中考数学 教材知识复习 第三章 函数 课时14 平面直角坐标系与函数的概念备考演练
2014年中考数学一轮复习课件：函数概念与平面直角坐标系
用 坐 标 表 示 平 移
某 点 的 对 称 点 的 坐 标
关于 x轴 关于 y轴
点P (x，y)关于x轴 对称的点P1的坐标 (x，－y) 为________ 点P(x，y)关于y轴 对称的点P2的坐标 (－x，y) 为________ 点P(x，y)关于原点 对称的点P3的坐标 (－x，－y) 为________ 规律可简记为：谁 对称谁不变，另一 个变号，原点对称 都变号
一般地，对于一个函数，如果以自变量与 因变量的每对对应值分别作为点的横坐标、 纵坐标，那么平面直角坐标系内由这些点 组成的图形，就是这个函数的图象
画法步骤
(1)列表
(2)描点
(3)连线
题型分类 深度剖析
类型一 坐标系中点坐标的特征
例１（2013遂宁）将点 A (3，2)沿x轴向左平移 4个单位长度得到点 A′ ，点 A′关于y轴对称 的点的坐标是 （ C ） A.(-3，2) B.(-1，2) C.( 1，2) D.(1，-2)
(1)使解析式有意义 (2)使实际问题有意义
防错提醒
函数不是数，它是指某一变化 过程中的两个变量之间的关系
考点7 函数的表示方法
用指导
表示函数时，要根据具体情况选择适 当的方法，有时为了全面认识问题， 可同时使用几种方法
考点8 函数图象的概念及画法
概念
【解析】把点 A (3,2)沿x轴向左平移4个单位 ，得到点 A′ (-1,2)，点 A′关于y轴对称的 点的坐标(1,2)．
【归纳总结】坐标系中点平移，向右平移横坐 标为加，向左平移横坐标为减．点关于什么轴 对称，什么坐标不变，关于原点对称，横纵坐 标都变号．
跟踪练习1 （怀化）如图 ，若在象棋盘上建立直角坐 标系，使“帅” 位 于 点 （-1，-2）．“马”位于点 （2，-2），则“兵”位于点 变式题1图 （ C） A.(-1，1) B.(-2，-1) C.(-3，1) D.(1，-2) 【解析】∵在象棋盘上建立直角坐标系，使“帅 ”位于点（-1，-2） ，“马”位于点（2，-2） ，∴可得出原点位置在棋子“炮”的位置，∴则 “兵”位于点(-3，1) ．
初三数学平面直角坐标系 函数知识精讲
初三数学平面直角坐标系 函数知识精讲平面直角坐标系函数（一）平面直角坐标系1. 平面直角坐标系平面内有公共原点并且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系。
在平面直角坐标系内，对于平面内任意一点，都有一对有序实数和它对应；反过来，对于任意一对有序实数，在坐标平面内都有一个确定的点和它对应。
坐标平面上的点与一对有序实数之间建立起“一一对应”关系，建立“数”与“形”之间的联系，渗透“数形结合”的数学思想。
2. 各象限内点的坐标的符号3. 特殊点的坐标①x 轴上的点的纵坐标为零②y 轴上的点的横坐标为零③一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等④二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数⑤平行于x 轴直线上的点纵坐标相等⑥平行于y 轴直线上的点横坐标相等⑦关于x 轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数⑧关于y 轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数⑨关于原点对称的点横、纵坐标分别是互为相反数4. 距离如果已知点A 的坐标为（a ，b ），那么，点A 到x 轴距离为|b|，到y 轴距离为|a|，到原点距离为a b 22+。
如果A 、B 为同一坐标轴上两点，坐标分别为A x B x ()()1200，、，或A y B y ()()0012，、，，那么A 、B 两点距离为||x x 12-或||y y 12-。
由坐标轴上两点间的距离和象限内的点到坐标轴的距离与绝对值概念的联系，渗透“分类讨论”及“转化”的数学思想。
（二）函数1. 函数设在一个变化过程中，有两个变量x 、y ，如果对于x 在某一X 围的每一个值，y 都有唯一的值与它对应。
那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。
2. 自变量的取值X 围（1）分式：分母不为零（2）偶次方根：被开方数非负（3）零指数与负整数指数：底数不为零（4）如果是实际问题，自变量取值X 围必须保证实际问题有意义3. 函数的图像由函数解析式画函数图像，要注意自变量的取值X 围。
对于函数及其图像的研究，使我们把数与形结合起来了，学习函数，不仅要掌握基本的概念，而且要把解析式、图像和性质有机地结合起来，在解题中自觉地运用数形结合的思想方法，从图像和性质对函数进行深入的研究。
平面直角坐标系及函数基本概念
教师 许长征、田淑梅 年级九年 学科数学 第1课时 2012年 3月 14日课题平面直角坐标系及函数基本概念课型复习学 习 目 标1、平面直角坐标系2、点坐标对称性3、函数的概念4、自变量取值范围5函数表达方式及图像做法重点 点坐标对称性，函数的概念，自变量取值范围 难点 自变量取值范围环节导 学 设 计易错点及变式一、平面直角坐标系1、平面内有 且 的两条数轴，构成平面直角坐标系。
在平面直角坐标系内的点和 之间建立了—一对应的关系。
2、不同位置点的坐标的特征：（1）各象限内点的坐标有如下特征：点P （x, y ）在 象限⇔x ＞0，y ＞0； 点P （x, y ）在 象限⇔x ＜0，y ＞0；点P （x, y ）在 象限⇔x ＜0，y ＜0； 点P （x, y ）在 象限⇔x ＞0，y ＜0。
（2）坐标轴上的点有如下特征：点P （x, y ）在 轴上⇔y 为0，x 为任意实数。
点P （x ，y ）在 轴上⇔x 为0，y 为任意实数。
3．点P （x, y ）坐标的几何意义：（1）点P （x, y ）到 轴的距离是| y |； （2）点P （x, y ）到 袖的距离是| x |；（3）点P （x, y ）到 的距离是22y x +（4）在平面直角坐标系内任意两点的距离可表示为： 4．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征： （1）点P （a, b ）关于x 轴的对称点是 ； （2）点P （a, b ）关于x 轴的对称点是 ； （3）点P （a, b ）关于原点的对称点是 ；【典型考题】 1、点P （-1，2）关于y 轴对称的点的坐标是（ ）．A ．（1，2）B ．（-1，2）C ．（1，-2）D ．（-1，-2）2、点M （1，2）关于x 轴对称点的坐标为（ ） A 、（－1，2） B 、（－1，－2） C 、（1，－2） D 、（2，－1）3、点 P （3，－4）关于原点对称的点是＿＿＿＿＿＿＿＿。
初三代数平面直角坐标系及函数的概念复习课课件
本课程将为您复习初三代数中的平面直角坐标系和函数的概念，帮助您更好 地掌握这一重要知识点。
平面直角坐标系
直角坐标系的定义
如何构建一个平面直角坐标系
坐标的概念
如何使用坐标表示一个点的位置
距离和斜率的计算
如何计算两点之间的距离和斜率
平面图形的表示
如何使用直角坐标系表示平面图形
现在是时间来回顾本节课所涉及的所有知识点并解决我们的错题。
3
函数的图像和奇偶性
函数的图像具有什么特征？函数的奇偶
函数的运算和复合函数
4
性如何确定？
如何进行函数的加、减、乘、除和复合 运算？
一次函数
定义和性质
一次函数的定义和特征
函数图像的特征
一次函数的图像具有什么特点？
截距和斜率的含义
如何计算函数的截距和斜率？
应用题的解法
如何使用一次函数解决实际问题？
二次函数
定义和性质
二次函数的定义和特征
完全平方公式的应用
如何使用完全平方公式求解二次函数？
函数图像的特征
二次函数的图像具有什么特点？
应用题的解法
如何使用二次函数解决实际问题？
总结与练习
1 本节课所学的重点和难点
本节课所学的重点和难点是什么？
2 相关习题的解法
请尝试完成这些与本节课相关的习题
3 知识点串讲及错题解析
直线的表示
坐标系中直线的方程
如何使用斜率和截距表示直线的方程
点斜式和两点式表示直线
如何使用点斜式和两点式表示直线的方程
斜率的概念及计算方法
如何计算直线的斜率
不同类型直线的图像
平面直角坐标系与函数知识要点归纳
平面直角坐标系与函数知识要点归纳怎样确定自变量的取值范围函数自变量的取值范围是使函数解析式有意义的自变量的所有可能取值，它是一个函数被确定的重要因素。
求函数自变量的取值范围通常有以下七种方法：一、整式型：当函数解析是用自变量的整式表示时，自变量的取值范围是一切实数。
例1. 求下列函数中自变量x 的取值范围：（1）；（2） 53213-=x y ）（ 二、分式型：当函数解析式是用自变量的分式表示时，自变量的取值范围应使分母不为零。
例2. 函数中，自变量x 的取值范围是________。
三、偶次根式型（主要是二次根式）： 当函数解析式是用自变量的二次根式表示时，自变量的取值应使被开方数非负。
例3. 函数中，自变量x 的取值范围是________。
四、零指数或负指数： 当函数解析式是用自变量的零指数或负指数表示时，自变量的取值应使零指数或负指数的底数不为零。
例4、函数y=3x +(2x-1)0+(-x +3)-2五、综合型：当函数解析式中含有整式、分式、二次根式、零指数或负指数时，要综合考虑，取它们的公共部分。
的取值范围是中，自变量、函数例x x x x x y 20)3(1)2(5-++---= 。
六、实际问题型：当函数解析式与实际问题挂钩时，自变量的取值范围应使解析式具有实际意义。
例6. 拖拉机的油箱里有油54升，使用时平均每小时耗油6升，求油箱中剩下的油y （升）与使用时间t （小时）之间的函数关系式及自变量t 的取值范围。
七、几何问题型：当函数解析式与几何问题挂钩时，自变量的取值范围应使解析式具有几何意义。
例7. 等腰三角形的周长为20，腰长为x ，底边长为y 。
求y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围。
中考数学总复习第三单元函数第9讲平面直角坐标系与函数的概念课件
解析:根据题意得x+1>0,解得x>-1.
5.(2015甘肃甘南)将点A(2,1)向上平移3个单位长度得到点B的坐标 是(2,4) .
解析:原来点的横坐标是2,纵坐标是1,向上平移3个单位长度得到新 点的横坐标不变,纵坐标为1+3=4.即该坐标为(2,4).故答案填(2,4).
编后语
常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
一、释疑难
对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已 经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。
二、补笔记
上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一 遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。
3.(2015 甘肃庆阳)函数 y=
1-2������
������ 的自变量 x 的取值范围是 x≤
1 2
且
x≠0 .
解析:根据题意得x≠0且1-2x≥0,
所以 x≤12且 x≠0. 故答案为 x≤12且 x≠0. 4.(2016 甘肃天水)函数 y= ������������+1中,自变量 x 的取值范围是 x>-1 .
中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数及其图象 知识点汇总及典例分析
中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【知识梳理】一、平面直角坐标系1. 坐标平面上的点与 有序实数对 构成一一对应；2. 各象限点的坐标的符号；3. 坐标轴上的点的坐标特征．4. 点P （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标为 ；关于y 轴对称的点的坐标为 ；关于原点对称的点的坐标为5.两点之间的距离二、函数的概念1.概念：在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有 的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.2.自变量的取值范围： （1）使解析式 （2）实际问题具有 意义3.函数的表示方法； （1） （2） （3） 三、一次函数的概念、图象、性质1．正比例函数的一般形式是 （ ），一次函数的一般形式是 (k≠0). 2. 一次函数y kx b =+的图象是经过（ ， ）和（ ， ）两点的一条直线.4.若两个一次函数解析式中，k 相等，表示两直线 ；若两直线垂直，则 。
5.的大小决定直线的倾斜程度，越大，直线越 ；四、反比例函数的概念、图象、性质1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝ 或 或 （k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2. 反比例函数的图象和性质k ＞0，b ＞0k ＞0，b ＜0k ＜0，b ＞0k ＜0，21212211P P )0()0()2(y y y P y P -＝， ，，，21212211P P )0()0()1(x x x P x P -＝， ， ，， 3．k 的几何含义：反比例函数y ＝k x(k≠0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y ＝k x(k≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积为 。
【例题精讲】 例1.函数22y x =-中自变量x 的取值范围是 ;函数y =x 的取值范围是 ．例2.已知点(13)A m -，与点(21)B n +，关于x 轴对称，则m = ，n = ． 例3.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（10，0），点B 的 坐标为（8，0）,点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形，点C 的坐标为例4．一次函数y=(3a+2)x －(4－b),求满足下列条件的a 、b 的取值范围。
中考数学总复习 基础知识梳理 第3单元 函数及其图象 3.1 平面直角坐标系与函数的概念课件
A,B,C,D的坐标分别为(0,a)，（-3,2）,（b，m），（c，m），则点E的坐标
是
（）
A.（2，-3） B.（2,3） C.（3,2） D.（3，-2）
【解析】由题意可知点A在y轴上，线段CD垂直与y轴，五 边形为正五边形，所以该五边形关于y轴对称，∴E点与B 点关于y轴对称，根据平面直角坐标系中对称点的坐标不难 得出E坐标为(3,2). 【答案】C
②图形的平移(pínɡ yí)： 对于一个图形平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化，反过 来，从图形上的点的坐标的某种变化也可以看出对这个图形进行了怎样的 平移.
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2.对称点的坐标的特征
要点 梳理 (yàodiǎn)
（1）坐标平面内，点P(x，y)关于x轴(横轴)的对称点P1的坐标为
D.（0,2）
【解析(jiě xī)】解：点M（m+1,m+3）在y轴上，m+1=0,解得m=-1.m+3=
-1+3=2.点M的坐标为（0,2）.
【答案】D
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经典 考题 (jīngdiǎn)
【例2】在直角坐标系中，点 2, 6到原点的距离为
（D）
A.-8
B.8
1.点P（a，b）到x轴的距离(jùlí)等于点P的纵坐标的绝对值，即 . b
2.点P（a，b）到y轴的距离等于点P的横坐标的绝对值，即 .
a
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要点 梳理 (yàodiǎn)
3.1.4 平面直角坐标系中的平移(pínɡ yí)与对称点的坐标
1.用坐标表示平移 （1）用坐标表示平移 ①点的平移：
中考数学复习第三章函数讲义
第三章函数第一节函数及其图象【考点1】平面直角坐标系及点的坐标1. 在平面内两条且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系。
2. 建立了平面直角坐标系的平面称为坐标平面。
3.坐标平面内每一个点P都对应着一个坐标x和一个坐标y，我们称一对有序实数P(x，y)，即点P的坐标。
4. 平面直角坐标系中点的特征【考点2】函数的有关概念及其表达式1. 变量：某一变化的过程中可以取不同数值的量叫做变量。
2. 常量：某一变化的过程中保持相同数值的量叫做常量。
3. 函数：在某一变化的过程中有两个量x和y，如果对于x的每一个值，y都有的值与它对应，那么称y是x的函数，其中x是，y是因变量。
4. 函数的表示方法有：、、。
在解决一些与函数有关的问题时，有时可以同时用两种或两种以上的方法来表示函数。
5. 画函数图象的一般步骤：列表、、。
【考点3】函数自变量的取值范围与函数值【中考试题精编】 1. 在函数中3-x =y ，自变量x 的取值范围是 ( )A. x ≠3B. x ＞3C. x ＜3D. x ≥32. 王芳同学为参加学校组织的科技知识竞赛，她周末到新华书店购买资料，如图是王芳离家的距离与时间的函数关系图象，若黑点表示王芳家的位置，则王芳走的路线可能是（ ）A. B. C. D.3. 函数1-x 2=y 中，自变量的取值范围是 。
4. 在函数x x y +-=31中，自变量x 的取值范围是 .5. 根据图中的程序，当输入x=2时，输出结果是 。
第二节 一次函数【考点1】一次函数的概念如果y=kx+b (k,b 为常数，且 )，那么y 叫做x 的一次函数。
当b=0时，也就是y=kx(k ≠0)，这时称y 是x 的正比例函数。
【考点2】一次函数的图象和性质 的增大而减小【考点3】一次函数与一次方程和一次不等式的关系一次函数y=kx+b (k,b 为常数，k ≠0) （1）当y=0时，一元一次方程kx+b=0(2) 当y ＞0或y ＜0时，一元一次不等式kx+b ＞0或kx+b ＜0【提示】当一次函数中的一个变量的值确定时，可用一元一次方程确定另一个变量的值；当 已知一次函数中的一个变量取值的范围时，可用一元一次不等式（组）确定另一个变量的取值。
中考数学专题复习《平面直角坐标系与函数》知识点梳理及典型例题讲解课件
③在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变
化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数.
（4）函数自变量取值范围.
①不同类型的函数关系式中自变量取值范围的求解方法：
函数解析式
整式型（y＝ax＋b）
自变量的取值范围
全体实数，但在实际问题中要注意限
向上平移b个单位
向下平移b个单位
平移后点P'的坐标
特征
（x－a，y）
左减
（x＋a，y）
（x，y＋b）
（x，y－b）
右加
上加
下减
（Βιβλιοθήκη ）中心对称的坐标特征：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）
关于原点的对称点为P'（－x，－y）.
（8）图形在坐标系中的旋转的坐标特征.
图形（点）的旋转与坐标变化：
① 点 P （ x ， y ） 绕 坐 标 原 点 顺 时 针 旋 转 9 0 °， 其 坐 标 变 为
P'（y，－x）；
②点P（x，y）绕坐标原点顺时针旋转180°，其坐标变为P'
（－x，－y）；
③点P（x，y）绕坐标原点逆时针旋转90°，其坐标变为P’
（－y，x）；
④点P（x，y）绕坐标原点逆时针旋转180°，其坐标变为P'
间的距离为｜y1－y2｜.
任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），则线段P1P2的中点坐标
1 ＋2 1 ＋2
为（
，
）；
2
2
任 意 两 点 P1 （ x1 ， y1 ） ， P2 （ x2 ， y2 ） ， 则 线 段 P1P2 ＝
初三代数平面直角坐标系及函数的概念复习课课件
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
06
复习题与答案解析
基础题
01
02
03
04
题目
已知点A（2，3），B（-3，2），求线段AB的长度。
答案
线段AB的长度为5。
题目
已知点A（3，5），B（-4， 1），求线段AB的中点坐标。
答案
线段AB的中点坐标为（-0.5 ，3）。
当 x = 3 时，y = 2。
题目
答案
已知函数 y = -x^2 + 4x - 3，当 x = -1 时 ，求 y 的值。
当 x = -1 时，y = -6。
正比例函数的定义与图像
正比例函数的定义
正比例函数是一种特殊的函数，其表 达式为 y = kx (k ≠ 0)，其中 x 和 y 是自变量和因变量，k 是常数。
正比例函数的图像
正比例函数的图像是一条通过原点的直线。当 k > 0 时，图像在第一象限和第三象限内均为 正值，且随着 x 的增大，y 值也逐渐增大；当 k < 0 时，图像在第二象限和第四象限内均为 负值，且随着 x 的增大，y 值逐渐减小。
斜率
一次函数图像的倾斜程度 由斜率k决定，k>0时，函 数图像为上升直线；k<0 时，函数图像为下降直线 。
截距
b为y轴上的截距，当x=0 时，y=b。
一次函数的图像
绘制方法
通过代入一组x值计算对应的y值 ，得到一系列点，将这些点连接
成直线即为一次函数的图像。
图像特征
一次函数图像是一条直线，斜率为 k，y轴上的截距为b。
进阶题
题目
中考总复习：平面直角坐标系与一次函数、反比例函数--知识讲解(基础)
中考总复习：平面直角坐标系与一次函数、反比例函数--知识讲解（基础）【考点梳理】考点一、平面直角坐标系 1.平面直角坐标系平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐标平面内一点对应的有序实数对叫做这点的坐标.在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形”（平面内的点）和“数”（有序实数对）紧密结合起来.2．各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点 点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x ；点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x ； 点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x ； 点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x ；点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数；点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数；点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0）. 3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等；点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数. 4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同； 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同. 5.关于x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征点P 与点p ′关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数； 点P 与点p ′关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数； 点P 与点p ′关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数. 6.点P(x,y)到坐标轴及原点的距离 （1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y ； （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x ；（3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x +.要点诠释：（1）注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限； （2）平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标. 考点二、函数 1.函数的概念设在某个变化过程中有两个变量x 、y,如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它相对应，那么就说y 是x 的函数，x 叫做自变量. 2.自变量的取值范围对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义.对于纯数学问题，自变量取值应保证数学式子有意义.3．表示方法⑴解析法；⑵列表法；⑶图象法.4．画函数图象（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.要点诠释：（1）在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量；（2）确定自变量取值范围的原则：①使代数式有意义；②使实际问题有意义.考点三、几种基本函数（定义→图象→性质）1.正比例函数及其图象性质（1）正比例函数：如果y=kx(k是常数，k≠0)，那么y叫做x的正比例函数．（2）正比例函数y=kx（ k≠0)的图象：过（0，0），（1，K）两点的一条直线．（3）正比例函数y=kx（k≠0)的性质①当k＞0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；②当k＜0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小 .2.一次函数及其图象性质（1）一次函数：如果y=kx+b(k,b是常数，k≠0),那么y叫做x的一次函数．（2）一次函数y=kx+b（k≠0)的图象（3）一次函数y=kx+b （k ≠0)的图象的性质一次函数y ＝kx ＋b 的图象是经过(0，b )点和)0,(kb-点的一条直线．①当k>0时，y 随x 的增大而增大； ②当k<0时，y 随x 的增大而减小．要点诠释：（1）当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例；（2）确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k.确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b. 解这类问题的一般方法是待定系数法.3.反比例函数及其图象性质 （1）定义：一般地，形如xky =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数. 三种形式：ky x=(k ≠0)或kx y =1-(k ≠0)或xy=k(k ≠0).（2）反比例函数解析式的特征：①等号左边是函数y ，等号右边是一个分式.分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1； ②比例系数0≠k ；③自变量x 的取值为一切非零实数； ④函数y 的取值是一切非零实数.（3）反比例函数的图象①图象的画法：描点法列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）； 描点（由小到大的顺序）；连线（从左到右光滑的曲线）. ②反比例函数的图象是双曲线，xky =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.③反比例函数的图象是轴对称图形（对称轴是x y =和x y -=）和中心对称图形（对称中心是坐标原点）. ④反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线xky = （0≠k ）上任意点引x 轴、y 轴的垂线，所得矩形面积为k .（4）反比例函数性质：反比例函数 )0(≠=k xky k 的符号k>0k<0图像性质①x 的取值范围是x ≠0， y 的取值范围是y ≠0；②当k>0时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限.在每个象限内，y 随x 的增大而减小.①x 的取值范围是x ≠0， y 的取值范围是y ≠0；②当k<0时，函数图像的两个分支分别 在第二、四象限.在每个象限内，y 随x 的增大而增大.（5）反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图象上一个点的坐标即可求出k ） （6）“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky =中的两个变量必成反比例关系. 【典型例题】类型一、坐标平面有关的计算1． 已知点A(a ，-5)，B(8，b)，根据下列要求确定a ，b 的值. (1)A ，B 两点关于y 轴对称； (2)A ，B 两点关于原点对称； (3)AB ∥x 轴；(4)A ，B 两点都在一、三象限的角平分线上．2．已知某一函数图象如图所示．(1)求自变量x的取值范围和函数y的取值范围；(2)求当x＝0时，y的对应值；(3)求当y＝0时，x的对应值；(4)当x为何值时，函数值最大；(5)当x为何值时，函数值最小；(6)当y随x的增大而增大时，求x的取值范围；(7)当y随x的增大而减小时，求x的取值范围．举一反三：【变式1】下图是韩老师早晨出门散步时，离家的距离y与时间x的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是( )【变式2】下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是( )．类型二、一次函数3．周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y （km）与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．（1）求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；（2）小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？（3）若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从家到乙地的路程．举一反三：【变式1】(1)直线y＝2x+1向下平移2个单位，再向右平移2个单位后的直线的解析式是_____ ___.(2)直线y＝2x+1关于x轴对称的直线的解析式是___ _____；直线y＝2x+l关于y轴对称的直线的解析式是___ ______；直线y＝2x+1关于原点对称的直线的解析式是____ _____．(3)如图所示，已知点C为直线y＝x上在第一象限内一点，直线y＝2x+1交y轴于点A，交x轴于B，将直线AB平移后经过(3，4)点，则平移后的直线的解析式是__ ______．【变式2】某地夏天旱情严重．该地10号、15号的人日均用水量的变化情况如图所示．若该地10号、15号的人均用水量分别为18千克和15千克，并一直按此趋势直线下降．当人日均用水量低于10千克时，政府将向当地居民送水．那么政府应开始送水的号数为( )A ．23B ．24C ．25D ．26类型三、反比例函数4．已知函数2y x=和y ＝kx+1(k ≠0)． (1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a 和k 的值； (2)当k 取何值时，这两个函数的图象总有公共点?举一反三：【变式】已知正比例函数y kx =（k 为常数，0k ≠）的图象与反比例函数5ky x-=（k 为常数，0k ≠）的图象有一个交点的横坐标是2． （1）求两个函数图象的交点坐标；（2）若点11()A x y ，，22()B x y ，是反比例函数5ky x-=图象上的两点，且12x x <，试比较12y y ，的大小．类型四、函数综合应用5．如图，直线b x y +-=（b ＞0）与双曲线xky =（k ＞0）在第一象限的一支相交于A 、B 两点，与坐标轴交于C 、D 两点，P 是双曲线上一点，且PD PO =.（1）试用k 、b 表示C 、P 两点的坐标；（2）若△POD 的面积等于1，试求双曲线在第一象限的一支的函数解析式； （3）若△OAB 的面积等于34，试求△COA 与△BOD 的面积之和.举一反三：【变式1】如图所示是一次函数y 1＝kx+b 和反比例函数2my x=的图象，观察图象写出y 1＞y 2时x 的取值范围________．【变式2】已知函数232(21)my m x -=-，m 为何值时，(1)y 是x 的正比例函数，且y 随x 的增大而增大? (2)函数的图象是位于第二、四象限的双曲线?6．已知直线11:n n l y x n n+=-+(n 是不为零的自然数)．当n ＝1时，直线1:21l y x =-+与x 轴和y 轴分别交于点A 1和B 1，设△A 1OB 1(其中O 是平面直角坐标系的原点)的面积为S 1；当n ＝2时，直线231:22l y x =-+与x 轴和y 轴分别交于点A 2和B 2，设△A 2OB 2的面积为S 2，…，依此类推，直线n l 与x轴和y 轴分别交于点A n 和B n ，设△A n OB n 的面积为S n ．(1)求11AOB △的面积S 1； (2)求S 1+S 2+S 3+…+S 6的面积．。
【优秀资料】平面直角坐标系与函数的概念PPT
考点聚焦
向上（下考）平点移k个三点位，对函应点数坐标的为 有关概念及图象
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为
.
1(在数(一于就12. ))函某值般x说变函的一 保 地 x数量数是变持，及与化不在其常过变某相量程的一关，，中量变概yy都是，叫化念有x可做过的以程取中不有确. 同两定. 数个的值变值的量与量x它与叫对y，做应如，果那，对么 每一个值 唯常一函量数 变量 (⑤例②考考用各∴解∴O由考第使考两考坐考③(函 解过（标在(（ 图（第113BBA)))坐1对点点图象：函点三函点个点标点特数都点2轴某2象2三列 列 当DD=）00标 称 四 三 象 限 由 数 二 象 数 三 变 二 平 四 殊 图在 C的 一 ， 象O==（11表表函当5588作D平点：表内题解：限量：面：位象 函单变其限2：：数，，••﹣函金枣0C面：函函示点意析平函间平内函置是 数位化中列列表1CCDA数华庄8DD内关数数函的得式面数的面点数点在 图长过M⊥D表表达的•表））==东为=点于图的数特，画直的函直的图的自 象度程y给给式55自4达小如轴营00曲的象有关点其角有数角坐象特变 上取中xx0出出是变÷÷轴﹣式明图﹣于）线平的关系：图坐关关坐标的点量 ，.1自自二量221对是m为13D在部﹣﹣移运概的平象标概系标所运：取 可≥，0变变次的，m称分画0平=分第第11：用念方面的系念，系具用值以P点且量量根，取166，式一（面的0四四将及法内一与及有与备范 取==Px与与式则值，横时个99﹣a直从最象象点图叫点般其图时其的围 不，，函函时图的坐，，零1角△低限限象做的步知象可知特内 同P≠数数，中全标b考件（坐0A自点图坐骤识以识征无 数）的的被转体，B不虑的a标，象标用必限 值若C一一开折，变变,分轴系b则的法特一须个 的在些些方点叫），式截中△量顶征个结点 量.一对对数P做向纵的面，A点的含合组 叫、应应为自左坐B分，若B坐有坐成 做三C值值变右标出母以点的标这标的象..量平..互发不该P面表两平图限的移（为，能轴.积示，个面形角hm相沿为截是个正数变去，的﹣反B0面单确值量理图平；→2数底，.位的保及解象分C；边m，是→持数和上线所+对（A不字记任上1．匀在）应变运忆意，速的在点的算，一则运直第）坐量符不点动线二标叫号可的到为象为做的生坐点x限等硬标轴A，，式死是，，则若表记解对图.m在示一析称2的是或二，些式轴取点、这结方为值P四种论程y运范轴象表的. 动围，限示一时.是建角法 个，（立的叫解线如平做，段图分解反B）所线析之P示的上法满的长，足. 平度则解面y析随直式时角方间坐程.x标变的系化每．的一若关个坐系
初中函数精讲
知识点四 正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，如果 y kx b （k，b 是常数，k 0），那么 y 叫做 x 的一次函数。 特别地，当一次函数 y kx b 中的 b 为 0 时， y kx（k 为常数，k 0）。这时，y 叫做 x 的 正比例函数。
2、二次函数的图像 b
二次函数的图像是一条关于 x 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2a
抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法 五点法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点 M，并用虚线画出对 称轴 （2）求抛物线 y ax2 bx c 与坐标轴的交点： 当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点 C 的对称点 D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数 的图像。 当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点 D。由 C、M、 D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点 A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
4ac b2
x 时， y最值
。
2a
4a
b 如果自变量的取值范围是 x1 x x2 ，那么，首先要看 是否在自变量取值范围 x1 x x2
2a
b
4ac b2
内，若在此范围内，则当 x= 时， y最值
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课时14 平面直角坐标系与函数的概念
一、选择题
1．(2015·恩施州)函数y＝
1
x－2
＋x－2的自变量x的取值范围是( B )
A．x≥2 B．x＞2 C．x≠2 D．x≤2
2．若点M(x，y)满足(x＋y)2＝x2＋y2－2，则点M所在象限是( B )
A．第一象限或第三象限
B．第二象限或第四象限
C．第一象限或第二象限
D．不能确定
3．(2015·广东)如图，已知正△ABC的边长为2，E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是( D )
二、填空题
4．(2016·淮安)点A(3，－2)关于x轴对称的点的坐标是__(3，2)__．
5．(2016·孝感)将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中，OB
在x轴上，若OA＝2，将三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A′的坐标为
．
三、解答题
6．在棋盘中建立如图所示的直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置如图，它们的坐标分别是(－1，1)，(0，0)，(1，0)．
(1)如图，添加棋子C，使四颗棋子A，O，B，C成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴；
(2)在其他格点位置添加一颗棋子P，使四颗棋子A，O，B，P成为轴对称图形，请直接写出棋子P的位置的坐标．(写出2个即可)
[解] (1)如图所示．
(2)P(2，1)或P(0，－1)．
7．(2015·武汉)如图，已知点A(－4，2)，B(－1，－2)，平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O.
(1)请直接写出点C、D的坐标；
(2)写出从线段AB到线段CD的变换过程；
(3)直接写出平行四边形ABCD的面积．
[解] (1)C(4，－2)，D(1，2)．
(2)线段AB到线段CD的变换过程是：线段AB向右平移5个单位得到线段CD.
(3)由(1)得：A到y轴距离为4，D到y轴距离为1，A到x轴距离为2，B到x轴距离为2，
∴平行四边形ABCD的面积可以转化为长为5、宽为4的矩形面积，
∴S ABCD＝5×4＝20.
一、选择题
1．(2015·潜江)在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都是网格线的交点，已知B，C两点的坐标分别为(－1，－1)，(1，－2)，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，则点A的对应点的坐标为( D )
A．(4，1) B．(4，－1)
C．(5，1) D．(5，－1)
第1题图第2题图
2．如图，坐标平面上，△ABC 与△DEF 全等，其中A 、B 、C 的对应顶点分别为D 、E 、F ，且AB ＝BC ＝5.若A 点的坐标为(－3，1)，B 、C 两点在方程式y ＝－3的图形上，D 、E 两点在y 轴上，则F 点到y 轴的距离为( C )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题
3．(2015·随州)在直角坐标系中，将点(－2，3)关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是__(0，－3)__．
4．(2015·厦门)如图，某个函数的图象由线段AB 和BC 组成，其中点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，12，C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，53，则此函数的最小值是__12__．
三、解答题
5．【阅读】
在平面直角坐标系中，以任意两点P(x 1，y 1)、Q(x 2，y 2)为端点的线段中点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22. 【运用】
(1)如图，矩形ONEF 的对角线交于点M ，ON 、OF 分别在x 轴和y 轴上，O 为坐标原点，点E 的坐标为(4，3)，求点M 的坐标；
(2)在直角坐标系中，有A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)三点，另有一点D 与点A 、B 、C 构成平行四边形的顶点，求点D 的坐标．
[解] (1)∵四边形ONEF 是矩形，∴点M 是OE 的中点．
∵O(0，0)，E(4，3)，
∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，32. (2)设点D 的坐标为(x ，y)．
若以AB 为对角线，AC ，BC 为邻边构成平行四边形，则AB ，CD 的中点重合，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧1＋x 2＝－1＋32，4＋y 2＝2＋12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 若以BC 为对角线，AB ，AC 为邻边构成平行四边形，则AD ，BC 的中点重合，
∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋x 2＝1＋32，2＋y 2＝4＋12，
解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3. 若以AC 为对角线，AB ，BC 为邻边构成平行四边形，则BD ，AC 的中点重合，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧3＋x 2＝－1＋12，1＋y 2＝2＋42，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝5. 综上可知，点D 的坐标为(1，－1)或(5，3)或(－3，5)．。