《3.2.3 导数的运算法则》课件-优质公开课-湘教选修1-1精品
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xsin x x)′＝ cos x ′
xsin x′cos x－xsin xcos x′ ＝ cos2x sin x＋xcos xcos x＋xsin2x ＝ cos2x sin xcos x＋x ＝ . cos2x
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(3)法一 y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2 ＝3x2＋12x＋11； 法二 ∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3) ＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′ ＝3x2＋12x＋11.
2．过点(0， 1)作抛物线y＝ x2＋x＋1的切线，则其中一条
切线为(
)．
B．3x－y＋3＝0 D．x－y＋1＝0
A．2x＋y＋2＝0 C．x＋y＋1＝0
解析
∵y′＝(x2＋x＋1)′＝2x＋1，∴y′ x＝0 ＝1.
∴切线为y－1＝x－0，∴x－y＋1＝0.
答案 D
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3.2.3
导数的运算法则
1．理解函数的和、差、积、商的求导法则． 2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和四 则运算求简单函数的导数． 3．了解复合函数的概念，理解复合函数的求导法则． 4．能求简单的复合函数的导数(仅限于形如f(ax＋b)的导 数)．
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自学导引 导数的运算法则 (1)(cf(x))′＝ cf′(x) ； (2)(f(x)＋g(x))′＝ f′(x)＋g′(x) (3)(f(x)－g(x))′＝ f′(x)－g′(x) ； ；
(4)(f(x)g(x))′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ；
1 (5) fx′＝
f′x － 2 (f(x)≠0) fx
；
fxg′x－gxf′x (f(x)≠0) 2 gx fx (6) ′＝ . fx
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自主探究 你能求出f(x)＝2sin x＋2 cos 的导数吗？ 2
2x
来自百度文库
提示 f′(x)＝2sin x＋2 cos 2′ ＝(2sin x＋1＋cos x)′ ＝(2sin x)′＋(cos x)′ ＝2cos x－sin x.
2x
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2．要注意在两个函数积与商的导数运算中，不能出现
fx f′x [f(x)· g(x)]′＝f′(x)· g′(x)以及 ′＝ 的错误；其次还要 g′x gx
特别注意：在两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导 数中是“＋”号，而商的导数中分子上是“－”号． 3．根据导数的四则运算法则，可以直接对一些(基本)初等函 数求导．应注意，运算法则是在可导的前提下才能适用．
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典例剖析 题型一 利用运算法则求函数的导数 【例1】 求下列函数的导数： (1)y＝x4－3x2－5x＋6； (2)y＝x· tan x； (3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； x－4 (4)y＝ . x＋4
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解 (1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′ ＝(x4)′－3(x2)′－5(x)′＋6′ ＝4x3－6x－5. (2)y′＝(x· tan
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1 3．函数y＝x＋x2的导数为________．
1 1 2 y′＝ x＋x2 ′＝(x)′＋ x2 ′＝1－x3.
解析
2 答案 1－x3
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cos 2x 4．函数y＝ 的导数为________． sin x＋cos x
cos2x－sin2x 解析 y＝ ＝cos x－sin x， sin x＋cos x ∴y′＝－sin x－cos x.
答案 －sin x－cos
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要点阐释 1．掌握复合函数的求导方法 求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问 题转化为基本函数的导数来解决．(1)分析清楚复合函数是由哪些 基本函数复合而成的，适当选定中间变量；(2)分步计算中的每一 步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量 的关系；(3)根据基本函数的求导公式及导数的运算法则，求出各 函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；(4)复合函数的 求导过程掌握以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合 过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接 应用公式和法则，从最外层开始由外及里逐层求导．
预习测评
1．已知f(x)＝x3＋3x＋ln 3，则f′(x)为( A．3x ＋3
2 x
)．
1 B．3x ＋3 · ln 3＋3
2 x
C．3x2＋3x· ln 3
D．x3＋3x· ln 3
1 解析 (ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝3的错误． 答案 C
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(4)法一
x－4 y′＝ x＋4′
x－4′x＋4－x－4x＋4′ ＝ x＋42 x＋4－x－4 8 ＝ ＝ . x＋42 x＋42 x－4 x＋4－8 8 法二 ∵y＝ ＝ ＝1－ ， x＋4 x＋4 x＋4
8 8 8 1 － － ∴y′＝ ′＝ x＋4′＝x＋42. x ＋ 4
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点评
理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行
xsin x′cos x－xsin xcos x′ ＝ cos2x sin x＋xcos xcos x＋xsin2x ＝ cos2x sin xcos x＋x ＝ . cos2x
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(3)法一 y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2 ＝3x2＋12x＋11； 法二 ∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3) ＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′ ＝3x2＋12x＋11.
2．过点(0， 1)作抛物线y＝ x2＋x＋1的切线，则其中一条
切线为(
)．
B．3x－y＋3＝0 D．x－y＋1＝0
A．2x＋y＋2＝0 C．x＋y＋1＝0
解析
∵y′＝(x2＋x＋1)′＝2x＋1，∴y′ x＝0 ＝1.
∴切线为y－1＝x－0，∴x－y＋1＝0.
答案 D
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3.2.3
导数的运算法则
1．理解函数的和、差、积、商的求导法则． 2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和四 则运算求简单函数的导数． 3．了解复合函数的概念，理解复合函数的求导法则． 4．能求简单的复合函数的导数(仅限于形如f(ax＋b)的导 数)．
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自学导引 导数的运算法则 (1)(cf(x))′＝ cf′(x) ； (2)(f(x)＋g(x))′＝ f′(x)＋g′(x) (3)(f(x)－g(x))′＝ f′(x)－g′(x) ； ；
(4)(f(x)g(x))′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ；
1 (5) fx′＝
f′x － 2 (f(x)≠0) fx
；
fxg′x－gxf′x (f(x)≠0) 2 gx fx (6) ′＝ . fx
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自主探究 你能求出f(x)＝2sin x＋2 cos 的导数吗？ 2
2x
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提示 f′(x)＝2sin x＋2 cos 2′ ＝(2sin x＋1＋cos x)′ ＝(2sin x)′＋(cos x)′ ＝2cos x－sin x.
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2．要注意在两个函数积与商的导数运算中，不能出现
fx f′x [f(x)· g(x)]′＝f′(x)· g′(x)以及 ′＝ 的错误；其次还要 g′x gx
特别注意：在两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导 数中是“＋”号，而商的导数中分子上是“－”号． 3．根据导数的四则运算法则，可以直接对一些(基本)初等函 数求导．应注意，运算法则是在可导的前提下才能适用．
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典例剖析 题型一 利用运算法则求函数的导数 【例1】 求下列函数的导数： (1)y＝x4－3x2－5x＋6； (2)y＝x· tan x； (3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； x－4 (4)y＝ . x＋4
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解 (1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′ ＝(x4)′－3(x2)′－5(x)′＋6′ ＝4x3－6x－5. (2)y′＝(x· tan
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1 3．函数y＝x＋x2的导数为________．
1 1 2 y′＝ x＋x2 ′＝(x)′＋ x2 ′＝1－x3.
解析
2 答案 1－x3
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cos 2x 4．函数y＝ 的导数为________． sin x＋cos x
cos2x－sin2x 解析 y＝ ＝cos x－sin x， sin x＋cos x ∴y′＝－sin x－cos x.
答案 －sin x－cos
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要点阐释 1．掌握复合函数的求导方法 求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问 题转化为基本函数的导数来解决．(1)分析清楚复合函数是由哪些 基本函数复合而成的，适当选定中间变量；(2)分步计算中的每一 步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量 的关系；(3)根据基本函数的求导公式及导数的运算法则，求出各 函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；(4)复合函数的 求导过程掌握以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合 过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接 应用公式和法则，从最外层开始由外及里逐层求导．
预习测评
1．已知f(x)＝x3＋3x＋ln 3，则f′(x)为( A．3x ＋3
2 x
)．
1 B．3x ＋3 · ln 3＋3
2 x
C．3x2＋3x· ln 3
D．x3＋3x· ln 3
1 解析 (ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝3的错误． 答案 C
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(4)法一
x－4 y′＝ x＋4′
x－4′x＋4－x－4x＋4′ ＝ x＋42 x＋4－x－4 8 ＝ ＝ . x＋42 x＋42 x－4 x＋4－8 8 法二 ∵y＝ ＝ ＝1－ ， x＋4 x＋4 x＋4
8 8 8 1 － － ∴y′＝ ′＝ x＋4′＝x＋42. x ＋ 4
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点评
理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行