人教版高一数学必修四第一章诱导公式二、三、四

1．3三角函数的诱导公式
第1课时诱导公式二、三、四
考点学习目标核心素养诱导公式二、三、四理解诱导公式的推导方法逻辑推理
诱导公式的应用能运用公式进行三角函数式的求值、化
简以及证明
数学运算、逻辑推理
问题导学
预习教材P23－P26，并思考下列问题：
1．π±α，－α的终边与α的终边有怎样的对称关系？
2．诱导公式的内容是什么？
1．公式二
终边关系图示角π＋α与角α的终边关于原点对称
公式
sin(π＋α)＝－sin__α，cos(π＋α)＝－cos__α，tan(π＋α)＝tan__α
终边关系图示
角－α与角α的终边关于x轴对称
公式
sin(－α)＝－sin__α，cos(－α)＝cos__α，
tan(－α)＝－tan α
终边关系图示
角π－α与角α的终边关于y 轴对称
公式 sin(π－α)＝sin__α，cos(π－α)＝－cos__α，
tan(π－α)＝－tan__α
■名师点拨
诱导公式的记忆
诱导公式一～四的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)诱导公式三可以将任意负角的三角函数值转化为正角的三角函数值．( ) (2)对于诱导公式中的角α一定是锐角．( ) (3)由诱导公式三知cos [－(α－β)]＝－cos (α－β)．( ) (4)在△ABC 中，sin (A ＋B )＝sin C ．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ 下列式子中正确的是( )
A ．sin(π－α)＝－sin α
B ．cos(π＋α)＝cos α
C ．cos α＝sin α
D ．sin(2π＋α)＝sin α
答案：D
已知tan α＝6，则tan(π－α)＝________． 答案：－6
cos 120°＝________，sin ⎝⎛⎭⎫－5
6π＝________． 答案：－12 －1
2
给角求值问题
利用公式求下列三角函数值： (1)cos
47
6
π；(2)tan(－855°)．
(3)sin(－945°)＋cos(－29
6π)．
(4)tan 34π＋sin 116
π.
【解】 (1)cos 476π＝cos(116π＋6π)＝cos 116π＝cos(2π－π6)＝cos π6＝32
.
(2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝－tan(－45°)＝tan 45°＝1.
(3)原式＝sin(－2×360°－225°)＋cos ⎝
⎛
⎭⎪⎫－4π－5π6
＝sin(－225°)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－5π6
＝－sin(180°＋45°)＋cos ⎝
⎛⎭⎪⎫
π－π6
＝sin 45°－cos π6＝22－3
2＝2－32.
(4)原式＝tan(π－π4)＋sin(2π－π
6)
＝－tan π4－sin π6＝－1－1
2
＝－3
2
.
利用诱导公式解决给角求值的步骤
1．(2019·重庆一中期末检测)tan 5π
3＝( )
A ．－ 3 B. 3 C ．－
33
D.33
解析：选A.tan 5π3＝tan(2π－π3)＝－tan π
3＝－3，故选A.
2．求下列各三角函数值：
(1)cos ⎝⎛⎭⎫
－31π6；
(2)tan(－765°)； (3)sin
4π3·cos 25π6·tan 5π4
. 解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋7π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝－cos π6＝－32
. (2)tan(－765°)＝－tan 765°＝－tan(45°＋2×360°) ＝－tan 45°＝－1. (3)sin 4π3·cos 25π6·tan 5π
4
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫4π＋π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4
＝－sin π3cos π6tan π
4
＝－
32×32×1＝－34
.
化简求值问题
化简下列各式．
(1)tan （2π－α）sin （－2π－α）cos （6π－α）cos （α－π）sin （5π－α）；
(2)sin （1 440°＋α）·cos （α－1 080°）cos （－180°－α）·sin （－α－180°）
. 【解】 (1)原式＝sin （2π－α）
cos （2π－α）
·sin （－α）cos （－α）
cos （π－α）sin （π－α）
＝
－sin α（－sin α）cos αcos α（－cos α）sin α＝－sin α
cos α
＝－tan α.
(2)原式＝sin （4×360°＋α）·cos （3×360°－α）
cos （180°＋α）·[－sin （180°＋α）]
＝
sin α·cos （－α）
（－cos α）·sin α＝cos α
－cos α
＝－1.
三角函数式化简的常用方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． (3)注意“1”的应用：1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4
.
化简cos （π＋α）·cos （2π＋α）
sin （－α－π）·cos （－π－α）
.
解：原式＝－cos α·cos α
－sin （π＋α）·cos （π＋α）
＝
－cos 2α－sin αcos α＝
1
tan α
.
给值(式)求值问题
(1)若cos(2π－α)＝5
3且α∈⎝⎛⎭
⎫－π2，0，则sin(π－α)＝( ) A ．－
53
B ．－2
3
C ．－13
D ．±23
(2)已知cos ⎝⎛
⎭⎫π6－α＝3
3，则cos ⎝
⎛⎭⎫α＋5π6＝________．
【解析】 (1)因为cos(2π－α)＝cos α＝
5
3
， α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2
，0，
所以sin α＝－
1－cos 2α＝－2
3
，
则sin(π－α)＝sin α＝－2
3
.
(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6
＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α
＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－α＝－3
3.
【答案】 (1)B (2)－
3
3
1．[变设问]若本例(2)中的条件不变，如何求cos ⎝⎛⎭⎫
α－13π6？
解：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－13π6＝cos ⎝⎛⎭⎫136π－α＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝3
3
.
2．[变设问]若本例(2)中的条件不变，求cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π
6的值． 解：因为cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－α＝－3
3，
sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－α＝1－⎝⎛⎭⎫332
＝23，
所以cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫α－π6＝－33－23＝－2＋33.
解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
1．若sin(π＋α)＝1
2，α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则tan(π－α)等于( )
A ．－1
2
B ．－
32
C ．－ 3
D ．－
33
解析：选D.因为sin(π＋α)＝－sin α， 根据条件得sin α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π，3π2，
所以cos α＝－
1－sin 2α＝－
3
2
. 所以tan α＝sin αcos α＝13＝3
3.
所以tan(π－α)＝－tan α＝－
3
3
. 2．已知tan(π＋α)＝3，求2cos （π－α）－3sin （π＋α）
4cos （－α）＋sin （2π－α）的值．
解：因为tan(π＋α)＝3， 所以tan α＝3.
故2cos （π－α）－3sin （π＋α）4cos （－α）＋sin （2π－α） ＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α
＝
－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3×3
4－3
＝7.
1．计算cos(－600°)＝( ) A.
32 B ．－32 C.12 D ．－12
解析：选D.cos(－600°)＝cos 600°＝cos(360°＋240°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－1
2
.
2．已知cos(α－π)＝－5
13，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)等于( )
A ．－1213 B.1213 C ．±1213
D.5
12
解析：选A.由cos(α－π)＝－513.得cos α＝5
13
.又α为第四象限角，所以sin(－2π＋α)
＝sin α＝－
1－cos 2α＝－12
13
.
3．化简下列各式．
(1)sin 2（α＋π）cos （π＋α）
tan （π－α）cos 3（－α－π）tan （－α－2π）； (2)sin （540°＋α）·cos （－α）tan （α－180°）
.
解：(1)原式＝（－sin α）2·（－cos α）
（－tan α）·（－cos α）3·（－tan α）
＝
－sin 2αcos α
－tan 2α·cos 3α＝1.
(2)原式＝sin （360°＋180°＋α）·cos α
－tan （180°－α）
＝sin （180°＋α）·cos αtan α
＝－sin α·cos αsin α
cos α＝－cos 2α.
[A 基础达标]
1．若α＝2π
3，则α的终边与单位圆的交点P 的坐标是( )
A.⎝⎛⎭⎫12，3
2 B.⎝⎛⎭⎫－12，32 C.⎝
⎛⎭
⎫
－
32，12 D.⎝⎛⎭⎫12
，－32
解析：选B.因为cos 2π3＝－12，sin 2π3＝32，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，3
2，故选B.
2．sin 600°＋tan(－300°)的值是( ) A ．－
3
2
B.32
C ．－1
2＋ 3
D.1
2
＋ 3 解析：选B.原式＝sin(360°＋240°)＋tan(－360°＋60°)＝－sin 60°＋tan 60°＝
32
.
3．若sin(π＋α)＋sin(－α)＝－m ，则sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)等于( ) A ．－23m
B ．－32m
C.23
m D.32
m 解析：选B.因为sin(π＋α)＋sin(－α)＝－2sin α＝－m ，
所以sin α＝m 2，则sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－3
2m .故选
B.
4．设f (α)＝2sin （2π－α）cos （2π＋α）－cos （－α）1＋sin 2α＋sin （2π＋α）－cos 2（4π－α），则f ⎝⎛⎭⎫－23
6π的值为( ) A.3
3
B ．－
33
C. 3
D ．－ 3
解析：选D.f (α)＝2sin （－α）cos α－cos α
1＋sin 2α＋sin α－cos 2α
＝
－cos α（2sin α＋1）sin α（2sin α＋1）＝－1
tan α
.
所以f ⎝⎛⎭⎫－236π＝－1tan ⎝⎛⎭⎫－236π＝－1tan
π6＝－ 3. 5．已知tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝1
3，则tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝( ) A.13 B ．－13
C.233
D ．－233
解析：选B.因为tan ⎝
⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α，所以tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3＋α＝－1
3. 6．sin ⎝⎛⎭
⎫－7π
3＝________．
解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3＝－sin 7π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋4π3＝sin 4π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－sin π3＝－3
2.
答案：－
3
2
7．化简：cos （3π－α）
sin （－π＋α）
·tan(2π－α)＝________．
解析：原式＝cos （π－α）
－sin （π－α）·tan(－α)
＝－cos α－sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin αcos α＝－1. 答案：－1
8．当θ＝5π4时，sin[θ＋（2k ＋1）π]－sin[－θ－（2k ＋1）π]
sin （θ＋2k π）cos （θ－2k π）(k ∈Z )的值等于________．
解析：原式＝－sin θ－sin θsin θcos θ＝－2
cos θ.
当θ＝5π
4
时，原式＝－
2
cos
5π4
＝2 2. 答案：2 2
9．求值：sin(－1 200°)×cos 1 290°＋cos(－1 020°)×sin(－1 050°)＋tan 855°. 解：原式＝－sin(120°＋3×360°)×cos(210°＋3×360°)＋cos(300°＋2×360°)×[－sin(330°＋2×360°)]＋tan(135°＋2×360°)
＝－sin 120°×cos 210°－cos 300°×sin 330°＋tan 135°
＝－sin (180°－60°)×cos (180°＋30°)－cos(360°－60°)×sin(360°－30°)＋tan(180°－45°)
＝sin 60°×cos 30°＋cos 60°×sin 30°－tan 45° ＝
32×32＋12×1
2
－1 ＝0.
10．已知sin(α＋π)＝4
5，且sin αcos α<0，求2sin （α－π）＋3tan （3π－α）4cos （α－3π）的值．
解：因为sin(α＋π)＝45，所以sin α＝－4
5，
又因为sin αcos α<0， 所以cos α>0，cos α＝1－sin 2α＝3
5
，
所以tan α＝－4
3
.
所以原式＝－2sin α－3tan α－4cos α
＝
2×⎝⎛⎭⎫－45＋3×⎝⎛⎭
⎫－434×35＝－73
. [B 能力提升]
11．有下列三角函数式：①sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋34π；②cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6；③sin ⎝
⎛⎭⎫2n π＋π3；④cos ⎣
⎡⎦⎤（2n ＋1）π－π6； ⑤sin ⎣
⎡⎦⎤（2n －1）π－π3. 其中n ∈Z ，则函数值与sin
π3的值相同的是( ) A ．①②
B ．②③④
C ．②③⑤
D ．③④⑤ 解析：选C.①中sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋3π4＝sin 3π4≠sin π3；②中，cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2n π－π6＝cos π6＝sin π3；③中，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3＝sin π3；④中，cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π6＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6≠sin π3；⑤中，sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n －1）π－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π3＝－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3. 12．若f (n )＝sin n π3
(n ∈Z )，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝________． 解析：f (1)＝sin π3＝32，f (2)＝sin 2π3＝32，f (3)＝sin π＝0，f (4)＝sin 4π3＝－32
，f (5)＝sin 5π3＝－32，f (6)＝sin 2π＝0，f (7)＝sin 7π3＝sin π3
＝f (1)，f (8)＝f (2)，……， 因为f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (6)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＋336×0＝ 3.
答案： 3
13．已知sin(4π＋α)＝2sin β，3cos(6π＋α)＝2cos(2π＋β)，且0<α<π，0<β<π，求α和β的值．
解：因为sin(4π＋α)＝2sin β，所以sin α＝ 2 sin β. ①
因为3cos(6π＋α)＝2cos(2π＋β)， 所以3cos α＝2cos β. ②
①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2(sin 2β＋cos 2β)＝2，
所以cos 2α＝12，即cos α＝±22
. 又0<α<π，所以α＝π4或α＝3π4
. 又0<β<π，当α＝π4时，由②得β＝π6
； 当α＝3π4时，由②得β＝5π6
. 所以α＝π4，β＝π6或α＝3π4，β＝5π6
. 14．(选做题)化简下列各式．
(1)sin （k π－α）cos[（k －1）π－α]sin[（k ＋1）π＋α]cos （k π＋α）
(k ∈Z )； (2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°
. 解：(1)当k ＝2n (n ∈Z )时，
原式＝sin （2n π－α）cos[（2n －1）π－α]sin[（2n ＋1）π＋α]cos （2n π＋α）
＝sin （－α）·cos （－π－α）sin （π＋α）·cos α
＝
－sin α·（－cos α）－sin α·cos α＝－1； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，
原式＝sin[（2n ＋1）π－α]·cos[（2n ＋1－1）π－α]sin[（2n ＋1＋1）π＋α]·cos[（2n ＋1）π＋α] ＝sin （π－α）·cos αsin α·cos （π＋α）＝sin α·cos αsin α·（－cos α）＝－1. 综上，原式＝－1.
(2)原式＝1＋2sin（360°－70°）cos（360°＋70°）sin（180°＋70°）＋cos（720°＋70°）
＝
1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°
＝|cos 70°－sin 70°| cos 70°－sin 70°
＝sin 70°－cos 70°
cos 70°－sin 70°
＝－1.。