人教版八年级数学上册14.2乘法公式ppt精品课件
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人教版八年级数学上册《14.2乘法公式(第1课时)》课件
你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？
Ａ
DＧ
a M
b
B
Ｆ EH
NbC
理解平方差公式
例1 运用平方差公式计算：
（1）（3x+2）（3x-2）； （2）（-x+2 y）（-x-2y）．
解：（1） （3x+2）（3x-2）=（3x）2 -22
（a+b）（a-b）
= 9x2 -4；
a2 -b2
理解平方差公式
探究平方差公式
在14.1节中，我们学习了整式的乘法知识，计算下列
多项式的积，你能发现什么规律？
（1）（x+1）（x-1）=
x2 -1 ；
（2）（m+2）（m-2）= m2-4 ；
（3）（2x+1）（2x-1）= 4x2 -1 ．
上述问题中相乘的两个多项式有什么共同点？
例1 运用平方差公式计算：
（1）（3x+2）（3x-2）； （2）（-x+2 y）（-x-2y）．
解：（2） （-x+2 y）（-x-2 y） （a+b） （a-b）
=（-x）2 -（2 y）2 =x2 -4 y2. a2 - b2
巩固平方差公式
练习1 下面各式的计算对不对？如果不对，应当 怎样改正？
探究平方差公式
你能对发现的规律进行推导吗？
（a+b）（a-b） =a2 -ab+ab-b2 =a2 -b2
理解平方差公式
前面探究所得的式子（a+b）（a-b）=a2-b2 为乘法 的平方差公式，你能用文字语言表述平方差公式吗？
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的 平方差．
人教版数学八年级上14.2《乘法公式》课件(共25张PPT)
练习：
指出下列各式中的错误，并加以改正：
1) 2) (2a+1)2 =4a2+1; 3) (2a-1)2 =2a2 – 2a+1. 解：1) (-a-1)2 = [-(a+1)]2 = (a+1)2 = a2+2a+1
2 (-a-1) =
2 -a -2a-1;
练习：
指出下列各式中的错误，并加以改正：
2
2. 怎样计算(a+b+c)2 ? 2 2 解：(a+b+c) =[(a+b)+c] 2 2 =(a+b) +2· (a+b) · c+c =a2+2ab+c2+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
3. 运用乘法公式计算(-a+b-c)2 解法一：用二项完全平方公式计算 (-a+b-c)2= [(-a+b)-c]2 = (-a+b)2-2· (-a+b) · c+c2 = a2-2ab+b2+2ac-2bc+c2 = a2+b2+c2-2ab+2ac-2bc 解法二：用三项完全平方公式计算 (-a+b-c)2 = (-a)2+b2+(-c)2+2(-a)b+2(-a)(-c)+2b(-c) = a2+b2+c2-2ab+2ac-2bc
(a+b) (a+b)
最新人教版初中八年级上册数学【第十四章 14.2乘法公式 运用乘法公式计算】教学课件
(1)括号前是“－”时，易出现符号错误. (2)混淆两个乘法公式而出错.
谢谢
(1) (2x + y + z) (2x – y – z) 解：原式 =[ 2x + ( y + z ) ] [ 2x – ( y + z ) ]
= (2x)2– (y + z)2 =4x2 –(y2+2yz+z2) =4x2 – y2–2yz–z2 =4x2 – y2–z2–2yz.
当堂练习
(2) (a + 2b – 1) 2 解：原式=[a + (2b – 1) ]2
ab
4.(x－2y－3)(x+2y－3). 解：原式=[(x－3)－2y] [(x－3)+2y].
例题讲解
例2 . 运用乘法公式计算:
(a + b +c ) 2.
解：原式 = [ (a+b) +c ]2
温馨提示：将(a+b)看作一个整体， 解题中渗透整体的思想.
= (a+b)2 +2 (a+b)c +c2
2.判断下列计算过程是否正确，若错误请把正 确答案修改在下面.
( 3a +2b－c ) 2 解：原式 = [ (3a + 2b )－c ]2 应该运用完全平方公式
= ( 3a + 2b )2 －c2 这是平方差 = 9a2 +12ab + 4b2－c2. 判断：错误.
易错点：混淆两个乘法公式而出错．
2.(2y－3)2= 4y2－12y + 9 .
温馨提示：将(2y – 3)看作一个整 体，解题中渗透整体的思想.
思考
一、去括号法则是什么？
谢谢
(1) (2x + y + z) (2x – y – z) 解：原式 =[ 2x + ( y + z ) ] [ 2x – ( y + z ) ]
= (2x)2– (y + z)2 =4x2 –(y2+2yz+z2) =4x2 – y2–2yz–z2 =4x2 – y2–z2–2yz.
当堂练习
(2) (a + 2b – 1) 2 解：原式=[a + (2b – 1) ]2
ab
4.(x－2y－3)(x+2y－3). 解：原式=[(x－3)－2y] [(x－3)+2y].
例题讲解
例2 . 运用乘法公式计算:
(a + b +c ) 2.
解：原式 = [ (a+b) +c ]2
温馨提示：将(a+b)看作一个整体， 解题中渗透整体的思想.
= (a+b)2 +2 (a+b)c +c2
2.判断下列计算过程是否正确，若错误请把正 确答案修改在下面.
( 3a +2b－c ) 2 解：原式 = [ (3a + 2b )－c ]2 应该运用完全平方公式
= ( 3a + 2b )2 －c2 这是平方差 = 9a2 +12ab + 4b2－c2. 判断：错误.
易错点：混淆两个乘法公式而出错．
2.(2y－3)2= 4y2－12y + 9 .
温馨提示：将(2y – 3)看作一个整 体，解题中渗透整体的思想.
思考
一、去括号法则是什么？
14.2 乘法公式 课件 人教版数学八年级上册
(－3y－4x)(3y－4x)＝(－4x－3y)(－4x＋3y) ＝(－4x)2－(3y)2＝16x2－9y2.
知1－练
感悟新知
知1－练
1－1. 下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是( B ) A. (a－1)(1－a) B. (－a＋2)(－a－2) C. (a＋2)(2＋a) D. (a－b)(－a＋b)
知2－练
(1)1022；
解：原式＝(100＋2)2＝10 000＋400＋4＝10 404；
(2)99.82；
原式＝(100－0.2)2＝10 000－40＋0.04＝9 960.04；
2
(3)
60
1 60
.
原式＝60＋6102＝3
600＋2＋3
6100＝3
6023
1 600.
感悟新知
知识点 3 添括号
为2 023.
2 022×2 024－2 0232＝(2 023－1)×(2 023＋1)－2 0232
＝2 0232－12－2 0232＝－1.
感悟新知
2－1. 运用平方差公式进行简便计算：
知1－练
(1)9.8×10.2；
解：原式＝(10－0.2)×(10＋0.2)＝；
(2)(－4a＋5b)2；
知2－练
括号不能漏掉.
(－4a＋5b)2 ＝(5b－4a)2 ＝(5b)2－2·(5b)·(4a)＋(4a)2 ＝25b2－40ab＋16a2；
不 能 漏 掉 “ 2ab” 项 且 符 号 与完全平方中的符号一致.
感悟新知
(3)(－2m－n)2；
知2－练
解：(－2m－n)2 ＝(2m＋n)2
感悟新知
知3－讲
特别解读 1. 添括号只是一个变形，不改变式子的值. 2. 添括号时，如果括号前面是负号，括号里的各项都要改
人教版八年级上册 14.2乘法公式(1) 课件 (共20张PPT)
一(二)数”是一分数 或是数与字母的乘积 要时用, 括号把这个数整
个括起来，再平方;
最后的结果 又要去掉括号。
生活实践，学以致用
⑴计算：1998×2002
⑵现在你能揭开小林快速口算出4.2×3.8的秘 密吗?
随堂练习
随堂练习
1、计算：
(1)(a+2)(a−2)；
(2)(3a +2b)(3a−2b) ;
多项式乘法 法则是:
用一个多项式的每一项 乘另一个多项式的每一项 再把所得的积相加。
(m+a)(n+b)= mn+mb+an+ab
如果m=n，且都用 x 表示，那么上式就成为:
(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab
这是上一节学习的 一种特殊多项式的乘法——
两个相同字母的 二项式的乘积 .
(3)(−x+1)(−x−1) ; (4)(−4k+3)(−4k−3) .
纠错练习
指出下列计算中的错误：
(1) (1+2x)(1−2x)=1−2x2 第二数被平方时，未添括号。 (2) (2a2+b2)(2a2−b2)=2a4−b4第一 数被平方时，未添括号。 (3) (3m+2n)(3m−2n)=3m2−2n2
3.（5+a）( ) =25-a²
本节课你的收获是什么？
试用语言表述平方差公式 (a+b)(a−b)=x2−b2。
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
应用平方差公式 时要注意一些什么？
运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公 式对于；不符合平方差公式标准形式者， 要利用加法交换律，或提取两“−”号中的“−”号，
个括起来，再平方;
最后的结果 又要去掉括号。
生活实践，学以致用
⑴计算：1998×2002
⑵现在你能揭开小林快速口算出4.2×3.8的秘 密吗?
随堂练习
随堂练习
1、计算：
(1)(a+2)(a−2)；
(2)(3a +2b)(3a−2b) ;
多项式乘法 法则是:
用一个多项式的每一项 乘另一个多项式的每一项 再把所得的积相加。
(m+a)(n+b)= mn+mb+an+ab
如果m=n，且都用 x 表示，那么上式就成为:
(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab
这是上一节学习的 一种特殊多项式的乘法——
两个相同字母的 二项式的乘积 .
(3)(−x+1)(−x−1) ; (4)(−4k+3)(−4k−3) .
纠错练习
指出下列计算中的错误：
(1) (1+2x)(1−2x)=1−2x2 第二数被平方时，未添括号。 (2) (2a2+b2)(2a2−b2)=2a4−b4第一 数被平方时，未添括号。 (3) (3m+2n)(3m−2n)=3m2−2n2
3.（5+a）( ) =25-a²
本节课你的收获是什么？
试用语言表述平方差公式 (a+b)(a−b)=x2−b2。
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
应用平方差公式 时要注意一些什么？
运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公 式对于；不符合平方差公式标准形式者， 要利用加法交换律，或提取两“−”号中的“−”号，
人教版八年级数学上册课件 14.2 乘法公式
三、研读课文
例2 计算：
知 识
（解：1）原(式y+2=)(yy-22)-(y2-12)-(y（ +5y) 2 +4y-5） =y2 22 -y2 -4y+5
点
=1-4y
四 （2） 102×98
解：原式＝=1(100002+-222)(100-2)
=10000-4 =9996
归纳 :只有符合公式要求的乘法，才能运用公式简化 运算，其余的运算仍按照法则来进行.
4
4
x
2；1
三、研读课文
一般地，
知
(a+b)(a-b)=a2-b2.
识 点
两个数的 __和与这两个数的 __ 的差 __积___，等于这两个数的平方差.
二
这个公式叫做（乘法的）平方差公式.
温馨提示：应用公式的关键是确定a和b.
三、研读课文
思考
知
你能根据下面图形的面积说明平方差公式吗?
识
a
点
b
三
3、（2012哈尔滨）下列运算中，正确的是（ ）
a 3 a 4 a12
a 3 4 a12
A、 a a 4 a 5
B、 a ba b a2 b2
C、
D、
4ห้องสมุดไป่ตู้下列各式中，计算结果是 81 x 2的是（ ） D
x 9x 9
A、
2 y 1 1 2 y
a bb
矩形面积=大正方形面积--小正方形面试
(a b)(a b)=a2 b2
即
三、研读课文
练一练 下面各式的计算对不对？若不对， 应当怎样改正？
知
新人教版八年级数学上册《乘法公式》精品课件
如图（2）中，大正方形的边长 是a，它的面积是a2；矩形 DCGE与矩形BCHF是全等图形， 长都是a，宽都是b，所以它们 的面积都是a•b；正方形HCGM 的边长是b，其面积就是b2；
正方形AFME的边长是（a-b），所以它的面积是(ab)2．从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形 ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再 加上正方形HCGM的面积． 也就是：(a-b)2=a22ab+b2．这也正好符合完全平方公式．
•8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/82021/11/82021/11/82021/11/8
其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式．
你能根据图（1）和图（2）中的面积说明完全平方公 式吗？
先看图（1），可以看出大正方 形的边长是a+b．还可以看出大 正方形是由两个小正方形和两 个矩形组成， 所以大正方形的
通过上面的研究，你能用语言叙述完全平方公式吗？
完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们 的平方和，加（或减）它们的积的2倍 用符号怎么表述呢？
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
•1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” •2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 •5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
面积等于这四个图形的面积之 和．阴影部分的正方形边长是a， 所以它的面积是a2；
另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2；另 外两个矩形的长都是a，宽都是b，所以每个矩形的面 积都是ab；大正方形的边长是a+b，其面积是 (a+b)2．于是就可以得出：(a+b)2=a2+2ab+b2．这正 好符合完全平方公式．
人教版八年级数学上册 14.2 乘法公式 课件
应选用“差”的完全平方公式，即（ − + 3）2 = (3 − )2 = (3)2 −2 ∙ 3 ∙ + 2 ;
第（3）题（ − − ）2 = [−( + )]2 = ( + )2 ,
应选择“和”的完全平方公式计算，即（ − − ）2 = [−( + )]2 = ( + （ + 1）（ − 1） =
（2）（ + 2）2 =
（3）（ − 1）2 = （ − 1）( − 1) =
（4）（ − 2）2 =
教学新知
上面的几个运算都是形如( ∓ )2 的多项式相乘，由于
【结论】也就是说，两
(a b)2 (a b)(a b) a 2 ab ab b 2 a 2 2ab b 2
y 2 22 y 2 4 y 5
y 4 y 4 y 5 4 y 1;
(2) 102 98 (100 2)(100 2)
2
2
100 2 10000 4 9996.
2
2
教学新知
探究2： 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
2 + 2 ; 第（4）题中的 − 2 − 3 = −（2 + 3），原式可变形为 −
（2 + 3）2 ，选择“和”的完全平方公式计算，即（2 + 3）（ − 2 − 3） =
− （2 + 3）2 = −（4 2 + 12 + 9） = −4 2 − 12 − 9.
知识梳理
(4) (2a +3b) (2a -3b) ; (5) (-2a -3b) (2a -3b); (6) (2a +3b) (-2a -3b).
第（3）题（ − − ）2 = [−( + )]2 = ( + )2 ,
应选择“和”的完全平方公式计算，即（ − − ）2 = [−( + )]2 = ( + （ + 1）（ − 1） =
（2）（ + 2）2 =
（3）（ − 1）2 = （ − 1）( − 1) =
（4）（ − 2）2 =
教学新知
上面的几个运算都是形如( ∓ )2 的多项式相乘，由于
【结论】也就是说，两
(a b)2 (a b)(a b) a 2 ab ab b 2 a 2 2ab b 2
y 2 22 y 2 4 y 5
y 4 y 4 y 5 4 y 1;
(2) 102 98 (100 2)(100 2)
2
2
100 2 10000 4 9996.
2
2
教学新知
探究2： 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
2 + 2 ; 第（4）题中的 − 2 − 3 = −（2 + 3），原式可变形为 −
（2 + 3）2 ，选择“和”的完全平方公式计算，即（2 + 3）（ − 2 − 3） =
− （2 + 3）2 = −（4 2 + 12 + 9） = −4 2 − 12 − 9.
知识梳理
(4) (2a +3b) (2a -3b) ; (5) (-2a -3b) (2a -3b); (6) (2a +3b) (-2a -3b).
人教版八年级数学上册课件 14.2 乘法公式(付,156)
从例题1和练习1中，你认为运用公式解决问题时应 注意什么？
（1）在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式 的结构特征；
（2）一定要找准哪个数或式相当于公式中的a，哪个 数或式相当于公式中的b；
（3）总结规律：一般地，“第一个数”a 的符号相同， “第二个数”b 的符号相反；
总结经验
从例题1和练习1中，你认为运用公式解决问题时应 注意什么？
（3） 51×49；
（4）（3x+ 4）（3 x- 4）-（2 x+3）（2 x-3）．
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）平方差公式的结构特征是什么？ （3）应用平方差公式时要注意什么？
布置作业
教科书习题14.2第1题．
八年级 上册
14.2 乘法公式 （第2课时）
课件说明
• 本课是在学生已经学习了平方差公式的基础上，研 究第二个乘法公式，它是具有特殊形式的两个多项 式相乘得到的一种特殊形式，也是后续学习因式分 解、分式运算的重要基础．
判定正误
练习 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应 当怎样改正？ （1）（x+y）2 =x2+y2； （2）（x-y）2 =x2 -y2； （3）（x-y）2 =x2+2xy+y2； （4）（x+y）2 =x2+xy+y2.
课件说明
• 学习目标： 1．理解完全平方公式，能用公式进行计算． 2．经历探索完全平方公式的过程，进而感受特殊 到一般、数形结合思想，发展符号意识和几何 直观观念．
• 学习重点： 完全平方公式．
导入新知
问题1 计算下列各式: （1）（p+1）2 =______；（m+2）2 =______； （2）（p-1）2 =______；（m-2）2 =______.
（1）在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式 的结构特征；
（2）一定要找准哪个数或式相当于公式中的a，哪个 数或式相当于公式中的b；
（3）总结规律：一般地，“第一个数”a 的符号相同， “第二个数”b 的符号相反；
总结经验
从例题1和练习1中，你认为运用公式解决问题时应 注意什么？
（3） 51×49；
（4）（3x+ 4）（3 x- 4）-（2 x+3）（2 x-3）．
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）平方差公式的结构特征是什么？ （3）应用平方差公式时要注意什么？
布置作业
教科书习题14.2第1题．
八年级 上册
14.2 乘法公式 （第2课时）
课件说明
• 本课是在学生已经学习了平方差公式的基础上，研 究第二个乘法公式，它是具有特殊形式的两个多项 式相乘得到的一种特殊形式，也是后续学习因式分 解、分式运算的重要基础．
判定正误
练习 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应 当怎样改正？ （1）（x+y）2 =x2+y2； （2）（x-y）2 =x2 -y2； （3）（x-y）2 =x2+2xy+y2； （4）（x+y）2 =x2+xy+y2.
课件说明
• 学习目标： 1．理解完全平方公式，能用公式进行计算． 2．经历探索完全平方公式的过程，进而感受特殊 到一般、数形结合思想，发展符号意识和几何 直观观念．
• 学习重点： 完全平方公式．
导入新知
问题1 计算下列各式: （1）（p+1）2 =______；（m+2）2 =______； （2）（p-1）2 =______；（m-2）2 =______.
人教2011课标版初中数学八年级上册第十四章14.2 乘法公式(共33张PPT)
m2-n2 y2-x2
位置变化 符号变化
3、(2a+b)(2a-b) = 4、(x2+y2)(x2-y2)=
4a2-b2 x4-y4
系数变化 指数变化
5、 51 × 49 = 2499
无中生有
灵活运用平方差公式计算：
1、(3x+4)(3x-4) – (2x+3)(3x-2); 2、(x+y)(x-y)(x2+y2);
特征:
平方差
(a+b)(a-b)=a2-b2
特征:
(相同项)2-(相反项)2
(a+b)(a-b)=a2-b2
说明:
公式中的a,b可以表示 一个单项式也可以表示一个多项式.
1.下列各式中,能用平方差公式运算的是( A )
A.(-a+b)(-a-b)
B.(a-b)(b-a)
C.(2a-3b)(3a+2b) D.(a-b+c)(b-a-c)
(1) (x+2)(x-2) = x2 - 2 X2 - 4
ㄨ
ㄨ (2) (-3a-2)(3a-2) = 9a2 - 4 4 - 9a2
运用平方差公式计算： (1) (a+3b)(a-3b) = a2 - 9b2 (2) (3+2a)(-3+2a) = 4a2 - 9
例2 计算： ⑴ 102 ×98; ⑵ (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5);
2.下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是(C)
A.(x-2y)(2y+x)
B.(-x+2y)(-x-2y)
C.(-2y-x)(x+2y)
D.(-2b-5)(2b-5)
14.2乘法公式--杨辉三角(共19张PPT)
(2)直接写出25+5×24×(-3)
+10×23×(-3)2+10×22×(-3)3
+5×2×(ー3)4+(-3)5=
；
(3)直接写出25-5×24+10×23-
10×22+5×2-1=
；
13
知识点二：利用“杨辉三角”解决规律问题
针对练习 1
(4)若(2xー1)2018＝a1x2018+a2x2017+a3 x2016+ …+a2017 x2+a2018 x+a2019， 求a1+a2+a3+…+a2017+a2018的值.
14
知识点二：利用“杨辉三角”解决规律问题
针对练习
我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋 数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中， 用下图所示的三角形解释二项式(a+b)n的展开式的各项系 数，此三角形称为“杨辉三
角”根据“杨辉三角”,计算(a+b)20
的展开式中第三项的系数为( D )
6
知识点一：“杨辉三角”的认识
新知探究
杨辉三角中斜行和水平行之间的关系
①
把斜行①中第7行之前的数
②
字相加得1+1+1+1+1+1+1=6
③
②：1+2+3+4+5=15
④ ⑤
⑥
③：1+3+6+10=20 ④：1+4+10=15 ⑤：1+5=6
⑥1
将上面得到的数字与第7行中的数字对比你有什么发现？
人教版八年级数学上册课件：14.2.2 乘法公式(完全平方公式)(共22张PPT)
公式右边特点：(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中 间的符号相同。
4.简记为：首平方，尾平方，积的二倍在
中央，加减看前方。
(a ± b)2=a2±2ab+b2
运用完全平方公式计算 (1) ( x + 6 )2 (2) ( y - 5 )2 (3) ( -2x + 5 )2
点拨：(a－b＋c)(a＋b－c)＝[a－(b－c)][a＋(b－c)]＝a2－(b －c)2＝a2－b2＋2bc－c2.
4．计算：
3a
12b
2
3a
12b
2
＝_8_1_a_4－ __92_a_2_b_2_＋__11_6_b_4 _.
点拨：
3a
12b
2
3a
1 2
b
2
＝
3a
Hale Waihona Puke 12b把 1022 改写成 (a+b)2 还是(a−b)2 ? a，b怎样确定？
1022 =(100+2)2 =1002+2×100×2+22
=10000+400+4 =10404
1．计算：
(1)2 0022;
(2)1 9992.
能力拓展,我能行！ (a ± b)2=a2±2ab+b2 完全平方公式与平方差公式一样即可以正
添括号时，如果括号前面是正号，括到 括号里的各项都不变符号；如果括号前 面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
遇“加”不变，遇“减”都变
初中课件-八上数学八年级数学第十四章14.2.2乘法公式(完全平方公式)_ppt课件
（2）少了首项与尾项乘积的2倍这一项 ；即丢 了中间项： 2•(2x)•(3y) ; （3）中间项漏乘了2.
比一比 赛一赛
回答下列问题: (1) (a+2y)2是哪两个数的和的平方? (a+2y)2 =( a ) 2+2( a )( 2y )+( 2y ) 2 (2) (2x−5y)2是哪两个数的差的平方? (2x -5y)2 =( 2x ) 2 -2(2x)( 5y )+( 5y ) 2
3、多项式的乘法法则是什么？ 用一个多项式的每一项乘以 另一个多项式的每一项，再把所得的 积相加.
(a+b) (m+n)= am+an + bm+bn
4、探究 计算下列各式,你能发现什么规律?
2+2p+1 (1) (p+1)2 = (p+1) (p+1) = P ______ 2+4m+4 2 m (m+2) = _________;
(2x−5y)2可以看成哪两个数的和的平方?
(2x−5y)2可以看成2x与 −5y的和的平方.
例1、运用完全平方公式计算：
2 (1)(4m+n)
解: (4m+n)2=(4m)2 +2•(4m) •n +n2
(a
2 +b) = 2 a
+
2ab
+
2 b
2 =16m
+8mn +n2
2 (2)(x-2y)
= a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2 .
14.2.2完全平方公式
完全平方公式的数学表达式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2
比一比 赛一赛
回答下列问题: (1) (a+2y)2是哪两个数的和的平方? (a+2y)2 =( a ) 2+2( a )( 2y )+( 2y ) 2 (2) (2x−5y)2是哪两个数的差的平方? (2x -5y)2 =( 2x ) 2 -2(2x)( 5y )+( 5y ) 2
3、多项式的乘法法则是什么？ 用一个多项式的每一项乘以 另一个多项式的每一项，再把所得的 积相加.
(a+b) (m+n)= am+an + bm+bn
4、探究 计算下列各式,你能发现什么规律?
2+2p+1 (1) (p+1)2 = (p+1) (p+1) = P ______ 2+4m+4 2 m (m+2) = _________;
(2x−5y)2可以看成哪两个数的和的平方?
(2x−5y)2可以看成2x与 −5y的和的平方.
例1、运用完全平方公式计算：
2 (1)(4m+n)
解: (4m+n)2=(4m)2 +2•(4m) •n +n2
(a
2 +b) = 2 a
+
2ab
+
2 b
2 =16m
+8mn +n2
2 (2)(x-2y)
= a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2 .
14.2.2完全平方公式
完全平方公式的数学表达式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2
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继续
例4
计算(-x+3y)(-x-3y) (-x+3y)(-x-3y)
2 2
解:
2
= (-x) - (3y)
= x -9y
练一练
2
完全平方公式、平方差公式通常叫做乘法公式，在计 算中可以直接使用。
1.用平方差公式计算：
(1) (1+x)(1-x); (2) (a+3b)(a-3b) (3) (3+2a)(3-2b) 1 _ 1 _ (4) ( x-2y )(- x -2y) 2 2
14.2
乘法公式
完全平方公式
平方差公式
综合运用
习题
怎样计算图9-5的面积？
b a ab b
2
a a2 ab
1.如果把图9-5看成一个大正方形，那 么它的面积为多少？
（a+b）
2
b
2.如果把图9-5看成是由2个小长方 形和2个小正方形组成的，那么它的 面积为多少？
图9--5
继续
a2 +2ab+b
2
由此可以得到什 么结论呢?
2
2
正确答案
解：
(1) (5+3p)
2 2
. =5 +2 5. 3p+(3p)
2
=25+30p+9p
2
继续
(2) (2x-7y)
2
. . 7y+(7y) =(2x)-2 2x
=4x -28xy+49y
2 2
2
继续
(3) (-2a-5)
2
2
2
. (-5)+(-5) . =(-2a) + 2 (-2a) 2 =4a +20a+25
a
3
2
2
2
a
3
返回
1.如图，求梯形的面积。
b
a-b
a
2.计算：
(1) (5x+y)(5x-y)
分析:
(2) (m+2n)(2n-m)
只要把(1)中的5x看作平方差公式中的 a,把y看作b;把(2)中的m看作平方差公式中 的a, 把2n看作b, 就都可以用平方差公式进 行计算.
正确答案
解:
(1) (5x+y)(5x-y) 2 2 = (5x) – y 2 2 =25x - y (2) (m+2n)(2n-m) =(2n+m)(2n-m) 2 2 =(2n) – m 2 2 =4n - m
友情提醒:
1.这俩个多项式它们有什么特点? 2.找出其中的“相同项”和“相反项”.
练一练
1.计算：
(1) (a-1)(a+1)(a -1) (2) (a+3) -(a-3) (3) (a-b+c)(a-b-c)
2.如图,如果把边长为am的正方形 草坪的一边增加3m,另一边的长减 少3m,那么新草坪的面积是多少?
2.用乘法公式计算:
(1) 49x51 (2) (a+2)(a-2)-(a-1)(a+5)
返回
例5
计算:
(1) (x-3)(x+3)(x +9);(2)Leabharlann (2x+3) (2x-3) .
2 2
2
正确答案
解:
(1) (x-3)(x+3)(x +9); 2 2 = (x -9)(x +9) 4 = x - 81 2 2 (2) (2x+3) (2x-3) . 2 = (2x+3)(2x-3) 2 =(4x -9) 4 2 =16x -72x +81
全平方公式 !
2
由 例 1, 得
(a-b)
= a -2ab+b
2
2
我们刚才学习了那些完全平方公式? (a-b)
2 2 2
= a-2ab+b
2
(a+b)
= a +2ab+b
2
2
你能说出这2个公式的 特点吗？
继续
例2
用完全平方公式计算：
2
(1) (5+3p) (3) (-2a-5)
(2) (2x-7y)
(-2a-5)
2
与(2a+5) 相等.
2
试一试
计算: (a+b+c)
2
友情提醒： 1. 可以制作一些长方形和正
方形纸片，然后将长分为a、b、c三段， 再求其面积；2. 可以把（a+b）看成一 个数，从而利用两数的完全平方公式；3. 也可以把（b+c）看成一个数，利用公式 得出结果。
第一种方 法
第二种 方法
2
2 2
. . = (a+b) +c +2 c (a+b)
2
= a +b +c +2ac+2bc+2ab
返回
2
2
2
(a+b+c)
2
= a+(b+c) 2 2 . . = a +(b+c) +2 a (b+c) = a +b +c +2ac+2bc+2ab
返回
2 2
2
1. 用完全平方公式计算：
(1) (1+x) ;
a
a b b
(a+b) (a-b) = a - b
2
2
图9-6
继续
一般地,对于任意的a、b,由多项式乘法法则可以得到
(a+b)(a- b)
=a -ab+ab+b =a -b
2
2
2
2
即
(a+b)(a- b)
这个公式称为平 公式.
继续
=a -b
2
2
方差
你能说出这个公式的 特点吗？
例3
用平方差公式计算:
第三种方法
练一练
如图所示，正方形的边长为a+b+c, 则它的面积为
a
ac bc
ab b bc
b a+b+c 2
a
2
a +b +c +2ac+2bc+2ab
即
2
2
2
a+b+c b
(a+b+c) 2
ab ac
a
= a +b +c
c
2
2
2
c2
c
+2ac+2bc+2ab
返回
(a+b+c)
= (a+b)+c
（a+b）
继续
2 =
a +2ab+b
2
2
一般地,对于任意的a、b，由多项式乘法法则可以得到：
2
(a+b)
= (a+b)(a+b) 2 = a +ab+ba+b = a +2ab+b
2 2
2
这个公式称为完 全平方公式
即
(a+b)
2 =
a +2ab+b
2
2
继 续
例1
计算(a-b)
2
2
继续
解:
(a-b) 2 = a+(-b) 2 2 = a + 2 . a . (-b)+(-b) 2 2 = a -2ab+b 这个公式也称为完
2 2
(3) (-3x+2) ;
(2) (y-4) ; 3 4 _ (4) ( _ x- y) 2 3
2
2
2.利用完全平方公式计算:
(1) 2001
2
(2) 99
2 3
3.如图,一个正方形的边长为acm.若边长减少 6cm,则这个正方形的面积减少了多少?
返回
3 a (第3题)
想一想
边长为b的小正方形纸片放 置在边长为a的大正方形纸片上(如图96),你能通过计算未盖住部分的面积得 到下面的公式吗?
2
继续
例6
分析:
计算 : (x+y+4)(x+y-4)
只要把(x+y)看作一个整体.那么(x+y)相当于平方差公式中的 a,4相当于平方差公式中的b.
解:
(x+y+4)(x+y-4) = (x+y)+4 (x+y)-4 2 2 =(x+y) - 4 2 2 =x +2xy+y -16
想一想
你能计算(x+y-3)(x-y+3)吗?
例4
计算(-x+3y)(-x-3y) (-x+3y)(-x-3y)
2 2
解:
2
= (-x) - (3y)
= x -9y
练一练
2
完全平方公式、平方差公式通常叫做乘法公式，在计 算中可以直接使用。
1.用平方差公式计算：
(1) (1+x)(1-x); (2) (a+3b)(a-3b) (3) (3+2a)(3-2b) 1 _ 1 _ (4) ( x-2y )(- x -2y) 2 2
14.2
乘法公式
完全平方公式
平方差公式
综合运用
习题
怎样计算图9-5的面积？
b a ab b
2
a a2 ab
1.如果把图9-5看成一个大正方形，那 么它的面积为多少？
（a+b）
2
b
2.如果把图9-5看成是由2个小长方 形和2个小正方形组成的，那么它的 面积为多少？
图9--5
继续
a2 +2ab+b
2
由此可以得到什 么结论呢?
2
2
正确答案
解：
(1) (5+3p)
2 2
. =5 +2 5. 3p+(3p)
2
=25+30p+9p
2
继续
(2) (2x-7y)
2
. . 7y+(7y) =(2x)-2 2x
=4x -28xy+49y
2 2
2
继续
(3) (-2a-5)
2
2
2
. (-5)+(-5) . =(-2a) + 2 (-2a) 2 =4a +20a+25
a
3
2
2
2
a
3
返回
1.如图，求梯形的面积。
b
a-b
a
2.计算：
(1) (5x+y)(5x-y)
分析:
(2) (m+2n)(2n-m)
只要把(1)中的5x看作平方差公式中的 a,把y看作b;把(2)中的m看作平方差公式中 的a, 把2n看作b, 就都可以用平方差公式进 行计算.
正确答案
解:
(1) (5x+y)(5x-y) 2 2 = (5x) – y 2 2 =25x - y (2) (m+2n)(2n-m) =(2n+m)(2n-m) 2 2 =(2n) – m 2 2 =4n - m
友情提醒:
1.这俩个多项式它们有什么特点? 2.找出其中的“相同项”和“相反项”.
练一练
1.计算：
(1) (a-1)(a+1)(a -1) (2) (a+3) -(a-3) (3) (a-b+c)(a-b-c)
2.如图,如果把边长为am的正方形 草坪的一边增加3m,另一边的长减 少3m,那么新草坪的面积是多少?
2.用乘法公式计算:
(1) 49x51 (2) (a+2)(a-2)-(a-1)(a+5)
返回
例5
计算:
(1) (x-3)(x+3)(x +9);(2)Leabharlann (2x+3) (2x-3) .
2 2
2
正确答案
解:
(1) (x-3)(x+3)(x +9); 2 2 = (x -9)(x +9) 4 = x - 81 2 2 (2) (2x+3) (2x-3) . 2 = (2x+3)(2x-3) 2 =(4x -9) 4 2 =16x -72x +81
全平方公式 !
2
由 例 1, 得
(a-b)
= a -2ab+b
2
2
我们刚才学习了那些完全平方公式? (a-b)
2 2 2
= a-2ab+b
2
(a+b)
= a +2ab+b
2
2
你能说出这2个公式的 特点吗？
继续
例2
用完全平方公式计算：
2
(1) (5+3p) (3) (-2a-5)
(2) (2x-7y)
(-2a-5)
2
与(2a+5) 相等.
2
试一试
计算: (a+b+c)
2
友情提醒： 1. 可以制作一些长方形和正
方形纸片，然后将长分为a、b、c三段， 再求其面积；2. 可以把（a+b）看成一 个数，从而利用两数的完全平方公式；3. 也可以把（b+c）看成一个数，利用公式 得出结果。
第一种方 法
第二种 方法
2
2 2
. . = (a+b) +c +2 c (a+b)
2
= a +b +c +2ac+2bc+2ab
返回
2
2
2
(a+b+c)
2
= a+(b+c) 2 2 . . = a +(b+c) +2 a (b+c) = a +b +c +2ac+2bc+2ab
返回
2 2
2
1. 用完全平方公式计算：
(1) (1+x) ;
a
a b b
(a+b) (a-b) = a - b
2
2
图9-6
继续
一般地,对于任意的a、b,由多项式乘法法则可以得到
(a+b)(a- b)
=a -ab+ab+b =a -b
2
2
2
2
即
(a+b)(a- b)
这个公式称为平 公式.
继续
=a -b
2
2
方差
你能说出这个公式的 特点吗？
例3
用平方差公式计算:
第三种方法
练一练
如图所示，正方形的边长为a+b+c, 则它的面积为
a
ac bc
ab b bc
b a+b+c 2
a
2
a +b +c +2ac+2bc+2ab
即
2
2
2
a+b+c b
(a+b+c) 2
ab ac
a
= a +b +c
c
2
2
2
c2
c
+2ac+2bc+2ab
返回
(a+b+c)
= (a+b)+c
（a+b）
继续
2 =
a +2ab+b
2
2
一般地,对于任意的a、b，由多项式乘法法则可以得到：
2
(a+b)
= (a+b)(a+b) 2 = a +ab+ba+b = a +2ab+b
2 2
2
这个公式称为完 全平方公式
即
(a+b)
2 =
a +2ab+b
2
2
继 续
例1
计算(a-b)
2
2
继续
解:
(a-b) 2 = a+(-b) 2 2 = a + 2 . a . (-b)+(-b) 2 2 = a -2ab+b 这个公式也称为完
2 2
(3) (-3x+2) ;
(2) (y-4) ; 3 4 _ (4) ( _ x- y) 2 3
2
2
2.利用完全平方公式计算:
(1) 2001
2
(2) 99
2 3
3.如图,一个正方形的边长为acm.若边长减少 6cm,则这个正方形的面积减少了多少?
返回
3 a (第3题)
想一想
边长为b的小正方形纸片放 置在边长为a的大正方形纸片上(如图96),你能通过计算未盖住部分的面积得 到下面的公式吗?
2
继续
例6
分析:
计算 : (x+y+4)(x+y-4)
只要把(x+y)看作一个整体.那么(x+y)相当于平方差公式中的 a,4相当于平方差公式中的b.
解:
(x+y+4)(x+y-4) = (x+y)+4 (x+y)-4 2 2 =(x+y) - 4 2 2 =x +2xy+y -16
想一想
你能计算(x+y-3)(x-y+3)吗?