【2018新课标高考必考知识点教学计划教学安排教案设计】高一数学：专题突破对数型复合函数单调性

合集下载

【2018新课标高考必考知识点教学计划教学安排教案设计】高三数学：高考冲刺：巧解数学创新题

高考对考生创新意识和创新能力的要求逐步提高。

“出活题，考能力”，要求考生能活用所学数学知识，思想方法，对新概念、新知识、新信息、新情景、新问题进行分析，探索、创造性的解决问题。

这类问题主要以选择填空的形式考查，难度较大。

1. 新定义概念型问题所谓“定义新概念”，主要是指在问题中定义了高中数学中没有学过的一些新概念，要求考生读懂题意并结合已有的知识、能力进行理解，并根据新定义进行推理、迁移的一种题型。

按内容大致可分为新定义集合、新定义函数、新定义数列等。

2. 新定义运算型问题定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。

（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。

（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。

它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、⊕、⊙等来表示的一种运算。

新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。

3. 创新背景型问题这类的题目通常是以高等数学符号、概念直接出现或以高等数学概念、定理作为依托融于初等数学知识中。

此类问题的设计虽来源于高等数学，但一般是起点高，落点低，它的解决的方法还是运用中学数学的基本知识和基本技能。

这要求学生认真阅读相关定义或方法，在充分理解题意的基础上，结合已有的知识进行解题。

例题 1 项数为n 的数列123,,,,n a a a a 的前k 项和为(1,2,3,,)k S k n =，定义12n S S S n +++为该数列的“凯森和”。

如果项系数为99项的数列12399,,,,a a a a 的“凯森和”为1000，那么项数为100的数列100，12399,,,,a a a a 的“凯森和”为（）A.991B.1001C.1090D.1100解析：（1）正确理解凯森和的定义，根据数列求和知识求解；（2）准确理解正对数的定义和所给四个命题的信息，结合所学的对数的相关知识解决问题。

【2018新课标高考必考知识点教学计划教学安排教案设计】高一数学：巧用函数思想解决数列最值问题

2
25 ， 2
20 A B 得 100 A 10 B 225 A 15B
5 A 6 5 2 125 故 Sn n ，所以 S12 S13 130 。 125 6 6 B 6 答案： S12 S13 130 。
点拨：本题采用的方法体现函数与方程的思想，并应用了待定系数法，求数列前 n 项和。
高中数学编稿老师
巧用函数思想解决数列最值问题王应祥一校程文军二校黄楠审核隋冬梅
数列的最值问题是一类常见的数列问题，是数列中的难点之一，也是函数最值问题的一个重要类型，数列的最值问题大致有以下两种情况。 1. 求数列{an}的前 n 项和 Sn 的最值。方法：（1）研究数列 an=f（n）的项的情况，判断 Sn 的最值；特别地，在等差数列｛ a n ｝中,有关 Sn 的最值问题：
n
说明是第几项；若没有，说明理由。解析：假设数列{an}中存在最大项，
an1 an (n 1)0.9n1 n0.9n 0.9n (0.9 0.1n) ，
当 n＜9 时，当 n=9 时，当 n＞9 时，
an1 an 0 ，即 an1 an ， an1 an 0 ，即 an1 an ； an1 an 0 ，即 an1 an ； a9 a10 a11 a12
令|an|=1536•（
T12 最大。
由数列的前 n 项之积 Tn =1536n•（时，则 T12 （n∈N*）最大。
2
1 0+1+2+3+…+（n-1） 1 n ( n 1) ） =1536n• ( ) 2 ，可得当 n=12 2 2
答案：n=12 点拨：本题考查考生对等比数列的定义及性质等考点的理解。

【2018新课标高考必考知识点教学计划教学安排教案设计】高一数学：几何概型的重难点突破

1. 几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。

2. 几何概型中，事件A 的概率计算公式P （A ）＝A 构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） 3.几何概型试验的特点（1）无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；（2）等可能性：每个结果的发生具有等可能性。

4. 几何概型两种类型的使用条件（1）线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时。

（2）面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决。

例题1 在集合A ＝{m |关于x 的方程x 2＋mx ＋34m ＋1＝0无实根}中随机地取一元素m ，恰使式子lg m 有意义的概率为________。

解析：由Δ＝m 2－4⎝⎛⎭⎫34m ＋1<0得－1<m <4。

即A ＝{m |－1<m <4}。

由lg m 有意义知m >0，即使lg m 有意义的范围是（0，4），故所求概率为P ＝404(1)---＝45。

答案：45点拨：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围。

当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算。

事实上，当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长（曲线长）之比。

例题2 在区间[]1,1-上随机取一个数x ，cos 2xπ的值介于0到12之间的概率为（）A ．13 B ．2π C ． 12 D ． 23解析：在区间[-1，1]上随机取一个数x ，即[1,1]x ∈-时，要使cos2xπ的值介于0到21之间，需使223x πππ-≤≤-或322x πππ≤≤∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为32，由几何概型知cos 2x π的值介于0到21之间的概率为31232=.故选A.答案： A例题3 设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0。

【2018新课标高考必考知识点教学计划教学安排教案设计】高一数学：三角函数模型的实际应用

1. 三角函数模型的应用⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧在物理学中的应用在航海中的应用在建筑学中的应用在生活中的应用用三角函数模型的简单应 2. 方法与步骤（1）理清题意，分清题目中已知和所求，准确解读题目中的术语和有关名词；（2）确定以角作为变量的三角函数；（3）要能根据题意，画出符合题意的图形；（4）对计算结果，可根据实际情况进行处理。

3. 失误与防范（1）建立三角函数关系式关键是选择适当的角作为变量；（2）选择变量后，要根据题中的条件，确定角的范围；（3）解决应用问题要注重检验。

例题1 已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t (0≤t ≤24，单位：小时）的函数，经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b 。

（1）根据以上数据，求出函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式。

（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的8︰00至20︰00之间，有多少小时可供冲浪者进行运动？解：（1）由表中数据，知周期T ＝12。

∴ω＝22126T πππ==，由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5。

由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0。

∴A ＝0.5，b ＝1，∴振幅为12。

∴y ＝12cos 6πt ＋1。

（2）由题意知，当y >1时才可对冲浪者开放。

∴12cos 6πt ＋1>1，∴cos 6πt >0。

∴2k π－2π< 6πt <2k π＋2π，k ∈Z ，即12k －3<t <12k ＋3，k ∈Z 。

① ∵0≤t ≤24，故可令①中k 分别为0,1,2，得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24。

所以在规定时间8︰00至20︰00之间，有6个小时可供冲浪者运动，即9︰00至15︰00。

【2018新课标高考必考知识点教学计划教学安排教案设计】高一数学：复合函数的单调性

复合函数(())y f g x =的单调性：设()y f u =为外层函数，()u g x =为内层函数，（1）若()y f u =增，()u g x =增，则(())y f g x =增；（2）若()y f u =增，()u g x =减，则(())y f g x =减；（3）若()y f u =减，()u g x =增，则(())y f g x =减；（4）若()y f u =减，()u g x =减，则(())y f g x =增。

结论：同增异减，即内、外层函数的单调性相同时，为增函数，单调性不同时为减函数。

例题1 求函数2(32)12log x x y =－＋的单调区间。

解析：先确定定义域，再利用复合函数的单调性求解。

答案：解：令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作12log uy =与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数。

令u ＝x 2－3x ＋2＞0，则x ＜1或x ＞2。

∴函数2(32)12log x x y =－＋的定义域为（－∞，1）∪（2，＋∞）。

又∵u ＝x 2－3x ＋2的对称轴为x ＝32，且开口向上。

∴u ＝x 2－3x ＋2在（－∞，1）上是单调减函数，在（2，＋∞）上是单调增函数。

而12log uy =在（0，＋∞）上是单调减函数，∴2(32)12log x x y =－＋的单调减区间为（2，＋∞），单调增区间为（－∞，1）。

点拨：根据复合函数单调性的求法，分别求出两个初等函数的单调性，再利用同增异减判断所求函数的单调性。

同时要注意，求单调区间，一定先判断函数的定义域。

例题2 函数y ＝13＋2x －x 2的单调递增区间是（） A. （－∞，1） B. （1，＋∞） C. （－1,1） D. （1,3）解析：依题意有232x x +-＞0，即－1＜x ＜3。

∴函数的定义域为（－1,3）。

又∵函数y ＝232x x +-＝2(1)4x －－＋在（1,3）上单调递减，∴原函数的单调递增区间是（1,3）。

【2018新课标高考必考知识点教学计划教学安排教案设计】高一数学：数量积的运算及应用

1. 两个向量的夹角（1）定义已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 称作向量a 与向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉。

（2）范围向量夹角〈a ，b 〉的范围是[]0,π，且〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉。

（3）向量垂直如果〈a ，b 〉＝2π，则a 与b 垂直，记作a ⊥b 。

2. 平面向量的数量积（1）平面向量的数量积的定义|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a 和向量b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉。

可见，a ·b 是实数，可以等于正数、负数、零。

其中|a |cos θ（|b |cos θ）叫做向量a 在b 方向上（b 在a 方向上）的投影。

（2）向量数量积的运算律 ①a ·b ＝b ·a （交换律）②（a ＋b ）·c ＝a ·c ＋b ·c （分配律）③（λa ）·b ＝λ（a ·b ）＝a ·（λb ）（数乘结合律）。

例题1 （1）若a ＝（3，－4），b ＝（2，1），求（a －2b ）·（2a ＋3b ）和|a ＋2b |；（2）在等边△ABC 中，D 为AB 的中点，AB ＝5，求AB →·BC →，|CD →|。

解析：（1）运用向量的坐标运算计算出（a －2b ）、（2a ＋3b ）的坐标，再利用数量积进行计算；（2）根据题意可知AB →、BC →模长相等，找到AB →与BC →的夹角为120°即可求出。

再利用平行四边形法则求出CD →，即可求出|CD →|。

答案：解：（1）a －2b ＝（3，－4）－2（2，1）＝（－1，－6）， 2a ＋3b ＝2（3，－4）＋3（2，1）＝（12，－5），∴（a －2b ）·（2a ＋3b ）＝（－1）×12＋（－6）×（－5）＝－12＋30＝18。

【2018新课标高考必考知识点教学计划教学安排教案设计】高三数学：高考冲刺：专题突破与三角函数相关

三角函数与导数的综合
由于导数为我们研究函数提供了一个新的方法，所以在导数与三角函数的交汇点处命题将是高考命题的一个方向，三角函数与导数的整合，主要是考查函数背景下的三角函数问题，内容涉及诱导公式、三角恒等变换、求导公式、导数的运算、导数的几何意义、应用导数求函数的单调区间与极值以及解三角形等。【满分训练】（辽宁高考）已知函数 f(x)＝π(x－cos x)－2sin x－2，
高中数学编稿老师
高考冲刺：专题突破与三角函数相关的综合问题武振一校安宁二校黄楠审核隋冬梅
三角函数是高考考查的重点内容之一，分析近几年高考命题，三角函数的综合问题悄然升温，如三角函数与解三角形、三角函数与向量交汇以及三角函数与导数的结合等，并有适度的创新。 1. 三角函数与解三角形的交汇解三角形与三角函数之间有着天然的联系，这类问题不但要用到正弦定理、余弦定理等基础知识，同时还需利用三角公式进行恒等变形，对于用数学思想方法进行分析问题与解决问题有着较高的要求，因而成为各类热点试题之一。 2. 三角函数与向量的交汇三角与向量交汇的问题，涵盖知识点多，解法灵活，在近几年的高考中是一道“亮丽的风景线”。求解这类问题时，既要关注三角恒等变换，也要关注向量的数量积和模的应用，真正做到统筹兼顾，实现三角与向量的双过度。常见题型：（1）以向量为载体，解决三角求值问题；（2）以三角变换为平台，解决向量问题。
解析：先利用二倍角公式，化简得到 f ( x) sin( 答案：（1） f ( x)
1 2x 3 3 2x 3 。 sin cos sin( ) 2 3 2 3 2 3 3 2 2x 3k 1 由 k (k Z ) 得 x ( ) , k Z 。 3 3 2 2 4 3k 1 即对称轴为 x ( ) , k Z 。 2 4 a 2 c 2 b2 a 2 c 2 ac 2ac ac 1 2 ，（2）由已知 b ac ， cos B 2ac 2ac 2ac 2

【2018新课标高考必考知识点教学计划教学安排教案设计】高一数学：揭秘正弦型三角函数的性质及其应用

，求； 8
＋）＝± 1，∴ ＋＝kπ＋，即 k （k∈Z）。 8 4 2 4
3 。 4
∴当 k＝－1 时，＝－（2）当

2
，故 k ，函数为偶函数，又因（－π＜＜0）

2
。
3 3 ，因此 y＝sin（2x－）单调递增的区间为 2kπ ≤2x－ 4 4 2 3 5 ≤2kπ＋（k∈Z）。即 k ＋ ≤ x ≤ k ＋（k∈Z）。 4 2 8 8 3 5 则函数 y＝sin（2x－）的单调增区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z）。 4 8 8 3 5 答案：（1）φ＝－；（2）；（3）［kπ＋，kπ＋］（k∈Z）。 4 8 2 8
（答题时间：20 分钟）
1. 函数 y sin(2 x A. 2 2. “ x 2k

6
) 的最小正周期为（
） D. ）
B.

C.

4
2
4
k Z ”是“ tan x 1 ”成立的（

A. 充分不必要条件 C. 充分条件
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
为 1，最小值为－5，求 a 和 b 的值。解析：∵0≤x≤
2 ，∴－ ≤2x－ ≤ π， 2 3 3 3 3 ∴－ ≤sin（2x－）≤1， 2 3 a 12 6 3 2a b 1 若 a>0，则，解得； 3a b 5 b 23 12 3
若 a<0，则解得
2a b 5 ， 3a b 1
。
a 12 6 3 b 19 12 3

【2018新课标高考必考知识点教学计划教学安排教案设计】高一数学：三角函数性质

, 2k ](k Z ) 2 2 , 2k 3 ](k Z ) 2

[2k , 2k ](k Z ) [2k , 2k ](k Z )
偶函数
单调减区间：
[2k
奇偶性

2
k , k ( 0
函数 y sin x 0 剟 B.
π 是 R 上的偶函数，则等于（
）
π π C. D. π 4 2 解析：因为函数 y sin x 0 剟 π 是 R 上的偶函数，所以其图象关于 y 轴对称，
由正弦函数的对称性知，当 x 0 时， sin 1, 又 0 剟答案：C 点拔：本题考查函数的奇偶性。
所以 f x 的最小正周期为 T
2 sin 2 x 1 4
（答题时间：30 分钟）
1. 设函数 f（x）＝sin (2 x ) ，x∈R，则 f（x）是（） 2 A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 2 2 5 2. 函数 f ( x) x sin( x ) 是（） 2 A. 偶函数 B. 奇函数 C. 非奇非偶函数 A. 1 个为（） A.（，0） 8 B. 2 个 D. 既奇又偶函数） D. 4 个 C. 3 个 3. 若 log8x＝cosx，则此方程实数根的个数为（
π ，所以
π 。 2
1
（1）函数 f（x）=sin（ωx+ ）若为奇函数，则 =kπ；若为偶函数，则 =kπ+ 函数 f（x）=cos（ωx+ ）若为奇函数，则 =kπ+ 数。

【2018新课标高考必考知识点教学计划教学安排教案设计】高一数学：解三角形的实际应用

解析：在 BCD 中， BC 31, BD 20, CD 21 ，由余弦定理得 DB 2 DC 2 BC 2 202 212 312 1 cos BDC 2 DB DC 2 20 21 7 1 4 3 所以 cos ADC ,sin ADC 7 7 在 ACD 中，由条件知 CD 21, A 60 ，所以 sin ACD sin(60 ADC )
年
级
高一康凯
学一校
科
数学黄楠二校
版
本林卉
通用版审核隋冬梅
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课程标题编稿老师
解三角形的实际应用
解三角形常见类型及解法：已知两角 A 、 B 与一边 a ，由 A B C 及再求出 b 、 c 。已知两边 b 、 c 与其夹角 A ，由 a2 b2 c2 2bc cos A ，先求出 a ，再由余弦定理，求出角 B 、 C 。已知三边 a 、 b 、 c ，由余弦定理可求出角 A 、 B 、 C 。 a b 已知两边 a 、 b 及其中一边的对角 A ，由正弦定理可求出另一边 b 的对 sin A sin B a c a b 角 B ，由 C ( A B) ，可求出 C ，再由可求出 c ，而通过求B sin A sin C sin A sin B 时，可能出现一解、两解或无解的情况，其判断方法如下所示： ①当 A ＞90°， a ＞ b 时，一解； a b 时，无解； a ＜ b 时，无解。 ②当 A 90°， a ＞ b 时，一解； a b 时，无解； a ＜ b 时，无解。 ③当 A ＜90°， a ＞ b 时，一解； a b 时，一解； a ＜ b 时，ⅰ. a ＞ b sin A ，两解； ⅱ. a b sin A ，一解；ⅲ. a ＜ b sin A ，无解。

【2018新课标高考必考知识点教学计划教学安排教案设计】高三数学：巧解等差数列

，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。即： A b 成等差数列，
ab 或 2A a b 。 2
在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 3. 等差数列的性质： ①等差数列任意两项间的关系：如果 a n 是等差数列的第 n 项， a m 是等差数列的第 m 项，且 m n ，公差为 d ，则有 an am (n m)d ②对于等差数列 a n ，若 n m p q ，则 an am a p aq 。也就是： a1 an a2 an1 a3 an2 „„ 成等差数列。如下图所示：
*
④奇数项的和与偶数项的和的关系：设数列 a n 是等差数列， S 奇是奇数项的和， S 偶是偶数项的和， S n 是前 n 项的和，则有如下性质：当 n 为偶数时， S 偶 S 奇当 n 为奇数时，则 S 奇
n d ，其中 d 为公差； 2 S n 1 n 1 n 1 a中， S 偶 a中，奇， S偶 a中， S 奇 2 2 S偶 n 1
年
级
高三
学
科
数学
版
本
通用版
课程标题编稿老师
巧解等差数列黄志坚一校林卉二校黄楠审核宋树庆
1. 等差数列的判定方法： ①定义法：对于数列 a n ，若 an1 an d （常数），则数列 a n 是等差数列。
②中项公式法：对于数列 a n ，若 2an1 an an 2 ，则数列 a n 是等差数列。 ③通项公式法：数列 a n 是等差数列 an pn q( p 、 q为常数，n N ) 。 ④前 n 项和公式法： Sn An Bn A, B为常数数列 a n 是等差数列。

【2018新课标高考必考知识点教学计划教学安排教案设计】高一数学：恒等变换中不得不知的几点

年
级
高一
学
科
数学
版
本
通用版
课程标题编稿老师
恒等变换中不得不知的几点康凯一校黄楠二校林卉审核隋冬梅
1. 两角和与差的三角函数
sin( ) sin cos cos sin ； cos( ) cos cos sin sin ； tan tan 。 tan( ) 1 tan tan

2 ，一般可以打开，因为打开以后仍然是同名函数，不会使求解过程变得繁琐。 10
示例： ① sin 6 sin 42 sin 66 sin 78
sin 6 cos 48 cos 24 cos12 24 cos 6 4 sin 6 cos 48 cos 24 cos12 2 cos 6 sin 96 1 4 2 cos 6 16 3 5 ② sin sin sin 14 14 14 2 4 sin cos cos cos 14 14 14 14
2 2 、 sin x ，则何时需要打开？如果出现在问题中一 10 10 般都要打开，再从已知中得到信息后代入打开后的表达式得到答案。如果出现在已知条件中，则多数情况下不打开，充分利用整体和凑角思想来建立已知和问题的联系。形如 tan x
点拨：形如 cos x
7 2 于是 sin x 1 cos2 x 4 4 10
sin x sin x sin x cos cos x sin 4 4 4 4 4 4 7 2 2 2 2 4 10 2 10 2 5
1 tan _______________ 。 1 tan 2. 二倍角公式

【2018新课标高考必考知识点教学计划教学安排教案设计】高一数学：深入剖析等比数列的性质

等比数列的基本性质（1）等比数列的通项公式： a n = a 1 q n-1 = a k q n -k （其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项，a n ≠0）。

函数思想的运用：考虑数列是特殊的函数，利用等比数列的单调性：①101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩⇔{a n }为递增数列；②1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩⇔{a n }为递减数列。

（2）等比数列的前n 项和公式：当q=1时，S n =n a 1；当q≠1时，S n =qq a n --1)1(1（3）等比中项公式：若a 、b 、c 成等比数列，则G=ab ±。

（ab>0）（4）等比数列{a n }中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a ⋅=⋅。

（5）两个等比数列{a n }与{b n }的积、商、倒数的数列{a n ⋅b n }、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列。

（6）等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、…仍为等比数列（当m 为偶数且公比为-1的情况除外）。

（7）等比数列{a n }的任意连续m 项的积构成的数列a 1⋅a 2…a m …，a m+1⋅a m+2…a 2m ，a 2m+1⋅a 2m+2…a 3m …仍为等比数列。

例题1 设数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，若3692S S S +=，求数列的公比q 。

解析：2231113(1)[()]024S a q q a q =++=++≠，36396,,S S SS S ∴--成等比数列，3692396632()()S S S S S S S S +=⎧⎪⎨-=-⎪⎩消去9S 得：362S S =， 363312S S q S -==-q ⇒=答案：3421-点拨：此题还可利用等比数列的前n 项和公式，但需要讨论公比q 是否等于1，本题的解法，不仅避免讨论而且运算简单，思路清晰。

【2018新课标高考必考知识点教学计划教学安排教案设计】高一数学：轻松解决三角函数求值问题

1. 若 sin
1 3
）
D.
2 3
1 2
D.
2 3
）
3. （平顶山月考）已知 0<α<π，3sin 2α＝sin α，则 cos（α－π）等于（
1 1 1 B. － C. D. － 3 6 6 2 1 4. 已知 tan（α＋β）＝， tan( ) ，那么 tan( ) 等于（ 5 4 4 4 13 13 3 1 A. B. C. D. 18 22 22 6 5. 在△ABC 中， tan A ＋ tan B ＋ 3 ＝ 3 tan A tan B ，则 C 等于（ 2 A. B. C. D. 3 3 6 4
)。 4 2 （1） f ( x) 的最小正周期是 T ； 2
4 3 值为 2 ，这时 x 的集合为。 8 3 答案：（1）π；（2） 2 ， 8
一次幂。（2）当 x [0,
cos 2 x sin 2 x 2 cos(2 x
∵cos α＝ ∴ cos （ α － β ）＝ cos[2α －（ α ＋ β ） ] ＝ cos 2αcos （ α ＋ β ）＋ sin 2αsin （ α ＋ β ）＝

1 B. 2
C. －
1 3
D.
23 27
7 1 4 2 2 2 23 。 ( )( ) 9 3 9 3 27
1 ，求 tan( ) 的值。 4 4
2 ， tan( ) 5 4
（3）“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。例：已知 tan( ) ＝
1 ， 2
1 tan ，且、 (0, ) ，求 2 的值。 7

【2018新课标高考必考知识点教学计划教学安排教案设计】高三数学：指数函数与其图象精讲

【基础知识】一、指数函数的图象和性质二、底数不同时，指数函数图象的变化经典题型：图中曲线1C 、2C 、3C 、4C 分别是指数函数x y a =、x y b =、x y c =、x y d =的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是（）A. a ＜b ＜1＜c ＜dB. a ＜b ＜1＜d ＜cC. b ＜a ＜1＜c ＜dD. b ＜a ＜1＜d ＜c思路点拨：当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大，图象向上越靠近于y 轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x 轴解：令x ＝1，由图知c 1＞d 1＞a 1＞b 1，∴b ＜a ＜1＜d ＜c 。

选D 。

例题1 如果函数122-+=xxa ay （a ＞0，a ≠1）在区间[－1，1]上的最大值为14，求实数a 的值。

解析：解本题首先要会换元法，其次要结合指数函数的单调性来解题。

解：设t ＝a x （t ＞0），则y ＝t 2＋2t －1＝（t ＋1）2－2。

当a ＞1时，1a≤t ≤a ，此时，y max ＝（a ＋1）2－2＝14，解得a ＝3；当0＜a ＜1时，a ≤t ≤1a ，此时，y max ＝（1a ＋1）2－2＝14，解得a ＝13。

综上，所求a 的值为3或13。

点拨：指数函数与二次函数的完美结合，其中指数函数的单调性起到重要作用。

例题2 设ƒ（x ）＝31x -，c ＜b ＜a 且ƒ（c ）＞ƒ（a ）＞ƒ（b ），则下列关系式中一定成立的是（）A. 3c ＞3bB. 3b ＞a3 C. 3c ＋a3＞2 D. 3c ＋a3＜2 解析：根据指数函数的图象作出)(x f 的图象，然后解题。

解：作出ƒ（x ）＝31x-的图象，要使c ＜b ＜a 且ƒ（c ）＞ƒ（a ）＞ƒ（b ）成立，则有c ＜0，且a ＞0，∴c3＜1＜a3，∴ƒ（c ）＝1－c3，ƒ（a ）＝a3－1。

又ƒ（c ）＞ƒ（a ），∴1－3c ＞a3－1，即a3＋3c ＜2。

【2018新课标高考必考知识点教学计划教学安排教案设计】高一数学：破解集合中的新定义问题

1
①集合 S { a b 3 a,b 为整数}为封闭集；
②若 S 为封闭集，则一定有 0 S ；
③封闭集一定是无限集；
④若 S 为封闭集，则满足 S T R 的任意集合T 也是封闭集。
其中的真命题是
。（写出所有真命题的序号）
解析：对于整数 a1,b1, a2,b2 有
a1 b1 3 a2 b2 3 a1 a2 b1 b2 3 S
则 x1 x2 (m1 m2 ) (n1 n2 ) 2 ，其中 m1 m2 ， n1 n2 Z ，则 x1 x2 A ；
由于 x1x2 (m1 n1 2)(m2 n2 2)
(m1m2 2n1n2 ) m1n2 m2n1 2
x

a

x

a

4
5

，B

x
b

1 3

x

b
，
且数集 A，B 都是数集 x 0 x 1 的子集，如果把 n m 叫做集合 x m x n 的“长度”，
则集合 A B 的“长度”的最小值是
。
解析：由
A

x
0

x
1 得
a
a1 b1 3 a2 b2 3 a1 a2 b1 b2 3 S
a1 b1 3 a2 b2 3 a1a2 3b1b2 a1b2 a2b1 3 S
所以①正确
当 a1 a2 ， b1 b2 时， a1 b1 3 a2 b2 3 0 S
,
n0 m02 2n02

【2018新课标高考必考知识点教学计划教学安排教案设计】高一数学：巧用函数思想解决不等式问题

含对数，指数，绝对值，高次式等的一些不等式的证明与解法中，直接从不等式的角度证明和求解比较麻烦，而不等式与函数的交汇经常出现在高考中，因此把不等式与函数恰当地整合在一起，运用函数的思想，将会使问题迎刃而解。

（1）利用函数证明或解不等式依据是：不等式)()(x g x f >的解集，就是函数f （x ）位于g （x ）上方的图象部分的点的横坐标的值的集合，特别地，f （x ）>0的解集就对应于f （x ）的图象位于x 轴上方的部分。

如：解不等式2x ＞﹣x ＋1。

特别的，求解抽象函数不等式往往需借助函数的单调性或图象来解决。

（2）利用函数处理“恒成立”问题依据是：a>f （x ）恒成立)(x f a >⇔；a<f （x ）恒成立)(x f a <⇔，解题时常用到“分离参数法”，此外利用基本函数的图象与性质，是解决不等式恒成立问题的另一重要方法。

如：不等式4x ＋a ·2x ＋1≥0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________。

由题可得a ≥－12x －2x 恒成立，由基本不等式可知－12x －2x ≤－2，所以a ≥－2。

例题1 解不等式（x 2－2x+2）3+2（x 2－2x+2）﹤x 3+2x 。

解析：设f （x ）= x 3+2x ，易知函数在R 上单调递增。

所以原不等式等价于f （x 2－2x+2）﹥f （x ） ∴x 2－2x+2﹥x ，即x 2－3x+2﹥0解之得 1<x<2。

∴原不等式的解集是：｛ｘ︱1﹤x ﹤2｝。

答案：｛ｘ︱1﹤x ﹤2｝点拨：构造恰当函数，用函数思想化解高次不等式为解二次不等式，可使问题简单化，在平时的学习中注意运用。

例题2 已知a 、b 、m ∈R +，且a<b 。

求证：m b m a ++>ba 。

解析：构造出函数，利用函数的单调性来比较函数值而证之，思路非常清晰。

答案：证明：令 f （x ）=xb x a ++，其中x ∈R + ，0<a<bf （x ）=x b a b x b ++-+=1－x b a b +- ∵b －a>0∴y=x b a b +- 在R +上为减函数从而f （x ）=1－xb a b +- 在R +上为增函数 ∵m>0 ∴f （m ）> f （0） ∴m b m a ++>ba 。

【2018新课标高考必考知识点教学计划教学安排教案设计】高一数学：如何确定三角函数的解析式

（答题时间：30 分钟）
1. 已知函数 f x sin 2 x ，其中为实数，若 f ( x) f ( ) 对 x R 恒成立，且

6
3
f ( ) f ( ) 。则下列结论正确的是 2 11 A. f 1 12 7 B. f f 10 5 C. f x 是奇函
解析：由图可知，
T
5 4 4 , , 把 2 ,1 代入y=sin x 有： 2 5 5
9 8 1=sin , 10 5 9 答案： 10
点拨：本题主要考查三角函数的图象的应用，考查学生的视图、用图能力，注意－π≤φ ＜π 的应用。根据三角函数图象确定函数值例题 2 （辽宁）已知函数 f ( x) ＝Acos（ x ）的图象如图所示， f ( )
年
级
高一康凯
学一校
科
数学吕丽娟二校
版
本黄楠
通用版审核隋冬梅
课程标题编稿老师
如何确定三角函数的解析式
1. 函数 y sin x 0, 0 的性质： ①振幅： ②周期：
2
1 ③频率： f 2 ④相位： x
D. f x 的单调递增区间是 k

（
）

3
, k

6 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k Z
1 2. 已知函数 f ( x) sin( x ) ( 0,0 ) 的最小正周期为，且图象过点 ( , ) 。 6 2 （1）求、的值；（2）设 g ( x) f ( x) f ( x ) ，求函数 g ( x) 的单调递增区间。 4 3. 已知函数 f ( x) sin( 2 x) 2 3 cos2 x, x R 。（1）求 f ( ) ； 6 （2）求 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间。

【2018新课标高考必考知识点教学计划教学安排教案设计】高三数学：探究函数的单调性和最值

【重要考点】考点一函数单调性的证明思路点拨：考点二利用函数单调性求最值经典题型：求函数y x =解析：∵当x 增大时，12x -随x 的增大而减少，x 的增大而增大， ∴函数y x =1(,]2-∞上是增函数。

∴1122y ≤-=， ∴函数y x =1(,]2-∞。

函数最大值为21，无最小值。

思路点拨：确定函数的定义域，解出函数的单调区间，根据单调性求最值。

【重要结论】单调性的有关结论 1. 若f （x ），g （x ）均为增（减）函数，则f （x ）＋g （x ）仍为增（减）函数。

2. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反。

3. 复合函数的单调性“同增异减”。

例题1 y =()63a -≤≤的最大值为（）A. 9B.92C. 3D.2解析：这个题目是典型的应用函数的单调性来求最值，原函数是复合函数，根据复合函数同增异减来确定函数在给定区间上的单调性，然后就可求最值。

解：y =原函数在]23,6[--上单调递增，在]3,23(-上单调递减，故最大值为92。

故选B 。

点拨：单调性法是求最值常用的方法，确定单调区间是解题过程的关键。

例题2 已知函数f （x ）＝⎩⎨⎧<-+-≥)0(24)3()0(x a x a x a x 对任意x 1、x 2∈R 且x 1≠x 2，都有0)()(1212>--x x x f x f ，则实数a 的取值范围是________。

解析：由0)()(1212>--x x x f x f 知f （x ）在R 上单调递增，从而f （x ）在[0，＋∞）上和（－∞，0）上都单调递增，且f （x ）在[0，＋∞）上的值恒大于f （x ）在（－∞，0）上的值。

解：∵对任意x 1、x 2∈R 且x 1≠x 2，都有0)()(1212>--x x x f x f ，∴f （x ）在R 上为增函数，由f （x ）＝a x 在[0，＋∞）上单调增知a >1，由f （x ）＝（3－a ）x ＋4－2a 在（－∞，0）上单调增知a <3，再由f （x ）在R 上单调增知，a 0≥（3－a ）·0＋4－2a ， ∴a ≥32，综上知32≤a <3。

【2018新课标高考必考知识点教学计划教学安排教案设计】高一数学：高考中三角函数大题重点难点击破

2 ， 2
方法：化为同名函数（同一单调区间）
利用函数的单调性来比较大小。
3. 判断三角函数的单调区间 1）判断 y=－Asin（ωx+ ）（ω＞0）的单调区间，只须求 y=Asin（ωx+ ）的相反区间即可，一般常用数形结合的方法。 2）判断 y=Asin（－ωx+ ）（ω＞0）的单调区间时，则需要先将 x 的系数变为正的，再设法求之。
）是定义域为 R 的奇函数， 2 且当 x=2 时，f（x）取得最大值 2，则 f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=______________。解析：∵f（x）=Asin（ωx+φ）是定义在 R 上的奇函数 f（0）=0， ∴φ=kπ，|φ|≤ 。 2 ∴φ=0。当 x=2 时，f（x）max=2， ∵A＞0，∴A=2。 sin2ω=1 2 2k k （ω＞0）， 2 4 ∴f（x）=2sinωx。
）
（2）由（1）可知： f x 的最小值为 a2 3 b ，所以， a2 3 b 2 。
另外，由 f x 在区间 ,0 上单调递增，可知： f x 在区间 ,0 上的最小值为 3 3 1 a f 。所以， sin 1 。即 = 2 2 3 3 a 3
当 x 0, 时， g ( x) sin sin x cos sin x 2 ∵ sin x 和 cos x 同属于余弦函数的一个单调区间（即 sin x ， cos x 0, ），∴ 2 2 只须比较 sin x 与 cos x 的大小 2 ∵（ sin x ）－ cos x = sin x － cos x = 2 sin x 2 0 2 4 2 2 2 ∵余弦函数在 0, 上单调递减，

【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学：专题突破对数型复合函数单调性

【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高三数学：高考冲刺：巧解数学创新题

【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学：巧用函数思想解决数列最值问题

【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学：几何概型的重难点突破

【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学：三角函数模型的实际应用

【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学：复合函数的单调性

【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学：数量积的运算及应用

【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高三数学：高考冲刺：专题突破与三角函数相关

【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学：揭秘正弦型三角函数的性质及其应用

【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学：三角函数性质

【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学：解三角形的实际应用

【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高三数学：巧解等差数列

【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学：恒等变换中不得不知的几点

【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学：深入剖析等比数列的性质

【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学：轻松解决三角函数求值问题

【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高三数学：指数函数与其图象精讲

【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学：破解集合中的新定义问题

【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学：巧用函数思想解决不等式问题

【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学：如何确定三角函数的解析式

【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高三数学：探究函数的单调性和最值

【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学：高考中三角函数大题重点难点击破