人教版高一数学必修四第一章诱导公式二、三、四

1．3三角函数的诱导公式

第1课时诱导公式二、三、四

考点学习目标核心素养诱导公式二、三、四理解诱导公式的推导方法逻辑推理

诱导公式的应用能运用公式进行三角函数式的求值、化

简以及证明

数学运算、逻辑推理

问题导学

预习教材P23－P26，并思考下列问题：

1．π±α，－α的终边与α的终边有怎样的对称关系？

2．诱导公式的内容是什么？

1．公式二

终边关系图示角π＋α与角α的终边关于原点对称

公式

sin(π＋α)＝－sin__α，cos(π＋α)＝－cos__α，tan(π＋α)＝tan__α

终边关系图示

角－α与角α的终边关于x轴对称

公式

sin(－α)＝－sin__α，cos(－α)＝cos__α，

tan(－α)＝－tan α

终边关系图示

角π－α与角α的终边关于y 轴对称

公式 sin(π－α)＝sin__α，cos(π－α)＝－cos__α，

tan(π－α)＝－tan__α

■名师点拨

诱导公式的记忆

诱导公式一～四的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)诱导公式三可以将任意负角的三角函数值转化为正角的三角函数值．( ) (2)对于诱导公式中的角α一定是锐角．( ) (3)由诱导公式三知cos [－(α－β)]＝－cos (α－β)．( ) (4)在△ABC 中，sin (A ＋B )＝sin C ．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ 下列式子中正确的是( )

A ．sin(π－α)＝－sin α

B ．cos(π＋α)＝cos α

C ．cos α＝sin α

D ．sin(2π＋α)＝sin α

答案：D

已知tan α＝6，则tan(π－α)＝________． 答案：－6

cos 120°＝________，sin ⎝⎛⎭⎫－5

6π＝________． 答案：－12 －1

2

给角求值问题

利用公式求下列三角函数值： (1)cos

47

6

π；(2)tan(－855°)．

(3)sin(－945°)＋cos(－29

6π)．

(4)tan 34π＋sin 116

π.

【解】 (1)cos 476π＝cos(116π＋6π)＝cos 116π＝cos(2π－π6)＝cos π6＝32

.

(2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝－tan(－45°)＝tan 45°＝1.

(3)原式＝sin(－2×360°－225°)＋cos ⎝

⎛

⎭⎪⎫－4π－5π6

＝sin(－225°)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

－5π6

＝－sin(180°＋45°)＋cos ⎝

⎛⎭⎪⎫

π－π6

＝sin 45°－cos π6＝22－3

2＝2－32.

(4)原式＝tan(π－π4)＋sin(2π－π

6)

＝－tan π4－sin π6＝－1－1

2

＝－3

2

.

利用诱导公式解决给角求值的步骤

1．(2019·重庆一中期末检测)tan 5π

3＝( )

A ．－ 3 B. 3 C ．－

33

D.33

解析：选A.tan 5π3＝tan(2π－π3)＝－tan π

3＝－3，故选A.

2．求下列各三角函数值：

(1)cos ⎝⎛⎭⎫

－31π6；

(2)tan(－765°)； (3)sin

4π3·cos 25π6·tan 5π4

. 解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋7π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝－cos π6＝－32

. (2)tan(－765°)＝－tan 765°＝－tan(45°＋2×360°) ＝－tan 45°＝－1. (3)sin 4π3·cos 25π6·tan 5π

4

＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3cos ⎝ ⎛

⎭⎪⎫4π＋π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4

＝－sin π3cos π6tan π

4

＝－

32×32×1＝－34

.

化简求值问题

化简下列各式．

(1)tan （2π－α）sin （－2π－α）cos （6π－α）cos （α－π）sin （5π－α）；

(2)sin （1 440°＋α）·cos （α－1 080°）cos （－180°－α）·sin （－α－180°）

. 【解】 (1)原式＝sin （2π－α）

cos （2π－α）

·sin （－α）cos （－α）

cos （π－α）sin （π－α）

＝

－sin α（－sin α）cos αcos α（－cos α）sin α＝－sin α

cos α

＝－tan α.