圆锥曲线综合训练题三[定义及最值]题四[弦长及面积]
圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案
1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB的交点为Q 。
（1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋； （2）求证：112||||PC PD PQ +=.2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==⋅ （1）动点N 的轨迹方程；（2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=⋅AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围.3. 如图，椭圆134:221=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角.4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||22PM PN -=.记动点P 的轨迹为W .（Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围；（Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程； （Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。
6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN +=(1)求点P 的轨迹方程； (2)若2·1cos PM PN MPN-∠＝,求点P 的坐标.7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线1222=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3MON π∠=，双曲线的焦距为4。
圆锥曲线综合练习题及答案-.doc
一、单选题（每题6分共36分）1. 椭圆221259x y +=的焦距为. （ ） A ． 5 B. 3 C. 4 D 8 2．已知双曲线的离心率为2，焦点是(—4,0)，（4,0）,则双曲线的方程为 ( ）A ．221412x y -= B. 221124x y -= C 。
221106x y -= D 221610x y -= 3．双曲线22134x y -=的两条准线间的距离等于 （ ) A ．677 B. 377C 。
185D 1654.椭圆22143x y +=上一点P 到左焦点的距离为3,则P 到y 轴的距离为 ( ) A ． 1 B. 2 C. 3 D 45．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点,则双曲线的方程为。
（ ）A ．22149y x -=B 。
22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 22131********y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ︒∠=且123AF AF =，则双曲线的离心率为 ( ） A ．52 B. 102 C. 152D 5 7。
设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax （a ≠0）的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF （O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ )A ．y 2＝±4 B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是（ ）A ．2B ．3 C.115D 。
错误!9．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1,抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是（ )10．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为错误!的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ,AK ⊥l ，垂足为K ,则△AKF 的面积是（ ）A ．4B ．3 3C ．4错误!D ．8二．填空题。
高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析
高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.如图，已知椭圆，双曲线(a＞0，b＞0)，若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A．5B．C．D．【答案】C【解析】由已知，|OA|＝a＝设OA所在渐近线的方程为y＝kx(k＞0)，于是A点坐标可表示为A(x0，kx)(x＞0)于是，即A()，进而AB的一个三分点坐标为()该点在椭圆C1上，有，即，得k＝2即＝2，于是，所以离心率，选C【考点】圆的方程，椭圆的性质，双曲线的性质，双曲线的渐近线，直线与圆锥曲线的位置关系，双曲线的离心率.2.已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C得一个焦点，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，因为，故，过点作，垂足为M，则轴，所以，所以，由抛物线定义知，，选B．【考点】1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程；3、向量共线．3.已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；（ii）当最小时，求点T的坐标.【答案】(1) ；（2）【解析】（1）因为焦距为4，所以，又，由此可求出的值，从而求得椭圆的方程.（2）椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.（ⅰ）设PQ的中点为，求出，只要，即证得OT 平分线段PQ.（ⅱ）可用表示出PQ，TF可得：.再根据取等号的条件，可得T的坐标.试题解答：（1），又.（2）椭圆方程化为.（ⅰ）设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.设PQ的中点为，则又TF的方程为，则得，所以，即OT过PQ的中点，即OT平分线段PQ.（ⅱ），又，所以.当时取等号，此时T的坐标为.【考点】1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线；3、最值问题.4.已知的三个顶点在抛物线：上，为抛物线的焦点，点为的中点，；（1）若，求点的坐标；（2）求面积的最大值.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）根据抛物线方程为，写出焦点为，准线方程为，设，由抛物线的定义知，，把代入求得点的坐标，再由求得点的坐标；（2）设直线的方程为，，，，联立方程组，整理得，先求出的中点的坐标，再由，得出，用弦长公式表示，构造函数，用导数法求的面积的最大值.（1）由题意知，焦点为，准线方程为，设，由抛物线的定义知，，得到，代入求得或，所以或，由得或，（2）设直线的方程为，，，，由得，于是，所以，，所以的中点的坐标，由，所以，所以，因为，所以，由，，所以，又因为，点到直线的距离为，所以，记，，令解得，，所以在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，又，所以当时，取得最大值，此时，所以的面积的最大值为.【考点】抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，三角形的面积公式，平面向量的坐标运算.5.如图为椭圆C：的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率，的面积为.若点在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭圆”，直线与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭圆”分别为P，Q.（1）求椭圆C的标准方程；（2）问是否存在过左焦点的直线，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）直线方程为或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，利用椭圆的离心率和三角形面积公式列出表达式，解方程组，得到基本量a和b的值，从而得到椭圆的方程；第二问，直线l过左焦点，所以讨论直线的斜率是否存在，当斜率不存在时，可以直接写出直线方程，令直线与椭圆联立，得到交点坐标，验证以PQ为直径的圆不过坐标原点，当斜率存在时，直线与椭圆联立，消参，利用韦达定理，证明，解出k的值.（1）由题意，，即，，即 2分又得：∴椭圆的标准方程：． 5分(2)①当直线的斜率不存在时，直线的方程为联立，解得或，不妨令，，所以对应的“椭点”坐标，．而所以此时以为直径的圆不过坐标原点． 7分②当直线的斜率存在时，设直线的方程为消去得，设，则这两点的“椭点”坐标分别为由根与系数关系得： 9分若使得以为直径的圆过坐标原点，则而，∴即，即代入，解得：所以直线方程为或． 12分【考点】椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件.6.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B是椭圆C上的两点，△AOB的面积为.若A、B两点关于x轴对称，E为线段AB 的中点，射线OE交椭圆C于点P.如果＝t，求实数t的值．【答案】（1）＋y2＝1（2）t＝2或t＝【解析】(1)设椭圆C的方程为：(a＞b＞0)，则，解得a＝，b＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由于A、B两点关于x轴对称，可设直线AB的方程为x＝m(－＜x＜，且m≠0)．将x＝m代入椭圆方程得|y|＝，所以S△AOB＝|m| ＝.解得m2＝或m2＝.①又＝t＝t(＋)＝t(2m,0)＝(mt,0)，又点P在椭圆上，所以＝1.②由①②得t2＝4或t2＝.又因为t＞0，所以t＝2或t＝.7.双曲线的左右焦点分别为,且恰为抛物线的焦点,设双曲线与该抛物线的一个交点为,若是以为底边的等腰三角形,则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴焦点为，即，∵，∴，即，∴，则，即，∴．【考点】抛物线的标准方程及几何性质．8.已知双曲线＝1的左支上一点M到右焦点F2的距离为18，N是线段MF2的中点，O是坐标原点，则|ON|等于()A．4B．2C．1D．【答案】A【解析】设双曲线左焦点为F1，由双曲线的定义知，|MF2|－|MF1|＝2a，即18－|MF1|＝10，所以|MF1|＝8．又ON为△MF1F2的中位线，所以|ON|＝|MF1|＝4，所以选A．9.已知F1、F2为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足||＝3||，则此双曲线的渐近线方程为________．【答案】y＝±x【解析】由双曲线的性质可推得||＝b，则||＝3b，在△MF1O中，||＝a，||＝c，cos∠F1OM＝－，由余弦定理可知＝－，又c2＝a2＋b2，可得a2＝2b2，即＝，因此渐近线方程为y＝±x．10.如图，已知，，，分别是椭圆的四个顶点，△是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆．（1）求椭圆及圆的方程；（2）若点是圆劣弧上一动点（点异于端点，），直线分别交线段，椭圆于点，，直线与交于点．（ⅰ）求的最大值；（ⅱ）试问：，两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】（1），，（2）（ⅰ），（ⅱ）.【解析】（1）求椭圆标准方程，只需两个独立条件. 由题意知，，，所以，，所以椭圆的方程为，求圆的方程，有两个选择，一是求圆的标准方程，确定圆心与半径，二是求圆的一般方程，只需代入圆上三个点的坐标.本题两个方法皆简单，如易得圆心，，所以圆的方程为（2）（ⅰ）本题关键分析出比值暗示的解题方向，由于点在轴上，所以，因此解题方向为利用斜率分别表示出点与点的横坐标. 设直线的方程为，与直线的方程联立，解得点，联立，消去并整理得，，解得点,因此当且仅当时，取“=”，所以的最大值为．（ⅱ）求出点的横坐标，分析与点的横坐标的和是否为常数. 直线的方程为，与直线的方程联立，解得点，所以、两点的横坐标之和为．试题解析：（1）由题意知，，，所以，，所以椭圆的方程为， 2分易得圆心，，所以圆的方程为．4分（2）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，解得点， 6分联立，消去并整理得，，解得点，9分（ⅰ），当且仅当时，取“=”，所以的最大值为． 12分（ⅱ）直线的方程为，与直线的方程联立，解得点， 14分所以、两点的横坐标之和为．故、两点的横坐标之和为定值，该定值为． 16分【考点】椭圆与圆标准方程，直线与椭圆位置关系11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆＝1的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F.设过点T(t ，m)的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，其中m>0，y 1>0，y 2<0.(1)设动点P 满足PF 2－PB 2＝4，求点P 的轨迹； (2)设x 1＝2，x 2＝，求点T 的坐标；(3)设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)． 【答案】（1）x ＝（2）（3）见解析【解析】(1)解：设点P(x ，y)，则F(2，0)、B(3，0)、A(－3，0)．由PF 2－PB 2＝4，得(x －2)2＋y 2－[(x －3)2＋y 2]＝4，化简得x ＝，故所求点P 的轨迹为直线x ＝. (2)解：将x 1＝2，x 2＝分别代入椭圆方程，以及y 1>0，y 2<0得M 、N.直线MTA的方程为，即y ＝x ＋1.直线NTB 的方程为，即y ＝x －.联立方程组，解得所以点T 的坐标为.(3)证明：点T 的坐标为(9，m)，直线MTA 的方程为，即y ＝(x ＋3)．直线NTB 的方程为，即y ＝(x －3)．分别与椭圆＝1联立方程组，同时考虑到x 1≠－3，x 2≠3，解得 M、N(证法1)当x 1≠x 2时，直线MN 的方程为，令y ＝0，解得x＝1，此时必过点D(1，0)；当x 1＝x 2时，直线MN 的方程为x ＝1，与x 轴交点为D(1，0)，所以直线MN 必过x 轴上的一定点D(1，0)． (证法2)若x 1＝x 2，则由及m>0，得m ＝2，此时直线MN 的方程为x ＝1，过点D(1，0)．若x 1≠x 2，则m≠2.直线MD 的斜率k MD ＝，直线ND 的斜率k ND ＝，得k MD ＝k ND ，所以直线MN 过D 点．因此，直线MN 必过x 轴上的点D(1，0)．12.已知F是椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点,点P在椭圆C上,线段PF与圆（x-）2+y2=相切于点Q,且=2,则椭圆C的离心率等于()A．B．C．D．【答案】A【解析】记椭圆的左焦点为F′,圆(x-)2+y2=的圆心为E,连接PF′、QE.∵|EF|=|OF|-|OE|=c-=,=2,∴==,∴PF′∥QE,∴=,且PF′⊥PF.又∵|QE|=(圆的半径长),∴|PF′|=b.据椭圆的定义知:|PF′|+|PF|=2a,∴|PF|=2a-b.∵PF′⊥PF,∴|PF′|2+|PF|2=|F′F|2,∴b2+(2a-b)2=(2c)2,∴2(a2-c2)+b2=2ab,∴3b2=2ab,∴b=,c==a,=,∴椭圆的离心率为.13.设抛物线的焦点为，点，线段的中点在抛物线上.设动直线与抛物线相切于点，且与抛物线的准线相交于点，以为直径的圆记为圆．（1）求的值；（2）试判断圆与轴的位置关系；（3）在坐标平面上是否存在定点，使得圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）见解析（3）存在【解析】（1）判断抛物线的焦点位置，得到焦点坐标，利用中点坐标公式得到FA的中点坐标带入抛物线即可求的P的值.（2）直线与抛物线相切，联立直线与抛物线，判别式为0即可得到k,m之间的关系，可以用k 来替代m，得到P点的坐标，抛物线准线与直线的方程可得到Q点的坐标，利用中点坐标公式可得到PQ中点坐标，通过讨论k的取值范围得到中点到x轴距离与圆半径(PQ为直径)的大小比较即可判断圆与x轴的位置关系.（3）由(2)可以得到PQ的坐标(用k表示)，根据抛物线对称性知点在轴上，设点坐标为，则M点需满足，即向量内积为0，即可得到M点的坐标，M点的坐标如果为常数(不含k)，即存在这样的定点，如若不然，则不存在.试题解析：解：（1）利用抛物线的定义得，故线段的中点的坐标为，代入方程得，解得。
高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析
高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.已知圆经过椭圆的右焦点和上顶点．（1）求椭圆的方程；（2）过原点的射线与椭圆在第一象限的交点为，与圆的交点为，为的中点，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】本题考查直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合、化归与转化及函数与方程等数学思想．第一问，数形结合，令y=0，x=0即可分别求出c和b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，设出直线方程和P、Q点坐标，令直线与椭圆联立得到Q点横坐标，利用向量的数量积，将P、Q点坐标代入，得到关于k的表达式，利用导数求函数的最值；法二，将进行转化，变成，再利用配方法求最值.试题解析：（1）在中，令得，即，令，得，即， 2分由，∴椭圆：. 4分（2）法一：依题意射线的斜率存在，设，设 -5分得：，∴. 6分得：，∴， 7分∴. 9分．设，，令，得．又，∴在单调递增，在单调递减. 11分∴当时，，即的最大值为. 13分法二：依题意射线的斜率存在，设，设 5分得：，∴. 6分= 9分.设，则.当且仅当即.法三：设点，，6分= . 7分又，设与联立得： . 9分令. 11分又点在第一象限，∴当时，取最大值. 13分【考点】直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数.2.（本小题满分12分）已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.（1）求曲线的方程；（2）曲线在点处的切线与轴交于点.直线分别与直线及轴交于点，以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点在曲线上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？证明你的结论.【答案】（1）.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明见解析.【解析】（1）思路一：设为曲线上任意一点，依题意可知曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，得到曲线的方程为.思路二：设为曲线上任意一点，由，化简即得.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为，设，得，应用导数的几何意义，确定切线的斜率，进一步得切线的方程为.由，得.由，得.根据，得圆心，半径，由弦长，半径及圆心到直线的距离之关系，确定.试题解析：解法一：（1）设为曲线上任意一点，依题意，点S到的距离与它到直线的距离相等，所以曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为，设，则，由，得切线的斜率，所以切线的方程为，即.由，得.由，得.又，所以圆心，半径，.所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变.解法二：（1）设为曲线上任意一点，则，依题意，点只能在直线的上方，所以，所以，化简得，曲线的方程为.（2）同解法一.【考点】抛物线的定义，导数的几何意义，直线方程，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系.3.已知抛物线C:的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.(1)求抛物线C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A,B两点，若AB的垂直平分线与C相交于M,N两点，且A,M,B,N四点在同一个圆上，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）x-y-1=0或x+y-1=0.【解析】（1）设Q（x0，4），代入由中得x=，在根据抛物线的性质可得，解出p即可（2）设直线l的方程为，（m≠0）代入中得，直线的方程为，将上式代入中，并整理得.A（x1,y1）,B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),根据二次函数根与系数的关系可得y1+y2=4m，y1y2=－4，.然后求出MN的中点为E和AB的中点为D坐标的表达式，计算的表达式,根据求出m即可.试题解析：（1）设Q（x0，4），代入由中得x=，所以，由题设得，解得p=－2（舍去）或p=2.所以C的方程为.（2）依题意知直线l与坐标轴不垂直，故可设直线l的方程为，（m≠0）代入中得，设A（x1,y1）,B(x2,y2),则y1+y2=4m，y1y2=－4，故AB的中点为D（2m2+1,2m），，有直线的斜率为－m，所以直线的方程为，将上式代入中，并整理得.设M(x3,y3),N(x4,y4),则.故MN的中点为E（）.由于MN垂直平分AB，故A,M,B,N四点在同一个圆上等价于,从而,即，化简得m2-1=0，解得m=1或m=－1，所以所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.【考点】1.抛物线的性质和方程；2.直线方程以及直线与曲线的位置关系.4.如图，已知椭圆的右焦点为，点是椭圆上任意一点，圆是以为直径的圆．（1）若圆过原点，求圆的方程；（2）写出一个定圆的方程，使得无论点在椭圆的什么位置，该定圆总与圆相切,请写出你的探究过程．【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）因为是圆的直径，所以当圆过原点时，一定有，由此可确定点的位置并进一步求出圆的标准方程；（2）设圆M的半径为,连结，显然有根据椭圆的标准方程知,所以，从而找到符合条件的定圆.解：（1）解法一：因为圆过原点，所以，所以是椭圆的短轴顶点，的坐标是或，于是点的坐标为或，易求圆的半径为所以圆的方程为或 6分解法二：设，因为圆过原点，所以所以，所以，所以点于是点的坐标为或，易求圆的半径所以圆的方程为或 6分（2）以原点为圆心，5为半径的定圆始终与圆相内切，定圆的方程为 8分探究过程为：设圆的半径为，定圆的半径为，因为，所以当原点为定圆圆心，半径时，定圆始终与圆相内切．（13分）【考点】1、椭圆的定义与标准方程；2、圆的定义与标准方程.5.已知，是双曲线的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点与点关于直线对称，则该双曲线的离心率为A．B．C．D．【答案】【解析】即双曲线的一条渐近线方程.过焦点且垂直渐近线的直线方程为：，与联立，解之可得故对称中心的点坐标为（）；由中点坐标公式可得对称点的坐标为，将其代入双曲线的方程可得结合化简可得，故．故选.【考点】双曲线的几何性质，直线方程，两直线的位置关系.6.已知F1、F2为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足||＝3||，则此双曲线的渐近线方程为________．【答案】y＝±x【解析】由双曲线的性质可推得||＝b，则||＝3b，在△MF1O中，||＝a，||＝c，cos∠F1OM＝－，由余弦定理可知＝－，又c2＝a2＋b2，可得a2＝2b2，即＝，因此渐近线方程为y＝±x．7.抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．3【答案】B【解析】设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，分析可得，当m=时，取得最小值为，故选B．8.已知椭圆和椭圆的离心率相同，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一点，过点作直线交椭圆于、两点，且恰为弦的中点。
圆锥曲线综合训练题(分专题,含答案)
圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程． （2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程． （1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系． 解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程. 解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-ky k x . 由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③ 由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．∴所求椭圆方程为1315422=+y x 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即)32,325(P ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,13412252222b a ba 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a （1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程．解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1.（2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ， 即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=uu u v uuu v若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =， 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠， 由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即 ()11,OP x y =u u u r ，()22,OQ x y =u u u r，于是12120x x y y +=，即()()21212110ky y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，2224(1)40k k k k k +-+=g ，解得4k =-或0k =（舍去），又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ）Θe c a =∴=2422， Θc a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±334分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分） （III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN⊥MQ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩L L L L L L L L ………3分 由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN⊥MQ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。
圆锥曲线综合练习及答案
圆锥曲线综合练习例1、椭圆12322=+y x 内有一点P （1，1），一直线过点P 与椭圆相交于P 1、P 2两点，弦P 1P 2被点P 平分，求直线P 1P 2的方程。
（2x+3y-5=0）备份：1.过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被M 平分，求此弦所在直线方程。
2.椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，求这弦所在直线的方程.变式1、若椭圆122=+by ax 与直线1=+y x 交于A 、B 两点，且22||=AB ，又M 为AB 的中点，若O 为坐标原点，直线OM 的斜率为22，求该椭圆的方程。
（132322=+y x ）变式2、斜率为1的直线与双曲线1222=-y x 相交于A 、B 两点，又AB 中点的横坐标为1。
（1）求直线的方程 （2）求线段AB 的长 （1）y=x+1 (2)AB=62变式3、已知抛物线x y C 42=：的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点。
（1）若的方程；求直线l ,316|AB |=（2）求|AB|的最小值变式4、已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点()4,1M ，直线交椭圆于不同的两点A ，B. （1）求椭圆的方程； （2）求的取值范围。
例2、已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A ,.直线(1y k x =-）与椭圆C 交于不同的两点M,N.(Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)当△AMN得面积为3时,求k 的值. 解:(1)由题意得2222a c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得b =.所以椭圆C 的方程为22142x y +=.(2)由22(1)142y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)4240k x k x k +-+-=.设点M,N 的坐标分别为11(,)x y ,22(,)x y ,则11(1)y k x =-,22(1)y k x =-,2122412k x x k +=+,21222412k x x k -=+. 所以. 由因为点A(2,0)到直线(1y k x =-）的距离d =所以△AMN的面积为1||2S MN d =⋅=.由2||123k k =+,解得1k =±. 变式1、1已知21F F 分别是椭圆C :22a x +22by =1(0>>b a )的左、右焦点,A 是椭圆C 的上顶点,B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点,1260F AF ο∠=.(Ⅰ)求椭圆C 的离心率; (Ⅱ)已知1AF B ∆面积为403,求,a b 的值 【解析】(I)1216022c F AF a c e a ο∠=⇔=⇔== (Ⅱ)设2BF m =;则12BF a m =-在12BF F ∆中,22212122122cos120BFBF F F BF F F ο=+-⨯⨯ 2223(2)5a m m a am m a ⇔-=++⇔= [来源:学|科|网Z|X|X|K]1AF B ∆面积21113sin 60()10,5,225S F F AB a a a a c b ο=⨯⨯⨯⇔⨯⨯+====变式2、已知抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =u u u r u u u rg ，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．解、（Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，，222(2)B x x ，，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=， 由韦达定理得122kx x +=，121x x =-，∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 将22y x =代入上式得222048mk k x mx -+-=， Q 直线l 与抛物线C 相切，2222282()048mk k m m mk k m k ⎛⎫∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭，m k ∴=．即l AB ∥．（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =u u u r u u u rg ，则NA NB ⊥，又M Q 是AB 的中点，1||||2MN AB ∴=． 由（Ⅰ）知121212111()(22)[()4]222M y y y kx kx k x x =+=+++=++22142224k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． MN ⊥Q x 轴，22216||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-=．又12||||AB x x =-===． 2168k +∴=，解得2k =±．即存在2k =±，使0NA NB =u u u r u u u rg ．例3、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(。
圆锥曲线综合练习题有答案推荐文档
9圆锥曲线综合练习C . 2D . 2728 D. 1610 .在正△ ABC 中，D<^AB , E<^AC ，向量=1BC ，则以B ,C 为焦点，且过D , E 的双曲线离心率为212 .已知A 1, A 分别为椭圆C:xy +每=1（aAbA0）的左右顶点，椭圆 C 上异于A , A 2的点Pa b 441. 一、选择题：2 2已知椭圆―一 +-^—10 -m m -2A . 4B . 5=1的长轴在 y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ 2. 直线x-2y +2 =0经过椭圆C . 7 2 2x昇 孑b 2C.虽 5D. 8 =1（a Ab ：>0）的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ 3. 设双曲线B .-22 2冷=1 (a >0)的渐近线方程为 a 9 B . 33x±2y =0，贝U a 的值为（4. 2若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线X 2+— =1的离心率是（mC.逅或逅2 2B. 752 2 冷—打=1（^0 , b>0），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 a b点.若OM 丄ON ，则双曲线的离心率为（ ） A.心 B .竺 C . 土逅2 2已知双曲线 M , N 两点，O 为坐标原6. 已知点 F i , F 2是椭圆 22rrx +2y =2的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1 + PF 2 |的最小值是7. 2 2—=1上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为（25 9A . 22 或 2B . 7C . 222 2P 为双曲线 一-Z=1的右支上一点，9 16 的最大值为（）A . 6 双曲线 D. 2M , N 分别是圆(x + 5)2 +y 2 =4 和(x-5)2 +y 2=1上的点，则|PM l —IPNI9. 已知点 2P （8, a ）在抛物线y=4px 上，且P 到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离为（ 11.两个正数a , b 的等差中项是-，一个等比中项是 2品，且a Ab ，则抛物线y 2=-的焦点坐标是（2 aB . （— , 0） 5 A.(诗，0)1 C . (一 , 0)5D . (― ， 0)C . 5922F 2分别是椭圆 笃+占=1(a >b 乂)的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点， 点B 也在椭圆 上,a b16•若P(a, b)是双曲线4X 2—16y 2=m(m H0)上一点，且满足a-2b 》0 , a+2b >0，则该点P 一定位于双曲线(2=1，过P(2 , -1)的直线L 与双曲线只有一个公共点，则直线 I 的条数共有(B . 3条21.已知以F 1(-2 , 0) , F 2(2 , 0)为焦点的椭圆与直线 x + 73y +4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为(C. 2^72 2 2 222 .双曲线 令-占=1与椭圆Z2+^=1(a>0, m>b>0)的离心率互为倒数，那么以 a , b, m 为边长的三角形是 a b m b恒满足k pA k pq =—，则椭圆C 的离心率为（A. 913.已知R 、且满足O3 +OB =0(O 为坐标原点)，鴉"FW —0 ，若椭圆的离心率等于 当，则直线AB 的方程是(D . y =——X2C ，迟 214.已知点 P 是抛物线 y 2=2x 上的一个动点, 则点 P 到点M (0 , 2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为C. 75215 .若椭圆— =1与双曲线m n 2 2X y “ —=1(m ,n ,p qP , q 均为正数)有共同的焦点F i , F 2, P 是两曲线的一个公共点, 则|PF i |厅F 2I 等于C . m -pD .m 2 - p 2A .右支上B .上支上 C.右支上或上支上 D.不能确定17.如图，在^ABC 中，N CAB =N CBA =30：' , AC , BC 边上的高分别为 BD , AE ，则以A, B 为焦点，且过D ,的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为( A. 43B . 1C . 2/3218 .方程 一P —— +—丄——尸 sin V 2 -sin “3 cos "2 —cosA .焦点在X 轴上的椭圆B .焦点在X 轴上的双曲线 C.焦点在y 轴上的椭圆D.焦点在y 轴上的双曲线2 2X y 3!19 .已知F 1, F 2是椭圆 尹+詁=1(a 》b 〉0)的左、右焦点，点 P 在椭圆上，且 NR P F 2 =-记线段PR 与y 轴的交点=1表示的曲线是(为Q , O 为坐标原点，若 △ FOQ 与四边形OF 2PQ 的面积之比为1:2，则该椭圆的离心率等于B . ^/^-3C . 4-273D . 43-120.已知双曲线方程为 C. 2条( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等边三角形23.已知点 A(—1 , 0), B(1, 0)及抛物线y 2=2x ，若抛物线上点 P 满足I PA = m | PB ，则m 的最大值为(D .返 24 .设 F i , 三角形, 1 A .- 2 F 2是椭圆E a E 的离心率为(B . ? 3 25.等轴双曲线 实轴长为( A .迈 2=1(^ >0)的左、右焦点， 3 C.- 4C 的中心在原点，焦点在 3P 为直线上一点，△ F 2PF 1是底角为30的等腰2x 轴上，C 与抛物线y =16x 的准线交于A , B 两点,|AB|=4j3 ,则 C 的C. 4 C 的对称轴垂直， 26 .已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与 则^ ABP 的面积为( ) A . 18 B . 2427 .中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点 C .逅2B .丽 C. 36 28 .椭圆ax +by 2=1与直线 y =1 _x 交于 A , B 两点 I 与C 交于A, B 两点，I AB|=12 , D . 48 (4 , - 2)，则它的离心率为( D .並 2 过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 P 为C 准线上一点,D.巫 27 29.若椭圆 2—十工=1(m >0, m n n >0)与曲线x 2+y 2=|m — n|无焦点，则椭圆的离心率e 的取值范围是( A.(Y ，1) B. (0, C .(¥ ,1)D . (0，Y) 2 2 30 .已知F 1,F 2分别是椭圆亍匕二1的左、右焦点， A 是椭圆上一动点，圆 C 与F 1A 的延长线、F 1F 2的延长线以 及线段AF 2相切，若M (t , 0)为一个切点，则( A . t =2 B . t 》2 C . tc2 D . t 与2的大小关系不确定 31.如图，过抛物线 y 2=2 px( p>0)的焦点 F 的直线l 交抛物线于点 A, B ，交其准线于点 C ，若|BC |=2| BF |，且 | AF |=3，则此抛物线方程为( =9x =6x =3x =73x2x 2 32 .已知椭圆 一+y =1的焦点为F 1、4F 2 , 在长轴 A I A 2上任取一点 M,过M 作垂直于AA 2的直线交椭圆于 P,使得PF 1 PF 2 c O 的M 点的概率为246 C. D. 33 .以 O 为中心, F i ,F 2为两个焦点的椭圆上存在一点 M ，满足IMF 1 |=2|MO |=2|MF 2|，则该椭圆的离心率为 34.已知点F i , F 2是椭圆 +2 y 2 =2的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点， 那么I PF 1 + PF 2I 的最小值是（ 35•在抛物线 2y =x + ax —5（a H0）上取横坐标为x^ , x^2的两点，过这两点引一条割线, 有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x 2+5y 2=36相切，则抛物线的顶点坐标为（ A . (-2 , -9)36 .若点O 和点F 分别为椭圆 4 B . 3 C . 6 B . (0, -5) 2 2 —+=1的中心和左焦点, 3 D . 8 C. (2 , -9) D. (1,-6) 点P 为椭圆上的任意一点, 则0P FP 的最大值为（37 .直线3x -4y +4 =0与抛物线 =4y 禾廿圆 2 2x + (y —1) =1从左到右的交点依次为 C，D，则器的值为B .丄 16 38 .如图，双曲线的中心在坐标原点 线的左焦点， 7 577 777 145方 14A. 1639 .设双曲线 直线 AB 与FC 相交于点 1 4 C 分别是双曲线虚轴的上、下端点,2 2 C :笃一占=1（a A0, b >0）的左、右焦点分别为a b F i , B 是双曲线的左顶点, ） F 是双曲F 2，若在双曲线的右支上存在一点 P ，使得| PF i |=3| PF 2 |，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为（ A. (1, 2] B .(血,2] C .(近,2) (1, 2) 40 .已知A （x 1 , yj 是抛物线y 2=4x 上的一个动点, 2 2B （x 2，y 2）是椭圆Vt^1上的一个动点，呵0）是一个定点，若AB // x 轴，且X 1 <X 2，则△NAB 的周长l 的取值范围为2C. 22 244 .已知以椭圆 务+ ■y〒=1（a>b>0）的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该 a b 椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. （0，曽 B .（呼,1）P,则|PF 2|的值等于（ B . 83的中点在双曲线上, 则双曲线的离心率是D .应2 248 .直线I 是双曲线 务—£ =1（a >0,b >0）的右准线，以原点a b10 A. (-3- '5)2 x41.设双曲线-2 a C. (10 V11 D. q '5)—占=1（a 沁，b >0）的离心率e = 2 ,右焦点F （c ,0），方程ax 2+bx-c = 0的两个根分别为 为，x ?,则点P （x 1 , x 2）在（ 「 2 A .圆x=10内 2 2 B .圆 x +y =10 上 + y 2 =10外 D .以上三种情况都有可能2y 、 —孑=1（a ;>0, b >0）的右焦点 线段FP 的中点，则双曲线的离心率是（ 42.过双曲线 2 x—2 a2 2 F 作圆X + y =a 的切线FM （切点为M ），交y 轴于点P,若M 为x243 .若双曲线 -7 -子y 轴上,则该双曲线离心率的取值范围为（y=1 （a ：>0,b>0）上不存在点P 使得右焦点 F 关于直线 OP （0为双曲线的中心）的对称点在B. [72,均C. (1J 5] (1,问X 246 .已知F 1、F 2是双曲线 一2 a=1 (a> 0, b> 0) 的两焦点，以线段 F 1F 2为边作正三角形 MF 1F 2，若边 MF 1A . 4+2V3B. V 3+1D.247 .已知双曲线务. a则该双曲线离心率2=1（a >0, b :>0）的左顶点、右焦点分别为 b 2' e 的值为（A 、F,点 B(0, b)，若 BA+ BF = BA-BF ,B • ^/3C .(牛1,1)D .(0,仔)2 245 .椭圆G : — +— =1的左准线43I ，左.右焦点分别为F i . F 2,抛物线C 2的准线为I ，焦点是F 2, C i 与C 2的一个交点为 A .430为圆心且过双曲线焦点的圆被直线I 分成弧长为2:1的两段，则双曲线的离心率为 ()42MO|-|M T 卜 b-aMO|-|MT | = b-a2Z P F 1F 2PF 2F 1，其中F I ,F 2为双曲线C i 的两个焦点，则双曲线51 .设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F i , F 2 , 若曲线r 上存在点P 满足PF j : F 1F 2I J PF 2I =4:3:2心，右 Sx IPF 1 =$△ IPF 2 足 IF 1F 2 成立,二、填空题:|AB |=1x 轴上，且长轴长为 4,离心率为丄的椭圆的方程为2255. 9.已知双曲线X 2—(=1的一条渐近线与直线 X —2y+3=0垂直，则aa2256 .已知P 为椭圆一+仏=1上的点，F 1 , F 2是椭圆的两个焦点，9 42 22257.已知双曲线 笃-与=(a >0, b A0)和椭圆一+—=1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,a b 16 9则双曲线的方程为 ___________________ .2 249.从双曲线=1@ A0,b 》0)的左焦点a 2b 2F 引圆 xF 2=a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO | —|MT |与b - a 的大小关系为C.MO |-|MT |c b -aD .不确定.50 .点P 为双曲线C i :22—2—= [(a ;>0,b>0)和 圆 C?: a b2 丄 22. .2”x+y=a+b 的个交点，且A .巧B .1+72C.率等于1十3 A .-或-2 252 •已知点P 为双曲线 2 B . 2或 232 2笃=1(a >0, b >0)右支上一点，F 1 , F 2分别为双曲线的左、右交点, a bC.丄或22I 为△PF 2F 2的内2a B.a J a 2m 2C.C i 的离心率为(，则曲线r 的离心则A 的值为53 .已知F i , F 2为椭圆2 2釘計1的两个焦点,过F i 的直线交椭圆于A, B 两点.若|F 2A| + |F 2B|=12 ,则54.中心在原点，焦点在 且 N F1P F 2 =6O ",贝u △ F 1PF 2 的面积2 2 2 258 .若双曲线 冷—占=1(^0 , b>0)的一条渐近线与椭圆 —+乞=1的焦点在x 轴上的射影恰为该椭圆的焦点，则 a b 4 3双曲线的离心率为 ________________ . 2 259.已知双曲线Zr=1(a ；>0, b>0)的左、右焦点分别为F 1 , F 2 ,过点F ?做与x 轴垂直的直线与双曲线一个焦点a bP ，且N PF 1F 2 =30，则双曲线的渐近线方程为60•已知F 1、F 2分别为椭圆 一+L=1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，Q 是y 轴上的一个动点，若|函|-|左25 9贝y PQ (PR -PF2)=. 61 •已知圆C : X2 3 4 5+y 2+6X +8y +21 =0，抛物线y 2=8x 的准线为I ，设抛物线上任意一点 P 到直线I 的距离为则m 十| PC |的最小值为 ______________ .2 262.设双曲线=1的右顶点为A ，右焦点为F •过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点9 16则^ AFB 的面积为.265.已知抛物线 C:y =2p x( p A0)过点 A(1, - 2). (I)求抛物线 C 的方程，并求其准线方程；(n)是否存在平行于 OA ( O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线 OA 与L 的距离等 于 逅？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 5 66.已知抛物线X 2=2 py(p >0). P 点为抛物线上的动点，点 P 在x 轴上的射影是点 M ，点A 的坐标是(4 , -2)，且|PA| + | PM I 的最小4.求抛物线的方程；设抛物线的准线与 y 轴的交点为点E ，过点E 作抛物线的切线，求此切线方程；1=4 ,263 .已知直线l 1：4x-3y + 6=0和直线b ： x = 0 ,抛物线y三、解答题:64.已知椭圆 (I)求椭圆 (n)若直线2 2 C :笃+爲=1(a Ab >0)的两个焦点为h , F 2,a bC 的方程；l 过点M (-2 ,1)，交椭圆C 于A, B 两点，且点M 恰是线段AB 的中点，求直线l 的方程.4 14呼七十F2蔦.(I)已知值是(ii)(n)设过抛物线焦点F 的动直线l 交抛物线于A , B 两点，连接AO , BO 并延长分别交抛物线的准线于 C , D 两点, 求证：以CD 为直径的圆过焦点 F .2的距离之和的最小值2 267.如图所示，已知椭圆 0:4 +詁=1但汕：＞0) , A i , A2分别为椭圆C的左、右顶点.(I)设F i , F2分别为椭圆C的左、右焦点，证明：当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时，|PF i|取得最小值与最大值；(n)若椭圆C上的点到焦点距离的最大值为C相交于A , B两点(A, B不是左、右顶点)，且满足AA2丄BA2 , 证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标.2 2X y68.已知椭圆C:弋=1(a Ab A0)的离心率a b是该椭圆的一个顶点.(I)求椭圆C的方程；2(n)已知圆0:x2+y y上的切线I与椭圆相交于3定点的坐标；如果不是，请说明理由.e =——2，左、右交点分别为 F i , F2，抛物线—4j2x的交点F恰好B两点，那么以AB为直径的圆是否经过定点？如果时，求出3,最小值为1,求椭圆C的标准方程;(川)若直线l:y=kx +m与(n)中所述椭圆。
圆锥曲线习题及答案
圆锥曲线习题及答案圆锥曲线习题及答案圆锥曲线是高中数学中的一个重要知识点，它是解析几何中的一个分支，涉及到椭圆、双曲线和抛物线这三种曲线。
掌握圆锥曲线的性质和解题方法，不仅可以帮助我们解决几何问题，还能提高我们的逻辑思维和解题能力。
在这篇文章中，我将为大家提供一些圆锥曲线的习题及答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
1. 椭圆习题习题1：已知椭圆的长轴长为8，短轴长为6，求其离心率和焦点坐标。
解答：椭圆的离心率定义为离心距与长轴的比值。
离心距可以通过勾股定理计算得到，即离心距的平方等于长轴的平方减去短轴的平方。
根据这一定义，我们可以计算出离心距为√(8^2-6^2)=√(64-36)=√28。
因此，离心率为√28/8=√7/2。
焦点坐标可以通过离心率和长轴的长度计算得到，即焦点坐标的x坐标为±(长轴/2)*离心率，y坐标为0。
所以焦点坐标为(±√7,0)。
习题2：已知椭圆的焦点坐标为(±3,0)，离心率为2/3，求其长轴和短轴的长度。
解答：根据椭圆的离心率定义，我们可以得到离心距为(长轴/2)*离心率。
由于离心率为2/3，离心距为(长轴/2)*(2/3)。
而离心距可以通过焦点坐标计算得到，即离心距的平方等于焦点坐标的x坐标的平方减去长轴的平方。
根据这一关系，我们可以得到(长轴/2)*(2/3)^2=(3/2)^2-长轴^2/4。
通过解这个方程，我们可以得到长轴的长度为8/5。
由于椭圆的长轴是短轴的两倍，所以短轴的长度为8/10=4/5。
2. 双曲线习题习题1：已知双曲线的离心率为2，焦点坐标为(±4,0)，求其长轴和短轴的长度。
解答：双曲线的离心率定义为离心距与焦点之间的距离的比值。
根据焦点坐标和离心率的定义，我们可以得到离心距为焦点坐标的x坐标的绝对值。
由于离心率为2，离心距为4，所以焦点坐标的绝对值为4。
而双曲线的长轴和短轴可以通过焦点坐标和离心率计算得到，即长轴的长度为2*离心距，短轴的长度为2*焦点坐标的绝对值。
圆锥曲线综合训练题三[定义及最值]题四[弦长及面积]
![圆锥曲线综合训练题三[定义及最值]题四[弦长及面积]](https://img.taocdn.com/s3/m/906cfe1da216147917112867.png)
圆锥曲线综合训练题三[定义与最值]17、已知F 是椭圆225945x y +=的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点．（1）求32PA PF +的最小值，并求点P 的坐标；（2）求PA PF +的最大值和最小值．解:(1)由椭圆的第二定义转化知32PA PF +的最小值是211，此时P )1,556(-；(2)依题意，由椭圆的第二定义知)(6)6(22PF PA PF PA PF PA -+=-+=+ ∵222=≤-AF PF PA ∴222≤-≤-PF PA∴)(26262=+≤+≤-三点共线时取、、当且仅当F A P PF PA 18、设F 1、F 2分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点，若P 是该椭圆上的一个动点，（Ⅰ）求12PF PF ⋅的最大值和最小值;（Ⅱ）求21PF PF ⋅的最大值和最小值．解：易知2,1,a b c ===12(0),0).F F设P （x, y ），则22222121(,),)313(38).44x PF PF x y x y x y x x ⋅=-⋅-=+-=+--=-因为[2,2]x ∈-，故当x =0，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ⋅有最小值-2. 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ⋅有最大值1.19、若双曲线过点，其渐近线方程为y =.（I ）求双曲线的方程; （II ）已知A )2,3(，)0,3(B ,在双曲线上求一点P ,使PB PA 33+的值最小． 解：（Ⅰ）12y x 22=-（II ）)2,3(P ,最小值为333- 20、以椭圆131222=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．解：如图所示，椭圆131222=+y x 的焦点为()031，-F ，()032，F ． 点1F 关于直线09=+-y x l ：的对称点F 的坐标为（－9，6），直线2FF 的方程为032=-+y x ． 解方程组⎩⎨⎧=+-=-+09032y x y x 得交点M 的坐标为（－5，4）．此时21MF MF +最小．所求椭圆的长轴：562221==+=FF MF MF a ，∴53=a ，又3=c ，∴()3635322222=-=-=c a b ．因此，所求椭圆的方程为1364522=+y x ． 21、已知动点P 与双曲线22x －32y =1的两个焦点F 1、F 2的距离之和为6．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若1•2PF =3，求⊿PF 1F 2的面积； （Ⅲ）若已知D(0,3)，M 、N 在轨迹C 上且DM =λDN ，求实数λ的取值范围．解：①92x +42y =1；②2；③[51,5]22、 E 、F 是椭圆2224x y +=的左、右焦点，l 是椭圆的右准线，点P l ∈，过点E 的直线交椭圆于A 、B 两点.（1）当AE AF ⊥时，求AEF ∆的面积；（2）当3AB =时，求AF BF +的大小；（3）求EPF ∠的最大值．解：（1）2241282AEF m n S mn m n ∆+=⎧⇒==⎨+=⎩（2）因484AE AF AB AF BF BE BF ⎧+=⎪⇒++=⎨+=⎪⎩， 则 5.AF BF +=（3）设)(0)P t t > ()tan EPF tan EPM FPM ∠=∠-∠221((166t t t t t t -=-÷+==≤++，当t =30tan EPF EPF ∠=⇒∠= 23、已知定点)1,0(A 、)1,0(-B 、)0,1(C ，动点P 满足：2||−→−−→−−→−=⋅PC k BP AP .（1）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的图形；（2）当2=k 时，求||−→−−→−+BP AP 的最大值和最小值． 解：(1)设动点P 的坐标为),(y x ，则)1,(-=−→−y x AP ，)1,(+=−→−y x BP ，),1(y x PC -=−→−. ∵2||−→−−→−−→−=⋅PC k BP AP ，∴[]2222)1(1y x k y x +-=-+，即 012)1()1(22=--+-+-k kx y k x k .若1=k ，则方程为1=x ，表示过点)0,1(且平行于y 轴的直线.若1≠k ，则方程为222)11()1(ky k k x -=+-+， 表示以)0,1(k k -为圆心，以为半径|1|1k -的圆. (2)当2=k 时，方程化为1)2(22=+-y x .)2,2()1,()1,(y x y x y x BP AP =++-=+−→−−→−∴222||y x BP AP +=+−→−−→−. 又∵1)2(22=+-y x ，∴ 令θθsin ,cos 2=+=y x ，则θcos 4522||22+=+=+−→−−→−y x BP AP∴当1cos =θ时，||−→−−→−+BP AP 的最大值为6，当1cos -=θ时，最小值为2.24、点A 、B 分别是以双曲线162x 1202=-y 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆C 上，且位于x 轴上方，0=⋅ （1）求椭圆C 的的方程；（2）求点P 的坐标；（3）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，点M 到直线AP 的距离等于|MB|，求椭圆上的点到M 的距离d 的最小值．解（1）已知双曲线实半轴a 1=4，虚半轴b 1=25，半焦距c 1=62016=+， ∴椭圆的长半轴a 2=c 1=6，椭圆的半焦距c 2=a 1=4，椭圆的短半轴2b =204622=-，∴所求的椭圆方程为+362x 1202=y （2）由已知)0,6(-A ,)0,4(F ，设点P 的坐标为),(y x ，则),,4(),,6(y x FP y x AP -=+=由已知得 22213620(6)(4)0x y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-+=⎩则018922=-+x x ，解之得623-==x x 或，由于y>0，所以只能取23=x ，于是325=y ，所以点P 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛325,239分（3）直线063:=+-y x AP ，设点M 是)0,(m ，则点M 到直线AP 的距离是26+m ，于是626-=+m m ，又∵点M 在椭圆的长轴上，即 66≤≤-m 2m ∴=∴当2=m 时，椭圆上的点到)0,2(M 的距离222222549(2)4420()15992x d x y x x x =-+=-++-=-+又66x -≤≤ ∴当29=x 时，d 取最小值15 25、已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP ∆=，且,3O F F P t O M O P j ⋅==+u u ur u u r u u r u u ur.（I ）设4t θ<<求向量OF 与FP 的夹角u u v u u v 的取值范围；（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2c t c 当-==取最小值时，求椭圆的方程.解：（1）由34sin cos ,sin 34||||,sin ||||2132θθθθt FP OF FP OF ===⋅⋅⋅=由得，得.34tan t=θ…………………………………………………………………3分],0[3tan 1344πθθ∈<<∴<< t ∴夹角θ的取值范围是（3,4ππ） ………………………………………………………………6分（2）).0,(),,(),,(0000c y c x y x P =-则设2000000(,)(,0)()1)1||||2OFPOF FP x c y c x c c t c x S OF y y ∆∴⋅=-⋅=-==∴==⋅==…………………………………………………………………………………………8分2||OP x ∴=10分 ∴当且仅当)32,32(,,62||,2,343±===c cc 此时取最小值时即 )3,2()1,0()32,32(33=+=∴ 或)1,2()1,0()32,32(33-=+-=OM …………12分 椭圆长轴12,48)03()22()03()22(222222==∴=-+++-+-=b a a或2171,2171171)01()22()01()22(222222+=+=∴+=--+++--+-=b a a 故所求椭圆方程为1121622=+y x .或12171217922=+++y x …………14分 26、已知点)1,0(F ，一动圆过点F 且与圆8)1(22=++y x 内切．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设点)0,(a A ，点P 为曲线C 上任一点，求点A 到点P 距离的最大值)(a d ；（Ⅲ）在10<<a 的条件下，设△POA 的面积为1S （O 是坐标原点，P 是曲线C 上横坐标为a 的点），以)(a d 为边长的正方形的面积为2S ．若正数m 满足21mS S ≤，问m 是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由．解（Ⅰ）设动圆圆心为),(y x M ，半径为r ，已知圆圆心为)1,0(-E ， 由题意知r MF =||，r ME -=22||，于是22||||=+MF ME ，所以点M 的轨迹C 是以E 、F 为焦点，长轴长为22的椭圆，其方程为1222=+y x ． （Ⅱ）设),(y x P ，则2222)()(||2222222++--=-+-=+-=a ax x x a x y a x PA 22)(22+++-=a a x ，令22)()(22+++-=a a x x f ，]1,1[-∈x ，所以，当1-<-a ，即1>a 时)(x f 在]1,1[-上是减函数，[]2max )1()1()(+=-=a f x f ； 当11≤-≤-a ，即11≤≤-a 时，)(x f 在],1[a --上是增函数，在]1,[a -上是减函数，则[]22)()(2max +==a a f x f ；当1>-a ，即1-<a 时，)(x f 在]1,1[-上是增函数，[]2max )1()1()(-==a f x f ．所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤≤-+-<-=1,111,221,1)(2a a a a a a a d ．（Ⅲ）当10<<a 时,)22,(2a a P -±,于是)1(22121a a S -=,2222+=a S ,（12分） 若正数m 满足条件，则)22()1(22122+≤-a m a a ，即)1(4)1(222+-≥a a a m ，22222)1(8)1(+-≥a a a m ，令2222)1(8)1()(+-=a a a a f ，设12+=a t ，则)2,1(∈t ，12-=t a ， 于是641431411328123818)2)(1()(22222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=--=t t tt t t t t t a f ， 所以，当431=t ，即)2,1(34∈=t 时，641)]([max =a f ，即6412≥m ，81≥m ．所以，m 存在最小值81．27、已知点M （-2，0），N （2，0），动点P 满足条件|PM |-|PN |=22. 记动点P 的轨迹为W . （1）求W 的方程；（2）若A 、B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求∙的最小值． （1）由|PM |-|PN |=22知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a =2. 又半焦距c =2，故虚半轴长b =.222=-c所以W 的方程为12222=-y x ，x ≥2.（2）设A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2）.当AB ⊥x 轴时，x 1=x 2，y 1=y 2，从而·=x 1x 2+y 1y 2=.22121=-y x当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y =kx +m ，与W 的方程联立，消去y 得（1-k 2）x 2-2kmx -m 2-2=0，故x 1+x 2=212k km -，x 1x 2=1222-+k m ， 所以·=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+（kx 1+m ）（kx 2+m ）=（1+k 2）x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2=.142122121)2)(1(2222222222-+=-+=+-+-++k k k m k m k k m k 又因为x 1x 2>0，所以k 2-1>0，从而·>2. 综上，当AB ⊥x 轴时，OA ·OB 取得最小值2.28、一束光线从点)0,1(1-F 出发，经直线032:=+-y x l 上一点P 反射后，恰好穿过点)0,1(2F ．（Ⅰ）求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标；（Ⅱ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；（Ⅲ）设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 上的动点，求点Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q 的坐标．解：（Ⅰ）设1F '的坐标为),(n m ，则211-=+m n 且032212=+--⋅nm ．……2分 解得52,59=-=n m ， 因此，点 1F '的坐标为)52,59(-． …………………4分（Ⅱ）11PF F P =' ，根据椭圆定义， 得||||||22121F F PF F P a '=+'=22)052()159(22=-+--=，……………5分 2=∴a ，112=-=b ．∴所求椭圆方程为1222=+y x ． ………………………………7分 （Ⅲ）22=ca ，∴椭圆的准线方程为2±=x ． …………………………8分 设点Q 的坐标为)32,(+t t )22(<<-t ,1d 表示点Q 到2F 的距离，2d 表示点Q 到椭圆的右准线的距离． 则10105)32()1(2221++=++-=t t t t d ，22-=t d ．22221)2(225210105-++⋅=-++=t t t t t t d d ， ……………………………10分令22)2(22)(-++=t t t t f )22(<<-t ，则)(t f 在34-=t 时取得最小值． ………………………………13分 因此，21d d 最小值＝22)34(5=-⋅f ，此时点Q 的坐标为)31,34(-．…………14分注：)(t f 的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．29、设F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左焦点，直线l 为其左准线，直线l 与x 轴交于点P ，线段MN 为椭圆的长轴，已知：.||2||,8||MF PM MN ==且（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点P 的直线与椭圆相交于不同两点A 、B 求证：∠AFM=∠BFN ；（3）求三角形ABF 面积的最大值．解（1）48||=∴=a MN122)(1210132)(2||2||22222=-==∴==⇒=+--=-=c a b c e c e e c a a c a MF PM 舍去或即得又 1121622=+∴y x 椭圆的标准方程为………………………（文6分，理4分）（2）当AB 的斜率为0时，显然.0=∠=∠BFN AFM 满足题意当AB 的斜率不为0时，设),(),,(2211y x B y x A ，AB 方程为,8-=my x 代入椭圆方程整理得014448)43(22=+-+my y m 则431444348),43(1444)48(22122122+=⋅+=++⨯-=∆m y y m my y m m662222112211-+-=+++=+∴my y my y x y x y k k BF AF 0)6)(6()(62212121=--+-=m y m y y y y m y .,0BFN AFM k k BF AF ∠=∠=+∴从而综上可知：恒有BFN AFM ∠=∠.………………………………（9分）（3）43472||||212212+-=-⋅=-=∆∆∆m m y y PF S S S PAFPBF ABF 33163272416437216)4(34722222=⋅≤-+-=+--=m m m m当且仅当32841643222=-=-m m m 即（此时适合△＞0的条件）取得等号.三角形ABF 面积的最大值是.33………………………………（13分）圆锥曲线综合训练题四[弦长及面积]30、已知双曲线的方程为2213y x -=，设F 1、F 2分别是其左、右焦点．(1)若斜率为1且过F 1 的直线l 交双曲线于A 、B 两点，求线段AB 的长；(2)若P 是该双曲线左支上的一点，且1260F PF ∠=，求12F PF ∆的面积S ．解：（1）AB ：2y x =+，代入2213y x -=并整理得22470x x --=设1122()()A x yB x y ，，，则121272,2x x x x +==-6AB ∴===（2）设21,PF m PF n ==，则m n -=2在12F PF ∆中，由余弦定理有222162cos 602m n mn m n mn mn =+-=-+-12mn ∴=11sin 6012222S mn ∴==⨯⨯=31、已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=．（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程． 解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ， 即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221m x x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得 ：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =． 32、已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ． 由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ， 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ． (法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622=+y x ，设m AF =1，n BF =1，则m AF -=122，n BF -=122． 在21F AF ∆中，3co s22112212122πF F AF F F AF AF -+=，即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ；所以346-=m ．同理在21F BF ∆中，用余弦定理得346+=n ，所以1348=+=n m AB ． (法3)利用焦半径求解．先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是A ，B 的横坐标．再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=，从而求出11BF AF AB +=．33、设双曲线方程22221(0)x y b a a b-=>>的半焦距为c ，直线l 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线l 的距．（1）求双曲线的离心率；（2）经过该双曲线的右焦点且斜率为2的直线m 被双曲线截得的弦长为15，求双曲线的方程．解：（1）2222222222b a b a c a a c a e e >⇒>⇒->⇒>⇒>⇒>………………………2分直线l 的方程为1x ya b +=，即0bx ay ab +-=，由原点到直线l 得ab d c ===，即222416()3a c a c -=，…………………………………4分两边同时除以4a 得2416(1)3e e -=，整理得42316160e e -+=，解得2443e =或…5分又e >2e = ……………………………………………6分（2）由（1）知道2e =即2c a =，所以设双曲线的方程为222213x y a a-=又由题意得直线m 方程为2(2)y x a =-，代入双曲线方程得 ……………………7分22234(2)3x x a a --=，整理得2216190x ax a -+=…………………………………8分记直线m 与双曲线的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，则有2121216,19x x a x x a +== …9分∴123015AB x a -== ∴12a =………………………………………………………………………………11分 ∴所求双曲线方程为2211344x y -=…………………………………………………12分 34、已知ABC △的顶点A B ，在椭圆2234x y +=上，C 在直线2l y x =+：上，且AB l ∥． （Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC △的面积； （Ⅱ）当90ABC ∠=，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．解：（Ⅰ）因为AB l ∥，且AB 边通过点(00)，，所以AB 所在直线的方程为y x =． 设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，．由2234x y y x⎧+=⎨=⎩，得1x =±．所以12AB x =-= 又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l的距离．所以h =122ABC S AB h ==△． （Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y x m =+，由2234x y y x m⎧+=⎨=+⎩，得2246340x mx m ++-=．因为A B ，在椭圆上，所以212640m ∆=-+>．设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则1232m x x +=-，212344m x x -=， 所以122AB x =-=．又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l 的距离，即BC =22222210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++．所以当1m =-时，AC 边最长，（这时12640∆=-+>） 此时AB 所在直线的方程为1y x =-．第 11 页 共 11 页 35、梯形ABCD 的底边AB 在y 轴上，原点O 为AB的中点，|||2,AB CD AC BD ==⊥M 为CD 的中点.（Ⅰ）求点M 的轨迹方程；（Ⅱ）过M 作AB 的垂线，垂足为N ，若存在正常数0λ，使0MP PN λ=u u u v u u u v ，且P 点到A 、B 的距离和为定值，求点P 的轨迹E 的方程；（Ⅲ）过1(0,)2的直线与轨迹E 交于P 、Q 两点，求OPQ ∆面积的最大值．解：（Ⅰ）设点M 的坐标为M (x, y )(x ≠0)，则(,1(,1C x y D x y -+又(0,A B 由AC ⊥BD 有0AC BD =，即(,1)(,x y x y -+=，∴x 2+y 2=1（x ≠0）. ………………………（4分） （Ⅱ）设P （x, y ），则()0(1),M x y λ+，代入M 的轨迹方程有2220(1)1(0).x y x λ++=≠即221(0)12()10x y x λ+=≠+，∴P 的轨迹为椭圆（除去长轴的两个端点）.要P 到A 、B 的距离之和为定值，则以A 、B 为焦点，故1212(1)0λ-=+.∴0 2.λ= 从而所求P 的轨迹方程为9x 2+y 2=1(x ≠0). ………………………9分（Ⅲ）易知l 的斜率存在，设方程为1.2y kx =+ 联立9x 2+y 2=1，有223(9)0.4k x kx ++-=设P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2)，则1212223,.94(9)kx x x x k k -+=-=++21x x ∴-=令29t k =+，则21x x -=且9.t ≥211122OPQ S x x ∆∴=⨯-=，119,0.9t t ≥∴<≤所以当119t =，即9,t =也即0k =时，OPQ ∆ 14分。
圆锥曲线综合练习题及问题详解-.doc
( )（4,0 ）,则双曲线的方程为 ()2 2 2 2x —1 Dx y110 66 10()16D53,则P 到y 轴的距离为 ( )AF I 3 AF 2 ,则双曲线的离心率为为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）A. y 2=± 4B. y 2=± 8x C . y 2= 4xD. y 2 = 8x&已知直线丨1： 4x - 3y + 6= 0和直线12： x =— 1，抛物线y 2= 4x 上一动点 P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是 （）1137A. 2B. 3C.D.；516 2 21•椭圆xy1的焦距为。
259A. 5B. 3 C .4 D 82.已知双曲线的离心率为 2,焦点是 (-4,0 ),2 22 2A. X y1B.x y 1 C4 1212 42 23. 双曲线xy1的两条准线间的距离等于34A.口B.3^7 C.18 7752 24.椭圆1上一点 P 到左焦点的距离为43A. 1B. 2C. 3 D 45. 双曲线的渐进线方程为 2x 3y 0 , F(C、单选题（每题 6分共36 分）为。
( )2 2y x A.1 B.2 2x y 1 C. 13y 213x 21 D 13y 213x 2 1499 4100225225 100A..5 2B.7.设斜率为2的直线I 过抛物线y 2= ax ( a * 0)的焦点 F ,且和y 轴交于点 A ,若厶OAFO5）为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程2 2X y6•设F I ,F 2是双曲线 —2 1的左、右焦点，若双曲线上存在点A ,使 F 1AF 2 90且a b9. 已知直线l i：4x—3y + 6= 0和直线I 2：x =- 1，抛物线y= 4X上一动点P到直线11和直线丨2的距离之和的最小值是（）10. 抛物线y2= 4x的焦点为F,准线为I，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A, AKL I，垂足为^则厶AKF的面积是（）A. 4B. 3 3 C . 4 3 D. 8二•填空题。
圆锥曲线的最值 定值 范围等经典考题型附答案 作业
圆锥曲线的综合应用一、圆锥曲线的最值问题方法1：定义转化法①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化为距离问题求解．例1、已知点F 是双曲线错误!－错误!＝1的左焦点,定点A 的坐标为（1,4），P 是双曲线右支上的动点，则｜PF ｜＋|P A ｜的最小值为________．方法2：数形结合（切线法）当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时:①求与直线平行的圆锥曲线的切线；②求出两平行线的距离即为所求的最值．例2、求椭圆错误!＋y 2＝1上的点到直线y ＝x ＋2错误!的距离的最大值和最小值,并求取得最值时椭圆上点的坐标．方法3:参数法（函数法）① 选取合适的参数表示曲线上点的坐标；②求解关于这个参数的函数最值例3、在平面直角坐标系xOy 中，点P （x ，y ）是椭圆错误!＋y 2＝1上的一个动点，则S ＝x ＋y 的最大值为________．方法4：基本不等式法①将最值用变量表示．②利用基本不等式求得表达式的最值．例4、求椭圆错误!＋y 2＝1内接矩形ABCD 面积的最大值．二、圆锥曲线的范围问题方法1：曲线几何性质法①由几何性质建立关系式；②化简关系式求解．例1、已知双曲线错误!－错误!＝1(a ＞0,b ＞0)的左，右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线的右支上，且｜PF 1｜＝4|PF 2｜，则此双曲线中ac 的取值范围是________．方法2：判别式法当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别对应着直线和圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式大于零、等于零、小于零①联立曲线方程，消元后求判别式；②根据判别式大于零、小于零或等于零结合曲线性质求解．例2、在平面直角坐标系xOy中，经过点（0,错误!）且斜率为k的直线l与椭圆错误!＋y2＝1有两个不同的交点P和Q。
（1)求k的取值范围;（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B,是否存在常数m，使得向量错误!＋错误!与错误!共线？如果存在，求m值;如果不存在，请说明理由．三、圆锥曲线的定值、定点问题方法1:特殊到一般法根据特殊情况能找到定值（或定点）的问题①根据特殊情况确定出定值或定点；②对确定出来的定值或定点进行一般情况的证明．例1、已知双曲线C：x2－错误!＝1，过圆O:x2＋y2＝2上任意一点作圆的切线l，若l交双曲线于A，B两点，证明：∠AOB的大小为定值．方法2:引进参数法定值、定点是变化中的不变量，引入参数找出与变量与参数没有关系的点（或值)即是定点(或定值）。
高三数学文科圆锥曲线大题训练(20个)(含答案)
高三数学文科圆锥曲线大题训练（含详细解答）1．已知椭圆22:416C x y +=. （1）求椭圆C 的离心率;（2）设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆2212x y +=的位置关系.2．已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为离心率2e =，过右焦点F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；（3）若以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l 的方程.3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为(2,0)A -（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 过点A ，过O 作l 的平行线交椭圆C 于P ，Q 两点，如果以PQ 为直径的圆与直线l 相切，求l 的方程．4．已知离心率为2的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与直线2x =相交于,P Q 两点（点P 在x 轴上方），且2PQ =．点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，且APQ BPQ ∠=∠． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）求四边形APBQ 面积的取值范围．5．已知椭圆的一个顶点为)1,0(-A ，焦点在x 轴上，若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线()0y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M 、N ，当AM AN =时，求m 的取值范围.6．已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点，直线0=x 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A的坐标为(1)，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=，且A ，B ，Q 三点不共线.（1）求椭圆1C 的方程； （2）求点Q 的轨迹方程；（3）求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.7．如图，B A ,分别是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点，F 为其右焦点，2是AF 与FB 的等差中项，3是AF 与FB 的等比中项． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P 是椭圆C 上异于B A ,的动点，直线l 过点A 且垂直于x 轴，若过F 作直线FQ 垂直于AP ，并交直线l 于点Q ．证明：B P Q ,,三点共线．8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>()0,1．圆22221:C x y a b +=+.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ():0y kx m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且l 与圆1C 相交于,A B 两点，问AM BM +=0是否成立？请说明理由．9．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于,M N 两点,且8MN =．（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 为抛物线C 的切线，且l ∥MN ,P 为l 上一点，求PM PN ⋅的最小值．10．已知动圆C 过定点）（2,0M ，且在x 轴上截得弦长为4．设该动圆圆心的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 方程；（2）点A 为直线l ：20x y --=上任意一点，过A 作曲线C 的切线，切点分别为P 、 Q ，APQ ∆面积的最小值及此时点A 的坐标.11．已知点)1,2(A 在抛物线:E 2x ay =上，直线1:l 1y kx =+（R k ∈，且0k ≠）与抛物线E 相交于C B ,两点，直线AC AB ,分别交直线2:l 1y =-于点S ，T ．（1）求a 的值；（2）若S T =1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2（1）求椭圆C 的方程；（2）B A ,为椭圆C 上满足AOB ∆E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P ，设OP tOE =，求实数t 的值.13．已知点()2,1P 在抛物线()21:20C x py p =>上，直线l 过点()0,2Q 且与抛物线1C 交于A 、B 两点。
圆锥曲线大题综合测试(含详细答案)
.xy1A 2ATG PMON 圆锥曲线1．设椭圆222:12x y M a +=()2a >的右焦点为1F ，直线2:22-=a a x l 与x 轴交于点A ，若112OF F A =（其中O为坐标原点）．（1）求椭圆M 的方程；（2）设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任意一条直径（E 、F 为直径的两个端点），求PF PE ⋅的最大值．2 ． 已知椭圆E :()222210x y a b a b +=>>的一个焦点为()13,0F -,而且过点13,2H ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设椭圆E 的上下顶点分别为12,A A ,P 是椭圆上异于12,A A 的任一点,直线12,PA PA 分别交x 轴于点,N M ,若直线OT 与过点,M N 的圆G 相切,切点为T .证明：线段OT 的长为定值,并求出该定值.3、已知圆O:222=+y x 交x 轴于A,B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,离心率为22的椭圆,其左焦点为F,若P 是圆O上一点,连结PF,过原点O 作直线PF 的垂线交直线x=-2于点Q.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切； (Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由.4设)0(1),(),,(22222211>>=+b a b x x y y x B y x A 是椭圆上的两点，满足0),(),(2211=⋅a y b x a y b x ，椭圆的离心率,23=e 短轴长为2，0为坐标原点.（1）求椭圆的方程； （2）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值；（3）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.xy O PF QA B5 、直线l：y = mx + 1，双曲线C：3x2- y2 = 1，问是否存在m的值，使l与C相交于A , B两点，且以AB为直径的圆过原点6 已知双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的两个焦点为F1（-2，0），F2（2，0），点P(3,7)在曲线C上。
完整版)圆锥曲线综合练习题(有答案)
完整版)圆锥曲线综合练习题(有答案)圆锥曲线综合练1.已知椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 的长轴在 $y$ 轴上，焦距为 4，则 $m$ 等于（）A。
4B。
5C。
7D。
82.直线 $x-2y+2=0$ 经过椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$ 的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为frac{\sqrt{5}}{2}3.设双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0)$ 的渐近线方程为$3x\pm 2y=0$，则 $a$ 的值为24.若 $m$ 是 2 和 8 的等比中项，则圆锥曲线$x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 的离心率是frac{\sqrt{5}}{2}5.已知双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0)$，$N$ 两点，$O$ 为坐标原点，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 $M$ 点。
若 $OM\perp ON$，则双曲线的离心率为frac{\sqrt{5}+1}{2}6.已知点$F_1,F_2$ 是椭圆$x^2/2+y^2/2=1$ 的两个焦点，点 $P$ 是该椭圆上的一个动点，则 $|PF_1+PF_2|$ 的最小值是sqrt{2}7.双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ 上的点到一个焦点的距离为 12，则到另一个焦点的距离为2\sqrt{5}8.$P$ 为双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ 的右支上一点，$M$，则 $|PM|-|PN|$ 分别是圆 $(x+5)^2+y^2=4$ 和 $(x-5)^2+y^2=1$ 上的点，的最大值为99.已知点 $P(8,a)$ 在抛物线 $y^2=4px$ 上，且 $P$ 到焦点的距离为 10，则焦点到准线的距离为210.在正三角形 $ABC$ 中，$D\in AB$，$E\in AC$，$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{BC}$，则以 $B$，$C$ 为焦点，且过 $D$，$E$ 的双曲线离心率为frac{3+\sqrt{5}}{2}11.两个正数 $a$，$b$ 的等差中项是 $5$，一个等比中项是 $25$，且 $a>b$，则抛物线 $y^2=-x$ 的焦点坐标是left(-\frac{5\sqrt{21}}{21},0\right)12.已知 $A_1$，$A_2$ 分别为椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$ 的左右顶点，椭圆 $C$ 上异于$A_1$，$A_2$ 的点 $P$ 恒满足 $k\cdot PA_1\cdot k\cdotPA_2=-1$，则椭圆 $C$ 的离心率为frac{3}{5}13.已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，点 $A$ 在第一象限内且在椭圆上，点 $B$ 也在椭圆上。
圆锥曲线综合测试题(含答案).
22x1解析 .'1020D. .'10 2把方程化为标准形式-1,第二章测试(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1 .已知抛物线的准线方程为 x =- 7,则抛物线的标准方程为()A . x 2=- 28yB . y 2= 28xC . y 2=- 28xD . x 2= 28y解析 由条件可知p =乙二p = 14,抛物线开口向右，故方程为 y 2= 28x. 答案 B2 22.设P 是椭圆25+ *= 1上的点.若F 1, F 2是椭圆的两个焦点， 则PF 11+等于()A . 4B . 5 D . 10解析由题可知a = 5, P 为椭圆上一点, 二 IPF 11+ |PF 2|= 2a = 10. 答案 D3 .双曲线3mx " — m/= 3的一个焦点是(0,2),则m 的值是(••• a 2—m, b 2 — m.解得m =— 1. 答案 A224 .椭圆%+ "9 =1上一点P 到两焦点的距离之积为 m ,则m 取最大值时，P 点坐标是（）（5,0）或（—5,0）（2,穿）或（2，— 323）（0,3）或（0,— 3）（523,2）或（-字，2）解析 |PF i |+ |PF 2匸 2a = 10, 二 IPF 1I IPF 2S （尸刊+尸冋）2 = 25.当且仅当|PF i |= |PF 2| = 5时，取得最大值, 此时P 点是短轴端点，故选C. 答案 C5. （2010天津）已知双曲线拿—治=1（a>0, b>0）的一条渐近线方程是y =「3x ，它的一个焦点在抛物线y 2 = 24x 的准线上，则双曲线的 方程为（）2 2宀—丄=1A.36 1081C f —忆=1C.108 36—解析 本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属x 2 f 彳B.X - 27= 1 D — — _= 1 27 9于容易题.依题意知t c 6? a2= 9, b2= 27,C= 6, c2= a2+ b2,2 2所以双曲线的方程为x9—27= i.答案B6. 在y= 2x2上有一点P,它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是()A . (—2,1) B. (1,2)C. (2,1)D. (—1,2)解析如图所示，直线I为抛物线y= 2x2的准线，F为其焦点,PN 丄I, AN」I ,N、N由抛物线的定义知，|PF|= |PN|,二|AP| + |PF|= |AP| + |PN|> IAN*,当且仅当A, P, N三点共线时取等号,P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1, 则可排除A、C、D项，故选B.答案B7. 已知抛物线的顶点为原点，焦点在y轴上，抛物线上点M(m,—2)到焦点的距离为4,则m的值为()A.4或一4B. —2C. 4D.2或—2解析由题可知，p—(—2)= 4,・p=4.二抛物线的方程为x2= —8y.将(m,—2)代入可得m2= 16,二m= ±1.故选 A.答案A2 28. 设双曲线字一古=1(a>0, b>0)的离心率为3，且它的一个焦点在抛物线y2= 12x的准线上，则此双曲线的方程为(解析抛物线y2= 12x的准线方程为x=- 3,丁c= 3,1由题意，得a= 3,解得a2= 3, b2= 6,ac2= a2+ b2.x2y2故所求双曲线的方程为x—y= 1.3 6答案C9.动圆的圆心在抛物线y 2 = 8x 上，且动圆恒与直线x + 2= 0相 切，则动圆必过点( )A . (4,0)B . (2,0)C . (0,2)D . (0,— 2)解析 直线x + 2= 0是抛物线的准线，又动圆圆心在抛物线上， 由抛物线的定义知，动圆必过抛物线的焦点(2,0).答案 B 10.椭圆x 2 +治=1(a >b >0)上任意一点到两焦点的距离分别为d i , d 2,焦距为2c ,若d i,2c , d 2成等差数列，则椭圆的离心率为(A.2 C.解析 由椭圆的定义可知d i + d 2 = 2a , 又由d i,2c , d 2成等差数列, c 4c = d [ + d 2 = 2a ,— e =—= a 答案 A111.已知F 是抛物线y = 4X 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则 线段PF 中点的轨迹方程是( )2 1 2 1A . x = y — 2B . x 2 = 2y —16C . x 2= 2y — 1D . x 2 = 2y — 212.B.1解析由y=4X2? x2= 4y,焦点F(0,1),设PF 中点Q(x, y)、P(x0, y°),2x = 0 + X o , 贝S 2y = 1+ y °, x 2= 2y — 1.4y °=X0,答案 C 12.已知F i , F 2是双曲线孑—希=1（a>b>0）的左、右焦点，P 为双曲线左支上一点，若忙啓的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的l PF i | 取值范围是（）A . (1,3) C . (1,3]血二 |PF 1| + 羽2解析 |PF 1| |PF 1|心l . 4a 2 _=|PF11+ |PF 〔|+ 4a 》8a ,4a 2当|PF 1匸旳，即|PF 1|= 2a 时取等号. 又 |PF 11 c — a,. • 2a 》c — a. c W 3a ,即 e W 3.•••双曲线的离心率的取值范围是（1,3] 答案 C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确 答案填在题中横线上）x 2 y 2 113. （2010福建）若双曲线-—器=1（b>0）的渐近线方程为y =分, 则b 等于 ________ .b 1解析由题意知2=2，解得b = 1.B . (1,2) D . (1,2]14. 若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过点（4,0），离心率为舌则椭圆的标准方程为 ___________ .解析若焦点在x轴上，则a=4,由e=~2-，可得c= 2 3,••• b2= a2—c2= 16- 12 = 4,椭圆方程为16+4=1，若焦点在y轴上，贝y b= 4,由e=^，可得a=¥」c2=4a2.又a2—c2= b2,「. ga2= 16, a2=64.4二椭圆方程为£+ £= 1.16 642 2 2 2答案£+y-=1或乞+y-= 1答案16十64= ', 或16十 4 = I2x15. 设F1和F2是双曲线£4 —y2= 1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足/ F1PF2= 90°则厶F1PF2的面积为___________ .[IIPF1I —|PF2||= 4,①解析由题设知 2 2|PF『+ |PF2|2= 20,.②②一① 2得|PF1| |PF2| = 2.1•••△ F1PF2 的面积S= 2|PF1| |PF2|= 1.X 2 y16. ____________________ 过双曲线C ：孑—b = 1（a>0, b>0）的一个焦点作圆X 2+ y 2= a 2的两条切线，切点分别为 A , B 若/AOB = 120°0是坐标原点）, 则双曲线C 的离心率为.解析 如图，设双曲线一个焦点为F ,则厶 AOF 中，|0A|= a , |OF|= c ,Z FOA = 60°••• c = 2a 」e= a = 2.答案 2三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文 字说明、证明过程或演算步骤）17. （10分）求与椭圆4X 2 + 9y 2= 36有相同的焦距，且离心率为丁 的椭圆的标准方程.X 2 y 2解把方程4x 2 + 9y 2= 36写成9+ 丁 =1， 则其焦距2c = 2 5,— c = ,5.,•—a= 5.b 2 = a 2 —c 2 = 52 — 5 = 20,x 2 y 2、v 2 /故所求椭圆的方程为 庶+亦=1,或庶+乔=1.25 20 25 2018. (12分)已知抛物线y 2 = 6x ,过点P(4,1)引一条弦 好被点P 平分，求这条弦所在的直线方程及 尸尸2|.解设直线上任意一点坐标为(x , y), 弦两端点 P 1(X 1 , V 1), P 2(X 2, V 2).T P 1, P 2在抛物线上，y 1= 6x 1, y 2 = 6X 2.P 1P 2使它恰两式相减，得(v1 + V2)(y1 —V2)= 6(x1 —X2).(1)由椭圆定义知---F，+占：^2 = '■又 2 AB = AF , I ：i F、得AB 一解:-y1 + y2 = 2,k=y1 —y2X—6y1 + y2=3..直线的方程为y— 1 = 3(x—4)，即3x—y—11 = 0.由y2= 6x，y = 3x—11,得y2—2y—22 = 0,…y1 + y2 = 2, y1 y2= —22..|P1P2|= 1+1.'22—4X —22 = 2• (3019、(本小题满分12分)2设F1, F2分别是椭圆E: x2 + ^=1 (0< b< 1)的左、右焦点，过bE相交于A、B两点，且IAF2I , | AB , BF2成等差数列。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆锥曲线综合训练题三[定义与最值]17、已知F 是椭圆225945x y +=的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点．（1）求32PA PF +的最小值，并求点P 的坐标；（2）求PA PF +的最大值和最小值．解:(1)由椭圆的第二定义转化知32PA PF +的最小值是211，此时P )1,556(-；(2)依题意，由椭圆的第二定义知)(6)6(22PF PA PF PA PF PA -+=-+=+ ∵222=≤-AF PF PA ∴222≤-≤-PF PA∴)(26262=+≤+≤-三点共线时取、、当且仅当F A P PF PA 18、设F 1、F 2分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点，若P 是该椭圆上的一个动点，（Ⅰ）求12PF PF ⋅的最大值和最小值;（Ⅱ）求21PF PF ⋅的最大值和最小值．解：易知2,1,a b c ===12(0),0).F F设P （x, y ），则22222121(,),)313(38).44x PF PF x y x y x y x x ⋅=-⋅-=+-=+--=-因为[2,2]x ∈-，故当x =0，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ⋅有最小值-2. 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ⋅有最大值1.19、若双曲线过点，其渐近线方程为y =.（I ）求双曲线的方程; （II ）已知A )2,3(，)0,3(B ,在双曲线上求一点P ,使PB PA 33+的值最小． 解：（Ⅰ）12y x 22=-（II ）)2,3(P ,最小值为333- 20、以椭圆131222=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．解：如图所示，椭圆131222=+y x 的焦点为()031，-F ，()032，F ． 点1F 关于直线09=+-y x l ：的对称点F 的坐标为（－9，6），直线2FF 的方程为032=-+y x ． 解方程组⎩⎨⎧=+-=-+09032y x y x 得交点M 的坐标为（－5，4）．此时21MF MF +最小．所求椭圆的长轴：562221==+=FF MF MF a ，∴53=a ，又3=c ，∴()3635322222=-=-=c a b ．因此，所求椭圆的方程为1364522=+y x ． 21、已知动点P 与双曲线22x －32y =1的两个焦点F 1、F 2的距离之和为6．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若1•2PF =3，求⊿PF 1F 2的面积； （Ⅲ）若已知D(0,3)，M 、N 在轨迹C 上且DM =λDN ，求实数λ的取值范围．解：①92x +42y =1；②2；③[51,5]22、 E 、F 是椭圆2224x y +=的左、右焦点，l 是椭圆的右准线，点P l ∈，过点E 的直线交椭圆于A 、B 两点.（1）当AE AF ⊥时，求AEF ∆的面积；（2）当3AB =时，求AF BF +的大小；（3）求EPF ∠的最大值．解：（1）2241282AEF m n S mn m n ∆+=⎧⇒==⎨+=⎩（2）因484AE AF AB AF BF BE BF ⎧+=⎪⇒++=⎨+=⎪⎩， 则 5.AF BF +=（3）设)(0)P t t > ()tan EPF tan EPM FPM ∠=∠-∠221((166t t t t t t -=-÷+==≤++，当t =30tan EPF EPF ∠=⇒∠= 23、已知定点)1,0(A 、)1,0(-B 、)0,1(C ，动点P 满足：2||−→−−→−−→−=⋅PC k BP AP .（1）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的图形；（2）当2=k 时，求||−→−−→−+BP AP 的最大值和最小值． 解：(1)设动点P 的坐标为),(y x ，则)1,(-=−→−y x AP ，)1,(+=−→−y x BP ，),1(y x PC -=−→−. ∵2||−→−−→−−→−=⋅PC k BP AP ，∴[]2222)1(1y x k y x +-=-+，即 012)1()1(22=--+-+-k kx y k x k .若1=k ，则方程为1=x ，表示过点)0,1(且平行于y 轴的直线.若1≠k ，则方程为222)11()1(ky k k x -=+-+， 表示以)0,1(k k -为圆心，以为半径|1|1k -的圆. (2)当2=k 时，方程化为1)2(22=+-y x .)2,2()1,()1,(y x y x y x BP AP =++-=+−→−−→−∴222||y x BP AP +=+−→−−→−. 又∵1)2(22=+-y x ，∴ 令θθsin ,cos 2=+=y x ，则θcos 4522||22+=+=+−→−−→−y x BP AP∴当1cos =θ时，||−→−−→−+BP AP 的最大值为6，当1cos -=θ时，最小值为2.24、点A 、B 分别是以双曲线162x 1202=-y 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆C 上，且位于x 轴上方，0=⋅ （1）求椭圆C 的的方程；（2）求点P 的坐标；（3）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，点M 到直线AP 的距离等于|MB|，求椭圆上的点到M 的距离d 的最小值．解（1）已知双曲线实半轴a 1=4，虚半轴b 1=25，半焦距c 1=62016=+， ∴椭圆的长半轴a 2=c 1=6，椭圆的半焦距c 2=a 1=4，椭圆的短半轴2b =204622=-，∴所求的椭圆方程为+362x 1202=y （2）由已知)0,6(-A ,)0,4(F ，设点P 的坐标为),(y x ，则),,4(),,6(y x FP y x AP -=+=由已知得 22213620(6)(4)0x y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-+=⎩则018922=-+x x ，解之得623-==x x 或，由于y>0，所以只能取23=x ，于是325=y ，所以点P 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛325,239分（3）直线063:=+-y x AP ，设点M 是)0,(m ，则点M 到直线AP 的距离是26+m ，于是626-=+m m ，又∵点M 在椭圆的长轴上，即 66≤≤-m 2m ∴=∴当2=m 时，椭圆上的点到)0,2(M 的距离222222549(2)4420()15992x d x y x x x =-+=-++-=-+又66x -≤≤ ∴当29=x 时，d 取最小值15 25、已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP ∆=，且,3O F F P t O M O P j ⋅==+u u ur u u r u u r u u ur.（I ）设4t θ<<求向量OF 与FP 的夹角u u v u u v 的取值范围；（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2c t c 当-==取最小值时，求椭圆的方程.解：（1）由34sin cos ,sin 34||||,sin ||||2132θθθθt FP OF FP OF ===⋅⋅⋅=由得，得.34tan t=θ…………………………………………………………………3分],0[3tan 1344πθθ∈<<∴<< t ∴夹角θ的取值范围是（3,4ππ） ………………………………………………………………6分（2）).0,(),,(),,(0000c y c x y x P =-则设2000000(,)(,0)()1)1||||2OFPOF FP x c y c x c c t c x S OF y y ∆∴⋅=-⋅=-==∴==⋅==…………………………………………………………………………………………8分2||OP x ∴=10分 ∴当且仅当)32,32(,,62||,2,343±===c cc 此时取最小值时即 )3,2()1,0()32,32(33=+=∴ 或)1,2()1,0()32,32(33-=+-=OM …………12分 椭圆长轴12,48)03()22()03()22(222222==∴=-+++-+-=b a a或2171,2171171)01()22()01()22(222222+=+=∴+=--+++--+-=b a a 故所求椭圆方程为1121622=+y x .或12171217922=+++y x …………14分 26、已知点)1,0(F ，一动圆过点F 且与圆8)1(22=++y x 内切．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设点)0,(a A ，点P 为曲线C 上任一点，求点A 到点P 距离的最大值)(a d ；（Ⅲ）在10<<a 的条件下，设△POA 的面积为1S （O 是坐标原点，P 是曲线C 上横坐标为a 的点），以)(a d 为边长的正方形的面积为2S ．若正数m 满足21mS S ≤，问m 是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由．解（Ⅰ）设动圆圆心为),(y x M ，半径为r ，已知圆圆心为)1,0(-E ， 由题意知r MF =||，r ME -=22||，于是22||||=+MF ME ，所以点M 的轨迹C 是以E 、F 为焦点，长轴长为22的椭圆，其方程为1222=+y x ． （Ⅱ）设),(y x P ，则2222)()(||2222222++--=-+-=+-=a ax x x a x y a x PA 22)(22+++-=a a x ，令22)()(22+++-=a a x x f ，]1,1[-∈x ，所以，当1-<-a ，即1>a 时)(x f 在]1,1[-上是减函数，[]2max )1()1()(+=-=a f x f ； 当11≤-≤-a ，即11≤≤-a 时，)(x f 在],1[a --上是增函数，在]1,[a -上是减函数，则[]22)()(2max +==a a f x f ；当1>-a ，即1-<a 时，)(x f 在]1,1[-上是增函数，[]2max )1()1()(-==a f x f ．所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤≤-+-<-=1,111,221,1)(2a a a a a a a d ．（Ⅲ）当10<<a 时,)22,(2a a P -±,于是)1(22121a a S -=,2222+=a S ,（12分） 若正数m 满足条件，则)22()1(22122+≤-a m a a ，即)1(4)1(222+-≥a a a m ，22222)1(8)1(+-≥a a a m ，令2222)1(8)1()(+-=a a a a f ，设12+=a t ，则)2,1(∈t ，12-=t a ， 于是641431411328123818)2)(1()(22222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=--=t t tt t t t t t a f ， 所以，当431=t ，即)2,1(34∈=t 时，641)]([max =a f ，即6412≥m ，81≥m ．所以，m 存在最小值81．27、已知点M （-2，0），N （2，0），动点P 满足条件|PM |-|PN |=22. 记动点P 的轨迹为W . （1）求W 的方程；（2）若A 、B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求∙的最小值． （1）由|PM |-|PN |=22知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a =2. 又半焦距c =2，故虚半轴长b =.222=-c所以W 的方程为12222=-y x ，x ≥2.（2）设A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2）.当AB ⊥x 轴时，x 1=x 2，y 1=y 2，从而·=x 1x 2+y 1y 2=.22121=-y x当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y =kx +m ，与W 的方程联立，消去y 得（1-k 2）x 2-2kmx -m 2-2=0，故x 1+x 2=212k km -，x 1x 2=1222-+k m ， 所以·=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+（kx 1+m ）（kx 2+m ）=（1+k 2）x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2=.142122121)2)(1(2222222222-+=-+=+-+-++k k k m k m k k m k 又因为x 1x 2>0，所以k 2-1>0，从而·>2. 综上，当AB ⊥x 轴时，OA ·OB 取得最小值2.28、一束光线从点)0,1(1-F 出发，经直线032:=+-y x l 上一点P 反射后，恰好穿过点)0,1(2F ．（Ⅰ）求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标；（Ⅱ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；（Ⅲ）设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 上的动点，求点Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q 的坐标．解：（Ⅰ）设1F '的坐标为),(n m ，则211-=+m n 且032212=+--⋅nm ．……2分 解得52,59=-=n m ， 因此，点 1F '的坐标为)52,59(-． …………………4分（Ⅱ）11PF F P =' ，根据椭圆定义， 得||||||22121F F PF F P a '=+'=22)052()159(22=-+--=，……………5分 2=∴a ，112=-=b ．∴所求椭圆方程为1222=+y x ． ………………………………7分 （Ⅲ）22=ca ，∴椭圆的准线方程为2±=x ． …………………………8分 设点Q 的坐标为)32,(+t t )22(<<-t ,1d 表示点Q 到2F 的距离，2d 表示点Q 到椭圆的右准线的距离． 则10105)32()1(2221++=++-=t t t t d ，22-=t d ．22221)2(225210105-++⋅=-++=t t t t t t d d ， ……………………………10分令22)2(22)(-++=t t t t f )22(<<-t ，则)(t f 在34-=t 时取得最小值． ………………………………13分 因此，21d d 最小值＝22)34(5=-⋅f ，此时点Q 的坐标为)31,34(-．…………14分注：)(t f 的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．29、设F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左焦点，直线l 为其左准线，直线l 与x 轴交于点P ，线段MN 为椭圆的长轴，已知：.||2||,8||MF PM MN ==且（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点P 的直线与椭圆相交于不同两点A 、B 求证：∠AFM=∠BFN ；（3）求三角形ABF 面积的最大值．解（1）48||=∴=a MN122)(1210132)(2||2||22222=-==∴==⇒=+--=-=c a b c e c e e c a a c a MF PM 舍去或即得又 1121622=+∴y x 椭圆的标准方程为………………………（文6分，理4分）（2）当AB 的斜率为0时，显然.0=∠=∠BFN AFM 满足题意当AB 的斜率不为0时，设),(),,(2211y x B y x A ，AB 方程为,8-=my x 代入椭圆方程整理得014448)43(22=+-+my y m 则431444348),43(1444)48(22122122+=⋅+=++⨯-=∆m y y m my y m m662222112211-+-=+++=+∴my y my y x y x y k k BF AF 0)6)(6()(62212121=--+-=m y m y y y y m y .,0BFN AFM k k BF AF ∠=∠=+∴从而综上可知：恒有BFN AFM ∠=∠.………………………………（9分）（3）43472||||212212+-=-⋅=-=∆∆∆m m y y PF S S S PAFPBF ABF 33163272416437216)4(34722222=⋅≤-+-=+--=m m m m当且仅当32841643222=-=-m m m 即（此时适合△＞0的条件）取得等号.三角形ABF 面积的最大值是.33………………………………（13分）圆锥曲线综合训练题四[弦长及面积]30、已知双曲线的方程为2213y x -=，设F 1、F 2分别是其左、右焦点．(1)若斜率为1且过F 1 的直线l 交双曲线于A 、B 两点，求线段AB 的长；(2)若P 是该双曲线左支上的一点，且1260F PF ∠=，求12F PF ∆的面积S ．解：（1）AB ：2y x =+，代入2213y x -=并整理得22470x x --=设1122()()A x yB x y ，，，则121272,2x x x x +==-6AB ∴===（2）设21,PF m PF n ==，则m n -=2在12F PF ∆中，由余弦定理有222162cos 602m n mn m n mn mn =+-=-+-12mn ∴=11sin 6012222S mn ∴==⨯⨯=31、已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=．（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程． 解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ， 即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221m x x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得 ：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =． 32、已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ． 由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ， 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ． (法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622=+y x ，设m AF =1，n BF =1，则m AF -=122，n BF -=122． 在21F AF ∆中，3co s22112212122πF F AF F F AF AF -+=，即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ；所以346-=m ．同理在21F BF ∆中，用余弦定理得346+=n ，所以1348=+=n m AB ． (法3)利用焦半径求解．先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是A ，B 的横坐标．再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=，从而求出11BF AF AB +=．33、设双曲线方程22221(0)x y b a a b-=>>的半焦距为c ，直线l 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线l 的距．（1）求双曲线的离心率；（2）经过该双曲线的右焦点且斜率为2的直线m 被双曲线截得的弦长为15，求双曲线的方程．解：（1）2222222222b a b a c a a c a e e >⇒>⇒->⇒>⇒>⇒>………………………2分直线l 的方程为1x ya b +=，即0bx ay ab +-=，由原点到直线l 得ab d c ===，即222416()3a c a c -=，…………………………………4分两边同时除以4a 得2416(1)3e e -=，整理得42316160e e -+=，解得2443e =或…5分又e >2e = ……………………………………………6分（2）由（1）知道2e =即2c a =，所以设双曲线的方程为222213x y a a-=又由题意得直线m 方程为2(2)y x a =-，代入双曲线方程得 ……………………7分22234(2)3x x a a --=，整理得2216190x ax a -+=…………………………………8分记直线m 与双曲线的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，则有2121216,19x x a x x a +== …9分∴123015AB x a -== ∴12a =………………………………………………………………………………11分 ∴所求双曲线方程为2211344x y -=…………………………………………………12分 34、已知ABC △的顶点A B ，在椭圆2234x y +=上，C 在直线2l y x =+：上，且AB l ∥． （Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC △的面积； （Ⅱ）当90ABC ∠=，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．解：（Ⅰ）因为AB l ∥，且AB 边通过点(00)，，所以AB 所在直线的方程为y x =． 设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，．由2234x y y x⎧+=⎨=⎩，得1x =±．所以12AB x =-= 又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l的距离．所以h =122ABC S AB h ==△． （Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y x m =+，由2234x y y x m⎧+=⎨=+⎩，得2246340x mx m ++-=．因为A B ，在椭圆上，所以212640m ∆=-+>．设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则1232m x x +=-，212344m x x -=， 所以122AB x =-=．又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l 的距离，即BC =22222210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++．所以当1m =-时，AC 边最长，（这时12640∆=-+>） 此时AB 所在直线的方程为1y x =-．第 11 页 共 11 页 35、梯形ABCD 的底边AB 在y 轴上，原点O 为AB的中点，|||2,AB CD AC BD ==⊥M 为CD 的中点.（Ⅰ）求点M 的轨迹方程；（Ⅱ）过M 作AB 的垂线，垂足为N ，若存在正常数0λ，使0MP PN λ=u u u v u u u v ，且P 点到A 、B 的距离和为定值，求点P 的轨迹E 的方程；（Ⅲ）过1(0,)2的直线与轨迹E 交于P 、Q 两点，求OPQ ∆面积的最大值．解：（Ⅰ）设点M 的坐标为M (x, y )(x ≠0)，则(,1(,1C x y D x y -+又(0,A B 由AC ⊥BD 有0AC BD =，即(,1)(,x y x y -+=，∴x 2+y 2=1（x ≠0）. ………………………（4分） （Ⅱ）设P （x, y ），则()0(1),M x y λ+，代入M 的轨迹方程有2220(1)1(0).x y x λ++=≠即221(0)12()10x y x λ+=≠+，∴P 的轨迹为椭圆（除去长轴的两个端点）.要P 到A 、B 的距离之和为定值，则以A 、B 为焦点，故1212(1)0λ-=+.∴0 2.λ= 从而所求P 的轨迹方程为9x 2+y 2=1(x ≠0). ………………………9分（Ⅲ）易知l 的斜率存在，设方程为1.2y kx =+ 联立9x 2+y 2=1，有223(9)0.4k x kx ++-=设P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2)，则1212223,.94(9)kx x x x k k -+=-=++21x x ∴-=令29t k =+，则21x x -=且9.t ≥211122OPQ S x x ∆∴=⨯-=，119,0.9t t ≥∴<≤所以当119t =，即9,t =也即0k =时，OPQ ∆ 14分。