江苏省泰州中学2013届高三学情诊断测试数学试题(含答案)
江苏省泰兴市2013届高三上学期期中调研考试数学试题
2012年秋学期江苏省泰兴市高三期中调研考试数学试题一、填空题（每小题5分，共70分）1．若集合2{|40}A x x x =-<，{}|B y y Z =?，则集合A B =I ▲ ．2．函数y sin πcos πx x =的最小正周期是 ▲ ．3．下列函数为奇数函数的是 ▲ ．①．2x y = ； ②3x y =；③ xy 2=；④ x y 2log =．4．已知命题“[1,2]x ∃∈，使x 2+2x +a ≥0”为真命题，则a 的取值范围是_ ▲ ．5．已知等比数列{}n a 的各项都为正数，它的前三项依次为1，1a +，25a +则数列{}n a 的通项公式是n a = ▲ ．6．如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 为DC 的中点，AE 与BD 交于点F ．则FD DE ⋅=uu u r uuu r▲ ．7．已知集合{}20A x x x x =-∈,R ≤，设函数2x f x a -=+()（x A ∈）的值域为B ，若B A ⊆，则实数a的取值范围是 ▲ ．8． 已知函数()()1||x f x x x =∈+R 时，则下列结论不．正确是 ▲ (填序号)． （1）x ∀∈R ，等式()()0f x f x -+=恒成立；（2）(0,1)m ∃∈，使得方程|()|f x m =有两个不等实数根； （3）12,x x ∀∈R ，若12x x ≠，则一定有12()()f x f x ≠；（4）(1,)k ∃∈+∞，使得函数()()g x f x kx =-在R 上有三个零点．FE DCBA9．函数21sin π,10;(),0x x x f x e x -⎧-<<=⎨⎩≥，满足(1)()2f f a +=，则a = ▲ ．10．若点P 是△ABC 的外心，且0PA PB PC λ++=uu r uu r uu u r r，120C ∠=o ，则实数λ= ▲ ．11．等比数列{a n }的前n 项和为n S ，满足2(1)4n n a S +=，则20S 的值为 ▲ ．12．设f (x )奇函数，当0x ≥时， f (x )＝2x －x 2，若函数f (x )(x ∈[a ，b ])的值域为[1b ，1a ]，则b 的最小值为 ▲ ．13．从公路旁的材料工地沿笔直公路向同一方向运送电线杆到500m 以外的公路边埋栽，在500m 处栽一根，然后每间隔50m 在公路边栽一根．已知运输车辆一次最多只能运3根，要完成运栽20根电线杆的任务，并返回材料工作，则运输车总的行程最小为 ▲ m ．14．已知函数21216(0.25),00.5;()()16(0.75),0.5 1.x x f x f x x x ⎧-==⎨-⎩≤≤≤≤ 当2n ≥时，1()(())([0,1]n n f x f f x x -=∈． 则方程20121()3f x x =的实数解的个数是 ▲ ． 二、解答题（本大题6小题,共90分）15．（本小题满分14分）已知函数3()log()f x x a x=+-的定义域为A ，值域为B ． （1）当a ＝4时，求集合A ；（2）当B ＝R 时，求实数a 的取值范围．16．（本题满分14分）已知ABC ∆，内角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，且满足下列三个条件：①ab c b a +=+222 ； ②C c sin 143=； ③13=+b a ． 求 (1) 内角C 和边长c 的大小；(2) ABC ∆的面积．17．(本题满分15分)设1e u r ,2e u r 是两个互相垂直的单位向量，已知向量1232AB e e =+uu u r u r u r ，12CB e e λ=-uu r u r u r ，122CD e e =-+uu u r u r u r ，（1）若A 、B 、D 三点共线，试求实数λ的值．（2）若A 、B 、D 三点构成一个直角三角形，试求实数λ的值．18．(本小题满分15分)某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块(如图)，长、宽分别是x 米、y 米，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路，大棚所占地面积为S 平方米，其中a ∶b =1∶2． (1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 最大，则x ，y 的值各为多少？19． （本小题满分16分）已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+,其中2n ≥，*n ∈N ．（1）求证；数列{}n a 为等差数列，并求其通项公式；（2）设n n n a b -⋅=2，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求使n T >2的n 的取值范围． （3）设λλ(2)1(41n an n n c ⋅-+=-为非零整数，*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，都有n n c c >+1成立．20． （本小题满分16分）已知函数2()21(),()()f x x ax a f x f x '=++∈R 是的导函数．（1）若[2,1]x ∈--，不等式()()f x f x '≤恒成立，求a 的取值范围； （2）解关于x 的方程()|()|f x f x '=；（3）设函数(),()()()(),()()f x f x f x g x f x f x f x ''⎧=⎨'<⎩≥，求()[2,4]g x x ∈在时的最小值．2012年秋学期江苏省泰兴市高三期中调研考试数学试题参考答案一、填空题（每小题5分，共70分）1．若集合2{|40}A x x x =-<，{}|B y y Z =?，则集合A B =I {}123，，． 2．函数y sin πcos πx x =的最小正周期是 1 ． 3． 下列函数为奇数函数的是 ② ．①．2x y = ； ②3x y =；③ xy 2=；④ x y 2log =．4． 已知命题“[1,2]x ∃∈，使x 2+2x +a ≥0”为真命题，则a 的取值范围是8a -≥． 5．已知等比数列{}n a 的各项都为正数，它的前三项依次为1，1a +，25a +，则数列{}n a 的通项公式是n a =13n -．6．如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 为DC 的中点，AE 与BD 交于点F ．则32FD DE ⋅=-uu u r uuu r ．7．已知集合{}20A x x x x =-∈,R ≤，设函数2xf x a -=+()（x A ∈）的值域为B ，若B A ⊆，则实数a的取值范围是1[,0]2-． 8．已知函数()()1||x f x x x =∈+R 时，则下列结论不．正确是 （4） (填序号)． （1）x ∀∈R ，等式()()0f x f x -+=恒成立；（2）(0,1)m ∃∈，使得方程|()|f x m =有两个不等实数根； （3）12,x x ∀∈R ，若12x x ≠，则一定有12()()f x f x ≠；（4）(1,)k ∃∈+∞，使得函数()()g x f x kx =-在R 上有三个零点．9．函数21sin π,10;(),0x x x f x e x -⎧-<<=⎨⎩≥，满足(1)()2f f a +=，则a=．10．若点P 是△ABC 的外心，且0PA PB PC λ++=uu r uu r uu u r r，120C ∠=o ，则实数λ=1-．11．等比数列{a n }的前n 项和为n S ，满足2(1)4n n a S +=，则20S 的值为0．FEDCBA12．设f (x )奇函数，当0x ≥时， f (x )＝2x －x 2，若函数f (x )(x ∈[a ，b ])的值域为[1b ，1a ]，则b 的最小值为-1．13．从公路旁的材料工地沿笔直公路向同一方向运送电线杆到500m 以外的公路边埋栽，在500m 处栽一根，然后每间隔50m 在公路边栽一根．已知运输车辆一次最多只能运3根，要完成运栽20根电线杆的任务，并返回材料工地，则运输车总的行程最小为 14000 m ．14．已知函数21216(0.25),00.5;()()16(0.75),0.5 1.x x f x f x x x ⎧-==⎨-⎩≤≤≤≤ 当2n ≥时，1()(())([0,1]n n f x f f x x -=∈． 则方程20121()3f x x =的实数解的个数是20124． 二、解答题（本大题6小题,共90分）15．（本题满分14分）已知函数3()log()f x x a x=+-的定义域为A ，值域为B ． （1）当a ＝4时，求集合A ；（2）当B ＝R 时，求实数a 的取值范围．解：（1）当a ＝4时，由2343(1)(3)40x x x x x x x x-+--+-==>，………………2分解得0＜x ＜1或x ＞3， ………………………………………………………４分故A ＝{x |0＜x ＜1或x ＞3} ………………………………………………………5分（2）若B ＝R ，只要3u x a x=+-可取到一切正实数， ………………………8分 则x ＞0及u mi n ≤0， ………………………………………………………12分 ∴u min ＝23－a ≤0，解得a ≥2 3 …………………………………………13分 实数a的取值范围为)⎡+∞⎣．…………………………………………1４分16． （本题满分14分）已知ABC ∆，内角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，且满足下列三个条件：①ab c b a +=+222 ； ②C c sin 143=； ③13=+b a ． 求 (1) 内角C 和边长c 的大小；(2) ABC ∆的面积． 解：(1) 由ab c b a +=+222，所以1cos 2C =,……………………………………2分 ∵0πC <<, ∴π3C =,………………………………………………………………4分 ∵C c sin 143=,∴π3c =,∴7c =．…………………………………………………………6分(2) 1πsin 23ABC S ab ∆=………………………………………………………………8分 由ab c b a +=+222,得403)(492=⇒-+=ab ab b a ,………………………12分故1πsin 23ABC S ab ∆==………………………………………………………14分 17．(本题满分15分)设1e u r ,2e u r 是两个互相垂直的单位向量，已知向量1232AB e e =+uu u r u r u r ，12CB e e λ=-uu r u r u r ，122CD e e =-+uu u r u r u r ，（1）若A 、B 、D 三点共线，试求实数λ的值；（2）若A 、B 、D 三点构成一个直角三角形，试求实数λ的值．解：（1）BD CD CB =-=uu u r uu u r uu r12(2)e e -+u r u r -12()e e λ-u r u r =123(1)e e λ-++u r u r ………………2分∵A 、B 、D 三点共线，∴AB BD μ=uu u r uu u r………………………………………4分 即1232e e +u r u r =μ[123(1)e e λ-++u r u r ]3332(1)μλμλ=-⎧⇒⇒=-⎨=+⎩………………7分（2）AD AB BC CD =++=uuu r uu u r uu u r uu u r（1232e e +u r u r ）+（12+e e λ-u r u r ）+（122e e -+u r u r ）=2(3)e λ+u r……………………………………………8分若90A ∠=o，则222(3)03AB AD e λλ⋅=+=⇒=-uu u r uuu r u r …………………………10分若90B ∠=o，则2212792(1)02AB BD e e λλ⋅=-++=⇒=uu u r uu u r u r u r …………………12分若90D ∠=o，则22(1)(3)03BD AD e λλλ⋅=++=⇒=-uu u r uuu r u r 或1-=λ………14分综上所述实数λ的值为3λ=-或1-=λ或27=λ………………………………15分 18．(本题满分15分)某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块(如图)，长、宽分别是x 米、y 米，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路，大棚所占地面积为S 平方米，其中a ∶b =1∶2． (1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 最大，则x ，y 的值各为多少？解：（1）由题意可得：1800xy =,2b a =则333y a b a =++=+……………………………………………………………4分38(2)(3)(38)(38)1808333y yS x a x b x a x x -=-+-=-=-=--…………8分 8818001600180831808318083()33y S x x x x x=--=--⋅=-+………………10分1808318082401568-⨯=-=≤ …………………………………12分 当且仅当1600x x =，即 40x =时取等号， S 取得最大值．此时 180045y x== 所以当40x =，45y =时，S 取得最大值．……………………………………15分 19． （本题满分16分）已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+,其中2n ≥，*n ∈N ．（1）求证；数列{}n a 为等差数列，并求其通项公式；（2）设n n n a b -⋅=2，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求使n T >2的n 的取值范围； （3）设λλ(2)1(41n an n n c ⋅-+=-为非零整数，*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，都有n n c c >+1成立．解：（1）由已知，()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*n ∈N ）， ………………2分即11n n a a +-=（2n ≥，*n ∈N ），且211a a -=． ∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列．∴1n a n =+．……………………………………………………………………………4分 (2) ∵1n a n =+，∴n n n b 21)1(⋅+= 21231111123(1) (1)22221111123(1)..........(2)22222n n n n n n T n n T n n -+∴=⨯+⨯++⋅++⋅=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅++L23111111(1)(2)1(1)22222n n n T n +-=++++-+⋅L 得：∴ n T n n 233+-= …………………………………………………6分代入不等式得：01232233<-+>+-n n n n ，即设022)()1(,123)(1<+-=-+-+=+n n n n f n f n n f 则∴)(n f 在+N 上单调递减， ………………………………………………8分 ∵041)3(,041)2(,01)1(<-=>=>=f f f ， ∴当n =1,n=2时,()0,3()0f n n f n ><≥当时，， 所以n 的取值范围．为3,n n *∈N ≥且 …………………………………………10分（3）1,n a n =+Q 114(1)2n n n n c λ-+∴=+-,要使1n n c c +>恒成立， 即1211144(1)2(1)20n n n n n n n n c c λλ++-++-=-+--->恒成立，11343(1)20n n n λ-+∴⨯-->恒成立，∴11(1)2n n λ---<恒成立，…………………12分（i ）当n 为奇数时，即12n λ-<恒成立，当且仅当1n =时，12n -有最小值为1，1λ∴<．（ii ）当n 为偶数时，即12n λ->-恒成立，当且仅当2n =时，12n --有最大值2-，2λ∴>-．即21λ-<<，又λ为非零整数，则1λ=-．…………………15分综上所述：存在1λ=-，使得对任意的n *∈N ，都有1n n c c +>．……………16分 20． （本题满分16分）已知函数2()21(),()()f x x ax a f x f x '=++∈R 是的导函数．（1）若[2,1]x ∈--，不等式()()f x f x '≤恒成立，求a 的取值范围； （2）解关于x 的方程()|()|f x f x '=；（3）设函数(),()()()(),()()f x f x f x g x f x f x f x ''⎧=⎨'<⎩≥，求()[2,4]g x x ∈在时的最小值．解：(1)因为()()f x f x '≤，所以2212(1)x x a x -+-≤，又因为21x --≤≤，所以2212(1)x x a x -+-≥在[2,1]x ∈--时恒成立，因为221132(1)22x x x x -+-=-≤，所以32a ≥．……………………………………………………………………………4分⑵ 因为()()f x f x '=，所以2212x ax x a ++=+，所以22()210x a x a a +-++-=，则1x a a +=+或1x a a +=-． ……………7分 ①当1a <-时，1x a a +=-，所以1x =-或x =12a -； ②当11a -≤≤时，1x a a +=-或1x a a +=+， 所以1x =±或x =12a -或(12)x a =-+；③当1a >时，1x a a +=+，所以1x =或(12)x a =-+．…………………………10分⑶因为()()(1)[(12)]f x f x x x a '-=---，(),()(),()(),()(),f x f x f xg x f x f x f x ''⎧=⎨'<⎩≥① 若12a -≥，则[]2,4x ∈时，()()f x f x '≥，所以()()22g x f x x a '==+， 从而()g x 的最小值为(2)24g a =+； ………………………………12分②若32a <-，则[]2,4x ∈时，()()f x f x '<，所以2()()21g x f x x ax ==++，当322a -<-≤时，()g x 的最小值为(2)45g a =+，当42a -<<-时，()g x 的最小值为2()1g a a -=-，当4a -≤时，()g x 的最小值为(4)817g a =+．…………………………………14分③若3122a -<-≤，则[]2,4x ∈时，221,[2,12)()22,[12,4]x ax x a g x x a x a ⎧++∈-=⎨+∈-⎩当[2,12)x a ∈-时，()g x 最小值为(2)45g a =+； 当[12,4]x a ∈-时，()g x 最小值为(12)22g a a -=-．因为3122a -<-≤，(45)(22)630a a a +--=+<，所以()g x 最小值为45a +．综上所述，()2min817, 4,1, 42,145, 2,2124, 2a a a a g x a a a a +-⎧⎪--<<-⎪⎪⎡⎤=⎨+-<-⎣⎦⎪⎪+-⎪⎩≤≤≥ …………………………………………16分(各题如有其他解法，请相应给分)。
江苏省泰州市泰兴三高2013届高三数学下学期期初考试试题(含解析)苏教版
2012-2013学年江苏省泰州市泰兴三高高三（下）期初数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．答案写在答卷纸上．）1．（5分）若全集U=R，集合A={x|x+1＜0}，B={x|x﹣3＜0}，则集合（C U A）∩B=[﹣1，3）．考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：根据题意，解x+1＜0可得集合A，由补集的定义可得∁U A，解x﹣3＜0可得集合B，进而由交集的定义，计算（∁U A）∩B，即可得答案．解答：解：x+1＜0⇔x＜﹣1，即A={x|x＜﹣1}，则∁U A={x|x≥﹣1}，x﹣3＜0⇔x＜3，则B={x|x＜3}，则（∁U A）∩B={x|﹣1≤x＜3}=[﹣1，3）；故答案为[﹣1，3）．点评：本题考查集合交、并、补的混合运算，解题时注意计算的顺序．2．（5分）已知复数z=（a2﹣4）+3i，a∈R，则“a=2”是“z为纯虚数”的充分不必要条件．（填写“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中的一个）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．专题：计算题．分析：当a=2时，复数z=（a2﹣4）+3i=3i为纯虚数，当复数z=（a2﹣4）+3i为纯虚数时，a2﹣4=0．由此能求出结果．解答：解：当a=2时，复数z=（a2﹣4）+3i=3i为纯虚数，即“a=2”⇒“z为纯虚数”，充分性成立；当复数z=（a2﹣4）+3i为纯虚数时，a2﹣4=0，a=±2，即“z为纯虚数”⇒“a=±2”，必要性不成立，故“a=2”是“z为纯虚数”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．点评：本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3．（5分）如图，是青年歌手大奖赛上9位评委给某位选手打分的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为87 ．考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：图表型．分析：根据题意，去掉两个数据后，得到要用的7个数据，根据平均数公式求出这组数据的平均数即可．解答：解：∵由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的数据是84，84，84，86，87，91，93∴这组数据的平均数是==87 故答案为：87．点评：本题考查茎叶图、平均数．当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，在刻画样本数据的分散程度上，属于基础题．4．（5分）已知，若，则正数m 的值等于．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：先求出的值，再由化简可得+8log2m+16=0，解得log2m=﹣4，由此求得正数m的值．解答：解：∵，∴=﹣2+2log2m．再由可得=•，∴4+4﹣8 log2m=20+5，∴+8log2m+16=0，即=0，log2m=﹣4，m=，故答案为．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，向量的模的定义，求向量的模的方法，属于中档题．5．（5分）（2012•惠州模拟）如图所示的算法流程图中，若f（x）=2x，g（x）=x2，则h（3）的值等于9 ．考点：程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是比较f（x）=2x与g（x）=x2的函数值，并输出其中的最大值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是比较f（x）=2x与g（x）=x2的函数值，并输出其中的最大值．当x=3时，f（3）=23=8，g（3）=32=9，∵9＞8，∴h（3）=9．故答案为：9点评：利用程序计算分段函数的值，一般要如下步骤①分析流程图的结构，分析是条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断框中的条件，设置分类标准；③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式；⑤将已知中的数据代入分段函数进行计算．6．（5分）已知正六棱锥P﹣ABCDEF的底面边长为1cm，侧面积为3cm2，则该棱锥的体积为cm3．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：根据题意，过O作边AB的垂线，垂足为Q，则可得六棱锥的斜高，通过正六棱锥的侧面积，求出斜高，求出棱锥的高，即可求出体积．解答：解：S﹣ABCDEF为正六棱锥，O是底面正六边形ABCDEF的中心．连接OA、OB、OS，过O作边AB的垂线，垂足为Q．则：因为ABCDEF为正六边形，所以：△AOB为等边三角形．所以：OA=OB=AB=1，又因为OQ⊥AB，所以：Q是AB中点所以，AQ=BQ=因为OP⊥面ABCDEF，所以：OP⊥OQ，所以，△OPQ为直角三角形．在Rt△OPQ中，，∴斜高PQ=1，在直角三角形POQ中，高PO===，则该棱锥的体积为V==cm3故答案为：．点评：本题以正六棱锥为载体，考查棱锥的底面积，侧面积与体积的关系，考查计算能力．7．（5分）（2010•长宁区二模）投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m，n，设，则满足的概率为．考点：等可能事件的概率；向量的模．专题：计算题．分析：题目中条件：“向量，满足”化成：m2+n2＜25，可得满足此式的m，n的所有可能种数，再根据总数是36，即可得所求概率．解答：解：∵投掷两颗骰子，∴得到其向上的点数分别为m，n，它们只可能是1，2，3，4，5，6．∴向量的所有的可能取法是6×6=36．又∵其中满足m2+n2＜25 的有13种可能，∵满足的m，n，即m2+n2＜25．∴满足的概率=．故填：．点评：本题考查古典概型，古典概型是一种特殊的概率模型，其特点是：（1）对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；（2）对于上述所有不同的试验结果，它们出现的可能性是相等的．8．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的图象关于直线对称，且为函数f（x）的一个零点，则ω的最小值为 2 ．考点：正弦函数的对称性．专题：计算题．分析：求ω的最小值，由周期和ω的关系，需要求周期的最大值，对称轴与对称中心最近为周期，可求最大周期，从而求得最小的ω值．解答：解：∵对称轴与对称中心最近为周期，∴﹣=×，∴ω=2，故答案为 2．点评：注意利用数形结合，数形结合比较直观，一目了然，可求得对称轴与对称中心最近为周期，从而求得ω的最小值．9．（5分）（2011•上海模拟）设圆x2+y2=4的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B，则|AB|的最小值为 4 ．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；换元法．分析：用截距式设出切线方程，由圆心到直线的距离等于半径以及基本不等式可得，2 ≤，令 t=，则t=|AB|，解不等式得t≥4．解答：解：设切线方程为+=1，即 bx+ay﹣ab=0，由圆心到直线的距离等于半径得=2，∴|a||b|=2≤，令 t=，则t2﹣4t≥0，t≥4，故 t的最小值为 4．由题意知 t=|AB|，故答案为：4．点评：本题考查点到直线的距离公式和基本不等式的应用，体现了换元的思想．10．（5分）已知数列{a n}满足，则该数列的前10项的和为77 ．考点：数列与三角函数的综合；数列的求和．专题：计算题．分析：根据数列递推式，可得数列{a2k﹣1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a2k﹣1=k，数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a2k=2k，从而可求数列的前10项的和．解答：解：因为a1=1，a2=2，所以a3=（1+cos2）a1+sin2=a1+1=2，a4=（1+cos2π）a2+sin2π=2a2=4．一般地，当n=2k﹣1（k∈N*）时，a2k+1=[1+cos2]a2k﹣1+sin 2=a2k﹣1+1，即a2k+1﹣a2k﹣1=1．所以数列{a2k﹣1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a2k﹣1=k．当n=2k（k∈N*）时，a2k+2=（1+cos2）a2k+sin2=2a2k．所以数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a2k=2k．该数列的前10项的和为1+2+2+4+3+8+4+16+5+32=77故答案为：77点评：本题主要考查了数列的递推式，注意数列中的奇数项和偶数项的不同是解题的关键．11．（5分）已知F是椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF 与圆x2+y2=b2相切于点Q，且，则椭圆C的离心率为．考点：椭圆的简单性质；直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：设原点为O，左焦点为F′，连接OQ，则|F′P|=2|OQ|，利用Q为切点，可得OQ⊥PF，利用勾股定理及a2﹣b2=c2，即可求得结论．解解：设原点为O，左焦点为F′，连接OQ答：∵O为F′F的中点，Q又为PF的中点，∴|F′P|=2|OQ|，∵Q为切点，∴|OQ|=b，|F′P|=2b，OQ⊥PF∴|PF|=2a﹣2b，PF′⊥PF∴4c2=4b2+（2a﹣2b）2∴3b=2a∵a2﹣b2=c2，∴a2﹣a2=c2，∴e=故答案为：点评：本题考查椭圆的几何性质，考查直线与圆的位置关系，关键是找出几何量之间的关系．12．（5分）（2011•奉贤区二模）（文）如图都是由边长为1的正方体叠成的图形．例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位．依此规律，则第n个图形的表面积是3n（n+1）个平方单位．考点：归纳推理．专题：规律型．分析：结合图形，发现第（1）个图形的表面积是1×6=6，第（2）个图形的表面积是（1+2）×6=18，第（3）图形的表面积是（1+2+3）×6=36；以此类推即可求解．解答：解：结合图形，发现：第（1）个图形的表面积是1×6=6，第（2）个图形的表面积是（1+2）×6=18，第（3）图形的表面积是（1+2+3）×6=36，第（4）图形的表面积是（1+2+3+4）×6=60，…故第n个图形的表面积是（1+2+3+…+n）×6=3n（n+1）故答案为：3n（n+1）点评：本题考查的知识点是归纲推理，其中从已知中的四个图形中，找出其表面积的变化规律，并进行大胆推断，是解答本题的关键．13．（5分）如图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为2，高为1，将此钢板切割成等腰梯形的形状，记CD=2x，梯形面积为S．则S的最大值是．考点：平均值不等式；抛物线的应用．专题：综合题．分析：建立坐标系，求出抛物线的方程，进而可求梯形的高，从而可求梯形的面积，利用基本不等式即可求得最大值．解答：解：建立如图所示的坐标系，设抛物线的标准方程为x2=﹣2py（p＞0）则B（1，﹣1），代入抛物线方程可得2p=1，∴抛物线方程为x2=﹣y∵CD=2x，∴D（x，﹣x2）∴梯形的高为1﹣x2，梯形的面积为S=（x+1）（1﹣x2），x∈（0，1）S=（x+1）（1﹣x2）=（x+1）2（2﹣2x）≤×=，当且仅当x+1=2﹣2x，即x=时，S的最大值是故答案为：点评：本题考查函数模型的构建，考查抛物线方程，考查函数的最值，确定梯形的高是关键．14．（5分）设x，y是正实数，且x+y=1，则的最小值是．考点基本不等式．：专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：该题是考查利用基本不等式求最值问题，但直接运用基本不等式无从下手，可考虑运用换元思想，把要求最值的分母变为单项式，然后利用“1”的代换技巧转化为能利用基本不等式求最值得问题．解答：解：设x+2=s，y+1=t，则s+t=x+y+3=4，所以==．因为所以．故答案为．点评：本题考查了基本不等式，考查了换元法和数学转化思想，训练了整体代换技巧，解答此题的关键是运用换元后使分式的分母由多项式变为了单项式，展开后使问题变得明朗化．二、解答题（本大题共6小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）已知△ABC的面积为1，且满足，设和的夹角为θ．（ I）求θ的取值范围；（ II）求函数的最大值及取得最大值时的θ值．考点：三角函数的恒等变换及化简求值；数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．分析：（Ⅰ）设△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c ，且设和的夹角为θ，利用三角形的面积公式表示出面积，令面积为1列出关系式bcsinθ=1，表示出bc，且得到bccosθ的范围，将表示出的bc代入求出的范围中，利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后求出tanθ的范围，由θ∈（0，π），利用正切函数的图象与性质即可求出θ的范围；（Ⅱ）将函数解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由第一问求出的θ的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的定义域与值域即可求出函数的最大值及取得最大值时的θ值．解答：解：（Ⅰ）设△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c，∵△ABC的面积为1，且满足，设和的夹角为θ，∴bcsinθ=1，即bc=，0＜bc cosθ≤2，∴0＜≤2，即tanθ≥1，∵θ∈（0，π），∴θ∈[，）；（Ⅱ）f（θ）=[1﹣cos（+2θ）]﹣[cos2θ﹣sin2θ]=1+sin2θ﹣cos2θ+sin2θ=sin（2θ﹣）+1，∵θ∈[，），2θ﹣∈[，）∴当θ=时，f（θ）max=+1．点评：此题考查了三角函数的恒等变换及化简求值，以及平面向量的数量积运算，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，正切函数的图象与性质，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．16．（14分）如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面ABCD为菱形，∠DAB=120°，E为线段CC1的中点，F为线段BD1的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅱ）当的比值为多少时，DF⊥平面D1EB，并说明理由．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：综合题．分析：（Ⅰ）证明EF∥面ABCD，利用线面平行的判定定理，证明EF∥AC即可；（Ⅱ）当时，DF⊥平面D1EB，以此为条件，利用线面垂直的判定定理，即可证得．解答：（Ⅰ）证明：连接AC1，由题意可知点F为AC1的中点．∵因为点E为CC1的中点，∴在△ACC1中，EF∥AC．…（2分）又∵EF⊄面ABCD，AC⊆面ABCD，∴EF∥面ABCD．…（6分）（Ⅱ）解：当时，DF⊥平面D1EB．…（7分）∵四边形ABCD为菱形，且∠DAB=120°，∴．∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，∴四边形DBB1D1为矩形．又，∴BD=DD1，∴四边形DBB1D1为正方形，∴DF⊥D1B…（10分）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥底面ABCD，AC⊆面ABCD，∴AC⊥DD1∵四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，BD∩DD1=D，∴AC⊥面DBB1D1．∵DF⊆面DBB1D1，∴AC⊥DF，又EF∥AC，∴EF⊥DF．…（13分）∵EF⊆面D1EB，D1B⊆面D1EB，EF∩D1B=F，∴DF⊥平面D1EB．…（14分）点评：本题考查线面平行，考查线面垂直，考查探索性问题，解题的关键是掌握线面平行、垂直的判定方法．17．（15分）一化工厂因排污趋向严重，2011年1月决定着手整治．经调研，该厂第一个月的污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表；月数 1 2 3 4 …污染度60 31 13 0 …污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f（x）=20|x﹣4|（x≥1），g（x）=，h（x）=30|log2x﹣2|（x≥1），其中x表示月数，f（x），g（x），h（x）分别表示污染度．（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）（Ⅰ）问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；（Ⅱ）如果环保部门要求该厂每月的排污度均不能超过60，若以比较合理的模拟函数预测，该厂最晚在何时开始进行再次整治？考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：（1）通过计算f（1），f（2），f（3）；g（1），g（2），g（3）和h（1），h（2），h（3）的值，可知h（x）更接近表中的实际值，用h（x）模拟较为合理．（2）由复合函数的单调性知，确定函数h（x）在x≥4上是增函数，且h（16）=60，故可得结论．解答：解：（Ⅰ）由题意知f（2）=40，g（2）≈26.7，h（2）=30 …（3分）f（3）=20，g（3）≈6.7，h（3）≈12.5 …（6分）由此可得h（x）更接近实际值，所以用h（x）模拟比较合理．…（7分）（Ⅱ）因h（x）=30|log2x﹣2|在x≥4上是增函数，又因为h（16）=60 …（12分）这说明第一次整治后有16个月的污染度不超过60，故应在2012年5月起开始再次整治．…（14分）点评：本题考查了函数模型的选择与应用问题，选择函数模拟实际问题时，函数值越接近实际值，函数模拟效果越好．18．（15分）已知双曲线E：的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；（Ⅲ）在平面上是否存在定点P，使得对圆C上任意的点G有？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．考点：圆与圆锥曲线的综合；圆的标准方程；双曲线的简单性质．专题：综合题．分析：（Ⅰ）利用左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，确定圆心坐标，又圆C恰好经过坐标原点O，可求圆的半径，从而可求圆C的方程；（Ⅱ）设出G（﹣5，y G）代入圆C的方程求出y G，进而求出FG的方程，利用点到直线的距离公式求出C（﹣4，0）到FG的距离，再利用勾股定理即可求出弦长的一半进而可求解；（Ⅲ）假设存在P（s，t），G（x0，y0），利用两点间的距离公式化简，结合G在圆C上，即可求得结论．答：解：（Ⅰ）由双曲线E：，得l：x=﹣4，C（﹣4，0），F（﹣6，0）．…（2分）又圆C过原点，所以圆C的方程为（x+4）2+y2=16．…（4分）（Ⅱ）由题意，设G（﹣5，y G），代入（x+4）2+y2=16，得，…（5分）所以FG的斜率为，FG的方程为．…（6分）所以C（﹣4，0）到FG的距离为，…（7分）直线FG被圆C截得的弦长为…（9分）（Ⅲ）设P（s，t），G（x0，y0），则由，得整理得3（x02+y02）+（48+2s）x0+2ty0+144﹣s2﹣t2=0．①…（11分）又G（x0，y0）在圆C：（x+4）2+y2=16上，所以x02+y02+8x0=0 ②②代入①，得（2s+24）x0+2ty0+144﹣s2﹣t2=0．…（13分）又由G（x0，y0）为圆C上任意一点可知，…（14分）解得：s=﹣12，t=0．…（15分）所以在平面上存在一定点P，其坐标为（﹣12，0）．…（16分）点评：本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查弦长公式，考查恒成立问题，解题的关键是假设存在，建立等式，利用恒成立的条件．19．（16分）（2013•甘肃三模）已知f（x）=ax﹣1nx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常数，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，研究f（x）的单调性与极值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f（x）＞g（x）+；（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的极小值；（Ⅱ）f（x）在（0，e]上的最小值为1，令h（x）=g（x））+，求导函数，确定函数的单调性与最大值，即可证得结论；（Ⅲ）假设存在实数a，使f（x）的最小值是3，求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，利用f（x）的最小值是3，即可求解．解答：（Ⅰ）解：f（x）=x﹣lnx，f′（x）=…（1分）∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减当1＜x＜e时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增…（3分）∴f（x）的极小值为f（1）=1 …（4分）（Ⅱ）证明：∵f（x）的极小值为1，即f（x）在（0，e]上的最小值为1，∴f（x）＞0，f（x）min=1…（5分）令h（x）=g（x））+=+，，…（6分）当0＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）在（0，e]上单调递增…（7分）∴h（x）max=h（e）=＜=1=|f（x）|min…（9分）∴在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+；…（10分）（Ⅲ）解：假设存在实数a，使f（x）的最小值是3，f′（x）=①当a≤0时，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，所以f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，∴a=（舍去），所以，此时f（x）无最小值．…（12分）②当0＜＜e时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，e]上单调递增，f（x）min=f（）=1+lna=3，∴a=e2，满足条件．…（14分）③当时，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，所以f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，∴a=（舍去），所以，此时f（x）无最小值．…（15分）综上，存在实数a=e2，使f（x）的最小值是3．…（16分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查函数的最值，考查不等式的证明，解题的关键是正确求导，确定函数的单调性．20．（16分）（2011•重庆模拟）设数列{a n}的各项都为正数，其前n项和为S n，已知对任意n∈N*，2是a n+2 和a n的等比中项．（Ⅰ）证明数列{a n}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明++…+＜1；（Ⅲ）设集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使对满足n＞m 的一切正整数n，不等式2S n﹣4200＞恒成立，求这样的正整数m共有多少个？数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等差关系的确定；数列的求和．考点：综合题；压轴题．专题：分（Ⅰ）由4，且a n＞0． td 当n=1时，4+2a1，解得a1=2．当析：n≥2时，有4S n﹣1=．于是4．故（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1）=2（a n+a n﹣1）．由此能证明数列{a n}是首项为2，公差为2的等差数列，且a n=2n．（Ⅱ）因为a n=2n，则，由此能够证明++…+＜1．（Ⅲ）由，得2n（n+1）﹣4200＞2n2，所以n＞2100．故M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}．由此能够求出集合M中满足条件的正整数m的个数．解解：（Ⅰ）由已知，4，且a n＞0．…（1分）答：当n=1时，4+2a1，解得a1=2．…（2分）当n≥2时，有4S n﹣1=．于是4S n﹣4S n﹣1=，即4．于是，即（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1）=2（a n+a n﹣1）．因为a n+a n﹣1＞0，所以a n﹣a n﹣1=2，n≥2．故数列{a n}是首项为2，公差为2的等差数列，且a n=2n．…（4分）（Ⅱ）证明：因为a n=2n，则，…（5分）所以=（1﹣）+（）+…+（）=1﹣．…（7分）（Ⅲ）由，得2n（n+1）﹣4200＞2n2，所以n＞2100．…（9分）由题设，M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}．因为m∈M，所以m=2100，2102，…，2998均满足条件．…（10分）且这些数组成首项为2100，公差为2的等差数列．设这个等差数列共有k项，则2100+2（k﹣1）=2998，解得k=450．故集合M中满足条件的正整数m共有450个．…（12分）点本题考查等差数列的证明，数列通项公式的求法，证明证明++…+＜1和求评：集合中元素的个数．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．。
【解析版】江苏省扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三3月第二次调研测试数学试题
2013年江苏省南通、扬州、泰州、宿迁四市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷卡的相应位置上．1．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系中，已知向量=（2，1），向量=（3，5），则向量的坐标为（1，4）．考点：平面向量的坐标运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由=，代入坐标即可运算．解答：解：∵=（2，1），=（3，5），∴==（3，5）﹣（2，1）=（1，4）故答案为：（1，4）点评：本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础试题2．（5分）（2013•南通二模）设集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|x2﹣5x≥0}，则A∩（∁R B）=（0，3]．考点：交、并、补集的混合运算．分析：由题意，可先解一元二次不等式，化简集合A，B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩（∁R B）即可得出正确答案．解答：解：由题意B={x|x2﹣5x≥0}={x|x≤0或x≥5}，故∁R B={x|0＜x＜5}，又集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，∴A∩（∁R B）=（0，3]．故答案为（0，3]．点评：本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，熟练掌握运算规则是解解题的关键．3．（5分）（2013•南通二模）设复数z满足|z|=|z﹣1|=1，则复数z的实部为．考点：复数求模．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．解答：解：设z=a+bi（a，b∈R）．∵复数z满足|z|=|z﹣1|=1，∴，解得．∴复数z的实部为．故答案为．点评：熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键．4．（5分）（2013•南通二模）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f （x）=x+e x（e为自然对数的底数），则f（ln6）的值为ln6﹣6．考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由x＜0时的解析式，先求出f（﹣ln6），再由f （x）是定义在R上的奇函数，f（﹣x）=﹣f （x），得到答案．解答：解：∵当x＜0时，f （x）=x+e x，∴f（﹣ln6）=﹣ln6+e ln6=6﹣ln6又∵f （x）是定义在R上的奇函数，∴f（ln6）=﹣f（﹣ln6）=ln6﹣6故答案为：ln6﹣6点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的值，其中熟练掌握奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x），是解答的关键．5．（5分）（2013•南通二模）某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间（单位：分钟）用茎叶图表示（如图），图中左列表示训练时间的十位数，右列表示训练时间的个位数，则该运动员这7天的平均训练时间为72分钟．考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：先由茎叶图写出所有的数据，求出所有数据和，再利用和除以数据的个数，得到该运动员的平均训练时间．解答：解：有茎叶图知，天中进行投篮训练的时间的数据为64，65，67，72，75，80，81；∴该运动员的平均训练时间为：=72．故答案为：72．点评：解决茎叶图问题，关键是能由茎叶图得到各个数据，再利用公式求出所求的值．6．（5分）（2013•南通二模）根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为145．考点：伪代码．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+…+28时，S的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+…+28值．∵S=1+4+7+10+13+…+28=145，故输出的S值为145．故答案为：145．点评：本题考查的知识点是伪代码，其中根据已知分析出循环的循环变量的初值，终值及步长，是解答的关键．7．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆与双曲线y2﹣3x2=3共焦点，且经过点，则该椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意，双曲线y2﹣3x2=3焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0）．然后根据椭圆的定义，结合两点的距离公式得2a=|AF1|+|AF2|=4，从而a=2，可得c，可得该椭圆的离心率．解答：解：∵双曲线y2﹣3x2=3，即，∴双曲线的焦距为4，∴c=2，焦点坐标为F1（0，﹣2），F2（0，2），∵椭圆经过点A，∴根据椭圆的定义，得2a=|AF1|+|AF2|=+=4，可得a=2，所以离心率e===．故答案为：．点评：本题给出椭圆的焦点和椭圆上一点的坐标，求椭圆的基本量，着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质，属于基础题．8．（5分）（2013•南通二模）若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的高为cm．考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：根据半圆的周长等于圆锥底面圆的周长求出底面圆的半径，再根据圆锥的轴截面图形求高即可．解答：解：设圆锥的底面圆半径为r，则2πr=2π⇒r=1cm，∴h==cm．故答案是．点评：本题考查圆锥的侧面展开图及圆锥的轴截面．9．（5分）（2013•南通二模）将函数的图象上每一点向右平移1个单位，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标保持不变），得函数y=f（x）的图象，则f（x）的一个解析式为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由左加右减上加下减的原则，可确定函数平移后的函数解析式，利用伸缩变换推出所求函数解析式．解答：解：图象上的每一点向右平移1个单位，得到函数，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数的图象，函数y=f（x）的图象，则f（x）的一个解析式为．故答案为：．点评：本题主要考查三角函数的平移与伸缩变换．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．10．（5分）（2013•南通二模）函数f（x）=（x﹣1）sinπx﹣1（﹣1＜x＜3）的所有零点之和为4．考点：数列的求和；函数的零点．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：画出图象，可看出交点的个数，并利用对称性即可求出．解答：解：由（x）=（x﹣1）sinπx﹣1=0（﹣1＜x＜3）可得sinπx=令g（x）=sinπx，h（x）=，（﹣a＜x＜3）则g（x），h（x）都是关于（1，0）点对称的函数故交点关于（1，0）对称又根据函数图象可知，函数g（x）与h（x）有4个交点，分别记为A，B，C，D则x A+x B+x C+x D=4故答案为：4点评：熟练掌握数形结合的思想方法和函数的对称性是解题的关键11．（5分）（2013•南通二模）设α，β∈（0，π），且，．则cosβ的值为﹣．考点：二倍角的正切；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由tan的值，利用二倍角的正切函数公式求出tanα的值大于1，确定出α的范围，进而sinα与cosα的值，再由sin（α+β）的值范围求出α+β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α+β）的值，所求式子的角β=α+β﹣α，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：∵tan=，∴tanα==＞1，∴α∈（，），∴cosα==，sinα==，∵sin（α+β）=＜，∴α+β∈（，π），∴cos（α+β）=﹣，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣×+×=﹣．故答案为：﹣点评：此考查了二倍角的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．12．（5分）（2013•南通二模）设数列{a n}满足：，则a1的值大于20的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由给出的等式得到数列递推式，说明数列是等差数列或等比数列，求出a3=8时对应的a1的值，则a1的值大于20的概率可求．解答：解：∵（a n+1﹣a n﹣2）（2a n+1﹣a n）=0，∴a n+1﹣a n﹣2=0或2a n+1﹣a n=0，分别取n=1，2．则a3﹣a2=2，a2﹣a1=2或a2=2a3，a1=2a2．当a3=8时，a2=6或a2=16，当a2=6时，a1=4或a1=12，当a2=12时，a1=10或a1=24，∴a1的值大于20的概率为．故答案为．点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了古典概型及其概率计算公式，解答此题的关键是不能把数列看做等差数列或等比数列独立的求解，此题虽是基础题但容易出错．13．（5分）（2013•南通二模）设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1•x2•x3•x4•x5=729，则max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是9．考点：进行简单的合情推理；函数的值．专题：新定义．分析：先根据基本不等式得x1x2+x3x4≥2，即取定一个x5后，x1x2，x3x4不会都小于，及x2x3+x4x5≥2+≥2，再研究使三个不等式等号都成立的条件，即可得出max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值．解答：解：∵x1x2+x3x4≥2，即取定一个x5后，x1x2，x3x4不会都小于，同样x2x3+x4x5≥2，+≥2，使三个不等式等号都成立，则x1x2=x3x4=，x2x3=x4x5=，x1=x5即x1=x3=x5，x2=x4 x1x2=x2x3=x3x4=x4x5所以729=x13×x22=，（x1x2）3=729×x2x2最小为1，所以x1x2最小值为9，此时x1=x3=x5=9 x2=x4=1．故答案为：9．点评：本题主要考查了进行简单的合情推理及基本不等式的应用，属于中档题．14．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，设A（﹣1，1），B，C是函数图象上的两点，且△ABC为正三角形，则△ABC的高为2．考点：点到直线的距离公式．专题：综合题．分析：设B、C为直线y=kx+b（k＜0，b＞0）与y=的交点，联立方程组⇒kx2+bx﹣1=0．设B（x1，y1），C（x2，y2），利用韦达定理，结合△ABC为正三角形，可求得k及|AD|，从而可得答案．解答：解：设B、C为直线y=kx+b（k＜0，b＞0）与y=的交点，由得kx2+bx﹣1=0．设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=﹣，y1+y2=+==b，设BC的中点为D，则D（﹣，）．因为A（﹣1，1），依题意，k AD•k BC=﹣1，即•k=﹣1，由于k＜0，故1﹣k≠0，∴b=（b＞0）．∵|BC|=|x1﹣x2|=•=•=•∴d A﹣BC=|BC|，即=×|BC|=×2•，即=ו，解得：k=．∵b=＞0，∴k=，k2=，∴d A﹣BC======2．故△ABC的高为2．故答案为：2．点评：本题考查韦达定理与点到直线的距离公式，考查方程思想与等价转化思想的综合运用，属于难题．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2013•南通二模）已知△ABC的内角A的大小为120°，面积为．（1）若AB=，求△ABC的另外两条边长；（2）设O为△ABC的外心，当时，求的值．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．专题：计算题；解三角形；平面向量及应用．分析：（1）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由三角形的面积公式及已知AB，可求b，c，然后再利用余弦定理可求（2）由（1）可知BC，利用余弦定理可求b，设BC的中点为D，则，结合O为△ABC的外心，可得，从而可求解答：解：（1）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，于是，所以bc=4．…（3分）因为，所以．由余弦定理得．…（6分）（2）由得b2+c2+4=21，即，解得b=1或4．…（8分）设BC的中点为D，则，因为O为△ABC的外心，所以，于是．…（12分）所以当b=1时，c=4，；当b=4时，c=1，．…（14分）点评：本题主要考查了三角形的面积公式及余弦定理的应用．还考查了向量的基本运算及性质的应用．16．（14分）（2013•南通二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠PBC=90°，∠PBA≠90°．求证：（1）AD∥平面PBC；（2）平面PBC⊥平面PAB．考点： 直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： （1）由BC ∥平面PAD ，利用线面平行的性质定理即可得到BC ∥AD ，再利用线面平行的判定定理即可证明AD ∥平面PBC ； （2）自P 作PH ⊥AB 于H ，由平面PAB ⊥平面ABCD ，可得PH ⊥平面ABCD ．于是BC ⊥PH ．又BC ⊥PB ，可得BC ⊥平面PAB ，进而得到面面垂直． 解答： 证明：（1）因为BC ∥平面PAD ，而BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面PAD=AD ， 所以BC ∥AD ．因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以AD ∥平面PBC ．（2）自P 作PH ⊥AB 于H ，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB ∩平面ABCD=AB ， 所以PH ⊥平面ABCD ．因为BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥PH ． 因为∠PBC=90°，所以BC ⊥PB ，而∠PBA ≠90°，于是点H 与B 不重合，即PB ∩PH=H ． 因为PB ，PH ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ． 因为BC ⊂平面PBC ，故平面PBC ⊥平面PAB ． 点评： 本题综合考查了线面、面面垂直的判定与性质定理，线面平行的判定与性质定理，需要较强的推理能力和空间想象能力． 17．（14分）（2013•南通二模）为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会．计划用1 600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1 000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x 层楼房每平方米的建筑费用为（kx+800）元（其中k 为常数）．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元．（每平方米平均综合费用=）．（1）求k 的值；（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？考点：函数模型的选择与应用． 分析：（1）求出每幢楼为5层时的所有建筑面积，算出所有建筑费，直接由每平方米平均综合费用=列式求出k 的值；（2）设小区每幢为n （n ∈N*）层时，每平方米平均综合费用为f （n ），同样利用题目给出的每平方米平均综合费用的关系式列出f （n ）的表达式，然后利用基本不等式求出f （n ）的最小值，并求出层数． 解答： 解：（1）如果每幢楼为5层，那么所有建筑面积为10×1000×5平方米， 所有建筑费用为[（k+800）+（2k+800）+（3k+800）+（4k+800）+（5k+800）]×1000×10，所以，1270=，解之得：k=50．（2）设小区每幢为n （n ∈N*）层时，每平方米平均综合费用为f （n ），由题设可知 f （n ）==+25n+825≥2+825=1 225（元）．当且仅当=25n ，即n=8时等号成立．答：该小区每幢建8层时，每平方米平均综合费用最低，此时每平方米平均综合费用为1225元． 点评： 本题考查了函数模型的选择及应用，考查了学生的数学建模能力和计算能力，是中档题．18．（16分）（2013•南通二模）已知函数f （x ）=（m ﹣3）x 3+9x ．（1）若函数f （x ）在区间（﹣∞，+∞）上是单调函数，求m 的取值范围； （2）若函数f （x ）在区间[1，2]上的最大值为4，求m 的值．考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 计算题；综合题；导数的综合应用． 分析： （1）函数f （x ）在R 上是单调函数，说明y=f'（x ）在（﹣∞，+∞）上恒大于等于0或恒小于等于0，根据f'（x ）=3（m ﹣3）x 2+9得f'（0）=9＞0，从而得到只有f'（x ）≥0在R 上恒成立，由此建立关于m 的不等式即可解出实数m 的取值范围．（2）根据（1）的结论，当m ≥3时f （x ）在R 上为增函数，当m ＜3时在区间，上单调递减，在区间单调递增．再根据m 的取值结合函数的单调性建立关于m 的方程，解得m=﹣2符合题意，得到本题答案．解答： 解：（1）求导数，得f'（x ）=3（m ﹣3）x 2+9∵f'（0）=9＞0，∴f （x ）在区间（﹣∞，+∞）上只能是单调增函数． …（3分）又∵f'（x ）=3（m ﹣3）x 2+9≥0在区间（﹣∞，+∞）上恒成立，∴，解之可得m ≥3，即m 的取值范围是[3，+∞）． …（6分）（2）由（1）的结论，得当m ≥3时，f （x ）在[1，2]上是增函数，所以[f （x）]max=f （2）=8（m﹣3）+18=4，解得m=＜3，不合题意舍去．…（8分）当m＜3时，f'（x）=3（m﹣3）x2+9=0，解之得．所以f （x）的单调区间为：在区间，上单调递减，在区间单调递增．…（10分）①当，即时，得，∴f （x）在区间[1，2]上单调增，可得[f （x）]max=f（2）=8（m﹣3）+18=4，m=，不满足题设要求．②当，即0＜m＜时，可得[f （x）]max=舍去．③当，即m≤0时，则，∴f （x）在区间[1，2]上单调减，可得[f （x）]max=f （1）=m+6=4，m=﹣2，符合题意综上所述，m的值为﹣2．…（16分）点评：本题给出三次多项式函数，讨论了函数的单调性，已知函数在区间[1，2]上的最大值为4的情况下求参数m的值．着重考查了利用导数研究函数的单调性、三次多项式函数在闭区间上最值的求法等知识，属于中档题．19．（16分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2=r2和直线l：x=a（其中r和a均为常数，且0＜r＜a），M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q．（1）若r=2，M点的坐标为（4，2），求直线PQ方程；（2）求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标．考点：直线与圆的位置关系；恒过定点的直线．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）通过r=2，M点的坐标为（4，2），求出A1（﹣2，0），A2（2，0）．然后推出P、Q坐标，即可求直线PQ方程；（2）证明法一：设A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），求出直线MA1的方程，直线MA1的方程，通过直线与圆的方程联立，求出直线PQ的方程，然后说明经过定点，求定点的坐标．法二：设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），求出直线MA1的方程，与圆C的交点P设为P（x1，y1）．求出直线MA2的方程，与圆C的交点Q设为Q（x2，y2）．点P（x1，y1），Q（x2，y2）在曲线[（a+r）y﹣t（x+r）][（a﹣r）y﹣t（x﹣r）]=0上，有P（x1，y1），Q（x2，y2）在圆C上，求出公共弦方程，说明经过定点，求定点的坐标．解答：解：（1）当r=2，M（4，2），则A1（﹣2，0），A2（2，0）．直线MA1的方程：x﹣3y+2=0，解得．…（2分）直线MA2的方程：x﹣y﹣2=0，解得Q（0，﹣2）．…（4分）由两点式，得直线PQ方程为：2x﹣y﹣2=0．…（6分）（2）证法一：由题设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），直线MA1的方程是：y=（x+r），直线MA1的方程是：y=（x﹣r）．…（8分）解得．…（10分）解得．…（12分）于是直线PQ的斜率k PQ=，直线PQ的方程为．…（14分）上式中令y=0，得x=，是一个与t无关的常数．故直线PQ过定点．…（16分）证法二：由题设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），直线MA1的方程是：y=（x+r），与圆C的交点P设为P（x1，y1）．直线MA2的方程是：y=（x﹣r）；与圆C的交点Q设为Q（x2，y2）．则点P（x1，y1），Q（x2，y2）在曲线[（a+r）y﹣t（x+r）][（a﹣r）y﹣t（x﹣r）]=0上，…（10分）化简得（a2﹣r2）y2﹣2ty（ax﹣r2）+t2（x2﹣r2）=0．①又有P（x1，y1），Q（x2，y2）在圆C上，圆C：x2+y2﹣r2=0．②①﹣t2×②得（a2﹣r2）y2﹣2ty（ax﹣r2）﹣t2（x2﹣r2）﹣t2（x2+y2﹣r2）=0，化简得：（a2﹣r2）y﹣2t（ax﹣r2）﹣t2 y=0．所以直线PQ的方程为（a2﹣r2）y﹣2t（ax﹣r2）﹣t2 y=0．③…（14分）在③中令y=0得x=，故直线PQ过定点．…（16分）点评：不考查直线与圆的位置关系，直线系方程的应用，考查计算能力与转化思想．20．（16分）（2013•南通二模）设无穷数列{a n}满足：∀n∈N*，a n＜a n+1，．记．（1）若，求证：a1=2，并求c1的值；（2）若{c n}是公差为1的等差数列，问{a n}是否为等差数列，证明你的结论．考点：等差数列与等比数列的综合；等差关系的确定．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）根据已知条件排除a1=1、a1≥3即可证得a1=2，，通过计算可得a2=3，故=b2，代入数值可求得；（2）由a n+1＞a n⇒n≥2时，a n＞a n﹣1，由此可推得a n≥a m+（n﹣m）（m＜n），从而，即c n+1﹣c n≥a n+1﹣a n，又{c n}是公差为1的等差数列，所以1≥a n+1﹣a n，又a n+1﹣a n≥1，故a n+1﹣a n=1，由此可判断{a n}是否为等差数列；解答：（1）因为，所以若a1=1，则矛盾，若，可得1≥a1≥3矛盾，所以a1=2．于是，从而．（2）{a n}是公差为1的等差数列，证明如下：a n+1＞a n⇒n≥2时，a n＞a n﹣1，所以a n≥a n﹣1+1⇒a n≥a m+（n﹣m），（m＜n），即c n+1﹣c n≥a n+1﹣a n，由题设，1≥a n+1﹣a n，又a n+1﹣a n≥1，所以a n+1﹣a n=1，即{a n}是等差数列．点评：本题考查等差数列的判定及通项公式，考查学生的逻辑推理能力，难度较大．选做题：本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题0分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（10分）（2013•南通二模）如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F 作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．求证：DE2=DB•DA．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：欲证DE2=DB•DA，由于由切割线定理得DF2=DB•DA，故只须证：DF=DE，也就是要证：∠CFD=∠DEF，这个等式利用垂直关系通过互余角的转换即得．解答：证明：连接OF．因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．所以∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．（5分）所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DB•DA．所以DE2=DB•DA．（10分）点评：本题考查的与圆有关的比例线段、切线的性质、切割线定理的运用．属于基础题．22．（10分）（2013•南通二模）选修4﹣2：矩阵与变换设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵（m＞0）对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1，求矩阵M 的逆矩阵M﹣1．考点：逆变换与逆矩阵．专题：计算题．分析：确定点在矩阵对应的变换作用下得到点坐标之间的关系，利用变换前后的方程，即可求得矩阵M；再求出对应行列式的值，即可得到M的逆矩阵．解答：解：设曲线2x2+2xy+y2=1上任一点P（x，y）在矩阵M对应的变换下的像是P'（x'，y'），由，得因为P'（x'，y'）在圆x2+y2=1上，所以（mx）2+（nx+y）2=1，化简可得（m2+n2）x2+2nxy+y2=1．…（3分）依题意可得m2+n2=2，2n=2，m=1，n=1或m=﹣1，n=1，而由m＞0可得m=1，n=1．…（6分）故，故矩阵M的逆矩阵M﹣1=．…（10分）点评：本题考查矩阵与变换，考查逆矩阵的求法，确定变换前后坐标之间的关系是解题的关键．23．（2013•南通二模）选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标xOy中，已知圆，圆．（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C1，C2的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标；（2）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆．分析：（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及x2+y2=ρ2，直接写出圆C1，C2的极坐标方程，求出圆C1，C2的交点极坐标；（2）求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C1与C2的公共弦的参数方程．解答：解：（1）圆C1的极坐标方程为ρ=2，圆C2的极坐标方程为ρ=4cosθ，由得，故圆C1，C2交点坐标为圆．…（5分）（2）由（1）得，圆C1，C2交点直角坐标为，故圆C1与C2的公共弦的参数方程为…（10分）注：第（1）小题中交点的极坐标表示不唯一；第（2）小题的结果中，若未注明参数范围，扣（2分）．点评：本题考查简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程的求法，极坐标与直角坐标的互化，考查计算能力．24．（2013•南通二模）选修4﹣5：不等式选讲若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值．考点：一般形式的柯西不等式．专题：计算题．分析：利用柯西不等式，即可求得的最小值．解答：解：∵正数a，b，c满足a+b+c=1，∴（）[（3a+2）+（3b+2）+（3c+2）]≥（1+1+1）2，即当且仅当a=b=c=时，取等号∴当a=b=c=时，的最小值为1．点评：本题考查求最小值，解题的关键是利用柯西不等式进行求解，属于中档题．必做题：本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）（2013•南通二模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB=AC=A1B=2．（1）求棱AA1与BC所成的角的大小；（2）在棱B1C1上确定一点P，使二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值为．考点：用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法．专题：空间角．分析：（1）因为AB⊥AC，A1B⊥平面ABC，所以以A为坐标原点，分别以AC、AB所在直线分别为x轴和y轴，以过A，且平行于BA1的直线为z轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=A1B=2求出所要用到的点的坐标，求出棱AA1与BC上的两个向量，由向量的夹角求棱AA1与BC 所成的角的大小；（2）设棱B1C1上的一点P，由向量共线得到P点的坐标，然后求出两个平面PAB与平面ABA1的一个法向量，把二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值为转化为它们法向量所成角的余弦值，由此确定出P点的坐标．解答：解：（1）如图，以A为原点，AC、AB所在直线分别为x轴和y轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2），B1（0，4，2），，．所以==，所以向量与所成的角为，故AA1与棱BC所成的角是．（2）设P为棱B1C1上的点，由，得P（2λ，4﹣2λ，2）．设平面PAB的法向量为=（x，y，z），，，由，得，取x=1，得z=﹣λ，故=（1，0，﹣λ）．而平面ABA1的一个法向量是=（1，0，0），则=，解得，即P为棱B1C1中点，其坐标为P（1，3，2）．点评：本题考查了异面直线所成的角，考查了二面角的平面角的求法，解答的关键是首先建立正确的空间右手系，然后准确计算出一些点的坐标，此题是中档题．26．（10分）（2013•南通二模）设b＞0，函数，记F（x）=f′（x）（f′（x）是函数f（x）的导函数），且当x=1时，F（x）取得极小值2．（1）求函数F（x）的单调增区间；（2）证明|[F（x）]n|﹣|F（x n）|≥2n﹣2（n∈N*）．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；二项式定理的应用． 专题： 计算题；综合题；导数的综合应用． 分析：（1）将f'（x ）求导数并化简得，然后再求F （x ）的导数得，由F'（1）=0并结合a ＞0建立关于a 、b 的方程组，解之即可得到a=b=1，进而可得F （x ）的单调增区间为（1，+∞）．（2）利用二项式定理将不等式左边展开合并，得|[F （x ）]n|﹣|F （x n）|=，利用基本不等式证出，由此即可证出原不等式对任意的n ∈N *恒成立．解答：解：（1）根据题意，得．于是，若a ＜0，则F'（x ）＜0，与F （x ）有极小值矛盾，所以a ＞0．令F'（x ）=0，并考虑到x ＞0，可知仅当时，F （x ）取得极小值．所以解得a=b=1．…（4分）故，由F'（x ）＞0，得x ＞1，所以F （x ）的单调增区间为（1，+∞）．（2）因为x ＞0，所以记得g （x ）=根据基本不等式，得，∴将此式代入g （x ）表达式，可得，因此，|[F （x ）]n|﹣|F （x n）|≥2n﹣2（n ∈N *）．…（10分）点评： 本题给出基本初等函数，在已知当x=1时函数取得极小值2的情况下求函数F （x ）的单调增区间，并依此证明不等式恒成立．着重考查了基本初等函数的性质、利用导数研究函数的单调性、二项式定理和不等式的证明等知识，属于中档题．。
2013届江苏省泰州中学高三上学期期中考试数学试题
江苏省泰州中学2012—2013学年度高三年级上学期期中考试数学试题（2012.11.5）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.已知集合},1{},2,0{2a B A ==，若}4,2,1,0{=B A ，则实数a=2. 若4sin ,tan 05θθ=->，则cos θ= . 3. 写出命题：“,sin x R x x ∀∈<”的否定：4. 幂函数f(x)＝x α(α为常数)的图象经过，则f(x)的解析式是 ． 5. 若a+a -1=3，则2121--a a 的值为6.函数()f x =的定义域为A ，若2A ∉，则a 的取值范围为 ．7. 已知f(x)是偶函数，它在[0，＋∞)上是 增函数，若f(lgx)＜f(1)，则x 的取值范围 是 ．8. 设数列{}n a 是首相大于零的等比数列,则“21a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的_____条件．9. 若向量(,2),(3,2)a x x b x ==-，且,a b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是 510. 已知函数)(log 221a ax x y +-=在区间]2,(-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 . 11. 给出下列命题： ①存在实数x ，使得3cos sin π=+x x ；②函数x y 2sin =的图象向右平移4π个单位，得到)42sin(π+=x y 的图象；③函数)2732sin(π-=x y 是偶函数； ④已知βα,是锐角三角形ABC 的两个内角，则βαcos sin >。
其中正确的命题的个数为12. 已知点O 为△ABC 的外心，且4AC =，2AB =，则AO BC ⋅的值等于 ． 13. 数列{}n a 中,()()111,()211n n n na a a n N n na *+==∈++，则数列{}n a 的前2012项的和 为 .14. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()12f =，()1f x '<，则不等式()221f x x <+的解集为_ .二、解答：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. （本小题满分14分）已知命题p ：指数函数f (x )＝(2a －6)x 在R 上单调递减，命题q ：关于x 的方程 x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两个实根均大于3.若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．16. （本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，且2224)S b c a =+-（1）求角A ； （2）求值：00cos(80)[110)]A A ---17. （本小题满分14分）设函数22111()log ()2122x f x x x x -=<->+或. (1)证明:()f x 是奇函数; (2)求()f x 的单调区间; (3)写出函数221()log 23x g x x +=+图象的一个对称中心.18. （本小题满分16分）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x （0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量. （1）若年销售量增加的比例为0.4x ，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？（2）年销售量关于x 的函数为)352(32402++-=x x y ，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？19. （本小题满分16分）已知函数x a x x f ln )(2+=(a 为实常数).(1)若2-=a ，求证：函数)(x f 在(1，+．∞)上是增函数； (2)求函数)(x f 在[1，e]上的最小值及相应的x 值；(3)若存在],1[e x ∈，使得x a x f )2()(+≤成立，求实数a 的取值范围.20. （本小题满分16分）设数列{}n a 、{}n b 满足14a =，252a =，12n n n a b a ++=，12n n n n na b b a b +=+． （1）证明：2n a >，02n b <<（*n N ∈）； （2）设32log 2n n n a c a +=-，求数列{}n c 的通项公式； （3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，数列{}n n a b 的前n 项和为{}n P ，求证：83n n n S T P +<+．()2n ≥江苏省泰州中学2013届高三期中考试数学参考答案与评分标准1．2± 2.35- 3. ,sinx R x x∃∈≥ 4.12()f x x= 5.1±6. 1<a<37.1(,10)108. 充要；9.114(,)(,0)(,)333-∞--+∞10.2)+ 11. 3个12. 613.2012201314.()(),11,-∞-+∞15. 解：若p真，则f(x)＝(2a－6)x在R上单调递减，∴0<2a－6<1，∴3<a<72，若q真，令f(x)＝x2－3ax＋2a2＋1，则应满足⎩⎨⎧Δ＝(－3a)2－4(2a2＋1)≥0－－3a2>3f(3)＝9－9a＋2a2＋1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a≥2或a≤－2a>2a<2或a>52，故a>52，又由题意应有p真q假或p假q真．…………………………6分①若p真q假，则⎩⎨⎧3<a<72a≤52，a无解．②若p假q真，则⎩⎨⎧a≤3或a≥72a>52，∴52<a≤3或a≥72.………………………………………………6分故a的取值范围是{a|52<a≤3或a≥72}．…………………14分16.(1)014sin cos ,tan 0,602bc A bc A A A A π⋅=∴=<<∴=………6分（2）原式=000cos110cos 20(1tan 50)cos 20cos 60cos50o=0002cos 20(sin 20)1sin 40-==-……………………14分 17.(1)4分(2)单调增区间有11(,),(,)22-∞-+∞……………6分(3)(1,0)-……………4分 18. 解：（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x ）； 出厂价为13×（1+0.7x ）；年销售量为5000×（1+0.4x ）， ……2分 因此本年度的利润为[13(10.7)10(1)]5000(10.4)y x x x =⨯+-⨯+⨯⨯+(30.9)5000(10.4)x x =-⨯⨯+即：21800150015000(01),y x x x =-++<< …………………………6分 由2180015001500015000x x -++>， 得506x << ………8分 （2）本年度的利润为)55.48.49.0(3240)352(3240)9.03()(232++-⨯=++-⨯⨯-=x x x x x x x f则),3)(59(972)5.46.97.2(3240)(2'--=+-⨯=x x x x x f ……10分由,395,0)('===x x x f 或解得当)(,0)()95,0('x f x f x >∈时，是增函数；当)(,0)()1,95('x f x f x <∈时，是减函数.∴当95=x 时，20000)95()(=f x f 取极大值万元， ……12分因为()f x 在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值， ……14分所以当95=x 时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元． ……16分19. （1）当2-=a 时，x x x f ln 2)(2-=，当),1(+∞∈x ，0)1(2)(2>-='xx x f ，故函数)(x f 在),1(+∞上是增函数．…………………………………………………4分（2）)0(2)(2>+='x xax x f ，当],1[e x ∈，]2,2[222e a a a x ++∈+．若2-≥a ，)(x f '在],1[e 上非负（仅当2-=a ，x=1时，0)(='x f ），故函数)(x f 在],1[e 上是增函数，此时=min )]([x f 1)1(=f ． ………………………………………………6分若222-<<-a e ，当2a x -=时， 0)(='x f ；当21ax -<≤时，0)(<'x f ，此时)(x f 是减函数； 当e x a ≤<-2时，0)(>'xf ，此时)(x f 是增函数．故=min )]([x f )2(af - 2)2ln(2aa a --=． 若22e a -≤，)(x f '在],1[e 上非正（仅当2e 2-=a ，x=e 时，0)(='x f ），故函数)(x f 在],1[e 上是减函数，此时==)()]([min e f x f 2e a +．……………………………………8分综上可知，当2-≥a 时，)(x f 的最小值为1，相应的x 值为1；当222-<<-a e 时，)(x f的最小值为2)2ln(2aa a --，相应的x 值为2a -；当22e a -≤时，)(x f 的最小值为2e a +，相应的x 值为e ．……………………………………………………………………10分 （3）不等式x a x f )2()(+≤， 可化为x x x x a 2)ln (2-≥-．∵],1[e x ∈, ∴x x ≤≤1ln 且等号不能同时取，所以x x <ln ，即0ln >-x x ，因而xx xx a ln 22--≥（],1[e x ∈）………………………………………………12分令x x xx x g ln 2)(2--=（],1[e x ∈），又2)ln ()ln 22)(1()(x x x x x x g --+-='，…………………14分当],1[e x ∈时，1ln ,01≤≥-x x ，0ln 22>-+x x ，从而0)(≥'x g （仅当x=1时取等号），所以)(x g 在],1[e 上为增函数，故)(x g 的最小值为1)1(-=g ，所以a 的取值范围是),1[+∞-． ………………………16分20. （1）12n n n a b a ++=，12n nn n na b b a b +=+两式相乘得11n n n n a b a b ++=，{}n n a b ∴为常数列，114n n a b a b ∴==；（2分）4n n b a ∴=114()22n n na a a +∴=+>；02n b ∴<<； （若2n a =，则12n a +=，从而可得{}n a 为常数列与14a =矛盾）；……………4分（2）32log 2n n n a c a +=-， 211333311222222log log log 2log 21222222n n nn n n n n n n n na a a a a c c a a a a a +++++⎛⎫⎛⎫+++∴===== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭+- 又因为11c =， {}n c ∴为等比数列， 12n n c -∴=…………………8分 （3）由12n n c -=可以知道，1111222231242212313131n n n n n a ----+⎛⎫==+=+ ⎪---⎝⎭， 令12431n n d -=-，数列{}n d 的前n 项和为n D ，很显然只要证明83n D ≤()2n ≥， 222314n n -≥∴+≥．因为12431n n d -=-()()()222122224414313131n n n n d ----==≤+--， ∴n d ()()222243131n n --=+-22122111444n n n d d d ---⎛⎫⎛⎫≤≤≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以n D =123()n d d d d ++++2212111[1]444n d d -⎛⎫⎛⎫≤+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22211124218218221134334314n n n ---⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭≤+=+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-所以823n S n <+．……………14分 又4,2n n n a b b =<，故4,2n n P n n =<且T ， 所以888224333n n n S T n n n P +<++=+=+()2n ≥．…………………16分。
泰州中学2013届高三高考考前预测数学试题(8)正题
（第3题图）开始 输入p n =1 n <p ？输出S S =0结 束S =S +2−nn =n +1 是否O频率组距分数a 0.0640.0600.0160.020*******8580752013年高考数学模拟卷正题部分(文理必做题)(满分160分 时间 120分钟)一、填空题（本大题共有14题，每小题5分,满分70分）1．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U .2.已知i 是虚数单位，a ∈R ．若复数22a ia i+-的虚部为1，则a ＝ ．3．执行如图所示的程序框图，若输入p 的值是7，则输出S 的值是 .4.某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取50名学生的笔试成绩，绘制成频率分布直方图如图所示.若要从成绩在[)85,90 ，[)90,95 ， []95,100三组内的学生中，用分层抽样的方法选取12人参加面试，则成绩在[]95,100内的学生中，学生甲被选取的概率为 .5．已知),2(ππα∈，53sin =α，则)4tan(πα-的值等于 .6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝2A ，cos A ＝34，b ＝5，则△ABC 的面积为 ．7．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为 cm ．8.在△ABC 中，B(10，0)，直线BC 与圆Γ：x2＋(y －5)2＝25相切，切点为线段BC 的中点．若△ABC 的重心恰好为圆Γ的圆心，则点A 的坐标为 ．9.已知函数()sin(2)(0)6f x x πωω=->在区间2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的最大值为________.10．如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | : | AF 2 |＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为11．已知两个不相等的平面向量α，β(0≠α)满足|β|＝2，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的最大值是 .12.已知点P,Q 分别是曲线xy e =,ln (0)y x x =>的动点,则P ,Q 两点距离的最小值为 .13.已知函数()[]f x x x =-,其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数.则关于x 的方程()f x kx k =+有三个不同的实根充要条件是 。
江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷
（第3题）(第5题)江苏省（泰州、南通、扬州、宿迁、淮安）五市2013届高三第三次调研测试 数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合(]2 1A=-，，[)1 2B =-，，则A B =U ▲ ．【答案】(2 2)-，2． 设复数z 满足(34i)50z ++=（i 是虚数单位），则复数z 的模为 ▲ ． 【答案】13． 右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．【答案】2400 4． “MN>”是“22log log M N>”成立的 ▲ 条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写） 【答案】必要不充分5． 根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆 机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布 直方图如右图所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60 km/h~120 km/h ，则该时 段内非正常行驶的机动车辆数为 ▲ ． 【答案】156． 在平面直角坐标系xO y 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为 ▲ ．【答案】4(第9题)7． 从集合{}1 2 3 4 5 6 7 8 9，，，，，，，，中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为 ▲ ．【答案】1128． 在平面直角坐标系xO y 中，设点P 为圆C ：22(1)4x y -+=上的任意一点，点Q (2a ，3a-)(a ∈R )，则线段P Q 长度的最小值为 ▲ ．【答案29． 函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0ω>，02)ϕ<π≤在R 上的部分图象如图所示，则(2013)f 的值为 ▲ ．【答案】-10．各项均为正数的等比数列{}n a 中，211a a -=．当3a 取最小值时，数列{}n a 的通项公式a n = ▲ ．【答案】12n - 11．已知函数2221 0 () 0a x x x f x x b x c x ⎧--⎪=⎨++<⎪⎩，≥，，是偶函数，直线y t=与函数()yf x =的图象自左向右依次交于四个不同点A ，B ，C ，D ．若A B B C=，则实数t 的值为 ▲ ．【答案】74-12．过点(1 0)P -，作曲线C ：exy =的切线，切点为1T ，设1T 在x 轴上的投影是点1H ，过点1H 再作曲线C 的切线，切点为2T ，设2T 在x 轴上的投影是点2H ，…，依次下去，得到第1n +()n ∈N 个切点1n T +．则点1n T +的坐标为 ▲ ．【答案】() e nn ，13．在平面四边形ABCD中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，且AB 1=，E F=CD =．若15A DB C⋅=uuu r uuu r，则A CB D⋅uuu r uuu r的值为 ▲ ．【答案】1314．已知实数a 1，a 2，a 3，a 4满足a 1+a 2+a 30=，a 1a 42+a 2a 4-a 20=，且a 1>a 2>a 3，则a 4的取值范围是 ▲ ． 【答案】二、解答题15．如图，在四棱锥P A B C D-中，底面A B C D 是矩形，四条侧棱长均相等．（1）求证：A B//平面P C D ；（2）求证：平面P A C ⊥平面A B C D ．证明：（1）在矩形A B C D 中，//A B C D ， 又A B ⊄平面P C D ，C D ⊂平面P C D ，所以A B //平面P C D ． ………6分（2）如图，连结B D ，交A C 于点O ，连结P O ，在矩形A B C D 中，点O 为 A C B D ，的中点， 又P A P B P C P D ===，故P O A C⊥，P OB D⊥， ………9分又A C B D O=I ，A CB D ，⊂平面A B C D ，所以P O ⊥平面A B C D ， ………12分又P O⊂平面P A C ，所以平面P A C ⊥平面A B C D ． ………14分16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知222222sin 2sin sin C b a cA C c a b--=---．（1）求角B 的大小；（2）设222sin sin sin TA B C=++，求T 的取值范围．解：（1）在△ABC 中，AB（第15题）PDO222222sin 2co s co sB sin co s 2sin sin 2co s co s sin co s C b a c a c B c C BA C a b C b CBC c a b---====----， ………3分因为sin 0C ≠，所以sin cos 2sin cos sin cos B CA B C B=-，所以2sin cos sin cos sin cos sin()sin A B B C C B B C A=+=+=， ………5分因为sin 0A ≠，所以1co s 2B =，因为0πB <<，所以π3B=． ………7分（2）222131sin sin sin (1co s 2)(1co s 2)242T A B C A C =++=-++-()71714π(co s 2co s 2)co s 2co s 242423A C A A -⎡⎤=⎢⎥⎣+=--⎦+()()71171πco s 22co s 2422423A A A =--=-+ ………11分因为2π03A <<，所以4π023A <<，故ππ5π2333A <+<，因此()π11co s 232A -+<≤，所以3924T <≤． ………14分17．某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8 mm ；图2是双层中空玻璃，厚度均为4 mm ，中间留有厚度为x 的空气隔层．根据热传导知识，对于厚度为d 的均匀介质， 两侧的温度差为T ∆，单位时间内，在单位面积上通过的热量T Qk d∆=⋅，其中k 为热传导系数．假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等．（注：玻璃的热传导系 数为3410 J m m /C -⨯⋅ ，空气的热传导系数为42.510 J m m /C -⨯⋅ ．）（1）设室内，室外温度均分别为1T ，2T ，内层玻璃外侧温度为1T '，外层玻璃内侧温度为2T '， 且1122T T T T ''>>>．试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量（结果用1T ，2T 及x 表示）；（2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计x的大小？解：（1）设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量分别为1Q ，2Q ， 则31212141082 000T T T T Q ---=⨯⋅=， ………2分34311122224102.51041044T T T T T T Q x---''''---=⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅………6分111222343444102.510410T T T T T T x---''''---===⨯⨯⨯11122234344410 2.510410T T T T T T x ---''''-+-+-=++⨯⨯⨯124 0002 000T T x -=+． ………9分 （2）由（1）知21121Q Q x =+，当121x =+4%时，解得12x =（mm ）．答：当12x =mm 时，双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4%． ………14分． 18．如图，在平面直角坐标系xO y 中，椭圆22221(y x a b ab+=>分别过O ，F 的两条弦A B ，C D 相交于点E （异于A ，O EE F=．图1图2（第17题）（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线A C ，B D 的斜率之和为定值．（1）解：由题意，得1c =，c e a ==，故a=从而2221b a c =-=，所以椭圆的方程为2212xy +=． ① ………5分（2）证明：设直线A B 的方程为ykx=，②直线C D 的方程为(1)yk x =--， ③ ………7分由①②得，点A ，B的横坐标为由①③得，点C ，D21k+ ………9分记11( )A x kx ，，22( )B x kx ，，33( (1))C x k x -，，44( (1))D x k x -，，则直线A C ，B D 的斜率之和为 13241324(1)(1)kx k x kx k x x x x x ----+--132413241324(1)()()(1)()()x x x x x x x x k x x x x +--+-+-=⋅--1234123413242()()()()()x x x x x x x x k x x x x --+++=⋅-- ………13分2222213242(1)2420212121()()k kk k k k x x x x -⎛⎫---+ ⎪+++⎝⎭=⋅--=． ………16分19．已知数列{}n a 是首项为1，公差为d 的等差数列，数列{}n b 是首项为1，公比为(1)q q>的等比数列． （1）若55a b =，3q=，求数列{}n n a b ⋅的前n项和；（2）若存在正整数(2)k k ≥，使得k ka b =．试比较n a 与n b 的大小，并说明理由．解：（1）依题意，5145511381a b b q -===⨯=，故5181120514a a d--===-，所以120(1)2019na n n =+-=-， ………3分令2111213413(2019)3n nS n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅， ①则213 13213(2039)3(2019)3n nnS n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅， ②①-②得，()2121+20333(2019)3n nnS n --=⨯++⋅⋅⋅+--⋅，13(13)1+20(2019)313n nn --=⨯--⋅-(2920)329nn =-⋅-，所以(2029)3292nnn S -⋅+=． ………7分（2）因为kka b =，所以11(1)k k d q-+-=，即111k qd k --=-，故111(1)1k nqa n k --=+--，又1n nb q-=， ………9分所以1111(1)1k n nn q b a qn k --⎡⎤--=-+-⎢⎥-⎣⎦()()111(1)1(1)11n k k q n q k --⎡⎤=-----⎣⎦-()()23231(1)1(1)11n n k k q k q q q n q q q k -----⎡⎤=-++⋅⋅⋅++--++⋅⋅⋅++⎣⎦-………11分（ⅰ）当1n k<<时，由1q >知()()232311()1(1)1n n k k n nn q b a k n q q q n q q q k ------⎡⎤-=-++⋅⋅⋅++--++⋅⋅⋅+⎣⎦-211()(1)(1)()1n n q k n n q n k n qk ---⎡⎤<-----⎣⎦-22(1)()(1)1n q qk n n k ----=--<， ………13分（ⅱ）当nk>时，由1q>知()()231231(1)()11n n k k k n n q b a k q q q n k q q q k ------⎡⎤-=-++⋅⋅⋅+--++⋅⋅⋅++⎣⎦-121(1)()()(1)1k k q k n k qn k k qk ---⎡⎤>-----⎣⎦-22(1)()k q q n k -=-->， 综上所述，当1n k<<时，nna b >；当nk>时，nna b <；当1 nk=，时，nna b =．………16分（注：仅给出“1n k<<时，nna b >；nk>时，nna b <”得2分．）20．设()f x 是定义在(0 )+∞，的可导函数，且不恒为0，记()()()n nf xg x n x=∈*N ．若对定义域内的每一个x ，总有()0n g x <，则称()f x 为“n 阶负函数”；若对定义域内的每一个x ，总有[]()0ng x '≥，则称()f x 为“n 阶不减函数”（[]()ng x '为函数()n g x 的导函数）．（1）若31()(0)a f x x x xx=-->既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数a 的取值范围；（2）对任给的“2阶不减函数”()f x ，如果存在常数c ，使得()f x c<恒成立，试判断()f x 是否为“2阶负函数”？并说明理由． 解：（1）依题意，142()1()1f x ag x x xx==--在(0 )+∞，上单调递增，故15342[()]0a g x xx'=-+≥ 恒成立，得212a x≤， ………2分因为0x>，所以0a ≤． ………4分而当0a ≤时，1421()10a g x xx=--<显然在(0 )+∞，恒成立，所以0a ≤． ………6分（2）①先证()0f x ≤：若不存在正实数0x ，使得20()0g x >，则2()0g x ≤恒成立． ………8分 假设存在正实数0x ，使得20()0g x >，则有0()0f x >，由题意，当0x >时，2()0g x '≥，可得2()g x 在(0 )+∞，上单调递增， 当0xx >时，022()()f x f x xx >恒成立，即202()()f x f x xx >⋅恒成立，故必存在10x x >，使得20112()()f x f x x mx >⋅>（其中m 为任意常数），这与()f x c<恒成立（即()f x 有上界）矛盾，故假设不成立，所以当0x >时，2()0g x ≤，即()0f x ≤； ………13分②再证()0f x =无解：假设存在正实数2x ，使得2()0f x =，则对于任意320x x >>，有322232()()0f x f x x x >=，即有3()0f x >，这与①矛盾，故假设不成立， 所以()0f x =无解，综上得()0f x <，即2()0g x <，故所有满足题设的()f x 都是“2阶负函数”． ………16分。
江苏省泰州中学2013届高三上学期摸底考试数学试题(含解析)
江苏省泰州中学2013-2014学年度第一学期高三数学考试试题 2013.8.31一、填空题 (请将答案填写在答题纸相应的位置)1．设集合A ={1，2，3}，B ={2，4，6}，则A ∩B =____▲______． 2．已知i 是虚数单位，若=b +i (a ,b)，则ab 的值为____▲______．3．某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为____▲______．4．设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （a ）＞f （b ），则f （﹣a ）____▲_____f （﹣b ）（用“＞”或“＜”填空）．5．在平面直角坐标系x O y 中，已知=（3，﹣1），=（0，2）．若•=0，=λ，则实数λ的值为____▲______．6．如右图，该程序运行后输出的结果为____▲______．7．由命题“存在x ∈R ，使x 2+2x +m ≤0”是假命题，求得m 的取值范围是（a ，+∞），则实数a 的值是____▲______． 8．函数f (x )=2s in ()，x ∈[﹣π，0]的单调递减区间单间为____▲______．9．在集合{x |x =}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x =的概率是____▲______．10．设中心在原点的双曲线与椭圆+y 2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是____▲______．11．已知点A （1，1）和点B （﹣1，﹣3）在曲线C ：y =ax 3+bx 2+d （a ，b ，d 为常数上，若曲线在点A 和点B 处的切线互相平行，则a 3+b 2+d =____▲______． 12．（5分）给出下列命题：（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； （3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，所有真命题的序号为____▲______． 13．已知函数f （x ）=，当t ∈[0，1]时，f （f （t ））∈[0，1]，则实数t 的取值范围是____▲______．14．已知函数f （x ）=||x ﹣1|﹣1|，若关于x 的方程f （x ）=m （m ∈R ）恰有四个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是____▲______．二、解答题(本大题共6小题，共90分．请在答题纸．．．指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15.在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知.3tan )(222bc A a c b =-+（1）求角A ； （2）若a =2，求△ABC 面积S 的最大值.BA DCFE16．如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，BE ＝BC ，F 为CE 上的一点，且BF ⊥平面ACE ． （1）求证：AE ⊥BE ；（2）求证：AE ∥平面BFD ．17.有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定.大桥上的车距()d m 与车速(/)v km h 和车长()l m 的关系满足：l l kv d 212+=（k 为正的常数），假定车身长为4m ，当车速为60(/)km h 时，车距为2.66个车身长. (1) 写出车距d 关于车速v 的函数关系式;(2) 应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？18．给定圆P :222x y x +=及抛物线S :24y x =,过圆心P 作直线,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为A B C D 、、、,如果线段AB BC CD 、、的长按此顺序构成一个等差数列,求直线的方程.19.已知以a 为首项的数列{}n a 满足：13,3,2, 3.n n n n na a a a a +->⎧=⎨≤⎩(1)若0＜n a ≤6，求证：0＜1n a +≤6;(2)若a ，k ∈N *，求使n k n a a +=对任意正整数n 都成立的k 与a ；20．已知(),P x y 为函数1ln y x =+图象上一点，O 为坐标原点，记直线OP 的斜率()k f x =．（1）若函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0m >上存在极值，求实数m 的取值范围； （2）当 1x ≥时，不等式()1tf x x ≥+恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：()*1ln[(1)]2ni i i n n N =⋅+>-∈∑．xyoAB CDP江苏省泰州中学2014届高三数学摸底考试教师讲评参考一、填空题1．设集合A={1，2，3}，B={2，4，6}，则A∩B={2}．考点：交集及其运算．专题：阅读型．分析：直接运用交集概念求得结果．解答：解：由集合A={1，2，3}，B={2，4，6}，所以A∩B={1，2，3}∩{2，4，6}={2}．故答案为{2}．点评：本题考查了交集及其运算，是会考题型，是基础题．2．已知i是虚数单位，若=b+i(a,b)，则ab的值为﹣3．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把给出的等式的左边利用复数的除法运算化简，然后利用复数相等的条件求出a，b的值，则答案可求．解答：解：由，得．所以b=3，a=﹣1．则ab=（﹣1）×3=﹣3．故答案为﹣3．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．3．某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为0.032．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：先计算数据的平均数后，再根据方差的公式计算．解答：解：数据9.7，9.9，10.1，10.2，10.1的平均数==10，方差=（0.09+0.01+0.01+0.04+0.01）=0.032．故答案为：0.032．点评：本题考查方差的定义．一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．4．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（a）＞f（b），则f（﹣a）＜f（﹣b）（用“＞”或“＜”填空）．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据奇函数的性质f（﹣x）=﹣f（x）求解．解答：解：根据奇函数的性质，f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b）；∵f（a）＞f（b），∴﹣f（a）＜﹣f（b），即f（﹣a）＜f（﹣b）．故答案是＜点评：本题考查函数的奇偶性．5．在平面直角坐标系x O y中，已知=（3，﹣1），=（0，2）．若•=0，=λ，则实数λ的值为2．考点：平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据向量、的坐标，得到=（﹣3，3），设=（m，n）可得•=﹣3m+3n=0．而=（m﹣3，n+1）=λ，得到m﹣3=0且n+1=2λ，两式联解即可得到实数λ的值．解答：解：∵=（3，﹣1），=（0，2）∴=﹣=（﹣3，3）设=（m，n），可得•=﹣3m+3n=0…①又∵=（m﹣3，n+1），=λ，∴m﹣3=0且n+1=2λ…②将①②联解，可得m=﹣3，n=﹣3，λ=2故答案为：2点评：本题给出向量、的坐标，再•=0且=λ的情况下求实数λ的值．着重考查了向量的平行与垂直、平面向量数量积的运算性质等知识，属于基础题．6．如图，该程序运行后输出的结果为16．考点：循环结构．专题：阅读型．分析：根据流程图，先进行判定条件，满足条件则运行循环体，一直执行到不满足条件即跳出循环体，求出此时的b即可．解答：解：第一次运行得：b=2，a=2，满足a≤3，则继续运行第二次运行得：b=4，a=3，满足a≤3，则继续运行第三次运行得：b=16，a=2，不满足a≤3，则停止运行输出b=16故答案为：16点评：本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．7．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，求得m的取值范围是（a，+∞），则实数a的值是1．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：由题意知“任意x∈R，使x2+2x+m＞0”是真命题，由二次函数的性质得△＜0，求出m的范围，结合题意求出a的值．解答：解：∵“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，∴“任意x∈R，使x2+2x+m＞0”是真命题，∴△=4﹣4m＜0，解得m＞1，故a的值是1．故答案为：1．点评：本题考查了二次函数恒成立问题，即根据二次函数图象开口方向和判别式的符号，列出等价条件求出对应的参数的范围．8．函数f(x)=2s in()，x∈[﹣π，0]的单调递减区间单间为．考点：正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由x∈[﹣π，0]⇒z=x﹣∈[﹣，﹣]，利用正弦函数y=s inz在[﹣，﹣]上单调递增，即可求得答案．解答：解：∵x∈[﹣π，0]∴x﹣∈[﹣，﹣]，令z=x﹣，则z∈[﹣，﹣]，∵正弦函数y=s inz在[﹣，﹣]上单调递增，∴由﹣≤x﹣≤﹣得：﹣≤x≤0．∴函数f（x）=2s in（x﹣）在x∈[﹣π，0]的单调递增区间为[﹣，0]．故答案为[﹣，0]．点评：本题考查正弦函数的单调性，考查整体代入思想的应用，属于中档题．9．在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程的概率是．考点：等可能事件的概率；空集的定义、性质及运算．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是古典概型，由集合中共有10个元素，然后我们分析各个元素，求出满足条件的基本事件个数，代入古典概型公式，即可得到结论．解答：解：∵集合中共有10个元素而当n=2和n=10时，故满足条件的基本事件个数为2故所取元素恰好满足方程的概率P==故答案为：点评：古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同．弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键．解决问题的步骤是：计算满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式进行求解．10．设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是2x2﹣2y2=1．考点：双曲线的标准方程；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：欲求双曲线方程，只需求出双曲线中的a，b的值即可，根据双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，求出椭圆中的c值，也即双曲线中的c值，再求出椭圆中的离心率，因为椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以可得双曲线中离心率，据此求出a值，再利用a，b，c之间的关系式，就可得到双曲线的方程．解答：解：椭圆+y2=1中c=1∵中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点∴双曲线中c=1，∵椭圆+y2=1的离心率为=，椭圆与双曲线的离心率互为倒数．∴双曲线的离心率为，∴双曲线中a=，b2=c2﹣a2=，b=∴双曲线的方程为2x2﹣2y2=1故答案为2x2﹣2y2=1．点评：本题主要考查了椭圆，双曲线的标准方程以及性质的应用．11．已知点A（1，1）和点B（﹣1，﹣3）在曲线C：y=ax3+bx2+d（a，b，d为常数上，若曲线在点A和点B处的切线互相平行，则a3+b2+d=7．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：曲线在点A和点B处的切线互相平行得，f′（1）=f′（﹣1），再结合点在曲线上则点的坐标适合方程建立方程组，解方程求出a、b、d值即可．解答：解：设f（x）═ax3+bx2+d，∵f′（x）=3ax2+2bx，∴f′（1）=3a+2b，f′（﹣1）=3a﹣2b．根据题意得3a+2b=3a﹣2b，∴b=0．又点A（1，1）和点B（﹣1，﹣3）在曲线C上，∴解得：a3+b2+d=7．故答案为：7．点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道中档题．12．给出下列命题：（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；（3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，所有真命题的序号为（1）、（3）、（4）．考点：命题的真假判断与应用．专题：证明题．分析：根据面面垂直的判定定理，可判断（1）；根据平面与平面平行的判定定理，可判断（2）；根据空间直线夹角的定义，可判断（3），根据面面垂直的性质定理及反证法，可判断（4）解答：解：由面面垂直的判定定理可得若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，故（1）正确；如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，但两条直线平行时，得不到平面平行，故（2）错误；根据空间直线夹角的定义，可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等，故若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直，即（3）正确；根据面面垂直的性质定理，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故（4）正确故真命题有（1）、（3）、（4）三个故答案为：（1）、（3）、（4）点评：本题以命题的真假判断为载体考查了空间直线与平面的位置关系，熟练掌握空间线面关系的判定定理，性质定理及几何特征是解答的关键．13．已知函数当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：通过t的范围，求出f（t）的表达式，判断f（t）的范围，然后代入已知函数，通过函数的值域求出t的范围即可．解答：解：因为t∈[0，1]，所以f（t）=3t∈[1，3]，又函数，所以f （f （t ）=，因为f （f （t ））∈[0，1]， 所以解得：，又t ∈[0，1]，所以实数t 的取值范围．故答案为：．点评： 本题考查函数一方程的综合应用，指数与对数不等式的解法，函数的定义域与函数的值域，函数值的求法，考查计算能力．14．已知函数f （x ）=||x ﹣1|﹣1|，若关于x 的方程f （x ）=m （m ∈R ）恰有四个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是 （﹣3，0） ． 考点： 根的存在性及根的个数判断． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 画出函数f （x ）=||x ﹣1|﹣1|的图象，可得方程f （x ）=m （m ∈R ）恰有四个互不相等的实数根是地，m 的取值范围，进而求出方程的四个根，进而根据m 的范围和二次函数的图象和性质，可得x 1x 2x 3x 4的取值范围． 解答： 解：函数f （x ）=||x ﹣1|﹣1|的图象如下图所示：由图可知，若f （x ）=m 的四个互不相等的实数根，则m ∈（0，1） 且x 1，x 2，x 3，x 4分别为：x 1=m ，x 2=2﹣m ，x 3=m +2，x 4=﹣m ，∴x 1x 2x 3x 4=（m 2）2﹣4•m 2=（m 2﹣2）2﹣4∈（﹣3，0） 故答案为：（﹣3，0） 点评： 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中画出函数的图象，引入数形结合思想是解答本题的关键二、解答题(本大题共6小题，共90分．请在答题纸．．．指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分14分）在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知.3tan )(222bc A a c b =-+（1）求角A ； （2）若a =2，求△ABC 面积S 的最大值.15.解：（1）由已知得23sin 23cos sin 2222AA A bc a c b ⇒=⋅-+ ……4分 又在锐角△ABC 中，所以A =60° ……7分BADCFE（第16题）（2）因为a =2，A =60°所以bc A bc S bc c b 43sin 21,422==+=+ ……8分 而424222≤⇒≥+⇒≥+bc bc bc bc c b ……10分 又344343sin 21=⨯≤==bc A bc S ……14分所以△ABC 面积S 的最大值等于316．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，BE＝BC ，F 为CE 上的一点，且BF ⊥平面ACE ． （1）求证：AE ⊥BE ；（2）求证：AE ∥平面BFD ．16．（1）证明：∵平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE =AB ，AD ⊥AB ，∴AD ⊥平面ABE ，AD ⊥AE ． ∵AD ∥BC ，则BC ⊥AE ． ………………………3分 又BF ⊥平面ACE ，则BF ⊥AE ． ∵BC ∩BF =B ，∴AE ⊥平面BCE ，∴AE ⊥BE ． ………………………7分（2）设AC ∩BD =G ，连接FG ，易知G 是AC 的中点，∵BF ⊥平面ACE ，则BF ⊥CE ．而BC=BE ，∴F 是EC 中点． …………………10分 在△ACE 中，FG ∥AE ，∵AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ，∴ AE ∥平面BFD ． ………………………14分17.（本题满分14分）有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定.大桥上的车距()d m 与车速(/)v km h 和车长()l m 的关系满足：l l kv d 212+=（k 为正的常数），假定车身长为4m ，当车速为60(/)km h 时，车距为2.66个车身长.(3) 写出车距d 关于车速v 的函数关系式;(4) 应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？17．⑴因为当60v =时，l d 66.2=，所以0006.06016.2602166.222==-=l ll k ，∴20.00242d v =+ . …………6分⑵设每小时通过的车辆为Q ，则10004=+v Q d ．即Q 21000100060.002460.0024v v v v==++ ∵660.00240.00240.24v v v v +⨯=≥2，∴1000125000.243Q =≤，当且仅当60.0024v v =，即50v =时，Q 取最大值125003 (13x)yoAB P G BA DCFE分答：当()50v =km /h 时，大桥每小时通过的车辆最多．…………14分18．（本小题满分16分）给定圆P :222x y x +=及抛物线S :24y x =, 过圆心P 作直线,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次 记为A B C D 、、、,如果线段AB BC CD 、、的长按此顺序构成一 个等差数列,求直线的方程.18．解：圆P 的方程为()2211x y -+=,则其直径长2B C =,圆心为()1,0P ,设的方程为1ky x =-,即1x ky =+,代入抛物线方程得:244y ky =+,设()()1122,, ,A x y D x y ，有121244y y k y y +=⎧⎨=-⎩,则222121212()()416(1)y y y y y y k -=+-=+.故222222212121212||()()()()4y y AD y y x x y y -=-+-=-+22221212()[1()]16(1)4y y y y k +=-+=+,因此2||4(1)AD k =+. …… 8分据等差，2BC AB CD AD BC =+=-,所以36AD BC ==，即()2416k +=,22k =±，………14分 即：方程为220x y --=或220x y +-=. ………16分19.(本小题满分16分)已知以a 为首项的数列{}n a 满足：13,3,2, 3.n n n n na a a a a +->⎧=⎨≤⎩(1)若0＜n a ≤6，求证：0＜1n a +≤6;(2)若a ，k ∈N ﹡，求使n k n a a +=对任意正整数n 都成立的k 与a ；19．（1）当]3,0(∈n a 时，则∈=+n n a a 21]6,0(，当]6,3(∈n a 时，则]3,0(31∈-=+n n a a , 故]6,0(1∈+n a ，所以当60≤<n a 时，总有601≤<+n a ． …………8分 （2）①当1=a 时，1,4,2432===a a a ，故满足题意的∈=t t k ,3N *． 同理可得，当2=a 或4时，满足题意的∈=t t k ,3N *． 当3=a 或6时，满足题意的∈=t t k ,2N *．②当5=a 时，1,4,2432===a a a ，故满足题意的k 不存在． ③当7≥a 时，由（1）知，满足题意的k 不存在．综上得：当421，，a =时，满足题意的∈=t t k ,3N *； 当63，a =时，满足题意的∈=t t k ,2N *．…………16分 20．（本小题满分16分）已知(),P x y 为函数1ln y x =+图象上一点，O 为坐标原点，记直线OP 的斜率()k f x =．xyo ABCDP（1）若函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0m >上存在极值，求实数m 的取值范围； （2）当 1x ≥时，不等式()1tf x x ≥+恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：()*1ln[(1)]2ni i i n n N =⋅+>-∈∑．解：（1）由题意()1ln x k f x x +==，0x >,所以()21ln ln x x f x x x '+⎛⎫'==- ⎪⎝⎭…………………2分当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故()f x 在1x =处取得极大值． 因为函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+⎪⎝⎭（其中0m >）上存在极值， 所以01113m m <<⎧⎪⎨+>⎪⎩，得213m <<．即实数m 的取值范围是213⎛⎫⎪⎝⎭，． ……………4分 （2）由()1t f x x ≥+得()()11ln x x t x ++≤，令()()()11ln x x g x x++=，则()2ln x xg x x-'=． ……………………………………………………6分 令()ln h x x x =-，则()111=x h x x x-'=-， 因为1,x ≥所以()0h x '≥,故()h x 在[)1+∞，上单调递增．……………………8分 所以()()110h x h ≥=>,从而()0g x '>()g x 在[)1+∞，上单调递增, ()()12g x g ≥=所以实数的取值范围是(],2-∞． …………………………………………10分 （3）由(2) 知()21f x x ≥+恒成立, 即1ln 2122ln 11111x x x x x x x x+-≥⇔≥=->-+++ ……………………12分 令()1,x n n =+则()()2ln[1]11n n n n +>-+，……………………14分所以()2ln 12112⨯>-⨯， ()2ln 23123⨯>-⨯，……,()()2ln 111n n n n +>-+．将以上n 个式子相加得：()1111ln[(i 1)]212231ni i n n n =⎡⎤+>-++⋅⋅⋅+⎢⎥⨯⨯+⎣⎦∑ 12121n n n ⎛⎫=-->- ⎪+⎝⎭，故()*1ln[(i 1)]2ni i n n N =+>-∈∑． …………………………………16分江苏省泰州中学2013-2014学年度第一学期高三数学考试试题参考答案 2013.8.31一、填空题1．设集合A ={1，2，3}，B ={2，4，6}，则A ∩B = {2} ． 2．已知i 是虚数单位，若=b +i (a ,b)，则ab 的值为 ﹣3 ．3．某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为 0.032 ．4．设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （a ）＞f （b ），则f （﹣a ） ＜ f （﹣b ）（用“＞”或“＜”填空）．5．在平面直角坐标系x O y 中，已知=（3，﹣1），=（0，2）．若•=0，=λ，则实数λ的值为 2 ．6．如图，该程序运行后输出的结果为 16 ．7．由命题“存在x ∈R ，使x 2+2x +m ≤0”是假命题，求得m 的取值范围是（a ，+∞），则实数a 的值是 1 ．8．函数f (x )=2s in ()，x ∈[﹣π，0]的单调递减区间单间为 ．9．在集合{x |x =}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x =的概率是 ．设中心在原点的双曲线与椭圆+y 2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是 2x 2﹣2y 2=1 ．11．已知点A （1，1）和点B （﹣1，﹣3）在曲线C ：y =ax 3+bx 2+d （a ，b ，d 为常数上，若曲线在点A 和点B 处的切线互相平行，则a 3+b 2+d = 7 ． 12．（5分）给出下列命题：（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； （3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，所有真命题的序号为 （1）、（3）、（4） ． 13．已知函数f （x ）=，当t ∈[0，1]时，f （f （t ））∈[0，1]，则实数t 取值范围是 ．14．已知函数f （x ）=||x ﹣1|﹣1|，若关于x 的方程f （x ）=m （m ∈R ）恰有四个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是 （﹣3，0） ．二、解答题15. （本小题满分14分）在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知.3tan )(222bc A a c b =-+（1）求角A ； （2）若a =2，求△ABC 面积S 的最大值.解：（1）由已知得23sin 23cos sin 2222A A A bc a c b ⇒=⋅-+ ……4分又在锐角△ABC 中，所以A =60° ……7分 （2）因为a =2，A =60°所以bc A bc S bc c b 43sin 21,422==+=+ ……8分 而424222≤⇒≥+⇒≥+bc bc bc bc c b ……10分又344343sin 21=⨯≤==bc A bc S ，所以△ABC 面积S 的最大值等于3。
江苏省泰州中学2013届高三上学期期中考试数学试题
江苏省泰州中学2012—2013学年度高三年级上学期期中考试数学试题（2012.11.5）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.已知集合},1{},2,0{2a B A ==，若}4,2,1,0{=B A ，则实数a=2. 若4sin ,tan 05θθ=->，则cos θ= . 3. 写出命题：“,sin x R x x ∀∈<”的否定：4. 幂函数f(x)＝x α(α为常数)的图象经过(3,3)，则f(x)的解析式是 ． 5. 若a+a -1=3，则2121--a a 的值为6. 函数22()21f x x ax a =-+-的定义域为A ，若2A ∉，则a 的取值范围为 ．7. 已知f(x)是偶函数，它在[0，＋∞)上是 增函数，若f(lgx)＜f(1)，则x 的取值范围 是 ．8. 设数列{}n a 是首相大于零的等比数列,则“21a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的_____条件．9. 若向量(,2),(3,2)a x x b x ==- ，且,a b的夹角为钝角，则x 的取值范围是510. 已知函数)(log 221a ax x y +-=在区间]2,(-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 . 11. 给出下列命题： ①存在实数x ，使得3cos sin π=+x x ；②函数x y 2sin =的图象向右平移4π个单位，得到)42sin(π+=x y 的图象； ③函数)2732sin(π-=x y 是偶函数； ④已知βα,是锐角三角形ABC 的两个内角，则βαcos sin >。
其中正确的命题的个数为12. 已知点O 为△ABC 的外心，且4AC = ，2AB = ，则AO B C ⋅的值等于 ．13. 数列{}n a 中,()()111,()211n n n na a a n N n na *+==∈++，则数列{}n a 的前2012项的和 为 .14. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()12f =，()1f x '<，则不等式()221f x x <+的解集为_ .二、解答：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分）已知命题p ：指数函数f (x )＝(2a －6)x 在R 上单调递减，命题q ：关于x 的方程 x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两个实根均大于3.若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．16. （本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，且22243()S b c a =+- （1）求角A ； （2）求值：0cos(80)[13tan(10)]A A ---17. （本小题满分14分）设函数22111()log ()2122x f x x x x -=<->+或. (1)证明:()f x 是奇函数; (2)求()f x 的单调区间; (3)写出函数221()log 23x g x x +=+图象的一个对称中心.18. （本小题满分16分）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x （0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量. （1）若年销售量增加的比例为0.4x ，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？（2）年销售量关于x 的函数为)352(32402++-=x x y ，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？19. （本小题满分16分）已知函数x a x x f ln )(2+=(a 为实常数).(1)若2-=a ，求证：函数)(x f 在(1，+．∞)上是增函数； (2)求函数)(x f 在[1，e]上的最小值及相应的x 值；(3)若存在],1[e x ∈，使得x a x f )2()(+≤成立，求实数a 的取值范围.20. （本小题满分16分）设数列{}n a 、{}n b 满足14a =，252a =，12n n n a b a ++=，12n n n n n a b b a b +=+．（1）证明：2n a >，02n b <<（*n N ∈）； （2）设32log 2n n n a c a +=-，求数列{}n c 的通项公式； （3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，数列{}n n a b 的前n 项和为{}n P ，求证：83n n n S T P +<+．()2n ≥江苏省泰州中学2013届高三期中考试数学参考答案与评分标准1．2± 2. 35- 3. ,sin x R x x ∃∈≥ 4. 12()f x x = 5.1±6. 1<a<37.1(,10)10 8. 充要； 9.114(,)(,0)(,)333-∞--+∞10. [22,222)+ 11. 3个 12. 6 13.2012201314. ()(),11,-∞-+∞15. 解：若p 真，则f (x )＝(2a －6)x 在R 上单调递减，∴0< 2a －6<1，∴3<a <72，若q 真，令f (x )＝x 2－3ax ＋2a 2＋1，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(－3a )2－4(2a 2＋1)≥0－－3a 2>3f (3)＝9－9a ＋2a 2＋1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－2a >2a <2或a >52，故a >52，又由题意应有p 真q 假或p 假q 真．…………………………6分①若p 真q 假，则⎩⎨⎧3<a <72a ≤52，a 无解．②若p 假q 真，则⎩⎨⎧a ≤3或a ≥72a >52，∴52<a ≤3或a ≥72.………………………………………………6分 故a 的取值范围是{a |52<a ≤3或a ≥72}．…………………14分16.(1)014sin 32cos ,tan 3,0,602bc A bc A A A A π⋅=⋅∴=<<∴= ………6分（2）原式=000cos110cos 20(13tan 50)cos 20cos60cos50o-=0002cos 20(sin 20)1sin 40-==-……………………14分 17.(1)4分(2)单调增区间有11(,),(,)22-∞-+∞……………6分(3)(1,0)-……………4分 18. 解：（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x ）； 出厂价为13×（1+0.7x ）；年销售量为5000×（1+0.4x ）， ……2分 因此本年度的利润为[13(10.7)10(1)]5000(10.4)y x x x =⨯+-⨯+⨯⨯+(30.9)5000(10.4)x x =-⨯⨯+即：21800150015000(01),y x x x =-++<< …………………………6分 由2180015001500015000x x -++>， 得506x << ………8分 （2）本年度的利润为)55.48.49.0(3240)352(3240)9.03()(232++-⨯=++-⨯⨯-=x x x x x x x f则),3)(59(972)5.46.97.2(3240)(2'--=+-⨯=x x x x x f ……10分由,395,0)('===x x x f 或解得 当)(,0)()95,0('x f x f x >∈时，是增函数；当)(,0)()1,95('x f x f x <∈时，是减函数. ∴当95=x 时，20000)95()(=f x f 取极大值万元， ……12分因为()f x 在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值， ……14分所以当95=x 时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元． ……16分19. （1）当2-=a 时，x x x f ln 2)(2-=，当),1(+∞∈x ，0)1(2)(2>-='xx x f ，故函数)(x f 在),1(+∞上是增函数．…………………………………………………4分（2）)0(2)(2>+='x xax x f ，当],1[e x ∈，]2,2[222e a a a x ++∈+． 若2-≥a ，)(x f '在],1[e 上非负（仅当2-=a ，x=1时，0)(='x f ），故函数)(x f 在],1[e 上是增函数，此时=m in )]([x f 1)1(=f ． ………………………………………………6分若222-<<-a e ，当2a x -=时，0)(='x f ；当21ax -<≤时，0)(<'x f ，此时)(x f是减函数； 当e x a ≤<-2时，0)(>'xf ，此时)(x f 是增函数．故=m in )]([x f )2(af - 2)2ln(2aa a --=． 若22e a -≤，)(x f '在],1[e 上非正（仅当2e 2-=a ，x=e 时，0)(='x f ），故函数)(x f 在],1[e 上是减函数，此时==)()]([m in e f x f 2e a +．……………………………………8分综上可知，当2-≥a 时，)(x f 的最小值为1，相应的x 值为1；当222-<<-a e 时，)(x f的最小值为2)2ln(2aa a --，相应的x 值为2a -；当22e a -≤时，)(x f 的最小值为2e a +， 相应的x 值为e ．……………………………………………………………………10分 （3）不等式x a x f )2()(+≤， 可化为x x x x a 2)ln (2-≥-．∵],1[e x ∈, ∴x x ≤≤1ln 且等号不能同时取，所以x x <ln ，即0ln >-x x ，因而xx xx a ln 22--≥（],1[e x ∈）………………………………………………12分令x x xx x g ln 2)(2--=（],1[e x ∈），又2)ln ()ln 22)(1()(x x x x x x g --+-='，…………………14分 当],1[e x ∈时，1ln ,01≤≥-x x ，0ln 22>-+x x ，从而0)(≥'x g （仅当x=1时取等号），所以)(x g 在],1[e 上为增函数，故)(x g 的最小值为1)1(-=g ，所以a 的取值范围是),1[+∞-． ………………………16分20. （1） 12n nn a b a ++=，12n n n n n a b b a b +=+两式相乘得11n n n n a b a b ++=，{}n n a b ∴为常数列，114n n a b a b ∴==；（2分）4n nb a ∴=114()22n n n a a a +∴=+>；02n b ∴<<； （若2n a =，则12n a +=，从而可得{}n a 为常数列与14a =矛盾）；……………4分 （2）32log 2n n n a c a +=- ，211333311222222log log log 2log 21222222n n nn n n n n n n n na a a a a c c a a a a a +++++⎛⎫⎛⎫+++∴===== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭+- 又因为11c =，{}n c ∴为等比数列， 12n n c -∴=…………………8分（3）由12n n c -=可以知道，1111222231242212313131n n n n n a ----+⎛⎫==+=+ ⎪---⎝⎭， 令12431n n d -=-，数列{}n d 的前n 项和为n D ，很显然只要证明83n D ≤()2n ≥， 222314n n -≥∴+≥ ．因为12431n n d -=-()()()222122224414313131n n n n d ----==≤+--， ∴n d ()()222243131n n --=+-22122111444n n n d d d ---⎛⎫⎛⎫≤≤≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以n D =123()n d d d d ++++ 2212111[1]444n d d -⎛⎫⎛⎫≤+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22211124218218221134334314n n n ---⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭≤+=+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-所以823n S n <+．……………14分 又4,2n n n a b b =<，故4,2n n P n n =<且T ， 所以888224333n n n S T n n n P +<++=+=+()2n ≥．…………………16分。
江苏省泰州市2013届高三数学上学期期末考试试题(含解析)苏教版
2012-2013学年江苏省泰州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，共56分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（4分）已知集合A={1，2，3}，B={1，2，5}，则A∩B={1} ．2．（4分）设复数z1=2+2i，z2=2﹣2i，则= i ．====i3．（4分）若数据x1，x2，x3，x4，x5，3的平均数为3，则数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为 3 ．4．（4分）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上位于第一象限内的一点，且△PF1F2的面积为6，则点P的坐标为．，=3S=×6×n=6，解得，解之得m=的坐标为故答案为5．（4分）曲线y=2lnx在点（e，2）处的切线（e是自然对数的底）与y轴交点坐标为（0，0）．求导得：y′=k=（6．（4分）如图，ABCD是一个4×5的方格纸，向此四边形ABCD内抛撒一粒豆子，则豆子恰好落在阴影部分内的概率为0.2 ．=0.27．（4分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（a）＞f（b），则f（﹣a）＜f （﹣b）（用“＞”或“＜”填空）．8．（4分）在空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b；其中真命题的序号为①④．9．（4分）如图是一个算法流程图，则输出的P= ．的值代替的值代替P=+++﹣=故答案为：10．（4分）已知点P（t，2t）（t≠0）是圆C：x2+y2=1内一点，直线tx+2ty=m与圆C相切，则直线x+y+m=0与圆C的位置关系是相交．为圆内一点得到：＜d==1的距离＜11．（4分）设a∈R，s：数列{（n﹣a）2}是递增的数列；t：a≤1，则s是t的必要不充分条件．（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”中的一个）．，因为＜12．（4分）各项均为正数的等比数列{a n}中，若a1≥1，a2≤2，a3≥3，则a4的取值范围是．，根据题意得：将不等式组化为：，，故答案为：13．（4分）已知六个点A1（x1，1），B1（x2，﹣1），A2（x3，1），B2（x4，﹣1），A3（x5，1），B3（x6，﹣1）（x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6，x6﹣x1=5π）都在函数f（x）=sin（x+）的图象C上．如果这六点中不同的两点的连线的中点仍在曲线C上，则称此两点为“好点组”，则上述六点中好点组的个数为11 ．（两点不计顺序）x+，（，（，，14．（4分）已知f（x）=2mx+m2+2，m≠0，m∈R，x∈R．若|x1|+|x2|=1，则的取值范围是．的关系．②将==，．其中，综上可得=，∴点在直线斜率的范围，即二、解答题：（本大题共12小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知向量=（cosλθ，cos（10﹣λ）θ），=（sin（10﹣λ）θ，sinλθ），λ、θ∈R．（1）求+的值；（2）若⊥，求θ；（3）若θ=，求证：∥．|要证明）∵|，（算）∵，，•sin﹣﹣）•sin（﹣）•sin﹣sin•cos16．（14分）在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，SA=AB=AC=BC，点D是BC边的中点，点E是线段AD上一点，且AE=4DE，点M是线段SD上一点．（1）求证：BC⊥AM；（2）若AM⊥平面SBC，求证EM∥平面ABS．BC SA==，∴∠A=∴AD==2=，∴SM=4MD，∵AE=4ED，17．（14分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC．（1）设∠MOD=30°，求三角形铁皮PMN的面积；（2）求剪下的铁皮三角形PMN面积的最大值．MN•AQ，MN•AQ=（，OQ=MN•AQ=×]=MN•AQ=（]=t+1+，当t=的最大值为18．（16分）直角坐标系xoy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A1，A2，上、下顶点为B2，B1，点P（，m）（m＞0）是椭圆C上一点，PO⊥A2B2，直线PO分别交A1B1、A2B2于点M、N．（1）求椭圆离心率；（2）若MN=，求椭圆C的方程；（3）在（2）的条件下，设R点是椭圆C上位于第一象限内的点，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，RQ平分∠F1RF2且与y轴交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围．，可得MN=b，），∴•K，即﹣×，∴e=故椭圆的离心率为MN=，∴②．=y＜∈（﹣，，19．（4分）已知数列a n=n﹣16，b n=（﹣1）n|n﹣15|，其中n∈N*．（1）求满足a n+1=|b n|的所有正整数n的集合；（2）若n≠16，求数列的最大值和最小值；（3）记数列{a n b n}的前n项和为S n，求所有满足S2m=S2n（m＜n）的有序整数对（m，n）．）由已知=）∵取偶数==1+时（）=取奇数时时（时，=为偶数时==时（﹣（==1+）=，（最大值为（20．（6分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）2，a，b是常数．（1）若a≠b，求证：函数f（x）存在极大值和极小值；（2）设（1）中f（x）取得极大值、极小值时自变量的值分别为x1、x2，令点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））．如果直线AB的斜率为﹣，求函数f（x）和f′（x）的公共递减区间的长度；（3）若f（x）≥mxf′（x）对于一切x∈R恒成立，求实数m，a，b满足的条件．m=∵a≠b，∴，，∴A（ B，∴（，∴．=b=…..…．减区间为），故公共减区间的长度为b=综上可得，21．（6分）如图⊙O的两弦AB，CD所在直线交于圆外一点P．（1）若PC=2，CD=1，点A为PB的中点，求弦AB的长；（2）若PO平分∠BPD，求证：PB=PD．AB=22．（6分）已知变换T 把平面上的点（1，0），（0，）分别变换成点（1，1），（﹣，）．（1）试求变换T对应的矩阵M；（2）求曲线x2﹣y2=1在变换T的作用下所得到的曲线的方程．M=→），）解得23．（6分）已知直线（t为参数）与圆C：（θ为参数）相交于A，B两点，m为常数．（1）当m=0时，求线段AB的长；（2）当圆C上恰有三点到直线的距离为1时，求m的值．|AB|=2）由直线（：（，∴|AB|=2==1﹣1=±或﹣|AB|=2及24．（6分）若a，b，c∈R+，a+2b+3c=6．（1）求abc的最大值；（2）求证≥12．abc=a•2b•3c≤（））由+=3+++=++）a•2b•3c≤（）c=…．…..（）∵+=3+++++）≥（+++++25．（6分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AD、DC的中点．（1）求直线BC1与平面EFD1所成角的正弦值；（2）设直线BC1上一点P满足平面PAC∥平面EFD1，求PB的长．）设，可求出向量即=0=的法向量=，则∴cos＜，﹣）设=+，==，26．（6分）如图A1（x1，y1）（y1＜0）是抛物线y2=mx（m＞0）上的点，作点A1关于x轴的对称点B1，过B1作与抛物线在A1处的切线平行的直线B1A2交抛物线于点A2．（1）若A1（4，﹣4），求点A2的坐标；（2）若△A1A2B1的面积为16，且在A1，B1两点处的切线互相垂直．①求抛物线方程；②作A2关于x轴的对称点B2，过B2作与抛物线在A2处的切线平行的直线B2A3，交抛物线于点A3，…，如此继续下去，得一系列点A4，A5，…，设A n（x n，y n），求满足x n≥10000x1的最小自然数n．﹣，y′=﹣=，﹣=×2）知=。
江苏省泰州市2013届高三上学期期末考试数学(附答案) (3)
泰州2012～2013学年度第一学期期末考试高三数学试题(考试时间： 120分钟 总分160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．已知集合A ={}3,2,1，B ={}5,2,1，则A ∩B = ▲ . 2．设复数z 1=2+2i,z 2=2-2i,则21z z = ▲ . 3．若数据3,,,,,54321x x x x x 的平均数为3，则数据54321,,,,x x x x x 的平均数为 ▲ .4．设双曲线15422=-y x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上位于第一象限内的一点，且△PF 1F 2的面积为6，则点P 的坐标为▲ . 5．曲线y =2ln x 在点(e,2)处的切线（e 是自然对数的底）与y 轴交点坐标为 ▲ .6．如图，ABCD 是一个4×5的方格纸，向此四边形ABCD 内抛撒一粒豆子，则豆子恰好落在阴影部分内的概率为 ▲ . 7．设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且),()(b f a f >则)(a f - ▲)(b f -（用""""<>或填空）.8． 在空间中，用a b c ,, 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列四个命题：①若//a b ，//b c ，则//a c ； ②若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥； ③若//a γ，//b γ，则//a b ； ④若a γ⊥，b γ⊥，则//a b ；其中真命题的序号为 ▲ . 9. 右图是一个算法流程图，则输出的P = ▲ .10. 已知点P (t ,2t )(t ≠0)是圆C ：x 2+y 2=1内一点，直线tx +2ty =m 与圆C 相切，则直线x +y +m =0与圆C 的位置关系是 ▲ .11. 设a ∈R ，s ：数列{()2a n -}是递增的数列；t ：≤a 1.则s 是t 的 ▲ 条件.（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”中的一个）.12.各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 1≥1，a 2≤2，a 3≥3，则a 4的取值范围是 ▲ .（第6题图）ABCD结束P ← 0 n ← P ←1(1)P n n ++n ← n ＋1 输出P NYn=6（第9题图） 开始13. 已知六个点A 1(x 1,1),B 1(x 2,-1),A 2(x 3,1),B 2(x 4,-1),A 3(x 5,1),B 3(x 6,-1)（x 1＜x 2＜x 3＜x 4＜x 5 ＜x 6，x 6－x 1=5π)都在函数f (x )=sin(x +3π)的图象C 上.如果这六点中不同的两点的连线的中点仍在曲线C 上，则称此两点为“好点组”，则上述六点中好点组的个数为 ▲ .（两点不计顺序）14. 已知f (x )=2mx +m 2+2,m ≠0,m ∈R ,x ∈R .若｜x 1｜+｜x 2｜=1，则)()(21x f x f 的取值范围是▲ .二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）15. （本题满分14分）已知向量a =（cos λθ,cos(10-λ)θ），b =(sin(10-λ)θ,sin λθ),λ、θ∈R .（1）求2a +2b 的值；（2）若a ⊥b，求θ；（3）若θ=20π，求证：a ∥b.16. （本题满分14分） 在三棱锥S-ABC 中，SA ⊥平面ABC ，SA =AB =AC =33BC ，点D 是BC 边的中点，点E 是线段AD 上一点，且AE =4DE ，点M 是线段SD 上一点. (1)求证：BC ⊥AM ；(2)若AM ⊥平面SBC ，求证EM ∥平面ABS .17. （本题满分14分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，AB =1，BC =2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN ⊥BC . （1）设∠MOD =30°，求三角形铁皮PMN 的面积； （2）求剪下的铁皮三角形PMN 面积的最大值.18. （本题满分16分）直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的左、右顶点分别是A 1，A 2，上、下顶点为B 2，B 1，点P （a 53，m ）（m ＞0）是椭圆C 上一点，PO ⊥A 2B 2，直线PO 分别交A 1B 1、A 2B 2于点M 、N . （1）求椭圆离心率； （2）若MN =7214，求椭圆C 的方程； （3）在（2）的条件下，设R 点是椭圆C 上位于第一象限内的点，F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，RQ 平分∠F 1RF 2且与y 轴交于点Q ，求点Q 纵坐标的取值范围.19. （本题满分16分）已知数列a n =n -16，b n =(-1)n ｜n -15｜，其中n ∈N *. （1）求满足a n +1=｜b n ｜的所有正整数n 的集合； （2）若n ≠16，求数列nna b 的最大值和最小值； （3）记数列{a n b n }的前n 项和为S n ，求所有满足S 2m =S 2n （m ＜n ）的有序整数对（m ,n ）.R xyF 1 F 2QO20. （本题满分16分）已知函数f (x )=(x -a )(x -b )2，a ,b 是常数. (1)若a ≠b ，求证：函数f (x )存在极大值和极小值；(2)设（1）中f (x )取得极大值、极小值时自变量的值分别为x 1、x 2，令点A (x 1, f (x 1)),B (x 2,f (x 2)).如果直线AB 的斜率为-21，求函数f (x )和f ′ (x )的公共递减区间的长度 ； (3)若f (x )≥mxf ′ (x )对于一切x ∈R 恒成立，求实数m ,a ,b 满足的条件.2012～2013学年度第一学期期末考试高三数学试题(附加题)21.［选做题］请考生在A 、B 、C 、D 四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分。
江苏省南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市2013届高三第三次模拟考试数学试题(扫描版)
1． 【答案】(2 2)-，【解析】考查集合的运算，(]2 1A =-，，[)1 2B =-，，则A B =U (2 2)-，. 2．【答案】1 【解析】考查复数的四则运算．由(34i)50z ++=得34, 1.5iz z -+==3．【答案】2400 【解析】考查算法的流程图，40080012002400.++=4．【答案】必要不充分【解析】考查充分必要条件。
5．【答案】15【解析】考查统计中的总体分布的估计，应注意组距是20． 6．【答案】4【解析】考查抛物线的标准方程与简单性质，注意p 的含义．7．【答案】1【解析】考查古典概型．符合条件的有(1，3)，(2，6)，(3，9)三个． 8．2【解析】考查圆与直线的位置关系．找出点Q 在直线260x y --=上，转化为圆上的点到直线的距离求解．9．【答案】【解析】 考查sin()y A x ωϕ=+的图象性质，周期性，诱导公式．由图知5A =，12T =，从而ωπ=6，6ϕπ=，则(2013)(9)f f ==10．【答案】12n -【解析】考查等比数列和基本不等式，由2213a a a =，211a a -=及0n a >得()2131111124a a a a a +==++≥（当且仅当11a =时取等号），此时22a =，则12n n a -=．本题也可以利用基本量思想求解．11．【答案】7-【解析】考查函数的图象与基本性质．由偶函数的性质，得到1 2 1a b c ===-，，．由题意知3 2 D C C D x x x x =⎧⎨+=⎩，，所以12C x =，则()211721224t =-⨯-=-．12．【答案】() e n n ，【解析】考查导数与归纳推理．设111( e )x T x ，，则111e e 1x x x =+，解得10x =，所以01(0 e )T ，；设222( e )x T x ，，则222e e x x x =，解得21x =，所以2(1 e)T ，；设232( e )x T x ，，则331e e 1x x x =-，解得32x =，所以23(2 e )T ，；…，通过归纳可猜想：1( e ) nn T n n +∈N ，，．讲评时提醒学生本题可推导出{}n x 是等差数列用于求解．13．【答案】13【解析】考查平面向量的数量积．由2EF AB DC =+ ，平方并整理得2AB DC ⋅= ，即()AB AC AD⋅- 2AB AC AB AD =⋅-⋅= ①，由15AD BC ⋅= ，得()15AD AC AB AD AC AD AB ⋅-=⋅-⋅= ②，②-①得AC BD⋅ ()AC AD AB=⋅- 13=． 14．【答案】【解析】方法一：因为123123 0a a a a a a >>⎧⎨++=⎩，，所以10a >，30a <，消去2a 得31122a a -<<-，且21413413()0a a a a a a a -+++=，两边同除以1a 得()2334411110a a a a a a -+++=，解得31a a 2441a a =-1-，所以24412112a a -<<---，解得4a <．方法二：由123123 0a a a a a a >>⎧⎨++=⎩，得321132111 10 a a a a a a a a ⎧>>⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，，令2131 a x a a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，则1 10 y x x y <<⎧⎨++=⎩，，利用线性规划知识求出21a a 的取值范围，再结合242411a a a a =-，求出4a 的取值范围．方法三：可以用求根公式求出4a ，再结合21a 的取值范围，利用单调性求解．15．【解析】（1）在矩形ABCD 中，//AB CD ， 又AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AB //平面PCD ．（2）如图，连结BD ，交AC 于点O ，连结PO ，在矩形ABCD 中，点O 为 AC BD ，的中点， 又PA PB PC PD ===， 故PO AC ⊥，PO BD ⊥， 又AC BD O =I ，AC BD ，⊂平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ， 又PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ． 16.【解析】（1）在△ABC 中，ABC（第15题）PDO222222sin 2cos cosB sin cos 2sin sin 2cos cos sin cos C b a c ac B c C B A C ab C b C B C c a b ---====----，因为sin 0C ≠，所以sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，所以2sin cos sin cos sin cos sin()sin A B B C C B B C A =+=+=， 因为sin 0A ≠，所以1cos 2B =， 因为0πB <<，所以π3B =． （2）222131sin sin sin (1cos 2)(1cos 2)242T A B C A C =++=-++-()71714π(cos2cos2)cos2cos 242423A C A A -⎡⎤=⎢⎥⎣+=--⎦+()()71171πcos22cos 2422423A A A =-=-+ 因为2π03A <<，所以4π023A <<， 故ππ5π2333A <+<，因此()π11cos 232A -+<≤， 所以3924T <≤． 17. 【解析】（1）设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量分别为1Q ，2Q ，则3121214108 2 000T T T T Q ---=⨯⋅=，3431112222410 2.51041044T T T T T T Q x ---''''---=⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅11122234344410 2.510410T T T T T T x ---''''---===⨯⨯⨯11122234344410 2.510410T T T T T T x ---''''-+-+-=++⨯⨯⨯124 000 2 000T T x -=+． （2）由（1）知21121Q Q x =+，当1=4%时，解得12x =（mm ）．答：当12x =mm 时，双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4%． 18．【解析】（1）解：由题意，得1c =，c e a =，故a = 从而2221b a c =-=，所以椭圆的方程为2212x y +=．①（2）证明：设直线AB 的方程为y kx =， ②直线CD 的方程为(1)y k x =--，③ 由①②得，点A ，B的横坐标为由①③得，点C ，D的横坐标为，记11( )A x kx ，，22( )B x kx ，，33( (1))C x k x -，，44( (1))D x k x -，， 则直线AC ，BD 的斜率之和为 13241324(1)(1)kx k x kx k x x x x x ----+-- 132413241324(1)()()(1)()()x x x x x x x x k x x x x +--+-+-=⋅-- 1234123413242()()()()()x x x x x x x x k x x x x --+++=⋅--2222213242(1)2420212121()()k k k k k k x x x x -⎛⎫---+ ⎪+++⎝⎭=⋅--0=．19.【解析】（1）依题意，5145511381a b b q -===⨯=， 故5181120514a a d --===-，所以120(1)2019n a n n =+-=-，令2111213413(2019)3n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅， ①则213 13213(2039)3(2019)3n nn S n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅， ②①-②得，()2121+20333(2019)3n nn S n --=⨯++⋅⋅⋅+--⋅，13(13)1+20(2019)313n nn --=⨯--⋅- (2920)329n n =-⋅-，所以(2029)329n n n S -⋅+=． （2）因为k k a b =，所以11(1)k k d q -+-=，即111k q d k --=-， 故111(1)1k n q a n k --=+--， 又1n n b q -=，所以1111(1)1k n n n q b a qn k --⎡⎤--=-+-⎢⎥-⎣⎦()()111(1)1(1)11n k k q n q k --⎡⎤=-----⎣⎦-()()23231(1)1(1)11n n k k q k q q q n q q q k -----⎡⎤=-++⋅⋅⋅++--++⋅⋅⋅++⎣⎦- （ⅰ）当1n k <<时，由1q >知()()232311()1(1)1n n k k n n n q b a k n q q q n q q q k ------⎡⎤-=-++⋅⋅⋅++--++⋅⋅⋅+⎣⎦- 211()(1)(1)()1n n q k n n q n k n q k ---⎡⎤<-----⎣⎦-22(1)()(1)1n q q k n n k ----=--0<，（ⅱ）当n k >时，由1q >知()()231231(1)()11n n k k k n n q b a k q q q n k q q q k ------⎡⎤-=-++⋅⋅⋅+--++⋅⋅⋅++⎣⎦- 121(1)()()(1)1k k q k n k q n k k q k ---⎡⎤>-----⎣⎦-22(1)()k q q n k -=--0>，综上所述，当1n k <<时，n n a b >；当n k >时，n n a b <；当1 n k =，时，n n a b =． （注：仅给出“1n k <<时，n n a b >；n k >时，n n a b <”得2分．） 20.【解析】（1）依题意，142()1()1f x ag x x x x ==--在(0 )+∞，上单调递增， 故15342[()]0a g x x x '=-+≥ 恒成立，得212a x ≤， 因为0x >，所以0a ≤．而当0a ≤时，1421()10a g x x x =--<显然在(0 )+∞，恒成立， 所以0a ≤． （2）①先证()0f x ≤：若不存在正实数0x ，使得20()0g x >，则2()0g x ≤恒成立． 假设存在正实数0x ，使得20()0g x >，则有0()0f x >，由题意，当0x >时，2()0g x '≥，可得2()g x 在(0 )+∞，上单调递增， 当0x x >时，0220()()f x f x x x >恒成立，即2020()()f x f x x x >⋅恒成立，故必存在10x x >，使得201120()()f x f x x m x >⋅>（其中m 为任意常数），这与()f x c <恒成立（即()f x 有上界）矛盾，故假设不成立， 所以当0x >时，2()0g x ≤，即()0f x ≤； ②再证()0f x =无解：假设存在正实数2x ，使得2()0f x =，则对于任意320x x >>，有322232()()0f x f x x x >=，即有3()0f x >，这与①矛盾，故假设不成立， 所以()0f x =无解，综上得()0f x <，即2()0g x <，故所有满足题设的()f x 都是“2阶负函数”．更多2013届各地最新模拟下载只需复制网址下载，绝对安全无毒江苏省南京、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷（WORD 版）.doc:/file/20316351江苏省南京市四星级高级中学2013届高三联考调研考试数学试卷2013.3.doc:/file/20316354 江苏省南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市2013届高三第三次模拟考试数学试题（扫描版）.doc:/file/20316355江苏省苏、锡、常、镇四市2013届高三教学情况调查（二）数学试题（word版）.doc:/file/20316358江苏省苏、锡、常、镇四市2013届高三教学情况调研（二）数学试题（扫描版）有答案.doc:/file/20316361江西省2013届高三九校第二次联考数学（文）试题.doc: 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/file/19944526湖北省武汉市2013届毕业生四月调考数学文试题(word版).doc: /file/20013545银川一中2013届高三年级第二次月考数学(文).doc: /file/19990035。
2013-2014泰州高三数学期末试题(含答案)
2013～2014学年度第一学期期末考试高三数学试题(考试时间：120分钟 总分：160分)命题人：朱占奎 张乃贵 王宏官 范继荣 审题人：吴卫东 石志群1．已知集合A ={}9,6,1，B ={}2,1，则A ∩B = {1} . 2．复数bi a i +=+2)1((b a ,是实数，i 是虚数单位)，则b a +的值为 2 . 3．函数2lg(6)y x x =-++的定义域为 (-2,3) . 4．为了解某地区的中小学生视力状况，从该地区的中小学生中用分层抽样的方法抽取300位学生进行调 查，该地区小学，初中，高中三个学段学生人数分 别为1200，1000，800，则从初中抽取的学生人数 为 100 .5．已知一个算法的流程图如右图，则输出的结果S 的 值是 7 .6．在ABC ∆中，DC BD 2=，若21λλ+=AB AD ，则12λλ-的值为 13-. 7．将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数．则点数相同的概率是 16. 8．如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，D 为棱1AA 的中点． 若41=AA ，2=AB ，则四棱锥D ACC B 1-的体积 为3. 9．以双曲线116922=-y x 的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近 线相切的圆的方程为 22(5)16x y -+= . 10．设函数b a x a x x f +--=)()((b a ,都是实数)．则下列叙述中，正确的序号是① ③ .(请把所有叙述正确的序号都填上) ①对任意实数b a ,，函数)(x f y =在R 上是单调函数；第8题A1A②存在实数b a ,，函数)(x f y =在R 上不是单调函数； ③对任意实数b a ,，函数)(x f y =的图象都是中心对称图形； ④存在实数b a ,，使得函数)(x f y =的图象都不是中心对称图形． 11．已知在等差数列{}n a 中，若r t s p n m ++=++22，*∈N r t s p n m ,,,,,则r t s p n m a a a a a a ++=++22，仿此类比，可得到等比数列{}n b 中的一个正确命题：若r t s p n m ++=++22，*∈N r t s p n m ,,,,,，则 22m n p s t r b b b b b b = .12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1208642=a a a a ，且+++842862864111a a a a a a a a a6071642=a a a ，则9S 的值为 632.13．在平面直角坐标系中，)2,1(),0,0(B A 两点绕定点P 顺时针方向旋转θ角后，分别到 )2,5(),4,4(B A ''两点，则θcos 的值为35. 14．已知函数a x x f +=3)(与函数a x x g 23)(+=在区间),(c b 上都有零点，则2222422cbc b bc ac ab a +-+++的最小值为 -1 . 15．(本题满分14分)已知函数)42sin(2)(π+=x x f ．(1)求函数)(x f y =的最小正周期及单调递增区间； (2)若56)8(0-=-πx f ，求)(0x f 的值． (1)3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，(2)55-16．(本题满分14分)如图，在四棱锥ABCD E -中， ABD ∆为正三角形，CD CB ED EB ==,． (1)求证：BD EC ⊥；(2)若BC AB ⊥，N M ,分别为线段AB AE ,的中点， 求证：平面DMN ∥平面BEC ．17．(本题满分15分)已知椭圆(1:2222>>=+b a by a x C 和圆222:a y x O =+，)0,1(),0,1(21F F -右两焦点，过1F 且倾斜角为])2,0((παα∈的动直线l交椭圆C 于B A ,两点，交圆O 于Q P ,两点(点A 在轴上方)．当4πα=时，弦PQ 的长为14．(1)求圆O 和椭圆C 的方程；(2)若点M 是椭圆C 上一点，求当AB BF AF ,,22成等差数列时，MPQ ∆面积的最大值．(1)22143x y +=,224x y +=18．(本题满分15分)某运输装置如图所示，其中钢结构ABD 是l BD AB ==，3π=∠B 的固定装置，AB 上可滑动的点C 使CD 垂直与底面(C 不B A ,与重合)，且CD 可伸缩(当CD 伸缩时，装置ABD 随之绕D 在同一平面内旋转)，利用该运输装置可以将货物从地面D 处沿A C D →→运送至A 处，货物从D 处至C 处运行速度为v ，从C 处至A 处运行速度为CABθv 3．为了使运送货物的时间t 最短，需在运送前调整运输装置中θ=∠DCB 的大小．(1)当θ变化时，试将货物运行的时间t 表示成θ 的函数(用含有v 和l 的式子)；(2)当t 最小时，C 点应设计在AB 的什么位置？(1)1cos )66sin t θθ⎡⎤-=-+⎢⎥⎣⎦(2)48BC l =19．(本题满分16分)设函数x ae x x f +=41121)((其中a 是非零常数，e 是自然对数的底)，记)()(1x f x f n n -'=(2≥n ，*∈N n )(1)求使满足对任意实数x ，都有)()(1x f x f n n -=的最小整数n 的值(2≥n ，*∈N n )； (2)设函数)(...)()()(54x f x f x f x g n n +++=，若对5≥∀n ，*∈N n ，)(x g y n =都存在极值点n t x =，求证：点))(,(n n n n t g t A (5≥n ，*∈N n )在一定直线上，并求出该直线方程；(注：若函数)(x f y =在0x x =处取得极值，则称0x 为函数)(x f y =的极值点．) (3)是否存在正整数)4(≥k k 和实数0x ，使0)()(010==-x f x f k k 且对于*∈∀N n ，)(x f n 至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的k 和0x ，若不存在，说明理由．20．(本题满分16分)已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，数列{}n b 是等比数列． (1)若n n n n b a a c )(1-=+(*∈N n )，求证：{}n c 为等比数列；(2)设n n n b a c =(*∈N n )，其中n a 是公差为2的整数项数列，nn b )1312(=，若 1234516842c c c c c >>>>，且当17≥n 时，{}n c 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式；(3)若数列{}n c 使得⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n c b a 是等比数列，数列{}n d 的前n 项和为nnn c c a -，且数列{}n d 满足：对任意2≥n ，*∈N n ，或者0=n d 恒成立或者存在正常数M ，使M d Mn <<1恒成立，求证：数列{}n c 为等差数列．2013～2014学年度第一学期期末考试高三数学试题(附加题)21.［选做题］请考生在A 、B 、C 、D 四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分。
【解析版】江苏省泰州市2013届高三上学期期末考试数学试题
2012-2013学年江苏省泰州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，共56分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（4分）已知集合A={1，2，3}，B={1，2，5}，则A∩B={1}．考点：交集及其运算．专题：阅读型．分析：把两个集合的公共元素写在花括号内即可．解答：解：由A={1，2，﹣3}，B={1，﹣4，5}，则A∩B={1，2，﹣3}∩{1，﹣4，5}={1}．故答案为{1}．点评：本题考查了交集及其运算，考查了交集概念，是基础的概念题．2．（4分）设复数z1=2+2i，z2=2﹣2i，则=i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把复数代入表达式，复数的分母、分子同乘分母的共轭复数，化简复数即可．解答：解：因为复数z1=2+2i，z2=2﹣2i，所以=====i．故答案为：i．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数的分母实数化，是解题的关键，是基础题．3．（4分）若数据x1，x2，x3，x4，x5，3的平均数为3，则数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为3．考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：根据平均数的性质知，要求x1，x2，x3，x4，x5的平均数，只要把数x1、x2、x3、x4、x5的和表示出即可．解答：解：∵x1，x2，x3，x4，x5，3的平均数为3，∴数x1+x2+x3+x4+x5+3=6×3∴x1，x2，x3，x4，x5的平均数=（x1+x2+x3+x4+x5）÷5=（6×3﹣3）÷5=3．故答案为：3．点评：本题考查的是样本平均数的求法．解决本题的关键是用一组数据的平均数表示另一组数据的平均数．4．（4分）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上位于第一象限内的一点，且△PF1F2的面积为6，则点P的坐标为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由双曲线方程，算出焦点F1、F2的坐标，从而得到|F1F2|=6．根据△PF1F2的面积为6，算出点P的纵坐标为2，代入双曲线方程即可算出点P的横坐标，从而得到点P的坐标．解答：解：∵双曲线的方程是，∴a2=4且b2=5，可得c==3由此可得双曲线焦点分别为F1（﹣3，0），F2（3，0）设双曲线上位于第一象限内的一点P坐标为（m，n），可得△PF1F2的面积S=|F1F2|•n=6，即×6×n=6，解得n=2将P（m，2）代入双曲线方程，得，解之得m=．∴点P的坐标为故答案为点评：本题给出双曲线上一点与焦点构成面积为6的三角形，求该点的坐标，着重考查了三角形面积公式、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．5．（4分）曲线y=2lnx在点（e，2）处的切线（e是自然对数的底）与y轴交点坐标为（0，0）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出曲线方程的导函数，把切点横坐标代入导函数中表示出的导函数值即为切线的斜率，由切点坐标和斜率表示出切线方程，把x=0代入切线方程中即可求出y轴交点坐标．解答：解：对y=2lnx求导得：y′=，∵切点坐标为（e，2），所以切线的斜率k=，则切线方程为：y﹣2=（x﹣e），把x=0代入切线方程得：y=0，所以切线与y轴交点坐标为（0，0）．故答案为：（0，0）．点评：本题的解题思想是把切点的横坐标代入曲线方程的导函数中求出切线的斜率，进而写出切线方程．6．（4分）如图，ABCD是一个4×5的方格纸，向此四边形ABCD内抛撒一粒豆子，则豆子恰好落在阴影部分内的概率为0.2．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：试验发生包含的事件对应的图形是一个大长方形，若设小正方形的边长是1，则长方形的面积是20，满足条件的事件是正方形面积是4，根据面积之比做出概率．解答：解：由题意知本题是一个几何概型，设每一个小正方形的边长为1试验发生包含的事件对应的图形是一个长方形，面积为5×4=20阴影部分是边长为2的正方形，面积是4，∴落在图中阴影部分中的概率是=0.2故答案为：0.2点评：本题考查几何概型，解题的关键是求出两个图形的面积，根据概率等于面积之比得到结果，本题是一个基础题．7．（4分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（a）＞f（b），则f（﹣a）＜f（﹣b）（用“＞”或“＜”填空）．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据奇函数的性质f（﹣x）=﹣f（x）求解．解答：解：根据奇函数的性质，f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b）；∵f（a）＞f（b），∴﹣f（a）＜﹣f（b），即f（﹣a）＜f（﹣b）．故答案是＜点评：本题考查函数的奇偶性．8．（4分）在空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b；其中真命题的序号为①④．考点：命题的真假判断与应用；平面的基本性质及推论．专题：阅读型．分析：①有平行线公理判断即可；②中正方体从同一点出发的三条线进行判断；③可以翻译为：平行于同一平面的两直线平行，错误，还有相交、异面两种情况；④由线面垂直的性质定理可得；解答：解：①因为空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c，满足平行线公理，所以①正确；②中正方体从同一点出发的三条线，也错误；③可以翻译为：平行于同一平面的两直线平行，错误，还有相交、异面两种情况；④可以翻译为：垂直于同一平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理，正确；故答案为：①④．点评：与立体几何有关的命题真假判断，要多结合空间图形．本题考查空间两条直线的位置关系以及判定方法，线面平行的判定，解决时要紧紧抓住空间两条直线的位置关系的三种情况，牢固掌握线面平行、垂直的判定及性质定理．9．（4分）如图是一个算法流程图，则输出的P=．考点：程序框图．专题：计算题；概率与统计．分析：由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，可知当n＜6时，用P+的值代替P得到新的P值，并且用n+1代替n值得到新的n值，直到n=6时输出最后算出的P值，由此即可得到本题答案．解答：解：根据题中的程序框图可得：当n＜6时，用P+的值代替P，并且用n+1代替n 值；直到当n=6时，输出最后算出的P值．因此可列出如下表格：依此表格，可得输出的P=++++=1﹣=故答案为：点评：本题给出程序框图，求最后输出的P值，属于基础题．解题的关键是先根据已知条件判断程序的功能，构造出相应的数学模型再求解，从而使问题得以解决．10．（4分）已知点P（t，2t）（t≠0）是圆C：x2+y2=1内一点，直线tx+2ty=m与圆C相切，则直线x+y+m=0与圆C的位置关系是相交．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：由圆的方程找出圆心坐标与半径，因为M为圆内一点，所以M到圆心的距离小于圆的半径，利用两点间的距离公式表示出一个不等式，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，根据求出的不等式即可得到d大于半径r，得到直线与圆的位置关系是相离．解答：解：由圆的方程得到圆心坐标为（0，0），半径r=1，由P为圆内一点得到：＜1，则圆心到已知直线tx+2ty=m的距离d==1，可得|m|=＜1，圆心到已知直线x+y+m=0的距离＜1=r，所以直线x+y+m=0与圆的位置关系为：相交．故答案为：相交．点评：此题考查小时掌握点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法，灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题．11．（4分）设a∈R，s：数列{（n﹣a）2}是递增的数列；t：a≤1，则s是t的必要不充分条件．（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”中的一个）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：在a∈R的前提下，看由数列{（n﹣a）2}是递增的数列能否推出a≤1，再看由a≤1能否推出数列{（n﹣a）2}是递增的数列．解答：解：若数列{（n﹣a）2}是递增的数列，则（n+1﹣a）2﹣（n﹣a）2=（n+1）2﹣2a（n+1）+a2﹣n2+2an﹣a2=n2+2n+1﹣2an﹣2a+a2﹣n2+2an﹣a2=2n+1﹣2a＞0，即a＜n+，因为n的最小值是1，所以当n取最小值时都有a＜，则a≤1不成立．又由（n+1﹣a）2﹣（n﹣a）2=（n+1）2﹣2a（n+1）+a2﹣n2+2an﹣a2=n2+2n+1﹣2an﹣2a+a2﹣n2+2an﹣a2=2n+1﹣2a．因为n是大于等于1的自然数，所以当a≤1时，2n+1﹣2a，即数列{（n﹣a）2}中，从第二项起，每一项与它前一项的差都大于0，数列是递增的数列．所以，s是t的必要不充分条件．故答案为必要不充分．点评：本题考查了必要条件、充分条件与充要条件．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．此题是基础题．12．（4分）各项均为正数的等比数列{a n}中，若a1≥1，a2≤2，a3≥3，则a4的取值范围是．考点：简单线性规划；等比数列；等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：根据题中的不等式组，联想到运用线性规划的知识解决问题．因此，将所得的不等式的两边都取常用对数，得到关于lga1和lgq的一次不等式组，换元：令lga1=x，lgq=y，lga4=t，得到关于x、y的二次一次不等式组，再利用直线平移法进行观察，即可得到a4的取值范围．解答：解：设等比数列的公比为q，根据题意得：，∴各不式的两边取常用对数，得令lga1=x，lgq=y，lga4=t将不等式组化为：，作出以上不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部其中A（0，lg2），B（2lg2﹣lg3，lg3﹣lg2），C（0，lg3）将直线l：t=x+3y进行平移，可得当l经过点A时，t=3lg2取得最大值；当l经过点B时，t=﹣lg2+2lg3取得最小值∴t=lga4∈[﹣lg2+2lg3，3lg2]，即lga4∈[lg，lg8]由此可得a4的取值范围是故答案为：点评：本题给出等比数列，在已知a1≥1，a2≤2，a3≥3的情况下求a4的取值范围．着重考查了等比数列的通项公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．13．（4分）已知六个点A1（x1，1），B1（x2，﹣1），A2（x3，1），B2（x4，﹣1），A3（x5，1），B3（x6，﹣1）（x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6，x6﹣x1=5π）都在函数f（x）=sin（x+）的图象C上．如果这六点中不同的两点的连线的中点仍在曲线C上，则称此两点为“好点组”，则上述六点中好点组的个数为11．（两点不计顺序）考点：正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：题干错误：x6﹣x1=5π，应该是：x6 ﹣x1=5π，请给修改，谢谢．由题意可得，只要研究函数y=sinx在[0，6π]上的情况即可．画出函数y=sinx在[0，6π]上的图象，数形结合可得结论．解答：解：由于对称关系不因平移而改变，∴y=sinx与f（x）=sin（x+）对称关系没有变．根据函数的周期性，只要研究函数y=sinx在[0，6π]上的情况即可．画出函数y=sinx在[0，6π]上的图象，如图所示：可得A1（，0）、B1（，0）、A2（，0）、B2（，0）、A3（，0）、B3（，0）．由函数y=sinx的图象性质可得，“好点租”有：A1B1，B1A2，A2B2，B2B2，B2A3，A3B3，A1A3，B1B3，A1B2，A2B3，B1A3，共11个，故答案为11．点评：本题主要考查新定义“好点组”，正弦函数的图象的对称性的应用，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．14．（4分）已知f（x）=2mx+m2+2，m≠0，m∈R，x∈R．若|x1|+|x2|=1，则的取值范围是．考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．分析：（i）法一：目标函数法：①分类讨论去绝对值找x1，x2的关系．②将化为一个变量的函数g（x2）．（ii）法二：数形结合：①“数”难时，要考虑“形”．②C：|x1|+|x2|=1为正方形．③“分式”联想到斜率．解答：解：解法一：先考虑0≤x1≤1，0≤x2≤1的情形，则x1+x2=1===当m＞0，令函数g（x）=，x∈[0，1]，由单调性可得：g（1）≤g（x）≤g（0）．其中，，当m＜0，同理．x1、x2在其他范围同理．综上可得．解法二：==，∴为点P与点Q （x2，x1）连线的斜率．P点在直线上．由图可得直线PQ斜率的范围，即的范围．点评：熟练掌握分类讨论、数形结合的思想方法、函数的单调性、直线的斜率公式及意义是解题的关键．二、解答题：（本大题共12小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知向量=（cosλθ，cos（10﹣λ）θ），=（sin（10﹣λ）θ，sinλθ），λ、θ∈R．（1）求+的值；（2）若⊥，求θ；（3）若θ=，求证：∥．考点：平面向量数量积的运算；向量的模；平行向量与共线向量．专题：综合题；平面向量及应用．分析：（1）由向量的数量积的坐标表示可求||，||，代入即可求解（2）由⊥，利用向量数量积的性质的坐标表示可得cosλθ•sin（10﹣λ）θ+cos（10﹣λ）θ•sinλθ=0，整理可求θ（3）要证明∥，根据向量平行的坐标表示，只要证明cosλθ•sinλθ﹣cos（10﹣λ）θ•sin[（10﹣λ）θ]=0即可解答：解：（1）∵||=，||=（算1个得1分）||2+||2=2，…（4分）（2）∵⊥，∴cosλθ•sin（10﹣λ）θ+cos（10﹣λ）θ•sinλθ=0∴sin（（10﹣λ）θ+λθ）=0，∴sin10θ=0…（7分）∴10θ=kπ，k∈Z，∴θ=，k∈Z…（9分）（3）∵θ=，cosλθ•sinλθ﹣cos（10﹣λ）θ•sin[（10﹣λ）θ]=cos•sin﹣cos（﹣）•sin（﹣）=cos•sin﹣sin•cos=0，∴∥…..…..（14分）点评：本题主要考查了向量的数量积的性质的坐标表示及向量平行的坐标表示，属于基础试题16．（14分）在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，SA=AB=AC=BC，点D是BC边的中点，点E是线段AD上一点，且AE=4DE，点M是线段SD上一点．（1）求证：BC⊥AM；（2）若AM⊥平面SBC，求证EM∥平面ABS．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：对（1），通过证明线面垂直⇒线线垂直即可；对（2），将空间几何问题转化为平面几何问题，在△SAD中利用M、E分线段SD、AD成等比例，证明ME与SA平行，再由线线平行⇒线面平行．解答：证明：（1）∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC，SA∩AD=A，∴BC⊥平面SAD∵AM⊂平面SAD，∴BC⊥AM．（2）∵AM⊥面SAB，⇒AM⊥SD，∵SA=AB=AC=BC，可设BC=3，SA=在△ABC中，cos∠A==﹣，∴∠A=∴AD=．在Rt△SAD中，=2==，∴SM=4MD，∵AE=4ED，∴ME∥SA，ME⊄平面ABS，SA⊂平面ABS．∴EM∥平面ABS．点评：本题考查直线与平面平行、垂直的判定．利用平面几何知识证明线线平行是本题证明（II）的关键；另：将空间几何问题转化为平面几何问题是解决问题的常用方法．17．（14分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC．（1）设∠MOD=30°，求三角形铁皮PMN的面积；（2）求剪下的铁皮三角形PMN面积的最大值．考点：两角和与差的正弦函数．专题：应用题；三角函数的图像与性质．分析：（1）设MN交AD交于Q点由∠MOD=30°，利用锐角三角函数可求MQ，OQ，进而可求MN，AQ，代入S△PMN=MN•AQ可求（2）设∠MOQ=θ，由θ∈[0，]，结合锐角三角函数的定义可求MQ=sinθ，OQ=cosθ，代入三角形的面积公式S△PMN=MN•AQ=（1+sinθ）（1+cosθ）展开利用换元法，转化为二次函数的最值求解解答：解：（1）设MN交AD交于Q点∵∠MOD=30°，∴MQ=，OQ=（算出一个得2分）S△PMN=MN•AQ=××（1+）=…（6分）（2）设∠MOQ=θ，∴θ∈[0，]，MQ=sinθ，OQ=cosθ∴S△PMN=MN•AQ=（1+sinθ）（1+cosθ）=（1+sinθcosθ+sinθ+cosθ）…．（11分）令sinθ+cosθ=t∈[1，]，∴S△PMN=（t+1+）θ=，当t=，∴S△PMN的最大值为．…..…（14分）点评：本题主要考查了三角函数的定义的应用及利用三角函数求解函数的最值，换元法的应用是求解的关键18．（16分）直角坐标系xoy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A1，A2，上、下顶点为B2，B1，点P（，m）（m＞0）是椭圆C上一点，PO⊥A2B2，直线PO分别交A1B1、A2B2于点M、N．（1）求椭圆离心率；（2）若MN=，求椭圆C的方程；（3）在（2）的条件下，设R点是椭圆C上位于第一象限内的点，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，RQ平分∠F1RF2且与y轴交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据点P在椭圆上可把P点坐标用a，b表示出来，由PO⊥A2B2，可得•K OP=﹣1，由此可得a，b的关系式，连同a2=b2+c2可求得e值；（2）由MN=可得关于a，b的一方程，再根据（1）中离心率值即可求得a，b值，从而求得椭圆方程；（3）设R（x0，y0），Q（0，t），由题意得cos∠F1RQ=cos∠F2RQ，利用向量夹角公式可表示成关于y0与t的式子，根据y0的范围即可求得t的范围；解答：解：（1）因为点P在椭圆上，所以在方程中令x=，得m=b，故P（，），∵PO⊥A2B2，∴•K OP=﹣1，即﹣×=﹣1，∴4b2=3a2=4（a2﹣c2），∴a2=4c2，∴e=①，故椭圆的离心率为；（2）MN==，∴②联立①②解得，a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程为：．（3）由（2）可得F1（﹣1，0），F2（1，0），设∠F1RQ=α，∠F2RQ=β，则cosα=cosβ，∴=．设R（x0，y0），Q（0，t），则化简得：t=﹣y0，∵0＜y0＜，t∈（﹣，0）．故点Q纵坐标的取值范围为：（﹣，0）．点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系以及椭圆标准方程的求解，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，属难题．19．（4分）已知数列a n=n﹣16，b n=（﹣1）n|n﹣15|，其中n∈N*．（1）求满足a n+1=|b n|的所有正整数n的集合；（2）若n≠16，求数列的最大值和最小值；（3）记数列{a n b n}的前n项和为S n，求所有满足S2m=S2n（m＜n）的有序整数对（m，n）．考点：数列的求和；数列的函数特性．专题：计算题；分类讨论；等差数列与等比数列．分析：（1）由a n+1=|b n|，把已知通项代入可得关于n的方程，根据绝对值的意义，从而可求符合条件的n（2）由已知=，结合式子的特点，考虑讨论n与16的大小关系及n的奇偶性分别对已知式子进行化简求解最值（3）结合b n=（﹣1）n|n﹣15|，需要考虑n与15的大小对已知式子去绝对值，然后讨论n的奇偶性代入可求满足条件的m，n解答：解：（1）∵a n+1=|b n|，∴n﹣15=|n﹣15|，∴当n≥15时，a n+1=|b n|恒成立，当n＜15时，n﹣15=﹣（n﹣15），∴n=15n的集合{n|n≥15，n∈N*}…．…．…．（4分）（2）∵=（i）当n＞16时，n取偶数==1+当n=18时（）max=无最小值n取奇数时=﹣1﹣n=17时（）min=﹣2无最大值…（8分）（ii）当n＜16时，=当n为偶数时==﹣1﹣n=14时（）max=﹣（）min=﹣当n奇数==1+，n=1，（）max=1﹣=，n=15，（）min=0 …（11分）综上，最大值为（n=18）最小值﹣2（n=17）…．…..…．（12分）（3）n≤15时，b n=（﹣1）n﹣1（n﹣15），a2k﹣1b2k﹣1+a2k b2k=2 （16﹣2k）≥0，n＞15时，b n=（﹣1）n（n﹣15），a2k﹣1b2k﹣1+a2k b2k=2 （2k﹣16）＞0，其中a15b15+a16b16=0∴S16=S14m=7，n=8…．（16分）点评：本题主要考查了数列的和的求解，求解中要注意对所出现式子的化简，体现了分类讨论思想的应用20．（6分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）2，a，b是常数．（1）若a≠b，求证：函数f（x）存在极大值和极小值；（2）设（1）中f（x）取得极大值、极小值时自变量的值分别为x1、x2，令点A（x1，f（x1）），B （x2，f（x2））．如果直线AB的斜率为﹣，求函数f（x）和f′（x）的公共递减区间的长度；（3）若f（x）≥mxf′（x）对于一切x∈R恒成立，求实数m，a，b满足的条件．考点：函数在某点取得极值的条件；函数恒成立问题．专题：导数的综合应用．分析：（1）由于f′（x）=（x﹣b）[3x﹣（2a+b）]，可得一元二次方程f′（x）=0有两不等实数根，可得f（x）存在极大值和极小值．（2）分a=b、a＞b、a＜b三种情况，求得f（x）的减区间，再求出f′（x）减区间，可得f （x）与′的公共减区间，从而求得公共减区间的长度．（3）由条件可得，（x﹣b）{（1﹣3m）x2+[m（2a+b）﹣（a+b）]x+ab}≥0恒成立，可得m=，故（x﹣b）[（a+2b）x﹣3ab]≤0恒成立．再利用二次函数的性质求得实数m，a，b满足的条件．解答：解：（1）由于f′（x）=（x﹣b）[3x﹣（2a+b）]，…（1分）∵a≠b，∴，∴一元二次方程f′（x）=0有两不等实数根b和，∴f（x）存在极大值和极小值．…（4分）（2）①若a=b，f（x）不存在减区间．②若a＞b，由（1）知x1=b，x2=，∴A（b，0），B ，∴，∴（a﹣b）2 =，∴．③当a＜b时，x1=，x2=b，同理可得a﹣b=（舍）．综上a﹣b=…..…．（7分）∴f（x）的减区间为即（b，b+1），f′（x）减区间为，∴公共减区间为（b，b+），故公共减区间的长度为．…（10分）（3）∵f（x）≥mxf′（x），∴（x﹣a）（x﹣b）2 ≥m•x（x﹣b）[3x﹣（2a+b）]，∴（x﹣b）{（1﹣3m）x2+[m（2a+b）﹣（a+b）]x+ab}≥0．若，则左边是一个一次因式，乘以一个恒正（或恒负）的二次三项式，或者是三个一次因式的积，无论哪种情况，总有一个一次因式的指数是奇次的，这个因式的零点左右的符号不同，因此不可能恒非负，不满足条件．∴，…（12分）∴（x﹣b）[（a+2b）x﹣3ab]≤0恒成立．若a+2b=0，则有a=﹣2b，∴a=b=0．若a+2b≠0，则x1=b，，且b=．①当b=0，则由二次函数的性质得a＜0，②当b≠0，则，∴a=b，且b＜0．综上可得，，a=b≤0或a＜0，b=0．…..（16分）点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（6分）如图⊙O的两弦AB，CD所在直线交于圆外一点P．（1）若PC=2，CD=1，点A为PB的中点，求弦AB的长；（2）若PO平分∠BPD，求证：PB=PD．考点：与圆有关的比例线段．分析：（1）利用割线定理即可得出；（2）利用垂径定理、同圆中的弦与弦心距的关系定理、角平分线的性质及全等三角形的判定与性质即可得出．解答：解（1）由割线定理可得：PA•PB=PC•PD，∵点A为PB的中点，∴PA=AB，∴AB•2AB=2×3，解得AB=．（2）作OM⊥CD于M，ON⊥AB于N，∵PO平分∠BPD，∴OM=ON，在同圆中弦心距相等，∴AB=CD，∴点M平分弦CD，点N平分弦AB，∴AN=NB，CM=MD，∴NB=MD．又∵△PON≌△POM，∴PN=PM，∴PN+NB=PM+MD，∴PB=PD．点评：熟练掌握圆的割线定理、垂径定理、同圆中的弦与弦心距的关系定理、角平分线的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．22．（6分）已知变换T 把平面上的点（1，0），（0，）分别变换成点（1，1），（﹣，）．（1）试求变换T对应的矩阵M；（2）求曲线x2﹣y2=1在变换T的作用下所得到的曲线的方程．考点：几种特殊的矩阵变换．专题：计算题．分析：（1）先设出所求矩阵，利用待定系数法建立一个四元一次方程组，解方程组即可；（2）先设P（x，y）是曲线x2﹣y2=1上的任一点，P1（x′，y′）是P（x，y）在矩阵T对应变换作用下新曲线上的对应点，根据矩阵变换求出P与P1的关系，代入已知曲线求出所求曲线即可．解答：解：（1）设矩阵M=依题意得，=→，∴（1，0）变换为（1，1）得：a=1，c=1，（0，）变换为（﹣，）得：b=﹣1，d=1所求矩阵M=…（5分）（2）变换T所对应关系解得…（7分）代入x2﹣y2=1得：x′y′=1，故x2﹣y2=1在变换T的作用下所得到的曲线方程得xy=1 …（10分）点评：本题主要考查来了逆矩阵与投影变换，以及计算能力，属于基础题．23．（6分）已知直线（t为参数）与圆C：（θ为参数）相交于A，B两点，m为常数．（1）当m=0时，求线段AB的长；（2）当圆C上恰有三点到直线的距离为1时，求m的值．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）先把参数方程化为普通方程，再利用点到直线的距离公式、弦长|AB|=2即可得出；（2）圆C上恰有三点到直线的距离为1的条件⇔圆心C到直线l的距离=1．解答：解：（1）由直线（t为参数）消去参数化为普通方程l：x+y﹣1=0；当m=0时，圆C：（θ为参数）消去参数θ得到曲线C：x2+y2=4，圆心C（0，0），半径r=2．∴圆心C到直线l的距离为d=，∴|AB|=2=．（2）由（1）可知：x+y﹣1=0，又把圆C的参数方程的参数θ消去可得：x2+（y﹣m）2=4，∴圆心C（0，m），半径r=2．只要圆心C到直线l的距离=1即可满足：圆C上恰有三点到直线的距离为1的条件．由d==1，解得m﹣1=±，∴m=1+或m=1﹣．点评：熟练把参数方程化为普通方程、掌握点到直线的距离公式、弦长|AB|=2及正确把问题等价转化是解题的关键．24．（6分）若a，b，c∈R+，a+2b+3c=6．（1）求abc的最大值；（2）求证≥12．考点：基本不等式．专题：综合题．分析：（1）由已知可得abc=a•2b•3c≤（）3，可求（2）由++=3+++=（++）（a+2b+3c），化简后利用基本不等式可证解答：解：（1）∵a，b，c∈R+，a+2b+3c=6∴abc=a•2b•3c≤（）3=当a=2，b=1，c=时取等号，∴abc的最大值为…．…..（5分）（2）∵++=3+++而（++）（a+2b+3c）≥（++）2=54∴++≥9∴++≥12…（10分）点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值及证明中的应用，解题的关键是对基本不等式应用条件的配凑25．（6分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AD、DC的中点．（1）求直线BC1与平面EFD1所成角的正弦值；（2）设直线BC1上一点P满足平面PAC∥平面EFD1，求PB的长．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；平面与平面平行的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）建立以D点为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴的空间直角坐标系，求出平面D1EF的法向量，和直线BC1的方向向量，代入向量夹角公式，可得直线BC1与平面EFD1所成角的正弦值；（2）设=λ，可求出向量的坐标（含参数λ），进而根据平面PAC∥平面EFD1，可得平面D1EF的法向量也垂直平面PAC，即.=0，进而求出参数值后，代入向量模的计算公式可得答案．解答：解：（1）建立以D点为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z 轴的空间直角坐标系则D1（0，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），E（1，0，0），C1（0，2，2），F（0，1，0）．=（﹣2，0，2），=（1，0，﹣2），=（﹣1，1，0）．设平面D1EF的法向量=（x1，y1，z1），则，即令x1=2，则=（2，2，1）…（3分）∴cos＜，＞==﹣∴直线BC1与平面EFD1所成角的正弦值为…..…..（5分）（2）设=λ=（﹣2λ，0，2λ）则=+=（﹣2λ，2，2λ），.=﹣4λ+4+2λ=0∴λ=2…（8分）∵AP⊄平面EFD1，AP∥平面EFD1，又AC∥EF，EF⊆平面EFD1，∴AC∥平面EFD1又AP∩AC=A，AP，AC⊂平面EFD1，∴平面PAC∥平面EFD1，∴=（﹣4，0，4），=4…．（10分）点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，平面与平面平行的判定，其中建立空间坐标系，将空间线面关系及夹角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．26．（6分）如图A1（x1，y1）（y1＜0）是抛物线y2=mx（m＞0）上的点，作点A1关于x轴的对称点B1，过B1作与抛物线在A1处的切线平行的直线B1A2交抛物线于点A2．（1）若A1（4，﹣4），求点A2的坐标；（2）若△A1A2B1的面积为16，且在A1，B1两点处的切线互相垂直．①求抛物线方程；②作A2关于x轴的对称点B2，过B2作与抛物线在A2处的切线平行的直线B2A3，交抛物线于点A3，…，如此继续下去，得一系列点A4，A5，…，设A n（x n，y n），求满足x n≥10000x1的最小自然数n．考点：抛物线的标准方程；数列的函数特性．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由A1（4，﹣4）在抛物线上代入可求m，设出A2（x2，﹣2x2），对函数y=﹣求导根据导数的几何意义可求x2，即可求解A2．（2）①设A1，B1处切线的斜率分别为K1，K2，容易得出K1•K2=﹣1，代入点的坐标即可得到m与x1 的方程，再设A2，结合已知又可得x2，x1的关系，代入三角形的面积公式中即可可求知x1，m，从而可求抛物线方程②由题意可求x n与x n﹣1的递推关系，结合等比数列的通项公式可求n的最小值解答：解：（1）若A1（4，﹣4）在抛物线上∴16=4m∴m=4，设A2（x2，﹣2x2），y=﹣，y′=﹣，B（4，4）∴=∴x2=36∴A2（36，﹣12）…．…．…（3分）（2）①设A1，B1处切线的斜率分别为K1，K2，K1•K2=﹣1∴（﹣）.=﹣1∴m=4x1 ①设A2（x2，﹣）∴=﹣∴x2=9x1 ②又S=×2（x2﹣x1）=16 ③由①②③知x1=1，m=4∴抛物线方程为y2=4x…..…（6分）②由（2）知=﹣，∴x n=9x n﹣1，∴数列{x n}为等比数列，∴x19n﹣1≥10000x1∴n≥6∴n最小值为6…（10分）点评：本题主要考查了由抛物线的性质求解抛物线的方程，还考查了一定的逻辑推理与运算的能力。
2013届高三数学上册期初检测试题(含答案)
2013届高三数学上册期初检测试题(含答案)江苏省泰州二中2013届高三期初（暑期）检测数学试题必做题部分（满分160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1、若，则=__________。
2、设，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_______________。
3、已知复数，,那么=_________。
4、若角的终边落在射线上，则=____________。
5、在数列中，若，，，则该数列的通项为。
6、甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表（单位:环）如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是。
甲108999乙10107997、在闭区间[－1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是。
8、已知对称中心为原点的双曲线与椭圆有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的标准方程为___________________。
9、阅读下列程序:Read S 1Fo r I from 1 to 5 step 2S S+IPrint SEnd forEnd输出的结果是。
10、给出下列四个命题，其中不正确命题的序号是。
①若；②函数的图象关于x= 对称；③函数为偶函数，④函数是周期函数，且周期为2 。
11、若函数在上是增函数，则的取值范围是________ ____。
12、设，则的最大值是_________________。
13、已知是定义在上的奇函数, 则的值域为.14、已知平面上的向量、满足, ，设向量，则的最小值是。
二、解答题：本大题共6小题，共90分。
请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15、(本小题满分14分)设函数,其中向量，(1)求的最小正周期；(2)在中，分别是角的对边，求的值。
16、(本小题满分14分)如图,在四棱锥中,四边形是菱形, , 为的中点.(1)求证: 面；(2)求证:平面平面.17、(本小题满分14分)某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交元（为常数，2≤a≤5 ）的税收。
江苏省泰州市2013届高三第一学期期末考试数学试卷及答案
泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题命题人：朱占奎 杨鹤云 肖彬 审题人：孟泰 石志群一、填空题1. 已知集合{}1,2,3A =，{}1,2,5B =，则A B ⋂=2. 设复数122z i =+，222z i =-，则12z z = 3. 若数据12345,,,,x x x x x ，3的平均数是3，则数据12345,,,,x x x x x 的平均数是4. 设双曲线22145x y -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,点P 为双曲线上位于第一象限内一点，且12PF F 的面积为6，则点P 的坐标为 5.曲线y=2lnx 在点（e,2）处的切线与y 轴交点的坐标为6.如图，ABCD 是4⨯5的方格纸，向此四边形ABCD 内抛撒一粒豆子，则豆子恰好落在阴影部分内的概率为7.设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(a)>f(b), 则f(-a) f(-b)(填“>”或：“<”)8.在空间中，用a,b,c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列四个命题： （1）若,a b b c ，则a c （2）若,a b b c ⊥⊥，则a c ⊥ (3) 若a γ，b γ，则a b （4）若a γ⊥，b γ⊥，则a b 9.右图是一个算法流程图，则输出p=10.已知点P(t,2t)( 0t ≠)是圆C ：221x y +=内一点，直线 tx+2ty=m 圆C 相切，则直线x+y+m=0与圆C 的关系是11.设a R ∈,s: 数列{}2()n a -是递增数列；t:a 1≤,则s 是t 的 条件12.各项均为正数的等比数列{}n a 中，若11a ≥，22a ≤，33a ≥，则4a 的取值范围是13.已知六个点11(,1)A x ，12(,1)B x -,23(,1)A x ,24(,1)B x -,35(,1)A x ,36(,1)B x - (123456x x x x x x <<<<<,615x x π-=)都在函数f(x)=sin(x+3π)的图象C 上，如果这六个点中不同两点的连线的中点仍在曲线C 上，则称此两点为“好点组”，则上述六点中好点组的个数为 （两点不计顺序）14.已知f(x)= 222mx m ++,0,,m m R x R ≠∈∈.若121x x +=，则12()()f x f x 的取值范围是二．解答题15.已知向量a=(cos λθ,cos(10)λθ-),b=(sin(10)λθ-,sin λθ),,R λθ∈ (1)求22a b +的值 （2）若a b ⊥，求θ （3）20πθ=，求证：a b16.在三棱锥S-ABC 中，SA ⊥平面ABC ，BC ,点D 是BC 边的中点，点E 是线段AD 上一点，且AE=4DE,点M 是线段SD 上一点，（1）求证：BC ⊥AM(2)若AM ⊥平面SBC ，求证：EM 平面ABS19.（本题满分16分）已知数列16n a n =-,(1)15n n b n =--,其中*n N ∈(1)求满足1n a +=n b 的所有正整数n 的集合 （2）n ≠16,求数列nnb a 的最大值和最小值 （3）记数列{}n n a b 的前 n 项和为n S ，求所有满足22m n S S =（m<n ）的有序整数对(m,n)20. （本题满分16分）已知函数f(x)=(x-a)2()x b -,a,b 为常数，（1）若a b ≠,求证：函数f(x)存在极大值和极小值（2）设（1）中 f(x) 取得极大值、极小值时自变量的分别为12,x x ，令点A 11(,()x f x )，B22(,()x f x ),如果直线AB 的斜率为12-，求函数f(x)和/()f x 的公共递减区间的长度（3）若/()()f x mf x ≥对于一切x R ∈ 恒成立，求实数m,a,b 满足的条件2012～2013学年度第一学期期末考试高三数学参考答案一填空题1．{}2,1 2.i 3.3 4. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2,556 5.(0,0) 6.0.2 7.< 8. ①④ 9. 6510.相交 11.必要不充分 12. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡8,29 13.11 14. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,221 二 解答题15. （1）∵｜a ｜=cos 2λθ+cos 2(10-λ)θ ，｜b ｜=sin 2(10-λ)θ+sin 2λθ （算1个得1分） ｜a ｜2+｜b ｜2=2，………………………………………………………………4分（2）∵a ⊥b，∴cos λθ·sin(10-λ)θ +cos(10-λ) θ·sin λθ=0∴sin((10-λ) θ+λθ)=0，∴sin10θ=0…………………………………………7分∴10θ=k π，k ∈Z ，∴θ=10πk ，k ∈Z ……………………………………..........9分 （3）∵θ=20π, cos λθ·sin λθ－cos(10-λ) θ·sin ［(10－λ) θ］ =cos 20λπ·sin 20λπ－cos （2π－20λπ）·sin(2π－20λπ)=cos 20λπ·sin 20λπ-sin 20λπ·cos 20λπ=0，∴a ∥b………………………………………………..…………………………….. 14分16. (1)∵AB =AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ,………………………………………… 2分AM BC SAD AM SAD BC A SA AD BCSA ABC BC ABC SA ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫=⋂⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥面平面面面……………..7分 （证到SA ⊥平面SAD 得5分）（2）∵AM ⊥面SAB ， ⇒AM ⊥SD ，⇒⎭⎬⎫==DE AE MD SM 44⎪⎭⎪⎬⎫⊆⊄平面平面SA ABS //ME SAME ⇒EM ∥面ABS ……………14分 （证到SM =4MD 得10分，得到ME ‖SA 得12分。
江苏省泰州中学2013届高三学情诊断测试数学试题
江苏省泰州中学2012-2013学年度第一学期学情诊断 数 学 试 卷 2012.10.8一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 命题“012,2>++∈∀x x R x ”的否定是 ．2．“x >1”是“x 2>x ”成立的_______条件．（可选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”）3．集合M ＝{x |y ＝x －1}，N ＝{y |y ＝x －1}，则M ∩N ＝_______． 4．已知角α的终边经过点(),6P x -，且3tan 5α=-，则x 的值为 ． 5．在ABC ∆中，若2cos sin =-A A ，则A tan =_______．6．已知1sin cos 2αα=+，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+4sin 2cos παα的值为 ． 7．函数x x y 2cos 2sin 3+-=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,6ππx 的值域为 . 8．函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，(1)'()0x f x -<，设1(0),(),(3)2a fb fc f ===，则,,a b c 从小到大排列的顺序为 .9．定义在R 上的函数()x f 满足()()()()⎩⎨⎧>---≤-=0,210,8log 2x x f x f x x x f ，则()3f 的值为 ．10．已知直线x ＝a (0＜a ＜π2)与函数f (x )＝sin x 和函数g (x )＝cos x 的图象分别交于M ，N 两点，若MN ＝15，则线段MN 的中点纵坐标为 ．11．已知函数f (x )＝|x 2－6|，若a ＜b ＜0，且f (a )＝f (b )，则a 2b 的最小值是 . 12．已知函数f (x )＝(ax 2＋x )－x ln x 在[1,＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．13．已知函数()3111,0,,36221,,1.12x x f x x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪+⎝⎦⎩函数()sin 226g x a x a π=-+，其中0a >．若存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是 ．14．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()(4)f x f x =+，且当[2,0]x ∈-时，1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有三个不同的实数根，则a 的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）已知集合A ＝{x |(x －2)(x －3a －1)＜0}，函数y ＝lg 2a －xx －(a 2＋1)的定义域为集合B .（Ⅰ）若A ＝B ，求实数a 值；（Ⅱ）是否存在实数a 的值使φ=⋂B A ，若存在则求出实数a 的值，若不存在说明理由.16.（本小题满分14分）已知函数()316f x x x =+-.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(2,6)-处的切线的方程；（Ⅱ）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程； （Ⅲ）如果曲线()y f x =的某一切与直线134y x =-+垂直，求切点坐标.17.（本小题满分14分）已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos ).444x x x m n == （Ⅰ）若1m n ⋅=,求2cos()3x π-的值； （Ⅱ）记()f x m n =⋅，在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=，求函数()f A 的取值范围．18.（本小题满分16分）因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中．为了治污，根据环保部门的建议，现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a （1≤a ≤4，且a ∈R ）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为y ＝a ·f （x ），其中f （x ）＝⎩⎨⎧168－x－1(0≤x ≤4)，5－12x (4＜x ≤10).若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用． （Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次只能投放2个单位的药剂，6天后可再投放a 个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a 的最小值．19.（本小题满分16分）设t ＞0，已知函数f (x )＝x 2(x －t )的图象与x 轴交于A 、B 两点． （Ⅰ）求函数f (x )的单调区间；（Ⅱ）设函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，当x 0∈(0，1]时，k ≥－12恒成立，求t 的最大值；（Ⅲ）有一条平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点C ，D ，若四边形ABCD 为菱形，求t 的值．20.（本小题满分16分）已知函数x a x g b x x x f ln )(,)(23=++-=．（Ⅰ）若)(x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈1,21x 上的最大值为83，求实数b 的值；（Ⅱ）若对任意[]e x ,1∈，都有x a x x g )2()(2++-≥恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设()()⎩⎨⎧≥<=1,1,)(x x g x x f x F ，对任意给定的正实数a ，曲线)(x F y =上是否存在两点Q P ,，使得POQ ∆是以（O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．江苏省泰州中学2012-2013学年度第一学期学情诊断数 学 试 卷 答 案 2012.10.8一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 命题“012,2>++∈∀x x R x ”的否定是 ． 【答案】012,2≤++∈∃x x R x2．“x >1”是“x 2>x ”成立的_______条件．（可选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”） 【答案】充分不必要3．集合M ＝{x |y ＝x －1}，N ＝{y |y ＝x －1}，则M ∩N ＝_______． 【答案】[)+∞,14．已知角α的终边经过点(),6P x -，且3tan 5α=-，则x 的值为 ． 【答案】105．在ABC ∆中，若2cos sin =-A A ，则A tan =_______．【答案】1- 6．已知1sin cos 2αα=+，则⎪⎭⎫⎝⎛+4sin 2cos παα的值为 ． 【答案】22-7．函数x x y 2cos 2sin 3+-=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,6ππx 的值域为 . 【答案】[]1,2--8．函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，(1)'()0x f x -<，设1(0),(),(3)2a fb fc f ===，则,,a b c 从小到大排列的顺序为 . 【答案】c a b <<.9．定义在R 上的函数()x f 满足()()()()⎩⎨⎧>---≤-=0,210,8log 2x x f x f x x x f ，则()3f 的值为 ． 【答案】3-10．已知直线x ＝a (0＜a ＜π2)与函数f (x )＝sin x 和函数g (x )＝cos x 的图象分别交于M ，N 两点，若MN ＝15，则线段MN 的中点纵坐标为 ． 【答案】71011．已知函数f (x )＝|x 2－6|，若a ＜b ＜0，且f (a )＝f (b )，则a 2b 的最小值是 . 【答案】－1612．已知函数f (x )＝(ax 2＋x )－x ln x 在[1,＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】[12e ,＋∞)13．已知函数()3111,0,,36221,,1.12x x f x x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪+⎝⎦⎩函数()sin 226g x a x a π=-+，其中0a >．若存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()(4)f x f x =+，且当[2,0]x ∈-时，1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有三个不同的实数根，则a 的取值范围为 ．【答案】2)二、解答题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）已知集合A ＝{x |(x －2)(x －3a －1)＜0}，函数y ＝lg 2a －xx －(a 2＋1)的定义域为集合B .（Ⅰ）若A ＝B ，求实数a 值；（Ⅱ）是否存在实数a 的值使φ=⋂B A ，若存在则求出实数a 的值，若不存在说明理由. 解：（Ⅰ）由于函数的定义域是非空数集，故1≠a . （1）当131≠>a a 且时，()13,2+=a A ，()1,22+=a a B ，由B A =可得：⎩⎨⎧+=+=113222a a a ，方程组无解； 2分 （2）当31=a 时，φ=A ，B A =不可能； 4分 （3）当31<a 时，()2,13+=a A ，()1,22+=a a B ，由B A =可得：⎩⎨⎧+==+122132a a a ，1-=a . 6分 （Ⅱ）（1）当131≠>a a 且时，()13,2+=a A ，()1,22+=a a B ，由φ=⋂B A 可得：212132≤+≤+a a a 或，又131≠>a a 且，则a 的值不存在； 8分（2）当31=a 时，φ=A ，则φ=⋂B A ，适合题意； 10分（3）当31<a 时，()2,13+=a A ，()1,22+=a a B ，由φ=⋂B A 可得：131222+≤+≤a a a 或，又31<a ，则310<≤a . 12分∴当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈31,0a 时，φ=⋂B A . 14分16.（本小题满分14分）已知函数()316f x x x =+-.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(2,6)-处的切线的方程；（Ⅱ）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程； （Ⅲ）如果曲线()y f x =的某一切与直线134y x =-+垂直，求切点坐标. 解：（Ⅰ）13320x y --= 4分 （Ⅱ）013=-y x 9分 （Ⅲ）()()18,1,14,1--- 14分 17.（本小题满分14分）已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos ).444x x xm n == （Ⅰ）若1m n ⋅=,求2cos()3x π-的值； （Ⅱ）记()f x m n =⋅，在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=，求函数()f A 的取值范围．解：（Ⅰ）m n ⋅=2cos cos 444x x x +11cos 2222x x ++＝1sin()262x π++2分 ∵1m n ⋅=，∴1sin()262xπ+=，2cos()12sin ()326x x ππ+=-+＝12， ∴21cos()cos()332x x ππ-=-+=-. 6分 （Ⅱ）∵(2)cos cos a c B b C -=， 由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=， ∴2sin sin cos sin cos AcosB C B B C -=，∴2sin cos sin()A B B C =+， ∵A B C π++=∴sin()sin B C A +=，且sin 0A ≠，∴1cos ,23B B π==，10分 ∴203A π<<∴1,sin()16262226A A ππππ<+<<+< 又∵()f x m n =⋅=1sin()262x π++，∴()f A =1sin()262A π++ ， 故函数()f A 的取值范围是（1,32）. 14分 18.（本小题满分16分）因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中．为了治污，根据环保部门的建议，现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a （1≤a ≤4，且a ∈R ）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为y ＝a ·f （x ），其中f （x ）＝⎩⎨⎧168－x－1(0≤x ≤4)，5－12x (4＜x ≤10).若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次只能投放2个单位的药剂， 6天后可再投放a 个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a 的最小值．解：（Ⅰ）因为a ＝4，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧648－x －4(0≤x ≤4)，20－2x (4＜x ≤10). 2分则当0≤x ≤4时，由648－x －4≥4，解得x ≥0，所以此时0≤x ≤4. 4分当4＜x ≤10时，由20－2x ≥4，解得x ≤8，所以此时4＜x ≤8. 6分综合，得0≤x ≤8，若一次投放4个单位的制剂，则有效治污时间可达8天． 8分 （Ⅱ）当6≤x ≤10时，y ＝2×(5－12x )＋a ⎣⎡⎦⎤168－(x －6)－1 10分＝10－x ＋16a 14－x －a ＝(14－x )＋16a14－x－a －4，因为14－x ∈[4,8]，而1≤a ≤4，所以4a ∈[4,8]，故当且仅当14－x ＝4a 时，y 有最小值为8a －a －4. 14分 令8a －a －4≥4，解得24－162≤a ≤4，所以a 的最小值为24－16 2. . 16分 19.（本小题满分16分）设t ＞0，已知函数f (x )＝x 2(x －t )的图象与x 轴交于A 、B 两点． （Ⅰ）求函数f (x )的单调区间；（Ⅱ）设函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，当x 0∈(0，1]时，k ≥－12恒成立，求t 的最大值；（Ⅲ）有一条平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点C ，D ，若四边形ABCD 为菱形，求t 的值．解：（Ⅰ）f ′(x )＝3x 2－2tx ＝x (3x －2t )＞0，因为t ＞0，所以当x ＞2t 3或x ＜0时，f ′(x )＞0， 所以(－∞，0)和(2t3，＋∞)为函数f (x )的单调增区间；当0＜x ＜2t 3时，f ′(x )＜0，所以(0，2t3)为函数f (x )的单调减区间． 4分 （Ⅱ）因为k ＝3x 02－2tx 0≥－12恒成立，所以2t ≤3x 0＋12x 0恒成立， 6分因为x 0∈（0，1]，所以3x 0＋12x 0≥23x 0×12x 0＝6，即3x 0＋12x 0≥6，当且仅当x 0＝66时取等号．所以2t ≤6，即t 的最大值为62． 8分（Ⅲ）由（Ⅰ）可得，函数f (x )在x ＝0处取得极大值0，在x ＝2t 3处取得极小值－4t 327． 因为平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点， 所以直线l 的方程为y ＝－4t 327． 10分 令f (x )＝－4t 327，所以x 2(x －t )＝－4t 327，解得x ＝2t 3或x ＝－t 3．所以C （2t 3，－4t 327），D （－t 3，－4t 327）． 12分 因为A （0，0），B （t ，0）．易知四边形ABCD 为平行四边形．AD ＝(－t 3)2＋(－4t 327)2，且AD ＝AB ＝t ，所以(－t 3)2＋(－4t 327)2＝t ，解得：t ＝3482． 16分20.（本小题满分16分）已知函数x a x g b x x x f ln )(,)(23=++-=．（Ⅰ）若)(x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈1,21x 上的最大值为83，求实数b 的值；（Ⅱ）若对任意[]e x ,1∈，都有x a x x g )2()(2++-≥恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设()()⎩⎨⎧≥<=1,1,)(x x g x x f x F ，对任意给定的正实数a ，曲线)(x F y =上是否存在两点Q P ,，使得POQ ∆是以（O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．解：（Ⅰ）由()32f x x x b =-++，得()()23232f x x x x x '=-+=--， 令()0f x '=，得0x =或23． 2分由13()28f b -=+，24()327f b =+，∴12()()23f f ->，即最大值为133()288f b -=+=，∴0b =． 4分（Ⅱ）由()()22g x x a x ≥-++，得()2ln 2x x a x x -≤-．[]1,,ln 1x e x x ∈∴≤≤，且等号不能同时取，∴ln ,ln 0x x x x <->即，∴22ln x x a x x -≤-恒成立，即2min 2()ln x xa x x-≤-． 6分 令()[]()22,1,ln x xt x x e x x -=-，求导得，()()()()212ln ln x x x t x x x -+-'=-， 当[]1,x e ∈时，10,ln 1,2ln 0x x x x -≥≤+->，从而()0t x '≥，∴()t x 在[]1,e 上为增函数，∴()()min 11t x t ==-，∴1a ≤-． 8分 （Ⅲ）由条件，()32,1ln ,1x x x F x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩，假设曲线()y F x =上存在两点,P Q 满足题意，则,P Q 只能在y 轴两侧，不妨设()()(),0P t F t t >，则()32,Q t t t -+，且1t ≠．POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，∴0OP OQ ⋅=，∴()()2320t f t t t -++=()*，是否存在,P Q 等价于方程()*在0t >且1t ≠时是否有解． 10分 ①若01t <<时，方程()*为()()232320t t t t t -+-++=，化简得4210t t -+=，此方程无解； 12分 ②若1t >时，()*方程为()232ln 0t a t t t -+⋅+=，即()11ln t t a=+， 设()()()1ln 1h t t t t =+>，则()1ln 1h t t t'=++，显然，当1t >时，()0h t '>，即()h t 在()1,+∞上为增函数，∴()h t 的值域为()()1,h +∞，即()0,+∞，∴当0a >时，方程()*总有解．∴对任意给定的正实数a ，曲线()y F x = 上总存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上． 16分。
江苏省泰州二中2013届高三第二次调研测试数学试题(扫描版).pdf
数 学 答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷卡的相应位置上． 1. 2. 3. 4. 5. 6. 【答案】145 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13 14. ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（本小题满分1分） △ABC的内角A的大小为120°，面积为． （1）若AB，求△ABC的另外两条边长； （2）设O为△ABC时，求的值． ， 16.（本小题满分1分） 中，平面平面，BC//平面PAD，, ．求证： （1）； （）平面． 17．（本小题满分1分） ?600万元购得一块土地，在该土地上建 造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1?000平方米，每平方米的建筑 费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中k为常数) ． 5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1?270元. (每平方米平均综合费用＝)． （2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米 的平均综合费用为多少元？ 18. （本小题满分16分） f (x)＝(m－3)x3 + 9x. （1）若函数f (x)在区间(－∞∞)上是单调函数，求m的取值范围； （2）若函数f (x)在区间［1，2］． （本小题满分1分） M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q． 若r2， （2）求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标． （本小题满分16分） 满足：，，.记. （1）若，求证：=2，并求的值； （2）若是公差为1的等差数列，问是否为等差数列，证明你的结论． 附加题 21. （选做题）本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. 选修4－1：几何证明选讲 是⊙的直径，是⊙上的两点，⊥，过点作⊙的切线FD交的延长线于点．连结交 于点. 求证：. C. 选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标中,圆,圆． （1）在以O为极点x轴正半轴为极轴的极坐标系中分别圆的极坐标方程 （2）求的公共弦的参数方程． D．选修4－5：不等式选讲 设正数，求 ， 22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 中，，，且． （1）求棱与BC所成的角的大小； 23．必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．，记（是函数的导函数），且当x=1时，取得极小值2． （1）求函数的单调增区间； （2）证明． C F D B E A O。
江苏省南通、扬州、泰州三市2013届高三第二次调研测试数学试题(WORD版)
在③中令y= 0得x= ，故直线PQ过定点 ．………………………………………………16分
20．
【解】（1）因为 ，所以若 ，则 矛盾，
若 ，可得 矛盾，所以 ．………………………………………………………4分
直线MA1的方程：x－3y+2=0，解 得 ．………………………………………2分
直线MA2的方程：x－y－2=0，解 得 ．………………………………………4分
由两点式，得直线PQ方程为：2x－y－2=0．…………………………………………………………6分
（2）证法一：由题设得A1(－r，0)，A2(r，0).设M(a，t)，
二、解答题：本大题共6小题，共90分.请把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分14分）
已知△ABC的内角A的大小为120°，面积为 ．
（1）若AB ，求△ABC的另外两条边长；
（2）设O为△ABC的外心，当 时，求 的值．
16.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，BC//平面PAD， ,
．求证：
（1） 平面 ；
（2）平面 平面 ．
17．（本小题满分14分）
为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1600万元购得一块土地，在该土地上建
造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1000平方米，每平方米的建筑
证法二：由题设得A1(－r，0)，A2(r，0).设M(a，t)，
直线MA1的方程是：y= (x+r)，与圆C的交点P设为P(x1，y1)．
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江苏省泰州中学2012-2013学年度第一学期学情诊断数 学 试 卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 命题“012,2>++∈∀x x R x ”的否定是 ．2．“x >1”是“x 2>x ”成立的_______条件．（可选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”）3．集合M ＝{x |y ＝x －1}，N ＝{y |y ＝x －1}，则M ∩N ＝_______． 4．已知角α的终边经过点(),6P x -，且3tan 5α=-，则x 的值为 ． 5．在ABC ∆中，若2cos sin =-A A ，则A tan =_______．6．已知1sin cos 2αα=+，则⎪⎭⎫⎝⎛+4sin 2cos παα的值为 ． 7．函数x x y 2cos 2sin 3+-=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,6ππx 的值域为 . 8．函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，(1)'()0x f x -<，设1(0),(),(3)2a fb fc f ===，则,,a b c 从小到大排列的顺序为 . 9．定义在R 上的函数()x f 满足()()()()⎩⎨⎧>---≤-=0,210,8l o g 2x x f x f x x x f ，则()3f 的值为 ．10．已知直线x ＝a (0＜a ＜π2)与函数f (x )＝sin x 和函数g (x )＝cos x 的图象分别交于M ，N 两点，若MN ＝15，则线段MN 的中点纵坐标为 ．11．已知函数f (x )＝|x 2－6|，若a ＜b ＜0，且f (a )＝f (b )，则a 2b 的最小值是 . 12．已知函数f (x )＝(ax 2＋x )－x ln x 在[1,＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．13．已知函数()3111,0,,36221,,1.12x x f x x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪+⎝⎦⎩函数()sin 226g x a x a π=-+，其中0a >．若存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是 ． 14．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()(4)f x f x =+，且当[2,0]x ∈-时，1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有三个不同的实数根，则a 的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分14分）已知集合A ＝{x |(x －2)(x －3a －1)＜0}，函数y ＝lg 2a －xx －(a 2＋1)的定义域为集合B .（Ⅰ）若A ＝B ，求实数a 值；（Ⅱ）是否存在实数a 的值使φ=⋂B A ，若存在则求出实数a 的值，若不存在说明理由.16.（本小题满分14分）已知函数()316f x x x =+-. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(2,6)-处的切线的方程；（Ⅱ）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程； （Ⅲ）如果曲线()y f x =的某一切与直线134y x =-+垂直，求切点坐标.17.（本小题满分14分）已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos ).444x x x m n == （Ⅰ）若1m n ⋅=,求2cos()3x π-的值； （Ⅱ）记()f x m n =⋅，在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)c o s c o s a c B b C -=，求函数()f A 的取值范围．18.（本小题满分16分）因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中．为了治污，根据环保部门的建议，现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a （1≤a ≤4，且a ∈R ）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的函数关系式近似为y ＝a ·f （x ），其中f （x ）＝⎩⎨⎧168－x－1(0≤x ≤4)，5－12x (4＜x ≤10).若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用． （Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次只能投放2个单位的药剂，6天后可再投放a 个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a 的最小值．19.（本小题满分16分）设t ＞0，已知函数f (x )＝x 2(x －t )的图象与x 轴交于A 、B 两点． （Ⅰ）求函数f (x )的单调区间；（Ⅱ）设函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，当x 0∈(0，1]时，k ≥－12恒成立，求t 的最大值；（Ⅲ）有一条平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点C ，D ，若四边形ABCD 为菱形，求t 的值．20.（本小题满分16分）已知函数x a x g b x x x f ln )(,)(23=++-=． （Ⅰ）若)(x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈1,21x 上的最大值为83，求实数b 的值；（Ⅱ）若对任意[]e x ,1∈，都有x a x x g )2()(2++-≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设()()⎩⎨⎧≥<=1,1,)(x x g x x f x F ，对任意给定的正实数a ，曲线)(x F y =上是否存在两点Q P ,，使得POQ ∆是以（O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．江苏省泰州中学2012-2013学年度第一学期学情诊断 数 学 试 卷 答 案 2012.10.8一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 命题“012,2>++∈∀x x R x ”的否定是 ． 【答案】012,2≤++∈∃x x R x2．“x >1”是“x 2>x ”成立的_______条件．（可选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”） 【答案】充分不必要3．集合M ＝{x |y ＝x －1}，N ＝{y |y ＝x －1}，则M ∩N ＝_______． 【答案】[)+∞,14．已知角α的终边经过点(),6P x -，且3tan 5α=-，则x 的值为 ． 【答案】105．在ABC ∆中，若2cos sin =-A A ，则A tan =_______．【答案】1- 6．已知1sin cos 2αα=+，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+4sin 2cos παα的值为 ． 【答案】22-7．函数x x y 2cos 2sin 3+-=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,6ππx 的值域为 . 【答案】[]1,2--8．函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，(1)'()0x f x -<，设1(0),(),(3)2a fb fc f ===，则,,a b c 从小到大排列的顺序为 . 【答案】c a b <<.9．定义在R 上的函数()x f 满足()()()()⎩⎨⎧>---≤-=0,210,8l o g 2x x f x f x x x f ，则()3f 的值为 ．【答案】3-10．已知直线x ＝a (0＜a ＜π2)与函数f (x )＝sin x 和函数g (x )＝cos x 的图象分别交于M ，N 两点，若MN ＝15，则线段MN 的中点纵坐标为 ．【答案】71011．已知函数f (x )＝|x 2－6|，若a ＜b ＜0，且f (a )＝f (b )，则a 2b 的最小值是 . 【答案】－1612．已知函数f (x )＝(ax 2＋x )－x ln x 在[1,＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】[12e,＋∞)13．已知函数()3111,0,,36221,,1.12x x f x x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪+⎝⎦⎩函数()sin 226g x a x a π=-+，其中0a >．若存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()(4)f x f x =+，且当[2,0]x ∈-时，1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有三个不同的实数根，则a 的取值范围为 ．【答案】二、解答题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分14分）已知集合A ＝{x |(x －2)(x －3a －1)＜0}，函数y ＝lg 2a －xx －(a 2＋1)的定义域为集合B .（Ⅰ）若A ＝B ，求实数a 值；（Ⅱ）是否存在实数a 的值使φ=⋂B A ，若存在则求出实数a 的值，若不存在说明理由. 解：（Ⅰ）由于函数的定义域是非空数集，故1≠a .（1）当131≠>a a 且时，()13,2+=a A ，()1,22+=a a B ，由B A =可得：⎩⎨⎧+=+=113222a a a ，方程组无解；2分 （2）当31=a 时，φ=A ，B A =不可能； 4分 （3）当31<a 时，()2,13+=a A ，()1,22+=a a B ，由B A =可得：⎩⎨⎧+==+122132a a a ，1-=a . 6分（Ⅱ）（1）当131≠>a a 且时，()13,2+=a A ，()1,22+=a a B ，由φ=⋂B A 可得：212132≤+≤+a a a 或，又131≠>a a 且，则a 的值不存在； 8分 （2）当31=a 时，φ=A ，则φ=⋂B A ，适合题意； 10分（3）当31<a 时，()2,13+=a A ，()1,22+=a a B ，由φ=⋂B A 可得：131222+≤+≤a a a 或，又31<a ，则310<≤a . 12分∴当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈31,0a 时，φ=⋂B A . 14分16.（本小题满分14分）已知函数()316f x x x =+-.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(2,6)-处的切线的方程；（Ⅱ）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程； （Ⅲ）如果曲线()y f x =的某一切与直线134y x =-+垂直，求切点坐标. 解：（Ⅰ）13320x y --= 4分（Ⅱ）013=-y x 9分（Ⅲ）()()18,1,14,1--- 14分17.（本小题满分14分）已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos ).444x x x m n == （Ⅰ）若1m n ⋅=,求2cos()3x π-的值； （Ⅱ）记()f x m n =⋅，在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)c o s c o s a c B b C -=，求函数()f A 的取值范围．解：（Ⅰ）m n ⋅=2cos cos 444x x x +11cos 2222x x ++＝1sin()262x π++ 2分∵1m n ⋅=，∴1sin()262x π+= ，2cos()12sin ()326x x ππ+=-+＝12，∴21cos()cos()332x x ππ-=-+=-. 6分（Ⅱ）∵(2)cos cos a c B b C -=， 由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=， ∴2sin sin cos sin cos AcosB C B B C -=，∴2sin cos sin()A B B C =+， ∵A B C π++=∴sin()sin B C A +=，且sin 0A ≠，∴1cos ,23B B π==，10分 ∴203A π<<∴1,sin()16262226A A ππππ<+<<+< 又∵()f x m n =⋅=1sin()262xπ++，∴()f A =1sin()262A π++ ， 故函数()f A 的取值范围是（1,32）. 14分18.（本小题满分16分）因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中．为了治污，根据环保部门的建议，现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a （1≤a ≤4，且a ∈R ）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的函数关系式近似为y ＝a ·f （x ），其中f （x ）＝⎩⎨⎧168－x－1(0≤x ≤4)，5－12x (4＜x ≤10).若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次只能投放2个单位的药剂，6天后可再投放a 个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a 的最小值．解：（Ⅰ）因为a ＝4，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧648－x －4(0≤x ≤4)，20－2x (4＜x ≤10). 2分则当0≤x ≤4时，由648－x －4≥4，解得x ≥0，所以此时0≤x ≤4. 4分当4＜x ≤10时，由20－2x ≥4，解得x ≤8，所以此时4＜x ≤8. 6分综合，得0≤x ≤8，若一次投放4个单位的制剂，则有效治污时间可达8天． 8分（Ⅱ）当6≤x ≤10时，y ＝2×(5－12x )＋a ⎣⎡⎦⎤168－(x －6)－1 10分＝10－x ＋16a 14－x －a ＝(14－x )＋16a14－x－a －4，因为14－x ∈[4,8]，而1≤a ≤4，所以4a ∈[4,8]，故当且仅当14－x ＝4a 时，y 有最小值为8a －a －4. 14分令8a －a －4≥4，解得24－162≤a ≤4，所以a 的最小值为24－16 2. . 16分19.（本小题满分16分）设t ＞0，已知函数f (x )＝x 2(x －t )的图象与x 轴交于A 、B 两点． （Ⅰ）求函数f (x )的单调区间；（Ⅱ）设函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，当x 0∈(0，1]时，k ≥－12恒成立，求t 的最大值；（Ⅲ）有一条平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点C ，D ，若四边形ABCD 为菱形，求t 的值．解：（Ⅰ）f ′(x )＝3x 2－2tx ＝x (3x －2t )＞0，因为t ＞0，所以当x ＞2t 3或x ＜0时，f ′(x )＞0，所以(－∞，0)和(2t3，＋∞)为函数f (x )的单调增区间；当0＜x ＜2t 3时，f ′(x )＜0，所以(0，2t3)为函数f (x )的单调减区间． 4分（Ⅱ）因为k ＝3x 02－2tx 0≥－12恒成立，所以2t ≤3x 0＋12x 0恒成立， 6分因为x 0∈（0，1]，所以3x 0＋12x 0≥23x 0×12x 0＝6，即3x 0＋12x 0≥6，当且仅当x 0＝66时取等号．所以2t ≤6，即t 的最大值为62． 8分（Ⅲ）由（Ⅰ）可得，函数f (x )在x ＝0处取得极大值0，在x ＝2t 3处取得极小值－4t 327．因为平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点， 所以直线l 的方程为y ＝－4t 327． 10分令f (x )＝－4t 327，所以x 2(x －t )＝－4t 327，解得x ＝2t 3或x ＝－t 3．所以C （2t 3，－4t 327），D （－t 3，－4t 327）． 12分因为A （0，0），B （t ，0）．易知四边形ABCD 为平行四边形．AD ＝(－t 3)2＋(－4t 327)2，且AD ＝AB ＝t ，所以(－t 3)2＋(－4t 327)2＝t ，解得：t ＝3482． 16分20.（本小题满分16分）已知函数x a x g b x x x f ln )(,)(23=++-=． （Ⅰ）若)(x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈1,21x 上的最大值为83，求实数b 的值；（Ⅱ）若对任意[]e x ,1∈，都有x a x x g )2()(2++-≥恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设()()⎩⎨⎧≥<=1,1,)(x x g x x f x F ，对任意给定的正实数a ，曲线)(x F y =上是否存在两点Q P ,，使得POQ ∆是以（O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．解：（Ⅰ）由()32f x x x b =-++，得()()23232f x x x x x '=-+=--， 令()0f x '=，得0x =或23． 2分由13()28f b -=+，24()327f b =+，∴12()()23f f ->，即最大值为133()288f b -=+=，∴0b =． 4分（Ⅱ）由()()22g x x a x ≥-++，得()2ln 2x x a x x -≤-．[]1,,ln 1x e x x ∈∴≤≤，且等号不能同时取，∴ln ,ln 0x x x x <->即，∴22ln x x a x x -≤-恒成立，即2min 2()ln x x a x x -≤-． 6分令()[]()22,1,ln x xt x x e x x -=-，求导得，()()()()212ln ln x x x t x x x -+-'=-， 当[]1,x e ∈时，10,ln 1,2ln 0x x x x -≥≤+->，从而()0t x '≥，∴()t x 在[]1,e 上为增函数，∴()()min 11t x t ==-，∴1a ≤-． 8分（Ⅲ）由条件，()32,1ln ,1x x x F x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩，假设曲线()y F x =上存在两点,P Q 满足题意，则,P Q 只能在y 轴两侧，不妨设()()(),0P t F t t >，则()32,Q t t t -+，且1t ≠．POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，∴0OP OQ ⋅=，∴()()2320t f t t t -++=()*，是否存在,P Q 等价于方程()*在0t >且1t ≠时是否有解．10分①若01t <<时，方程()*为()()232320t t t t t -+-++=，化简得4210t t -+=，此方程无解； 12分②若1t >时，()*方程为()232ln 0t a t t t -+⋅+=，即()11ln t t a=+， 设()()()1ln 1h t t t t =+>，则()1ln 1h t t t'=++，显然，当1t >时，()0h t '>，即()h t 在()1,+∞上为增函数，∴()h t 的值域为()()1,h +∞，即()0,+∞，∴当0a >时，方程()*总有解．∴对任意给定的正实数a ，曲线()y F x = 上总存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上． 16分。