高中数学 第四讲 用数学归纳法证明不等式本讲知识归纳与达标验收同步配套教学案 新人教A版选修45

第四讲用数学归纳法证明不等式

对应学生用书P45

考情分析

通过分析近三年的高考试题可以看出，不但考查用数学归纳法去证明现成的结论，还考查用数学归纳法证明新发现的结论的正确性．数学归纳法的应用主要出现在数列解答题中，一般是先根据递推公式写出数列的前几项，通过观察项与项数的关系，猜想出数列的通项公式，再用数学归纳法进行证明，初步形成“观察—归纳—猜想—证明”的思维模式；利用数学归纳法证明不等式时，要注意放缩法的应用，放缩的方向应朝着结论的方向进行，可通过变化分子或分母，通过裂项相消等方法达到证明的目的．

真题体验

1．(安徽高考)数列{x n}满足x1＝0，x n＋1＝－x2n＋x n＋c(n∈N*)．

(1)证明：{x n}是递减数列的充分必要条件是c＜0；

(2)求c的取值范围，使{x n}是递增数列．

解：(1)先证充分性，若c＜0，由于x n＋1＝－x2n＋x n＋c≤x n＋c＜x n，故{x n}是递减数列；

再证必要性，若{x n}是递减数列，则由x2＜x1，可得c＜0.

(2)(i)假设{x n}是递增数列．由x1＝0，得x2＝c，x3＝－c2＋2c.

由x1＜x2＜x3，得0＜c＜1.

由x n＜x n＋1＝－x2n＋x n＋c知，

对任意n≥1都有x n＜c，①

注意到

c－x n＋1＝x2n－x n－c＋c＝(1－c－x n)(c－x n)，②

由①式和②式可得1－c－x n＞0，即x n＜1－c.

由②式和x n≥0还可得，对任意n≥1都有

c－x n＋1≤(1－c)(c－x n)．③

反复运用③式，得

c－x n≤(1－c)n－1(c－x1)＜(1－c)n－1.

x n＜1－c和c－x n＜(1－c)n－1两式相加，

知2c －1＜(1－c )

n －1

对任意n ≥1成立．

根据指数函数y ＝(1－c )n

的性质，得2c －1≤0，

c ≤14，故0＜c ≤14

.

(ii)若0＜c ≤1

4，要证数列{x n }为递增数列，

即x n ＋1－x n ＝－x 2

n ＋c ＞0. 即证x n ＜c 对任意n ≥1成立．

下面用数学归纳法证明当0＜c ≤1

4时，x n ＜c 对任意n ≥1成立．

(1)当n ＝1时，x 1＝0＜c ≤1

2

，结论成立．

(2)假设当n ＝k (k ∈N *

)时结论成立，即：x k ＜c .因为函数f (x )＝－x 2

＋x ＋c 在区间

⎝ ⎛⎦

⎥⎤－∞，12内单调递增，所以x k ＋1＝f (x k

)＜f (c )＝c ，这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立．

故x n ＜c 对任意n ≥1成立．

因此，x n ＋1＝x n －x 2

n ＋c ＞x n ，即{x n }是递增数列．

由(i)(ii)知，使得数列{x n }单调递增的c 的范围是⎝ ⎛⎦

⎥⎤0，14.

2．(江苏高考)已知函数f 0(x )＝sin x x

(x >0)，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *

.

(1)求2f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π2f 2⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2的值；

(2)证明：对任意的n ∈N *

，等式nf n －1π4＋π4f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22都成立．

解：由已知，得f 1(x )＝f ′0(x )＝⎝

⎛⎭

⎪⎫sin x x ′＝cos x x －sin x x 2，

于是f 2(x )＝f ′1(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝－sin x x －2cos x x 2＋2sin x x 3， 所以f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－4π2，f 2⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2＝－2π＋16π3.

故2f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π2f 2⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2＝－1.

(2)证明：由已知，得xf 0(x )＝sin x ，等式两边分别对x 求导，得f 0(x )＋xf ′0(x )＝cos x ，

即f 0(x )＋xf 1(x )＝cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2， 类似可得

2f 1(x )＋xf 2(x )＝－sin x ＝sin(x ＋π)，

3f 2(x )＋xf 3(x )＝－cos x ＝sin ⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋3π2， 4f 3(x )＋xf 4(x )＝sin x ＝sin(x ＋2π)．

下面用数学归纳法证明等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin ⎝

⎛

⎭

⎪⎫

x ＋n π2对所有的n ∈N *

都成立． ①当n ＝1时，由上可知等式成立．

②假设当n ＝k 时等式成立，即kf k －1(x )＋xf k (x )＝sin ⎝

⎛⎭

⎪⎫

x ＋

k π2. 因为[kf k －1(x )＋xf k (x )]′＝kf ′k －1(x )＋f k (x )＋xf ′k (x )＝(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )，

⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2′＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2′＝sin ⎣

⎢⎡⎦

⎥⎤

x ＋k ＋

π2，

所以(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )＝sin ⎣

⎢⎡⎦

⎥⎤

x ＋k ＋π2. 因此当n ＝k ＋1时，等式也成立．

综合①②可知等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin ⎝

⎛⎭

⎪⎫

x ＋n π2对所有的n ∈N *

都成立． 令x ＝π4，可得nf n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4f n ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4＝

sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4

＋n π2(n ∈N *

)．

所以⎪

⎪⎪⎪⎪⎪nf n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22(n ∈N *

)．

对应学生用书P45