第3章 3.7 DFT的应用-线性卷积-谱分析概要
DFT在信号频谱分析中的应用
DFT在信号频谱分析中的应用目录Ⅰ.设计题目 (1)Ⅱ.设计目的 (1)Ⅲ.设计原理 (1)Ⅳ.实现方法 (1)Ⅴ.设计内容及结果 (5)Ⅵ.改进及建议 (11)Ⅶ.思考题及解答 (14)Ⅷ.设计体会及心得 (15)Ⅸ.参考文献 (16)Ⅰ.设计题目DFT 在信号频谱分析中的应用Ⅱ.设计目的掌握离散傅里叶变换的有关性质，利用Matlab 实现DFT 变换。
了解DFT 应用，用DFT 对序列进行频谱分析，了解DFT 算法存在的问题及改进方法。
学习并掌握FFT 的应用。
Ⅲ.设计原理所谓信号的频谱分析就是计算信号的傅里叶变换。
连续信号与系统的傅里叶分析显然不便于直接用计算机进行计算，使其应用受到限制，而DFT 是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值运算，成为分析离散信号和系统的有力工具。
工程实际中，经常遇到的连续信号Xa(t),其频谱函数Xa(jW)也是连续函数。
数字计算机难于处理，因而我们采用DFT 来对连续时间信号的傅里叶变换进行逼近，进而分析连续时间信号的频谱。
Ⅳ.实现方法离散傅里叶变换是有限长序列的傅里叶变换，它相当于把信号的傅里叶变换进行等频率间隔采样，并且有限长序列的离散傅里叶变换和周期序列的离散傅里叶级数本质是一样的。
快速傅里叶变换（FFT ）并不是一种新的变换，它是离散傅里叶变换的一种快速算法，并且主要是基于这样的思路而发展起来的：（1）把长度为N 的序列的DFT 逐次分解成长度较短的序列的DFT 来计算。
（2）利用WN(nk)的周期性和对称性，在DFT 运算中适当的分类，以提高运算速度。
（对称性nkNnk NW W N-=+2，12-=NN W ;周期性nkN nk N nrN N k rN n NW W W W ---==)(，r 为任意整数,1=nrNN W ）离散傅里叶变换的推导：离散傅里叶级数定义为nk j N k p p ek x Nn x N21)(1)(π∑-==（1-1） 将上式两端乘以nm j Neπ2-并对n在0~N-1求和可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡==∑∑∑∑∑-=---=-=-=---=-10)(110101)(1N2N2N2)()(1)(N n m k n j N N k p N n N k m k n j pN n nm j pe k X ek XNen xπππ 因为{m k 1mk 0)(N )(1)(N 2N2N2-1-1N 11=≠---=-==∑m k j m k j N n m k n je eeNπππ所以∑∑-=-=--=110)()()(N2N k p N n nm j p m k k X en x δπ 这样∑-=-=10N2)()(N n nm j p p en x m X π用k 代替m 得∑-=-=1N2)()(N n nk j p P en x k X π（1-2）令N2πj N eW -=则（1-2）成为DFS []∑-===10)()()(N n nkN p p p W n x k X n x （1-3）（1-1）成为IDFS []∑-=-==1)(1)()(N n nkN pp p W k XNn x k X （1-4）式（1-3）、（1-4）式构成周期序列傅里叶级数变换关系。
《离散傅里叶变换-第三章》
n0 0 = kn 8 7
3
3
2π − j kn 8
3 − j kπ 8
(2) 设变换区间N=16， 则
X(k) = ∑ x(n)W
n= 0
3π k −j 16
π
N= 0 = n0 0
2 = ∑ e, k = 0,1, ⋅ ⋅ ⋅, 7 π N =0 sin( k ) 8
2. 时域循环移位定理 设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即： y(n)=x((n+m))NRN(n) 则: Y(k)=DFT[y(n)]=W-kmNX(k) 其中:X(k)=DFT[x(n)], 0≤k≤N-1
kn 证明： Y ( k ) = DFT [ y (n )] = x (( n + m )) N RN (n )WN ∑ N− 令n+m=n′，则有1 n =0 N −1
~
~ ∞
x (n ) =
m =−∞
∑
x ( n + mN )
(3.1.5)
(3.1.6) ••
~
x (n ) ••
0
••
N-1
•
n
x (n ) = x ( n ) ⋅ RN (n )
~
~
••
••
~(n ) x
•• •
0
••
•
••
•• •
~
••
N-1
•
n
一般定义周期序列 x(n) 中从n=0到N-1的第一个周期为 x(n)的主 n) x(n) (3.1.7) x( 值区间，而主值区间上的序列称为x(n) 的主值序列。(3.1.7) x(n)
利用DFT计算线性卷积PPT课件
x2[n] 1
012
n
第4页/共23页
n 0123
x1[n] 1 012
x2[n] 1
线性卷积与循环卷积的关 系
n
0 1 2 3 n y1[k] {1, 2, 2, 2,1,1}
1
x1[n]
n 2 1 0
1
x1[1n]
1
x1[2n]
1
x1[3n]
n
n
n
1 1
2
3
1
x1[(n)4]
第3页/共23页
线性卷积与循环卷积的关系：
例1：x1[k]={1,1,1}, x 2[k]={1,1,0,1} , 计算 (1) x1[k]和x2[k]的线性卷积y1[k] ； (2) x1[k]和x2[k]的4点循环卷积y4[k] ； (3) x1[k]和x2[k]的5点、6点和7点循环卷积。
解:
谢谢您的观看！
DFT计算卷积
第23页/共23页
x[k] h[k] xn[k nL] h[k] yn[k nL]
n0
n0
y0[k]的非零范围：
0k LM 2
y1[kL]的非零范围： L k 2L M 2
序列 y0[k], y1[k]的重叠部分： L k L M 2
重叠的点数：
[(L+M2)L]+1=M1
依次将相邻两段的M1个重叠点相加，即得到最终的线性卷积结果。
x[k ]
一段分别与短序列进行循环卷积，对重叠部分相加
x0[k]
x1[k ]
x2[k]
x3 [k ]
L
2L
3L
x[k] xn[k nL]
n0
其中
第3章 3.4 DFT的应用-线性卷积-谱分析
2014-12-19
0≤k≤L-1
1
0≤k≤L-1
第3章 离散傅立叶变换（DFT）
循环卷积可以在时域计算，也可以在频域计算，而 DFT有快速算法FFT，当N很大时，在频域计算的速度 要快的多，故常用DFT来计算循环卷积。
l
N 1
yc (n)
q
yl (n qL) RL (n)
(3.4.3)
4
2014-12-19
第3章 离散傅立叶变换（DFT）
yc (n)
q
y (n qL)R (n)
l L
循环卷积 yc (n) 是线性卷积 yl (n) 以循环卷积点数L为周 期的周期延拓序列的主值序列。 循环卷积长度：L; 线性卷积长度：N+M-1;
s 0
2 j kn 0 N 1 N X ( jk ) e a 0 2 k 0
2 j kn N 0 1 N 1 X a ( jk 0 )e N 2 N k 0
1 IDFT [ X a ( jk 0 )] T
(6)
15
2014-12-19
第3章 离散傅立叶变换（DFT）
n 0 N 1
，共N个采样点
(3)
由于时域采样周期为T，则由时域采样定理，频 域产生以Ωs=2πfs=2π/Ts为周期的周期延拓。 如果xa(t)是带限信号，则采样信号的频谱不会 产生混叠，周期为Ωs=2π/Ts，取其中的一个周 期的FT，则（2）变为：
1 xa (nT ) 2
s
h (n ) 补 L－ N 个 零 点 L 点 DFT y(n )
数字信号处理DFT
DFT[x(n)]
1 N
X1(k)
X 2 (k )
3.3 频率域采样
1、对于有限长（N点）序列x(n)
Z[x(n)]=X (Z)
取单位圆上的Z变换
X (e j ) FT[x(n)]
会引起x(n)周期延拓
频域一周内等间隔N点采样
~
~
X (k) DFS[x(n)]
X (k) DFT[x(n)]
00
tt
T TpTp / N
XXXaa(a((jjfjff)))
fs 2 fc
T (2 fc )1
N 1
X ( jf ) T xa (nT )e j2 fnT n0
令f kF
00
F fs2/fNsc
N 1
j 2 kn
X ( jkF) T xa (nT )e N
n0
N 1
j 2 kn
时域信号 频域信号
连续的 非周期的
周期的 离散的
三 离散时间、连续频率的序列傅里叶变换
x(nT) T
X e j 或 X (e jT )
---
-T 0 T 2T t
0
时域信号 频域信号
离散的 周期的 非周期的 连续的
---
s
2 T
四 离散时间、离散频率的离散傅里叶变换
x(nT)=x(n)
Tp
1 F
1
W k4 4
1 W4k
4 0
k 0 k 1, 2,3
x(n)的8点DFT为
X (k)
7
x(n)WNkn
3
j 2 kn
e8
n0
n0
x(n)的幅频特性特性曲线及其4点、8点、16点DFT.
用DFT对时域离散信号进行频谱分析
用DFT对时域离散信号进行频谱分析DFT（离散傅里叶变换）和FFT（快速傅里叶变换）是用于对时域离散信号进行频谱分析的常用方法之一、在本文中，我将介绍DFT和FFT的原理和应用，并探讨它们的优势和劣势。
频谱分析是一种研究信号频率成分的方法。
它可以用于分析信号的频域特征，例如信号频谱的幅度和相位信息。
频谱分析广泛应用于通信、声学、图像处理、金融等领域。
DFT是傅里叶变换在时域离散信号上的一种离散形式。
傅里叶变换将信号从时域转换到频域，使我们能够分析信号包含的不同频率的成分。
DFT计算离散信号的系数，这些系数表示了信号在不同频率上的幅度和相位信息。
DFT的计算复杂度为O(N^2)，其中N是信号的长度。
这意味着DFT对于长时间序列的计算是非常昂贵的。
为了解决DFT计算复杂度高的问题，人们引入了FFT算法。
FFT是一种基于DFT的快速算法，可以大大提高计算效率。
FFT的计算复杂度为O(NlogN)。
当信号的长度是2的幂次时，FFT的计算速度尤为快速。
FFT算法利用了傅里叶变换中的对称和周期性特性，通过分治法将DFT计算分解成多个小规模的DFT计算，从而加快了计算速度。
FFT算法有多种变体，包括Cooley-Tukey算法、Gentleman-Sande算法等。
使用DFT和FFT进行频谱分析有很多应用。
其中一种常见的应用是信号滤波。
通过分析信号的频谱，我们可以确定信号中所包含的不同频率的成分，从而选择性地滤除或增强一些频率的信号成分。
另一种应用是频谱分析可用于频率识别。
通过观察信号频谱的峰值和分布情况，我们可以确定信号的主要频率成分，从而进行信号的识别和辨别。
尽管DFT和FFT在频谱分析中非常有用，但它们也存在一些局限性。
首先，这些方法假设信号是离散、周期且稳定的。
对于非周期信号和突发信号，DFT和FFT的结果可能会产生混淆或误导。
其次，DFT和FFT的分辨率取决于采样率和信号长度，这可能会导致频域分辨率较低。
第3章离散傅里叶变换(DFT)09-10-1
§3.2 离散傅里叶变换的基本性质
一. 线性性质
x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2
y(n)=ax1(n)+bx2(n)
式中a、 b为常数， 即N≥max［N1, N2］， 则y(n)的N
点DFT为：
（补零问题！）
Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2(k), 0≤k≤N-1
➢再 反 转 形 成 x2((-m))N ， 取 主 值 序 列 则 得 到 x2((m))NRN(m)，通常称之为x2(m)的圆周反转； ➢对x2(m)的圆周反转序列圆周右移n，形成
x2((n-m))NRN(m)； ➢当n=0,1,2,…,N-1时，分别将x1(m)与x2((n-m))NRN(m)相 乘，并在m=0到N-1区间内求和，便得到其循环卷积y(n)。
y(n) x((n m))N RN (n)
则循环移位后的DFT为
Y (k) DFT [ y(n)] DFT [x((n m))N RN (n)] WNmk X (k)
证：利用周期序列的移位性质加以证明
DFS [x((n m)) N ] DFS [~x (n m)] WNmk X~(k)
x1(n)
0
N-1
~x2 (n)
0
N-1
n n
~x2 (m)
x2 0 mN RN (m)
0
m
x2 1 mN RN (m)
0
x2
2
mN
RN
(m)
m
0
m
x2 3 mN RN (m)
0
m
y(n) x1(n) N x2 (n) ➢两个长度
第3章--离散傅里叶变换(DFT)
设x(n)是一种长度为M旳有限长序列， 则定义x(n)旳N点
离散傅里叶正变换为
N 1
j 2 nk
X (k ) DFT[x(n)] x(n)e N
N 1
x(n)WNnk
n0
n0
离散傅里叶逆变换为
离散傅里叶变换对
x(n)
IDFT[ X (k )]
1 N
N 1
j 2 nk
X (k )e N
3.2 离散傅里叶变换旳基本性质
1 线性性质 假如x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、 b为常数， 即N=max［N1, N2］，
则y(n)旳N点DFT为 Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2［k］, 0≤k≤N-1(3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)旳N点DFT。 若N1<N2，则N=N2,那么需将x1(n)补上N2-N1个零值点后变
k 2 k f f s k
N
N
以上所讨论旳三种频率变量之间旳关系，在对模 拟信号进行数字处理以及利用模拟滤波器设计数 字滤波器乃至整个数字信号处理中十分主要，望 同学们高度注重。
第三章 离散傅里叶变换DFT
3.1.2 DFT旳隐含周期性------ DFT与 DFS旳关系
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列,但因为WknN旳周
第三章 离散傅里叶变换DFT
例2 ： x(n) R8 (n)，分别计算x(n)旳8点、16点DFT。
解: x(n)旳8点DFT为
X (k)
7 n0
R8 (n)W8k n
7 j2k n
dft原理
dft原理离散 Fourier 变换（DFT）是一种将一个离散信号转换为一组复数系数的数学操作。
它是一种基于傅立叶变换的离散版本，用来分析信号的频谱特征。
DFT 的定义是通过一组离散的样本点来估计一个信号在频域上的表示。
给定一个包含 N 个样本点的序列 x[n]，其中 n 表示时间下标。
那么可以通过离散 Fourier 变换将它转换为一个具有 N 个复数系数的序列 X[k]，其中 k 表示频域下标。
DFT 的计算公式如下所示：X[k] = Σ(x[n] * e^(-j * 2πkn/N))其中，e 是自然常数的复数指数形式，而 j 是虚数单位。
通过该公式，可以逐个计算每个频域下标对应的复数系数。
DFT 的主要思想是将时域信号表示为频域上各个频率分量的线性组合。
这使得我们可以从频谱图中获取关于信号的频率成分的重要信息。
DFT 的输出结果通常表示为振幅谱或相位谱。
振幅谱可以告诉我们信号在不同频率上的幅度大小，而相位谱可以告诉我们信号在不同频率上的相对相位信息。
DFT 还具有一些重要的性质，比如线性性、时移性和频移性。
线性性表示 DFT 可以对信号进行线性叠加，时移性表示在时域上对信号进行延迟，相应的频谱不会发生改变，频移性表示在频域上对信号进行频率偏移，相应的时域信号也会发生相同的频率偏移。
DFT 在数字信号处理领域中被广泛应用，比如音频处理、图像处理和通信系统等。
它不仅可以用于信号的频域分析，还可以用于谱估计、滤波和信号重构等任务。
总之，DFT 是一种将离散信号从时域转换到频域的数学工具，可以帮助我们理解和处理信号的频谱特性。
通过 DFT，我们可以将信号分解为不同频率的分量，为进一步的信号处理提供了重要的基础。
《数字信号处理》课程教学大纲
数字信号处理Digital signal processing物联网工程复变函数、线性代数、信号与系统2484816《数字信号处理》是物联网工程专业基础必修课。
主要研究如何分析和处理离散时间信号的基本理论和方法，主要培养学生在面对复杂工程问题时的分析、综合与优化能力，是一门既有系统理论又有较强实践性的专业基础课。
课程的目的在于使学生能正确理解和掌握本课程所涉及的信号处理的基本概念、基本理论和基本分析方法，来解决物联网系统中的信号分析问题。
培养学生探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感。
助力学生树立正确的价值观，培养思辨能力、工程思维和科学精神。
培养学生精益求精的大国工匠精神，激发学生科技报国的家国情怀和使命担当。
它既是学习相关专业课程设计及毕业设计必不可少的基础，同时也是毕业后做技术工作的基础。
运用时间离散系统的基本原理、离散时间傅里叶变换、 Z 变换、离散傅里叶变换(DFT)、快速傅里叶变换(FFT)、时域采样定理和频域采样定理等工程基础知识，分析物联网领域的复杂工程问题。
培养探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感。
助力学生树立正确的价值观，培养思辨能力、工程思维和科学精神。
说明利用DFT 对摹拟信号进行谱分析的过程和误差分析、区分各类网络的结构特点；借助文献研究运用窗函数法设计具有线性相位的FIR 数字滤波器，分析物联网领域复杂工程问题解决过程中的影响因素，从而获得有效结论的能力。
培养学生精益求精的大国工匠精神，激发学生科技报国的家国情怀和使命担当。
第一章 时域离散信号与系统(1)时域离散信号表示； (2)时域离散系统；(3)时域离散系统的输入输出描述法； * (4)摹拟信号数字处理方法；：数字信号处理中的基本运算方法，时域离散系统的线性、时不变性及系统的因果性和稳定性。
时域采样定理。
培养探索未知、 追求真理、 勇攀科学高峰的责任感和使命感。
：时域离散系统的线性、时不变性及系统的因果性和稳定性、时域采样定理。
dft的原理过程及其应用
DFT的原理过程及其应用1. 什么是DFT？DFT（Discrete Fourier Transform，离散傅里叶变换）是一种将时域信号转换为频域信号的数学算法。
它通过将一个连续时间信号分解为一系列正弦和余弦函数，来分析信号的频谱特性。
2. DFT的原理过程DFT的原理过程可以通过以下步骤进行解释：1.首先，我们有一个离散信号序列。
这个信号序列可以是离散时间域信号，也可以是连续时间信号的采样值。
2.接下来，根据信号序列的长度N，我们得到一个离散频率序列，称为频域。
频域的长度等于N。
3.然后，我们使用离散的正弦和余弦函数作为基函数，将信号序列进行线性组合。
这些基函数的频率等间隔地分布在频域中。
4.每个基函数与信号序列相乘的结果求和即得到频域中对应的频率分量。
这些频率分量表示了信号在不同频率上的能量。
5.最后，通过计算每个频率分量的幅度和相位，我们可以获得信号在频域上的频谱特性。
3. DFT的应用DFT在信号处理和频谱分析中有广泛的应用。
以下列举了一些常见的应用场景：3.1 语音信号处理在语音处理领域，DFT常用于提取语音信号的频谱特征，如音调、共振峰等。
这些特征对于语音识别、音频编解码和语音合成等任务非常重要。
3.2 图像处理在图像处理中，DFT可以将图像从空域转换到频域，通过分析图像的频谱特征，可以实现图像的滤波、增强、压缩等操作。
此外，DFT还可以用于图像编码和解码，如JPEG压缩算法中的离散余弦变换（DCT）就是一种DFT变体。
3.3 音频处理在音频处理领域，DFT常用于音频信号的频谱分析和声音特性的研究。
通过对音频信号进行DFT变换，可以获取音频信号在不同频率上的能量分布，从而实现音频合成、均衡器调节和音频特效等功能。
3.4 数字通信DFT在数字通信系统中也有重要的应用。
它可以用于频谱分析、频域均衡、频谱编码和调制解调等过程。
通过DFT，可以将数字信号从时域转换到频域，实现信道估计、多径消除和干扰抑制等关键操作。
第3章 离散傅立叶变换 DFSDFS的性质DFTDFT的性质循环卷积利用DFT计算线性卷积频率域抽样FFT
~x(n)
1 N
N
1
X~
(k
)W
N
kn
k 0
IDFS
X~ (k )
DFS[·] ——离散傅里叶级数正变换 IDFS[·]——离散傅里叶级数反变换
离散傅里叶变换（DFT）
我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因此 它的许多特性可推广到有限长序列上。
一个有限长序列 x(n)，长为N，
x(n)
图4.2.8 倒序规律
3.5.4 频域抽取法FFT(DIF―FFT)
在基2快速算法中，频域抽取法FFT也是一种常用 的快速算法，简称DIF―FFT。
设序列x(n)长度为N=2M，首先将x(n)前后对半分
开，得到两个子序列，其DFT可表示为如下形式：
N 1
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNk
T0
频谱特点： 离散非周期谱
2. 连续时间非周期信号
x(t) 1 X ( j) ej td
2
X ( j) x(t) e j tdt
频谱特点： 连续非周期谱
3. 离散非周期信号
x(n) FT-1[ X (ej )] 1 X (ej ) ejnd
2
X (ej ) FT[x(n)] x(n) e-jn n
~x (n) IDFS [ X~ (k )] 1 N 1 X~ (k )e j2 / N nk
N n0
X~ (k ) DFS [~x (n)] N 1 ~x (n)e j2 / N kn n0
习惯上：记 WN e j2 / N ，叫旋转因子．
则DFS变换对可写为
X~(k) N 1 ~x (n)WNkn DFS~x (n) n0
数字信号处理--- 第三章 离散傅里叶变换(DFT)
Y (k ) D F T [y (n )]N W N k m X (k )
其中
X(k)=DFT[x(n)]N
0≤k≤N－1
表明：有限序列的圆周移位，在频域引入一个 和频率成正比的线性相移，对幅度没影响。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
证明：
N 1
N 1
Y ( k ) D F T [ y ( n ) ] N x ( ( n m ) ) N R N ( n ) W N k n x ( ( n m ) ) N W N k n
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
图3.1.3 程序ep312.m 运行结果
第3章 离散傅里叶变换(DFT) 3.2 离散傅里叶变换的基本性质
3.2.1 线性性质
如果x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2，且
y(n)=ax1(n)+bx2(n)
式中，a、b为常数，取N=max［N1, N2］, 则y(n)的N点DFT为
(3.1.9)
X(k)X(k)RN(k)
(3.1.10)
x(n) x(n) RN(n)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
表明：有限长序列x(n)的N点离散傅里叶变换 X(k)正好是x(n)的周期延拓序列x((n))N的离散傅 里叶级数系数 X ( k )的主值序列。
第二种物理解释（物理意义）：X(k)实质上是 x(n)的周期延拓序列x((n)) N的频谱特性。
7
X(k)
3
x(n)W 8kn
j2kn
e8
n0
N0
j3k
e 8
sin(k)
2
,k0,1,,7
sin( k)
DFT方法中的计算原理及其应用
DFT方法中的计算原理及其应用密度泛函理论（Density functional theory, DFT）是计算化学领域中重要的理论方法之一，因其高效、准确、适用广泛而备受关注。
本文将介绍DFT方法的计算原理及其应用。
一、DFT的基本原理1.电子密度与哈密顿量在DFT中，体系的基态能量是电子密度的函数。
电子密度可以通过波函数的平方计算得到，而波函数则是格林函数的积分形式，其对应的哈密顿量包括这个体系的动能项、静电相互作用项和外部势能项。
2.近似上的DFT方法DFT方法是基于凝聚态物理中的Hohenberg-Kohn定理及其扩展形式的近似上发展起来的。
这些近似包括了Kohn-Sham方程及其自洽求解、局部密度近似（LDA）、广义梯度近似（GGA）和泛函初能修正（LSDA）等。
3.近似上DFT方法的误差DFT方法中，密度泛函的误差来自于密度泛函近似和电子-电子相互作用相似度的量化。
当电子气体缺乏出色的描述技术时，DFT中的误差可能微不足道，但其在固体物理中可能会对评估材料物性参数（如弹性常数和功函数）产生重大影响。
二、DFT在凝聚态物理中的应用1.电子结构计算DFT可以用于计算物理系统的电子结构、波函数和能带结构等。
例如，在晶体学中，各种半导体和金属材料的能带结构可以通过DFT计算得到。
2.几何构型优化DFT还可以用于研究分子、表面和纳米粒子等的几何构型，例如计算分子和金属表面的吸附能、晶体生长和表面级联反应等。
3.物质设计DFT方法可以用于研究复合材料和化学反应过程，并优化现有材料的物质特性。
例如，可以通过DFT计算能带结构和密度，以优化热电材料的电子特性。
三、DFT在材料科学中的应用1.电子输运DFT方法已广泛应用于研究多种电子传输现象，例如电荷输运、电子极化、热电效应以及热电材料中的元素摩尔特性。
2.反应动力学DFT方法可用于材料反应动力学的计算和模拟。
例如，对于材料的催化反应活性，可以通过DFT计算各个元素的完整反应机理。
用DFT计算线性卷积
用DFT 计算线性卷积1 基本原理1.1用 DFT 实现线性卷积的原理线性与圆周卷积分别由下式给出其中 x [n ] : 0≤n ≤P －1 ⇒ 0≤m ≤P －1 y [n ]: 0≤n ≤L －1 ⇒ 0≤n － m ≤L －1 w [n ]的最大长度为 ：L+P-1，单 wp [n ] 的长度为 N 。
当N ≥L+P －1 , wp [n ] = w [n ]; 当 N ≤ L+P －1, wp [n ] ≠ w [n ];所以要使圆周卷积等于线性卷积而不产生混叠的必要条件为：N ≥ P+L －1 即线性与圆周卷积一致的样本为: P+L － N －1≤ n ≤N －11.2 重叠保留法原理设h (n )的点数为M ，信号x (n )为很长的序列。
我们将x (n )分解为很多段，每段为L 点，L 选择成和M 的数量级相同，用xi (n )表示x (n )的第i 段：要求x (n )和h (n )的卷积时，若x (n )的点数很多，远大于h (n )的点数M 时，通常不允许等x (n )全部采集齐后再进行卷积，否则，使输出相对于输入有较长的延时。
因此需要采用][]))[((][][[][][][][][][1n R m n y m x n y n x n w m n y m x n y n x n w N NN m p m -==-=*=∑∑-=∞-∞=根据线性卷积的原理 :x [n ] * y [n ] D F T X (e j ω)Y ( e j ω),且， w [n ] = x [n ] * y [n ] 可用下式求得：F －1{X (e j ω)Y ( e j ω)}分段卷积或称分段过滤的办法，即将x (n )分成点数和h (n )相仿的段，分别求出每段的卷积结果，然后用一定方式把它们合在一起，便得到总的输出，一种分段卷积的方法就是重叠保留法。
设h (n )的点数为M ，信号x (n )为很长的序列。
第3章-DFT变换
X1(k)=DFT［x1(n)］ X2(k)=DFT［x2(n)］
0≤k≤N-1
3.2.4 复共轭序列的DFT
设x*(n)是x(n)的复共轭序列， 长度为N X(k)=DFT［x(n)］ 则 DFT［x*(n)］=X*(N-k), 0≤k≤N-1 (3.2.7)
且
X(N)=X(0)
式中， N e W
j
2 N
,N称为DFT变换区间长度，N≥M， 通
常称(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。 下面证明 IDFT［X(k)］的唯一性。 把(3.1.1)式代入(3.1.2)式有
1 IDFT [ X (k )] N
m 0 N 1
k 0
N 1
mk [ x(m)WN ]WN kn m 0
N 1
1 x ( m) N
1
k 0
N 1
k WN ( mn )
1 N
W
k 0
N 1
k ( m n ) N
{0
m n MN , M 为整数 m n MN , M为整数
所以， 在变换区间上满足下式：
IDFT［X(k)］=x(n), 0≤n≤N-1
Y (k ) DFT [ y ( n )]
kn x (( n m)) N RN ( n )WN n 0 kn x (( n m)) N WN n 0 N 1 N 1
令n+m=n’， 则有
Y (k )
N 1 m n m
k x((n)) NWN ( nm ) N 1 m n m
例如， N 5, ~(n) x((n))5 x
则有
网店开设与运营实战教程课程标准教案
《网店开设与运营实战教程》课程标准教案一、课程性质《网店开设与运营实战》是中等职业学校电子商务专业的一门专业基础课程。
本课程系统地介绍了网店运营的知识，包括开设网店、采编商品信息并发布商品信息、装修网店、开展营销活动、站内推广网店、站外推广网店、订单处理及发货、分析运营数据并管理网店等。
整个教学过程要求使用内外部网络教学设施和模拟实训条件较为先进的实验室进行，部分操作项目要求进行岗位角色分工合作开展实训。
本课程是电子商务专业的必修课程，也可以作为电子商务相关专业群的通识性基础课。
建议课时数72课时，其中实训课时数不少于30课时，课程共计4学分。
二、课程目标(一) 知识目标1．了解网店开设前的准备工作、开设流程和操作；2．了解商品文案的组成和发布操作，掌握编写商品标题和设计详情页的方法；3. 了解网店首页的组成，掌握店铺招牌、轮播海报和促销专区等模块的制作和装修方法；4. 了解网店常用的营销工具和常参与的平台活动；5. 掌握站内推广和站外推广网店的方法，了解直播的开展流程；6. 掌握处理订单和分析网店数据的方法，了解网店客服的工作和相关操作。
(二) 能力目标1. 能够查看各平台的开店要求，执行网上开店的基本操作；2．能够写作商品标题和详情页文案。
3. 能够设计网店首页图片和商品详情页。
4. 能够完成商品的上传、发布、发货和订单信息的修改；5. 能够使用营销工具开展活动，并策划营销活动方案；6．能够使用站内推广工具推广网店，能在微信、微博、抖音等平台推广网店；7. 能够做好客户服务，能使用生意参谋分析网店运营数据。
（三）素养目标1．具有商品素材收集、分类整理的能力。
2. 具有思维创新能力、审美能力和数据分析能力。
3．具有爱岗敬业、诚信友善、诚实守信、克己奉公的职业道德精神。
4. 遵纪守法、不虚假宣传，遵守营销活动、市场和平台规则。
三、课程内容与要求四、课程评价本课程评价原则是坚持评价主体、评价过程的多元化，定量与定性评价相结合，数据化呈现学习效果，关注对学生的增值性评价。
DFT在信号频谱分析中的应用
设计一 DFT 在信号频谱分析中的应用一、设计题目DFT 在信号频谱分析中的应用二、设计目的1. 熟悉DFT 的性质。
2. 加深理解信号频谱的概念及性质。
3. 了解高密度谱与高分辨率频谱的区别。
三、设计原理所谓信号的频谱分析就是计算信号的傅里叶变换。
连续信号与系统的傅里叶分析显然不便于直接用计算机进行计算，使其应用受到限制，而DFT 是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值运算，成为分析离散信号和系统的有力工具。
工程实际中，经常遇到的连续信号Xa(t),其频谱函数Xa(jW)也是连续函数。
数字计算机难于处理，因而我们采用DFT 来对连续时间信号的傅里叶变换进行逼近，进而分析连续时间信号的频谱。
四、实现方法离散傅里叶变换是有限长序列的傅里叶变换，它相当于把信号的傅里叶变换进行等频率间隔采样，并且有限长序列的离散傅里叶变换和周期序列的离散傅里叶级数本质是一样的。
快速傅里叶变换（FFT ）并不是一种新的变换，它是离散傅里叶变换的一种快速算法，并且主要是基于这样的思路而发展起来的：（1）把长度为N 的序列的DFT 逐次分解成长度较短的序列的DFT 来计算。
（2）利用WN(nk)的周期性和对称性，在DFT 运算中适当的分类，以提高运算速度。
（对称性nk Nnk N WW N-=+2，12-=NN W ;周期性nkN nk N nrN N k rN n NW W W W ---==)(，r 为任意整数,1=nrNNW ）离散傅里叶变换的推导：离散傅里叶级数定义为nk j N k p p ek x Nn x N21)(1)(π∑-==（1-1）将上式两端乘以nm j Neπ2-并对n在0~N-1求和可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡==∑∑∑∑∑-=---=-=-=---=-10)(110101)(10N2N2N2)()(1)(N n m k n j N N k p N n N k m k n j pN n nm j pe k X ek XNen xπππ 因为{m k 1mk 0)(N )(10)(N 2N2N2-1-1N 11=≠---=-==∑m k j m k j N n m k n jeeeNπππ所以∑∑-=-=--=110)()()(N2N k p N n nm j pm k k X en xδπ 这样∑-=-=10N2)()(N n nm j p p en x m X π用k 代替m得∑-=-=1N2)()(N n nk j pP en xk X π（1-2）令N2πj NeW -=则（1-2）成为DFS []∑-===10)()()(N n nkN pp p W n xk X n x （1-3）（1-1）成为IDFS []∑-=-==10)(1)()(N n nkN p p p W k X Nn x k X （1-4）式（1-3）、（1-4）式构成周期序列傅里叶级数变换关系。
DFT应用-对信号作频谱分析
利用DFT对连续时间信号频谱的近似过程图解
抽样 截断 周期延拓
x(t )
FT
t=nT
x(n)
x(n)d(n)
% N (n) 周期延拓 xN (n) x
取一个周期
DTFT
DTFT
DFS
DFT
抽样 周期延拓 卷积 jω jω X ( jΩ) X N (k ) X (e ) X (e )* D(e ) X N (k ) Ω0＝Ωs / N Ωs = 2π / T 取一个周期 周期延拓
Q t → nT
dt → T
∫
∞
−∞
dt →
n =−∞
∑T
n =−∞
∞
∴ X ( jΩ) ≈
∑
∞
x(nT )e− jΩnT T
（2）将序列x(n) = x(nT )截断成从t = 0开始长度为T0的有限长序列， 包含N个抽样，则上式为： X(jΩ) ≈ T∑ x(nT)e-jΩnT
n=0 N-1
(3)为了数值计算，在频域上也要离散（抽样），即在频域的 一个周期（f s或Ω s）中分成N 段。取N个抽样点f s = NF0 (或Ω s = N Ω0 )。每个抽样点的间隔为F0 Ω0）。频域抽样，则 （ 频域的积分变成求和，而时域就得到原已截断的离散时间序列 的周期延拓，其时域周期为T0 =NT=1/F0。
t = nT dt = T
（ ）先对时域抽样 1 x(n)=x(nT)=x(t)|t=nT
∫ ∑T
0 n=0
T0 N-1
（2）将频域离散序列加以截断，使它为有限长序列。如果这个 截断长度正好等于一个周期，则有： x(nT)=∑ X(jkΩ 0 )e
k=0 N-1 jkΩ0 nT N-1 j 2π nk N
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xa (t )e jt dt X a ( j)e jt d
(1) (2 )
1）、将xa(t)采样，即，等间隔(T)分段
t nT dt T
X a ( j)
xa (t )e
jt
dt
n
第3章 离散傅立叶变换（DFT）
3.4 DFT的应用举例
3.4.1 用DFT计算线性卷积 1. 循环卷积定理： L 1 如果： y(n) x1 (n) x2 (n) x1 (m) x2 ((n m)) L RL (n)
m0
X 1 (k ) DFT [ x1 (n)] X 2 (k ) DFT [ x2 (n)]
矛盾
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第3章 离散傅立叶变换（DFT） 2.用DFT对连续信号进行谱分析的过程：
信号的频谱分析：计算信号的傅立叶变换
xa(t)
抽样 x(n) 截短
周期延拓 周期延 xN(n) x(n)d(n) 拓 xN((n))N 取一个周期
t=nTs
FT
周期延拓
DTFT
DTFT
DFS
DFT
抽样 周期延拓 卷积 jw jw XN((k))N Xa(e )*D(e Xa(ejw) Xa(jΩ) XN(k 取一个周期 Ω =Ω/N Ωs=2π/Ts 0 ) )
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第3章 离散傅立叶变换（DFT）
yc (n) h(m) x(n m qL) RL (n)
m 0 q
N 1
q
N 1
m0
h(m) x(n m qL) RL (n)
对照式(3.4.1)可以看出， 上式中
m 0
h(m) x(n qL m) y (n qL)
FT要求：“时域有限，频域无限”； “频域有限，时域无限”； DFT要求：时域频域均有限。 工程上经过预处理： 频谱很宽的信号，预滤波器滤除幅度较小的高频成分，使 连续信号的带宽小于折叠频率。 对于持续时间很长的信号，截取有限点进行DFT。 用DFT对连续信号进行频谱分析必然是近似的，其近似程 度与信号带宽、采样频率和截取长度有关。
如何利用XN(k)近似Xa(jΩ)?
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第3章 离散傅立叶变换（DFT）
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第3章 离散傅立叶变换（DFT）
假设xa(t)是经过预滤波和截取处理的有限长带限信号。已
知连续信号xa(t)持续时间为Tp，最高频率为fc。
X a ( j ) 1 xa (t ) 2
yl (n) h(n) x(n) h(m) x(n m)
m0
N 1
(3.4.1)
yc (n) h(n) x(n) h(m) x((n m)) L RL (n)
m0
L 1
(3.4.2)
其中， L≥max［N, M］，
x((n)) L
3
q
x(n qL),
l
N 1
yc (n)
q
yl (n qL) RL (n)
(3.4.3)
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第3章 离散傅立叶变换（DFT）
yc (n)
q
y (n qL)R (n)
l L
循环卷积 yc (n) 是线性卷积 yl (n) 以循环卷积点数L为周 期的周期延拓序列的主值序列。 循环卷积长度：L; 线性卷积长度：N+M-1;
L= 6 n
L= 8 n
(c)
L=10 n
£ 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
图 3.4.2 线性卷积与循环卷积
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第3章 离散傅立叶变换（DFT）
3.4.2 用DFT对信号进行谱分析
1． 用DFT
目的：时域频域都离散化，便于计算机处理。
只有当循环卷积 yc (n) 的长度L≥M+N-1时，以L为Байду номын сангаас期 进行周期延拓才无混叠现象。此时，取主值才有
yl (n) yc (n)
线性卷积和循环卷积相等的条件： L≥M+N-1
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第3章 离散傅立叶变换（DFT）
当循环卷积的长度L≥M+N-1 时，线性卷积和 循环卷积相等，这时，可用DFT来计算线性 卷积，框图如下：
h (n ) 补 L－ N 个 零 点 L 点 DFT y(n )
L点 IDFT x(n ) 补 L－ M 个 零 点 L 点 DFT
图 3.4.3 用DFT计算线性卷积框图
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第3章 离散傅立叶变换（DFT）
h(n) 1 (a) 0 1 2 3 x(n) 1 (b) 0 1 2 3 4 h(n) * x(n) 4 3 2 1 N+M-1=8 (f) n 4 3 2 1 n M=5 (e) n N= 4 (d) h(n) ¡ ðx(n) * 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 ðx(n) h(n) ¡ * 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 ðx(n) h(n) ¡ *
用DFT计算循环卷积
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第3章 离散傅立叶变换（DFT）
2.线性卷积的计算：
希望用DFT(FFT)计算线性卷积。 而DFT只能直接 用来计算循环卷积，为此导出线性卷积和循环卷积之 间的关系以及循环卷积与线性卷积相等的条件。 假设h(n)和x(n)都是有限长序列， 长度分别是N和 M。 它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下：
FT DFT
连续信号xa(t)
离散信号xa(nT)
连续函数Xa(jΩ)
离散信号X(k)
X(k)则是x(n)的傅里叶变换X(ejω)在频率区间［0，2π］ 上的N点等间隔采样。这里x(n)和X(k)均为有限长序列。
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第3章 离散傅立叶变换（DFT）
用DFT对信号进行谱分析是一个近似的过程：
则由时域循环卷积定理有 Y(k)=DFT［y(n)］=X1(k)X2(k),
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0≤k≤L-1
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0≤k≤L-1
第3章 离散傅立叶变换（DFT）
循环卷积可以在时域计算，也可以在频域计算，而 DFT有快速算法FFT，当N很大时，在频域计算的速度 要快的多，故常用DFT来计算循环卷积。
图 3.4.1