空间向量的应用y
第5节 空间向量及其应用
第5节 空间向量及其应用知识梳理1.空间向量的有关概念(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .(2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底.3.空间向量的数量积(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是[0，π]，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .(2)两向量的数量积：非零向量a ，b 的数量积a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. 4.空间向量数量积的运算律 (1)结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； (2)交换律：a·b ＝b·a ；(3)分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 5.空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a 的有向线段所在直线与直线l 平行或重合，则称此向量a 为直线l 的方向向量.(2)平面的法向量：直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量.7.空间位置关系的向量表示1.在平面中A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1)，O为平面内任意一点.2.在空间中P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x＋y ＋z ＝1)，O 为空间任意一点.3.向量的数量积满足交换律、分配律，即a ·b ＝b ·a ，a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c 成立，但不满足结合律，即(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )不一定成立.4.在利用MN →＝xAB →＋yAC →证明MN ∥平面ABC 时，必须说明M 点或N 点不在平面ABC 内.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( )(2)若直线a 的方向向量和平面α的法向量平行，则a ∥α.( )(3)若{a ，b ，c }是空间的一个基底，则a ，b ，c 中至多有一个零向量.( ) (4)若a ·b <0，则〈a ，b 〉是钝角.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)直线的方向向量不是唯一的，有无数多个；(2)a ⊥α；(3)若a ，b ，c 中有一个是0，则a ，b ，c 共面，不能构成空间一个基底；(4)若〈a ，b 〉＝π，则a ·b <0，故不正确.2.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( ) A.－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C.－12a －12b ＋c D.12a －12b ＋c答案 A解析 由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB→)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c . 3.正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________. 答案2解析 |EF→|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →) ＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°) ＝2.所以|EF→|＝2，所以EF 的长为 2.4.(多选题)(2021·长沙质检)下列各组向量中，是平行向量的是( ) A.a ＝(1，2，－2)，b ＝(－2，－4，4) B.c ＝(1，0，0)，d ＝(－3，0，0) C.e ＝(2，3，0)，f ＝(0，0，0) D.g ＝(－2，3，5)，h ＝(16，－24，40) 答案 ABC解析 对于A ，有b ＝－2a ，所以a 与b 是平行向量； 对于B ，有d ＝－3c ，所以c 与d 是平行向量； 对于C ，f 是零向量，与e 是平行向量；对于D ，不满足g ＝λh ，所以g 与h 不是平行向量.5.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( ) A.55 B.53 C.255D.35答案 A解析 不妨令CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2，可得O (0，0，0)，B (0，0，1)，C 1(0，2，0)，A (2，0，0)，B 1(0，2，1)，∴BC 1→＝(0，2，－1)，AB 1→＝(－2，2，1)， ∴cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝BC 1→·AB 1→|BC 1→||AB 1→|＝4－15×9＝15＝55＞0.∴BC 1→与AB 1→的夹角即为直线BC 1与直线AB 1的夹角，∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为55.6.O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP→＝34OA →＋18OB →＋tOC →，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝________. 答案 18解析 因为OP→＝34OA →＋18OB →＋tOC →，且P ，A ，B ，C 四点共面，所以根据空间向量共面的条件可知34＋18＋t ＝1，解得t ＝18.考点一 空间向量的运算及共线、共面定理1.(多选题)(2020·威海调研)如图所示，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且AP ＝3PN ，ON→＝23OM →，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则下列等式成立的是( ) A.OM→＝12b －12c B.AN→＝13b ＋13c －a C.AP→＝14b －14c －34aD.OP→＝14a ＋14b ＋14c 答案 BD解析 对于A ，利用向量的平行四边形法则，OM→＝12OB →＋12OC →＝12b ＋12c ，A 错误；对于B ，利用向量的平行四边形法则和三角形法则，得AN→＝ON →－OA →＝23OM →－OA →＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12OB →＋12OC →－OA →＝13OB →＋13OC →－OA →＝13b ＋13c －a ，B 正确； 对于C ，因为点P 在线段AN 上，且AP ＝3PN ，所以AP→＝34AN →＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ＋13c －a ＝14b ＋14c －34a ，C 错误；对于D ，OP →＝OA →＋AP →＝a ＋14b ＋14c －34a ＝14a ＋14b ＋14c ，D 正确，故选BD. 2.(多选题)(2021·武汉质检)下列说法中正确的是( ) A.|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件 B.若AB→，CD →共线，则AB ∥CD C.A ，B ，C 三点不共线，对空间任意一点O ，若OP→＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面D.若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有P A →＝λPB →＋μPC →(PB →，PC →不共线)，则λ＋μ＝1是A ，B ，C 三点共线的充要条件 答案 CD解析 由|a |－|b |＝|a ＋b |，可得向量a ，b 的方向相反，此时向量a ，b 共线，反之，当向量a ，b 同向时，不能得到|a |－|b |＝|a ＋b |，所以A 不正确； 若AB→，CD →共线，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，所以B 不正确； 由A ，B ，C 三点不共线，对空间任意一点O ，若OP→＝34OA →＋18OB →＋18OC →，因为34＋18＋18＝1，可得P ，A ，B ，C 四点共面，故C 正确；若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有P A →＝λPB →＋μPC →(PB →，PC →不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得P A →－PC →＝λ(PB →＋CP →)，即CA →＝λCB →，所以A ，B ，C 三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A ，B ，C 三点共线的充要条件，所以D 正确. 3.在空间四边形ABCD 中，若AB→＝(－3，5，2)，CD →＝(－7，－1，－4)，点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，则EF →的坐标为( )A.(2，3，3)B.(－2，－3，－3)C.(5，－2，1)D.(－5，2，－1)答案 B解析 因为点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，设O 为坐标原点，所以EF →＝OF →－OE→，OF →＝12(OA →＋OD →)，2所以EF→＝12(OA →＋OD →)－12(OB →＋OC →)＝12(BA →＋CD →) ＝12[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)] ＝12(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3).4.已知V 为矩形ABCD 所在平面外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝VD ，VP→＝13VC →，VM →＝23VB →，VN →＝23VD →.则VA 与平面PMN 的位置关系是________. 答案 平行解析 如图所示，设VA →＝a ，VB →＝b ，VC→＝c ， 则VD→＝a ＋c －b ， 由题意知PM→＝23b －13c ，PN→＝23VD →－13VC →＝23a －23b ＋13c . 因此VA→＝32PM →＋32PN →， ∴VA→，PM →，PN →共面.又∵VA ⊄平面PMN ，∴VA ∥平面PMN .感悟升华 1.(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求.(2)解题时应结合已知和所求观察图形，正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及四边形法则，就近表示所需向量. 2.(1)对空间任一点O ，OP→＝xOA →＋yOB →，若x ＋y ＝1，则点P ，A ，B 共线. (2)证明空间四点P ，M ，A ，B 共面的方法.②对空间任一点O ，OP→＝OM →＋xMA →＋yMB →.考点二 空间向量的数量积及应用【例1】如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点. (1)求证：EG ⊥AB ； (2)求EG 的长；(3)求异面直线AG 和CE 所成角的余弦值. (1)证明 设AB→＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，由题意知EG→＝12(AC →＋AD →－AB →)＝12(b ＋c －a )，所以EG→·AB →＝12(a ·b ＋a ·c －a 2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1×1×12＋1×1×12－1＝0. 故EG→⊥AB →，即EG ⊥AB . (2)解 由(1)知EG→＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG→|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a ·b ＋12b ·c －12c ·a ＝12，则|EG →|＝22，即EG 的长为22.(3)解 AG →＝12(AC →＋AD →)＝12b ＋12c ， CE→＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ， cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋12a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －b 2＝－1232×32＝－23，由于异面直线所成角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.感悟升华 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置.(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角的平面角. (3)可以通过|a |＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解. 【训练1】如图所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长； (2)求证：AC 1⊥BD ；(3)求BD 1与AC 夹角的余弦值. (1)解 记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝1＋1＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋12＝6，∴|AC →1|＝6，即AC 1的长为 6.(2)证明 ∵AC 1→＝a ＋b ＋c ，BD →＝b －a ， ∴AC 1→·BD →＝(a ＋b ＋c )·(b －a ) ＝a ·b ＋|b |2＋b ·c －|a |2－a ·b －a ·c ＝b ·c －a ·c＝|b ||c |cos 60°－|a ||c |cos 60°＝0. ∴AC 1→⊥BD →，∴AC 1⊥BD . (3)解 BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3， BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b ) ＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1.∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.∴AC 与BD 1夹角的余弦值为66. 考点三 利用空间向量证明平行、垂直【例2】如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点.证明： (1)BE ⊥DC ； (2)BE ∥平面P AD ； (3)平面PCD ⊥平面P AD .证明 依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B (1，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2).由E 为棱PC 的中点，得E (1，1，1).(1)向量BE →＝(0，1，1)，DC →＝(2，0，0)，故BE →·DC →＝0.所以BE ⊥DC .(2)因为AB ⊥AD ，又P A ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥P A ，P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ， 所以AB ⊥平面P AD ，所以向量AB→＝(1，0，0)为平面P AD 的一个法向量，而BE→·AB →＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以BE ⊥AB ， 又BE ⊄平面P AD ， 所以BE ∥平面P AD .(3)由(2)知平面P AD 的法向量AB →＝(1，0，0)，向量PD →＝(0，2，－2)，DC →＝(2，0，0)，设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝0，n ·DC →＝0，即⎩⎨⎧2y －2z ＝0，2x ＝0，不妨令y ＝1，可得n ＝(0，1，1)为平面PCD 的一个法向量. 且n ·AB→＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以n ⊥AB →. 所以平面P AD ⊥平面PCD .感悟升华 1.利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素).2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理，如在(2)中忽略BE ⊄平面P AD 而致误. 【训练2】如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°的角.求证：(1)CM ∥平面P AD ； (2)平面P AB ⊥平面P AD .证明 以C 为坐标原点，CB 为x 轴，CD 为y 轴，CP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz . ∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PBC ＝30°.∵PC ＝2，∴BC ＝23，PB ＝4，∴D (0，1，0)，B (23，0，0)，A (23，4，0)，P (0，0，2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，∴DP→＝(0，－1，2)，DA →＝(23，3，0)，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32. (1)设n ＝(x ，y ，z )为平面P AD 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，令y ＝2，得n ＝(－3，2，1).∵n ·CM→＝－3×32＋2×0＋1×32＝0， ∴n ⊥CM→.又CM ⊄平面P AD ，∴CM ∥平面P AD .(2)法一 由(1)知，BA→＝(0，4，0)，PB →＝(23，0，－2)，设平面P AB 的一个法向量m ＝(x 0，y 0，z 0)， 即⎩⎪⎨⎪⎧BA →·m ＝0，PB →·m ＝0，即⎩⎨⎧4y 0＝0，23x 0－2z 0＝0，令x 0＝1，得m ＝(1，0，3)，又∵平面P AD 的一个法向量n ＝(－3，2，1)， ∴m ·n ＝1×(－3)＋0×2＋3×1＝0，∴m ⊥n ， ∴平面P AB ⊥平面P AD .法二 如图，取AP 的中点E ，连接BE ， 则E (3，2，1)，BE →＝(－3，2，1). ∵PB ＝AB ，∴BE ⊥P A .又∵BE→·DA →＝(－3，2，1)·(23，3，0)＝0， ∴BE→⊥DA →，∴BE ⊥DA . 又P A ∩DA ＝A ，P A ，DA ⊂平面P AD ， ∴BE ⊥平面P AD . 又∵BE ⊂平面P AB ， ∴平面P AB ⊥平面P AD .A 级 基础巩固一、选择题1.已知平面α内有一点M (1，－1，2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3，6)，则下列点P 中，在平面α内的是( ) A.P (2，3，3) B.P (－2，0，1) C.P (－4，4，0)D.P (3，－3，4)答案 A解析 逐一验证法，对于选项A ，MP →＝(1，4，1)，∴MP→·n ＝6－12＋6＝0，∴MP →⊥n ， ∴点P 在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内.2.已知a ＝(1，0，1)，b ＝(x ，1，2)，且a ·b ＝3，则向量a 与b 的夹角为( ) A.5π6 B.2π3C.π3D.π6答案 D解析 因为a ·b ＝x ＋2＝3，所以x ＝1， 所以b ＝(1，1，2)， 所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝32×6＝32， 又因为〈a ，b 〉∈[0，π]，所以a 与b 的夹角为π6. 3.在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面；③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c . 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1C.2D.3答案 A解析 a 与b 共线，a ，b 所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②不正确；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0.4.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A.a 2B.12a 2C.14a 2D.34a 2答案 C解析 如图，设AB→＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°. AE→＝12(a ＋b )，AF →＝12c ， ∴AE →·AF →＝12(a ＋b )·12c＝14(a ·c ＋b ·c )＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2.5.(多选题)(2020·济南调研)已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，则下列四式中正确的有( ) A.AB→－CB →＝AC → B.AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→ C.AA′→＝CC ′→ D.AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→ 答案 ABC解析 如图，作出平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，可得AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，则A 正确；AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，则B 正确； C 显然正确；AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AB→＋BC →＝AC →，则D 不正确.综上，正确的有ABC.6.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A.斜交 B.平行C.垂直D.MN 在平面BB 1C 1C 内答案 B解析 建立如图所示的空间直角坐标系，由于A 1M ＝AN ＝2a 3， 则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a 3，a 3，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，2a 3，a ，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，0，2a 3. 又C 1D 1⊥平面BB 1C 1C ，所以C 1D 1→＝(0，a ，0)为平面BB 1C 1C 的一个法向量. 因为MN →·C 1D 1→＝0，所以MN →⊥C 1D 1→，又MN ⊄平面BB 1C 1C ， 所以MN ∥平面BB 1C 1C . 二、填空题7.已知平面α内的三点A (0，0，1)，B (0，1，0)，C (1，0，0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________. 答案 α∥β解析 设平面α的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 由m ·AB→＝0，得x ·0＋y －z ＝0⇒y ＝z ， 由m ·AC→＝0，得x －z ＝0⇒x ＝z ，取x ＝1，∴m ＝(1，1，1)，m ＝－n ，∴m ∥n ，∴α∥β.8.在空间直角坐标系O －xyz 中，已知点A (1，0，2)，B (0，2，1)，点C ，D 分别在x 轴，y 轴上，且AD ⊥BC ，那么|CD →|的最小值是________.答案255解析 设C (x ，0，0)，D (0，y ，0)， 因为A (1，0，2)，B (0，2，1)，所以AD→＝(－1，y ，－2)，BC →＝(x ，－2，－1). 因为AD ⊥BC ，所以AD →·BC →＝－x －2y ＋2＝0，即x ＋2y ＝2.因为CD→＝(－x ，y ，0)， 所以|CD →|＝x 2＋y 2＝（2－2y ）2＋y 2 ＝5y 2－8y ＋4＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －452＋45≥255. 9.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP→＝(－1，2，－1).对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的序号是________.答案 ①②③解析 ∵AB→·AP →＝0，AD →·AP →＝0，∴AB ⊥AP ，AD ⊥AP ，则①②正确； 又AB ∩AD ＝A ，∴AP ⊥平面ABCD ， ∴AP→是平面ABCD 的法向量，则③正确； ∵BD→＝AD →－AB →＝(2，3，4)，AP →＝(－1，2，－1)， ∴BD →与AP →不平行，故④错误. 三、解答题10.如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点.(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB .(1)证明 如图，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0，0，0)，A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)， C (0，a ，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0， P (0，0，a )，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2.EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，a 2，DC →＝(0，a ，0).因为EF→·DC →＝0，所以EF →⊥DC →，即EF ⊥CD . (2)解 设G (x ，0，z )，则FG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2， 若使GF ⊥平面PCB ，则需FG→·CB →＝0，且FG →·CP →＝0，由FG→·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(a ，0，0)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2＝0，得x ＝a 2； 由FG →·CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a )＝a 22＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 2＝0，得z ＝0.所以G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，即G 为AD 的中点.11.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，过点E 作EF ⊥PB 于点F .求证： (1)P A ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .证明 以D 为坐标原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz . 设DC ＝a .(1)连接AC 交BD 于点G ，连接EG .依题意得A (a ，0，0)，P (0，0，a )，C (0，a ，0)， E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2.因为底面ABCD 是正方形，所以G 为AC 的中点， 故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0，所以P A →＝(a ，0，－a )，EG→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，－a 2， 则P A →＝2EG→，故P A ∥EG .而EG ⊂平面EDB ，P A ⊄平面EDB ， 所以P A ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a ，0)，所以PB →＝(a ，a ，－a ). 又DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2， 故PB →·DE →＝0＋a 22－a 22＝0，所以PB →⊥DE →，所以PB ⊥DE .由题可知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ， 所以PB ⊥平面EFD .B 级 能力提升12.如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE .则M 点的坐标为( )A.(1，1，1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫24，24，1答案 C解析 设AC 与BD 相交于O 点，连接OE ，由AM ∥平面BDE ，且AM ⊂平面ACEF ，平面ACEF ∩平面BDE ＝OE ，∴AM ∥EO ， 又O 是正方形ABCD 对角线交点， ∴M 为线段EF 的中点.在空间坐标系中，E (0，0，1)，F (2，2，1). 由中点坐标公式，知点M 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1.13.(多选题)(2021·重庆质检)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，则下列说法中正确的是( ) A.AC 1＝66 B.AC 1⊥DBC.向量B 1C →与AA 1→的夹角是60° D.BD 1与AC 所成角的余弦值为63答案 AB解析 因为以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，所以AA 1→·AB →＝AA 1→·AD →＝AD →·AB →＝6×6×cos 60°＝18， (AA 1→＋AB →＋AD →)2＝AA 1→2＋AB →2＋AD →2＋2AA 1→·AB →＋2AB →·AD →＋2AA 1→·AD →＝36＋36＋36＋3×2×18＝216，则|AC 1→|＝|AA 1→＋AB →＋AD →|＝66，所以A 正确； AC 1→·DB →＝(AA 1→＋AB →＋AD →)·(AB →－AD →)＝AA 1→·AB →－AA 1→·AD →＋AB →2－AB →·AD →＋AD →·AB →－AD→2＝0，所以B 正确； 显然△AA 1D 为等边三角形，则∠AA 1D ＝60°.因为B 1C →＝A 1D →，且向量A 1D →与AA 1→的夹角是120°，所以B 1C →与AA 1→的夹角也是120°，所以C 不正确；因为BD 1→＝AD →＋AA 1→－AB →，AC →＝AB →＋AD →，所以|BD 1→|＝（AD →＋AA 1→－AB →）2＝62，|AC→|＝（AB →＋AD →）2＝63，BD 1→·AC →＝(AD →＋AA 1→－AB →)·(AB →＋AD →)＝36，所以cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→|·|AC →|＝3662×63＝66，所以D不正确.14.如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，PD ⊥平面ABCD ，AD ＝1，AB ＝3，BC ＝4. (1)求证：BD ⊥PC .(2)设点E 在棱PC 上，PE →＝λPC →，若DE ∥平面P AB ，求λ的值. 解 如图，在平面ABCD 内过点D 作直线DF ∥AB ，交BC 于点F ，以D 为坐标原点，DA ，DF ，DP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A (1，0，0)，B (1，3，0)，D (0，0，0)，C (－3，3，0). 设PD ＝a ，则P (0，0，a )，(1)证明 BD→＝(－1，－3，0)，PC →＝(－3，3，－a )，因为BD →·PC →＝3－3＝0， 所以BD ⊥PC .(2)由题意知，AB →＝(0，3，0)，DP →＝(0，0，a )，P A →＝(1，0，－a )，PC →＝(－3，3，－a )，因为PE→＝λPC →，所以PE →＝(－3λ，3λ，－aλ)， DE→＝DP →＋PE →＝(0，0，a )＋(－3λ，3λ，－aλ) ＝(－3λ，3λ，a －aλ).设n ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n ＝0，P A →·n ＝0，即⎩⎨⎧3y ＝0，x －az ＝0.令z ＝1，得x ＝a ，所以n ＝(a ，0，1)， 因为DE ∥平面P AB ，所以DE→·n ＝0， 所以－3aλ＋a －aλ＝0，即a (1－4λ)＝0， 因为a ≠0，所以λ＝14.。
向量空间的基本性质及其在几何力学等领域的应用
向量空间的基本性质及其在几何力学等领域的应用向量空间是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。
本文将介绍向量空间的基本性质，并探讨其在几何力学等领域的应用。
一、向量空间的定义与基本性质向量空间是指由向量组成的集合，满足一定的运算规则和代数性质。
具体来说，向量空间需满足以下条件：1. 封闭性：对于任意两个向量u和v，它们的和u+v仍然属于向量空间。
2. 数乘性：对于任意向量u和标量c，它们的乘积cu仍然属于向量空间。
3. 零向量：向量空间中存在一个零向量，满足对任意向量u，u+0=u。
4. 加法逆元：对于任意向量u，向量空间中存在一个加法逆元-v，使得u+(-v)=0。
5. 结合律、分配律和交换律：向量的加法和数乘运算满足结合律、分配律和交换律。
在向量空间中，还有一些基本的性质：1. 唯一性：零向量是唯一的，而任意向量的加法逆元也是唯一的。
2. 零向量的性质：对于任意向量u，u+0=u和0+u=u成立。
3. 数乘的性质：对于任意标量c，c乘以零向量得到的结果仍然是零向量。
二、向量空间在几何力学中的应用几何力学是力学的一个重要分支，研究物体的形状、运动和相互作用。
向量空间在几何力学中有着广泛的应用，以下将介绍其中几个典型的应用案例。
1. 力的合成在几何力学中，经常需要求解多个力的合成，即将多个力合并成一个力的过程。
向量空间提供了一个方便的工具，可以将力表示为向量，并利用向量的加法运算求解合成力。
2. 力矩的计算力矩是力围绕某个点或轴产生的旋转效应，它在刚体力学和机械工程中有着重要的应用。
通过将力矩表示为向量，并运用向量空间的数乘运算和叉乘运算，可以方便地进行力矩的计算和分析。
3. 坐标系变换在几何力学中，常常需要进行坐标系的变换，以便研究不同参考系下的物体运动和物理量变化。
向量空间的基本性质可以帮助我们理解坐标系变换中的向量变换规律，从而更好地描述和分析物体的运动和相互作用。
4. 线性方程组的求解线性方程组是几何力学中常见的数学模型，通过解线性方程组可以求解物体的平衡状态、运动轨迹等重要信息。
高中数学空间向量应用教案
高中数学空间向量应用教案
教学目标：
1. 了解空间向量的定义和性质。
2. 能够应用空间向量进行问题的解答。
3. 培养学生的空间思维能力和数学解决问题的能力。
教学重点：
1. 理解空间向量的概念和性质。
2. 掌握空间向量的加法、减法和数乘运算。
3. 能够应用空间向量解决相关问题。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
1. 引入空间向量的概念，让学生了解空间向量在数学中的重要性和应用。
2. 导入空间向量的概念并展示一些实际问题，引起学生的兴趣和好奇心。
二、讲解（20分钟）
1. 空间向量的定义和性质。
2. 空间向量的加法、减法和数乘运算。
3. 解决一些简单的空间向量问题，让学生加深对空间向量的理解。
三、练习（15分钟）
1. 给学生一些空间向量的练习题，让他们独立完成并互相交流讨论。
2. 老师在一边指导学生解题思路和方法。
四、应用（10分钟）
1. 设计一些实际问题让学生应用空间向量进行解答，培养学生的空间思维。
2. 学生展示解题过程和答案，进行讨论和总结。
五、作业布置（5分钟）
1. 布置相应的空间向量练习题作业，巩固学生的学习成果。
2. 鼓励学生积极思考和总结今天的学习内容。
教学反思：
通过本节课的教学，学生能够对空间向量有了更深入的理解，能够熟练应用空间向量解决相关问题。
同时，通过实际问题的应用，培养学生的空间思维和解决问题的能力。
在以后的学习和生活中，学生能够更好地运用空间向量解决实际问题。
高中数学中的空间向量应用重点知识点归纳
高中数学中的空间向量应用重点知识点归纳在高中数学的学习中，空间向量是一个重要的概念，它在几何问题的解决中具有广泛的应用。
本文将对高中数学中的空间向量应用的重点知识点进行归纳，帮助同学们更好地理解和掌握相关内容。
一、基本概念1. 空间向量的定义：空间向量是指具有大小和方向的量，用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
2. 空间向量的表示：空间向量可以用坐标表示，也可以用位置矢量表示，其中位置矢量由起点和终点确定。
3. 零向量：零向量是长度为0，方向任意的特殊向量，用0表示。
4. 相等向量：具有相同大小和方向的向量称为相等向量，记作→AB = →CD。
二、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量，具有平行四边形法则和三角形法则两种运算法则。
2. 向量的减法：向量的减法是指将两个向量相减得到一个新的向量，可利用向量加法实现。
3. 向量的数乘：向量的数乘是指将向量的每个分量与一个实数相乘得到一个新的向量。
4. 点乘：点乘又称为数量积或内积，表示为A·B，结果是一个实数。
点乘有几何意义和代数意义，具有交换律和分配律等运算规则。
5. 叉乘：叉乘又称为向量积或外积，表示为A×B，结果是一个向量。
叉乘有几何意义和代数意义，具有反交换律和满足叉乘的运算规则。
三、空间向量的应用1. 直线的方程：通过两个不共线的点可以确定一条直线，可以利用向量求解直线的方程。
2. 平面的方程：通过三个不共线的点可以确定一个平面，可以利用向量求解平面的方程。
3. 点到直线的距离：点到直线的距离可以通过向量的投影求得，利用这一点可以解决点到直线的最短距离问题。
4. 点到平面的距离：点到平面的距离可以通过向量的投影求得，利用这一点可以解决点到平面的最短距离问题。
5. 直线的位置关系：通过向量的共线性可以判断直线的位置关系，包括相交、平行和重合等情况。
6. 平面的位置关系：通过向量的共面性可以判断平面的位置关系，包括相交、平行和重合等情况。
空间向量知识点总结
空间向量知识点总结空间向量是三维空间中表示物体位置、方向和大小的一种向量形式。
它利用向量的数学概念和运算规则，将物体的位置和方向抽象为有序数组，使得在三维空间中进行运算和分析更加简便。
在几何学、物理学、工程学等领域中，空间向量被广泛应用。
本文将对空间向量的基本概念、运算法则以及应用进行总结。
一、空间向量的定义与表示空间向量是指在三维空间中有长度和方向的向量。
它可以用有序的三个数表示，分别表示向量在x、y、z轴上的分量。
通常表示为：A = xi + yj + zk其中，A为向量名称，xi、yj、zk分别为向量的x、y、z轴分量。
二、空间向量的运算法则1. 加法和减法：两个空间向量的加法和减法运算由各个分量相加或相减得到，分别表示为：A +B = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j + (Az + Bz)kA -B = (Ax - Bx)i + (Ay - By)j + (Az - Bz)k2. 数量积：数量积也称为点积或内积，表示为A·B，计算公式为：A·B = |A||B|cosθ其中，|A|和|B|分别为A和B的模长，θ为A和B之间的夹角。
3. 向量积：向量积也称为叉积或外积，表示为A×B，计算公式为：A×B = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - AxBz)j + (AxBy - AyBx)k向量积的结果是一个新的向量，其方向垂直于A和B所在平面。
三、空间向量的应用1. 几何关系分析：空间向量可以用于分析几何关系，如判断两个向量的夹角、判断两个向量是否平行或垂直等。
通过计算向量的点积和模长，可以快速判断向量之间的关系。
2. 力学问题：空间向量在力学中有着广泛的应用，可以用于计算力的合成、分解，求解物体的平衡条件等。
通过将力向量进行分解和合成，可以简化力学问题的计算。
3. 电磁学问题：空间向量在电磁学中也有重要的应用。
电场和磁场可以用向量形式表示，通过计算向量积和数量积，可以求解场强、电流、电压等物理量。
空间向量的实际应用
向量在计算机游戏中的应用
角色控制
在游戏中，玩家可以通过向量输 入来控制角色的移动、跳跃和攻 击等动作，提供更加直观和灵活
的游戏体验。
物理引擎
游戏中的物理引擎可以通过向量运 算来模拟物体的运动和碰撞，如物 体的位移、速度和加速度等。
动画和特效
向量可以用于实现游戏中的各种动 画和特效，如火、水、电等自然现 象的模拟，增加游戏的视觉效果。
VS
详细描述
在建筑结构设计中，空间向量的分析可以 帮助我们理解结构的受力状态，如压力、 拉力和剪切力等。这对于确保结构的稳定 性和安全性至关重要。通过使用空间向量 ，工程师可以预测结构的变形、位移和振 动等行为，从而优化设计并提高结构的性 能。
04
数学领域中的应用
向量在解析几何中的应用
总结词
详细描述
空间Байду номын сангаас量的实际应用
• 引言 • 物理领域中的应用 • 工程领域中的应用 • 数学领域中的应用 • 计算机图形学中的应用 • 总结与展望
01
引言
空间向量的基本概念
空间向量
具有大小和方向的量，可以用几何图 形表示。
向量运算
包括加法、减法、数乘、向量的模等 基本运算。
空间向量在现实生活中的应用价值
解析几何是研究空间向量、点、线、面等几 何对象在坐标系中的表示和性质。向量在解 析几何中有着广泛的应用，包括向量的表示、 向量的运算、向量的模、向量的数量积、向 量的向量积、向量的混合积等。
在解析几何中，向量被用来表示空间中的点、 线、面等几何对象。通过向量的坐标表示， 我们可以方便地计算向量的长度、夹角、投 影等几何量。此外，向量还可以用来解决一 些几何问题，如求点到直线的距离、求两条 直线的夹角等。
空间向量在现实中的应用
空间向量在现实中的应用空间向量在现实中的应用________________________________________________________________空间向量是数学中一种重要的概念，它是由实数的有序集合组成的，用来表示多维空间中的某个点的位置和方向。
在物理学、数学、计算机科学、工程学和其他领域，它被广泛应用，用来描述物理系统的运动和变化，以及用于解决复杂问题。
一、在力学中的应用空间向量在力学中最常见的应用是力学方程。
力学方程利用空间向量来描述物体运动的情况，从而可以得出物体受到的各种外力和物体运动的情况。
物体受到的外力可以用多个方向上的力合成一个合力，这个合力就是一个空间向量，它表示了物体受到外力的总大小和方向。
而物体运动的情况可以用速度和加速度来描述，这两个量也都可以用一个空间向量来表示。
二、在电磁学中的应用空间向量在电磁学中也被广泛应用。
例如，在电磁学中，电场和磁场可以用一个向量来表示，而场强又是由场的大小和方向决定的，所以也可以用一个空间向量来表示。
此外，电势和磁势也可以用一个空间向量来表示，而这些势也是电磁波传播的重要因素之一。
三、在几何学中的应用几何学中也有许多和空间向量有关的概念和应用。
例如，在三角形中，三条边的长度都可以用一个三维向量来表示；圆的半径也可以用一个三维向量来表示；正多边形的边长也可以用一个三维向量来表示；抛物面的焦距也可以用一个三维向量来表示。
此外，在几何学中还有许多其他和空间向量有关的概念和应用，比如旋转、平面切割、立体切割、投影、旋转和平行运动。
四、在计算机图形学中的应用计算机图形学是一门广泛使用空间向量的学科，它利用数学方法对三维物体进行建模、渲染和动态表示。
例如，在计算机图形学中，三角形的位置、大小和方向都可以用一个三元向量来表示；正多边形的位置、大小和方向也可以用一个三元向量来表示；光源的位置、大小和方向也可以用一个三元向量来表示；相机的位置、大小和方向也可以用一个三元向量来表示。
空间向量的应用
空间向量的应用一、基本知识点空间向量为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具.学生在运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题时，可以到体会向量方法在研究几何图形中的巨大作用，可以减少繁琐的推理过程，直接通过公式计算解决问题.1、利用向量表示空间直线与平面设点是直线上一定点，是上任意一点，是的一个方向向量，则的向量表示形式为，其中为实数.（Ⅰ）设为平面内一定点，是内任意一点，，分别是内两个不共线的向量，则有向量表示形式，其中，为实数.（Ⅱ）设为平面内一定点，是内任意一点，是平面的一个法向量，则有向量表示形式（点法式）.2、利用向量表示空间直线与平面的位置关系设直线，的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则：线线平行 ； 线面平行 ；面面平行 . 线线垂直 ；线面垂直 ； 面面垂直 .线线夹角 ，的夹角为（），；线面夹角 ，的夹角为（），；面面夹角 ，的夹角为（），.注意：（Ⅰ）这里的线线平行包括重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.（Ⅱ）这里线线夹角、线面夹角、面面夹角的范围是.二面角的大小可以用其平面角的大小来定义，它的取值范围是，具体取，还是取，建议结合具体问题（例如结合图形）而定.（1）．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量坐标运算方法设直线l 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a 2，b 2，c 2)，v ＝(a 3，b 3，c 3)，则(1)线面平行：l ∥α⇔a ⊥μ⇔a ·μ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0..(2)线面垂直：l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2.(3)面面平行：α∥β⇔μ∥v ⇔μ＝λv ⇔a 2＝λa 3，b 2＝λb 3，c 2＝λc 3.(4)面面垂直：α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·v ＝0⇔a 2a 3＋b 2b 3＋c 2c 3＝0.（2）．空间角的计算(1)两条异面直线所成的角设直线a ，b 的方向向量为a ，b ，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a ·b ||a ||b |(其中φ为异面直线a ，b 所成的角)．(2)直线和平面所成的角如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|e ·n ||e ||n |.(3)二面角如图所示，二面角α－l －β，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，〈n 1，n 2〉＝θ，则二面有α－l －β的大小为θ或π－θ.二、 “三部曲”解决问题的基本思想方法用向量方法解决立体几何问题的三部曲是向量应用的一个重要思想方法，它的重要性等同于解析几何中的解析法，我们建议它的教学可以先给出一些具体问题的解法，启发学生归纳出过程中的这三步：①建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；②进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系（距离和夹角等）；③根据运算结果的几何意义来解释相关问题.例 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是.那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？题型一：建系中的问题向量坐标方法在使用时建立坐标系是重要的一环，我们应针对几何体的形状以有利于求向量的坐标为原则来建系.在利用向量坐标方法的初级阶段，试题所给的几何体都是非常规整的，一般会出现“三个垂直”，可以直接利用题目所给的图形和其中的线段建立坐标系，一般不需要添加辅助线，有利于向量方法解题.但随着课程的推进，对题目的设计就会逐渐按照题目本身的面目出现，而不再刻意追求规整的“三个垂直”，目的是使得大家对空间向量方法的有一个全面正确的认识和熟练的使用，即认识到向量方法中也有空间想象能力和推理论证能力的要求.因此，利用向量方法中的“算”应该是以一定的空间想象和思辨论证为基础的.我们看几个例子：1、选择适合位置建系例1、如图，直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，．（Ⅰ）证明：为异面直线与的公垂线；（Ⅱ）设异面直线与的夹角为45°，求二面角的大小．非常规位置放置，考查概念、空间想象能力，建系的灵活性.本题中这样建系，对于平面内的点的坐标是比较容易求解的——选择适合位置建系.变式：如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，，的中点，，．（Ⅰ）设是的中点，证明：平面；（Ⅱ）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离．注意：比较两种方法，显然综合法要简捷一些；另外学生利用向量方法计算时的准确率是至关重要的，要注意运算技能的指导与训练.2、先证明后建系例1如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，，，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求二面角的大小.题型二：求点的坐标问题在建立适当的坐标系后，求向量的坐标是运用向量方法的第二个环节，如果几何体比较规整，则向量的坐标一般比较好求，但有时向量坐标的求解也要与其他方法相结合.例1：如图，四棱锥的底面是菱形，其对角线，，，都与平面垂直，，.（Ⅰ）求二面角的大小；（Ⅱ）求四棱锥与四棱锥公共部分的体积.题型三：含参数问题的处理例1如图，四边形是边长为1的正方形，平面，平面，且，为的中点.（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；（Ⅱ）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.变式：1、在四棱锥中，侧面底面，，为中点，底面是直角梯形，，，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）设为侧棱上一点，，试确定的值，使得二面角为.2. （本小题满分12分）如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，11AA=，3AB k=，．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；（Ⅱ）若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为，求k 的值.题型四：基向量方法的运用用坐标向量法求解的难点在于建立空间直角坐标系及求出某些点的坐标（如上底面的顶点）；用传统综合456(0)AD k BC k DC k k ===>，，67几何方法求解的难点在于作出合适的辅助线，以及需要利用某些特殊性质作为基本性质，而在某些情况下利用非坐标向量方法求解，一方面不需要作辅助线，极大地降低了难度，另一方面由于基底可以自由选择，降低了建立空间直角坐标系所需要的某些苛刻要求，从而使得求解过程简洁明了.例1：已知矩形所在平面和矩形所在平面垂直，为公共边.点，分别在对角线，上，且||=||，||=||.变式：1、如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角的大小是 .例2：在如图所示的几何体中，平面，平面，，且，是的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求与平面所成的角.变式：1、已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（）A． B． C． D．。
空间向量的应用1
空间向量的应用(一) 证明平行与垂直关系内两不共线向量为平面、的法向量分别为、设平面的方向向量分别为设直线αυυυβα21,,,n ba m l例题CC BB MN//)2(;//)1(.32AN M A AC B A N,M a D C B A ABC D 1111111111平面求证：上的点，和分别是、，为中，棱长、如图所示，在正方体例D A MN a ==-NMD 1DCBAC 1B 1A 111111112.-,://ABCD A B C D A BD CB D 例在正方形中求证平面平面D 1DAC1B 1A 1例4、如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 是PB 中点. 求证：平面AEC PDB ⊥平面；:''''','.ABCD A B C D CC BD A F BDE -⊥例3在正方体中.E,F 分别是的中点.求证：平面D ’DCBAC ’B ’A ’FE练习1、 正方体1111ABCD A BC D -中，,,,M N E F 分别 是棱11111111,,,A D A B D C B C 的中点， 求证：平面//AMN 平面EFBD .2'''''',''ABC A B C AA ABC A C AB BC AB -⊥⊥⊥练习：在三棱柱中，底面是正三角形，底面，求证：BCCD 1DCBAC 1B 1A 1 FENM34、如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F 分别是AB、PB的中点.（Ⅰ）求证：EF⊥CD；（Ⅱ）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论。
11111111,,90,1,1,,.ABC A B C ACBAC CB AA AA B BD B C MCD BDM-∠====⊥作业：如图直三棱柱中侧棱侧面的两条对角线交点为的中点为求证平面ABCDMA1B1C1。
空间向量的应用
和答题规范.
• 一个平面的法向量有无数个，过一个定点 作平面的法向量有无数个.
1.利用空间向量证明平行垂直问题：
设空间两条直线 l1, l2 的方向向量为 e1, e2
两个平面 1,2 的法向量分别为 n1, n2
平行 垂直
l1与l2
l1与1
1与 2
e1 e2 e1 n1
n1 n2
e1 e2
知识回顾：
• 1.直线的方向向量. • 我们把直线l上的向量 e(e 0)以及与 e共线的
非零向量叫做直线l的方向向量．
• 2.平面的法线．
• 与平面垂直的直线叫做平面的法线．
• 3.平面的法向量．
• 如果表示非零向量的有向线段所在直线垂 直于平面α，那么称向量垂直于平面α，记 作 .此时，我们把向量叫做平面α的法向 量．
e1 n1
n1 n2
2.利用空间向量求空间角：
• 1．设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1， m2，则l1与l2的夹角θ满足 cosθ＝|cos〈m1，m2〉|.
2．设直线l的方向向量和平面α的向量分别为 m，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sinθ ＝|cos〈m，n〉|二面角α －l －β的 两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大 小θ= AB．,CD
• b．如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－ β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的 大小θ满足
• cosθ=cos〈n1，n2〉
=－cos〈n1，n2〉．
解题步骤：
• 第一步：建立空间直角坐标系., • 第二步：确定点的坐标., • 第三步：求向量直线的方向向量、平面的
空间向量的应用
空间向量的应用1．空间向量的应用：⑴直线的方向向量与平面的法向量：我们把直线l 上的向量(0)e e ≠以及与e 共线的非零向量叫做直线l 的方向向量。
如果表示非零向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作n α⊥。
此时，我们把向量n 叫做平面α的法向量。
与平面垂直的直线叫做平面的法线，因此，平面的法向量就是平面法线的方向向量。
例：在正方体1111ABCD A BC D -中，求证：1DB 是平面1ACD的法向量。
证：设正方体的棱长中1，以DA ，DC ，1DD 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则各点的坐标为：(1,0,0)A ，(0,1,0)C ，1(0,0,1)D ，1(1,1,1)B 。
所以 1(1,1,1)DB = ，(1,1,0)AC =- ，1(1,0,1)AD =- 。
因为 11(1)11100DB AC ⋅=⨯-+⨯+⨯=所以 1DB AC ⊥ 。
同理 11DB AD ⊥又 1AC AD A =所以 11DB ACD ⊥ 平面从而1DB 是平面1ACD 的法向量。
⑵空间线面关系的判定：设空间两条直线12,l l 的方向向量分别为12,e e ，两个平面12,a a 的法向量分别为12,n n ，例：证明在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
（三垂线定理）已知：如图，OB 是平面α的斜线，O 为斜足，AB α⊥，A 为垂足，CD α⊂，且CD OA ⊥。
求证：CD OB ⊥。
分析：要证CD OB ⊥，只要证CD OB ⊥ ，即证0CD OB ⋅= 。
证：因为CD OA ⊥，所以 0CD OA ⋅= ，因为 AB α⊥，CD α⊂，所以 AB CD ⊥，0CD AB ⋅= ，又 OA AB OB += ，所以 ()0CD OB CD OA AB CD OA CD AB ⋅=⋅+=⋅+⋅=故 CD OB ⊥。
空间向量的应用
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
令z＝1，得n＝(－ 3，0,1)为平面A1AD的一个法向量.6分 → → 又因为AB1＝(1,2，－ 3)，BD＝(－2,1,0)， → BA1＝(－1,2， 3)， → BD → → BA → 所以AB1· ＝－2＋2＋0＝0，AB1· 1＝－1＋4－3＝0， → → → → 所以AB1⊥BD，AB1⊥BA1， 所以AB1⊥平面A1BD， → 所以AB1是平面A1BD的一个法向量，8分
1 (2)D1A1=(1,0,0),D1F=(0, 2 ,-1),
{
设平面A1D1F的法向量为n=(x,y,z),则 n· 1A1=0 D n· 1F=0 D
{
x=0
1 y-z=0. 2
令y=2，则n=(0,2,1). ∵m· n=(0,-1,2)· (0,2,1)=0-2+2=0, ∴m⊥n. ∴平面ADE⊥平面A1D1F.
练习：如图，在四棱锥P—ABCD中， PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，且 PA=AD，E,F分别为线段AB,PD的中点.
求证：(1) AF∥平面PEC;
(2) AF⊥平面PCD.
练习：如图，在四棱锥P—ABCD中， PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，且 PA=AD，E,F分别为线段AB,PD的中点.
l 推理模式 : l
(线面垂直 面面垂直）
平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在 直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平 面 ,记作 n ⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量 n
叫做平面 的法向量. l
1、法向量
n
A
几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都 互相平行; 3.向量n 是平面的法向量，向 量m 是与平面平行或在平面 内，则有 n m 0
空间向量及其应用
第六节 空间向量及其应用考纲解读1.空间向量及其运算.（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；（3）掌握空间向量的数量积及其表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 2.空间向量的应用.（1）理解直线的方向向量与平面的法向量；（2）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系； （3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；（4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用. 命题趋势探究立体几何试题中，证明线面、面面的位置关系一般利用传统方法（非向量法）证明，对于空间角和距离的计算，既可用传统方法解答，也可以用向量法解答，而且多数情况下向量法会更容易一些.预测在2015年高考对本专题的考查会在解答题中以中档题出现，分值保持在12分左右. 知识点精讲一、空间向量及其加减运算1.空间向量在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可以记作AB ，其模记为a 或AB .2.零向量与单位向量规定长度为0的向量叫做零向量，记作0.当有向线段的起点A 与终点B 重合时，0AB =.模为1的向量称为单位向量. 3.相等向量与相反向量方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量.与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为a -. 4.空间向量的加法和减法运算（1）OC OA OB a b =+=+，BA OA OB a b =-=-.如图8-152所示.（2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律 a b b a +=+，()()a b c a b c ++=++ 二、空间向量的数乘运算1．数乘运算实数λ与空间向量a 的乘积a λ称为向量的数乘运算.当0λ>时，a λ与向量a 方向相同；当0λ<时，向量a λ与向量a 方向相反. a λ的长度是a 的长度的λ倍.2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律()a b a b λλλ+=+，()()a a λμλμ=.3.共线向量与平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作//a b .4.共线向量定理对空间中任意两个向量a ，b ()0b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=. 5.直线的方向向量如图8-153所示，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线.对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP OA ta =+①，其中向量a 叫做直线l的方向向量，在l 上取AB a =，则式①可化为()()1OP OA t AB OA t OB OA t OA tOB =+=+-=-+②①和②都称为空间直线的向量表达式，当12t =，即点P 是线段AB 的中点时，()12OP OA OB =+，此式叫做线段AB 的中点公式. 6.共面向量如图8-154所示，已知平面α与向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，则说明向量a 平行于平面α.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.7.共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(),x y ，使p xa yb =+.推论：（1）空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(),x y ，使AP xAB y AC =+；或对空间任意一点O ，有OP OA x AB y AC -=+，该式称为空间平面ABC 的向量表达式.（2）已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足向量关系式OP xOA yOB zOC =++（其中1x y z ++=）的点P 与点A ，B ，C 共面；反之也成立.三、空间向量的数量积运算1.两向量夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a ，b 的夹角，记作,a b ，通常规定0,a b π≤≤，如果,2a b π=，那么向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥.2.数量积定义已知两个非零向量a ，b ，则cos ,a b a b 叫做a ，b 的数量积，记作a b ⋅，即cos ,a b a b a b ⋅=.零向量与任何向量的数量积为0，特别地，2a a a ⋅=.3.空间向量的数量积满足的运算律： ()()a b a b λλ⋅=⋅，a b b a ⋅=⋅（交换律）； ()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）. 四、空间向量的坐标运算及应用（1）设()123,,a a a a =，()123,,b b b b =，则()112233,,a b a b a b a b +=+++；()112233,,a b a b a b a b -=---；Aaaα图 8-154O()123,,a a a a λλλλ=； 112233a b a b a b a b ⋅=++；()112233//0,,a b b a b a b a b λλλ≠⇒===； 1122330a b a b a b a b ⊥⇒++=.（2）设()111,,A x y z ，()222,,B x y z ，则()212121,,AB OB OA x x y y z z =-=---. 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标.（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式.①已知()123,,a a a a =，()123,,b b b b =，则221a a a ==+221b b b ==+；112233a b a b a b a b ⋅=++；cos ,a b =；②已知()111,,A x y z ，()222,,B x y z ，则(AB x =或者(),d A B AB =.其中(),d A B 表示A 与B 两点间的距离，这就是空间两点的距离公式.（4）向量a 在向量b 上的射影为cos ,a b a a b b⋅=.（5）设()0n n ≠是平面M 的一个法向量，AB ，CD 是M 内的两条相交直线，则0n AB ⋅=，由此可求出一个法向量n （向量AB 及CD 已知）.（6）利用空间向量证明线面平行：设n 是平面的一个法向量，l 为直线l 的方向向量，证明0l n ⋅=，（如图8-155所示）.已知直线l （l α⊄），平面α的法向量n ，若0l n ⋅=，则//l α.（7）利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面直线中各取一个方向向量a ，b ，只要证明a b ⊥，即0a b ⋅=.（8）利用空间向量证明线面垂直：即证平面的一个法向量与直线的方向向量共线.（9）证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明法向量互相平行、法向量互相垂直.（10）空间角公式.①异面直线所成角公式：设a ，b 分别为异面直线1l ，2l 上的方向向量，θ为异面直线所成角的大小，则cos cos ,a b a b a bθ⋅==.②线面角公式：设l 为平面α的斜线，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，θ为l 与α所成角的大小，则sin cos ,a n a n a nθ⋅==.③二面角公式：设1n ，2n 分别为平面α，β的法向量，二面角的大小为θ，则12,n n θ=或12,n n π-（需要根据具体情况判断相等或互补），其中1212cos n n n n θ⋅=.（11）点A 到平面α的距离为d ，B α∈，n 为平面α的法向量，则AB n d n⋅=.题型归纳及思路提示题型116 空间向量及其运算思路提示空间向量的运算包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算，可以类比平面向量的运算法则.一、空间向量的加法、减法、数乘运算例8.41 如图8-156所示，已知空间四边形OABC ，点,M N 分别为OA ，BC 的中点，且OA a =，OB b =，OC c =，用a ，b ，c 表示MN ，则MN=.解析1122OM OA a ==，()()1122ON OB OC b c=+=+，()()111222MN ON OM b c a b c a =-=+-=+-.变式1 如图8-157所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M 和N 分别是对边OA 和BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，现用基向量OA ，OB ，OC 表示向量OG ，设OG xOA yOB zOC =++，则,,x y z 的值分别是（ ）.A 111,,333x y z ===.B 111,,336x y z ===.C 111,,363x y z ===.D 111,,633x y z ===变式2 如图8-158所示，在四面体O ABC -中，OA a =，OB b =，OC c =，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE = （用a ，b ，c 表示）.变式3 在空间四边形ABCD 中，连接对角线,AC BD ，若BCD ∆是正三角形，且E 为其重心，则1322AB BC DE AD +--的化简结果为 . 变式4 如图8-159所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）.A 1122a b c -++ .B 1122a b c ++.C 1122a b c --+ .D 1122a b c -+二、空间共线向量定理的应用空间共线向量定理：()//0a b b a b λ≠⇔=. 利用此定理可解决立体几何中的平行问题.例8.42 已知3240m a b c =--≠，()182n x a b yc =+++，且,,a b c 不共面，若//m n ，求,x y 的值.解析 因为//m n 且0m ≠，所以n m λ=，即()()182324x a b yc a b c λ+++=--.又因为,,a b c 不共面，所以138224x y λλλ+=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，解得138x y =-⎧⎨=⎩.二、空间向量的数量积运算121212cos ,a b a b a b x x y y z z ⋅==++；求模长时，可根据2222111a a x y z ==++求空间向量夹角时，可先求其余弦值cos ,a b a b a b⋅=.要判断空间两向量垂直时，可以求两向量的数量积是否为0，即0a b a b ⋅=⇔⊥.,a b 为锐角0a b ⇒⋅>；,a b 为钝角0a b ⇒⋅<.由此，通常通过计算a b ⋅的值来判断两向量夹角是锐角还是钝角.例8.43 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点,E F 分别是,BC AD 的中点，AE ⋅AF 的值为（ ）..A 2a .B 21.2B a 21.4C a 23.4D a 解析 依题意，点,EF 分别是,BC AD 的中点，如图8-160所示，AE ⋅AF ()1122AB AC AD =+⋅()14AB AD AC AD =⋅+⋅ ()22211cos60cos6044a a a =︒+︒=. 故选C .变式1 如图8-161所示，已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160A AD A AB DAB ∠=∠=∠=︒，且11A A AB AD ===，则1AC = .变式2 如图8-162所示，设,,,A B C D 是空间不共面的4个点，且满足0AB AC ⋅=，0AD AC ⋅=，0AD AB ⋅=，则BCD ∆的形状是（ ）..A 钝角三角形 .B 直角三角形 .C 锐角三角形 .D 无法确定例8.44 如图8-163所示，在45︒的二面角l αβ--的棱上有两点,A B ，点,C D 分别在,αβ内，且AC AB ⊥，45ABD ∠=︒，1AC BD AB ===，则CD 的长度为 . 分析 求CD 的长度转化为求空间向量CD 的模.解析 因为CD CA AB BD =++，故()22CD CA AB BD =++ 222222CA AB BD CA AB AB BD CA BD =+++⋅+⋅+⋅1110211cos1352CA BD =++++⨯⨯⨯︒+⋅，设点C 在β内的射影为H ，则HA AB ⊥，,135HA BD =︒.故()CA BD CH HA BD CH BD HA BD⋅=+⋅=⋅+⋅10cos1351cos 45cos1352HA BD =+︒=⨯︒︒=-.故22CD =，则2CD =-变式1 已知二面角l αβ--为60︒，动点,P Q 分别在面,αβ内，P 到βQ 到α的距离为,P Q 两点之间距离的最小值为（ ）..2B C .4D变式2 在直角坐标系中，设()3,2A ，()2,3B --，沿y 轴把坐标平面折成120︒的二面角后，AB 的长为（ ）.A B C D例8.45 如图8-164所示，设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，记11D PD Bλ=.当APC ∠为钝角时，求λ的取值范围. 解析 由题设可知，以1,,DA DC DD 为单位正交基底，建立如图8-165所示的空间直角坐标系D xyz -，则有()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1D . 由()11,1,1D B =-，()11,,D P D B λλλλ==-，()()()111,0,1,,1,,1PA D A D P λλλλλλ=-=---=---，()()()110,1,1,,,1,1PC DC D P λλλλλλ=-=---=---. 显然APC ∠不是平角，所以APC ∠为钝角，cos cos ,0PA PC APC PA PC PA PC⋅∠==<，等价于0PA PC ⋅<，即()()()()()21110λλλλλ--+--+-<，得113λ<<.因此，λ的取值范围是1,13⎛⎫⎪⎝⎭.评析 利用向量知识将APC ∠为钝角转化为cos ,0PA PC <求解是本题的关键. 变式1 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 在线段1BD 上，当APC ∠最大时，三棱锥P ABC -的体积为（ ）.1.24A 1.18B 1.9C 1.12D 例8.46 如图8-166所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（ ）.解析 取AD 的中点O ，以OA 为x 轴，垂直于OA 的OE 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系如图8-167所示.设(),,0M x y ，正方形的边长为a ，30,0,2P a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,,02a C a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()222a MC x y a ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭22234MP x y a =++，MP MC =， 得()22222324a a x y a x y ⎛⎫++-=++ ⎪⎝⎭，即202a x y -+=.所以点M 在正方形ABCD 内的轨迹为一条线段，且过D 点和AB 的中点.故选A .评注 本题利用空间线面位置关系求解也很快.由题意知空间内与两定点距离相等的点均在线段中垂面内，即M 在线段PC 的中垂面内.又M 为底面ABCD 内一动点，则M 的轨迹为两平面的交线落在底面内的部分，排除C 、D .又BP BC >，故排除B .故选A .变式1 到两互相垂直的异面直线距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）..A 直线 .B 椭圆 .C 抛物线 .D 双曲线变式2 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离，已知平面α，β，γ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离是点P 到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值是（ ）..33A -.33B -.63C .3D 题型117 空间向量在立体几何中的应用思路提示用向量法可以证点共线、线共点、线（或点）共面、两直线（或线与面、面与面）垂直的问题，也可以求空间角和距离.因此，凡涉及上述类型的问题，都可以考虑利用向量法求解，且其解法一般都比较简单.用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点的坐标，进而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除要求不共面外，还要能够便于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三条棱所在的向量为基底），然后将有关向量用基底向量表示，并进行向量运算.一、证明三点共线（如A ，B ，C 三点共线）的方法先构造共起点的向量AB ，AC ，然后证明存在非零实数λ，使得AB AC λ=. 例8.47 如图8-168所示，已知在长方体1111ABCD A B C D -中，点M 为1DD 的中点，点N 在AC 上，且:2:1AN NC =，点E 为BM 的中点.求证：1A ，E ，N 三点共线.解析 以D 为坐标原点建立空间直角坐标系-D xyz ，如图8-169所示.不妨设DA a =，DC b =，1DD c =，则0,0,2c M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),,0B a b ，,,224a b c E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0,A a c ，2,,033a b N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则13,,224a b c A E ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，122,,33a b A N c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，因为1143A N A E =，故1A ，E ，N 三点共线.变式1 在正方体1111ABCD A B C D -中，E ,F 分别为棱1AA 和1CC 的中点，则在空间中与三条直线11A D ，EF ，CD 都相交的直线（ ）..A 不存在 .B 有且只有两条 .C 有且只有三条 .D 有无数条变式2 如图8-170所示，在空间四边形ABCD 中，M ，N 分别是AB 和CD 的中点，P 为线段MN 的中点，Q 为BCD ∆的重心.求证：,,A P Q 三点共线.二、证明多点共面的方法要证明多点（如A ，B ，C ，D ）共面，可使用以下方法解题.先作出从同一点出发的三个向量（如AB ，AC ，AD ），然后证明存在两个实数,x y ，使得AD x AB y AC =+.例8.48 如图8-171所示，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，90BAD FAB ∠=∠=︒，1//2BC AD ，1//2BE AF .求证：,,,C D E F 四边共面. 解析 由平面ABEF ⊥平面ABCD ，又AF AB ⊥，平面ABEF 平面ABCD AB =， 得AF ⊥平面ABCD ，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，如图8-172所示.设AB a =，BC b =，BE c =，则(),0,0B a ，(),,0C a b ，()0,2,0D b ，(),0,E a c ， ()0,0,2F c .()0,,CE b c =-，()0,2,2DF b c =-，因为2DF CE =，所以//DF CE ，则 ,CE DF 确定一个平面，即,,,C D E F 四点共面.变式 1 如图8-173所示，已知平行六面体1111ABCD A B C D -，,,,E F G H 分别是棱11111,,,A D D C C C AB 的中点.求证：,,,E F G H 四点共面.三、证明直线和直线平行的方法将证线线平行转化为证两向量共线.设,a b 是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为,a b ，则()//,0a b a b R λλλ⇔=∈≠.例8.49 如图8-174所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，MN 是异面直线1A D 与AC 的公垂线段.求证：1//MN BD .解析 以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，如图8-175所示.设正方体的棱长为a ，则()1,0,A a a ，(),0,0A a ，()0,,0C a ，(),,0B a a ，()10,0,D a .设(),,z MN x y =，由MN 是异面直线1A D 与AC 的公垂线段，得1MN A D ⊥， MN AC ⊥，又()1,0,A D a a =--，(),,0AC a a =-，故100MN A D MN AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，00ax az ax ay --=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1z =-，1y =，所以()1,1,1MN =-，()1,,BD a a a aMN =--=-，即 1//BD MN .因此1//MN BD .四、证明直线和平面平行的方法（1）利用共面向量定理.设,a b 为平面α内不共线的两个向量，证明存在两个实数,x y ，使得l xa yb =+，则//l α.（2）转化为证明直线和平面内的某一直线平行.（3）转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（此方法最常用）.例8.50 如图8-176所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知122DC DD AD AB ===，AD DC ⊥，//AB DC ，E 是DC 的中点.求证：1//D E 平面1A BD .解析 因为11D E DE DD =-，11DD AA =，E 是DC 的中点，12DE DC AB ==，所以111D E AB AA A B =-=.又因为1D E ⊄平面1A BD ，11//D E A B ，所以1//D E 平面1A BD .评注 利用空间向量证明线面平行，已知直线的方向向量为a ，只要在平面内找到一条直线的方向向量为b ，问题转化为证明a b λ=即可.变式1 如图8-177所示，已知P 是正方形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是PA 、 BD 上的点，且::5:8PM MA BN ND ==.求证：直线//MN 平面PBC .五、证明平面与平面平行的方法（1）证明两平面内有两条相交直线分别平行.（2）转化为证两平面的法向量平行（常用此方法）.例8.51 如图8-178所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别是11111,,C C B C C D 的中点.求证：平面//MNP 平面1A BD .解析 解法一：以1D 为坐标原点，11D A 为x 轴，11D C 为y 轴，1D D 为z 轴，建立空间直角坐标系1D xyz -，如图8-179所示.设正方体的棱长为a ，则()1,0,0A a ，()0,0,D a ，()10,,0C a ，()0,,C a a ，()1,,0B a a ，0,,2a M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,,02a P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,02a N a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0,A D a a =-，11,0,222a a MN A D ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以1//MN A D ，即1//MN A D ，(),,0BD a a =--，1,,0222a a PN BD ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以//PN BD ，即//PN BD .因为MN PN N =，1A D BD D =，所以平面//MNP 平面1A BD .解法二：设平面MNP 的法向量为()1111,,n x y z =，由1MN n ⊥，1PN n ⊥，得1111022022a a x z a a x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令11z =，得111111x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以()11,1,1n =-.设平面1A BD 的法向量为()2222,,n x y z =，由12A D n ⊥，2BD n ⊥，得222200ax az ax ay -+=⎧⎨--=⎩，令21z =，得222111x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩， 所以()21,1,1n =-.因为12//n n ，所以平面//MNP 平面1A BD .变式1 如图8-180所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是11111,,A D D D D C 的中点.求证:平面//EFG 平面1AB C .六、证明直线与直线垂直的方法设直线12,l l 的方向向量为,a b ，则a b ⊥0a b ⇔⋅=.这里要特别指出的是，用向量法证明两直线尤其是两异面直线垂直是非常有效的方法.例8.52 如图8-181所示，四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，2CD =，AB AC =.求证：AD CE ⊥.分析 平面ABC ⊥平面BCDE ，在平面ABC 内作AO BC ⊥AO ⇒⊥平面BCDE ，以点O 为坐标原点建立空间直角坐标系.解析 作AO BC ⊥，垂足为O ，则AO ⊥平面BCDE ，且O 为BC 的中点，以O 为坐标原点，OC 为x 轴，建立如图8-182所示的直角坐标系O xyz -.设()0,0,A a ，由已知条件知()1,0,0C ，()1,2,0D ，()1,2,0E -，()2,2,0CE =-，()1,2,AD a =-.因为0CE AD=⋅，所以CE AD ⊥。
空间向量应用
空间向量应用空间向量是在三维空间中使用的一种表示方式，通过使用向量的大小和方向来描述物体在空间中的位置和运动状态。
在科学、工程和日常生活中，空间向量的应用非常广泛。
本文将介绍空间向量的几个主要应用。
一、三维建模与计算机图形学在计算机图形学中，空间向量被广泛应用于三维建模和动画制作。
通过定义物体的位置、方向和运动轨迹的向量，可以实现逼真的模拟和渲染效果。
例如，通过使用空间向量，可以精确计算物体的旋转、移动和缩放，从而实现高质量的三维动画效果。
此外，空间向量还可以用于计算机辅助设计（CAD）和虚拟现实应用中，帮助工程师和设计师更好地构建和可视化复杂的物体和场景。
二、物理学与力学分析空间向量在物理学和力学分析中有着重要的应用。
通过使用空间向量，可以描述物体的位置、速度和加速度。
例如，在力学中，通过将物体的位移表示为空间向量的形式，可以简化力学问题的分析和求解。
同时，空间向量还用于描述物体所受的力和力矩，帮助我们理解物体在外力作用下的运动规律和性质。
通过使用空间向量进行物理学和力学分析，我们可以更深入地研究和理解物体的运动和相互作用。
三、航空航天与导航系统在航空航天领域，空间向量被广泛应用于导航系统和飞行控制。
通过使用空间向量来描述飞行器的位置和方向，可以实现准确的导航和自动驾驶。
例如，全球定位系统（GPS）通过测量卫星和接收器之间的空间向量来确定接收器的位置，实现了精确的定位服务。
此外，航空飞行控制系统也利用空间向量来描述飞行器的姿态和运动状态，从而实现安全和高效的飞行操作。
四、机器人技术与自动化控制在机器人技术和自动化控制领域，空间向量的应用也越来越重要。
通过使用空间向量，可以描述机器人的位置、朝向和运动轨迹，实现智能化的机器人控制。
例如，在工业生产中，通过机器人的空间向量来控制机械臂的运动，可以实现高精度和高速度的生产操作。
此外，空间向量还可以用于机器人的感知和导航系统，帮助机器人在复杂的环境中进行路径规划和避障。
空间向量的应用
空间向量的应用一、引言空间向量是描述物体在三维空间中的位置和运动状态的重要工具。
它广泛应用于物理学、工程学、计算机图形学等领域。
本文将介绍空间向量的概念、表示方法以及其在实际应用中的重要性。
二、空间向量的概念与表示方法1. 概念空间向量是指在三维空间中具有大小和方向的量。
它可以表示一个点的位置，也可以表示一个物体的运动方向和速度。
2. 表示方法空间向量通常使用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量的起点和终点可以表示一个点的位置。
三、空间向量的应用领域1. 物理学中的应用空间向量在力学、热力学等物理学分支中有广泛的应用。
例如，在力学中，力可以表示为一个空间向量，通过对多个力向量的叠加可以计算物体所受的合力；在热力学中，热传导的过程可以用向量表示，从而帮助分析热传导的机制和特性。
2. 工程学中的应用在工程学领域，空间向量常用于描述物体的运动状态和力学性质。
例如，机械工程中的机械臂运动可以使用空间向量表示，通过对多个关节的向量运动进行计算，实现机械臂的运动控制；建筑工程中，使用向量表示力的作用点和作用方向，通过对多个力向量的计算，可以分析物体的结构和稳定性。
3. 计算机图形学中的应用在计算机图形学中，空间向量是描述和操作三维图形的重要工具。
例如，在三维模型的旋转、平移和缩放过程中，可以用向量表示变换的参数，从而实现图形的变换操作；在光线追踪算法中，通过向量运算可以计算光线的反射、折射和阴影等效果。
四、空间向量应用的案例分析1. 物理学案例假设有一个沿着斜坡滚落的小球，在小球滚动的过程中，可以使用空间向量来表示小球的位置和速度。
通过对空间向量的运算，可以计算小球的滚动加速度、滚动距离等物理量，进而分析小球滚动的规律。
2. 工程学案例考虑一个桥梁结构，需要分析桥上的受力情况。
通过将受力作用在桥梁上的力向量进行分解和合成运算，可以得到桥梁上各个部位的受力情况，进而评估桥梁的结构强度和稳定性。
空间向量的基本概念和性质
空间向量的基本概念和性质空间向量是在三维空间中表示的矢量，它具有大小和方向。
它在许多领域中都有广泛的应用，如物理学、工程学和计算机图形学等。
本文将详细介绍空间向量的基本概念和性质，以及在不同领域中的应用。
一、基本概念在三维空间中，一个空间向量可以用有序三元组(a, b, c)表示，其中a、b和c分别表示向量沿X轴、Y轴和Z轴的分量。
空间向量可以通过起点和终点来描述，起点为原点(0, 0, 0)，终点为(a, b, c)。
空间向量也可以用箭头表示，箭头的起点为原点，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
二、性质1. 零向量：零向量是一个特殊的向量，它的起点和终点重合，表示大小为0的向量。
零向量的分量为(0, 0, 0)，任何向量与零向量相加都不改变其值。
2. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，则它们被称为平行向量。
平行向量具有以下性质：a) 平行向量的大小可以相等，也可以不等。
b) 平行向量的加减法结果仍然是平行向量。
c) 平行向量与标量的乘积仍然是平行向量。
3. 共线向量：如果两个向量在同一直线上，则它们被称为共线向量。
共线向量的特点是它们可以通过一个非零标量相乘转换为相同的向量。
4. 垂直向量：如果两个向量的夹角为90度，则它们被称为垂直向量或正交向量。
垂直向量的点积为0，即两个垂直向量的点积等于它们对应分量的乘积之和为0。
5. 向量的模：向量的模是指向量的大小，即向量的长度。
计算向量的模可以使用勾股定理，即模=√(a^2+b^2+c^2)。
三、应用1. 物理学中，空间向量经常用于表示力、速度和加速度等物理量。
例如，一个物体的位移可以由起点和终点之间的向量表示。
2. 工程学中，空间向量被广泛应用于建筑设计、机械设计等领域。
例如，在静力学中，力的合成和分解可以通过空间向量的运算得到。
3. 计算机图形学中，空间向量用于表示对象的位置、方向和旋转等信息。
通过对空间向量的操作，可以实现三维模型的转换和变换。
1.4 空间向量的应用 课件(可编辑图片版)(共31张PPT)
(2，－1,1)．
[方法技巧] 求平面法向量的三个注意点 (1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量． (2)取特值：在求→n 的坐标时，可令 x，y，z 中一个为一特殊值 得另两个值，就是平面的一个法向量． (3)注意 0：提前假定法向量→n ＝(x，y，z)的某个坐标为某特定 值时一定要注意这个坐标不为 0.
解析：∵μ·a＝－12＋16－4＝0， ∴μ⊥a，∴l⊂α或l∥α. 答案：l⊂α或l∥α
题型一 求平面的法向量
如图，已知 ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面 ABCD，
SA＝AB＝BC＝1，AD＝1，试建立适当的坐标系． 2
(1)求平面 ABCD 的一个法向量； (2)求平面 SAB 的一个法向量； (3)求平面 SCD 的一个法向量．
[方法技巧] 1.在空间中，一个向量成为直线 l 的方向向量，必须具备以下 两个条件：(1)是非零向量；(2)向量所在的直线与直线 l 平行或重合． 2．与直线 l 平行的任意非零向量→a 都是直线的方向向量，且直 线 l 的方向向量有无数个． 3．给定空间中任意一点 A 和非零向量→a ，就可以确定唯一一 条过点 A 且平行于向量→a 的直线． 4．表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等， 因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们
3．若平面α，β的一个法向量分别为m＝(－
1 6
，
1 3
，－1)，n＝
(12，－1,3)，则( )
A．α∥β
B．α⊥β
C．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合
解析：∵n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α与β重合．故选D. 答案：D
4．若直线l的方向向量a＝(2,2，－1)，平面α的法向量μ＝(－ 6，8,4)，则直线l与平面α的位置关系是________．
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C1
A1
P
B1
Q
C
D
O
A B
求空间点与面的距离:
A
投影法
n
AB
B AB
点与面的距离等 于点与平面內任 一已知点所构向 量在面的法向量 上的投影.
n n
d
利用空间向量求空间距离
【例 3 】►在三棱锥 S－ABC 中，△ABC 是 例 1 边长为 4 的正三角形，平面 SAC⊥平面 ABC，SA＝SC＝2 3，M、N 分别为 AB、 SB 的中点， 如图所示， 求点 B 到平面 CMN 的距离．
例 2.如图， 四边形 ABCD 为正方形， PD⊥平 1 面 ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝ PD. 2 证明：平面 PQC⊥平面 DCQ
例3.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别 是棱AB，BC的中点，试在棱BB1上找一点M， D1 M 平面 使得 EFB1
D1
C1 B1
A1
D
A
M
B
C
F
E
证明平行的方法:
1:证线线平行的方法:
Z
AB
Y
EF AB
AB
EF
EF
X
证明线平行线转化为证明两直线 的方向向量平行.
2:证明线面平行的方法:
n
AZ
直线AB
B
Y
平面
0
AB
X
n
证明线平行面转化为计算直线的方向向 量与平面的法向量的数量积为0.
3:证明面面平行的方法:
Z
平面
Y
【训练】 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中 AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1. (1)求BF的长； (2)求点C到平面AEC1F的距离．
解
(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则各相关点的坐标为：
D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0，0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)设 F(0,0，z)． ∵AEC1F 为平行四边形， → → ∴AF＝EC1得，(－2,0，z)＝(－2,0,2)， ∴z＝2. → ∴F(0,0,2)．∴BF＝(－2，－4,2)， → ∴|BF|＝2 6，即 BF 的长为 2 6.
z＝ 0， 即 x＋ y＝ 0，
取 x＝ 1 设直线 PD 与面 PAC 所成的角为 ， ＝ (－ 1,1,0)， D(0,2,0) ，所以 PB ＝ (1,0 ，－ 1)，θ CD － 1＋ 010 ＋0 → |P → → 1 D · m | 2 所以 cos 〈θ PB 所以 sin ＝ ，CD〉＝ ＝ ＝ . ＝－2， → 2× 5 2 5· 2
设 n＝ (x， y， z)为平面 CMN 的一个法向量， → CM· n＝ 3x＋ 3y＝ 0， 则 → n＝－ x＋ 2z＝ 0， MN· 取 z＝ 1，则 x＝ 2， y＝－ 6， ∴ n＝ ( 2，－ 6， 1)． → |n· MB| 4 2 ∴点 B 到平面 CMN 的距离 d＝ ＝ . |n| 3
→ CC1· n1 则 cos α＝ ＝ → |CC1||n1| 3×
4 33 ＝ . 33 1 1＋ ＋ 1 16
3
∴ C 到平面 AEC1F 的距离为 → 4 33 4 33 d＝ |CC1|cos α＝3× ＝ . 33 11
利用空间向量法求空间角: 1:求线线角:
Z
cos
AB
CD
AB
CD
n2
平面
n
X
n
n2
例 1. 在正方体 ABCD－A′B′C′D′中， 棱 AB，BB′，B′C′，C′D′的中点分别 是 E，F，G，H，如图所示. 求证：AD′∥平面 EFG；
例2.正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O是
底面ABCD的中心，P是棱DD1的中点，
设Q是CC1 上的点，当点Q在什么位置时， 平面D1BQ//平面PAO
平面法向量的求法:
方法：垂基法. n
A OA O OB B
设 . n=(x0,y0,z0) 由 已 知 OA=(x1,y1,z1) OB=(x2,y2,z2) 得 n OA=0 n OB=0 求 出 x0,y0,z0的 比 值
技巧：如果所求平面与三个坐标平面
都不平行，可假设法向量一个坐标为1
|PD||m| 2
→ → π 15PB 与 CD 所成的角为 60° 所以〈 PB ， CD 〉＝ 120° ，所以 . 因为 θ∈ 0， ，所以 cos θ＝ .
5
15 即直线 PD 与面 PAC 所成角的余弦值为 . 5
A
B
X
线线角可转化 Y 为两直线的方 向向量所成的 角.
2:求线面角:
n
A
线面角等于直线的方向 向量与平面的法向量所 成角的余角.
B
线面角或等于直线的方 向向量与平面的法向量 所成角的补角的余角.
AB
AB
技 巧
sin
n
n
1．(2012· 四川)如图，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、 CC1的中点，则异面直线A1M与DN 所成的角的大小是________．
答案
90°
【例 2】 ►如图所示， 在四棱锥 P－ABCD 中， PA⊥面 ABCD， AB⊥ BC， AB 1 ⊥ AD，且 PA＝AB＝BC＝ AD＝1. 2
(1)求PB与CD所成的角； (2)求直线PD与面PAC所成的角的余弦值．
→ → → (2)由 (1)知PD＝ (0,2，－ 1)，AP＝ (0,0,1)，AC＝ (1,1,0)， 设 m＝ (x， y， z)是平面 PAC 的一个法向量， → m· AP＝ 0， 则 → m · AC ＝ 0，
（一）证明垂直的方法：
1:证明线线垂
两直线的方向向量的数量积为0
B
A
C
D
AB
CD
AB
CD
0
2:证明线面垂
证明线垂面
直线方向向量与平面内不共 线的两向量的数量积分别为0
3:证明面面垂
n
证明面垂面
两平面的法向量的数量积为0
n
n2
0
【例1】 如图所示， 正三棱柱 ABC—A1B1C1 的所 有棱长都为 2，D 为 CC1 的中点. 求证：AB1⊥平面 A1BD.