集值映射的单值模糊积分

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关于集值模糊Choquet积分性质的进一步讨论

定义１
若集值函数满足条件：））一Ｏ（有限；）Ａ， ∈ Ｒ，ｃ则（ ≤ （，１（，）２若ＢＡＢ，Ａ）Ｂ）
则称集值函数为非连续模糊测度，相应的三元组（Ｒ，Ｘ，）为非连续模糊测度空间．注１该定义与原定义略有区别，掉了（去Ｘ）一１的限制，围比原定义更广泛．范
２令ｍ（）一＿ｚ＋ｇｚ，则ｒ（）ＥＦ（））ｚ厂）（（）ＶｚＥＸ，ｅｘｚ＋Ｇ（）一（ｚＦ＋Ｇ）ｚｎｅ于Ｘ，Ｖ口ＥＲ（）．．且，
有＝｛ｌ（）｝｛，ｚ ≥号）ｚｌ（）。ｚｚ ≥ａｌ（）ｒｅｕ｛ｚ ≥导｝＝ｕｇ，ｇ：：旦
ｉｔｇａｒｕｔｅｉｃｓｅｎｅｒｌｅｆｒｈｒｄｓｕｓｄ，ａｄｓｍｅｉｒｃｓｏｎＺａｇＦｅｇｓｕｎｅｅａｉｅｏｅｔｅｆｓｔａｎｏｍｐｅｉｉｎｉｈｎｎ — ｈａｇｇｎｒｌｚｄｐｒｐｒｉｓｏｅ—
１因，）（ｎ・，以（Ｅ（Ｕ（口・，一ｃ一（）为（Ｅｚ・于Ｘ所，）ｚｚ・于ｘ。（ＪｚＦ）ｚＦ）Ｇ）Ｐｚ，ＪｎＯ
Ａ）ａ＜Ｃ，ｄ × ＦＵＧ是Ａ上模糊Ｃｏｕｔ３ｈｑｅ可积的．
ＷＡＮ－ｕＧＡｉ，ＱＩＯｕ —ａｒＡＪｎｊｎｉ
（ｌｇｆＳｉｎｅＣｏｌｅｏｃｅｃ，ＡｇｉｕｔｒｌＵｎｖｒｉｙｏｅｅ，Ｂａｄｎ７０２ｅｒｃｌｕａｉｅｓｔｆＨｂｉｏｉｇ０１０，Ｃｈｎ）ｉａ

模糊集合

第二章：模糊集合与模糊计算模糊理论的产生一方面是为描述客观世界中的模糊现象，另一方面是为了将人类的知识引入到智能系统中去，提高智能系统的智能水平。

“模糊”译自英文“Fuzzy”一词，其含义可以解释为：“朦胧的、模糊的；不精确的；不合逻辑的、不分明的”。

因此，曾有人提议兼顾其音义将Fuzzy译为“乏晰”，但最终没有得到大众的认可。

经过数十年的发展，“模糊”作为一个技术形容词已经得到了广泛使用。

如模糊计算、模糊推理、模糊控制等等。

§2.1 模糊性分析2.1.1 模糊性在客观世界中，有的概念在特定的场合有明确的外延，例如国家、货币、法定年龄、地球是行星等等。

而有的概念的外延往往并不明确，例如发展中国家、著名球星、俊男靓女、冷与热等等。

是不是发展中国家，不同的人有不同的理解。

这种没有明确外延的概念，我们说它具有模糊性(fuzziness)。

当然，模糊性通常是指对概念的定义及理解上的不确定性，如酷、聪明、舒适等等。

关于什么是聪明，我们永远不可能列举出它应满足的全部条件。

至于什么是酷，不同的时代可能有不同的理解。

不容置疑的是在现实生活中，这种模糊现象是普遍存在的。

模糊性来源于事物的变化过程。

处于过渡阶段，事物的基本特征就是性态的不确定性，类属的不清晰性，也就体现出模糊性。

例如“青年人”这个模糊概念。

根据图2.1.1给出的关于人的成长阶段，按照经典集合的描述方法，一般认为年龄在14~25岁之间的人是青年人，其特征函数值取为1，其它年龄段的人都不是青年人。

儿童时期少年时期青年时期中年时期老年时期年龄图2.1.1 经典数学描述下人的成长时期但是，在14~25岁之外就截然不是青年人吗?答案是否定的。

因为人的生命是一个连续的过程，一个人从少年走向青年是一日一日积累的一个渐变的过程。

从差异的一方(如少年)到差异的另一方(如青年)，这中间经历了一个由量变到质变的连续过渡过程，这种过渡性造成了划分上的不确定性。

模糊集合及其运算

40
31 0.78 110 85 0.75
50
39 0.78 120 95 0.79
60
47 0.78 129 101 0.78
70
53 0.76
由表 1可见，隶属频率随试验次数 n 的增加而呈现
稳定性，稳定值为 0.78，故有 [青年人] (27) = 0.78。
模糊统计与概率统计的区别：模糊统计：变动的圆盖住不动的点概率统计：变动的点落在不动的圆内
（2）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为
u 0 对A的隶属度：
* u A 的次数 0 A ( u )lim 0 n n
例取年龄作论域 X，通过模糊试验确定 x0= 27(岁)
对模糊集“青年人” A 的隶属度。
张南伦曾对 129 名学生进行了调查试验，要求
每个被调查者按自己的理解确定“年青人” (即 A)
0.1 0.2 0.2 B A 0.3 0.3 0.3 0.4 0.5 0.5
（3）模糊矩阵的转置
T ( a ) , 定义：设 A 称 A (aji )nm为A的 ij m n
转置矩阵。（4）模糊矩阵的截矩阵定义：设 A 对任意的称 [ 0 , 1 ], ( a ) , ij m n
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1
A0 .5
0 0 0 0 0 1 1 0 1 1
A0 .8
三、隶属函数的确定 1、模糊统计法
模糊统计试验的四个要素：
（1）论域U；（2）U中的一个固定元素 u 0 ;
* A （3）U中的一个随机运动集合 ;
~
A 称为 A 隶属函确定了一个U上的模糊子集 A 。映射 ~ ~ ~

模糊集理论及应用讲解

CA(u)= 0 当u=2,4
经典集合与特征函数
4、隶属度特征函数CA(u)在u=u0处的值CA(U0)称为u0对A的隶属度。
模糊集合与隶属函数
1、隶属函数
[0 设U是论域，μA是将任何u∈U映射为，1]上某个值的函数，
即：
：U→[ μA
0，1的一个隶属函数。
?0.4 0.5 0.1?
例
R1 ? ??0.2 0.6 0.2??
??0.5 0.3 0.2??
?0.2 0.8? R2 ? ??0.4 0.6??
??0.6 0.4??
?0.4 0.5? R ? R1 ?R2 ? ??0.4 0.6??
λ水平截集
解：（1）λ水平截集 A1={ u3 } A0.6={ u2,u3,u4 } A0.5={ u2,u3,u4,u5 } A0.3={ u1,u2,u3,u4,u5 } （2）核、支集 KerA={ u3 } SuppA={ u1,u2,u3,u4,u5 }
模糊数
模糊数如果实数域上的模糊集A的隶属函数μA (u)在R上连续，且具有如下性质：
2、模糊集
设A={ μA (u) | u∈U } ，则称A为论域U上的一个模糊集。 3、隶属度
μA (u)称为u对模糊集A的隶属度。
模糊集合与隶属函数
模糊集合完全由其隶属函数确定，即一个模糊集合与其隶属函数是等价的。
可以看出对于模糊集Ａ，当Ｕ中的元素u的隶属度全为0时，则Ａ就是个空集；当全为1时，Ａ就是全集Ｕ；当仅取0和1时，Ａ就是普通子集。
UR V R的论域为U×V。特别地，当U=V时，R称为U上的二元模糊关系；若R的论域为n个集合
的直积U1×U2×…×Un，则称R为n元模糊关系。

模糊数学理论

μ A∩ B = μ A (u ) ∧ μ B (u )
∧
为取极小值运算。
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1.4 集合运算
− 定义2-6 补：模糊集合A的不隶属度函数 μ A ，对所有的 u ∈ U ，被逐点定义为 μ = 1 − μ A (u )
−
A
例2-3 设论域 U = {u1 , u2 , u3 , u4 , u5 } 中的两个模糊子集为：
A ∩ ( A ∪ B) = A，A ∪ ( A ∩ B) = A
________
A∩ B = B ∪ A， ∪ B = B ∩ A A
___
___ ________
___
___
（9）、双重否认律 A = A
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1.5
模糊集的截集——从模糊中寻找确定，“矬子里选将军”
定义：设A∈F(U), λ∈[0,1] 则： (1)
Aλ = {u | u ∈ U , A(u ) ≥ λ}
称λ为阈值（或置信水平）
•
称Aλ 为A的一个- λ截集，
(2)
Aλ = {u | u ∈ U , A(u ) > λ} 称Aλ 为A的一个- λ强截集
A的支集 A的核 KerA={u|u ∈U,A(u)=1}
1
(λA)(u)= λ ∧A(u)
1 λ 0 λ A(u) U
0
A(u)
U
数积的性质：1 若λ 1 < λ 2 则λ 1 A ⊆ λ 2 A 2 若A < B 则λA ⊆ λB
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1.6
分解定理——模糊集用截集表示：分解定理1

模糊集理论简介

模糊集理论简介一、经典数学的基础及其缺陷19世纪末，德国数学家康托尔（Cantor）建立了集合论,奠定了经典数学的基础。

集合可以表示概念、性质、运算和变换，可以表现判断和推理。

因此，经典数学成为能描述和表现个门学科的语言和系统。

如：圆、关系、函数等；又如：钢笔A与笔。

经典集合论中，一个元素x要么属于集合X，要么不属于集合X，两者必居其一，且仅居其一，不存在模棱两可的中间状态。

这种规定就是所谓的排中律，它使得经典集合只能表现非此即彼的现象。

因此经典数学研究的是确定性的事物。

如苹果B与水果。

集合的定义本身存在一定的缺陷，产生了一些关于集合的悖论，如“罗元素（B.Russell）悖论”（ A={Z|Z Z},即A的元素是一切不以自身为元素的集合）等。

后来经过策梅罗（Clairaut）等数学家的努力，建立了集合论的公理化体系，制定了集合论的应用条件。

但对于一些自然语言中出现的如“年青”、“秃头”、“亚金属”、“植物”、“半导体”等概念，经典集合论则显得无能为力。

二、模糊数学的基础1. 模糊现象与模糊概念模糊概念来源于模糊现象，而模糊现象在自然界中客观存在的。

例如，“下雨”是常见的自然现象，从“绵绵细雨”到“倾盆大雨”，各种程度的雨都会经常发生，这种不是以固定不变的一种或几种程度（或方式）出现，使得人们很难用确定的尺度（或模型）来刻画的现象就是模糊现象。

模糊现象在人的大脑中所形成的概念就是模糊概念，它处处存在。

例如，在日常生活中的厚、薄，快、慢，大、小，长、短，轻、重，高、低，稀、稠，贵、贱，强、弱，软、硬，锐、钝，深、浅，美、丑；白天、黑夜，早晨、中午、傍晚，黎明、黄昏，夕阳，多云、晴天、阴天、雨天，中雨、暴雨、大暴雨等。

在生命科学、经济管理领域中模糊现象也无处不在。

如感冒，胃病，心脏病；高产作物、低产作物；早熟小麦；红壤，黄壤，棕壤；蔬菜，水果；动物，植物，微生物；通货膨胀，经济繁荣，经济萧条，失业；劳动密集型企业；信得过产品，次品；贫困，温饱，小康，富强，富有等，都是模糊概念。

第九讲区间数、模糊数.模糊积分

为模糊数, 除运算如下：定义设A, B为模糊数则定义其加、减、乘、除运算如下：为模糊数则定义其加、 ∀z∈R, ∈ (A+B)(z)=∨x+y=z(A(x)∧B(y)), ∨ ∧ (A−B)(z)=∨x−y=z(A(x)∧B(y)), − ∨− ∧ (A⋅B)(z)=∨x⋅⋅y=z(A(x)∧B(y)), ⋅ ∨ ∧ (A÷B)(z)=∨x÷y=z(A(x)∧B(y)). ÷ ∨÷ ∧ 直接利用上述定义计算是非常困难的, 直接利用上述定义计算是非常困难的, 就是计算简单的三角模糊数的和, 也要用到条件极值的相关知识。的三角模糊数的和也要用到条件极值的相关知识。
2. 区间数的运算问题：如何定义区间数的运算呢? 问题：如何定义区间数的运算呢考虑对加法运算的基本要求：考虑对加法运算的基本要求： (1) 区间数相加的结果应是区间数; 加的结果应是区间数 (2) 参与运算的两个区间中的实数, 按普通实数加法相加的结果, 中的实数按普通实数加法相加的结果应包含和区间数”所代表的区间中, 在“和区间数”所代表的区间中即
其中X是基本样本) 是基本(样本所谓概率空间是指三元组 (X, Α, P), 其中是基本样本空间, Α是X上的σ-域(σ-代数 P是概率测度严格的定义如空间上的域代数), 是概率测度, 代数是概率测度下：若满足：定义设Α ⊆P(X), 若满足： (1) X∈Α; ∈ (2) A∈Α ⇒ Ac∈Α; ∈ (3) An∈Α ⇒ ∪∞n=1An∈Α．则称Α为σ-域, 亦称σ-代数。称(X, Α)为可测空间 A称为域代数。为可测空间, 称为代数为可测空间可测集。可测集。 n 容易验证: 容易验证 ∅∈Α; Ai∈Α ⇒∪ i=1Ai∈Α; A, B∈Α ⇒ A∩B∈Α, ∈ ∩ ∈ A−B∈Α; An∈Α ⇒ ∩∞n=1An∈Α． − ∈

需求理论知识分析

第四章需求理论本章研究消费者个人需求和市场总需求的变化规律。

对于消费者个人需求，主要讨论价格和收入的变化对需求的影响，尤其是要讨论收入效应和替代效应问题。

对于市场总需求，主要讨论三个方面的问题：总需求是否还是价格和收入的函数？总需求能否揭示一种消费者偏好？总需求有什么社会福利意义？通过对这些问题的研究，总需求的性质和变化规律便可可得到揭示。

本章的讨论仍在商品空间 R 中进行，即假定市场上共有种可供选择的商品。

第一节集值映射集值映射是研究需求的底子东西，是经济学研究中开展起来的一套经济阐发方法。

上一章中讨论的预算调集),(r p β同价格p 与收入r 之间的对应关系，以及需求调集),(r p D 同价格p 与收入r 之间的对应关系，都是集值映射的典型事例。

所谓集值映射，是指调集与元素(点)之间的某种对应关系，或者说是一种取值为调集的映射。

具体来说，设E 和F 是两个调集，如果对于E 种的任何一个元素x ，都有F 的一个子集)(x Γ与之对应，那么这种对应关系就称为从E 到F 的集值映射，并记作F E ⇒Γ:。

为了便利起见，此后我们把集值映射也简称作集映。

对于这个概念，我们可作两个方面的理解。

首先，通常所说的映射或函数都是单值映射或单值函数，即对于自变量的每一种取值，与之对应的因变量的值是独一的；集值映射那么实际上是多值映射，即对于自变量的每一种取值，与之对应的因变量的值是可能有多个。

其次，也可把集值映射这种多值映射当作是一种单值映射，即把)(x Γ当作是F 的幂集F 2的元素，这样一来，F E ⇒Γ:就变成了从E 到F 2的单值映射。

因此，集值映射F E ⇒Γ:也可记作F E 2:→Γ。

集值映射F E ⇒Γ:还可看作是乘积调集{})()(:),(F y E x y x F E ∈∧∈=⨯的子集。

具体来讲，F E ⇒Γ:确定了F E ⨯的一个子集{})(:),()(Grap x y F E y x Γ∈⨯∈=Γ，这个子集称为集值映射F E ⇒Γ:的图像(如图4-1所示)。

第一章模糊集的基本概念

6.集合的运算规律
幂等律： A∪A = A， A∩A = A；交换律： A∪B = B∪A， A∩B = B∩A；结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C )， ( A∩B )∩C = A∩( B∩C )；吸收律： A∪( A∩B ) = A，A∩( A∪B ) = A；分配律：( A∪B )∩C = ( A∩C )∪( B∩C )； ( A∩B )∪C = ( A∪C )∩( B∪C )； 0-1律：A∪U = U ， A∩U = A ； A∪ = A ， A∩ = ；还原律： (Ac)c = A ；对偶律： (A∪B)c = Ac∩Bc，(A∩B)c = Ac∪Bc；排中律： A∪Ac = U， A∩Ac = .
§1.2 模糊理论的数学基础
一经典集合
1.经典集合具有两条基本属性：
元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明, 即一个元素x要么属于集合A(记作xA),要么不属于集合(记作xA)，二者必居其一. 2.集合的表示法 (1)枚举法，A={x1 , x2 ,…, xn}； (2)描述法，A={x | P(x)}.
记R=(rij)n×n, R2 =(rij(2))n×n.
先设R具有传递性.
若rij(2) =0，则有rij(2) ≤ rij .
若rij(2) =1，则由于
rij(2) = ∨{(rik∧rkj) | 1≤k≤n} = 1，
故存在1≤s≤n，使得
(ris∧rsj) = 1，
即ris= 1, rsj= 1.
由于R具有传递性，ris= 1, rsj= 1，则rij =1. 综上所述 R2≤R. 再设R2≤R，则对任意的 i , j , k，若有 rij =1， rjk = 1，
2.关系的三大特性定义9 设R为 X 上的关系 (1) 自反性：若 X 上的任何元素都与自己有关系R，即R (x , x) =1，则称关系 R 具有自反性； (2) 对称性：对于X 上的任意两个元素 x , y，若 x 与y 有关系R 时，则 y 与 x 也有关系R，即若R (x , y ) =1，则R ( y , x ) = 1，那么称关系R具有对称性； (3) 传递性：对于X上的任意三个元素x, y, z，若x 与y 有关系R，y 与z 也有关系R 时，则x与z 也有关系R，即若R (x , y ) = 1，R ( y , z ) =1，则R ( x , z ) = 1，那么称关系R具有传递性.

集值形式的Ekeland变分原理

２映射的（，）连续性ｅＣ一
假设ｘ，Ｙ为拓扑向量空间．
定义２１集值映射Ｆ：一２称为在Ｘ ∈ｄｍ（．ｘ。ｏ
处．
为具有非空值的集值映射．为正常闭凸锥且ＣＧＹｉｔ＝ｎＣ￣Ｏ，ｅ∈ｉｔ为一固定向量．文献［，，０的ｎＣ受３９１］
引
第３２卷第２期玉林师范学院学报（自然科学）Ｖ１２Ｎ．ｏ３ｏ．２＝＝＝ＶＥＲＳＴＹ（ｔｒＳｉｎｅＩ２１年０１ＪＲＮＬＯＦＹＬＮＮＯＭＡＬＵＮＩＯＵＡＵＩＲＮａａｃｃ）ｕｌｅ
上半连续（半连续或连续）的．下
圆最存结下函７Ｅ变半也现所ｌ在连就在的ｅ出论有数４ｋ分，界说ｎ下它为近ｅ的续成年小了Ⅲ是Ｅ点原，解似ｎ理已的给经ｋｄａｌａｄ
决非线性问题的一个强有力的工具．十几年来，近射等情形．文［］，Ｂａｃｉｓｙ￣Ｐｎ就找在７中ｉｈ，ｓＳｉｉｎＫａａｒｌ
但我们注意到，集值映射Ｆ特殊地取成单值
到了关于函数的一些合适条件来得出Ｅｅａｄ分时，集值映射的上半连续和下半连续是等价的，即ｋｌｎ变原理．此启发，在本文中我们首先定义了看集值当集值映射取成单值时，它的上半连续性、下半连受在映射的（，）Ｃ下半连续性，构造了类似的条件续性及连续性是等价的．接下来的讨论中，我们ｅＣ或一将采用如下即使集值映射取成单值时上半连续与下集，得到更具一般形式的集值Ｅｅｎ变分原理．ｋｌｄａ半连续也还是有所区别的连续性定义．设Ｆ：２假

模糊集的基本运算

A∩B={(x1, 0.5), (x2, 0.5), (x3, 0.3), (x4, 0.4)}. 模糊集合“个子不高”为:
A ={(x1, 0.4), (x2, 0.5), (x3, 0), (x4, 0.6)}.
四.模糊集的运算性质
1. 经典集合的运算性质经典集合关于并、交、补运算具有以下性质: 设X为论域, A, B, C为X上的经典集合, 则
A=(0.55, 0.78, 0.91, 0.56). X上的模糊集B为:
帅哥
B=(0.35, 0.52, 0.65, 0.37). 则根据定义有BA.
超男
定义论域X上的模糊集A与B称为是相等的, 如果AB 且BA, 即对任意xX有A(x)= B(x).
3. 模糊集的并设X为非空论域, A, B为X上的两个经典集合。 A∪B={xX| xA或xB}.
第二章模糊集的基本运算
一. 模糊集的表示方法
模糊集合是论域X 到[0,1]的映射, 因此用隶属函数来表示模糊集合是最基本的方法。除此以外, 还有以下的表示方法： 1)序偶表示法
A={(x, A(x)|xX}. 例如: 用集合X={x1, x2, x3, x4}表示某学生宿舍中的四位男同学, “帅哥”是一个模糊的概念。经某种方法对这四位学生属于帅哥的程度(“帅度”)做的评价依次为: 0.55, 0.78, 0.91, 0.56, 则以此评价构成的模糊集合A记为:
A(x)
1 0
xa xa
1
xa
A(x) ek(xa) x a, k 0
A(x)
1 ek
( xa )2
xa x a, k 01A( x)源自11 b(x a)c
xa x a (b, c 0)

模糊集的基本概念

x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 或f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
也称f为一一的。满射(surjection)： f : X Y, 且对任意 y Y, 都有 x X , 使得 y f (x), 则称f为满射。
也称f 映X到Y上（映上）。
用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：
确定性
数学不确定性
经典（精确）数学
随机性模糊性随机数学模糊数学
模糊理论的数学基础
普通集合与普通关系
一、集合
集合的有关概念集合的运算集合运算的性质映射与扩张集合的特征函数直积关系的概念关系的运算特征关系等价关系与划分偏序集格
Ai {x | i I , x Ai }
分配律、对偶律等可推广
4. 集合中元素的计数
• 集合A＝{1，2，„，n}，它含有n个元素,可以说这个集合的基数是n，记作 card A＝n
也可以记为｜A｜＝n，
空集的基数是即｜｜＝0．
有穷集、无穷集
• 定义: 设A为集合，若存在自然数n（0也是自然数），使得｜A｜＝card A＝n，则称A为有穷集，否则称A为无穷集。
• 例如，{a,b,c}是有穷集，而N，Z，Q，R都是无穷集。
5. 映射与扩张
（1）映射(mapping):实际是函数概念的推广
x X, 设 X, Y 都是集合，若存在对应关系 f, 使
都有唯一的 y Y 与之相对应，则称f 映X入Y的映射。记号： f : X Y x a y f (x)
A ( B C ) ( A B) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C )

模糊集合的运算以及合成

模糊集合的运算以及合成
模糊集合是指其元素的隶属度不是二元的，而是在0到1之间的一个连续的实数。

模糊集合的运算包括交集、并集、补集和差集等。

交集运算是指对应元素的隶属度取较小值，即取最小规则。

并集运算是指对应元素的隶属度取较大值，即取最大规则。

补集运算是指对应元素的隶属度取1减去原隶属度的值。

差集运算是指对应元素的隶属度取最大值减去最小值。

这些运算可以帮助我们对模糊集合进行逻辑运算和推理。

另外，模糊集合的合成是指将两个或多个模糊集合通过某种规则进行合并得到一个新的模糊集合。

常见的合成方法包括最小-最大合成法、最大-最大合成法、乘积合成法等。

最小-最大合成法是指首先对两个模糊集合进行最小化合成，然后再对结果进行最大化合成。

最大-最大合成法是指对两个模糊集合进行最大化合成。

乘积合成法是指对应元素的隶属度进行乘积运算。

这些合成方法可以根据具体的应用场景选择合适的方法进行合成，以得到符合实际情况的模糊集合。

总之，模糊集合的运算和合成是模糊逻辑理论中的重要内容，通过这些运算和合成方法，我们可以更好地处理模糊信息，进行模
糊推理和决策，应用于控制系统、人工智能等领域。

希望我对模糊集合的运算和合成能够给你提供一些帮助。

模糊集理论

模糊集理论模糊集理论（Fuzzy Set Theory）是一种理论，主要关注定义和应用模糊（模糊）集合（fuzzy set）。

它由芬兰科学家Lotfi Zadeh在1965年提出，随后历经修正和扩展，今天已成为人工智能的重要研究概念。

它引入了模糊集合的概念，允许将不弱量化数据藉基于概率理论进行处理，以研究各种模式。

这种理论允许模糊集合随着数据流而变化，从而允许对诸如特征抽取、模式识别和对象识别等计算问题进行实例。

模糊集的一般定义是一组非常宽的概念，即这些概念可以模糊地概括其中的数据和事件。

典型的例子包括定义“热”时可以指的内容。

这可以指很热的水，但也可以指很热的空气，甚至指温度处于中间范围内的物体，如细砂沙。

由于我们通常在一种普通的处理方式中不能够构建这种多义性，因此出现了模糊集理论。

模糊集理论将条件分解成可被计算的成分，并提供了两种比较语句，以替代确定的相等和比较关系：“如果X属于Y”与“如果X不属于Y”。

模糊集理论和理论的一个重要舞台是节点（membership）函数。

节点函数将离散值链接到集合中，该集合可能建立在模糊集概念上，以及定义当值处于属性范围时，集合中元素的状态概念。

模糊集理论可以用来表示和处理有关诸如决策系统、专家系统、状态识别系统和控制系统等领域的许多模糊结构。

例如，模糊集理论可用来表示“暖”的语义，可以定义一个给定限度的暖度成分，用于计算属性范围内的暖度。

同样，你也可以定义一个语义表示“如果暖一点，就觉得很好”。

在其他方面，它也可以用来表示系统输入，以及它们之间的关系，以及它们到系统输出的影响。

因此，模糊集理论的应用范围非常广泛，被用于机器学习，数据挖掘，机器视觉，语音识别，建模和仿真，以及工业控制等计算机任务的解决方案。

它高度重视“不确定性”，减少了我们在研究实例时常常面临的困难，允许用户在可以定义的模糊集上使用模糊逻辑来解决复杂问题。

今天，它已经成为人工智能领域及其它多学科间的流行工具，并被许多应用领域所采用。

模糊数学——模糊映射与模糊变换教学课件

f R 是X到Y的模糊映射。
。
于是，也确定了模糊映射 f R
模糊变换
定义4.3.2 称映射 T : F ( X ) F (Y ), A T ( A) B
为X到Y得模糊变换。
由定义可知，模糊变换是集合变换的推广，即在影射T下，将模糊集A变成模糊集B. 若模糊变换T满足
T ( A B) T ( A) T ( B), T (A) T ( A),
因为Tf是由f诱导出的，所以 :Tf(A)=A•Rf .
r11 r12 令R r21 r22 , r r r 1,1,0 r 31 32 r
r 11 1 有，,0,0 r21 r 31
11 21
r 12 r22 0.2,0.5 , r32
例4. 3. 1 设 X x1 , x2 , x3 , x4 , Y y1, y2, y3 , 令
f1 : x1 f1 ( x1 ) x2 f1 ( x2 ) x3 f1 ( x3 ) x4 f1 ( x4 ) 1 y1 , y1 1 1 y1 , y2 , y1 y2 1 y3 , y3 1 1 1 y1 , y2 , y3 ; y1 y2 y3 0.2 0.3 0.8 , y1 y2 y3
B是Y上的模糊子集。因此，T是X到Y的一个模糊变换。
模糊变换
例4.3.3
f : X Y,
T : F ( X ) F (Y ),
由1.4节的扩张原理知
A T ( A) f ( A), T 1 : F (Y ) F ( X ), B T ( B) f ( B)
则T是X到Y的模糊线性变换，

模糊集理论及其应用_第一章

1 μA
11
1.2 模糊集合与隶属函数(1/5)
目录
由此可见，模糊集合 A 是一个抽象的概念，其元素是不确定的，我们只能通过隶属函数 A来认识和掌握 A ．A(u)的数值的大小反映了论域Ｕ中的元素 u 对于模糊集合 A 的隶属程度， A(u)的值越接近于1 ，表示u隶属于A 的程度越高；而μＡ(u)的值越接近于０，表示u 隶属于 A 的程度越低．特别地，若A(u) =１，则认为u完全属于A ；若A(u) =０，则认为u完全不属于A．因此, 经典集合可看作是特殊的模糊集合．换言之，模糊集合是经典集合的推广。
3
模糊数学的概念处理现实对象的数学模型确定性数学模型:确定性或固定性,对象间有必然联系. 随机性数学模型:对象具有或然性或随机性模糊性数学模型:对象及其关系均具有模糊性. 随机性与模糊性的区别随机性:指事件出现某种结果的机会. 模糊性:指存在于现实中的不分明现象. 模糊数学:研究模糊现象的定量处理方法.
5
数学建模与模糊数学相关的问题
模糊数学—研究和处理模糊性现象的数学（概念与其对立面之间没有一条明确的分界线）与模糊数学相关的问题（一）
模糊分类问题—已知若干个相互之间不分明的
模糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个模糊概念来反映更合理准确模糊相似选择 —按某种性质对一组事物或对象排序是一类常见的问题，但是用来比较的性质具有边界不分明的模糊性
模糊集理论及其应用
1
前言：什么是模糊数学
•模糊概念
秃子悖论: 天下所有的人都是秃子
设头发根数n n=1 显然
若n=k 为秃子 n=k+1 亦为秃子
模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间无明显分界线年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。

集值映射及其应用

集值映射及其应用引言集值映射是一种在数学、计算机科学和统计学中广泛应用的技术。

它通过将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的对应元素，实现了集合之间的转换和关联。

集值映射在数据处理、图像处理、机器学习等领域中具有重要的应用。

什么是集值映射集值映射是一种将一个集合中的元素映射到另一个集合中的对应元素的技术。

其中，一个集合被称为输入空间，另一个集合被称为输出空间。

集值映射可以是一对一的映射，也可以是多对一或一对多的映射。

集值映射的类型根据映射类型的不同，集值映射可以分为以下几种类型：1. 单值映射单值映射是指每个输入元素只能被映射到一个输出元素的映射。

在单值映射中，每个输入元素都有唯一的输出。

2. 多值映射多值映射是指一个输入元素可以被映射到多个输出元素的映射。

在多值映射中，每个输入元素对应一个或多个输出元素。

3. 值域映射值域映射是指在集值映射中，输出空间的元素由多个输入对象共同映射。

值域映射将多个输入元素映射到输出集合中的同一个元素。

分段映射是指根据输入元素的取值范围将集合划分为不同的子集，每个子集内进行独立的映射。

分段映射可以根据具体需求将输入空间划分为若干区间，并为每个区间设置不同的映射规则。

集值映射的应用集值映射在许多领域中都有广泛的应用，下面我们将介绍一些常见的应用案例。

1. 数据处理在数据处理中，鉴于不同类型的数据需要以不同的形式进行存储和分析，常常需要进行集值映射。

例如，在图像处理中，可以将像素值映射到不同的颜色空间，如将RGB颜色空间映射为HSV颜色空间或灰度空间。

这样做可以方便图像的分析和处理。

2. 图像处理集值映射在图像处理中起到至关重要的作用。

它可以帮助改变图像的明暗、对比度和颜色等特征，实现图像的增强和改变。

例如，通过将图像的像素值映射到不同的对比度范围，可以提高图像的清晰度和可视性。

3. 机器学习在机器学习中，集值映射也是一个重要的工具。

通过将输入数据映射到合适的特征空间，可以有效地提取数据中的重要特征，从而提高机器学习算法的性能。

第一章模糊集

1.模糊集：设U 是论域，所谓U 上的“模糊集Fuzzy ”A ,是指对任意U x ∈，x 常以某个程度[])1,0(∈u u 属于A ,而非A x ∈或A x ∉。

（即对U A ⊂，若A 的边界也不清楚，则称A 为U 上的模糊集合）2.模糊集的隶属函数⑴论域：将所讨论的对象限制在一定范围内，并称所讨论对象的全体为论域。

记为X ，Y ，U 等。

集合（子集合）若对U x A x ∈→∈∀，则称A 是X 的子集，记为U A ⊂。

⑵特征函数称下述映射 {}1,0→X 确定的函数()X A μ为X 上集合A 的特征函数： ()X x A μ→1 ，A x ∈()X A μ=0，A x ∉⑶隶属函数设U 是论域，μ：[]1,0→U ，称μ是U 上的隶属函数，记U 上的隶属函数全体为)(U SH ,又记U 上的模糊集的全体为)(U F ，令)(U SH 与)(U F 一一对应。

于是，对任意()U SH ∈μ，有唯一U 上的模糊集)(~U F A ∈与之对应。

记此μ为~A μ，称~A μ为~A 的隶属函数，对任意U x ∈，称)(~x A μ为x 对~A 的隶属度。

注：因为{}[]1,01,0⊂，所以经典集A 的特征函数A μ也是隶属函数，经典集是模糊集的特例。

⑶定义1.所谓给定了论域U 上的一个模糊子集~A ,是指对于任何X x ∈，都给定了一个数[]1,0)(~∈x A μ，称做x 对~A 的隶属度，[]1,0:~→U A μ称作~A 的隶属函数，记为))((~~⎰=uA x x A μ，当U 为有限集{}n x x ,1时，~A 也可记为nn A A x x x x A )()(~~11~μμ++=，如果)(~x A μ的最大值等于1，则称~A 为正则模糊数集。

（4）隶属函数的确定专家评定法（德尔菲方法）：对任何U x ∈，由专家打分，指定)(~x A μ；1）模糊统计方法：根据所提出的模糊概念进行统计试验，从而确定隶属函数的方法。