人教版高中数学选修4-1 4-1几何证明第一章相似三角形的判定及有关性质第一节平行线等分线段定理

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人教A版数学【选修4-1】ppt课件：1-1第一讲-相似三角形的判定及有关性质

∴AD∥EF∥BC.
∵AE＝BE，∴DF＝CF. ∴F是DC的中点． ∵BC⊥DC，∴EF⊥DC. ∴EF是线段DC的垂直平分线． ∴EC＝ED.
3．等分已知线段利用平行线等分线段定理可以把已知线段AB任意n等分，其步骤如下： (1)过已知线段AB的一个端点A作射线AC； (2)在射线AC上，以适当的长度依次截取AA1＝A1A2＝A2A3 ＝„＝An－1An(其中n为题中要求AB的n等分)；
(3)连接AnB； (4)分别过点A1，A2，„，An－1作AnB的平行线，交AB于 B1，B2，„，Bn－1，则B1，B2，„，Bn－1为线段AB的n等分点．
答案 (1)C (2)相等
【例2】已知：如图，AD是三角形ABC的中线，E为AD 1 的中点，BE的延长线交AC于F.求证：AF＝ AC. 3
【分析】
可利用平行线等分线段定理的推论1，添加过
三角形一边中点且平行于第三边的直线，确定F为AC的一个三等分点．
【证明】
过D作DH∥BF交AC于H点，
2．对两个推论的理解 (1)推论1，如图所示，在△ABC中，D为AB的中点，DE∥ BC，交AC于E，过A作BC的平行线a，则a∥BC∥DE，由AD＝ DB知，AE＝EC，即E为AC的中点．
(2)推论2，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB的中点，即AE＝EB，EF∥BC交CD于F，则由AD∥EF∥BC，AE＝ EB知，DF＝FC.即F为CD的中点．
第一讲相似三角形的判定及有关性质
一
平行线等分线段定理
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识夯实基础
学习目标 1.探索并理解平行线等分线段定理的证明过程． 2．能独立证明平行线等分线段定理的推论1、推论2. 3．能应用定理和推论解决相关的几何计算问题和证明问题． 4．会用尺规作图法等分一条已知线段.

高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质单元检测(A)新人教A版选修4-1(2021学年)

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第一讲相似三角形的判定及有关性质单元检测(时间：９0分钟,满分:１00分)一、选择题(本大题共1０小题，每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如图,已知AA ′∥B Ｂ′∥ＣC ′，AB ∶ＢC ＝1∶3，那么下列等式成立的是（ )A.AB ＝２A ′Ｂ′ Ｂ.3A ′B ′=B ′C ′ Ｃ．BC ＝Ｂ′C ′ D.AB =A ′Ｂ′2．如图,已知45AD DB =，D Ｅ∥BC ,若DE =3,则B Ｃ等于( ）A.125 B.154 C.184 D.274３.如图，A ，Ｂ,Ｃ,Ｄ把OE 五等分,且AA ′∥ＢB ′∥CC ′∥DD ′∥ＥE ′,如果ＯE ′=20cm,那么B ′Ｄ′等于（）A.１2 cm B ．10 ｃm Ｃ.６ cm D.8 cm４．如果两条直角边在斜边上的射影分别是４和16,则此直角三角形的面积是( ) Ａ.８0 B.７0 Ｃ．６4 Ｄ．３25.如图,△ＡBC 中，DE ∥BC ,D Ｅ分别交A Ｂ，ＡＣ于D ,E 两点，S △AD Ｅ=2S △DC Ｅ,则ADE ABCSS ∆∆=( )Ａ.14 B ．12C.23D.496．如图,在△ABC 中,A Ｂ=A Ｃ，点D 在AB 上,点Ｅ在A Ｃ的延长线上,B Ｄ＝３ＣE ，DE 交BC 于F ，则D Ｆ∶FE 等于（）A ．5∶2 Ｂ．2∶１Ｃ．3∶1 D ．4∶17.如图所示,在Rt△AB Ｃ中，∠ＡCB ＝90°，ＣD ⊥ＡB 于点D ,Ｅ是AC 上一点,CF ⊥ＢE 于点F ，则下列与△BFD 相似的三角形是( ）A.△ABC B ．△ＢEC C ．△ＢAE D ．△B ＣF８．如图所示,铁道口的栏杆短臂长1 m,长臂长16 ｍ,当短臂端点下降０。

相似三角形的判定及性质(选修4-1)

例如图,在△ABC内任取一点D,连接AD和BD. 点E在△ABC外,∠EBC=∠ABD,∠ECB=∠DAB. 求证: △DBE∽△ABC. 分析: 好容易得出∠ABC=∠DBE 只需要再证明 BE BC BE BD BD AB 即证
BC AB
A
D B E C
只要证明△ABD∽△CBE
例如图,已知D、E、F分别是△ABC三边、BC、 CA、AB的中点. 求证：△DEF∽△ABC 证明:∵线段EF、FD、DE都是 △ABC的中位线
请大家阅读课本P10-P12的内容，回答下面几个问题： 1，如何判定相似三角形？ 2，相似在三角形有什么特点？
例如图,在△ABC, AB=AC, D是AC边上一点, BD=BC. 求证: BC2=ACCD A 分析: 遇到线段的比例问题可以考虑三角形的相似 D 证明: ∵△ABC是等腰三角形
定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。判定定理1：有两个角对应相等的两个三角形相似。
判定定理2：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。
判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。
自主学习：
时间：3分钟
当堂检测：
课本P19，习题：T1.
课后作业：课本P19，习题：T2，T5.
分析: (1)只要证明Rt△ADC∽Rt△BEC (2)只要证明Rt△AHE∽Rt△BHD
1．相似三角形的证法： ①定义法：对应边成比例，对应角相等； ②平行法；③判定定理法：用得最多的是判定定理1，即两角对应相等的两个三角形相似； ④对直角三角形除以上方法外，还有特殊方法，两直角边对应成比例，两直角三角形相似；一条直角边和斜边对应成比例，两直角三角形相似；斜边上的高分成的两直角三角形与原三角形相似．

高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质习题课课件新人教A版选修4-1

可得 DM∶FC＝1∶2，DM∶AF＝ED∶AE，
∴AF∶FC＝12·EADE.
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链
即当 E 为 AD 上任意一点时，上述结论仍成立．
接
点评：证“比例线段问题”，通常先作平行线构造基本图形，再由定理“平行于三角形一边且与另两边(或延长线)相交构成的三角形三边与原三角形三边对应成比例”来找出比例式，有时要利用中间比来建立要求证的比例式之间的联系．
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(1) 证明：如图，过点 D 作 DM∥AC 交 BF 于点 M.
∵AD 是△ABC 的中线， ∴DM∶FC＝BD∶BC＝1∶2， ∴DM＝12FC. 又∵DM∶AF＝ED∶AE＝1， ∴AF∶FC＝1∶2，即AFFC＝12.
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（2）解析：如图，过点 D 作 DM∥AC 交 BF 于点 M，
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又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC.
点评：相似三角形的几个判定定理可能要同时用到，先证
两个三角形相似，以此作铺垫，再证另两个三角形相似．
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5．如图所示，CD平分∠ACB，EF是CD的中垂线交AB的延长线于点E.求证：ED2＝EB·EA.
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证明：连接 EC，∵EF 为 CD 的中垂线， ∴EC＝ED，且∠EDC＝∠ECD. 又∵∠EDC＝∠A＋∠ACD，且∠ECD＝∠DCB＋∠ECB， CD 为∠ACB 的平分线，则∠ACD＝∠DCB， ∴∠A＝∠ECB.又∠CEA 为公共角， ∴△ECB∽△EAC.∴EEBC＝EECA. ∴EC2＝EA·EB.又∵EC＝ED， ∴ED2＝EA·EB.
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人教A版数学【选修4-1】ppt课件：1-2第一讲-相似三角形的判定及有关性质

变式2
如图所示，DE∥BC，EF∥DC.
求证：AD2＝AF· AB.
证明
在△ABC中，DE∥BC，
AD AE ∴ ＝ . AB AC AF AE AD AF 在△ADC中，EF∥DC，∴ ＝，∴ ＝ . AD AC AB AD ∴AD2＝AF· AB.
【例3】
如下图，平面α∥β∥γ，l1，l2是异面直线，l1交
思考探究3
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交
的直线，所截得的三角形与原三角形三边是否对应成比例？提示截得的三角形与原三角形三边对应成比例.
名师点拨 1.平行线分线段成比例定理
(1)用数学符号语言表达直线l1∥l2∥l3，直线l交l1，l2，l3于A，B，C，l′交l1， AB DE l2，l3于D，E，F，则BC＝ EF . AB AB (2)教材中就为有理数时给出了证明，实际上当为无 BC BC 理数时定理也成立． (3)定理的条件是一组平行线(至少三条)，且至少有两条直线和这组平行线相交．
第一讲相似三角形的判定及有关性质
二
平行线分线段成比例定理
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识夯实基础
学习目标 1.探索和理解平行线分线段成比例定理的证明过程． 2．理解定理的推论． 3．能应用定理及推论解决相关的几何计算问题和证明问题． 4．感知平行线分线段成比例定理向空间的推广，探索并证明空间形式的“平行面分线段成比例定理”.
课前预习 1.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应__________． 2．平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的__________.
答案

高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.4直角三角形的射影定理课件新人教A版选修4_1

Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
12
1.射影
从一点向一条直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的
正射影.一条线段的两个端点在一条直线上的正射影之间的线段,叫
做这条线段在这条直线上的正射影.点和线段的正射影简称为射影.
【做一做1】线段MN在直线l上的射影不可能是 ( )
��△�� △��
=
��
=
��22.
12
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
又∵AC=3,AD=2,
∴AB=
��2 ��
=
92.
答案:
9 2
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
用射影定理证明勾股定理
剖析:如图,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D,则由射影定理可得AC2=AD·AB,BC2=BD·BA,
D典例透析 IANLI TOUXI
【做一做2-1】如图,已知在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D, 且CD=4,则AD·DB等于( )
A.16 B.4 C.2 D.不确定
解析:∵AC⊥CB,CD⊥AB, ∴AD·DB=CD2. 又∵CD=4,∴AD·DB=42=16.

【高考精品复习】选修4-1 几何证明选讲第1讲平行截割定理与相似三角形

第1讲平行截割定理与相似三角形【高考会这样考】考查相似三角形的判定和性质定理的应用及直角三角形的射影定理的应用．【复习指导】复习本讲时，只要掌握好教材上的内容，熟练教材上的习题即可达到高考的要求，该部分的复习以基础知识、基本方法为主，掌握好解决问题的基本技能即可.基础梳理1．平行截割定理(1)平行线等分线段定理及其推论①定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．②推论：经过梯形一腰的中点而且平行于底边的直线平分另一腰．(2)平行截割定理及其推论①定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，截得的三角形与原三角形的对应边成比例．(3)三角形角平分线的性质三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比．(4)梯形的中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．2．相似三角形(1)相似三角形的判定①判定定理a．两角对应相等的两个三角形相似．b ．两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．c ．三边对应成比例的两个三角形相似．②推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．③直角三角形相似的特殊判定斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似． (2)相似三角形的性质相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方． (3)直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积．双基自测1．如图所示，已知a ∥b ∥c ，直线m 、n 分别与a 、b 、c 交于点A ，B ，C 和A ′，B ′，C ′，如果AB ＝BC ＝1，A ′B ′＝32，则B ′C ′＝________.解析由平行线等分线段定理可直接得到答案．答案 322．如图所示，BD 、CE 是△ABC 的高，BD 、CE 交于F ，写出图中所有与△ACE 相似的三角形________．解析由Rt △ACE 与Rt △FCD 和Rt △ABD 各共一个锐角，因而它们均相似，又易知∠BFE ＝∠A ，故Rt △ACE ∽Rt △FBE . 答案 △FCD 、△FBE 、△ABD3．(2011·西安模拟)如图，在△ABC 中，M 、N 分别是AB 、BC 的中点，AN 、CM 交于点O ，那么△MON 与△AOC 面积的比是________．解析 ∵M 、N 分别是AB 、BC 中点，故MN 綉12AC ， ∴△MON ∽△COA ，∴S △MON S △AOC ＝MN 2AC 2＝14.答案 1∶44．如图所示，已知DE ∥BC ，BF ∶EF ＝3∶2，则AC ∶AE ＝______，AD ∶DB ＝________.解析 ∵DE ∥BC ，∴AE AC ＝DE BC ＝EFBF .∵BF ∶EF ＝3∶2，∴AE AC ＝EF BF ＝23.∴AC ∶AE ＝3∶2.同理DE ∥BC ，得AB ∶AD ＝3∶2，即AB AD ＝32. ∴AD AB ＝23，即AD AB －AD ＝23－2＝2.即ADBD ＝2.∴AD ∶BD ＝2∶1. 答案 3∶2 2∶15．(2010·广东)如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E 、F 分别为线段AB 、AD 的中点，则EF ＝________.解析连接DE 和BD ，依题知，EB ∥DC ，EB ＝DC ＝a2，∴EBCD 为平行四边形，∵CB ⊥AB ，∴DE ⊥AB ，又E 是AB 的中点，故AD ＝DB ＝a ，∵E ，F 分别是AD 、AB 的中点，∴EF ＝12DB ＝12a . 答案 a 2考向一平行截割定理的应用【例1】►(2011·广州测试(二))在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，BC ＝5，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且EF ∥AD ，若AE EB ＝34，则EF 的长为________． [审题视点] 把梯形的两腰BA 、CD 分别延长交于一点，利用平行截割定理可求解．解析如图所示，延长BA 、CD 交于点P ，∵AD ∥BC ，∴P A PB ＝AD BC ＝25，∴P A AB ＝23，又∵AE EB ＝34，∴AE AB ＝37，∴P A AE ＝149，∴P A PE ＝1423.∵AD ∥EF ，∴AD EF ＝P A PE ＝1423，又AD ＝2，∴EF ＝237. 答案 237在解题时要注意添加辅助线．【训练1】如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，则AB 的长为________．解析由⎩⎨⎧DE ∥BC ，EF ∥CD ，BC ＝3，DE ＝2⇒AE AC ＝AF AD ＝DE BC ＝23，又DF ＝1，故可解得AF ＝2，∴AD ＝3，又AD AB ＝23，∴AB ＝92. 答案 92考向二相似三角形的判定和性质的应用【例2】►已知，如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC ，点D 是垂足．求证：BC 2＝2CD ·AC .[审题视点] 作AE ⊥BC ，证明△AEC 和△BDC 相似即可．证明过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ， ∴CE ＝BE ＝12BC ，由BD ⊥AC ，AE ⊥BC . 又∴∠C ＝∠C ，∴△AEC ∽△BDC . ∴EC DC ＝ACBC ，∴12BC CD ＝AC BC ，即BC 2＝2CD ·AC.判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点灵活选择判定定理．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．【训练2】 (2011·惠州调研)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF ＝________.解析因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，所以AE AC ＝DE BC ，即35＝6BC ，所以BC ＝10.又DF ∥AC ，所以四边形DECF 是平行四边形，故BF ＝BC －FC ＝BC －DE ＝10－6＝4. 答案 4考向三直角三角形射影定理的应用【例3】►已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD＞BD)，若CD＝6，则AD＝________.[审题视点] △ACB为直角三角形，可直接利用射影定理求解．解析如图，连接AC，CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°设AD＝x，∵CD⊥AB于D，∴由射影定理得CD2＝AD·DB，即62＝x(13－x)，∴x2－13x＋36＝0，解得x1＝4，x2＝9.∵AD＞BD，∴AD＝9.答案9注意射影定理的应用条件．【训练3】在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3.则△ACD 与△CBD的相似比为________．解析如图所示，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理得：CD2＝AD·BD，又∵AD∶BD＝2∶3，令AD＝2x，BD＝3x(x＞0)，∴CD2＝6x2，∴CD＝6x.又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ACD∽△CBD.易知△ACD与△CBD的相似比为ADCD＝2x6x＝63.即相似比为6∶3.答案6∶3高考中几何证明选讲问题(一)从近两年新课标高考试题可以看出，高考主要以填空题的形式考查平行截割定理和相似三角形判定定理的应用，难度不大．【示例1】►(2011·陕西)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________.【示例2】►(2011·广东)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________．。

人教版高中数学选修四目录

人教版高中数学选修四目录相似三角形的判定及相关性质、直线与圆的位置关系、平面与圆柱面的交线、平面与圆锥面的交线、简单曲线的极坐标方程、简单曲线的极坐标方程是人教版高中数学选修课的四个知识。

人教版高中数学选修目录人教版数学选修4-1第一讲、相似三角形的判定及有关性质一、平行线等分线段定理二、平行线分线段成比例定理三、相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四、直角三角形的射影定理第二讲、直线与圆的位置关系一、圆周角定理二、圆内接四边形的性质与判定定理三、圆的切线的性质及判定定理四、弦切角的性质五、与圆有关的比例线段第三讲、圆锥曲线性质的探讨一、平行射影二、平面与圆柱面的截线三、平面与圆锥面的截线人教版选修4-4目录第一讲、坐标系一、平面直角坐标系二、极坐标系三、简单曲线的极坐标方程四、柱坐标系与球坐标系简介第二讲、参数方程一、曲线的参数方程二、圆锥曲线的参数方程三、直线的参数方程四、渐开线与摆线高中数学选修4-5目录第一讲、不等式和绝对值不等式一、不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二、绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲、讲明不等式的基本方法一、比较法二、综合法与分析法三、反证法与放缩法第三讲、柯西不等式与排序不等式一、二维形式柯西不等式二、一般形式的柯西不等式三、排序不等式第四讲、数学归纳法证明不等式一、数学归纳法二、用数学归纳法证明不等式必修、选修什么意思人教版必修1、2、3、4、5为所有学生必修，不分文理，将作为学业水平考试的考试内容和高考的必考内容。

1-1，1-2是选修一系列，文科生必学内容，高考的必考内容。

另外还有两个系列的选修课，理科生必修，高考必修。

考三四系列是选修系列，要根据各省情况选择学习。

高考的时候，你选的每一本书都会有一个问题，你可以从中选择一本。

必修系列和选修系列的区别在于，只有学业水平考试是必修的，而高考是全部。

高考数学一轮复习几何证明选讲第1课时相似三角形的判定及有关性质课件理(选修41)

______第三边． •平推分论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线_____
另一腰．
平分
• 2．平行线分线段成比例定理 • 三条平行线截两条直线，所得的___对__应线段成比例． • 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长
线)所得的对应线段成_______． • 3．相似三角形的判定比例 • 判定定理1：两角对应_____，两三角形相似． • 判定定理2：两边对应___相__等___且夹角______，两三角形相 • 似判．定定理3：三边对应___成__比__例_，两三角形相相等似．
【解析】 (1)证明：∵OE∥BC， ∴AAEB＝AAOC.又∠BAC＝∠CAB，∴△EAO∽△BAC. ∴OBCE＝AAEB，同理OBCF＝DDCF. ∵AD∥EF∥BC，∴AABE＝DDCF，∴OBCE＝OBCF. ∴OE＝OF.
(2)∵OE∥AD，∴BBOD＝BBEA，∴△EBO∽△ABD. ∴OADE＝BBOD，同理OBCE＝AAOC. 又 AD∥BC，∴BBOD＝CAOC，∴OADE＋OBCE＝CAOC＋AAOC＝1. • 【答案】 (1)略 (2)1
• 答案 6
解析由直角三角形射影定理，得 AC2＝AD·AB. ∴AB＝AACD2＝422＝8，∴BD＝AB－AD＝8－2＝6.
授人以渔
题型一平行线分线成比例
例1 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，EF 经过梯形对角线的交点 O，且 EF∥AD. (1)求证：OE＝OF； (2)求OADE＋OBCE的值．
即6－3x＝3
x
，所以 3
x2－6x＋9＝0，解得
x＝3.
(2)若△ADP∽△BCP，则ABDC＝BAPP，
即 3
33＝6－x x，解得 x＝23.

第一讲相似三角形的判定及有关性质章末复习方案课件(人教A选修4-1)

2 2 2
∴NE2＋NC2＝EC2. ∴EN⊥CN. 即△ENC 为直角三角形．又∵NF⊥EC， ∴FN2＝EF· FC.
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[例 7]
如图，设 CD 是 Rt△ABC 的斜边
AB 上的高，求证： AC2 AD (1) 2＝； CB DB (2)CA· CD＝CB· AD.
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[证明]
(1)由射影定理得，
返回
[解]
(1)证明：过点 D 作 DG∥CF 交 AB 于 G 点，
AE AF ∴ ＝ . ED FG BD 1 2 又＝，∴DC＝2BD＝ BC. DC 2 3 FG DC 2 ∵DG∥FC，∴ ＝＝， BF BC 3 2 AE AF 3AF ∴FG＝ BF，∴ ＝＝ . 3 ED 2 2BF BF 3
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BD m AE m＋n AF (2)当＝时，有关等式：＝ · . DC n ED n FB 证明：过 D 作 DG∥CF 交 AB 于 G 点． AE AF ∴ ＝ . ED FG BD m BC m＋n 又∵ ＝，∴ ＝ . DC n DC n BF BC m＋n ∵DG∥FC，∴ ＝＝， FG DC n n ∴FG＝ BF， m＋n m＋n AF AE AF ∴ ＝＝ · . ED n n BF BF m＋n
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[例 5]
已知：在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，过点
C 任作一直线与边 AB 及 AD 分别交于点 F、E.
BD 1 AE 3AF (1)如图(1)，当＝时，求证：＝； DC 2 ED 2FB BD m AE AF (2)如图(2)，当＝时，猜想：与之间是否存 DC n ED FB 在着一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的关系式，并给出证明过程；若不存在，请说明理由．

高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质讲末检测新人教A版选修4-1-新人教A版高二选修4-1

第一讲相似三角形的判定及有关性质讲末检测一、选择题1.在△ABC 中，DE ∥BC ，若AE ∶EC ＝1∶2，且AD ＝4 cm ，则DB 等于( ) A.2 cmB.6 cmC.4 cmD.8 cm解析如图，∵DE ∥BC ，∴AE EC ＝AD DB ＝12.又∵AD ＝4 cm ，∴DB ＝8 cm. 答案 D2.两个相似三角形对应边上的中线之比为3∶4，周长之和是35，那么这两个三角形的周长分别是( ) A.13和22 B.14和21 C.15和20D.16和19解析由相似三角形周长之比，中线之比均等于相似比可得周长之比C 1C 2＝34.又∵C 1＋C 2＝35，∴C 1＝15，C 2＝20，即两个三角形周长分别为15，20. 答案 C3.如图所示，在△ABC 中，P ，Q 分别在BC 和AC 上，BP ∶CP ＝2∶5，CQ ∶QA ＝3∶4，则AR ∶RP 等于( )A.3∶14B.14∶3C.17∶3D.17∶14解析如图，过点Q 作QM ∥AP 交PC 于M ，则CM MP ＝CQ QA ＝34.又∵BP PC ＝25，∴BPPM＝710.又RP QM ＝BP BM ＝717，QM AP ＝CQ AC ＝37，∴RP AP ＝317，∴AR RP ＝143. 答案 B4.如图所示，在△ABC 中，M 是BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于N ，若AB ＝14，AC ＝19，则MN 的长为( )C.3D.3.5解析延长BN 交AC 于D ，则△ABD 为等腰三角形，∴AD ＝AB ＝14，∴CD ＝5.又M ，N 分别是BC ，BD 的中点，故MN ＝12CD ＝2.5.答案 B5.若三角形的三条边长之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边为21 cm ，则其余两边的长度之和为( )A.24 cmB.21 cmC.19 cmD.9 cm解析设其余两边的长度分别为x cm ，y cm ，则217＝x 5＝y3，解得x ＝15，y ＝9，故x ＋y ＝24. 答案 A6.如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，对角线AC 与BD 交于点O ，有下列结论：①△AOB ∽△COD ；②△AOD ∽△ACB ；③S △DOC ∶S △AOB ＝DC ∶AB ；④S △AOD ＝S △BOC ，其中始终正确的有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个解析 ①④正确，②③错误. 答案 B7.如图所示，在▱ABCD 中，AE ∶EB ＝1∶2，若S △AEF ＝6 cm 2，则S △CDF等于( ) A.54 cm 2B.24 cm 2C.18 cm 2D.12 cm 2解析由题意知△AEF ∽△CDF ，∴S △AEF S △CDF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE CD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝19，∴S △CDF ＝9S △AEF ＝54 cm 2.答案 A8.如图所示，身高为1.6 m 的某同学想测量学校旗杆的高度，当他站在C 处时，他的影子的顶端正好与旗杆影子的顶端重合，并测得AC ＝2 m ，BC ＝8 m ，则旗杆的高度是( ) A.6.4 m B.7 m C.8 mD.9 m解析 ∵CD ∥BE ，∴△ACD ∽△ABE ，∴CD BE ＝AC AB，∵AC ＝2 m ，BC ＝8 m ， ∴AB ＝10 m ，又∵CD ＝1.6 m ，∴1.6BE ＝210，∴BE ＝8(m).答案 C9.如图所示，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E 交AD 于F ，则图中相似三角形的对数是( ) A.3对 B.4对 C.5对D.6对解析 △ABD ∽△CBE ∽△AFE ∽△CFD ，共有6对. 答案 D10.如图，△ABC 中，AE ∶EB ＝1∶3，BD ∶DC ＝2∶1，AD 与CE 相交于F ，则EF FC ＋AFFD的值为( ) A.12 B.1 C.32D.2解析如图，过D 作DG ∥CE 交AB 于G ，则BG GE ＝BD DC ＝21.又AE EB ＝13，∴AE ＝EG ， ∴AF FD ＝AE EG ＝1.又DG CE ＝BD BC ＝23，EF ＝12DG ， ∴EF CE ＝13，∴EF FC ＝12，∴EF FC ＋AF FD ＝32. 答案 C 二、填空题11.如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________. 解析如图，连接DE ，DB .∵点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点， ∴EF ＝12BD ，AE ＝EB ＝a 2.又∵CD ＝a2＝BE ，CB ⊥AB ，DC ∥AB ，∴DE 垂直平分线段AB . ∴BD ＝AD ＝a ，∴EF ＝a2.答案 a212.如图，在△ABC 中，E 是AB 的中点，EF ∥BD ，EG ∥AC 交BD 于G ，CD ＝12AD ，若EG ＝2 cm ，则AC ＝________；若BD ＝10 cm ，则EF ＝________.解析由E 是AB 的中点，EF ∥BD ，得EG ＝12AD ＝FD ＝2 cm ，结合CD ＝12AD ，可以得到F 、D 是AC 的三等分点，则AC ＝3EG ＝6(cm).由EF ∥BD ，得EF ＝12BD ＝5(cm).答案 6 cm 5 cm13.已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝6，DB ＝5，则AD 的长为________. 解析在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴AC 2＝AD ·AB .设AD ＝x ，则AB ＝5＋x ，又AC ＝6，∴62＝x (x ＋5)，解得x ＝4或x ＝－9(舍). ∴AD ＝4. 答案 414.在△ABC 中，直线DE 与直线AB ，AC 分别交于点D ，E ，且DE ∥BC .若AD ＝1，DB ＝2，则DE ＋BCDE＝________. 解析 (1)若点D ，E 分别在边AB ，AC 上，则由DE ∥BC 知AD AB ＝DE BC ＝13，故DE ＋BCDE＝1＋3＝4.(2)若点D ，E 分别在BA ，CA 的延长线上，则由DE ∥BC 知AD AB ＝DEBC ＝1，故DE ＋BCDE＝2. 综上，DE ＋BCDE＝4或2. 答案 4或2 三、解答题15.如图，已知AB AD ＝BC DE ＝ACAE.求证：△ABD ∽△ACE .证明因为AB AD ＝BC DE ＝ACAE，所以△ABC ∽△ADE ，所以∠BAC ＝∠DAE ，∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ，即∠DAB ＝∠EAC . 又AB AD ＝AC AE ，即AB AC ＝AD AE，所以△ABD ∽△ACE .16.如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AB ，AC 上的点，AD ，EF 交于P ，若BD ＝DC ，AE ＝AF .求证：AB AC ＝PF PE.证明如图，过F 作MN ∥AD 交BA 的延长线，DC 于M ，N .对△MEF 有PF PE ＝AMAE，因为AE ＝AF ，所以PF PE ＝AM AF. 对△MBN 有AB AM ＝BD DN，因为BD ＝DC ，所以AB AM ＝DC DN. 对△ADC 有AC AF ＝DC DN ，所以AB AM ＝AC AF .所以AB AC ＝AM AF ，所以AB AC ＝PF PE. 17.如图所示，AD 、CF 是△ABC 的两条高线，在AB 上取一点P ，使AP ＝AD ，再从P 点引BC 的平行线与AC 交于点Q .求证：PQ ＝CF . 证明 ∵AD 、CF 是△ABC 的两条高线， ∴∠ADB ＝∠BFC ＝90°. 又∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBF . ∴AD CF ＝ABCB. 又∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC . ∴PQ BC ＝AP AB ，∴AP PQ ＝AB BC ，∴AD CF ＝AP PQ. 又∵AP ＝AD ，∴CF ＝PQ .18.如图所示，CD 为Rt △ABC 斜边上的中线，CE ⊥CD ，CE ＝103，连接DE 交BC 于点F ，AC＝4，BC ＝3，求证：(1)△ABC ∽△EDC ； (2)DF ＝EF .证明 (1)在Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，则AB ＝5.∵D 为斜边AB 的中点， ∴AD ＝BD ＝CD ＝12AB ＝2.5，∴CD CE ＝2.5103＝34＝BC AC，∵△ABC与△EDC都是直角三角形，∴△ABC∽△EDC.(2)由(1)知∠B＝∠CDF.∵BD＝CD，∴∠B＝∠DCF，∴∠CDF＝∠DCF，∴DF＝CF.①由(1)知∠A＝∠CEF，∠ACD＋∠DCF＝90°，∠ECF＋∠DCF＝90°，∴∠ACD＝∠ECF，由AD＝CD得∠A＝∠ACD，∴∠ECF＝∠CEF，∴CF＝EF.②由①②可知DF＝EF.。

选修4-1相似三角形的判定及有关性质

(2)当∠CPQ＝90° 时，△CPQ∽△BCA， ∵∠PCQ＝∠B，∴∠CPQ＝∠BCA＝90° . CQ CP 由△CPQ∽△BCA知， AB ＝BC. a2＋b2 CP 即CQ＝BC· AB＝ 2a . 综上讨论可知，当以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相
2 2 a a ＋b 似时，Q点有两个，相应的CQ的长为2或 2a .
【解】因为MN∥BC，所以△AMN∽△ABC， S△AMN AM2 S△AMN 2 所以＝ AB ，即 5 ＝x ，S△AMN＝5x2， S△ABC S△MBN BM AB－AM AB 1 因为＝AM＝ AM ＝AM－1＝x－1， S△AMN
1 1 所以S△MBN＝x－1S△AMN＝x－15x2＝－5x2＋5x.
3．分类讨论思想分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想．在近几年的高考试题中，把它列为重点之一来考查．本例主要是就图形的位置关系问题来进行分类讨论．
【例5】
如下图，在△ABC中，∠ACB＝90° ，AC＝b，BC
＝a，且a>b，P，Q分别是边AB，BC上的动点，且点P不与点A， B重合，点Q不与B，C重合，当点P是AB的中点时，若以点C， P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，这时的Q点能有几个？分别求出相应的CQ的长．
【例6】在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝18，D为AC 2 上一点，DC＝ AC，在AB上取一点E，得到△ADE，若图中的两 3 个三角形相似，则DE的长为________．
【解析】依题意，本题有两种情况： (1)如图
当DE∥BC时，△ADE∽△ACB. DE AD 此时＝ . BC AC 又BC＝18，AC＝12. 1 1 ∴AD＝3AC＝3×12＝4. AD 4 ∴DE＝AC · BC＝12×18＝6.

人教版高中数学选修41教材用书第一讲相似三角形的判定及有关性质三相似三角形的判定及性质1.相似三角形

三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定1．相似三角形(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比或(相似系数)．(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．相似三角形的判定定理(1)判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，简述为：两角对应相等，两三角形相似．(2)判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．(3)判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，简述为：三边对应成比例，两三角形相似．在这些判定方法中，应用最多的是判定定理1，即两角对应相等，两三角形相似．因为它的条件最容易寻求．在实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角．判定定理2则常见于连续两次证明相似时，在证明时第二次使用此定理的情况较多．3．直角三角形相似的判定定理(1)定理：①如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．(2)定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．对于直角三角形相似的判定，除了以上方法外，还有其他特殊的方法，如直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的利用．相似三角形的判定如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是角平分线，证明：△ABC∽△BCD.已知AB＝AC，∠A＝36°，所以∠ABC＝∠C＝72°，而BD是角平分线，因此，可以考虑使用判定定理1.∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°.又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝36°.∴∠A＝∠CBD.又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BCD.判定两三角形相似，可按下面顺序进行：(1)有平行截线，用预备定理；(2)有一对等角时，①找另一对等角，②找夹这个角的两边对应成比例；(3)有两对应边成比例时，①找夹角相等，②找第三边对应成比例，③找一对直角．1.如图，D，E分别是AB，AC上的两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是( )A．∠B＝∠C B．∠ADC＝∠AEBC．BE＝CD，AB＝AC D．AD∶AC＝AE∶AB解析：选C 在选项A、B的条件下，两三角形有两组对应角相等，所以两三角形相似，在D项的条件下，两三角形有两边对应成比例且夹角相等．故选项A、B、D都能推出两三角形相似．在C项的条件下推不出两三角形相似．2．如图，在四边形ABCD中，AEEB＝AFFD，BGGC＝DHHC，EH，FG相交于点O.求证：△OEF∽△OHG.证明：如图，连接BD.∵AEEB＝AFFD，∴EF∥BD.又∵BG GC ＝DH HC， ∴GH ∥BD . ∴EF ∥GH .∴∠EFO ＝∠HGO ，∠OHG ＝∠OEF . ∴△OEF ∽△OHG .3.如图，正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且CF ∶BC ＝1∶4，求证：AE EF ＝ADEC.证明：设正方形ABCD 的边长为4a ，则AD ＝BC ＝4a ，DE ＝EC ＝2a . 因为CF ∶BC ＝1∶4，所以CF ＝a ，所以AD EC ＝4a 2a ＝2，DE CF ＝2aa ＝2，所以AD EC ＝DE CF. 又因为∠D ＝∠C ＝90°，所以△ADE ∽△ECF . 所以AE EF ＝AD EC. 相似三角形的应用如图，D 为△ABC 的边AB 上一点，过D 点作DE ∥BC ，DF ∥AC ，AF 交DE 于G ，BE 交DF 于H ，连接GH .求证：GH ∥AB .根据此图形的特点可先证比例式GE DE ＝EHEB成立，再证△EGH ∽△EDB ，由相似三角形的定义得∠EHG ＝∠EBD 即可．∵DE ∥BC ， ∴GE FC ＝AG AF ＝DG FB ，即GE DG ＝CFFB.又∵DF ∥AC ，∴EH HB ＝CFFB. ∴GE DG ＝EH HB .∴GE ED ＝EHEB.又∠GEH ＝∠DEB ，∴△EGH ∽△EDB . ∴∠EHG ＝∠EBD .∴GH∥AB.不仅可以由平行线得到比例式，也可以根据比例式的成立确定两直线的平行关系．有时用它来证明角与角之间的数量关系、线段之间的数量关系．4.如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD于点E.(1)求证：△CDE∽△FAE；(2)当E是AD的中点，且BC＝2CD时，求证：∠F＝∠BCF.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.又∵点F在BA的延长线上，∴∠DCF＝∠F，∠D＝∠FAE.∴△CDE∽△FAE.(2)∵E是AD的中点，∴AE＝DE.由△CDE∽△FAE，得CDFA ＝DE AE.∴CD＝FA.∴AB＝CD＝AF.∴BF＝2CD.又∵BC＝2CD，∴BC＝BF.∴∠F＝∠BCF.5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，点E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：ABAC ＝DF AF.证明：∵E是Rt△ADC斜边AC上的中点，∴AE＝EC＝ED. ∴∠EDC＝∠C＝∠BDF.又∵AD⊥BC且∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠C.∴∠BAD＝∠BDF.又∠F＝∠F，∴△DBF∽△ADF，∴DBAD＝DFAF.又在Rt △ABD 与Rt △CBA 中，AB AC ＝DB AD， ∴AB AC ＝DFAF.课时跟踪检测(三)一、选择题1．如图所示，点E 是▱ABCD 的边BC 延长线上的一点，AE 与CD 相交于点F ，则图中相似三角形共有( )A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对解析：选B 有3对，因为∠ABC ＝∠ADF ，∠AEB ＝∠EAD ，所以△ABE ∽△FDA ，因为∠ABC ＝∠DCE ，∠E 为公共角，所以△BAE ∽△CFE .因为∠AFD ＝∠EFC ，∠DAF ＝∠AEC ，所以△ADF ∽△ECF .2．三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，则这个三角形是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D 等腰三角形底边上的高或直角三角形斜边上的高分得的两个三角形分别相似．3．如图，要使△ACD ∽△BCA ，下列各式中必须成立的是( ) A.AC AB ＝ADBC B.AD CD ＝AC BCC ．AC 2＝CD ·CB D ．CD 2＝AC ·AB解析：选C ∠C ＝∠C ，只有AC CD ＝CB AC，即AC 2＝CD ·CB 时，才能使△ACD ∽△BCA .4．如图，在等边三角形ABC 中，E 为AB 的中点，点D 在AC 上，使得AD AC ＝13，则有( )A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD解析：选B 因为∠A＝∠C，BCAE ＝CDAD＝2，所以△AED∽△CBD.二、填空题5．如图所示，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAC＝∠ADC，AC ＝8，BC＝16，那么CD＝________.解析：∵∠BAC＝∠ADC，又∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC.∴ACCD＝BCAC.又∵AC＝8，BC＝16.∴CD＝4.答案：46．如图所示，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BC＝3，AC＝4，则AD＝________，BD＝________.解析：由题设可求得AB＝5，∵Rt△ABC∽Rt△ACD，∴ABAC＝ACAD.∴AD＝AC2AB＝165.又∵Rt△ABC∽Rt△CBD，∴ABCB＝BCBD.∴BD＝BC2AB＝95.答案：165957．已知在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF与AD交于点E，与BC 的延长线交于点F，若CF＝4，BC＝5，则DF＝________.解析：连接AF . ∵EF ⊥AD ，AE ＝ED ， ∴AF ＝DF ， ∠FAD ＝∠FDA .又∵∠FAD ＝∠DAC ＋∠CAF ， ∠FDA ＝∠BAD ＋∠B ，且∠DAC ＝∠BAD ，∴∠CAF ＝∠B .而∠CFA ＝∠AFB ， ∴△AFC ∽△BFA . ∴AF CF ＝BFAF.∴AF 2＝CF ·BF ＝4×(4＋5)＝36. ∴AF ＝6，即DF ＝6. 答案：6 三、解答题8.如图，D 在AB 上，且DE ∥BC 交AC 于点E ，F 在AD 上，且AD 2＝AF ·AB . 求证：△AEF ∽△ACD . 证明：∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AEAC. ∵AD 2＝AF ·AB ，∴AD AB ＝AF AD. ∴AE AC ＝AFAD.又∠A ＝∠A ，∴△AEF ∽△ACD .9.如图，直线EF 交AB ，AC 于点F ，E ，交BC 的延长线于点D ，AC ⊥BC ，且AB ·CD ＝DE ·AC .求证：AE ·CE ＝DE ·EF . 证明：∵AB ·CD ＝DE ·AC ∴AB DE ＝ACCD.∵AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝∠DCE ＝90°. ∴△ACB ∽△DCE .∴∠A＝∠D.又∵∠AEF＝∠DEC，∴△AEF∽△DEC.∴AEDE＝EFCE.∴AE·CE＝DE·EF.10.如图，在△ABC中，EF∥CD，∠AFE＝∠B，AE＝6，ED＝3，AF＝8.(1)求AC的长；(2)求CD2BC2的值．解：(1)∵EF∥CD，∴AEAD＝AFAC.∵AE＝6，ED＝3，AF＝8，∴66＋3＝8AC.∴AC＝12.(2)∵EF∥DC，∴∠AFE＝∠ACD，又∠AFE＝∠B，∴∠ACD＝∠B. 又∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC.∴CDBC＝ADAC＝6＋312＝34.∴CD2BC2＝916.。

人教版高中数学选修4-1 4-1几何证明 第一章 相似三角形的判定及有关性质 第一节平行线等分线段定理