一模材料+常州市第二中学+模拟试卷

常州市第二中学2013年高考数学模拟试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在题中横线上． 1．已知复数z 满足

23i

z i

+=-，则复数z 的实部与虚部之和为 ． 2．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为60颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为 ．

3．设,x y 满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≤+≥+≥52420y x y x x ，则y x z -=2的最大值是 ．

4．全集R U =，2{|2}A x y x x ==-，(){|lg 11}B x x =-<则=⋂B A ____． 5．已知向量()0,1,(1,3),(,)OA OB OC m m ===，若//AB AC ，则实数m = . 6．根据右面的框图，如果打印的数据是62，则输入的正整数=k

____________． 7．已知双曲线中心在原点，渐近线方程为2

x

y ±

=，一个焦点为 )0,5(F ，抛物线)0(22>=p px y 的焦点为双曲线的一个顶点，

则=p ____________．

8．设n m ,是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题

①γβγαβα//////⇒⎭⎬⎫；②βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥m m //；

③βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥//m m ；④αα////m n n m ⇒⎭

⎬⎫⊂； 其中正确的命题是 _________．

9.已知角ϕ的终边经过点)1,1(-P ，点),(),,(2211y x B y x A 是函数

)0)(sin()(>+=ωϕωx x f 图象上的任意两点，若

2)()(21=-x f x f 时，21x x -的最小值为

3π

，则)2

(π

f 的值是 .

10.若过点)1,2(P 的直线l 与圆0742:22=--++y x y x C 相交于两点B A 、，且

060=∠ACB （其中C 为圆心），则直线l 的方程为 ____________．

11．已知函数221,0,

()2,x

x f x x x x ⎧->⎪=⎨--⎪⎩≤0.

若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范

围是 ．

n ≤k

开始

输入正整数k n ←1,S ←0 S ←S+2n 输出S 结束

是

否 n ←n+1

12如图，已知椭圆C 的方程为： 22

221x y a b

+=(0)a b >>，B 是它的下顶点，F 是其右焦

点，BF 的延长线与椭圆及其右准线分别交于P 、Q 两点， 若

点P 恰好是BQ 的中点，则此椭圆的离心率是 .

13.数列{}n a 满足111,1(1)n n n a a a a +>-=-，()n N +∈，且

12

2012

111a a a +++

=2，则201314a a -的最小值为 ．

14．在腰长为1的等腰直角三角形ABC 的腰AB 、AC 上分别取D 、E 两点，使沿线段DE 折叠三角形时，顶点A 正好落在边BC 上．AD 的长度的最小值为 ____________．

二、解答题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. （本题满分14分）

ABC ∆ 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知,,a b c 成等比数列，且3cos 5

B = （1）求cos cos A

C 的值； （2）求tan tan A C +值。

16. （本题满分14分）

如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E 在棱1CC 的延长线上，且

111

12

CC C E BC AB ===

=． （Ⅰ）求证：1D E ∥平面1ACB ； （Ⅱ）求证：平面11D B E ⊥平面1DCB ； （Ⅲ）求四面体11D B AC 的体积．

17.（本题满分14分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）若数列{}n a 是等比数列，满足23132a a a =+， 23+a 是2a ，4a 的等差中项，求

数列

{}n a 的通项公式；

B

E

A

D

C 1

A

1

B 1

C 1

D x

y

O

F

B

Q

P

第12题

（Ⅱ）是否存在等差数列{}n a ，使对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ⋅=+？若存在，请求出所有满足条件的等差数列；若不存在，请说明理由．

18.（本题满分16分）

轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC 是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1米的平台上E 处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE （抛物线CDE 与抛物线ABC

在同一平面内），D 为这段抛物线的最高点．现在运动员

的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x 轴在地面上，助跑道一端点A(0，4)，另一端点C(3，1)，点B(2，0)，单位：米．

（Ⅰ）求助跑道所在的抛物线方程；

（Ⅱ）若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C 处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求

运动员的飞行距离在4米到6米之间（包括4米和6米），试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？

（注：飞行距离指点C 与点E 的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值．）

19.（本题满分16分）

平面直角坐标系xOy 中，已知⊙M 经过点F 1（0，－c ），F 2（0，c ），A （3c ，0）三点，其中c ＞0．

（1）求⊙M 的标准方程（用含c 的式子表示）；

（2）已知椭圆22

221(0)y x a b a b

+=>>（其中222a b c -=）的左、右顶点分别为D 、B ，

⊙M 与x 轴的两个交点分别为A 、C ，且A 点在B 点右侧，C 点在D 点右侧． ①求椭圆离心率的取值范围；

②若A 、B 、M 、O 、C 、D （O 为坐标原点）依次均匀分布在x 轴上，问直线MF 1与直线DF 2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．

20.（本题满分16分）

已知函数x ax x f ln )(+=，),1(e x ∈，且)(x f 有极值．

24y

O x

E D

C

B

A