4.1.1圆的标准方程
中职数学 圆的标准方程
程，并判断点 M1(5,7) ， M 2 ( 5,1)是否在这个圆上。
解：圆心是 A(2,3) ，半径长等于5的圆的标准方程 是：
(x 2)2 ( y 3)2 25
把M1(5,7) 的坐标代入方程(x 2)2 (y 3)2 25 左右两边相等，点M 1 的坐标适合圆的方程，所以点
M 1 在这个圆上；
把点M 2 ( 5,1) 的坐标代入此方程，左右两边 不相等，M点2 的坐标不适合圆的方程，所以点M 2 不 在这个圆上．
点与圆的位置关系
怎样判断点 M0 (x0, y0 ) 在圆 (x a)2 ( y b)2 r2
内呢？圆上？还是在圆外呢？ M0
M0 O
O M0
O
点在圆内
点在圆上
点在圆外
| OM 0 | <r
| OM 0 | =r
(x0-a)2+(y0-b)2<r2; (x0-a)2+(y0-b)2=r2
| OM 0 | >r
(x0-a)2+(y0-b)2>r2
点与圆的位置关系
练习3.请判断点A(m, 4)与圆x2 + y2 =16的位置关 系是（ D ）
A、圆内
B、圆上
C、圆外
D、圆上或圆外
待定系数法
y P(3,4)
x O
小结
1.圆的标准方程
(x a)2 (y b)2 r2 （圆心C(a,b),半径r）
2.点与圆的位置关系
3.求圆的标准方程的方法：
4.1.1 圆的标准何定义圆的？
平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆.
4.1.1 圆的标准方程
5.如图，已知隧道的截面是半径为4米的半圆，车 辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7米， 高为3米的货车能不能驶入这个隧道？
解：以某一截面半圆的圆心为 坐标原点，半圆的直径AB所在 的直线为x轴，建立直角坐标系
y
（如右图）.
2 2
A
0
2.7
B
x
那么半圆的方程为 x y 16( y 0), 将x=2.7代入,得 y 16 2.7 8.71 ＜3.
【解】设圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0),
1- a 2 + -1- b 2 = r2 , 2 2 2 -1a + 1b = r , a + b - 2 = 0,
根据题意得
解得a=b=1,r=2, 故所求圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
第四章 圆与方程
4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
生活掠影
一石激起千层浪
乐在其中
生活掠影
奥运五环
福建土楼
生活中，我们经常接触一些圆形，下面我们就 一起来认识一下圆吧！
1.掌握圆的标准方程.（重点）
2.会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，
能根据条件写出圆的标准方程．
3.会用待定系数法求圆的标准方程.（难点）
2
即在离中心线2.7米处，隧道的高度低于货车的
高度.因此，货车不能驶入这个隧道.
圆 的
推导步骤 特点
求法
建系设点→写条件→列方程→化简→说明
标
准 方 程
圆心(a,b)、半径r 待定系数法和直接法
不想当元帅的士兵不是好士兵。
A.(x-1)2+(y-1)2=1
§4.1.1 圆的标准方程
作业： P124习题4.1 A组 2、3、4、5
2 2
两边平方得： (x-a)2+(y-b)2=r2
圆的标准方程：
(x-a)2+(y-b)2=r2
若点 M ( x, y) 在圆上，由上述讨论可知， 点M的坐标适合方程；反之，若点 M ( x, y) 的 坐标适合方程，这就说明点M与圆心A的距离 为r,即点M在圆心为A的圆上。
圆心是A(a,b), 半径是r
解：设所求圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 根据题意，可得 △ ABC 外接圆 (5 a ) 2 (1 b) 2 r 2 的圆心是三边 2 2 2 垂直平分线的 (7 a ) (3 b) r (2 a ) 2 (8 b) 2 r 2 交点
(2) (x+3)2+(y-4)2=5
8
练习
3.已知圆经过P(5,1),圆心在C(8,3),求圆方程. y
C(8,3)
P(5,1)5) (3 1) 13
2 2 (x-8) +(y-3) =13
例2.△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)， B(7,-3)，C(2,-8)，求它的外接圆的方程.
§4.1.1 圆的标准方程
课件制作 广安二中
何 琥
我们知道，在平面直角坐标系中，两 点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定 一条直线。 思考 在平面直角坐标系中，如何确定一个 圆呢？ 问题1：你知道圆的定义吗？ 平面内与定点距离等于定长的点的集合 (轨迹)是圆. 定点就是圆心, 定长就是半径。 显然，当圆心位置与半径大小确定后, 圆就唯一确定了。
解此方程组，得 a=2 , b=-3 , r2=25 所以， △ABC的外接圆的方程是 (x-2)2+(y+3)2=25
必修二4.1.1圆的标准方程
复习与作业： 复习与作业：
1.复习初中有关点与圆的位置关系 直线与圆的位置 复习初中有关点与圆的位置关系,直线与圆的位置 复习初中有关点与圆的位置关系 关系,圆与圆的位置关系有关内容 圆与圆的位置关系有关内容. 关系 圆与圆的位置关系有关内容 2.课本习题 课本习题4.1 A组第 、3题. 组第2、 题 课本习题 组第
得： 整理得： 整理得：
( x − 0) + ( y − 0) = r
2 2
2
x +y =r
2 2
2
典型例题
半径长等于5的圆的 例1 写出圆心为 A(2,−3) ，半径长等于 的圆的 方程， 方程，并判断点 M 1 (5,−7) ， M 2 ( − 5 ,−1) 是否在这 个圆上． 个圆上． 解：圆心是 A(2,−3) ，半径长等于5的圆的标准 半径长等于 的圆的标准 方程是： 方程是： 2 2
特殊位置的圆方程
圆心在坐标原点，半径长为 的圆的方程是什么？ 圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？ 因为圆心是原点O(0, 0)，将x＝0，y＝0和半径 r 因为圆心是原点 ， ＝ ， ＝ 和半径 带入圆的标准方程： 带入圆的标准方程：
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2
圆的方程
圆上任意点M(x, y)与圆心 (a,b)之间的距离能 与圆心A 圆上任意点 与圆心 之间的距离能 用什么公式表示？ 用什么公式表示？ 根据两点间距离公式： 根据两点间距离公式： 则点M、 间的距离为 MA = 间的距离为： 则点 、A间的距离为： 即：
(x − a )2 + ( y − b )2 .
p ={M | M |= r} A
( x − a ) + ( y − b) = r
4.1.1 圆的标准方程
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典例透析
题型一 题型二 题型三
(2)(方法一)由题意,得线段 AB 的垂直平分线的方程为
3x+2y-15=0.
由
3������ + 2������-15 = 0, 解得 3������ + 10������ + 9 = 0,
������ = 7, ������ = -3.
所以圆心 C 的坐标为(7,-3).
求圆的标准方程时,一般先从确定圆的两个要素入手,即先求出圆 心的坐标和半径,再写出圆的标准方程.
②确定圆心和半径时,常用到中点坐标公式、两点间的距离公式,
有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中 垂线的交点为圆心”等.
(2)待定系数法,步骤是:
①设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0); ②由条件列方程(组)解得a,b,r的值; ③写出圆的标准方程.
������
������
<
-
5 2
.
-12-
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题型一 题型二 题型三
题型二 求圆的标准方程
【例2】 求下列圆的标准方程: (1)圆心是(4,-1),且过点(5,2); (2)经过A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心C在直线l:3x+10y+9=0上. 解:(1)(方法一)由题意知圆的
-11-
4.1.1 圆的标准方程
题型一 题型二 题型三
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典例透析
【变式训练1】 已知点A(1,2)在圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2的内部,求
4.1.1 圆的标准方程2
方法二:待定系数法 设圆的方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2.
1 a 2 2 b 2 r 2 , a 3, 2 2 2 则 ⇒ b 2, 1 a 4 b r , r 2 20. 2a b 4 0.
【规律总结】利用数形结合巧解最值问题
(1)形如u=
yb 型的,可转化为直线的斜率的最值问题求解. xa
(2)形如t=ax+by型的,可转化为动直线截距的最值问题求解.
(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2型的,可转化为两点间的距离的平方
求解.
提醒:若A(x0,y0)是圆C外一定点,则该点与圆上的点的最大距 离dmax=|AC|+r,最小距离dmin=|AC|-r.
【解题指南】1.考虑利用两点间的距离公式的几何意义探求 (x-5)2+(y+4)2的最大值. 2.方程x2+(y-1)2=1表示的曲线是以(0,1)为圆心,以1为半径的 圆.(1) y 1 的几何意义是圆上一点P(x,y)与点(2,1)连线的斜
x2
率.(2)x2+y2的几何意义是圆上一点到原点距离的平方.
【解析】1.选D.(x-5)2+(y+4)2的几何意义是点P(x,y)到点 Q(5,-4)的距离的平方,由于点P在圆(x-2)2+y2=1上,C(2,0),所 以这个最大值是(|QC|+1)2=36.
2.(1)设 y 1 =k，则k表示点P(x,y)与点(2，1)连线的斜率.
x2
当直线y-1=k(x-2)与圆相切时，k取得最大值与最小值.如图 所示，
【探究总结】对圆的标准方程的两点说明 (1)圆的标准方程是由两点间的距离公式推导出来的,它是圆的 定义的直观反映,是代数与几何结合的完美体现. (2)由圆的标准方程可直接写出圆的圆心和半径,反之,已知圆 的圆心和半径可以写出圆的标准方程,这一点体现了圆的标准 方程的优越性.
最新人教版高中数学必修二第四章圆与方程第一节第1课时圆的标准方程
第四章 圆 与 方 程 4.1 圆 的 方 程 4.1.1 圆的标准方程圆的标准方程圆心为C(x 0，y 0)，半径为r 的圆的标准方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，特别地，圆心在原点时，圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2．(1)如果圆的标准方程为(x ＋x 0)2＋(y ＋y 0)2＝a 2(a ≠0)，那么圆的圆心、半径分别是什么？ 提示：圆心为(－x 0，－y 0)，半径为|a|.(2)如果点P(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2上，那么x 20 ＋y 20 ＝r 2，若点P 在圆内呢？圆外呢？提示：若点P 在圆内，则x 20 ＋y 20 ＜r 2；若点P 在圆外，则x 20 ＋y 20 ＞r 2.1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”) (1)圆的标准方程由圆心、半径确定．( √ ) (2)方程(x －a)2＋(y －b)2＝m 2一定表示圆．( × )(3)原点在圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2上，则x 20 ＋y 20 ＝r 2.( √ ) 提示：(1)如果圆的圆心位置、半径确定，圆的标准方程是确定的． (2)当m ＝0时，表示点(a ，b).(3)原点在圆上，则(0－x 0)2＋(0－y 0)2＝r 2，即x 20 ＋y 20 ＝r 2. 2．圆(x －1)2＋y 2＝3的圆心坐标和半径分别是( ) A ．(－1，0)，3B ．(1，0)，3C ．()－1，0， 3D ．()1，0 ， 3【解析】选D.根据圆的标准方程可得，(x －1)2＋y 2＝3的圆心坐标为(1，0)，半径为 3 . 3．到原点的距离等于 3 的点的坐标所满足的方程是________．【解析】设点的坐标为(x ，y)，根据到原点的距离等于 3 以及两点间的距离公式，得（x －0）2＋（y －0）2＝ 3 ，两边平方得x 2＋y 2＝3，是半径为 3 的圆． 答案：x 2＋y 2＝3类型一 圆的标准方程的定义及求法(数学抽象、数学运算)1．以点(2，－1)为圆心，以 2 为半径的圆的标准方程是( ) A ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝ 2 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝ 2【解析】选C.由题意，圆的标准方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝2. 2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1，3)的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．x 2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y ＋3)2＝1【解析】选C.由题意，设圆的标准方程为x 2＋(y －b)2＝1，由于圆过点(1，3)，可得1＋(3－b)2＝1，解得b ＝3，所以所求圆的方程为x 2＋(y －3)2＝1.3．已知圆C ：(x －6)2＋(y －8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( ) A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100 B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100 C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25【解析】选C.圆C 的圆心坐标C(6，8)，则OC 的中点坐标为E(3，4)，半径|OE|＝32＋42＝5，则以OC 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.4．圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程为________． 【解析】方法一(几何性质法)：设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上，所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a). 因为该圆经过A ，B 两点，所以|CA|＝|CB|，所以（2a ＋3－2）2＋（a ＋3）2 ＝（2a ＋3＋2）2＋（a ＋5）2 ， 解得a ＝－2，所以圆心为C(－1，－2)，半径长r ＝10 . 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.方法二(待定系数法)：设所求圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，由题设条件知，⎩⎨⎧a －2b －3＝0，（2－a ）2＋（－3－b ）2＝r 2，（－2－a ）2＋（－5－b ）2＝r 2，解得a ＝－1，b ＝－2，r ＝10 (负值舍去)， 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.方法三(几何性质法)：线段AB 的中点的坐标为(0，－4)， 直线AB 的斜率k AB ＝－3＋52＋2 ＝12， 所以弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝－2，所以弦AB 的垂直平分线的方程为y ＋4＝－2x ，即2x ＋y ＋4＝0. 又圆心是直线2x ＋y ＋4＝0与直线x －2y －3＝0的交点， 所以圆心坐标为(－1，－2)，所以圆的半径长r ＝（2＋1）2＋（－3＋2）2 ＝10 ， 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 答案：(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝101．直接法求圆的方程圆的方程由圆心、半径决定，因此求出圆心和半径即可写出圆的标准方程． 2．待定系数法求圆的方程(圆心(a ，b)、半径为r)特殊位置 标准方程 圆心在x 轴上 (x －a)2＋y 2＝r 2 圆心在y 轴上 x 2＋(y －b)2＝r 2 与x 轴相切 (x －a)2＋(y －b)2＝b 2 与y 轴相切(x －a)2＋(y －b)2＝a 23.利用圆的性质求方程求圆的方程时，可以利用圆的性质求圆心、半径，如弦的垂直平分线过圆心，过切点垂直于切线的直线过圆心等．类型二点与圆的位置关系的判断(数学抽象、数学运算)1．点P(m，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )A．在圆外 B．在圆内C．在圆上 D．不确定【解析】选A.把P(m，5)代入x2＋y2＝24，得m2＋25>24，所以点P在圆外．2．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3，2)满足( )A．是圆心B．在圆上C．在圆内D．在圆外【解析】选C.因为(3－2)2＋(2－3)2＝2＜4，所以点P(3，2)在圆内．3．点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是________．【解析】因为点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋12＝m，所以m＝10.则圆的方程为(x＋2)2＋y2＝10.答案：(x＋2)2＋y2＝10.4．已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．【解析】由题意知，点A在圆C上或圆C的外部，所以(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，所以2a＋5≥0，所以a≥－52.因为a≠0，所以a的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，0∪(0，＋∞).【思路导引】1.将点P的坐标代入圆的方程，看方程的等于号变成了什么符号，然后进行判断．2．验证点P与圆心的距离与半径之间的关系．3．将点的坐标代入圆的方程，解方程即可得出m的值，进而得方程．4．不在圆的内部，即在圆上或圆外．点与圆位置关系的判断与应用(1)位置关系的判断：①几何法：判断点到圆心的距离与半径的大小；②代数法：将点的坐标代入圆的方程左边，判断与r 2的大小． (2)位置关系的应用：代入点的坐标，利用不等式求参数的范围．【补偿训练】1.若点(3，a)在圆x 2＋y 2＝16的内部，则a 2的取值范围是( ) A ．[0，7) B ．(－∞，7) C ．{7}D ．(7，＋∞)【解析】选A.由点在圆的内部，得9＋a 2<16得a 2<7，又a 2≥0，所以0≤a 2<7. 2．若点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( ) A ．(－1，1) B ．(0，1) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，15 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，1【解析】选D.因为点(2a ，a －1)在圆的内部，所以d ＝（2a ）2＋（a －2）2 ＝4a 2＋a 2－4a ＋4 ＝5a 2－4a ＋4 ＜ 5 ， 解得－15 ＜a ＜1，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，1 .3．若点A(a ＋1，3)在圆C ：(x －a)2＋(y －1)2＝m 外，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，5) C ．(0，5)D ．[0，5]【解析】选C.由题意，得(a ＋1－a)2＋(3－1)2>m ，即m<5， 又由圆的方程知m>0，所以0<m<5.类型三 与圆有关的最值问题(数学抽象、数学运算)角度1 与几何意义有关的最值问题【典例】已知x 和y 满足(x ＋1)2＋y 2＝14，试求x 2＋y 2的最值．【思路导引】首先由条件观察x 、y 满足的条件，然后分析x 2＋y 2的几何意义，求出其最值． 【解析】由题意知，x 2＋y 2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取得最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．原点O(0，0)到圆心C(－1，0)的距离d ＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12 ＝32 ，最小距离为1－12 ＝12.因此x2＋y2的最大值和最小值分别为94，14.1．本例条件不变，试求yx的取值范围．【解析】设k＝yx，变形为k＝y－0x－0，此式表示圆上一点(x, y)与点(0, 0)连线的斜率，由k＝yx，可得y＝kx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d≤r，即|－k|k2＋1≤12，解得－33≤k≤33.即yx的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33.2．本例条件不变，试求x＋y的最值．【解析】令y＋x＝b并将其变形为y＝－x＋b，问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值．当直线和圆相切时，在y轴上的截距取得最大值和最小值，此时有|－1－b|2＝12，解得b＝±22－1，即最大值为22－1，最小值为－22－1.角度2 距离的最值问题【典例】1.设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )A．6 B．4 C．3 D．2【解析】选B.|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径长．因为圆的圆心为(3，－1)，半径长为2，所以|PQ|的最小值为3－(－3)－2＝4.2．已知圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点M(2，3)到圆上的点的距离的最大值为________．【解析】由题意知，点M在圆O内，O为圆心，MO的延长线与圆O的交点到点M(2，3)的距离最大，最大距离为（2－3）2＋（3－4）2＋5＝5＋ 2 .答案：5＋ 2【思路导引】1.转化为圆心到直线x＝－3的距离减去半径；2．转化为M到圆心的距离加半径．1．与圆有关的最值问题的常见类型及解法(1)形如u＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为过点(x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题．(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－abx＋lb在y轴上的截距的最值问题．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x, y)到定点(a, b)的距离的平方的最值问题．2．求圆外一点到圆的最大距离和最小距离的方法采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可得距离的最大值或最小值．1．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是( )A．2 B．1＋ 2 C．2＋22D．1＋2【解析】选B.圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1，1)，圆心到直线x－y＝2的距离为 2 ，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋ 2 .2．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为( )A．2 B．1 C．0 D．－1【解析】选B.x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0，0)间距离的平方，由几何意义可知最小值为(14－13)2＝1.3．如果实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，求yx的最大值和最小值．【解析】方法一：如图，当过原点的直线l与圆(x－2)2＋y2＝3相切于上方时yx最大，过圆心A(2，0)作切线l的垂线交于B，在Rt△ABO中，OA＝2，AB＝ 3 .所以切线l的倾斜角为60°，所以yx的最大值为 3 .同理可得yx的最小值为－ 3 .方法二：令yx＝n，则y＝nx与(x－2)2＋y2＝3联立，消去y得(1＋n2)x2－4x＋1＝0，Δ＝(－4)2－4(1＋n2)≥0，即n2≤3，所以－ 3 ≤n≤ 3 ，即yx的最大值和最小值分别为 3 ，－ 3 .【补偿训练】1.已知圆C的圆心为C(x0，x)，且过定点P(4，2).(1)求圆C的标准方程．(2)当x为何值时，圆C的面积最小？求出此时圆C的标准方程．【解析】(1)设圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x)2＝r2(r≠0).因为圆C过定点P(4，2)，所以(4－x0)2＋(2－x)2＝r2(r≠0).所以r2＝2x2－12x＋20.所以圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x)2＝2x2－12x＋20.(2)因为(x－x0)2＋(y－x)2＝2x2－12x＋20＝2(x－3)2＋2，所以当x＝3时圆C的半径最小，则圆C的面积最小．此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.2．已知实数x，y满足方程x2＋(y－1)2＝14，求（x－2）2＋（y－3）2的取值范围．【解析】（x－2）2＋（y－3）2可以看成圆上的点P(x，y)到A(2，3)的距离．圆心C(0，1)到A(2，3)的距离为d＝（0－2）2＋（1－3）2＝2 2 ，由图可知，圆上的点P(x ，y)到A(2，3)的距离的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－12，22＋12 .即（x －2）2＋（y －3）2 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－12，22＋12 .。
第4章 4.1 4.1.1 圆的标准方程
4.1.1圆的标准方程1．圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．(2)确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示．(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2．当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以圆点O为圆心、半径为r的圆．思考：平面内确定圆的要素是什么？2. 点与圆的位置关系圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则位置关系判断方法几何法代数法点在圆上│MA│＝r⇔点M在圆A上点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点在圆内│MA│<r⇔点M在圆A内点M(x0，y0)在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2点在圆外│MA│>r⇔点M在圆A外点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r21．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是()A．(－2，3)，1 B．(2，－3)，3 C．(－2，3)， 2 D．(2，－3)， 22．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是()A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4 C．(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝ 23．点P(m，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定4．点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是________．求圆的标准方程【例1】求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程．确定圆的方程的方法：确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二、法三．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．1．求下列圆的标准方程：(1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)；(2)圆心在y 轴上，半径为5，且过点(3，－4)；(3)过点P (2，－1)和直线x －y ＝1相切，并且圆心在直线y ＝－2x 上．命题角度1 直接法求圆的标准方程例1 (1)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________．(2)与y 轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________．反思与感悟 (1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．(2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．跟踪训练1 以两点A (－3，－1)和B (5,5)为直径端点的圆的方程是( )A ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10B ．(x －1)2＋(y －2)2＝100C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25D ．(x －1)2＋(y －2)2＝25命题角度2 待定系数法求圆的标准方程例2 求经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的方程．反思与感悟 待定系数法求圆的标准方程的一般步骤跟踪训练2 已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程．点与圆的位置关系【例2】 已知圆心为点C (－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P 1(－1，0)，P 2(1，－1)，P 3(3，－4)和圆的位置关系．例3 (1)点P (m 2，5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )A ．点P 在圆内B ．点P 在圆外C ．点P 在圆上D ．不确定(2)已知点M (5a ＋1，a )在圆(x －1)2＋y 2＝26的内部，则a 的取值范围是_________．1．判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．2．灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．2．已知点A (1，2)不在圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2的内部，求实数a 的取值范围．跟踪训练3 已知点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的外部，则a 的取值范围是________．与圆有关的最值问题[探究问题]1．怎样求圆外一点到圆的最大距离和最小距离？2．若点P (x , y )是圆C ：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1上的任一点，如何求点P 到直线x －y ＝0的距离的最大值和最小值？【例3】 已知x 和y 满足(x ＋1)2＋y 2＝14，试求x 2＋y 2的最值．1．本例条件不变，试求y x的取值范围．2．本例条件不变，试求x ＋y 的最值．与圆有关的最值问题的常见类型及解法： (1)形如u ＝y －b x －a形式的最值问题，可转化为过点(x , y )和(a , b )的动直线斜率的最值问题． (2)形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－a b x ＋l b截距的最值问题． (3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x , y )到定点(a , b )的距离的平方的最值问题．例4 已知实数x ，y 满足方程(x －2)2＋y 2＝3，求y x的最大值和最小值．引申探究1．若本例条件不变，求y －x 的最大值和最小值．2．若本例条件不变，求x 2＋y 2的最大值和最小值．反思与感悟 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型(1)形如u ＝y －b x －a形式的最值问题，可转化为过点(x ，y )和(a ，b )的动直线斜率的最值问题． (2)形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－a b x ＋l b截距的最值问题． (3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x ，y )到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．跟踪训练4 已知x 和y 满足(x ＋1)2＋y 2＝14，试求： (1)x 2＋y 2的最值；(2)x ＋y 的最值．1．判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：点P (x 0，y 0)在圆C 上⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2；点P (x 0，y 0)在圆C 内⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2；点P (x 0，y 0)在圆C 外⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2.2．求圆的标准方程时常用的几何性质求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：(1)弦的垂直平分线必过圆心．(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．(3)圆心与切点的连线长是半径长．(4)圆心与切点的连线必与切线垂直．3．求圆的标准方程常用方法(1)待定系数法．(2)直接法．一、选择题1．圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心与半径分别为( )A ．(－1,2)，2B ．(1，－2)，2C ．(－1,2)，4D ．(1，－2)，42．已知一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则圆的标准方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13B ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝523．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝44．点(5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的内部，则实数a 的取值范围是( )A ．|a |＜1B ．a ＜13C ．|a |＜15D ．|a |＜1135．若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆C 的标准方程为( )A ．(x －5)2＋y 2＝5B ．(x ＋5)2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝56．若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的标准方程为( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y －1)2＝18．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2二、填空题9．若圆C 与圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的标准方程为________．10．圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，则点(2,3)到圆上的最大距离为________．11．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是________________________．12．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值是______． 三、解答题13．求过点A (1,2)和B (1,10)且与直线x －2y －1＝0相切的圆的标准方程．四、探究与拓展14．设P(x，y)是圆C：(x－2)2＋y2＝1上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为() A．6 B．25 C．26 D．3615．已知x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，求(x＋1)2＋(y＋1)2的最大值与最小值．。
4.1.1圆的标准方程
2 2 2
( x a) ( y b) m
2 2
2.下列方程表示的曲线分别是什么？ 2 2 y 4 ( x 1)
y 4 ( x 1)
2
21
方程 ( x a)2 ( y b)2 r 2 , 叫做以点 (a , b) 为圆心， r为半径 的圆的标准方程。 作用：
O
y
A
r
x M
需要几个量？
a,b,r.需三个条件
(1)已知圆心坐标和半径可写出圆的方程； (2)可由标准方程直接看出圆心和半径。
6
知识应用
（1） ( x 2) ( y 1) 2,
10
探究新知
对于点 M(x0 , y0) 和圆A: ( x a)2 ( y b)2 r 2 , (1)点在圆上 ( x 0 a ) 2 ( y 0 b ) 2 r 2 ; (2)点在圆内 ( x 0 a ) 2 ( y 0 b ) 2 r 2 ; 2 2 2 (3)点在圆外 ( x 0 a ) ( y 0 b ) r ;
8
知识应用
( x a) ( y b) r
2 2
2
练习3：写出满足下列条件的圆的标准方程. （1）圆心为(2 , -3)，半径是 5的圆 ； （2）圆心为(-1 , 2)，且过原点的圆 ； （3）以(0 , 0)， (6 , -8)为直径端点的圆 ； （4）圆心为原点，且与直线x=1相切的圆. 解：（1） ( x 2) ( y r
2 2
2
练习1：说出下列方程表示的圆的圆心和半径. （2） x ( y 2) ( 2) ,
圆的标准方程
3.解:∵圆心在y轴上, 3.解:∵圆心在y轴上, 圆心在 可设圆心坐标为(0,b),则圆的方程为: (0,b),则圆的方程为 ∴可设圆心坐标为(0,b),则圆的方程为: +(yx2+(y-b)2=r2. 圆经过A 两点, ∵圆经过A､B两点,
∴圆的方程是x2+(y-1)2=10. 圆的方程是x +(y-
所以，所求圆的方程为
练习： 、写出下列各圆的方程： 练习：1、写出下列各圆的方程：
( x − 3) 2 + ( y − 4) 2 = 16 (1)圆心在点 圆心在点C(3, 4 )，半径是 圆心在点 ，半径是4
(2) 经过点 经过点P(5,1),圆心在点 圆心在点C(8,-3) 圆心在点
( x − 8) + ( y + 3) = 25
再( x − 2) + ( y + 3) = 25
2 2
左右两边不等,则M2 不在圆上
思考:M2 的位 置在哪里?
探究 点与圆的位置关系
点 M ( x0 , y0 ) 在圆 ( x − a ) + ( y − b) = r 内的条件是什么?圆外呢?
2 2 2
结论: 结论 若 ( x0 − a ) + ( y0 − b) < r ,则M在圆内 则 在圆内 在圆内.
2
x
两边同时平方， 两边同时平方，得
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 － －
( x − a ) + ( y − b) = r
2 2
2
(1)
在圆上， 若M(x,y)在圆上，由以上讨论 点M的坐标满 在圆上 由以上讨论,点 的坐标满 ）；反之 的坐标满（ ）， ），即 足（1）；反之，若M(x,y)的坐标满（1），即 ）；反之， 的坐标满 M到A点的距离为 M点在圆上。 点的距离为r, 点在圆上 点在圆上。 到 点的距离为 我们把（ ）称为以 为圆心， 我们把（1）称为以A(a，b)为圆心，r为半 ， 为圆心 为半 径的圆的标准方程 特别地， 表示以原点为圆心， 为 特别地，x2＋y2＝r2 表示以原点为圆心，r为 半径的圆. 半径的圆
圆的方程中的典型问题与方法：圆的方程中的典型问题与方法——4.1.1圆的标准方程
2 2 2
则圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋1)2＝10. (2)由已知可设圆的标准方程为 x2＋(y－b)2＝25，则 32＋(－4－b)2＝25， 解得 b＝0 或 b＝－8， 则圆的标准方程为 x2＋y2＝25 或 x2＋(y＋8)2＝25. (3)由已知设所求圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2，
)Байду номын сангаас
故圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13. 3．点 P(m2，5)与圆 x2＋y2＝24 的位置关系是( ) A．在圆内 B．在圆外 C．在圆上 D．不确定 4 2 2 2 解析：选 B．由 m ＋25>24 可知，点 P(m ，5)在圆 x ＋y ＝24 的外部． 4．(2014· 滨州调研)已知圆 C 经过 A(5，2)，B(－1，4)两点，圆心在 x 轴上，则圆 C 的标准方程是( A．(x－2)2＋y2＝13 B．(x＋2)2＋y2＝17 C．(x＋1)2＋y2＝40 D．(x－1)2＋y2＝20 解析：选 D．∵圆心在 x 轴上，∴设圆心坐标为 C(a，0)． 又∵圆 C 经过 A(5，2)，B(－1，4)两点， ∴半径 r＝|AC|＝|BC|，可得 （a－5）2＋（－2）2＝ （a＋1）2＋（－4）2， 解之得 a＝1，可得半径 r＝ （a－5）2＋（－2）2＝ 20， ∴圆 C 的标准方程是(x－1)2＋y2＝20. 5．圆(x－1)2＋y2＝1 的圆心到直线 y＝ 1 A． 2 B． 3 2 C．1 3 x 的距离为( 3 D． 3 ) )
2．用待定系数法求圆的标准方程 例 2 △ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求它的外接圆的标准方程． (链接教材 P119 例 2) [解析] 设所求圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，① 因为 A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)都在圆上， 所以它们的坐标都满足方程①， （5－a） ＋（1－b） ＝r a＝2 2 2 2 于是（7－a） ＋（－3－b） ＝r ，解此方程组，得b＝－3， （2－a）2＋（－8－b）2＝r2 r2＝25 所以△ABC 的外接圆的标准方程是：(x－2)2＋(y＋3)2＝25. 【方法归纳】待定系数法求圆的标准方程的一般步骤： (1)设：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； (2)列：由已知条件，建立关于 a，b，r 的方程组； (3)解：解方程组，求出 a，b，r； (4)代：将 a，b，r 代入所设方程，得所求圆的标准方程． 【跟踪练习】 2．求下列圆的标准方程： (1)圆心是(4，－1)，且过点(5，2)； (2)圆心在 y 轴上，半径长为 5，且过点(3，－4)； (3)求过两点 C(－1，1)和 D(1，3)，圆心在 x 轴上的圆的标准方程． 解：(1)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
第四章 4.1.1圆的标准方程
问题 4 如果把圆看成是点的集合， M(x， y)为这个圆上任意一点，
用坐标表示点 M 适合的条件并化简将得到什么等式？
|MA|＝r，由两点间的距离公式，得 x－a2＋y－b2 ＝r，
答
Байду номын сангаас
化简可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
问题 6
如何说明(x－a)2＋(y－b)2＝r2 就是圆心坐标为 A(a， b)，
设圆的圆心坐标为 A(a，b)，半径为 r(其中 a、b、r 都
是常数，r＞0)．设 M(x，y)为这个圆上任意一点，那么点 M 满足的条件是什么？ 答 |MA|＝r.
研一研·问题探究、课堂更高效
那么圆心为 A 的圆如何表示？ 答 P＝{M||MA|＝r}．
问题 5
本 课 时 栏 目 开 关
4.1.1
练一练·当堂检测、目标达成落实处
4.1.1
2．已知以点 A(2，－3)为圆心，半径长等于 5 的圆 O，则点 M(5，－7)与圆 O 的位置关系是
本 课 时 栏 目 开 关
( B )
A．点在圆内 C．点在圆外
B．点在圆上 D．无法判断
解析 点 M(5，－7)到圆心 A(2，－3)的距离为 5，恰好等 于半径长，故点在圆上．
写出圆心为 A(2，－3)，半径长等于 5 的圆的方程，并
判断点 M1(5，－7)，M2(－ 5，－1)是否在这个圆上． 解 圆心是 A(2，－3)，半径长等于 5 的圆的标准方程是(x－
2)2＋(y＋3)2＝25.把点 M1(5，－7)的坐标代入方程(x－2)2＋(y
本 课 时 栏 目 开 关
＋3)2＝25，左右两边相等，点 M1 的坐标适合圆的方程，所以 点 M1 在这个圆上；把点 M2(－ 5，－1)的坐标代入方程(x－ 2)2＋(y＋3)2＝25，左右两边不相等，点 M2 的坐标不适合圆的 方程，所以点 M2 不在这个圆上． 小结 判断点与圆的位置关系，通常用两种方法，一种是利 用点与圆心的距离 d 与半径 r 的大小关系来判定， d＞r 时， 当 点在圆外；当 d＝r 时，点在圆上；当 d＜r 时，点在圆内．另 一种方法是把点 P(x0，y0)代入圆的方程．若(x－x0)2＋(y－y0)2 ＞r2，则点 P 在圆外；若(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，则点 P 在圆 上；若(x－x0)2＋(y－y0)2＜r2，则点 P 在圆内，这种方法实质 上就是第一种方法的另外一种表达形式．
高考数学第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程课件新人教A版必修2ppt版本
解析答案
谢谢
2019/11/13
答案
(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定： 点M(m，n)在 圆C上 ⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2； 点M(m，n)在 圆C外 ⇔(m－a)2＋(n－b)2>r2； 点M(m，n)在 圆C内 ⇔(m－a)2＋(n－b)2<r2. 思考 确定点与圆的位置关系的关键是什么？
自主学习
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＝r2
答案
思考 方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆吗？ 答 不一定.当m＝0时表示点(a，b)，当m≠0时，表示圆.
答案
知识点二 点与圆的位置关系 点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与 圆的位置关系有两种方法： (1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较： 若|CM|＝r，则点M在 圆上； 若|CM|>r，则点M在 圆外； 若|CM|<r，则点M在 圆内.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围 是( A ) A.－1＜a＜1 B.0＜a＜1 C.a＜－1或a＞1 D.－1＜a＜0 解析 直接利用点与圆的位置关系来判断. ∵点(1，1)在圆的内部， ∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4. 解得－1＜a＜1.
解析答案
题型二 点与圆的位置关系的判断 例2 已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的 取值范围. 解 由题意，得点A在圆C上或圆C的外部， ∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2， ∴2a＋5≥0， ∴a 的取值范围是－52，0∪(0，＋∞). 解 由已知，得 C(3，0)，r＝|A2B|＝2，
4.1.1圆的标准方程
1.圆的标准方程： 设圆心坐标为A(a,b)，圆上任 意一点M(x,y)，则|MA|=r，即： y r A o x M
√(x-a)2+(y-b)2=r
பைடு நூலகம்
(x-a)2+(y-b)2=r2
特别地，当圆心为坐标原点时， 圆的方程为：
x2+y2=r2
2.点与圆的位置关系：
设平面内任意一点坐标为A(x0,y0)，则圆C的圆心 坐标为O(a,b)，圆半径为r，则： A
4.1.1 圆的标准方程
(1)在平面直角坐标系中，两点确定 一条直线，一点和倾斜角也确定一条 直线，那么在什么条件下可以确定一 个圆呢？ 圆心和半径
(2)直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来 表示，怎样建立圆的方程呢? 建立平面直角坐标系 (3)若圆心坐标用A(a,b)表示,圆上有任意一点M(x,y),圆 的半径为r，如何列出等式？ |MA|=r
A O |OA|<r
(x0-a)2+(y0-b)2<r2
点M在圆C内
A
O |OA|=r
(x0-a)2+(y0-b)2=r2
点M在圆C上
O |OA|>r
(x0-a)2+(y0-b)2>r2
点M在圆C外
例1 写出圆心为A（2，-3），半径长等于5的圆的方 程，并判断点M（5， -7），N（ 5 ，-1）是否在这 个圆上？ 例2 △ABC的三个顶点的坐标分别是 A（5，1），B （7，-3），C（2，-8），求它的外接圆的方程. 三角形的外心是三边中垂线的交点 例3 已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，-2)， 且圆心C在直线l ：x-y+1=0上，求圆C的标准方程.
课件9：4.1.1 圆的标准方程
解此方程组，得b＝1 . r2＝4
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 解法二：设点C为圆心， ∵点C在直线x＋y－2＝0上， ∴可设点C的坐标为(a,2－a)．
又∵该圆经过 A、B 两点， ∴|CA|＝|CB|. ∴ (a－1)2＋(2－a＋1)2＝ (a＋1)2＋(2－a－1)2， 解得 a＝1. ∴圆心坐标为 C(1,1)，半径长 r＝|CA|＝2. 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
例 4 已知 x，y 满足(x－1)2＋(y－2)2＝16，则 x2＋y2 的 取值范围是___[_2_1_－__8__5_，__2_1_＋__8__5_]_____. 【解析】 x2＋y2 表示圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝16 的动点 P(x，y)与原点 O(0,0)连线段长度 d 的平方， 由于 r－|OC|≤d≤r＋|OC|， ∴4－ 5≤d≤4＋ 5，∴21－8 5≤d2≤21＋8 5. ∴21－8 5≤x2＋y2≤21＋8 5.
解法三：由已知可得线段 AB 的中点坐标为(0,0)， kAB＝1－－1(－－11)＝－1， ∴弦 AB 的垂直平分线的斜率为 k＝1， ∴AB 的垂直平分线的方程为 y－0＝1·(x－0)， 即 y＝x，则圆心是直线 y＝x 与 x＋y－2＝0 的交点，
由yx＝ ＋xy－2＝0 ，得xy＝ ＝11 .即圆心为(1,1)， 圆的半径为 (1－1)2＋[1－(－1)]2＝2， 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
命题方向3 ⇨圆的标准方程的综合应用
例3 求过点A(1，－1)、B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2 ＝0上的圆的标准方程. 解：解法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
4.1.1圆的标准方程
思 考：
通过圆的方程形式我们能得到什么信息？ 当圆心在原点时，圆的方程是什么？
例1.写出下列各圆的方程： (1) 圆心在原点，半径是3； (2) 经过点P(5, 1)，圆心在点C(8, －3).
课堂小结
1. 圆的方程的推导步骤： 建系设点→写条件→列方程→化简→说明
4.1.1 圆的 标准方程
情景引入
1.在直角坐标系中，确定一条直线的基本要素 是什么？ 2.在平面直角坐标系中，那么圆是否也可用一 个方程来表示呢？
讲授新课 讨 论：
具有什么性质的点的轨迹称为圆？
到定点的距离等于定长的点的集合
思 考：
在平面直角坐标系中，如何确定 一个圆呢？
思 考：
已知圆心为A(a,b)，半径为r，设圆上任一 点M坐标为(x，y)，如何求该圆的方程？
2. 圆的方程的特点：点(a, b)、r分别表示 圆心坐标和圆的半径；
课后作业
1. 阅读教材P.118到P.120； 2. 《习案》二十五.
y rM
A
O
x
思 考：
已知圆心为A(a,b)，半径为r，设圆上任一 点M坐标为(x，y)，如何求该圆的方程？
求方程的一般步骤：
建系设点
y rM
列方程
A
化简方程
O
x
圆的标准方程： (x－a)2＋(y－b)2＝r2.
圆的标准方程的两个基本要素： 圆心坐标和半径.
圆的标准方程：
(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
圆的标准方程
圆
与 方程
圆的方程 圆的标准方程
问题1－－什么是圆？ 圆的定义：平面内与定点距离等于定 长的点的集合（轨迹）是圆。定点就 是圆心，定长就是半径 问题2－－ 确定圆需要 哪几个要素？ 圆心－－确定圆的位置 半径－－确定圆的大小
圆 的 标 准 方 程
y
r
O
C(a,b)
x
探索：圆心是C(a,b)，半径是r的圆上的动点满足怎 样的关系式？圆的方程是什么？ 解：
特点： (确定圆的方程必须具备二个独立条
件,即圆心和半径 .) 2、是关于x、y的二元二次方程。 3.若圆心在坐标原点，则圆方程为 x2 + y 2 = r2
二：数学运用－－确定圆的标准方程
练习1：试写出下列圆 (x-1)2+（y-3)2=9 的圆心及半径
解：圆心为点（1，3）半径为r=3
变式1：判断下列方程是否为圆的方程如果 是，写出下列各圆的圆心坐标和半径 (1) (x-1)2+y2=6 (2) (x+1)2-(y-2)2=9
解：因为圆C经过坐标原点，所以圆C 的半径是 r=2 (3)2 Nhomakorabea2
=
方程为: (x-2) 2 + (y+3) 2 = 13
13
变式1： 求圆心在（－2，3）又过点（1，7）的圆的 方程 解：圆的半径r= (1+2) 2 + (7-3) 2 =5
圆的方程为: (x+2) 2 + (y-3) 2 = 25
圆心：两条弦的中垂线的交点
半径：圆心到圆上一点
例3：己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,2),且圆心在直线l:x-y+1=0 上 , 求圆心为 C 的圆 y 的标准方程. A(1,1)
高中数学4.1.1圆的标准方程优秀课件
b
3
(2 a)2 (8 b)2 r2
待r 定 5系数
所求圆的方程为
法
(x2)2(y3)225
几何方法
y
O E
A(5,1)
x
B(7,-3)
C(2,-8)
圆心：两条弦的中垂线的交点
半径：圆心到圆上一点
练习:△AOB的三个顶点的坐标 分别是A(4, 0)，B(0, 3)，O(0, 0)， 求它的外接圆的方程.
A.是圆心
B.在圆上
C.在圆内
D.在圆外
3、点P(1,-1)在圆(x+2) 2+y 2 =m的外部,那
么实数m的取值范围是m10 .
4、圆C:(x-5) +(y+21) =3,那2 么圆C的周长等
于 2 3 .
：
一、圆的标准方
程
(x
a)2
(
y
b)2
r2
y
M
C
O
x
圆心C(a,b),半径r
特别的假设圆心为O(0,0),那么圆的标准x方2 y2 r 2
(3 2
,
1 ), 2
直线AB的斜率:
kAB22113
因此线段AB的垂直平分线 l ' 的方程是
y11(x3) 23 2
即x3y30
x x
3y 30
y 10
x y
3 2
C(3,2)
r |A| C(13 )2(12 )25
所以，圆心为C的圆的标准方程是
(x3 )2(y2)225
练习： 求经过A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心在
程二为 、：点与圆的位置关 系：
（1）点M在圆上 x0a2y0b2r2 （2）点M在圆内 x0a2y0b2r2
4.1.1圆的标准方程
(1) x2+y2=9
(2) (x+3)2+(y-4)2=5
理论迁移
例1 写出圆心为 A(2, 3)，半径长等于5的圆的方程， 并判断点 M1 (5, 7) ，M2 ( 5, 1)是否在这个圆上．
解：圆心是 A(2, 3) ，半径长等于5的圆的标准 2 2 方程是：( x 2) ( y 3) 25
知识探究
例1 写出圆心为 A(2, 3) ，半径长等于5的圆的 方程，并判断点 M1 (5, 7) ，M2 ( 5, 1) 是否在这 个圆上． 解：圆心是 A(2, 3) ，半径长等于5的圆的标准 2 2 ( x 2) ( y 3) 25 方程是：
y
M2
o
A M1
x
知识探究
把这个方程称为圆心为A(a, b)，半径长为r 的圆 的方程，把它叫做圆的标准方程.
知识探究
圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？
因为圆心是原点O(0, 0)，将a＝0，b＝0和半径 r 代入圆的标准方程：
( x a )2 ( y b)2 r 2
得： 整理得：
( x 0) ( y 0) r
例2 ABC 的三个顶点的坐标分 别A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8)，求 它的外接圆的方程．
分析：不在同一条直线上的三个点可 以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．
理论迁移
解：设所求圆的方程是 ( x a )2 ( y b)2 r 2 （1）
因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以它们的坐 标都满足方程（1）．于是
即： p M / | MA | r
( x a)2 ( y b)2 r
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教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
4.练习：课本 第1、3、4题
小结：
1、圆的标准方程。
2、点与圆的位置关系的判断方法。
3、根据已知条件求圆的标准方程的方法。
课后
反思
分析:如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为 的圆经过点 和 ,由于圆心 与A,B两点的距离相等，所以圆心 在险段AB的垂直平分线m上，又圆心 在直线 上，因此圆心 是直线 与直线m的交点，半径长等于 或 。
总结归纳：比较例（2）、例(3)可得出 外接圆的标准方程的两种求法：
（1）根据题设条件，列出关于 的方程组，解方程组得到 得值，写出圆的标准方程.
化简可得： ②
引导学生自己证明 为圆的方程，得出结论。
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
3、知识应用与解题研究
例1：写出圆心为 半径长等于5的圆的方程，并判断点 是否在这个圆上。
分析探求：方法：
（1） > ，点在圆外
（2） = ，点在圆上
（3） < ，点在圆内
例2： 的三个顶点的坐标是 求它的外接圆的方程
分析：从圆的标准方程 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定 三个参数.（学生自己运算解决）
例3:已知圆心为 的圆 经过点 和 ,且圆心在 上,求圆心为 的圆的标准方程.
法
问题与情境及教师活动
学生活动
1、情境设置：
在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？
2、探索研究：
确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件 ①
课题
4.1.1圆的标准方程
教
学
目
标
知识目标
掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
技能目标
会用待定系数法求圆的标准方程。
情感态度价值观
通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
重点
圆的标准方程
难点
会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
教
学
过
程
及
方