高中数学椭圆、双曲线、抛物线历年真题及详解

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圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)(精选20题)(解析版)

圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)(精选20题)保持做题的“手感”。

临近高考，考生仍要保持做数学题的手感，勤于动笔，勤于练习。

考前很多考生心态波动较大，比如看到考试成绩下降，就会非常焦虑。

实际上成绩有波动很正常，因为试卷的难度不一样，考生的发挥也不一样，试卷考查的知识点和考生掌握的情况也不一样。

考生不要因为一次考试而让自己过于焦虑，要辩证地去看待考试成绩。

在考试过程中，如果遇到新题或难题，一定要稳住心态。

考生要想到的是：我觉得难，别人也一样。

当然我们也不能因为题目简单就疏忽大意，要把自己的水平发挥出来，保证自己会做的题都不出错，难题尽可能多拿分。

圆锥曲线解题技巧尽量做出第一问，第二问多套模板拿步骤分1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 、x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，必要时计算Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解2.若直线l :y =kx +b 与圆雉曲线相交于A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)两点，由直线与圆锥曲线联立，消元得到Ax 2+Bx +C =0(Δ>0)则：x 1+x 2=-B A ,x 1x 2=CA则：弦长AB =x 1-x 2 2+y 1-y 2 2=x 1-x 2 2+kx 1-kx 2 2=1+k 2x 1-x 2 =1+k 2x 1+x 2 2-4x 1x 2=1+k 2-B A 2-4C A=1+k 2B 2-4ACA 2=1+k 2⋅ΔA或|AB |=1+1k2⋅y 1-y 22=1+1k2⋅y 1-y 2一、解答题1(2024·浙江温州·模拟预测)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，左右顶点分别是A -2,0 ，B 2,0 ，椭圆的离心率是22.点P 是直线x =32上的点，直线PA 与PB 分别交椭圆C 于另外两点M ，N .(1)求椭圆的方程.(2)若k AM =λk BN ，求出λ的值.(3)试证明：直线MN 过定点.【答案】(1)x 22+y ²=1(2)12(3)证明见解析【分析】(1)由题意结合a 2=b 2+c 2计算即可得；(2)设出点P 坐标，借助斜率公式计算即可得；(3)设出直线MN 方程，联立曲线方程，借助韦达定理与(2)中所得λ计算即可得.【详解】(1)由题意可得a =2，c a =22，即a 2=2c 2=b 2+c 2=2，所以b =c =1，则椭圆C :x22+y 2=1；(2)设P 32,n ，由于k AM =λk BN ，则λ=k PA k PB =n32+2n 32-2=2242=12；(3)显然MN 斜率不为0，设l MN ：x =ty +m ，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，联立方程x =ty +mx 22+y 2=1，则有t 2+2 y 2+2tmy +m 2-2=0，Δ=4t 2m 2-4t 2+2 m 2-2 =8t 2-m 2+2 >0，则有y 1+y 2=-2tm t 2+2，y 1y 2=m 2-2t 2+2，由于k AM =λk BN ，则λ=kMA k BN =y 1x 2-2 y 2x 1+2 =y 1x 2-2 x 2+2 y 2x 1+2 x 2+2 =y 1x 22-2y 2x 1+2 x 2+2，因为x 222+y 22=1，故λ=-2y 1y 2x 1+2 x 2+2 =-2y 1y 2ty 1+m +2 ty 2+m +2 =4-2m 22m 2+42m +4=12，即3m 2+22m =2，解得m =-2或m =23，当m =-2时，2m 2+42m +4=0，故舍去，即m =23，适合题意，故MN :x =ty +23，则直线MN 过定点23,0.2(2024·辽宁·模拟预测)在直角坐标系xOy 中，点P 到点(0，1)距离与点P 到直线y =-2距离的差为-1，记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程；(2)设点P 的横坐标为x 0(x 0<0).(i )求W 在点P 处的切线的斜率(用x 0表示)；(ii )直线l 与W 分别交于点A ，B ．若PA =PB ，求直线l 的斜率的取值范围(用x 0表示).【答案】(1)x 2=4y(2)(i )x 02，(ii )答案见解析【分析】(1)设点P 的坐标为(x ,y )，利用距离公式列式化简求解即可；(2)(i )利用导数的几何意义求得切线斜率；(ii )分析直线l 斜率存在设为y =kx +m ，与抛物线方程联立，韦达定理，表示出线段AB 中点M 的坐标，利用斜率关系得x 024=-1k x 0-x M +y M ，从而m =x 204+x 0k-2k 2-2，根据Δ>0，得k k -x 02 k 2+x02k +2 <0，分类讨论解不等式即可.【详解】(1)设点P 的坐标为(x ,y )，由题意得(x -0)2+(y -1)2-|y -(-2)|=-1，即x 2+(y -1)2=|y +2|-1，所以y +2≥0,x 2+(y -1)2=y +1. 或y +2<0,x 2+(y -1)2=-y -3.整理得y +2≥0,x 2=4y .或y +2<0,x 2=8y +8.故W 的方程为x 2=4y .(2)(i )因为W 为y =x 24，所以y =x2．所以W 在点P 处的切线的斜率为：x 02；(ii )设直线l 为y =kx +m ，点M 为线段AB 的中点，当k =0时，不合题意，所以k ≠0；因为点A ，B 满足x 2=4y ,y =kx +m . 所以x A ,x B 满足x 2-4kx -4m =0，从而Δ=16k 2+16m >0,x M =x A +xB 2=2k ,y M =kx M +m =2k 2+m .因为直线PM 的方程为y =-1k x -x M +y M ，所以x 024=-1kx 0-x M +y M ，即x 204=-1k x 0-2k +2k 2+m ，从而m =x 204+x 0k -2k 2-2.因为Δ=16k 2+16m >0，所以k 2+x 204+x0k -2k 2-2>0，即k -x 02 k 2+x 02k +2k<0，等价于k k -x 02 k 2+x02k +2 <0(其中x 0<0).①当x 204-8<0时，即x 0∈(-42,0)时，有k 2+x 02k +2>0，此时x 02<k <0，②当x 204-8=0时，即x 0=-42时，有k k -x 02 k +x 04 2<0，此时x 02<k <0，③当x 024-8>0时，即x 0∈(-∞,-42)时，有k k -x 02 k --x 0-x 20-324 k --x 0+x 20-324<0，其中x 02<0<-x 0-x 20-324<-x 0+x 20-324，所以k ∈x 02,0 ∪-x 0-x 20-324,-x 0+x 20-324.综上，当x 0∈[-42,0)时，k ∈x02,0 ；当x 0∈(-∞,-42)时，k ∈x 02,0 ∪-x 0-x 20-324,-x 0+x 20-324.3(2024·山西太原·三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右顶点分别为A 与B ，点D 3,2 在C 上，且直线AD 与BD 的斜率之和为2 .(1)求双曲线C 的方程;(2)过点P 3,0 的直线与C 交于M ,N 两点(均异于点A ,B )，直线MA 与直线x =1交于点Q ，求证:B ,N ,Q 三点共线.【答案】(1)x 23-y 2=1(2)证明见解析【分析】(1)由题意点D 3,2 在C 上，且直线AD 与BD 的斜率之和为2，建立方程组求解即可；(2)B ,N ,Q 三点共线，即证BN ⎳BQ，设出直线的方程联立双曲线的方程，由韦达定理，求出M ,N 的坐标，由坐标判断BN ⎳BQ，证明即可.【详解】(1)由题意得A -a ,0 ,B a ,0 ，且9a 2-2b2=123+a +23-a=2∴a 2=3b 2=1∴x 23-y 2=1(2)由(1)得A -3,0 ,B 3,0 ，设直线MN 的方程为x =ty +3t ≠±3 ,M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，则BN=x 2-3,y 2 ，由x =ty +3x23-y 2=1 得t 2-3y 2+6ty +6=0,∴y 1+y 2=-6t t 2-3,y 1y 2=6t 2-3，直线AM 的方程为y =y 1x 1+3x +3 ，令x =1，则y =y 1x 1+31+3 ，∴Q 1,1+3 y 1x 1+3 ,∴BQ =1-3,1+3 y 1x 1+3，∵x 2-3 ⋅1+3 y 1x 1+3-1-3 y 2=1x 1+3x 2-3 ⋅1+3 y 1-1-3 x 1+3 y 2=1x 1+3ty 2+3-3 ⋅1+3 y 1-1-3 ty 1+3+3 y 2 =1x 1+3ty 2+3-3 ⋅1+3 y 1+3-1 ty 1+3+3 y 2 =23x 1+3ty 1y 2+y 1+y 2 =23x 1+36t t 2-3-6tt 2-3=0,∴BN ⎳BQ, 所以B ,N ,Q 三点共线.4(2024·重庆·模拟预测)如图，DM ⊥x 轴，垂足为D ，点P 在线段DM 上，且|DP ||DM |=12．(1)点M 在圆x 2+y 2=4上运动时，求点P 的轨迹方程；(2)记(1)中所求点P 的轨迹为Γ,A (0,1)，过点0,12作一条直线与Γ相交于B ,C 两点，与直线y =2交于点Q ．记AB ,AC ,AQ 的斜率分别为k 1,k 2,k 3，证明：k 1+k2k 3是定值．【答案】(1)x 24+y 2=1(2)证明见解析【分析】(1)设P x ,y ，则有M x ,2y ，根据M 在圆x 2+y 2=4上运动，即可求解x 、y 的关系式即为点P 的轨迹方程；(2)设出直线方程，直曲联立利用韦达定理求出x 1+x 2=-4k1+4k2x 1x 2=-31+4k2，求出k 1+k 2=4k 3，对y =kx +12，令y =2，得Q 32k ,2，求出k 3=2k3，即可求出k 1+k 2k 3是定值.【详解】(1)设P x ,y ，根据题意有M x ,2y ，又因为M 在圆x 2+y 2=4上运动，所以x 2+2y 2=4，即x 24+y 2=1，所以点P 的轨迹方程为：x 24+y 2=1.(2)根据已知条件可知，若直线BC 的斜率不存在，不合题意，若直线BC 斜率为0，直线BC 与直线y =2平行无交点也不合题意，所以直线BC 的斜率存在设为k ，直线BC 的方程为y =kx +12，联立x 24+y 2=1y =kx +12，则有1+4k 2x 2+4kx -3=0，且Δ>0，设B x 1,y 1 ，C x 2,y 2 ，则x 1+x 2=-4k1+4k2x 1x 2=-31+4k2，k 1=y 1-1x 1，k 2=y 2-1x 2，所以k 1+k 2=y 1-1x 1+y 2-1x 2=x 2kx 1-12 +x 1kx 2-12x 1x 2=2kx 1x 2-12x 1+x 2x 1x 2=2k -31+4k2-12-4k1+4k 2-31+4k 2=4k 3，对y =kx +12，令y =2，得x Q =32k ，所以Q 32k,2 ，所以k 3=2-132k=2k 3，所以k 1+k 2k 3=4k332k=2为定值.5(2024·湖北武汉·模拟预测)己知圆E :(x +6)2+y 2=32，动圆C 与圆E 相内切，且经过定点F 6，0(1)求动圆圆心C 的轨迹方程；(2)若直线l :y =x +t 与(1)中轨迹交于不同的两点A ,B ，记△OAB 外接圆的圆心为M (O 为坐标原点)，平面上是否存在两定点C ，D ，使得MC -MD 为定值，若存在，求出定点坐标和定值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)x 28+y 22=1(2)存在定点C -465，0 ，D 465，0 ，使得MC -MD =853(定值)【分析】(1)根据椭圆的定义得到动圆圆心的轨迹焦点在x 轴上的椭圆，进而求得椭圆的方程；(2)联立l :y =x +t 与椭圆方程，根据韦达定理得x 1+x 2=-8t 5,x 1x 2=4t 2-85，进而得出OA 和OB 的中垂线方程，联立方程求出交点即为圆心坐标的关系为x 2-y 2=4825，根据双曲线定义可得C -465，0 ，D 465，0 及MC -MD =853，方法二，设△OAB 外接圆方程为x 2+y 2+d x +ey =0，联立直线和与圆的方程，利用韦达定理和参数方程消去参数得圆心的坐标关系为x 2-y 2=4825，根据双曲线定义可得C -465，0 ，D 465，0 及MC -MD =853【详解】(1)设圆E 的半径为r ，圆E 与动圆C 内切于点Q ．∵点F 在圆E 内部，∴点C 在圆E 内部．∴CE +CF =CE +CQ =r =42>EF =26，∴点C 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，其方程为x 28+y 22=1．(2)(方法一)联立l :y =x +t 与椭圆方程，消y 得5x 2+8tx +4t 2-8=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=-8t 5,x 1x 2=4t 2-85，OA 的中垂线方程为：y -y 12=-x 1y 1x -x 12 ，即y =-x 1y 1x +x 212y 1+y 12①OB 的中垂线方程为：y =-x 2y2x +x 222y 2+y 22②由①②两式可得-x 1y 1x +x 212y 1+y 12=-x 2y 2x +x 222y 2+y 22，∴△OAB 外接圆圆心M 的横坐标x M =x 22y 1-x 21y 2+y 2-y 1 y 1y 22x 2y 1-x 1y 2 ，其中x 2y 1-x 1y 2=x 2x 1+t -x 1x 2+t =t x 2-x 1x 22y 1-x 21y 2+y 2-y 1 y 1y 2=x 22x 1+t -x 21x 2+t +x 2-x 1 x 1+t x 2+t =x 22x 1-x 12x 2 +t x 22-x 12 +x 2-x 1 x 1+t x 2+t=x 2-x 1 x 1x 2+t x 2+x 1 +x 1+t x 2+t =x 2-x 1 2x 1x 2+2t x 2+x 1 +t 2 ∴x M =x 2-x 1 2x 1x 2+2t x 2+x 1 +t 22t x 2-x 1=2x 1x 2+2t x 2+x 1 +t 22t =x 1x 2t +x 2+x 1+t 2=-3t 10-85t，又∵AB 的中垂线方程为y -y 1+y 22=-x -x 1+x 22 ，即y =-x -3t5，∴圆心M 的纵坐标为y M =--3t 10-85t -35t =-3t 10+85t，∴x M 2-y M 2=-3t 10-85t 2--3t 10+85t 2=4825,∴圆心M 在双曲线x 2-y 2=4825上，∴存在定点C -465,0 ,D 465,0 ，使得MC -MD =853(定值)，(方法二)设△OAB 外接圆方程为x 2+y 2+d x +ey =0，联立l :y =x +t 与圆的方程，消y 得2x 2+2t +d +e x +t 2+et =0，则x 1+x 2=-2t +d +e 2=-8t 5,x 1x 2=t 2+et 2=4t 2-85∴2t +d +e =16t 5,t 2+et =8t 2-165，解得d =3t 5+165t ,e =3t 5-165t，设圆心坐标为M x ,y ，则x =-d 2=-3t 10-85t ,y =-3t 10+85t，∴x 2-y 2=-3t 10-85t 2--3t 10+85t 2=4825,∴圆心M 在双曲线x 2-y 2=4825上，∴存在定点C -465,0 ,D 465,0 ，使得MC -MD =853(定值)，6(2024·山西·三模)已知抛物线E :y 2=2px p >0 的焦点F 到准线的距离为2，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)已知点T t ,0 ，若E 上存在一点P ，使得PO ⋅PT=-1，求t 的取值范围；(3)过M -4,0 的直线交E 于A ，B 两点，过N -4,43 的直线交E 于A ，C 两点，B ，C 位于x 轴的同侧，证明：∠BOC 为定值.【答案】(1)y 2=4x (2)6,+∞ (3)证明见详解【分析】(1)根据题意可知焦点F 到准线的距离为p =2，即可得方程；(2)设P x ,y ，利用平面向量数量积可得t -4=x +1x，结合基本不等式运算求解；(3)设A y 214,y 1 ,B y 224,y 2 ,C y 234,y 3，求直线AB ,AC 的方程，结合题意可得-16+y 1y 2=0-16-43y 1+y 3 +y 1y 3=0 ，结合夹角公式分析求解.【详解】(1)由题意可知：焦点F 到准线的距离为p =2，所以抛物线E 的方程为y 2=4x .(2)设P x ,y ，可知y 2=4x ,x ≥0，则PO =-x ,-y ,PT =t -x ,-y ，可得PO ⋅PT=-x t -x +y 2=x 2-tx +4x =x 2+4-t x =-1，显然x =0不满足上式，则x >0，可得t -4=x +1x，又因为x +1x ≥2x ⋅1x =2，当且仅当x =1x，即x =1时，等号成立，则t -4≥2，即t ≥6，所以t 的取值范围为6,+∞.(3)设Ay214,y1,B y224,y2,C y234,y3，则直线AB的斜率k AB=y1-y2y214-y224=4y1+y2，可得直线AB的方程y-y1=4y1+y2x-y214，整理得4x-y1+y2y+y1y2=0，同理可得：直线AC的方程4x-y1+y3y+y1y3=0，由题意可得：-16+y1y2=0-16-43y1+y3+y1y3=0，整理得y1=16y24y3-y2=3y1y3+16，又因为直线OB,OC的斜率分别为k OB=y2y224=4y2,k OC=y3y234=4y3，显然∠BOC为锐角，则tan∠BOC=k OB-k OC1+k OB⋅k OC=4y2-4y31+4y2⋅4y3=4y2-y3y2⋅y3+16=3y2⋅y3+16y2⋅y3+16=3，所以∠BOC=π3为定值.【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；(3)得出结论．7(2024·湖北·模拟预测)平面直角坐标系xOy中，动点P(x,y)满足(x+2)2+y2-(x-2)2+y2 =22，点P的轨迹为C，过点F(2,0)作直线l，与轨迹C相交于A，B两点．(1)求轨迹C的方程；(2)求△OAB面积的取值范围；(3)若直线l与直线x=1交于点M，过点M作y轴的垂线，垂足为N，直线NA，NB分别与x轴交于点S，T，证明：|SF||FT|为定值．【答案】(1)x22-y22=1(x≥2)(2)S△OAB∈[22,+∞)(3)证明见解析【分析】(1)根据双曲线的定义求解即可；(2)设直线l的方程为：x=my+2，与双曲线联立，利用面积分割法计算出S△OAB，在利用复合函数单调性求出S△OAB的范围；(3)首先计算出M,N的坐标，再计算出S,T的坐标即可证明|SF||FT|为定值。

椭圆、双曲线。抛物线典型例题整理

椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。

例1：已知椭圆的焦点是F 1(0，－1)、F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且PF 1＋PF 2＝2F 1F 2，求椭圆的标准方程。

解：由PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝2×2＝4，得2a ＝4.又c ＝1，所以b 2＝3.所以椭圆的标准方程是y 24＋x 23＝1.2．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝10，求椭圆的标准方程．解：由椭圆定义知c ＝1，∴b ＝52－1＝24.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 224＝1.二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。

例：1. 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，椭圆的标准方程为：11422=+y x ；（2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，椭圆的标准方程为：116422=+y x ；三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。

例．求过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．解：因为c 2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1.由点(－3,2)在椭圆上知9a 2＋4a 2－5＝1，所以a 2＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 210＝1. 四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。

例：已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222=+y ax ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=， 4112===a x y k M M OM ，∴42=a ，∴1422=+y x 为所求．五、求椭圆的离心率问题。

2024数学高考前冲刺题《圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)》含答案

黄金冲刺大题06 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（精选30题）1．（2024·山东·二模）已知椭圆的焦点分别是)()12,F F ，点M 在椭圆上，且124MF MF +=．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线y kx =,A B 两点，且OA OB ⊥，求实数k 的值．2．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，过2F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l与C 交于D ，E 两点，且12AF F 的周长是4+(1)求椭圆C 的方程；(2)当32AB DE =时，求ODE 的面积.3．（2024·河北邯郸·二模）已知椭圆C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()2,0,1,M N ⎛ ⎝两点．(1)求C 的方程．(2),A B 是C 上两个动点，D 为C 的上顶点，是否存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．4．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆222:1(08x y C b b+=<<，右顶点为E ，上､下顶点分别为12,,B B G是1EB 的中点，且121EB GB ⋅=.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点()4,0D -的直线l 交椭圆C 于点,M N ，点()2,1A --，直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ，求证：线段PQ 的中点为定点.5．（2024·辽宁·二模）平面直角坐标系xOy 中，面积为9的正方形ABCD 的顶点,A B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且23OP OA = ，记动点P 的轨迹为曲线Γ．(1)求Γ的方程；(2)过点()4,1E 的动直线l 与曲线Γ交于不同的两点,M N 时，在线段MN 上取点Q ，满足||||||||EM QN QM EN ⋅=⋅．试探究点Q 是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由．6．（2024·福建厦门·三模）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,M N 两点，且当l 的斜率为1时，8MN =．(1)求C 的方程；(2)设l 与C 的准线交于点P ，直线PO 与C 交于点Q （异于原点），线段MN 的中点为R ，若3QR ≤，求MNQ △面积的取值范围．7．（2024·浙江丽水·二模）已知抛物线2:4E y x =，点,,A B C 在抛物线E 上，且A 在x 轴上方，B 和C 在x 轴下方（B 在C 左侧），,A C 关于x 轴对称，直线AB 交x 轴于点M ，延长线段CB 交x 轴于点Q ，连接QA .(1)证明：OM OQ为定值（O 为坐标原点）；(2)若点Q 的横坐标为1-，且89MB MC ⋅= ，求AQB 的内切圆的方程.8．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点(1,0)A ，(0,1)B ，(1,1)C 和动点(,)P x y 满足2y 是PA PB ⋅ ，PA PC ⋅的等差中项．(1)求P 点的轨迹方程；(2)设P 点的轨迹为曲线1C 按向量31,416a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移后得到曲线2C ，曲线2C 上不同的两点M ，N 的连线交y 轴于点(0,)Q b ，如果MON ∠（O 为坐标原点）为锐角，求实数b 的取值范围；(3)在（2）的条件下，如果2b =时，曲线2C 在点M 和N 处的切线的交点为R ，求证：R 在一条定直线上．9．（2024·江苏南通·二模）已知双曲线E的渐近线为y =，左顶点为()A .(1)求双曲线E 的方程；(2)直线:l x t =交x 轴于点D ，过D 点的直线交双曲线E 于B ，C ，直线AB ，AC 分别交l 于G ，H ，若O ，A ，G ，H 均在圆P 上，①求D 的横坐标；②求圆P 面积的取值范围.10．（2024·江苏南京·二模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，且4p b =．过F 的直线1与抛物线C 交于A ，B 两点，与E 的两条近线交于P ，Q 两点(均位于y 轴右侧).(1)求E 的渐近线方程；(2)若实数λ满足1111||||||||OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求λ的取值范围．11．（2024·重庆·三模）已知()2,0F ，曲线C 上任意一点到点F 的距离是到直线12x =的距离的两倍.(1)求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 的左顶点为A ，直线l 过点F 且与曲线C 在第一、四象限分别交于M ，N 两点，直线AM 、AN 分别与直线12x =交于P ，H 两点，Q 为PH 的中点.（i ）证明：QF MN ⊥；（ii ）记PMQ ，HNQ ，MNQ 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则123S S S +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.12．（2024·河北·二模）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率e =(1)若椭圆E过点(，求椭圆E 的标准方程．(2)若直线1l ，2l 均过点()()*,00,n n P p p a n <<∈N 且互相垂直，直线1l 交椭圆E 于,A B 两点，直线2l 交椭圆E于,C D 两点，,M N 分别为弦AB 和CD 的中点，直线MN 与x 轴交于点(),0n Q t ，设13n np =.（ⅰ）求n t ；（ⅱ）记n a PQ =，求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．13．（2024·辽宁沈阳·二模）P 为大圆上一动点，大圆半径OP 与小圆相交于点,B PP x '⊥轴于,P BB PP ⊥'''于,B B ''点的轨迹为Ω．(1)求B '点轨迹Ω的方程；(2)点()2,1A ，若点M N 、在Ω上，且直线AM AN 、的斜率乘积为12，线段MN 的中点G ，当直线MN 与y 轴的截距为负数时，求AOG ∠的余弦值．14．（2024·广东佛山·二模）两条动直线1y k x =和2y k x =分别与抛物线()2:20C y px p =>相交于不同于原点的A ，B 两点，当OAB 的垂心恰是C 的焦点时，AB =(1)求p ；(2)若124k k =-，弦AB 中点为P ，点()2,0M -关于直线AB 的对称点N 在抛物线C 上，求PMN 的面积.15．（2024·广东深圳·二模）设抛物线C ：22x py =（0p >），直线l ：2y kx =+交C 于A ，B 两点．过原点O 作l 的垂线，交直线=2y -于点M ．对任意R k ∈，直线AM ，AB ，BM 的斜率成等差数列．(1)求C 的方程；(2)若直线//l l '，且l '与C 相切于点N ，证明：AMN 的面积不小于16．（2024·湖南·一模）已知双曲线2222:1(1)x y C b a a b-=>>的渐近线方程为y =，C 的半焦距为c ，且44244a b c ++=．(1)求C 的标准方程．(2)若P 为C 上的一点，且P 为圆224x y +=外一点，过P 作圆224x y +=的两条切线12,l l （斜率都存在），1l 与C 交于另一点2,M l 与C 交于另一点N ，证明：（ⅰ）12,l l 的斜率之积为定值；（ⅱ）存在定点A ，使得,M N 关于点A 对称．17．（2024·湖南岳阳·三模）已知动圆P 过定点(0,1)F 且与直线3y =相切，记圆心P 的轨迹为曲线E ．(1)已知A 、B 两点的坐标分别为(2,1)-、(2,1)，直线AP 、BP 的斜率分别为1k 、2k ，证明：121k k -=；(2)若点()11,M x y 、()22,N x y 是轨迹E 上的两个动点且124x x =-，设线段MN 的中点为Q ，圆P 与动点Q 的轨迹Γ交于不同于F 的三点C 、D 、G ，求证：CDG 的重心的横坐标为定值．18．（2024·湖北·二模）已知双曲线P 的方程为()()221,,0,,04x y B a C a -=-，其中()()00002,,,0a D x y x a y >≥>是双曲线上一点，直线DB 与双曲线P 的另一个交点为E ，直线DC 与双曲线P的另一个交点为F ，双曲线P 在点,E F 处的两条切线记为121,,l l l 与2l 交于点P ，线段DP 的中点为G ，设直线,DB DC 的斜率分别为12,k k ．(1)证明：12114k k <+≤(2)求GBGC的值．19．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆2212:1x C y a +=和()2222:10x C y a b b +=>>的离心率相同，设1C 的右顶点为1A ，2C 的左顶点为2A ，()0,1B ，(1)证明：12BA BA ⊥；(2)设直线1BA 与2C 的另一个交点为P ，直线2BA 与1C 的另一个交点为Q ，连PQ ，求PQ 的最大值．参考公式：()()3322m n m n m mn n +=+-+20．（2024·山东·二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，设C 的右焦点为F ，左顶点为A ，过F 的直线与C 于,D E 两点，当直线DE 垂直于x 轴时，ADE V 的面积为92．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)连接AD 和AE 分别交圆22(1)1x y ++=于,M N 两点．（ⅰ）当直线DE 斜率存在时，设直线DE 的斜率为1k ，直线MN 的斜率为2k ，求12k k ；（ⅱ）设ADE V 的面积为1,S AMN △的面积为2S ，求12S S 的最大值．21．（2024·山东潍坊·二模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的实轴长为2F 到一条渐近线的距离为1．(1)求C 的方程；(2)过C上一点(1P 作C 的切线1l ，1l 与C 的两条渐近线分别交于R ，S 两点，2P 为点1P 关于坐标原点的对称点，过2P 作C 的切线2l ，2l 与C 的两条渐近线分别交于M ，N 两点，求四边形RSMN 的面积．(3)过C 上一点Q 向C 的两条渐近线作垂线，垂足分别为1H ，2H ，是否存在点Q ，满足122QH QH +=，若存在，求出点Q 坐标；若不存在，请说明理由．22．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线2:=E y x ，过点()1,2T 的直线与抛物线E 交于,A B 两点，设抛物线E 在点,A B 处的切线分别为1l 和2l ，已知1l 与x 轴交于点2,M l 与x 轴交于点N ，设1l 与2l 的交点为P .(1)证明：点P 在定直线上；(2)若PMN ，求点P 的坐标；(3)若,,,P M N T 四点共圆，求点P 的坐标.23．（2024·福建漳州·一模）已知过点()11,0F -的直线l 与圆2F ：()22116x y -+=相交于G ，H 两点，GH 的中点为E ，过1GF 的中点F 且平行于2EF 的直线交2G F 于点P ，记点P 的轨迹为C ．(1)求轨迹C 的方程．(2)若,A B 为轨迹C 上的两个动点且均不在y 轴上，点M 满足OM OA OB λμ=+（λ，μ∈R ），其中O 为坐标原点，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①点M 在轨迹C 上；②直线OA 与OB 的斜率之积为34-；③221λμ+=．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．24．（2024·福建福州·模拟预测）点P 是椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）上（左、右端点除外）的一个动点，()1,0F c -，()2,0F c 分别是E 的左、右焦点.(1)设点P 到直线l ：2a x c =的距离为d ，证明2PF d 为定值，并求出这个定值；(2)12PF F △的重心与内心（内切圆的圆心）分别为G ，I ，已知直线IG 垂直于x 轴.（ⅰ）求椭圆E 的离心率；（ⅱ）若椭圆E 的长轴长为6，求12PF F △被直线IG 分成两个部分的图形面积之比的取值范围.25．（2024·福建三明·三模）已知平面直角坐标系xOy 中，有真命题：函数(0,0)ny mx m n x =+≥>的图象是双曲线，其渐近线分别为直线y mx =和y 轴．例如双曲线4y x=的渐近线分别为x 轴和y 轴，可将其图象绕原点O 顺时针旋转π4得到双曲线228x y -=的图象．(1)求双曲线1y x=的离心率；(2)已知曲线22:2E x y -=，过E 上一点P 作切线分别交两条渐近线于,A B 两点，试探究AOB 面积是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，则说明理由；(3)已知函数y x =Γ，直线:30l x -=，过F 的直线与Γ在第一象限交于,M N 两点，过,M N 作l 的垂线，垂足分别为,C D ，直线,MD NC 交于点H ，求MNH △面积的最小值．26．（2024·浙江绍兴·二模）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点到准线的距离为2，过点()2,2A 作直线交C 于M ，N 两点，点()1,1B -，记直线BM ，BN 的斜率分别为1k ，2k .(1)求C 的方程；(2)求()121232k k k k -+的值；(3)设直线BM 交C 于另一点Q ，求点B 到直线QN 距离的最大值.27．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知抛物线C :22y px =的焦点F ，直线l 过F 且交C 于两点M N 、，已知当3MF NF =时，MN (1)求C 的标准方程.(2)令,02p F ⎛⎫'- ⎪⎝⎭，P 为C 上的一点，直线F P '，FP 分别交C 于另两点A ，B .证明：·1AF PF PF BF '='.(3)过,,A B P 分别作C 的切线123,,l l l ， 3l 与1l 相交于D ，同时与2l 相交于E ，求四边形ABED 面积取值范围.28．（2024·河北保定·二模）平面几何中有一定理如下：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高所在直线的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍.已知ABC 的垂心为D ，外心为E ，D 和E 关于原点O 对称，()13,0A .(1)若()3,0E ，点B 在第二象限，直线BC x ⊥轴，求点B 的坐标；(2)若A ，D ，E 三点共线，椭圆T ：()222210x y a b a b+=>>与ABC 内切，证明：D ，E 为椭圆T 的两个焦点.29．（2024·浙江杭州·模拟预测）设双曲线22:12x C y -=，直线:l y x m =+与C 交于,A B 两点.(1)求m 的取值范围；(2)已知C 上存在异于,A B 的,P Q 两点，使得PA PB QA QB t ⋅=⋅=.（i ）当4t =时，求,P Q 到点()2,m m --的距离（用含m 的代数式表示）；（ii ）当2t =时，记原点到直线PQ 的距离为d ，若直线PQ 经过点(),m m -，求d 的取值范围.30．（2024·湖北·一模）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率为12，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，1F 为左焦点，且1ABF(1)求椭圆M 的标准方程：(2)设椭圆M 的右顶点为C 、P 是椭圆M 上不与顶点重合的动点．（i ）若点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，点D 在椭圆M 上且位于x 轴下方，直线PD 交x 轴于点F ，设APF 和CDF 的面积分别为1S ，2S 若1232S S -=，求点D 的坐标：（ii ）若直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点N ，求证：2QN QC k k -为定值，并求出此定值（其中QN k 、QC k 分别为直线QN 和直线QC 的斜率）．黄金冲刺大题06 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（精选30题）1．（2024·山东·二模）已知椭圆的焦点分别是)()12,F F ，点M 在椭圆上，且124MF MF +=．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线y kx =,A B 两点，且OA OB ⊥，求实数k 的值．【答案】(1)2214x y +=；【分析】（1）根据所给条件求出,a b ，即可得出椭圆标准方程；（2）联立直线与椭圆方程，根据根与系数的关系及OA OB ⊥，列出方程求k 即可.【详解】（1）设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>．由题意可知22224c a a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解得2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的标准方程为2214x y +=．（2）设()()1122,,,A x y B x y ，如图，联立方程2214y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()221440k x +++=，则12122414x x x x k +==+，从而(1212y y kx kx =+()212122k x x x x =+++222414kk-=+，因为,0OA OB OA OB ⊥⋅=，即12120x x y y +=，所以22222424640141414k k k k k --+==+++，解得k =或，经验证知Δ0>，所以k．2．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，过2F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，且12AF F的周长是4+(1)求椭圆C 的方程；(2)当32AB DE =时，求ODE 的面积.【答案】(1)2214x y +=【分析】（1）由椭圆离心率和焦点三角形的周长，列方程组求出,a b ，得椭圆C 的方程；（2）设直线1l ，2l 的方程，与椭圆联立，利用韦达定理和32AB DE =求出DE 和2l 的方程，再求出O 到直线2l 的距离，可求ODE 的面积.【详解】（1）由题意知，222224a c ca b a c ⎧+=+⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得2,1,a b c ===所以椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）若直线1l 的斜率不存在，则直线2l 的斜率为0，不满足32AB DE =，直线1l 的的斜率为0，则12,,A F F 三点共线，不合题意，所以直线1l 的斜率存在且不为0，设直线1l的方程为x my =由2214x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去x得2211044m y y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y，则12y y +=1221414y y m =-+，()2241.4m AB m +∴===+同理可得()222214141.1144m m DE m m ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++，由32AB DE =，得()()2222414134214m m m m++=⋅++，解得22m =，则43DE =，∴直线2l的方程为y x =，∴坐标原点O 到直线2l的距离为d ==1423ODE S =⨯= 即ODE【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．3．（2024·河北邯郸·二模）已知椭圆C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()2,0,1,M N ⎛⎝两点．(1)求C 的方程．(2),A B 是C 上两个动点，D 为C 的上顶点，是否存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2214x y +=(2)存在，3个【分析】（1）设椭圆C 的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，根据条件得到41314m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即可求出结果；（2）设直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k=-+，当1k =时，由椭圆的对称性知满足题意；当21k ≠时，联立直线与椭圆方程，求出,A B 的坐标，进而求出AB 中垂线方程，根据条件中垂线直经过点(0,1)D ，从而将问题转化成方程42710k k -+=解的个数，即可解决问题.【详解】（1）由题设椭圆C 的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，因为椭圆过()2,0,1,M N ⎛ ⎝两点，所以41314m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得到1,14m n ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）由（1）知(0,1)D ，易知直线,DA DB 的斜率均存在且不为0，不妨设(0)DA k k k =>，1DB k k=-，直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k =-+，由椭圆的对称性知，当1k =时，显然有DA DB =，满足题意，当21k ≠时，由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得到221()204k x kx ++=，所以2814A k x k =-+，222281411414A k k y k k -=-+=++，即222814(,)1414k k A k k--++，同理可得22284(,44k k B k k -++，所以()2222222222222414(4)14(4)(14)1414888(144)5414ABk k k k k k k k k k k k k k k k k k ----+-+--++===++++++，设AB 中点坐标为00(,)x y ，则2220228812(1)1442(4)(14)k kk k k k x k k -+-++==++，22222022144151442(4)(14)k k k k k y k k --+-++==++，所以AB 中垂线方程为222222215512(1)()(4)(14)1(4)(14)k k k k y x k k k k k -+=--++-++，要使ADB 为AB 为底边的等腰直角三角形，则直AB 中垂线方程过点(0,1)，所以222222215512(1)1(0)(4)(14)1(4)(14)k k k k k k k k k -+=--++-++，整理得到42710k k -+=，令2t k =，则2710t t -+=，4940∆=->，所以t 有两根12,t t ，且121270,10t t t t +=>=>，即2710t t -+=有两个正根，故有2个不同的2k 值，满足42710k k -+=，所以由椭圆的对称性知，当21k ≠时，还存在2个符合题意的三角形，综上所述，存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形，满足条件的三角形的个数有3个.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，通过设出直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k=-+，联立椭圆方程求出,A B 坐标，进而求出直线AB 的中垂线方程，将问题转化成直线AB 的中垂线经过点(0,1)D ，再转化成关于k 的方程的解的问题.4．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆222:1(08x y C b b+=<<，右顶点为E ，上､下顶点分别为12,,B B G是1EB 的中点，且121EB GB ⋅=.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点()4,0D -的直线l 交椭圆C 于点,M N ，点()2,1A --，直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ，求证：线段PQ 的中点为定点.【答案】(1)22182x y +=(2)证明见解析【分析】（1）通过椭圆的性质和中点的坐标，然后根据向量的数量积得到等量关系即可求出椭圆的标准方程；（2）设出直线l 的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数的关系，求得点,P Q 的坐标，进而证得线段PQ 的中点为定点.【详解】（1）由题可得()28,,0a E a = ，()()120,,0,B b B b -，1EB ∴的中点为,22a b G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221233(,),1,2,2222a b a bEB GB a b b ⎛⎫⋅=-⋅--=-=∴= ⎪⎝⎭ 故椭圆C 的方程为22182x y +=；（2）依题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()4y k x =+，由()224182y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得()222214326480k x k x k +++-=，由()()422Δ10244146480k k k =-+->，得2111,422k k <-<<.设()(),,,M M N N M x y N x y ，则222232648,1414M N M N k k x x x x k k -+=-=++，依题意可知直线,MA NA 的斜率存在，直线MA 的方程为()1122M M y y x x ++=++，令4x =-，得()2442422M M M M P M M k x x y x y x x -+-----==++()()()2184212424221222M M M M M k x k k x k k k x x x ------+--+===---+++，同理可求得42212Q N k y k x +=---+，()N 4242114242422222P Q M N M k k y y k k k x x x x ⎛⎫++∴+=----=---++ ⎪++++⎝⎭()()4424224M N M N M N x x k k x x x x ++=---+⋅+++()22222232414424242(42)064832241414k k k k k k k k k k -++=---+⋅=--++=⎛⎫-+-+ ⎪++⎝⎭，∴线段PQ 的中点为定点()4,0-.【点睛】方法点睛：对于直线和圆锥曲线相交的问题，我们一般将直线和圆锥曲线联立，利用韦达定理带入计算求解.5．（2024·辽宁·二模）平面直角坐标系xOy 中，面积为9的正方形ABCD 的顶点,A B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且23OP OA = ，记动点P 的轨迹为曲线Γ．(1)求Γ的方程；(2)过点()4,1E 的动直线l 与曲线Γ交于不同的两点,M N 时，在线段MN 上取点Q ，满足||||||||EM QN QM EN ⋅=⋅．试探究点Q 是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由．【答案】(1)22143x y +=(2)点Q 在定直线上，定直线方程为330x y +-=【分析】（1）设点,,P A B 的坐标，利用平面向量的坐标表示消参得0032x x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，结合正方形面积得Γ的方程；（2）设:14l y kx k =+-，,,Q M N 的坐标，与椭圆联立并根据韦达定理得,M N 横坐标关系，再根据线段乘积关系化为比值关系得01120244x x x x x x --=--，化简得0243kx k+=+，代入直线方程即可0y ，从而求出定直线方程.【详解】（1）设()()()00,,,0,0,P x y A x B y ，由0000222(,0))()333OP OA x y x y ==+=，得0023x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以032x x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因为正方形ABCD 的面积为29AB =，即22009x y +=，所以223())92x +=，整理可得22143x y +=，因此C 的轨迹方程为22143x y +=．（2）依题意，直线l 存在斜率，设l ：1(4)y k x -=-，即14y kx k =+-，设点()00,Q x y ，()11,M x y ，()22,N x y ()102x x x <<，由22143412y kx kx y =+-⎧⎨+=⎩，消y 得2234(14)12x kx k ++-=，即222(34)8(14)4(14)120k x k k x k ++-+--=，由()()()2222Δ64141634143k k k k ⎡⎤=--+--⎣⎦()()()()()22222216144344834483414k k k k k k ⎡⎤⎡⎤=--+++=+--⎣⎦⎣⎦()()22481282966410k k k k =-++=-++>，k <<所以3k ≠-，可得1228(14)34k k x x k -+=-+，21224(14)1234k x x k --=+，由||||||||EM QN QM EN ⋅=⋅ ，得||||||||QM EM QN EN =，所以01120244x x x x x x --=--，可得222121201228(14)4(14)124234344()28(14)8()834k k k k k x x x x x k k x x k ⎡⎤---⎡⎤--⎢⎥⎢⎥+++-⎣⎦⎣⎦==--+⎡⎤--⎢⎥+⎣⎦()()2222232148142432128128648242432824248k k k k k k k k k k k----+-+-+-+==++-+1632242483k kk k++==++，所以()()200143243914333k k k k ky kx k k k k-++-=+-=+=+++，因为00612393333k kx y k k+-+=+=++，所以点Q 在定直线上，定直线方程为330x y +-=．6．（2024·福建厦门·三模）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,M N 两点，且当l 的斜率为1时，8MN =．(1)求C 的方程；(2)设l 与C 的准线交于点P ，直线PO 与C 交于点Q （异于原点），线段MN 的中点为R ，若3QR ≤，求MNQ △面积的取值范围．【答案】(1)24y x =；(2)(.【分析】（1）先设l 的方程为2px my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及抛物线定义即可求解；（2）先设出()221,2R m m +，进而可求,P Q 的坐标，可得直线//QR x 轴，求出QR 的范围，再由三角形面积公式即可求解.【详解】（1）不妨先设l 的方程为2px my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，代入22y px =，可得2220y mpy p --=，所以122y y mp +=，212y y p =-，则()21212222MN x x p m y y p m p p =++=++=+，由题意可知当斜率为1时，1m =，又8MN =，即228p p +=，解得2p =，所以C 的方程为24y x =；（2）由（1）知2p =，直线l 的方程为1x my =+，抛物线方程24y x =，124y y m +=，124y y =-所以R 的纵坐标1222R y y y m +==，将R 的纵坐标2m 代入1x my =+，得221x m =+，所以R 的坐标()221,2m m +，易知抛物线的准线为=1x -,又因为l 与C 的准线交于点P ，所以P 的坐标21,m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则直线OP 的方程为2m x y =，把2mx y =代入24y x =，得22y my =，即2y m =或0y =，因为点Q 异于原点，从而Q 的纵坐标为2m ，把2y m =代入2m x y =，得22mx y m ==，所以()2,2Q m m ，因为R 的坐标()221,2m m +，所以R ，Q 的纵坐标相同，所以直线//QR x 轴，且222211QR m m m =+-=+，所以MNQ △面积1212MNQ MRQ NRQ S S S QR y y =+=- ，因为()22212121241616y y y y y y m -=+-=+，所以12y y -==，所以()332222112122MNQS m m QR =+⨯=+= ，因为点Q 异于原点，所以0m ≠，所以210m +>，因为3QR ≤，所以13QR <≤，所以3222QR <≤MNQ △面积的取值范围为(.7．（2024·浙江丽水·二模）已知抛物线2:4E y x =，点,,A B C 在抛物线E 上，且A 在x 轴上方，B 和C 在x 轴下方（B 在C 左侧），,A C 关于x 轴对称，直线AB 交x 轴于点M ，延长线段CB 交x 轴于点Q ，连接QA .(1)证明：OM OQ为定值（O 为坐标原点）；(2)若点Q 的横坐标为1-，且89MB MC ⋅= ，求AQB 的内切圆的方程.【答案】(1)1(2)221499x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭【分析】（1）根据已知条件作出图形，设出直线AB 的方程，与抛物线联立，利用韦达定理及直线的点斜式方程即可求解；（2）根据（1）的结论及向量的数量积的坐标表示，进而得出直线AB 的方程，利用直线的斜率公式及直线的点斜式方程，结合角平分线的性质及圆的标准方程即可求解.【详解】（1）设直线AB 的方程为()()()11220,,,,x my t m A x y B x y =+>，则()()11,,,0C x y M t -，由24x my ty x =+⎧⎨=⎩，消去x ，得2440y my t --=，()22Δ1600m t m t =+>⇒+>，所以12124,4y y m y y t +==-，直线BC 的方程为()211121y y y y x x x x ++=--，化简得1221214y y xy y y y y =---，令0y =，得124Q y y x t ==-，所以(),0Q t -因此1OM t OQt==-.（2）因为点Q 的横坐标为1-，由（1）可知，()()1,0,1,0Q M -，设QA 交抛物线于D ，()()()()11221144,,,,,,,A x y B x y C x y D x y -，如图所示又由（1）知，124y y =-，同理可得144y y =，得42y y =-，又()212121211242x x my my m y y m +=+++=++=+，()22212121214416y y y y x x =⋅==，又()()22111,,1,MB x y MC x y =-=-- ，则()()()221121212111444MB MC x x y y x x x x m ⋅=---=-+++=- ，故2844,9m -=结合0m >，得m =所以直线AB的方程为330,x -=又12163y y -===，则141414221214141412443444AD y y y y y y k y y x x x x y y y y ---======--+--，所以直线AD 的方程为3430x y -+=，设圆心(,0)(11)T s s -<<,因为QM 为AQB ∠的平分线，故点T 到直线AB 和直线AD 的距离相等，所以333354s s +-=，因为11s -<<，解得19s =，故圆T 的半径33253s r +==，因此圆T 的方程为221499x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.8．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点(1,0)A ，(0,1)B ，(1,1)C 和动点(,)P x y 满足2y 是PA PB ⋅ ，PA PC ⋅的等差中项．(1)求P 点的轨迹方程；(2)设P 点的轨迹为曲线1C 按向量31,416a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移后得到曲线2C ，曲线2C 上不同的两点M ，N 的连线交y 轴于点(0,)Q b ，如果MON ∠（O 为坐标原点）为锐角，求实数b 的取值范围；(3)在（2）的条件下，如果2b =时，曲线2C 在点M 和N 处的切线的交点为R ，求证：R 在一条定直线上．【答案】(1)23122y x x =-+；(2)0b <或1b >；(3)证明见解析.【分析】（1）根据题意，由平面向量的坐标运算，结合等差中项的定义代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由平移公式可得曲线2C 的方程，然后与直线MN 的方程联立，由平面向量的夹角公式，代入计算，即可得到结果；（3）根据题意，求导可得在点,M N 处的切线方程，联立两条切线方程，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）由题意可得(1,)PA x y =-- ，(,1)PB x y =-- ，(1,1)PC x y =--，则22(1)()()(1)PA PB x x y y x y x y ⋅=-⋅-+-⋅-=+--，22(1)(1)()(1)21PA PC x x y y x y x y ⋅=-⋅-+-⋅-=+--+，又2y 是PA PB ⋅ ，PA PC ⋅的等差中项，()()22222212x y x y x y x y y ∴+--++--+=，整理得点(,)P x y 的轨迹方程为23122y x x =-+．（2）由（1）知2131:22C y x x =-+，又31,416a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，∴平移公式为34116x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+'⎩'⎪即34116x x y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-'⎩'⎪，代入曲线1C 的方程得到曲线2C 的方程为：213331164242y x x ''⎛⎫⎛⎫-=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，即2y x ¢¢=．曲线2C 的方程为2y x =．如图由题意可设M ，N 所在的直线方程为y kx b =+，由2y x y kx b⎧=⎨=+⎩消去y 得20x kx b --=，令()11,M x y ，()()2212,N x y x x ≠，则1212x x kx x b +=⎧⎨=-⎩，()()21111,,OM x y x x ∴== ，()()22222,,ON x y x x == ，又MON ∠ 为锐角，cos 0||||OM ONMON OM ON ⋅∴∠=>⋅，即2212120||||x x x x OM ON +>⋅ ，2212120x x x x ∴+>，又12x x b =-，2()0b b ∴-+->，得0b <或1b >．（3）当2b =时，由（2）可得12122x x kx x b +=⎧⎨=-=-⎩，对2y x =求导可得2y x '=，∴抛物线2C 在点，()211,M x x ∴=，()222,N x x 处的切线的斜率分别为12M k x =，22N k x =，∴在点M ，N 处的切线方程分别为()2111:2M l y x x x x -=-，()2222:2N l y x x x x -=-，由()()()211112222222y x x x x x x y x x x x ⎧-=-⎪≠⎨-=-⎪⎩，解得交点R 的坐标(,)x y ．满足12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⋅⎩即22k x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，R ∴点在定直线=2y -上．【点睛】关键点点睛：本题主要考查了曲线的轨迹方程问题以及切线问题，难度较大，解答本题的关键在于联立方程结合韦达定理计算以及转化为坐标运算.9．（2024·江苏南通·二模）已知双曲线E 的渐近线为y =，左顶点为()A .(1)求双曲线E 的方程；(2)直线:l x t =交x 轴于点D ，过D 点的直线交双曲线E 于B ，C ，直线AB ，AC 分别交l 于G ，H ，若O ，A ，G ，H 均在圆P 上，①求D 的横坐标；②求圆P 面积的取值范围.【答案】(1)2213x y -=(2)①⎫⎪⎪⎭；②27π16S >且7π4S ≠【分析】（1）根据渐近线方程及顶点求出,a b 得双曲线方程；（2）①设(),0D t ，由四点共圆可得1AG OH k k ⋅=，根据斜率公式转化为,B C 点坐标表示形式，由直线与双曲线联立得出根与系数的关系，据此化简即可求出t ；②求出G 点坐标得出OG ，利用正弦定理求出外接圆的半径，根据均值不等式求出半径的最值，即可得出圆面积的最值.【详解】（1）因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称，又顶点在x 轴上，可设双曲线的方程为22221x y a b-=（0a >，0b >），从而渐近线方程为：b y x a =±，由题条件知：b a =因为双曲线的左顶点为()A ，所以a =1b =，所以双曲线的方程为：2213x y -=.（2）如图，①(),0D t ，设直线BC 的方程为：my x t =-，将x my t =+代入方程：22330x y --=，得()2223230m y mty t -++-=，当230m -≠且()22Δ1230t m =+->时，设()11,B x y ，()22,C x y ，则12223mt y y m +=--，212233t y y m -=-.设直线AG 的倾斜角为α，不妨设π02α<<，则π2AGH α∠=-，由于O ，A ，G ，H 四点共圆知：HOD AGH ∠=∠，所以直线OH 的倾斜角为π2α-，πsin πsin 2tan tan 1π2cos cos 2AG OH k k αααααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭⋅=⋅-=⨯= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.直线AC的方程为：y x =，令x t =，则y =H t ⎛ ⎝，所以OH k=AGABk k==1=((1212t y y t x x ⇒=，又11x my t =+，22xmy t =+代入上式得：((1212t y yt my t my t =++，((()(22121212t y y t m y y m t y y t ⎡⎤⇒=+++⎢⎥⎣⎦，(((2222222332333t t mtt t m m t t m m m ⎛⎤---⇒⋅=⋅+⋅++ ⎥---⎝⎦，化简得：2430t +-=，解得：t =（舍）或t =故点D 的坐标为⎫⎪⎪⎭.②直线AG 的方程为(tan y x α=⋅，由①知：t =所以G α⎫⎪⎪⎭.直线OH 方程；1tan y x α=，所以H ，若G ，H 在x 轴上方时，G 在H 的上方，即tan 0α>α>若G ，H 在x 轴下方时，即t an 0α<α<所以tan α>tan α<又直线AG 与渐近线不平行，所以tan α≠所以0πα<<，tan α>tan α<tan α≠因为OG ==设圆P 的半径为R ，面积为S ，则2sin OG R α==所以()()()2222222125tan 125tan sin cos 3164sin 64sin R αααααα+⋅++=⨯=⨯()()22222125tan 1tan 33125tan 2664tan 64tan ααααα++⎛⎫=⨯=++ ⎪⎝⎭327266416⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当22125tan tan αα=即tan α=tan α>tan α<tan α≠所以22716R >且274R ≠，从而27π16S >且7π4S ≠.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用直线的倾斜角与圆的内接四边形的角的关系，得出πsin πsin 2tan tan 1π2cos cos 2AG OHk k αααααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭⋅=⋅-=⨯= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭这一关键数量关系，再转化为直线与双曲线相交，利用根与系数的关系化简求参数的常规问题.10．（2024·江苏南京·二模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，且4p b =．过F 的直线1与抛物线C 交于A ，B 两点，与E 的两条近线交于P ，Q 两点(均位于y 轴右侧).(1)求E 的渐近线方程；(2)若实数λ满足1111||||||||OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求λ的取值范围．【答案】(1)y x =(2)10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由两曲线有公共的焦点F ，且4p b =，得2c b =，a ，可求渐近线方程；（2）通过设直线方程，联立方程组，借助韦达定理，表示出11||||OP OQ +和11||||AF BF -，由1111OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎪⎝⎭求λ的取值范围．【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，设双曲线E 的焦距为2c ，则有2pc =，又4p b =，则2c b =.由222+=a b c，得a ，所以E的渐近线的方程为y =（2）设:l x my c =+，()()1122,,,P x y Q x y ，1与E 的两条近线交于P ，Q 两点均位于y 轴右侧，有23m <，由x my cy x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1y =2y =，11112OP OQ y +=+设()()3344,,,A x y B x y ，由22x my cy px=+⎧⎨=⎩，消去x 得2220y pmx p --=，则有234342,y y pm y y p +==-，1AF2p =由1111OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎪⎝⎭，2pc =，有2p λ==由23m <⎡∈⎢⎣，所以10,2λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．11．（2024·重庆·三模）已知()2,0F ，曲线C 上任意一点到点F 的距离是到直线12x =的距离的两倍.(1)求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 的左顶点为A ，直线l 过点F 且与曲线C 在第一、四象限分别交于M ，N 两点，直线AM 、AN 分别与直线12x =交于P ，H 两点，Q 为PH 的中点.（i ）证明：QF MN ⊥；（ii ）记PMQ ，HNQ ，MNQ 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则123S S S +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)2213y x -=(2)（i ）证明见解析；（ii ）是，12【分析】（1）设曲线C 上任意一点坐标为(),x y ，利用坐标可得曲线C 的方程；（2）(i)设直线MN ：2x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程组可得1221231my y m +=--，122931y y m =-，求得直线AM ：()1111y y x x =++，求得P ，H ，进而可得Q 的坐标，求得FQ 的坐标，直线MN 的方向向量的坐标，利用向量法可证结论.(ii) 法一：利用（i ）可求得()226113mMN m +=-；QF=()()322329112213m S MN QF m+=⋅=-，进而求得()1212114S S PH x x +=⋅+-，代入运算可求得()()32212291413m S S m++=-，可求结论.法二：（利用双曲线的第二定义）由（1）知，1122MF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，同理2122NF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，计算可得1218S S PH MN +=⋅，又312S MN QF =⋅，12314PH S S S QF +=，进而计算可得结论成立.【详解】（1）设曲线C 上任意一点坐标为(),x y ，则由题意可知：()2222222212444441123y x y x x x y x x x ⎛⎫-+=-⇒-++=-+⇒-= ⎪⎝⎭，故曲线C 的方程为2213y x -=.（2）(i)设直线MN ：2x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，其中m <<且11x >，21x >()22222311290330x my m y my x y =+⎧⇒-++=⎨--=⎩，故1221231my y m +=--，122931y y m =-；直线AM ：()1111y y x x =++，当12x =时，()11321y y x =+，故()1131,221y P x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭，同理()2231,221y H x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭，Q 为PH 中点，故()()()()1221121212111332211411Q y x y x y y y x x x x +++⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪++++⎝⎭；()()()()()()222212121212293693111333931m m m x x my my m y y m y y m -+-++=++=+++=-2931m =--；（*）()()()()()122112211212221836181133233131m m my x y x y my y my my y y y m m -+++=+++=++==---；故3183492Q m m y =⋅=，即13,22m Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则33,22m FQ ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，直线MN 的方向向量(),1a m =，33022m m a FQ ⋅=-+= ，故QF MN ⊥.(ii)法一：12y y -===（**）故()2226113m MN y m +=-=-；QF==又QF MN ⊥，故()()322329112213mSMN QF m+=⋅=-.()12121211111122224S S PQ x HQ x PH x x ⎛⎫⎛⎫+=⋅-+⋅-=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()()222121222311293133113m m m x x m y y m m +-+-+-=++==--；()()()()()()1221121212113332121211y x y x y y PH x x x x +-+=-=++++，()()()()()()12211212123339211211y my y my y y x x x x +-+-==++++，由（*）知()()12291113x x m ++=-，由（**）知12y y -=，故291329m PH -==故()()()3222122231911413413m mS S m m+++=⋅=--，则12312S S S +=.法二：（利用双曲线的第二定义）由（1）知，1122MF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，同理2122NF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故()()12121111488S S PH x x PH MF NF PH MN +=+-=⋅+=⋅，又312S MN QF =⋅，故12314PH S S S QF +=，又()()12129411P H y y y y x x =++，且由（*）知229993194431P Hm y y m -==--，记直线PH 与x 轴相交于点K ，由94P Hy y =可得2PK HK FK ⋅=，即PK FK FK HK =，即PKF PFH ∽△△，故PF HF ⊥；又Q 为PH 的中点，故12QF PH =，即1231142PH S S S QF +==.【点睛】方法点睛：直线与双曲线联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可设出直线方程．。

椭圆双曲线抛物线大题训练题(含答案)

椭圆双曲线抛物线训练题一、解答题（共21题；共195分）1.已知椭圆Γ：的左，右焦点分别为F1( ，0)，F2( ，0)，椭圆的左，右顶点分别为A，B，已知椭圆Γ上一异于A，B的点P，PA，PB的斜率分别为k1，k2，满足.（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若过椭圆Γ左顶点A作两条互相垂直的直线AM和AN，分别交椭圆Γ于M，N两点，问x轴上是否存在一定点Q，使得∠MQA=∠NQA成立，若存在，则求出该定点Q，否则说明理由.2.已知椭圆C：=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，点A（，）在椭圆C上，且△F1AF2的面积为。

（1）求椭圆C的方程。

（2）设直线y=kx+1和椭圆C交于B，D两点，O为坐标原点，判断在y轴上是否存在点E，使∠OEB=∠OED。

若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。

3.已知椭圆的离心率为，点椭圆的右顶点.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，直线与直线的斜率和为，求直线l的方程.4.设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.5.设A，B为曲线C：y= 上两点，A与B的横坐标之和为4．（12分）（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．6.设椭圆的右焦点为，过得直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.7.已知椭圆C：+ =1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（12分）（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．8.设椭圆的左焦点为，左顶点为，顶点为B.已知（为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程.9.已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为（1）证明:（2）设为的右焦点，为上一点，且，证明:10.已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．（Ⅰ）证明：坐标原点O在圆M上；（Ⅱ）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．11.设抛物线的焦点为F，过F点且斜率的直线与交于两点，. （1）求的方程。

高二数学椭圆试题答案及解析

高二数学椭圆试题答案及解析1.若，则方程表示的曲线只可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得或依次验证各选项中两图形能否同时成立，如A中若直线成立则，就表示双曲线，验证可得C正确【考点】直线椭圆图像点评：通过观察两图像在坐标系下的位置判定系数是否同时成立，若能同时成立则图像可能正确，考查学生的视图能力，较难2.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为________.【答案】4【解析】易知椭圆的右焦点为，因为抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，所以。

【考点】抛物线的简单性质；椭圆的简单性质。

点评：注意椭圆中关系式与双曲线中的不同。

3.已知椭圆的离心率，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，过椭圆右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于两点．（1）求椭圆标准方程；（2）设点，且，求直线方程．【答案】（1）（2）【解析】本试题主要是考查了椭圆方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。

（1）结合抛物线的定义和性质得到参数a,b，c的关系式得到结论。

（2）利用直线与椭圆方程联立方程组，得到二次方程，结合韦达定理和向量的关系式得到直线的求解。

解：（1）抛物线焦点为（2，0）椭圆方程为：………………5分（2）设与联立得设 AB中点………………9分均满足方程：…………14分4.（本小题满分12分）已知直线与椭圆相交于、两点，是线段上的一点，，且点M在直线上，（1）求椭圆的离心率；（2）若椭圆的右焦点关于直线的对称点在单位圆上，求椭圆的方程．【答案】解：设、两点的坐标分别为（ I）；（II）【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的运用。

（1）结合已知中直线方程与椭圆方程联立，和设出点A,B的坐标，然后得到关于系数a,b的关系式，然后得到椭圆的方程中比例关系，进而研究其性质。

（2）由上可知，椭圆中b,c关系，然后利用对称性，设出点的坐标，借助于坐标关系式得到椭圆的方程。

解：设、两点的坐标分别为（ I）由得：…………2分由知是的中点，点的坐标为………………………4分又点在直线上：…………………6分（II）由（1）知，设椭圆的右焦点坐标为，设关于直线的对称点为，则有解得：……………10分由已知，，. ………11分所求的椭圆的方程为……………12分5.已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为A．B．C．D．【答案】D【解析】点到椭圆的两个焦点的距离之和为6.已知椭圆的焦点在轴上，点在上，且的离心率，则的方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】的方程是,应选C.7.已知动点到两定点、的距离之和为定值．（1）求的轨迹方程；（2）若倾斜角为的直线经过点，且与的轨迹相交于两点、，求弦长．【答案】（1）．（2）的方程是．．【解析】（1）由椭圆的定义可得，，∴.即得到P的轨迹方程；（2）写出直线方程与（1）中的椭圆方程联立，利用两点间的距离公式和韦达定理可求得弦长．解：（1）依题意可知的轨迹是以、为焦点的椭圆，设其方程为，则有，，∴，故的轨迹方程是．……7分（2）的方程是．设，，由消去得，故弦长．……14分8.椭圆上有一点P到左焦点的距离是4，则点P到右焦点的距离是A．3B．4C．5D．6【答案】D【解析】解：利用椭圆的定义可知，椭圆上有一点P到左焦点的距离是4，则点P到右焦点的距离是10-4=6，因此选择D.9.如图，已知椭圆的离心率为，且经过点平行于的直线在轴上的截距为，与椭圆有A、B两个不同的交点（Ⅰ）求椭圆的方程；(Ⅱ) 求的取值范围；（III）求证:直线、与轴始终围成一个等腰三角形．【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查转化与化归的思想方法,以及学生的运算能力.解：（Ⅰ）设椭圆方程为………1分离心率为所以,可得由经过点,解得,…………………………3分∴椭圆方程为……………………………4分（Ⅱ）∵直线平行于，且在轴上的截距为又……………………………………………………5分由……………………………………6分∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，（III）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可…………9分设则由……………………………………………………10分而故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.……………………14分10.已知A（m，0），|m|≤2，椭圆，点P在椭圆上运动，求|PA|的最小值．【答案】见解析.【解析】本试题主要研究椭圆上点到定点距离的最值问题。

椭圆,双曲线,抛物线练习题及答案

椭圆,双曲线,抛物线练习题及答案1、已知椭圆方程为 $x^2/23+y^2/32=1$，则这个椭圆的焦距为（） A．6 B．3 C．35 D．652、椭圆 $4x^2+2y^2=1$ 的焦点坐标是（） A．(-2,0),(2,0) B．(0,-2),(0,2) C．(0,-1/2),(0,1/2) D．(-2/2,0),(2/2,0)3、$F_1$，$F_2$ 是定点，且 $FF_{12}=6$，动点$M$ 满足 $MF_1+MF_2=6$，则 $M$ 点的轨迹方程是（）A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段4、已知方程$x^2+my^2=1$ 表示焦点在$y$ 轴上的椭圆，则 $m$ 的取值范围是（） A．$m1$ D．$1<m<5$5、过点 $(3,-2)$ 且与椭圆 $4x^2+9y^2=36$ 有相同焦点的椭圆方程是（）A．$x^2y^2/15+10=1$ B．$x^2y^2/152+102=1$ C．$x^2/10+y^2/15=1$ D．$x^2y^2/102+152=1$6、若直线 $y=mx+1$ 与椭圆 $x^2+4y^2=1$ 只有一个公共点，那么 $m^2$ 的值是（）A．$1/2$ B．$3/4$ C．$2/3$ D．$4/5$7、已知椭圆 $C:x^2/9+y^2/2=1$，直线 $l:x/10+y=1$，点$P(2,-1)$，则（） A．点 $P$ 在 $C$ 内部，$l$ 与 $C$ 相交B．点 $P$ 在 $C$ 外部，$l$ 与 $C$ 相交 C．点 $P$ 在 $C$ 内部，$l$ 与 $C$ 相离 D．点 $P$ 在 $C$ 外部，$l$ 与 $C$ 相离8、过椭圆 $C:x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 的焦点引垂直于 $x$ 轴的弦，则弦长为（） A。

$2b^2/a$ B。

$b^2/a$ C。

$b/a$ D。

$2b/a$9、抛物线 $x+2y^2=0$ 的准线方程是（） A。

高二数学双曲线试题答案及解析

高二数学双曲线试题答案及解析1.双曲线的渐近线方程是A．B．C．D．【答案】A【解析】因为双曲线的方程为，令，所以渐近线方程是.【考点】双曲线的渐近线方程.2.双曲线的虚轴长等于( )A．B．-2t C．D．4【答案】C【解析】由于双曲线，所以其虚轴长,故选C．【考点】双曲线的标准方程．3.在平面直角坐标系中，已知中心在坐标原点的双曲线经过点，且它的右焦点与抛物线的焦点相同，则该双曲线的标准方程为．【答案】．【解析】由于抛物线的焦点坐标为：，由已知得：双曲线Ｃ的右焦点Ｆ的坐标为，又因为双曲线Ｃ的中心在坐标原点，所以可设所求双曲线Ｃ的方程为：且，从而有：，故设所求双曲线Ｃ的方程为：．【考点】双曲线．4.已知、是双曲线（，）的左右两个焦点，过点作垂直于轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B是锐【解析】根据题意，易得，由题设条件可知为等腰三角形，2角三角形，只要为锐角，即即可；所以有，即解出故选B【考点】双曲线的简单性质5.设P是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于（）A．2B．18C．2或18D．16【答案】C【解析】整理准线方程得，∴，a=4，∴=2a=8或=2a=8，∴=2或18，故选C．.【考点】双曲线的简单性质；双曲线的应用．6.双曲线的渐近线方程为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】令,解得【考点】双曲线渐近线的求法.7.如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。

（1）求轨迹的方程；（2）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。

【答案】（1）（2）【解析】（1）求动点轨迹方程，一般有四步.第一步，设所求动点的坐标，第二步，将条件转化为坐标表示，本题，两边取正切，转化为斜率关系，第三步，化简关系式为常见方程形式，第四步，根据方程表示图像，去掉不满足的部分.（2）研究取值范围，首先将表示为函数关系式.因为等于,所以先求出，从而有，利用直线与双曲线有两个交点这一限制条件，得到m>1,且m2，这作为所求函数定义域，求出值域即为的取值范围是试题解析：解（1）设M的坐标为（x,y），显然有x>0,.当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，, ±3）当∠MBA≠90°时；x≠2.由∠MBA=2∠MAB,有tan∠MBA=,即化简得：3x2-y2-3=0,而又经过（2，,±3）综上可知，轨迹C 的方程为3x2-y2-3=0（x>1） 5分 (2)由方程消去y ，可得。

椭圆、双曲线内、抛物线真题与解析

椭圆、双曲线内、抛物线真题与解析A 级基础一、选择题1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，则( )A ．a 2＝2b 2B ．3a 2＝4b 2C ．a ＝2bD ．3a ＝4b2．(2019·天一联考)设双曲线C ：x 28－y 2m ＝1的左右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，点N 在右支上，若∠F 2MN ＝∠F 2NM ，则|MN |＝( )A ．8B ．4C ．8 2D ．4 23．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.674．(2019·长郡中学模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b＞0)的左、右焦点，若点F 2关于双曲线渐近线的对称点A 满足∠F 1AO ＝∠AOF 1(O 为坐标原点)，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±2xC ．y ＝±2xD ．y ＝±x5．(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A. 2B. 3 C．2 D. 5二、填空题6．(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－y2 b2＝1(b＞0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________．7．(2019·珠海调研)已知直线l是抛物线y2＝2px(p＞0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O和焦点F，且与直线l相切，则抛物线的方程为________．8．(2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：x236＋y220＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M 的坐标为________．三、解答题9．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．10．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0. 证明：|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差．B 级能力提升11．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 12．(2019·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解析：A级基础一、选择题1．解析：由e＝ca＝12，则a＝2c.又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2.答案：B2．解析：由∠F2MN＝∠F2NM，知|F2M|＝|F2N|，又|MF2|－|MF1|＝42，|NF1|－|NF2|＝4 2.两式相加，得|NF1|－|MF1|＝82，故|MN|＝|NF1|－|MF1|＝8 2.答案：C3．解析：如图所示，在△AFB中，|AB|＝10，|BF|＝8，cos ∠ABF＝4 5，由余弦定理得|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB||BF|cos ∠ABF＝100＋64－2×10×8×45＝36，所以|AF|＝6，∠BFA＝90°，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′.根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．所以|BF′|＝6，|FF′|＝10，所以2a＝8＋6，2c＝10，解得a＝7，c＝5，所以e＝ca＝57.答案：B4．解析：设F2A与渐近线y＝ba x交于点M，且O，M分别为F1F2、F2A的中点，故OM∥F1A，则F1A⊥F2A，OA＝OF1＝c.又∠F1AO＝∠AOF1，所以△F1OA为正三角形，所以∠MOF2＝π3，故双曲线的渐近线为y＝±3x. 答案：A5．解析：设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 的坐标为(c ，0)．由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设PQ 与OF 交于点M ，连接OP ，如图所示．则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c2，由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2，得2·⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，故ca ＝2，离心率e ＝ 2. 答案：A 二、填空题6．解析：因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)经过点(3，4)，则9－16b2＝1(b ＞0)，解得b ＝2，即双曲线方程为x 2－y 22＝1，因此双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . 答案：y ＝±2x7．解析：由已知圆心在OF 的中垂线上，故圆心到准线的距离为34p ，所以34p ＝3，所以p ＝4，故抛物线的方程为y 2＝8x . 答案：y 2＝8x8．解析：设F 1为椭圆的左焦点，分析可知点M 在以F 1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x ＋4)2＋y 2＝64上．因为点M 在椭圆x 236＋y 220＝1上，所以联立方程可得⎩⎨⎧（x ＋4）2＋y 2＝64，x 236＋y 220＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝±15.又因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为(3，15)．答案：(3，15) 三、解答题9．解：(1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.10．(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1. 两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0.由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m .①由题设得0<m <32，故k <－12.(2)解：由题意得F (1，0)．设P (x 3，y 3)，则 (x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0)．由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1， y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0. 又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P (1，－32)，|FP →|＝32，于是|FA →|＝（x 1－1）2＋y 21＝（x 1－1）2＋3（1－x 214）＝2－x 12. 同理|FB →|＝2－x 22.所以|FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|，即|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列．设该数列的公差为d ，则2|d |＝||FB →|－|FA →||＝12|x 1－x 2|＝12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 .② 将m ＝34代入①得k ＝－1，所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x＋14＝0. 故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128.B 级能力提升11．解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a 2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．如图．不妨设A (0，－b )，由F 2(1，0)，AF 2→＝2F 2B →，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，b 2. 由点B 在椭圆上，得94a 2＋b 24b 2＝1，得a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1. 答案：B12．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意2b ＝4，得b ＝2.又e ＝c a ＝55，且a 2＝b 2＋c 2＝4＋c 2，解之得a ＝5，c ＝1.所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1. (2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M ，0)．设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0，2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y 24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0，可得x P ＝－20k 4＋5k 2，代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k 24＋5k 2，进而直线OP 的斜率为y P x P ＝4－5k 2－10k. 在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k. 由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k 2. 由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305. 所以，直线PB 的斜率为2305或－2305.。

高中数学椭圆、双曲线、抛物线历年真题及详解

【考点8】椭圆、双曲线、抛物线2021年考题1、〔2021高考〕双曲线1412222222=+=-b y x y x 的准线经过椭圆〔b ＞0〕的焦点，则b=( )A.3B.5C.3D.2选C.可得双曲线的准线为21a x c=±=±,又因为椭圆焦点为2(4,0)b ±-所以有241b -=.即b 2=3故b=3. 2、〔2021高考〕“0m n >>〞是“方程221mxny +=〞表示焦点在y 轴上的椭圆〞的( )〔A 〕充分而不必要条件〔B 〕必要而不充分条件〔C 〕充要条件 (D) 既不充分也不必要条件【解析】选C.将方程221mxny +=转化为22111x y m n+=, 根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上必须满足110,0,m n>>且11n m >，应选 C.3、〔2021高考〕抛物线28y x =-的焦点坐标是( )A ．〔2，0〕B ．〔- 2，0〕C ．〔4，0〕D ．〔- 4，0〕【解析】选B.由28y x =-,易知焦点坐标是(,0)(2,0)2p-=-，应选B. 4、〔2021全国Ⅰ〕椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，假设3FA FB =,则||AF =( )(A)2 (B) 23 (D) 3【解析】选A.过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与*轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =,故2||3BM =.又由椭圆的第二定义,得222||233BF =⋅=||2AF ∴=5、〔2021高考〕设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 假设12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A ．32 B ．2 C ．52D ．3【解析】选B.由3tan623c b π==有2222344()c b c a ==-,则2c e a==,应选B. 6、〔2021高考〕过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，假设1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为( )A ．22B ．33C ．12 D ．13【解析】选B.因为2(,)b P c a-±，再由1260F PF ∠=有232,b a a=从而可得33c e a ==，应选B.7、〔2021高考〕过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．假设12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．10【解析】选C.对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭，则有22222222(,),,a b a b abab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭，因222,4,5ABBC a b e =∴=∴=．8、(2021高考)设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y=*2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).A.45B. 5C. 25D.5【解析】选D.双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =,由方程组21b y x a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩,消去y,得210b xx a -+=有唯一解,所以△=2()40ba-=, 所以2b a =,2221()5c a b b e a a a+===+=,应选D.9、(2021高考)设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,假设△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).A.24y x =± B.28y x =± C. 24y x = D. 28y x =【解析】选B.抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F 坐标为(,0)4a ,则直线l 的方程为2()4ay x =-,它与y 轴的交点为A (0,)2a -,所以△OAF 的面积为1||||4242a a⋅=,解得8a =±.所以抛物线方程为28y x =±,应选B.10、〔20216( )〔A 〕22124x y -= 〔B 〕22142x y -= 〔C 〕22146x y -= 〔D 〕221410x y -=【解析】选B.由6e =得222222331,1,222c b b a a a =+==，选B. 11、〔2021**高考〕设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为〔〕Ax y 2±= B x y 2±= C x y 22±= D x y 21±= 【解析】选 C.由得到2,3,122=-===b c a c b ，因为双曲线的焦点在*轴上，故渐近线方程为x x a b y 22±=±=. 12、〔2021、高考〕双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为( )〔A 〕3 〔B 〕2 〔C 3 〔D 〕1【解析】选A.双曲线24x -212y =1的焦点(4,0)到渐近线3y x =的距离为34023d ⨯-==选A.13、〔2021、高考〕设抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点。

高三复习数学73_椭圆、双曲线与抛物线(有答案)

7.3 椭圆、双曲线与抛物线一、解答题。

1. 椭圆的定义满足以下条件的点的轨迹是椭圆①在平面内；②与两个定点F1、F2的距离之________等于常数；③常数大于________．注：当2a=|F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，动点的轨迹是不存在的．2. 椭圆的标准方程和几何性质注：离心率e=c越接近1，椭圆就越扁平；离心率越接近0，椭圆就越接近于圆．a3. 双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的________为一定值；(3)这一定值________两定点的距离．注：只有当2a<|F1F2|且2a≠0时，轨迹才是双曲线；若2a=|F1F2|，则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线；若2a>|F1F2|，则轨迹不存在．4. 双曲线的标准方程和几何性质注：离心率越大，双曲线的“开口”越大．5. 抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离________；(3)定点F不在定直线l上．；若抛注：抛物线y2=2px(p>0)上任意一点M(x0,y0)到焦点F的距离|MF|=x0+p2物线方程为x2=2py(p>0)，则|MF|=y0+p2．6. 已知曲线C:(5−m)x2+(m−2)y2=8(m∈R）．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；设m=4，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y=1与直线BM交于点G．求证：A，G，N三点共线．7. 如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1,F2，线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．求该椭圆的离心率和标准方程；过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．8. 在直角坐标系xOy中，曲线C:y=x24与直线y=kx+a(a>0)交于M，N两点．当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由．9. 在平面直角坐标系xOy中，设点F(12,0)，直线l:x=−12，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP,PQ⊥l．求动点Q的轨迹方程C；设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由．10. 已知椭圆C：9x2+y2=m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与椭圆C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；若l 过点(m3,m)，延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．11. 平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，左、右焦点分别是F 1,F 2，以F 1为圆心，3为半径的圆与以F 2为圆心，1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．求椭圆C 的方程；设椭圆E ：x 24a 2+y 24b 2=1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y =kx +m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ． ①求|OQ||OP|的值；②求△ABQ 面积的最大值．12. 已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24+y 23=1交于A ，B 两点．线段AB 的中点为M (1,m )(m >0)．证明：k <−12；设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →+FA →+FB →=0．证明：2|FP →|=|FA →|+|FB →|．13. 已知抛物线C 1:x 2=4y 的焦点F 也是椭圆C 2:y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2√6．求C 2的方程；过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向． ①若|AC|=|BD|，求直线l 的斜率；②设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．14. 设F 1,F 2是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x =3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30∘的等腰三角形，则E 的离心率为（） A.12 B.23C.34D.4515. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为（） A.x 220−y 25=1 B.x 25−y 220=1 C.x 280−y 220=1 D.x 220−y 280=116. 已知F 1,F 2为双曲线C:x 2−y 2=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=（） A.14 B.35C.34D.4517. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB|=4√3，则C 的实轴长为（） A.√2 B.2√2 C.4 D.818. 已知M (x 0,y 0)是双曲线C ：x 22−y 2=1上的一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点．若MF 1→⋅MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.(−√33,√33) B.(−√36,√36) C.(−2√23,2√23) D.(−2√33,2√33)19. 过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB 的面积为（） A.√22 B.√2 C.3√22D.2√220. 下图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．21. 已知动圆圆心在抛物线y2=4x上，且动圆恒与直线x=−1相切，则此动圆必过定点________．22. 已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120∘，则E的离心率为________.23. 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|=4√2,|DE|=2√5，求C的焦点到准线的距离．24. 平面直角坐标系xOy中，双曲线C1:x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O，A，B．若△OAB的垂心为C2的焦点，求C1的离心率．25. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,1)，离心率为√32，直线l:y=12x+t(t≠0)与椭圆C交于E(x1,y1)，F(x2,y2)两点．求椭圆C的标准方程；若直线AE，AF分别与x轴正半轴交于P，Q两点，求证：|OP|+|OQ|为定值．参考答案与试题解析7.3 椭圆、双曲线与抛物线一、解答题。

高中数学圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)经典习题

高中数学圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)经典习题1.已知圆$x^2+y^2-6x-7=0$与抛物线$y^2=2px(p>0)$的准线相切，则抛物线方程为$y^2=8x$。

2.与双曲线$2x^2-2y^2=1$有公共焦点，离心率互为倒数的椭圆方程为$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{16}=1$。

3.方程$k-\dfrac{35}{k}+\dfrac{x^2}{y^2}=1$表示双曲线，则$m$的取值范围是$(-\infty,-7)\cup(0,7)$。

4.经过点$M(3,-2),N(-2,3)$的椭圆的标准方程是$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$。

5.与双曲线$x^2-y^2=53$有公共渐近线且焦距为8的双曲线方程为$\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$。

6.过点$P(-2,4)$的抛物线的标准方程为$y=\dfrac{1}{8}(x+2)^2$。

7.以$\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=-1$的上焦点为顶点，下顶点为焦点的椭圆方程为$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{48}=1$。

重点二：1.椭圆$16x+25y=400$的焦点为$F_1,F_2$，直线$AB$过$F_1$，则$\triangle ABF_2$的周长为$10$。

2.动圆的圆心在抛物线$y^2=8x$上，且动圆恒与直线$x+2=0$相切，则动圆必过定点$(-1,2)$。

3.椭圆$\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$上的一点$M$到左焦点$F_1$的距离为$2$，$N$是$MF_1$的中点，则$ON=\dfrac{4}{3}$。

4.设椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$和双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$有公共焦点$F_1,F_2$，点$P$是两曲线的一个公共点，则$\cos\angleF_1PF_2=\dfrac{3}{5}$。

高二数学双曲线试题答案及解析

高二数学双曲线试题答案及解析1.已知抛物线的准线与双曲线交于A,B两点，点F为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线的离心率是A．B．C．2D．3【答案】B【解析】抛物线的准线方程，设，焦点，由于为直角三角形，，，所以得，，.【考点】双曲线的离心率.2.已知双曲线方程，则过点和双曲线只有一个交点的直线有________条.【答案】【解析】由双曲线方程可知它是焦点在轴上的等轴双曲线，直线为它的渐近线，点在两个顶点之间，过可作与渐近线平行的两条直线，它们与此双曲线都各有一个公共点，但它们与双曲线是相交关系，此外过还可以作两条与双曲线右支都相切的直线，因此过点和双曲线只有一个交点的直线共有条，要注意两条是相交，另两条是相切，关注双曲线渐近线的特殊作用.【考点】直线与双曲线的位置关系.3.已知F是双曲线的左焦点,A为右顶点，上下虚轴端点B、C，若FB交CA于D，且，则此双曲线的离心率为（）.A ． B． C． D．【答案】B.【解析】如图，由已知可得直线FB的方程为：，直线AC的方程为：，联立前两方程可得D点坐标为：，因此有，又，所以有，整理得，又，所以有：即，故.【考点】直线方程的交点问题，两点间的距离公式（或向量的模长公式），双曲线的性质（含离心率公式）.4.在平面直角坐标系中，已知中心在坐标原点的双曲线经过点，且它的右焦点与抛物线的焦点相同，则该双曲线的标准方程为．【答案】．【解析】由于抛物线的焦点坐标为：，由已知得：双曲线Ｃ的右焦点Ｆ的坐标为，又因为双曲线Ｃ的中心在坐标原点，所以可设所求双曲线Ｃ的方程为：且，从而有：，故设所求双曲线Ｃ的方程为：．【考点】双曲线．5.已知P是双曲线的右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为e，下列命题正确的是( )．A．双曲线的焦点到渐近线的距离为; B．若，则e的最大值为;C．△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为a ;D．若∠F1PF2的外角平分线交x轴与M, 则．【答案】C【解析】的焦点坐标为，渐近线方程为，对于选项A, 焦点到渐近线的距离，故A错；对于选项B,设,若，令所以即解得．故B错；对于选项C:如图，设切点A，由切线长定理得：，即，所以，故△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为a,所以选项C正确对于选项D:由外角平分线定理得：，故选项D错误，故选项为C．．【考点】渐近线方程；点到直线的距离公式；焦半径公式；外角平分线定理；合比定理．6.若双曲线的渐近线与方程为的圆相切，则此双曲线的离心率为．【答案】【解析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离为圆的半径求得和的关系，进而利用求得和的关系，则双曲线的离心率可求．【考点】双曲线的简单性质．7.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】双曲线的右焦点坐标为(2,0),而抛物线的焦点坐标为(,0)，∴=2，p=4.【考点】抛物线与双曲线的焦点坐标.8.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为（）A．2B．4C．8D．【答案】C【解析】抛物线的焦点F为（，0），双曲线的右焦点F2（4，0），由已知得=4，∴p=8．故选C．【考点】圆锥曲线的共同特征．9.设为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且，则的面积是【答案】1【解析】由题意可得a=1，b=2，c=，得F2（0，），F1（0，-），又F1F22=20，|PF1-PF2|=4，由勾股定理可得：F1F22=PF12+PF22=（PF1-PF2）2+2PF1•PF2=16+2PF1•PF2，∴PF1•PF2=2,所以=1．故选B．.【考点】双曲线的简单性质．10.在平面直角坐标系xOy中，已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，则该双曲线的离心率为．【答案】【解析】因为焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为，所以【考点】双曲线渐近线方程11.双曲线的焦点到它的渐近线的距离为_________________；【答案】1【解析】由双曲线方程可知，则，即，所以焦点为，渐近线为。

期末专题08 圆锥曲线大题综合(椭圆、双曲线、抛物线)(附加)(30题)(解析版)-备战期末高二数学

期末专题08圆锥曲线大题综合（椭圆、双曲线、抛物线）（附加）（精选30题）1．（22-23高二下·河北邢台·期末）椭圆()222210x y a b a b+=>>的两焦点为()12,0F -，()22,0F，且椭圆过点(M .(1)求椭圆的方程；(2)O 是坐标原点，,A B 是椭圆上两点，OAMB 是平行四边形，求以AB 为直径的圆的方程.【答案】(1)2211612x y +=(2)(223924x y ⎛++= ⎝⎭【分析】（1）根据椭圆的定义及焦点坐标求得椭圆的方程；（2）根据点差法求出直线AB 的方程，与椭圆方程联立求出弦长AB 得到圆的直径，以OM 的中点Q 为圆心，得出圆的方程.【详解】（1）122a MF MF =+=448=-+，则216a =，又24c =，所以212b =，故椭圆的方程为2211612x y +=.（2）OM的中点为Q ⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ，则221111612x y +=，222211612x y +=，两式相减整理得12121212304y y y y x x x x -++⋅=-+，其中1212AB y y k x x -=-，122Q y y y +==122Q x x x +==故31042AB k ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭，则32AB k =.故AB的方程为(322y x +=-，即32y x =-代入椭圆方程整理得2120x -=得10x =，2x =12AB x =-=故所求圆的方程为(223924x y ⎛++= ⎝⎭.2．（22-23高二下·湖南·期末）已知平面上动点E 到点()1,0A 与到圆22:2150B x y x ++-=的圆心B 的距离之和等于该圆的半径.(1)求点E 的轨迹方程；(2)已知,M N 两点的坐标分别为()()2,0,2,0-，过点A 的直线与（1）中点E 的轨迹交于,C D 两点（,C D 与,M N 不重合）.证明：直线MC 与ND 的交点的横坐标是定值.【答案】(1)22143x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆的定义求标准方程；（2）利用韦达定理以及直线的点斜式方程和直线的交点坐标的求解方法证明.【详解】（1）依题意，()1,0B -，圆B 的半径为4.于是4EA EB +=，且24=<AB ，故点E 的轨迹为椭圆.22224,22,3a c b a c ==∴=-= .所以点E 的轨迹方程为：22143x y +=.（2）依题意直线CD 的斜率不为0，设直线CD 的方程为：()()11221,,,,x my C x y D x y =+代入椭圆方程223412x y +=得：()2243690my my ++-=.所以122643m y y m +=-+①，122943y y m -=+②又直线MC 的方程为：()1122y y x x =++，直线ND 的方程为：()2222y y x x =--联立上述两直线方程得：()()12122222y y x x x x +=-+-，即()()()()212112212121212332221y x y my my y y x x y x y my my y y ++++===----，将①②代入上式得：2212212122293324339624343m y my y y x m m m x my y y y m m -++++===---++++,即232x x +=-，解得4x =.所以直线MC 与ND 的交点的横坐标是定值4.3．（22-23高二下·湖北·期末）已知抛物线()2:20C x py p =>，点()(),40P m m <在抛物线C 上，且点P 到抛物线C 的焦点的距离为174.(1)求p ；(2)设圆()22:21M x y +-=，点Q 是圆M 上的动点，过点P 作圆M 的两条切线，分别交抛物线C 于,A B 两点，求ABQ 的面积S 的最大值.【答案】(1)12p =【分析】（1）根据抛物线的定义，即可求解.（2）根据已知直线方程，和抛物线联立方程，结合韦达定理，求出点,A B 的坐标，从而求出直线AB 的方程，根据弦长公式，求得AB ，结合圆上一点到直线的距离的最大值为d r +，从而求出ABQ 的面积S 的最大值.【详解】（1）由题知准线方程为2py =-，则17424p +=，得12p =.（2）抛物线的方程为2x y =，把点P 代入到抛物线方程，24m =，又0m <，所以2m =-，则点P 的坐标为()2,4-，依题知过点P 的直线斜率必存在，设过点P 的直线方程为()42y k x -=+，设()11,A x y ，()22,B x y ，()22:21M x y +-=的圆心为(0,2)M ，半径1r =，1=，解得1k =243k -=，联立()242x y y k x ⎧=⎪⎨-=+⎪⎩，消y 得，2240x kx k ---=，则1P x x k +=，又2P x =-，不妨设1122x k =++，同理2222x k =+==，故21139A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，211,39B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，得11114993AB k +--==，所以直线AB：1142933y x ⎛++-=- ⎝⎭，即4310x y -+=，12AB x =-539=（定值），要使ABQ 的面积S 最大，则ABQ 中AB 边上的高最大即可，又因为圆心M 到直线的距离为6115d -+==，则圆上一点到直线的距离的最大值为112d r +=+=，即ABQ 中AB 边上的高的最大值为2,所以max 12299S =⨯⨯=.4．（22-23高二下·湖南长沙·期末）已知抛物线22x py =，点(2,8)P 在抛物线上，直线2y kx =+交C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．(1)求点P 到抛物线焦点的距离；(2)是否存在实数k 使0NA NB ⋅= ，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)658(2)存在；2k =±【分析】（1）点(2,8)P 代入抛物线中求得抛物线方程，从而找到点P 到抛物线焦点的距离.（2）可利用直角三角形的性质，斜边中线的长度等于斜边的一半，转换为圆锥曲线的弦长问题；【详解】（1）将点(2,8)P 代入抛物线方程，则1,4p =212x y =，抛物线焦点10,8F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到抛物线准线的距离165||888PF =+=．（2）存在，证明如下：如图，设()211,2A x x ，()222,2B x x ．把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=，2160k ∆=+>，由根与系数的关系得122k x x +=，121x x =-．1224N M x x k x x +∴===，N ∴点的坐标为2,48k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭．假设存在实数k ，使0NA NB ⋅= ，则NA NB ⊥．又M 是AB 的中点，12MN AB ∴=．由（1）知，()()()22121212111122442222224M k k y y y kx kx k x x ⎛⎫⎡⎤=+=+++=++=+=+ ⎪⎣⎦⎝⎭．MN x ⊥ 轴，222162488M N k k k MN y y +∴=-=+-=，又12||AB x x -==2168k +∴=⇒=，两边同时平方得：()221641k k +=+，解得2k =±，即存在2k =±，使0NA NB = ．5．（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>.四个点()()()123433,1,2,3,2,3,,22P P P P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭中恰有三点在双曲线C 上.(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线:l y kx m =+与双曲线C 交于,M N 两点，且OM ON ⊥，求原点O 到直线l 的距离.【答案】(1)2213y x -=(2)2.【分析】（1）由双曲线性质可知，23,P P 关于原点对称，可得23,P P 一定在双曲线上，根据双曲线在第一象限图象判断点1P 不在双曲线上，即234,P P P ､在双曲线上，进而可得答案.（2）联立直线与双曲线方程消去y ，由12120x x y y +=，结合韦达定理可得22233m k =+，再利用点到直线距离公式，化简即可得答案.【详解】（1）由双曲线性质可知，23,P P 关于原点对称，所以23,P P 一定在双曲线上，根据双曲线在第一象限图象而()13,1P 和()22,3P 坐标的数中，32>，但13<，所以点1P 不在双曲线上，即234,P P P ､在双曲线上.2222491915144a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得1,a b ==∴双曲线C 的方程为2213y x -=（2）直线MN 的方程为y kx m =+，设()()1122,,,M x y N x y ，由2233y kx m x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得()2223230,k x kmx m ----=所以()22221212222330,Δ1230,,33km m k m k x x x x k k ---≠=-+>+=⋅=--.由OM ON ⊥，可得0OM ON ⋅= ，即12120x x y y +=所以()()12120x x kx m kx m +++=，可化为()()22121210k x x km x x m ++++=即()22222321033m km k km m k k --+⋅+⋅+=--则22222222233230m k m k k m m k m ----++-=即22233m k =+O ∴到l的距离2d ====.6．（22-23高二下·安徽合肥·期末）已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为)F ，过F 且斜率为1的直线与E 的渐近线分别交于A ，B 两点（A 在第一象限），O 为坐标原点，||3||OA OB =．(1)求E 的方程；(2)过点(4,0)且倾斜角不为0的直线与E 交于C ，D 两点，与E 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，证明：||||CP DQ =．【答案】(1)2214x y -=(2)证明见解析【分析】（1）由已知得AB l：y x =-A y ，B y ，结合已知条件得2a b =，进而求得,a b ，得到E 的方程；（2）要证明||||CP DQ =，只需证明CD 的中点与PQ 的中点重合．设直线CD ：4x my =+，与双曲线方程联立，结合韦达定理求出CD 的中点为M 的坐标，由直线CD 与渐近线方程联立，求出,P Q 的坐标，进而得PQ 的中点为N 的坐标，即可得出结论．【详解】（1）由已知得AB l：y x =，联立,y x b y x a ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得A y =，同理可得B y =∵||3||OA OB ==2a b =．又225a b +=，∴24a =，21b =，∴E 的方程为2214x y -=．（2）要证明||||CP DQ =，只需证明CD 的中点与PQ 的中点重合．设CD 的中点为M ，直线CD ：4x my =+，联立224,440,x my x y =+⎧⎨--=⎩得()2248120m y my -++=，设()11,C x y ，()22,D x y ，则12284m y y m +=-，122424M y y m y m +==-，22416444M m x m m m ⎛⎫=+= ⎪--⎝⎭，即22164,44m M m m ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，双曲线E ：2214x y -=的渐近线方程为12y x =±，由4,1,2x my y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得8,24,2x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩可得84,22P m m ⎛⎫- ++⎝⎭，由4,1,2x my y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩得8,24,2x m y m ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩可得84,22Q m m ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，∴PQ 的中点为22164,44m N m m ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，∴点M 与点N 重合，∴||||CP DQ =．7．（22-23高二下·湖北武汉·期末）平面内与两定点()1,0A a -，()()2,00A a a >连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A ，2A 两点所成的曲线记为曲线C .(1)求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值的关系；(2)若1m =-时，对应的曲线为1C ；对给定的()()1,00,m ∈-+∞ ，对应的曲线为2C .设1F ，2F 是2C 的两个焦点，试问：在1C 上是否存在点N ，使得12F NF △的面积2S m a =，并证明你的结论.【答案】(1)222mx y ma -=；答案见解析(2)存在；证明见解析【分析】（1）设动点为M ，其坐标为(,)x y ，根据题意可得y y m x a x a⋅=-+，整理可得曲线C 的方程为222mx y ma -=，再把方程化为标准方程即可判断曲线的类型；（2）对于给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞ ，1C 上存在点()()000,0N x y y ≠，使得12F NF △的面积2S m a =的充要条件为2220020122x y a m a ⎧+=⎪⎨⨯=⎪⎩，从而求得102m ≤<或102m <≤，进而解决问题.【详解】（1）设动点为M ，其坐标为(,)x y ，当x a ≠±时，由条件可得12MA MA y y k k m x a x a⋅=⋅=-+，即222()mx y ma x a -=≠±，又12(,0),(,0)A a A a -的坐标满足222mx y ma -=.所以曲线C 的方程为222mx y ma -=.当1m <-时，曲线C 的方程为22221,x y C a ma+=-是焦点在y 轴上的椭圆；当1m =-时，曲线C 的方程为222,x y a C +=是圆心在原点的圆；当10m -<<时，曲线C 的方程为22221,x y C a ma+=-是焦点在x 轴上的椭圆；当0m >时，曲线C 的方程为22221,x y C a ma-=是焦点在x 轴上的双曲线.（2）在1C 上存在点N ，使得12F NF △的面积2S m a =，证明如下：由（1）知，当1m =-时，曲线1C 的方程为222x y a +=，当(1,0)(0,)m ∈-+∞ 时，2C的焦点分别为()12(F F -，对于给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞ ，1C 上存在点()()000,0N x y y ≠，使得12F NF △的面积2S m a =的充要条件为2220020(1)12(2)2x y a m a ⎧+=⎪⎨⨯=⎪⎩由(1)得00||y a <≤，由(2)得0||y =，所以0a <≤，解得102m ≤<或102m <≤，满足(1,0)(0,)m ∈-+∞ ，所以存在点N 使得2S m a =.【点睛】关键点睛：第二问的关键是确定对于给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞ ，1C 上存在点()()000,0N x y y ≠，使得12F NF △的面积2S m a =的充要条件为2220020122x y a m a ⎧+=⎪⎨⨯=⎪⎩，从而求得102m ≤<或102m <≤，进而解决问题.8．（22-23高二下·广东茂名·期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>C 的右焦点F 到其渐近线的距离为1.(1)求该双曲线C 的方程；(2)过点()4,0S 的动直线l （存在斜率）与双曲线C 的右支交于A B ､两点，x 轴上是否存在一个异于点S 的定点T ，使得SA TB SB TA ⋅=⋅成立．若存在，请写出点T 的坐标，若不存在请说明理由.【答案】(1)2214x y -=(2)存在定点()1,0T 【分析】（1）根据条件列出关于,,a b c 的方程组求解即可；（2）假设存在定点T 满足已知条件，故设(),0T m ，结合正弦定理得ATS BTS ∠∠=，则0AT BT k k +=，当直线的斜率为0时，显然不符合题意；当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为4,0x ny n =+≠，与双曲线联立，由直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点，求得2n 范围，然后结合韦达定理及0AT BT k k +=求解即可.【详解】（1）双曲线C 的渐近线为by x a=±，点(c,0)F 到渐近线的距离为1，2221c e a a b c =⎪⎪∴==⎨⎪+=⎪⎪⎪⎩，解得2,1a b ==，∴双曲线C 的方程为2214x y -=.（2）假设存在定点T 满足已知条件，故设(),0T m ，SA TB SB TA ⋅=⋅ ，SA SB TATB∴=，在ATS 和BTS 中，由正弦定理得sin sin SA TA ATS AST ∠∠=，及sin sin SB TBBTS BST∠∠=，sin sin SA ATSTAAST ∠∠∴=，及sin sin SB BTS TB BST∠∠=，π,sin sin AST BST AST BST ∠∠∠∠=-= ，又,sin sin SA SB ATS BTS TATB∠∠=∴=，ATS BTS ∠∠∴=，∴直线AT 与直线BT 的倾斜角互补，0AT BT k k +=，当直线l 的斜率为0时，显然不符合题意；当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为4,0x ny n =+≠，()()1122,,,A x y B x y ，联立22414x ny x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()2248120n y ny -++=，所以121222812,44n y y y y n n +=-=--，又因为直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点，1212200Δ040x x x x n >⎧⎪+>⎪∴⎨>⎪⎪-≠⎩，即()()()()12122244080161204ny ny n y y n n ⎧++>⎪++>⎪⎨+>⎪⎪≠⎩，()()()212121222416080161204n y y n y y n y y n n ⎧+++>⎪++>⎪⎨+>⎪⎪≠⎩，则()()22222416043204161204n n n n n ⎧-+⎪>-⎪⎪-⎪>⎨-⎪⎪+>⎪≠⎪⎩，解得204n <<，12120,0AT BT y yk k x m x m+=∴+=-- ，又11x ny =224,4x ny +=+，1212044y y ny m ny m∴+=+-+-，即122ny y +()()1240m y y -+=，()2212824044n n m n n ⎛⎫∴⋅+--= ⎪--⎝⎭，即()810n m -=，解得1m =，∴存在定点()1,0T ，使得SA TB SB TA ⋅=⋅成立.9．（22-23高二下·福建泉州·期末）已知O 为坐标原点，点P 到点()1,0F 的距离与它到直线:4l x =的距离之比等于12，记P 的轨迹为Γ．点,A B 在Γ上，,,F A B 三点共线，M 为线段AB 的中点．(1)证明：直线OM 与直线AB 的斜率之积为定值；(2)直线OM 与l 相交于点N ，试问以MN 为直径的圆是否过定点，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)定点()1,0F ，理由见解析【分析】（1）先设(),P x y ，再根据距离比计算轨迹，最后计算斜率积即可；（2）先设(),0T m ，再根据MN 为直径的圆过定点(),0T m ，计算0MT NT ⋅=uuu r uuu r可得.【详解】（1）设(),P x y12=，整理得22143x y +=；设()11,A x y ,()22,B x y ，()00,M x y ，则1202x x x +=，1202y yy +=，由1221222234123412x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减：()()()()12121212340x x x x y y y y -++-+=，整理得()()12012032420x x x y y y -⋅+-⋅=，012120340y y y x x x -+⋅=-，01212034y y y x x x -⋅=--，即直线OM 与直线AB 的斜率之积为定值34-．（2）显然直线AB 的斜率不为0，设直线AB 方程为1x ty =+，联立方程组2213412x ty x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 得：()2234690t y ty ++-=，所以122634ty y t +=-+，1223234M y y t y t +==-+，223413434M t x t t t -=⋅+=++，2243,3434t M t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，直线3:4t OM y x =-，从而点()4,3N t -，根据椭圆的对称性可知，若以MN 为直径的圆过定点，则该定点在x 轴上，可设为(),0T m ，以MN 为直径的圆过定点(),0T m ，则0MT NT ⋅=uuu r uuu r，又2243,3434t MT m t t ⎛⎫=-⎪++⎝⎭，()4,3NT m t =- ，从而()22249403434t m m t t ⎛⎫--+= ⎪++⎝⎭，整理得222(3129)420160t m m m m -++-+=，故2231290420160m m m m ⎧-+=⎨-+=⎩，解方程组可得1m =，即以MN 为直径的圆过定点()1,0F ．10．（22-23高二下·广西南宁·期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知点)G ，直线L：x =动点H到点G 的距离与直线L的距离之比为2.(1)求动点H 的轨迹E 的方程；(2)设曲线E 与x 轴交于A 、B 两点，过x 轴上点()4,0M -作一直线PQ 与椭圆交于P ，Q 两点（异于A ，B ），若直线AP 与BQ 的交点为N ，记直线MN 与AP 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k .【答案】(1)22142x y +=；(2)13.【分析】（1）设,()H x y ，根据给定条件列出方程，再化简即可作答.（2）设出直线PQ 的方程，与轨迹E 的方程联立，利用韦达定理、斜率坐标公式推理计算作答.【详解】（1）设,()H x y=22142x y +=，所以动点H 的轨迹E 是椭圆，其方程为22142x y +=.（2）由（1）知，不妨令(2,0),(2,0)A B -，设()()1122(,),,,,N x y P x y Q x y ，显然直线PQ 不垂直于y 轴，设直线PQ 的方程：4x my =-，由224142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 并整理得22(2)8120m y my +-+=，有226448(2)0m m ∆=-+>，即26m >，于是121222812,22m y y y y m m +==++，即有12123()2my y y y =+，由P ,N ,A 和Q ,N ,B 三点共线，得11222222y y x x y y x x ⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪--⎩，即()()12212222y x x y x x --=++，而11224,4x my x my =-=-，从而()()121121221211223(62(6)2332(2)22)()y y y y x y my y x y my y y y+---===-+-+-，因此232x x -=-+，解得=1x -，而12,42y yk k x x ==++，所以122143k x k x +==+.11．（22-23高二下·湖北恩施·期末）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，且短轴长是长轴长的一半．(1)求C 的方程；(2)已知直线1l ：1y x =+与椭圆C 相交于两点M ，N ，求线段MN 的长度；(3)经过点112P ⎛⎫⎪⎝⎭，作直线2l ，交椭圆于A 、B 两点．如果P 恰好是线段AB 的中点，求直线2l 的方程．【答案】(1)2214x y +=(2)5(3)112y x =-+【分析】（1）由题意可得2a ，2b 的值，即求出a ，b 的值，可得椭圆的方程；（2）联立直线1l 的方程与椭圆的方程，可得两根之和及两根之积，代入弦长公式，可得MN 的大小；（3）设A ，B 的坐标代入椭圆的方程，作差整理可得直线2l 的斜率，代入点斜式方程求出直线2l 的方程．【详解】（1）由题意可得241222a b a =⎧⎪⎨=⋅⎪⎩，可得2a =，1b =，所以椭圆的C 的方程为：2214x y +=；（2）设()11M x y ，，()22N x y ，，联立22441x y y x ⎧+=⎨=+⎩，整理可得2580x x +=，可得2185+=-x x ，120x x =，所以855MN =⋅=；（3）设()33A x y ，，()44B x y ，，由题意可得342x x +=，341y y +=，将A ，B 的坐标代入可得：223322441414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差整理可得：3434343411214412y y x x x x y y -+=-⋅=-⋅=--+，即直线AB 的斜率为12-，所以直线2l 的方程为()11122y x -=--，即112y x =-+．12．（2023·山东济南·三模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆22:1M x y +=与x 轴的交点恰为C 的焦点，且C 上的点到焦点距离的最大值为2b .(1)求C 的标准方程；(2)不过原点的动直线l 与C 交于,A B 两点，平面上一点D 满足OA AD =，连接BD 交C 于点E （点E 在线段BD 上且不与端点重合），若25EAB DAB S S = ，试判断直线l 与圆M 的位置关系，并说明理由.【答案】(1)22143x y +=(2)相离，理由见解析【分析】（1）根据题意求得1c =和2a c b +=，结合222a b c =+，求得,a b 的值，即可求解；（2）设直线:(0)l y kx m m =+≠，联立方程组得到21212228412,4343km m x x x x k k -+=-=++，且0∆>，由OA AD = 和25EAB DAB S S = ，求得E 点坐标，代入椭圆22143x y +=，化简得到121234x x y y =-，结合点O 到直线l 的距离312d r ≥>=，得到直线l 与圆M 相离；当直线l 的斜率不存在时，求得12x =l 与圆M 相离，即可求解.【详解】（1）解：由题意，圆22:1M x y +=与x 轴的交点为()1,0±，可得1c =，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为2a c b +=，又因为222a b c =+，可得2,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解：如图所示，设1122(,),(,)A x y B x y ，当直线l 的斜率存在时，设直线:(0)l y kx m m =+≠，联立方程组22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得222()4384120k x kmx m +++-=，则21212228412,4343km m x x x x k k -+=-=++，且222(8)4(43)(412)0km k m ∆=-+->，可得2222121112122312()()()43m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+，由OA AD =可得点A 为OD 中点，可得11(2,2)D x y ，且有25EAB DAB S S = ，可得25EB BD =，所以1212234343(,)555555OE OD OB x x y y =+=++ ，即E 点坐标为12124343,5555x x y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，将点E 代入椭圆22143x y +=，可得121222143143((45535)5)1x x y y ++=+，整理得222211221212169241254325432543x y x y x x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅++⋅++⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又由点,A B 分别满足222211221,14343x y x y +=+=，代入上式可得1212043x x y y+=，即121234x x y y =-，代入韦达定理，可得代入韦达定理可得22243m k =+，满足0∆>，点O 到直线l的距离d ====，因为20k ≥，可得22(1)2k +≥，所以21102(1)2k <≤+≤<所以1d r ≥>=，所以直线l 与圆M 相离，当直线l 的斜率不存在时，此时有1212,x x y y ==-，代入121234x x y y =-，可得2211340x y -=，又因为2211143x y +=，可得1x =所以直线l的方程为1x =l 与圆M 相离，综上可得，直线l 与圆M 相离.【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）平面向量；（6）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.13．（22-23高二下·江苏镇江·期末）如图，在ABC 中，4BC AB AC =+=，若以BC 所在直线为x轴，以BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系.设动顶点(),A x y .(1)求顶点A 的轨迹方程；(2)记第（1）问中所求轨迹曲线为M ，设()()122,0,2,0D D -，过点()1,0作动直线l 与曲线M 交于,P Q 两点（点P 在x 轴下方）.求证：直线1D P 与直线2D Q 的交点E 在一条定直线上.【答案】(1)()22104x y y +=≠(2)证明见详解【分析】（1）根据椭圆的定义，求得椭圆的,,a b c 的值，可得答案；（2）根据联立直线PQ 与椭圆M 写出的韦达定理，表示出直线12,QD PD 的直线方程，联立整理方程，可得答案.【详解】（1）由4AB AC +=，则A 的轨迹为以,B C 为焦点的椭圆，且24a =，2a =；由BC =2c =c =1b ==，故A 的轨迹方程为()22104x y y +=≠.（2）直线l 方程可设为1x my =+，联立可得22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 可得：()224230m y my ++-=，()2241240m m ∆=++>显然成立，设()()1122,,,Q x y P x y ，则12122223,44m y y y y m m +=-=-++，即()121223my y y y =+，设()121:22y QD y x x =--，()212:22y PD y x x =++，联立上述两方程，消去y 可得()()12122222y yx x x x -=+-+，12121212222222y y y y x x x x x x -=+-+-+，()()()()12211221222222y x y x x y x y x +--=++-⎡⎤⎣⎦，()()()()12211221312321y my y my x y my y my +--=++-⎡⎤⎣⎦，()1212123462y y x my y y y +=+-，由()121246my y y y =+，则()()1212123662y y x y y y y +=++-，()1212123124,30y y x y y y y +=++≠，解得4x =；综上所述，动点E 4x =.【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法（1）动直线l 过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为y kx t =＋，由题设条件将t 用k 表示为t mk n =+，得()y k x m n =+＋，故动直线过定点(),m n -；（2）动曲线C 过定点问题．解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．14．（22-23高二下·江西南昌·期末）C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点（，椭圆上有四个动点A B C D ，，，，//CD AB ，AD 与BC 交于P 点.如图所示.(1)求曲线C 的方程；(2)当,A B 恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线AD 与BC 的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；(3)若点P 的坐标为()8,6，求直线AB 的斜率.【答案】(1)221164x y +=(2)是定值，定值为14(3)13-【分析】（1）根据离心率以及椭圆经过的点即可联立方程求解,,a b c ，（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，进而根据斜率公式化简即可求解，（3）根据向量共线满足的坐标运算，代入椭圆方程中，即可化简求解.【详解】（1）由题意可知2222224314,2,c e a a b c a b c b a ⎧==⎪⎪⎪+=⇒===⎨⎪+=⎪⎪⎩所以曲线C 方程为221164x y +=（2）由题意知，4a =，2b =，所以(0,2)A ，()4,0B ，所以12AB k =-，设直线CD 的方程为()122y x t t =-+≠，设()11,D x y ，()22,C x y ，联立直线CD 与椭圆的方程22116412x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，整理得222280x tx t -+-=，由()2244280t t ∆=-->，解得t -<<2t ≠，则122x x t +=，21228x x t =-，所以()()12121212111222244AD BCx t x t y y k kx x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭==--21212212111()2424x x t x x t x t x x x -+++-=-2221121121442222244t t x t t x t x x x x x x --+-+--==--21214122844t x t x --==--，故直线AD 与BC 的斜率之积是定值，且定值为14.（3）设()33,A x y ，()44,B x y ，(),D x y ，记PD DA λ=（0λ≠），得3386x x x y y y λλλλ-=-⎧⎨-=-⎩，所以338161x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩.又A ，D 均在椭圆上，所以22332233116486111164x y x y λλλλ⎧+=⎪⎪⎪⎨++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎪+=⎪⎩，化简得3331220x y λλλ++-=，因为CD AB ∥，所以PC CB λ=，同理可得4431220x y λλλ++-=，即直线AB ：31220x y λλλ++-=，所以AB 的斜率为13-.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.15．（22-23高二下·广西南宁·期末）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的一个端点为()0,1B ，且离心率为2，过椭圆左顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点M ，与y 轴正半轴交于点N ，过原点O 且与直线l 平行的直线l '交椭圆于点P ，Q ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求证：AM ANOP OQ⋅⋅为定值．【答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据离心率和过点列方程组求出,a b ，得到椭圆的标准方程；（2）应用弦长公式分别求出,,,AM AN OP 计算化简可得定值.【详解】（1）因为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点()0,1B -，所以21b =，又椭圆的离心率为2，则2e ==所以2a =，故椭圆方程为2214x y +=（2）设直线l 的方程为()2y k x =+，()0,2N k所以AN =，设()11,M x y ，由()22214y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()222214161640k x k x k +++-=，则21216214k x k --+=+，212164214k x k --=+所以AM ===设直线OP 的方程为y kx =，由2214y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()221440k x +-=，设()00,P x y ，则202414x k =+，则2202414k y k =+，所以22220244||14k OP x y k+=+=+，故2221424414AM AN AM AMk k OP OQ k ⋅⋅+===+⋅+，因此AM ANOP OQ⋅⋅为定值.【点睛】关键点点睛：定值取得的关键是对弦长公式的应用及结合图形的对称性得出OP OQ =.16．（22-23高二下·广东广州·期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为121,,2A A 分别为椭圆C 的左右顶点，12,F F 分别为椭圆C 的左右焦点，B 是椭圆C 的上顶点，且11BA F (1)求椭圆C 的方程；(2)设与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点（,P Q 在x 轴的两侧），记直线1221,,,A P A P A Q AQ 的斜率分别为1234,,,k k k k ．（i ）求12k k ⋅的值；（ii ）若()142353k k k k +=+，则求2F PQ △的面积的取值范围．【答案】(1)2211612x y +=(2)（i ）34-；（ii ）(0,2【分析】（1）根据已知求出,a c 的关系，可推得1||A B =，结合11BA F 的外接圆半径，利用正弦定理求得c ，即可求得,a b ，即得答案；（2）设l 的方程并联立椭圆方程，可得根与系数关系，（i ）化简整理可得12k k ⋅以及34k k ⋅的值；（ii ）利用（i ）的结论推出23920k k =-，结合根与系数的关系式化简可求得m 的值，继而求得2F PQ △的面积的表达式，结合函数的单调性即可求得答案.【详解】（1）由于椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，故12c a =，故11||22||BF a c OF ===，则1111306012,,0F BO BF O BF A ︒︒︒∠=∠=∠=，又22223b a c c =-=，则1||A B =，又11BA F111||2sin sin1203A B BF A ︒==⨯∠，解得2c =，故4,a b ==，故椭圆方程为2211612x y +=；（2）（i ）设l 与x 轴的交点为D ，由于直线l 交椭圆C 于,P Q 两点（,P Q 在x 轴的两侧），故直线l 的斜率不为0，设l 的方程为x ty m =+，联立2211612x ty mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2223463480t y mty m +++-=，需满足2248(1216)0t m ∆=-+>，设()()1122,,,P x y Q x y ，则212122263483434,mt m y y y y t t --+==++，又()()120,,40,4A A -，故122211111222111134441643PA PA y y y y k k k k x x x y ⋅=⋅=⋅===-+---，同理可得123434QA QA k k k k ⋅=⋅=-；（ii ）因为()142353k k k k +=+，则()2323232323335354434)3k k k k k k k k k k +--=+-⋅=+，又直线l 与x 轴不垂直可得230k k +≠，则23920k k =-，即22920PA QA k k ⋅=-，所以121294420y y x x ⋅=---，即()121220944)0(y y ty m ty m ++-+-=，即()()()()22121292094940t y y t m y y m ++-++-=，即()()222223486920949(4)03434m mt t t m m t t --+⋅+-⋅+-=++，整理得2340m m --=，解得1m =-或4m =，因为,P Q 在x 轴的两侧，故2122348034m y y t -=<+，则44m -<<，故1m =-，此时直线l 为1x ty =-，过定点(0,1)-，与椭圆C 交于不同两点；此时1212224,645343t y y y y t t -+==++，22121||||2F PQ S F D y y =⋅-=234t =+，λ=，由于l 与x 轴不垂直，故0t≠，所以λ>，故2272721313F PQ S λλλλ==++ ，设211()3,()3g g λλλλλ'=+=-，λ>时，()0g λ'>，即()gλ在)+∞上单调递增，即()g g λ>故72(0,)123λλ∈+，即2F PQ△的面积的取值范围为(0,2.【点睛】难点点睛：解答此类直线和椭圆位置关系中的范围问题，解答的思路并不困难，一般是联立方程，得到根与系数的关系，进而化简，难点在于计算的过程比较复杂且计算量较大，因此对于含有字母的复杂计算要十分细心.17．（22-23高二下·安徽阜阳·期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，且椭圆C 过点31,2T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点F 为椭圆C 的左焦点.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)平行于y 轴的动直线l 与椭圆C 相交于不同两点,P Q ，直线PF 与椭圆C 的另一个交点为M ，证明：直线QM 过定点.【答案】(1)22143x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆中的基本量关系，再代入31,2T ⎛⎫⎪⎝⎭求解即可；（2）设直线()()()1122:1,,,,PF y k x P x y M x y =+，则()11,Q x y -，再联立PF 与椭圆方程，得出韦达定理，化简可得()21214y y y x x x +=+-，进而求出定点.【详解】（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，椭圆C 过点31,2T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22222191,41,2,a b c a b c a ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎩解得224,3.a b ⎧=⎨=⎩因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）证明：由题可知，直线PF 的斜率存在.设直线()()()1122:1,,,,PF y k x P x y M x y =+，则()11,Q x y -.联立直线与椭圆方程()221,1,43y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()22223484120k x k x k +++-=，则()()()4222Δ6443441214410k k k k =-+-=+>，221212228412,3434k k x x x x k k -+=-=++，所以()212221:QM y y l y y x x x x +-=--，整理得2112212112y y x y x y y x x x y y ⎛⎫++=- ⎪-+⎝⎭.又()()()()()12211212122112121211222kx x kx x kx x k x x x y x y y y k x x k k x x k++++++==+++++()2222222412834344,8234k k k k k k k k kk --+⨯++==--⨯++所以直线QM 的方程为()21214y y y x x x +=+-.故直线QM 过定点()4,0-.18．（22-23高二下·安徽芜湖·期末）已知以()2,3E -为焦点的椭圆过()()2,0,2,0A B -，记椭圆的另一个焦点F 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 是曲线C 的切线，且l与直线y =和y =分别交于点,M N ，与x 轴交于点Q ，求证：2||QM QN OQ +为定值.【答案】(1)221(0)3y x x -=>(2)证明见解析【分析】（1）根据题意，由双曲线的定义，即可得到结果；（2）根据题意，分直线的斜率存在与不存在分别讨论，结合韦达定理代入计算，即可得到证明；【详解】（1）由题意得AE AF BE BF +=+，即24AF BF AB -=<=，所以F 的轨迹是以,A B 为焦点的双曲线的右支，方程为221(0)3yx x -=>（2）当切线l 的斜率存在时，设切线l 为()0y kx m k =+≠，则,0m Q k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，联立2213y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩可得：()2223230k x kmx m ----=，则()()2222Δ44330k m k m =----=，即223m k =-，设()()1122,,,M x y N x y，直线y =和y =是曲线C 的渐近线，联立2203y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩可得：()222320k x kmx m ---=，则1222122233km x x k m x x k ⎧+=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，()()()222121212223113m m m m QM QN kx x k x x x x k k k k k ⎛⎫⎛⎫=+++=++++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，22223||1m OQ k k==-，所以2||4QM QN OQ +=.当切线l 的斜率不存在时，易知2||4QM QN OQ +=.【点睛】关键点睛：本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，难度较难，解答本题的关键在于分直线的斜率存在与不存在讨论，然后联立直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算.19．（22-23高二下·福建厦门·期末）已知点N 在曲线:C 22186x y +=上，O 为坐标原点，若点M满足O N M=，记动点M 的轨迹为Γ.(1)求Γ的方程；(2)已知点P 在曲线C 上，点A ，B 在曲线Γ上，若四边形OAPB 为平行四边形，则其面积是否为定值?若是，求出定值；若不是，说明理由【答案】(1)22143x y +=(2)为定值【分析】（1）设(),M x y ，(),N N N x y，依题意可得N N x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，再由点N 在曲线C ，代入方程即可得解；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，依题意可得OP OA OB =+，根据点在曲线上得到()2121212x y y x -=，表示出直线OA ，求出点B 到直线OA 的距离d ，根据2OAPB AOB S S OA d == 计算可得.【详解】（1）设(),M x y ，(),N N N x y ，因为点N 在曲线:C 22186x y +=上，所以22186N Nx y +=，因为O N M=，所以N Nx y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，代入22186N Nx y +=可得()()22186+=，即22143x y +=，即Γ的方程为22143x y +=；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，因为点P 在曲线C 上，所以2200186x y +=，因为四边形OAPB 为平行四边形，所以OP OA OB =+，所以()()001212,,x y x x y y =++，所以()()221212186xx yy +++=，又2211143x y +=、2222143x y +=，所以1212043x x y y +=，因为222222112212121434343x y x y x x y y ++骣骣骣骣琪琪琪=++=琪琪琪桫桫桫，所以()2121212x y y x -=，直线OA ：110y x x y -=，点B 到直线OA的距离d =所以平行四边形OAPB的面积12122OAPB AOB S S OA d x y y x ====-=【点睛】思路点睛：本题第二问采用设而不求，利用整体思想得到()2121212x y y x -=是解决问题的关键，方法比较新颖.20．（22-23高二下·安徽黄山·期末）已知点F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点()7,3,P PF =，且点P 到抛物线准线的距离不大于10，过点P 作斜率存在的直线与抛物线E 交于,A B 两点（A 在第一象限），过点A 作斜率为23的直线与抛物线的另一个交点为点C ．(1)求抛物线E 的标准方程；(2)求证：直线BC 过定点．【答案】(1)24y x =(2)证明见解析【分析】（1）由PF =p 值；（2）过点()7,3P ，则可设AB 的方程为3(7)y k x -=-，并与抛物线24y x =联立可得()2412280,0,ky y k k -+-=≠，若()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则可知12124,2128y y y y k k+==-，消k 得()1212283y y y y +=+，由AC 斜率为23可得136y y +=，代入()1212283y y y y +=+消1y 可得()2323301y y y y -+=将他代入BC 的方程为2222344y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭即可求得必过点.【详解】（1）焦点,0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭()7,3,P PF =，∴||FP =又∵0p >，且点P 到抛物线E 准线的距离不大于10，即7102p+≤∴2p =∴抛物线E 的标准方程为24y x =；（2）依题意直线AB 斜率存在且过点()7,3P ，则可设AB 的方程为3(7)y k x -=-，由23(7)4y k x y x -=-⎧⎨=⎩，化简得：()2412280,0,ky y k k -+-=≠，()2167310k k ∆=-+>设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则由韦达定理可知12124,2128y y y y k k+==-，消去k 得：()1212283y y y y +=+①又11223311333142344AC y y y y k y y x x y y --====-+-，则136y y +=②由①②得()()323262836y y y y -+=-+，∴()2323301y y y y -+=③由于232322322323444BC y y y y k y y x x y y --===-+-（ⅰ）若直线BC 没有斜率，则230y y +=，又()2323301y y y y -+=，∴2310y =-（舍去）（ⅱ）若直线BC 有斜率，直线BC 的方程为2222344y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，即()232340x y y y y y -++=，将③代入得()()232343100x y y y y y -++++=，∴()235(3)4()02y y y x +-++=，故直线BC 有斜率时过点5(,3)2-．【点睛】方法点睛：我们在处理直线与抛物线相交问题时，通常使用联立方程设而不求韦达定理处理，最终利用横（纵）坐标的和与积的转换来处理；抛物线上两点斜率一般可用抛物线方程转化为坐标之和来表示，如22(0)y px p =>上两点()()1122A x y B x y ,,,的斜率121222121212222y y y y py y x x y y p p--==-+-.21．（22-23高二下·广东韶关·期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率是12，且过点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，且P ，Q 为椭圆C 上异于1A ，2A 的点，若直线PQ 过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭，是否存在实数λ，使得12A P A Q k k λ=恒成立．若存在，求实数λ的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)22143x y +=(2)存在实数35λ=，满足题设条件【分析】（1）将点3(1,)2M 代入椭圆可得221914a b +=，结合12c e a ==，222+=a b c 可求得,a b ：（2）设直线PQ 的直线方程并与椭圆方程联立，令11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则可得12x x +、12x x ，或者12y y +，12y y 代入12A P A Q k k λ=即可求解；【详解】（1）由题意，12c e a ==，222+=a b c ，解得：2234b a =①．∵点3(1,)2M 在椭圆C 上，∴221914a b +=②联立①、②，解得24a =，23b =故所求椭圆C 的标准方程是22143x y +=（2）解法一：由（1）知1(2,0)A -，2(2,0)A ．当直线PQ 斜率不存在时，1:2PQ l x =．与椭圆联立可得1(2P，1(,2Q ，则1A P k =，2A Q k =故而1235A P A Q k k =，可得35λ=；得当直线PQ 斜率存在且不为0时，设1:()2PQ l y k x =-，令11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则1112A P y k x =+，2222A Q y k x =-．联立223412012x y y k x ⎧+-=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩消去y 并整理，得2222(43)4120k x k x k +-+-=，则由韦达定理得，212221224431243k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩假设存在实数λ，使得12A P A Q k k λ=，则121222y yx x λ=+-，即122111()(2)()(22x x x x λ--=-+，整理得12121(1)(2)(2)1022x x x x λλλλ-+--+++=，变形为()1212221(1)(2)()(2)1022x x x x x x λλλλ-+-+--+++=，则2222221241(1)(2)()(2)10432432k k x x k k λλλλ--+---+++=++，即22235(35)(3)(0243k x k λλ--+-=+，即222352(3)()0243k x k λ⎡⎤-+-=⎢⎥+⎣⎦即3502λ-=或2222(3)043k x k +-=+，得35λ=或2222(3)43k x k +=+．当2222(3)43k x k +=+时，222112222242626()434343k k k x x x x k k k +-=+-=-=+++．。

椭圆、双曲线抛物线综合练习题及答案-

11 高中数学、选择题（每小题只有一个正确答案，每题 6分共36分）1. 2 2 椭圆' _L 1的焦距为。

25 9 A.2. B. 3 已知双曲线的离心率为 C. 4 D 2,焦点是(-4,0), 8 (4,0), 则双曲线的方程为2 2 x y 4 12 2 2 x y . B. 1 12 4C. 2x102y10,x 23.双曲线—— 3 1的两条准线间的距离等于 B.3.7 7 18 C. — 5 1652x 4.椭圆一 4 1上一点 P 到左焦点的距离为 3,则P 到y 轴的距离为 A. 1 B .C. 5.双曲线的渐进线方程为 2x 3y F （0, 5）为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。

2A.工 4 2 x —1 9B.一 9C.叱 100 13x 2 —— 1 225 D 曳 225 13x 2 100 2 ..... x 6.设F I ,F 2是双曲线-y a 2-y2- 1的左、 b 2 右焦点，若双曲线上存在点 A,使 F 1AF 2 90 AF 1| 3 AF 2 ,则双曲线的离心率为 --- C. 2 7.设斜率为2的直线 l 过抛物线 y 2=ax ( aw0)的焦点 F,且和y 轴交于点 A,若^ OAFO 为坐标原点）的面积为4, 则抛物线方「程为（） A. y 2=±4 B .y 2=±8x C . y 2= 4x 2D. y = 8x8.已知直线 1I ：4x- 3y+6=0 和直线 l2： x=- 1, 抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线11和直线l 2的距离之和的最小值是（A. 2B. 3C.537D.— 1629 .已知直线l i ： 4x — 3y+6=0和直线l 2： x=—1,抛物线y=4x 上一动点 P 到直线l l 和直线l 2的距离之和的最小值是（）10 .抛物线y 2=4x 的焦点为F,准线为l ,经过F 且斜率为J 3的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A, AK!l ,垂足为K,则4AKF 的面积是（）A. 4B. 3审 C . 4斓 D. 8二.填空题。

高二数学双曲线试题答案及解析

高二数学双曲线试题答案及解析1.若方程+=1所表示的曲线为C,则下面四个命题①若C为椭圆，则1<t<4 ;②若C为双曲线，则t>4或t<1;③曲线C不可能是圆;④若C为椭圆，且长轴在x轴上，则1<t<其中真命题的序号是_________.【答案】②【解析】据椭圆方程的特点列出不等式求出t的范围判断出①错，据双曲线方程的特点列出不等式求出t的范围，判断出②对；据圆方程的特点列出方程求出t的值，判断出③错；据椭圆方程的特点列出不等式求出t的范围，判断出④错．解：若C为椭圆应该满足(4-t)(t-1)＞0，4-t≠t-1即1＜t＜4且t≠故①错，若C为双曲线应该满足（4-t）（t-1）＜0即t＞4或t＜1故②对，当4-t=t-1即t=表示圆，故③错，若C表示椭圆，且长轴在x轴上应该满足4-t＞t-1＞0则1<t<，因此④错，故填写②【考点】圆锥曲线的共同特征。

点评：主要是考查了椭圆方程于双曲线方程的标准形式的运用，属于中档题。

2.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，由于双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同（），那么可知，则可知双曲线的渐近线方程是，故选C.【考点】双曲线的性质，抛物线点评：解决的关键是对于双曲线和抛物线性质的熟练表示，属于基础题。

3.若双曲线（b＞0）的离心率为2，则实数b等于（）A．1B．2C．D．3【答案】C【解析】由双曲线方程可知【考点】双曲线的性质离心率点评：本题涉及到的性质：4.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】画图。

抛物线的焦点，准线。

连接和EO，则，即有，所以点P到准线的距离等于2a，所以点P的横坐标为，由点P在抛物线上，得点。

又OP=OF=c，所以，解得。