抛物线的简单几何性质教学设计

2.4.2 抛物线的简单几何性质（4课时）

主备教师：周雷凤辅备教师：马能礼

一、内容及其解析

本次课学的内容是抛物线的一些基本性质，其核心内容是抛物线的离心率及准线，理解它关本节课要键是先让学生理解直观的图形，从中抽象出抛物线的性质。

学生已经学过抛物线线概念和标准形式，本节课的内容抛物线的基本性质就是在其基础上的发展。由于它还与椭圆、双曲线等圆锥曲线有密切的联系，并有参照对比的作用。是抛物线的核心内容。教学重点是抛物线的性质及范围，解决重点的关键是引导学生动手、动脑，从图形的直观得到抛物线性质的准确刻画。

二、目标及其解析

1、目标定位

（1）了解抛物线的几何性质；

（2）会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．

2、目标解析

（1）是指：抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质．

（2）是指：能够根据抛物线中准线与焦点之间的关系能求出抛物线的标准方程及轨迹方程等.

三、问题诊断分析

在本节抛物线性质的教学中，学生可能遇到的问题是抛物线的一些基本概念会与其它圆锥曲线的概念产生混淆，产生这一问题的原因是学生对各种曲线的概念把握不清。要解决这一问题，就要类比着其它圆锥曲线的概念及性质学习，其中关键是借助图形直观类比。

四、教学支持条件分析

在本节课双曲线的性质教学中，准备使用多媒体辅助教学。因为使用多媒体辅助教学有利于学生对抛物线性质从直观到具体的把握。

五、教学设计过程

第一、二课时

复习：

问题1：抛物线的概念？抛物线标准方程有哪几种？他们的形式是怎么样的？

（设计意图：让学生先回顾抛物线概念和标准方程，为探究抛物线性质做好准备）

自学

阅读教材第6869P P -页，完成下列问题： 1． 抛物线的几何性质:

互学、导学

问题一 抛物线的几何性质有哪些？（设计意图：让学生充分认识抛物线） （师生活动：结合图像，各组研讨，最好教师归纳小结）

问题1：类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y 2＝2px (p >0)的范围、对称性、顶点、离心率．怎样用方程验证？

问题2：类比抛物线y 2＝2px (p >0)，抛物线y 2＝－2px (p>0)、x 2＝2py (p>0)、x 2＝－2py (p>0)

的性质如何呢？

问题3：通过抛物线的几何性质，怎样探求抛物线的标准方程？

答：求抛物线的标准方程，主要利用待定系数法，要根据已知的几何性质先确定方程的形式，再求参数p .

例 1 （教材68P 例3）已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点

(

2,M -，求它的标准方程.

【方法归纳】

(1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．

(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程．

变式训练1：若y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则P 的坐标为 ( B ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±24 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±24 C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫14，24

D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫

18，24 解：由知， P 到焦点F 的距离等于它到顶点O 的距离，因此点P 在线段OF 的垂直平分线上，而F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，所以P 点的横坐标为18，代入抛物线方程得y ＝±24，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

18，±24，

问题二 抛物线的焦点弦问题

（设计意图：让学生了解焦点弦的重要性，体现团结合作的智慧） （师生活动：小组讨论分析、总结答案，教师归纳结论） 问题1：什么是抛物线的焦点弦？过焦点的弦长如何求？

解：抛物线y 2＝±2px (p >0)的过焦点的弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ，其中x 1，x 2分别是点A ，B 横坐标的绝对值；抛物线x 2＝±2py (p >0)的过焦点的弦长|AB |＝y 1＋y 2＋p ，其中y 1，y 2分别是点A ，B 纵坐标的绝对值.

问题2：抛物线的通径是什么？

例2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；（类似教材73P 习题2.4第5题） (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．

解：(1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝3， 又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0. 所以直线l 的方程为y ＝3⎝

⎛

⎭⎪⎫x －32.

联立⎩⎨⎧

y 2＝6x ，

y ＝

3⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －32消去y 得x 2－5x ＋9

4

＝0.

若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝5，

而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p

2＝x 1＋x 2＋p . ∴|AB |＝5＋3＝8.

(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知

|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p

2

＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3， 所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3，又准线方程是x ＝－3

2，

所以M 到准线的距离等于3＋32＝9

2

.

【归纳方法】

(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．

(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．

变式训练2：（教材69P 例4）斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.

问题三 探究和抛物线有关的轨迹方程（设计意图：让学生学会简单轨迹方程的求法） 问题1：怎样判断一个动点的轨迹是抛物线？ （师生互动：小组讨论得出结论，教师补充）

答：(1)如果动点满足抛物线的定义，则动点的轨迹是抛物线；

(2)如果动点的轨迹方程是抛物线的方程形式，则该动点的轨迹是抛物线．

例3 已知点A 在平行于y 轴的直线l 上，且l 与x 轴的交点为(4,0)．动点P 满足AP →平行于x 轴，且OA →⊥OP →

，求P 点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．