2、振动合成

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第6章振动2(振动合成、其它振动)

A0e
−β⋅t
A0e-β t o 阻尼振动曲线
T=
t
2π
ω
=
2π
2 ω0 − β 2
> T0
阻尼振动周期
19
时间常量与品质因数：时间常量与品质因数：在欠阻尼情况下，在欠阻尼情况下，振幅振动能量E：振动能量： E = E0e−2β⋅t 时间常量
A = A0e
−βt
(QE ∝ A2 )
1 τ= 2β
1
旋转矢量法处理谐振动的合成 1. 分振动 x1 = A cos(ω t +ϕ1) 1 x2 = A2 cos(ω t +ϕ2 ) 2. 合振动
O
ω
A2
ϕ2
x2
ϕ
A ϕ −ϕ 2 1 A1
x = x1 + x2 = Acos(ω t +ϕ)
2 A = A2 + A2 + 2A A2 cos(ϕ2 −ϕ1) 1 1
(5)ϕ2 −ϕ1 = 其值它
15
二、李萨如图：李萨如图：
如果两个振动的频率相差较大，但有简单的整数比，如果两个振动的频率相差较大，但有简单的整数比，则合成运动具有稳定的封闭的运动轨迹。动具有稳定的封闭的运动轨迹。
Tx : Ty =1: 2
Tx : Ty = 2 : 3
Tx : Ty = 3: 4
ω2 −ω1
2
)t
x
ω=
ω2 +ω 1
2
t
拍的现象：３.拍的现象：
合振动忽强忽弱的现象．合振动忽强忽弱的现象．
拍频 : 单位时间内强弱变化的次数
ν =|ν2-ν1|
ω拍 = ω2 −ω1 或： = T

谐振动分析(三)两个同方向同频率简谐运动的合成

o
o
A1
A2
A
T
t
A A1 A2
x (A A )cos(t )
1
2
2 1 2k π
3
物理学
第五版
谐运动分析(三)
（2）相位差 (2k 1) π(k 0，1, )
2
1
x
x
A1
2 o
o
Tt
A
A2
A A1 A2
x (A2 A1)cos(t )
2
1
(2k
1)π
4
物理学
第五版
小结
（1）相位差
2
1
2k
π
A A1 A2
谐运动分析(三)
(k 0，1， ) 加强
（2）相位差
2
1
(2k 1) π
(k 0，1， )
A A A
1
2
减弱
（3）一般情况
A1 A2 A A1 A2
5
物理学
第五版
谐运动分析(三)
二两个相互垂直的同频率的简谐
运动的合成 x A1 cos(t 1)
x 阻尼振动位移时间曲线
A
Ae t
Aet cost
O
T A
t
( 0)
21
物理学
第五版
三种阻尼的比较
谐运动分析(三)
(a)欠阻尼
2 0
2
(b)过阻尼
2 0
2
(c)临界阻尼
2 0
2
x
b
oc
t
a
22
物理学
第五版
谐运动分析(三)
例有一单摆在空气（室温为 20C）中来回摆动. 摆线长l 1.0 m，摆锤是半径r 5.0103 m 的铅球.求（1）摆动周期；（2）振幅减小 10％所需的时间；（3）能量减小10％所需的时间；（4）从以上所得结果说明空气的粘性对单摆周期、振幅和能量的影响.

6-2简谐振动的叠加

x1 = A cos(ω1t + ϕ )
ν =ν2 −ν1
x2 = A cos(ω 2t + ϕ )
合振动为 x = x1 + x2 = A cos(ω1t + ϕ ) + A cos(ω 2t + ϕ )
= 2 A cos(
ω 2 − ω1
2
t )cos(
ω 2 + ω1
2
t +ϕ)
4
拍的振幅为振幅的周期为
′ A 2 ′ A 1
ω2
A
A ω 2 1 A 1
x
A′
O
ω2
A = A 2 + A 2 + 2A A cos[(ω2 −ω1)t + (ϕ2 −ϕ1)] 1 2 1 2
3
由于两个分振动频率的微小差异而产生的合振动振幅时强时弱的现象称为拍现象。动振幅时强时弱的现象称为拍现象。合振动在1s内加强或减弱的次数称为拍频。合振动在内加强或减弱的次数称为拍频。内加强或减弱的次数称为拍频拍频为三角函数法设两个简谐振动的振幅和初相位相同
9
*四、振动的分解四一个复杂的振动可以是由两个或两个以上的简谐振动所合成。简谐振动所合成。把有限个或无限个周期分别为T ,T/2,T/3,… 期分别为 … (或角频率分别为ω ,2ω, 3ω,…)的简谐振动合成 …)的简谐振动合成起来，起来，所得合振动也一定是周期为T 的周期性振动。振动。
5
x = cosω t cos α − sinω t sin α 改写为 A y = cos ω t cos β − sin ω t sin β B
（3））（4））
乘以(3)式乘以(4)式以cos β 乘以式，cosα 乘以式，后相减得

大学物理教案(第五版)下册马文蔚改编09--2振动合成

应用程序
求合振动只需求矢量和即可. 求合振动只需求矢量和即可.
讨论: 讨论:
A = A + A + 2A A2 cos(2 1) 1
2 1 2 2
1)两振动同相 )
A= A + A 1 2
2)两振动反相 )
2 1 = 2kπ
合振幅最大
2 1 = (2k +1)π
A= A A 1 2
合振幅最小
A =A 1 2
每秒产生三个拍加上一些泥土拍频减少
ν拍 =ν1 ν2
ν 384 = 3
ν = 387 ν = 381
傅立叶定理: 傅立叶定理:任何一个周期振动都可以看成是由各种频率不同的谐振动的合成. 各种频率不同的谐振动的合成.
x
x = x1 + x2
x1
x2
t
f (t) = a0 + a1 cosωt + a2 cos 2ωt +
x2 y2 xy + 2 2 cos(2 1) = sin 2 (2 1) A2 A2 A A2 1 1 Y
A2 S
x y =0 A A2 1
A1
X
S= x +y
2 2 1
2 2 2
= A + A cos(ωt +)
Y
2 1 = π
x y + =0 A A2 1
X
x2 y2 xy + 2 2 cos(2 1) = sin 2 (2 1) A2 A AA 1 2 1 2
归纳: 归纳:
m 2mπ 当δ = ≠ k) A = 0 时: ( N N 1) m =1.2.3....N 1 N +1 N + 2,2N 1 , 2N +1 2N + 2,2N 1 , ……………………………... A = 0

第2节_简谐振动的合成

2
x = ( A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2 ) cosωt − ( A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2 ) sinωt = A cos ϕ ⋅ cos ωt − A sin ϕ ⋅ sin ωt = A cos(ωt + ϕ ) ∴ x = A cos(ωt + ϕ )
两个同方向、两个同方向、同频率的简谐振动合成后仍然是一个简谐振动，且频率不变。简谐振动，且频率不变。由
若 A1 = A2 , A = 2A1
= A1 + A2
合振动振幅最大。合振动振幅最大。
（） 2.当 ∆ϕ=ϕ2 −ϕ1 = 2k +1 π ( k = 0,±1,±2,⋯) 时, 当
2 2 A = A1 + A2 + 2A1A2 cos( 2 −ϕ1 ) ϕ
A2
=| A1 − A2 |
A
A2 A1
2 2
ϕ 2 − ϕ1 = π / 2
2 2
x y + =1 A1 A2
•当当
16
A1 = A2 ,
x +y =A
2
为圆方程
2.
∆ϕ = π / 2
y
8
1 2
y
7 6 5
4
7 6 5
4
8
1 2 2 1
x
3
3
4
播放动画
17
3
5 6 7
x
8
4.
3π (ϕ 2 − ϕ1 ) = 2
9
由于余弦函数绝对值的周期为π。 ω 2 − ω1 t ) 的频率的两倍。所以，的频率的两倍。所以，拍频是振动 cos( 2 即拍频为：即拍频为：

振动的合成公式(一)

振动的合成公式(一)
振动的合成公式
1. 角频率和周期的关系
•角频率ω与周期T的关系公式为：
–ω = 2π/T
•例如：
–假设有一个周期为秒的振动，可以通过以上公式计算出该振动的角频率：
•ω = 2π/ = 4π rad/s
2. 周期和频率的关系
•周期T与频率ν的关系公式为：
–T = 1/ν
•例如：
–假设有一个频率为5 Hz的振动，可以通过以上公式计算出该振动的周期：
•T = 1/5 = s
3. 多个振动的合成公式
•当存在两个或多个不同频率的振动时，它们可以通过以下合成公式进行合成：
1.同频振动的叠加（同频振动合成）：
–对于两个频率相同但振幅不同的振动A和B，它们可以通过简单相加来合成：
–合成振动 = A + B
2.不同频率振动的合成（异频振动合成）：
–对于两个频率不同的振动A和B，它们可以通过以下公式进行合成：
–合成振动= A cos(ω1t) + B cos(ω2t)
–其中，ω1和ω2分别为两个振动的角频率，t为时间。

•例如：
–假设有一个频率为3 Hz，振幅为2的振动A，以及一个频率为5 Hz，振幅为4的振动B。

可以通过以上公式计算出
两个振动的合成：
•合成振动 = 2 cos(3t) + 4 cos(5t)
总结
•振动的合成公式包括角频率和周期的关系公式、周期和频率的关系公式，以及同频振动的叠加和不同频率振动的合成公式。

这些公式可以帮助我们计算和理解振动的特性和变化。

2 谐振动的合成

A1
•当2- 1= /2,
2 y x 正椭圆 (b) 2 2 1 A1 A2 2
A2 x 直线(c) •当2- 1= y = A1 2 2 y •当2- 1=- /2 x 正椭圆(d) 1 2 2 A1 A2
y y y y
o
x
o
x
o
x
o
x
Δφ= 0
(a)
Δφ= /2
y 88
5 6 1 y6
x
x
A
A1
A2
2. 若Δ =2-1=(2k+1) k=0,±1,±2 ..….
A A A 2A1A2
2 1 2 2
两分振动反相位
3.若 Δ≠
= |A1- A2| x 合振幅最小振动减弱 x 2
2k (2k+1) x
t x1
则 A1 - A 2 < A < A1 + A 2
拍－频率差异而引起振幅时强时弱的现象
ν＝
1 T拍
ν 2 -ν 1 次单位时间里 •2与1“同相”和“反相”各 •合振幅加强和减弱各 ν 2 - ν 1 次；
*9-6 阻尼振动
受迫振动
共振
• 观看插播片
21
作
P.39～41
业
9－17,18，25，28
下次课§10 - 1，2
*多个同方向同频率谐振动的合成设: x1 = A0 cost B x2 = A0 cos(t+ ) A4 R x3 = A0 cos(t + 2 ) N o'· A x4 = A0 cos(t + 3 ) A … R 3 xN = A4cos[t + (N-1) ] A

医用物理学教学课件第二节两个简谐振动的合成

A12 A22 2A1A2[cos01 cos02 sin01 sin02]
A12 A22 2A1A2 cos(02 01)
A A12 A22 2A1A2 cos
[注：cos( ) cos cos sin sin ]
t4 t3
t2
t1 Y超前π /2
右旋振动
t1 t2
t3
t4 Y落后π /2
左旋振动
例七
一质点同时参与相互垂直的两个振动：
X

8c

os(
t

)
cm
36
Y 6cos( t ) cm
33
请你画出合振动运动轨迹图。
解：

36

2
2B ∵Y落后π/2，左旋振动
2

2
A0
cos

2
O
X

2 A0
cos 2
1
2
t
注： 2t 1t

1 2
(1

cos
)

cos

2

从角度可分析：
t

2
1
2
t
1t
AA
2 1 t
2
O
X
将A与ωt表达式代入 x Acost
x

2
A0

cos 1
∴画一个2A*2B的矩形，内切
画椭圆，标出左旋箭头即可
2A
（2） 2 m 的情况： 1 n
若频率不相等，但是整数比，则合振动的轨迹是有规则的稳定的闭合曲线-------李萨如图形。

6-2简谐振动的叠加

回顾知识
一、同一直线上两个同频率的简谐振动的合成同一直线上两个同频率的简谐振动的合成同频率
x 1 = A1 cos( ω t + ϕ 1 ) x 2 = A 2 cos( ω t + ϕ 2 )
合振幅初相位
2 A = A12 + A2 + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 )
x = A cos(ωt + ϕ )
结论
如果两个同方向的简谐振动，频率不同，如果两个同方向的简谐振动，频率不同，则两个分振动的相位不同，相位差、则两个分振动的相位不同，相位差、合振动的振幅、角频率将随时间变化，合振动一般不是简谐角频率将随时间变化，振动。振动。
讨论一种特殊情形：讨论一种特殊情形：
两个谐振动频率很大，但十分接近，两个谐振动频率很大，但十分接近，即： ω2 − ω1 << ω2 + ω1 为简单起见：为简单起见：设
x = A1 cos(ωt + ϕ1 )
y = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
x = cos ωt cos ϕ1 − sin ωt sin ϕ1 A1
y = cos ωt cos ϕ 2 − sin ωt sin ϕ 2 A2
①
②
① × cos ϕ 2 − ② × cos ϕ 1
x y cos ϕ 2 − cos ϕ 1 = sin ω t sin( ϕ 2 − ϕ 1 ) A1 A2
（2））
2 2
∆ϕ =ϕ2 −ϕ1 =π
x y ( + ) =0 A A y 1 2
x y xy + 2 +2 =0 2 A1 A2 A1A2

简谐运动的合成与分解

五、谐振分析和频谱（自学）
在自然界和工程技术中，我们所遇到的振动大多不是简谐振动，而是复杂的振动，处理这类问题，往往把复杂振动看成由一系列不同频率的间谐振动组合而成，也就是把复杂振动分解为一系列不同频率的间谐振动，这样分解在数学上的依据是傅立叶级数和傅立叶积分的理论，因此这种方法称为傅立叶分析。
如果分振动不止两个，而且它们的振动频率是基频地整数倍（倍频）则它们的合振动仍然是周期运动，其频率等于倍频。按规律： x ( t ) A(cost cos 3t 3 1 1 cos5t cos 7t ) 5 7
如果增加合成的项数，就可以得到方波形的振动：
既然一系列倍频简谐振动的合成是频率等于基频的周期运动，那么，与之相反，任意周期性振动都可以分解为一系列简谐振动，各个分振动的频率都是原振动频率的整数倍，其中与原振动频率一致的分振动称为基频振动，其它的分振动则依照各自的频率相对于基频的倍数而相应的称为二次、三次、……谐频振动。这种把一个复杂的周期振动分解为一系列简谐振动之和的方法，称为谐振分析。
t0
t0 T
x( t ) cos ntdt
x ( t ) si ntdt
t0
2 2 an bn
n
an arctan bn
为了显示实际振动中所包含的各个简谐振动的振动情况（振幅、相位），常用图线把它表示出来。若用横坐标表示各谐频振动的频率，纵坐标表示相应的振幅，就得到谐频振动的振幅分布图，称为振动的频谱。不同的周期运动，具有不同的频谱，周期运动的各谐振成分的频率都是基频的整数倍，所以它的频谱是分立谱。
2
A
若1= 2 ,则不变；若1 2 ,则变；

二自由度系统的振动

6.3.1 频域分析
首先分析受谐波激励的情况：系统运动微分方程组是 Mu(t) Ku(t) F sin t
F
f1
f
2
方程特解为：
u(t) U sin t
代入到方程中得到： (K 2M )U F
U
u1
u2
定义：
def
Z() K 2M
为系统的动刚度矩阵。
其元素zij反映了系统第j个自由度具有单位位移响应 sinωt，而其余坐标不动时，应施加在第i个自由度上的正弦广义力的幅值。
12
0 0
线性方程组
k11 m12
k12
k21
k22
m22
特征矩阵
r r2
特征值（特征根）
12rr
（r
=1,2）
与特征值对应的特征向量
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
将固有频率ω代入系统线性方程，得到系统作第一、二阶
固有振动时两质量块振幅之比，分别为：
s1
def
11 21
k11
由于在N自由度无阻尼系统总有N个线性无关的固有振型φr，因此可以把它作为基底来张成系统运动空间。
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
引入坐标变换： u q
代入到：Mu(t) Ku(t) 0
其中：u为物理坐标，q为模态坐标，Φ为固有振型矩阵。
得到：
Mq(t) Kq(t) 0
两边左乘 T
T Mq(t) T Kq(t) 0
二自由度微分方程组特点：
k2 u1
k2
k3
u2
f1 f2
1、形式上与单自由度系统受迫振动微分方程相同。但M，K，C 不是常数，而是矩阵。

3两自由度系统振动2

2
解方程，进一步可得如下的两个根：
ac ac c a b n 21,2 2 2
ac ac bc 2 2
2
n2
上式是决定系统频率的方程，并称为振动系统的特征方程。
结论：两个自由度振动系统具有两个固有频率，这两个固有频率只与振动系统的质量和刚度等参数有关，而与振动的初始条件无关。 n1 n2 将所求得的和代入（3.7）式中可得： 2 1 a n A 2 c 1 1 1 c n 21 b A1
上式就是机械振动系统在上述初始条件下的响应。
1x 10x 20 2 1 (2x10x20) ( 2 A(1) 1 2 1 n1 )
利用主坐标解耦的方法求解系统响应
的基本步骤为：（1）求出原振动方程的固有频率和振幅比，得到振型矩阵；
（2）求出主坐标下的响应；
（3）利用反变换式得出原广义坐标下的响应；（4）利用初始条件确定常系数。
上式为两自由度系统振动的微分方程。
图3.2，双质量－弹簧机械振动系统中，第一个方程中包含 bx 2 项，第二个方程中则包含 cx 1 项，统称为 “耦合项”。
以上表明，质量 m1同不仅受到弹簧 k1的恢复力的作用，而且受到弹簧k2 的恢复力的作用； m2只受一个弹簧 k2恢复力的作用，还受到第一质点m1 位移的影响。位移之间有耦合称为弹性耦合；加速度之间有耦合称为惯性耦合。
,
2

2
故机械振动系统的响应为：
x1 0.4cos x 0.4cos 2
（1）运动规律
k t 0.8cos1.581 m k t 0.4cos1.581 m
k t m k t m

物理-相互垂直的简谐运动的合成

y A2 x A1
质点离开平衡位置的位移
r(t) A12 A22 cos(t 1 )
y
A2
o A1 x
合振动是与分振动同频率的简谐振动
一、两个相互垂直的谐振动的合成
x A1
2
y A2
2
2xy cos(2 A1 A2
1 )
s in2 ( 2
1 )
(3)
若
2
1
2
x2 A12
y2 A22
合运动的轨道方程
( x )2 ( y )2 2xycos sin2
A1
A2
A1 A2
其中： (2 1 )t (2 1 ) ——随时间变化
一般情况下，合运动的轨迹是不稳定的。
一、两个相互垂直的谐振动的合成
分振动： x A1 cos(ω1t φ1 ) y A2 cos(ω2t φ2 )
二、振动频谱分析
数学上已经证明：
任意周期函数（周期为T）：x(ωt) 其中 ω 2π /T
均可展开为三角级数
基频
x(ωt ) a0 (ak cos kωt bk sin kωt )
k 1
k次谐频
1 T/2
a0 T
f (ωt )dt
T / 2
2
ak T
T /2
f (ωt)cos kωtdt (k 0)
x A1
2
y A2
2
2xy cos(2
A1 A2
1 )
s in2 ( 2
1 )
合运动一般是在 x A1, y A2 范围内的一个椭圆。
一、两个相互垂直的谐振动的合成
2
2
x A1
y A2

9-2振动合成(简)

设：
2 1 ( 2 1 )
1 2 = 1 - 2
合振动的振幅忽强忽弱的现象----拍
12
1. 拍的形成
x1 A cos 1t A cos 21t x2 A cos 2t A cos 22t
设φ1=φ2=0 ，
2 1 ( 2 1 )
(k 0 ， 1, )
x1 A1 cost x2 A2 cos( t π )
A
A A1 A2
2
T
x ( A2 A1 ) cos( t π)
反相，合振动减弱
3
总结：
1）相位差
2 1 2k π
(k 0 ， 1， )
2） 2 1 π 2
o
A1
x
π y A2 cos( t ) 2 2 2 x y 2 1 2 A1 A2
x A1 cost
A2 y
o
A1
x
17
方法2：利用旋转矢量作图 Y
A2
Y X

x A1 cos t
y A2 cos(t

2
)
求合振动的轨迹。
39
乐音的振动虽不一定简谐振动，但仍是有规则的，振动的周期是一定的；而噪音的振动没有规则，没有确定的周期．
乐音的音调的高低，由频率决定。把一组音按音调高低的次序排列起来就成为音阶，dou，ruai，mi，fa， sou，la, xi，dou．
40
[例] 已知：U 形管内液体质量为m，密度为，
dx m 2 C kx 0 dt dt
22
d x
2
d x dx dx 2 0 x 0 m 2 C kx 0 2 2 dt dt dt dt

第九章振动习题册解答 (1)

分析：总能量： E = 1 k A2 2
势能：
E P1
=
1 2
k
(A)2 3
=
1 9
E;
动能：
E k1
=
E
-
E P1
=
8 9
E;
E P2
=
1 2
k
(A)2 2
=
1 4
E
E k2
=
E - EP2
=
3 4
E
9.8 把单摆小球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ，然后由静止释放，使其摆动。从放手时开始计时，若用余弦函数表示运动方程，则该单摆振动的初相位为:[ B ]
（m）
§9.3~9.7
9.6 一个弹簧振子，作简谐振动，已知此振子势能的最大值为 100J。当振子处于最大位移
的一半处时其动能瞬时值为：[ C ]
（A） 25J；（B） 50J；（C） 75J；（D） 100J。
分析：总能量 E = 1 k A2 = 100J 2
振子处于最大位移一半时，势能为 EP
2π m
分析：
T = 2π = 2π ω
m ν=1 k， T
k m
α
正
k
m
mg.sinα α
mg
平衡位置：kl=mg.sin α 任意位置：k(l-x)- mg.sinα =ma
a = − k x ，令ω = k ，则T = 2π m
m
m
k
9.3 一弹簧振子，振动方程为 x=0.1cos(πt-π/3)·m，若振子从 t=0 时刻的位置到达 x=-0.05m 处，且向 X 轴负向运动，则所需的最短时间为：[ D ]

2 振动合成

合振动仍是一个简谐振动，表达式为：
x A cost
2. 推导（1）解析法
x x1 x2 A1 cos( t 1 ) A2 cos( t 2 )
A1 cos1 cost A1 sin 1 sin t A2 cos 2 cost A2 sin 2 sin t
2. 分振动的振幅和初相位都相等
为简单，设两分振动的振幅和初相位都相等，当两分振动的频率都很大，且相差甚微时，合振动为： x2 A cos 2t x1 A cos1t
x x1 x2 2 A cos
2 1
2
t cos
1 2
2
t
由于 2 1 2 1 ，则因子2 A cos 化周期比另一个因子的周期长得多。
2 1
2
2 1
2
t 的变
将 2 A cos
变化时，质点按 cos
2 1 快速地振动。 t
2
t 看成是振幅，则在此振幅缓慢
一拍
由图可见，合成振动的振幅出现时强时弱现象，周期性变化，这种现象称为拍。合振幅每变化一周叫做一拍，单位时间出现的拍次数叫拍频。拍的频率为两个分振动的频率之差。
（2）图解法
两分振动对应的旋转矢量A1、A2，转动角速度ω
因为转动角速度相等，所以A1和A2相对位置不变，可以合成而得到一个新的旋转矢量A，其角速度仍为ω，这个新矢量A的投影就是合成振动，所以合振动仍是一个角频率为ω的简谐振动。
3. 讨论
（1）同相当相位差 2 1 2k ， k 0,1,2
A
2 A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 ) A1 A2

2-2(振动)

分振动
A2
y
{ y A co )
A1
A2
A1
x
消去
2
t
，得合运动轨迹方程：
2
x y xy 2 2 2 cos( 2 1 ) sin ( 2 1 ) 2 A1 A2 A1 A2
A2 。椭圆方程，形状决定于 Δ 2 1 及 A1 、
2 之间为左旋
A1
A2
A1
x
为任意值时，合振动的轨迹一般为椭圆
0

4

2
3
4

5
4
3
2
7
5
2
演示!
演示1
4.不同频率垂直方向简谐振动的合成一般轨迹曲线复杂，且不稳定。 • 两振动的频率成整数比时，合成轨迹稳定，
称为李萨如图形。如： y
1 0.5 -1 -0.5 -0.5 0.5 1
例2. 单摆长 l
（1）证明小角度摆动为简谐振动，并求周期。（2）若将摆拉至最大角度 0 放手为计时起点，写出振动方程。
解：（1）摆沿圆弧运动，只需分析任意角位移处切向力：
0

T
F
切向力大小
F mgsin mg
o
3 5 （小角度 sin …. ) 3! 5!

考虑方向
F mg
简谐振动！
mg （非线性振动
（线性振动）混沌）
0
F ma mg a g
t0
l
T
F
O

mg
dv d d l 2 又 a （v l ） dt dt dt 2 d g d 2 l 2 g 即 dt 2 l 0 dt 2 l g T 2 g l

旋转矢量和振动合成

x = A 2 ,且向x 负向运动。
如：位相ωt2 +φ = 3π 2，问状态？ x =0 ，且向 x 正向运动。
ω
Aπ
3
o
x
例2. 已知状态求位相（特别是初位相）
如：t =0，x0 = A 2，v0>0，求φ ？
φ = 5π 3 或 φ = −π 3
A2
如：t = 0 ，x0 = − A 2 ，v0 <0,求 φ ？ −A 2 o
x/m
x/m
v A2 Δϕ
v A1
0.2
21
0.1
o
1234
56
t/s
解： A = 0.2m
ϕ1
=
−
π 2
T = 4s ω = 2π = π (1/s)
T2
x1
=
π 0.2 cos(
2
t
−
π 2
)
(SI)
Δt
=
Δϕ ω
φ2
=
−
π 3
x2
=
பைடு நூலகம்
π 0.2 cos(
2
t
−
π )
3
(SI)
(
=
π π
6 2
=
1 3
ω
Av
v A3
vϕ3
x ϕ
v
ϕ
A2
2
ϕ1 A1
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
11:00 10 9-2 旋转矢量表示和振动合成
x1 = A0 cos ω t
x2 = A0 cos( ω t + Δϕ )
xxNL3 ==LAA00ccooss[(ωωt
t +

2、振动合成

第6章 振动2(振动合成、其它振动)

谐振动分析(三)两个同方向同频率简谐运动的合成

6-2简谐振动的叠加

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第2节_简谐振动的合成

振动的合成公式(一)

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