江苏省句容市第三中学高三数学上学期立体几何 2直线与平面、平面与平面平行的判定和性质(1)教学案(

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高中数学第一章立体几何初步1.2.3.1直线与平面平行课件苏教版必修2

一
二

三
证明：取BC的中点E. ∵P是△ABC的重心,连结AE,则AE必过点P,且AE∶PE=3∶1. ∵Q是△BDC的重心,连结DE,则DE必过点Q,且DE∶QE=3∶1,∴ 在△AED中,PQ∥AD.
又AD⊂平面ACD,PQ⊄平面ACD, ∴PQ∥平面ACD.
典例导学
即时检测
一
二
三
用判定定理证明线面平行的步骤
典例导学
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一
二
三
典例导学
即时检测
一
二
三
证明：连结AC交BD于点O,连结OE,OD1, 1 则OE∥DC,OE= 2DC. ∵DC∥D1C1,DC=D1C1,F为D1C1的中点, ∴OE∥D1F,OE=D1F, ∴四边形D1FEO为平行四边形. ∴EF∥D1O. 又∵EF⊄平面BB1D1D,D1O⊂平面BB1D1D, ∴EF∥平面BB1D1D.
2.直线与平面平行 (1)判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行, �� ⊄ �� ⊂ �� ⇒a∥α. 那么这条直线和这个平面平行.符号表示为 �� ∥ �� (2)性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行.符号表示为 �� ∥ �� ⊂ �� ⇒l∥m. ��⋂�� = �� 交流2 通过学习直线与平面平行的判定定理,试分析两直线同时平行于一个平面,这两条直线是否一定平行呢? 答案：不一定.有三种可能:相交、平行或异面.
交流3 (1)若直线a,b相交,且a∥α,则b与平面α的位置关系是 . (2)给出如下四个命题: ①平面α外的一条直线不可能与平面α有两个或两个以上的公共点; ②平面α内的一条直线与平面α外的一条直线必为异面直线; ③平行于同一平面α的两条直线必定平行; ④平行于同一条直线的两条直线必定平行. 其中正确的命题是 .(填序号) (3)如果平面α外有两点A,B,它们到平面α的距离都是a,则直线AB 和平面α的位置关系一定是 . 答案：(1)相交或平行 (2)①④ (3)平行或相交

(江苏专版)高考数学一轮复习第八章立体几何第三节直线、平面平行的判定与性质实用课件文

∴四边形 ABCE 是平行四边形，∴O 为 AC 的中点．又∵F 是 PC 的中点，∴FO∥AP， FO⊂平面 BEF，AP⊄平面 BEF， ∴AP∥平面 BEF.
第十四页，共25页。
(2)连结 FH，OH， ∵F，H 分别是 PC，CD 的中点，∴FH∥PD， ∴FH∥平面 PAD. 又∵O 是 AC 的中点，H 是 CD 的中点，∴OH∥AD， ∴OH∥平面 PAD. 又 FH∩OH＝H，∴平面 OHF∥平面 PAD. 又∵GH⊂平面 OHF，∴GH∥平面 PAD.
第十五页，共25页。
02 突破点(二) 平面与平面平行的判定(pàndìng) 与性质第十六页，共25页。
基础联通抓主干知识的“源”与“流”
平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
一个平面内的两条_相__交__ 判定直__线__与另一个平面平行，定理则这两个平面平行(线面
第六页，共25页。
[方法技巧] 判定线面平行的四种方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
第七页，共25页。
∵A1G 綊 EB，∴四边形 A1EBG 是平行四边形，∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面 BCHG，GB⊂平面 BCHG， ∴A1E∥平面 BCHG. ∵A1E∩EF＝E，∴平面 EFA1∥平面 BCHG.
第十九页，共25页。
[方法技巧]
判定面面平行的四种方法
(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)．
第二十一页，共25页。

高中数学第1章立体几何初步1.2.3直线与平面的位置关系平行2课件苏教版必修2

D1 A1 A D
F
P
C1 B1 C
E
B
观看
例题
3、求证:如果一条直线平行于两个相交平面,那么这条直线平行于这两个平面的交线.
课堂练习:
1. 已知：直线l∥平面求证：m//平面 a
a
，直线m//l，m
薬
b
n
l m
a
课堂练习:
2. 如图：a，b是异面直线，A，C与B，D分别是a，b
上的两点，直线a//平面 a ，直线b//平面 a ，且
(5)过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条.(
)
1.平面外一条直线上有两点到平面距离相等，等,则直线与平面的位置关系平行或相交 2.直线与平面平行的等价条件是直线与平面内的（ D） A.一条直线不相交 B.两条直线不相交 C.无数条直线不相交 D.任意一条直线都不相交
3.判断命题的真假:
假 (1)如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行。
一、直线与平面位置关系
关系内容特征直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行
有无数个公共点
有且只有一个没有公共点公共点
a
图形表示

a

A

a
符号表示
a
a ∩ = A
a ∥
a
直线和平面平行的判定定理
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 a a b a∥ b a∥ b
。，
求四边形DEFG面积的最大值
课堂练习:
1.已知:
=CD, =EF, 求证 : CD EF
B
D
=AB,AB

江苏省句容市第三中学2020届高三数学上学期立体几何 2直线与平面、平面与平面平行的判定和性质(1)教学案

直线与平面、平面与平面平行的判定和性质（1）【教学目标】了解空间线面平行的概念，能正确地判断空间线线、线面与面面的位置关系．【教学重点】线面、面面平行的判定定理和性质定理实现“线线”“线面” “面面”平行的转化．【教学难点】线面、面面平行的判定定理和性质定理．【教学过程】一、知识梳理：12．空间两个平面的位置关系：3．直线与平面平行的判定定理：如果__________一条直线和____________的一条直线________数学符号表示：_________________________________ 注：线线平行⇒线面平行．4．两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有直线都于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示：βα//____________________________________________________⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫．注：线面平行⇒面面平行． 5．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面_________，_________这条直线的平面和这个平面_______，那么这条直线就和交线__________．符号表示为．m l //______________________________⇒⎪⎭⎪⎬⎫．6．两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面，那么所得的平行．用符号表示：b a //____________________________________⇒⎪⎭⎪⎬⎫．二、基础自测：1．已知a ∥α，b ∥α，则直线a ，b 的位置关系其中可能成立的有．①平行； ②垂直不相交； ③垂直相交； ④相交； ⑤不垂直且不相交． 2．四面体ABCD 中，M 、N 分别为△ACD 和△BCD 重心，则四面体四个面中与MN 平行的是_______． 3．给出下列四个命题：(1)平行于同一平面的两条直线平行；(2)垂直于同一直线的两条直线平行； (3)过已知平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行；(4)过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面；则其中真命题的序号为____________(写出所有真命题的序号) ． 4．以下命题（其中a ，b 表示直线，α表示平面）：①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α； ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α； ④若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b ．其中正确命题的个数是．三、典型例题：例1．如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ，F ，且B 1E =C 1F ．求证：EF ∥平面ABCD ．αβAabmlβααβ Aab【变式拓展】如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点．求证：MN∥平面AA1C1．例2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点．求证：平面MNP∥平面A1BD．例3．如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．求证：平面A1BD1∥平面AC1D．四、课堂反馈：1．如果直线a 与α内无数条直线平行，则a 与α的位置关系是．2．已知a ，b 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是___________． ①a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α； ②a ，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，则α∥β； ③a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b ； ④当a ⊂α，且b ⊄α时，若b ∥α，则a ∥b .五、课后作业：学生姓名：___________ 1．若直线m ⊂平面α，则条件甲：“直线l ∥α”是条件乙：“l ∥m ”的_________________条件． 2．若直线l 上有两点到平面α的距离相等，则直线l 与平面α的位置关系为______________． 3．已知b a ,表示直线,βα,表示平面，则α//a 的一个充分条件是_________． (1)b a a b b b a a a //,,)4(,//,//)3(,,)2(,//,//αβααββαββα⊄=⊥⊥I ． 4．设n m ,是平面α外的两条直线，给出以下三个论断:(1)//;(2)//;(3)//m n m n αα，以其中两个为条件,余下的一个为结论,构成三个命题,写出你认为正确的一个命题____________． 5．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是____ __． 6．给出下列关于互不相同的直线l ，m ，n 和平面α，β，γ的三个命题：①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β； ②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ； ③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n ．其中真命题的序号为_ _____(写出所有真命题的序号) ．7．设α、β、γ为三个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m ，n ⊂γ，且________，则m ∥n ”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n ⊂β；②m ∥γ，n ∥β；③n ∥β，m ⊂γ．可以填入的条件有_______ ． 8．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，EF ∥AB ，AB ＝2EF ，H 为BC 的中点．求证：FH ∥平面EDB ．9．如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABC－A1B1C1中，点D是AB的中点．求证：AC1∥平面CDB1．10．如图，B为△ACD所在平面外一点，M、N、G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．（1）求证：平面MNG∥平面ACD；（2）若△ACD是边长为2的正三角形，判断△MGN的形状．。

江苏省句容市第三中学高三数学上学期立体几何 1平面的基本性质及空间两直线的位置关系教学案(无答案)

平面的基本性质及空间两直线的位置关系【教学目标】了解空间点、线、面的位置关系，能用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置关系．【教学重点】运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．【教学难点】平面的基本性质及空间两直线的位置关系．【教学过程】一、知识梳理：1．平面的基本性质：（四条公理、三条推论、二个定理）公理1：如果一条直线上的___________________，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．公理2：如果两个平面有____________，那么它们还有其他________，这些_________的集合是经过这个_________的一条________．公理3：经过不在__________________，有且只有一个平面．推论1：经过_______________________________________，有且只有一个平面；推论2：经过_______________________________________，有且只有一个平面；推论3：经过_______________________________________，有且只有一个平面．公理4：平行于___________的两条直线互相平行．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别并且方向，那么这两个角．2．3．异面直线所成的角：①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ,b ′∥b , 把a ′与b ′所成的叫做异面直线a ，b 所成的角．②范围：．4．异面直线判定定理：过________与_______的直线，和这个_____不经过______的直线是_____直线．二、基础自测：1．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有个． 2．已知,,,l m n m n P αβαβ=⊂⊂=则点P 与直线l 的位置关系用符号表示______________．3．空间中有两直线，则“两条直线为异面直线”是“两条直线没有公共点”的条件．4．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ； ②AB 与CM 所成的角为60°； ③EF 与MN 是异面直线； ④MN ∥CD ．以上四个命题中，正确命题的序号是_______ _．三、典型例题：例1．“b a ,是异面直线”是指：（1）φ=b a ，且a 不平行于b ；（2）,,βα⊂⊂b a 且φ=b a ；（3）,,βα⊂⊂b a 且φβα=⋂；（4）αα⊄⊂b a ,；（5）不存在平面α，使α⊂a 且α⊂b 成立．上述结论中，正确命题的序号是．【变式拓展】如果b a ,是异面直线，P 是不在b a ,上的任意一点，下列四个结论：①过P 一定可作直线l 与b a ,都相交； ②过P 一定可作直线l 与b a ,都垂直；③过P 一定可作平面α与b a ,都平行； ④过P 一定可作直线l 与b a ,都平行．其中正确的结论有个．例2．如图，E 、F 、G 、H 分别是空间四边形AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且EH 与FG 交于点O ．求证：B 、D 、O 三点共线．【变式拓展】如图，已知：E 、F 、G 、H 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 、CC 1、C 1D 1的中点，证明：FE 、HG 、DC 三线共点．例3．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点．问：（1）AM 和CN 是否是异面直线？说明理由；（2）D 1B 和CC 1是否是异面直线？说明理由．【变式拓展】如图所示，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AB 的中点，N 为BB 1的中点，O 为面BCC 1B 1的中心．（1）过O 作一直线与AN 交于P ，与CM 交于Q （只写作法，不必证明）；（2）求PQ 的长．四、课堂反馈：1．已知直线a 和平面α，β，α∩β＝l ，a ⊄α，a ⊄β，且a 在α，β内的射影分别为直线b 和c ，则直线b 和c 的位置关系是________．2．空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的__________条件．3．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 的位置关系为________．4．已知A 、B 表示不同的点，l 表示直线，α、β表示不同的平面，则下列推理错误的是________．①A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α⇒l ⊂α； ②A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β⇒α∩β＝AB ；③l ⊄α，A ∈l ⇒A ∉α； ④A ∈α，A ∈l ⇒l ∩α＝A .五、课后作业：学生姓名：___________1．若三条直线可以确定3个平面，那么这三条直线的公共点个数是．2．空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 的中点，那么四边形EFGH 的形状是_______ ．3．给出命题：①若αα∈∈∈∈B l B A l A ,,,,则α⊂l ；②若βαβα∈∈∈∈B B A A ,,,，则AB =βα ；③若l A l ∈⊄,α，则α∉A ；④若βα∈∈C B A C B A ,,,,,.，且,,,C B A 不共线，则α与β重合．上述命题中，真命题个数是．4．梯形ABCD中，AB∥CD，直线AB、BC、CD、DA分别与平面交于点E、G、F、H，那么一定有G直线EF，H直线EF．5．有以下命题：①若平面α与平面β相交，则它们只有有限个公共点；②经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；③经过两条相交直线有且只有一个平面；④两两相交且不共点的三条直线确定一个平面．其中，真命题的个数是_____ _．6．下列三个命题：①若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；②若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交；③若a∥b，则a、b与c所成的角相等．其中真命题的个数是_______ ．7．给出下列命题：①若平面α内的直线a与平面β内的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么直线c至多与a、b中的一条相交；②若直线a与b为异面直线，直线b与c平行，则直线a与c异面；③一定存在平面α和异面直线a、b同时平行．其中正确命题的序号是__________．8．a，b，c是空间中的三条直线，下面四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；④若a，b与c成等角，则a∥b．上述命题中正确的命题是_______ _．（只填序号）9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)．10．如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：（1）E、C、D1、F四点共面；（2）CE、D1F、DA三线共点．。

江苏省句容市第三中学高三数学上学期立体几何空间向量与立体几何(1)教学案(无答案)

空间向量与立体几何（1）【教学目标】用向量方法证明空间线面位置关系的定理；用向量方法判断空间线面平行与垂直关系．【教学重点】用空间向量方法证明空间线面位置关系的一些定理．【教学难点】向量方法判断空间线面平行与垂直关系．【教学过程】一、知识梳理：12（1）两个向量的数量积：①a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉； ②a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)； ③|a |2＝a 2，|a |＝x 2＋y 2＋z 2.（23设空间两条直线,l l 的方向向量分别为,e e ，两个平面,αα的法向量分别为,n n ，则有结论：二、基础自测：1．已知点A (3，－1，0)和向量AB u u u r＝( 2，5 ，－3)，则点B 的坐标是．2．已知△ABC 的三个顶点为A (2，3，3)，B (4，－3，7)，C (0，5，1)，则AB 边上的中线长为．3．已知a ＝(1,2，－2)，b ＝(0,2,4)，则a ，b 夹角的余弦值为________．4．已知点A (－3,0，－4)，点A 关于原点的对称点为B ，则|AB |等于________．三、典型例题：例1．已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，O 为原点，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)．（1）求|2a ＋b |；（2）在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE u u u r⊥b?例2．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为3，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1.（1）求证：E ，B ，F ，D 1四点共面；（2）若点G 在BC 上，BG ＝23，点M 在BB 1上，GM ⊥BF ，垂足为H ，求证：EM ⊥平面BCC 1B 1.例3．如图，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.（1）证明：AB ⊥A 1C ；（2）若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．四、课堂反馈：1．已知点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0，－1)，(2,1,1)，点P 的坐标是(x,0，y )，若PA ⊥平面ABC ，则点P 的坐标是______________．2．在空间四边形ABCD 中，AB u u u r ·CD u u u r ＋AC u u u r ·DB u u u r ＋AD u u u r ·BC u u ur ＝________．3．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM u u u u r ＝121MC u u u ur ，N 为B 1B 的中点，则|MN u u u u r|＝________．五、课后作业：学生姓名：___________ 1．如图所示，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：（1）AE ⊥CD ；（2）PD ⊥平面ABE .2．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形，AC ＝2，BB 1＝3，D 为A 1C 1的中点，E 为B 1C 的中点．（1）求直线BE 与A 1C 所成的角的余弦值；（2）在线段AA 1上找一点F ，当AF 为何值时，CF ⊥平面B 1DF?3．如图所示，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝1，B C ＝2. （1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；（2）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值．4．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4．（1）设AD →＝λAB →，异面直线AC 1与CD 所成角的余弦值为925，求λ的值；（2）若点D 是AB 的中点，求二面角D —CB 1—B 的余弦值．5．如图，在正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝1，点N 是BC 的中点，点M 在CC 1上．设二面角A 1DNM 的大小为θ．（1）当θ＝90°时，求AM 的长；（2）当cos θ＝66时，求CM 的长．。

江苏省句容市第三中学2020届高三数学上学期立体几何 3直线与平面、平面与平面平行的判定和性质(2)教学案

直线与平面、平面与平面平行的判定和性质（2）【教学目标】能用图形语言和符号语言表述这些定理，并能运用定理证明一些简单的平行关系．【教学重点】直线与平面平行的判定定理的应用，以及如何转化为线线平行．【教学难点】线面、面面平行的判定定理和性质定理．【教学过程】一、知识梳理：1．直线与平面的位置关系：、、．2．空间两个平面的位置关系：、．3．直线与平面平行的判定与性质定理：（1）判定定理：如果一条直线和一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；（2）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和平行；4．平面和平面平行判定定理和性质定理：（1）判定定理：如果一个平面内的两条直线平行于另一平面，那么这两个平面平行；（2）性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线．二、基础自测：1．下列条件中，不能判断两个平面平行的是（填序号）． ①一个平面内的一条直线平行于另一个平面； ②一个平面内的两条直线平行于另一个平面； ③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面；④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面．2．已知α、β是不同的两个平面，直线α⊂a，直线β⊂b ，命题p ：a 与b 没有公共点；命题q ：βα//．则p 是q 的_______________________条件．3．已知直线a ，b ，平面α，则以下三个命题：①若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；②若a ⊥b ，a ∥α，则b ∥α；③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ．其中真命题的个数是．4．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1中点，则BD 1与过点A 、E 、C 平面的位置关系是．5．下列命题，其中真命题的个数为．①直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α；②若直线a 在平面α外，则a ∥α；③若直线a ∥b ，直线α//b ，则a ∥α；④若直线a ∥b ，b ∥α，则直线a 平行于平面α内的无数条直线．三、典型例题：例1．如图，P为Y ABCD所在平面外一点，M，N分别为AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l．（1）判断BC与l的位置关系，并证明你的结论；（2）判断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论．【变式拓展】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM 上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．求证：AP∥GH．例2．如图，在四棱锥P -ABCD中，M，N分别是侧棱PA和底面BC边的中点，O是底面平行四边形ABCD的对角线AC的中点．求证：过O、M、N三点的平面与侧面PCD平行．例3．如图，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E为PC的中点.（1）求三棱锥A—PDE的体积；（2）AC边上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM？若存在，求出AM长；若不存在，请说明理由.四、课堂反馈：1．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题①⎭⎪⎬⎪⎫α∥cβ∥c⇒α∥β②⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β③⎭⎪⎬⎪⎫α∥ca∥c⇒a∥α④⎭⎪⎬⎪⎫a∥γα∥γ⇒α∥a其中正确的命题是________(填序号)．2．设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的充分而不必要条件是________.(填序号)①m∥β且l1∥α；②m∥l1且n∥l2；③m∥β且n∥β；④m∥β且n∥l2.五、课后作业：学生姓名：___________ 1．βα,为平面，m为直线，如果α∥β，那么“α//m”是“β⊂m”的_______ __条件．2．βα,是两个不同平面，a，b是两条不同直线，给出论断：①b=βαI，②β⊂a，③a∥b，④a∥α以其中三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题 __ ．3．设x、y、z是空间不同的直线或平面，下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面，其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是________．4．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l、m 为直线，α、β为平面)，则此条件为_______________．①⎭⎪⎬⎪⎫m⊂αl∥m⇒l∥α；②⎭⎪⎬⎪⎫l∥mm∥α⇒l∥α；③⎭⎪⎬⎪⎫l⊥βα⊥β⇒l∥α.5．下列命题中，正确命题的个数是．①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．6．如图，PA⊥平面AC，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点．求证：AF∥平面PCE．7．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1C的中点．（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求三棱锥E－BCD的体积．8．如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD．（1）求证：BE＝DE；（2）若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC．。

苏教版高中学案数学必修二课件第13章立体几何初步直线与平面的位置关系第1课时直线与平面平行

【题型三】直线与平面平行的判定与性质定理的综合运用
例3[2023镇江月考]如图,在四棱锥中,,,为上一点,为的中点,且平面.
（1）若平面与平面的交线为,求证:平面.
证明,平面,平面,平面.平面,平面平面,.平面,平面,平面.
（2）求证:.
证明如图，连接,,设,,连接,
平面,平面,平面平面,,,,,,点是的重心,点是的中点,,,.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】直线与平面平行的判定
例1（1）有五个说法:①若直线平面,平面,,则；②若直线平面,则与平面内任何直线都平行；③若直线平面,平面平面,则直线平面；④如果,平面,那么平面；⑤对于异面直线、存在唯一一对平面、使得平面,平面,且.其中正确的个数是()
C
A.0 B.1 C.2 D.3
交,故与平面不平行,可知A满足题意.
【题型二】直线与平面平行的性质定理的应用
例2如图，是所在平面外一点,是的中点,在上任取点,过和作平面交平面于.证明:.
证明如图，连接,交于点,连接.
因为四边形为平行四边形,所以是的中点.又是的中点,所以.因为平面,平面,所以平面.又平面平面,平面,所以.
知识点2. 直线和平面平行的性质
文字语言:若一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记为线面平行,则线线平行.符号语言:若,,,则.图形语言:
诠释:直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行,则线线平行”.可以用符号表示:若,,,则.这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理,用该定理判断直线与平行时,必须具备三个条件:（1）直线和平面平行,即；（2）平面和相交,即；（3）直线在平面内,即.三个条件缺一不可,在应用这个定理时,要防止出现“一条直线平行于一个平面,就平行于这个平面内一切直线”的错误.

江苏高中数学—直线和平面平行及平面与平面平行

高三数学第一轮复习讲义直线和平面平行及平面与平面平行一．复习目标：1．了解直线和平面的位置关系；掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理． 2．了解平面和平面的位置关系；掌握平面和平面平行的判定定理和性质定理．二．课前预习：1．已知直线a 、b 和平面α，那么b a //的一个必要不充分的条件是（ D ） ()A α//a ，α//b ()B α⊥a ，α⊥b()C α⊂b 且α//a ()D a 、b 与α成等角2．α、β表示平面，a 、b 表示直线，则α//a 的一个充分条件是（ D ） ()A βα⊥，且β⊥a ()B b =βα ，且b a // )(C b a //，且α//b ()D βα//，且β⊂a3.已知平面//α平面β，P 是βα,外一点，过点P 的直线m 与βα,分别交于点C A ,，过点P 的直线n 与βα,分别交于点D B ,，且6=PA ，9=AC ，8=PD ，则BD 的长为（ B ）()A 16 ()B 24或524()C 14 ()D 204．空间四边形ABCD 的两条对角线4=AC ，6=BD ，则平行于两对角线的截面四边形的周长的取值范围是．答案：（8，12）三．例题分析：例1．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中． (1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ；(2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．证明：(1)由B 1B ∥DD 1，得四边形BB 1D 1D∴B 1D 1∥BD ，又BD ⊄平面B 1D 1C ，B 1D 1⊂平面B 1D 1C ， ∴BD ∥平面B 1D 1C ．同理A 1D ∥平面B 1D 1C ．而A 1D ∩BD ＝D ，A 1∴平面A 1BD ∥平面B 1CD ．(2)由BD ∥B 1D 1，得BD ∥平面EB 1D 1．取BB 1中点G ，∴AE ∥B 1G ．从而得B 1E ∥AG ，同理GF ∥AD ． ∴AG ∥DF ． ∴B 1E ∥DF ． ∴DF ∥平面EB 1D 1． ∴平面EB 1D 1∥平面FBD ．说明要证“面面平面”只要证“线面平面”，要证“线面平行”，只要证“线线平面”，故问题最终转化为证线与线的平行．小结：例2．如图，已知M 、N 、P 、Q 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：(1)线段MP 和NQ 相交且互相平分；(2)AC ∥平面MNP ，BD ∥平面MNP ．证明：(1) ∵M 、N 是AB 、BC 的中点，∴MN ∥AC ，MN ＝21AC ． ∵P 、Q 是CD 、DA 的中点，∴PQ ∥CA ，PQ ＝21CA ． ∴MN ∥QP ，MN ＝QP ，MNPQ 是平行四边形． ∴□MNPQ 的对角线MP 、NQ 相交且互相平分．(2)由(1)，AC ∥MN ．记平面MNP (即平面MNPQ )为α．显然AC ⊄α．否则，若AC ⊂α，由A ∈α，M ∈α，得B ∈α；由A ∈α，Q ∈α，得D ∈α，则A 、B 、C 、D ∈α，BA DC PNQM与已知四边形ABCD 是空间四边形矛盾．又∵MN ⊂α，∴AC ∥α，又AC ⊄α，∴AC ∥α，即AC ∥平面MNP ．同理可证BD ∥平面MNP ．小结：例3．已知正四棱锥ABCD S -的底面边长为a ，侧棱长为a 2，点Q P ,分别在BD 和SC 上，并且2:1:=PD BP ，//PQ 平面SAD ，求线段PQ 的长．解：延长CP 交DA 延长线于点R ，连SR ，可证得SR PQ //，由PBC ∆与PDR ∆相似及已知求得a DR 2=．在等腰SAD ∆中，求出41cos =∠SAD ，又在SDR ∆中，由于余弦定理求得a SR 6=．∵SR PQ //，∴31===BD BP CR CP SR PQ ，∴a SR PQ 3631==．小结：四．课后作业：班级学号姓名1．设线段CD AB ,是夹在两平行平面βα,间的两异面线段，点α∈C A ,，β∈D B ,，若N M ,分别为CD AB ,的中点，则有（ C ）()A )(21BD AC MN += ()B )(21BD AC MN +>()C )(21BD AC MN +< ()D )(21BD AC MN +≤2．βα,是两个不重合平面，m l ,是两条不重合直线，那么βα//的一个充分条件是（ C ） ()A α⊂l ，α⊂m ，且β//l ，β//m ()B α⊂l ，β⊂m ，且m l // ()C α⊥l ，β⊥m ，且m l // ()D α//l ，β//m ，且m l //3．在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，H G F E ,,,分别为棱1CC 、11D C 、D D 1、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件时，有//MN 平面11BDD B ．（点M 在线段FH 上）4．在长方体1111D C B A ABCD -中，经过其对角线1BD 的平面分别与棱1AA 、1CC 相交于F E ,两点，则四边形1EBFD 的形状为．（平行四边形） 5．如图，A ，B ，C ，D 四点都在平面α，β外，它们在α内的射影A 1，B 1，C 1，D 1是平行四边形的四个顶点，在β内的射影A 2，B 2，C 2，D 2在一条直线上，求证：ABCD 是平行四边形．AB B 2β证明：∵ A ，B ，C ，D 四点在β内的射影A 2，B 2，C 2，D 2 在一条直线上，∴A ，B ，C ，D 四点共面．又A ，B ，C ，D 四点在α内的射影A 1，B 1，C 1，D 1是平行四边形的四个顶点， ∴平面ABB 1A 1∥平面CDD 1C 1．∴AB ，CD 是平面ABCD 与平面ABB 1A 1，平面CDD 1C 1的交线． ∴AB ∥CD ．同理AD ∥BC ．∴四边形ABCD 是平行四边形．6．若一直线与一个平面平行，则过平面内的一点且与这条直线平行的直线必在此平面内．解：如图，设α//a ，α∈A ，a AB //．由a AB //，∴它们确定一个平面β，设B A '=βα ，可证B A a '//，在平面β内，过点A 存在a AB //，a B A //'，∴AB 与B A '重合，即α⊂AB ．7．点P 是ABC ∆所在平面外一点，C B A ''',,分别是PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的重心，求证：（1）平面ABC //平面C B A '''；（2）求AB B A :''．证明：（1）如图，分别取CA BC AB ,,的中点Q N M ,,，连结QM NQ MN PQ PN PM ,,,,,，∵C B A ''',,分别是PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的重心， ∴C B A ''',,分别在PM PQ PN ,,上，且3:2:::==='PQ PB PN PA PM C P ．在PMN ∆中，32='='PN A P PM C P ，故MN A C //''，又N M ,为ABC ∆的边BC AB ,的中点，AC MN //，∴AC C A //''，∴//C A ''平面ABC ，同理//B A ''平面ABC ∴平面ABC //平面C B A '''．（2）由（1）知32=''QN B A ，21=AB QN ， ∴3:1:=''AB B A ．α βA Ba B ' A B C N M Q A 'B 'C ' P。

【2020年江苏省高考数学考点探究】专题49 直线与平面、平面与平面平行(解析版)

专题49 直线与平面、平面与平面平行专题知识梳理1．直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行．(2)判定定理与性质定理则a则过这条直线的任一a2．平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面．(2)判定定理与性质定理则这两个平面a a则其中一个平面那么它们的交线平α3(1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.考点探究考向1 直线与平面平行的判定【例】在四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面P AD . 【解析】(1)连接EC ，∵AD ∥BC ，BC ＝12AD ，E 为AD 的中点，∴BC =AE ，BC ∥AE∴四边形ABCE 是平行四边形，∴O 为AC 的中点，又∵F 是PC 的中点，∴FO ∥AP ，又FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ， ∴AP ∥平面BEF .(2)连接FH ，OH ，∵F ，H 分别是PC ，CD 的中点，∴FH ∥PD ，又PD ⊂平面P AD ，FH ⊄平面P AD ，∴FH ∥平面P AD . 又∵O 是BE 的中点，H 是CD 的中点，∴OH ∥AD ，又∵AD ⊂平面P AD ，OH ⊄平面P AD ，∴OH ∥平面P AD . 又FH ∩OH ＝H ，∴平面OHF ∥平面P AD . 又∵GH ⊂平面OHF ，∴GH ∥平面P AD . 题组训练1.如图，在三棱柱A 1B 1C 1ABC 中， E ，F 分别是A 1B ，AC 1的中点.求证：EF ∥平面ABC.【解析】如图，连结A1C，因为三棱柱A1B1C1ABC中，四边形AA1C1C是平行四边形，所以点F在A1C上，且为A1C的中点.在△A1BC中，因为E，F分别是A1B，A1C的中点，所以EF∥BC.因为BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，所以EF∥平面ABC.2.在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．【解析】如图，取CD的中点E.连接AE，BE，由于M，N分别是△ACD，△BCD的重心，所以AE，BE分别过M，N，则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.因为AB⊂平面ABD，MN⊄平面ABD，AB⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.3.如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．【解析】（1）∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平面ABD.又∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB，又∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB ∥平面EFGH .同理可证，CD ∥平面EFGH .(2) 设EF ＝x (0<x <4)，∵EF ∥AB ，FG ∥CD ，∴CF CB ＝x 4，则FG 6＝BF BC ＝BC －CF BC ＝1－x4.∴FG ＝6－32x .∵四边形EFGH 为平行四边形，∴四边形EFGH 的周长l ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋6－32x ＝12－x . 又∵0<x <4，∴8<l <12，即四边形EFGH 周长的取值范围是(8,12)．4.下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是________．【解析】①中，易知NP ∥AA ′，MN ∥A ′B ，∴平面MNP ∥平面AA ′B ，可得出AB ∥平面MNP (如图)． ④中，NP ∥AB ，能得出AB ∥平面MNP .在②③中不能判定AB ∥平面MNP .5.如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AB ＝AC ，M ，N ，P 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点．求证：A 1N ∥平面AMP.【解析】取C 1B 1中点D ，连结A 1D ，DN ，DM ，B 1C.由于D ，M 分别为C 1B 1，CB 的中点，所以DM ∥CC 1且DM ＝CC 1，故DM ∥AA 1且DM ＝AA 1.则四边形A 1AMD 为平行四边形，所以A 1D ∥AM.又A 1D ⊄平面APM ，AM ⊂平面APM ，所以A 1D ∥平面APM.由于D ，N 分别为C 1B 1，CC 1的中点，所以DN ∥B 1C.又P ，M 分别为BB 1，CB 的中点，所以MP ∥B 1C.则DN ∥MP.又DN ⊄平面APM ，MP ⊂平面APM ，所以DN ∥平面APM.由于A 1D∩DN ＝D ，所以平面A 1DN ∥平面APM. 由于A 1N ⊂平面A 1DN ，所以A 1N ∥平面APM.考向2 直线与平面平行的性质【例】如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，CC 1＝4，M 是棱CC 1上的一点.若点N 是AB 的中点，且CN ∥平面AB 1M ，求CM 的长.【解析】如图，取AB 1的中点P ，连结NP ，PM.因为点N 是AB 的中点，所以NP ∥BB 1.因为CM ∥BB 1，所以NP ∥CM ，所以NP 与CM 共面.因为CN ∥平面AB 1M ，平面CNPM∩平面AB 1M ＝MP ，所以CN ∥MP. 所以四边形CNPM 为平行四边形，所以CM ＝NP ＝12CC 1＝2.题组训练1.如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH . 求证：AP ∥GH .【解析】如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接MO ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点，又M 是PC 的中点， ∴AP ∥OM .又MO ⊂平面BMD ，P A ⊄平面BMD ，∴P A ∥平面BMD . ∵平面P AHG ∩平面BMD ＝GH ，且P A ⊂平面P AHG ，∴P A ∥GH .2.如图，在四棱锥V -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，E ，F 分别为侧棱VC ，VB 上的点，且满足VC ＝3EC ，AF ∥平面BDE ，则VBFB＝________.【解析】连接AC 交BD 于点O ，连接EO ，取VE 的中点M ，连接AM ，MF ，由VC ＝3EC ⇒VM ＝ME ＝EC .又AO ＝CO ⇒AM ∥EO ⇒AM ∥平面BDE .又由题意知AF ∥平面BDE ，∴平面AMF ∥平面BDE ⇒MF ∥平面BDE ⇒MF ∥BE ⇒VF ＝FB ⇒VBFB＝2.考向3 平面与平面平行的判定与性质【例】在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，(1)若E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：平面EF A1∥平面BCHG.（2）若点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1，试求ADDC的值．【解析】(1)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G∥EB，A1G=EB∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.又∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EF A，∴平面EF A1∥平面BCHG.（2）连接A1B交AB1于O，连接OD1.由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，所以BC1∥D1O，则A1D1D1C1＝A1OOB＝1.又由题设A1D1D1C1＝DCAD，∴DCAD＝1，即ADDC＝1.题组训练1.如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.【解析】(1)如图所示，设DF与GN交于点O，连接AE，则AE必过点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.因为BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE ∥平面DMF .(2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点，所以DE ∥GN .因为DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ，所以DE ∥平面MNG .因为M 为AB 的中点，所以MN 为△ABD 的中位线，所以BD ∥MN .因为BD ⊄平面MNG ，MN ⊂平面MNG ，所以BD ∥平面MNG . 因为DE ∩BD ＝D ，BD ，DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ∥平面MNG .2.如图，平面α∥平面β，△P AB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，若PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，则AB ＝________.【解析】∵平面α∥平面β，∴CD ∥AB ，则PC P A ＝CD AB ，∴AB ＝P A ×CD PC ＝5×12＝52.3.如图，斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点．(1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1? (2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求ADDC 的值．【解析】(1)当A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1.如图，连接A 1B 交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质知，四边形A 1ABB 1为平行四边形，所以点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中，O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点，∴OD 1∥BC 1. 又OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1，∴BC 1∥平面AB 1D 1. ∴当A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1.(2)由已知，平面BC 1D ∥平面AB 1D 1且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O .因此BC 1∥D 1O ，同理AD 1∥DC 1.∴A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB ，A 1D 1D 1C 1＝DC AD .又A 1O OB ＝1，∴DC AD ＝1，即ADDC＝1.。

江苏省句容市第三中学2020届高三数学上学期立体几何 4直线与平面、平面与平面垂直的判定和性质(1)教学案

直线与平面、平面与平面垂直的判定和性质（1）【教学目标】理解直线与平面垂直的判定定理，并能运用图形语言和符号语言表述这些定理及证明．【教学重点】空间线面垂直的概念，能正确地判断空间线线、线面与面面的位置关系．【教学难点】线面垂直的判定定理和性质定理中“线线”、“线面”、“面面” 垂直的相互转化．【教学过程】一、知识梳理：1．直线与平面垂直定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直，记作．2．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的直线，那么这条直线垂直于这个平面.直线与平面垂直的判定定理用符号语言．．．．表示为： α⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫a ________________________________________________．注：线线垂直⇒线面垂直．3．直线与平面垂直的性质定理：如果_________垂直于同一个______，那么这两条直线_________．用符号表示：a ⇒⎭⎬⎫______________∥b ．4．直线和平面所成的角：平面的一条斜线与它在这个平面内的______所成的_______，叫做这条直线与这个平面所成的角．规定：当直线与平面垂直或平行(含直线在平面内)时，则直线和平面所成的角分别为；．直线与平面所成的角的范围______________．二、基础自测：1．直线a 不垂直于平面α，则α内与a 垂直的直线有条．2．已知m 、n 为直线，α、β为平面，给出下列命题：①⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥αm ⊥n ⇒n ∥α； ②⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥βn ⊥β⇒m ∥n ； ③⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥αm ⊥β⇒α∥β； ④⎩⎪⎨⎪⎧m ⊂αn ⊥βα∥β⇒m ∥n ．其中正确的命题序号是_____________．3．①若直线m l ⊥，则//m α；②若m α⊥则//m l ；③若//m α，则m l ⊥；④若//m l ，则m α⊥．若直线l α⊥平面，则上述判断正确的是．4．设O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，P 为平面AC 外一点，且PA =PC ，PB =PD ，则PO 与平面ABCD 的关系是．αa b三、典型例题：例1．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E 是PC的中点．（1）求证：CD⊥AE；（2）求证：PD⊥面ABE．【变式拓展】如图，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N，求证：（1）BC⊥平面PAC；（2）PB⊥平面AMN．例2．如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，D为BC的中点．（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；（2）求证：A1B∥平面ADC1.例3．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点.求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE.四、课堂反馈：1．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β.给出下列命题：(1)α∥β⇒l⊥m； (2)α⊥β⇒l∥m； (3)l∥m⇒α⊥β； (4)l⊥m⇒α∥β.其中正确的命题是________(填序号)．2．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)3．已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是________.(填序号)①l∥m，l⊥α；②l⊥m，l⊥α；③l⊥m，l∥α；④l∥m，l∥α.五、课后作业：学生姓名：___________ 1．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的条件．2．如果直线l⊥平面α，①若直线m⊥l，则m∥α；②若m⊥α，则m∥l；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α．上述判断正确命题的序号是．3．设l，m表示两条不同的直线，α表示一个平面，从“∥、⊥”中选择适当的符号填入下列空格，使其成为正确命题，即：________⎫⇒⎬⎭l mlαmα．4．如图，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥BE；（2）设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．求证：MN∥平面DAE．5．ABD∆和BCD∆都是等边三角形，E F O、、分别是AD BD AC、、的中点，G是OC的中点；（1）求证：BD FG⊥；（2）求证：//FG平面BOE．6．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：（1）CD⊥AE；（2）PD⊥平面ABE．7．如图，在三棱锥ABCP-中，D，E，F分别为棱ABACPC,,的中点，已知ACPA⊥，,6=PA.5,8==DFBC求证：（1）直线//PA平面DEF；（2）平面⊥BDE平面ABC．ABCDEFGO（第16题）PDCEFBA。

江苏省句容市第三中学高三数学上学期立体几何 8立体几何综合(2)教学案(无答案)

B A DC FE 立体几何综合（2）【教学目标】用图形语言和符号语言表述这些定理，并能运用定理证明一些简单的垂直关系．【教学重点】运用线面、面面平行、垂直的判定定理和性质定理．【教学难点】空间图形中的文字语言、图形语言、符号语言的正确对译，准确转换是解题的关键．【教学过程】一、知识梳理：1．解答立体几何证明题必须综合条件和结论两方面的信息，充分利用已知的位置关系中的性质定理化归结论中位置关系所需的判定定理，从而打通思路；2．线线、线面、面面平行的相互转化关系，三者之间可以进行转化，因此要判定某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程；3．利用化归思想将三者有机结合，以及相互转化证明问题是高考的热点和重点，必须加以强化．二、基础自测：1．给定空间中直线l 及平面α.条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的___________________条件．2．已知α、β、γ是三个互不重合的平面， l 是一条直线，给出下列四个命题：①若α⊥β，l ⊥β，则l ∥α； ②若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β； ③若l 上有两个点到α的距离相等，则l ∥α； ④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β．其中正确命题的序号是______ __．3．,m n 是空间两条不同直线，,αβ是两个不同平面，下面有四个命题：①,//,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥； ②,//,//m n m n αβαβ⊥⊥⇒；③,//,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥； ④,//,//m m n n ααββ⊥⇒⊥．其中真命题的编号是．（写出所有真命题的编号）三、典型例题：例1．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，90AEB ∠=o ，BE BC =，F 为CE 的中点．求证：（1）AE ∥平面BDF ；（2）平面BDF ⊥平面ACE ．例2．已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAB是等边三角形，侧面SCD是以CD为斜边的直角三角形，E为CD的中点，M为SB的中点．（1）求证：CM∥平面SAE；（2）求证：SE⊥平面SAB；（3）求三棱锥S-AED的体积．例3．在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．（1）求四棱锥P－ABCD的体积V；（2）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；（3）求证：CE∥平面PAB．PABCD EFAB CD ESM【变式拓展】如图1所示，在Rt △ABC 中，AC = 6，BC = 3，∠ABC = 90°，CD 为∠ACB 的平分线，点E 在线段AC 上，CE = 4．如图2所示，将△BCD 沿CD 折起，使得平面BCD ⊥平面ACD ，连结AB ，点F 是AB 的中点．（1）求证：DE ⊥平面BCD ；（2）若EF ∥平面BDG ，其中G 为直线AC 与平面BDG 的交点，求三棱锥B - DEG 的体积．四、课堂反馈：1．已知△ABC 为等腰直角三角形，斜边BC 上的中线AD = 2，将△ABC 沿AD 折成60°的二面角，连结BC ，则三棱锥C - ABD 的体积为．2．在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α，β，则有22cos cos 1αβ+=．类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则有．五、课后作业：学生姓名：___________1．下列命题正确的序号是．（其中,l m 表示直线，,,αβγ表示平面）①若,,,l m l m αβαβ⊥⊥⊥⊥则； ②若,,,l m l m αβαβ⊥⊂⊂⊥则；③若,//,αγβγαβ⊥⊥则； ④若//,,,l m l m αβαβ⊥⊂⊥则.2．已知n m ,是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：①若//,//m n αα，则//m n ； ②若,m n αα⊥⊥，则//m n ；③若//,m n αα⊥，则n m ⊥； ④若,m m n α⊥⊥，则//n α．其中正确命题的序号有．3．设a 、b 是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列四个命题中正确的是． ①若a ⊥b ，a ⊥α，则b ∥α； ②若a ∥α，α⊥β，则a ⊥β；③若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α； ④若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β．4．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，DE ⊥平面ABCD ．（1）求证：AB ∥EF ；（2）求证：平面BCF ⊥平面CDEF ．A C BD E F BA C DEP A B CD E5．多面体ABCDE 中，1====AE AC BC AB ，2=CD ，ABC AE 面⊥，CD AE //．（1）求证：BCD AE 面//；（2）求证：BCD BED 面面⊥；（3）求点C 到面ABE 的距离．6．在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥平面PAD ， PD ＝AD ，AB ＝2DC ，E 是PB 的中点．求证：（1）CE ∥平面PAD ；（2）平面PBC ⊥平面PAB ．A B CDEC E ABD F。

近年高中数学第1章立体几何初步第二节点、直线、面的位置关系3直线与平面平行的判定习题苏教版必修2(

2018高中数学第1章立体几何初步第二节点、直线、面的位置关系3 直线与平面平行的判定习题苏教版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018高中数学第1章立体几何初步第二节点、直线、面的位置关系3 直线与平面平行的判定习题苏教版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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直线与平面平行的判定(答题时间：40分钟）*1. 若直线a不平行于平面α，且a α，则下列结论成立的是（ )A. α内的所有直线与a异面 B。

α内的直线与a都相交C. α内存在唯一的直线与a平行D. α内不存在与a平行的直线＊2. 长方体ABCD－A1B1C1D1中,E为AA1的中点,F为BB1的中点，与EF平行的长方体的面有________个。

＊＊3. (天津二模）如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD ＝2AB，PA⊥底面ABCD,E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系是________。

**4。

（泰州检测)在正方体ABCD－A1B1C111BD1与过点A、C、E的平面的位置关系是________。

*＊5. 如图,在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱C1C、C1D1、D1D、DC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1，其中N是BC的中点。

（填上一个正确的条件即可，不必考虑全部可能的情况）*6. 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，与BC平行的平面是________；与BC1平行的平面是________；与平面A1C1和平面A1B都平行的棱是________。

2021-2022年高三数学上学期立体几何3直线与平面、平面与平面平行的判定和性质(2)教学案(无答

2021年高三数学上学期立体几何3直线与平面、平面与平面平行的判定和性质（2）教学案（无答案）【教学目标】能用图形语言和符号语言表述这些定理，并能运用定理证明一些简单的平行关系．【教学重点】直线与平面平行的判定定理的应用，以及如何转化为线线平行．【教学难点】线面、面面平行的判定定理和性质定理．【教学过程】一、知识梳理：1．直线与平面的位置关系：、、．2．空间两个平面的位置关系：、．3．直线与平面平行的判定与性质定理：（1）判定定理：如果一条直线和一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；（2）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和平行；4．平面和平面平行判定定理和性质定理：（1）判定定理：如果一个平面内的两条直线平行于另一平面，那么这两个平面平行；（2）性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线．二、基础自测：1．下列条件中，不能判断两个平面平行的是（填序号）．①一个平面内的一条直线平行于另一个平面；②一个平面内的两条直线平行于另一个平面；③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面；④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面．2．已知、是不同的两个平面，直线，直线，命题：与没有公共点；命题：．则是的_______________________条件．3．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：①若a∥b，b∥α，则a∥α；②若ab，a∥α，则b∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b．其中真命题的个数是．4．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为DD1中点，则BD1与过点A、E、C平面的位置关系是．5．下列命题，其中真命题的个数为．①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，直线，则a∥α；④若直线a∥b，b∥α，则直线a平行于平面α内的无数条直线．三、典型例题：例1．如图，P为ABCD所在平面外一点，M，N分别为AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l．（1）判断BC与l的位置关系，并证明你的结论；（2）判断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论．【变式拓展】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM 上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．求证：AP∥GH．例2．如图，在四棱锥P -ABCD中，M，N分别是侧棱PA和底面BC边的中点，O是底面平行四边形ABCD的对角线AC的中点．求证：过O、M、N三点的平面与侧面PCD平行．例3．如图，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E为PC的中点.（1）求三棱锥A—PDE的体积；（2）AC边上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM？若存在，求出AM长；若不存在，请说明理由.四、课堂反馈：1．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题①⎭⎪⎬⎪⎫α∥cβ∥c⇒α∥β②⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β③⎭⎪⎬⎪⎫α∥ca∥c⇒a∥α④⎭⎪⎬⎪⎫a∥γα∥γ⇒α∥a其中正确的命题是________(填序号)．2．设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的充分而不必要条件是________.(填序号)①m∥β且l1∥α；②m∥l1且n∥l2；③m∥β且n∥β；④m∥β且n∥l2.五、课后作业：学生姓名：___________ 1．为平面，为直线，如果∥，那么“”是“”的_______ __条件．2．是两个不同平面，，是两条不同直线，给出论断：①，②，③∥，④∥以其中三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题 __ ．3．设x、y、z是空间不同的直线或平面，下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面，其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是________．4．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l、m 为直线，α、β为平面)，则此条件为_______________．①⎭⎪⎬⎪⎫m⊂αl∥m⇒l∥α；②⎭⎪⎬⎪⎫l∥mm∥α⇒l∥α；③⎭⎪⎬⎪⎫l⊥βα⊥β⇒l∥α.5．下列命题中，正确命题的个数是．①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．6．如图，PA⊥平面AC，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点．求证：AF∥平面PCE．7．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1C的中点．（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求三棱锥E－BCD的体积．8．如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD．（1）求证：BE＝DE；（2）若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC．。

江苏省句容市第三中学高三数学上学期解析几何3两条直

两条直线的位置关系（1）【教学目标】直线方程判断两条直线的位置关系及其简单的应用，会求两直线的交点坐标．【教学重点】能根据斜率判定两条直线平行或垂直．【教学难点】直线平行与垂直判断的充要条件．【教学过程】一、知识梳理：1．两条直线的位置关系有、、．2．两直线的位置关系：①设1l ：y =1k x ＋1b ；2l ：y =2k x ＋2b ．（1）1l 与2l 相交⇔ ； 1l ⊥2l ⇔ ；（2）1l ∥2l ⇔ ；1l 与2l 重合⇔ ． ②设0:1111=++C y B x A l ；0:2222=++C y B x A l ．（1）1l 与2l 相交⇔ ；1l ⊥2l ⇔ ；（2）1l ∥2l ⇒ ；1l 与2l 重合⇒ ．3．设直线0:1111=++C y B x A l ；0:2222=++C y B x A l ，两条直线相交，其交点坐标就是．二、基础自测：1．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的条件．2．“直线ax ＋y ＋2＝0和直线2x ＋(a －1)y ＋2＝0平行”的充要条件是“a ＝ ”．3．直线l 1：mx ＋4y －2＝0与直线l 2：2x －5y ＋n ＝0垂直且垂足为(1，p )，则m －n ＋p 的值．4．当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第________象限．三、典型例题：例1．已知直线L 1：x +my +6=0，L 2：（m -2）x +3y +2m =0，当m 为何值时，L 1、L 2分别：（1）垂直；（2）相交；（3）平行；（4）重合．【变式拓展】已知两条直线0)53(4)3:1=-+++m y x m l （，08)5(2:2=-++y m x l ，反思：当m分别为何值时，l1与l2：（1）相交；（2）平行；（3）垂直．例2．过点M(0,1)作直线，使它被两已知直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程．【变式拓展】过点P（3，0）作直线l与两直线l1：2x－y-2=0，l2：x+y+3=0分别相交于A、B两点，且点P平分线段AB，求直线l的方程．例3．已知a （0，2），直线1l：ax-2y-2a+4=0和直线2l：2x+a2y-2a2-y-2=0与坐标轴围成一个四边形，要使此四边形的面积最小，求a的值．四、课堂反馈：1．已知直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程为．2．直线Ax＋3y＋C＝0与直线2x－3y＋4＝0的交点在y轴上，则C的值为．3．已知p：直线l1：x－y－1＝0与l2：x＋ay－2＝0平行，q：a＝－1，则p是q的条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不必要也不充分”)．4．若直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0垂直，则实数a＝．五、课后作业：学生姓名：___________ 1．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是(1,2)，则直线PQ的方程是．2．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是________．3．设点A(1,0)，B(－1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是．4．已知m为实数，直线l1：mx＋y＋3＝0，l2：(3m－2)x＋my＋2＝0，则“m＝1”是“l1∥l2”的条件．5．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线x sin A＋ay＋c＝0与bx－y sin B＋sin C＝0的位置关系是．6．直线y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a＝________．7．已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝．8．△ABC顶点A、B的坐标分别是(－a,0)，(a,0)(a＞0)，边AC、BC所在直线的斜率之积等于k. ．①若k＝－1，则△ABC是直角三角形；②若k＝1，则△ABC是直角三角形；③若k＝－2，则△ABC是锐角三角形；④若k＝2，则△ABC是锐角三角形．以上四个命题中正确命题的序号是．9．已知直线l1经过点A(2，a)，B(a－1,3)，直线l2经过点C(1，2)，D(－3，a＋2)．（1）若l1∥l2，求a的值；（2）若l1⊥l2，求a的值．10．已知直线l经过点P(3,1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段之长为5，求直线l的方程．11．已知过点P(9，3)的直线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A，B两点，求A，B之间距离的最小值．12．如图，函数f(x)＝x＋2x的定义域为(0，＋∞).设点P是函数图象上任一点，过点P分别作直线y＝x和y轴的垂线，垂足分别为M，N．（1）证明：PM·PN为定值；（2）O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．。

2019_2020学年高中数学第1章立体几何初步1.2.3直线与平面的位置关系(第1课时)直线与平面平行讲义苏教版

第1课时直线与平面平行1．直线和平面的位置关系(1)自然语言：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(2)图形语言：如图所示．(3)符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊄αb αa ∥b ⇒a ∥α． 3．直线与平面平行的性质定理(1)自然语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．(2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫l ∥αl βα∩β＝m ⇒l ∥m ．1.思考辨析(1)若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α. ( ) (2)若直线a 在平面α外，则a ∥α.( ) (3)若直线a ∩b ＝，bα，则a ∥α.( )(4)若直线a ∥平面α，则直线a 平行于平面α内的无数条直线．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√[提示] (1)l 也可能在平面α内．(2)直线a 也可能和平面α相交．(3)a ∥α或a α或a 与平面α相交．2．如果直线a ∥b ，且a ∥平面α，那么b 与平面α的位置关系是________．b ∥α或b α [若a ∥b ，且a ∥平面α，则b 与平面α的位置关系如图所示．]3．能保证直线a 与平面α平行的条件是__________(填序号)． (1)b α，a ∥b ；(2)b α，c ∥α，a ∥b ，a ∥c ；(3)b α，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，且AC ∥BD ； (4)aα，bα，a ∥b .(4) [由线面平行的判定定理可知(4)正确．]4．如图所示的三棱柱ABC A 1B 1C 1中，过A 1B 1的平面与平面ABC 交于直线DE ，则DE 与AB 的位置关系是__________．平行 [∵ABC A 1B 1C 1是三棱柱，∴A 1B 1∥AB .又∵A 1B 1平面ABC ，AB平面ABC ，∴A 1B 1∥平面ABC . ∵A 1B 1平面A 1B 1ED ，平面A 1B 1ED ∩平面ABC ＝DE ，∴A 1B 1∥DE ，∴DE∥AB .]①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；④一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．(2)下列命题中，a，b，l表示直线，α表示平面．①若aα，bα，且a，b不相交，则a∥b；②若aα，bα，a∩b＝A，lα，且l和a，b均不相交，则l∥α；③若点A a，则过点A可以作无数个平面与a平行；④若a与α内的无数条直线不相交，则a∥α.其中正确的命题有______．(把你认为正确的序号都填上)思路探究：利用线面平行的定义，借助图形分析判断．(1)②(2)③[(1)如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以①错；如果一条直线与一个平面相交，在这个平面内作过交点的直线垂直于这条直线，那么在这个平面内与所作直线平行的直线都与已知直线垂直，有无数条，所以②正确；③显然错误；而④，也有可能相交，所以也错误．(2)①错误．如图(a)，满足aα，bα，且a，b不相交，但a与b不平行．②错误．如图(b)，满足aα，bα，a∩b＝A，lα，且l和a，b均不相交，但l 与α相交．③正确．如图(c)，点A a，过点A可以作无数个平面与a平行．④错误．当a与α相交时，也有a与α内的无数条直线不相交．]空间中直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．1．下列命题中正确的个数是________个．①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点． 1 [①中，l 可与α相交，故①错．②中，α内的直线可能与l 异面，故②错．③中，另一条直线可能在这个平面内，故③错．④中，由l 与α平行的定义知④正确．]MN ∥平面PAD .思路探究：取PD 中点E ，证明ENAM .[证明] 如图所示，取PD 的中点E ，连结AE ，NE .∵N 是PC 的中点， ∴EN 12DC . 又∵AM12CD ，∴NE AM .∴四边形AMNE 是平行四边形． ∴MN ∥AE . 又∵AE平面PAD ，MN平面PAD ，∴MN ∥平面PAD .利用判定定理证明直线与平面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．2．如图，S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M ，N 分别是SA ，BD 上的点，且AM SM ＝DN NB.求证：MN ∥平面SBC .[证明] 连结AN 并延长交BC 于P ，连结SP ， ∵AD ∥BC ，∴DN NB ＝ANNP，又∵AM SM ＝DNNB，∴AM SM ＝ANNP，∴MN ∥SP ，又MN 平面SBC ，SP 平面SBC ， ∴MN ∥平面SBC .1．若a ∥α，b α，那么a 与b 的位置关系是怎样的？a 与b 有没有可能平行？在什么条件下平行？[提示] a 与b 平行或异面，当a ，b 同在一平面内时，a ∥b . 2．如图，若a ∥b ，a α，b α，α∩β＝c ，且c ∥a .那么a 与β，b 与β是什么关系？[提示] a ∥β，b ∥β.3．一个长方体木块如图所示，要经过平面A 1C 1内一点P 和棱BC 将木块锯开，应该怎样画线？[提示] 在平面A 1C 1内，过点P 作EF ∥B 1C 1，分别交A 1B 1，C 1D 1于E ，F .连结BE ，CF ，则BE ，CF 和EF 就是所要画的线，如图．【例3】如图，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH .求证：PA ∥GH .思路探究：要证线线平行，先证线面平行，再证另一线为过已知直线的平面与已知平面的交线．[证明] 如图，连结AC 交BD 于点O ，连结MO .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点．又M 是PC 的中点， ∴AP ∥OM .根据直线和平面平行的判定定理，则有PA ∥平面BMD . ∵平面PAHG ∩平面BMD ＝GH ，根据直线和平面平行的性质定理，∴PA ∥GH .证明与平行有关的问题时，线面平行的判定定理、性质定理、公理4常结合起来使用，并常利用下面的关系：线线平行――→判定定理线面平行――→性质定理线线平行．运用线面平行的性质定理时，应寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线需作出辅助平面．3．如图所示，已知两条异面直线AB 与CD ，平面MNPQ 与AB ，CD 都平行，且点M ，N ，P ，Q 依次在线段AC ，BC ，BD ，AD 上，求证：四边形MNPQ 是平行四边形．[证明] ∵AB ∥平面MNPQ ，且过AB 的平面ABC 交平面MNPQ 于MN ，∴AB ∥MN . 又过AB 的平面ABD 交平面MNPQ 于PQ ， ∴AB ∥PQ ，∴MN ∥PQ . 同理可证NP ∥MQ .故四边形MNPQ是平行四边形．1．本节课的重点是会判断直线与平面的位置关系，会用符号语言和图形语言表示直线与平面的位置关系，难点是会用直线与平面平行的判定定理和性质定理求解相关题目．2．本节课重点掌握的规律方法(1)直线与平面位置关系的判断方法．(2)证明直线与平面平行的方法．3．本节课的易错点是判断直线与平面的位置关系，以及直线与平面平行的判定定理和性质定理的应用．1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)正确的个数为________．①若a∥b，bα，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，bα，则a∥b.0[①错，a∥α或aα；②错，a与b也可能相交；③错，a∥α或aα；④错，a 与b也可能异面．]2．长方体ABCDA1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为BB1的中点，与EF平行的长方体的面有________个．3[如图，∵EF∥A1B1，∴EF∥平面A1B1C1D1.同理EF∥平面ABCD，EF∥平面DD1C1C.]3．直线a∥平面α，过α内一点A的所有直线中与直线a平行的直线条数为__________．1[过直线a和点A的平面与平面α有一条交线l，只有l满足在平面α内过点A且与a平行．]4．如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各取一点P，Q，且AP＝DQ.求证：PQ ∥平面BCE .[证明] 如图所示，在平面ABEF 内过P 作PM ∥AB 交BE 于点M ，在平面ABCD 内过点Q 作QN ∥AB 交BC 于点N ，连结MN .∵PM ∥AB ，∴PM AB ＝PEAE.又∵QN ∥AB ∥CD ，∴QN DC ＝BQ BD ，即QN AB ＝BQ BD. ∵正方形ABEF 与ABCD 有公共边AB ， ∴AE ＝DB .∵AP ＝DQ ，∴PE ＝BQ ，∴PM ＝QN . 又∵PM ∥AB ，QN ∥AB ，∴PM ∥QN . ∴四边形PQNM 为平行四边形． ∴PQ ∥MN .又∵MN 平面BCE ，PQ平面BCE .∴PQ ∥平面BCE .。

江苏省句容市第三中学高三数学上学期 立体几何 2直线与平面、平面与平面平行的判定和性质(1)教学案(