2019年《高考总复习》数学(理科)作业及测试：课时作业 第四章平面向量 Word版含解析

第四章 平面向量第1讲 平面向量及其线性运算1．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．52．(2014年新课标Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD →B.12AD →C.BC →D.12BC →3．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上4．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 5．如图X4-1-1所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )图X4-1-1A.FO →B.OG →C.OH →D.EO →6．设点M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，点O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝( )A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM →7．P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λP A →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( ) A ．△ABC 内部 B ．AC 边所在直线上C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上8．(2015年新课标Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.9．(2017年湖南长沙长郡中学统测)如图X4-1-2，在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为________．图X4-1-210．向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线．其中所有正确结论的序号为__________．11．设两个非零向量e 1和e 2不共线 ．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A ，C ，D 三点共线；(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值．12．如图X4-1-3，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于点F ，设AB →＝a ，AC→＝b ，AF →＝x a ＋y b ，求数对(x ，y )的值．图X4-1-3第2讲 平面向量基本定理及坐标表示1．(2015年辽宁沈阳质检)已知在▱ABCD 中，AD →＝(2,8)，AB →＝(－3,4)，则AC →＝( ) A ．(－1，－12) B ．(－1,12) C ．(1，－12) D ．(1,12)2．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)3．如图X4-2-1，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →，则( )图X4-2-1A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝144．若向量α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2) 5．(2016年湖南怀化一模)如图X4-2-2，在△ABC 中，D 为AB 的中点，F 在线段CD 上，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则1x ＋2y的最小值为( )图X4-2-2A ．8＋2 2B ．8C ．6D ．6＋2 26．(2016年山西晋中四校联考)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.7．(2017年江苏)如图X4-2-3，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1,1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R ), 则m ＋n ＝________.图X4-2-38．如图X4-2-4，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的点，给出下列以O 为起点的向量：①OA →＋2OB →；②12OA →＋13OB →；③34OA →＋13OB →；④34OA →＋15OB →；⑤34OA →＋BA →＋23OB →.其中终点落在阴影区域内的向量的序号是__________(写出满足条件的所有向量的序号)．图X4-2-49．如图X4-2-5，已知点A (1,0)，B (0,2)，C (－1，－2)，求以A ，B ，C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标．图X4-2-510．(2016年广西南宁模拟)如图X4-2-6，已知△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．图X4-2-6第3讲 平面向量的数量积1．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3 B.3 C ．0 D ．－ 32．(2015年广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2,1)，则AD →·AC →＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5 3．(2017年浙江)如图X4-3-1，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )图X4-3-1A ．I 1<I 2<I 3B ．I 1<I 3<I 2C ．I 3<I 1<I 2D ．I 2<I 1<I 3 4．如图X4-3-2，已知在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝( )图X4-3-2A ．1 B. 3 C. 5 D.75．(2016年辽宁大连模拟)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 6．(2016年新课标Ⅰ)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m ＝____________. 7．已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是____________________．8．(2017年广东深圳一模)已知向量p ＝()1，2，q ＝()x ，3，若p ⊥q ，则|p ＋q |＝__________.9．(2016年山东)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________．10．(2017年山东)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．11．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |；(3)若AB →＝a ，AC →＝b ，作△ABC ，求△ABC 的面积．12．已知平面上有三点A ，B ，C ，且向量BC →＝(2－k,3)，AC →＝(2,4)． (1)若点A ，B ，C 不能构成三角形，求实数k 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，求k 的值．第4讲 平面向量的应用举例1．(2016年湖北优质高中联考)已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k ，－2)，若(a －c )∥b ，则向量a 与向量c 的夹角的余弦值是( )A.55B.15 C ．－55 D. －15 2．(2017年广西南宁第二次适应性测试)线段AD ，BE 分别是边长为2的等边三角形ABC在边BC ，AC 边上的高，则AD →·BE →＝( )A ．－32 B.32 C ．－3 32 D.3 323．在平行四边形ABCD 中，AD ＝2，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AD →·BE →＝1，则AB 的长为________．4．(2014年新课标Ⅰ)已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为__________．5．(2014年江苏)如图X4-4-1，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →＝______.图X4-4-16．(2015年安徽)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是__________．(写出所有正确结论的序号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →. 7．(2015年天津)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →， 则AE →·AF →的值为________．8．(2015年上海)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⊥b ，且{|a|，|b|，|c|}＝{1,2,3}，则|a ＋b＋c|的最大值是____________．9．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．10．如图X4-4-2，已知点P (4,4)，圆C ：(x －m )2＋y 2＝5(m <3)与椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)有一个公共点A (3,1)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切．(1)求m 的值与椭圆E 的方程；(2)设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP →·AQ →的取值范围．图X4-4-2第四章 平面向量第1讲 平面向量及其线性运算1．B 解析：由MA →＋MB →＋MC →＝0可知，点M 为△ABC 的重心，故AM →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)．所以AB →＋AC →＝3AM →，即m ＝3. 2．A 解析：设AB →＝a ，AC →＝b ，则EB →＝－12b ＋a ，FC →＝－12a ＋b ，从而EB →＋FC →＝⎝⎛⎭⎫－12b ＋a ＋⎝⎛⎭⎫－12a ＋b ＝12(a ＋b )＝AD →.故选A. 3．B 解析：因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →.所以点P 在线段AB 的反向延长线上．故选B.4．A 解析：∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)．∴3AD →＝2AC →＋AB →.∴AD →＝23AC →＋13AB→＝23b ＋13c . 5．A 解析：如图D108，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形，OP →＋OQ →＝OA →＝FO →.图D1086．D 解析：如图D109，∵点M 为AC ，BD 的中点，∴OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →.∴OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OM →.图D1097．B 解析：∵CB →＝PB →－PC →，CB →＝λP A →＋PB →， ∴PB →－PC →＝λP A →＋PB →.∴－PC →＝λP A →. ∴PC →∥P A →，即PC →与P A →共线．∴点P 一定在AC 边所在直线上．故选B.8.12解析：因为向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以λa ＋b ＝k (a ＋2b )．则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，1＝2k .所以λ＝12. 9.13 解析：由AN →＝12NC →，知N 是AC 的三等分点． ∵AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋23AN →，∵B ，P ，N 三点共线，∴m ＋23＝1，即m ＝13.10．④ 解析：由AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2＝2CD →，且AB →与CB →不共线，可得A ，C ，D 共线，且B 不在此直线上．11．(1)证明：∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12C D →.∴AC →与CD →共线．∵AC →与CD →有公共点C ，∴A ，C ，D 三点共线．(2)解：AC →＝AB →＋BC →＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2.∵A ，C ，D 三点共线，∴AC →与CD →共线．从而存在实数λ使得AC →＝λCD →，即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)．∴⎩⎨⎧3＝2λ，－2＝－λk .解得⎩⎨⎧λ＝32，k ＝43.12．解：方法一，令BF →＝λBE →，由题意知，AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ⎝⎛⎭⎫12AC →－AB →＝(1－λ)AB →＋12λAC →.同理，令CF →＝μCD →，则AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋μCD →＝AC →＋μ⎝⎛⎭⎫12AB →－AC →＝12μAB →＋(1－μ)AC →. ∴⎩⎨⎧1－λ＝12μ，12λ＝1－μ.解得⎩⎨⎧λ＝23，μ＝23. ∴AF →＝13AB →＋13AC →.故⎝⎛⎭⎫13，13为所求． 方法二，设CF →＝λCD →，∵E ，D 分别为AC ，AB 的中点，∴BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋12b ，BF →＝BC →＋CF →＝(b －a )＋λ⎝⎛⎭⎫12a －b ＝⎝⎛⎭⎫12λ－1a ＋(1－λ)b . ∵BE →与BF →共线，a ，b 不共线， ∴12λ－1－1＝1－λ12.∴λ＝23.∴AF →＝AC →＋CF →＝b ＋23CD →＝b ＋23⎝⎛⎭⎫12a －b ＝13a ＋13b . 故x ＝13，y ＝13.则⎝⎛⎭⎫13，13即为所求． 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示1．B 解析：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →＝(－1,12)． 2．B 解析：由题意知，A 选项中e 1＝0，C ，D 选项中两向量均共线，都不符合基底条件．故选B.3．A 解析：由题意知，OP →＝OB →＋BP →.又BP →＝2P A →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →.所以x ＝23，y ＝13.4．D 解析：∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)，即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)．令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．5．B 解析：因为D 为AB 的中点，所以AB →＝2AD →.因为AF →＝x a ＋y b ，所以AF →＝2xAD →＋yAC →.因为F 在线段CD 上，所以2x ＋y ＝1.又x ，y >0，所以1x ＋2y ＝(2x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＝4＋y x ＋4x y ≥4＋2 y x ·4x y ＝8，当且仅当y ＝2x ＝12时取等号，所以1x ＋2y 的最小值为8.6.43解析：选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底， 则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →.又AC →＝λAE →＋μAF →＝⎝⎛⎭⎫12λ＋μAB →＋⎝⎛⎭⎫λ＋12μAD →， 于是⎩⎨⎧12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1.解得⎩⎨⎧λ＝23，μ＝23.所以λ＋μ＝43.7．3 解析：由tan α＝7，得sin α＝7 210，cos α＝210.根据向量的分解，易得⎩⎪⎨⎪⎧n cos 45°＋m cos α＝2，n sin 45°－m sin α＝0，⎩⎨⎧22n ＋210m ＝2，22n －7 210m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧5n ＋m ＝10，5n －7m ＝0，解得⎩⎨⎧m ＝54，n ＝74，所以m ＋n ＝3.8．①③ 解析：作图，OA →＋2OB →终点显然落在阴影区域内；12OA →＋12OB →终点落在AB上，故12OA →＋13OB →终点落在△OAB 内；34OA →＋14OB →终点落在AB 上，故34OA →＋13OB →终点落在阴影区域内，34OA →＋15OB →终点落在△OAB 内；34OA →＋BA →＋23OB →＝74OA →－13OB →，终点显然落在阴影区域外．9．解：如图D110，以A ，B ，C 为顶点的平行四边形可以有三种情况：图D110①▱ABCD ；②▱ADBC ；③▱ABDC . 设D 的坐标为(x ，y )，①若是▱ABCD ，则由AB →＝DC →，得 (0,2)－(1,0)＝(－1，－2)－(x ，y )， 即(－1,2)＝(－1－x ，－2－y )．∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1－x ＝－1，－2－y ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－4.∴点D 的坐标为(0，－4)(如图D110所示的点D 1)．②若是▱ADBC ，由CB →＝AD →，得 (0,2)－(－1，－2)＝(x ，y )－(1,0)， 即(1,4)＝(x －1，y )，解得x ＝2，y ＝4. ∴点D 的坐标为(2,4)(如图中所示的点D 2)．③若是▱ABDC ，则由AB →＝CD →，得 (0,2)－(1,0)＝(x ，y )－(－1，－2)， 即(－1,2)＝(x ＋1，y ＋2)． 解得x ＝－2，y ＝0.∴点D 的坐标为(－2,0)(如图D110所示的D 3)．∴以A ，B ，C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标为(0，－4)或(2,4)或(－2,0)．10．解：(1)由题意，知A 是CB 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →.所以OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由题意，知EC →∥DC →，故设EC →＝xDC →.因为EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，所以(2－λ)a －b ＝x ⎝⎛⎭⎫2a －53b . 因为a 与b 不共线，由平面向量基本定量，得⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2x ，－1＝－53x .解得⎩⎨⎧x ＝35，λ＝45.故λ＝45.第3讲 平面向量的数量积1．B 解析：由题意，得cos π6＝a ·b |a||b|＝3＋3m 232＋m 2＝32.解得m ＝ 3.故选B.2．D 解析：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)．所以AD →·AC →＝2×3＋1×(－1)＝5.故选D. 3．C 解析：因为∠AOB ＝∠COD >90°，所以OB →·OC →>0>OA →·OB →>OC →·OD →(理由OA <OC ，OB <OD )．故选C.4．A 解析：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →)＝⎝⎛⎭⎫AD →＋12AB →·(AD →－AB →)＝AD →2－12AB →·AD →－12AB →2＝22－12×2×2×12－12×22＝1.5．C 解析：∵|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |， ∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝4a 2. ∴a ⊥b ，b 2＝3a 2.∴cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝a 2－b 2|a ＋b ||a －b |＝－12.∴向量a ＋b 与a －b 的夹角是2π3.故选C.6．－2 解析：由|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a ⊥b .所以m ×1＋1×2＝0.解得m ＝－2.7．(－∞，－6)∪⎝⎛⎭⎫－6，32 解析：由a ·b <0，得2λ－3<0，解得λ<32.由a ∥b ，得6＝－λ，即λ＝－6.因此λ的取值范围是λ<32，且λ≠－6.8．5 2 解析：因为p ⊥q ，所以，x ＋6＝0，即x ＝－6. 因为p ＋q ＝(－5,5)，所以|p ＋q |＝5 2.9．－5 解析：t a ＋b ＝(6＋t ，－4－t )，(t a ＋b )·a ＝(6＋t ，－4－t )·(1，－1)＝2t ＋10＝0，解得t ＝－5.10.33解析：(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)＝3e 21＋3λe 1·e 2－e 1·e 2－λe 22＝3－λ，|3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝2，|e 1＋λe 2|＝(e 1＋λe 2)2＝e 21＋2λe 1·e 2＋λ2e 22＝1＋λ2，∴3－λ＝2×1＋λ2×cos 60°＝1＋λ2.解得λ＝33. 11．解：(1)由(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， 得4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.∵|a |＝4，|b |＝3，代入上式，求得a ·b ＝－6. ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°. (2)可先平方转化为向量的数量积． |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a ＋b |＝13. 同理，|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝37.(3)先计算a ，b 夹角的正弦，再用面积公式求值．由(1)知∠BAC ＝θ＝120°，|AB →|＝|a |＝4，|AC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12×|AC →|×|AB →|×sin ∠BAC ＝12×3×4×sin 120°＝3 3.12．解：(1)由点A ，B ，C 不能构成三角形，得A ，B ，C 在同一条直线上，即向量BC →与AC →平行．∵BC →∥AC →，∴4(2－k )－2×3＝0，解得k ＝12.(2)∵BC →＝(2－k,3)，∴CB →＝(k －2，－3)． ∴AB →＝AC →＋CB →＝(k,1)．∵△ABC 为直角三角形，则①当∠BAC 是直角时，AB →⊥AC →，即AB →·AC →＝0. ∴2k ＋4＝0.解得k ＝－2.②当∠ABC 是直角时，AB →⊥BC →，即AB →·BC →＝0. ∴k 2－2k －3＝0.解得k ＝3或k ＝－1.③当∠ACB 是直角时，AC →⊥BC →，即AC →·BC →＝0. ∴16－2k ＝0.解得k ＝8. 综上所述，k ∈{－2，－1,3,8}．第4讲 平面向量的应用举例1．A 解析：a －c ＝(3－k,3)，因为(a －c )∥b ，所以(3－k )×3＝3×1.解得k ＝2.当k ＝2时，cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝410×2 2＝55.故选A.2．A 解析：由等边三角形的性质，得|AD →|＝|BE →|＝3，〈AD →，BE →〉＝120°，所以AD →·BE→＝|AD →||BE →|·cos 〈AD →，BE →〉＝3×3×⎝⎛⎭⎫－12＝－32.故选A. 3．6 解析：BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →，AD →·BE →＝AD →·⎝⎛⎭⎫AD →－12AB →＝AD →2－12AD →·AB →＝|AD →|2－12|AD →|×|AB →|cos 60°＝4－12×2|AB →|×cos 60°＝1，则AB 的长为6.4．90° 解析：AO →＝12(AB →＋AC →)，则O 为BC 的中点，直角三角形斜边的中线长等于斜边长的一半，所以AB →与AC →垂直．5．22 解析：由题意，得AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB →·⎝⎛⎭⎫AD →－34AB → ＝AD →2－12AD →·AB →－316AB →2，即2＝25－12AD →·AB →－316×64.解得AB →·AD →＝22.6．①④⑤ 解析：∵△ABC 是边长为2的等边三角形，AB →＝2a ，|AB →|＝2|a |＝2，|a |＝1，故①正确；AC →＝AB →＋BC →＝2a ＋b ，∵AB →＝2a ，∴BC →＝b .∴|b |＝2，故②错误且④正确；∵AB →＝2a ，BC →＝b ，∴a 与b 的夹角为120°，故③错误；(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋b 2＝4×1×2×⎝⎛⎭⎫－12＋22＝0，∴(4a ＋b )⊥BC →，故⑤正确． 7.2918 解析：在等腰梯形ABCD 中，由AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，得AD →·BC →＝12，AB →·AD →＝1，DC →＝12AB →，所以AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →)＝⎝⎛⎭⎫AB →＋23BC →·⎝⎛⎭⎫AD →＋112AB →＝AB →·AD →＋23BC →·AD →＋112AB 2→＋118BC →·AB →＝1＋13＋13－118＝2918.8．3＋5 解析：因为a ⊥b ，设a ＝(1,0)，b ＝(0,2)，c ＝(3cos θ，3sin θ)，θ∈[0,2π)，所以a ＋b ＋c ＝(1＋3cos θ，2＋3sin θ)．所以|a ＋b ＋c|2＝(1＋3cos θ)2＋(2＋3sin θ)2＝14＋6 5sin(θ＋φ)，其中sin φ＝66 5＝55. 所以当sin(θ＋φ)＝1时，|a ＋b ＋c|取得最大值，即14＋6 5＝3＋ 5.9．解：(1)f (x )＝a·b ＝cos x ·3sin x －12cos 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 最小正周期T ＝2π2＝π.所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，最小正周期为π. (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，由函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的图象知， f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤f (0)，f ⎝⎛⎭⎫π3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－121. 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值分别为1，－12. 10．解：(1)将点A (3,1)代入圆C 方程，得(3－m )2＋1＝5. ∵m ＜3，∴m ＝1，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝5. 设直线PF 1的斜率为k ，则PF 1：y ＝k (x －4)＋4，即kx －y －4k ＋4＝0. ∵直线PF 1与圆C 相切，C (1,0)，∴|k －0－4k ＋4|k 2＋1＝ 5.解得k ＝112或k ＝12.当k ＝112时，直线PF 1与x 轴交点的横坐标为3611，不合题意；当k ＝12时，直线PF 1与x轴交点的横坐标为－4.∴|OF 1|＝c ＝4，即F 1(－4,0)，F 2(4,0)． ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝5 2＋2＝6 2.∴a ＝3 2，a 2＝18，b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆E 的方程为x 218＋y 22＝1.(2)AP →＝(1,3)，设Q (x ，y )，则AQ →＝(x －3，y －1)， AP →·AQ →＝(x －3)＋3(y －1)＝x ＋3y －6. ∵x 218＋y 22＝1，即x 2＋(3y )2＝18. ∴x 2＋(3y )2≥2|x ||3y |，∴－18≤6xy ≤18.则(x ＋3y )2＝x 2＋(3y )2＋6xy ＝18＋6xy ∈[0,36]，即x ＋3y ∈[－6,6]． ∴AP →·AQ →的取值范围是[－12,0]．。