost
再来研究电动机没有固定的情形。此时，电动机只受重力和地面的法向约束力，电动机
在水平方向没有外力，整个系统由静止开始运动，因此，系统的质心坐标 xC 应保持不变。
假设开始时，转子在铅垂位置，即， t 0 ，转子转动后，定子也要有位移。设定子的
水平位移为 s，如图所示，则转子质心的位移为 s e sin t ，此时系统的质心不变，则
应用动量定理解质点系动力学问题时，应注意以下几点：
1．质点系动量的变化与内力无关。应用动量定理时，必须明确研究对象，分清外力与 内力，只需将外力表示在受力图上。
2．应用动量定理可解决质点系动力学的两类问题，即已知力求运动的问题和已知运动
求力的问题。一般用动量定理求未知约束力。