2014年四川大学931高等代数考研真题考研试题硕士研究生入学考试试题

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四川大学931高等代数2009年(回忆版)考研专业课真题试卷

X ′M
+ MX
= 0},∀X
∈ M 2r+1(F ), eX
=
∞ k =0
Xk k!
,
(1)求B的维数和一组基
（2）证明det(eX ) = 1
i
(3)设(,
)是F上的一个双线性型，ε = i
(0,...,1,...0),
i
=
1,
2,
..,
2r
+ 1.
M 是这个双线性型在上述基下的一个度量矩阵，证明对任意的α，β
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四川大学研究生入学考试试题
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证明Ax=β 在F中有解当且仅当它在K中有解
2 2 −2
3.
A
=

2 −2
−1 4
−41 大概数字是这样吧，具体忘了
（1）A在F上是否相似与对角矩阵，说明理由（2）求A的最小多项式（3)f (X)=X′AX,求f (X)的一个标准形
4.好像是前几年的一个类似题吧，说明 A 与 B 在任何数域上都不相似，另一问忘记了，这些忘记的题一般都不难，掌握方法都很简单的。呵呵
有(eXα, eXβ ) = (α , β )
五、证明数域 F 上的任意一个 n 元多项式都可以表示成一次齐次多项式幂的线性组合。
f (x)使得f (A) = 0
4.设 f (x) = 3x2 + 2x +1,α1，α2，α3是f (x)的三个根，求值

2014年四川大学考研真题_ 西哲史+马哲初试题

2014年四川大学考研真题_ 西哲史+马哲初试题
一、名词解释（4*5’）
1、同类相知（恩培多克勒）
2、实践知识（亚里士多德）
3、先天综合判断（康德）
4、第二性的质（洛克）
二、写出下列句子的作者及意义（5*8’）
1、哲学是神学的婢女
2、凡是现实的都是合理的，凡是合理的都是现实的
3、存在即感知与被感知
4、习惯是人生伟大的指南
5、作为思想和作为存在是一回事情
三、简答（4*10’）
1、笛卡尔的方法论原则
2、四因说
3、奥古斯丁对世界恶的解释
4、柏拉图在《巴门尼德篇》对理念论的反思
四、问答（1*20’）
康德如何证明形而上学的可能的？
五、论述题（1*30’）
结合你对于西方哲学的知识，谈谈认识世界的可能性
哲学通论
（考的都是以往出过的题，故在此仅列出题号，网上有04-12年的真题可供下载）
一、11年第三题
二、10年第三题
三、08年第一题
四、07年第四题
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(完整)10年川大高等代数及答案

四川大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试题一、A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵.解答下列各题，每小题满分10分. 1.证明：矩阵A E n +-1可逆，这里n E 是n 阶单位阵. 证明：A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵，则A 可对角化即存在可逆矩阵P ，使得Λ=-AP P 1，A 的特征值为n λλλ,,,21Λ（R k ∈λ）)())((1)1(12111i i i P E P P E P A E n n n n ±±±=Λ+-=Λ+-=+---λλλΛ由0)(≠±i k λ，则01≠+-A E n ，故A E n +-1可逆.2.设函数f ：R R R nn →⨯为：AY X Y X f '),(=，n R Y X ∈,.证明：f 不是零函数当且仅当存在nR X ∈0使得0),(00≠X X f证明：充分性：由存在nR X ∈0使得0),(00≠X X f ，则f 不是零函数必要性：由A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵，则A 可正交对角化令r A r =)(，A 的非零特征值为i λ（r i ,,2,1Λ=）即存在正交矩阵),,,(21n Q αααΛ=，使得)0,,0,,,,('21321ΛΛ个r n r diag AQ Q -=Λ=λλλ 取i X α=0，有0'),(00≠==i i i A X X f λαα3.设A xE x f n -=)(是A 的特征多项式，设)('x f 为)(x f 的导数且)()('x f x f .证明：A 是数量矩阵.证明：A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵，则A 可对角化即存在可逆矩阵P ，使得Λ=-AP P 1，A 的特征值为n λλλ,,,21Λ（R k ∈λ）)())(()()(2111n n n n x x x P xE P P xE P A xE x f λλλ---=Λ-=Λ-=-=--Λ ①)()('x f x f 的充分必要条件为n b x a x f )()(-= （0>n ） ②由①、②，得b n ====λλλΛ21，则n bE AP P =-1，有n bE A =，即A 是数量矩阵. n证明：充分性：由n b x a x f )()(-=，有1)()('--=n b x na x f有)(1)()()(')(1b x nb x na b x a x f x f n n -=--=-，则)()('x f x f 必要性：待定系数法，设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--Λ 有1211)1()('a x a n x na x f n n n n ++-+=---Λ由)()('x f x f 及1))('())((+∂=∂x f x f ，有))((')(d cx x f x f +=比较)(x f 、)('x f 系数，有n c 1=，有))(('1)(b x x f nx f -= （其中nd b -=）有)('1))('),((x f na x f x f n =，则)()('1))(('1))('),(()(b x a x f na b x x f n x f x f x f n n-=-= 由))('),(()(x f x f x f 包含了)(x f 的全部不可约因式，则)(x f 的不可约因式只能是b x -和它的非零常数倍，故)(x f 的形式为nb x a x f )()(-=.4.设A 的秩为r A r =)(，设}0'{=∈=AX X R X V n，证明：V 包含n R 的一个维数为r n -的子空间. V 是n R 的子空间吗？说明你的理由.证明：令}{θ=∈=AX R X W n ，有nR W ⊂由方程θ=AX 的解一定是0'=AX X 的解，有V W ⊂且nR W ⊂ ①θ=AX 的基础解系由r n A r n -=-)(个线性无关的向量构成，则r n W -=dim ②由①、②，得V 包含n R 的一个维数为r n -的子空间由}0'{=∈=AX X R X V n ，得nR V ⊂，则V 是n R 的子空间5.进一步假设A 正定，而B 是一个负定的n 阶矩阵.证明：如果CB AC =，那么必然有O C =.证明：把C 看作由列向量构成，即),,,(21n C αααΛ=),,,(),,,(2121n n A A A A AC ααααααΛΛ==)',,','(]')',,,('[)'''(')'(2121n n B B B B C B CB CB ααααααΛΛ==== 由CB AC =，得i i B A αα'= （n i ,,2,1Λ=）即θα=-i B A )'(由B 负定，得'B 负定，又A 正定，得0'≠-B A那么关于i α的方程θα=-i B A )'(只有零解，则θα=i ，即O C =二、设A 为数域F 上的n 阶方阵，它的秩为r .解答下列各题，每小题满分10分.1.设r E 是r 阶单位阵.写出“存在可逆矩阵P 使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O OO E PA r”的一个充分必要条件，并证明你的结论.证明：存在可逆矩阵P 使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O OO E PA r”的一个充分必要条件为r A r =)( 必要性：由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O OO E PA r，则r PA r =)(，又P 可逆，则r A r PA r ==)()( 充分性：由r A r =)(，则A 可通过有限次初等变换为⎥⎦⎤⎢⎣⎡O O O E r 则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O O O E A P P P r m Λ21，其中m P P P ,,,21Λ为初等矩阵取m P P P P Λ21=，由m P P P ,,,21Λ可逆，则P 可逆故存在可逆矩阵P 使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O O O E PA r 2.设n ααα,,,21Λ是n F 的一个基.令A n n ),,,(),,,(2121αααβββΛΛ=.求向量组n βββ,,,21Λ的秩，并给出它的一个极大无关组.解：令n ααα,,,21Λ、n βββ,,,21Λ构成的矩阵分别为1A 、1B 由n ααα,,,21Λ是n F 的一个基，则n A r =)(1，则1A 可逆由r A r B r A A r ===)()()(11，则n βββ,,,21Λ的秩为r在n βββ,,,21Λ中取r 个线性无关的向量ir i i βββ,,,21Λ就构成了n βββ,,,21Λ的一个极大无关组3.设)(A P 是满足O A f =)(的F 上的所有多项式)(x f 组成的集合.证明：)(A P 是F 上的无穷维线性空间；并且，如果)()(A P x g ∈的次数大于n ，那么)(x g 是在F 上是可约的. 证明：令A 的特征多项式为)(x h ，有O A h =)(根据题意)(A P 中的任意多项式含有因式)(x h取k x x x ,,,,12Λ（n k ≥），由kx x x ,,,,12Λ线性无关，又k 为大于n 的任意整数故)(A P 是F 上的无穷维线性空间取)()(A P x g ∈且n x g >∂))((，总有)()()(x h x q x g =（1))((≥∂x q ）故)(x g 是在F 上是可约的4.设n λλλ,,,21Λ是A 的全部复特征值.证明：对任意非负整数k ，数∑==ni ki k S 1λ属于F .证明：A 的特征多项式为02211)(a x a x a x x f n n n n n ++++=----Λ 由A 是F 上的矩阵，有)(x f 为F 上的多项式，则F a k ∈（1,,1,0-=n k Λ）由根与系数的关系有∑=-=-n i i n a 11)1(λ、∑∑==-=-ni ji nj n a 1122)1(λλ（j i ≠）、……、∏==-ni i na 10)1(λk S 为对阵多项式，则k S 可由110,,,-n a a a Λ表示，则F S k ∈三、设β=AX 是数域F 上的一个n 元线性方程组，其系数矩阵A 的秩r A r =)(.设S 为它的解集.1.（5分）给出“S 是n F 的子空间”的充分必要条件，并证明你的结论.2.（10分）假设S 不是空集且不是n F 的子空间。

2014年四川大学考研计算机专业(基础综合)真题试卷答案

一、单项选择题1-40小题，每小题2分，共80分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的。

1 【正确答案】 C2 【正确答案】 B3 【正确答案】 A4 【正确答案】 D5 【正确答案】 C6 【正确答案】 D7 【正确答案】 D8 【正确答案】 D9 【正确答案】 D10 【正确答案】 B11 【正确答案】 C12 【正确答案】 D13 【正确答案】 C14 【正确答案】 A15 【正确答案】 A16 【正确答案】 D17 【正确答案】 A18 【正确答案】 C19 【正确答案】 C20 【正确答案】 C21 【正确答案】 D22 【正确答案】 B23 【正确答案】 A24 【正确答案】 B25 【正确答案】 D26 【正确答案】 A27 【正确答案】 A28 【正确答案】 C29 【正确答案】 B30 【正确答案】 A31 【正确答案】 C32 【正确答案】 D33 【正确答案】 C34 【正确答案】 B35 【正确答案】 D36 【正确答案】 C37 【正确答案】 B38 【正确答案】 A39 【正确答案】 B40 【正确答案】 D二、综合应用题41-47小题，共70分。

41 【正确答案】算法的基本设计思想：①基于先序递归遍历的算法思想是用一个static变量记录wpl，把每个结点的深度作为递归函数的一个参数传递，算法步骤如下：若该结点是叶子结点，那么变量wpl加上该结点的深度与权值之积；若该结点非叶子结点，那么若左子树不为空，对左子树调用递归算法，若右子树不为空，对右子树调用递归算法，深度参数均为本结点的深度参数加1；最后返回计算出的wpl即可。

②基于层次遍历的算法思想是使用队列进行层次遍历，并记录当前的层数，当遍历到叶子结点时，累计wpl；当遍历到非叶子结点时对该结点的把该结点的子树加入队列；当某结点为该层的最后一个结点时，层数自增1；队列空时遍历结束，返回wpl。

42 【正确答案】二叉树结点的数据类型定义如下：typedef struct BiTNode{int weight；struct BiTNode *lchild，*rchild；}BiTNode，*BiTree。

全国名校高等代数考研真题汇编(含部分答案)

考生注意： 1.本试卷满分为 150 分，共计10道题，每题满分15 分，考试时间总计180 分钟；
2.答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。
一、设是阶单位矩阵，，证明的行列式等于 .
，矩阵满足
二、设是阶幕零矩阵满足
，
.证明所有的都相似于一个对角矩阵，
的特征值之和等于矩阵的秩.
3.南开大学高等代数考研真题 2012年南开大学804高等代数考研真题 2011年南开大学802高等代数考研真题
4.厦门大学 825高等代数考研真题 2014年厦门大学825高等代数考研真题 2013年厦门大学825高等代数考研真题 2012年厦门大学825高等代数考研真题 2011年厦门大学825高等代数考研真题
有
证明：
(1)
.
(2) 是的不变子空间，则也是的不变子空间.
10.四川大学高等代数考研真题及详解
2013年四川大学931高等代数考研真题及详解
2011年四川大学高等代数考研真题
11.浙江大学高等代数考研真题
2012年浙江大学601高等代数考研真题
浙江大学2012年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：高等代数（601）
5.中山大学 877高等代数考研真题
2015年中山大学877高等代数考研真题 2014年中山大学874高等代数考研真题 2013年中山大学869高等代数考研真题 2012年中山大学869高等代数考研真题 2011年中山大学875高等代数考研真题 6.中南大学高等代数考研真题 2011年中南大学883高等代数考研真题 7.湖南大学高等代数考研真题 2013年湖南大学813高等代数考研真题 8.华东师范大学 817高等代数考研真题 2013年华东师范大学817高等代数考研真题 2012年华东师范大学817高等代数考研真题 2011年华东师范大学817高等代数考研真题 9.华中科技大学高等代数考研真题及详解 2013年华中科技大学高等代数考研真题 2012年华中科技大学高等代数考研真题及详解 2011年华中科技大学高等代数考研真题 10.四川大学高等代数考研真题及详解 2013年四川大学931高等代数考研真题及详解 2011年四川大学高等代数考研真题 11.浙江大学高等代数考研真题 2012年浙江大学601高等代数考研真题

四川大学硕士研究生入学考试主要参考书目

四川大学硕士研究生入学考试主要参考书目221英语: 《全新版大学英语综合教程》(第1-4册),上海外语教育出版社，2002年222俄语: 《大学俄语(东方)》(第1-3册)，北京外国语大学、普希金俄语学院合编，1998年。

223日语: 《标准日本语》(初级)，人民教育出版社，1988年224德语: 《德语速成》(第二版,上、下册)，外语教学与研究出版社,1996年；225法语: 《法语》(第1-2册)，马晓宏，外语教学与研究出版社，1992年；401经济学原理:1.《政治经济学》(上册)朱方明主编，四川大学出版社；2.《当代西方经济学》李扬主编，四川大学出版社；3.《国际经济学》李天德主编，四川大学出版社。

402经济学基础及应用:《财政学》冯宗容主编，四川大学出版社2002年；《西方经济学》李扬主编，四川大学出版社；《货币银行学》张红伟主编，四川大学出版社。

403经济学原理:《政治经济学》朱方明主编，四川大学出版社；《当代西方经济学》李扬主编，四川大学出版社；《中国城市地价论》杨继瑞主编，四川大学出版社；《城市地产经济学》冯宗容主编，四川大学出版社。

405法学综合B: 包括刑法、民商法、诉讼法(刑诉民诉)411人口理论基础:《人口社会学》胡伟略著，中国社会科学出版社2002年版414中国文学(含中国古代、现当代文学):《中国文学》(四卷本)刘黎明等四川人民出版社；《中国文学史》(三卷本)章培恒等复旦大学出版社；《中国现代文学三十年》钱理群人民出版社；《中国当代文学史教程》陈思和复旦大学出版社415现代汉语及古代汉语:《现代汉语》(修订本)胡裕树上海教育出版社；《现代汉语》黄伯荣等高等教育出版社；《新编现代汉语》张斌复旦大学出版社；《古代汉语》(修订重排本)王力中华书局；《实用古汉语知识宝典》(供学习教材参考)杨剑桥复旦大学出版社；复试科目：语言学概论参考书：《语言学纲要》叶蜚声徐通锵北京大学出版社，1997年第三版；《语言学概论》马学良华中工学院出版社，1985；《普通语言学教程》汪大昌北京大学出版社，2004416新闻传播业务:《新闻采访论》邱沛篁四川大学出版社；《现代新闻编辑学》蒋小丽高等教育出版社；《新闻摄影学》吴建四川大学出版社；《广播电视学导论》欧阳宏生四川大学出版社；《应用广告学》吴建四川大学出版社；《编辑学理论与实务》黄小玲四川大学出版社复试新闻传播专题：参考书同新闻传播史论，新闻传播业务。

2007川大高等代数及答案

四川大学2007年攻读硕士学位研究生入学考试题一、(本题满分15分)设1x ，2x ，3x 是多项式1)(3++=ax x x f 的全部复根.1（5分）求行列式213132321x x x x x x x x x 的值. 2.(5分)求)(x f 的判别式232231221)()()()(x x x x x x f D ---=的值.3.（5分）设kk k k x x x S 321++=，求行列式432321210S S S S S S S S S 的值. 1.解:323132123232121313232132132121313232100x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ----++=++++++= 32312123321)(x x x x x x x x x x x ----++=由1x ，2x ，3x 是多项式1)(3++=ax x x f 的全部复根，得0321=++x x x则0213132321=x x x x x x x x x 2.解：)(f D 的首项为2241x x2302322222132101312223132030323313310131121412221003022241321222123033114024σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ=→=→=→=→=→---------------x x x有23321323312221)(σσσσσσσσσD C B A f D ++++=取11=x 、12=x 、03=x ，有21=σ，12=σ，03=σ 有04)(=+=B f D ①取11=x 、12=x 、13=x ，有31=σ，32=σ，13=σ 有09272781)(=++++=D C B A f D ②取11=x 、12=x 、23=x ，有41=σ，52=σ，23=σ 有0440125128400)(=++++=D C B A f D ③ 取11=x 、12=x 、33=x ，有51=σ，72=σ，33=σ有091053433751225)(=++++=D C B A f D ④ 由①、②、③、④，得4-=A 、4-=B 、18=C 、27-=D即23321323312221271844)(σσσσσσσσσ-+--=f D由01=σ、a =2σ、13-=σ，得274)(3--=a f D3.解：法1：232231221233222211232221321432321210)()()(111111x x x x x x x x x x x x x x x x x x S S S S S S S S S ---== 故274)(3432321210--==a f D S S S S S S S S S法2：0不是)(x f 的根，则有0,,321≠x x x有30302010=++=x x x S03211=++=x x x Sa x x x x x x x x x x x x S 2)(2)(32312123212322212-=++-++=++=321232231322221321221332133323136)(3)(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x S -+++++-++=++= 636)(36)]()()([33333231212331223221+=+++=++++++-=S x x x x x x x x x x x x ，得33-=S )(2)(23222321222122322214342414x x x x x x x x x x x x S ++-++=++= )]()()([42221232321222322212x x x x x x x x x a +++++-=]}2)[(]2)[(]2)[({42122123312312232232212x x x x x x x x x x x x x x x a -++-++-+-= )]2()2()2([42123233122223221212x x x x x x x x x x x x a -+-+--=4232132143424124)](2)[(4S a x x x x x x x x x a -=++-++-=，故242a S =有27423232020332432321210--=-----=a a a a aS S S S S S S S S二、（本题满分10分）设F 是数域，][)(x F x p ∈不可约. 1（5分）证明：)(x p 在复数域上没有重根.2（5分）证明：如果)(x p 与某个多项式][)(x F x f ∈有公共复根，那么必有)()(x f x p 1.证明：)(x p 在F 上不可约，则1))('),((=x p x p 由C F ⊆，则在C 上，有1))('),((=x p x p 故)(x p 在复数域上没有重根2.证明：反证法：设)(x p 不能整除)(x f 令)(x p 的首项系数为n a （0≠n a ）有)())(),((x d x f x p =，则)()()(x d x q x p =、)()()(x d x g x f =由)(x p 在F 不可约，有n a x q =)(，则)(1))(),((x p a x f x p n= 有)()(x f x p 与假设矛盾，故假设不成立，则有)()(x f x p三、(本题满分15分)设F 是数域，]}[)(:))({(][x F x a x a x M ij n n ij n ∈=⨯，即：][x M n 中的n 阶方阵的元素是][x F 中的多项式.称][x M A n ∈是可逆的，如果存在][x M B n ∈使得n E BA AB ==，其中，n E 是n 阶单位阵，称B 是A 的逆矩阵.1（5分）证明：关于通常的矩阵的加法和数乘运算，][x M n 是F 上的无穷维线性空间. 2（5分）证明：][x M A n ∈可逆当且仅当行列式)det(A 是F 中的非零数. 3（5分）证明：如果][x M A n ∈可逆，那么它的逆矩阵是唯一的. 1.证明：取][x M n 中k 个矩阵)1,,1,1(1 diag E =、),,,(2x x x diag E =、……、),,,(111---=k k k k x x x diag E有1E 、2E 、……、k E 线性无关，又k 为任意正整数，故][x M n 是F 上的无穷维线性空间. 2.证明：必要性：][x M A n ∈可逆，则存在][x M B n ∈，使得n E AB =，有0≠=n E B A故)det(A 是F 中的非零数. 充分性：由n E A AA =*，又)det(A 是F 中的非零数，则有n E A AA =*)1(则存在][1x M A A n ∈*，使得n E A AA =*)1(，则A 可逆. 3.证明：假设A 有两个逆矩阵B 、C ，即E AC AB == 有C EC ABC ACB EB B =====，即证.四、（本题满分25分）叙述并证明线性方程组有解的判别定理；当线性方程组有解时，给出它的通解并证明之.证明：线性方程组有解的充分必要条件为它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩令A 为n m ⨯矩阵，β为m 维列向量必要性：β=Ax 有解，有β可由A 的列向量组n ααα,,,21 线性表出则向量组n ααα,,,21 ，βααα,,,,21n 等价故系数矩阵A 与增广矩阵A 有相同的秩充分性：令A 的极大无关组为r γγγ,,,21系数矩阵A 与增广矩阵A 有相同的秩，有向量组n ααα,,,21 、βααα,,,,21n 等价，则n ααα,,,21 与β都可由r γγγ,,,21 线性表出故β可由n ααα,,,21 线性表出，即β=Ax 有解五、（本题满分20分）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=142412222A . 1（7分）证明A 可以写成若干初等矩阵的乘积. 2（8分）把1-A 写成A 的多项式.3（5分）在有理数域上A 是否相似于一个对角矩阵？说明理由1证明：054900630222360630222142412222≠-=--=---=----=A ,则A 可逆故A 可以写成若干初等矩阵的乘积2解：0)6()3(1424122222=+-=+---+--=-λλλλλλA E 有054273=+-λλ，则O E A A =+-54273则A A E 27543+-=，E A A 2154121+-=- 3证明：A 的特征值为3、3、6-当3=λ时，000002213-=-A E 基础解系由2)3(=--A E r n 个线性无关的向量构成，)'1,0,2(、)'1,1,0(当6-=λ时，9904520005424522286----=-------=--A E基础解系由1)6(=---A E r n 个向量构成， )'2,2,1(- 由Q ∈-6,3,3、又3)'2,2,1(,)'1,1,0(,)'1,0,2(Q ∈- 故在有理数域上A 可以相似于一个对角矩阵六、（本题满分10分）判断矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100101112 与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110011001是否相似，说明理由.证明：3)1(10011112-=----=-λλλλλA E ，则A 的特征值为1，1，1 当1=λ时，0000111000111111--=---=-A E 特征值1对应2)(=--A E r n 个线性无关的特征向量 ①3)1(1101101-=-----=-λλλλλB E ，则B 的特征值为1，1，1当1=λ时，0100010--=-B E特征值1对应1)(=--A E r n 个特征向量 ②由①、②，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100101112 与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110011001不相似七、（本题满分30分）设F 是数域， ),(F n gl 是F 上的n 阶方阵的全体.对任意),(,F n gl B A ∈，定义：BA AB B A -=],[1（5分）证明：对任意),(,,321F n gl A A A ∈都有：O A A A A A A A A A =++]],,[[]],,[[]],,[[2131323212（10分）设}0)(),({),(=∈=A tr F n gl A F n sl ，其中0)(=A tr 表示方阵n n ij a A ⨯=)(的迹：∑==ni ii a A tr 1)(.证明：),(F n sl 是),(F n gl 的子空间，并写出它的一个基.3（7分）设n D 是),(F n gl 中的数量矩阵组成的子空间.证明n D F n sl F n gl ⊕=),(),( 4（8分）证明)},(,],[{),(F n gl B A B A F n sl i i i i ∈=∑有限和1.证明：)()(]],,[[1221331221321A A A A A A A A A A A A A ---= 123213312321A A A A A A A A A A A A +--= ① 同理：231321123132132]],,[[A A A A A A A A A A A A A A A +--= ② 312132*********]],,[[A A A A A A A A A A A A A A A +--= ③ 把①、②、③代入，得O A A A A A A A A A =++]],,[[]],,[[]],,[[2131323212.证明：取任意),(F n sl A ∈，有),(F n gl A ∈，则),(),(F n gl F n sl ⊂ 取),(F n sl B ∈，有∑∑==+=n j i ij ij n i ii ii E k E k B 1,1（j i ≠）且01=∑=ni ii k∑=nj i ij ijE k1,中有n n -2个线性无关的矩阵构成由01=∑=ni ii k ，得关于K 齐次线性方程O E k E k E k nn nn =+++ 22221111该方程的基础解系由1-n 个线性无关的向量构成故∑=ni ii ii E k 1中有1-n 个线性无关的矩阵构成则B 由1122-=-+-n n n n 个线性无关的矩阵构成，有1),(dim 2-=n F n sl故),(F n sl 是),(F n gl 的子空间，),(F n sl 的一组基为)(,),(),(,),(),(1,2111211nn n n nn nn n nn nn E E E E E E E E E E ------3证明：取n D C ∈，有n E C λ=，n E λ中由一个矩阵构成，得1dim =n D有),(dim ),(dim dim 2F n gl n F n sl D n ==+，故n D F n sl F n gl ⊕=),(),(4证明：由 n D F n sl F n gl ⊕=),(),(得),(F n sl 由),(F n gl 中全部的非数量矩阵和零矩阵构成 ①∑∑-=有限和有限和)(],[ii ii iiA B B A B A由)()(i i i i A B tr B A tr =，得∑有限和],[iiB A 的对角线元素全为零故∑有限和],[iiB A 表示),(F n gl 中全部的非数量矩阵和零矩阵 ②由①、②，得)},(,],[{),(F n gl B A B A F n sl i i i i ∈=∑有限和八、（本题满分10分）设V 是数域F 上的n 维线性空间，A ，B 是V 上的线性变换，其中B 可逆.证明，存在无穷多个F t ∈使得B t A +可逆. 证明：由B 可逆，则B 的对应特征值0≠i b （n i ,,2,1 =）由B t A +对应特征值为i i tb a + 只要取F t ∈且iib a t -≠，就有0≠+i i tb a ，使得B t A +可逆故存在无穷多个F t ∈使得B t A +可逆九、（本题满分15分）证明下述1+n 实矩阵A 是正定矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++=+++++++122322212325242322242322212322221232135432432132n n n n n n n A n n n n n n n解：1223222123252423222423222123222222211321321321322+++++++=++++n n n n n n n A n n n n nnn n n n n n n n n 222112232221232524232224232221232222222)1(+++++++=+121312111315141312141312111312112122+++++++=++n n n n n n n n n11 12131211131514131214131211131211+++++++n n n n n n n为倒数对称行列式根据公式有：)!12()!2()!1()!!3!2(121312111315141312141312111312113+++=+++++++n n n n n n n n n n n有0)!12()!2()!1()!!3!2(23122>+++=++n n n n A n n 故有A 的所有顺序主子式大于零，则A 正定。

(完整)11年川大高等代数及答案

四川大学2011年攻读硕士学位研究生入学考试题一、（本题满分20分）1. (5分)设V 是数域F 上的线性空间，V s ∈ααα,,,21Λ.令}{1F k k W i si i i ∈=∑=α.证明：W是V 的子空间（称为由s ααα,,,21Λ生成的子空间）. 证明：取W ∈βα,且∑==si i i k 1αα，∑==si i i k 1ββ∑∑∑===+=+=+s i i i i si i i si i i k k k 111)(βαβαβα，则W ∈+βα ①∑∑====si i i s i i i k k k k k 11)(ααα，则W k ∈α ②由①、②，得W 是V 的子空间2. （15分）设)(2F M 是数域F 上的2阶方阵组成的线性空间，设V 是由如下的4个矩阵生成的)(2F M 的子空间：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=02411A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=30152A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=41233A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=54924A ，（1）求V dim 并写出V 的一个基.（2）设映射f ：F f →为：)()(A tr A f =，其中)(A tr 表示矩阵A 的迹. 求f ker dim 并写出f ker 的一个基.解：（1）取)(2F M 的一个基11E 、12E 、21E 、22E ，V F M →)(2在这个基下对应的矩阵是B有),,,(),,,(432122211211A A A A B E E E E =，则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=5430410292142351B⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----00003618005430235154300510011021023515430410292142351则3dim =V ，故V 的一个基为1A 、2A 、3A（2）取矩阵C ，使得0)(=C f ，根据题意，有02211=+c c 由332211A x A x A x C ++=，有方程048321=++-x x x此方程的基础解系由2个线性无关的向量构成，即)'1,0,7(、)'8,7,0(- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==413264)'1,0,7)(,,(3211A A A C ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=1182311)'8,7,0)(,,(3212A A A C 则有2ker dim =f ，故f ker 的一个基为1C 、2C 二、（本题满分20分）设F ，K 都是数域且K F ⊆.1.(5分)设s ααα,,,21Λ是F 上的n 维列向量.证明：s ααα,,,21Λ在F 上线性相关当且仅当s ααα,,,21Λ在K 上线性相关.证明：取s ααα,,,21Λ的极大无关组为F r ∈γγγ,,,21Λ 必要性：s ααα,,,21Λ在F 上线性相关，则方程i r X αγγγ=),,,(21Λ有解（s i ,,2,1Λ=）有K X ∈，则方程i r X αγγγ=),,,(21Λ在K 上有解故s ααα,,,21Λ在K 上线性相关充分性：s ααα,,,21Λ在K 上线性相关，则方程i r X αγγγ=),,,(21Λ在K 上有解在K 上有),,,,(),,,(2121i r r r r αγγγγγγΛΛ=由F i r ∈αγγγ,,,,21Λ，则在F 上也有),,,,(),,,(2121i r r r r αγγγγγγΛΛ= 故方程i r X αγγγ=),,,(21Λ在F 上有解故s ααα,,,21Λ在F 上线性相关2.（5分）设A ，B 为F 上的n 阶方阵.证明：A ，B 在F 上相似当且仅当A ，B 在K 上相似.证明：必要性：由A ，B 在F 上相似，存在可逆矩阵)(F M P n ∈，使得B AP P =-1 又)(K M P n ∈，则A ，B 在K 上相似充分性：由A ，B 在K 上相似，则在K 上A ，B 有相同的行列式因子)(λk D （n k ,,2,1Λ=）由A ，)(F M B n ∈，有)(λk D 属于F则在F 上A ，B 也有相同的行列式因子)(λk D 故A ，B 在F 上相似3.（5分）设F 上的n 次多项式)(x f 在K 上有n 个根n x x x ,,,21Λ. 证明：∏≤<≤-112)(j i j i x x 属于F .证明：令0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--Λ （F a a a n n ∈-01,,,Λ）由根与系数的关系，有n n x x x a +++=--Λ211、n n n x x x x x x a 121212--+++=Λ、……由∏≤<≤-112)(j i j i x x 为对称多项式，则可由01,,,a a a n n Λ-表示故∏≤<≤-112)(j i j i x x 属于F4.(5分)证明：关于数的加法和乘法K 是F 上的线性空间. 证明：取K 上的元素α、β，数a 、F b ∈ 由K F ⊆， αββα+=+，有αβ+为K 上的元素βαβαβαb b a a b a +++=++))((，βαβαb b a a +++为K 上的元素则关于数的加法和乘法K 是F 上的线性空间三、(本题满分20分)给定任意的可逆矩阵A .请说出4种求1-A 的方法（使用计算机程序的方法除外），并简要说明理由. 解：法1：通过初等变换由行变，有()()1-→A E E A M M ；由列变，有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1A E E A ΛΛ法2：通过伴随矩阵由E A AA =*，有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-nn n n n n A A A A A A A A A A A A A ΛM MM ΛΛ21222121211111*1法3：通过H-C 定理令A 的特征多项式为0111)(a a a A E f n n n ++++=-=--λλλλλΛ如00=a ，有)()(1211a a f n n n +++=---Λλλλλ，则A 含特征值0，A 不可逆故00≠a ，则O E a A a A a A A f n n n =++++=--0111)(Λ有E a a A a a A a A n n n 012011011----=----Λ 法4：通过A 的最小多项式令A 的最小多项式0111)(a a a m m m m ++++=--λλλλΛ 同上，有00≠a ，则O E a A a A a A A m m m m =++++=--0111)(Λ有E a a A a a A a A m m m 012011011----=----Λ 四、（本题满分20分）设1)(121++++=--x x x x f p p Λ，p 是素数.1.（10分）证明)(x f 在有理数域Q 上不可约.2.（10分）令})()({O A f C M A n =∈=M ，其中)(C M n 是全体n 阶复矩阵组成的集合.把M 中的矩阵按相似关系分类，即A ，B 属于同一类当且仅当存在可逆的复矩阵C 使得1-=CBC A .问M 中的全部矩阵可以分成几类？说明理由. 1.证明：11)(--=x x x f p ，令1+=y x ，有yy Cy y y f pk k kpp 11)1()1(0-=-+=+∑=1221111)1(p p p p p p p p pk k k p C y C y C y C y C y f ++++==+---=-∑Λ由艾森斯坦判别法，p 为素数，121,,,-p p p p C C C p Λ、p 不能整除p p C 、2p 不能整除1p C 故)1(+y f 在有理数域不可约，即)(x f 在有理数域不可约.2.证明：由O A f =)(，又1)0(=f ，则0不是A 的特征值由)(C M A n ∈，则A 有n 个特征值0≠i λ（n i ,,2,1Λ=）则存在可逆矩阵P ，使得J AP P =-1J 除去排列次序外是由A 唯一确定的，则J 可能为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ11121OO ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ11021OO ，……，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ00021OO 共有n 种，则M 中的全部矩阵可分为n 类五、（本题满分20分）设V 是数域F 上的n 维线性空间，)(V End 表示V 上的全体线性变换组成的线性空间.1.（10分）求)(dim V End 并写出)(V End 的一个基.2.（10分）设)(V End ∈A ，设A 的特征多项式为)(x f .证明：如果V 可以分解为非平凡的-A 不变子空间的直和，那么，)(x f 在F 上可约.问：此结论的逆命题是否成立？说明理由.1.解：设nn E E E ,,,1211Λ是n n ⨯P 的一组基，n n ⨯P 是2n 维的，可知V 的全体线性变换与n n ⨯P 同构，故V 的全体线性变换组成的线性空间是2n 维的。

名校高等代数历年考研试题(1-3章)

第一章多项式例 1.1（华南理工大学， 2006年）设 ( ) ( ) x g x f , 是数域F 上的多项式. 证明：( ) ( ) x g x f | 当且仅当对于任意的大于1的自然数n 有， ( ) ( ). | xg x f n n 证明必要性显然成立，下证充分性. 设 ( ) g x 在数域F 上的不可约分解为( ) ( ) ( ) ( ) 12 12 k lllk g x cp x p x p x =××× ，其中 ( ) ,1,2,..., il i p x i k = 是互不相同的不可约多项式.若有 ( ) ( ) | nnf xg x ，则( ) ( ) ( ) ( ) 12 12 ,0,1,2,...,.k nf nf nfn k i i f x dp x p x p x f l i k =×××££= 其中d 是某个常数，因此有( ) ( ) x g x f | .例 1.2（大连理工大学，2007 年）设 ( ) ( ) ( ) x hx g x f , , 是实系数多项式，如果 ( ) ( ) ( ) x xhx xg x f 22 2 + = ，则 ( ) ( ) ( ) . 0 = = = x h x g x f 证明由 ( ) ( ) ( ) ( ) 222 f x x g x h x =+ ，可知 ( ) 2 | x f x ，易推得 ( ) | x f x . 于是有 ( ) ( ) 2221 f x x f x= ，代入方程并在两边约去 x 有 () ( ) ( ) x h x g x xf 2 2 21 + = (*)于是有 ( ) ( ) ( ) 22 | x g x h x + ，若多项式 ( ) g x 或 ( ) h x 中的常数项不为零的话，都可以推出( ) ( )( )x h x g x 2 2 | + 于是有( ) ( ) ( ) () ( )x h x g x x h x g 21 2 1 2 2 2 + = + 代入(*)式并约去 x 有( ) ( ) () ( )x h x g x x f 21 2 1 21 + = 这样又回到原来的方程，所不同的是 ( ) ( ) ( ) 111 ,, f x g x h x 比 ( ) ( ) ( ) ,, f x g x h x 的次数要小 1. 于是经过有限次后必可以使得方程的左边为零次多项式，即为某个常数c ，使得( ) () ( )x h x g x c k k 22 + = 比较两边的次数易得 0 = c ，并代入方程有( ) () 0 22 = + x h x g k k 于是( ) () 0 = = x h x g k k 那么 ( ) ( ) ( ) ,, f x g x h x 都是某个多项式乘以数0. 由此可推得( ) ( ) ( ) 0 = = = x h x g xf . 例 1.3（大连理工大学，2007年）证明多项式 1 | 1 - - n d x x 的充分必要条件是n d | .证明充分性显然，下证必要性.若 d r r dq n < < + = 0 ,，则 ( ) ( )11 1 1 - + - = - + - = - r dq r r r n n x x x x x x x 由于 1 - dq x 可被 1 - d x 整除，而 1 - r x 不能被 1 - d x 整除，于是 1 - n x 不能被 1 - dx 整除.由其逆否命题可知必要性成立.例 1.4 （北京科技大学，2004年）求一个三次多项式 ( ) x f ，使得 ( ) 1 + x f 能被( ) 21 - x 整除，而 ( ) 1 - x f 能被( ) 21 + x 整除.解由题知 ( ) 'f x 能被( ) 1 x - 和( ) 1 x + 整除，又由 ( ) f x 是一个三次多项式，那么 ( ) 'f x 是一个二次多项式，于是可设( ) ( )( ) aax x x a x f - = - + = 2 ' 1 1 积分易得( ) 33a f x x axb =-+ （其中a, b 为常数）由题设可知 ( ) 1 f x =- ，易解得3 2 0a b ì = ïí ï = î 那么显然有( ) xx x f 2 3 2 1 3 - = .例 1.5（兰州大学，2004）设 () f x 和 () g x 是数域F 上的两个不完全为零的多项式，令{ [ ]}()()()()(),() I u x f x v x g x u x v x F x =+Î 证明：(1) I 关于多项式的加法和乘法封闭，并且对任意的 () h x I Î 和任意的 [ ] (), k x F x Î 有 ()() h x k x I Î .(2) I 中存在次数最小的首项系数为 1 的多项式 () d x ，并且()((),()) d x f x g x = .证明 (1) 容易证明，略.(2) 考虑{ [ ] 0 (()()()())(),() I u x f x v x g x u x v x F x =¶+Î 且 } ()()()()0 u x f x v x g x +¹ 则 0 I 是非负整数的一个子集，由最小数原理， 0 I 中存在最小数，也就是说，I 中存在次数最小的首项系数为1的多项式：11 ()()()()()d x u x f x v x g x =+ 设 () h x 是 I 中任意多项式，且 ()()()() h x d x q x r x =+ ，其中 ()0 r x = 或者(()) r x ¶< (()) d x ¶ .若 (()) r x ¶< (()) d x ¶ ，则 ()()()() r x h x d x q x =- .由(1)可知 () r x I Î ，与 () d x 是I 中次数最小的多项式矛盾. 故 ()0 r x = ，所以 ()() d x h x .显然 (),() f x g x I Î ，所以 ()() d x f x ， ()() d x g x .如果 ()() p x f x ， ()() p x g x ，则11 ()()()()()p x u x f x v x g x +即 ()() p x d x ，所以 ()((),()) d x f x g x = .例 1.6（上海交通大学，2004）假设 1 () f x 与 2 () f x 为次数不超过 3 的首项系数为1的互异多项式，若 42343 12 1()() x x f x x f x +++ ，试求 1 () f x 与 2 () f x 的最大公因式.解由于42 1x x ++ = 22222 (1)(1)(1) x x x x x x +-=++-+ 设它的4个根分别为 1212 ,,, w w e e 其中1212 13131313 ,,, 2222i i i i w w e e -+--+- ==== 由于 4234312 1()() x x f x x f x +++ ，就有 343 12 ()() f x x f x + = 42 (1) x x ++ () g x . 于是有下面的方程组112 122 (1)(1)0 (1)(1)0 f f f f w w += ì í+= î 与 112 122 (1)(1)0 (1)(1)0f f f f e e ---= ì í ---= î 分别解这两个方程组得，12 (1)(1)0 f f == ， 12 (1)(1)0f f -=-= 于是有，11 (1)(),(1)() x f x x f x +- ， 22 (1)(),(1)() x f x x f x +- .进而有 1 (1)(1)() x x f x +- ， 2 (1)(1)() x x f x +- .而 1 () f x ， 2 ,() f x 是互异的次数不超过 3 的首系数为 1 的多项式，所以 2 12 ((),())1 f x f x x =- .例 1.7 （浙江大学，2006 年）设 P 为数域， ( ) [] i i f f x p x =Î ， ( ) [],1,2 i i g g x p x i =Î= .证明：( )( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 , , , , , g g f g g f f f g f g f = 证明设 ( )( ), , , , 2 2 2 1 1 1 g f d g f d = = 有( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )12121212 12121212 1212 1121122 ,,, ,,, , , ,,. f f f g g f g g f f f g g f g g f d g d f g d f g f g = = = = 例 1.8 （哈尔滨工业大学， 2005年）设 ( ) ( ) x g x f , 都是实数R 上的多项式，R a Î (1) 证明： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).| a g f x g f a g x g - - (2) 问 ( )( ) a f x f a x - - 33 | 是否成立，为什么？解 (1) 令 ( ), y g x = 考虑多项式( ) ( ) ( ) ( ) a g f y f y h- = 由 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0= - = a g f a g f a g h 可知 ( ) ( ) ( )y h a g y | - 即( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a g f x g f a g x g - - | .(2) 令 3 b a R =Î ，注意用到(1)的结论，将(1)中a 的换成这里的b ，将(1)的( ) g x 换成这里的 3 x ，可得( ) ( ) 33 | x a f x f a -- .例 1.9（上海大学，2005）设22 1231 1(1)()()()() n n n n n nn x x f x xf x x f x x f x - - éù --++++ ëûL （ 2 n ³ ）求证： 1() i x f x - (1,2,,1) i n =- L . 证明由题设易知1222 1231 1()()()()n n n n n n n n x x x f x xf x x f x x f x --- - ++++++++ L L 这里令e 是n 次本原单位根，那么22 1231 22222 1231 11212 1231 (1)(1)(1)(1)0(1)(1)()(1)()(1)0(1)(1)()(1)()(1)0n n n n n n n n n f f f f f f f f f f f f e e e e e e e e e - - - - ---- - ì ++++= ï ++++= ï íï ï ++++= î L L L LL于是关于 1231 (1),(1),(1),,(1) n f f f f - L 的齐次线性方程组的系数行列式为22 22222112121 1()() 0 1()()n n n n n n ee e e e e e e e - - ---- ¹ L L MMMML .故齐次线性方程组只有零解，于是 121 (1)(1)(1)0 n f f f - ==== L ，所以 1()i x f x - (1,2,,1) i n =- L .例 1.10（哈尔滨工业大学，2006 年）已知 ( ) ( ) x g x f , 是数域 P 上两个次数大于零的多项式，且存在 ( ) ( ) 11 ,[], u x v x p x Î 使得 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 = + x g x v x f x u ，问是否存在 ( ) ( ) ,[] u x v x p x Î ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x f x v x g x u x g x v x f x u ¶ < ¶ ¶ < ¶ = + , , 1 . 如果存在，这样是唯一的吗？说明理由.解由于 ( ) ( ) ( ) 11 ()1 u x f x v x g x += ，若 ( ) 1 u x 的次数大于 ( ) g x 的次数，则由带余除法得( ) ( ) ( ) ( ) 1 u x g x q x u x =+ ， ( ) ( ) ( ) ( )u x g x ¶<¶ 代入上式得( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1f xg x q x u x g x v x ++= 即( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) 1 1 = + + x v x q x f x g x u x f 令 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 v x f x q x v x =+ ，则有( ) ( ) ( ) ( )x f x v ¶ > ¶ 否则由比较次数可知上式将不可能成立.关于唯一性的证明，可以假设 ( ) 2 u x ， ( ) 2 v x 也满足条件，那么有( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1122 1f x u xg x v x f x u x g x v x +=+= 易得( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1221 f x u x u x g x v x v x -=- 由 ( ) f x 与 ( ) g x 互素，可知 ( ) ( ) ( ) ( ) 12 | g x u x u x - .又由 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 u x u x g x ¶-<¶ ，可得 ( ) ( ) 12 0 u x u x -= ，即 ( ) ( ) 12 u x u x = ，这时有( ) ( ) 12 v x v x = .例 1.11（华南理工大学，2005年）证明：如果 ( ) ( )( ) 1 , = x g x f ，那么 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,1f xg x f x g x f x f x g x g x +++= 证明由已知条件有 ( ) ( ) ( ) ( ) ,1 f x f x g x += ， ( ) ( ) ( ) ( ) ,1 g x f x g x += ，由多项式互素的性质可得( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,1f xg x f x g x += 于是有( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,1f xg x f x g x f x g x ++= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,1f xg x f x g x f x g x +++= 综合上述两个等式以及多项式互素的性质有( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,1 f x g x f x g x f x g x f x g x +++= .例 1.12（苏州大学，2005）设 () f x 是一个整系数多项式，证明：如果存在一个偶数m 和一个奇数n ，使得 () f m 和 () f n 都是奇数，则 () f x 没有整数根.证明（反证法）假设 () f x 有整数根k ，则 ()()() f x x k g x =- ，因为x k - 是本原多项式，故 () g x 是整系数多项式. 又由于()()() f m m k g m =- ， ()()() f n n k g n =- .且 () f m 和 () f n 都是奇数，那么m k - ，n k - 都是奇数，与m 是偶数且n 是奇数矛盾，所以 () f x 没有整数根.例1.13 （四川大学， 2004年） (1) 设多项式 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 + - - × × × - - = n x x x x f ，其中n 为非负整数. 证明： ( ) x f 在有理数域上一定不可约.(2) 在有理数域上求多项式 ( ) 36 12 11 2 2 3 4 + - - + = x x x x x g 的标准分解式.(1) 证明假设 ( ) f x 在有理数域上可约，故 ( ) f x 可分解为两个整系数多项式的积，即存在两个整系数多项式 ( ) ( ) , h x k x 使得( ) ( ) ( )f x h x k x = 注意到 ( ) 1,1,2,,21 f i i n ==×××- ，于是( ) ( ) 1,1,2,,21h i k i i n ==×××- 令 ( ) ( ) ( ) l x h x k x =- ，由 ( ) h x 与 ( ) k x 的次数小于21 n - 知 ( ) l x 的次数也小于 21 n - ，但是 ( ) l x 有21 n - 个不同的根为 1,2,,21 x n =×××- ，那么有 ( ) 0 l x º ，于是 ( ) ( ) h x k x = ，推得( ) ( ) ( ) 2f x k x =³ 但是 ( ) 00 f = ，矛盾. 于是 ( ) f x 在有理数域上不可约.(2) 注意到 ( ) ( ) 230 g g =-= ，由综合除法可得( ) ( ) ( )2223 g x x x =-+ 上式为 ( ) g x 在有理数域上的标准分解式.例 1.14（上海大学，2005）设 1 ()2n nf x x x + =+- (1) n ³ ，求 () f x 在有理数域上的不可约因式并说明理由. 解11 ()2(1)(1)n n n nf x x x x x ++ =+-=-+- 112 12 (1)(1)(1)(1) (1)(2222)(1)()n n n n n n n x x x x x x x x x x x x g x --- -- =-++++-+++ =-+++++ =- L L L 对 () g x ，令 2 p = ，用Eisenstein 判别法容易证明 () g x 在有理数域上不可约，因此 () f x 在有理数域的不可约因式是： 1 x - 及 12 2222 n n n x x x x -- +++++ L .例 1.15（大连理工大学，2004）设R Q 分别表示实数域和有理数域，(),()[] f x g x Q x Î . 证明：(1) 若在 [] R x 中有 ()() g x f x ，则在 [] Q x 中也有 ()() g x f x .(2) () f x 与 () g x 在 [] Q x 中互素，当且仅当 () f x 与 () g x 在 [] R x 中互素.(3) 设 () f x 是 [] Q x 中不可约多项式，则 () f x 的根都是单根.证明 (1)（反证）假设在 [] Q x 中 () g x 不能整除 () f x ，作带余除法有()()()(),(),()[]f x q xg x r x q x r x Q x =+Î 且 (()) r x ¶< (()) g x ¶ .以上带余除法的结果在 [] R x 中也成立，所以在 [] R x 中 () g x 不能整除 () f x ，与在 [] R x 中有 ()() g x f x 矛盾. 因此，结论成立.(2) 如果 () f x 与 () g x 在 [] Q x 中互素，那么存在 (),()[] u x v x Q x Î ，使得()()()()1 f x u x g x v x += .以上等式在 [] R x 中也成立，所以 () f x 与 () g x 在 [] R x 中互素.如果 () f x 与() g x 在 [] Q x 中不互素，那么 () f x 与 () g x 在 [] Q x 存在非零次公因式.即()[] d x Q x Î ， (())1,d x ¶³ 1 ()()() f x d x f x = ， 1 ()()() g x d x g x = ，11 (),()[]f xg x Q x Î 以上两个等式在 [] R x 中也成立. 因此， () f x 与 () g x 在 [] R x 中不互素. (3) () f x 是 [] Q x 中的不可约多项式，则 ' ((),())1 f x f x = ，否则 ' ((),())()1, f x f x d x =¹ 则 () f x 有重因式, 与 () f x 不可约矛盾. 于是 () f x 没有重因式，所以 () f x 的根都是单根.例 1.16（南京理工大学，2005年）设 p 是奇素数，试证 1 + + px x p 在有理数域上不可约.证明令 1 x y =- ，代入 ( ) 1 p f x x px =++ 有( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1111 pg y f x f y y p y ==-=-+-+ .考查多项式 ( ) ( ) ( ) 1! h y p g y =- ，注意到 p 是一个奇素数，那么 ( ) h y 的常数项为 ! p - ，于是对于素数 p 有， |! p p - ，而 2p 不整除 ! p - ，对于 ( ) h y 的首项，显然有 ( ) |1! p p - .对于其他的项，利用二项式定理对( ) ( ) 1!1 pp y -- 展开可知 p 能整除除了首项和常数项之外的所有项系数. 又 ( ) 1 p y - 中关于 y 的一次项的系数也为 p 的倍数，于是 p 整除 ( ) h y 的除了首项和常数项之外的所有系数. 利用Eisenstein 判别法可知 ( ) h y 在有理数域上不可约，即 ( ) g y 在有理数域上不可约，也即 ( ) f x 有理数域上不可约.例 1.17（陕西师范大学， 2006年） 11 ()()(),()()(), f x af x bg x g x cf x dg x =+=+ 且0 a bc d¹ ，证明： 11 ((),())((),()) f x g x f x g x= . 证明令 111 ()((),()) d x f x g x = ， ()((),()) d x f x g x = .由1 ()()() f x af x bg x =+ (*) 1 ()()()g x cf x dg x =+ (**)于是 1 ()() d x f x ， 1 ()() d x g x . 那么 1 ()() d x d x .由式(*)与式(**)可以看成是关于 (),() f x g x 的线性方程组，解得，( ) ( )11 11 1()()() 1()()() g x ag x cf x ad bc f x df x bg x ad bc=- - =- - 于是 11 ()() d x f x ， 11 ()() d x g x . 那么 1 ()() d x d x . 显然 1 ()() d x d x .于是11 ((),())((),()) f x g x f x g x = .例 1.18（华南理工大学，2006年）设 ( ) 1 2 34 + + + + = x x x x x f .(1) 将 ( ) x f 在实数域上分解因式.(2) 证明： ( ) x f 在有理数域上不可约. 由此证明 ( ) 5/ 2 cos p 不是有理数. (1) 解不妨设 2 2 5, i e pa b a == ，于是 ,,, a a b b 是1的四个非实数的 5次方根. 显然有( ) ( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )2222 11 24 2cos 12cos 1 55 f x x x x x x x x x x x x x a ab b a a b b p p =---- =-++-++ æöæö =-+-+ ç÷ç÷èøèø上式为 ( ) f x 在实数域上的因式分解. (2) 证明令 1 x y =+ ，代入 ( ) f x .有( ) ( )1 g y f y =+ ( ) ( ) 5432 11 11510105y y y y y y +- =+- =++++ 对素数5 用Eisenstein 判别法可得 ( ) g y 是有理数域上不可约的多项式，于是有 ( ) f x 在有理数域上不可约 . 若 ( ) cos 2/5 p 是有理数，由 ( ) ( ) 2 cos 4/52cos 2/51 p p =- 可知 ( ) cos 4/5 p 也是有理数.于是由(1)的结论可知( ) 22 24 2cos 12cos 1 55 f x x x x x p p æöæö=-+-+ ç÷ç÷ èøèø.上式为 ( ) f x 在有理数域上的分解，这将导致 ( ) f x 在有理数域上可约，矛盾. 故结论成立.例 1.19（华东师范大学，2005 年）试在有理数域、实数域及复数域上将 ( ) 1 7 8 9 + + × × × + + + = x x x x x f 分解为不可约因式的乘积（结果用根式表示），并简述理由.解由( ) ( ) 1011 x f x x -=- ( )( )( )( )1 1 1 1 23 4 2 3 4 + - + - + + + + + - = x x x x x x x x x x 可知它在有理数域上的不可约分解为( ) ( )( )( )432432 111 f x x x x x x x x x x =+++++-+-+ （这里设 ( ) 432 1 1 g x x x x x =++++ ，并取 1 x y =+ 代入，并对素数 5用 Eisenstein 判别法可知 ( ) 1 1 g y + 在有理数域上不可约. 同理设 ( ) 432 2 1 g x x x x x =-+-+ ，并取 1 x y =- 代入，可知 ( ) 2 1 g y - 在有理数域上不可约.）设 243 55551212 ,,, i iii eee e pp ppa ab b ==== ，显然 1 的五次方根为 1122 1,,,, a a a a ；‐1的五次方根为 1122 1,,,, b b b b - . 于是在实数域上 ( ) f x 可分解为( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222 11221122 11111f x x x x x x x x x x a a a a b b b b =+-++-++-++-++ 显然在复数域上 ( ) f x 可分解为( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( ) 112211221 f x x x x x x x x x x a a a a b b b b =+-------- .第二章行列式例 2.1(兰州大学，2004年) 计算下列行列式的值121 121 121 1231 n n n n n n n n xa a a a a x a a a D a a x a a a a a a x- - - - = L L L M M M M M L 解将 n D 的第2列到第 1 n +列加到第1列，且提取公因子有 121 21 21 1231 1 1 ()1 1 n n n n nn i n n i n a a a a xa a a D x a a x a a a a a x- - - = - =+ å L L L M M M M M L 121 12121213212 1 00()000 0 n n ni i n n na a a a x a x a a a x a a a a a a a x a - = -- - =+-- ---- å L LL M M M M M L 11()() nni i i i x a x a = = =+- å Õ .例 2.2(中山大学，2009年) 计算n 阶行列式22 111122 2222 22 111122 1...1... ..................1... 1... n n n nn n nn n n n n nn n n nx x x x x x x x D x x x x x x x x - - - ---- - = 解首先考虑 1 n + 阶范德蒙行列式221 1111 1 221 2222 2 221 1111 1 221 2211... 1... .................. ... () 1... 1 (1)... n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n x x x x x x x x x x g x x x x x x x x x x x x xx x x-- -- -- ---- - -- -- =213111 3222 ()()...()() .()...()()...()n n n x x x x x x x x x x x x x x x x =---- ---- 从上面 1 n + 阶范德蒙行列式知，多项式 () g x 的 1 n x - 的系数为 21(1) n D D + -=- ；但从上式右端看， 1 n x - 的系数为12 1 (...).()n ji i j nx x x xx £<£ -+++- Õ 二者应相等，故 12 1 (...).() n n ji i j nD x x x xx £<£ =+++- Õ .例 2.3(北京交通大学，2004年)计算n 阶行列式111 23 222341222123 111 122111...11... 1... ............1 (1)... nn n n n n n n n n n nn n C C C C C C D C C C C C C + --- -- --- +- =.解从最后一行起将每一行减去前面一行便可将行列式降一阶，再对降一阶的行列式做同样的处理，不断这样下去可得 1 D = .例 2.4(大连理工大学，2005年) n 阶行列式21...11 13 (11) (1)1...11n =+ .解答案是 1 1!(1) ni n i= + å . 这是因为原式 21...1111...11 13 (1102)...11 (1)1...1101...11n n ==++ 将上述行列式的第二行到 1 n + 行分别减去第一行，可得原式 11...11 11...00 (1)...n- =- 然后依次将第二列乘以1，第三列乘以 1 2 ，........，第 1 n + 列乘以 1n都加到第一列可得1 11 11...1 (11)2 101...00 !(1) ............... 00...0 ni n n i n= ++++ =+ å .例 2.5(南开大学，2003年) 计算下列行列式的值1112121 1212222 1122 ... ... ............... n n n n n n n n n na b c a b c a b c a b c a b c a b c D a b c a b c a b c +++ +++ =+++ 解法 1 将 n D 按第一行拆成两个n 阶行列式相加，并由于 3 n ³ ，故得1211121 12122221212222 11221122 ...... ...... .............................. n n n n n nn n n n n nn n n n n a a a b c b c b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c D a b c a b c a b c a b c a b c a b c++++++ =+++++++ 000=+= 解法 2 将原n 阶行列式加边成一个 1 n + 阶行列式11112121 21212222 112 100...0 ... ... ............... ... n nn n nnn n n n n x a b c a b c a b c D x a b c a b c a b c x a b c a b c a b c+++ =+++ +++由于 3 n ³ ，故对上面的 1 n + 阶行列式按第一行展开可知，其每个元素的余子式都是一个至少有两列元素对应成比例的n 阶行列式，从而都等于零. 因此 0 D = .例 2.6(浙江大学，2004年) 计算n 阶行列式... ... .................. ... ... ... n b b b b a b b b a b D b b a b b b a b b b a b b b b=解 ......() ......0 .................................... ......0 ......0 ......0 n b b b b a b b b b a b b b b b a b b b b a b D b b a b b b b a b b b a b b b b a b b b abbbb a b b b b -+ + == + + + 11 ... ... .................. (1)() ... ... ...n n b b b b b b b b a b a b D b b a b b b a b b b a bbbb+ - =--+(3) 1121 (1)()(1)()n n n n n a b D b a b + +- - =--+-- 注意到 222 D b a=- 递推可得(3) 1 2(1)()((1)) n n n n D a b a n b + - =--+- .例 2.7(复旦大学，2005年) 设 12 ...,0,1,2,... k k kk n s x x x k =+++= ，计算 1 n + 阶行列式11 121122 121 ...1 ... .................. ... n nn n n n n nnn n s s s s s s xD s s s xs s s x- - -- -- = 解根据 k s 的定义、行列式的乘法以及范德蒙行列式知，所给的 1 n + 阶行列式D可表示成两个 1 n + 阶行列式相乘111112 221111 112 12 11...11 1...0 ...1...0 ................................ 1...0 ... 00 (01)n n nn n n n n n n n n nnnn n x x x x x x x x D x x x x x x x x x x - - ---- - = 2 11 ()(())nj ji i i j nx x xx =£<£ =-- ÕÕ 211 ()() ni ij i i j nx x xx =£<£ =-- ÕÕ .例 2.8(华东师范大学，2008年) 计算n 阶行列式1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 32 1 L L M M M M M L L L n n n n n n D n- - - - - = ∙ 解将第2列，第 3列，…，第n 列都加到第 1 列上11 11 01 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 32 2 ) 1 ( L L M M M M M L LL nn nn n n n n D n - - - - - + =111 1 1 1 1 1 11 11 1 1 11 2) 1 ( LL M M MM L L n n n n n n - - - - + = 1111 1 1 1 1 11 11 1 1 1 1 2) 1 ( LL M M MM L L - - - - - - - + = n n n n n111 10 0 0 0 0 00 0 0 2) 1 ( L L M M M ML L - - - - + = n n n n n 2)1 ,2 , 2 , 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( 2) 1 ( - - - - × - - + =n n n n n n L t 21 2)2 )( 1 ( ) ( ) 1 ( )1 (2 ) 1 ( - - - - - × - - + = n n n n n n n 2)1 ( )1 ( 1 2)1 ( + ×- = - - n n n n n 1) 2 )]( 1 ( 2 [ - - - = = n x n x 例 2.9（大连理工大学， 2004年) 计算n 阶行列式1 1 1 12 1 2 1 1 12 1 1 1 1 L M M M M M L L nn n D n - - - =解将第2行，第 3行，…，第n 行都加到第 1 行上1 1 1 12 1 2 1 1 11 1 1 1 1 L M M M M M L L n n D n - - =0 01 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 L M M M M M L L nn - - =1 2) 1 ( )1 ,2 , , 1 , ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( - - - - - - = - - = n n n n n n n n L t .例 2.10(北京航空航天大学， 2004年) 计算下列行列式的值.12 12 12... .................. n n n n a a a a a a D a a a l l l+ + =+ 解将行列式的所有列加到第一列，并提取公因子 12 (...) n a a a l ++++ 可得1212 1212 1 1212...... ......().............................. n n nn n i i n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a l l l l l l l= ++ ++ =+ ++ å 然后将第 2 列到第n 列依次减去第一列乘以 12 ,,..., n a a a 得到一个下三角的行列式，易得12 12 1112... ...()............... n nn n i i n a a a a a a a a a a l l ll l- = + + =+ + å 例 2.11（上海交通大学，2004年）求下面多项式的所有根23 2 3 23 2 3 3 2 3 2 22 23 2 2 2 2 3 ) ( nn n n nnna x a a a a a a a a x a a a a a a a a x a a a a x x f - - - - - - - - - - - - - - - - - - - = L MM M M L L L 解将第一列的 2 a - 倍，3 a - 倍，L ， n a - 倍分别加到第 2 列，第3列， L ，第n 列2323 221 3333 100100 ()010(2)010 0101n n n nnx a a a x a a a a a f x a x a a a - ------- -- =-=-- -- L L L L L L M M M M M M M M LL第2列的 2 a 倍，第 3列的 3 a倍，L ，第n 列的 n a 倍都加到第一列 22223 13 0100 ()(2)0010 001n n n x a a a a a f x x - ------ =- L L L L M M M M L1222 (2)(3)n n x x a a - =---- L 所以， 2 x = 是 () f x 的 1 n - 重根， 222 3 n a a +++ L 是 () f x的单根. 例 2.12 （北京交通大学，2005年）计算 1 n + 阶行列式11111 (1)(2)...()(1)(2)...()............... 12... 111 (1)n n n nn n n n n x x x x n x x x x n D x x x x n ---- + +++ +++ = +++ 解注意到依次把第一行和第 1 n + 行交换次序，第2行和第n 行交换次序， ...，可得2 1 1111111...1 12... (1) ............... (1)(2)...()(1)(2)...() nn n n n n n n n nx x x x n D x x x x n x x x x n + ---- +++ =-+++ +++ 21 (1)(()()) n i j n x j x i £<£ =-+-+ Õ 21 (1)()n i j nj i £<£ =-- Õ 第三章线性方程组例 3.1（清华大学，2006 年）设 12 ,,, s a a a L 是一组线性无关的向量，则122311 ,,,, s s s a a a a a a a a - ++++ L 是否线性无关? 证明之.证明若 112223111()()()()0 s s s s s k k k k a a a a a a a a -- ++++++++= L 将上式展开并利用 12 ,,, s a a a L 的线性无关，可得关于 121 ,,, s s k k k k - L 的线性方程组为1 2 1 100...10 110...00 ... 011...0... ...............0 00...110 s s k k k k - æö æöæö ç÷ ç÷ç÷ ç÷ ç÷ç÷ ç÷ ç÷ç÷= ç÷ ç÷ç÷ ç÷ ç÷ç÷ ç÷ç÷ ç÷ èøèø èø 令其系数矩阵为 A ，显然有 1 1(1) s A + =+- .当 S 为偶数时， 0 A = ，则方程组有非零解，这是122311 ,,,, s s s a a a a a a a a - ++++ L 线性相关.当 S 为奇数时， 0 A ¹ ，则方程组仅有零解，这是122311 ,,,, s s s a a a a a a a a - ++++ L 线性无关.例3.2 （北京科技大学， 2005年）设 0 h 是线性方程组的一个解，而 12 th h h L ，，，是它的导出方程组的一个基础解系, 1021010 ,,..., t t g h g h h g h h + ==+=+ .证明：线性方程组的任一解g , 都可表成 112211 ... t t g m g m g m g ++ =+++ , 其中 121 (1)t m m m + +++= . 证明设 0211 ... t t g h m h m h + =+++ ，令 121 1... t m m m - =--- ，即 121 ...1 t m m m - +++= ，则由于 1021010 ,,..., t t g h g h h g h h + ==+=+ ，1210211 (...)... t t tg m m m h m h m h ++ =++++++ 1021010 ()...() t t m h m h h m h h + =+++++ 112211... t t m g m g m g ++ =+++ 例 3.3（哈尔滨工业大学，2005 年）设 12 ,,, r a a a L 是一组线性无关的向量，1,1,2,..., ri ij j j k i r b a = == å ，证明： 12 ,,, r b b b L 线性相关的充要条件是矩阵11121 21222 12... ... ............ ... r r r r rr k k k k k k K k k k æöç÷ ç÷ = ç÷ ç÷ èø不可逆.证明 12 ,,, r b b b L 线性无关Û 10 ri i b = = å 仅有零解Û 10 rij i j j k x a = = å 仅有零解Û（由 12 ,,, r a a a L 线性无关性仅有零解）方程组 ' 0 K X = 仅有零解Û ' K 可逆Û矩阵 11121 21222 12... ... ............ ... r r r r rr k k k kk k K k k k æöç÷ ç÷ = ç÷ ç÷ èø是可逆的.例 3.4（上海大学，2005 年）设b 是非齐次线性方程组AX b = 的一个解，12 ,,, n r a a a - L 是其导出组的一个基础解系，证明：(1) 12 ,,,, n r a a a b - L 线性无关.(2) 12 ,,,, n r b a b a b a b - +++ L 线性无关.证明 (1) 假定 12 ,,,, n r a a a b - L 线性相关，而 12 ,,, n r a a a - L 线性无关，那么b 可由 12 ,,, n r a a a - L 线性表出，则b 是导出组的一个解与b 是AX b = 的一个解矛盾.(2)令( ) ( ) ( ) 1122 0n r n r x x x x b a b a b a b -- +++++++= L 于是( ) 112212 0n r n r n r x x x x x x x a a a b --- ++++++++= L L 由 12 ,,,, n r a a a b - L 线性无关，则12 0n r x x x - ==== L 且12 0 n r x x x x - ++++= L ，于是 12 0 n r x x x x - ===== L ，故(2)成立.例 3.5（东北大学， 2003年）设 1 2 ... r A a aa æö ç÷ ç÷ = ç÷ ç÷ èø是一个r n ´ 阶矩阵() r n < 且秩为r ，已知：b 是 0 AX = 的非零解，讨论 12 ,,, r a a a L 与b 的线性相关性.证明由于对矩阵A ，有 () r A r = ，记 12 ,,, r U a a a =<> L . 显然有 12 ,,, ra a a L 为空间U 的一组基，由于b 是方程组 0 AX = 的一个非零解，所以有 T b 与12 ,,, r a a a L 相正交，于是有 U b ^^ Î ，对于 12 ,,, r a a a L 与 T b 的线性组合1122 0T r r l l l l a a a b ++++= L 两边同时与 T b 做内积，注意到 T U b ^ ，可得(,)0T T l b b = 由于 0 T b ¹ ，可得 0 l = ，于是1122 0r r l l l a a a +++= L 由 12 ,,, r a a a L 的线性无关性可得0(1,2,...,)i l i r == 即 12 ,,,, r a a a b L 的线性无关.例 3.6（浙江大学，2004 年）令 12 ,,, s a a a L 是 n R 中s 个线性无关的向量，证明：存在含n 个未知量的齐次线性方程组，使得 12 ,,, s a a a L 是它的一个基础解系.证明以列向量 12 ,,, s a a a L 的转置为行构成矩阵A1 2 TT T s A a a a æö ç÷ ç÷= ç÷ ç÷ ç÷ èøM 考虑以A 为系数矩阵的齐次线性方程组AX = 它的基础解系由 n s - 个 n 维列向量组成，设基础解系为 12 ,,, n s b b b - L 以12 ,,, T T T n s b b b - L 为行构成矩阵B ，则以B 为系数矩阵的齐次线性方程组 0 BX = 满足要求.因为 12 ,,, n s b b b - L 是 0 AX = 的解，则 0,1,,;1,, T j i s j n s a b ===- L L .它同时说明，作为 n 维向量， 12 ,,, s a a a L 是齐次线性方程组 0 BX = 的解，而() r B n s =- .故 12 ,,, s a a a L 是 0 BX = 的一个基础解系.例 3.7（西安交通大学，2005年）讨论 , a b 为何值时，如下方程组有唯一解？无解？无穷多解? 当有无穷多解时，求出它的通解.1234 234 234 1234 0 221 (3)2 321 x x x x x x x x a x x b x x x ax +++= ì ï ++= ï í-+--= ï ï +++=- î解将增广矩阵进行初等行变换化为行阶梯形矩阵,有1111011110 0122101221 01320132 321101231 A a b a b a a æöæö ç÷ç÷ ç÷ç÷ =® ç÷ç÷ ------ ç÷ç÷ ---- èøèø11110 01221 00101 00010 a b a æöç÷ ç÷ ® ç÷ -+ ç÷- èø.(1)当 1 a ¹ 时方程组有唯一解. (2)当 1 a = 且 1 b ¹- 时方程组无解. (3)当 1 a = 且 1 b =- 时方程组有无穷多解. 解方程组1234 234 0 221 x x x x x x x+++= ì í++= î 方程组的特解为 0 1 1 0 0 a - æöç÷ç÷ = ç÷ ç÷ èø，导出组的基础解系为 12 11 22 , 10 00 h h æöæö ç÷ç÷ -- ç÷ç÷ == ç÷ç÷ ç÷ç÷ èøèø，于是通解为 01122 k k a a h h =++ .例 3.8（东南大学，2005年）问：参数 , a b 取何值时，线性方程组1234 1234 234 1234 1 32 223 54(3)3 x x x x x x x x a x x xx x a x x b +++= ì ï+++= ï í++= ï ï ++++= î有解？当线性方程组有解时，求出其通解.解将增广矩阵做初等行变换可化为10112 01223 0002 0000 a b a --- æöç÷ç÷ç÷ - ç÷èø. 显然若要方程组有解，必须有 0 a = 且 2 b = , 这时增广矩阵变为10112 01223 0002 0000 a b a --- æöç÷ç÷ ç÷- ç÷èø 方程组的一个特解为 ' (2,3,0,0) - ，基础解系为 ''(1,2,1,0),(1,2,0,1) -- ，于是通解为12 211 322 010 001 x C C - æöæöæöç÷ç÷ç÷ -- ç÷ç÷ç÷ =++ ç÷ç÷ç÷ ç÷ç÷ç÷ èøèøèø. 例 3.9（东南大学，2004年）已知线性方程组1122 1122 1122 () 0()...0 ........................... ...()0 n n n n n na b x a x a x a x a b x a x a x a x a b x ++++= ì ï++++= ï íï ï ++++= î (*)其中 10 ni i a = ¹ å .试讨论 12 ,,, n a a a L 和b 满足什么条件时，(1)方程组仅有零解.(2)方程组有非零解，此时用基础解系表示所有解.解由于方程组(*)的系数行列式为2 1 12 12 2 111 ............ ............... ... nin i n n n in i nn nin n i b a a a a b a a a a b a b a a b a a a a bb a a a b = = = + + + ++ =+ ++ å å å .2 2 1111 1100 1 10()()() ............ ............1 (1)0... n nnnn n i i i i i i nn a a a b a bb a b a b a ba a bb- === + =+=+=+ + ååå(1)当 0 b ¹ ，且 1()0 ni i b a = +¹ å 时，方程组(*)的系数行列式不等于零. 于是此方程组只有唯一零解.(2) 当 0 b ¹ ，且 1()0 ni i b a = += å 时，方程组(*)的系数行列式为零. 因此方程组(1)有非零解，它的基础解系为 '(1,1,...,1) ，此时方程组的一切解可表为' (1,1,...,1), k k R Î .(3) 当 0 b = 时，方程组的系数行列式为零. 此时方程组(*)有非零解，并且方程组等价于1122 0n n a x a x a x +++= (**)由于 10 ni i a = ¹ å ，故在 12 ,,, n a a a L 中必有一个不为零，不妨设 0 ia ¹ ，则有 11 1111 ....... i i n i i i n i i i i a a a a x x x x x a a a a-+ -+ =------ 其中 111 ,...,,,..., i i n x x x x -+ 为自由未知量，因此原方程组的一个基础解系为' 1 1 (1,0,...,0,,0, 0i aah =- ..................................' 11 (0,0,...,1,,0,...,0) i i i a a h - - =-' 11 (0,0,...,0,,1,...,0) i i i a ah + + =-..................................' (0,0,...,0,,0,...,1) nn i a ah =-此时，方程组(*)的一切解可表为111111 ...() i i i i n n i X k k k k k Rh h h h --++ =+++++Î L . 例 3.10（大连理工大学，2004年）设 A 是n 阶矩阵，若 ()1 r A n =- ，且代数余子式 11 0 A ¹ ，则齐次线性方程组 0 AX = 的通解是.。

四川大学期末考试试卷2014-2015数2A

二．计算题。

（每小题5分，共30分）1、)1)(1)(1(32+++=x x x y ，求dxdy.2、设函数)(x y 由方程x y xy 22=+确定，当1=y 时，求dxdy .3、4|2|lim 22---→x x x4、11sin )sin(sin lim3---→x xx x5、⎰+++dx x x x 22)1)(12(6、0,1arcsin >+⎰x dx xx三．（12分）设11)(23-+=x x x f ，求（1）函数)(x f 的间断点及其类型；（2）函数图形的渐近线；（3）函数的极值.四．（10分）设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+-=<+=0,sin 4)2cos(1,0,60,)61ln()(2x x x x ax x x x ax x f ，问：（1）a 为何值时，)(x f 在0=x 处连续；（2）a 为何值时，0=x 是)(x f 的可去间断点？五．（10分）设)(x f 在]1,1[-上连续，在)1,1(-可导，且)1()1(f f =-，证明：对任意实数β，存在)1,1(-∈ξ，使得()()0f f ξβξξ'+⋅⋅=.六．（10分）已知()xf e x -'=，0)(lim 00=+→x f x ，（1）确定函数)(x f 的表达式；（2）若k 是实数，讨论0)(=-k x f 的实零点情况.七、（10分）设α是正实数，使得对任意的0>x 成立αx x ≤ln ，求α的最小值.八．（10分）设)(x f 在],[b a 上三阶可导，且2ba x +=是)(x f 的极值点，证明：存在),(b a ∈ξ，使得3()()()()24f b f a f b a ξ'''-=-.九．（10分）附加题：设函数)(x f 满足：],[,)(b a x b x f a ∈∀<<，且1()0f x '-<<，（1）证明)()(x f x x F -=在),(b a 内有唯一实零点；（2）若),(0b a x ∈，)(1-=n n x f x ， ,2,1=n ，证明序列}{n x 收敛到)(x F 的唯一实零点.。

川大线性代数习题册答案2

线性代数第三，第四章答案可逆矩阵，求逆矩阵一．填空题：１．102105⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ２．11A CB --，1100B A --⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭３．222k b l a a bc +≠ ４．1111D B C A ---- ５．100010001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭22112123122--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1二．选择题１．BD 2．C 3．Ｄ三．１．证明：*||A E AA =**||||||||||n AA A A A E ∴== 而||0A ≠*1||||n A A -∴=２．***11112)|||||5|2(22nn n n AA A ----===四．求下列矩阵的逆矩阵１．*d b ca A -⎛⎫=⎪-⎝⎭，||A ad bc =-，所以：()11db A ad bc c a ---⎛⎫=-⎪-⎝⎭2 ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001011100730210003001010100730520003100010001003520730 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→-032075000320750010001000103201110010021000331131A ３． ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10001001001100001000010001100010001000011000010********0001000010000110001001001e d ce c be b ae d c b ae d c b a⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+---=⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+----10001001011000100101100100001000011e d ce c ad ace be b ac a A e d ce c ad ace be b ac a五．解矩阵方程组解：()702303107141223063211713,A E X A E B --=---=-==-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，六．证明：32()()E E A E A E A A =-=-++故，E A -可逆，且()12E A E A A --=++七．证明：()()111,TT TA A A A A ---===，故，1A -也是对称阵。