2014高考二轮专题复习知能专练(三) 基本初等函数、函数与方程及函数的应用(数学文)

2014高考二轮专题复习知能专练(三) 基本初等函数、函数与方程及函数的应用(数学文)1．(2013·广州惠州调研)已知幂函数y ＝f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫12，22，则log 4f (2)的值为( )A.14 B ．－14C ．2D ．－22．(2013·陕西高考)设a ，b ，c 均为不等于1的正实数， 则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c3．(2013·河北质检)若f (x )是奇函数，且x 0是y ＝f (x )＋e x 的一个零点，则－x 0一定是下列哪个函数的零点( )A ．y ＝f (－x )e x －1B ．y ＝f (x )e －x ＋1C ．y ＝e x f (x )－1D ．y ＝e x f (x )＋14．(2013·天津一中模拟)设a ＝⎝⎛⎭⎫340.5，b ＝⎝⎛⎭⎫430.4，c ＝log 34(log 34)，则( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．c <a <bD ．a <c <b5．下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|在其上为增函数的是( ) A ．(－∞，1] B.⎣⎡⎦⎤－1，43 C.⎣⎡⎭⎫0，32 D ．[1,2)6．(2013·东北三校联合模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x，x ≤0，log 12x ，x >0.若关于x 的方程f (f (x ))＝0有且仅有一个实数解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，0)∪(0,1)C ．(0,1)D ．(0,1)∪(1，＋∞)7．已知a ＝5－22，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．8．(2013·陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为________(m)．9．(2013·江苏扬州中学期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋ax ，x ≤1，ax －1，x >1，若∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是________．10．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0)．(1)若g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．11．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．(1)设一次订购x 件，服装的实际出厂单价为p 元，写出函数p ＝f (x )的表达式； (2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？ 12．(2013·江西七校联考)已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R)为偶函数． (1)求k 的值；(2)若方程f (x )＝log 4(a ·2x －a )有且只有一个根，求实数a 的取值范围．答 案知能专练(三)1．选A 设f (x )＝x a，由其图像过点⎝⎛⎭⎫12，22得⎝⎛⎭⎫12a ＝22＝⎝⎛⎭⎫1212⇒a ＝12，故log 4f (2)＝log 4212＝14.2．选B 利用对数的换底公式进行验证， log a b ·log c a ＝log c blog c a ·log c a ＝log c b ，则B 对．3．选C 由已知可得f (x 0)＝－e x 0，则e －x0f (x 0)＝－1，e －x 0f (－x 0)＝1，故－x 0一定是y＝e x f (x )－1的零点．4．选C 由题意得0<a <1，b >1，而log 34>1，c ＝log 34(log 34)，得c <0，故c <a <b .5．选D 法一：当2－x >1，即x <1时，f (x )＝|ln(2－x )|＝ln(2－x )，此时函数f (x )在(－∞，1]上单调递减．当0<2－x ≤1，即1≤x <2时，f (x )＝|ln(2－x )|＝－ln(2－x )，此时函数f (x )在[1,2)上单调递增，故选D.法二：f (x )＝|ln(2－x )|的图像如图所示．由图像可得，函数f (x )在区间[1,2)上为增函数，故选D.6．选B 若a ＝0，当x ≤0时，f (x )＝0，故f (f (x ))＝f (0)＝0有无数解，不符合题意，故a ≠0.显然当x ≤0时，a ·2x ≠0，故f (x )＝0的根为1，从而f (f (x ))＝0有唯一根，即为f (x )＝1有唯一根．而x >0时，f (x )＝1有唯一根12，故a ·2x ＝1在(－∞，0]上无根，当a ·2x ＝1在(－∞，0]上有根可得a ＝12x ≥1，故由a ·2x ＝1在(－∞，0]上无根可知a <0或0<a <1.7．解析：由题意知，a ＝5－22∈(0,1)，故函数f (x )＝a x 是减函数，由f (m )>f (n )得m <n . 答案：m <n8．解析：如图，过A 作AH ⊥BC 于H ，交DE 于F ，易知DE BC ＝x40＝AD AB ＝AFAH ⇒AF ＝x ⇒FH ＝40－x .则S ＝x (40－x )≤x ＋40－x 22＝⎝⎛⎭⎫4022，当且仅当40－x ＝x ，即x ＝20时取等号．所以满足题意的边长x 为20(m)．答案：209．解析：由已知∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则需x ≤1时，f (x )不单调即可，即对称轴a2<1，解得a <2.答案：a <210．解：(1)∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e(x >0)，当且仅当x ＝e 2x 时取等号．∴当x ＝e 时，g (x )有最小值2e. 因此g (x )＝m 有零点，只需m ≥2e. ∴m ∈[2e ，＋∞)．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，则函数g (x )与f (x )的图像有两个不同的交点．如图所示，作出函数g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的大致图像．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1 ＝－(x －e)2＋m －1＋e 2，∴其对称轴为x ＝e ，f (x )max ＝m －1＋e 2. 若函数f (x )与g (x )的图像有两个交点， 必须有m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1. 即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根， 则m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)． 11．解：(1)当0＜x ≤100时，p ＝60； 当100＜x ≤600时，p ＝60－(x －100)×0.02＝62－0.02x .所以p ＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0＜x ≤100，62－0.02x ， 100＜x ≤600.(2)设利润为y 元，则当0＜x ≤100时，y ＝60x －40x ＝20x ； 当100＜x ≤600时，y ＝(62－0.02x )x －40x ＝22x －0.02x 2.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ， 0＜x ≤100，22x －0.02x 2， 100＜x ≤600. 当0＜x ≤100时，y ＝20x 是单调增函数，当x ＝100时，y 最大，此时y ＝20×100＝2 000； 当100＜x ≤600时，y ＝22x －0.02x 2＝－0.02(x －550)2＋6 050， 所以当x ＝550时，y 最大，此时y ＝6 050. 显然6 050＞2 000.所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元． 12．解：(1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， 即log 4(4－x ＋1)－kx ＝log 4(4x ＋1)＋kx ，即(2k ＋1)x ＝0，∴k ＝－12.(2)依题意令log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4(a ·2x －a )，即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋1＝(a ·2x －a )·2x ，a ·2x －a >0.令t ＝2x ，则(1－a )t 2＋at ＋1＝0，只需其有一正根即可满足题意． ①当a ＝1时，t ＝－1，不合题意，舍去． ②上式有一正一负根t 1，t 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4(1－a )>0，t 1t 2＝11－a <0， 经验证满足a ·2x －a >0，∴a >1.③上式有两根相等，即Δ＝0⇒a ＝±22－2，此时t ＝a 2(a －1)，若a ＝2(2－1)，则有t＝a2(a －1)<0，此时方程(1－a )t 2＋at ＋1＝0无正根，故a ＝2(2－1)舍去；若a ＝－2(2＋1)，则有t ＝a2(a －1)>0，且a · 2x －a ＝a (t －1)＝a ⎣⎡⎦⎤a 2(a －1)－1＝a (2－a )2(a －1)>0，因此a ＝－2(2＋1)．综上所述，a 的取值范围为{a |a >1或a ＝－2－22}．。