第二章第9讲函数与方程

第9讲函数与方程

1．函数零点的定义

对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系

1．辨明两个易误点

(1)函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．

(2)函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件．

2．会用判断函数零点个数的三种方法

(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

3．明确三个等价关系(三者相互转化)

1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0，2 B ．0，1

2

C ．0，－1

2

D ．2，－1

2

解析：选C.因为2a ＋b ＝0，

所以g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)． 所以零点为0和－1

2

.

2．(必修1 P92习题3.1A 组T1改编)下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用零点存在性定理判定图中函数零点的是( )

答案：A

3．已知函数y ＝f (x )在区间(2，4)上连续，验证f (2)·f (4)<0，取区间(2，4)的中点x 1＝

2＋4

2＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点所在的区间为________．

答案：(2，3)

4．(必修1 P112复习参考题A 组T1改编)若函数f (x )唯一的零点在区间(1，3)或(1，4)或(1，5)内，则

①函数f (x )的零点在(1，2)或(2，3)内； ②函数f (x )在(3，5)内无零点； ③函数f (x )在(2，5)内有零点；

④函数f (x )在(2，4)内不一定有零点； ⑤函数f (x )的零点必在(1，5)内．

以上说法错误的是________(填序号)． 答案：①②③

考点一 函数零点所在区间的确定[学生用书P39]

(2014·高考北京卷)已知函数f (x )＝6

x

－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的

区间是( )

A ．(0，1)

B ．(1，2)

C ．(2，4)

D ．(4，＋∞)

[解析] 由题意知，函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，又f (1)＝6－0＝6>0，f (2)＝3－1＝2>0，f (4)＝64－log 24＝32－2＝－1

2<0，由零点存在性定理，可知函数f (x )在区间(2，4)上必

存在零点．

[答案] C

判断函数零点所在区间的方法

(1)当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；

(2)当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断； (3)当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．

1.函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( )

A ．(－2，－1)

B ．(－1，0)

C ．(0，1)

D ．(1，2)

解析：选B.易知f (x )为增函数． 因为f (－1)·f (0)＝－5

2

＜0，

所以函数f (x )的零点所在区间为(－1，0)．

考点二 函数零点个数的问题[学生用书P40]

(1)(2014·高考湖北卷)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2

－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )

A ．{1，3}

B ．{－3，－1，1，3}

C ．{2－7，1，3}

D ．{－2－7，1，3}

(2)若偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2，则关于x 的方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x

在⎣⎡⎦⎤0，103上的根的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

[解析] (1)令x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝(－x )2＋3x ＝x 2＋3x .因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．所以当x ＜0时，f (x )＝－x 2－3x .所以当x ≥0时，g (x )＝x 2－4x ＋3.令g (x )＝0，即x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3.当x ＜0时，g (x )＝－x 2－4x ＋3.令g (x )＝0，即x 2＋4x －3＝0，解得x ＝－2＋7＞0(舍去)或x ＝－2－7.所以函数g (x )有三个零点，故其集合为{－2－7，1，3}．

(2)因为f (x )为偶函数，

所以当x ∈[－1，0]时，－x ∈[0，1]， 所以f (－x )＝x 2，即f (x )＝x 2. 又f (x －1)＝f (x ＋1)， 所以f (x ＋2)＝f (x )，

故f (x )是以2为周期的周期函数，据此在同一坐标系中作出函数y ＝f (x )与y ＝⎝⎛⎭⎫

110x

在

⎣

⎡⎦⎤0，103上的图象如图所示，数形结合得两图象有3个交点， 故方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x

在⎣⎡⎦⎤0，103上有三个根．故选C. [答案] (1)D (2)C

若将本例(2)中“⎝⎛⎭⎫110x

”变为“⎝⎛⎭⎫110|x |

”，则方程f (x )＝⎝⎛⎭

⎫110|x |

在[－3，3]上所有根的和为________．

解析：由本例(2)解析知f (x )＝⎝⎛⎭⎫110|x |在[－3，3]上有六个不同根，不妨设为x 1

由图象关于y 轴的对称性知x 1＋x 6＝0，x 2＋x 5＝0，x 3＋x 4＝0，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5

＋x 6＝0.

答案：0

函数零点个数的判断方法

(1)直接求零点； (2)零点存在性定理； (3)利用图象交点的个数．

[注意] 若已知f (x )有几个零点，则用数形结合法，转化为两个熟悉的函数图象有几个交点问题，数形结合求解．

2.(1)已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，

1＋log 2x ，x ＞1，则函数f (x )的零点为( )