广西柳州市2021届高三第一次模拟考试数学(文)试题 扫描版含答案
广西柳州市2021届高三第一次模拟考试数学(文)试卷(图片版)
柳州市2021届高三第一次模拟考试文科数学(参考答案)一、选择题：(每小题5分,满分60分)123456789101112B C A D B C D C D C B C二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．714．15215．1216．512+三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17．解：（1）由题意，()()()2015133251018582x +++++-+-+-==，.....................................2分()()()6.5 3.5 1.50.50.5 2.5 3.5988y ++++-+-+-==，.................................................4分8182221593ˆ24812845125682i i i i i x y nxyb xnx ==--⨯⨯===⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭∑∑，...........................................................................6分∴91518ˆ2ˆ42ay bx =-=-⨯=，...............................................................................................7分故线性回归方程为1142ˆy x =+，..............................................................................................8分（2）由题意，设该同学的物理成绩为ω，则物理偏差为：91.5ω-..............................................9分而数学偏差为128-120=8，...........................................................................................................10分∴1191.5842ω-=⨯+，.............................................................................................................11分解得94ω=，所以，可以预测这位同学的物理成绩为94分．.............................................12分18．解：（1） ()()22222cos b c b a c abc C --+=，∴()()2222cos 2b c b c a a C bc-+-=，.....................................................................................1分由余弦定理可得()2cos cos b c A a C -=，............................................................................2分由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos B A C A A C -=，................................................3分A B C π++=，∴()2sin cos sin cos cos sin sin sin B A C A C A C A B =+=+=，.................................4分 sin 0B ≠，∴1cos 2A =.......................................................................................................5分由()0,A π∈，则3A π=..............................................................................................................6分（2）如图，在BCD ∆中，2BD =，1CD =，由余弦定理得：22212212cos 54cos BC D D =+-⨯⨯=-，..................................................................... 3A B π==，∴3C π=，ABC ∆为等边三角形，∴2153sin 3cos 234ABC S BCD △π=⨯⨯=-，................................................................... 1sin sin 2BDC S =BD DC D D ∆⨯⨯⨯=，...............................................................................9分∴5353sin 3cos 2sin 4453324ABDC S D D D 四边形π⎛⎫=+-=+-= ⎪⎭+⎝，..............10分∴sin()13D π-=，............................................................................................................................ (0,)D π∈，即56D π=.............................................19．解法一：（1） //AB CD ,所以1,2AM AB MC CD ==即13AM AC =．........................................................................................................................... //MN 平面PCD ，MN ⊂平面PAC ，平面PAC ⋂平面PCD PC =，...........................................................................................2分∴//MN PC ．..........................................................................................................................3分∴13AN AM AP AC ==，即13λ=．............................................................................................4分(2) 0,60AB AD BAD =∠=，∴ABD ∆为等边三角形，∴1BD AD ==，....................5分又 1PD =，2PA PB ==，∴222PB PD BD =+且222PA PD AD =+，∴PD BD ⊥且PD DA ⊥，...................................................................................................7分又 DA DB D ⋂=，∴PD ABCD ⊥平面.....................................................................8分 PD ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD ．作ME CD ⊥于E ， 平面PCD ⋂平面=ABCD CD ，∴ME ⊥平面PCD ．............................................................................................................9分又 //MN 平面PCD ，∴ME 即为N 到平面PCD 的距离．........................................10分在△ABD 中，设AB 边上的高为h ，则32h =，...............................................................11分 23MD MC BD AC ==，∴2333ME h ==，即N 到平面PCD 的距离为33．.............12分解法二：（1）同解法一．（2） 0,60AB AD BAD =∠=，所以ABD ∆为等边三角形，∴1BD AD ==，....................................................................................................................5分又 1PD =，2PA PB ==，∴222PB PD BD =+且222PA PD AD =+，∴PD BD ⊥且PD DA ⊥，...................................................................................................7分又 DA DB D ⋂=，∴PD ⊥平面ABCD ．..................................................................8分设点N 到平面PCD 的距离为d ，由13AN AP =得23NP AP =，.................................9分∴2233N PCD A PCD P ACD V V V ---==，......................................................................................10分即2193ACD PCD PD S d S ⋅=⋅ ． 1322ACD S AD DC sin ADC =⋅⋅∠= ，112PCD S PD CD =⋅= ，1PD =，..................................................................................................................................11分∴231923d ⨯=，解得33d =，即N 到平面PCD 的距离为33．.................................................................................12分20．解：（1）设焦距为2c ，由已知32c e a ==，22b =，∴1b =，2a =，..........................................................................................................................2分∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=..........................................................................................4分（2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222418440k x kmx m +++-=，.........................................................................................5分依题意，()()()2228441440km k m ∆=-+->，化简得2241m k <+，①................................................................................................................6分2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++，...........................................................................................7分()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，........................................................8分若54OM ONk k ⋅=，则121254y y x x =，即121245y y x x =，...................................................................9分∴()221212124445k x x km x x m x x +++=，...................................................................................10分∴()()22222418454404141m km k km m k k -⎛⎫-⋅+⋅-+= ⎪++⎝⎭，............................................................11分即()()()2222224518410k m k m m k ---++=，化简得2254m k +=，②............................12分21．解：（1）'1()0(),x f x f x m +∞=+的定义域是（，），………………………………………………1分若0m ≥，则()0f x '>，()f x 在定义域内单调递增，无最大值；………………………2分若0m <，当1(0,)x m∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1()x m∈-+∞，时，()0f x '<，()f x 单调递减。
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柳州市2021届高三第一次模拟考试文科数学(参考答案)一、选择题：(每小题5分, 满分60分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112B C A D B C D C D C B C二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．7 14．152 15．12 16 三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17．解：（1）由题意，()()()2015133251018582x +++++−+−+−==， .................. 2分 ()()()6.5 3.5 1.50.50.5 2.5 3.5988y ++++−+−+−==， ....................... 4分 8182221593ˆ24812845125682i ii i i x y nxy b xnx ==−−××=== −−×∑∑， .................................... 6分 ∴91518ˆ2ˆ42a y bx =−=−×=， .............................................. 7分 故线性回归方程为1142ˆy x =+， ............................................. 8分 （2）由题意，设该同学的物理成绩为ω，则物理偏差为：91.5ω− ............................................ 9分 而数学偏差为128-120=8， .................................................... 10分 ∴1191.5842ω−=×+， ..................................................... 11分 解得94ω=，所以，可以预测这位同学的物理成绩为94分． ...................... 12分18．解：（1）Q ()()22222cos b c b a c abc C −−+=， ∴()()2222cos 2b c b c a a C bc −+−=， ......................................... 1分 由余弦定理可得()2cos cos b c A a C −=， ..................................... 2分由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos B A C A A C −=，....................... 3分Q A B C π++=，∴()2sin cos sin cos cos sin sin sin B A C A C A C A B =+=+=， ................ 4分 Q sin 0B ≠，∴1cos 2A = ..................................................................................................... 5分 由()0,A π∈，则3A π=. ........................................................................................................... 6分（2）如图，在BCD ∆中，2BD =，1CD =，由余弦定理得：22212212cos 54cos BC D D =+−××=−，.................................. 7分 Q 3A B π==，∴3C π=，ABC ∆为等边三角形，∴21sin 23ABC S BC D △π=××=， ................................ 8分 Q 1sin sin 2BDC S =BD DC D D ∆×××=， ...................................... 9分∴sin 2sin 32ABDC S D D D 四边形π =+=+−= ， ...... 10分 ∴sin(13D π−=， ............................................................ 11分 Q (0,)D π∈，即56D π= ............................................................................................................ 12分 19．解法一：（1）Q //AB CD ,所以1,2AM AB MC CD == 即13AM AC =． ............................................................ 1分 Q //MN 平面PCD ，MN ⊂平面PAC ，平面PAC ∩平面PCD PC =， ............................................ 2分 ∴//MN PC ． ........................................................... 3分 ∴13AN AM AP AC ==，即13λ=． .......................................................................................... 4分 (2) Q 0,60AB AD BAD =∠=，∴ABD ∆为等边三角形，∴1BD AD ==， .................... 5分又Q 1PD =，PA PB ==，∴222PB PD BD =+且222PA PD AD =+，∴PD BD ⊥且PD DA ⊥， ................................................ 7分 又Q DA DB D ∩=，∴PD ABCD ⊥平面 .................................................................... 8分 Q PD ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD ．作ME CD ⊥于E ，Q 平面PCD ∩平面=ABCD CD ，∴ME ⊥平面PCD ． ........................................................................................................... 9分又Q //MN 平面PCD ，∴ME 即为N 到平面PCD 的距离． ...................10分在△ABD 中，设AB 边上的高为h ，则h = ............................... 11分Q 23MD MC BD AC ==，∴23ME h ==，即N 到平面PCD ． ............. 12分 解法二：（1）同解法一．（2）Q 0,60AB AD BAD =∠=，所以ABD ∆为等边三角形，∴1BD AD ==， .................................................................................................................. 5分又Q 1PD =，PA PB ==，∴222PB PD BD =+且222PA PD AD =+，∴PD BD ⊥且PD DA ⊥， ................................................ 7分 又Q DA DB D ∩=，∴PD ⊥平面ABCD ． ................................................................ 8分 设点N 到平面PCD 的距离为d ，由13AN AP =得23NP AP =， ............................... 9分 ∴2233N PCD A PCD P ACD V V V −−−==， .................................................................................... 10分 即2193ACD PCD PD S d S ⋅=⋅V V ．Q 12ACD S AD DC sin ADC =⋅⋅∠=V ，112PCD S PD CD =⋅=V ， 1PD =， ............................................................................................................................... 11分∴2193d =，解得d =即N 到平面PCD ． ............................................................................... 12分20．解：（1）设焦距为2c，由已知c e a ==，22b =， ∴1b =，2a =， ........................................................... 2分∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ........................................... 4分 （2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立2214y kx m x y =+ += 得()222418440k x kmx m +++−=， ........................................... 5分 依题意，()()()2228441440km k m ∆=−+−>， 化简得2241m k <+，① ...................................................... 6分2121222844,4141km m x x x x k k −+=−=++， ............................................ 7分 ()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++， ........................... 8分 若54OM ONk k ⋅=，则121254y y x x =， 即121245y y x x =， ................................. 9分 ∴()221212124445k x x km x x m x x +++=， ........................................ 10分 ∴()()22222418454404141m km k km m k k − −⋅+⋅−+= ++ ， ............................. 11分 即()()()2222224518410k m k m m k −−−++=，化简得2254m k +=，② ............. 12分 21．解：（1）'1()0(),xf x f x m +∞=+的定义域是（，），………………………………………………1分 若0m ≥，则()0f x ′>，()f x 在定义域内单调递增，无最大值；………………………2分若0m <，当1(0,)x m∈−时，()0f x ′>，()f x 单调递增；当1()x m∈−+∞，时，()0f x ′<，()f x 单调递减。
广西柳州市2021届高三第一次模拟考试 语文(含答案)
2021届高三第一次模拟考试语文(考试时间 150分钟满分150分)注意事项：1.本试题分为选择题和非选择题两种类型，请把答案填写在答题卡上，否则答题无效。
2.作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、现代文阅读(36分)(一)论述类文本阅读(本题共3小题，9分)阅读下面的文字，完成1~3题。
以易解史，即是以易学思维来认识历史、评论历史，这是中国传统史学的一个显著特点。
班固作为封建正统史家的代表，他撰述《汉书》，“综其行事，旁贯《五经》”，自觉以儒家思想作指导。
而在儒家“六经”中，《周易》在班固心目中占有独特的地位。
他以“六经”为诸子之源，而视《周易》为“六经”之首，“《易》的尊崇地位的确立，班固是立了功的。
”正因此，《汉书》重视以易解史，成为汉代史学以易解史的重要代表。
《汉书》深受《周易》及汉易时代天人一体思维的影响，以易学思维为依据，以历史学的形式对天人关系做出了新的探讨，从中表达了对于社会和谐的向往与追求。
首先，“列人事而因以天时”。
《四库全书》说：“《易》之为书，推天道以明人事者也。
”《汉书》在天人关系上，明确认为人事需要顺应天道。
《律历志上》说：《易》金火相革之卦曰“汤武革命，顺乎天而应乎人”，又曰“治历明时”，所以和人道也。
班固明确认为，“列人事而因以天时”，这是孔子作《春秋》的旨趣，也符合《易》的精神。
这里所引“汤武革命，顺乎天而应乎人”和“治历明时”，分别出自《革卦》的《彖辞》与《象辞》，前者以汤武革命之事发论，肯定其乃顺天应人之举，所以取得成功;后者字面含义是整治历法以明四时之序，意为治理国事需要取象历法。
二者其实都是强调人事需要取法天道，也只有取法天道才能成功。
其次，“财成辅相天地之宜”。
人道仿效、顺从天道是促成人事的先决条件。
如何仿效、顺从天道?《汉书》以《易传》为依据，提出了“财成辅相天地之宜”的思想。
《汉书》的这一思想，集中见于《货殖传》的叙述，文中阐发了“育之以时，而用之有节”的思想，主张要顺应自然节气，养育积蓄万物，以足备功用。
广西省柳州市2021届新第一次高考模拟考试数学试卷含解析
广西省柳州市2021届新第一次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f xx x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】可将问题转化，求直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临界点，进一步确定k 的取值范围即可 【详解】可求得直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线为1y mx =-()m k =-，当0x >时，()ln 2f x x x x =-，()'ln 1f x x =-，当x e =时，()'0f x =，则当()0,x e ∈时，()'0f x <，()f x 单减，当(),x e ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单增；当0x ≤时，()232f x x x =+，()3'22f x x =+，当34x =-，()'0f x =,当34x <-时，()f x 单减，当304x -<<时，()f x 单增； 根据题意画出函数大致图像，如图：当1y mx =-与()232f x x x =+（0x ≤）相切时，得0∆=，解得12m =-；当1y mx =-与()ln 2f x x x x =-（0x >）相切时，满足ln 21ln 1y x x xy mx m x =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，解得1,1x m ==-，结合图像可知11,2m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，即11,2k ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题 2．已知数列{}n a 满足：12125 1,6n n n a a a a n -≤⎧=⎨-⎩L …()*n N ∈)若正整数()5k k ≥使得2221212k k a a a a a a ++⋯+=⋯成立，则k =（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】B 【解析】 【分析】计算2226716...5n n a a a a a n ++++=-+-，故2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，解得答案.【详解】当6n ≥时，()1211111n n n n n a a a a a a a +--==+-L ，即211n n n a a a +=-+，且631a =.故()()()222677687116......55n n n n a a a a a a a a a n a a n +++++=-+-++-+-=-+-，2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，故17k =.故选：B . 【点睛】本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.3． 若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6, +∞）D ．[4, +∞）【答案】D 【解析】解：x 、y 满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y 经过C 点时，函数取得最小值， 由解得C （2，1），目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4，+∞）．故选D ．4．已知随机变量X 服从正态分布()4,9N ，且()()2P X P X a ≤=≥，则a =（ ） A ．3 B ．5C ．6D ．7【答案】C 【解析】 【分析】根据在关于4X =对称的区间上概率相等的性质求解． 【详解】4μ=Q ，3σ=，(2)(42)(42)(6)()P X P X P X P X P X a ∴≤=≤-=≥+=≥=≥，6a ∴=．故选：C ． 【点睛】本题考查正态分布的应用．掌握正态曲线的性质是解题基础．随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()()P X m P X m μμ≤-=≥+．5．已知||23z z i =-（i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数），则复数z 在复平面内对应的点在（ ）. A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】设i,(,)z a b a b R =+∈，由||23z z i =-，得222i=(2)i=3a b z a b +--+，利用复数相等建立方程组即可. 【详解】设i,(,)z a b a b R =+∈，则222i=(2)i=3a bz a b +--+，所以22320a b a b ⎧+⎪=⎨⎪+=⎩，解得2a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩2i 2z =-，复数z在复平面内对应的点为(2)2-，在第四象限. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.6．集合{}2|30A x x x =-≤，(){}|lg 2B x y x ==-，则A B ⋂=( )A ．{}|02x x ≤<B ．{}|13x x ≤<C ．{}|23x x <≤D ．{}|02x x <≤【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合A ，再根据对数的真数大于零化简集合B ，求交集运算即可. 【详解】由230x x -≤可得03x ≤≤，所以{|03}A x x =≤≤，由20x ->可得2x <,所以{|2}B x x =<,所以{|02}A B x x ⋂=≤<，故选A ．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，涉及一元二次不等式解法及对数的概念，属于中档题. 7．已知{}n a 为等比数列，583a a +=-，4918a a =-，则211a a +=（ ） A ．9 B ．－9C ．212D ．214-【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的下标和性质可求出58,a a ,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出211a a +.【详解】∵4958+=+,∴495818a a a a ==-,又583a a +=-,可解得5863a a =-⎧⎨=⎩或5836a a =⎧⎨=-⎩ 设等比数列{}n a 的公比为q ,则当5863a a =-⎧⎨=⎩时,38512a q a ==-, ∴3521183612131222a a a a q q -⎛⎫+=+=+⨯-= ⎪⎝⎭-； 当5836a a =⎧⎨=-⎩时, 3852a q a ==-,∴()()35211833216222a a a a q q +=+=+-⨯-=-. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题. 8．已知函数()sin 2cos 2f x x a x =+的图象的一条对称轴为12x π=，将函数()f x 的图象向右平行移动4π个单位长度后得到函数()g x 图象，则函数()g x 的解析式为（ ） A ．()2sin(2)12g x x π=- B ．()2sin(2)12g x x π=+C ．()2sin(2)6g x x π=-D ．()2sin(2)6g x x π=+【答案】C 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简三角函数式，结合12x π=为函数()f x 的一条对称轴可求得a ，代入辅助角公式得()f x 的解析式.根据三角函数图像平移变换，即可求得函数()g x 的解析式.【详解】函数()sin 2cos 2f x x a x =+，由辅助角公式化简可得()()2,tan f x x a θθ=+=， 因为12x π=为函数()sin 2cos 2f x x a x =+图象的一条对称轴，代入可得sin 2cos 21212a ππ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即12=(20a -=，即a =所以()sin 22f x x x =+2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭将函数()f x 的图象向右平行移动4π个单位长度可得()g x ， 则()2sin 22sin 2436g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故选：C. 【点睛】本题考查了辅助角化简三角函数式的应用，三角函数对称轴的应用，三角函数图像平移变换的应用，属于中档题.9．如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．83C ．6D ．8【答案】A 【解析】 【分析】先由三视图确定该四棱锥的底面形状，以及四棱锥的高，再由体积公式即可求出结果. 【详解】由三视图可知，该四棱锥为斜着放置的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，上底为1，下底为2，高为2，四棱锥的高为2， 所以该四棱锥的体积为()11V 1222232=⨯⨯+⨯⨯=. 故选A 【点睛】本题主要考查几何的三视图，由几何体的三视图先还原几何体，再由体积公式即可求解，属于常考题型. 10．设集合{}12M x x =<≤，{}N x x a =<，若M N M ⋂=，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞ B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】由M N M ⋂=得出M N ⊆，利用集合的包含关系可得出实数a 的取值范围. 【详解】{}12M x x =<≤Q ，{}N x x a =<且M N M ⋂=，M N ∴⊆，2a ∴>.因此，实数a 的取值范围是()2,+∞. 故选：C. 【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题.11．已知函数log ()a y x c =+（a ，c 是常数，其中0a >且1a ≠）的大致图象如图所示，下列关于a ，c 的表述正确的是（ ）A ．1a >，1c >B ．1a >，01c <<C ．01a <<，1c >D ．01a <<，01c <<【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项. 【详解】从题设中提供的图像可以看出()01,log 0,log 10a a a c c <<>+>， 故得01,01c a <<<<， 故选：D ． 【点睛】本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征，本题属于基础题. 12．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．8【答案】D 【解析】【分析】先确定集合P 中元素的个数，再得子集个数． 【详解】由题意{|13}{0,1,2}P x N x =∈-<<=，有三个元素，其子集有8个． 故选：D ． 【点睛】本题考查子集的个数问题，含有n 个元素的集合其子集有2n 个，其中真子集有21n -个． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022学年广西柳州市高三(上)摸底数学试卷(文科)(附答案详解)
2021-2022学年广西柳州市高三（上）摸底数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−4x−5<0}，集合B={x|y=√x−2}，则A∩B=()A. (−1,2]B. [2,5)C. [0,5)D. [2,3)2.复数z=2+i2−i(i为虚数单位)，则其共轭复数z−=()A. 35+45i B. 45+35i C. 35−45i D. 45−35i3.在等差数列{a n}中，若a2+a6=10，a5=9，则a10=()A. 20B. 24C. 27D. 294.已知F是抛物线y2=8x的焦点，直线l是抛物线的准线，则F到直线l的距离为()A. 2B. 4C. 6D. 85.阅读如图的程序框图，输出的结果为()A. 17B. 10C. 9D. 56.下列有关命题的说法正确的是()A. 命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B. 若p∨q为真命题，则p，q均为真命题C. “x=−1”是“x2−5x−6=0”的必要不充分条件D. 命题“若x=y，则x2=y2”的逆否命题为真命题7.在三棱锥P−ABC中，若PA=PB=PC，则顶点P在底面ABC上的射影O必为△ABC的()A. 内心B. 垂心C. 重心D. 外心8.若曲线f(x)=e x+2x在点(x0,f(x0))处的切线的斜率为4，则x0=()A. ln2B. ln4C. 2D. −ln29.2020年初，新型冠状病毒(COVID−19)引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示：第x周12345治愈人数y(单位：十人)38101415由上表可得y关于x的线性回归方程为ŷ=b̂x+1，则此回归模型第5周的残差(实际值减去预报值)为()A. −1B. 0C. 1D. 210.我国著名数学家华罗庚曾说：数缺形时少直观，形少数时难人微，数形结合百般好，割裂分家万事休．在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的解析式琢磨函数图象的特征．如函数y=(x3−x)⋅3|x|的图象大致是()A. B.C. D.11.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1和F2，点F1关于渐近线bx−ay=0的对称点恰好落在圆(x−c)2+y2=c2上，则双曲线的离心率为()A. √2B. 2C. 2√2D. 312.已知函数f(x)=cos(cosx)+sin(cosx)，x∈R，有下述四个结论：①函数f(x)是奇函数；②函数f(x)的最小正周期是π；③函数f(x)在[0,π2]上是减函数；④函数f(x)在[π2,π]上的最大值是1． 其中正确的结论一共有( )个A. 1B. 2C. 3D. 4二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设平面向量a ⃗ =(1,−1)，b ⃗ =(−1,2)，c ⃗ =(2,3)，则(2a ⃗ −b ⃗ )⋅c ⃗ = ______ ． 14. 已知变量x ，y 满足{y ≥0y ≤x x +y −3≤0，则x =2x +3y 的最大值为______．15. 将函数f(x)=2sin(ωx −π3)(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位，得到函数y =g(x)的图象，若数y =g(x)在[−π4,π3]上为增函数，则ω的取值范围是______． 16. 若球O 是直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的外接球，三棱柱的高和体积都是4，底面是直角三角形，则球O 表面积的最小值是______． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 随着我国老龄化进程不断加快，养老将会是未来每个人要面对的问题，而如何养老则是我国逐渐进入老龄化社会后，整个社会需要回答的问题.为了调查某地区老年人是否愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如表：(Ⅰ)估计该地区老年人中，愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构的男性老年人的比例以及女性老年人的比例；(Ⅱ)根据统计数据能有多大的把握认为该地区的老年人是否愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构与性别有关？请说明理由． 参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)． 参考数据：18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2=a2+bc．(1)求角A的大小；(2)求cosB+cosC的取值范围．19.设数列{a n}的前n项和S n=2a n−2．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记数列{1a n }的前n项和为T n，求使得|T n−1|<1500成立的n的最小值．20.如图，直四柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2，E为BA1的中点，底面ABCD是边长为4的菱形，∠ADC=60°．(1)证明：E，C1，A，D四点共面；(2)求点E到平面A1CD的距离．21. 已知函数f(x)=2x −ax −(a +2)lnx(a ∈R)．(1)当a =4时，求函数f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)的单调性．22. 已知动点P 到点F 1(−1,0)的距离与到点F 2(1,0)的距离之和为2√2，若点P 形成的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)过F 1作直线l 与曲线C 分别交于两点M ，N ，当F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 最大时，求△MF 2N 的面积．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A ={x|x 2−4x −5<0}={x|−1<x <5}， 集合B ={x|y =√x −2}={x|x ≥2}， ∴A ∩B =[2,5)． 故选：B ．先解不等式求出集合A ={x|−1<x <5}，集合B ={x|x ≥2}，再利用交集运算即可求解．此题考查了交集及其运算，不等式的解法，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：复数z =2+i2−i =(2+i)2(2+i)(2−i)=3+4i 5=35+45i ，则z −=35−45i ， 故选：C ．利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由共轭复数的概念得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：设公差为d ，则{a 2+a 6=2a 1+6d =10a 5=a 1+4d =9，解得{a 1=−7d =4，所以a 10=a 1+9d =−7+36=29． 故选：D ．由通项公式得{a 2+a 6=2a 1+6d =10a 5=a 1+4d =9，解出a 1，d 即可．本题考查等差数列的通项公式，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：由抛物线的方程y2=8x可得2p=8，所以p=4，,0)，即(2,0)，所以焦点F(p2准线方程l的方程为：x=−2，所以可得焦点到直线的距离为2+2=4，故选：B．由抛物线的方程可得p的值，进而求出焦点坐标及准线方程，求出焦点到准线的距离．本题考查抛物线的性质，由方程求出抛物线的焦点坐标及准线方程，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：程序开始，第1次循环，S=0+2=2，a=2×2−1=3，第2次循环，S=2+3=5，a=2×3−1=5，第3次循环，S=5+5=10，a=2×5−1=9，退出循环，最后输出a的值为9．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.【答案】D【解析】解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”故A错误；对于B：若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真命题，故B错误；对于C：“x=−1”是“x2−5x−6=0”的充分不必要条件，故C错误；对于D：命题“若x=y，则x2=y2”为真命题，故它的逆否命题为真命题，故D正确．故选：D．直接利用命题的否定和否命题的关系，充分条件和必要条件，四种命题，命题真假的判定的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：命题的否定和否命题的关系，充分条件和必要条件，四种命题，命题真假的判定，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：∵在三棱锥P −ABC 中，PA =PB =PC ，∴顶点P 在底面ABC 上的射影O 到底面三角形顶点距离相等，即0必为△ABC 的外心， 故选：D ．由已知可得顶点P 在底面ABC 上的射影O 到底面三角形顶点距离相等，即0必为△ABC 的外心．本题主要考查三棱锥的几何特征，属于基本知识的考查．8.【答案】A【解析】解：由f(x)=e x +2x ，得f′(x)=e x +2， ∴f′(x 0)=e x 0+2， 由题意可得，e x 0+2=4， 即x 0=ln2． 故选：A ．求出原函数的导函数，得到函数在x 0处的导数，再由f′(x 0)=4即可求解x 0，是基础题． 本题考查导数的几何意义及应用，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．9.【答案】A【解析】解：x −=15(1+2+3+4+5)=3，y −=15(3+8+10+14+15)=10，即样本点的中心坐标为(3,10)，代入y ̂=b ̂x +1，可得10=3b ̂+1，解得b ̂=3，∴线性回归方程为y ̂=3x +1，取x =5，得y ̂=16， ∴此回归模型第5周的残差为15−16=−1． 故选：A ．由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程可得b ̂，得到线性回归方程，进一步求得第5周的预报值，则残差可求．本题考查线性回归方程，考查残差的求法，是基础题．10.【答案】C【解析】解：根据题意，设f(x)=(x3−x)⋅3|x|，其定义域为R，有f(−x)=−(x3−x)⋅3|x|=−f(x)，函数为奇函数，排除BD，在区间(0,1)上，f(x)=(x3−x)⋅3|x|<0，排除A，故选：C．根据题意，先分析函数的奇偶性，排除BD，再分析区间(0,1)上，f(x)的符号，排除A，即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性和函数值符号的分析，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：根据题意作出如下所示的图形，其中F1关于渐近线的对称点为M，F1M与渐近线相交于点N，∴N是F1M的中点，∵O为F1F2的中点，∴ON//F2M，|ON|=12|F2M|=c2，在Rt△OF1N中，|OF1|=c，|ON|=c2，∴∠F1ON=60°，即渐近线bx−ay=0的斜率为tan60°=√3，∴ba=√3，∴离心率e=ca =√1+(ba)2=2．故选：B．设F1关于渐近线的对称点为M，F1M与渐近线相交于点N，由中位线的性质知|ON|=1 2|F2M|=c2，再在Rt△OF1N中，推出∠F1ON=60°，然后结合ba=tan60°和离心率e=√1+(ba)2，得解．本题考查双曲线的几何性质，点关于直线的对称问题，考查数形结合思想，运算求解能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：A选项，f(−x)=cos[cos(−x)]+sin[cos(−x)]=cos(cosx)+sin(cosx)= f(x)，所以f(x)为偶函数，①错误；B选项，f(0)=cos1+sin1，f(π)=cos(−1)+sin(−1)=cos1−sin1，所以f(0)≠f(π)，所以π不是周期，②错误；令t=cosx，则y=f(x)=cost+sint=√2sin(t+π4)=g(t)，所以g(t)在[−3π4,π4]上单调递增，[π4,5π4]上单调递减．C选项，当x∈[0,π2]时，t∈[0,1]，所以g(t)在[0,π4]上单调递增，[π4,1]上单调递减，所以f(x)在[0,π2]不是单调函数，③错误；D选项，当x∈[π2,π]时，t∈[−1,0]，所以t=cosx在[π2,π]上递减，g(t)在[−1,0]上递增，所以f(x)在[π2,π]上递减，最大值为f(π2)=cos0+sin0=1，④正确．故选：A．化简f(−x)，并由奇偶性的定义判断f(x)的奇偶性；计算f(0)，f(π)，根据f(0)≠f(π)得π不是f(x)的周期；t=cosx，则y=f(x)=cost+sint=√2sin(t+π4)，设g(t)=√2sin(t+π4)，则f(x)的单调性由t=cosx与g(t)的单调性共同决定，利用复合函数的单调性法则“同增异减”判断C、D选项．本题考查函数的周期性，奇偶性，复合函数的单调性，属于综合题．13.【答案】−6【解析】解：∵2a⃗−b⃗ =(3,−4),c⃗=(2,3)，∴(2a⃗−b⃗ )⋅c⃗=6−12=−6．故答案为：−6．可求出向量2a⃗−b⃗ 的坐标，然后进行向量坐标的数量积运算即可．本题考查了向量坐标的减法、数乘和数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】152【解析】解：画出不等式组{y ≥0y ≤x x +y −3≤0表示的平面区域如图所示：令z =2x +3y 可得y =−23x +13z ，则13z 为直线2x +3y −z =0在y 轴上的截距，截距越大，z 越大作直线l ：2x +3y =0，把直线向上平移可得过点B 时2x +3y 最大，由{y =x x +y −3=0，解得y =32，x =32，此时z =2×32+3×32=152． 故答案为：152．画出约束条件表示的平面区域，结合几何意义，求出目标函数z =2x +3y 取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数求出答案．本题考查了简单的线性规划问题，画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解题的关键．15.【答案】(0,32]【解析】解：g(x)=f(x +π3ω)=2sin[ω(x +π3ω)−π3]=2sinωx(ω>0)， ∵y =g(x)在[−π4,π3]上为增函数， ∴{−π4ω≥−π2π3ω≤π2，解得0<ω≤32，故答案为：(0,32].利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换可求得g(x)=2sinωx({ω>0)，再解不等式组{−π4ω≥−π2π3ω≤π2可得答案．本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查正弦函数的单调性及运算求解能力，属于中档题．16.【答案】20π【解析】解：如图，在Rt△ABC中，不妨设∠BAC=90°，AB=c，AC=b，则BC=√b2+c2，取BC，B1C1的中点分别为O2，O1，则O2，O1分别是Rt△ABC和Rt△A1B1C1的外接圆的圆心，连接O2O1，又直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的球心为O，则O为O2O1的中点，连接OB，则OB为三棱柱外接球的半径，设半径为R，因为三棱柱为直三棱柱，所以BB1=O2O1=4，所以三棱柱O−ABC的高为2，即OO2=2，因为三棱柱ABC−A1B1C1体积为4，即V ABC−A1B1C1=12bc×4=2bc=4，解得bc=2，在Rt△OO2B中，R2=(12BC)2+(OO2)2=(12√b2+c2)2+4=14(b²+c²)+4，则球的表面积S=4πR2=4π×(b2+c24+4)=π(b2+c2)+16π≥2πbc+16π=4π+ 16π=20π，当且仅当b=c时取得“=”，所以球O的表面积最小值为20π．故答案为：20π．根据题意，画出图形可知O为O2O1的中点，且有BC=√b2+c2，进而可求出球O的表面积表达式，利用基本不等式即可求出最小值本题考查三棱柱外接球表面积求法，数形结合是关键，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由统计数据可知，愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构的男性老年人数为160，调查总人数为200，故愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构的男性老年人的比例为160200=45；由统计数据可知愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构的女性老年人数为270，调查总人数为300，故愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构的男性老年人的比例为270300=910；(Ⅱ)由列联表的数据可得，K2的观测值K2=500×(40×270−30×160)270×430×200×300=3000301≈9.967>7.879，故有99.5%的把握认为是否愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构与性别有关．【解析】(Ⅰ)由题中的数据，求出愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构的男性和女性老年人数，结合总人数，即可得到答案；(Ⅱ)利用列联表中的数据，计算K2的观测值，对照临界表中的数值，即可判断得到答案．本题考查了独立性检验的应用，考查了统计基本思想以及抽象概括、数据处理等能力和应用意识，属于基础题．18.【答案】解：由b2+c2=a2+bc．得a2=b2+c2−bc．又由余弦定理知，a2=b2+c2−2bccosA，所以cosA=12，则内角A=π3，(2)∵A=π3，可得：C=2π3−B，∴cosB+cosC=cosB+cos(2π3−B)=12cosB+√32sinB=sin(π6+B)，∵B∈(0,2π3)，可得：π6+B∈(π6,5π6)，∴cosB+cosC∈(12,1]．【解析】(1)由余弦定理和特殊角的余弦函数值，可得所求角，(2)由(1)得：C=2π3−B，利用三角函数恒等变换的应用化简可求cosB+cosC=sin(π6+B)，由B ∈(0,2π3)，可得：π6+B ∈(π6,5π6)，由正弦函数的图象和性质即可得解．本题考查三角形的余弦定理的运用，以及特殊角的三角函数值，考查方程思想和运算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)S n =2a n −2．∴n ≥2，S n−1=2a n−1−2，相减可得：a n =2a n −2a n−1， 化为a n =2a n−1，n =1时，a 1=2a 1−2，解得a 1=2， ∴数列{a n }是等比数列，公比与首项都为2， ∴a n =2n ．(2)数列{1a n}的前n 项和T n =12+122+⋯+12n =12[1−(12)n ]1−12=1−(12)n ．|T n −1|<1500化为：12n <1500，解得n ≥9， ∴使得|T n −1|<1500成立的n 的最小值为9．【解析】(1)S n =2a n −2.n ≥2，S n−1=2a n−1−2，相减利用等比数列的通项公式即可得出．(2)利用等比数列的求和公式可得数列{1a n}的前n 项和T n ，代入|T n −1|<1500化简即可解出．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】(1)证明：连接AB 1，C 1D ，则AB 1C 1D 是平行四边形， 因为E 为BA 1的中点，所以AE//C 1D ，AE =12C 1D ，所以四边形AEC 1D 是梯形，所以E ，C 1，A ，D 四点共面；(2)解：取AA 1的中点M ，连接EM ，MC ，MD ，取AD 中点N ，连接CN ， 因为E 为BA 1的中点，所以EM//AB ，因为AB//CD，所以EM//CD，因为EM⊄平面A1CD，DC⊂平面A1CD，所以EM//平面A1CD，所以点E到平面A1CD的距离等于点M到平面A1CD的距离，设为d，因为底面ABCD是边长为4的菱形，∠ADC=60°，所以CN⊥AD，CN=2√3，AD=AC=4，因为AA1⊥平面ABCD，CN⊂平面ABCD，所以AA1⊥CN，因为AA1∩AD=A，所以CN⊥平面ADD1A1，因为V M−A1CD =V C−A1DM，即13S△A1CD⋅d=13S△A1DM⋅CN，又因为A1C=√A1A2+AC2=√22+42=2√5，A1D=√AA12+AD2=√22+42=2√5，CD=4，所以S△A1CD =12×4×√(2√5)2−22=8，因为S△A1DM =12A1M⋅AD=12×1×4=2，所以13×8d=13×2×2√3，解得d=√32．即点E到平面A1CD的距离为√32．【解析】(1)连接AB1，C1D，可得AE//C1D，AE=12C1D，可得AEC1D是梯形，即可得证；(2)取AA1的中点M，连接EM，MC，MD，取AD中点N，连接CN，则可得EM//平面A1CD，利用等积法即可求出答案．本题主要考查四点共面的证明，点到平面距离的求法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)当a=4时，函数f(x)=2x−4x−6lnx，x∈(0,+∞)．f′(x)=2+4x2−6x=2(x−1)(x−2)x2，可得函数f(x)在(0,1)，(2,+∞)上单调递增；在(1,2)上单调递减．∴x=1时，函数f(x)取得极大值，f(1)=−2；x=2时，函数f(x)取得极小值，f(2)=2−6ln2．(2)f′(x)=2+ax2−a+2x=2(x−a2)(x−1)x2，a ≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增．0<a <2时，函数f(x)在(0,a2)，(1,+∞)上单调递增；在(a2,1)上单调递减． a =2时，f′(x)=2(x−1)2x 2≥0，函数f(x)在x ∈(0,+∞)上单调递增．a >2时，函数f(x)在(0,1)，(a2,+∞)上单调递增；在(1,a2)上单调递减．【解析】(1)当a =4时，函数f(x)=2x −4x −6lnx ，x ∈(0,+∞).f′(x)=2(x−1)(x−2)x 2，研究其单调性即可得出极值． (2)f′(x)=2+a x 2−a+2x=2(x−a 2)(x−1)x 2，比较a 与2的大小关系，对a 分类讨论，进而得出函数的单调性．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)动点P 到两顶点F 1(−1,0)，F 2(1,0)的距离之和为2√2，所以|PF 1|+|PF 2|=2√2>|F 1F 2|=2， 则动点P 的轨迹是F 1，F 2为焦点的椭圆， 所以2a =2√2，c =1， 即a =√2，b 2=a 2−c 2=1， 所以曲线C 的方程为x 22+y 2=1．(2)①当直线l 的斜率不存在时，x =−1， 则M(−1,√22)，N(−1,−√22)，此时F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =72， S △MF 2N =12×2×|√22−(−√22)|=√2，②当直线l 的斜率存在时，设为y =k(x +1)(k ≠0)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 联立{y =k(x +1)x 22+y 2=1，得(1+2k 2)x 2+4k 2x +2k 2−2=0， 所以x 1+x 2=−4k 22k 2+1，x 1x 2=2(k 2−1)2k 2+1，所以y 1y 2=k(x 1+1)⋅k(x 2+1)=k 2(x 1x 2+x 1+x 2+1)=−k 22k 2+1，F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=x 1x 2−(x 1+x 2)+1+y 1y 2=2(k 2−1)2k 2+1+4k 22k 2+1+2k 2+12k 2+1−k 22k 2+1=7k 2−12k 2+1=72−94k 2+2<72，综合①②可得，当直线l ：x =−1时，F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值， 所以S △MF 2N =√2．【解析】(1)根据椭圆的定义可得动点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，求出a ，b 的值，即可得出答案．(2)对直线l 的斜率分类讨论，若斜率不存在，直接求出F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和S △MF 2N 的最值；若斜率不存在，设直线方程和点M ，N 坐标，联立方程组，并消元得到一元二次方程，根据韦达定理表示出x 1+x 2，x 1x 2，y 1y 2，进而表示出出F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，化简求值，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．。
广西省柳州市2021届新高考第一次适应性考试数学试题含解析
广西省柳州市2021届新高考第一次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为4，E 、F 、G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点.若O 在三棱锥A BCD -内，且三棱锥A BCD -的体积是三棱锥O BCD -体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积的比值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】【分析】如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面，计算4AH OH =，由勾股定理解得R =，此外接球的体积为3，三棱锥O EFG -体积为3，得到答案. 【详解】 如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面.正三棱锥A BCD -中，过A 作底面的垂线AH ，垂足为H ，与平面EFG 交点记为K ，连接OD 、HD . 依题意4A BCD O BCD V V --=，所以4AH OH =，设球的半径为R ，在Rt OHD V 中，OD R =，33HD BC ==，133R OH OA ==，由勾股定理：22233R R ⎛⎛⎫=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得R =， 由于平面//EFG 平面BCD ，所以AH ⊥平面EFG ，球心O 到平面EFG 的距离为KO ，则12233R KO OA KA OA AH R R =-=-=-==所以三棱锥O EFG -体积为211434433⨯⨯⨯⨯=，所以此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积比值为.故选：D.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，三棱锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 2．已知方程1x x y y +=-表示的曲线为()y f x =的图象，对于函数()y f x =有如下结论：①()f x 在()+-∞∞，上单调递减；②函数()()F x f x x =+至少存在一个零点；③()y f x =的最大值为1；④若函数()g x 和()f x 图象关于原点对称，则()y g x =由方程1y y x x +=所确定；则正确命题序号为( ) A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④【答案】C【解析】【分析】分四类情况进行讨论，然后画出相对应的图象，由图象可以判断所给命题的真假性.【详解】（1）当00x y ≥≥，时，221x y +=-，此时不存在图象； （2）当00，x y ≥<时，221-y x =，此时为实轴为y 轴的双曲线一部分； （3）当00，x y <≥时，221x y -=，此时为实轴为x 轴的双曲线一部分； （4）当00，x y <<时，221x y +=，此时为圆心在原点，半径为1的圆的一部分；画出()y f x =的图象，由图象可得：对于①，()f x 在()+-∞∞，上单调递减，所以①正确； 对于②，函数()y f x =与y x =-的图象没有交点，即()()F x f x x =+没有零点，所以②错误； 对于③，由函数图象的对称性可知③错误；对于④，函数()g x 和()f x 图象关于原点对称，则1x x y y +=-中用x -代替x ，用y -代替y ，可得1y y x x +=，所以④正确.故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的图象与性质，函数的零点概念，考查了数形结合的数学思想.3．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ． 【答案】B【解析】【分析】根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案.【详解】设()ln 1g x x x =--，(1)0g =，则1()ln 1f x x x =--的定义域为(0,1)(1,)x ∈+∞U .1()1g x x '=-，当(1,)x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单增，当(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单减，则()(1)0g x g ≥=.则()f x 在(0,1)x ∈上单增，(1,)x ∈+∞上单减，()0f x >.选B.本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断. 4．将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则“6π=ϕ”是“()f x 是偶函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】求出函数()y f x =的解析式，由函数()y f x =为偶函数得出ϕ的表达式，然后利用充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为()sin 3sin 393f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 若函数()y f x =为偶函数，则()32k k Z ππϕπ+=+∈，解得()6k k Z πϕπ=+∈， 当0k =时，6π=ϕ. 因此，“6π=ϕ”是“()y f x =是偶函数”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用图象变换求三角函数解析式以及利用三角函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.5．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（ ）A ．12πB ．3πC ．6πD ．9π 【答案】C【解析】【分析】利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率计算公式，即可求解.10=， 利用等面积法，可得其内切圆的半径为6826810⨯==++r ， 所以向次三角形内投掷豆子，则落在其内切圆内的概率为2216682ππ⋅=⨯⨯.故选：C.【点睛】 本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题，其中解答中熟练应用直角三角形的性质，求得其内切圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6．将3个黑球3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有（ ）A ．14种B ．15种C ．16种D ．18种 【答案】D【解析】【分析】采取分类计数和分步计数相结合的方法，分两种情况具体讨论，一种是黑白依次相间，一种是开始仅有两个相同颜色的排在一起【详解】首先将黑球和白球排列好，再插入红球.情况1：黑球和白球按照黑白相间排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此时将红球插入6个球组成的7个空中即可，因此共有2×7=14种； 情况2：黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”），此时红球只能插入两个相同颜色的球之中，共4种.综上所述，共有14+4=18种.故选：D【点睛】本题考查排列组合公式的具体应用，插空法的应用，属于基础题7．设a ，b ，c 分别是ABC ∆中A ∠，B Ð，C ∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ⋅--=与sin sin 0bx B y C +⋅+=的位置关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直【解析】试题分析：由已知直线sin 0A x ay c ⋅--=的斜率为，直线sin sin 0bx B y C +⋅+=的斜率为，又由正弦定理得，故，两直线垂直考点：直线与直线的位置关系 8．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（ ）A ．122π-B ．21π-C ．22π-D ．24π-【答案】C【解析】【分析】根据组合几何体的三视图还原出几何体，几何体是圆柱中挖去一个三棱柱，从而解得几何体的体积.【详解】由几何体的三视图可得，几何体的结构是在一个底面半径为1的圆、高为22高为2的棱柱，故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积， 即21V 12222222ππ=••-•••=-，故选C.【点睛】本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问题，解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体，然后根据几何体的结构求出其体积.9．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是（ ）A ．1．1B ．1C ．2．9D ．2．8【答案】C【解析】【分析】 根据程序框图的模拟过程，写出每执行一次的运行结果，属于基础题.【详解】初始值0n =，1S =第一次循环：1n =，11122S =⨯=； 第二次循环：2n =，121233S =⨯=； 第三次循环：3n =，131344S =⨯=； 第四次循环：4n =，141455S =⨯=； 第五次循环：5n =，151566S =⨯=； 第六次循环：6n =，161677S =⨯=； 第七次循环：7n =，171788S =⨯=； 第九次循环：8n =，181899S =⨯=； 第十次循环：9n =，1910.191010S =⨯=≤； 所以输出190.910S =⨯=. 故选：C【点睛】本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果，属于基础题.10．函数cos 1ln(),1,(),1x x x f x xex π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果.【详解】当1x >时，()1ln()f x x x=-， 由1,y y x x=-=在()1,+∞递增， 所以1t x x =-在()1,+∞递增 又ln y t =是增函数，所以()1ln()f x x x =-在()1,+∞递增，故排除B 、C当1x ≤时()cos x f x e π=，若()0,1x ∈，则()0,x ππ∈所以cos t x π=在()0,1递减，而t y e =是增函数所以()cos x f x eπ=在()0,1递减，所以A 正确，D 错误故选：A【点睛】 本题考查具体函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题.11．已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数都有2()e ()x f x f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若e (21)(1)a f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是( )A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．[0,)+∞ D ．(,0]-∞【答案】B【解析】【分析】 先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果.【详解】令()()x g x e f x =，则当0x <时，()[()()]0x g x e f x f x ''=+>，又()()()()x x g x ef x e f xg x --=-==，所以()g x 为偶函数， 从而()()211a e f a f a +≥+等价于211(21)(1),(21)(1)a a ef a e f ag a g a +++≥++≥+， 因此22(|21|)(|1|),|21||1|,3200.3g a g a a a a a a -+≥-+-+≥-++≤∴-≤≤选B. 【点睛】 本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.12．已知向量a r ，b r 夹角为30°，(a =r ，2b =r ，则2a b -=r r ( )A ．2B ．4C ．D ．【答案】A【解析】【分析】 根据模长计算公式和数量积运算，即可容易求得结果.【详解】由于2a b -===r r 2=， 故选：A.【点睛】本题考查向量的数量积运算，模长的求解，属综合基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西柳州市数学高三文数一模试卷
广西柳州市数学高三文数一模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高三上·龙泉驿月考) 已知全集，集合，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知复数的实部为1，且，则复数的虚部是（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·黑龙江模拟) 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为（）A .B .C .4. （2分）(2017·重庆模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A . 24πB . 12πC . 8πD . 6π5. （2分）下列对一组数据的分析，不正确的说法是（）A . 数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定.B . 数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定C . 数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定D . 数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定6. （2分）(2018·衡水模拟) 已知函数与轴的交点为，且图象上两对称轴之间的最小距离为，则使成立的的最小值为（）A .B .C .7. （2分）设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则的值为（）A .B .C .D . 18. （2分） (2016高三上·安徽期中) 在直角三角形ABC中，角C为直角，且AC=BC=2，点P是斜边上的一个三等分点，则 =（）A . 0B . 4C .D . ﹣9. （2分） (2019高三上·铁岭月考) 若是方程的解，是方程的解，则等于（）A .B . 1C .D . -110. （2分） (2015高二上·柳州期末) 如图，已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2 ， |F1F2|=8，P是双曲线右支上的一点，直线F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=2，则该双曲线的离心率为（）A .B .C . 2D . 311. （2分）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（）A . 8πcm2B . 12πcm2C . 16πcm2D . 20πcm212. （2分） (2018高二下·鸡泽期末) 已知函数的零点，且（，），则（）A . 5B . 4C . 3D . 2二、填空题 (共4题；共12分)13. （5分）过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，当α最小时，此时点P坐标为________ ．14. （5分） (2017高二下·雅安期末) 函数f（x）=x3+sinx，（﹣1＜x＜1），若f（x2）+f（﹣x）＞0，则实数x的取值范围是：________．15. （1分）一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m．若水面下降2m，则水面宽度为________ m．16. （1分）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A=， a=2，bcosC﹣ccosB=2，则∠B=________三、解答题 (共7题；共75分)17. （15分） (2016高三上·崇礼期中) 数列{an}是以d（d≠0）为公差的等差数列，a1=2，且a2 ， a4 ，a8成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=an•2n（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn ．18. （10分） (2016高二下·南阳期末) 某校为了探索一种新的教学模式，进行了一项课题实验，甲班为实验班，乙班为对比班，甲乙两班的人数均为50人，一年后对两班进行测试，测试成绩的分组区间为[80，90）、[90，100）、[100，110）、[110，120）、[120，130），由此得到两个班测试成绩的频率分布直方图：（1）完成下面2×2列联表，你能有97.5%的把握认为“这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实验有关”吗？并说明理由；成绩小于100分成绩不小于100分合计甲班a=________b=________50乙班c=24d=2650合计e=________f=________100（2）现从乙班50人中任意抽取3人，记ξ表示抽到测试成绩在[100，120）的人数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．附：K2= ，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.204 6.6357.87910.82819. （10分）如图，在四棱锥A﹣BECD中，已知底面BECD是平行四边形，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD= ．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面BECD；（Ⅱ）求点E到平面ACD的距离．20. （10分）(2019·浙江模拟) 对于椭圆，有如下性质：若点是椭圆外一点，，是椭圆的两条切线，则切点所在直线的方程是，利用此结论解答下列问题：已知椭圆和点，过点作椭圆的两条切线，切点是，记点到直线（是坐标原点）的距离是，（Ⅰ）当时，求线段的长；（Ⅱ）求的最大值.21. （10分）(2017·莆田模拟) 设函数f（x）=xex﹣ax（a∈R，a为常数），e为自然对数的底数．（1）若函数f（x）的任意一条切线都不与y轴垂直，求a的取值范围；（2）当a=2时，求使得f（x）+k＞0成立的最小正整数k．22. （10分） (2019高三上·沈河月考) 在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为的正半轴建立平面直角坐标系 .（1）求和的参数方程；（2）已知射线，将逆时针旋转得到，且与交于两点，与交于两点，求取得最大值时点的极坐标.23. （10分） (2019高一上·盘山期中) 已知函数 .（1）若的零点为2，求；（2）若在上单调递减，求的最小值；（3）若对于任意的都有，求的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共12分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、。
广西柳州市2023届新高三摸底考试数学(文)试题含答案
柳州市2023届新高三摸底考试文科数学（考试时间120分钟满分150分）注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．3．做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）1.已知集合{}2|1A x x =≤，{}|1B y y =≥-，则A B = （）A.∅B.[]1,1- C.[1,)-+∞ D.[1,1)-2.设m ∈R ，若复数12i z =-+的虚部与复数2i z m m =+的虚部相等，则12z z ⋅=（）A.3i-+ B.1i-- C.3i- D.3i--3.已知向量,a b ，的夹角为3π，且2a = ，3b =r ，则()a b a ⋅-= （）A.－1B.4C.－2D.14.某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（）A.这五个社团的总人数为100B.脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%C.这五个社团总人数占该校学生人数的8%D.从这五个社团中任选一人，其来脱口秀社团或舞蹈社团的概率为50%5.执行如图所示的程序框图,输出的s 值为()A.2B.32C.53D.856.若35lg 0.3,log 2,log 4a b c ===，则（）A.c b a >>B.b c a >>C.c a b>> D.a b c>>7.若()4sin π5α-=，则cos 2α＝（）A.－2425B.725 C.－725D.24258.设变量x ，y 满足约束条件202011x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩，则目标函数z x y =+的最小值为（）A.2B.－3C.－2D.09.已知直线(0)y kx k =>与圆()()22:214C x y -+-=相交于A ，B两点AB =，则k ＝（）A.15 B.43C.12D.51210.若直线π4x =是曲线πsin (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的一条对称轴，且函数πsin(4y x ω=-在区间[0，π12]上不单调，则ω的最小值为（）A.9B.7C.11D.311.已知(1)f x -是定义为R 上的奇函数，f (1)＝0，且f (x )在[1,0)-上单调递增，在[0,)+∞上单调递减，则不等式()230xf -<的解集为（）A.(1,2)B.(,1)-∞ C.(2,)+∞ D.(,1)(2,)-∞⋃+∞12.如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，从2F 发出的光线经过图2中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且3cos 5BAC ∠=-，AB BD ⊥，则E 的离心率为（）A.52B.3C.2D.第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卡上）13.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3450,3a a a =+=，则11S =___．14.若函数()ln 1f x x x =+，则()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为___．15.已知12,F F 是椭圆22143x y +=的左、右焦点，P 在椭圆上运动，求1211PF PF +的最小值为___．16.在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为线段11B D 上的动点，现有下面四个命题：①直线DE 与直线AC 所成角为定值；②点E 到直线AB 的距离为定值；③三棱锥1E A BD -的体积为定值；④三棱锥1E A BD -外接球的体积为定值．其中所有真命题的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并将答案写在答案卡相应题号的空白处）17.在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2sin a C =．（1）求角A 的大小；（2）若2b =，a =，求△ABC 的面积．18.已知数列{}n a 满足111,21n n a a a +==+.（1）证明{}1n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和公式.19.2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了200人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占23，而男生有20人表示对冰球运动没有兴趣．（1）完成22⨯列联表，并回答能否有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男110女合计（2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取2人，求至少有1人对冰球有兴趣的概率．()20P K k ≥0.100.050.0250.0100k 2.7063.8415.0246.635()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．20.如图，在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．21.已知函数()ln 2af x x x x=+-．（1）讨论当0a >时，f (x )单调性．（2）证明：()222e xa x xf x x--+>．22.已知平面上动点Q （x ，y ）到F （0，1）的距离比Q （x ，y ）到直线:2l y =-的距离小1，记动点Q （x ，y ）的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程．（2）设点P 的坐标为（0，－1），过点P 作曲线C 的切线，切点为A ，若过点P 的直线m 与曲线C 交于M ，N 两点，证明：AFM AFN ∠=∠．柳州市2023届新高三摸底考试文科数学（考试时间120分钟满分150分）注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．3．做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）1.已知集合{}2|1A x x =≤，{}|1B y y =≥-，则A B = （）A.∅B.[]1,1- C.[1,)-+∞ D.[1,1)-【答案】B 【解析】【分析】先化简集合A ，再利用交集运算求解.【详解】因为21x ≤，所以11x -≤≤，即{}|11A x x =-≤≤，所以A B = {}|11x x -≤≤.故选：B.2.设m ∈R ，若复数12i z =-+的虚部与复数2i z m m =+的虚部相等，则12z z ⋅=（）A.3i -+B.1i-- C.3i- D.3i--【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得m 的值，利用复数的乘法化简可得结果.【详解】因为复数12i z =-+的虚部与复数2i z m m =+的虚部相等，则1m =，则21i z =+，因此，()()122i 1i i z z ⋅=-++=--.故选：D.3.已知向量,a b ，的夹角为3π，且2a = ，3b =r ，则()a b a ⋅-= （）A .－1B.4C.－2D.1【答案】A 【解析】【分析】根据数量积的运算求解即可【详解】()22123212a b a a b a ⋅-=⋅-=⨯⨯-=-r r r r r r 故选：A4.某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（）A.这五个社团的总人数为100B.脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%C.这五个社团总人数占该校学生人数的8%D.从这五个社团中任选一人，其来脱口秀社团或舞蹈社团的概率为50%【答案】B【解析】【分析】根据饼状图及有关数据得各个社团比例，计算人数及相应概率判断各选项．【详解】这五个社团的总人数为88010%=，804%2000=．A错误，C错误．因为太极拳社团人数的占比为1210%15%8⨯=，所以脱口秀社团人数的占比为110%15%30%25%20%----=，B正确．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为25%20%45%+=，D错误．故选：B．5.执行如图所示的程序框图,输出的s值为()A.2B.32C.53D.85【答案】C 【解析】【详解】试题分析：0k =时，03<成立，第一次进入循环：111,21k s +===；13<成立，第二次进入循环：2132,22k s +===；23<成立，第三次进入循环：31523,332k s +===，33<不成立，输出53s =，故选C.【名师点睛】解决此类型问题时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，并根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错.6.若35lg 0.3,log 2,log 4a b c ===，则（）A.c b a >>B.b c a>> C.c a b>> D.a b c>>【答案】A 【解析】【分析】利用对数的运算及对数函数的性质进行比较大小.【详解】因为lg 0.3lg10<=，所以0a <；因为3355log 2log 10,log 4log 10>=>=，所以0,0b c >>，42211log 5log 5log 2c ===，21log 3b=，而22log 3log >所以11b c>，即b c <.故选：A.7.若()4sin π5α-=，则cos 2α＝（）A.－2425B.725 C.－725D.2425【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的余弦公式化简计算作答.【详解】依题意，4sin 5α=，所以2247cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭.故选：C8.设变量x ，y 满足约束条件202011x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩，则目标函数z x y =+的最小值为（）A.2B.－3C.－2D.0【答案】C 【解析】【分析】作出平面区域，结合图像求直线y x z =-+在y 轴截距z 的最小值，通过平移直线y x =-可得在在点()1,1A --处取到最小值，代入运算求解．【详解】根据题意可得平面区域，如图所示：∵目标函数z x y =+，即y x z =-+，则求直线y x z =-+在y 轴截距z 的最小值结合图像可得在点()1,1A --处取到最小值()112z =-+-=-故选：C ．9.已知直线(0)y kx k =>与圆()()22:214C x y -+-=相交于A ，B两点AB =，则k ＝（）A.15 B.43C.12D.512【答案】B 【解析】【分析】圆心()2,1C 到直线(0)y kx k =>的距离为d，则d =而1d ===，所以1d ==，解方程即可求出答案.【详解】圆()()22:214C x y -+-的圆心()2,1C ，2r =所以圆心()2,1C 到直线(0)y kx k =>的距离为d，则d =，而1d ===，所以1d ==，解得：43k =.故选：B.10.若直线π4x =是曲线πsin (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的一条对称轴，且函数πsin(4y x ω=-在区间[0，π12]上不单调，则ω的最小值为（）A.9 B.7C.11D.3【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出ω的关系式，再求出函数πsin()4y x ω=-含有数0的单调区间即可判断作答.【详解】因直线π4x =是曲线πsin (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的一条对称轴，则πππ,N 442k k ωπ-=+∈，即43,N k k ω=+∈，由πππ242x ω-≤-≤得π3π44x ωω-≤≤，则函数πsin(4y x ω=-在π3π[,]44ωω-上单调递增，而函数πsin()4y x ω=-在区间π[0,]12上不单调，则3π412πω<，解得9ω>，所以ω的最小值为11.故选：C11.已知(1)f x -是定义为R 上的奇函数，f (1)＝0，且f (x )在[1,0)-上单调递增，在[0,)+∞上单调递减，则不等式()230xf -<的解集为（）A.(1,2)B.(,1)-∞ C.(2,)+∞ D.(,1)(2,)-∞⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】由(1)f x -是定义为R ()f x 关于(1,0)-点对称；再结合(1)0f -=，即可得出(3)(1)(1)0f f f -=-==.再结合f (x )在[1,0)-上单调递增，在[0,)+∞上单调递减，可知函数()f x 在(,2)-∞-上单调递减，在(2,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减.再分类讨论即可你求出答案.【详解】因为(1)f x -是定义为R 上的奇函数,所以(1)(1)f x f x -=---;函数()f x 关于(1,0)-点对称.当2x =时：(3)(1)0f f -=-=；当0x =时：(1)0f -=;所以()f x 在(,2)-∞-上单调递减，在(2,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减.所以当232x -<-时233x ->-，解得0x <;当2230x -≤-≤时231x -<-，解得01x ≤<;当230x ->时231x ->，解得2x >;综上所述：不等式()230xf -<的解集(,1)(2,)-∞⋃+∞故选：D.12.如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，从2F 发出的光线经过图2中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且3cos 5BAC ∠=-，AB BD ⊥，则E 的离心率为（）A.2B.173C.102D.【答案】B 【解析】【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用2||BF 表示11||,||,||BF AF AB ，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.【详解】依题意，直线,CA DB 都过点1F ，如图，有1AB BF ⊥，13cos 5BAF ∠=，设2||BF m =，则1||2BF a m =+，显然有14tan 3BAF ∠=，133||||(2)44AB BF a m ==+，231||24AF a m =-，因此，1271||2||24AF a AF a m =+=-，在1Rt ABF ，22211||||||AB BF AF +=，即222971(2)(2)()1624a m a m a m +++=-，解得23m a =，即1282||,||33BF a BF a ==，令双曲线半焦距为c ，在12Rt BF F 中，2222112||||||BF BF F F +=，即22228()()(2)33a a c +=，解得173c a =，所以E 的离心率为173.故选：B【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：①定义法，通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；②齐次式法，由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卡上）13.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3450,3a a a =+=，则11S =___．【答案】33【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出首项和公差，再利用前n 项公式计算作答.【详解】等差数列{}n a 中，30a =，由36453a a a a +=+=得63a =，则公差63163a a d -==-，首项1322a a d =-=-，所以11111(111)1111(2)55332S a d -=+=⨯-+=.故答案为：3314.若函数()ln 1f x x x =+，则()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为___．【答案】0x y -=【解析】【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得出答案.【详解】解：由函数()ln 1f x x x =+，得()11f =，()0,x ∈+∞，则()1ln f x x '=+，故()11f '=，所以()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为11y x -=-，即0x y -=.故答案为：0x y -=.15.已知12,F F 是椭圆22143x y +=的左、右焦点，P 在椭圆上运动，求1211PF PF +的最小值为___．【答案】1【解析】【分析】利用椭圆的定义知124PF PF +=，利用基本不等式即可求出1211PF PF +的最小值.【详解】因为12,F F 是椭圆22143x y +=的左、右焦点，P 在椭圆上运动，所以124PF PF +=.所以124PF PF =+≥，所以124PF PF ⋅≤（当且仅当12PF PF =时等号成立）.所以12121211414PF PF PF PF PF PF ++==⋅.即1211PF PF +的最小值为1.故答案为：116.在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为线段11B D 上的动点，现有下面四个命题：①直线DE 与直线AC 所成角为定值；②点E 到直线AB 的距离为定值；③三棱锥1E A BD -的体积为定值；④三棱锥1E A BD -外接球的体积为定值．其中所有真命题的序号是______．【答案】①③【解析】【分析】由线面垂直的性质定理得线线垂直判断①，由正方体的性质，可通过E 到11A B 的距离来计算E 到AB 的距离，从而判断②，根据棱锥体积公式，判断③，想象E 在不同位置时外接球的半径的变化，判断④．【详解】易证AC ⊥平面11BB D D ，DE ⊂平面11BB D D ，所以恒有AC DE ⊥，直线DE 与直线AC 所成角为90°，所以①是真命题．点E 到直线AB 的距离与点E 到直线11A B 的距离有关，所以②是假命题．因为11//B D BD ，由线面平行的判定定理可得11//B D 平面1A BD ，故点E 到平面1A BD 的距离d 为定值，则1113E A BD A BD V d S -=⋅△为定值，所以③是真命题．11//B D 平面1A BD ，E 在11B D 上变化，例如点E 在1D 处和在11B D 的中点处时，三棱锥1E A BD -的外接球半径不同，故其外接球的体积不是定值，所以④是假命题．故答案为：①③三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并将答案写在答案卡相应题号的空白处）17.在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2sin a C =．（1）求角A 的大小；（2）若2b =，a =，求△ABC 的面积．【答案】（1）3A π=（2）2【解析】【分析】（1）根据正弦定理结合内角的范围求解即可；（2）由余弦定理与面积公式求解即可【小问1详解】由已知及正弦定理知：2sin sin A C C =．因为C 为锐角，则sin 0C ≠，所以sin 2A =．因为A 为锐角，则3A π=【小问2详解】由余弦定理，2222cos b c bc A a +-=．则244cos73c c π+-=，即2230c c --=即()()310c c -+=，因为0c >，则3c =所以△ABC的面积11sin 32sin 2232S bc A π==⨯⨯=．18.已知数列{}n a 满足111,21n n a a a +==+.（1）证明{}1n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和公式.【答案】（1）证明见解析，21nn a =-（2）122n n S n+=--【解析】【分析】（1）由已知得a n +11+=2（a n 1+），112a +=，从而能证明{a n 1+}是首项为2，公比为2的等比数列，并能求出{a n }的通项公式．（2）利用分组求和可求解【详解】(1)由121n n a a +=+可得112(1)n n a a ++=+,即1121n n a a ++=+所以{}1n a +是一个以2为首项，以2为公比的等比数列所以12nn a +=,所以21nn a =-(2)123123(21)(21)(21)(21)n n n S a a a a =++++=-+-+-+- ()1232(12)2222(1111)12n nn-=+++-++++=-- 122n n+=--【点睛】本题考查等比数列的证明，考查等比数列的通项公式及前n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和的合理运用．19.2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了200人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占23，而男生有20人表示对冰球运动没有兴趣．（1）完成22⨯列联表，并回答能否有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男110女合计（2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取2人，求至少有1人对冰球有兴趣的概率．()20P K k ≥0.100.050.0250.0100k 2.7063.8415.0246.635()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案】（1）填表见解析；有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”；（2）910.【解析】【分析】（1）根据给定数据，完善22⨯列联表，计算2K 的观测值，再与临界值表比对作答.（3）对5人编号，利用列举法结合古典概型概率公式计算作答.【小问1详解】根据已知数据得到如下列联表：有兴趣没有兴趣台计男9020110女603090合计15050200根据列联表中的数据，得()22200903020602006.061110901505033K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，6.061 5.024>，所以有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”.【小问2详解】记至少1人对冰球有兴趣为事件D记5人中对冰球有兴趣的3人为A 、B 、C ，对冰球没有兴趣的2人为m 、n ，则从这5人中随机抽取2人，有(,),(,),(,),(),(),(),(),(),(),()A m A n B m B n C m C n A B A C B C m n ,,,,,,,，共10个结果，其中2人对冰球都有兴趣的有(,),(,),(,)A B A C B C ，共3个结果，1人对冰球有兴趣的有(,),(,),(,),(),(),()A m A n B m B n C m C n ,,,，共6个结果，则至少1人对冰球有兴趣的有9个结果，所以所求事件的概率9()10P D =．20.如图，在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）5.【解析】【分析】（1）证明,PO AC PO OB ⊥⊥，利用线面垂直判定定理求解；（2）利用等体积法求点C 到平面POM 的距离即可.【小问1详解】连接OB ，如图，∵2,AB BC AC ===，∴222AB BC AC +=，即△ABC 是直角三角形，又O 为AC 的中点，∴OA OB OC ==，又∵PA PB PC ==，∴POA POB POC≅≅ ∴90POA POB POC ∠=∠=∠= ．∴,,PO AC PO OB OB AC O ⊥⊥= ，OB 、AC ⊂平面ABC ∴PO ⊥平面ABC ．【小问2详解】由（1）得PO ⊥平面ABC ，PO ==在COM V 中，45OCM ∠= ，103OM ∴==．1110152233POM S PO OM =⨯⨯== 122233COM ABC S S =⨯⨯= 设点C 到平面POM 的距离为d ，由1133P OMC C POM POM OCM V V S d S PO --=⇒⨯⋅=⨯⨯ ，解得5d =，∴点C 到平面POM 的距离为2105．21.已知函数()ln 2af x x x x=+-．（1）讨论当0a >时，f (x )单调性．（2）证明：()222e xa x xf x x--+>．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）对函数求导，按18a ≥和108a <<两类讨论，得出函数的单调性；（2）要证()222e xa x xf x x--+>，即证e ln 2x x >+．构造函数()e ln 2(0)x h x x x =-->，利用函数的导数判断函数的单调性，求出函数的最小值，转化求解即可．【详解】（1）解：由题意可知()222120,2a x x ax f x x x x -+>=--=-对于二次函数22,18y x x a a =-+∆=-．当18a ≥时，()0,0f x '∆≤≤恒成立，f (x )在0x >上单调递减；当108a <<时，二次函数220y x x =-+-有2个大于零的零点，分别是12118118,44x x +==，当118118,44x ⎛+∈ ⎝⎭()0f x '>，f (x )在11811844x ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增；当1180,4x ⎛⎫⎫-∈⋃+∞ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()0f x '<，f (x )在1180,4x ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭和118,4⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减综上：当18a ≥时，f (x )在（0，＋∞）单调递减当108a <<时f (x )在118118,44x ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增；1181180,,44x ⎛⎫⎛⎫-+∈+∞ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭单调递减．（2）证明：要证()222e xa x x f x x--+>，即证e ln 2x x >+．（方法一）设()e ln 2(0)xh x x x =-->，则()1e xh x x='-，()h x '在（0，＋∞）上为增函数，因为()10,102h h ⎛⎫''<> ⎪⎝⎭，所以()h x '在（12，1）上存在唯一的零点m ，且()1e 0m h m m '=-=，即1e ,ln m m m m==-．所以h (x )在（0，m ）上单调递减，在(),m +∞上单调递增，所以()()min 1e ln 22220m h x h m m m m==--=+-≥-=，．因为1,12m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以等号不成立，所()e ln 20x h x x =-->，所以e ln 2x x >+，从而原不等式得证（方法二）不妨设()()e 1x h x x =-+，则()()e 1,00xh x h ''=-=，当0x <时，()00h '<，当0x >时，()00h '>，因此()()()00,e 10xh x h x ≥=-+≥恒成立，．则()()()ln ln 100h x x x h =-+≥=恒成立，．则()()()e 1ln 1e ln 20xx x x x x ⎡⎤-++-+=-+≥⎣⎦恒成立，即e ln 2x x ≥+．又ln x x ≠，所以等号不成立，即e ln 2x x >+，从而不等式得证22.已知平面上动点Q （x ，y ）到F （0，1）的距离比Q （x ，y ）到直线:2l y =-的距离小1，记动点Q （x ，y ）的轨迹为曲线．（1）求曲线C 的方程．（2）设点P 的坐标为（0，－1），过点P 作曲线C 的切线，切点为A ，若过点P 的直线m 与曲线C 交于M ，N 两点，证明：AFM AFN ∠=∠．【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意列出方程化简求解即可；（2）要使AFM AFN ∠=∠，只需0FM FN k k +=，利用斜率公式及根与系数的关系化简即可得证.【小问1详解】Q （x ，y ）21y =+-，当2y ≥-时，1y =+，平方可得24x y =，当2y <-时，3y =--，平方可得28(1)x y =+，由28(1)0x y =+≥可知1y ≥-，不合题意，舍去.综上可得24x y =，所以Q 的轨迹方程C 为24x y =．【小问2详解】不妨设2,(0)4t A t t ⎛⎫> ⎪⎝⎭，因为24x y =，所以2x y '=，从而直线PA 的斜率为24201t t t -+=，解得2t =，即A （2，1），又F （0，1），所以//AF x 轴．要使AFM AFN ∠=∠，只需0FM FN k k +=．设直线m 的方程为1y kx =-，代入24x y =并整理，得2440x kx -+=．首先，()21610k ∆=->，解得1k <-或1k >．其次，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12124,4x x k x x +==，()()21121212121111FM FN x y x y y y k k x x x x -+---+=+=()()21121222x kx x kx x x -+-=()121222x x k x x +=-8204k k =-=，故AFM AFN ∠=∠.此时直线m 的斜率的取值范围为()(),11,-∞-⋃+∞．。
广西高中2021届高三上学期高考精准备考原创模拟卷(一)数学(理+文)+文综试题 含答案
广西普通高中2021届高考精准备考原创模拟卷（一）理科数学本试卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{|1}A x x =∈>-Z ，集合{}2|log 2B x x =<，则A B ⋂=（ ） A ．{|14}x x -<< B ．{|04}x x << C ．{0,1,2,3} D ．{1,2,3} 2．若()1a bi i bi +=-，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则ab 等于（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．13．从4个男生、3个女生中随机抽取出3人，则抽取出的3人不全是男生的概率是（ ） A ．57 B ．45 C ．3135 D ．34354．已知0.8 2.13log 0.8,3,0.3a b c ===，则（ ）A ．a ab c <<B ．ac b c <<C ．ab a c <<D ．c ac b << 5．函数ln cos 22y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是面积，“势”即为高，意思是：夹在两平行平面之间的两个几何体，被平行这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相同，那么这两个几何体的体积相等．某几何体的三视图如图所示，该几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．483π-B ．42π-C ．283π- D ．8π- 7．如图是一个计算：201920172015201353-+-+⋅⋅⋅-+的算法流程图，若输入2019n =，则由上到下的两个空白内分别应该填入（ ）A ．12(1),2n S S n n n -=--⋅=- B ．1(1),1n S S n n n -=--⋅=-C ．1(1),2n S S n n n -=+-⋅=- D ．1(1),1n S S n n n -=+-⋅=-8．将函数()cos2sin (0)222x x x f x ωωωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移3πω个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．现在需要制作一个长和宽分别为m a 和m b 的矩形大裱框，要求其长和宽使用不同的材质，长和宽材质的单价分别为10元/m 和20元/m ，在总制作费用不超过100元的条件下，可裱框相片的最大面积为（ ） A ．225m 3 B ．225m 4 C ．225m 8 D ．225m 1610．在ABC 中，,120AB BC ABC =∠=．若以A ，B 为焦点的双曲线经过点C ，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D 11．在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0,)C c 作斜率为1的直线，与抛物线2y x =相交于A ，B 两点，过线段AB 的中点P 作一条垂直于x 轴的直线，与直线:l y c=-交于Q ，若QAB ，则c 的值为（ ）A B ．12 C ．14 D ．1812．设定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x 时，()f x x '<，若存在01()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+-+⎨⎬⎩⎭，则0x 的取值范围为（ ） A ．(,1]-∞ B ．[1,)+∞ C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在二项式6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数是15，则实数a 的值为_______．14．已知实数x，y满足约束条件2,220,20,xx yx y⎧⎪-+⎨⎪++⎩则3xzy=-+的最大值为__________．15．在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知231,60,a A b===，则ABC的面积为_____________．16．已知直三棱柱111ABC A B C-的底面为直角三角形，且内接于球O，若此三棱柱111ABC A B C-的高为2，体积是1，则球O的半径的最小值为___________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{}n a中，()115,2212nn na a a n n*-==+-∈N且．（1）求23,a a的值；（2）是否存在实数λ，使得数列2nnaλ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．18．（12分）在平行六面体1111ABCD A B C D-中，已知O为平行四边形11BDD B的中心，E为1CC的中点．（1）求证：OE ∥平面ABCD ；（2）若1B 在平面ABCD 上的射影为四边形ABCD 的中心，OE BD ⊥，1BB BD =，23ABC π∠=，求平面1BED 与平面ABCD 所成二面角（平面角不大于2π）的大小． 19．（12分）在网络空前发展的今天，电子图书发展迅猛，大有替代纸质图书之势．但电子阅读的快餐文化本质，决定了它只能承担快捷传递信息性很强的资料，缺乏思想深度和回味，电子阅读只能是传统纸质阅读的一种补充．看传统的书不仅是学习，更是种文化盛宴的享受，读书感受的不仅是跃然于纸上的文字，更注重的是蕴藏于纸质书中的中国传统文化．某地为了提高居民的读书兴趣，准备在各社区兴建一批自助图书站（电子纸质均可凭电子借书卡借书）由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现从一社区内随机抽取了一天中的80名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图．若将该80人分成两个年龄层次，年龄在[20,50)定义为中青年，在[50,80]定义为老年．（1）从这80名读书者中再次随机抽取3人作进一步调查，求抽取的这3人都为中青年的概率（直接用组合数表示）；（2）为进一步调查阅读习惯（电子阅读和传统阅读）与年龄层次是否有关，得到如下22⨯列联表：完善该表数据，并判断：是否有95%的把握认为“阅读习惯与年龄层次有关”．中青年 老年 合计 电子阅读13附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，（其中n a b c d =+++）临界值表供参考：3.841 20．（12分）设函数2()cos ,()sin af x x xg x x=+=． （1）当[0,]x π∈时，判断()f x 的单调性；（2）若当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()()0f x g x -恒成立，求a 的取值范围． 21．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴长为4，且经过点2P ⎭．（1）求椭圆的方程； （2）直线l 的斜率为12，且与椭圆相交于A ，B 两点（异于点P ），过P 作APB ∠的角平分线交椭圆于另一点Q ．（ⅰ）证明：直线PQ 与坐标轴平行；（ⅱ）当AP BP ⊥时，求四边形APBQ 的面积．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线1C 的直角坐标方程为2213y x +=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是1ρ=，四边形ABCD 的顶点都在曲线2C 上，点A 的极坐标为1,6π⎛⎫⎪⎝⎭，点A 与C 关于y 轴对称，点D 与C 关于直线6πθ=对称，点B 与D 关于x 轴对称．（1）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求点P 到直线CD 的距离d 的取值范围． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 设函数()|21||2|f x x x =--+． （1）解不等式()0f x >；（2）若0x ∃∈R ，使得()2024f x m m +<，求实数m 的取值范围．2021届高考精准备考原创模拟卷（一） 理科数学参考答案、提示及评分细则1．D ∵集合{|1}A x x =∈>-Z ，集合{}2|log 2{|04}B x x x x =<=<<，所以{1,2,3}A B ⋂=．2．B 因为()1a bi i bi +=-，所以1b ai bi -+=-，所以1,b a b -==-，所以1,1a b ==-．所以1ab =-．3．C “抽取出的3人不全是男生”记为事件A ，则A 表示“抽取出的3人全是男生”，34374()35C P A C ==，所以31()1()35P A P A =-=． 4．C ∵0,1,01a b c <><<，∴ab a c <<．5．B 由题得()lncos()lncos ()f x x x f x -=-==，所以函数()f x 是偶函数．所以图象关于y 轴对称，所以排除A ．C ．又,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以cos (0,1)x ∈，所以lncos (,0)x ∈-∞，所以D 错误，故答案为B ．6．D 由题意可知几何体的直观图如图：几何体的底面面积为211221422ππ⨯-⋅⨯=-，所以几何体的体积为8π-，故选B ．7．A 将4个选择支分别代入检验得，由上到下的两个空白内依次填入12(1),2n S S n n n -=--⋅=-，才可以计算出201920172015201353-+-+⋅⋅⋅-+，所以选A ．8．B函数()cos2sin 233(0)222x x x f x ωωωω⎛=-+> ⎝1cos sin 233sin 32sin 23x x x x x ωπωωωω+⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭，()f x 的图象向左平移3πω个单位，得2sin 33y x ππωω⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，∴函数()2sin y g x x ω==；又()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴44T π，即244ππω，解2ω，所以ω的最大值为2．故选B ． 9． C由已知得，2040100a b +，所以25a b +，所以22(2)1(2)1525222228a b a b ab ⋅+⎡⎤⎛⎫=⋅⋅=⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当且仅当2a b =，25a b +=，即55,24a b ==时取等号，所以可裱框相片的最大面积为258平方米．10．C 设双曲线的实半轴长，半焦距分别为a ，c ，因为120ABC ∠=，所以AC BC >，因为以A ，B 为焦点的双曲线经过点C ，所以2,2AC BC a AB BC c -===，在三角形ABC中由余弦定理得222cos1202AB BC AC AB BC +-=⨯⨯，所以222214428c c AC c +--=，解得2212AC c =，所以AC =，所以22c a -=，所以12c a =，故选C ． 11．C 由题知0c >，设直线AB 的方程为y x c =+，与2y x =联立消去y 得，20x x c --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则12121,x x x x c +==-，因为P 是AB 的中点，P 的横坐标为12122x x +=，所以111,,,222P c Q c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以QAB 的面积为121111||||22222PQ x x PQ c ⎛⎫⋅-==⨯+= ⎪⎝⎭，因为QAB 的面积为2，所以(1442c +=，所1142,4c c +==．12． D 构造函数21()()2T x f x x =-，因为2()()f x f x x -+=，所以22211()()()()()()()022T x T x f x x f x x f x f x x +-=-+---=+--=，所以()T x 为奇函数，当0x 时，()()0T x f x x ''=-<，所以()T x 在(,0]-∞上单调递减，所以()T x 在R上单调递减．因为存在01()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+-+⎨⎬⎩⎭，所以()()000112f x f x x +-+，所以()()()220000011111222T x x T x x x ++-+-+，化简得()()001T x T x -，所以001x x -，即012x ． 13．1± 由二项式定理，662166()()rr r r rr r a T C x a C x x --+⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭．当622r -=时，2r =，于是2x 的系数为2226()15a C a -=，从而1a =±．14．43作出可行域为如图所示的三角形ABC 边界及其内部区域，易知(2,4)A -，(2,0)B -，(2,2)C ．把3x z y =-+变形为3x y z =+，当且仅当动直线3xy z =+过点(2,2)C 时，z 取得最大值为43．15．36 sin sin a b A B=，∴sin 1B =，∴13sin 3026S ab ==166设底面三角形的两条直角边长为a ，b ，因为三棱柱111ABC A B C -的高为2，体积是1，所以1212ab ⋅=，所以1ab =，将直三棱柱111ABC A B C -补成一个长方体，则直三棱柱111ABC A B C -与长方体有同一个外接球，所以球O 的半径为224246222a b ab +++≥=当且仅当1a b ==时取等号，所以球O 的半径的最小值617．解：（1）∵15a =，∴22122113a a =+-=， 2分33222133a a =+-=． 4分（2）假设存在实数λ，使得数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列， 设2n n na b λ+=，由{}n b 为等差数列，则有2132b b b =+， ∴213232222a a a λλλ+++⨯=+，即13533228λλλ+++=+，解得1λ=-． 7分则()()111111111112121112222n n n n n n n n n n n a a b b a a +++++++--⎡⎤-=-=-+=-+=⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 10分11151222a b --===， 11分 所以存在实数1λ=-，使得数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是2，公差是1的等差数列． 12分18．证明：（1）连结11,,AC BD AC ，如图所示．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，因为1111//,AB C D AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11,AC BD 相互平分， 因为O 为平行四边形11BDD B 的中心，所以O 为1BD 的中点，所以O 为1AC 的中点， 2分因为E 为1CC 的中点，所以//OE AC ， 因为OE ⊄平面,ABCD AC ⊂平面ABCD ，所以//OE 平面ABCD ； 4分 （2）因为,//OE BD OE AC ⊥，所以AC BD ⊥， 设四边形ABCD 的中心为1O ，因为若1B 在平面ABCD 上的射影为四边形ABCD 的中心，所以11B O ⊥平面ABCD ． 5分如图所示，分别以射线1111,,O B O C O B 为x ，y ，z 轴建立空间坐标系1O xyz ， 设121,3O B ABC π=∠=，则111(1,0,0),(,0,,2222B D O E ⎛⎛--- ⎝⎭⎝⎭，所以13(3,0,3),22BD BE ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 7分 设平面1BED 的法向量为1(,,)n x y z =，则1110,0n BD nBE ⋅=⋅=，30,30,22x xz ⎧-+=⎪⎨-++=⎪⎩令z =则1,0x y ==，所以1(1,0,n =． 9分取平面ABCD 的法向量为2(0,0,1)n =， 设平面1BED 与平面ABCD 所成的角为2παα⎛⎫⎪⎝⎭， 所以12123cos n n n n α⋅==⋅，所以6πα=． 12分 19．解：（1）由频率分布直方图可得中青年人数为(0.0050.010.02)108028++⨯⨯=（人）， 2分从这80名读书者中再次随机抽取3人作进一步调查，抽取的这3人都为中青年的概率为328380C C ； 5分（2）由（1）得，老年人数为802852-=，由此可得22⨯列联表如图，8分由题意2280(15391313)3206.5312852285249K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯， 10分因为6.531 3.841>，所以有95%的把握认为“阅读习惯与年龄层次有关”． 12分 20．解：（1）()2sin f x x x =-'， 令()2sin h x x x =-，当[0,]x π∈时，()2cos 0h x x =->'， 3分 所以当[0,]x π∈时，()2sin h x x x =-单调递增； 所以()(0)0h x h =，即()0f x '，所以()f x 单调递增． 6分 （2）因为当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()()0f x g x -恒成立， 所以当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式sin ()a x f x ⋅恒成立， 8分 令()sin ()k x x f x =⋅，所以()cos ()sin ()k x x f x x f x ''=⋅+⋅， 9分因为当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，cos 0,()0,sin 0,()0x f x x f x '>>>>，所以()0k x '>，所以()k x 单调递增，所以2()24k x k ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以24a π． 12分21．解：（1）由题意可得2224,211,2a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得224,1a b ==， 2分 所以椭圆的方程为：2214x y +=； 3分 （2）设直线l 的方程为：12y x t =+，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线l 与椭圆的方程221214y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理可得：222220x tx t ++-=，则()2244220t t ∆=-->，即22t <，且212122,22x x t x x t +=-=-． 5分（ⅰ）因为((1221121122PA PBx t x x t x y y k k ⎛⎛+--++-- --+=+=()121222(20x x t x x t +-+--===，所以APB ∠的角平分线平行于y 轴．即可证得直线PQ 与坐标轴平行； 7分（ⅱ）如图所示，当AP BP ⊥时，则45APQ BPQ ∠=∠=，所以直线AP的方程为y x=，即y x =，8分 代入椭圆的方程可得224402x x ⎛+--=⎝⎭，即2520x --=，可得5A x =-，所以可得A 到直线PQ 的距离155d ==；9分直线BP的方程为：(22y x x =-+=-+， 代入椭圆的方程224402x x ⎛+-+-=⎝⎭，即25140x-+=，可得5Bx =，所以B 到直线PQ的距离2d ==，10分 而由上可得||QP =所以()121162228||222555APQBPQAPBQ S SSPQ d d ⎛⎫=+=⋅+=⋅⨯+= ⎪⎝⎭四边形， 所以四边形APBQ 的面积为85． 12分22．解：（1）由题知点A ，C ，D ，B 的极坐标分别为531,,1,,1,,1,6622ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2分所以点A ，C ，D ，B 的直角坐标分别为3131,,(0,1),(0,1)22⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 4分（2）设()00,P x y 是曲线1C 上的任意一点，则00cos ,3sin x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），5分因为C ，D 的直角坐标分别为31,,(0,1)22⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 所以直线CD 的直角坐标方程为31y x =-310x y ++=， 6分所以0022226sin 131|3cos 3sin 1|41(3)1(3)x y d πϕϕϕ⎛⎫++ ⎪++++⎝⎭===++，8分 因为616sin 1614πϕ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，所以610d+． 10分23．解：（1）函数3,2,1()|21||2|31,2,213,.2x x f x x x x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=--+=---⎨⎪⎪->⎪⎩ 3分 令()0f x =，求得13x =-，或3x =， 故不等式()0f x >的解集为133x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或． 5分（2）若存在0x ∃∈R ，使得()2024f x m m +<，即()2042f x m m <-有解， 7分由（1）可得()f x 的最小值为11531222f ⎛⎫=-⨯-=- ⎪⎝⎭， 8分 故25422m m -<-，解得1522m -<<． 10分广西普通高中2021届高考精准备考原创模拟卷（一）文科数学本试卷满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{|1}A x x =∈>-Z ，集合{}2|log 2B x x =<，则A B ⋂=（ ） A ．{|14}x x -<< B ．{|04}x x << C ．{0,1,2,3} D ．{1,2,3} 2．若()1a bi i bi +=-，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则ab 等于（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．13．某小区从热爱跳广场舞的3对夫妻中随机抽取2人去参加社区组织的广场舞比赛，则抽取的2人恰好为1对夫妻的概率为（ ） A ．15 B ．14 C ．35 D ．234．已知0.8 2.13log 0.8,3,0.3a b c ===，则（ ）A ．a ab c <<B ．ac b c <<C ．ab a c <<D ．c ac b << 5．函数ln cos 22y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是面积，“势”即为高，意思是：夹在两平行平面之间的两个几何体，被平行这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相同，那么这两个几何体的体积相等．某几何体的三视图如图所示，该几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．483π-B ．42π-C ．283π- D ．8π- 7．如图是一个计算：201920172015201353-+-+⋅⋅⋅-+的算法流程图，若输入2019n =，则由上到下的两个空白内分别应该填入（ ）A ．12(1),2n S S n n n -=--⋅=- B ．1(1),1n S S n n n -=--⋅=-C ．1(1),2n S S n n n -=+-⋅=- D ．1(1),1n S S n n n -=+-⋅=-8．将函数()cos2sin 23(0)222x x x f x ωωωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移3πω个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．现在需要制作一个长和宽分别为m a 和m b 的矩形大裱框，要求其长和宽使用不同的材质，长和宽材质的单价分别为10元/m 和20元/m ，在总制作费用不超过100元的条件下，可裱框相片的最大面积为（ ） A ．225m 3 B ．225m 4 C ．225m 8 D ．225m 1610．已知数列{}n a 中，15256a =，数列{}n b 满足2122214log log log 7b b b +++=，且1n n n a a b +=⋅，则1a =（ ）A ．12B ．1C ．2D ．4 11．已知圆D 关于y 轴对称，点(3,0),(0,2)B C --位于其上，则sin DBC ∠=（ ）ABCD12．已知函数22,0(),0,x x f x x bx c x +⎧=⎨++>⎩()210g x x =-，若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且(2)3f =-，则函数(())y g f x =零点的取值集合为（ ）A ．{3,4}B ．{2,4}C ．{4}D ．{0,3,4}二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x ，y 满足约束条件2,220,20,x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪++⎩则3x z y =-+的最大值为__________．14．已知抛物线2:(,0)C y mx m m =∈≠R 过点(1,4)P -，则抛物线C 的准线方程为____________．15．已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足()(),(4)()0f x f x f x f x -=+-=，当(0,2]x ∈时，2()2f x x =，则(7)f 等于_________．16．在三棱锥P ABC -中，若BC CA AB ===PA ⊥平面ABC ，4PA =，则三棱锥P ABC -外接球的半径为__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 的面积为12cos bcB．（1）求sin cos A B 的值和cos sin A B 的取值范围； （2）若ABC 为钝角三角形，且1cos sin ,33A B c ==，分别求C 和22b a -的值． 18．（12分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知O 为平行四边形11BDD B 的中心，E 为1CC 的中点．（1）求证：OE ∥平面ABCD ；（2）若平面11BDD B ⊥平面,ABCD OE BD ⊥．求证：1D E BE =． 19．（12分）在网络空前发展的今天，电子图书发展迅猛，大有替代纸质图书之势．但电子阅读的快餐文化本质，决定了它只能承担快捷传递信息性很强的资料，缺乏思想深度和回味，电子阅读只能是传统纸质阅读的一种补充．看传统的书不仅是学习，更是种文化盛宴的享受，读书感受的不仅是跃然于纸上的文字，更注重的是蕴藏于纸质书中的中国传统文化．某地为了提高居民的读书兴趣，准备在各社区兴建一批自助图书站（电子纸质均可凭电子借书卡借书）由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现从一社区内随机抽取了一天中的80名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）以每组数据所在区间中点的值作代表，求80名读书者年龄的平均数；（2）若将该80人分成两个年龄层次，年龄在[20,50)定义为中青年，在[50,80]定义为老年．为进一步调查阅读习惯（电子阅读和传统阅读）与年龄层次是否有关，得到如下22⨯列联表完善该表数据，并判断：是否有95%的把握认为“阅读习惯”与“年龄层次”有关．中青年 老年 合计 电子阅读 13 传统阅读 13 合计80附：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++． 临界值表供参考：()20P K k 0.05 0.010 0.005 0.0010k3.841 6.635 7.879 10.82820．（12分）设函数2()cos ,()sin af x x xg x x=+=． （1）当[0,]x π∈时，判断()f x 的单调性；（2）若当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()()f x g x 有解，求证：24a π．21．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴长为4，且经过点22,2P ⎭．（1）求椭圆的方程； （2）直线l 的斜率为12，且与椭圆相交于A ，B 两点（异于点P ），过P 作APB ∠的角平分线交椭圆于另一点Q ．（ⅰ）证明：直线PQ 与y 轴平行；（ⅱ）当AP BP ⊥时，求四边形APBQ 的面积．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线1C 的直角坐标方程为2213y x +=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是1ρ=，四边形ABCD 的顶点都在曲线2C 上，点A 的极坐标为1,6π⎛⎫⎪⎝⎭，点A 与C 关于y 轴对称，点D 与C 关于直线6πθ=对称，点B 与D 关于x 轴对称．（1）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求点P 到直线CD 的距离d 的取值范围． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 设函数()|21||2|f x x x =--+． （1）解不等式()0f x >；（2）若0x ∃∈R ，使得()2024f x m m +<，求实数m 的取值范围．2021届高考精准备考原创模拟卷（一） 文科数学参考答案、提示及评分细则1．D ∵集合{|1}A x x =∈>-Z ，集合{}2|log 2{|04}B x x x x =<=<<，所以{1,2,3}A B ⋂=．2．B 因为()1a bi i bi +=-，所以1b ai bi -+=-，所以1,b a b -==-，所以1,1a b ==-．所以1ab =-．3．A 设第1，2，3对夫妻分别为()11,A B ，()22,A B ，()33,A B ，从中随机抽取2人，所有等可能的结果为()11,A B ，()12,A A ，()12,A B ，()13,A A ，()13,A B ，()12,B A ，()12,B B ，()13,B A ，()13,B B ，()22,A B ，()23,A A ，()23,A B ，()23,B A ，()23,B B ，()33,A B ，共有15种，其中抽取的2人恰好为1对夫妻的情况有()11,A B ，()22,A B ，()33,A B ，共3种，所以抽取的2人恰好为1对夫妻的概率为31155=． 4．C ∵0,1,01a b c <><<，∴ab a c <<．5．B 由题得()lncos()lncos ()f x x x f x -=-==，所以函数()f x 是偶函数．所以图象关于y 轴对称，所以排除A ．C ．又,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以cos (0,1)x ∈，所以lncos (,0)x ∈-∞，所以D 错误，故答案为B ．6．D 由题意可知几何体的直观图如图：几何体的底面面积为211221422ππ⨯-⋅⨯=-，所以几何体的体积为8π-，故选B ．7．A 将4个选择支分别代入检验得，由上到下的两个空白内依次填入12(1),2n S S n n n -=--⋅=-，才可以计算出201920172015201353-+-+⋅⋅⋅-+，所以选A ． 8． B 函数()cos2sin 233(0)222x x x f x ωωωω⎛=-+> ⎝1cos sin 233sin 32sin 23x x x x x ωπωωωω+⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭，()f x 的图象向左平移3πω个单位，得2sin 33y x ππωω⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，∴函数()2sin y g x x ω==；又()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴44T π，即244ππω，解2ω，所以ω的最大值为2．故选B ． 9． C由已知得，2040100a b +，所以25a b +，所以22(2)1(2)1525222228a b a b ab ⋅+⎡⎤⎛⎫=⋅⋅=⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当且仅当2a b =，25a b +=，即55,24a b ==时取等号，所以可裱框相片的最大面积为258平方米．10．C 因为数列{}n b 满足2122214log log log 7b b b +++=，所以有7123142b b b b ⋅⋅=，又1n n n a a b +=⋅，所以1n n n a b a +=，于是有151421413114131a a ab b b a a a ⨯⨯⨯=⋅，所以71512a a =，故12a =，选C ．11．A 因为圆D 关于y 轴对称，所以设圆心坐标为(0,)a ，半径为r ，因为点(3,0),(0,2)B C --位于其上，所以2223,2a r r a +==+，所以54a =，半径134r =，所以圆的标准方程为22251344x y ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 到直线BC 的距离221311742BC d ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以313sin d DBC r ∠== 12．C 由1322f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得12b -=，∴2b =-，又因为(2)3f =，∴423b c ++=-，∴3c =-，∴()f x 的解析式22,0,()23,0,x x f x x x x -⎧=⎨-->⎩由(())0g f x =，∴()5f x =，当0x 时，25x +=，∴3x =（舍），当0x >时，2235x x --=，∴4x =或2x =-，又∵0x >，∴4x =，故函数的零点为4x =．13．43作出可行域为如图所示的三角形ABC 边界及其内部区域，易知(2,4)A -，(2,0)B -，(2,2)C ．把3x z y =-+变形为3x y z =+，当且仅当动直线3xy z =+过点(2,2)C 时，z 取得最大值为43．14．116y =-将点(1,4)P -带入抛物线可得4m =，即有24y x =，所以214x y =，则抛物线的准线方程为116y =-． 15．2 由(4)()f x f x +=，得(7)(3)(1)f f f ==-，又()f x 为偶函数，∴2(1)(1),(1)212f f f -==⨯=．∴(7)2f =．16．22 设ABC 的外接圆的圆心为D ，三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，O 到平面ABC 的距离为h ，连接PO ．因为PA ⊥平面ABC ，所以四边形PADO 为直角梯形，且OP OA =，所以2h PA =，所以2h =，所以三棱锥P ABC -外接球的半径为22222+=17．解：（1）由题设得，1sin 212cos bcbc A B=，所以1sin cos 6A B =； 1分因为1sin()sin cos cos sin cos sin ,0sin()16A B A B A B A B A B +=+=+<+，所以15cos sin 66A B -<． 3分 又因为1sin()sin cos cos sin cos sin ,1sin()16A B A B A B A B A B -=-=---， 所以57cos sin 66A B -． 5分 综上，15cos sin 66A B -<． 6分 （2）因为11sin cos ,cos sin 63A B A B ==， 所以1sin()sin cos cos sin 2A B A B A B +=+=， 所以6A B π+=或56A B π+=， 所以6C π=或56C π=． 9分 因为sin cos 0,cos sin 0A B A B >>，所以A ，B 都为锐角， 又因为ABC 为钝角三角形，所以56C π=． 10分 因为11sin cos ,cos sin 63A B A B ==， 所以sin cos 1cos sin 2A B A B =，所以2222222122a a c b bc b ac b c a +-⋅⋅=+-， 所以()2223b a c -=，所以223b a -=． 12分 18．证明：（1）连结11,,AC BD AC ． 在平行六面体1111ABCD A B C D -中，因为1111//,AB C D AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11,AC BD 相互平分， 2分因为O 为平行四边形11BDD B 的中心，所以O 为1BD 的中点，所以O 为1AC 的中点， 因为E 为1CC 的中点，所以//OE AC ， 4分 因为OE ⊄平面,ABCD AC ⊂平面ABCD ，所以//OE 平面ABCD ； 6分 （2）因为,//OE BD OE AC ⊥，所以AC BD ⊥，因为平面11BDD B ⊥平面ABCD ，平面11BDD B ⋂平面,ABCD BD AC =⊂平面ABCD ， 所以AC ⊥平面11BDD B ， 9分 所以1AC BD ⊥，所以1OE BD ⊥，因为1OB OD =，所以1D E BE =． 12分 19．解：（1）80名读书者年龄的平均数为250.05350.1450.2550.3650.25750.154⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．4分（2）由频率分布直方图可得中青年人数为(0.0050.010.02)108028++⨯⨯=， 老年人数为(0.030.0250.01)108052++⨯⨯=， 6分 由此可得22⨯列联表如图，9分由题意2280(15391313)3206.5312852285249K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯， 因为6.531 3.841>，所以有95%的把握认为“阅读习惯”与“年龄层次”有关． 12分 20．解：（1）()2sin f x x x =-'， 2分 令()2sin h x x x =-，当[0,]x π∈时，()2cos 0h x x =->'， 4分 所以当[0,]x π∈时，()2sin h x x x =-单调递增； 5分 所以当[0,]x π∈时，()2sin 0f x x x -'=，所以当[0,]x π∈时，2()cos f x x x =+单调递增． 6分 （2）因为当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()()f x g x 有解， 所以当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式sin ()a x f x ⋅有解， 7分 令()sin ()k x x f x =⋅，所以()cos ()sin ()k x x f x x f x ''=⋅+⋅， 8分因为当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，cos 0,()0,sin 0,()0x f x x f x '>>>>， 所以()0k x '>，所以()k x 单调递增， 10分所以2()24k x k ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以24a π． 12分21．解：（1）由题意可得2224,211,2a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得224,1a b ==， 2分 所以椭圆的方程为：2214x y +=； 3分 （2）设直线l 的方程为：12y x t =+，设()()1122,,,A x y B x y ， 联立直线l 与椭圆的方程221214y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理可得：222220x tx t ++-=，则()2244220t t ∆=-->，即22t <，且212122,22x x t x x t +=-=-． 5分（ⅰ）因为((1221 121122PA PBx t x x t x y yk k⎛⎛+--++----+=+=()121222(x x t x x t+-+--===，所以APB∠的角平分线平行于y轴．7分（ⅱ）如图所示，当AP BP⊥时，则45APQ BPQ∠=∠=，所以直线AP的方程为2y x=，即2y x=-，8分代入椭圆的方程可得22440x x⎛+--=⎝⎭，即2520x--=，可得5Ax=-，所以可得A到直线PQ的距离155d==；9分直线BP的方程为：(y x x=-+=-+，代入椭圆的方程224402x x⎛+-+-=⎝⎭，即25140x-+=，可得Bx=，所以B到直线PQ的距离255d==，10分而由上可得||QP=所以()12118||22555APQ BPQAPBQS S S PQ d d⎛=+=⋅+=+=⎝⎭四边形，所以四边形APBQ的面积为85．12分22．解：（1）由题知点A ，C ，D ，B 的极坐标分别为531,,1,,1,,1,6622ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2分所以点A ，C ，D ，B 的直角坐标分别为3131,,(0,1),(0,1)22⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 4分（2）设()00,P x y 是曲线1C 上的任意一点，则00cos ,3sin x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），5分因为C ，D 的直角坐标分别为31,,(0,1)22⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 所以直线CD 的直角坐标方程为31y x =-310x y ++=， 6分所以0022226sin 131|3cos 3sin 1|41(3)1(3)x y d πϕϕϕ⎛⎫++ ⎪++++⎝⎭===++，8分 因为616sin 1614πϕ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，所以6102d+． 10分 23．解：（1）函数3,2,1()|21||2|31,2,213,.2x x f x x x x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=--+=---⎨⎪⎪->⎪⎩ 3分 令()0f x =，求得13x =-，或3x =，故不等式()0f x >的解集为133x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或． 5分 （2）若存在0x ∃∈R ，使得()2024f x m m +<，即()2042f x m m <-有解， 7分由（1）可得()f x 的最小值为11531222f ⎛⎫=-⨯-=- ⎪⎝⎭， 8分 故25422m m -<-，解得1522m -<<． 10分 广西普通高中2021 届高考精准备考原创模拟卷（一）文科综合能力测试本试卷满分 300 分，考试用时 150 分钟。
《精编》广西柳州市一中高三数学第一次全市统测前模拟试卷 文 新人教A版.doc
柳州市一中2021届高三第一次全市统测前数学模拟卷(文)班别 姓名 学号一.选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分〕1.设全集U ＝{}7,5,3,1,那么集合M 满足M C U ＝{}7,5，那么集合M 为 〔 〕 A. {}3,1 B. {}1或{}3 C.{}7,5,3,1 D.{}{}{}131,3或或2.cos(—3000)等于 〔 〕A. B.－12 C. 12 3．数列{n a }为等差数列，且π41371=++a a a ，那么tan(122a a +)等于 〔 〕 A. 3 B.－ 3 C.± 3 D.－334．某校高一、高二、高三的学生人数分别为3200人、2800人、2021 人，为了了解学生星期天的睡眠时间，决定抽取400名学生进行抽样调查，那么高一、高二、高三应分别抽取 ( 〕 A 、160人、140人、100人 B 、200人、150人、50人 C 、180人、120人、100人 D 、250人、100人、50人p ：12,:q x x><那么p 是q 的 〔 〕6．P 、A 、B 、C 是平面内四点，且PA PB PC AC ++=，那么一定有 〔 〕 A.2PB CP =B.2CP PB =C.2AP PB =D.2PB AP =sin(2)16y x π=+-的图象按向量(,1)6a π=平移，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，那么所得图象的函数解析式是 〔 〕 A.2sin(4)23y x π=+- B.sin(4)6y x π=- C.sin(2)6y x π=+ D.2cos(4)3y x π=+ 8.在R 上定义运算⊗：)1(y x y x -=⊗，假设不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 都成立，那么实数a的取值范围是( )A.()1 1，-B.()2 0，C.)23 21(，-D. )2123(，-9．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4,x ，且它的8个顶点都在同一个球面上，这个球面的外表积为125π 那么x 的值为A ．5B ．6C ．8D ．1010．双曲线12222=-by a x 左、右集点分别21,F F ，过1F 作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，假设2MF 垂直于x轴，那么双曲线的离心率为〔 〕D.311．从甲、乙等10名同学挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，那么不同的挑选方法有 〔 〕 A.70种 B.112种 C.140种 D.168种 12.函数y=f(x)是R 上的偶函数，对于x R ∈都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立，且f(-4)=-2,当x 1,x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有1212()()0f x f x x x ->-。
广西柳州市2021届高三(上)摸底试卷(文)(解析版)
广西柳州市2021届高三（上）摸底数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x||x|≤3}，B={y|y2+3y﹣28＜0}，则A∩B=（）A．∅B．（﹣7，﹣4]C．（﹣7，4]D．[﹣3，3]2．（5分）已知复数z满足z（2+i）=4，i是虚数单位，则复数z的虚部是（）A．B．C．D．3．（5分）如图是调査某地区男女中学生喜欢理科的等高条形阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图可以看出下列说法正确的（）①性别与喜欢理科有关②女生中喜欢理科的比为20%③男生不比女生喜欢理科的可能性大些④男生不軎欢理科的比为40%A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④4．（5分）已知tanθ=4，则的值为（）A．B．C．D．5．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（）A．2B．3C．4D．56．（5分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x（万元）8.28.610.011.311.9支出y（万元） 6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元7．（5分）函数f（x）=（1+cos x）sin x在[﹣π，π]的图象的大致形状是（）A．B．C．D．8．（5分）运行如图的程序框图，设输出数据构成的集合为A，从集合A中任取一个元素a，则函数y=x a，x∈[0，+∞）是增函数的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．10．（5分）空间中，设m，n表示直线，α，β，γ表示平面，则下列命题正确的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m⊥β，α⊥β，则m∥αD．若n⊥m，n⊥α，则m∥α11．（5分）过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P．若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是（）A．B．C．2D．12．（5分）已知函数f（x）=e2x﹣1，直线l过点（0，﹣e）且与曲线y=f（x）相切，则切点的横坐标为（）A．1B．﹣1C．2D．e﹣1二、填空题（每题5分，满分20分）13．（5分）已知平面向量与的夹角为60°，，|=1，则|=．14．（5分）已知焦点在x轴上，中心在原点的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6，若该椭圆的离心率为，则椭圆的方程是．15．（5分）在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若，则角B 等于．16．（5分）已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）+f（x）=2f（3），y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称且f（2）=4，则f（22）=．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，点均在函数y=3x﹣2的图象上．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）设T n是数列的前n项和，求T n．18．（12分）在三棱锥P﹣ABC中，△P AC和△PBC是边长为的等边三角形，AB=2，O，D分别是AB，PB的中点．（1）求证：OD∥平面P AC；（2）求证：OP⊥平面ABC；（3）求三棱锥D﹣ABC的体积．19．（12分）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如图）．（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60，70）的概率．20．（12分）已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为5．（1）求该抛物线C的方程；（2）已知抛物线上一点M（t，4），过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MD⊥ME，判断直线DE是否过定点？并说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=ax+x ln x在x=e﹣2处取得极小值．（1）求实数a的值；（2）当x＞1时，求证f（x）＞3（x﹣1）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[.选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）把曲线C1的方程化为普通方程，C2的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C1，C2相交于A，B两点，AB的中点为P，过点P做曲线C2的垂线交曲线C1于E，F两点，求|PE|•|PF|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+2017．（1）解关于x的不等式f（x）＞|x|+2017；（2）若f（|a﹣4|+3）＞f（（a﹣4）2+1），求实数a的取值范围．【参考答案】一、选择题1．D【解析】∵集合A={x||x|≤3}={x|﹣3≤x≤3}，B={y|y2+3y﹣28＜0}={y|﹣7＜y＜4}，∴A∩B={x|﹣≤x≤3}=[﹣3，3]．故选：D．2．B【解析】由z（2+i）=4，得z=，∴复数z的虚部是﹣．故选：B．3．C【解析】由图可知，女生喜欢理科的占20%，故②正确；男生喜欢理科的占60%，∴男生不軎欢理科的比为40%，故④正确；由此得到性别与喜欢理科有关，故①正确．故选：C．4．B【解析】===．故选：B．5．B【解析】先根据约束条件画出可行域，当直线z=2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大是3，故选B．6．B【解析】由题意可得=（8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10，=（6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8，代入回归方程可得=8﹣0.76×10=0.4，∴回归方程为=0.76x+0.4，把x=15代入方程可得y=0.76×15+0.4=11.8，故选：B．7．A【解析】∵f（﹣x）=[1+cos（﹣x）]sin（﹣x）=﹣（1+cos x）sin x=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，故图象关于原点对称，故排除C，当x=时，f（）=1，故排除D，当x=时，f（）=（1+）×=＞1，故排除B．故选：A．8．C【解析】由框图可知A={3，0，﹣1，8，15}，其中基本事件的总数为5，设集合中满足“函数y=xα，x∈[0，+∞）是增函数”为事件E，当函数y=xα，x∈[0，+∞）是增函数时，α＞0事件E包含基本事件为3，则．故选C．9．D【解析】设球的半径为R，圆M的半径r，由图可知，R2=R2+r2，∴R2=r2，∴S球=4πR2，截面圆M的面积为：πr2=πR2，则所得截面的面积与球的表面积的比为：=．故选：D．10．B【解析】对于A选项，若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，不正确，在此条件下，两平面α，β可以相交，对于B选项，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，正确，对于C选项，m⊥β，α⊥β，则m∥α，同时垂直于一个平面的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内或平行，故C不正确，对于D选项，n⊥m，n⊥α，则m∥α，由同时垂直于一条直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内或平行，故D不正确．故选B．11．A【解析】∵OM⊥PF，且FM=PM，∴OP=OF，∴∠OFP=45°，∴|0M|=|OF|•sin45°，即a=c•，∴e==，故选A.12．A【解析】由f（x）=e2x﹣1，得f′（x）=2e2x﹣1，设切点为（），则f′（x0）=，∴曲线y=f（x）在切点处的切线方程为y﹣=（x﹣x0）．把点（0，﹣e）代入，得﹣e﹣=﹣，即，两边取对数，得（2x0﹣1）+ln（2x0﹣1）﹣1=0．令g（x）=（2x﹣1）+ln（2x﹣1）﹣1，函数g（x）为（，+∞）上的增函数，又g（1）=0，∴x=1，即x0=1．选：A．二、填空题13．2【解析】||=2，=||||cos60°=2×=1．∴（）2==12，∴|=2．故答案为：2．14．【解析】由题意可设椭圆方程为（a＞b＞0）．且2a=6，得a=3，又e=，得c=1，∴b2=a2﹣c2=8．∴椭圆方程为．故答案为：．15．【解析】∵，由正弦定理，可得2sin B•sin A=sin A．∵，sin A≠0∴sin B=∵，∴B=故答案为：．16．﹣4【解析】∵f（x+6）+f（x）=2f（3），∴f（x）+f（x﹣6）=2f（3），∴f（x+6）=f（x﹣6），∴f（x）的周期为12．∵f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，∴f（x）的图象关于点（0，0）对称，∴f（x）是奇函数，∴f（22）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣4．故答案为：﹣4．三、解答题17．证明：（1）依题意，，即，n≥2时，=6n﹣5，当n=1时，a1=S1=1符合上式，∴．又∵a n﹣a n﹣1=6n﹣5﹣[6（n﹣1）﹣5]=6，∴{a n}是一个以1为首项，6为公差的等差数列；解：（2）由（1）知，，∴=．18．证明：（1）∵O，D分别为AB，PB的中点，∴OD∥P A．又P A⊂平面P AC，OD⊄平面P AC，∴OD∥平面P AC．（2）连接OC，OP，∵O为AB中点，AB=2，∴OC⊥AB，OC=1．同理，PO⊥AB，PO=1．又，∴PC2=OC2+PO2=2，∴∠POC=90°．∴PO⊥OC．∵PO⊥OC，PO⊥AB，AB∩OC=O，∴PO⊥平面ABC．解：（3）由（2）可知OP⊥平面ABC，∴OP为三棱锥P﹣ABC的高，且OP=1．∴．19．解：（Ⅰ）由折线图知，样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约为人（Ⅱ）设“至少有1人体育成绩在[60，70）”为事件M，记体育成绩在[60，70）的学生为A1，A2，体育成绩在[80，90）的学生为B1，B2，B3，则从这两组学生中随机抽取2人，所有可能的结果如下：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）共10种而事件M所包含的结果有（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3）共7种，因此事件M发生的概率为．20．解：（1）由题意设抛物线方程为y2=2px，其准线方程为，∵P（4，m）到焦点的距离等于A到其准线的距离，∴，∴p=2．∴抛物线C的方程为y2=4x．（2）由（1）可得点M（4，4），可得直线DE的斜率不为0，设直线DE的方程为：x=my+t，联立，得y2﹣4my﹣4t=0，则△=16m2+16t＞0①．设D（x1，y1），E（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4t．∵•=（x1﹣4，y1﹣4）•（x2﹣4，y2﹣4），=x1x2﹣4（x1+x2）+16+y1y2﹣4（y1+y2）+16，=，=，=t2﹣16m2﹣12t+32﹣16m=0即t2﹣12t+32=16m2+16m，得：（t﹣6）2=4（2m+1）2，∴t﹣6=±2（2m+1），即t=4m+8或t=﹣4m+4，代入①式检验均满足△＞0，∴直线DE的方程为：x=my+4m+8=m（y+4）+8或x=m（y﹣4）+4．∴直线过定点（8，﹣4）（定点（4，4）不满足题意，故舍去）．21．解：（1）因为f（x）=ax+x ln x，所以f'（x）=a+ln x+1，因为函数f（x）在x=e﹣2处取得极小值，所以f'（e﹣2）=0，即a+lne﹣2+1=0，所以a=1，所以f'（x）=ln x+2，当f'（x）＞0时，x＞e﹣2，当f'（x）＜0时，0＜x＜e﹣2所以f（x）在（0，e﹣2）上单调递减，在（e﹣2，+∞）上单调递增．所以f（x）在x=e﹣2处取得极小值，符合题意．所以a=1．证明：（2）由（1）知a=1，∴f（x）=x+x ln x．令g（x）=f（x）﹣3（x﹣1），即g（x）=x ln x﹣2x+3（x＞0），g'（x）=ln x﹣1，由g'（x）=0得x=e．由g'（x）＞0得x＞e，由g'（x）＜0得0＜x＜e，所以g（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，∴所以g（x）在（1，+∞）上最小值为g（e）=3﹣e＞0．于是在（1，+∞）上，都有g（x）＞g（e）＞0．∴f（x）＞3（x﹣1）得证．22．解：（I）曲线C1的参数方程为（其中t为参数），消去参数可得y2=4x．曲线C2的极坐标方程为，展开为=，化为x﹣y﹣1=0．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），且中点为P（x0，y0），联立，解得x2﹣6x+1=0，∴x1+x2=6，x1x2=1．∴=3，y0=2．线段AB的中垂线的参数方程为（t为参数），代入y2=4x，可得，∴t1t2=﹣16，∴|PE|•|PF|=|t1t2|=16．23．解：（1）f（x）＞|x|+2017可化为|x﹣1|＞|x|，∴（x﹣1）2＞x2，∴．∴不等式的解集为．（2）∵f（x）=|x﹣1|+2017在[1，+∞）上单调递増，又|a﹣4|+3＞1，（a﹣4）2+1≥1，∴只需要|a﹣4|+3＞（a﹣4）2+1，化简为（|a﹣4|+1）（|a﹣4|﹣2）＜0，∴|a﹣4|＜2，解得2＜a＜6．。
广西省柳州市2021届新高考数学模拟试题含解析
广西省柳州市2021届新高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知ABC ∆为等腰直角三角形，2A π=，22BC =，M 为ABC ∆所在平面内一点，且1142CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r ，则MB MA ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．224-B ．72-C ．52-D ．12-【答案】D 【解析】 【分析】以AB,AC 分别为x 轴和y 轴建立坐标系，结合向量的坐标运算，可求得点M 的坐标，进而求得,MB MA u u u r u u u r，由平面向量的数量积可得答案. 【详解】如图建系，则()0,0A ，()2,0B ，()0,2C ，由1142CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r ，易得11,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，则31111,,22222MB MA ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r .故选：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理的运用、数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.2．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A 【解析】 【分析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论. 【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的， 丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的； 假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立， 所以可以断定值班人是甲. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.3．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m =，例如112(mod3)=．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（ ）．A ．21B ．22C ．23D ．24【答案】C 【解析】从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C.4．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．3y x =C ．2y x =D ．y x =±【答案】B 【解析】 【分析】先利用对称得2AF OM ⊥，根据11F AO AOF ∠=∠可得1AF c =，由几何性质可得160AFO ∠=o，即260MOF ∠=o ，从而解得渐近线方程.【详解】 如图所示：由对称性可得：M 为2AF 的中点，且2AF OM ⊥， 所以12F A AF ⊥，因为11F AO AOF ∠=∠，所以11AF F O c ==，故而由几何性质可得160AFO ∠=o ，即260MOF ∠=o ， 故渐近线方程为3y x =， 故选B. 【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程，由题意得出260MOF ∠=o是解题的关键，属于中档题.5．设2,(10)()[(6)],(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩ ,则(5)f =( ) A ．10 B ．11C ．12D ．13【答案】B 【解析】 【分析】根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x≥10内的函数值，代入即可求出其值． 【详解】∵f （x ）()()()210610x x f f x x ⎧-≥⎪=⎨⎡⎤+⎪⎣⎦⎩＜，∴f （5）＝f[f （1）] ＝f （9）＝f[f （15）]＝f （13）＝1． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了分段函数中求函数的值，属于基础题． 6．已知函数()(0)f x x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点分别为1x ，2x ，3x ，则（ ） A ．123x x x << B ．213x x x << C ．231x x x << D ．312x x x <<【答案】C 【解析】 【分析】转化函数()(0)f x x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点为y x =与(0)y x x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的交点，数形结合，即得解.【详解】 函数()(0)f x x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点，即为y x =与(0)y x x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的交点，作出y x =与(0)y x x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的图象，如图所示，可知231x x x << 故选：C 【点睛】本题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题. 7．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】【分析】由复数的除法运算可整理得到z ，由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限. 【详解】由2z iz i -=+得：()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+， z ∴对应的点的坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限.故选：A . 【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.8．定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-.若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．0,2⎛ ⎝⎭B ．0,3⎛ ⎝⎭C ．0,5⎛ ⎝⎭D ．0,6⎛ ⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得()f x 的周期为2，当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，令()log (1)a g x x =+，则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，画出图像，数形结合，根据(2)(2)g f >，求得a 的取值范围. 【详解】()f x 是定义域为R 的偶函数，满足任意x ∈R ，(2)()(1)f x f x f +=-，令1,(1)(1)(1)x f f f =-=--，又(1)(1),(1))(2)(0,f f x f x f f -=∴+==，()f x ∴为周期为2的偶函数，当[2,3]x ∈时，22()212182(3)f x x x x =-+-=--，当2[0,1],2[2,3],()(2)2(1)x x f x f x x ∈+∈=+=--， 当2[1,0],[0,1],()()2(1)x x f x f x x ∈--∈=-=-+， 作出(),()f x g x 图像，如下图所示：函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，()0f x ≤Q ，若1a >，()f x 的图像和()g x 的图像只有1个交点，不合题意，所以01a <<，()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点， 则有(2)(2)g f >，即log (21)(2)2,log 32a a f +>=-∴>-，221133,,01,033a a a a ∴><<<∴<<Q . 故选:B.【点睛】本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题.9．已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．13y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线定义得24PF a =，12PF a =，OM 是12PF F △的中位线，可得OM a =，在2OMF △中，利用余弦定理即可建立,a c 关系，从而得到渐近线的斜率. 【详解】根据题意，点P 一定在左支上.由212PF PF =及212PF PF a -=，得12PF a =，24PF a =， 再结合M 为2PF 的中点，得122PF MF a ==，又因为OM 是12PF F △的中位线，又OM a =，且1//OM PF ， 从而直线1PF 与双曲线的左支只有一个交点. 在2OMF △中22224cos 2a c a MOF ac+-∠=.——① 由2tan b MOF a ∠=，得2cos aMOF c∠=. ——② 由①②，解得225c a=，即2b a =，则渐近线方程为2y x =±.故选：C. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题. 10．已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ω=的图象,只要将()y f x =的图象( ) A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】由()f x 的最小正周期是π，得2ω=， 即()sin(2)4f x x π=+cos 224x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭cos 2()8x π=-， 因此它的图象向左平移8π个单位可得到()cos2g x x =的图象．故选A ．考点：函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质． 【名师点睛】三角函数图象变换方法：11．已知直线,m n 和平面α，若m α⊥，则“m n ⊥”是“//n α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．不充分不必要【答案】B 【解析】 【分析】由线面关系可知m n ⊥，不能确定n 与平面α的关系，若//n α一定可得m n ⊥，即可求出答案. 【详解】,m m n α⊥⊥Q ,不能确定αn ⊂还是αn ⊄，//m n n α∴⊥¿，当//n α时，存在a α⊂，//,n a ， 由,m m a α⊥⇒⊥ 又//,n a 可得m n ⊥，所以“m n ⊥”是“//n α”的必要不充分条件， 故选：B 【点睛】本题主要考查了必要不充分条件，线面垂直，线线垂直的判定，属于中档题.12．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S ，且()2243S a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．2C ．4D ．4【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C 的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可． 【详解】解：由()22a b c =+-，得2221sin 22ab C a b c ab =+-+，∵ 2222cos a b c ab C +-=，∴ sin 2cos 2C ab C ab =+，cos 1C C -=即2sin 16C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵ 0C π<<， ∴ 5666C πππ-<-<， ∴ 66C ππ-=，即3C π=，则sin sin sin cos cos sin 4343434C πππππππ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12 故选D ． 【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C 的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西省柳州市2021届新高考数学考前模拟卷(1)含解析
广西省柳州市2021届新高考数学考前模拟卷（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：()0.675,0.989-，()1.102,0.010-，()2.899,1.024，()9.101,2.978，下列函数模型中拟合较好的是（ ）A ．3y x =B ．3x y =C ．()21y x =--D ．3log y x =【答案】D 【解析】 【分析】作出四个函数的图象及给出的四个点，观察这四个点在靠近哪个曲线． 【详解】如图，作出A ，B ，C ，D 中四个函数图象，同时描出题中的四个点，它们在曲线3log y x =的两侧，与其他三个曲线都离得很远，因此D 是正确选项， 故选：D ． 【点睛】本题考查回归分析，拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多，说明拟合效果好．2．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=u u u r u u u r（ ）A ．1233BA BC +u uu r u u u rB ．5799BA BC +u uu r u u u rC ．11099BA BC +u u ur u u u r D ．2799BA BC +u uu r u u u r【答案】B 【解析】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，将13BQ BA AQ BA AC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,AC BC BA=-u u u r u u u r u u u r 代入化简即可. 【详解】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2()3BA BC BA AQ =+-+u u u r u u u r u u u r u u u r1233BA BC =+-⨯u u ur u u u r 13AC u u u r 1257()3999BA BC BC BA BA BC =+--=+u uu r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.3．若双曲线E ：221x y m n-=(0)mn >绕其对称中心旋转3π后可得某一函数的图象，则E 的离心率等于（ ）A ．3BC ．2或3D ．2【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60o ，所以b a =，由离心率公式e =即可算出结果.【详解】由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60o ，又双曲线的焦点既可在x轴，又可在y 轴上，所以b a =3，2e ∴==或3.【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的概念，考查了分类讨论的数学思想.4．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，平面α与此正方体相交.对于实数()03d d <<，如果正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中恰好有m 个点到平面α的距离等于d ，那么下列结论中，一定正确的是 A ．6m ≠ B ．5m ≠ C ．4m ≠ D ．3m ≠【答案】B 【解析】 【分析】此题画出正方体模型即可快速判断m 的取值. 【详解】如图（1）恰好有3个点到平面α的距离为d ；如图（2）恰好有4个点到平面α的距离为d ；如图（3）恰好有6个点到平面α的距离为d . 所以本题答案为B.【点睛】本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系，考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，属于难题.5．设a r ，b r ，c r 是非零向量.若1()2a cbc a b c ⋅=⋅=+⋅r r r r r r r，则（ ）A ．()0a b c ⋅+=rrrB ．()0a b c ⋅-=rrrC ．()0a b c +⋅=rrrD ．()0a b c -⋅=rrr【答案】D 【解析】试题分析：由题意得：若a c b c ⋅=⋅r r r r ，则()0a b c -⋅=r r r ；若a c b c ⋅=-⋅r r r r ，则由1()2a c b c a b c⋅=⋅=+⋅r r r r r r r 可知，0a c b c ⋅=⋅=r r r r ，故()0a b c -⋅=r r r 也成立，故选D.考点：平面向量数量积.【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果. 6．已知i 是虚数单位，则复数24(1)i =-（ ） A ．2i B ．2i -C ．2D ．2-【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的基本运算求解即可. 【详解】224422(1)2ii i i i ===---.故选：A 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题.7．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（ ） A ．23-B ．23C ．3D ．-3【答案】B 【解析】 【分析】把22z m i =-和 113z i =+代入12z z ⋅再由复数代数形式的乘法运算化简，利用虚部为0求得m 值． 【详解】因为()()()()12132632z z i m i m m i ⋅=+-=++-为实数，所以320m -=，解得23m =. 【点睛】本题考查复数的概念，考查运算求解能力.8．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（ ） A ．43B ．916C ．34D ．169【答案】D 【解析】 【分析】分别求出球和圆柱的体积，然后可得比值. 【详解】设圆柱的底面圆半径为r，则r，所以圆柱的体积2126V =π⋅⨯=π.又球的体积32432233V =π⨯=π，所以球的体积与圆柱的体积的比213216369V V ππ==，故选D.【点睛】本题主要考查几何体的体积求解，侧重考查数学运算的核心素养. 9．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A．2B ．32C．2D ．12【答案】C 【解析】 【分析】 化简得到1322z i =-+，1322z i =--，再计算复数模得到答案.【详解】(1)12i z i +=+，故()()()()121121313111222i i i i z i i i i +++-+====-+++-， 故1322z i =--，z =. 故选：C . 【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，复数模，意在考查学生的计算能力.10．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为( )A ．2 B．CD【答案】C 【解析】 【分析】利用圆心(2,0)到渐近线的距离等于半径即可建立,,a b c 间的关系. 【详解】由已知，双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，故圆心(2,0)到渐近线的距离等于1，即221a b=+，所以223a b =，211()13c b e a a ==+=+=23. 故选：C. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立,,a b c 三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题.11．在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中CD )有15cm ，跨接了6个坐位的宽度(AB )，每个座位宽度为43cm ，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（ ）A ．250cmB ．260cmC ．295cmD ．305cm【答案】B 【解析】 【分析】»AB 为弯管，AB 为6个座位的宽度，利用勾股定理求出弧AB 所在圆的半径为r ，从而可得弧所对的圆心角，再利用弧长公式即可求解. 【详解】如图所示，»AB 为弯管，AB 为6个座位的宽度，则643258AB cm =⨯=15CD cm =设弧AB 所在圆的半径为r ，则222()r r CD AC =-+22(15)129r =-+解得562r cm ≈129sin 0.23562AOD ∠=≈ 可以近似地认为sin x x ≈，即0.23AOD ∠≈ 于是0.46AOB ∠≈，»AB 长5620.46258.5≈⨯≈所以260cm 是最接近的，其中选项A 的长度比AB 还小，不可能， 因此只能选B ，260或者由cos 0.97x ≈，sin 20.4526x x π≈⇒<所以弧长5622946π<⨯≈.故选：B 【点睛】本题考查了弧长公式，需熟记公式，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题.12．若x ，y 满足约束条件103020x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，则22x y +的最大值是（ ）A ．92B．2C ．13D【答案】C 【解析】 【分析】由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值． 【详解】 解：22xy +表示可行域内的点(,)x y 到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由1020x y x +-=⎧⎨+=⎩解得32y x =⎧⎨=-⎩即()2,3A -点()2,3A -到坐标原点(0,0)的距离最大，即2222()(2)313max x y +=-+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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柳州市2021届高三第一次模拟考试文科数学(参考答案)一、选择题：(每小题5分, 满分60分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．7 14．152 15．12 16．12三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17．解：（1）由题意，()()()2015133251018582x +++++-+-+-==， .................. 2分 ()()()6.5 3.5 1.50.50.5 2.5 3.5988y ++++-+-+-==， ....................... 4分 8182221593ˆ24812845125682i ii i i x y nxy b xnx ==--⨯⨯===⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭∑∑， .................................... 6分 ∴91518ˆ2ˆ42a y bx =-=-⨯=， .............................................. 7分 故线性回归方程为1142ˆy x =+， ............................................. 8分 （2）由题意，设该同学的物理成绩为ω，则物理偏差为：91.5ω- ............................................ 9分 而数学偏差为128-120=8， .................................................... 10分 ∴1191.5842ω-=⨯+， ..................................................... 11分 解得94ω=，所以，可以预测这位同学的物理成绩为94分． ...................... 12分 18．解：（1）()()22222cos b c b a c abc C --+=，∴()()2222cos 2b c b c a a C bc -+-=， ......................................... 1分 由余弦定理可得()2cos cos b c A a C -=， ..................................... 2分 由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos B A C A A C -=， ....................... 3分A B C π++=，∴()2sin cos sin cos cos sin sin sin B A C A C A C A B =+=+=， ................ 4分sin 0B ≠，∴1cos 2A = ..................................................................................................... 5分 由()0,A π∈，则3A π=. ........................................................................................................... 6分 （2）如图，在BCD ∆中，2BD =，1CD =，由余弦定理得：22212212cos 54cos BC D D =+-⨯⨯=-，.................................. 7分3A B π==，∴3C π=，ABC ∆为等边三角形，∴2153sin 3cos 23ABC S BC D △π=⨯⨯=-， ................................ 8分 1sin sin 2BDC S =BD DC D D ∆⨯⨯⨯=， ...................................... 9分 ∴5353sin 3cos 2sin 5332ABDC S D D D 四边形π⎛⎫=+-=+-= ⎪⎭+⎝， ...... 10分 ∴sin()13D π-=， ............................................................ 11分(0,)D π∈，即56D π= ............................................................................................................ 12分 19．解法一： （1）//AB CD ,所以1,2AM AB MC CD == 即13AM AC =． ............................................................ 1分 //MN 平面PCD ，MN ⊂平面PAC ，平面PAC ⋂平面PCD PC =， ............................................ 2分 ∴//MN PC ． ........................................................... 3分 ∴13AN AM AP AC ==，即13λ=． .......................................................................................... 4分 (2) 0,60AB AD BAD =∠=，∴ABD ∆为等边三角形，∴1BD AD ==， .................... 5分又1PD =，PA PB ==，∴222PB PD BD =+且222PA PD AD =+，∴PD BD ⊥且PD DA ⊥， ................................................ 7分 又DA DB D ⋂=，∴PD ABCD ⊥平面 .................................................................... 8分PD ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD ．作ME CD ⊥于E ，平面PCD ⋂平面=ABCD CD ，∴ME ⊥平面PCD ． ........................................................................................................... 9分 又//MN 平面PCD ，∴ME 即为N 到平面PCD 的距离． ................... 10分在△ABD 中，设AB 边上的高为h ，则2h =， ............................... 11分23MD MC BD AC ==，∴23ME h ==，即N 到平面PCD ............. 12分 解法二：（1）同解法一．（2）0,60AB AD BAD =∠=，所以ABD ∆为等边三角形，∴1BD AD ==， .................................................................................................................. 5分又1PD =，PA PB ==，∴222PB PD BD =+且222PA PD AD =+，∴PD BD ⊥且PD DA ⊥， ................................................ 7分 又DA DB D ⋂=，∴PD ⊥平面ABCD ． ................................................................ 8分设点N 到平面PCD 的距离为d ，由13AN AP =得23NP AP =， ............................... 9分 ∴2233N PCD A PCD P ACD V V V ---==， .................................................................................... 10分 即2193ACD PCD PD S d S ⋅=⋅．122ACD S AD DC sin ADC =⋅⋅∠=，112PCD S PD CD =⋅=， 1PD =， ............................................................................................................................... 11分∴2193d =，解得d =即N 到平面PCD ..................................................................................... 12分20．解：（1）设焦距为2c，由已知2c e a ==，22b =， ∴1b =，2a =， ........................................................... 2分∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ........................................... 4分 （2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()222418440k x kmx m +++-=， ........................................... 5分 依题意，()()()2228441440km k m ∆=-+->， 化简得2241m k <+，① ...................................................... 6分2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++， ............................................ 7分 ()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++， ........................... 8分 若54OM ONk k ⋅=，则121254y y x x =， 即121245y y x x =， ................................. 9分 ∴()221212124445k x x km x x m x x +++=， ........................................ 10分 ∴()()22222418454404141m km k km m k k -⎛⎫-⋅+⋅-+= ⎪++⎝⎭， ............................. 11分 即()()()2222224518410k m k m m k---++=，化简得2254m k +=，② ............. 12分 21．解：（1）'1()0(),xf x f x m +∞=+的定义域是（，），………………………………………………1分 若0m ≥，则()0f x '>，()f x 在定义域内单调递增，无最大值；………………………2分若0m <，当1(0,)x m∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1()x m∈-+∞，时，()0f x '<，()f x 单调递减。