三角形中位线定理与多边形外角和定理初三

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九年级数学中位线知识点

九年级数学中位线知识点中位线是数学中一个重要的概念，它在统计学和几何学中都有广泛的应用。

本文将详细介绍九年级数学中位线的相关知识点，包括定义、性质和求解方法等方面。

一、定义中位线是指一条线段，它连接平面上一个三角形的一个顶点和对边中点的线段。

具体来说，对于三角形ABC，若D是边AB的中点，则CD被称为三角形ABC的中位线。

二、性质1. 中位线的长度：中位线的长度等于对边的一半。

即，在三角形ABC中，若D为边AB的中点，则CD = 1/2 AB。

2. 中位线的位置：三角形ABC的三条中位线所交于一点，我们称之为重心（G）。

重心是三角形的一个重要特殊点，它将三角形分成六个小三角形，每个小三角形的面积相等。

3. 中位线的关系：在三角形中，任意两条中位线的交点都在第三条中位线上。

这个交点将每条中位线分成两个部分，其中一个部分是另一条中位线的2倍。

三、求解方法1. 已知三角形的顶点坐标：若已知三角形的顶点坐标A（x1, y1）、B（x2, y2）、C（x3, y3），求中位线CD的方法如下：a) 计算边AB的中点坐标D，D的坐标为（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2）；b) 通过点D和顶点C的坐标，可以得到中位线CD的方程；c) 求解中位线CD的相关参数，如长度、斜率等。

2. 已知三角形的边长：若已知三角形的边长a、b、c，求中位线CD的方法如下：a) 根据已知边长，利用海伦公式计算三角形的面积S；b) 根据面积S和三角形的高公式，计算三角形的高h；c) 通过三角形高的性质，计算出中位线CD的长度。

四、例题解析为了更好地理解中位线的概念和求解方法，我们将通过例题来进行解析：例题1：已知三角形ABC的坐标为A（2, 4）、B（6, 8）、C （8, 2），求中位线CD的长度。

解析：首先计算边AB的中点坐标D，D的坐标为（(2+6)/2, (4+8)/2）= (4, 6)。

然后根据两点间的距离公式，计算出CD的长度：CD = √[(8-4)^2 + (2-6)^2] = √[(4^2) + (-4)^2] = √(16+16) = √32 = 4√2例题2：已知三角形的边长分别为a = 5 cm，b = 12 cm，c = 13 cm，求中位线CD的长度。

北师版初三数学三角形的中位线

北师版初三数学三角形的中位线
三角形的中位线
把任意一个三角形分成四个全等的三角形.
做法:连接每两边的中点.做一做你认为这种做法对吗?
三角形的中位线
定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
如图:在△ABC中,D,E,F分别是三边中点,则DE,EF,DF是△ABC的中位线.
中位线定理的证明FABCEM
求证：EF∥BC，EF=BC
证明：延长线段EF到M,使FM=EF，连结MC
∵AF=FC∠AFE=∠CFMEF=FM
∴△AFE≌△CFM (SAS)
∴∠AEF=∠M∠A=∠FCM
∴AB∥CMEF∥BC
∴四边形EBCM是平行四边形∴EM=BC∵EF=EM
∴EF=BC
1、如图：EF是△ABC的中位线，BC=20，则EF=（）;102、
①顺次连结平行四边形四边中点所得的四边形是————————
②顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是——————
③顺次连结矩形四边中点所得的四边形是——————
④顺次连结菱形四边中点所得的四边形是——————
⑤顺次连结正方形四边中点所得的四边形是—————
练习（二）1、填空题：下4、巩固练习（一）
答：A、B两点的距离是40m。因为MN是△ABC的中位线，利用三角形
点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
求证：顺次连结四边形四条边的中点所得的四边形是平行四边形。
已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中
点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
证明：连结AC.
∵AH=HD，CG=GD
∴HG∥AC, HG=AC
同理EF∥AC EF=AC

华东师大初中数学九年级上册三角形中位线定理知识讲解[精品]

三角形中位线定理【学习目标】1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．2. 掌握中点四边形的形成规律.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、三角形的中位线1、（2016•北京）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．（2）首先证明∠BMN=90°，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题．【答案与解析】（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，MN=AD，在RT△ABC中，∵M是AC中点，∴BM=AC，∵AC=AD，∴MN=BM．（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）可知，BM=AC=AM=MC，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴BN2=BM2+MN2，由（1）可知MN=BM=AC=1，∴BN=【总结升华】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．举一反三：【变式】如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，B点坐标为（3，2），OB与AC交于点P，D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，则四边形DEFG的周长为_____.【答案】5；解：∵四边形OABC是矩形，∴OA＝BC，AB＝OC；BA⊥OA，BC⊥OC．∵B点坐标为（3，2），∴OA＝3，AB＝2．∵D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，∴DE＝GF＝1.5； EF＝DG＝1．∴四边形DEFG的周长为（1.5＋1）×2＝5．2、如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AH是高．（1）若BC=10，AH=8，则四边形ADEF的面积为．（2）求证：∠DHF=∠DEF．B【思路点拨】（1）由三角形面积公式可知：△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的四分之一，进而可求出四边形ADEF的面积．（2）首先证明四边形ADEF是平行四边形，进而可得∠DEF=∠DAF，再利用直角三角形的中线性质得线段相等，从而得角等，最终可得到∠DAF=∠DEF，即可证出∠DHF=∠DEF．【答案解析】（1）解：∵BC=10，AH=8，∴S△ABC=×8×10=40，∵点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，∴△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的，∴四边形ADEF的面积=40﹣20=20，故答案为：20；（2）证明：∵D、E、F分别是△ABC各边中点，∴DE∥AC，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF=∠DAF，∵AH是△ABC的高∴△ABH、△ACH是直角三角形，∵点D、点F是斜边AB、AC中点，∴DH=DA，HF=AF，∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，∴∠DAH+∠FAH=∠FHA+∠DHA，即∠DAF=∠DHF ， ∴∠DEF=∠DHF ．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，解决题目的关键是证明∠DHF=∠DAF 与∠DAF=∠DEF ．3、如图所示，在△ABC 中，M 为BC 的中点，AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD 于D ，AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长．【思路点拨】本题中所求线段MD 与已知线段AB 、AC 之间没有什么联系，但由M 为BC 的中点联想到中位线，另有AD 为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN ，D 为BN 的中点，DM 即为中位线，不难求出MD 的长度．【答案与解析】解：延长BD 交AC 于点N ．∵ AD 为∠BAC 的角平分线，且AD ⊥BN ， ∴ ∠BAD ＝∠NAD ，∠ADB ＝∠ADN ＝90°，在△ABD 和△AND 中，BAD NAD AD =ADADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝ ∴ △ABD ≌△AND(ASA) ∴ AN ＝AB ＝12，BD ＝DN ．∵ AC ＝18，∴ NC ＝AC －AN ＝18－12＝6， ∵ D 、M 分别为BN 、BC 的中点， ∴ DM ＝12CN ＝162⨯＝3．【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形．举一反三：【变式】如图所示，四边形ABCD 中，Q 是CD 上的一定点，P 是BC 上的一动点，E 、F 分别是PA 、PQ 两边的中点；当点P 在BC 边上移动的过程中，线段EF 的长度将( )．A ．先变大，后变小B ．保持不变C ．先变小，后变大D ．无法确定【答案】B ；解：连接AQ ．∵ E 、F 分别是PA 、PQ 两边的中点，∴ EF 是△PAQ 的中位线，即AQ ＝2EF ．∵ Q 是CD 上的一定点，则AQ 的长度保持不变， ∴ 线段EF 的长度将保持不变．4、我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：（1）如图1，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上，且CD=CA ，点E 、F 分别为BC 、AD 的中点，连接EF 并延长交AB 于点G ．求证：四边形AGEC 是等邻角四边形；（2）如图2，若点D 在△ABC 的内部，（2）中的其他条件不变，EF 与CD 交于点H ，图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）运用中位线的性质，找出对应相等的角；（2）根据题意易知满足条件的四边形即为第一题的四边形．【答案与解析】解：（1）取AC 的中点H ，连接HE 、HF∵点E 为BC 中点∴EH 为△ABC 的中位线∴EH∥AB，且EH=12AB 同理FH∥DC，且FH=12DC∵AB=AC，DC=AC ∴AB=DC ，EH=FH ∴∠1=∠2∵EH∥AB，FH∥DC ∴∠2=∠4，∠1=∠3 ∴∠4=∠3∵∠AGE+∠4=180°，∠GEC+∠3=180° ∴∠AGE=∠GEC∴四边形AGEC是邻角四边形（2）存在等邻角四边形，为四边形AGHC．【总结升华】本题考查了三角形的中位线以及等腰三角形的性质的综合运用．本题较灵活，要求学生能够把题中的条件转化成角，从而找出相等的角来解题．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D；解：连接DE并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E是AC中点，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE，∴DE=HE，DC=AH，∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，∴EF=12 BH，∴BH=AB-AH=AB-DC=2，∴EF=1．类型二、中点四边形5、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）若AD＝2，BC＝4，求四边形EFGH的面积．【思路点拨】（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断．（2）连接EG ，利用梯形的中位线定理求出EG 的长，然后结合（1）的结论求出2EH ＝92，也即得出了正方形EHGF 的面积．【答案与解析】证明：（1）在△ABC 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，故可得：EF ＝12AC ，同理FG ＝12BD ，GH ＝12AC ，HE ＝12BD ，在梯形ABCD 中，AB ＝DC ，故AC ＝BD ，∴EF ＝FG ＝GH ＝HE ， ∴四边形EFGH 是菱形．设AC 与EH 交于点M ，在△ABD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，则EH∥BD，同理GH∥AC，又∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，∴四边形EFGH 是正方形．（2）连接EG ．在梯形ABCD 中，∵E、G 分别是AB 、DC 的中点， ∴EG＝12（AD ＋BC ）＝3．在Rt△EHG 中，∵222EH GH EG +=，EH ＝GH ， ∴2EH ＝92，即四边形EFGH 的面积为92．【总结升华】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理，解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH ＝HG ＝GF ＝FE ，这是本题的突破口．举一反三：【变式】如图，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．（1）判断四边形EFGH 的形状，并说明你的理由；（2）连接BD 和AC ，当BD 、AC 满足何条件时，四边形EFGH 是正方形．【答案】解：（1）四边形EFGH 是平行四边形．理由：连接AC ，∵E、F 分别是AB 、BC 的中点，∴EF∥AC，且EF ＝12AC ，同理，HG∥AC，且HG ＝12AC ，∴EF∥HG，且EF ＝HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形；（2）当BD ＝AC ，且B D⊥AC 时，EFGH 是正方形．理由：连接AC ，BD ，∵E、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点， ∴EF＝GH ＝12AC ，EH ＝FG ＝12BD ，EH∥BD，GH∥AC， ∵BD＝AC ，BD⊥AC，∴EH＝EF ＝FG ＝GH ，EH⊥GH，∴四边形ABCD 是菱形，∠EHG＝90°， ∴四边形EFGH 是正方形．。

三角形的中位线和多边形

三角形中位线和多边形【知识要点】1．三角形中位线的定义： 2．三角形中位线定理的证明：如图，在△ABC 中，D 、E 是AB 和AC 的中点，求证：DE ∥BC ，DE=21BC ．3．归纳：（1）几何语言：（2）条中位线，对全等，个平行四边形（3）面积多边形：1、定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段相连组成的图形叫做多边形，各边相等也相等的多边形叫做正多边形 2、多边形的内外角和：n(n ≥3)的内角和事外角和是正几边形的每个外角的度数是，每个内角的度数是 3、多边形的对角线：多边形的对角线是连接多边形的两个顶点的线段，从几边形的一个顶点出发有条对角线，将多边形分成个三角形，一个几边形共有条对边线【1、三角形是边数最少的多边形2、所有的正多边形都是轴对称图形，正n 边形共有条对称轴，边数为数的正多边形也是中心对称图形】【典型例题】例1.已知：△ABC 中,D 、F 、E 分别为AB 、BC 、CA 的中点. （1）若AC=10cm ，则DF= cm. （2）若EF=6cm ，则AB= cm.（3）若AB=10，AC=12，BC=8，则△DEF 的周长等于 .E DBCA例2. 如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，点E ，F ，G 分别是AB ，CD ，AC 的中点．求证：△EFG 是等腰三角形。

例3．如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF=12BD ．例4．已知：如图，E 为□ABCD 中DC 边的延长线上的一点，且CE ＝DC ，连结AE 分别交BC 、BD 于点F 、G ，连结AC 交BD 于O ，连结OF ．求证：AB ＝2OF ．例 5.如左图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形A BCDE 的4个外角．若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4= ．例6．如右图，四边形ABCD 中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1+∠2= 度．【课堂练习】一、选择题1．一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（） A ．四边形 B ．五边形 C ．六边形 D ．八边形EFG DABC2．正六边形的每个内角都是（）A．60°B．80°C．100°D．120°3．如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（）A．120°B．180°C．240°D．300°二、填空题1.如果四边形的两条对角线长分别为35cm和25cm,则连结这个四边形各边中点所得的四边形的周长是__________.2.如图，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，已知AG⊥BD，AF⊥CE，若BF=2，ED=3，GC=4，则△ABC的周长为 .3．如图，已知第一个三角形ABC的周长为1，它的三条中位线组成第二个三角形EFG，第二个三角形的三条中位线又组成第三个三角形HIJ，依此类推，第2000个三角形的周长为4．正n边形的一个外角的度数为60°，则n的值为．5．五边形的内角和的度数是．6．已知一个多边形的内角和是外角和的32，则这个多边形的边数是．7.如图,△ABC中, AD为∠BAC的平分线,点F是BC的中点,BP⊥AD于D,AC=12,AB=8，求PF的长.8. （1）你能用一条直线将下列图形分割成面积相等的两部分吗？①三角形②平行四边形9.已知一个多边形的内角和是1440°，求这个多边形的对角线的条数。

三角形中位线及多边形内角和与外角和复习教案

2.学生对多边形内角和与外角和的应用能力。在实践活动和小组讨论中，我发现有些学生在应用这些知识点解决实际问题时还存在困难。针对这个问题，我计划在接下来的课程中增加一些生活情境题，让学生在实际问题中学会运用这些概念。
3.教学方法的多样性。为了提高学生的学习兴趣和参与度，我尝试了多种教学方法，如提问、案例分析、分组讨论等。从学生的反馈来看，这些方法取得了较好的效果。但在实施过程中，我也发现部分学生在讨论环节表现得不够积极，可能是因为他们对讨论主题不够感兴趣或者不知道如何展开讨论。为此，我将在今后的教学中更加关注学生的兴趣点，精心设计讨论主题，引导他们积极参与。
4.关注学生的个体差异。在课堂教学中，我发现有些学生掌握知识点较快，而有些学生则较慢。为了照顾到每一个学生，我应该在课后加强个别辅导，针对学生的薄弱环节进行有针对性的指导，帮助他们尽快提高。
5.课堂总结的重要性。在今天的课程结束前，我对所学知识点进行了总结回顾，发现大部分学生能够跟随课堂节奏掌握所学内容。但在今后的教学中，我还应加强对学生的引导，让他们学会自己总结、归纳，从而提高他们的自主学习能力。
-能够运用中位线性质解决实际问题，提高几何图形分析能力。
-能够理解和运用多边形内角和与外角和定理，培养空间想象力和几何直观。
2.增强学生的逻辑推理能力，通过定理的推导和应用，培养学生严谨的逻辑思维和推理能力。
-能够运用已知条件和几何定理，进行合理推理和解决问题。
3.提高学生的数学建模能力，使学生能够将实际问题抽象为数学模型，运用所学知识进行求解。
五、教学反思
在今天的教学中，我重点关注了三角形中位线及多边形内角和与外角和的知识点。通过整个教学过程，我发现以下几点值得思考：
1.学生对三角形中位线定理的理解程度。在讲授过程中，我发现部分学生对中位线定理的理解还不够深入，需要通过更多具体的例题和实际操作来加深他们的理解。在今后的教学中，我应增加一些互动环节，让学生亲自操作、探索，从而更好地理解中位线定理。

三角形中位线定理是什么

三角形中位线定理是什么
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

中位线定理是，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

三角形中位线
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

定理：三角形的中位线平行且相等于第三边的一半。

逆定理：
1、在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。

2、在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。

梯形中位线
定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

说明
1、要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。

三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。

2、梯形的中位线是连接两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段。

3、两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时三角形的中位线就变成梯形的中位线。

4、三条中位线形成的三角形的面积是原三角形面积的四分之一。

5、三条中位线形成的三角形的周长是原三角形周长的二分之一。

三角形中位线定理的证明

三角形中位线定理的证明
三角形中位线定理是指如果一个三角形内某条边的中点和另外两条边连结，它们就能够构成三个等腰三角形。

证明：假设三角形ABC有两边AB和AC，其外角BAC为
$\theta$（由外角定理可知$\angle BAC=\angle A+\angle B$）。

在三角形ABC内将AB延长到D点，且$\angle ADB=\angle B$，由正弦定理可得 $ \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{\sin{\angle
B}}{\sin{\theta}}$。

假设B点到AC边的垂线延长到交E点，且$\angle BAE=\angle A$。

由正弦定理可得 $ \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{\sin{\angle
A}}{\sin{\theta}}$
链接B，D，E三点，就形成了等腰三角形BDE，其外角DBE为$\angle A$，根据已知$\angle ADB=\angle B$，可知$\angle
DBE=\angle B$，即无论三角形ABC的外角多大，三角形BDE的外角都相等，它们是等腰三角形，三角形中位线定理得证。

《三角形中位线、多边形内角和与外角和》(可编辑修改word版)

三角形中位线如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别为AC.2. 如陶四边形ABCD 中，AD=BC.人£、G 分别是AB. CD 、AC 的中点，若ZD4C=2gZ4CB=6O^ 则ZFEG= __________ ・3. 已知△ABC 的周长为1,连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（〉4.如图所示，已知四边形ABCD. R. P 分別是DC, BC 上的点，E, F 分别是AP 、RP 的中点,当点P 在BC 上从点B 向点C 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（）如图9,在△ABC 中，AB=AC,延长AB 到D 使BD=AB. £为加？中点，连接C£、CD 求证：CD=2EC ・如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD 二CA, CF 平分ZACB. 如图所示，已知在平行四边形ABCD 中，E, F 分别是AD. BC 的中点，求证：MX 〃BC ・已知：如图，四边形ABCD 中，E. F 、G 、H 分别是AB 、BC. CD 、DA 的中点.求证：四边 BD 的中点，则EF 与AB+CD 的关系是A.2EF = AB + CD 2EF > AB + CDC 2EF<AB + CD D ・不确圧A. -----B. --------- 20082009C. ____2咖 D. _____ A. 线段EF 的长逐渐增大 B.线段EF 的长逐渐减少C. 线段EF 的长不变D.线段EF 的长不能确窪5. AE=EB.求证J EF=—BD ・27.2形EFGH 是平行四边形.9.已知：△ABC 的中线BD 、CE 交于点0, F 、G 分别是0B 、0C 的中点.求证：四边形DEFG 是平行四边形.6已知如图，E 为平行四边形ABCD 中DC 边的延长线上的一点，且CE=DC,连结AE 分别交BC.BD 于点F 、G,连结AC 交BD 于0,连结0F ・求证：AB=20F.如图，ABCD 的对角线AC. BD 交于点0,且E 、F 、G 、H 分别是A0, B0, CO, DO 的中点.求证：四边形EFGH 是平行四边形.己知：如图，E 、F 、G 、H 分別是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.求证：四边形EFGH 是平行四边形.9 如图，在UABCD 中，EF 〃AB 交BC 于E,交AD 于F,连结AE 、BF 交于点M,连结CF 、DE 交于点N.求证J (1)MX 〃AD ： (2) MX=1AD.D3 如图，在四边形ABCD 中，AB=CD ・E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连结EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线相交于M 、No 求证：ZBME=ZCNEJ 在四边形ABCD 中，ACBD 相交于0点，AOBD.E 、F 分別是AB 、CD 的中点，连接EF 分別交AC 、BD 于M 、N,判断三角形MON 的形状，并说明理由。

初中三角形的定理

初中三角形的定理 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初中三角形的定理、公理和定义一. 三角形中的有关公理、定理：（1）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；③三角形的外角和等于360°.（2）三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.（3）三角形三条边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

（4）三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．二．多边形中的有关公理、定理：（1）多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（ n－2）×180°.（2）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和都为360°.三.（1）如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分.（2）轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

四. 等腰三角形中的有关公理、定理：（1）等腰三角形的两个底角相等．（简写成“等边对等角”）（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”）（3）等腰三角形的“三线合一”定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”．（4）等边三角形的各个内角都相等，并且每一个内角都等于60°．（5）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（6）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

五. 直角三角形的有关公理、定理：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；（3）勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.六．相似三角形的判定：（1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似；（2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；（3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似. （4）平行于三角形的一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似。

初二升初三课次3三角形的中位线、多边形的内角和

初二升初三数学讲学案知识梳理1. 三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半. 几何表示： ∵ DE 是△ABC 的中位线∴ DE ∥BC,DE=21BC3. 证明定理已知：如图6-20（1），DE 是△ABC 的中位线.求证:DE ∥BC,DE=21BC证明:如图6-20(2),延长DE 到F,使DE=EF,连接CF. 在△ADE 和△CFE 中 ∵AE=CE,∠1=∠2,DE=FE∴△ADE ≌△CFE （）∴∠A=∠ECF,( ) AD=CF( ) ∴CF ∥AB( ) ∵BD=AD ∴BD=CF∴四边形DBCF 是平行四边形( ) ∴DF ∥BC( )课堂练习一、选择题1.如图，在▱ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，点E 是边BC 的中点，AB=4，则OE 的长是（）A 2 B2 C 121D 2．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AC 和BC 的中点，已知DE=2，则AB=（） A ．1 B ．2C ．3D ．43．如图，已知点D 、E 、F 分别是△ABC 边AB 、AC 、BC 的中点，设△ADE 和△BDF 的周长分别为L 1和L 2，则L 1和L 2的大小关系是（）A ．L 1=L 2B ．L 1＜L 2C ．L 1＞L 2D ．L 1与L 2的大小关系不确定4．在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，若BC=5，则DE 的长是（） A ．2.5 B ．5 C ．10 D ．155.如图，在等边△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，DE=3，则△ABC 的周长是（） A ．6 B ．9 C ．18 D ．246.如图，△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，BF 平分∠ABC ，交DE 于点F ，若BC=6，则DF 的长是（） A ．2 B ．3 C ．25D ．4 7.如果三角形的两边分别为3和5，那么连接这个三角形三边中点所得的三角形的周长可能是（）A ．4B ．4.5C ．5D ．5.58.一个三角形的周长是36cm ，以这个三角形三边中点为顶点的三角形的周长是（） A ．8cm B ．12cmC ．15cmD ．18cm9.如图，D ，E 分别为△ABC 的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若∠CDE=48°，则∠APD 等于（）A ．42°B ．48°C ．52°D ．58°10.在△ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是BC 边上的高．将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为（） A ．9.5 B ．10.5 C ．11 D ．15.511．（2009•南宁）如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）A．10cm2B．20cm2C．40cm2D．80cm2二、填空题1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF的周长= cm2．（2013•漳州）如图，△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，∠B=70°，则∠ADE= 度．3．如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为。

三角形中位线、多边形的内角和与外角和复习

教学内容知识回顾1．平行四边形的定义：（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2．平行四边形性质：（1）边：两组对边分别平行且相等；（2）角：对角相等、邻角互补；（3）对角线：对角线互相平分。

3．平行四边形的判别方法：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形②对角线互相平分的四边形是平行四边形③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形④两组对边分别相等的四边形是平行四边形⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形◆新授课内容知识点讲解/梳理三角形的中位线1、三角形的中位线的定义：连接三角形的两边的线段，叫做三角形的中位线。

2、三角形的中位线定理三角形的中位线平行于，并且等于。

多边形内角和与多边形外角和1、多边形的内角和n边形从一个顶点出发的对角线把n边形分成个三角形, 条对角线.n边形的内角和等于（n-2）×180°（n≥3）2、多边形的外角和性质：多边形的外角和都等于360°（多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°）知识点一：三角形的中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半例1：如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，证明：四边形DECF 是平行四边形同步检测1.在四边形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，求证：EF ＜21（AB ＋DC ）GE F BC A D知识点二：多边形的内角和n 边形从一个顶点出发的对角线把n 边形分成个三角形, 条对角线.n 边形的内角和等于（n-2）×180°（n ≥3）例1（1）一个多边形的边数增加1，则内角和增加的度数是。

（2）边形内角和是四边形内角和的2倍。

（3）已知多边形内角和等于1080º，求它的边数。

同步检测（1）已知多边形每个内角都等于150°，求它的边数及内角和。

（2）一个多边形除了一个内角为130°外，其余各内角的和为2030°，求这个多边形的边数。

三角形的所有定理及概念

三角形的所有定理及概念
三角形是平面几何中的重要概念，它有许多定理和概念。

首先，我们来谈谈三角形的基本概念。

三角形是由三条边和三个角组成的
多边形，其中每个角的度数之和为180度。

根据边长和角度的不同，三角形又可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三
角形和锐角三角形等不同类型。

三角形的定理和概念包括但不限于以下几点：
1. 三角形的角平分线定理，三角形内任意角的角平分线相交于
对边上的一点，并且此点到两个角的顶点的距离相等。

2. 三角形的中位线定理，三角形内任意两边的中位线平行且等
于第三边的一半。

3. 三角形的高定理，三角形内任意一条高都将底边分成两段，
使得这两段边乘积等于高与底边的乘积。

4. 三角形的外角定理，三角形的一个外角等于它的两个不相邻
内角的和。

5. 三角形的内角和定理，三角形内角的度数之和为180度。

6. 三角形的相似定理，如果两个三角形的对应角相等，则它们
是相似三角形；如果两个三角形的对应边成比例，则它们是相似三
角形。

7. 三角形的勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于
斜边的平方。

除了上述定理和概念外，三角形还涉及到海伦公式、正弦定理、余弦定理、面积公式等等。

这些定理和概念在解决三角形相关的问
题时起着重要的作用，能够帮助我们理解三角形的性质和特点，解
决各种三角形的计算和证明问题。

通过深入理解三角形的定理和概念，我们可以更好地应用它们解决实际问题，同时也能够更好地理
解几何学的相关知识。

三角形中位线、多边形内角和定理

三角形的中位线与多边形的内角和定理【知识梳理】1、三角形中位线连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．注意三角形中位线与三角形中线的区别．2、三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图，D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，则，且DE∥BC．3、定理：经过三角形一边中点与另一边平行的直线平分第三边．4、多边形有关概念在一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.这里所指的多边形是指凸多边形．即多边形总在任何一条边所在直线的同一旁．如图（1）是凸多边形，图（2）是凹多边形.组成多边形的各条线段叫做多边形的边，多边形有几条边就叫几边形，每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线，相邻两边组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角．5、正多边形如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那就称它为正多边形.研究多边形的问题经常转化为研究三角形的问题.6、多边形内角和定理n边形的内角和等于(n－2)·180°（n≥3的正整数），可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.7、多边形外角和定理多边形的外角：多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角．在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°.8、注意：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.二、重难点知识归纳1、三角形中位线定理的证明方法，关键在于添加辅助线．除课本上的证明方法外，还有如下几种方法参考：（1）如图，延长中位线DE到点F，取EF＝DE，连接DC、FC、AF．根据对角线互相平分判定四边形ADCF是平行四边形，得到AD CF．以下步骤同教材．（2）如图，作CF∥AB，与DE的延长线交于点F，通过证明△ADE≌△CFE，得 AD FC，以下步骤同教材．2、三角形中位线定理是三角形的一个重要性质定理．在同一题设下，有两个结论，一个结论是表明位置关系，即平行关系，另一个结论是表明数量关系，即中位线等于第三边的一半，应用时按需选用．3、经过探索式推理得到的定理：经过三角形一边中点与另一边平行的直线平分第三边，可以作为中位线的判定方法．4、利用三角形中位线定理，可判定顺次联结各种不同类型的四边形各边中点所得四边形的形状，它取决于原四边形的两条对角线的位置与长短，一般可归结为：原四边形两条对角线中点四边形互相垂直矩形相等菱形互相垂直且相等正方形既不互相垂直也不相等平行四边形5、由三角形中位线定理可以推得的结论（1）三角形三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长一半．（2)三角形三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形．(3)三角形三条中位线可以从原三角形中划分出面积相等的三个平行四边形．6、多边形内角和定理的几种证法（1）在n边形内任取一点，并把这点与各顶点连结起来，共构成n个三角形，这n个三角形的内角和为n·180°，再减去一个周角，即得到多边形的内角和为(n－2)·180°.（2）过n边形一个顶点连对角线，可以得(n－3)条对角线，并且将n边形分成(n－2)个三角形，这(n－2)个三角形的内角和恰好是多边形的内角和，等于(n－2)·180°.（3）在n边形一边上取一点与各顶点相连，得(n－1)个三角形，n边形内角和等于这(n－1)个三角形内角和减去所取点处的一个平角，即(n－1)·180°－180°=(n－2)·180°.注意：以上各推导方法体现将多边形问题转化为三角形问题来解决的基本思想.7、多边形外角和定理的证明多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于n·180°，外角和等于n·180°－(n－2)·180°=360°.8、多边形边数与内角和、外角和的关系（1）内角和与边数成正比，边数增加，内角和增加；边数减少，内角和减少.每增加一条边，内角和就增加180°.（反过来也成立）（2）多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无关.9、多边形对角线的条数设n边形为A1A2A3…A n则以A1为端点的对角线有A1A3，A1A4，…，A1A n－1共(n－3)条.同理以A2，A3，…，A n为端点的对角线都有(n－3)条.但每条对角线都重复计数了一次，故n边形对角线的总数为．【典型例题】知识点一：三角形的中位线例1、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：EG、FH互相平分．例2、如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．（1）求证：DE=CF；（2）求EF的长．例3、如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是菱形；（2）若AB=，则当△ABC+△DCB=90°时，求四边形EGFH的面积．知识点二：多边形的内角和与外角和例1、已知两个多边形的内角和的和为1980°，且这两个多边形的边数之比为2︰3，求这两个多边形的边数.例2、一个多边形除了一个内角外，其余各角的和为2750°．则这一内角是（）A．130°B．140°C．150°D．120°1．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（）A．8B．10C．12D．142．如图，点D、E、F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是（）A．DE=DF B．EF=AB C．S△ABD=S△ACD D．AD平分△BAC3.如图，△ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3cm，则AB的长为（）A．12cm B．9cm C．6cm D．3cm4.过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（）A．8B．9C．10D．115．如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=8，AO=6，则四边形DEFG的周长为（）A．12B．14C．16D．186．如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为10cm，连接各边中点E，F，G，H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为（）A．20cm B．20cm C．20cm D．25cm7.若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是（）A．6B．8C．18D．278.顺次连接四边形各边中点所得的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．以上都不对9.如图，点A，B为定点，定直线l△AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：△线段MN的长；△△PAB的周长；△△PMN的面积；△直线MN，AB之间的距离；△△APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）A．△△B．△△C．△△△D．△△10.如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F对称，过点F作FG△CD，交AC 边于点G，连接GE．若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为．11.己知正多边形的每个外角都是45°，则从这个正多边形的一个顶点出发，共可以作条对角线．12.已知一个多边形的边数恰好是从一个顶点出发的对角线条数的2倍，则这个多边形的边数是，内角和是．13.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，如果EF=2，那么菱形的周长为．14.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD=24cm，△OAB的周长是18cm，则EF的长为．15.如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点．若EF=5cm，则AB=cm；若BC=9cm，则DE=cm；中线AF与DE的关系．16.已知一个三角形的周长为10cm，则连接各边中点所得的三角形的周长为cm．17.如图，D，E，F分别是△ABC的AB，BC，CA边的中点．若△ABC的周长为18cm，则△DEF的周长为．18.如图，已知直线l1：y=k1x+4与直线l2：y=k2x﹣5交于点A，它们与y轴的交点分别为点B，C，点E，F 分别为线段AB、AC的中点，则线段EF的长度为．19.已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，其周长为56，且各边长是连续的自然数，求这个多边形的各边长．20.已知，如图，E、F分别是AB、AC的中点，△ACD是△ABC的外角，延长EF交△ACD的平分线于G 点，求证：AG△CG．21.探索与证明如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O，M、N分别是BO、CO 的中点，顺次连接E、M、N、D四点．（1）求证：EMND是平行四边形；22.如图，已知△ABC是等边三角形，点D，F分别在线段BC，AB上，连接FC，AD，DE△FC，EF△DC （1）若D，F分别是BC，AB的中点，连接FD，求证：EF=FD；（2）连接AE，若BF=CD，求证：△AED是等边三角形．23.如图1，点P是线段AB的中点，分别以AP和BP为边在线段AB的同侧作等边三角形APC和等边三角形BPD，连接CD，得到四边形ABDC．（1）在图1中顺次连接边AC、AB、BD、CD的中点E、F、G、H，则四边形EFGH的形状是菱形；（2）如图2，若点P是线段AB上任一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，△APC=△BPD，连接CD，得四边形ABDC，则（1）中结论还成立吗？说明理由；（3）如图3，若点P是线段AB外一点，在△APB的外部作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，且△APC=△BPD=90°，请你先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．【巩固练习】1.如果三角形的两边分别为4和6，那么连接该三角形三边中点所得三角形的周长可能是（）A．6B．8C．10D．122.如图，点D、E、F分别是△ABC中AB、BC、AC边上的中点，点M、N、P分别是DE、EF、DF的中点．若△ABC的周长为24，则△PMN的周长为（）A．6B．8C．10D．123.直角三角形斜边上的中线与连结两直角边中点的线段的关系是（）A．相等且平分B．相等且垂直C．垂直平分D．垂直平分且相等4.从一个多边形的任何一个顶点出发都只有5条对角线，则它的边数是（）A．6B．7C．8D．95.一个多边形的外角和与它的内角和的比为1：3，这个多边形的边数是（）A．9B．8C．7D．66.如图，在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为（）A．9B．10C．11D．127.如图，已知△ABC的周长是1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形…依此类推，则第2015个三角形的周长为（）A．B．C．D．8.如图，已知长方形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC 上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减少C．线段EF的长不变D．线段EF的长先增大后变小9.如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分△ABC，交DE于点F，若BC=6，则DF的长是（）A．3B．2C．D．410.如图，CD是△ABC的中线，点E、F分别是AC、DC的中点，EF=1，则BD=．11.如图，H是△ABC的边BC的中点，AG平分△BAC，点D是AC上一点，且AG△BD于点G．已知AB=12，BC=15，GH=5，则△ABC的周长为．12.如图，在△ABC中，AB=AC=13，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点．已知B（﹣1，0），C（9，0），则点F的坐标为．13.如图，在△ABC中，△ACB=52°，点D，E分别是AB，AC的中点．若点F在线段DE上，且△AFC=90°，则△FAE的度数为°．14．（1）从四边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将四边形分成个三角形．（2）从五边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将五边形分成个三角形．（3）从六边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将六边形分成个三角形．（4）从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将n边形分成个三角形．15．由n边形的一个顶点可以引条对角线，它们将n边形分为不重叠的个三角形，n边形共有条对角线，12边形共有条对角线．16．已知一个多边形的每一个内角都等于150°，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有条，可以将此多边形分成个三角形．17.如图，D是△ABC的BC边的中点，AE平分△BAC，AE△CE于点E，且AB=10，AC=16，则DE的长度为．18.如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，CF=1，DF交CE于点G，且EG=CG，则BC=．19.如图，矩形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，已知AB=6，AF=4，则AC=．20.已知，D是△ABC内一点，BD△CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，求四边形EFGH的周长．21.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）求证：△DHF=△DEF．22.如图1，已知E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形（提示：可连接AC或BD）；（2）在电脑上用适当的应用程序画出图1，然后用鼠标拖动点D，当点D在原四边形ABCD的内部，在原四边形ABCD的外部时，图1依次变为图2、图3．图2、图3中四边形EFGH还是平行四边形吗？选择其中之一说明理由．。

三角形中位线多边形内外角和复习

复习回顾
DE是三角A形ABC的中位线
D
E
B
C
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
什么叫三角形的中位线呢？
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.
如图：在△ABC中，D是AB的中点，E
是AC的中点。则有：DE∥BC, DE=
1
BC.
2
A
你学会了吗？
得（n-2）﹒180°=3×360° 解得n=8 所以这个多边形是八边形。
1、一个多边形的内角和等于2340°，求它的边数。
解：依题意可得
（n-2）·180°=2340° n-2 =13 n =15
2、七边形的内角和等于__9_0_0__度；
3、如果一个多边形的每一个外角等于30°,则这个多边形的边数是__1_2__
D
E
B
C
三角形中位线定理有两个结论：（1）表示位置关系------平行于第三边；
（2）表示数量关系------等于第三边的一半。
应用时要具体分析，需要哪一个就用哪一个。
如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（Ｅ与Ａ，Ｄ不重合），G、Ｆ、H分别是BE、 BC、CE的中点．请证明四边形EGFH是平行四边形；
1.三角形的中位线定义. 2.三角形的中位线定理. 3、n 边形的内角和是(n-2) ·180° 。 4.多边形的外角及外角和的定义； 5.多边形的外角和等于360°；
练习提高
1、如图所示，□ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
AE=EB，求证：OE∥BC．
2、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H 分别是AB、CD、AC、BD的中点。四边形 EGFH是平行四边形吗？请证明你的结论。

中考数学专题复习三角形与多边形

第一部分夯实基础
第四章三角形
第2节三角形与多边形
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·理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，会按照边长的关系和角的大小对三角形进行分类，了解三角形的稳定性．
·探索并证明三角形的内角和定理．掌握它的推论．证明三角形的任意两边之和大于第三边．
·了解三角形重心的概念． ·探索并证明三角形的中位线定理． ·了解多边形的定义，多边形的定点、边、内角、外角、对角线等概念；探索并掌握多边形内角和与外角和公式．
∴BF＝2BT＝2 3.
∵∠A F E ＝120°，∠A F B ＝∠A B F ＝30°，
∴∠B F E ＝90°.
∴S
△PE
F＝
S
△B EF
＝1·E 2
F
·BF
＝1×2×2 2
3＝2
外心三角形三边垂直平分线的交点，外心到各顶点的距离相等.
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3．(1)下列说法错误的是( D ) A．三角形的内心是三角形内切圆的圆心 B．三角形的外心是三角形外接圆的圆心 C．三角形的重心到每个顶点的距离等于它到对边中点距离的 2 倍 D．等腰三角形的四心重合
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2．(1)如图，在△ABC 中，AE 是中线，AD 是∠BAC 的角平分线，AF ⊥BC 于点 F，∠B＝30°，∠C＝50°.
①BE＝ EC ； ②∠BAD＝ 50 °； ③∠DAF＝ 10 °； ④S△AEC ＝ S△ABE.(填“>”“＜”或“＝”)
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AD×BC×14.
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顶点连中点，倍长造全等点 D 是 BC 的中点，延长 AD 到 E，使 AD＝DE，则有点 D 为 BC 的中点，延长 ED △ACD≌△EBD，AC∥BE. 到点 F，使 DF＝ED，连接 CF，则有△BED≌△CFD.

初中数学三角形定理公式大全

初中数学三角形定理公式大全三角形是初中数学中的重要内容之一，其中包含了许多定理和公式。

下面是数学三角形定理公式的详细介绍：一、定理：1.角平分线定理：在任意三角形ABC中，如果BD是∠B的角平分线，则有AB/BC=AD/CD。

2.中位线定理：在任意三角形ABC中，如果DE是AB的中位线，则有DE∥BC，并且DE=1/2BC。

3.高线定理：在任意三角形ABC中，如果AD是AB的高线，则有∠ADB=90°。

4.外角定理：在任意三角形ABC中，如果∠A是外角，则有∠A=∠B+∠C。

5.等腰三角形的内角定理：在等腰三角形ABC中，如果AB=AC，则有∠B=∠C。

6.等腰三角形的底角定理：在等腰三角形ABC中，如果AB=AC，则有∠A=180°-2∠B。

7.等腰三角形的高定理：在等腰三角形ABC中，如果AB=AC，AM是BC的中线，则有BM∥AC，BM=1/2AC。

8.三角形内角和定理：在任意三角形ABC中，有∠A+∠B+∠C=180°。

二、公式：1.周长和面积公式：三角形的周长L等于三边长之和，即L=AB+BC+AC；三角形的面积S等于底边与底边上的高的乘积的一半，即S=1/2×AC×h。

2.直角三角形的斜边长度公式：在直角三角形ABC中，如果∠A=90°，则有AB²=AC²+BC²。

3.海伦公式（三角形面积公式）：在任意三角形ABC中，设s为半周长，即s=(AB+BC+CA)/2，则S=√[s(s-AB)(s-BC)(s-CA)]。

4.正弦定理：在任意三角形ABC中，有sinA/AB=sinB/BC=sinC/CA。

5.余弦定理：在任意三角形ABC中，有cosA=(BC²+CA²-AB²)/(2×BC×CA)；cosB=(CA²+AB²-BC²)/(2×CA×AB)；cosC=(AB²+BC²-CA²)/(2×AB×BC)。

专题三角形中位线及多边形(知识点精讲)(学生版)

专题11三角形中位线及多边形重难突破知识点一三角形中位线1、三角形中位线（1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.（2）性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.注意：（1）三角形的中位线是线段，不会射线，也不是直线；（2）一个三角形的中位线共有三条，并且这三条中位线把原三角形分成全等的四个小三角新，这些三角形的周长是原三角形周长的一半.（3）中位线与中线不同，中位线是连接两个中点，中线是连接一个中点和一个顶点；（4）三角形中位线定理的特点：一个条件两个结论。

一个结论是中位线与第三边的位置关系（平行），另一个结论是中位线与第三边的数量关系（一半），可根据具体情况，按需要选用。

2、用法证明一线段是另一线段的2倍的常用方法：①利用含30°角的直角三角形；②利用平行四边形的对角线；③利用三角形中位线定理。

（2020春•锦江区校级期中）如图，在ABC∆中，D是AB上一点，AD AC=，AE CD⊥，垂足为点E，F是BC 的中点，若10BD=，则EF的长为()A．8B．10C．5D．4典例2（2020春•龙泉驿区期末）如图，Rt ABC∆中，90BAC∠=︒，点D，E分别是边AB，BC的中点，AD与CE交于点F，则DEF∆与ACF∆的面积之比是()A．1:2B．1:3C．2:3D．1:4知识点二多边形的内角和与外角和1．多边形内角和公式：n边形的内角和是()()21803n n︒-⋅≥．注意：（1）n边形的内角和与边数有关，边数增加一条，内角和增加180°；（2）利用公式，已知n边形的边数可求内角和，同样已知内角和也可求边数；（3）正n边形的每个内角都相等，都等于()2180nn︒-⋅．2．多边形外角及外角和：（1）多边形的一边与它的邻边的延长线所组成的角叫作多边形的外角；（2）在多边形的每个顶点处分别取多边形的一个外角，这些外角的和叫作多边形的外角和；（3）多边形的外角和等于360︒．注意：（1）正n边形的外角和与边数无关，总等于360°；（2）正n边形的每个外角都相等，都等于360n︒．（2021春•龙泉驿区期中）若一个正多边形的一个内角为144︒，则这个图形为正()边形．A．七B．八C．九D．十典例2（2021春•金牛区校级期中）若正多边形的一个外角是45︒，则该正多边形的内角和为()A．720︒B．540︒C．1080︒D．900︒典例3（2019秋•五常市期末）若过多边形的每一个顶点只有6条对角线，则这个多边形是()A．六边形B．八边形C．九边形D．十边形巩固训练一、单选题（共6小题）1．（2020•双流区模拟）如图，D，E分别是ABC∆的边AB，AC上的中点，若5DE=，则(BC=)A．6B．8C．10D．122．（2020春•温江区校级期末）若一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形是()A．六边形B．八边形C．十边形D．十二边形3．（2020春•温江区期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形的内角和为()A．540︒B．720︒C．900︒D．1260︒4．（2020秋•临沭县期中）已知正多边形的一个外角等于40︒，则这个正多边形的内角和的度数为() A．1440︒B．1260︒C．1080︒D．900︒5．（2021春•深圳期末）如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC至F，使12CF BC=，若10AB=，则EF的长是()A．5B．4C．3D．26．（2021春•莆田期末）如图，在ABC ∆中，BD 、CE 是角平分线，AM BD ⊥于点M ，AN CE ⊥于点N ．ABC ∆的周长为30，12BC =．则MN 的长是()A ．15B ．9C ．6D ．3二、填空题（共5小题）7．（2020春•青白江区期末）如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，若DE 的长是3，则AC 的长为．8．（2020春•成都期末）如图，在ABC ∆中，点D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 的中点，已知65ADE ∠=︒，则CFE ∠的度数为．9．（2020春•金牛区期末）如图，DE 为ABC ∆的中位线，点F 在DE 上，且AFC ∠为直角，若2DF cm =．16BC cm =，则AC 的长为cm ．10．（2020•郫都区模拟）如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，50OD cm=，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为．11．（2021•都江堰市模拟）如图，在正五边形ABCDE中，DF是边CD的延长线，连接BD，则BDF∠的度数是度．三、解答题（共2小题）12．（2021春•皇姑区校级月考）如图，点D，E分别是ABC∆的边AB，AC的中点，连接BE，过点C作//CF BE，交DE的延长线于点F，若3EF=，求DE的长．13．（2020春•牡丹区期末）在ABC∆中，E是AC边上一点，线段BE垂直BAC∠的平分线于D点，点M为BC 边的中点，连接DM．（1）求证：12DM CE=；（2）若6AD=，8BD=，2DM=，求AC的长．。