第5节对角矩阵
线性代数5-3 方阵相似于对角矩阵的条件
(2) 由于A~B,所以A的特征值为
1 1 ,22,3 2.
由 A E x 0 ,求 A 的 特 征 值 .
当λ1=-1时，由
1 0 0
1 0 0
A
E
2
1
2
～
0
1
2
3 1 2 0 0 0
0
得基础解系:
P1
2
,
1
当λ2 ＝2时，
4 0 0 1 0 0
A
2E
2
2
(2 )若 A 与 B 相 ,且 似 A 可 ,则 逆 B 也,可 且 A 1 与 逆
B 1 相 ; 似 (3 )A 与 B 相 ,则 似 k与 A k相 B,k 为 似; 常数
(4)若 A 与 B 相,而 似 f(x)是一,多 则 f(A 项 )与式 f(B )相.似
２．相似变换与相似变换矩阵
0
2
0
.
3 1 1
0 0 y
（1）求x和y的值,
2求可P 逆 ,使 P 1 矩 A P 阵 B .
（同型题：习题课教程P132第11题）
解 (1)因为A~B,所以B的主对角线元素是A的特 征值.因此有
2x112y,
AE AE 0.
整理得xx
y 2, 0,
解得
x 0, y 2.
2
～
0
1
1
,
3 1 1 0 0 0
得基础解系:
P2
0
1
,
1
当λ3 ＝-2时，
0 0 0 1 0 1
A
2E
2
2
2
～
0
1
0
,
3 1 3
矩阵的对角化
摘要矩阵的对角化指的是矩阵与对角矩阵相似，而形式最简单的对角矩阵在矩阵理论中占有重要地位，因此研究矩阵的对角化问题是很有实用价值的．矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。
对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。
目前对于矩阵可对角化的条件，矩阵对角化的方法和矩阵对角化的运用都有了较为全面和深入的研究。
在归纳总结前人的基础之上，先给出了与对角化相关的概念，其次讨论了矩阵对角化的几个等价条件，最后总结了一些有关矩阵对角化的应用。
关键词：方阵；特征值；特征向量；对角化AbstractMatrix diagonalization refers similarity matrix and a diagonal matrix, The simplest form of a diagonal matrix plays an important role in matrix theory, Therefore Matrix diagonalization problem is very practical value.Whether matrix diagonalization matrix is a very important property. To be similar to the necessary and sufficient condition for understanding keratosis, has been one of linear algebra learning difficulties. At present more comprehensive and in-depth study of the matrix can be diagonalized conditions, matrix methods and the use of matrix diagonalization diagonalization of everything. In summarizing the basis of their predecessors, with the first given diagonalization related concepts, followed by discussion of the matrix diagonalization of several equivalent conditions and, finally, the application of some of the matrix diagonalization.Keywords: square; characteristic value; eigenvectors; diagonalization目录引言 (1)一矩阵可对角化的概念 (2)1.1 特征值、特征向量的概念 (2)1.2 矩阵可对角化的概念 (2)二矩阵可对角化的几个等价条件 (4)2.1 矩阵可对角化的充分必要条件及其证明 (4)2.2 可对角化矩阵的相似对角阵的求法及步骤 (8)三矩阵可对角化的应用 (9)3.1具体矩阵对角化的求解过程 (9)3.2矩阵对角化的应用 (13)3.2.1在反求矩阵方面的应用． (13)3.2.2 求方阵的高次幂 (14)3.2.3 求行列式的值 (15)3.2.4求一些具有线性递推关系组的数列的通项和极限 (16)3.2.5 在二次曲面上的一些应用 (17)结论 (19)致谢............................................... 错误!未定义书签。
线性代数应该这样学9：上三角矩阵、对角矩阵
线性代数应该这样学9：上三⾓矩阵、对⾓矩阵在本系列中，我的个⼈见解将使⽤斜体标注。
由于时间关系，移除了例题部分，可参考，如有疑问，可在评论区处留⾔。
由于⽂章是我独⾃整理的，缺乏审阅，难免出现错误，如有发现欢迎在评论区中指正。
⽬录Part 1：上三⾓矩阵本节含有许多实⽤性的结果，并且证明⼿段往往不唯⼀，应当认真体会⼀下不同证明⽅法之间的异同。
本征值的存在性有限维⾮零复向量空间上，每个算⼦均有本征值。
注意，这⾥并没有涉及本征值的个数，也不涉及重特征值问题。
设dim V=n>0，T∈L(V)。
取v∈V且v≠0，n+1个向量v,Tv,⋯,T n v线性相关，故存在不全为0的实数a0,a1,⋯,a n，使得0=a0v+a1Tv+⋯+a n T n v.如果a1=⋯=a n=0，则由于v≠0必有a0=0，这与线性相关⽭盾。
令p(z)=a0+a1z+⋯+a n z n,由上⾯的分析，它不是⼀个常值多项式，故存在λ1,⋯,λm∈C，使得p(z)=a0+a1z+⋯+a n z n=c(z−λ1)⋯(z−λm)所以0=p(T)v=c(T−λ1I)⋯(T−λm I)v⾄少存在⼀个j，使得T−λj I不可逆（否则容易得出v=0），故找到了T的⼀个本征值λj。
习题16、17分别利⽤线性映射证明本征值的存在性，下⾯给出证明。
对于T∈L(V)，构造线性映射f∈L(P n(C),V)，其中∀p∈P n(C)，有f(p)=p(T)v∈V.由于dimP n(C)=n+1>n=dim V，所以f不是单射，存在p≠0使得p(T)v=0.显然p(z)不能是⾮零常数，由代数基本定理，可以分解为c(T−λ1I)⋯(T−λm I)=0,所以存在⼀个λj是T的特征值。
对于T∈L(V)，构造线性映射g∈L(P n2(C),L(V))，其中∀p∈P n2(C)，有g(p)=p(T),由于dimP n2(C)=n2+1>n2=dimL(V)，所以g不是单射，存在p≠0使得p(T)=0显然p(z)不能使⾮零常数，故依旧有如上的分解。
常用的矩阵
常用的矩阵
矩阵是线性代数中一个非常重要的概念，广泛应用于计算机、数学、物理等领域。
在实际应用中，常用的矩阵有以下几种。
1. 多项式矩阵
多项式矩阵是由多项式构成的矩阵。
它的每个元素都是一个多项式，可以理解为是在向量空间中的一组基。
多项式矩阵在控制系统、信号处理等领域有着广泛的应用。
2. 对角矩阵
对角矩阵是一个主对角线元素以外的元素都为零的矩阵。
它的特点是简单、易于计算。
一些特殊的对角矩阵如单位矩阵、零矩阵等在计算中也有着很重要的作用。
3. 单位矩阵
单位矩阵是一个主对角线元素全为1，其余元素全为0的矩阵。
在矩阵乘法中，它相当于一个数乘1一样的作用，所以在一些特定场合下很有用。
4. 三角矩阵
三角矩阵是一个主对角线以下或以上的元素都为零的矩阵。
它的特点是易于计算和求逆。
而且由于其简单性，暴力枚举法可转化为线性时间复杂度算法，因此，它在计算机科学中有很广泛的应用。
5. 带状矩阵
带状矩阵的非零元素只分布在主对角线和若干个对角线上。
它的存储和计算相对于一般矩阵要节省很多的空间和时间。
所以，它在计算机图形学、信号处理、地理信息系统等领域得到广泛的应用。
总之，矩阵在现代科学技术中应用极为广泛，而以上常用的矩阵只是其中的一小部分。
我们需要掌握它们的定义、性质和基本操作，在实际运用中灵活运用。
线性代数第5章 矩阵的特征值与矩阵的对角化
特征向量为 kp1 (k 0)
为
x1 x2
x3 0
0
即
x1 x2
x3 0
对 2 3 2 ，解 方程组
取 x3 为自由未知量，并令 x3 =c
x1 则 x2
x3
c 0 即 c
x1 x2 x3
1
c
10
取
p1
1 0 1
而
(A 2E)x 0
4
A
2E
0
1 0
1 0
P的列向量组 p1, p2 ,..., pn 就是与特征值 1,2 ,...,n 相对应
的A的线性无关特征向量。
推论. 若n阶矩阵A有n个互不相等的特征值，则A相 似于对角阵。
若A可对角化，求对角阵及相似变换矩阵P的方法，如下：
（1）求出A的全部特征值 1,2 ,...,n ，得到对角阵的 主对角线上的元素。
1 0
同解方程组为 x1 x2 0 ，取基础解系为 p2 (1,1)T , 取
则有
1
P
(
p1 ,
p2
)
2
1
1 1
1 2 A 4 3
P1 AP
5 0
0 1
23
第三节 实对称矩阵的对角化
实对称矩阵的对角化 相关示例
一. 实对称矩阵的对角化 实对称矩阵总是可以对角化的，且相似变换矩阵 可取为正交矩阵。
特征向量在中的位置要相对应，即对角阵中第i行j列的特 征值i ，相应的特征向量 pi 应位于P中的第i列。
二. 相关示例
例.
设
A
1 4
2 3
求P，使 P1AP为对角矩阵。
解：（1）求A的特征值及相应的线性无关特征向量。
矩阵的对角化及其应用
矩阵的对角化及其应用13届分类号:单位代码:10452临沂大学理学院毕业论文(设计)矩阵的对角化及其应用2013年3月20日临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)摘要矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义.本文对可对角化矩阵做出了较全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论总结出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂)利用特征值求行列式的值)由特征值和特征向量反求矩阵)判断矩阵是否相似)向量空间)线性变换等方面的应用.关键词:对角化;特征值;特征向量;相似;线性变换临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)ABSTRACTMatrix diagonolization problem is an important problem in matrix theory diagonolization matrix, as a kind of special matrix, in theory and application has the extremely vital significance. This paper has made diagonolization matrix analysis and generalization, and using higher algebra and linear algebra are given the relevant theory ofmatrix several conditions diagonolization, also discussed the matrix of the diagonal shape of method, and finally summarized; diagonolization matrix in high power, the policy of using eigenvalue beg determinant by characteristic value and value, feature vector reverse matrix, judgment matrix is similar, vector Spaces, the application of linear transformation, etc.Key words:The diagonalization; Eigenvalue; Feature vector; Similar; Linear transformation临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)目录1 引言 (1)2矩阵对角化 (1)2.1可对角化的几个条件 (1)2.2可对角化的矩阵的性质 (3)2.3 矩阵的对角化 (5)2.3.1 用矩阵初等变换将矩阵对角化的方法 (5)2.3.2 利用内积构造齐次线性方程组的方法 (7)3 矩阵对角化的应用 (10)3.1 求具有线性递推关系( 组) 的数列的通项式与极限 (10)3.2 求解行列式的值 (14)3.3对角矩阵的其他方面的应用.................................... 15 4 结论 .......................................................... 19 参考文献 ..................................................... 19 致谢 (21)临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)1 引言对角化矩阵在求解一类具有递推关系式的数列的通项与极限及一类三对角线行列式、求方阵的高次幂、利用特征值求行列式的值、由特征值和特征向量反求矩阵、判断矩阵是否相似、在向量空间、线性变换等方面的应用.对角矩阵贯穿于高等代数之中，有着十分重要的作用.定义1.1 对角矩阵是一个主对角线之外的元素皆为 0 的矩阵.对角线上的a元素可以为 0 或其他值.因此行列的矩阵= 若符合以下的性质: nnAa，，ij,ij,10,, ij,1,2,,…，nij,=0，，.形如. ，，,,01,,V定义1.2 矩阵可对角化:设是维线性空间的一个线性变换，如果存在n,V的一组基，使在这组基下的矩阵为对角矩阵，则称线性变换可对角化. ,, 定义1.3 矩阵是数域上的一个维方阵，如果存在数域上的级可逆APPnn,1TAT矩阵,使为对角矩阵，则称矩阵可对角化. AT2矩阵对角化通俗地说就是经过矩阵的一系列行、列变换(初等变换)后，能得到一个只有主对角线上元素不全为零，而其他位置全为零的另一个矩阵(这个矩阵称为对角阵)，这个过程就叫做矩阵的对角化，并不是所有矩阵都能对角化. 2.1可对角化的几个条件矩阵可对角化在求矩阵的高次幂中有重要应用, 矩阵的对角化有多种判别方法.本节对矩阵对角化作一点讨论，nn，22,PABB, 引理2.1 设,，且=,,.则存在可逆矩阵,ABAABBA,P使，可同时对角化. ABnn，,Pdiag,,,,,…，引理2.2 如果=有个互不相同的对角元，对某Pn，，12nnn，,P个，则当切仅当本身是对角阵. BPBBP,BE0,,r2AA,由于任意一个幂等矩阵A必相似于对角矩阵.而且每个与对角，，,,00,,n矩阵都可以进行谱分解，即=,A,其中是的特征值，为幂等阵.那么AA,A,iiiii,1任意有限个幂等阵的线性组合是否对角化,有如下结论:1临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)定理1.1 以=，为个数，Akkk,，,，，,…kkk，，…，n1122nn12nij,为个幂等阵，且两两可换，即=，，则可对,,,，，…，,,,,An，，12nijji 角化.证明为个幂等阵，且两两可换.由引理1可知，存在可逆阵,,,，，…，n12n ,1,1,使可同时对角化.即，…，，,,,，，…，,,,PPP,,,PP12n1nnnn1111 ,1,1,,，…，是对角阵PkP,PkP,.==++…Akkk,，,，，,…，，，，，，1n11221122nn,1,1PkP,PkkP,，,，,…+k++.由知,,，…，是对角阵，，，，nnnn11221n 也为对角阵，故可对角化. Akk,，,，,…+k1122nn如果矩阵只有两个不同的特征值，可有如下结论:nn，,P定理2.2 设，，为其两个不同的特征值，则可对角化存在AA,,,12 ,,,,幂等矩阵，使得=+,其中为幂等阵. ,AE,,，，211,E,,11-1证明必要性:若可对角化，存在可逆矩阵，使=相似APPAP,,11E,,,22,1PP,于对角阵，则= A,,0,,,1 = ,PEP，,,,,1,,,E,,，，21,,,,0,,,1,1,, =+, PPPEP,，，,,2111E2,,0,,,1,, =+, PP,E，，,,2111E2,,000,,,,,,,1,,112,PPPP且相似于== ,PP,,,,,,EEE222,,,,,,,,,,故为幂等阵，即存在幂等阵使得=+. ,,AE,，，211,,,,充分性:若存在使=+.因为为幂等阵，故存在可逆阵,使,AE,T,，，211 00,,,,,1,1,,,得=,则=+TT ,TTAE,，，,,,,211EE22,,,,2临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计),,0,,,1= ,TET，,,,,,,,E,,，，21,,,,,E,,11,1= TT,,E,22,,,E,,11,1,1TAT故= TT,,E,22,,即可对角化. AAB,如果满足条件的情况，有如下结论: ABBA=nn，nn，,P,P定理2.3 假设个互不相同的特征值，对某个个ABn有，则有AB,当且仅当同时对角化. ABBA=,1TPAP,证明必要性.由有个互不相同的特征值，则可对角化.设,AAndiag,,,,…，其中=.则T，，12，n,,11,,11,1,1,1,1PAPPBPPABPPBAPPBPPAPTPBPPBPT=====.即与T，，，，,1,1PBPPBP可交换，由引理2知是对角阵，从而是可对角化矩阵. B ,1AB,充分性.可同时对角化，故存在可逆阵，使得，PAPP,,1,1其中，为对角阵,,,1. BPP,,，，22,,11,1,1,,11=====. ABBAPPPP,,PP,,PP,,PPPP,,21121221对定理，我们可得到矩阵只有两个不同的特征值时可对角化的判别方法: A22,,=,,,,AE,,,/若，则可对角化，否则不可对角化.其中. AA，，，，122.2可对角化的矩阵的性质是数域上的一个可对角化的阶矩阵，是定理2.2.1 设APA,,,,,…，n12t 阶矩阵,使AA,,…，An的互不相同的特征根，则存在12t1+AAAA,，，,,,…; ，1122tt2+=E,EAAA，，…为单位矩阵; ，12t23AA,; ，ii,140,AAij,,，0为零矩阵，其中. ATBT,，ijii1证明由上一个阶可逆矩阵，使得 APTn，可对角化，则存在3临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计),0,,1,,,2,1,,TATB,, ,,…,,0,t,,其中的重数为，由于 s,ii10,,,,,,,,……,,,,,,,,10 B,,,，…+,,,,1t01,,,,,,,,……,,,,,,,,01,,,,记,所以 ,,,BBB，，…+1122tt,,11ATBTTBBBT,,，，,,,…+ ，，tt1122,,,111= TBTTBTTBT,,,，，…+t t1122,,11,,TBTTBT，…+= ，，，，tt11,1记，其中 ,,,AAA，，…+ATBT,1122tti故. AAAA,，，,,,…+1122tt 2由每个为对角形幂等阵，则, BBBE，，,…+B，12ti,1,1,,,111TET=ETBBBT，，…+===AAA，，…+TBTTBTTBT，，…+，，,t12t12t12故 AAA，，…+=E12t,,11,12,,113TBTTBT由，则== ATBT,ATBTTBT，，，，，iiiiiii,121,,1==,TBTTBBTTBTiiii=Ai2故. AA,ii,,11,1,,11TBTTBTTBBT4ij,TBTTBT当时，====0;0为零矩阵 AA，，，，，ijijijij故 AAij,,0,ij4临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)15115,,,,1,2,3例2.2.1 设是数域上的矩阵.是矩阵的特征根，A,,20158PA,,,,876,,, 100231,,,,,,,,,1则存在可逆矩阵,使得=,其中T,342TAT,020B,,,,,,,,112003,,,,,,652,,,,,1， T,,431,,,,111,,,100,,,,,,,,,,,,由于，记 BBB，，23B,，，02130123,,,,,,,,,,,,001,,,,,,,,11ATBTTBBBT,,，，23所以，，123,,,111TBTTBTTBT，，23= ，，，，123,1=,其中AAA，，23ATBT,123ii，,,,,121041293111,,,,,,,,,,,,，且满足: AAA,,,,,,,18156,16124,222123,,,,,,则 ,,,,,,,,,,652431222,,,,,,123AAAA,，，; ，1232AAAE，，,; ，12323AA,i,1,2,3,; ，，，ii40,AAij,,,0为零矩阵. ，，，ij通过一个具体的可对角化矩阵，鲜明地反映了上述性质是成立的.2.3 矩阵的对角化2.3.1 用矩阵初等变换将矩阵对角化的方法VV数域P上维线性空间的一个线性变换判定其是否在中能找到一组基n使它在此基下的矩阵为对角形矩阵; 当这种基存在时, 如何去寻求它是线性代数学上一个十分重要的问题，利用矩阵的初等变换法解决此问题.,1TAT若矩阵在数域上可对角化，则有上可逆矩阵使=为对角阵.APPBT5临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计) 于是的主对角线上的元素即为的全体特征值，并且可表示为，BATQQQ,…12s,1,,,111i,1,2,…，s其中为初等矩阵，，于是，,又也BQQQAQQQ,……QQis1112sS,,1是初等矩阵，由初等矩阵与矩阵的初等变换的关系，即知相当于对施AQAQ11行了一次初等行变换和一次初等列变换，将此种变换称为对施行了一次相似变A注:为单位矩阵E换.又由，可进行如下初等变换，则可将化A TEQQQ,…，，12S 为对角矩阵，且可求得: BTAB,,,,对施行一系列相似变换A,对只施行其中的初等列变换. E,,,,,,,,,,,,ET,,,,当不可对角化时，也可经相似变换化简后，求得其特征值，判定它可否对角AA 化.-1,,,111T类似地，可有=，做如下的初等变换则可将化为对角形矩阵AQQQE…s11s,，且可求得或由求的特征值，判定可否对角化: BBAAT对施行一系列相似变换A,1AEBT,,,,,,,,,对对只施行其中的初等行变换. E，，，，并且在施行相似变换时，不必施行一次行变换后接着施行一次列变换这样进行，可施行若干次行(或列)变换后再施行若干次相应的列(或行)变换,只要保持变换后,最后所得矩阵与相似即可. Ajk为叙述简便，这里用表示第行，表示第列，表示用数乘第行iicrkr，riiji jk后加到第行上，表示用数乘第列后加到第列上. iickc，ij注意到初等矩阵的逆矩阵,,11,1,1PijPijPikPijkPijkPijk,,,,,,,,,,,，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，,1A故用左乘A，相当于对施行了变换，右乘A，相当于对A施rkr,Pijk,，，，，ji行了变换. ckc,ji例 2.3.1 求如下矩阵的特征值,并判定它们可否对角化,若可,则将其对角化: 1111,,511,,,,,1111,,,,,,21602，，，，，,,,,1111,,,,,311,,,,1111,,,,;511,411,,,,,,,,,rr，cc,31131CC解由=,知与相似.A,,,,602,,,,402A，，,,,, ,,,,,311002,,,,C2,2,2,2EC,C易知，的特征值为的秩为，所以不可对角化，从而知的特2A6临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)2,2,2,征值为且不可对角化. A11111111,2111,,,,,,,,,,,,1111,,22000200,,,,,,,,,,,,1111,,20200020,,,,,,1111,,20020002rri，,,2,3,4cci,,,2,3,4,,,,,,i11i,,,,,,,,,,,2由，，,,,,,,100010001000,,,,,,01000100,1100,,,,,,,,,,,,00100010,1010,,,,,,,,,,,,00010001,1001,,,,,,，,2000,,111,,,2,,,,0200222,,,,,,00200200,,,,,,00020020,,1,,,2,3,4rri, ,,,1i，知可对角化，的BB111400021,,,,,,,,1,,cci，,,2,3,4ii4444,,,,,,,,,,1000,,311,,,,,1,,,,,11 00444,,,,131,1010,,,,,,,1,,,,444,1001,,,,113,,,,,1,,,,444 111,,1,,444,2,,,,,,311,,2,1,,,1,,,2,2,2,2。
第七章 第五节 对角矩阵
§7.5 对角矩阵
1 0 1 0 1 0 . 1 ,2 ,3 1 , 2 , 3 1 0 1
即基 1 , 2 , 3 到 1 ,2 ,3 的过渡矩阵为
§7.5 对角矩阵
所以A可对角化.
令
1 2 1 3 2 T 1 0 0 1 13
则
2 0 0 T 1 AT 0 2 0 0 0 4
§7.5 对角矩阵
四、小结 五、作业 P321，21,23,2）利用2） 的计算结果判断是否可以对角化。
§7.5 对角矩阵
2）对角矩阵D主对角线上元素除排列次序外是唯一
确定的,它们就是 的全部特征根(重根按重数计算).
§7.5 对角矩阵
三、对角化的一般方法
设 为维线性空间V的一个线性变换， 1 , 2 ,
为V的一组基， 在这组基下的矩阵为A.
, n
步骤:
1° 求出矩阵A的全部特征值 1 , 2 ,
的一个基础解系:（－2、1、0），（1、0、1）
对于特征值－4，求出齐次方程组
7 2 1 x1 0 2 2 2 x2 0 3 6 3 x 0 3 1 2 的一个基础解系: ( , ,1) 3 3
如果 的特征多项式在数域 P 中有n个不同特征值， 则 可对角化. 特别地，(推论2) 在复数域C上的线性空间中， 如果线性变换 的特征多项式没有重根，则 可 对角化.
§7.5 对角矩阵
定理8的推广：
4. (定理9) 设 为线性空间V的一个线性变换，
1 , 2 , k 是 的不同特征值，而 i 1 , i 2 , iri 是属于
7.6 可对角化矩阵
的特征多项式是
−3
2
−3
−2
1
+2
−2 = 3 − 12 + 16 = ( − 2)2
−6
+1
特征根是 2，2，－4.
对于特征根－4，求出齐次线性方程组
−7 −2
2 −2
−3 −6
的一个基础系
1
2
, − ,1
3
1
−2
−3
1
0
2 = 0
3
0
对于特征根 2，求出齐次线性方程组
−
根据归纳法假设， 1 , 2 , ⋯ , −1 线性无关，所以
( − ) = , = , , ⋯ , − .
但 1 , 2 , ⋯ 两两不同，所以 1 = 2 = ⋯ = −1 = 0 ，再代入（3），
因为 ≠ 0, 所以 = 0. 这就证明了 , , ⋯ , 线性无关。
()
+ + ⋯ + = . ∈ ,
推论7.6.2 设σ是数域F上向量空间V的一个线性变换， 1 , 2 , ⋯ , 是σ的
互不相同的特征值。又设 1 , ⋯ , , = 1, ⋯ , , 是属于特征值 的线性
无关的特征向量, 那么向量 11 , ⋯ , 11 , ⋯ , 1 , ⋯ , 线性无关.
如果等式
()
+ + ⋯ + = . ∈ ,
成立，那么以 乘（3）的两端得
()
+ + ⋯ + = .
另一方面，对（3）式两端施行线性变换σ，
注意到等式（2），我们有
()
对角矩阵写法 -回复
对角矩阵写法-回复什么是对角矩阵？对角矩阵是指除了对角线上的元素外，其余位置的元素均为零的方阵。
其中，对角线上的元素可以是任意值。
对角矩阵的一般形式可以表示为：[a1 0 0 00 a2 0 00 0 a3 0... ... ... ... ...0 0 0 ... an]其中，a1, a2, a3, ..., an 代表对角线上的元素，其余位置均为零。
对角矩阵可以用线性代数中的矩阵表示法进行定义和运算。
下面我们来一步一步回答关于对角矩阵的一些问题。
第一步：对角矩阵的定义和基本性质对角矩阵的定义已经在前面给出了，它是一种特殊的方阵，除了对角线上的元素外，其余位置均为零。
对角矩阵具有一些基本性质：性质1：对角矩阵的特征值即对角线上的元素，特征向量则可以是任意向量或者线性无关的向量组。
性质2：对角矩阵的逆矩阵存在，当且仅当对角线上没有零元素。
性质3：对角矩阵与任意矩阵的乘积等于以对角线上元素为对角线元素的新矩阵。
第二步：对角矩阵的运算对角矩阵与标量相乘：将对角矩阵的对角线上的元素分别与标量相乘即可，其他部分仍为零。
例如：2 * [1 0 0 00 2 0 00 0 2 0... ... ... ... ...0 0 0 ... 1]= [2 0 0 00 4 0 00 0 4 0... ... ... ... ...0 0 0 ... 2]对角矩阵的加减法：对角矩阵之间的加减法等同于对其对角线上的元素进行加减。
例如：[1 0 0 00 2 0 00 0 3 00 0 0 ... 4] + [5 0 0 00 6 0 00 0 7 00 0 0 ... 8]= [1+5 0 0 00 2+6 0 00 0 3+7 00 0 0 ... 4+8]= [6 0 0 00 8 0 00 0 10 00 0 0 ... 12]对角矩阵的乘法：对角矩阵之间的乘法等于对其对角线上的元素进行相乘。
例如：[1 0 0 00 2 0 00 0 3 00 0 0 ... 4] * [5 0 0 00 6 0 00 0 7 00 0 0 ... 8]= [1*5 0 0 00 2*6 0 00 0 3*7 00 0 0 ... 4*8]= [5 0 0 00 12 0 00 0 21 00 0 0 ... 32]第三步：对角矩阵的应用对角矩阵在数学中被广泛应用。
对角矩阵写法 -回复
对角矩阵写法-回复对角矩阵是一种特殊的方阵，其除了主对角线上的元素外，其他元素均为零。
一个n阶的对角矩阵可以表示为D=[d_{ij}]，其中d_{ij}=0，当i≠j，d_{ii}=a_i，对于1≤i≤n。
对角矩阵在数学和应用环境中都有着广泛的应用。
本文将详细介绍对角矩阵的定义、性质、求解方法以及在数学和应用领域中的一些常见应用。
首先，让我们来定义对角矩阵。
对角矩阵是一个方阵，即行数与列数相等。
除了主对角线上的元素之外，其他元素均为零。
主对角线是指由左上角到右下角的对角线。
元素d_{ii}表示第i行和第i列的交叉处的元素，它们是该矩阵的主对角线上的元素。
元素d_{ii}被称为对角矩阵的对角元素。
除了定义，对角矩阵还有许多重要的性质。
首先，对角矩阵的逆矩阵也是个对角矩阵。
对角矩阵的逆矩阵可以简单地通过将对角元素取倒数得到。
其次，对角矩阵的行列式等于对角元素的乘积。
也就是说，D的行列式等于d_{11} * d_{22} * ... * d_{nn}。
接下来，让我们来看一些对角矩阵的求解方法。
对角矩阵一般比较容易求解，因为除了主对角线上的元素外，其他元素均为零。
所以，对角矩阵的乘法和加法也比较简单。
例如，两个对角矩阵相乘时，只需要将对应位置的对角元素相乘即可。
对角矩阵和一个向量相乘时，只需要将向量的每个元素与对角矩阵的对角元素相乘即可。
对角矩阵在数学和应用领域中有许多常见的应用。
其中一个重要的应用是对角矩阵的特性可以简化线性方程组的求解。
对角矩阵的乘法和加法运算比一般矩阵简单，使得线性方程组的求解过程更加高效。
此外，在处理大规模线性方程组时，矩阵的稀疏性是一个关键问题。
对角矩阵经常用于表示稀疏矩阵，因为它们只有少数非零元素。
对角矩阵的稀疏性可以大大简化线性方程组的求解过程。
对角矩阵在信号处理和傅立叶变换中也有广泛的应用。
对角矩阵可以用来表示傅立叶变换的对角线，从而实现频域和时域之间的转换。
此外，对角矩阵还可以用来表示滤波器，其中滤波器的频率响应在频域中呈现对角线形状。
对角矩阵写法 -回复
对角矩阵写法-回复什么是对角矩阵？对角矩阵（diagonal matrix）是一种特殊类型的方阵，其中除了对角线上的元素之外，其他的元素全都为零。
对角线上的元素可以是实数或复数，取决于矩阵的应用领域。
对角矩阵的一般形式可以表示为：⎡a₁₁0 0 ... 0⎡⎡0 a₂₂0 ... 0⎡⎡0 0 a₃₃ ... 0⎡⎡: : : ... ⎡⎡0 0 0 ... a⎡⎡⎡其中，⎡⎡表示矩阵的左边界，⎡⎡表示矩阵的右边界，a₁₁, a₂₂, ..., a⎡⎡表示对角线上的元素，其他位置上的元素均为零。
对角矩阵的性质：1. 对角矩阵是方阵；2. 对角矩阵是一个特殊的上三角矩阵和下三角矩阵；3. 对角矩阵的迹（trace）等于对角线上各元素之和，即迹为a₁₁+ a₂₂+ ... + a⎡⎡；4. 对角矩阵的行列式（determinant）等于对角线上各元素的乘积，即行列式为a₁₁* a₂₂* ... * a⎡⎡；5. 对角矩阵的逆矩阵（inverse matrix）仍然是一个对角矩阵，且逆元素等于原对角矩阵对应位置元素的倒数；6. 对角矩阵的特征值（eigenvalue）等于对角线上各元素。
对角矩阵的应用：对角矩阵在数学和工程等领域中有广泛的应用。
以下是对角矩阵在不同领域的一些具体应用：1. 线性代数：对角矩阵常用于表示线性变换，特别是在平移和缩放变换中。
2. 物理学：对角矩阵可以用于表示刚体的转动惯量矩阵，其中对角线上的元素是刚体绕不同轴的转动惯量。
3. 统计学：对角矩阵可用于表示协方差矩阵，其中对角线上的元素是变量的方差。
4. 信号处理：对角矩阵可以用于表示滤波器的频率响应，其中对角线上的元素表示不同频率的增益。
5. 金融学：对角矩阵可用于表示风险管理模型中的风险水平，其中对角线上的元素是不同资产的波动率。
6. 工程学：对角矩阵可用于表示平面或空间中的刚性结构，其中对角线上的元素是结构中不同部分的刚度。
第四章矩阵的对角化
第四章 矩阵的对角化矩阵的特征值、特征向量和方阵的对角化理论与方法是矩阵理论的重要组成部分, 它们不仅在数学的各个分支有着重要的应用, 而且在其他学科、工程技术以及数量经济分析等领域有着极其广泛的应用. 本章主要讨论方阵的特征值与特征向量理论及方阵的相似对角化问题, 并应用这些理论和方法解决一些实际问题.§4.1 矩阵的特征值与特征向量工程技术中的振动问题和稳定性问题, 往往可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题. 特征值和特征向量的概念不仅在理论上很重要, 而且也可直接用来解决实际问题.一、特征值和特征向量的基本概念 先看一个例子设31,51⎛⎫= ⎪-⎝⎭A 取1,1α⎛⎫= ⎪⎝⎭可验证31144.5114αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A这说明矩阵A 作用在向量α上变成了常数倍. 我们把具有这种性质的非零向量α称为矩阵A 的特征向量, 数4称为对应于α的特征值.对于一般的n 阶矩阵, 引入如下概念：定义1. 1 设A 是n 阶矩阵, 如果存在数λ和n 维非零向量,α使得,αλα=A则称数λ为矩阵A 的特征值, α是A 的属于（或对应于）特征值λ的特征向量.根据定义, n 阶矩阵A 的特征值, 就是使齐次线性方程组()λ0E A x -= 有非零解的λ的值, 即满足方程0-=E A λ的λ都是矩阵A 的特征值. 在复数域上n 次方程有n 个根（重根按重数计算）, 因此n 阶矩阵A 在复数域上有n 个特征值.方阵A 的对应于特征值λ的特征向量就是齐次线性方程组()λ0E A x -=的非零解.定义1. 2 设n 阶矩阵(),⨯=ij n n A a 则()f =λ-E A λ111212122212n nn n nna a a a a a a a a λλλ------=---称为矩阵A 的特征多项式, -E A λ称为A 的特征矩阵, 0-=E A λ称为A 的特征方程.根据上述定义, 求n 阶A 的特征值与特征向量的求法可按如下步骤进行： （1）由()0f E A λλ=-=求出矩阵A 的全部特征值12,,,,n λλλ其中0)(=λf 的t重根, 对应A 的t 个数值相同的特征值.（2）对于A 的每一个特征值,i λ求解齐次线性方程组(),λ-=0i E A x 设它的一个基础解系为12,,,n r ξξξ-（其中()i r R E A λ=-, 则A 的属于i λ的全部特征向量为1122,n r n r k k k ξξξ--+++其中12,,,n r k k k -是不全为零的任意实数.例1. 1 求1124-⎛⎫=⎪⎝⎭A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为-=E A λ11(2)(3),24λλλλ-=----故A 的特征值为122,3λλ==．对特征值12λ=, 解方程(2)-=0E A x , 由(2)-E A 1111,2200⎛⎫⎛⎫=→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭求得(2)-=0E A x 基础解系为11,1ξ-⎛⎫=⎪⎝⎭故111(0)k k ξ≠是对应于12λ=的全部特征值向量．对特征值23λ=, 解方程(3)-=0E A x , 由2121(3),2100⎛⎫⎛⎫=→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E -A求得(3)-=0E A x 基础解系21,21ξ⎛⎫- ⎪= ⎪⎝⎭所以222(0)k k ξ≠是对应于23λ=的全部特征向量．例1. 2 设211020413A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 求A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为221102(2)(1)413E A λλλλλλ+---=-=-+--,所以A 的特征值为1232, 1.λλλ===-对特征值122λλ==, 解方程(2)-=0E A x , 即41100000,4110x --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭得其基础解系为12114,0,04ξξ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故对应于122λλ==的全部特征向量为112212(,k k k k ξξ+不同时为0).对特征值31λ=-, 解方程()--=0E A x , 即11100300,4140x --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭得其基础解系为310,1ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故对应于31λ=-的全部特征向量为333(0)k k ξ≠.例1. 3 求n 阶数量矩阵a aa ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征值和特征向量. 解 ()0,n aaa aλλλλλ---==-=-EA故A 的特征值为12.n a λλλ====把a λ=代入()λ-=0E A x 得1200,00,,00.n x x x ⋅=⋅=⋅=这个方程组的系数矩阵是零矩阵, 所以任意n 个线性无关的向量都是它的基础解系, 取单位向量组12100010,,,001εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n 作为基础解系, 于是A 的全部特征向量为1122 n n k k k ++εεε(12,,,n k k k 不全为0) .注 特征方程0E A λ-=与特征方程0A λ-=E 有相同的特征根, A 的对应于特征值λ的特征向量是齐次线性方程组()λ0E A x -=的非零解, 也是()λ0A E x -=的非零解. 因此, 在实际计算特征值和特征向量时, 以上两种形式均可采用.二、特征值与特征向量的性质性质1. 1 设A 为n 阶矩阵, 则A 与A T有相同的特征值.证明 因为()T T E A E A E A λλλ-=-=-所以A 与A T有相同的特征多项式, 故它们的特征值相同.性质1. 2 设n 阶方阵()A ⨯=ij n n a 的n 个特征值为12,,,,n λλλ则（1）121122;n nn a a a λλλ+++=+++（2）12.n A λλλ=其中A 的主对角线的元素之和1122nn a a a +++称为矩阵A 的迹, 记为().A tr证明 由行列式的定义可知1112121222121122() =()()()n nn n nnnn a a a a a a f a a a a a a λλλλλλλλ------=-=------+E A其中一项是主对角线n 个元素的乘积, 而省略的各项至多含有2-n 个主对角线上的元素,因此特征多项式中含nλ与1n λ-的项只能在主对角线元素乘积项中出现, 显然nλ的系数为1,1n λ-的系数为1122().nn a a a -+++又因为, 在特征多项式中令0λ=可得其常数项为(0),f A =-故11122()()(1).n n n nn f a a a A λλλ-=-+++++-另一方面, 由于12,,,n λλλ是A 的n 个特征值, 所以1211212()()()() ()(1).n nn nn n f λλλλλλλλλλλλλλλλ-=-=-⋅--=-+++++-E A在上述两式中, 比较1n λ-的系数和常数项, 可得121122n nn a a a λλλ+++=+++和12.n A λλλ=推论 n 阶方阵A 可逆的充要条件是A 的n 个特征值都不为零. 例1. 4 设n 阶方阵A 满足等式2A A =, 证明A 的特征值为1或0. 证明 设λ为A 的特征值, 则存在非零向量α, 使,αλα=A 因此2(),ααλαλα=2A =A(A )=A由题设知22,A λαααλα===A即2()0.λλα-=因为0α≠. 所以20λλ-=, 即1λ=或0.例1. 5 设λ是方阵A 的特征值, α为对应于特征值λ的特征向量, 证明 （1）k λ是A k 的特征值（k 为任意常数）； （2）对正整数,m m λ是m A 的特征值（m 为正整数）； （3）若A 是可逆的, 则1λ-是1A -的特征值. 证明 由题意, 对向量0,α≠有,A αλα=（1） 因为()()(),kA k A k ααλα==所以k λ是A k 的特征值. （2）由112()(),m m m m m A A A A A A ααλαλαλα---=====知m λ是mA 的特征值.（3）当A 可逆时, 由推论可知, 0,λ≠用1A -左乘A αλα=两边, 得1,A αλα-=即11,A αλα--=所以1λ-是1A -的特征值.用例1. 5的方法, 读者可自证：若λ是方阵A 的特征值, ()g A 是矩阵多项式, 即1110()k k k k g A a A a A a A a E --=++++,则矩阵()g A 有特征值1110().k k k k g a a a a λλλλ--=++++例1.6 设三阶方阵A 的三个特征值分别为2, 3, 7, 求行列式5A E +.解 当i λ是A 的特征值, 可知, （51i λ+）为5A E +的特征值, 即5A E +有特征值521⨯+, 531⨯+, 571⨯+所以由性质1. 2知51116366336.A E +=⋅⋅=定理1.1 设12,,,m λλλ是矩阵A 的m 个不同的特征值, 12,,,m ααα是A 的分别属于12,,,m λλλ的特征向量, 则12,,,m ααα线性无关.证明 用数学归纳法对特征向量个数m 进行归纳证明.当1m =时, 由于10,α≠因此1α线性无关. 假设对1m -个互异的特征值定理成立, 即121,,,m ααα-线性无关.对向量组12,,,m ααα, 设有数12,,,m k k k 使11220.m m k k k ααα+++= （4. 1）两端左乘,A 并利用条件,i i i A αλα=得1112220m m m k k k λαλαλα+++= (4. 2)将m λ·（4. 1）－（4. 2）, 得11122211()()()0m m m m m m k k k λλαλλαλλα---+-++-=由归纳假设, 121,,,m ααα-线性无关, 因此()0, 1,2,, 1.i m i k i m λλ-==-又()0,m i λλ-≠从而0(1,2,,1),i k i m ==- 代入（4. 1）, 得0,m k = 从而12,,,mααα线性无关.推论 如果n 阶方阵A 有n 个不同的特征值, 则A 有n 个线性无关的特征向量. 类似地可以证明： 定理 1.2 设12,,,m λλλ是矩阵A 的m 个互不相同的特征值, 12,,,i i i is ααα是A 的属于特征值(1,2,,)i i m λ=的线性无关的特征向量, 则向量组12111212122212,,,,,,,,,,,,m s s m m ms ααααααααα线性无关定理1.3 设λ是n 阶方阵A 的一个t 重特征值, 则λ对应的线性无关的特征向量至多有t 个.习题4. 11．求矩阵211031213A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的特征值与特征向量.2. 已知方阵A 满足2+23,A A E =试确定A 的特征值的可能取值.3. 设A 是三阶矩阵, 它的特征值是-1, 0, 4, 又知2,A B E +=求B 的特征值.4. 设矩阵122212,221A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭（1）求A 的特征值. （2）求矩阵1A E -+的特征值.5. 设矩阵0011100A x y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有三个线性无关的特征向量, 求,x y 应满足的条件.§4.2 相似矩阵在矩阵的运算中, 对角矩阵的运算最方便. 自然要问, 对于一个n 阶矩阵,A 是否可化为对角矩阵, 且保持矩阵A 的一些重要性质不变, 本节将讨论这个问题.一、相似矩阵的概念与性质定义2. 1 设A 和B 都是n 阶方阵, 如果存在可逆矩阵,P 使1,P AP B -=则称B 是A 的相似矩阵, 或说矩阵A 与B 相似, 记为,A B ～可逆矩阵P 称为把A 变成B 的相似变换矩阵. 对A 进行的运算1P AP -称为对A 进行相似变换. 相似是方阵之间的一种关系, 这种关系具有下列三个性质： （1）自反性：;A A ～（2）对称性：若,A B ～则;B A ～ （3）传递性：若,A B ～,B C ～则.A C ～即它是一种等价关系. 彼此相似的矩阵具有一些共性, 也称为相似不变性．定理2. 1 若n 阶矩阵A 与B 相似, 则 （1）()();R A R B =（2）;A B =（3）A 和B 的特征多项式相同, 即,E A E B λλ-=-从而A 和B 的特征值相同；（4）k k A B ～(k 为正整数)； （5）11A B --～ (A 可逆时).证明 这里仅证（3）, 其余留给读者自行证明. 因为,A B ～ 故存在可逆矩阵,P 使1,P AP B -=于是11()E B E P AP P E A P λλλ---=-=-1.P E A P E A λλ-=-=-从而A 和B 的特征值相同.推论 若n 阶矩阵A 与对角矩阵12n λλλ⎛⎫⎪ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭相似, 则12,,n λλλ是A 的n 个特征值.从定理2. 1可以看出相似矩阵有许多共同的性质, 若一个矩阵与一个简单矩阵相似, 可以通过研究简单矩阵的性质来得到原来矩阵的一些性质, 最简单的矩阵就是对角阵. 下面来研究矩阵A 满足什么条件与对角阵相似.定义2. 2 对n 阶方阵,A 若存在可逆矩阵,P 使1,P AP -=Λ则称A 相似于对角矩阵, 也称矩阵A 可相似对角化.如果方阵A 能够对角化, 则可简化许多运算过程. 但并不是每个矩阵都能对角化, 即矩阵的可对角化是有条件限制的. 下面将从特征向量的角度来刻画矩阵可对角化的条件.二、矩阵可对角化的条件 定理2. 2 n 阶矩阵A 与对角矩阵相似（A 可对角化）的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量．证明 必要性设A 可对角化, 即存在可逆矩阵P 和n 阶对角阵Λ,使121.n P AP λλλ-⎛⎫⎪⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭设12(,,,),n P ααα=由1,P AP -=Λ得AP P =Λ, 即121212121122(,,,)(,,,)(,,,) =(,,,) n n n n n n AP A A A A ααααααλλαααλλαλαλα==⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭因此, (1,2,,)i i i A i n αλα==. 由于P 可逆, 所以0, 1,2,,.i i n α≠=故12,,,nααα分别是属于特征值12,,,n λλλ的特征向量, 且由P 可逆知12,,,n ααα线性无关.充分性 设12,,,n ααα为A 的分别属于特征值为12,,,n λλλ的n 个线性无关的特征向量, 则有(1,2,,)i i i A i n αλα==取12(,,,),n P ααα=因为12,,,n ααα线性无关, 所以P 可逆, 于是有12,n AP P λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 即121,n P AP λλλ-⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭Λ 因此A 可对角化.注 因特征向量不是唯一的, 所以矩阵P 不具有唯一性．推论 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值, 则A 必相似于对角矩阵．定理2. 3 n 阶矩阵A 相似于对角矩阵的充要条件是A 的每一个i t 重特征值i λ对应i t 个线性无关的特征向量, 即()i i R E A n t λ-=-这里121, ,,,mim i tn λλλ==∑是A 的所有互异的特征值.定理2.2不仅给出了一个矩阵可对角化的充要条件, 而且定理证明的本身给出了对角化的具体方法. 将这种方法总结如下：(1)求出矩阵A 全部互不相等的特征值12,,,,m λλλ它们的重数依次为1212,,()m m t t t t t t n +++=，.(2) 求A 的特征向量.对每个特征值λi , 求出齐次线性方程组()0i E A x λ-=的一个基础解系, 设为12,,, (1,2,,) ,i i i is i m ξξξ=(3)判断A 是否可对角化.若A 的i t 重特征值有i t 个线性无关的特征向量(1,2,,)i m =, 则A 可对角化, 否则A不可对角化.例2. 1 判断下列矩阵能否相似于对角阵, 若能, 则求出相似变换矩阵P ．（1）200110111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, （2）122212.221B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解 （1）A 的特征多项式为2(2)(1),E A λλλ-=--故A 的特征值2,1321===λλλ．其中121==λλ为二重特征值, 又100(1)100,110E A -⎛⎫⎪⋅-=- ⎪ ⎪--⎝⎭(1)2,3(1)321,R E A R E A ⋅-=-⋅-=-=故1=λ只对应一个线性无关的特征向量, 故矩阵A 不能相似于对角阵．（2）B 的特征多项式为2(1)(5)0E B λλλ-=+-=故B 的特征值5,1321=-==λλλ．其中1-为B 的二重特征值, 又 当1-=λ时222111(1)222000,222000E B ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⋅-=---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭所以3()312,R B E -+=-=故1-=λ对应2个线性无关的特征向量, 即B 可对角化, 且121-==λλ对应的线性无关特征向量为.)1,0,1(,)0,1,1(T T --由于53=λ为单特征值, 它有且仅有一个线性无关的特征向量, 由(5)0E B x -=,得线性无关的特征向量(1,1,1).T取111101,011P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭于是111.5P BP --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭习题4. 21. 设方阵12422421A x --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭与50000004y ⎛⎫⎪Λ= ⎪ ⎪-⎝⎭相似, 求,.x y2. 设A B 、都是n 阶方阵, 且0A ≠, 证明AB 与BA 相似．3. 判断下列矩阵能否相似于对角阵, 若能, 则求出相似变换矩阵.P（1）220212020A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭； （2）421201.110B ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭4. 当k 为何值时, 方阵25141001k A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭可相似对角化？§4.3 向量的内积与正交矩阵本节主要讨论向量的内积、长度、正交矩阵等概念, 并介绍它们的性质. 若不特别说明, 本章讨论的向量都是实数域上的.一、向量的内积 定义3. 1 设n 维向量1122,,n n x y x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αβ 令 []1122,,αβ=++n n x y x y x y称[],αβ为向量α与β的内积.由于内积是两个向量间的一种运算, 其结果是一个实数. 内积可用矩阵记号可表示为[],.T =αβαβ容易证明内积满足下列运算性质（其中,,αβγ为n 维向量, k 为实数）：(1) [][],,;αββα= (2) [][],,;k k =αβαβ (3) [][][],,,;+=+αβγαγβγ(4) 当0=α时, [],0;=αα当0≠α时, [],0.>αα定义3. 2 令||||α==称||||α为n 维向量α的长度（或范数）．当||||1α=时, 称α为单位向量． 对nR 中的任一非零向量α, 向量||||αα是一个单位向量, 因为1.||||=αα用非零向量α的长度去除向量α, 得到一个单位向量, 这一过程通常称为把向量α单位化.向量的长度具有下述性质：(1) 非负性 ||||0,≥α且||||00;=⇔=αα (2) 齐次性 |||||||||;k k =αα(3) 三角不等式 ||||||||||||.+≤+αβαβ另外, 可以证明向量的内积满足柯西-施瓦兹（Chauchy-Schwarz ）不等式[][][]2,,,,≤αβααββ这里不予证明. 由此成立[],1|||| ||||≤αβαβ （当,≠≠00αβ时）,于是, 可定义向量的夹角．定义3. 3 当||||0,||||0≠≠αβ时, 称[],arccos|||| ||||=αβθαβ为n 维向量α与β的夹角．定义3. 4 当向量α与β满足[],αβ=0时, 则称向量α与β正交． 显然, 若,=0α则α与任何向量都正交． 定义3. 5 若12,,,r ααα是一个非零向量组, 且12,,,r ααα中的向量两两正交, 则称该向量组为正交向量组．例如, nR 中单位向量组()()()121,0,,0,0,1,,0,,0,0,,1===TTTn e e e 是正交向量组.定理3. 1 若n 维向量12,,,r ααα是一组两两正交的非零向量, 则该向量组线性无关．证明 设有12,,,r k k k 使得11220,r r k k k ++=ααα用(1,2,,)i i r =α与上式两端作内积, 得1122(,)(0,),r r i i k k k ++=ααααα即1122(,)(,)(,)(,)0.i i i i i r r i k k k k ++++=αααααααα由于i α与1211,,,,i i r -+ααααα均正交, 即,0,1,2,,1,1,,,i j j i i r ⎡⎤==-+⎣⎦αα所以有[],0i i i k =αα, 再有0,i ≠α得0, 1,2,,.i k i r ==所以, 12,,,r ααα线性无关．例3. 1 已知3维向量空间3R 中两个向量()()121,1,1,1,2,1TT==-αα正交, 试求一个非零向量3α, 使123,,ααα两两正交．解 记 12111,121T T A ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα则3α应满足齐次方程=0Ax , 即1231110,1210x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭由111101,121010A ⎛⎫⎛⎫=→ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭得132,0,x x x =-⎧⎨=⎩ 从而有基础解系()1,0,1T-．则取()31,0,1Tα=-即为所求．定义3. 6 设n 维向量12,,,r e e e 是向量空间()n V V R ⊂的一个基, 如果12,,,r e e e两两正交, 且都是单位向量, 则称12,,,r e e e 是V 的一个规范正交基（或标准正交基）．例如 n 维向量()()()121,0,,0,0,1,,0,,0,0,,1===TTTn e e e 是n R 的一个规范正交基．再如1234,,,⎫⎫⎛⎛====⎪⎪ ⎭⎭⎝⎝T T T Te e e ε就是4R 的一个规范正交基．若12,,,r e e e 是V 的一个规范正交基, 那么V 中任一向量α都能由12,,,r e e e 线性表示, 设表示式为1122,αλλλ=+++r r e e e为求出其系数(1,,)i i r λ=, 可用i e 与上式两端作内积, 有[],.=i i e λα这就是向量在规范正交基中的坐标的计算公式．利用这个公式能方便的求出向量的坐标, 因此, 我们在给向量空间取基时常常取规范正交基．设12,,,r ααα是向量空间V 的一个基, 要求V 的一个规范正交基. 也就是要找一组两两正交的单位向量12,,,,r e e e 使12,,,r e e e 与12,,,r ααα等价. 该过程称为把12,,,r ααα规范正交化．我们可以用以下的办法把12,,,r ααα规范正交化, 具体的步骤为：(1) 正交化：取[][][][][][][][]112122111121121112211;,;,,,,,,,,----==-=----r r r r r r r r r βααββαββββαβαβαβαβββββββββ容易验证12,,,βββr 两两正交, 且12,,,βββr 与12,,,r ααα等价．(2) 单位化：取112212111,,,,===r r re e e ββββββ则12,,,r e e e 就是向量空间V 的一个规范正交基．上述从线性无关向量组12,,,r ααα导出正交向量组12,,,βββr 的过程称为施密特正交化过程．它不仅满足12,,,βββr 与12,,,r ααα等价, 还满足：对任何(1)≤≤k k r ,向量组12,,,βββk 与12,,,k ααα等价．例 3. 2 设1231142,3,1,110ααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化．解 正交化：取[][][][][][]112122111313233121122;1,51;,311,,20.,,1=-⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪=--= ⎪ ⎪⎝⎭βααββαβββαβαββαββββββ再单位化, 取3121231231112,1,0,111-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪======⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎭⎭⎭e e e ββββββ 则123,,e e e 即为所求．二、正交矩阵定义3. 7如果n 阶实矩阵A 满足T AA E =（即1T A A -=）,那么, 称A 为正交矩阵, 简称正交阵. 显然, n 阶单位矩阵E 是正交矩阵.由正交矩阵的定义, 显然有下面的的性质：(1) 如果A 为正交矩阵, 则1TA A -=；(2) 如果A 为正交矩阵, 则1()TA A -也是正交矩阵；(3) 如果,A B 为同阶正交矩阵, 则它们的乘积AB 也是正交矩阵． (4) 正交矩阵的行列式等于1或－1．定理3. 2 n 阶矩阵A 是正交矩阵的充分必要条件是它的列（行）向量组是单位正交向量组．证明 设A 是实矩阵, 它的列向量组为12,,,n ααα, 则A 与T A 可表示为1212(,,,),,T T T n T n A A ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭αααααα于是[][][][][][][][][]111212122212,,,,,,,,,,n n T n n n n A A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭αααααααααααααααααα因此, T A A E =的充分必要条件是1,;,0,.i j i j i j =⎧⎡⎤=⎨⎣⎦≠⎩αα当当即A 的列向量组是单位正交向量组．又A 正交时, T A 也正交, 因此A 是正交矩阵的充分必要条件是A 的行向量组是单位正交向量组．例3. 3 判断下列矩阵是否为正交阵 (1) 1001⎛⎫⎪-⎝⎭； (2) 1001⎛⎫ ⎪⎝⎭； (3) 184999814999447999⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭；(4) 0⎛ ⎝； (5) 1112310121112⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭；(6) 0⎛ ⎝． 解 (1)、(2)、 (3)、 (4)都是正交矩阵．因为它们的列向量组都是单位正交向量组． (5)、（6）都不是正交矩阵．因为它们的第一列都不是单位向量． 定义3. 6 若P 为正交矩阵, 则线性变换=y Px 称为正交变换.设=y Px 为正交变换, 则有||||||||.y x =====这说明正交变换后向量的长度保持不变, 这是正交变换的优良特性.习题4. 31. 已知()()1,2,1,1,2,3,1,1,TT=-=-αβ求[][],,32,23,--αβαβαβ||||α||||,βα与β的夹角．2. 设()()1,1,2,1,0,1,TT=-=-αβ求与,αβ等价的标准正交向量组.3. 设()()()123123,3,3,3,3,,3,,3,(,,),TTTk k k A m ====αααααα求,,m k 使A 为正交阵.§4. 4实对称矩阵的对角化从上一节我们看到, 一般的矩阵并不一定可对角化. 本节专门讨论一种特殊的方阵——实对称矩阵，这种矩阵一定可对角化, 并且还能正交相似于对角矩阵. 定理4.1 实对称矩阵的特征值为实数.证明 设λ是实对称矩阵A 的特征值, α为对应的特征向量. 即,0,A αλαα=≠以λ表示λ的共轭复数, α表示α的共轭复向量,则()().A A A αααλαλα====于是有(),T T TA A ααααλαα==及()()(),TTTTT TA A A ====ααααααλααλαα以上两式相减, 得 ()0,Tλλαα-=因为0,≠α所以0.Tαα≠，故λλ=即λ为实数.对实对称矩阵A , 因其特征值λi 为实数, 故方程组()0i A E x -=λ是实系数方程组,由0i A E -=λ知它必有实的基础解系, 所以A 的特征向量可以取实向量.定理 4.2 设12,λλ是实对称矩阵A 的两个特征值, 12,αα 依次是它们对应的特征向量. 若12,≠λλ则1α与2α 正交.证明 111,=A αλα222,=A αλα 12,≠λλ 故12212().T TA ααλαα=因A 对称, 故1212112112()()(),T T T T A A ααααλααλαα===于是()12120.T λλαα-=因12≠λλ，故120,=Tαα即1α与2α正交.定理 4.3设A 为n 阶对称矩阵,λ是A 的特征方程的t 重根, 则矩阵-A E λ的秩()-=-λR A E n t ，从而特征值λ恰有t 个线性无关的特征向量. 证明 略定理4.4 设A 为n 阶对称矩阵, 则必有正交矩阵P , 使1P A P Λ-=, 其中Λ是以A 的n 个特征值为对角元素的对角矩阵.证明 设A 的互不相等的特征值为12λλλm ，，，，它们的重数依次为12,,m t t t ，， 于是12m t t t n +++=. 根据定理4. 1及定理4. 3知, 对应特征值i λ恰有i t 个线性无关的实特征向量, 把它们正交单位化, 即得(1,2,,)i t i m =个两两正交的单位特征向量, 由12m t t t n +++=知这样的特征向量恰有n 个. 又实对称矩阵不等的特征值对应的特征向量正交, 故这n 个特征向量构成规范正交向量组. 以它们为列构成正交矩阵,P 并有1.P A P Λ-=其中对角矩阵Λ的对角元素含i t 个(1,2,,),i i s =λ恰是A 的n 个特征值.根据定理4. 3及定理4. 4, 我们有下述把对称阵A 对角化的步骤：（1）求出A 的全部互不相等的特征值12m λλλ，，，，它们的重数依次为1212,,().m m t t t t t t n +++=，（2）对每个i t 重特征值i λ, 求方程()0-=i A E x λ的基础解系, 得i t 个线性无关的特征向量. 再把它们正交化、单位化, 得i t 个两两正交的单位特征向量. 因12,m r r r n +++=故总共可得n 个两两正交的单位特征向量.（3）把这n 个两两正交的单位特征向量为列构成正交阵,P 便有1.TP AP P AP -==Λ 注 Λ中对角元的排列次序应与P 中列向量的排列次序相对应.例4. 1 设500021012A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求一正交矩阵P 使得1.P AP -=Λ解 A 的特征多项式为500021(1)(3)(5),012A E λλλλλλλ--=-=----故A 的特征值为12313 5.===，，λλλ 对11=λ, 由12340000110,0110x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得基础解系为12301,1x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单位化得10.p ⎛⎫⎪ = ⎪ ⎪⎝⎭ 对23=λ, 由12320000110,0110x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得基础解系为12301,1x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单位化得20.p ⎛⎫⎪= 对35=λ, 由12300000310,0130x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得基础解系为12310,0x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单位化得30.0p ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭将123,,p p p 构成正交矩阵123001(,,)0,0⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭P p p p 则 .5311⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-AP P AP P T例4. 2设111111111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A , 求一正交矩阵P 使1-=ΛP AP .解 A 的特征多项式为2111111(3),111A E λλλλλλ--=-=--故A 的特征值为1230, 3.===λλλ对120==λλ, 解齐次线性方程组(0)0,-=A E x 求得基础解系为:12111,0,01ξξ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭经过施密特正交化, 再单位化得12,.0⎛⎛--==- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p p 对33=λ, 解齐次线性方程组3)0,-=A E x （求得基础解系为31,1ξ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭单位化得3.=p 取123(,,),0P p p p ⎛== ⎝则.3001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-AP P AP P T例4. 3 设2112-⎛⎫=⎪-⎝⎭A , 求nA解 因A 对称, 故A 可对角化, 即有可逆矩阵P 及对角阵Λ, 使1.Λ-=P AP 于是1,Λ-=A P P 从而1.Λ-=n n A P P由 22143(1)(3),12λλλλλλλ---==-+=----A E得A 的特征值为121, 3.==λλ于是1010,0303ΛΛ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n 对应11,=λ 由()0,-=A E x 解得基础解系为111ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭；对应23,=λ 由(3)0,-=A E x 解得基础解系为211ξ⎛⎫=⎪-⎝⎭.并有1211(,)11ξξ⎛⎫==⎪-⎝⎭P , 再求出1111.112-⎛⎫= ⎪-⎝⎭P 于是1111011131311110311221313-⎛⎫+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n nnn n n A P P Λ. 习题4. 41. 试求一个正交矩阵P , 将下列对称矩阵化为对角矩阵.(1) 400031013⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭; (2) 222254245-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭. 2. 设A 为三阶实对称矩阵, 特征值是1,1,0.-而11=λ和21=-λ的特征向量分别是21,1,113⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭a a a a 求矩阵A . 3. 设三阶对称矩阵A 的特征值为6,3,3,特征值6 对应的特征向量为1(1,1,1),=Tp 求A .4. 设142034,043⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A 求100.A§4.5 应用举例例5. 1 社会调查表明, 某地劳动力从业转移情况是：在从农人员中每年有3/4改为从事非农工作, 在非农从业人员中每年有1/20改为从农工作. 到2010年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的1/5和4/5, 试预测到2015年底该地劳动力从业情况以及经过多年之后该地劳动力从业情况的发展趋势．解 到2011年底该地从农工作和从事非农工作人员占全部劳动力的百分比分别为1114;45205⨯+⨯31194.45205⨯+⨯ 如果引入2 阶矩阵(),ij A a =其中121/20a =表示每年非农从业人员中有1/20改为从农工作. 213/4a =表示每年从农人员中有3/4改为从事非农工作. 于是有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=20/194/320/14/1A再引入 2 维列向量, 其分量依次为到某年底从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的百分比．如向量1/54/5X ⎛⎫=⎪⎝⎭表示到2010年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的1/5和4/5．那么, 2011年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的百分比就可由下述运算得出1/41/201/53/419/204/5AX ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1114452053119445205⎛⎫⨯+⨯⎪= ⎪ ⎪⨯+⨯ ⎪⎝⎭9/10091/100⎛⎫= ⎪⎝⎭于是, 到2015年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的百分比应为5,A Xk 年后该地劳动力的从业情况可由计算k A X 而得.矩阵A 的特征多项式)1)(15(20194320141||--=--=-λλλλλE A得A 的特征值121/5, 1.λλ==所以A 能与对角矩阵相似.求特征值11/5λ=对应的特征向量为：11⎛⎫⎪-⎝⎭求特征值21λ=对应的特征向量为：115⎛⎫⎪⎝⎭取矩阵11,115P ⎛⎫=⎪-⎝⎭则P 为可逆矩阵, 且使得11/50.01P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭因为11511,1116P --⎛⎫=⎪⎝⎭所以 555111/50(1/5)0,0101A X P P X P P X --⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1)5/1(151115⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11115161⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5/45/1 66111151116155⎛⎫+ ⎪= ⎪⎪- ⎪⎝⎭类似的, 第k 年底该地劳动力的从业情况为111511/5(1/5)01115114/51601kk A X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=++11511155111161545151515511155115151161k k k k k k 按此规律发展, 多年之后该地从农工作和从事非农工作人员占全部劳动力的百分比趋于16/10011594/10016⎛⎫⎛⎫≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即多年之后该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的6/100 和 94/100.例5. 2 在1202年, 裴波那契在一本书中提出一个问题：如果一对兔子出生一个月后开始繁殖, 每个月生出一对后代, 现在有一对新生兔子, 假设兔子只繁殖, 没有死亡, 那么问每月月初会有多少兔子？解 假设这对兔子出生时记为零月份, 这时只有一对兔子, 一个月后即1月初, 这对兔子还未开始繁殖, 所以依然是一对兔子, 2月初, 它们生了一对兔子, 因此, 此时有两对；3月初, 它们又生了一对兔子, 而在1月初生下的那对兔子还未繁殖, 故此时共有3对, ……, 依次下去, 有1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …,这一数列称为裴波那契数列.设第n 月初有n x 对兔子, 则有12.n n n x x x --=+这是一个递推公式, 显然01 1.x x == 将上式用矩阵表示, 有11101.11n n n n n n n x x x x x x x -++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭记101,,11n n n x X A x +⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭那么0011,1x X x ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且21201.1n n n n n X AX A X A X A --⎛⎫===⋯== ⎪⎝⎭易知A的特征值为121122-==λλ 属于1λ的特征向量为()111,T =ξλ属于2λ的特征向量为()221.T=ξλ令()121211,P ⎛⎫== ⎪⎝⎭ξξλλ那么1120.0P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭λλ而21112211211111,111P --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭λλλλλλλλ于是1111212212211111212222212121211111111 =,n n n n n n n n n n n n X A P P -++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪---⎝⎭⎭λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ所以111112).n n n n n x ++++⎛⎫⎪=-=-⎪⎝⎭⎝⎭⎭λλ 这就是裴波那契数列的卢卡斯通项公式.习题四1. 求与()()()1231111,1111,2113TTTααα=-=--=正交的单位向量．2. 试用施密特正交化方法把下列向量组正交化：(1) 1231021,1,0123ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (2) 123111011,,101110ααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3. 判断下列矩阵是不是正交矩阵, 并说明理由.(1)10;332263⎛ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭(2)11123111.2211132⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭4. 设,A B 为同阶正交矩阵, 则它们的乘积AB 也是正交矩阵.5. 求下列矩阵的特征值与特征向量（1）211031;213-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ （2）001010;100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（3）11111111;11111111⎛⎫ ⎪--⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭ （4）10000100;00010000a a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭6. 设,A B 为n 阶方阵, A 可逆, 证明AB 与BA 有相同的特征值．7. 设A 是三阶矩阵, 它的特征值是-1, 2, 1, 求*32A A E ++.8. 设1λ和2λ是矩阵A 的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为1p 和2p , 证明12p p +不是A 的特征向量.9. 设21253,102A b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭已知A A ,1-=的伴随矩阵*A 特征值0λ所对应的特征向量T )1,1,1(--=α, 求0λ和b 的值.10. 已知111p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是矩阵21153143A a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的一个特征向量. (1) 求参数,a b 及特征向量p 所对应的特征值; (2) 问A 能不能相似对角化？并说明理由.11. 设110220,421A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭求kA12. 设n 阶方阵A 的秩为,r A A =2． （1）求A 的特征值;（2）证明E A -的秩为();n R A -（3）证明A 可相似于对角矩阵, 并写出对角矩阵.13. 设A 为3阶矩阵, 12,αα为矩阵A 的分别属于特征值 1和1 的特征向量, 3α满足323A ααα=+, 证明 123,,ααα线性无关.。
对角矩阵
运算规律
数乘运算
和差运算
乘积运算
同阶对角阵的和、差仍是对角阵，有：
数与对角阵的乘积仍为对角阵，有：
同阶对角矩阵的乘积仍为对角阵，且它们的乘积是可交换的，有：
矩阵条件
充要条件
推论
n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。 证明过程： （1）必要性。 设有可逆矩阵P，使得 令矩阵P的n个列向量为，则有 因而，因为P为可逆矩阵，所以为线性无关的非零向量，它们分别是矩阵A对应于特征值的特征向量。 （2）充分性。 由必要性的证明可见，如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，设它们为，对应的特征值分别为，则有，以这 些向量为列构造矩阵，则P可逆，且，其中C如下： 即。
对角矩阵
数学名词
01 定义
03 矩阵条件
目录
02 运算规律
对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵，常写为diag（a1，a2,...,an)。对 角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种，值得一提的是：对角线上的元素可以为 0或其他值，对角线上元素相等 的对角矩阵称为数量矩阵；对角线上元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵。对角矩阵的运算包括和、差运算、数乘 运算、同阶对角阵的乘积运算，且结果仍为对角阵。
定义
对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵。对角线上的元素可以为0或其他值。 对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵；对角线上元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵。
（1）对角矩阵形如： （2）对角矩阵可以记作：。 （3）当时，对角阵称为数量矩阵。 （4）当时，叫做单位矩阵，记作E，有。
若n阶矩阵A有n个不同的特征值，则A必能相似于对角矩阵。 说明：当A的特征方程有重根时．就不一定有n个线性
矩阵可对角化的条件
【2 】第二节矩阵可对角化的前提界说1 假如矩阵能与对角矩阵类似,则称可对角化.例1设,则有：,即.从而可对角化.定理1 阶矩阵可对角化的充分必要前提是有个线性无关的特点向量.证实：必要性假如可对角化,则消失可逆矩阵,使得将按列分块得,从而有是以有,所所以的属于特点值的特点向量,又由可逆,知线性无关,故有个线性无关的特点向量.充分性设是的个线性无关的特点向量,它们对应的特点值依次为,则有.令,则是一个可逆矩阵且有：是以有,即,也就是矩阵可对角化.注若,则,对按列分块得,于是有,即,从而.可见,对角矩阵的元素就是矩阵的特点值,可逆矩阵就是由的线性无关的特点向量所组成的,并且特点向量的次序依附于对角矩阵.定理2 矩阵的属于不同特点值的特点向量是线性无关的.证实：设是的个互不雷同的特点值,是的属于特点值的特点向量,现对作数学归纳法证实线性无关.当时,因为特点向量不为零,是以定理成立.假设的个互不雷同的特点值对应的个特点向量是线性无关的.设是的个互不雷同的特点值,是的属于特点值的特点向量.又设(1)成立.则有,又将(1)式双方同乘得：从而有,由归纳假设得,再由两两互不雷同可得,将其代入(1)式得,是以有,从而线性无关.推论1 若阶矩阵有个互不雷同的特点值,则可对角化,且.定理3 设是阶矩阵的个互异特点值,对应于的线性无关的特点向量为,则由所有这些特点向量（共个）组成的向量组是线性无关的.证实：设,记,,则有,且或是的属于特点值的特点向量.若消失某个,,则由属于不同特点值的特点向量线性无关知,抵触.是以有,,又由已知得,,是以向量组线性无关.定理4设是阶矩阵的一个重特点值,对应于的特点向量线性无关的最大个数为,则,即齐次线性方程组的基本解系所含向量个数不超过特点值的重数.证实：用反证法.因为是的属于特点值的特点向量当且仅当是齐次线性方程组的非零解,是以对应于的特点向量线性无关的最大个数与齐次线性方程组的基本解系所含向量个数相等.设是齐次线性方程组的一个基本解系,且假设,则有.现将扩充为一个维线性无关向量组,个中未必是的特点向量,但有是一个维向量,从而可由向量组线性表示,即：因而有：（2）个中有个.令,并将(2)式右端矩阵分块表示,则有,由类似矩阵有雷同的特点多项式,得的特点多项式为：个中是的次多项式.从而至少是的重特点值,与是重特点值抵触.所以.定理5 阶矩阵可对角化的充分必要前提是：的每个特点值对应的特点向量线性无关的最大个数等于该特点值的重数(即的每个特点值对应的齐次线性方程组的基本解系所含向量个数等于该特点值的重数,也即的每个特点子空间的维数等于该特点值的重数）.证实：设,个中两两不同,且有.充分性因为对应于的特点向量有个线性无关,又个特点值互异,是以有个线性无关的特点向量,故可对角化.必要性（反证法）设有一个特点值所对应的线性无关的特点向量的最大个数的重数,则的线性无关的特点向量个数小于,故不能与对角矩阵类似.例2设,求的特点值和特点向量,并断定是否可对角化？解：由得的特点值为（二重特点值）.当时,由,即：得基本解系为,从而的属于特点值的特点向量为（为随意率性非零常数）.当时,由,即：得基本解系为,从而的属于特点值的特点向量为（为随意率性非零常数）.因为的特点值对应的齐次线性方程组的基本解系所含向量个数小于特点值的重数,故不可对角化.例3巳知,断定可否对角化？若能对角化,求可逆矩阵,使得为对角阵.解：由得的特点值为（二重特点值）.当时,由,即：得基本解系为,从而的属于特点值的特点向量为（为随意率性非零常数）.当时,由,即：得基本解系为及,从而的属于特点值的特点向量为（为随意率性不全为零的常数）.因为的每个特点值对应的齐次线性方程组的基本解系所含向量个数等于特点值的重数,故可对角化.令,则.例4设是阶矩阵,,断定是否可对角化.解：设的特点方程的两个根为,则,故有两个不同的特点值,从而可对角化.例5设实对称矩阵,问是否可对角化？若可对角化,求矩阵,使得为对角阵,并求（为正整数）.解：由得的特点值为（三重特点值）.当时,由,即：得基本解系为,从而的属于特点值的特点向量为（为随意率性非零常数）.当时,由,即：得基本解系为,,,从而的属于特点值的特点向量为（为随意率性不全为零的常数）.因为的每个特点值对应的齐次线性方程组的基本解系所含向量个数等于特点值的重数,故可对角化.令,则.从而,且例6设阶矩阵知足（称为幂等矩阵）,证实：的特点值只能为或,并且可对角化.证实：设是的属于特点值的特点向量,则,由,得,所以幂等矩阵的特点值只能为或.设秩,当秩时,,故可对角化且;当秩时,可逆,由得,故可对角化且;现设.当特点值时,其特点矩阵的秩为.这是因为由,所以;又,因而,从而有.再由可得对应于的线性无关的特点向量的最大个数为.设的属于特点值的个线性无关的特点向量为.当特点值时,由可得对应于的线性无关的特点向量的最大个数为.设的属于特点值的个线性无关的特点向量为.从而有个线性无关的特点向量,故可对角化.令,则,个中主对角线上的个数为秩个,的个数为个.。
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二 矩阵的对角化 1．矩阵对角化的定义
定义 6’设 A∈ Pnn , A可看作n维线性空间 V的线性变换 / A关于某组 基的矩阵,若/A 可对角化,则称 A 在 P 上可对角化。
如
A
1 2
2 1
2 2
在任一数域P上可对角化。
2 2 1
2．矩阵可对角化的判别
定理 7’ A ∈ Pnn ,则 A 在 P 上可对角化的充要条件是 A 在 Pn 中有 n 个线性无关的特征向量。
定理 8 属于不同特征值的特征向量是线性无关的。
推论 1 设 / A L(V ), 若 / A的特征多项式 f / A 在数域P中有n个不同的根 。
即/A 有 n 个不同的特征值，那么/A 可对角化。 推论 2 在复数域 上的线性空间中,如果 线性变换/A 的特征多项式没有重
根,那/A 在某组基下的矩阵是对角矩阵．
V 的恒等变换．零变换都可以对角化。
例 2 设线性变换/A 在基 ε1 ,ε 2 , 3 下的矩阵是
1 2 2 A= 2 1 2
2 2 1 则 / A可以对角化。
2．线性变换可对角化的条件
定理 7 设/A 是 n 维线性空间 V 的一个线性变换,那么/A 可对角化的充 要条件是/A 有 n 个线性无关的特征向量。
§5对角矩阵
一、线性变换的对角化 1、线性变换对角化定义
定义 6 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间，/A L(V ) ，若/A 在 V 的 某个基下的矩阵是对角矩阵，则称线性变换/A 可对角化．
例 1 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间，/K 是由 P 中数 k 确定的数乘
变换,即 / K k ,则/K 可对角化。
习题 13 /A 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一个线性变换，证明：如果/A 在任意一组基下的矩阵都相同，那么/A 是数乘变换。
n
注意：若 A 相似于对角矩阵．则对角矩阵主对角线上的元素正是 A 的所有特征值。
例 3 设 R 上的矩阵 1 4 2
A 0 3 4 0 4 3
(1)证明 A 可对角化；
(2) 求可逆矩阵 T 使 T 1 AT为对角矩阵 ；
(3)求 A100 =?
习题 12 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间，证明：V 的与全体线性变换可以 交换的线性变换是数乘变换.
定理 10 设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间，/A∈L(V), 1, 2 ,, r
r
是/A 的全部不同的特征值，则/A 可对角化 dim Vi n 。 i 1 定理 11 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间，/A∈L(V)，/A 可对角化．则 /A 相应的对角矩阵主对角线上元素除排列次序外是唯一确定的,它们正是 f/ A 全部的根(重根按重数计算)。
定 理 9 如 果 1, 2 ,, k 是 线 性 变 换 /A 的 不 同 的 特 征 值 ， 而
i1,i2 ,, iri 是属于特征值 i的线性无关的特征向量 , i 1,2,, k ， 那么向量组11,12 ,,1r1 ,, k1, k 2 ,, krk 也线性无关。
r
P 上可对角化 dim Vi n 。 i 1
定理 12 设 A∈ Pnn ，则 A 可对角化 A 相似于对角阵。即存在 P
上 n 阶可逆矩阵 T 使
1 0 0
T
1 AT
0
0
2
0
Βιβλιοθήκη 0 ， 其中i
P, i
1,2,, n
。
推论 1’ 设 A∈ Pnn ,若 A 在数域 P 上有 n 个不同的特征值，则 A 可对角化。
推论 2’ 设 A 是复矩阵,若 f A 在复数域上的根都是单根，则 A 可对角化。
定理 10’ 设 A∈ Pnn , 1, 2 ,, r 是 A 在 P 中全部不同的特征值,则 A 在