第5章刚体定点运动、自由刚体运动、刚体运动的合成陀螺仪近似讲解

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大学物理第5章刚体定轴转动

Fi cos i Fi cos i mi ain mi ri 2 法向：
e i

第一篇
力学
重大数理学院
由于法向力的作用线穿过转轴，其力矩为零。可在切向方程两边乘以 ri ，得到：
Fi e ri sin i Fi i r i sin i mi ri 2
N 1 1 2 2 Ek mi vi mi ri i 1 2 i 1 2 N
1 N 2 mi ri 2 2 i 1
第一篇
力学
重大数理学院
1 N 2 2 则刚体的动能为： Ek mi ri 2 i 1
第一篇 Rigid body
力学
Rotational theorem
转动
重大数理学院
刚体中至少（任意）两质点连线在运动过程中方向变化的运动，称为转动。
转动还包含以下几种特殊形式：定轴转动、定点转动、平面平行运动等。定轴转动刚体在运动过程中，能且只能在刚体上找到两点保持不动，这种运动称为定轴转动。
m2
T2
M,R
T1
m1
第一篇
力学
m2 T2
解：受力分析
重大数理学院
M,R
以 m1 为研究对象（1）
m1 g T1 m1a

刚体运动学的基本原理与公式

刚体运动学的基本原理与公式引言

刚体运动学是物理学中一个重要的分支，研究物体在空间中的运动规律。通过

分析刚体的运动，我们可以揭示物体在空间中的位置、速度和加速度等关键信息。本文将介绍刚体运动学的基本原理和公式，帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。

一、刚体的定义与特性

刚体是指在运动过程中形状和大小不发生变化的物体。与之相对，我们称之为

非刚体的物体在运动过程中可能发生形变。刚体的特性包括质量、形状、大小和位置等。在刚体运动学中，我们主要关注刚体的位置、速度和加速度等运动参数。二、刚体的运动描述

为了描述刚体在运动中的位置和运动状态，我们引入了坐标系和参考点的概念。坐标系用于确定刚体的位置，而参考点则是确定刚体位置的基准点。在刚体运动学中，我们通常使用笛卡尔坐标系来描述刚体的运动。通过选择合适的参考点，我们可以确定刚体的位置矢量。

三、刚体的位移、速度和加速度

刚体的位移是指刚体在运动过程中，由一个位置变换到另一个位置的变化量。

刚体的速度是指刚体在单位时间内所发生的位移。刚体的加速度是指刚体速度的变化率，即单位时间内速度的变化量。在刚体运动学中，我们可以通过求导数的方法来计算刚体的速度和加速度。

四、刚体运动的基本公式

刚体运动学中有一些基本的公式，可以帮助我们计算刚体的运动参数。其中，

最基本的公式是位移公式，即s = v * t，其中s表示位移，v表示速度，t表示时间。通过这个公式，我们可以计算刚体在给定时间内的位移量。另外，我们还可以使用速度公式和加速度公式来计算刚体的速度和加速度。

五、刚体运动的特殊情况

第5章刚体转动及角动量守恒

合外力矩
角动量的时间变化率
（积分形式）
冲量矩
角动量的增量
刚体系统的角动量定理
若一个系统包含多个共轴刚体或平动物体系统的总合外力矩 ∑ ∑ 系统的总角动量的变化率系统的总角动量增量轻绳
（忽略质量）
系统的总冲量矩例如求角加速度
∑
系统：
静止释放
∑ 总合外力矩对O的角动量对O的角动量 ∑ 由得
西汉末丁缓的“被中香炉”是世界上已知最早的常平架，其构造精巧，无论球体香炉如何滚动，其中心的半球形炉体都能始终保持水平。镂空球内有两个环互相垂直而可灵活转动，炉体可绕三个互相垂直的轴转动。其原理与陀螺仪的万向架相同球形外壳和位于中心的半球形炉体之间有两层或三层同心圆环在欧洲，最先提出类似设计的，是文艺复兴时期的大画家、科学家达芬奇（1452-1519），已较我国晚了1000多年。但遗憾的是，这项杰出的创造，在我国仅应用于生活用具。16世纪，意大利人希· 卡丹诺制造出陀螺平衡仪并应用于航海上，使它产生了巨大的作用。
刚体定轴转动的运动方程
刚体
刚体中任一点 (t+△t) (t) 参考方向
2. 角位移
3. 角速度
静止常量变角速
转动平面（包含p并与转轴垂直）
匀角速
转轴用矢量表示或时，它们与刚体的转动方向采用右螺旋定则

刚体的一般运动的运动学与动力学动力学教学课件

ao1 0
7
§4-1、刚体一般运动的运动学
x1
x1
z1
M
z1
o1
v o1 y1
P
aM(ro1M)
aM v Mo 1
vM1o( ro1M) ( z1 x1)ro1M
r x1 o1M
aM ( z1 x1)vM1o
0Rj
z1vM 1 o x1vM 1o02Ri 02Rk
8
§6-4-1、刚体一般运动的运动学
2 z'
a 1r
1 si ' n 1 cj o ' r k 's T25mR22
si ' i c n j ' o k ' s 8
24
§6-4-2、刚体一般运动的动力学
1 2R
应用动能定理 dT W
M O
x'
4M 25mR2
2
T 25mR22
C
8
P
z ' dT25mR2d
（3）动能：
T
12其m 中：vC2T C rT Cr1 2Jc'xx 2 ' 1 2Jc'y
y 2' 1 2Jc'z
2 z'
T1 2vcxvcyvcz mm v vc c y x1 2x'
y'

5-刚体的定轴转动

J
3g sin
l
例4 定轴O
·R 绳 v0=0
m
已知： R =0.2 m ， m =1 kg ， v o=0 ， h =1.5 m ，绳轮无相对滑动，绳不可伸长，下落时间 t =3 s。
求：轮对 O 轴 J= ？
th
解：动力学关系
对轮： TR J (1)
N
T ′= - T
β
R·
am
GT
mg
对 m： mg T ma (2)
例1、一飞轮以角速度0绕轴旋转，飞轮对轴的
转动惯量为J1，另一静止飞轮突然被啮合到同一个轴上，该飞轮对轴的转动惯量为前者的两倍。啮合后整个系统的角速度 (1/3)0 .
利用J1o=(J1+2J1)
5.光滑的水平桌面上, 有一长为 2L、质量为
m 的匀质细杆,可绕过其中点且垂直于杆的竖
直光滑固定轴自由转动,其转动惯量为 mL2/3,
所有点运动轨迹都相同。
转动：刚体各质点都绕同一直线（轴）做圆周运动。
o
Δ
o
平动和转动——可以描述所
有质元（质点）的运动。
Δ 定轴转动：各质元均作圆周
运动，其圆心都在一条固定
不动的直线（转轴）上
二、定轴转动
z 转动平面
v
rP
各点的角量相同
d
d

大学物理第5章刚体的定轴转动

P
r
O
r
与ox轴的夹角为 : 称为角坐标

N
P
x
(3) t时刻刚体 P点角坐标 t+t时刻角坐标
1 = 2= +
t时间内转过的角度

称为角位移
规定：选一转轴的正方向，右手定则：拇指指向转轴方向为正 (4) 刚体角速度
d dt
有正负，
右手定则:所定方向与转轴正向一致为正，反之为负
对于转轴z，
F// ——平行于z轴
ri
A
F

M z ri F
不产生对z轴的力矩
Fn
F
F
M z ri F sin Fh
F ——在转动平面内产生对z轴的力矩
rz
O
r
y

x
力对任意点的力矩，在通过该点的任一轴上的投影
等于该力对该轴的力矩
质点对定点o的动量矩(角动量)
一、一般运动二、刚体的定轴转动三、解决刚体动力学问题的一般方法
基本方法：加
质点系运动定理刚体特性平动：动量定理
刚体定轴转动的动能定理角动量定理
F mac
可以解决刚体的一般运动（平动加转动）
一、一般运动
1. 刚体特殊的质点系，形状和体积不变化 —— 理想化模型在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变 2. 自由度确定物体的位置所需要的独立坐标数 —— 物体的自由度数 z

理论力学哈工大第八版答案

理论力学哈工大第8版电子书简介

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本书可作为高等学校工科机械、土建、水利、航空、航天等专业理论力学课程的教材，亦可作为高职高专、成人高校相应专业的自学和函授教材，也可供有关工程技术人员参考。

本配有丰富的数字课程资源，其中既有供教师使用的资源，也有供学生学习使用的资源。与本书配套的有《理论力学电子教案》（光盘）、

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第5章刚体定轴转动.

边缘上该点的加速度 aana其t 中 a t的方向与 v的方向相反， a 的n 方向指向轮心， a 的大小为
aa t2 a n 2(6 .1 6 13) 0 2 3 .12m 4/s2 6 .1 6 13m 0/s2
a 的方向几乎和 a n 相同
例：当陀螺圆盘的转子的角加速度从零开始与时间成正比的增大，经过5min后，转子以600πrad·s-1的角速度转动，求转子在这段时间内转过的圈数。
]
(A) 必然增大． (B) 必然减少．
(C) 不会改变． (D) 如何变化，不能确定．
解： M J
M FsR in FsR in
M0 MJ0增大
例：一个质量为M，半径为R的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落h高度时的速度和此时滑轮的角速度。
ri
O
ri R
轴向总角动量：
OR
Lz
Liz
miri2
i
i
注意：ri 为质元到转轴的垂直距离。
转动惯量 J miri2
i
特性：（1）与质量有关。（2）与质量对轴的分布有关。（3）与转轴的位置有关。
意义：转动惯量是对刚体转动时惯性大小的量度。
轴向总角动量
LJ
转动惯量的计算

大学物理教程-刚体的定轴转动

例3. 圆环绕中心轴旋转的转动惯量。
解：选圆环上dl长度质量微元dm，
设线密度为 m 2 R
dl
m R
Jz R2 d m R2 d l
O
R22 R
mR2
大学物理教程
延伸：
薄壁圆筒： J mR2
哈尔滨工业大学(威海)
5.2 刚体定轴转动定律 Harbin Institute of Technology at Weihai
z
Mz r
Oi r
Fz F
F
m
rz
O ro
哈尔滨工业大学(威海)
5.2 刚体定轴转动定律 Harbin Institute of Technology at Weihai
5.2.2 刚体定轴转动定律
对质点i：Fi fi miai
切向方向分量式：Fit fit miait miri
两边同乘 ri
哈尔滨工业大学(威海)
5.1 刚体的运动 Harbin Institute of Technology at Weihai
5.1.1 刚体的基本运动
刚体：是一种特殊的质点系统。
无论多大的外力作用其上，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。即受力时形状和体积不变化，
是一种理想化的模型。
刚体基本的运动形式是: 平动、转动或二者的结合。
大学物理教程

5.6 刚体的定点运动进动

17 第5章刚体的定轴转动
1 1 2 mgl = mgl + Jω0 2 2 1 2 3g J = ml ω0 = 2l 3
（2）杆物相碰）守恒）（L守恒）守恒
l m
①
+
M
②
1 2 1 2 ml ω0 = m l + ml ω υ 3 3
12
第5章刚体的定轴转动
1 2 1 2 ml ω0 = m l + ml ω υ 3 3
2
第5章刚体的定轴转动
进动角速度角动量定理而且
r
v v dL = L sinθdφ
v v Mdt = dL
dφ
r dL
L
Lsinθ r
θ
v v v M dt = dL = L sinθdφ v v M M dφ 1 = = v = ∝ dt L sinθ Jωsinθ ω
O
ω↑
3
↓
第5章刚体的定轴转动
θ
O
v υ
小球＋弹簧：机械能守恒小球＋弹簧：机械能E守恒
υ0
v
1 2 1 2 1 2 m 0 + kx = m υ υ 2 2 2
小球运动过程中受有心力作用，角动量守恒小球运动过程中受有心力作用，角动量L守恒
m 0 (l0 + x) = m l0 sin(π −θ ) υ υ

第5章-刚体定点运动、自由刚体运动、刚体运动的合成陀螺仪近似讲解精品资料

第5章刚体定点运动、自由刚体运动、刚体运动的合成∙陀螺仪近似理论

5-1 曲柄OA 绕固定齿轮中心的轴O 转动，在曲柄上安装一双齿轮和一小齿轮，如图所示。已知：曲柄转速r/min 300=n ；固定齿轮齿数600=z ，双齿轮齿数401=z 和502=z ，小齿轮齿数353=z 。求小齿轮的转速和转向。

解：以曲柄OA 为动系分析轮系的运动，轮系相对于动系作定轴转动，0z 齿轮与1z 齿轮相对OA 作反向转动。

设0z 齿轮相对于动系OA 转动角速度为r ω，且0r ωω-=

则 r 1

02r ωωz z -= 因 2z 齿轮与3z 齿轮相对OA 作反向转动

2r 3

23r ωωz z -= 003

012r 10323r 3ωωωω-=-==z z z z z z z z 根据合成运动定理 00312003r 3e 32)(

ωωωωωω-=-+=+=z z z z rad/min 60203-=-=n n （3n 与0n 转向相反）

5-3 在齿轮减速器中，主动轴角速度为0ω，齿轮Ⅱ与定齿轮V 相内啮合。齿轮Ⅱ和Ⅲ又分别与动齿轮I 和Ⅳ相外啮合。如齿轮I 、Ⅱ和Ⅲ的半径分别为1r 、2r 和3r ，求齿轮I 和Ⅳ的角速度。

解：将动系固连在系杆，则轮系相对于系杆作定轴转动，原来静止不动的轮V 相对于系杆运动的角速度为

05ωω-=r

于是轮I 和Ⅳ相对于系杆的角速度分别为

5r 51225r 1)1(ωωωr r r r r r =⋅-= 04

253r 54325r 4)1(ωωωr r r r r r r r =⋅-= 根据角速度合成定理

大学物理-刚体绕定轴转动的角动量

T
ml
mg
质心运动定律 mg T maC
转动定律
mg
l 2
J
ml2 3
2 l
aC
mg T 3 mg 4
T 1 mg 4
五. 进动
现象：陀螺仪在外力矩的作用下，在绕
其对称轴高速转动的同时，横杆也会在
水平面内绕竖直轴缓慢地转动。
进动：高速转动物体的自转轴绕另一
轴线的旋转运动形式。
高速自转的陀螺在陀螺重力对支点O
(2) 角速度 (3) 角加速度
d
dt
d
dt
d 2
dt 2
(4) 线量和角量的关系
s r v r
(5) 匀变速定轴转动
at r
an r 2
0 t
0
0t
1 2
t 2
2 02 2 ( 0 )
2. 刚体绕定轴转动的转动惯量------刚体转动惯性的量度
(1) 转动惯量
J miri2
平衡条件: ay 0
而
m hs
h mg
故
pB pC gh 0
O
pB pC gh p p0 gh
若整个流体沿y方向加速为a，情况怎样？
B
s
p
B
例海底压强。深为3.00km的海底深处压强是多少？
p p0 gh 1.01105 1.03103 9.83103

大学物理第5章刚体转动

et v a
t
at r an r
2
2 a ret r en
例题1、一转动的轮子由于摩擦力矩的作用，在5s内角速度由15rad/s 匀减速地降到10rad/s 。求：(1)角加速度；(2)在此 5s内转过的圈数；(3)还需要多少时间轮子停止转动。解根据题意，角加速度为恒量。 (1) 利用公式 (3) 再利用
q q (t t) q (t)
3、角速度（angular velocity）
q d q lim0 t t dt

方向:
右手螺旋方向
刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以用角速度的正负来表示 . 4、角加速度
（angular acceleration）
M J
刚体的定轴转动定律
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比 .
说明：1)力矩和转动惯量是对同一转轴的
2)转动定律的地位与牛顿第二定律相当
三
转动惯量
J mi ri 2 , J r 2dm
物理意义：转动惯性的量度 . 注意转动惯量的大小取决于刚体的体密度
M ij
O
M ji
d
ri
Fji iF
ij
rj
j
Mij M ji

《刚体运动学》课件

《刚体运动学》 PPT课件
目录
• 刚体运动学概述 • 刚体的平动 • 刚体的定轴转动 • 刚体的平面运动 • 刚体的空间运动 • 刚体运动学的应用
01
刚体运动学概述
刚体的定义与分类
刚体的定义
刚体是指在运动过程中，其内部任意两点之间的距离始终保持不变的物体。
刚体的分类
根据刚体的形状和大小，可以分为简单刚体和复杂刚体。简单刚体如质点、细长杆、球体等，复杂刚体如机器人、机械手臂等。
总结词
理解定轴转动的定义和性质是掌握刚体运动学的基础。
详细描述
定轴转动是指刚体绕某一固定轴线旋转的刚体运动，具有角速度和角加速度两个重要的物理量。刚体在定轴转动时，其ຫໍສະໝຸດ Baidu任意一点都以相同的角速度和角加速度绕轴线旋转。
定轴转动的合成与分解
总结词
掌握定轴转动的合成与分解是解决刚体动力学问题的关键。
详细描述
，探索宇宙演化的奥秘。
03
光学
在光学中，刚体运动学用于研究光束的传播和变换。通过对光束的刚体
运动进行分析，可以了解光束在不同介质中的传播规律和变换性质，应
用于光学仪器和光通信等领域。
在其他领域的应用
体育科学
在体育科学中，刚体运动学用于研究运动员的运动表现和技巧。通过对运动员的刚体运动进行分析，可以了解运动员的运动规律和技术特点，提高运动员的训练效果和竞技水平。

2019年哈尔滨工业大学机电工程学院工业机械工程硕士研究生入学复试大纲

机电工程学院2018-2019年硕士研究生入学考试复试大纲

适用学科：

机械制造及其自动化、机械电子工程、机械设计及理论、航空宇航制造工程

一、复试要求：

统考生须参加复试。要求考生系统深入地掌握所学过的每一门基础课和技术基础课的基本知识，基本理论和基本设计计算方法，并能灵活运用，具有运用这些知识分析问题和解决问题的能力。

二、复试分数与录取

复试由笔试和面试两部分组成，共350分，其中笔试200分，面试150分。笔试和复试都单独设定合格线，低于合格线的考生将失去被录取的资格。合格线以上的考生最后按初试4门科目成绩+复试成绩的排序进行录取。

三、复试笔试内容

大学物理、理论力学、材料力学、电工技术、电子技术、金属工艺学、大学计算机与C程序设计、自动控制原理、测试技术与仪器、机械制造技术基础10门课程为一张试卷，考生根据自己情况任选其中六门答题，每门33.3分，合计200分，考试时间180分钟。多答科目者，只取高分数的六门成绩之和。

1）大学物理部分

a．机械运动的描述：物质和运动、时间和空间、质点和刚体、参考系和坐标系等基本概念，质点和刚体运动的描述，相对运动。

b．动量和动量守恒：惯性和质量，动量和动量守恒定律，动量的时间变化率，动量定理，非惯性系和惯性系，动量守恒。

c．角动量和角动量守恒：角动量和角动量守恒定律，质点系角动量，转动惯量，角动量的时间变化率，转动定律，角动量定理，质点系角动量守恒定律。

d．能量和能量守恒：动能，功，动能定理，势能，机械能守恒定律，能量守恒。

e．机械振动：简谐振动，阻尼振动，受迫振动，共振，振动的合成，振动的分解，傅立叶变换，两自由度振动。

刚体 ppt

主要内容：
一、刚体的定轴转动（运动）二、力矩、刚体定轴转动的转动定律、转动惯量三、刚体的角动量、角动量定理和角动量守恒定律四、力矩作功、刚体定轴转动的动能定理
结构框图
刚体转动
刚体运动学
角量
角速度、角加速度角量与线量关系

力矩牛顿定律角动量
角动量变化率角动量定理刚体定轴转动定律转动惯量
dx
JA
JC

L 2 L 2

L
0
x dx m L / 3
2 2
o
A L C
B
X
2 x 2 dx m L / 12
A
dx
L/2
B X
L/2
o
华北电力大学应用物理系
大学物理
主讲人：韩颖慧
2、平行轴定理
前例中JC表示相对通过
A L/2
C
dx
L/2
B X
质心的轴的转动惯量， JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2。可见：
ω
v r

v r
P点线加速度：

r
v
P
r
×
r
刚体
dv d d r a r dt dt dt r v
称作旋转加速度；