第三章 数学基础

– 具有直观的几何意义 – 能表达动力学、计算机视觉和 比例变换问题 – 为以后的比例变换、透视变换 等打下基础
µ x θ x µ θ y T= y µz θ z 0 0
wx wy wz 0
px py pz 1
第二章 数学基础—齐次坐标和齐次变换
2.1 点和面的齐次坐标
n 2个常用的公式：
点乘:
a ⋅ b = axbx + a y by + az bz
i j ay by v v v az = (a y bz − az by )i + (az bx − axbz ) j + (axby − a y bx )k bz k
叉乘: a × b = ax bx
2.1.2 平面的齐次坐标
R ∗为R的伴随矩阵， det R为R的行列式，由于R是正交矩阵， 因此R −1 = R T
2.2.2 旋转齐次变换
用齐次坐标变换来表示式（2-7）
Px P R y = Pz 1 0 0 0 0 P u P 0 v 0 Pw 1 1
cosθ R（z,θ ) = sin θ 0
z w
W'
- sinθ cosθ 0
v' o
O'
θ
v
y
u
U'
n 合成旋转矩阵:
例1：在动坐标中有一固定点 Po 'uvw = [1 2 3 1]T，相对固定参 考坐标系 ∑ Oxyz 做如下运动：① R（x, 90°）；② R(z, 90°)；③ R(y,90°)。求运动后点 Po 'uvw 在固定参考坐标系 ∑ Oxyz 下的位置。 解1：用画图的简单方法
v v v v V = 3i + 4 j + 5k
可以表示为： V=[3 4 5 1]T 或 V=[6 8 10 2]T 或 V=[-12 -16 -20 -4]T
n 齐次坐标与三维直角坐标的区别
• V点在ΣOXYZ坐标系中表 示是唯一的（a、b、c） • 而在齐次坐标中表示可 以是多值的。不同的表 示方法代表的V点在空间 位置上不变。
• 平面齐次坐标由行矩阵P=[a b c d ]来表示 • 当点v=[x y z w]T处于平面P内时，矩阵乘积PV=0，或记为
x PV = [a b c d ] y = ax + by + cz + dw = 0 z w
如果定义一个常数m=
x a y b z c + + wm wm wm
方向余弦阵
α
o
U'
v
y
u x
图2-5
z
三个基本旋转矩阵:
W'
w
0 1 R(x, α ) = 0 cos α 0 sin α
− sin α cosα 0
0 1 sinφ 0 0 cos φ
0 0 1
x x
Φ
o u
U'
O'
v
y
同理：
cosφ R（y,φ ) = 0 − sin φ
研究运动学的方法
n 哈佛大学Roger Brockett建立的指数积公式
– – – – 运动学 滚动接触 非完整控制 数学基础-刚体运动
参考文献：机器人操作的数学导论 作者：理查德·摩雷 李泽湘 夏卡恩·萨斯特里 翻译：徐卫良 钱瑞明（东南大学）
n 丹纳维特（Denavit）和哈顿伯格（Hartenberg） 于 1955年提出了一种采用矩阵代数方法解决机器人的 运动学问题—D-H方法，其数学基础即是齐次变换
z
i x iµ R(x,α ) = j y iµ k i z µ
i x jv j y jv k z jv
ix k w jy k w k z kw
W'
w
α
V' O'
0 1 ix = iu 0 cos α 0 sin α
0 − sin α cosα
Puvw = Pu iu + Pv jv + Pw k w
iu 、j v 、 k w 为坐标系ΣO´uvw的单位矢
w o u x
P
v(O') Nhomakorabea量，则P点在Σoxyz中可表示为：
y
Pxyz = Px ix + Py j y + Pz k z Puvw = Pxyz
② 当动坐标系ΣO´uvw绕O点回转时，求P点在固定坐标系 Σoxyz中的位置 z
y z x , b= , c= ，w为比例系数 w w w
x 显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随 T y V = = [x y z w] w值的不同而不同。在计算机图学中，w z 作为通用比例因子，它可取任意正值，但 w 在机器人的运动分析中，总是取w=1 。
[例1]：
例如：点 V=[10 20 1 1]T 必定处于此平面内，而点 V=[0 0 2 1]T 处于平 P 的上方，点V=[0 0 0 1]T处于P平面下方，因为：
10 20 [0 0 − 10 10] = 0 1 1
0 0 [0 0 1 − 1] = 1 > 0 2 1
《机器人技术》课程第二部分
机器人运动学及其 数学基础
参考教材
• [美]付京逊《机器人学》 • [中南大学]蔡自兴《机器人学》 • [美]理查德·鲍尔《机器人操作手·数学·编程 与控制》
参考教材
• [美]付京逊《机器人学》
n 美籍华人（台湾） n 珀杜大学（Purdue University）电机工程专业 著名教授 n 4部著作、400多篇论文 n 第一任国际模式识别学会会长 n 被誉为自动模式识别之父 n 1985年去世
a 2 + b2 + c2
，则有：
xv y v z v av b v c v d ( i + j + k ) ⋅ ( i + j + k ) − = m = w w w m m m
av b v c v 可以把矢量 ( m i + m j + m k ) 解释为某个平面的外法线，此
− 平面沿着法线方向与坐标原点的距离为。 d m
解2：用分步计算的方法 ① R（x, 90°）
1 0 ' P = 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 1 1 2 − 3 0 = 0 3 2 1 1 1
（2-14）
② R（z, 90°）
w
已知： Puvw = Pu iu + Pv jv + Pw k w P点在ΣO´uvw中是不变的仍然 成立，由于ΣO´uvw回转，则：
Pw
P o Pv
(O')
v y
Px = Puvw ix = (Pu iu + Pv jv + Pw kw )ix
Py = Puvw j y = ( Pu iu + Pv jv + Pw k w ) j y
与点矢 [0
0 0 0]
T
相仿，平面 [0 0 0 0] 也没有意义
n 点和平面间的位置关系
设一个平行于x、y轴，且在z轴上的坐标为单位距离的平面 1] P = [0 0 2 − 2] P可以表示为： P = [0 0 1 −或
> 0 有： PV= = 0 < 0 v点在平面上方 v点在平面上 v点在平面下方
x z o x
z
V
z y
n 几个特定意义的齐次坐标：
• [0 0 0 n]T—坐标原点矢量的齐次坐标，n为任意非 零比例系数 • [1 0 0 0]T — 指向无穷远处的OX轴 • [0 1 0 0]T — 指向无穷远处的OY轴 • [0 0 1 0]T — 指向无穷远处的OZ轴 • [0 0 0 0]T — 没有意义
o
θi
n
a
第一章 机器人位置和姿态的描述
示例
运动学研究的问题
Where is my hand?
运动学正问题
Direct Kinematics HERE!
How do I put my hand here?
运动学逆问题
Inverse Kinematics: Choose these angles!
u
i x iµ 定义 旋转矩阵为：R = j y iµ k i z µ 反过来：
i x jv j y jv k z jv
−1
ix k w jy k w 则 : p xyz = R Puvw k z kw
Puvw = R −1 Pxyz
R* R = det R
x
Pu
Pz = Puvw k z = ( Pu iu + Pv jv + Pw k w )k z
用矩阵表示为:
Px ix iµ P = j i y y µ k i P z z µ
i x jv j y jv k z jv
图2-4 ix k w Pµ jy k w Pv （2-7） Pw k z kw
机器人→工作→动作
• 串联机器人可以用一个开环关节链来建模 • 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成 • 一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具（末端 执行器），用以操纵物体，或完成各种任务 • 关节的相对运动导致杆件的运 动，使末端执行器定位于所需要 的方位上 • 在一般机器人应用问题中，人们 感兴趣的是：末端执行器相对于 固定参考坐标数的空间几何描 述，也就是机器人的运动学问题 • 机器人的运动学即是研究机器人 手臂末端执行器位置和姿态与关 节变量空间之间的关系