第三章 晶体的宏观对称

1.对称面（P）
对称面为一假 想的面，相对应的 对称操作是对此平 面反映，它使图形 平分成两个镜像相
等的部分。
对称面的分布
垂直并平分晶面
垂直并平分晶棱 包含晶棱并穿过角顶
注 意
a. 晶体中可以没有对 称面，也可以有对称面， 但最多只能有9个对称面； b. 必须通过晶体中心， 其出现的位置多垂直并平 分于晶面或晶棱；
低级晶族晶体的对称分类
中级晶族晶体的对称分类
高级晶族晶体的对称分类
对称轴的分布
通过晶棱中点且垂直该晶棱的直线——L2 ; 通过晶面中心且垂直该晶面的直线——L4; 通过角顶的直线——L3
晶体的对称定律：晶体中只能出现 轴次为 1 、 2 、 3 、 4 、 6 的对称轴，而 不能出现5次或高于6次的对称轴。
晶体对称 的有限性 所决定
原理：L5、L7和L8等不符合空间格子的规 律，在空间格子中，垂直对称轴一定有面网存 在，围绕该对称轴转动所形成的多边形应该符 合于该面网上结点所围成的网孔。 围绕L2、L3、L4、L6所形成的多边形，都 能毫无间隙地布满平面，都可能符合空间格子 的网孔。而垂直于L5、L7和L8等所形成的正五 边形、正七边形和正八边形却不能毫无间隙地 布满平面，不符合空间格子的网孔，所以在晶 体中不可能存在5次或高于6次的对称轴。
定理4（ P和Lin的组合,倒转面式组合） 如果有 1 个 L 2 垂直于 n 次旋转反伸轴 L i n ， 或有一个P包含n次旋转反伸轴Lin时，则当n为 奇数时，必有n个共源自文库的L2垂直此Lin和n个P同 时包含此Lin；当n为偶数时，必有n/2个共点 的L2垂直此Lin和n/2个P同时包含此Lin。 Lin × P(‖) = Lin × L2（⊥）→ Linn L2 n P Lin n / 2 L2 n / 2 P 当n为偶数时，例：Li42 L22P；L i63 L23P 当n为奇数时，例：L i33 L23P＝L33L2 3PC
※其辅助的对称操作有2个※
旋转+反伸
Li1=C
Li2=P
Li3=L3+C
Li4
Li6=L3+P⊥
各种旋转反伸轴的图解
5.旋转反映轴(映转轴)（Lsn）
旋转反映轴为一假想的直线和垂直 此直线的一个平面 ，相对应的对称操 作是围绕此直线的旋转后对对垂直此直 线上的一个平面的反映的复合操作，操 作后可使图形相等的部分重复。
三 晶体的宏观对称操作和对 称要素
指能够使对称物体中的各个相同部 分作有规律重复的变换动作。 如：旋转、反映、反伸、旋转 反伸等。
对称操作: 对称操作（变换）就
对称要素:
对称要素就是指在进行对称操作 时所凭借的几何要素。
所凭借的点、线和面被分别称 为对称中心（C）、对称轴（L）和 对称面（P）。
Ln × L2（⊥）→ Ln n L2 例：3L2、L33L2、L44L2、L66L2
逆定理：如果两个L2相交,在交点上并垂 直两个L2必产生一个Ln，其基转角是两个 L2夹角的2倍,并导出其他n个在垂直Ln平面 内的L2。
定理2 ( P、 Ln和C的组合,中心式组合)
如果有一个对称面 P 垂直偶次对称轴 Ln（n为
各种旋转反映轴的图解
四 对称要素的组合
在结晶多面体中，当几种对称要素 同时存在时，任意两种对称要素的组合 必定要导出第三种对称要素。其作用等 于前两种对称要素作用之和。但对称要 素的组合不是任意的, 必须符合对称要 素的组合规律。
定理1（ L2和Ln的组合,轴式组合） 如果一个 L 2 垂直于 L n 时，则①必有 n 个L2同时垂直此Ln; ②相邻两个L2的夹角 为Ln的基转角的一半。
3.对称中心（C）
对称中心为一假想 的点，相对应的对称操 作是对于此点反向延 伸 ，通过此点，等距 离两端必能找到相对应 的点 。
在晶体中可没 有对称中心，若有 则只能有 1 个，出 现在晶体的中心。
规律
若晶体具有对称中心，其相应 的晶面、晶棱、角顶都体现反向平 行。其晶面必然都是两两平行而且 相等的，这一点可以用来作为判别 晶体有无对称中心的依据。
偶数），则在其交点存在对称中心C。
Ln × C = Ln ×P（⊥）→ LnPC （n为偶数） 例：L2PC、L4PC、L6PC
逆定理：如果有一个偶次对称轴L2n与对称中 心共存，则通过 C且垂直该对称轴必有一对称面 P。 或如果有一个对称面 P 与对称中心 C 共存，则过 C 且垂直P必有一个L2（这个L2可能包含在其他偶次 轴中而不独立出现）。
32 种对称型可以分成 A 类（ 27 种）和B类（5种）。
A 、 B 类对称型都可以用投影的方 式表达（推导）出来。 32 种对称型 要求重点掌握的对称型有11种。
A类对称型的推导
原始式: L1、L2、L3、L4、L6
倒转原始式: Li4、L i6
中心式(×C):C、L3C、L4PC、L6PC
定理3（ P和Ln的组合,面式组合） 如果有一个对称面（P）包含一个对 称轴 L n ，则①必有 n 个 P 同时包含此 L n ； ②相邻两个 P的夹角为 Ln的基转角的一半。 Ln × P(‖) → Ln n P 例：L22P、L33P、L44P、L66P 逆定理：如果有两个对称面相交，则 P的交线必为一个Ln，其基转角等于相邻 两个P的夹角的2倍，并导出其他n个包含 Ln的P。
四次轴,即z轴方向(c) 与四次轴垂直,在x或y轴方向(a) 与四次轴垂直,与位2成45°角(a+b） x轴方向(a) y轴方向(b) c轴方向(c) y轴方向(b) 任意方向
四方晶系
斜方晶系 单斜晶系 三斜晶系
C 圣弗利斯符号
的规律创立的符号。
Schoenflies早期根据对称要素组合
Cn表示Ln，如C1、C2、C3、C4、C6
晶体的对称性是 由晶体的格子构造所 决定的，研究晶体的 对称性对于认识晶体 的各项性质和晶体分 类具有重要意义。
完全性：所有晶体都具有对称性。 如L1（质点在三维空间有规律的重 复——格子构造所决定的）；
有限性：晶体的对称要素是有限 的。要受到晶体对称规律的控制，即 不出现5次或高于6次的对称轴； 一致性（表里如一）：晶体的对 称不仅体现在外形上，也体现在物理 性质上，即：不仅包含几何意义，还 包含物理化学意义。
由于全部对称要素都通过一点(几 何点 ) ，进行对称操作时该点不移动， 因此对称型也称为点群。
2.32种对称型
由于晶体对称要素的有限性， 对称要素组合的有规律性，因此，
晶体中的对称型也是有限的。这种
有限性表现在实际晶体中只有 32 种
对称型（赫赛尔 Hessel，1830）。
3.32种对称型的推导
各晶族、晶系晶体对称的特点
晶族 晶族特点 晶系 等轴晶系 四方晶系 中级晶族 一个高次轴 六方晶系 三方晶系 对称型数量 5 7 7 5 对称特点 有4 L3 有1个L4 有1个L6 有1个L3 高级晶族 多个高次轴
斜方晶系
低级晶族 没有高次轴 单斜晶系 三斜晶系
3
3 2
多于1个L2或P
1个L2或P 无L2和P
B 国际符号
在现代文献中一般都采用的比较 简明的对称型符号。由Hermann和 Mauguin创立的，亦称HM符号。
国际符号既能表明了对称要素 的组合，也能表明了对称要素的方 位，这就要求读者要有明确的晶体 定向的空间概念。
国际符号中以1，2，3，4，6（n） 和1，2，3，4，6（n）分别表示各种轴 次的对称轴和旋转反伸轴；以 m 表示对 称面。 若对称面与对称轴垂直,则两者之 间以斜线或横线隔开,如：L2PC以2/m表 示;L4PC以4/m表示。 在国际符号中有1-3个序位,每一序 位代表一定的方向,并且在不同晶系中, 同一序位所代表的方向不同。
B类对称型——推导从略
共有5种：
原始式 3L24L3
中心式 3L24L33PC
轴 式 3L24L36L2 面 式 3Li44L36P 面轴式 3L44L36L29PC
3.对称型的符号 A 习惯符号
习惯符号（全面符号）以对称要 素总和的形式来代表对称型。
如：3L23PC
这种表示方法可以使全部对称要素 一目了然，但它不能反映出各对称要素 间的组合关系。
定理4逆定理：如果有一个L2与一个 P斜交，则P的法线与L2的交角为δ，则 平行于P且垂直于L2的直线必为一Lin， n＝360°/ 2δ。
定理5(欧拉定理,对称轴之间的组合)
两个对称轴的适当组合将产生第三 个对称轴
五 32个对称型(点群)及其推导
1.对称型的概念
晶体形态中，全部对称要素的组 合称为该晶体的对称型。
4. 旋转反伸轴(倒转轴、反轴、反 演轴)（Lin）
旋转反伸轴为一假想的直线和此直线上 的一个定点 ，相对应的对称操作是围绕此 直线的旋转和对此直线上的一个定点（相 当于对称中心）反伸的复合操作 ，图形围 绕此直线旋转一定角度后，再对直线上的
一个定点进行反伸，可使相等部分重复 。
Li4 的四方四面体及赤平投影
c. 对称面的数目写在 前面：如，9P。
2.对称轴（Ln ）
对称轴为一假想的直线，相 对应的对称操作是围绕此直线的 旋转 ，旋转一定角度后可使相同 (等）部分有规律地重复 。
L 1无实际意义，高于 2次的对称轴称为 高次轴（L3、L4、L6）
轴次（n）:旋转一周重复的次数；
基转角（α）:重复时所旋转的最小 角度。 n = 360°/ α
h表示水平，v表示直立；如C2h ，C6v
Dn表示Ln × L2（⊥）组合，如D3，D3h
i表示反伸；s表示反映；V代表D2，
T代表3L24L3；O代表3L44L36L2等
六 晶体的对称分类
晶类：属于同一对称性（点群）的 晶体为一晶类。 晶体的对称分类
根据晶体的对称特点，可以将 其划分为三个晶族（根据是否有高 次轴或高次轴的多少来划分）、七 个晶系（在晶族中，根据对称型的 特点来划分晶系）。
各晶系对称型的国际符号中各位序所代表的方向
晶 系 国际符号 中的位序 1 2 3 代表的方向 x或y或z轴方向(a) 三次轴方向(a+b+c) x、y或x、z或y、z轴之间(a+b)
等轴晶系
三方及六 方晶系
1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 1
六次或三次轴，即z轴方向(c) 与六次或三次轴垂直,在x或y或u轴方向上(a) 与六次或三次轴垂直,与位2的方向成30°角(2a+b)
轴式(×L2（⊥）):3L2、L33L2、L44L2、L66L2
面式(×P(‖)): P、L22P、L33P 、L44P、L66P 倒转面式(×P(‖)C): Li42L22P、L i63L23P 面轴式 ( × P ( ‖) × L 2 （⊥） ) : L 2 PC 、 3L 2 3PC 、 L33L23PC、L44L25PC、L66L27PC
第三章 晶体的宏观对称
一 对称的概念
对称就是物体（或图形）中，
其相同部分之间的有规律的重复.
例：蝴蝶、 花冠、建筑物、面容、雪花
各 种 各 样 的 对 称
各 种 各 样 的 对 称
1)相同部分
强 调
2)有规律的重复
二 晶体对称的特点
晶体的对称表现 为晶面、晶棱、角顶 作有规律的重复—— 宏观对称。