2011有限元试题
2011有限元练习题
一、在ANSYS中建立如图所示的支承图，假定平面支架沿厚度方向受力均匀，支承架厚度为3mm。支承架由钢制成，钢的弹性模量为200Gpa，泊松比为0.3。支承架左侧边被固定，沿支承架顶面施加均匀载荷，载荷与支架共平面，载荷大小为2000N/m。要求：分析支架的主应力与等效应力。
二、中央带小圆孔的薄板承受两边的均匀拉力。圆孔半径为板的宽的十分之一，板两边受到的拉力为1000，材料为低碳钢。求板的应力分布与最大应力
三、如图桁架，其中，AH=HG=GF=FE=2m，BH=DF=1m，GC=2m，在A、B、C、D、E点各有1KN的力作用，方向如图所示。各杆的材料均为钢制，其弹性模量E＝206GPa，泊松比为0.3，杆的直径4cm。求各杆的内力和应力
四、如图钢制塔架，可以看作桁架结构。材料的弹性模量E为206GPa，泊松比为0.3。每根杆的面积为20平方厘米。塔架的尺寸和载荷如图。求塔架中11、16点的垂直位移。
五、如图所示的一根受力的悬臂梁，梁长为2m，截面是一边长为0.4m的正方形，悬臂梁端端受到大小为20kN的集中力，中点受到大小为10kN的集中力作用。梁的弹性模量为200GPa，泊松比为0.3。求该梁的最大挠度以及剪力图和弯矩图。
六、求如图所示刚架的内力和应力。其中，AB=BD=BC=CH=＝l=2m，材料为铝制，弹性模量E=80GPa，泊松比为0.27，刚架由直径4cm的园钢焊接而成。载荷F作用在AB的中点，CH上作用有分布载荷。求刚架的弯矩图。
七、简支梁如图， L=18m， H=0.5m，a=0.2m，E（弹性模量）=10.X109 N/M2，泊松比0.3。在梁的上表面受到均布载荷作用，其压力为200MPa，用体单元（solid45、solid95）求解得到梁的等效应力。
(完整版)有限元考试试题及答案
e a
n d
A
l l t h i n
g s
i n
t h
e i r
b e
i n g
a r
e g
o o
2. 如图2所示，有一正方形薄板，沿对角承受压力作用，厚度t=1m ，载荷
F=20KN/m ，设泊松比µ=0，材料的弹性模量为E ，试求它的应力分布。（15分）
图2
3. 图示结点三角形单元的124边作用有均布侧压力q ，单元厚度为t ，求单元的
等效结点荷载。
图3
图1
一、简答题
1. 答：
1）合理安排单元网格的疏密分布
2）为突出重要部位的单元二次划分
3）划分单元的个数
4）单元形状的合理性
5）不同材料界面处及荷载突变点、支承点的单元划分
6）曲线边界的处理，应尽可能减小几何误差
7）充分利用结构及载荷的对称性，以减少计算量
2. 答：
形函数应满足的三个条件：
a.必须能反映单元的刚体位移，就是位移模式应反映与本单元形变无关的
由其它单元形变所引起的位移。
b.能反映单元的常量应变，所谓常量应变，就是与坐标位置无关，单元内
所有点都具有相同的应变。当单元尺寸取小时，则单元中各点的应变趋于相等，也就是单元的形变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。
c.尽可能反映位移连续性；尽可能反映单元之间位移的连续性，即相邻单
元位移协调。
3. 答：
含义：所谓的等参数单元，就是在确定单元形状的插值函数和确定单元位移场的插值函数中采用了完全相同的形函数。
意义：构造出一些曲边地高精度单元，以便在给定地精度下，用数目较少地单元，解决工程实际地具体问题。
4. 答：
有限单元法是基于变分原理的里兹（Ritz）法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都适用子有限单元法，确认了有限单元法是处理连续介质问题的一种普遍方法．利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别是有限单元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定的，面且事先不要求满足任何边界条件，因此它可以用来处理很复杂的连续介质问题。有
《有限元分析》考题
《有限元[A]》期末考试试卷
学院： 班级： 姓名： 学号：
一、填空题（20分）
1、 弹性结构分析时，ANSYS 板壳单元的基本位移量有( )、（ ）、（ ）、（ ）、
（ ）、（ ）；基本内力有( )、（ ）、（ ）、（ ）、（ ）；基本内力矩有( )、（ ）、（ ）；
2、 三维弹性结构分析时，基本位移量有( )、（ ）、（ ）；基本应力量有( )、
（ ）、（ ）、（ ）、（ ）、（ ）；
3、 弹性结构分析时，三维拉压杆件的基本位移量有( )、（ ）、（ ）；基本内力
（ ）；基本应力量有（ ）；基本的横截面参数有（ ）；基本的材料参数有（ ）。
4、 弹性结构分析时，轴对称变形问题的基本位移量有（ ）、（ ）；基本应力量
有（ ）、（ ）、（ ）、（ ）；基本应变量有（ ）、（ ）、（ ）、（ ）。
二、简答题（30分）
1、 解释弹性结构模态分析的固有频率和振型，说明其在动态分析中的重要性。（8分）
2、 结构瞬态响应分析时为什么必须施加初始条件？有哪些初始条件（7分）
3、 为什么谐响应分析时力学量用复数表达？解释复数幅值、幅角的物理意义。（7分）
4、 简述非线性结构分析的基本类型和特征（8分）
三、操作练习题（50分）
1. 要完成如图所示弹性平面桁架的静力分析，各杆的横截面
均为2000mm 2，载荷P=50KN ，材料为普通钢材，并要求
最后能观测桁架的变形和列出各杆的轴向应力。请写出分
析的全过程。
《有限元[A]》期末考试试卷
2. 要完成如图所示带凸缘薄壳的弹性静力分析，厚度均匀为2mm ，载荷为作用在矩形板底面的
有限元与数值方法练习题(20110616)
一．简答题
1.已知一个数学微分方程，如何建立其等效积分形式？等效积分形
式和“弱形式”的区别是什么？后者在数值分析中有什么优点？
2.固体力学问题中的主要变分原理是什么？各变分原理所对应的控
制方程是什么？
3.单元构造时，为了保持有限元解是收敛的，单元插值函数应满足
什么条件？
4.非线性问题主要包括哪些类型？各种非线性问题引起非线性的本
质是什么？
5.加权残数法的基本思想是什么？简述加权残数法与有限元方法的
联系。
二．用加权残数法求解简支梁（长度为：l, 弹性模量和截面惯性矩为E，I）在均布荷载（单位长度上的荷载为q）作用下的位移，试函数可用多项式。
三．如下图所示，四边形方板，长2米，宽1米，左端固支，右端受均布力q。板所用材料为各向同性材料，其弹性模量为E，
泊松比为ν，质量密度为ρ。用四边形四节点单元划分为四个
单元，求解平面问题，写出单元分析（包括单元刚度阵，总刚
度阵）以及整体有限元的求解方程（不用求解）。
四．对上面问题，
1）写出自由振动问题的有限元控制方程
2）如果将网格加密一倍，仍以原节点作为主节点，如何采用guyan 减缩方法建立振动问题的控制方程？（写出具体实现过程和相应的公式）
五．简述非线性问题的有限元解列式的形成过程。说明：非线性问题求解方法（N-R方法、直接迭代法）的求解过程（流程图说明）。
第五章 有限元分析方法2011
例： |d|=∑aiφi
ai：待定系数
φi：坐标的某种函数
b）分析单元的力学性质 根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、 位置及其含义，找出单元节点力节点位移间的关 系式。
需应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力 和位移间的方程式，进而导出单元刚度矩阵。
c）计算等效节点力
有限元分析中，假定力是通过节点从一个单元传递到 另一个单元。 实际情况：力是从单元间的公共边界传递到另一个单 元中去的。
第5章 有限元分析方法
• • • • 概述 有限元法中单元特性的导出方法 有限元法的解题步骤 有限元法的前后置处理简介
参考书：《有限单元法基本原理和数值方法》清华大学 王勖成 邵敏
5.1 概 述
有限元分析方法
•是一种现代设计计算方法，是随着电子计算机技术的发 展而发展起来的；
•首先应用于飞机结构的静、动态特性分析（连续体力 学分析）； •后广泛应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性 问题。
1 1 br bs cr cs br bs cr bs Et 2 2 [ K rs ] 2 1 1 4(1 ) A c b br cs cr cs br bs r s 2 2 ( r i, j , k ; s i, j , k )
i 1 n
,
它是一个容许函数，其中的ai是待定系数。然后，把该函 数代入所求问题的泛函II中去，求其变分II。再从极值条 件II=0给出的方程组中解出待定系数ai之值。最后把求得
有限元考试试卷
2010/2011 学年第二学期研究生考试题（卷） 1．如图所示的托架，材料是钢。其边界条件是：顶面承受0.5MPa 压力的均布载荷，托架通过2个直径为10mm 的孔（间距40mm ）表面定位在墙体上。利用ANSYS 经典界面，求解托架的最大变形云图和von Mises 应力分布云图，并给出求解的命令流。（可附页答题并按A4纸张打印） 2．如图所示的轴承座（外径φ50mm ），材料是钢。其边界条件是：底部通过四个直径为8mm 的孔表面定位在机座上，轴承座上φ35mm 的内孔表面承受径向载荷P=50MPa ，轴台侧面承受如图所示的轴向推力F=500N 。利用ANSYS-Workbench 模块，求解轴承座最大变形云图和von Mises 应力分布云图。（可附页答题并按A4纸张打印）
1.托架最大变形云图：
托架von Mises应力分布云图：
命令流：
/prep7
et,1,solid186
mp,ex,1,2e11
mp,prxy,1,0.3
block,0,50,0,3,0,-75
block,0,3,0,-72,0,-75
wpoff,3
csys,4
k,100
k,101,47
k,102,0,-72
lstr,100,101
lstr,100,102
lstr,101,102
al,25,26,27
voffst,13,3
vadd,1,2,3
!preprocessor-meshing-volumes-mapped-free finish
/solu
dA,19,all
da,5,all
!solution-define loads-apply-force/moment-on nodes solve
有限元试题
2011年有限元试题
一、简答
1、有限元平面问题有几个自由度？空间问题有几个自由度？弹性力学三大方程分别应用了何种假定？
2、位移模式的完备性条件是什么？必须要满足吗？
3、如图所示节点编号，计算半带宽，并画出最合理的节点编号，刚度矩阵中对角元素为何都为正值？
4、等参单元变换的必要条件是什么？
5、简述铁木辛柯梁的基本特点，解释何谓剪切锁死现象，并给出避免出现剪切闭锁的条件。
二、推导题
1、用自然坐标推导四节点矩形单元的形函数
2、计算等效荷载，如图
3、分析下图的高斯点选取是否合理
三、计算
1、如图
（1）计算三角形单元的位移模式
（2）已知三节点的位移分别为()
,;,;,j j m i m i u u u v v v （已知数据），A 点的坐标（0.5，0.2,0）求A 点的位移分量
2、已知基本方程d 0d u u x
+=，边界条件01x u ==，选取试函数1u cx =+ 用伽辽金法确定系数c
3、求雅克比矩阵J （同作业题）
4、如图所示结构当节点编号如右图所示时，可求出其单元刚度矩阵为
111216212226616266a a a a a a K a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（考试中均为具体数据） 试确定局部刚度矩阵[]22K 及[]45K
2005年有限元试卷
一、简答题
1、加权残数法、变分法与有限元法的联系与区别是什么？有限元方法有什么优点？
2、单元分析的重点是什么？单元刚度矩阵有什么特征？其中每一个元素的物理意义是什么？单元分析中坐标转换的作用是什么？
3、在有限元法中，等参单元的主要有点事什么？在应用等参单元时，坐标变换的精度与位移模式的精度是否一样？等参单元计算中积分阶次选择的原则是什么？
有限元——2011年研究生试卷
2011年研究生<有限元基础>试卷
1.按位移求解的有限单元法中：（本题20分，每问5分）
1）应用了哪些弹性力学的基本方程？
2）应力边界条件和位移边界条件是如何反映的？
3）力的平衡条件是如何满足的？
4）变形协调条件是如何满足的？
2.解释何谓等参数单元？并回答下列问题：（本题20分，每问5分）
1）实现等参数变化的基本条件是什么？
2）哪些情况会使等参数变换不成立？
3）划分等参数单元时应注意哪些问题？
3.正方形薄板，受力与约束如图所示，划分为两个三角形单元，μ=0.25，板厚为t，求各节点的位移和单元应力。（本题20分）
4.悬臂梁的自由端有刚度系数为k的弹簧支撑，求P力作用下梁在端部的挠度和转角。（本题20分）
5.矩形薄板的OA边为固定边，OC为简支边，AB和BC为对称边，板面承受横向的均布载荷q0，B点受集中载荷P作用，将板划分为一个单元，试写出：（本题20分，每问5分）
1）整体的节点载荷向量；
2）位移边界条件；
3）引入边界条件后的单元刚度方程；
4）求出B点的挠度表达式。
有限元分析案人字架 (1)
1练习题目内容【2以后为逐步落实练习的过程或结果，正反面为一个练习】
跨度8m的人字形屋架，左边端点是固定铰链支座，右端是滑动铰链支座。在上面的3
个节点上作用有3个向下集中力p=1KN，结构的几何尺寸和边界条件如图1.4所示，试利用二维杆单元LINK 1分析该屋架在3个集中力作用下的变形和内力。
理论解
在小变形假设下，两个支座间不会出现水平反力。整个结构和荷载左右对称，所以结
构的内力也是左右对称的。只分析左面一半即可知道整个结构的受力了。整个结构是一个静定结构，所以各个杆件的内力可以利用理论力学中的节点法，或者截面法求解出来。依据整个结构的平衡，可以得到左右两个支座的竖向反力为1.5KN。
按照图1.5中的节点编号，根据1号和5号单元在1号节点处的的平衡，可以确定出1号单
元的内力是N1=3KN，5号单元的内力是N5=1,5√5N。从3号节点的平衡可以知道，9号单元的内力为0。
取左面一半结构，对节点7列出力矩平衡方程：
ΣM7(F)=0, -1.5×4+1×2+N2×2=0
可以求出2号单元的内力为N2=2KN。再根据2号节点处的平衡方程：
ΣX=0, N2-N1+N8/ 2 =0
ΣY=0, N7+N8/ 2 =0
可以解出：N8=√2KN，N7=-1KN
再由6号节点的平衡方程：
ΣX=0, N6×2/ 5 -N5×2/ 5 =0
可以解出：N6=1.5√5KN
至此，我们得到所有杆件的内力为：
N1=N4=3KN，N2=N3=2KN，N5=N13=1.5√5KN，N6=N12=1.5√5KN，
N7=N11= -1KN，N8=N10= √2KN，N9=0。
2011结构工程有限元法试题解答
1. 直角三角形单元的两条直边边长为1。一个边上受三角形分布荷载（最大值为1）作用，如第1题图
所示，单元的位移插值函数见（1）式。试用最小势能原理或虚功原理导出单元刚度方程。
)( ),(21
i,j,m y c x b a A
N i i i i ++=
（1） ),,( m j i x x c y y b y x y x a j
m i m j i j m m j i -=-=-= （A ：三角形面积；(i,j,m )表示循环。） 解：
单元的总势能
dS u F dV u f dV Πs
T
T V V
T ⎰⎰⎰--=
1
}{}{}{}{}{}{21εσ 因为不考虑体力，故上式第二项为零。将各量代入
dS N F dV B D B Πs
T V
T T ⎰⎰-=
1
}]{[}{}]{][[][}{21
δδδ 根据最小势能原理
0}]{[}{}]{][[][}{21
}{1
=-=∂∂⎰⎰dS N F dV B D B Πs
T V
T T δδδδ 得
dS N F dV B D B s T
V
T ⎰⎰=1
][}{}]{][[][δ
根据图中单元的已知条件及（1）式，有
101111
000
,0,1 ;1,0,0=-==-==-=-=-=-=-==-==-==-==-=======i j m j i m i j j i m m i j i m j m i i m j j m i m j i j m m j i m j i m j i x x c y y b y x y x a x x c y y b y x y x a x x c y y b y x y x a y y y x x x
北京科技大学有限元总结
北京科技⼤学有限元总结
北京科技⼤学2009—2010学年硕⼠研究⽣
“⼯程中得有限元⽅法”试题
姓名__________________ 学号______________________班级______________ 成绩________________ 说明:1--5题为笔试题,每题10分。上机题结合实验报告共50分。
1、简述弹性⼒学四边形四节点等参元得收敛性质以及由该单元刚度矩阵装配成得总刚度矩阵得性质。在单元分析已经提出有限单元解得收敛性要求, 即, 单元必须就是完备得与协调得。对于等参单元:
1、完备性:对于C0型单元,由于等参单元得形函数中包含有常数项与线性项,满⾜完备性得要求。
2、协调性:由于单元之间得公共边上有完全相同得节点, 同时每⼀单元沿这些边得坐标与未知函数均采⽤相同得插值函数加以确定。因此, 只要在划分⽹格时, 遵守单元选择与节点配置得要求, 则等参单元满⾜协调性得要求。
2、总刚得性质1)对称性2)奇异性,需引⼊合适得位移约束。3)稀疏,(存在许多零元素)4)⾮零元素呈带状分布5)主元恒正根据物理意义可得此性质,正常情况下,主元占优
2、分析图⽰得两个单元在什么条件下其连接关系正确。要求说明所采⽤单元得类型与连接⽅法。
采⽤四边形等参元附加多点约束⽅程过渡。 4边形5节点Serendipity 过渡单元约束⽅程:u 6=(u 2+u 3)/2
3、对于右图所⽰三节点⽹格,设每个节点具有⼀个⾃由度。其:
最⼤带宽= (9-1)*1=8 最⼤波阵宽=3
1,2,10
9,2,10
2011级南京理工大学有限元理论作业
将上述假定代入到 时刻的平衡方程
可得到
Newmark方法分析步骤如下：
A.初始计算
(1)形成K、M和C矩阵，取 ,计算下列常数：
(2)给定位移、速度和加速度的初始值：
(3)形成有效刚度矩阵，
(4)对 阵进行三角分解，
B.对每个时间步
(1)形成有效载荷向量
百度文库解：
3．已知图示正方形薄板的边长为 ，厚度为 ，弹性模量为 ，泊松比 。现将其分成两个三角形单元，设节点2、3和4为不动点，在节点1处受到向上的集中载荷P。试求节点位移，支座反力以及单元A和单元B内的应力？
解：单元的节点编号如下：
单元节点号
i
j
m
A
1
3
4
B
4
2
1
单元A的节点坐标为：
单元B的节点坐标为：
解：⑴形函数及其导数为：
其雅可比矩阵为：
， ，
⑵ ，
7．写出线性动力学有限元方程，并说明方程中各个符号的力学含义。简介线性动力学有限元方程的求解方法，并且说明 方法的思想和分析步骤。
解：线性动力学有限元方程为：
式中 { }，{ }和{U}分别为整体节点加速度，速度和位移列阵
分别为整体质量，阻尼和刚度矩阵
4．已知集中载荷 ，试求图示六节点三角形单元的等效节点载荷列阵。
解：
5、已知材料的弹性模量 和泊松比 。计算图示四面体 单元的形函数 ；单元的刚度矩阵中的元素 和 。
2.有限元基本原理_2011_pdf
2.
2. 有限元法基本原理
2011-10-130
2.有限元法基本原理
一、什么是有限元法
有限元法是结构分析的一种数值计算方法。
它在20世纪50年代初期随着计算机的发展应运而
生。
理论基础牢靠，物理概念清晰，解题效
理论基础牢靠物理概念清晰解题效
率高，适应性强，目前已成为机械产品动、静、
热特性分析的重要手段，它的程序包是机械产品
计算机辅助设计方法库中不可缺少的内容之一。
有限元法F inite E lements M ethod
2.有限元法基本原理
有限元法的雏形
阿基米德问题约250 B.C.): 用内接正多边形的周长()去逼近圆周长以求得π 值
z 将连续体进行离散化有限元法基本思
想的雏形S pace S tructure R esearch C enter , HIT, CHINA 2
z 计算各正多边形边长的值
z 用各边的边长总和近似代替园周长
2.有限元法基本原理
二、有限元法的发展历史
z1943年R. Courant用三角形区域上的多项式函数(形函
数)解决扭转问题。
1946电子计算机问世使结构分析发生重大变革
z年电子计算机问世，使结构分析发生重大变革；
z50年代由德国工程师提出用能量原理
和矩阵方法来计算航空器的结构强度，
逐渐波及土木工程；
z1960年由R. H. Clough命名“有限单元
法（FEM)以来，有限元法蓬勃发展。
法”（以来有限元法蓬勃发展
z在60年代初开始投入大量的人力和物力开发有限元分
析程序，但真正的CAE软件是诞生于70年代初期，而紧
接的30年则是CAE软件商品化的发展阶段。
有限元 第6讲_空间单元
5.2 4节点四面体常应变单元
2. 位移模式 • 形函数的定义
u e v [ N ] w
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
其中系数为常数项，由节点坐标值决定。
5.2 4节点四面体常应变单元
xj ai xm xn xj xn
1 1
yj ym yn 1 zj 1 zn
xi xj yi yj ym yn
• 根据弹性力学理论，空间轴对称问题的应力-应变关系 为 轴对称问题的应力分量不是三 个，而是四个，即轴向正应力 r 、径向正应力 、周向正应力 、和剪应力 。
其中
fi
ai cz bi i (i, j , m) r r
{ } [ D]{ } z rz
zi zj zm zn
•
几何方程
B为常数 矩阵。 因此，为 常应变单 元！
V
1 xm 1 xn
编号约定：当沿i,j,m的方 向转动时，n在大拇指所指 的方向
3
2011/4/19
5.2 4节点四面体常应变单元
3.
• •
5.2 4节点四面体常应变单元
4. 单元平衡方程（单元刚度矩阵）
物理方程（描述材料特 性：应力与位移的关系）
• 本章重点和要求： 了解空间问题的有限元法的原理和解题方法，熟 悉常用实体单元的类型和特性，掌握常用实体单元 的有限元分析方法。
2011电磁场数值计算(有限元1)
N j x N i N j z y N j z
21
N N i N j i x
N i y
2013-8-20
华北电力大学电气与电子工程学院
e 1 E e 1 Eb
ne
neb
给定 m 和 n 的值，根据单元节点局部编号 与整体编号的对应关系，寻找单元上的 i 和 j 。
2013-8-20
华北电力大学电气与电子工程学院
16
电磁场数值计算
主讲人： 王泽忠
如果单元上找到了对应的 i 和 j ，就说明这个单元 对系数矩阵元素 K m ,n 和右端项元素 Rm 有贡献。 一个单元上找不到 m 和 n 对应的 i 和 j ， 就说明这个单元对元素 K m , n 和元素 Rm 没有贡献。 在有贡献的单元上， 基函数和权函数可以用单元形状函数代替。 表示为
（3）二维场有限元公式 在直角坐标系二维场情况下
2013-8-20
华北电力大学电气与电子工程学院
23
电磁场数值计算
N i N i N j
雅可比矩阵表示为
主讲人： 王泽忠
N j N i 1 T 1 ( J e ) J e N j
三角形网格划分
有限元试题及答案
有限元试题及答案
一判断题（20分）
（×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置
（√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元
（×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型
（√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元
（×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化
处理的话会得到一样的答案
（×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析
（√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好
（×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度
（√）9. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小（√）10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。
二、填空（20分）
1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是：平行于板面且沿厚度均布载荷作用，变形发生在板面内；
后者受力特点是：垂直于板面的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。
2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量：σx，σy，τxy ，三个独立的应变分量：εx，εy，γxy，但对应的弹性体几何形状前者为薄板，后者为长柱体。3．位移模式需反映刚体位移，反映常变形，满足单元边界上位移连续。
4．单元刚度矩阵的特点有：对称性，奇异性，还可按节点分块。
5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为二维问题处理。6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。
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西安交通大学
级研究生课程考试试题
考试（查）科目：有限元方法（II ）时间 年 月 日下午
一、4
)
4,4(),()5,5(),()2,6(),()2,2(),(4
4332211====y x ，
y x ，y x ， y x
母体单元为22⨯的正方形，如图所示。
求：（1）单元坐标变换()(ξηξ,,,
y y x x == （2）变换的Jacobi 行列式detJ 的解析表达式，并分析该变换是否存在奇异性（8分）。
二、分析以下两种单元的位移场是否具备收敛到真实解所需的各项条件。（30）
（1） 13结点矩形平面应力单元
结点参数取为：)13~
1(
,=i v u i i 位移场为：
3
132
2
123
113
102
92
83726524321xy
y x y x y xy y x x y xy x y x u ααααααααααααα++++++++++++=
3
262
2
253
243
232
222
2132021918217161514xy
y x y x y xy y x x y xy x y x v ααααααααααααα++++++++++++=（2） 6自由度三角形薄板弯曲单元 结点参数取为：
()3~1=i w i ()6~4=⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂i n w i
位移场为：
2
652
4321y xy x y x w αααααα+++++=
三、13结点平面应力单元如图所示， 在计算单元刚度矩阵时取图示的9个 积分点。试分析在单元一级是否存在 出现零变形能位移模式的可能性。
,u
x
7 8 10
9
11 12 1
2
3
4 5
6
四、图示8结点平面应力单元厚度为t ， 沿结点481－－所在边作用图示分布载 荷，最大压强为q 。求与上述载荷对应
的结点8处的等效结点力的大小，并图 示其方向（16分）。
五、图示二维问题，在结点A 、B 与C 、D
之间为光滑接触。试用罚函数法实现对此约
束关系的描述，（1）写出对总体坐标系的约
束关系式（5分），（2）若该问题的能量泛函为
请写出相应的“修正泛函”的表达式（5分）。
六、三结点一维等参元如图所示，设单元自由 度为321,,u u u 。若假设单元内的位移场如下列 三种形式，试分别讨论它们是否具备收敛到真实
解所要求的各项条件（12分）。 （1）()332211x x x u ααα+++=
（2）(
)
3
2321x x x u +++=ααα （3）()33211x x x u ααα+++=
七、图（a ）所示的构件化为图（b ）所示的 梁模型，由梁的直面可知结点3与4之间的 自由度不独立。每个结点有三个自由度，即
i i i v u θ,,。现取结点4为主结点，结点3为
从属结点，试写出约束关系式及单元e 的自 由度{}{}T
v u v u d 3332221θθ=
转换成{}{}v u v u d 444
222
2θθ=的转换矩阵（{}[]{}21d T d =）（8分）
7 4 （-1， 1）
3
1 x,u
2 1
(a,)