数学---江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试试题

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江苏南通中学2017届高三上学期理科数学期中测试题

21． (本小题满分 10 分) 设矩阵A＝
1 －2 3 1 1 的逆矩阵为 A ，矩阵B满足AB＝，求 A ，B． 1 3 －7
22．(本小题满分 10 分) 设矩阵 A
1 2 ，求矩阵 A 的逆矩阵的特征值及对应的特征向量． 2 1
23．(本小题满分 10 分) π 已知曲线 C 的极坐标方程为＝2cosθ，直线 l 的极坐标方程为sin(θ＋6)＝m．若直线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点，求实数 m 的值． 24． (本小题满分 10 分) x＝3＋ 2 t， x＝4cosθ 在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C： (为参数， ∈R)，直线 l： (t 为参数， y＝3sinθ 2 t∈R)，求曲线 C 上的动点 P 到直线 l 的距离的最小值． 2 y＝－3＋ 2 t
C
A
O
B
D
（第 18 题）
19． (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ax
a2 2 2a (a 0) ． x
(1)当 a 1 时，求函数 f ( x ) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程； (2)求函数 f ( x ) 的单调区间； (3)若 f ( x) ≥ 2ln x 在 [1, ) 上恒成立………6 分
1 1 (2)∵图象过点 M (1, ) ， cos( 2 ) 2 2 2
即 sin 2
1 ，而 0 ，故 2 ，则 f ( x) cos( x ) ．………………10 分 2 4 6 2 6
当 1 x 1 时，
log 0.2 x 的定义域为．
4．若角α的终边经过点P(a，2a)(a<0)，则cos α=． 5．设 Sn 是等比数列 {an } 的前 n 项的和，若 a3 2a6 0 ，则

江苏省南通中学高三数学上学期期中试卷理(解析版)苏

2012-2013学年江苏省南通中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（每小题5分，共70分）1．（5分）已知集合A={x||x﹣3|≤1}，B={x|x2﹣5x+4≥0}，则A∩B={4} ．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据题意，解|x﹣3|≤1可得2≤x≤4，即可得集合A，解x2﹣5x+4≥0可得集合B，由交集的定义，即可得答案．解答：解：根据题意，对于集合A，|x﹣3|≤1⇔2≤x≤4，则A={x|2≤x≤4}，对于集合B，由x2﹣5x+4≥0⇔x≤1或x≥4，则B={x|x≤1或x≥4}，则A∩B={4}，故答案为{4}．点评：本题考查集合交集的计算，关键是正确解出不等式，得到集合A、B．2．（5分）已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3 ．考点：四种命题．专题：综合题．分析：若原命题是“若p，则q”的形式，则其否命题是“若非p，则非q”的形式，由原命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”，根据否命题的定义给出答案．解答：解：：根据四种命题的定义，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是“若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3”故答案为：若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3点评：本题考查的知识点是四种命题，熟练掌握四种命题的定义及相互之间的关系是解答本题的关键．3．（5分）已知，则= ．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：根据诱导公式可知=sin（﹣α﹣），进而整理后，把sin（α+）的值代入即可求得答案．解答：解：=sin（﹣α﹣）=﹣sin（α+）=﹣故答案为：﹣点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题．属基础题．4．（5分）函数y=x﹣2lnx的单调减区间为（0，2）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：函数的单调减区间就是函数的导数小于零的区间，可以先算出函数f（x）=x﹣2lnx 的导数，再解不等式f′（x）＜0，可得出函数的单调减区间．解答：解：求出函数f（x）=x﹣2lnx的导数：而函数的单调减区间就是函数的导数小于零的区间由f′（x）＜0，得（0，2）因为函数的定义域为（0，+∞）所以函数的单调减区间为（0，2）故答案为：（0，2）点评：本题的考点是利用导数研究函数的单调性，解题的关键是求导函数，在做题时应该避免忽略函数的定义域而导致的错误．5．（5分）已知||=，||=3，和的夹角为45°，若向量（λ+）⊥（+λ），则实数λ的值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先利用两个向量的数量积的定义求出•的值，再由两个向量垂直的性质可得（λ+）•（+λ）=0，解方程求得实数λ的值．解答：解：∵已知||=，||=3，和的夹角为45°，∴•=•3cos45°=3．由向量（λ+）⊥（+λ），可得（λ+）•（+λ）=0，即λ+（λ2+1）+λ=0，即2λ+3（λ2+1）+9λ=0，解得λ=，故答案为．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于中档题．6．（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），当x∈（﹣2，0）时，f（x）=2x，则f（2012）﹣f（2013）= ．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）=0；对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），可得函数的周期为4，由此可得结论．解答：解：由题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0∵对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），∴函数的周期为4，∴f（2012）=f（4×503）=f（0）=0∵当x∈（﹣2，0）时，f（x）=2x，∴f（﹣1）=，∴f（1）=﹣∴f（2013）=f（4×503+1）=f（1）=﹣∴f（2012）﹣f（2013）=故答案为：点评：本题考查函数的奇偶性与周期性，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（5分），设{a n}是正项数列，其前n项和S n满足：4S n=（a n﹣1）（a n+3），则数列{a n}的通项公式a n= 2n+1 ．考点：数列的概念及简单表示法．分析：把数列仿写一个，两式相减，合并同类型，用平方差分解因式，约分后得到数列相邻两项之差为定值，得到数列是等差数列，公差为2，取n=1代入4S n=（a n﹣1）（a n+3）得到首项的值，写出通项公式．解答：解：∵4S n=（a n﹣1）（a n+3），∴4s n﹣1=（a n﹣1﹣1）（a n﹣1+3），两式相减得整理得：2a n+2a n﹣1=a n2﹣a n﹣12，∵{a n}是正项数列，∴a n﹣a n﹣1=2，∵4S n=（a n﹣1）（a n+3），令n=1得a1=3，∴a n=2n+1，故答案为：2n+1．点评：数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位．高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏．8．（5分）已知命题p：在x∈（﹣∞，0]上有意义，命题q：函数y=lg （ax2﹣x+a）的定义域为R．如果p和q有且仅有一个正确，则a的取值范围（﹣∞，]∪（1，+∞）．考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由函数在x∈（﹣∞，0]上有意义可得p；由函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．可得ax2﹣x+a＞0恒成立，结合二次函数的性质可求q，而p和q有且仅有一个正确即是①p正确而q不正确，②q正确而p不正确，两种情况可求a的范围解答：解：x∈（﹣∞，0]时，3x∈（0，1]，∵函数在x∈（﹣∞，0]上有意义，∴1﹣a•3x≥0，∴a≤，∴a≤1，即使p正确的a的取值范围是：a≤1．（2分）由函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．可得ax2﹣x+a＞0恒成立（1）当a=0时，ax2﹣x+a=﹣x不能对一切实数恒大于0．（2）当a≠0时，由题意可得，△=1﹣4a2＜0，且a＞0∴a＞．故q正确：a＞．（4分）①若p正确而q不正确，则，即a≤，（6分）②若q正确而p不正确，则，即a＞1，（8分）故所求的a的取值范围是：（﹣∞，]∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，]∪（1，+∞）．点评：本题考查命题的真假判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的定义域的合理运用．9．（5分）设函数y=sinx（0≤x≤π）的图象为曲线C，动点A（x，y）在曲线C上，过A 且平行于x轴的直线交曲线C于点B（A、B可以重合），设线段AB的长为f（x），则函数f （x）单调递增区间[] ．考点：正弦函数的图象；正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：依题意，对x∈[0，]与x∈[，π]讨论即可．解答：解：依题意得f（x）=|AB|，（0≤|AB|≤π）．当x∈[0，]时，|AB|由π变到0，∴[0，]为f（x）单调递减区间；当当x∈[，π]时，|AB|由0变到π，∴[，π]为f（x）单调递增区间．故答案为：[，π]．点评：本题考查正弦函数的图象与性质，考查数形结合思想与分析问题的能力，属于中档题．10．（5分）（2010•苏州模拟）当时，恒成立，则实数a的取值范围是．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：由题意当时，恒成立，可得﹣≤ax﹣2x3≤，化为两个恒成立问题，从而求解．解答：解：∵当时，恒成立，∴﹣≤ax﹣2x3≤，∴ax﹣2x3+≥0和ax﹣2x3﹣≤0，在[0，]上恒成立；∴，下求出2x2﹣的最大值和2x2+的最小值，∵，∵2x2﹣在上增函数，∴2x2﹣≤2×﹣1=﹣，∴a≥﹣；∵，∵2x2+≥2×+1=，∴a≤，∴，故答案为：．点评：此题考查绝对值不等式的性质及函数的恒成立问题，这类题目是高考的热点，难度不是很大，要注意函数的增减性．11．（5分）已知存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=﹣x+b都不是曲线y=x3﹣3ax的切线，则实数a的取值范围是．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：由直线y=﹣x+b得直线斜率为﹣1，直线y=﹣x+b不与曲线f（x）相切知曲线f（x）上任一点斜率都不为﹣1，即f′（x）≠﹣1，求导函数，并求出其范围[﹣3a，+∞），得不等式﹣3a＞﹣1，即得实数a的取值范围．解答：解：设f（x）=x3﹣3ax，求导函数，可得f′（x）=3x2﹣3a∈[﹣3a，+∞），∵存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=﹣x+b都不是曲线y=x3﹣3ax的切线，∴﹣1∉[﹣3a，+∞），∴﹣3a＞﹣1，即实数a的取值范围为故答案为：点评：本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．（5分）（2008•辽宁）设，则函数的最小值为．考点：三角函数的最值．专题：计算题；压轴题．分析：先根据二倍角公式对函数进行化简，然后取点A（0，2），B（﹣sin2x，cos2x）且在x2+y2=1的左半圆上，将问题转化为求斜率的变化的最小值问题，进而看解．解答：解：∵，取A（0，2），B（﹣sin2x，cos2x）∈x2+y2=1的左半圆，如图易知．故答案为：．点评：本小题主要考查二倍角公式的应用和三角函数的最值问题．考查知识的综合运用能力和灵活能力．13．（5分）设实数a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，3a]，都有y∈[a，a2]满足方程log a x+log a y=c，这时，实数a的取值的集合为{3} ．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得x＞0，y＞0，，作出其图象如图所示，进而得出及a＞1，c只有一个值．解出即可．解答：解：∵log a x+log a y=c，∴x＞0，y＞0，．（a＞1），作出其函数图象：由图象可以看出：函数在区间[a，3a]上单调递减，∴必有及a＞1，c只有一个值．解得c=3，a=3．适合题意．∴实数a的取值的集合为{3}．点评：由题意确定函数的单调性和画出其图象是解题的关键．14．（5分）已知函数，把函数g（x）=f（x）﹣x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和S n，则S10= 45 ．考点：数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：函数y=f（x）与y=x在（0，1]，（1，2]，（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），…，（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的根依次为3，4，…n+1．方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为0，1，2，3，4，…，可得数列通项公式．解答：解：当0＜x≤1时，有﹣1＜x﹣1＜0，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1，当1＜x≤2时，有0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣2+1，当2＜x≤3时，有1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣3+2，当3＜x≤4时，有2＜x﹣1≤3，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣4+3，以此类推，当n＜x≤n+1（其中n∈N）时，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣n﹣1+n，所以，函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（1，2），由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．然后：①将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x﹣1和y=x的图象，取x≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）．即当x≤0时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=0．②取①中函数f（x）=2x﹣1和y=x图象﹣1＜x≤0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，即得f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，此时它们仍然只有一个交点（1，1）．即当0＜x≤1时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=1．③取②中函数f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，继续按照上述步骤进行，即得到f（x）=2x﹣2+1和y=x在1＜x≤2上的图象，此时它们仍然只有一个交点（2，2）．即当1＜x≤2时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=2．④以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…，n+1．综上所述方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为：0，1，2，3，4，…，其通项公式为：a n=n﹣1，前n项的和为 S n=，∴S10=45．故答案为：45．点评：本题考查了数列递推公式的灵活运用，解题时要注意分类讨论思想和归纳总结；本题属于较难的题目，要细心解答．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（12分）（2009•江苏）设向量（1）若与垂直，求tan（α+β）的值；（2）求的最大值；（3）若tanαtanβ=16，求证：∥．考点：平面向量数量积坐标表示的应用；平行向量与共线向量；两向量的和或差的模的最值．专题：综合题．分析：（1）先根据向量的线性运算求出，再由与垂直等价于与的数量积等于0可求出α+β的正余弦之间的关系，最后可求正切值．（2）先根据线性运算求出，然后根据向量的求模运算得到||的关系，最后根据正弦函数的性质可确定答案．（3）将tanαtanβ=16化成弦的关系整理即可得到（4cosα）•（4cosβ）=sinαsinβ，正是∥的充要条件，从而得证．解答：解：（1）∵=（sinβ﹣2cosβ，4cosβ+8sinβ），与垂直，∴4cosα（sinβ﹣2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，即sinαcosβ+cosαsinβ=2（cosαcosβ﹣sinαsinβ），∴sin（α+β）=2cos（α+β），∴tan（α+β）=2．（2）∵=（sinβ+cosβ，4cosβ﹣4sinβ），∴||==，∴当sin2β=﹣1时，||取最大值，且最大值为．（3）∵tanαtanβ=16，∴，即sinαsinβ=16cosαcosβ，∴（4cosα）•（4cosβ）=sinαsinβ，即=（4cosα，sinα）与=（sinβ，4cosβ）共线，∴∥．点评：本题主要考查向量的线性运算、求模运算、向量垂直和数量积之间的关系．向量和三角函数的综合题是高考的热点，要强化复习．16．（14分）已知函数f（log a x）=，其中a＞0且a≠1．（1）求函数f（x）的解析式，并判断其奇偶性和单调性；（2）对于函数f（x），当x∈（﹣1，1）时，f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，求实数m的取值范围；（3）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣6的值恒为负数，求函数a的取值范围．考点：奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据对数式与相应指数式的关系，由函数f（log a x）=，将括号中对应的对数式化为x后，解析式中x要化为a x，求出解析式后，可根据奇偶性的定义及导数法，求出函数的奇偶性和单调性；（2）根据（1）中函数的性质，及x∈（﹣1，1）可将不等式f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，化为﹣1＜1﹣m＜1﹣m2＜1，进而得到实数m的取值范围；（3）由当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣6的值恒为负数，根据函数的单调性可得f （2）﹣6≤0整理可得a的取值范围．解答：解：（1）由f（log a x）=，得，…2’因为定义域为R，=﹣f（x）所以f（x）为奇函数，…4’因为，当0＜a＜1及a＞1时，f′（x）＞0，所以f（x）为R上的单调增函数；…6’（2）由f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，得f（1﹣m）＜﹣f（1﹣m2）=f（m2﹣1），，又x∈（﹣1，1），则﹣1＜1﹣m＜1﹣m2＜1，得1＜m＜；…10’（3）因为f （x ）为R 上的单调增函数，所以当x ∈（0，2）时，f （x ）﹣6的值恒为负数，所以f （x ）﹣6＜0恒成立，则f （2）﹣6=≤0，…12’整理得a 2﹣6a+1≤0，所以≤a≤，又a ＞0且a≠1，所以实数a 的取值范围是[，1）∪（1，≤]．…14’ 点评：本题是函数奇偶性与单调性的综合应用，特别是后面抽象不等式及恒成立问题，难度较大． 17．（16分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2﹣a n ，n=1，2，3，…．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1=1，且b n+1=b n +a n ，求数列{b n }的通项公式；（3）设c n =n （3﹣b n ），求数列{c n }的前n 项和为T n ．考点：数列的求和；数列的函数特性；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：（1）利用数列中a n 与 Sn 关系解决．（2）结合（1）所求得出b n+1﹣b n =．利用累加法求b n（3）由上求出c n =n （3﹣b n ）=，利用错位相消法求和即可．解答：解：（1）因为n=1时，a 1+S 1=a 1+a 1=2，所以a 1=1．因为S n =2﹣a n ，即a n +S n =2，所以a n+1+S n+1=2．两式相减：a n+1﹣a n +S n+1﹣S n =0，即a n+1﹣a n +a n+1=0，故有2a n+1=a n ．因为a n ≠0，所以=（ n ∈N *）．所以数列{a n }是首项a 1=1，公比为的等比数列，a n =（ n ∈N *）．（2）因为b n+1=b n +a n （ n=1，2，3，…），所以b n+1﹣b n =．从而有b 2﹣b 1=1，b 3﹣b 2=，b 4﹣b 3=，…，b n ﹣b n ﹣1=（ n=2，3，…）．将这n ﹣1个等式相加，得b n ﹣b 1=1+++…+==2﹣．又因为b1=1，所以b n=3﹣（ n=1，2，3，…）．（3）因为c n=n （3﹣b n）=，所以T n=．①=．②①﹣②，得=﹣．故T n=﹣=8﹣﹣=8﹣（ n=1，2，3，…）．点评：本题考查利用数列中a n与 Sn关系求数列通项，累加法、错位相消法求和，考查转化、变形构造、计算能力．18．（16分）（2010•盐城三模）某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示．其上部分是以AB为直径的半圆，点O为圆心，下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形，DE，DF是两根支杆，其中AB=2米，∠EOA=∠FOB=2x（0＜x＜）．现在弧EF、线段DE与线段DF上装彩灯，在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯．若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k，节能灯的比例系数为k（k＞0），假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和．（1）试将y表示为x的函数；（2）试确定当x取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳．考点：在实际问题中建立三角函数模型；三角函数的最值．专题：计算题；新定义．分析：（1）由题意知，建立三角函数模型，根据所给的条件看出要用的三角形的边长和角度，用余弦定理写出要求的边长，表述出函数式，整理变化成最简的形式，得到结果．（2）要求函数的单调性，对上一问整理的函数式求导，利用导数求出函数的单增区间和单减区间，看出变量x取到的结果．解答：解：（1）∵∠EOA=∠FOB=2x，∴弧EF、AE、BF的长分别为π﹣4x，2x，2x连接OD，则由OD=OE=OF=1，∴，∴=；（2）∵由，解得，即，又当时，y'＞0，此时y在上单调递增；当时，y'＜0，此时y在上单调递减．故当时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳．点评：本题是一道难度较大的题，表现在以下几个方面第一需要自己根据条件建立三角函数模型写出解析式，再对解析式进行整理运算，得到函数性质，这是一个综合题，解题的关键是读懂题意．19．（16分）（2013•绵阳二模）已知函数f（x）=x3﹣2x2+3x（x∈R）的图象为曲线C．（1）求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标取值范围；（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数与方程的综合运用．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：（1）先求导函数，然后根据导函数求出其取值范围，从而可求出曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）根据（1）可知k与﹣的取值范围，从而可求出k的取值范围，然后解不等式可求出曲线C的切点的横坐标取值范围；（3）设存在过点A（x1，y1）的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B（x2，y2），x1≠x2，分别求出切线，由于两切线是同一直线，建立等式关系，根据方程的解的情况可得是符合条件的所有直线方程．解答：解：（1）f'（x）=x2﹣4x+3，则f′（x）=（x﹣2）2﹣1≥﹣1，即曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围是[﹣1，+∞）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由（1）可知，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）解得﹣1≤k＜0或k≥1，由﹣1≤x2﹣4x+3＜0或x2﹣4x+3≥1得：x∈（﹣∞，2﹣]∪（1，3）∪[2+，+∞）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（3）设存在过点A（x1，y1）的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B（x2，y2），x1≠x2，则切线方程是：y﹣（﹣2+3x1）=（﹣4x1+3）（x﹣x1），化简得：y=（﹣4x1+3）x+（﹣+2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）而过B（x2，y2）的切线方程是y=（﹣4x1+3）x+（﹣+2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（，由于两切线是同一直线，则有：﹣4x1+3=﹣4x1+3，得x1+x2=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）又由﹣+2=﹣+2，即﹣（x1﹣x2）（+x1x2+）+（x1﹣x2）（x1+x2）=0﹣（+x1x2+）+4=0，即x1（x1+x2）+﹣12=0即（4﹣x2）×4+﹣12=0，﹣4x2+4=0得x2=2，但当x2=2时，由x1+x2=4得x1=2，这与x1≠x2矛盾．所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（16分）点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及互相垂直的直线的斜率关系，同时考查了运算能力，属于中档题．20．（16分）已知数列{a n}，{b n}满足b n=a n+1﹣a n，其中n=1，2，3，…．（Ⅰ）若a1=1，b n=n，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n+1b n﹣1=b n（n≥2），且b1=1，b2=2．（ⅰ）记c n=a6n﹣1（n≥1），求证：数列{c n}为等差数列；（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求a1应满足的条件．考点：数列递推式；等差关系的确定．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：（Ⅰ）根据数列的基本性质以及题中已知条件便可求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）（ⅰ）先根据题中已知条件推导出b n+6=b n，然后求出c n+1﹣c n为定值，便可证明数列{c n}为等差数列；（ⅱ）数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列，然后分别讨论当时和当时，数列是否满足题中条件，便可求出a1应满足的条件．解答：解：（Ⅰ）当n≥2时，有a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=a1+b1+b2+…+b n﹣1（2分）=．（3分）又因为a1=1也满足上式，所以数列{a n}的通项为．（4分）（Ⅱ）由题设知：b n＞0，对任意的n∈N*有b n+2b n=b n+1，b n+1b n+3=b n+2得b n+3b n=1，于是又b n+3b n+6=1，故b n+6=b n（5分）∴b6n﹣5=b1=1，b6n﹣4=b2=2，b6n﹣3=b3=2，b6n﹣2=b4=1，（ⅰ）c n+1﹣c n=a6n+5﹣a6n﹣1=b6n﹣1+b6n+b6n+1+b6n+2+b6n+3+b6n+4=（n≥1），所以数列{c n}为等差数列．（7分）（ⅱ）设d n=a6n+i（n≥0），（其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6}），所以d n+1﹣d n=a6n+6+i﹣a6n+i=b6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5=7（n≥0）所以数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列．（9分）设，（其中n=6k+i（k≥0），i为{1，2，3，4，5，6}中的一个常数），当时，对任意的n=6k+i 有=；（10分）由，i∈{1，2，3，4，5，6}知；此时重复出现无数次．当时，=①若，则对任意的k∈N有f k+1＜f k ，所以数列为单调减数列；②若，则对任意的k∈N有f k+1＞f k ，所以数列为单调增数列；（12分）（i=1，2，3，4，5，6）均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多各出现一次，即数列中任意一项的值最多出现六次．综上所述：当时，数列中必有某数重复出现无数次．当a1∉B 时，数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．（14分）点评：本题考查了等差数列的基本性质和数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时分类讨论思想和转化思想的运用，属于中档题．三、（理科附加题）21．（2012•西山区模拟）自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大小．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．专题：计算题．分析：根据MA为圆O的切线，由切割线定理得MA2=MB•MC．从而MP2=MB•MC．依据相似三角形的判定方法得：△BMP∽△PMC得出∠MPB=∠MCP．最后在△MCP中，即得∠MPB．解答：选修4﹣1：几何证明选讲，解：因为MA是圆O的切线，所以MA2=MB•MC（2分）又M是PA的中点，所以MP2=MB•MC因为∠BMP=∠PMC，所以△BMP∽△PMC（6分）于是∠MPB=∠MCP，在△MCP中，由∠MPB+∠MCP+∠BPC+∠BMP=180°，即100°+2∠MPB+40°=180°；得∠MPB=20°（10分）点评：本题考查了圆当中的比例线段，以及三角形相似的有关知识点，属于中档题．找到题中的相似三角形来得到角的相等，是解决本题的关键．22．（2009•盐城一模）如图，已知OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是线段OA上一点，直线BP交⊙O于点Q，过Q作⊙O的切线交直线OA于点E，求证：∠OBP+∠AQE=45°．考点：圆周角定理．专题：证明题．分析：本题考查的知识点是圆周角定理，要证明：∠OBP+∠AQE=45°，我们可以连接AB，然后根据圆周角定理，得到∠OBP+∠AQE=∠OBP+∠ABP=∠AQE，进行得到结论．解答：证明：连接AB，则∠AQE=∠ABP，而OA=OB，所以∠ABO=45°所以∠OBP+∠AQE=∠OBP+∠ABP=∠ABO=45°点评：根据求证的结论，使用分析推敲证明过程中所需要的条件，进而分析添加辅助线的方法，是平面几何证明必须掌握的技能，大家一定要熟练掌握，而在（2）中根据已知条件分析转化的方向也是解题的主要思想．解决就是寻找解题的思路，由已知出发，找寻转化方向和从结论出发寻找转化方向要结合在一起使用．23．（2011•许昌三模）选修4﹣1：几何证明选讲如图：⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O 于点E，连接BE与AC交于点F．（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由（2）若AE=6，BE=8，求EF的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：（1）BE平分∠ABC．由已知中边的相等，可得∠CAD=∠D，∠ABC=∠ACB，再利用同弧所对的圆周角相等，可得∠CAD=∠D=∠DBE，即有∠ABE+∠EBD=∠CAD+∠D，利用等量减等量差相等，可得∠EBD=∠D=∠ABE，故得证．（2）由（1）中的所证条件∠ABE=∠FAE，再加上两个三角形的公共角，可证△BEA∽△AEF，利用比例线段可求EF．解答：解：（1）BE平分∠ABC；证明：∵AC=CD，∴∠CAD=∠ADC∴∠ACB=∠CAD+∠ADC=2∠CAD…（2分）又∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB=2∠CAD∵∠CAD=∠EBC，∴∠ABC=2∠EBC∴BE平分∠ABC；…（5分）（2）连接EC，由（1）BE平分∠ABC∴E是弧AC的中点∴AE=EC=6又∠EBC=∠CAD=∠ADC∴ED=BD=8…（7分）∵A、B、C、E四点共圆∴∠CED=∠ABC=∠ACB=∠AEF∴△AEF∽△DEC∴∴…（10分）点评：本题考查了圆周角定理，以及等腰三角形的性质，等边对等角，角平分线的判定，还有相似三角形的判定和性质等知识．本题解题的关键是正确读图，做题时最好自己作图以帮助理解题意．24．某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校．该学生不同的报考方法种数是16 ．（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；概率与统计．分析：分类讨论，报考的3所中，不含考试时间相同的两所与含考试时间相同的两所中的一个，利用分类计数原理，可得结论．解答：解：由题意分两种情况：若报考的3所中，不含考试时间相同的两所，则有C43=4种报考方法，若报考的3所中，含考试时间相同的两所中的一个，则有C21•C42=12种报考方法，由分类计数原理，可得该学生不同的报考方法种数12+4=16种，故答案为：16点评：本题考查组合的运用，考查分类计数原理，属于基础题．25．（2011•扬州三模）理科附加题：已知展开式的各项依次记为a1（x），a2（x），a3（x），…a n（x），a n+1（x）．设F（x）=a1（x）+2a2（x）+3a3（x），…+na n（x）+（n+1）a n+1（x）．（Ⅰ）若a1（x），a2（x），a3（x）的系数依次成等差数列，求n的值；（Ⅱ）求证：对任意x1，x2∈[0，2]，恒有|F（x1）﹣F（x2）|≤2n﹣1（n+2）．考点：二项式定理；等差数列的性质．专题：证明题；综合题．分析：（I）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出前三项的系数，据a1（x），a2（x），a3（x）的系数依次成等差数列，列出方程求出n的值．（II）先利用到序相加法求出F（2）﹣F（0）的值，利用导数判断出F（x）的单调性，得证．解答：解：（Ⅰ）依题意，k=1，2，3，…，n+1，a1（x），a2（x），a3（x）的系数依次为C n0=1，，，所以，解得n=8；（Ⅱ）F（x）=a1（x）+2a2（x）+3a3（x），…+na n（x）+（n+1）a n+1（x）=F（2）﹣F（0）=2C n1+3C n2…+nC n n﹣1+（n+1）C n n设S n=C n0+2C n1+3C n2…+nC n n﹣1+（n+1）C n n，则S n=（n+1）C n n+nC n n﹣1…+3C n2+2C n1+C n0考虑到C n k=C n n﹣k，将以上两式相加得：2S n=（n+2）（C n0+C n1+C n2…+C n n﹣1+C n n）所以S n=（n+2）2n﹣1所以F（2）﹣F（0）=（n+2）2n﹣1﹣1又当x∈[0，2]时，F'（x）≥0恒成立，从而F（x）是[0，2]上的单调递增函数，所以对任意x1，x2∈[0，2]，|F（x1）﹣F（x2）|≤F（2）﹣F（0）═（n+2）2n﹣1﹣1＜（n+2）2n﹣1．点评：解决二项展开式的特定项问题常利用的工具是二项展开式的通项公式；求数列的前n 项和问题关键是利用数列的通项公式的形式，选择合适的方法．。

江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试英语试题及答案

江苏省南通中学2016—2017学年度第一学期期中考试高三英语试卷第I卷(三部分共85分)第一部分听力(共两节，满分20分)做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节(共5小题；每小题1分，满分5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. What is the man doing?A. Offering a suggestion.B. Starting an argument.C. Stopping a fight.2. What does the man think of himself?A. He deserves a free lunch.B. His salary is not high.C. He works very hard.3. When will the party be held?A. On Friday.B. On Saturday.C. On Sunday.4. What do we know about the man?A. He knows little about business.B. He is bargaining about something.C. He has a slight hearing problem.5. What will the man probably do today?A. Have an outdoor party.B. Go shopping.C. Go to a post office.第二节(共15小题；每小题1分，满分15分)听下面5段对话。

每段对话后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

高三数学上学期期中试题理10

CO 江苏省南通中学2017届高三数学上学期期中试题理本试卷分为数学I(必做题)和数学II(附加题)两部分．共200分，考试用时150分钟．数学I(必做题共160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．已知集合{}=2,3,4A ，{}=2B a a +,，若=AB B ，则A B =ð ▲ ．2．命题“2,10x x x ∃∈-+R ≤”的否定是 ▲ ． 3．函数y =的定义域为 ▲ ．4．若角α的终边经过点P (a ，2a )(a<0)，则cos α= ▲ ． 5．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，若3620a a +=，则36S S 的值是 ▲ ． 6．如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么＝ ▲ ．(用AB 和AD 表示)7．已知命题p ：|x －a |<4，命题q ：(x －1)(2－x )>0，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ▲ ．8．已知直线01=+-y x 与曲线ln y x a =-相切，则a 的值为 ▲ ． 9．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，△ABC 的面积S ＝3，则边AC 等于 ▲ ． 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数且函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，则实数a 的取值范围为 ▲ ．11．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是 ▲ ． 12．如图，点O 为△ABC 的重心，且OA OB ⊥，4AB =，则AC BC⋅的值为 ▲ ．13．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，2(1)n n S n a =+，若关于正整数n 的不等式222n n a ta t -≤的解集中的整数解有两个，则正实数t 的取值范围为 ▲ ．14．已知函数2+1, 1,()(), 1,a x x f x x a x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤ 函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分) 已知向量(s i n (),1)2a x ωϕ=+，(1,cos())2b x ωϕ=+(0,0)4πωϕ><<，记函数()()(f x ab a b =+⋅-．若函数()y f x =的周期为4，且经过点1(1,)2M ．(1)求ω的值；(2)当11x -≤≤时，求函数()f x 的最值．16．(本小题满分14分)设公差不为零的等差数列{}n a 的前5项的和为55，且249a a -成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式． (2)设数列4(6)(4)n n n b a a =--，求证：数列{}n b 的前n 项和12n S <．17．(本小题满分14分)如图，在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，(sin cos )a b C C =+． (Ⅰ)求ABC ∠； (Ⅱ)若=2A π∠，D 为ABC ∆外一点，2DB =，1DC =，求四边形ABDC 面积的最大值．18．(本小题满分16分)如图，某城市有一块半径为40 m 的半圆形绿化区域(以O 为圆心，AB 为直径)，现计划对其进行改建．在AB 的延长线上取点D ，OD ＝80 m ，在半圆上选定一点C ，改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为S m 2．设∠AOC ＝x rad ．(1)写出S 关于x 的函数关系式S (x )，并指出x 的取值范围； (2)试问∠AOC 多大时，改建后的绿化区域面积S 取得最大值．19． (本小题满分16分)(1)当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间；(3)若()2ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围．20．(本题满分16分)已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且4=+n n a S ，∈n N *(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)已知32+=n c n (∈n N *)，记=n d n C n a c log +(0>C 且1≠C )，是否存在这样的常数C ，使得数列}{n d 是常数列，若存在，求出C 的值；若不存在，请说明理由．(3)若数列}{n b ，对于任意的正整数n ，均有（第18题）2221123121+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++--n a b a b a b a b nn n n n 成立，求证：数列}{n b 是等差数列．数学II(附加题共40分)21． (本小题满分10分)设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －7的逆矩阵为1-A ，矩阵B 满足AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，求1-A ，B ．22．(本小题满分10分) 设矩阵1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵的特征值及对应的特征向量．23．(本小题满分10分)已知曲线C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ，直线l 的极坐标方程为 ρ sin(θ＋π6)＝m ．若直线l与曲线C 有且只有一个公共点，求实数m 的值．24． (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝3sin θ(θ为参数，θ∈R )，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝－3＋22t (t 为参数，t ∈R )，求曲线C 上的动点P 到直线l 的距离的最小值．参考答案：2017届高三上学期数学期中测试（理科）本试卷分为数学I(必做题)和数学II(附加题)两部分．共200分，考试用时150分钟．数学I(必做题共160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．已知集合{}=2,3,4A ，{}=2B a a +,，若=AB B ，则A B =ð ▲ ．{}32．命题“2,10x x x ∃∈-+R ≤”的否定是 ▲ ．2,10x x x ∀∈-+>R 3．函数y =的定义域为 ▲ ．(0,1]4．若角α的终边经过点P (a ，2a )(a<0)，则cos α=▲ ．5-5．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，若3620a a +=，则36S S 的值是 ▲ ．2 6．如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么＝ ▲ ．(用AB 和AD 表示) 1223AB AD -7．已知命题p ：|x －a |<4，命题q ：(x －1)(2－x )>0，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．[－2，5]8．已知直线01=+-y x 与曲线ln y x a =-相切，则a 的值为 ▲ ．2- 9．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，△ABC 的面积S ＝3，则边AC 等于 ▲ ．13 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数且函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，则实数a 的取值范围为 ▲ ．(1，3]．11．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是 ▲ ．6x π=-ABCO（第12题）12．如图，点O 为△ABC 的重心，且OA OB ⊥，4AB =，则AC BC ⋅的值为 ▲ ．3213．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，2(1)n n S n a =+，若关于正整数n 的不等式222n n a ta t -≤的解集中的整数解有两个，则正实数t 的取值范围为 ▲ ．3(1,)214．已知函数2+1, 1,()(), 1,a x x f x x a x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤ 函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．23a <≤二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知向量(sin(),1)2a x ωϕ=+，(1,cos())2b x ωϕ=+(0,0)4πωϕ><<，记函数()()(f x a b a b =+⋅-．若函数()y f x =的周期为4，且经过点1(1,)2M ．(1)求ω的值；(2)当11x -≤≤时，求函数()f x 的最值．15．解：(1)2222()()()sin ()cos ()cos(2)22f x a b a b a b x x x ωωϕϕωϕ=+⋅-=-=+-+=-+………………4分由题意得：周期24T πω==，故2πω=………………6分(2)∵图象过点1(1,)2M ，1cos(2)22πϕ∴-+=即1sin 22ϕ=，而04πϕ<<，故26πϕ=，则()cos(26f x x ππ=-+． ………………10分当11x -≤≤时，23263x ππππ-≤+≤1cos()1226x ππ∴-≤+≤ ∴当13x =-时，min ()1f x =-，当1x =时，max 1()2f x =． ………………14分16．(本小题满分14分)设公差不为零的等差数列{}n a 的前5项的和为55，且29a -成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式． (2)设数列4(6)(4)n n n b a a =--，求证：数列{}n b 的前n 项和12n S <．16．解：(1)设等差数列的的首项为1a ，公差为d ，则1121154555722()(39)a d a d a d a d ⨯⎧+==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=++-⎩或1110a d =⎧⎨=⎩(舍去) 故数列{}n a 的通项公式为72(1)n a n =+-即25n a n =+．………… 7分 (2)由(1)25n a n =+，得11111()(6)(4)(21)(21)22121n n n b a a n n n n ===----+-+．…………10分12111111[(1)()()]23352121n n S b b b n n =+++=-+-++--+111(1)2212n =-<+． ………14分17．(本小题满分14分)如图，在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，(sin cos )a b C C =+． (Ⅰ)求ABC ∠； (Ⅱ)若=2A π∠，D 为ABC ∆外一点，2DB =，1DC =，求四边形ABDC 面积的最大值．17．解：(Ⅰ)在ABC ∆中，∵(sin cos )a b C C =+，∴sin sin (sincos )A B C C =+， ……………………………………………1分 ∴sin()sin (sin cos )B C B C C π--=+，∴sin(+)sin (sin cos )B C B C C =+，……………………………………………2分 ∴sin cos cos sin sin sin sin cos B C B C B C B C +=+， ……………………… 3分 ∴cos sin sin sin B C B C =，又∵(0,)C ∈π，故sin 0C ≠， ……………………………………………4分 ∴cos sin B B =，即tan 1B =． ……………………………………………5分又(0,)B ∈π，∴4B π=． ……………………………………………6分 (Ⅱ)在BCD ∆中，2DB =，1DC =，222=12212cos BC D +-⨯⨯⨯54cos D =-． ………………………………7分又=2A π，由(Ⅰ)可知4ABC π∠=， ∴ABC ∆为等腰直角三角形， …………………………………………8分21115cos 2244ABC S BC BC BC D ∆=⨯⨯⨯==-， ……………………………… 9分又1sin sin 2BDC S BD DC D D ∆=⨯⨯⨯=， ……………………………………10分∴55cos sin )444ABDC S D D D π=-+=-四边形． ……………………12分 ∴当=4D 3π时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为54+分18．(本小题满分16分)如图，某城市有一块半径为40 m 的半圆形绿化区域(以O 为圆心，AB 为直径)，现计划对其进行改建．在AB 的延长线上取点D ，OD ＝80 m ，在半圆上选定一点C ，改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为S m 2．设∠AOC ＝x rad ．(1)写出S 关于x 的函数关系式S (x )，并指出x 的取值范围； (2)试问∠AOC 多大时，改建后的绿化区域面积S 取得最大值．18．(本小题满分16分)解：(1)因为扇形 AOC 的半径为 40 m ，∠AOC ＝x rad ，所以扇形AOC 的面积S 扇形AOC ＝x ·OA 22＝800x ，0＜x ＜π． …………… 2分在△COD 中，OD ＝80，OC ＝40，∠COD ＝π－x ，（第18题）所以△COD 的面积S △COD ＝12·OC ·OD ·sin∠COD ＝1600sin(π－x )＝1600sin x ．………………… 5分从而 S ＝S △COD ＋S 扇形AOC ＝1600sin x ＋800x ，0＜x ＜π． …………………7分 (2)由(1)知， S (x )＝1600sin x ＋800x ，0＜x ＜π．S ′(x )＝1600cos x ＋800＝1600(cos x ＋12)． ……………… 9分由 S ′(x )＝0，解得x ＝2π3．从而当0＜x ＜2π3时，S ′(x )＞0；当2π3＜x ＜π时， S ′(x )＜0 ．因此 S (x )在区间(0，2π3)上单调递增；在区间(2π3，π)上单调递减． …………… 14分所以当x ＝2π3，S (x )取得最大值．答：当∠AOC 为2π3时，改建后的绿化区域面积S 最大．……………… 16分19． (本小题满分16分) (Ⅰ)当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程； (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅲ)若()2ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围．19．解：(1)当 1=a …………2分…………3分所以，函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程为即：5440--=x y …………4分 (Ⅱ)函数的定义域为：{|0}≠x x…………6分当02<≤a 时，'()0≥f x 恒成立，所以，()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递增当2>a 时，令'()0=f x ，即：220+-=ax a ，'()0,>f x 21;或><x x x x '()0,<f x 1200或<<<<x x x x ，所以，()f x 单调递增区间为，单调减区间为…………10分 (Ⅲ)因为()2ln ≥f x x 在[1,)+∞上恒成立，有在[1,)+∞上恒成立．，即1=a 时，'()0≥g x ，函数()g x 在[1,)+∞上单调递增，又(1)0=g 所以，()2ln ≥f x x 在[1,)+∞上恒成立；，即1<a 时，当时，'()0,()>g x g x 单调递增；时，'()0<g x ，()g x 单调递减所以，()g x 在[1,)+∞上的最小值为因为(1)0,=g 所以即1>a 时，当时，'()0,()>g x g x 单调递增，时，'()0,()<g x g x 单调递减，所以，()g x 在[1,)+∞上的最小值为(1)g 又因为(1)0=g ，所以()2ln ≥f x x 恒成立综上知，a 的取值范围是[1,)+∞． …………16分20．(本题满分16分)已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且4=+n n a S ，∈n N *(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)已知32+=n c n (∈n N *)，记=n d n C n a c log +(0>C 且1≠C )，是否存在这样的常数C ，使得数列}{n d 是常数列，若存在，求出C 的值；若不存在，请说明理由． (3)若数列}{n b ，对于任意的正整数n ，均有2221123121+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++--n a b a b a b a b nn n n n 成立，求证：数列}{n b 是等差数列． 20．解：(1)114a a -=，所以21=a ………………1分由4=+n n a S 得2≥n 时，411=+--n n a S 两式相减得，12-=n n a a ，211=-n n a a …………2分数列}{n a 是以2为首项，公比为21的等比数列，所以n n a -=22(*N n ∈) ……………4分 (2)由于数列}{n d 是常数列n d =n C n a c log +2log )2(32C n n -++= ……………6分=2log 2log 232C C n n -++2log 23)2log 2(C C n ++-=为常数，只有02log 2=-C ；解得2=C ，此时7=n d ………8分(3)2221123121+-⎪⎭⎫⎝⎛=++++--n a b a b a b a b nn n n n ……① 1=n ，1232111-=-=a b ，其中21=a ，所以 211-=b …10分当2≥n 时，2121111332211+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++-----n a b a b a b a b n n n n n ② …12分 ②式两边同时乘以21得， 41212123121+-⎪⎭⎫⎝⎛=++++---n a b a b a b a b nn n n n ③ …14分 ①式减去③得，431--=n a b n ，所以838--=n b n 且811-=-+n n b b所以数列}{n b 是以21-为首项，公差为81-的等差数列． …16分数学II(附加题共40分)21． (本小题满分10分)设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －7的逆矩阵为1-A ，矩阵B 满足AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，求1-A ，B ．21．解：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －7，所以|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －23 －7＝－7＋6＝－1．由逆矩阵公式得，A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 －23 －1． …5分因为AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，所以B ＝A －1AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 －23 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤19 8．…………………………10分22．(本小题满分10分)设矩阵1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵的特征值及对应的特征向量．答案：矩阵A 的逆矩阵为12332133⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，则特征多项式为221421()()3933f λλλλ=+-=+-令()0f λ=，解得1211,3λλ=-=，设特征向量为x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则12332133x x y y ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⋅=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，易算得特征值11λ=-对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，同理可得特征值213λ=对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(10分)23．(本小题满分10分)已知曲线C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ，直线l 的极坐标方程为 ρ sin(θ＋π6)＝m ．若直线l与曲线C 有且只有一个公共点，求实数m 的值． 23．解：曲线C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ．即(x －1)2＋y 2＝1，表示以(1，0)为圆心，1为半径的圆． …………………… 3分直线l 的极坐标方程是 ρ s in(θ＋π6)＝m ，即12ρcos θ＋32ρsin θ＝m ，化为直角坐标方程为x ＋ 3y －2m ＝0． ………………… 6分因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，所以|1－2m |2＝1，解得m ＝－12或m ＝32．所以，所求实数m 的值为－12 或 32． ……………… 10分24． (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝3sin θ(θ为参数，θ∈R )，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝－3＋22t (t 为参数，t ∈R )，求曲线C 上的动点P 到直线l 的距离的最小值．21．C ．解：将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t y ＝－3＋22t化为普通方程为x －y －6＝0．因为点P 在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝3sin θ(θ为参数)上，所以设P (4cos θ，3sin θ)．点P 到直线l 的距离d ＝|4cos θ－3sin θ－6|2＝|5cos(θ＋φ)－6|2，其中tan φ＝34，φ是锐角．所以当cos(θ＋φ)＝1时，d min ＝22．所以点P 到直线l 的距离的最小值为22．…………………………………10分。

江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试化学试题含答案

江苏省南通中学2016—2017 学年度第一学期期中考试高三化学试卷可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 S-32 Cl-35.5 Fe-56 Ba-137 选择题（共40 分）单项选择题：本题包括10 小题，每小题2分，共计20分。

每小题只有．一．．个．选．项．符合题意。

1．化学是与社会、环境等密切相关。

下列有关说法中正确的是（）A ．发展“低碳经济”能够减少对化石能源的依赖B •人造纤维、合成橡胶和光导纤维都属于有机高分子化合物C• LED光源中的氮化镓（GaN）熔点为1700C,属分子晶体D .甲型H i N i流感病毒的蛋白质由C、H、O三种元素组成2．下列有关化学用语的表示正确的是（）A •碳酸氢钠的电离方程式：NaHCO3= Na ++ H ++ CO3「B •乙炔的分子结构模型示意图:C .中子数为18的氯原子结构示意图:3. 25C 时，下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是（）A •无色透明的溶液中：K 十、Cu"、NO 3、C 「B . 0.1 mol L :1CaCl 2溶液中：Mg"、NH ；、CO 2「、SO 4一C . pH=12 的溶液：Na 、K 、Si 。

2、ClD .使甲基橙变红的溶液中： Na ；、Fe 2；、NO 3、C 「 4 •下列有关物质性质及对应用途的说法正确的是（）A .利用浓硫酸的脱水性，干燥氢气B •氧化镁熔点高，可用于制造耐火材料C •碳酸钠溶液呈碱性，可用于治疗胃酸过多D .二氧化硫有漂白性，故可使酸性高锰酸钾溶液褪色 5.关于下列各实验装置图的叙述中，正确的是（D . Na 2S 的电子式:Na--.2:S ： NaA •装置①可用于分离苯和溴苯的混合物B .装置②可用于吸收HCI或NH3气体C .装置③可用于分解NH4CI制备NH3D .装置④b 口进气可收集CO2或NO气体6.设N A为阿伏加德罗常数的值，下列叙述正确的是（）A . 1 mol CH 3含电子数为10N AB . 1 mol Na2O和Na2O2混合物中含有的阴、阳离子总数是3N AC .标准状况下，22.4 L水中含有原子总数为3N AD . 1moICl2完全溶于水后，转移的电子数为N A7 .下列指定反应的离子方程式正确的是（）A . Na2CO3 水解：CO3「+ H2O == H2CO3+ 2OH 一B . NaHSO4溶液中滴加Ba（OH）2溶液至中性：Ba2++2OH一+2H ++SO42「= BaSO4^2H2OC. Cu 与稀HNO3反应：Cu+ 4H ++ 2NO3= Cu2++ 2NOT + 2出。

【全国百强校】江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试理数(解析版)

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{}=2,3,4A ，{}=2B a a +,，若=A B B ，则A B =ð ▲ ．【答案】{}3 【解析】试题分析：2,242{3}U A B B B A a a a C B =⇒⊂⇒=+=⇒=⇒=I 考点：集合包含关系，集合运算【方法点睛】集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． (2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 2.命题“2,10x x x ∃∈-+R ≤”的否定是 ▲ ．【答案】2,10x x x ∀∈-+>R 【解析】试题分析：命题“2,10x x x ∃∈-+R ≤”的否定是2,10x x x ∀∈-+R > 考点：命题的否定【方法点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x ∈M ，p(x)”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p(x 0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p(x 0)成立即可，否则就是假命题.3.函数y =的定义域为 ▲ ．【答案】(0,1] 【解析】试题分析：由题意得0.2log 001x x ≥⇒<≤，定义域为(0,1] 考点：函数定义域4.若角α的终边经过点P(a，2a)(a<0)，则cos α=▲ ．【答案】【解析】试题分析：cosα==考点：三角函数定义5.设nS是等比数列{}na的前n项的和，若3620a a+=，则36SS的值是▲ ．【答案】2【解析】考点：等比数列公比与求和6.如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么＝▲ ．(用AB和AD表示)【答案】1223AB AD-【解析】试题分析：111112232323ED DA AB BF CD DA AB BC AB AD AB AD AB AD =+++=+++=--++=-uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r考点：向量表示7.已知命题:||4p x a -<，命题:(1)(2)0q x x -->，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ▲ ．【答案】[－2，5] 【解析】考点：充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 8.已知直线01=+-y x 与曲线ln y x a =-相切，则a 的值为 ▲ ．【答案】2- 【解析】试题分析：设切点为111111111(,),,1,112ln 2x y y x y x x a a a x x '=∴==∴=+==-=-⇒=-Q 考点：导数几何意义【思路点睛】(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.9.在△ABC 中，BC ＝1，B ＝3π，△ABC 的面积S，则边AC 等于 ▲ ．【解析】试题分析：由三角形面积公式得11sin 1sin 4223BC BA B BA BA π⋅⋅=⇒⋅⋅⋅=⇒=,由余弦定理得22212cos 16121413,2AC AB BC AB BC B AC =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯==考点：解三角形【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.10.已知函数222,0()0,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数且函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，则实数a 的取值范围为 ▲ ．【答案】(1，3] 【解析】考点：函数性质【思路点睛】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向. (2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小转化自变量大小关系11.函数y ＝2sin (2)6x π-与y 轴最近的对称轴方程是 ▲ ．【答案】6x π=-【解析】试题分析：由题意得2()()6232k x k k Z x k Z πππππ-=+∈⇒=+∈，因此与y 轴最近的对称轴方程是6x π=-考点：三角函数对称轴12.如图，点O 为△ABC 的重心，且OA OB ⊥，4AB =，则AC BC ⋅的值为 ▲ ．【答案】32 【解析】考点：向量数量积【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 13.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，2(1)n n S n a =+，若关于正整数n 的不等式222n n a ta t -≤的解集中的整数解有两个，则正实数t 的取值范围为 ▲ ．【答案】3(1,)2【解析】试题分析：2(1)n n S n a =+，11112(2)2(1),(1)(2)n n n n n n n S na n a n a na n a na n ----=≥∴=+--=≥，因此112121n n n a a n n n -=⋅⋅⋅=--L ，由222n n a ta t -≤得2222n tn t t n t -≤⇒-≤≤，因为关于正整数n 的解集中的整数解有两个，因此322312t t ≤<⇒≤< 考点：叠乘法求数列通项ABCO （第12题）14.已知函数2+1, 1,()(), 1,a x x f x x a x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤ 函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则实数a的取值范围是 ▲ ．【答案】23a <≤ 【解析】试题分析：()()0()1f x g x f x -=⇒=，所以要有4个零点，需满足21,1+11,23(1)1,1,a a a a a ⎧>-≤⎪⇒<≤⎨->>⎪⎩ 考点：函数零点【方法点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.(本小题满分14分) 已知向量(sin(),1)2a x ωϕ=+，(1,cos())2b x ωϕ=+(0,0)4πωϕ><<，记函数()()()f x a b a b =+⋅-．若函数()y f x =的周期为4，且经过点1(1,)2M ．(1)求ω的值；(2)当11x -≤≤时，求函数()f x 的最值．【答案】(1) 2πω= (2) max 1()2f x =【解析】试题解析：(1)2222()()()sin ()cos ()cos(2)22f x a b a b a b x x x ωωϕϕωϕ=+⋅-=-=+-+=-+………………4分考点：三角函数解析式与性质【方法点睛】已知函数sin()(A 0,0)y A x B ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω=(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ. 16.(本小题满分14分)设公差不为零的等差数列{}n a 的前5项的和为55，且249a a -成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式． (2)设数列4(6)(4)n n n b a a =--，求证：数列{}n b 的前n 项和12n S <．【答案】(1) 25n a n =+ (2)详见解析【解析】试题分析：(1) 求等差数列通项公式，一般根据待定系数法求解，由等差数列求和公式得1545552a d ⨯+=再由249a a -成等比数列得211()(39)a d a d =++-，解方程组得172a d =⎧⎨=⎩，舍去公差为零的情况，最后根据等差数列通项公式得72(1)n a n =+- (2)由数列{}n b 通项公式特点，应用裂项相消法求和：11111()(6)(4)(21)(21)22121n n n b a a n n n n ===----+-+，所以12111111[(1)()()]23352121n n S b b b n n =+++=-+-++--+111(1)2212n =-<+试题解析：(1)设等差数列的的首项为1a ，公差为d ，考点：裂项相消法求和【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如⎩⎨⎧⎭⎬⎫c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1（n －1）（n ＋1）(n ≥2)或1n （n ＋2）.17.(本小题满分14分)如图，在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，(sin cos )a b C C =+． (Ⅰ)求ABC ∠； (Ⅱ)若=2A π∠，D 为ABC ∆外一点，2DB =，1DC =，求四边形ABDC 面积的最大值．【答案】(1) 4B π=(2) 54【解析】试题分析：(1) 由正弦定理将边化为角： sin sin (sin cos )A B C C =+ ，再根据三角形内角关系及诱导公式得sin(+)sin (sin cos )B C B C C =+ ，结合两角和正弦公式展开化简得cos sin sin sin B C B C = ，最后根据三角形内角范围得tan 1B = ，4B π= (2) 四边形ABDC 面积由两个三角形面积和组成，其中由于ABC ∆为等腰直角三角形，所以2111224ABC S BC BC BC ∆=⨯⨯⨯=，利用余弦定理可得222=12212cos BC D +-⨯⨯⨯54cos D =-，又1sin sin 2BDC S BD DC D D ∆=⨯⨯⨯=，因此55cos sin )444ABDC S D D D π=-+=+-四边形，最后根据正(Ⅱ)在BCD ∆中，2DB =，1DC =，222=12212cos BC D +-⨯⨯⨯54cos D =-． ………………………………7分又=2A π，由(Ⅰ)可知4ABC π∠=， ∴ABC ∆为等腰直角三角形， …………………………………………8分 21115cos 2244ABC S BC BC BC D ∆=⨯⨯⨯==-， ……………………………… 9分又1sin sin 2BDC S BD DC D D ∆=⨯⨯⨯=， ……………………………………10分∴55cos sin )444ABDC S D D D π=-+=-四边形． ……………………12分∴当=4D 3π时，四边形ABDC 的面积有最大值，最大值为54+．………14分考点：正余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 18.(本小题满分16分)如图，某城市有一块半径为40 m 的半圆形绿化区域(以O 为圆心，AB 为直径)，现计划对其进行改建．在AB 的延长线上取点D ，OD ＝80 m ，在半圆上选定一点C ，改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为S m 2．设∠AOC ＝x rad ．(1)写出S 关于x 的函数关系式S (x )，并指出x 的取值范围； (2)试问∠AOC 多大时，改建后的绿化区域面积S 取得最大值．【答案】(1) S(x)＝1600sinx ＋800x ，0＜x ＜π．(2) 23【解析】在△COD 中，OD ＝80，OC ＝40，∠COD＝π－x ，所以△COD 的面积S△COD＝12·OC·OD·sin∠COD＝1600sin(π－x)＝1600sinx ．…… 5分从而 S ＝S△COD＋S 扇形AOC ＝1600sinx ＋800x ，0＜x ＜π． …………………7分（第18题）答：当∠AOC 为23π时，改建后的绿化区域面积S 最大．……………… 16分考点：利用导数求最值【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′(x)＞0或f′(x)＜0求单调区间；第二步：解f′(x)＝0得两个根x 1、x 2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．19.(本小题满分16分) (1)当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间；(3)若()2ln f x x ≥错误！未找到引用源。

南通中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题(含答案)

江苏省南通中学2023-2024学年第一学期期中考试高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.设集合{}02A x x =≤≤，{}1B x x =≤，则A B = （）A.(],1-∞ B.(],2∞- C.[]0,1 D.[]1,22.函数()f x =）A .(,0]-∞ B.[0,)+∞ C.(0,)+∞ D.(,)∞∞-+3.已知0.5log 2a =，0.52b =，20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a b c<< B.b c a<< C.a c b<< D.c b a <<4.已知,,R a b c ∈，则a b c ==是222a b c ab bc ac ++=++成立的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.德国天文学家，数学家开普勒（J.Kepier ，1571—1630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为10753d ．则天王星的公转时间约为（）A.4329dB.30323dC.60150dD.90670d6.下列可能是函数2||1x x y e-=（e 是自然对数的底数）的图象的是（）A.B.C.D.7.已知函数()2,75,63x x m f x x x m⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩的值域为R ，则实数m 的取值范围为（）A.[]0,1 B.[]0,2 C.[]1,1- D.[]1,2-8.已知0x >，0y >，且2x y xy +=，则211x yx y +++的最小值为（）A.45B.1C.32D.2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9.已知幂函数()y x R αα=∈的图象过点（2，8），下列说法正确的是（）A.函数y x α=的图象过原点B.函数y x α=是偶函数C.函数y x α=是单调减函数D.函数y x α=的值域为R 10.下列不等式中成立的是（）A.若0a b >>，则22ac bc >B.若0a b >>，则22a b >C.若0a b <<，则22a ab b >> D.若0a b <<，则11a b>11.已知()f x 是R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是单调减函数，则满足不等式()()212f t f t +>-的所有整数t 的值为（）A.2- B.1- C.0D.112.已知()f x 、()g x 都是定义在R 上的函数，且()f x 为奇函数，()g x 的图像关于直线1x =对称，则下列说法中一定正确的是（）A.()00f = B.()10g =C.()y g f x =⎡⎤⎣⎦为奇函数D.()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的图像关于直线1x =对称三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.式子1239log 27+的值是________14.已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()21f x g x x x +=-+，则()3g 的值是______.15.已知a ，b 是非零实数，若关于x 的不等式20x ax b -+≥恒成立，则212ba +的最小值是______.16.已知函数()2f x x ax =+-，当1a =时，函数()f x 的值域为______；若函数()f x 的最小值为2，则正实数a 的取值范围为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设全集U =R ，集合12644x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}5B x x =>.（1）求U A B ð：（2）若集合{}C x x a =>满足B C B = ，求实数a 的取值范围.18.已知函数()222f x x x a =-+-，()xg x a =（0a >且1a ≠）.（1）若函数()f x 在(],21m -∞-上单调递减，求实数m 的取值范围；（2）若()()20f g =.①求实数a 的值；②设()1t f x =，()2t g x =，当()0,1x ∈时，试比较1t ，2t 的大小.19.已知某观光海域AB 段的长度为3百公里，一超级快艇在AB 段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q （单位：万元）与速度v （单位：百公里/小时）（03v ≤≤）的以下数据：v 0123Q0.71.63.3为描述该超级块艇每小时航行费用Q 与速度v 的关系，现有以下两种函数模型供选择：32Q av bv cv =++，0.5v Q a =+.（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB 段的航行费用最少?并求出期少航行费用.20.已知()42135x f x a++=+（0a >且1a ≠）．（1）求函数()y f x =的解析式，并写出函数()y f x =图象恒过的定点；（2）若()235f x a>+，求x 的取值范围．21.已知二次函数()()2,f x x ax b a b =++∈R .（1）若()20f -=，且对于x ∈R ，()()11f x f x +=-恒成立，求a ，b 的值；（2）若函数()f x 的值域为[)1,+∞，关于x 的不等式()f x c <的解集为()(),8m m m +∈R ，求实数c 的值.22.设函数()()0,1xxf x a k aa a -=+⋅>≠是定义域为R 的奇函数.（1）求实数k 值；（2）若()10f <，试判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，不等式()()1192430x x f t f -+-+⋅++⋅<对任意实数x 均成立，求实数t 的取值范围.江苏省南通中学2023-2024学年第一学期期中考试高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}02A x x =≤≤，{}1B x x =≤，则A B = （）A.(],1-∞ B.(],2∞- C.[]0,1 D.[]1,2【答案】C 【解析】【分析】由交集定义计算．【详解】由已知{|01}A B x x = ≤≤．故选：C ．2.函数()f x =）A.(,0]-∞ B.[0,)+∞ C.(0,)+∞ D.(,)∞∞-+【答案】A 【解析】【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，结合指数函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数()f x =120x-≥，即21x ≤，解得0x ≤，所以函数()f x 的定义域为(,0]-∞.故选：A.3.已知0.5log 2a =，0.52b =，20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a b c << B.b c a<< C.a cb << D.c b a<<【答案】C 【解析】详解】分析：利用对数函数与指数函数的性质，将a ，b ，c 与0和1比较即可.详解：0.5log 20a=<，0.521b =>；210.54c ==.故a c b <<.故选：C.点睛：对数函数值大小的比较一般有三种方法：①单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．②中间值过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”．③图象法，根据图象观察得出大小关系．4.已知,,R a b c ∈，则a b c ==是222a b c ab bc ac ++=++成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.【详解】当a b c ==时，222223,3a b c a ab bc ac a ++=++=，所以222a b c ab bc ac ++=++，当222a b c ab bc ac ++=++时，2220a b c ab bc ac ++---=，所以2222222220a b c ab bc ac ++---=，所以()()()2222222220aab b a ac c b bc c -++-++-+=，所以()()()2220a b a c b c -+-+-=，因为()()()2220,0,0a b a c b c -≥-≥-≥，所以()()()2220a b a c b c -=-=-=，所以a b c ==，所以a b c ==是222a b c ab bc ac ++=++成立的充要条件，故选：C5.德国天文学家，数学家开普勒（J.Kepier ，1571—1630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为10753d ．则天王星的公转时间约为（）A.4329dB.30323d C.60150d D.90670d【答案】B 【解析】【分析】设天王星和土星的公转时间为分别为T 和T '，距离太阳的平均距离为r 和r '，根据2323T r T r =''，2rr '=，结合已知条件即可求解.【详解】设天王星的公转时间为T ，距离太阳的平均距离为r ，土星的公转时间为T '，距离太阳的平均距离为r '，由题意知：2r r '=，10753T d '=，所以323238T r r T r r ⎛⎫=== ⎪'''⎝⎭，所以1075310753 2.82830409.484T d '==≈⨯=，故选：B.6.下列可能是函数2||1x x y e -=（e 是自然对数的底数）的图象的是（）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数的定义域和部分区间的函数值确定正确选项.【详解】函数2||1x x y e -=的定义域为R ，所以AB 选项错误.当1x >时，2||10x x y e-=>，所以D 选项错误.故选：C 【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题.7.已知函数()2,75,63x x m f x x x m⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩的值域为R ，则实数m 的取值范围为（）A.[]0,1 B.[]0,2 C.[]1,1- D.[]1,2-【答案】D 【解析】【分析】由函数值域为R ，利用指数函数和一次函数函数单调性以及画出函数图像分析即可解决问题.【详解】当x m <时，()7563f x x =+单调递增，所以()7563f x m <+当x m ≥时，()2x f x =单调递增，所以()2m f x ≥，要使得函数值域为R ，则75263m m +≥恒成立，令1275,263m y m y =+=，如图所示：由图可知12,y y 有两个交点，且交点的横坐标分别为121,2m m =-=，所以若要75263m m +≥，则[]1,2m Î-，也即函数()f x 的值域为R 时，则实数m 的取值范围为：[]1,2m Î-，故选：D.8.已知0x>，0y >，且2x y xy +=，则211x yx y +++的最小值为（）A.45B.1C.32D.2【答案】A 【解析】【分析】先根据题意得到112y x +=，从而得到1215y x y x+++=，再根据“1”的妙用及基本不等式即可求解．【详解】由0x>，0y >，2x y xy +=，则112y x +=，则11121125y x y x y x+++++=+=，所以12112112115x y x y y x x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+++=+⨯+⨯ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭1211112115x y y x x y y x ⎛⎫++=⨯+++⨯++⎝⎭12114221155x y y x x y y x ⎛⎫++≥+⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭．当且仅当121211x y y x x y y x ++⨯=⨯++，即2x =，23y =时，等号成立，所以211x y x y +++的最小值为45．故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知幂函数()y x R αα=∈的图象过点（2，8），下列说法正确的是（）A.函数y x α=的图象过原点B.函数y x α=是偶函数C.函数y x α=是单调减函数D.函数y x α=的值域为R 【答案】AD 【解析】【分析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式，结合幂函数的图象与性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】由于幂函数y x α=过点()2,8，所以28α=，解得3α=，所以3y x =.()0,0，满足3y x =，A 选项正确.3y x =是奇函数，所以B 选项错误.3y x =在R 上递增，所以C 选项错误.3y x =值域为R ，所以D 选项正确.故选：AD【点睛】本小题主要考查幂函数的图象与性质，属于基础题.10.下列不等式中成立的是（）A.若0a b >>，则22ac bc > B.若0a b >>，则22a b >C.若0a b <<，则22a ab b >> D.若0a b <<，则11a b>【答案】BCD 解析】【分析】根据不等式的性质、差比较法判断出正确答案.【详解】A 选项，若0,0ab c >>=，则22ac bc =，所以A 选项错误.B 选项，若0a b >>，则()()22220,a b a b a b a b -=+->>，所以B 选项正确.C 选项，若0a b <<，0a b -<，则()220,a ab a a b a ab -=->>，()220,ab b b a b ab b -=->>，则22a ab b >>，所以C 选项正确.D 选项，若0a b <<，0b a ->，所以11110,b a a b ab a b--=>>，所以D 选项正确.故选：BCD 11.已知()f x 是R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是单调减函数，则满足不等式()()212f t f t +>-的所有整数t 的值为（）A.2- B.1- C.0 D.1【答案】ABC 【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性，不等式转化为21<2t t +-，求解即可.【详解】已知()f x 是R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是单调减函数，则()f x 在(),0-∞上是单调增函数，由()()212f t f t +>-，得21<2t t +-，即23830t t +-<，解得133t -<<，范围内的整数有2,1,0--.故选：ABC12.已知()f x 、()g x 都是定义在R 上的函数，且()f x 为奇函数，()g x 的图像关于直线1x =对称，则下列说法中一定正确的是（）A.()00f = B.()10g =C.()y g f x =⎡⎤⎣⎦为奇函数D.()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的图像关于直线1x =对称【答案】AD 【解析】【分析】A.根据()f x 是定义在R 上的函数，且()f x 为奇函数判断；B.由()g x 的图像关于直线1x =对称，得到()()11g x g x -=+判断；C.利用奇偶性的定义判断；D.由()()11g x g x -=+，得到()()11f g x f g x 轾轾-=+臌臌判断.【详解】解：因为()f x 是定义在R 上的函数，且()f x 为奇函数，所以()00f =，故A 正确；因为()g x 是定义在R 上的函数，且()g x 的图像关于直线1x =对称，所以()()11g x g x -=+，()1g 不一定为0，故B 错误；因为()()()g f x g f x g f x 轾轾轾-=-¹-臌臌臌，故C 错误；因为()()11g x g x -=+，则()()11f g x f g x 轾轾-=+臌臌，所以()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的图像关于直线1x =对称，故D 正确.故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.式子1239log 27+的值是________【答案】6【解析】【分析】根据指数、对数运算，化简求得表达式的值.【详解】依题意，原式()123233log 3336=+=+=.故答案为：6【点睛】本小题主要考查指数、对数运算，属于基础题.14.已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()21f x g x x x +=-+，则()3g 的值是______.【答案】3-【解析】【分析】由()()21f xg x x x +=-+可得()()21f xg x x x -+-=++，从而结合奇偶性根据函数的奇偶性可得()()21f x g x x x -=++，于是解得()g x x =-，即可得所求.【详解】因为()()21f x g x x x +=-+①，所以()()21f xg x x x -+-=++由函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，则()(),()()f x f xg x g x =-=--所以()()21f x g x x x -=++②则①-②可得：()22g x x =-，所以()g x x =-则()33g =-．故答案为：3-．15.已知a ，b 是非零实数，若关于x 的不等式20x ax b -+≥恒成立，则212ba +的最小值是______.【答案】2解析】【分析】由题意得240a b -≤，再利用基本不等式求解即可【详解】因为a ，b 是非零实数，且不等式20x ax b -+≥恒成立，所以20x ax b -+=有两个相等的实数根或无实数根，即240a b ∆=-≤得24a b ≤，2112422b b a b +≥+≥=，当且仅当24142a bb b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得22a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩满足条件且同时取等号.故答案为：216.已知函数()2f x x ax =+-，当1a =时，函数()f x 的值域为______；若函数()f x 的最小值为2，则正实数a 的取值范围为______.【答案】①.[)2,+∞②.(]0,1【解析】【分析】(1)1a =代入函数解析式，利用零点分段讨论，去绝对值，根据单调性，求函数的值域.(2)a 为正实数时，利用零点分段讨论，去绝对值，分类讨论函数的单调性，求函数最小值，得到函数最小值为2时a 的取值范围.【详解】(1)当1a =，函数()22,02=2,0222,2x x f x x x x x x -<⎧⎪=+-≤<⎨⎪-≥⎩，0x <时，()22f x x =-单调递减，有()()02f x f >=；02x ≤<时，()2f x =；2x ≥时，()22f x x =-单调递增，有()()22f x f ≥=，所以当1a =，函数()f x 的值域为[)2,+∞.(2)a 为正实数时，()()()()21,022=12,0212,a x x f x x ax a x x a a x x a ⎧⎪-+<⎪⎪=+--+≤<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩，0x <时，()()21f x a x =-+单调递减，有()()02f x f >=；2x a ≥时，()()12f x a x =+-单调递增，有()22f x f a a⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，20x a ≤<时，()()12f x a x =-+，①若01a <<，函数()()12f x a x =-+单调递增，有a 22<，()22f x a ≤<，此时函数()2f x x ax =+-有最小值2，符合题意；②若1a =，()2f x =，22a=，此时函数()2f x x ax =+-有最小值2，符合题意；③若1a >，函数()()12f x a x =-+单调递减，有a 22>，()22f x a <≤，此时函数()2f x x ax =+-有最小值2a ，a22>，不合题意.综上可知，正实数a 的取值范围为(]0,1.故答案为：[)2,+∞；(]0,1.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设全集U =R ，集合12644x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}5B x x =>.（1）求U A B ð：（2）若集合{}Cx x a =>满足B C B = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}|25U A B x x =-<≤ ð（2）5a ≤【解析】【分析】（1）求出集合A 、U B ð，再求交集可得答案；（2）根据B CB = 可得BC ⊆，求出a 的范围即可.【小问1详解】{}{}261264222264x x A x x x x -⎧⎫=≤≤=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，{}|5U B x x =≤ð，所以{}|25U A B x x =-<≤ ð；【小问2详解】若B CB = ，则B ⊆，所以5a ≤，所以实数a 的取值范围为5a ≤.18.已知函数()222f x x x a =-+-，()x g x a =（0a >且1a ≠）.（1）若函数()f x 在(],21m -∞-上单调递减，求实数m 的取值范围；（2）若()()20f g =.①求实数a 的值；②设()1t f x =，()2t g x =，当()0,1x ∈时，试比较1t ，2t 的大小.【答案】（1）(],1-∞（2）12t t <【解析】【分析】（1）根据二次函数的单调性求解即可；（2）根据两个函数在()0,1上的值域来比较较1t ，2t 的大小即可.【小问1详解】函数()222f x x x a =-+-，对称轴1x =，所以函数()f x 在(],1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，若函数()f x 在(],21m -∞-上单调递减，则211m -≤，1m £，故实数m 的取值范围为(],1-∞.【小问2详解】①()()20f g =，即20242=a a -+-，解得3a =；②当()0,1x ∈时，()()()212232=10,1x x t f x x =-+-∈=-，()()2=31,3x t g x =∈，所以121t t <<，即12t t <.19.已知某观光海域AB 段的长度为3百公里，一超级快艇在AB 段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q （单位：万元）与速度v （单位：百公里/小时）（03v ≤≤）的以下数据：v0123Q 00.7 1.6 3.3为描述该超级块艇每小时航行费用Q 与速度v 的关系，现有以下两种函数模型供选择：32Q av bv cv =++，0.5v Q a =+.（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB 段的航行费用最少?并求出期少航行费用.【答案】（1）选择函数模型32Q av bv cv =++；()320.10.20.803Q v v v v =-+≤≤（2）该超级快艇应以1百公里/小时速度航行才能使AB 段的航行费用最少为2.1【解析】【分析】（1）对题中所给的函数解析式进行分析，对应其性质，结合题中所给的条件，作出正确的选择，之后利用待定系数法求得解析式；（2）根据题意列出函数解析式，之后应用配方法求得最值，得到结果.【小问1详解】若选择函数模型0.5v Q a =+，则该函数在[]0,3v ∈上为单调减函数，这与实验数据相矛盾，所以不选择该函数模型.从而只能选择函数模型32Q av bv cv =++，由实验数据可得：0.7842 1.62793 3.3a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，得0.10.20.8a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故所求函数解析式为()320.10.20.803Q v v v v =-+≤≤.【小问2详解】设超级快艇在AB 段的航行费为y （万元），则所需时间为3v（小时），其中03v ≤≤，结合（1）知()()23230.10.20.8v 0.317y v v v v ⎡⎤=-+=-+⎣⎦，所以当1v =时，y 取最小值为2.1所以当该超级快艇应以1百公里/小时速度航行才能使AB 段的航行费用最少为2.120.已知()42135x f x a ++=+（0a >且1a ≠）．（1）求函数()y f x =的解析式，并写出函数()y f x =图象恒过的定点；（2）若()235f x a>+，求x 的取值范围．【答案】（1）()7235x f x a +=+，定点()7,8-；（2）见解析.【解析】【分析】（1）令21xt +=，可得出12t x -=，然后利用换元法可求出函数()y f x =的解析式，并利用指数等于零求出函数()y f x =图象所过定点的坐标；（2）由()235f x a>+，可得出722x a a +->，然后分01a <<和1a >两种情况讨论，利用函数x y a =的单调性可解出不等式722x a a +->.【详解】（1）令21x t +=，可得出12t x -=，()174223535t t f t a a -++∴=+=+，()7235x f x a +∴=+，令702x +=，得7x =-，且()07358f a -=+=，因此，函数()y f x =图象恒过的定点坐标为()7,8-；（2）由()235f x a >+，即7223355x a a++>+，可得722x a a +->.当01a <<时，函数x y a =是减函数，则有722x +<-，解得11x <-；当1a >时，函数x y a =是增函数，则有722x +>-，解得11x >-.【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，同时也考查了指数型函数图象过定点以及指数不等式的求解，一般在解指数不等式时，需要对底数的取值范围进行分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21.已知二次函数()()2,f x x ax b a b =++∈R .（1）若()20f -=，且对于x ∈R ，()()11f x f x +=-恒成立，求a ，b 的值；（2）若函数()f x 的值域为[)1,+∞，关于x 的不等式()f x c <的解集为()(),8m m m +∈R ，求实数c 的值.【答案】（1）2a=-，8b =-（2）=17c 【解析】【分析】（1）根据条件得出关于,a b 的方程，解出即可；（2）先由顶点坐标得,a b 关系，则不等式化为2244a x ax c +++<，则,8m m +是对应方程的两根，结合韦达定理即可求.【小问1详解】由()()11f x f x +=-，得22(1)(1)1)1(()a b a bx x x x ++=+-+++-，解得2a =-由()20f -=，得()2420f a b -=-+=，则8b =-.【小问2详解】函数()f x 的值域为[)1,+∞，又其顶点坐标为24(,24a b a --，即2414b a -=，则244a b +=，不等式()f x c <可化为：2244a x ax c +++<，即22404a x ax c +++-<的解集为(),8m m +，即方程22404a x ax c +++-=的两根为12,8x m x m ==+，所以1221244x x a a x x c +=-⎧⎪⎨+⋅=-⎪⎩，可得22121212||()464x x x x x x -=+-⋅=，即224()4()644a a c +---=，解得=17c 22.设函数()()0,1x x f x a k a a a -=+⋅>≠是定义域为R 的奇函数.（1）求实数k 值；（2）若()10f <，试判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，不等式()()1192430x x f t f -+-+⋅++⋅<对任意实数x 均成立，求实数t 的取值范围.【答案】22.1k =-23.()f x 在R 上单调递减，证明见解析24.6t >-【解析】【分析】（1）由()00f =求得k 的值.（2）由()10f <求得a 的取值范围，利用函数单调性的定义证得()f x 在R 上单调递减.（3）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式()()1192430x x f t f -+-+⋅++⋅<，利用分离常数法，结合二次函数的性质求得t 的取值范围.【小问1详解】由于()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()010,1f k k =+==-，此时()x x f x a a -=-，()()x x f x a a f x --=-=-，满足()f x 是奇函数，所以1k =-.【小问2详解】由（1）得()()0,1x x f x a a a a -=->≠，若()()()2111110a a a f a a a a+--=-==<，则01a <<，所以()f x 是减函数，证明如下：任取12x x <，则()()()112212x x x x f x f x a a a a ---=---1221122111x x x x x x x x a a a a a a a a --=-+-=-+-()121212121211x x x x x x x x x x a a a a a a a a a a -⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，由于12x x <，01a <<，所以1212,0x x x x a a a a >->，所以()()()()12120,f x f x f x f x ->>，所以()f x 在R 上单调递减.【小问3详解】由（1）得()()0,1x x f x a a a a -=->≠，()f x 是定义在R 上的奇函数，依题意，不等式()()1192430x x f t f -+-+⋅++⋅<恒成立，即()()119243x x f t f -+-+⋅+<-⋅恒成立，由（2）得()f x 在R 上单调递减，所以119243x x t -+-+⋅+>-⋅，1112143439322x x x x t -+-+-+-+-+=⋅--⋅>()211211122232333x x x x ++-+-+⎛⎫=-+=-+⋅ ⎪⎝⎭恒成立，令13,10,1x t x t +=+≥≥，则对于函数()221y t t t =+≥，函数在[)1,+∞上单调递增，最小值为21213+⨯=，所以()2113232x x ++-+⋅的最大值为236-´=-，所以6t >-.【点睛】根据奇函数的定义求参数，当奇函数在0x =处有定义时，必有()00f =，由这个方程求得参数后，要注意验证函数是否满足奇偶性的定义.求解二次项的函数的最值问题，可以考虑利用换元法，结合二次函数的性质来进行求解.。

2013届江苏南通中学高三上学期期中考试数学(文)试题

江苏省南通中学2012—2013学年度第一学期期中考试高三数学试卷（文）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．．一、填空题（每小题5分，共70分）1、已知集合{}A |3|1x x =-≤，{}2B 540x x x =-+≥，则A B = ▲ ．2、已知a ，b ，c R ∈，命题“若3=++c b a ，则222c b a ++≥3”的否命题是____▲_____． 3、若)127cos(,31)12sin(παπα+=+则的值为 ▲ . 4、函数()f x ln x x =-2单调递减区间是 ▲ ．5、已知函数()log (1)a f x x =+的定义域和值域都是[0,1]，则a 的值是 ▲ ．6、已知|a |=2，|b |=3，a 和b 的夹角为45°，若向量(λa + b )⊥(a +λb )，则实数λ的值为 ▲ ．7、已知P 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若使△F 1PF 2为直角三角形的点P 共有8个，则椭圆离心率的取值范围是 ▲ ．8、已知命题p：()f x =在(]0,∞-∈x 上有意义，命题q ：函数2lg()y ax x a =-+的定义域为R ．如果p 和q 有且仅有一个正确，则a 的取值范围▲ ．9、设函数sin (0)y x x π=≤≤的图象为曲线C ，动点(,)A x y 在曲线C 上，过A 且平行于x 轴的直线交曲线C 于点(B A B 、可以重合），设线段AB 的长为()f x ，则函数()f x 单调递增区间 ▲ ．10、设{}n a 是正项数列，其前n 项和n S 满足：4(1)(3)n n n S a a =-+,则n a = ▲ ．11、已知存在实数a ，满足对任意的实数b ，直线y x b =-+都不是曲线33y x ax =-的切线，则实数a 的取值范围是 ▲CABDPE（第16题图）12、设x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x 的最小值为___▲_____．13、设实数1>a ，若仅有一个常数c 使得对于任意的[],x a a ∈3，都有[,]y a a ∈2满足方程c y x a a =+log log ，这时，实数a 的取值的集合为 ▲ ．14、已知函数⎩⎨⎧>+-≤-=)0(1)1()0(12)(x x f x x x f ，把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n 项的和n S ,则10S ＝ ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分。

【数学】2017-2018年江苏省南通市如东高中高三(上)期中数学试卷与答案

2017-2018学年江苏省南通市如东高中高三（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分．将答案填在答题纸上．）1．（5分）已知全集为R，且集合A={x|﹣2＜x＜2}，B={x|log2（x+1）＜2}，则A∩B=．2．（5分）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则实数m=．3．（5分）已知p：x≤a，q：|x﹣1|＜1，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是．4．（5分）函数f（x）=lg（﹣x2+2x+3）的单调递减区间是．5．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位后与原图象关于x轴对称，则ω的最小值是．6．（5分）已知函数f（x）=ln（1+x2），则满足不等式f（2x﹣1）＜f（3）的x 的取值范围是．7．（5分）若圆C：x2+y2+2x+2y﹣7=0关于直线ax+by+4=0对称，由点P（a，b）向圆C作切线，切点为A，则线段PA的最小值为．8．（5分）如图，在三角形ABC中，点D是边AB上一点，且=2，点F是边BC的中点，过A作CD的垂线，垂足为E，若AE=4，则•=．9．（5分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是．10．（5分）若函数y=log2x的图象上存在点（x，y），满足约束条件，则实数m的最大值为．11．（5分）已知a，b为正实数，直线y=x﹣a与曲线y=ln（x+b）相切，则的取值范围．12．（5分）已知函数f（x+1）=f（x）+1当x∈[0，1]时，f（x）=|3x﹣1|﹣1，若对任意实数x，都有f（x+a）＞f（x）成立，则实数a的取值范围．13．（5分）函数f（x）=x2，g（x）=alnx，对区间（1，2）上任意不等的实数x1，x2，都有＞2恒成立，则正数a的取值范围为．14．（5分）已知函数f（x）=﹣x3+ax2+2a2x+b（a，b∈R），当0＜a≤时，对任意x1，x2∈[﹣1，2]，使f（x1）+f′（x2）﹣b≥M+8a恒成立，则实数M的最大值为．二、解答题（本大题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（15分）已知α、β都是锐角，且sinα=，tan（α﹣β）=﹣．（1）求sin（α﹣β）的值；（2）求cosβ的值．16．（15分）已知函数f（x）=ax2﹣2ax+2+b（a≠0）在区间[2，3]上有最大值5，最小值2，（1）求a，b的值；（2）若b＜1，g（x）=f（x）﹣2m x在[2，4]上是单调函数，求实数m的取值范围．17．（15分）已知圆O：x2+y2=4．（1）直线l1：与圆O相交于A、B两点，求|AB|；（2）如图，设M（x1，y1）、P（x2，y2）是圆O上的两个动点，点M关于原点的对称点为M1，点M关于x轴的对称点为M2，如果直线PM1、PM2与y轴分别交于（0，m）和（0，n），问m•n是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．18．（15分）某综艺频道举行某个水上娱乐游戏，如图，固定在水面上点O处的某种设备产生水波圈，水波圈生产t秒时的半径r（单位：m）满足；AB 是铺设在水面上的浮桥，浮桥的宽度忽略不计，浮桥两端A，B固定在水岸边．游戏规定：当点O处刚产生水波圈时，游戏参与者（视为一个点）与此同时从浮桥的A端跑向B端；若该参与者通过浮桥AB的过程中，从点O处发出的水波圈始终没能到达此人跑动时的位置，则认定该参与者在这个游戏中过关；否则认定在这个游戏中不过关，已知tan∠AOB=﹣2，OA=6m，浮桥AB的某个桥墩处点M到直线OA，OB的距离分别为，且AM＜4m，若某游戏参与者能以的速度从浮桥A端匀速跑到B端．（1）求该游戏参与者从浮桥A端跑到B端所需的时间？（2）问该游戏参与者能否在这个游戏中过关？请说明理由．19．（15分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P（x0，y0）是坐标平面内一点，且|OP|=5，•=16（O 为坐标原点）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点S（0，﹣1）且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过该点？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．20．（15分）已知函数f（x）=ax（lnx﹣1）﹣x2（a∈R）恰有两个极值点x 1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）若不等式lnx1+λlnx2＞1+λ恒成立，求实数λ的取值范围．21．（15分）已知向量，夹角为锐角，求实数的x范围．22．（15分）定义域为R的函数．若对于任意t∈R，不等式f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）恒成立，求k的取值范围．23．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csinB=bcosC=3．（1）求边长b；（2）若△ABC的面积为，求边长c．24．（15分）已知f（x）=e2x+ln（x+a）．（1）当a=1时，求f（x）在（0，1）处的切线方程；（2）若存在x0∈[0，+∞），使得成立，求实数a的取值范围．2017-2018学年江苏省南通市如东高中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分．将答案填在答题纸上．）1．（5分）已知全集为R，且集合A={x|﹣2＜x＜2}，B={x|log2（x+1）＜2}，则A∩B=（﹣1，2）．【解答】解：全集为R，且集合A={x|﹣2＜x＜2}，B={x|log2（x+1）＜2}={x|0＜x+1＜4}={x|﹣1＜x＜3}，则A∩B={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．2．（5分）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则实数m=8．【解答】解：根据题意，向量=（1，m），=（3，﹣2），则+=（4，m﹣2），若（+）⊥，则（+）•=12﹣2（m﹣2）=0，解可得m=8，故答案为：8．3．（5分）已知p：x≤a，q：|x﹣1|＜1，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是a≥2．【解答】解：由|x﹣1|＜1得﹣1＜x﹣1＜1得0＜x＜2，若p是q的必要不充分条件，则a≥2，故答案为：a≥2．4．（5分）函数f（x）=lg（﹣x2+2x+3）的单调递减区间是（1，3）．【解答】解：由﹣x2+2x+3＞0，得x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3．而外层函数y=lgt为增函数，内函数t=﹣x2+2x+3在（1，3）上为减函数，由复合函数的单调性可得，函数f（x）=lg（﹣x2+2x+3）的单调递减区间是（1，3）．故答案为（1，3）．5．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位后与原图象关于x轴对称，则ω的最小值是．【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位后与原图象关于x轴对称，则所得函数的解析式为y=2sin（ωx﹣ω•+）=﹣2sin（ωx+），∴ω•=kπ+π，k∈Z，则ω的最小值是，故答案为：．6．（5分）已知函数f（x）=ln（1+x2），则满足不等式f（2x﹣1）＜f（3）的x 的取值范围是﹣1＜x＜2．【解答】解：∵函数f（x）=ln（1+x2），∴f（﹣x）=f（x），故函数f（x）是偶函数，由复合函数单调性知函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（2x﹣1）＜f（3）⇒f（|2x﹣1|）＜f（3），从而|2x﹣1|＜3，解得﹣1＜x＜2．故答案为：﹣1＜x＜2．7．（5分）若圆C：x2+y2+2x+2y﹣7=0关于直线ax+by+4=0对称，由点P（a，b）向圆C作切线，切点为A，则线段PA的最小值为3．【解答】解：∵圆C：x2+y2+2x+2y﹣7=0可化简为：（x+1）2+（y+1）2=9∴圆C的圆心为（﹣1，1），半径r=3∵圆C：x2+y2+2x+2y﹣7=0关于直线ax+by+4=0对称，∴圆心C（﹣1，﹣1）在直线ax+by+4=0上，∴﹣a﹣b+4=0，即b=﹣a+4，点（a，b）向圆所作的切线长为：=，∴当a=2时，点（a，b）向圆所作的切线长取得最小值3．故答案为3．8．（5分）如图，在三角形ABC中，点D是边AB上一点，且=2，点F是边BC的中点，过A作CD的垂线，垂足为E，若AE=4，则•=32．【解答】解：∵点F是边BC的中点，=2，∴=（+）=（+3），∵AE⊥CD∴•=2，•=∴•=（+3）•=+•=×42+×42=32，故答案为：32．9．（5分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是[，1）．【解答】解：连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，∵∠BPA=，∠APO=∠BPO=，在直角三角形OAP中，∠AOP=，∴cos∠AOP==，得|OP|==2b，∴b＜|OP|≤a，∴2b≤a，∴4b2≤a2，即4（a2﹣c2）≤a2，∴3a2≤4c2，即≥，∴e，又0＜e＜1，∴≤e＜1，∴椭圆C的离心率的取值范围是[，1），故答案为：[，1）．10．（5分）若函数y=log2x的图象上存在点（x，y），满足约束条件，则实数m的最大值为1．【解答】解：作出约束条件表示的平面区域，得到如图的三角形，再作出对数函数y=log2x的图象，可得该图象与直线x+y﹣3=0交于点M（2，1），当该点在区域内时，图象上存在点（x，y）满足不等式组，且此时m达到最大值，∴即m的最大值为1故答案为：1．11．（5分）已知a，b为正实数，直线y=x﹣a与曲线y=ln（x+b）相切，则的取值范围．【解答】解：函数的导数为y′==1，x=1﹣b，切点为（1﹣b，0），代入y=x ﹣a，得a+b=1，∵a、b为正实数，∴a∈（0，1），则=，令g（a）=，则g′（a）=＞0，则函数g（a）为增函数，∴∈．故答案为．12．（5分）已知函数f（x+1）=f（x）+1当x∈[0，1]时，f（x）=|3x﹣1|﹣1，若对任意实数x，都有f（x+a）＞f（x）成立，则实数a的取值范围（，）．【解答】解：∵x∈[0，1]时，f（x）=|3x﹣1|﹣1，∴当x∈[0，]时，f（x）=﹣3x，x∈（，1]时，f（x）=3x﹣2，由f（x+1）=f（x）+1，可得到f（x）大致图形为，如图所示由图可以看出，当x=时，即D点．若a≤0，则f（+a）≤f（），不满足题意．所以a＞0．由图中知，比D大的为右边的区域，且a且a．故答案为：（，）13．（5分）函数f（x）=x2，g（x）=alnx，对区间（1，2）上任意不等的实数x1，x2，都有＞2恒成立，则正数a的取值范围为（0，1）．【解答】解：不妨设1＜x2＜x1＜2，∵f（x）=x2在（1，2）上为增函数，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）（x1+x2）对于g（x）=alnx，当a＜0时，g（x）=alnx为减函数，∴g（）＜g（），∴＜0，不满足题意，当a=0时，显然不成立，当a＞0时，g（x）=alnx为减函数，∴g（）＞g（），∴g（）﹣g（）=aln﹣aln=（lnx 1﹣lnx2），∵＞2恒成立，∴f（x 1）﹣f（x2）＞2[g（）﹣g（）]=a（lnx1﹣lnx2），∴x12﹣alnx1＞x22﹣alnx2在（1，2）恒成立，设h（x）=x2﹣alnx，∴h（x）=x2﹣alnx在（1，2）上为增函数，∴h′（x）=x﹣=＞0，在（1，2）上恒成立，∴a＜x2，∴0＜a＜1，故答案为：（0，1）．14．（5分）已知函数f（x）=﹣x3+ax2+2a2x+b（a，b∈R），当0＜a≤时，对任意x1，x2∈[﹣1，2]，使f（x1）+f′（x2）﹣b≥M+8a恒成立，则实数M的最大值为．【解答】解：由f（x1）﹣b=﹣x13+ax12+2a2x1，令g（x1）=﹣x13+ax12+2a2x1，则g'（x1）=﹣x12+ax1+2a2=﹣（x1+a）（x1﹣2a），令g'（x1）=0，则x1=﹣a或x1=2a，因为0＜a≤时，所以，2a∈（0，1]所以当x1∈[﹣1，﹣a]和x1∈（2a，2]时，g'（x1）＜0，函数g（c）单调递减，当x1∈（﹣a，2a）时，g'（x1）＞0，函数g（x1）单调递增，所以函数g（x1）的极小值为g（﹣a）=a3+a3﹣2a3=﹣a3，又g（2）=﹣+2a+4a2，令h（a）=g（2）﹣g（﹣a）=a3+4a2+2a﹣．h（a）=g（2）﹣g（﹣a）=a3+4a2+2a﹣，易知，当0＜a≤时，函数h（a）单调递增，故h（a）max=h（）=，所以g（2）＜g（﹣a），即当x1∈[﹣1，2]时，g（x1）min=g（2）=﹣+2a+4a2，又f′（x2）=﹣x22+ax2+2a2=﹣（x2﹣）2+其对应图象的对称轴为x2=，所以x2=2时，，所以f（x1）﹣b+f′（x2）≥6a2+4a﹣故有6a2+4a﹣≥M+8a，又6a2+4a﹣﹣8a=6（a﹣）2﹣当0＜a≤时，所以6（a﹣）2﹣所以M故答案为：﹣二、解答题（本大题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（15分）已知α、β都是锐角，且sinα=，tan（α﹣β）=﹣．（1）求sin（α﹣β）的值；（2）求cosβ的值．【解答】解：（1）∵α、β∈（0，），∴，∵tan（α﹣β）=﹣＜0，∴，由，解得sin（α﹣β）=；（2）由（1）可知，cos（α﹣β）=．∵α是锐角，且sinα=，∴cosα=，∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=．16．（15分）已知函数f（x）=ax2﹣2ax+2+b（a≠0）在区间[2，3]上有最大值5，最小值2，（1）求a，b的值；（2）若b＜1，g（x）=f（x）﹣2m x在[2，4]上是单调函数，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由于二次函数f（x）=ax2﹣2ax+2+b=a（x﹣1）2+2+b﹣a，的对称轴为x=1，当a＞0时，函数在区间[2，3]上是增函数，由，即，解得a＜0时，函数在区间[2，3]上是减函数，由，即，解得．综上可得解得或．（2）因为b＜1，所以a=1，b=0，所以f（x）=x2﹣2x+2，所以g（x）=f（x）﹣2m x=x2﹣2x+2﹣2m x=x2﹣（2+2m）x+2若g（x）在[2，4]单调，则≤2或≥4，所以2m≤2或2m≥6，解得m≤1或m≥log26，故实数m的取值范围为（﹣∞，1]∪[log26，+∞）17．（15分）已知圆O：x2+y2=4．（1）直线l1：与圆O相交于A、B两点，求|AB|；（2）如图，设M（x1，y1）、P（x2，y2）是圆O上的两个动点，点M关于原点的对称点为M1，点M关于x轴的对称点为M2，如果直线PM1、PM2与y轴分别交于（0，m）和（0，n），问m•n是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）由于圆心（0，0）到直线的距离．圆的半径r=2，∴．…（4分）（2）由于M（x，y1）、p（x2，y2）是圆O上的两个动点，则可得，，且，．…（8分）根据PM1的方程为=，令x=0求得y=．根据PM2的方程为：=，令x=0求得y=．…（12分）∴，显然为定值．…（14分）18．（15分）某综艺频道举行某个水上娱乐游戏，如图，固定在水面上点O处的某种设备产生水波圈，水波圈生产t秒时的半径r（单位：m）满足；AB 是铺设在水面上的浮桥，浮桥的宽度忽略不计，浮桥两端A，B固定在水岸边．游戏规定：当点O处刚产生水波圈时，游戏参与者（视为一个点）与此同时从浮桥的A端跑向B端；若该参与者通过浮桥AB的过程中，从点O处发出的水波圈始终没能到达此人跑动时的位置，则认定该参与者在这个游戏中过关；否则认定在这个游戏中不过关，已知tan∠AOB=﹣2，OA=6m，浮桥AB的某个桥墩处点M到直线OA，OB的距离分别为，且AM＜4m，若某游戏参与者能以的速度从浮桥A端匀速跑到B端．（1）求该游戏参与者从浮桥A端跑到B端所需的时间？（2）问该游戏参与者能否在这个游戏中过关？请说明理由．【解答】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（6，0），直线OB的方程为2x+y=0．设M（x0，2），由，解得x0=3或x0=﹣5．当x0=3时，，符合；当x0=﹣5时，，不符合．所以x0=3，直线AM的方程为2x+3y﹣12=0．由解得即B（﹣3，6）．所以．所以，该游戏参与者从浮桥A端跑到B端所需的时间为．（2）在△OAB中，，．设ts时，该参与者位于点P，则，．则ts时，点P坐标为（6﹣3t，2t），其中0≤t≤3．OP2=（6﹣3t）2+（2t）2=13t2﹣36t+36，．令+36t﹣36（0≤t≤3），则f'（t）=4t2﹣26t+36=（2t﹣4）（2t﹣9），t∈（0，2）时f'（t）＞0，f（t）在（0，2）上为增函数，t∈（2，3）时f'（t）＜0，f（t）在（2，3）上为减函数，故当t=2s时，f（t）取得最大值f（2）．由于，所以t∈[0，3]时，r＜OP恒成立．即该游戏参与者通过浮桥AB的过程中，从点O处发出的水波圈始终没能到达此人跑动时的位置，所以该参与者在这个游戏中过关．19．（15分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P（x0，y0）是坐标平面内一点，且|OP|=5，•=16（O为坐标原点）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点S（0，﹣1）且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过该点？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），则由|OP|=5，得=25，由=16，得（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=16，∴﹣c2=16，∴c2=9，c=3，∵，∴a2=18，b2=9，∴椭圆方程为=1．（2）设动直线l的方程为y=kx﹣1，由，得（2k2+1）x2﹣4kx﹣16=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=﹣，假设在y轴上存在M（0，m），满足题设，则=（x1，y1﹣m），=（x2，y2﹣m），=x1x2+（y1﹣m）（y2﹣m）==x1x2+（kx1﹣1）﹣m（kx1﹣1+kx2﹣1）+m2===，由假设得对于任意的k∈R，=0恒成立，即，解得m=3．∴在y轴上存在定点M，使以AB为直径的圆恒过该点，点M的坐标为（0，3）．20．（15分）已知函数f（x）=ax（lnx﹣1）﹣x2（a∈R）恰有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）若不等式lnx1+λlnx2＞1+λ恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ax（lnx﹣1）﹣x2（a∈R），∴f′（x）=alnx﹣2x，依题意得x1，x2是alnx﹣2x=0的两个不等正实数根，∴a≠0，，令g（x）=，，当x∈（0，e）时，g′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，且g（1）=0，当x＞e时，g（x）＞0，∴0＜＜g（e）=，解得a＞2e，故实数a的取值范围是（2e，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）得alnx1=2x1，alnx2=2x2，两式相减，得a（lnx1﹣lnx2）=2（x1﹣x2），a=2•，∴lnx1+λlnx2＞1+λ，∴＞1+λ，∴2（x1+λx2）＞a（1+λ），∴x1+λx2＞，∴＞1+λ，∴＞1+λ，∵0＜x1＜x2，令t=∈（0，1），∴，∴（t+λ）lnt﹣（1+λ）（t﹣1）＜0，令h（t）=（t+λ）lnt﹣（1+λ）（t﹣1），则h′（t）=lnt+﹣λ，令I（t）=lnt+﹣λ，则I′（t）==，（t∈（0，1）），①当λ≥1时，I′（t）＜0，∴h′（t）在（0，1）上单调递减，∴h′（t）＞h′（1）=0，∴h（t）在（0，1）上单调递增，∴h（t）＜h（1）=0，符合题意．②当λ≤0时，I′（t）＞0．∴h′（t）在（0，1）上单调递增，∴h′（t）＜h′（1）=0，∴h′（t）在（0，1）上单调递减，∴h（t）＞h（1）=0，不符合题意③当0＜λ＜1时，I′（t）＞0，λ＜t＜1，∴h′（t）在（λ，1）上单调递增，∴h′（t）＜h′（1）=0，∴h（t）在（λ，1）上单调递减，∴h（t）＞h（1）=0，不符合题意．综上所述，实数λ的取值范围是[1，+∞）．21．（15分）已知向量，夹角为锐角，求实数的x范围．【解答】解：根据题意，若向量，夹角为锐角，则且不平行，所以2x﹣1+x＞0且（2x﹣1）x﹣1=（2x+1）（x﹣1）≠0解得：且x≠1，所以，求实数x的取值范围为．22．（15分）定义域为R的函数．若对于任意t∈R，不等式f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）恒成立，求k的取值范围．【解答】解：任取x1，x2∈R，不妨设x1＜x2则，则函数f（x）为实数R上的减函数易知f（x）又为R上的奇函数，故不等式f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）可化为：t2﹣2t＞﹣2t2+k，即k＜3t2﹣2t恒成立，而3t2﹣2t的最小值为，所以．23．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csinB=bcosC=3．（1）求边长b；（2）若△ABC的面积为，求边长c．【解答】解：（1）由csinB=bcosC，利用正弦定理得：sinCsinB=sinBcosC，又sinB≠0，所以sinC=cosC，所以C=45°又bcosC=3，所以．（2）因为，csinB=3，所以a=7．由余弦定理可得c2=a2+b2=2abcosC=25，所以c=5．24．（15分）已知f（x）=e2x+ln（x+a）．（1）当a=1时，求f（x）在（0，1）处的切线方程；（2）若存在x0∈[0，+∞），使得成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=e2x+ln（x+1），f（0）=1，，所以f（x）在（0，1）处的切线方程为y=3x+1，（2）存在x0∈[0，+∞），，即：在x0∈[0，+∞）时有解；设u（x）=e2x﹣ln（x+a）﹣x2，令，所以u'（x）在[0，+∞）上单调递增，所以，1°当时，，∴u（x）在[0，+∞）单调增，所以u（x）min=u（0）=1﹣lna＜0，所以a＞e，2°当时，设，令，所以h（x）在单调递减，在单调递增所以，所以所以u（x）=e2x﹣ln（x+a）﹣x2＞e2x﹣ln设，g'（x）=2e2x﹣2x﹣1，令φ（x）=2e2x﹣2x﹣1，φ'（x）=4e2x﹣2≥4﹣2＞0所以φ（x）=2e2x﹣2x﹣1在[0，+∞）上单调递增，所以g'（x）≥g'（0）=1＞0所以g （x ）在（0，+∞）单调递增，∴g （x ）＞g （0）＞0，所以g （x ）＞g （0）＞0，所以u （x ）=e 2x ﹣ln （x +a ）﹣x 2＞g （x ）＞0，所以，当时，f （x ）＞2ln （x +a ）+x 2恒成立，不合题意综上，实数a 的取值范围是a ＞e ．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q) ()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-0xx<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-0x。

江苏省南通中学2016-2017学年高二数学上学期期中试题

江苏省南通中学2016—2017学年度第一学期期中试卷高二数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．直线l 在平面α内，可以用符号“ ▲ ”表示． 2．若△ABC 在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P 、Q 、R ，则点Q ▲直线PR （用符号表示它们的位置关系）． 3．直线y x m =+的倾斜角为 ▲ ．4．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线AB ，A 1D 1所成的角等于 ▲ ． 5．点2(,5)P m 与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是 ▲ ． 6．棱长都是1的三棱锥的表面积为 ▲ ．7．已知{(x ，y )|ax ＋y ＋b ＝0}∩{(x ，y )|x ＋y ＋1＝0}＝∅，则a ，b 所满足的条件是 ▲ ． 8．两直线l 1：ax ＋2y ＋b ＝0；l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0.若l 1∥l 2，且l 1与l 2，则 a b ⋅= ▲ .9．不论m 取什么实数，直线(21)(3)(11)0m x m y m --+--=恒过定点 ▲ .10．如图，在三棱柱111A B C ABC -中，D ，E F ，分别是AB ，1AC AA ，的中点，设三棱锥F ADE -的体积为1V ，三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ，则12:V V = ▲ .11．光线从点M (－2,3)射到x 轴上一点P (1,0)后被x 轴反射，则反射光线所在的直线方程为▲ ．12．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是 ▲ ．①若m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α∥β； ②若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥n ； ③若m ⊥α，n ∥β，α∥β，则m ⊥n ； ④若m ∥n ，m ∥α，n ∥β，则α∥β．13．已知两点(1,0)A -、(0,2)B ，点P 是圆22(1)1x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅的最大值是 ▲ ．14．已知圆22:4O x y +=与曲线:3||C y x t =-，曲线C 上两点(,)A m n ，(,)B s p （m 、n 、s 、p 均为正整数），使得圆O 上任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值k(1)k >，则s p m n -= ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证（第10题）明过程或演算步骤．15．（1）过原点作直线l 的垂线，若垂足为A (－2,3)，求直线l 的方程；（2）三角形三个顶点是A (4,0)，B (6,7)，C (0,3)，求AB 边上的高所在的直线方程．16．求经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程．17．如图，在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥，AS AB =，过A作AF SB ⊥，垂足为F ，点E G ，分别是棱SA ，SC 的中点. （1）求证：平面EFG ∥平面ABC ；（2）求证：BC SA ⊥.18．如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)， tan∠BCO ＝43.（1）当点M 与A 重合时，求圆形保护区的面积；（2）若古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．当OM 多长时，点 M 到直线BC 的距离最小？（第18题）19．如图，在棱长均为4的三棱柱111ABC A B C -中，D 、1D 分别是BC 和11B C 的中点.（1）求证：11A D ∥平面1AB D ；（2）若平面ABC ⊥平面11BCC B ，160B BC ∠=，求三棱锥1B ABC -的体积.D 1C 1B 1A 1DCBA20．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，P 为直线l ：x ＝43上一点．（1）若点P 在第一象限，且OP ＝53，求过点P 圆O 的切线方程；（2）若存在过点P 的直线交圆O 于点A ，B ，且B 恰为线段AP 的中点，求点P 纵坐标的取值范围；（3）设直线l 动点Q ，⊙Q 与⊙O 相外切，⊙Q 交l 于M 、N 两点，对于任意直径MN ，平面上是否存在不在直线l 上的定点A ，使得∠MAN 为定值？若存在，直接写出点A 的坐标；若不存在，请说明理由.2016—2017学年度第一学期高二数学期中参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1. l α⊆2. ∈3.4π4.2π 5. 在圆外 7. 1a =且1b ≠ 8. 4- 9. (2,3) 10. 1:24 11. 10x y --= 12. ③13. 314. 0二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)解：（1）∵32OA k =-，且OA ⊥l ，∴l 的斜率为23k =. 于是l 的方程为23(2)3y x =－＋．整理得2x －3y ＋13＝0. （7分）（2）∵72AB k =，∴设所求直线方程 2x ＋7y ＋m ＝0，代入点C 坐标得m ＝－21.(也可由点斜式求，由23(0)7y x =-－－，得2x ＋7y －21＝0.)∴AB 边上的高所在的直线方程为2x ＋7y －21＝0. （7分）16. (本小题满分14分)解：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P 、Q 点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20，①3D －E ＋F ＝－10.②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1、x 2是方程③的两根，由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36.④由①②④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.17. (本小题满分14分)证明:（1）∵AS AB =,AF SB ⊥∴F 分别是SB 的中点 ∵E ，F 分别是SA ，SB 的中点 ∴EF ∥AB又∵EF ⊄平面ABC ， AB ⊆平面ABC ∴EF ∥平面ABC 同理：FG ∥平面ABC 又∵EFFG =F ，EF ⊆平面ABC ，FG ⊆平面ABC∴平面//EFG 平面ABC （7分）（2）∵平面SAB ⊥平面SBC ，平面SAB平面SBC =BCAF ⊆平面SAB ，AF ⊥SB∴AF ⊥平面SBC 又∵BC ⊆平面SBC∴AF ⊥BC又∵AB BC ⊥, AB AF =A , AB ⊆平面SAB ，AF ⊆平面SAB∴BC ⊥平面SAB又∵SA ⊆平面SAB ，∴BC ⊥SA . （14分）18. (本小题满分16分)解：（1）以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0,60)，C (170,0)，直线BC 的斜率43BC k =-又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率34AB k = 设点B 的坐标为(a ,b )，则041703BC b k a -==--，60304AB b k a -==-解得a ＝80，b ＝120所以圆形保护区半径100r AB == 则圆形保护区面积为10000π2m .（8分）（2）设保护区的边界圆M 的半径为r m ，OM ＝d m(060d ≤≤)由条件知，直线BC 的方程为y ＝－43(x －170)，即4x ＋3y －680＝0由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r 即r ＝|3d －680|42＋32＝680－3d 5因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －(60－d )≥80，解得10≤d ≤35则当d ＝10，即OM ＝10m 时，M 到直线BC 的距离最小．（16分）19. (本小题满分16分)证明：（1）如图，连结1DD ，在三棱柱111ABC A B C -中，因为1,D D 分别是BC 与11B C 的中点，所以11//B D BD ，且11B D BD =．所以四边形11B BDD 为平行四边形，所以11//BB DD ，且11BB DD = 又因为1111//,AA BB AA BB =，所以1111//,AA DD AA DD =，所以四边形11AA D D 为平行四边形，所以11//A D AD又11A D ⊄平面1AB D ，AD ⊂平面1AB D ，故11//A D 平面1AB D （8分）解：（2）在ABC ∆中，因为AB AC =，D 为BC 的中点，所以AD BC ⊥因为平面ABC ⊥平面11B C CB ，交线为BC ，AD ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面11B C CB ，即AD 是三棱锥1A B BC -的高．在ABC ∆中，因为4AB AC BC ===，得AD = 在1B BC ∆中，114,60B B BC B BC ==∠=，所以1B BC ∆的面积124B BC S ∆== 所以三棱锥1B ABC -的体积，即三棱锥1A B BC -的体积，111833B BC V S AD ∆=⨯⋅=⨯．（16分） 20. (本小题满分16分)解：（1）设点P 的坐标为(43，y 0)．因OP ＝53，所以(43)＋y 02＝(53)2，解得y 0＝±1．又点P 在第一象限，所以y 0＝1，即P 的坐标为(43，1)．易知过点P 圆O 的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k ，则切线为y －1＝k (x －43)，即kx －y ＋1－43k ＝0，于是有|1－43k |k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝247．因此过点P 圆O 的切线为：y ＝1或24x －7y －25＝0．（5分）（2）设A (x ，y )，则043(,)22x y y B ++．因为点A ，B 均在圆上，所以有⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，(x ＋432)2＋(y ＋y02)2＝1．即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，(x ＋43)2＋(y ＋y 0)2＝4．该方程组有解，即圆x 2＋y 2＝1与圆(x ＋43)2＋(y ＋y 0)2＝4有公共点．于是1≤169 ＋y 02≤3，解得－65 3≤y 0≤65 3，即点P 纵坐标的取值范围是[－65 3，653]．（10分）（3）存在，点A 的坐标为．（16分）（写出存在两字给2分）。

2017-2018学年江苏省南通中学高三(上)开学数学试卷

2017-2018学年江苏省南通中学高三（上）开学数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答卷相应位置上．）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=．2．（5分）命题“∃x∈（0，+∞），ln x=x﹣1”的否定是．3．（5分）设复数z满足（z﹣1）i=﹣1+i，其中i是虚数单位，则复数z的模是．4．（5分）执行如图所示的流程图，则输出的k的值为．5．（5分）一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量（单位：辆）如表：按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．则z的值为．6．（5分）已知，则=．7．（5分）设函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b 为常数），则f（﹣1）的值为．8．（5分）在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率．9．（5分）已知函数f（x）=满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，则a的取值范围是．10．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若各条棱长均为2，且M为A1C1的中点，则三棱锥M﹣AB1C的体积是．11．（5分）已知点F是双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是．12．（5分）已知三次函数f（x）=x3+x2+cx+d（a＜b）在R上单调递增，则的最小值为．13．（5分）已知函数g（x）=，若函数y=g（g（x））﹣2m有3个不同的零点，则实数m的取值范围是．14．（5分）已知，是非零不共线的向量，设=+，定义点集M={K|=}，当K1，K2∈M时，若对于任意的r≥2，不等式||≤c||恒成立，则实数c的最小值为．二、解答题：（本大题共6小题，15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分．请在答卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB1⊥BC，且AA1=AB．（1）求证：AB∥平面D1DCC1；（2）求证：AB1⊥平面A1BC．16．（14分）已知向量=（cosα，﹣1），=（2，sinα），其中，且．（1）求cos2α的值；（2）若sin（α﹣β）=，且，求角β．17．（14分）如图所示，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为．设S的眼睛到地面的距离为米．（1）求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕其中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影爱好者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？请说明理由．18．（16分）已知：已知函数f（x）=﹣+2ax，（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率为﹣6，求实数a；（Ⅱ）若a=1，求f（x）的极值；（Ⅲ）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．19．（16分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点H（2，）在椭圆上．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P，Q两点，求证：△PF2Q的周长是定值．20．（16分）设数列{a n}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为S n，若a1a5=64，S5﹣S3=48．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对于正整数k，m，l（k＜m＜l），求证：“m=k+1且l=k+3”是“5a k，a m，a l 这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列{b n}满足：对任意的正整数n，都有a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2+…+a n b1=3•2n+1﹣4n﹣6，且集合中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围．II卷（本大题共4小题，每题10分，共计40分．请在答卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）21．已知矩阵A=，若A=，求矩阵A的特征值．22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（l为参数）与曲线（t为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．23．某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a，求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望．24．已知函数f（x）=2x﹣3x2，设数列{a n}满足：a1=，a n+1=f（a n）（1）求证：对任意的n∈N*，都有0＜a n＜；（2）求证：++…+≥4n+1﹣4．2017-2018学年江苏省南通中学高三（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答卷相应位置上．）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B={﹣1，3} ．【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故答案为：{﹣1，3}2．（5分）命题“∃x∈（0，+∞），ln x=x﹣1”的否定是∀x∈（0，+∞），lnx≠x ﹣1．【解答】解：由特称命题的否定为全称命题，可得命题“∃x∈（0，+∞），ln x=x﹣1”的否定是∀x∈（0，+∞），ln x≠x﹣1．故答案为：∀x∈（0，+∞），ln x≠x﹣1．3．（5分）设复数z满足（z﹣1）i=﹣1+i，其中i是虚数单位，则复数z的模是．【解答】解：由（z﹣1）i=﹣1+i，得z=+1=i+1+1=2+i所以|z|=故答案为：4．（5分）执行如图所示的流程图，则输出的k的值为4．【解答】解：当k=1，S=1时，进入循环，S=1，不满足退出循环的条件，k=2，S=2，不满足退出循环的条件，k=3，S=6，不满足退出循环的条件，k=4，S=15，满足退出循环的条件，故输出的k的值为4．故答案为：45．（5分）一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量（单位：辆）如表：按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．则z的值为400．【解答】解：由题意可得，解得z=400，故答案为：400．6．（5分）已知，则=．【解答】解：∵α∈（π，π），cosα=﹣，∴sinα=﹣=﹣，∴tanα=，则tan（﹣α）===．故答案为：7．（5分）设函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b 为常数），则f（﹣1）的值为﹣3．【解答】解：∵函数f（x）为定义在R上的奇函数，∴f（0）=1+b=0，解得b=﹣1，则当x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（2+2﹣1）=﹣3，故答案为：﹣3．8．（5分）在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率1﹣．【解答】解：取到的点到正方体中心的距离小于等于1构成的几何体的体积为：×13=，∴点到正方体中心的距离大于1的几何体的体积为：v=V正方体﹣=8﹣取到的点到正方体中心的距离大于1的概率：P==1﹣．故答案为：1﹣．9．（5分）已知函数f（x）=满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，则a的取值范围是（0，] ．【解答】解：∵对任意x1≠x2，都有＜0成立；∴f（x1）﹣f（x2）与x1﹣x2异号，即x1﹣x2＜0时，f（x1）﹣f（x2）＞0，即x1＜x2时，f（x1）＞f（x2）；∴函数f（x）在R上是减函数；∴x＜0时，f（x）=a x，0＜a＜1；x≥0时，f（x）=（a﹣3）x+4a，a﹣3＜0，a＜3，又a x＞1，（a﹣3）x+4a）max=4a ≤1，∴；又0＜a＜1，∴0＜a≤；∴a的取值范围是．故答案为：．10．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若各条棱长均为2，且M为A1C1的中点，则三棱锥M﹣AB1C的体积是．【解答】解：∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各条棱长均为2，且M为A1C1的中点，==2，∴S△AMCMB1⊥平面AMC，且B1M==，∴====．故答案为：．11．（5分）已知点F是双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）．【解答】解：∵△ABE是锐角三角形∴∠AEB为锐角∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴∴∠AEF=∠BEF＜45°∴AF＜EF∵F为左焦点，设其坐标为（﹣c，0）所以A（）所以AF=，EF=a+c∴即c2﹣ac﹣2a2＜0解得双曲线的离心率的范围是（1，2）故答案为（1，2）12．（5分）已知三次函数f（x）=x3+x2+cx+d（a＜b）在R上单调递增，则的最小值为3．【解答】解：由题意f'（x）=ax2+bx+c≥0在R上恒成立，则a＞0，△=b2﹣4ac ≤0．∴≥令，≥≥3．（当且仅当t=4，即b=c=4a时取“=”）故答案为：313．（5分）已知函数g（x）=，若函数y=g（g（x））﹣2m有3个不同的零点，则实数m的取值范围是（，1] ．【解答】解：当x＜0时，g（x）=﹣x+1＞0，此时g（g（x））=（﹣x+1）2﹣1=x2﹣2x当0≤x＜1时，g（x）=x2﹣1＜0，此时g（g（x））=﹣（x2﹣1）+1=﹣x2+2当x≥1时，g（x）=x2﹣1≥0，此时g（g（x））=（x2﹣1）2﹣1=x4﹣2x2，函数y=g（g（x））=．函数y=g（g（x））的图象如下：结合图象可得若函数y=g（g（x））﹣2m有3个不同的零点，则实数m的取值范围是（，1]故答案为：（]14．（5分）已知，是非零不共线的向量，设=+，定义点集M={K|=}，当K1，K2∈M时，若对于任意的r≥2，不等式||≤c||恒成立，则实数c的最小值为．【解答】解：由=+，可得A，B，C共线，由=，可得||cos∠AKC=||cos∠BKC，即有∠AKC=∠BKC，则KC为∠AKB的平分线，由角平分线的性质定理可得==r，即有K的轨迹为圆心在AB上的圆，由|K1A|=r|K1B|，可得|K1B|=，由|K2A|=r|K2B|，可得|K2B|=，可得|K1K2|=+=|AB|=|AB|，由r﹣在r≥2递增，可得r﹣≥2﹣=，即有|K1K2|≤|AB|，即≤，由题意可得c≥，故c的最小值为．故答案为：．二、解答题：（本大题共6小题，15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分．请在答卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB1⊥BC，且AA1=AB．（1）求证：AB∥平面D1DCC1；（2）求证：AB1⊥平面A1BC．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，CD⊂平面D1DCC1，AB⊄平面D1DCC1；∴AB∥平面D1DCC1；…（3分）（2）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形，∵AA1=AB，∴四边形ABB1A1为菱形，∴AB1⊥A1B，∵AB1⊥BC，A1B∩BC=B，∴AB1⊥平面A1BC，…（8分）16．（14分）已知向量=（cosα，﹣1），=（2，sinα），其中，且．（1）求cos2α的值；（2）若sin（α﹣β）=，且，求角β．【解答】解：（1）∵向量=（cosα，﹣1），=（2，sinα），其中，且．∴=2cosα﹣sinα=0，∴sin2α+cos2α=5cos2α=1，∴cos2α=，∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣．（2）∵cos2α=，，∴cosα=，sinα==，∵sin（α﹣β）=，且，∴sinαcosβ﹣cosαsinβ=，∴2cosβ﹣sinβ=，∴sinβ=2cos，∴sin2β+cos2β=5cos2β﹣2﹣=0，解得cosβ=或cosβ=﹣（舍），∵，∴β=．17．（14分）如图所示，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为．设S的眼睛到地面的距离为米．（1）求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕其中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影爱好者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？请说明理由．【解答】解：（1）如图，作SC垂直OB于C，则∠CSB=，∠ASB=．又SA=，故在Rt△SAB中，可求得BA=3，即摄影爱好者到立柱的水平距离为3米．由SC=3，∠CSO=，在Rt△SCO中，可求得OC=．因为BC=SA=，故OB=2，即立柱高为2米．（2）如图，连结SM，SN．设SN=a，SM=b．由（1）知SO=2，在△SOM和△SON中，cos∠SOM=﹣cos∠SON，即=﹣，可得a2+b2=26．在△MSN中，cos∠MSN==≥=＞，当且仅当a=b时，等号成立．又∠MSN∈（0，π），则0＜∠MSN ＜．故摄影爱好者S可以将彩杆全部摄入画面．18．（16分）已知：已知函数f（x）=﹣+2ax，（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率为﹣6，求实数a；（Ⅱ）若a=1，求f（x）的极值；（Ⅲ）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为f′（x）=﹣x2+x+2a，曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率k=f′（2）=2a﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）依题意：2a﹣2=﹣6，a=﹣2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）当a=1时，，f′（x）=﹣x2+x+2=﹣（x+1）（x﹣2）﹣﹣﹣﹣（5分）所以，f（x）的极大值为，f（x）的极小值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（Ⅲ）令f′（x）=0，得，，f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增，当0＜a＜2时，有x1＜1＜x2＜4，所以f（x）在[1，4]上的最大值为f（x2），f （4）＜f（1），所以f（x）在[1，4]上的最小值为，解得：a=1，x2=2．故f（x）在[1，4]上的最大值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）19．（16分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点H（2，）在椭圆上．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P，Q两点，求证：△PF2Q的周长是定值．【解答】（I）解：根据已知，椭圆的左右焦点为分别是F1（﹣1，0），F2（1，0），c=1，∵在椭圆上，∴，∴a=3，b2=a2﹣c2=8，椭圆的方程是；（II）证明：方法1：设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，∵0＜x1＜3，∴，在圆中，M是切点，∴，∴，同理|QF2|+|QM|=3，∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=3+3=6，因此△PF2Q的周长是定值6．方法2：设PQ的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0），由，得（8+9k2）x2+18kmx+9m2﹣72=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，∴===，∵PQ与圆x2+y2=8相切，∴，即，∴，∵，∵0＜x1＜3，∴，同理，∴，因此△PF2Q的周长是定值6．斜率不存在时也成立．故△PF2Q的周长是定值6．20．（16分）设数列{a n}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为S n，若a1a5=64，S5﹣S3=48．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对于正整数k，m，l（k＜m＜l），求证：“m=k+1且l=k+3”是“5a k，a m，a l 这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列{b n}满足：对任意的正整数n，都有a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2+…+a n b1=3•2n+1﹣4n﹣6，且集合中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比是q，∵数列{a n}是各项均为正数的等比数列，∴，解得a3=8，又∵S5﹣S3=48，∴，解得q=2，∴；…4分（2）（ⅰ）必要性：设5a k，a m，a l这三项经适当排序后能构成等差数列，①若2•5a k=a m+a l，则10•2k=2m+2l，∴10=2m﹣k+2l﹣k，∴5=2m﹣k﹣1+2l﹣k﹣1，∴，∴．…6分②若2a m=5a k+a l，则2•2m=5•2k+2l，∴2m+1﹣k﹣2l﹣k=5，左边为偶数，等式不成立，③若2a l=5a k+a m，同理也不成立，综合①②③，得m=k+1，l=k+3，所以必要性成立．…8分（ⅱ）充分性：设m=k+1，l=k+3，则5a k，a m，a l这三项为5a k，a k+1，a k+3，即5a k，2a k，8a k，调整顺序后易知2a k，5a k，8a k成等差数列，所以充分性也成立．综合（ⅰ）（ⅱ），原命题成立．…10分（3）因为，即，①∴当n≥2时，，②则②式两边同乘以2，得，③∴①﹣③，得2b n=4n﹣2，即b n=2n﹣1（n≥2），又当n=1时，，即b1=1，适合b n=2n﹣1（n≥2），∴b n=2n﹣1．…14分∴，∴，∴n=2时，，即；∴n≥3时，，此时单调递减，又，，，，∴．…16分II卷（本大题共4小题，每题10分，共计40分．请在答卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）21．已知矩阵A=，若A=，求矩阵A的特征值．【解答】解：因为，所以，解得a=2，d=1，所以矩阵A的特征多项式为：，令f（λ）=0解得矩阵A的特征值为λ=4或﹣1．22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（l为参数）与曲线（t为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．【解答】解：直线（l为参数）与曲线（t为参数）的普通方程分别为x﹣y=﹣，y2=8x，联立可得x2﹣5x+=0，∴|AB|==4．23．某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a，求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望．【解答】解：（1）设“至少演唱 1 首原创新曲”为事件A，则事件A 的对立事件为：“没有 1 首原创新曲被演唱”．所以P（A）=1﹣P（）=1﹣=．答：该乐队至少演唱 1 首原创新曲的概率为．（2）设随机变量x 表示被演唱的原创新曲的首数，则x 的所有可能值为0，1，2，3．依题意，X=ax+2a（4﹣x）=8a﹣ax，故X 的所有可能值依次为8a，7a，6a，5a．则P（X=8a）=P（x=0）==．P（X=7a）=P（x=1）==．P（X=6a）=P（x=2）==．P（X=5a）=P（x=3）==．．从而X 的概率分布为：所以X 的数学期望E（X）=8a×+7a×+6a×+5a×=a．24．已知函数f（x）=2x﹣3x2，设数列{a n}满足：a1=，a n+1=f（a n）（1）求证：对任意的n∈N*，都有0＜a n＜；（2）求证：++…+≥4n+1﹣4．=f（a n），函数f（x）=2x﹣3x2，【解答】证明：（1）∵a n+1∴a n=2a n﹣3=﹣3+≤．+1=，则a n=，可得a1=，与已知a1=矛盾，因此等号不成立．若a n+1∴a n＜．===3a n （3a n﹣2），，3a n﹣2＜0，由a n＜（n∈N*），可得a n+1与a n同号，a1=＞0，因此a n+1∴a n＞0，综上可得：对任意的n∈N*，都有0＜a n＜．=2a n﹣3，（2）∵0＜a n＜，a n+1∴a n﹣a n==a n（1﹣3a n）＞0，+1∴a n＞a n，+1∴数列{a n}单调递增．∴n＞1时，，∴＞4，∴==＞＞＞…＞=4n+1，∴++…+≥3（4+42+…+4n）=3×=4n+1﹣4．∴++…+≥4n+1﹣4．。

江苏省南通中学高三数学上学期期中试题

数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．已知全集{0,1,2,3}U =，集合{0,1},{1,2,3}A B ==则()U A B = ð ． 2．命题：“2,20x R x x m ∃∈++≤”的否定是．3．若复数z 1=a ﹣i ，z 2=1+i （i 为虚数单位），且z 1⋅z 2为纯虚数，则实数a 的值为． 4．已知角α终边经过点(2sin 2,2cos 2)P -，则sin α= ．5．“1a >”是“(1)2a x +>对(1,)x ∈+∞恒成立”的条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．6．已知{}n a 为等比数列，17562,8a a a a +==-，则110a a += ． 7．已知函数()2(1)ln f x f x x '=-，则()f x 的极大值为 .8．已知ABC ∆的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_________．9．已知向量,,a b c中任意两个都不共线,且a b + 与c 共线, b c + 与a 共线,则向量a b c ++= ．10．设函数()cos f x x ω=（0ω>），将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于．11．设f （x ）是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，且在区间(0,)+∞上单调递增，若1()02f =，三角形的内角A 满足f （cos A ）＜0，则A 的取值范围是．12．如图，在等腰三角形ABC 中，已知F E A AC AB ,,120,1︒===分别是边AC AB ,上的点，且,,AC n AF AB m AE ==其中),1,0(,∈n m 若BC EF ,的中点分别为,,N M 且,14=+n m 的最小值是．13．等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式22d x ＋12d a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋c ≥0的解集为[0，22]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是．14．已知数列{}n a 满足122n n a qa q +=+-（q 为常数），若3456,,,a a a a ∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，30}，则1a = ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）已知:p 实数x 满足22430x ax a -+<, 其中0a >；:q 实数x 满足23x <?.(1) 若1,a = 且p q ∧为真, 求实数x 的取值范围；(2) 若p 是q 的必要不充分条件, 求实数a 的取值范围. 16．（本题满分14分）如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝2AC ，D ，E ，F 分别为线段AC ，A 1A ，C 1B 的中点．（1）证明：EF ∥平面ABC ；（2）证明：C 1E ⊥平面BDE ． 17．（本题满分15分）已知向量(2sin ,cos ),,2cos )a x x b x x ==.（1）若,2x k k Z ππ≠+∈，且//a b，求222sin cos x x -的值；（2）定义函数1)(-⋅=b a x f，求函数)(x f 的单调递减区间；并求当[0,]2x π∈ 时，函数)(x f 的值域.18．（本题满分15分）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），旅游人数()f t （万人．．）与时间t （天）的函数关系近似满足1()4f t t=+，人均消费()g t （元．）与时间t （天）的函数关ABC DEC 1A 1B 1F （第16题）系近似满足()115|15|g t t =--.（Ⅰ）求该城市的旅游日收益()w t （万元．．）与时间(130,)t t t N ≤≤∈的函数关系式；（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元．．）.19．（本题满分16分）已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1）求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程；（2）求函数)(x f 单调递增区间；（3）若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），求实数a 的取值范围． 20．（本题满分16分）在数列{}n a 中，11a =，且对任意的*k N ∈,21221,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q ．（1）若k q =2(*k N ∈)，求13521...k a a a a -++++；（2）若对任意的*k N ∈，k a 2，12+k a ，22+k a 成等差数列，其公差为k d ，设11k k b q =-． ① 求证：{}k b 成等差数列，并指出其公差； ②若1d =2,试求数列{}k d 的前k 项的和k D ．数学Ⅱ（附加题）21（B ）（本题满分10分）已知矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001，N =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10021，试求曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的函数解析式．21（C ）（本题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，并与极坐标系取相同的单位长度，直线l 的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段长度.22．（本题满分10分）如图所示,在棱长为2的正方体1AC 中,点P Q 、分别在棱BC CD 、上,满足11B Q D P ⊥,且PQ =(1)试确定P 、Q 两点的位置.(2)求二面角1C PQ A --大小的余弦值.B 1123．（本题满分10分）已知函数2()(21)ln(21)(21)(0)f x x x a x x a =++-+->．（1）若函数()f x 在0x =处取极值，求a 的值；（2）如图，设直线1,2x y x =-=-将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），若函数()y f x =的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a 的取值范围；（3）比较23420133452014⨯⨯⨯⨯ 与34520142342013⨯⨯⨯⨯ 的大小，并说明理由．参考答案1．已知全集{0,1,2,3}U =，集合{0,1},{1,2,3}A B ==则()U A B = ð ．2．命题：“2,20x R x x m ∃∈++≤”的否定是．答案：2,20x R x x m ∀∈++>3．若复数z 1=a ﹣i ，z 2=1+i （i 为虚数单位），且z 1⋅z 2为纯虚数，则实数a 的值为．答案：﹣14．已知角α终边经过点(2sin 2,2cos 2)P -，则sin α= ．答案：cos 2-5．“1a >”是“(1)2a x +>对(1,)x ∈+∞恒成立”的条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．答案：充分不必要6．已知{}n a 为等比数列，17562,8a a a a +==-，则110a a += ．答案：7-7．已知函数()2(1)ln f x f x x '=-，则()f x 的极大值为 . 答案：1-8．已知ABC ∆的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_________．答案：3159．已知向量,,a b c中任意两个都不共线,且a b + 与c 共线, b c + 与a 共线,则向量a b c ++= ．答案：010．设函数()cos f x x ω=（0ω>），将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于．答案：611．设f （x ）是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，且在区间(0,)+∞上单调递增，若1()02f =，三角形的内角A 满足f （cos A ）＜0，则A 的取值范围是．答案：2(,)(,)323ππππ12．如图，在等腰三角形ABC 中，已知F E A AC AB ,,120,1︒===分别是边AC AB ,上的点，且,,n m ==其中),1,0(,∈n m 若BC EF ,的中点分别为,,N M 且,14=+n m的最小值是．13．等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式22d x ＋12d a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋c ≥0的解集为[0，22]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是．答案：1114．已知数列{}n a 满足122n n a qa q +=+-（q 为常数），若3456,,,a a a a ∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，30}，则1a = ．答案：﹣2或3-或12615．（本题满分14分）已知:p 实数x 满足22430x ax a -+<, 其中0a >；:q 实数x 满足23x <?. (1) 若1,a = 且p q ∧为真, 求实数x 的取值范围；(2) 若p 是q 的必要不充分条件, 求实数a 的取值范围.所以实数x 的取值范围是23x <<. ………………………7分 (2) p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p ,且p ⇒/q ，设A ={}()x p x , B={}()x q x , 则A ⊃≠B， ………………………10分又(2,3]B =，A =(,3)a a ；所以有2,33,a a ≤⎧⎨<⎩解得12;a <≤所以实数a 的取值范围是12a <≤. ………………………14分16．（本题满分14分）如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝2AC ，D ，E ，F 分别为线段AC ，A 1A ，C 1B 的中点．（1）证明：EF ∥平面ABC ；（2）证明：C 1E ⊥平面BDE ．证明（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG ．因为F 为C 1B 的中点，所以FG ＝∥12C 1C ．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝∥C 1C ，且E 为A 1A 的中点，所以FG ＝∥EA ．所以四边形AEFG 是平行四边形．所以EF ∥AG ． ………………………… 4分因为EF 平面ABC ，AG 平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ． ………………………… 6分（2）因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，BD 平面ABC ，所以A 1A ⊥BD ．因为D 为AC 的中点，BA ＝BC ，所以BD ⊥AC ．因为A 1A ∩AC ＝A ，A 1A 平面A 1ACC 1，AC 平面A 1ACC 1，所以BD ⊥平面A 1ACC 1．因为C 1E 平面A 1ACC 1，所以BD ⊥C 1E ． ………………………… 9分根据题意，可得EB ＝C 1E ＝62AB ，C 1B ＝3AB ，所以EB 2＋C 1E 2＝C 1B 2．从而∠C 1EB ＝90°，即C 1E ⊥EB ．……………………… 12分ABCDEC 1A 1B 1F （第16题）因为BD ∩EB ＝B ，BD 平面BDE ， EB 平面BDE ，所以C 1E ⊥平面BDE ． ………………………… 14分 17．（本题满分15分）已知向量(2sin ,cos ),,2cos )a x x b x x ==.（1）若,2x k k Z ππ≠+∈，且//a b，求222sin cos x x -的值；（2）定义函数1)(-⋅=b a x f，求函数)(x f 的单调递减区间；并求当[0,]2x π∈ 时，函数)(x f 的值域.解：（1）因为//a b ，所以24sin cos 0x x x =，…………………2分因为,2x k k Z ππ≠+∈，所以cos 0x ≠，即tan x =所以22222tan 122sin cos tan 17x x x x --==+．……………………………………5分（2）2()1cos 2cos 12cos 2f x a b x x x x x =⋅-=+-=+2sin(2)6x π=+，………………………………………………………………8分令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以函数)(x f 的单调递减区间是2[,],63k k k Z ππππ++∈．…………11分因为[0,]2x π∈，所以72[,]666x πππ+∈，1sin(2)[,1]62x π+∈-，所以当[0,]2x π∈ 时，函数)(x f 的值域[1,2]-． ……………………15分18．（本题满分15分）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），旅游人数()f t （万人．．）与时间t （天）的函数关系近似满足1()4f t t=+，人均消费()g t （元．）与时间t （天）的函数关系近似满足()115|15|g t t =--.（Ⅰ）求该城市的旅游日收益()w t （万元．．）与时间(130,)t t t N ≤≤∈的函数关系式；（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元．．）. 解：（Ⅰ）由题意得，1()()()(4)(115|15|)w t f t g t t t=⋅=+--(130,)t t N ≤≤∈……………………5分（Ⅱ）因为**1(4)(100),(115,)()1(4)(130),(1530,)t t t N tw t t t t N t ⎧++≤<∈⎪⎪=⎨⎪+-≤≤∈⎪⎩………………………………………7分①当115t ≤<时，125()(4)(100)4()401w t t t t t=++=++4401441≥⨯= 当且仅当25t t=，即5t =时等号………………………………………………………11分②当1530t ≤≤时，1130()(4)(130)519(4)w t t t t t=+-=+-，可证()w t 在[15,30]t ∈上单调递减，所以当30t =时，()w t 取最小值为14033…………………………14分由于14034413<，所以该城市旅游日收益的最小值为14033万元…………………15分19．（本题满分16分）已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1）求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程；（2）求函数)(x f 单调递增区间；（3）若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），求实数a 的取值范围.⑴因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+，所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+，(0)0f '=，…………………………………………2分又因为(0)1f =，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =． …………4分 ⑵由⑴，()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++．因为当0,1a a >≠时，总有()f x '在R 上是增函数， ………………………………8分又(0)0f '=，所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+，故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+．………………………………………………10分 ⑶因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立，而当[1,1]x ∈-时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤，所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可．……………………………………………12分又因为x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：所以()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()min 01f x f ==，()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值．因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++，令1()2ln (0)g a a a a a =-->，因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+，所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数．而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-．………………………………………14分所以，当1a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即l n e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥；当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即1ln e 1a a+-≥，函数1ln y a a =+在(0,1)a ∈上是减函数，解得10ea <≤．综上可知，所求a 的取值范围为1(0,][e,)e a ∈∞+ ．………………………………16分20．（本题满分16分）在数列{}n a 中，11a =，且对任意的*k N ∈,21221,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q . （1）若k q =2(*k N ∈),求13521...k a a a a -++++；（2）若对任意的*k N ∈，k a 2，12+k a ，22+k a 成等差数列，其公差为k d ，设11k k b q =-. ① 求证：{}k b 成等差数列，并指出其公差； ②若1d =2,试求数列{}k d 的前k 项的和k D ．解（1）因为2k q =，所以21214k k a a +-=，故13521,,,,k a a a a - 是首项11a =，公比为4的等比数列，所以13521141(41)143n nk a a a a --++++==-- ．………………………4分（2）因为k a 2，12+k a ，22+k a 成等差数列，所以212+k a = k a 2+ 22+k a ，而21222211,k k k k k k a a a a q q ++++==⋅，所以112k kq q ++=，所以111111kk k k k q b b q q ++===+--，即11k k b b +-=，所以{}k b 成等差数列，其公差为1．………………………………………9分（3）因为12d =，所以322a a =+，即221322a a a a ==+，所以22a =或21a =-．………………………………………………………10分（ⅰ）当22a =时，2112a q a ==，所以1111k b q ==-，所以1(1)1k b k k =+-⨯=，即11k k q =-，得1k k q k +=．所以2221211()k k k a k q a k+-+== ， 222221112()()()(1)11k k k a a k k k ++=⋅⋅⋅⋅=+- ， 212(1)k k ka a k k q +==+，所以2121k k k d a a k +=-=+，(21)(3)22k k k k k D +++==．………………………………………………………13分（ii ）当21a =-时，2111a q a ==-，所以11112k b q ==--，13(1)122k b k k =-+-⨯=-，即1312k k q =--，得1232k k q k -=-．所以22212112()32k kk k a q a k +--==- ，22222111311222()()()(21)1222k k k a a k k k +---=⋅⋅⋅⋅=---- ， 212(21)(23)k k ka a k k q +==--，所以21242k k k d a a k +=-=-，2(242)22k k k D k +-==．综合得(3)2k k k D +=，或22k D k =．……………………………………………16分21（B ）已知矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001，N =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10021，试求曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的函数解析式．解：MN = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10021=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡20021…………………………………………………4分即在矩阵MN 变换下11122x x x y y y ⎡⎤⎡⎡⎤⎤⎢⎥→=⎢⎢⎥⎥⎢⎥⎦⎦⎣⎣⎢⎦⎣…………………………………………6分即曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的函数解析式为x y 2sin 2=……………10分21（C ）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，并与极坐标系取相同的单位长度，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段长度.解：将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2240x y y +-=，即22(2)4x y +-=，它表示以(0,2)为圆心，2为半径的圆，…………………………4分直线方程的普通方程为1y =+， ………………………………6分圆C 的圆心到直线l 的距离21=d ，…………………………………………………8分故直线l 被曲线C 截得的线段长度为15)21(2222=-． …………………10分22．如图所示,在棱长为2的正方体1AC 中,点P Q 、分别在棱BC CD 、上,满足11B Q D P ⊥,且PQ =(1)试确定P 、Q 两点的位置.(2)求二面角1C PQ A --大小的余弦值.解(1)以1,,AB AD AA为正交基底建立空间直角坐标系A xyz -，设(0C P a a =≤≤，则CQ =(2,2,0),(2P a Q ∴-1(2,2)B Q =- ,1(2,,2)D P a =--,∵11B Q D P ⊥,∴110BQ D P ⋅= ，∴240a -+=，解得1a =…………………………………4分 ∴PC =1,CQ =1,即P Q 、分别为,BC CD 中点……………………………5分(2)设平面1C P Q 的法向量为(,,)n a b c =，∵1(1,1,0),(0,1,2)P Q P C =-= ,又10n PQ n PC ⋅=⋅=，∴020a b b c -+=⎧⎨+=⎩，令1c =-，则2a b ==,(2,2,1)n =-………………………………………………8分∵(0,0,2)k =- 为面APQ 的一个法向量,∴1cos ,3n k <>= ,而二面角为钝角,故余弦值为13-………………………………………………………………10分23．已知函数2()(21)ln(21)(21)(0)f x x x a x x a =++-+->．（1）若函数()f x 在0x =处取极值，求a 的值；（2）如图，设直线1,2x y x =-=-将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），若函数()y f x =的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a 的取值范围；DCB 11第22题（3）比较23420133452014⨯⨯⨯⨯ 与34520142342013⨯⨯⨯⨯ 的大小，并说明理由．解：2()(21)ln(21)(21)(0)f x x x a x x a =++-+->，()2ln(21)4(21)1f x x a x '=+-++．∵()f x 在0x =处取极值，∴(0)410f a '=-+=．∴14a =（经检验14a =符合题意）．……………3分（2）因为函数的定义域为1(,)2-+∞，且当0x =时，(0)0f a =-<．又直线y x =-恰好通过原点，所以函数()y f x =的图象应位于区域Ⅳ内，于是可得()f x x <-，即2(21)ln(21)(21)x x a x x x ++-+-<-．…………………………5分 ∵210x +>，∴ln(21)21x a x +>+．令ln(21)()21x h x x +=+，∴222ln(21)()(21)x h x x -+'=+．令()0h x '=，得e 12x -=． ∵12x >-，∴1e 1(,)22x -∈-时，()0m x '>，()m x 单调递增，e 1(,)2x -∈+∞时，()0m x '<，()m x 单调递减． ∴max e 11()()2eh x h -==． ∴a 的取值范围是1ea >． ……………………………………………7分（3）：由（2）知，函数ln(21)e 1()(,212x m x x x +-=∈+∞+在）时单调递减，。

江苏省南通市高三上学期期中数学试卷

江苏省南通市高三上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高二上·泉港期末) 命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，则使命题p 成立的充分不必要条件是（）A . 4＜m＜5B . 3＜m＜5C . 1＜m＜5D . 1＜m＜33. （2分） (2017高二下·金华期末) 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A . 64B . 128C . 2524. （2分） (2019高三上·大同月考) 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象的一个对称中心为（）A .B .C .D .5. （2分）(2016·安徽模拟) 二项式（﹣x）9的展开式中x3的系数是（）A . 84B . ﹣84C . 126D . ﹣1266. （2分）当实数x,y满足不等式时，恒有成立，则实数a的取值集合是（）A .B .C .D .7. （2分）双曲线的渐近线方程是（）B .C .D .8. （2分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A . -2B . 0C . 1D . 2二、填空题 (共7题；共7分)9. （1分） (2017高一上·靖江期中) 已知函数f（x）=ax3 ，a，b∈R，若f（﹣3）=﹣2，则f（3）=________．10. （1分）(2017·丰台模拟) 抛物线y2=2x的准线方程是________．11. （1分）已知f（x）=sinxsin（x+），，则f（x）的最小值为________12. （1分） (2016高二下·丹阳期中) 口袋中有n（n∈N*）个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X．若P（X=2）= ，则n的值为________．13. （1分） (2017高一下·西安期末) 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a+b=12，面积的最大值为________．14. （1分）(2017高一上·天津期中) 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）=，则关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的所有根之和为________．15. （1分） (2019高一上·周口期中) 函数的单调递增区间为________．三、解答题 (共5题；共45分)16. （10分） (2016高三下·习水期中) 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．17. （10分）(2016·上海模拟) 如图所示的多面体是由一个以四边形ABCD为地面的直四棱柱被平面A1B1C1D1所截面成，若AD=DC=2，AB=BC=2 ，∠DAB=∠BCD=90°，且AA1=CC1= ；（1）求二面角D1﹣A1B﹣A的大小；（2）求此多面体的体积．18. （5分）(2017·朝阳模拟) 已知数列{an}是首项，公比的等比数列．设（n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{bn}为等差数列；（Ⅱ）设cn=an+b2n ，求数列{cn}的前n项和Tn ．19. （10分） (2018高二下·重庆期中) 已知椭圆的焦距为，且长轴与短轴的比为 .（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆的上、下顶点分别为，点是椭圆上异于的任意一点，轴于点，，直线与直线交于点，点为线段的中点，点为坐标原点，求证：恒为定值，并求出该定值.20. （10分） (2017高二上·定州期末) 已知函数 . （1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个零点 ,证明 .参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共7题；共7分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共45分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、。

江苏省南通中学高三数学上学期期中试题

数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．已知全集{0,1,2,3}U =，集合{0,1},{1,2,3}A B ==则()U A B =ð ．2．命题：“2,20x R x x m ∃∈++≤”的否定是．3．若复数z 1=a ﹣i ，z 2=1+i （i 为虚数单位），且z 1⋅z 2为纯虚数，则实数a 的值为． 4．已知角α终边经过点(2sin 2,2cos 2)P -，则sin α= ．5．“1a >”是“(1)2a x +>对(1,)x ∈+∞恒成立”的条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．6．已知{}n a 为等比数列，17562,8a a a a +==-，则110a a += ． 7．已知函数()2(1)ln f x f x x '=-，则()f x 的极大值为 .8．已知ABC ∆的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_________．9．已知向量,,a b c 中任意两个都不共线,且a b +与c 共线, b c +与a 共线,则向量a b c ++= ．10．设函数()cos f x x ω=（0ω>），将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于．11．设f （x ）是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，且在区间(0,)+∞上单调递增，若1()02f =，三角形的内角A 满足f （cos A ）＜0，则A 的取值范围是．12．如图，在等腰三角形ABC 中，已知F E A AC AB ,,120,1︒===分别是边AC AB ,上的点，且,,AC n AF AB m AE ==其中),1,0(,∈n m 若BC EF ,的中点分别为,,N M 且,14=+n m 的最小值是．13．等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式22d x ＋12d a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋c ≥0的解集为[0，22]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是．14．已知数列{}n a 满足122n n a qa q +=+-（q 为常数），若3456,,,a a a a ∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，30}，则1a = ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）已知:p 实数x 满足22430x ax a -+<, 其中0a >；:q 实数x 满足23x <?.(1) 若1,a = 且p q ∧为真, 求实数x 的取值范围；(2) 若p 是q 的必要不充分条件, 求实数a 的取值范围. 16．（本题满分14分）如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝2AC ，D ，E ，F 分别为线段AC ，A 1A ，C 1B 的中点．（1）证明：EF ∥平面ABC ；（2）证明：C 1E ⊥平面BDE ． 17．（本题满分15分）已知向量(2sin ,cos ),(3cos ,2cos )a x x b x x ==. （1）若,2x k k Z ππ≠+∈，且//a b ，求222sin cos x x -的值；（2）定义函数1)(-⋅=b a x f，求函数)(x f 的单调递减区间；并求当[0,]2x π∈ 时，函数)(x f 的值域.18．（本题满分15分）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），旅游人数()f t （万人．．）与时间t （天）的函数关系近似满足1()4f t t=+，人均消费()g t （元．）与时间t （天）的函数关ABC DEC 1A 1B 1F （第16题）系近似满足()115|15|g t t =--.（Ⅰ）求该城市的旅游日收益()w t （万元．．）与时间(130,)t t t N ≤≤∈的函数关系式；（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元．．）.19．（本题满分16分）已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1）求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程；（2）求函数)(x f 单调递增区间；（3）若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），求实数a 的取值范围． 20．（本题满分16分）在数列{}n a 中，11a =，且对任意的*k N ∈,21221,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q ．（1）若k q =2(*k N ∈)，求13521...k a a a a -++++；（2）若对任意的*k N ∈，k a 2，12+k a ，22+k a 成等差数列，其公差为k d ，设11k k b q =-． ① 求证：{}k b 成等差数列，并指出其公差； ②若1d =2,试求数列{}k d 的前k 项的和k D ．数学Ⅱ（附加题）21（B ）（本题满分10分）已知矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001，N =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10021，试求曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的函数解析式．21（C ）（本题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，并与极坐标系取相同的单位长度，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段长度.22．（本题满分10分）如图所示,在棱长为2的正方体1AC 中,点P Q 、分别在棱BC CD 、上,满足11B Q D P ⊥,且PQ =(1)试确定P 、Q 两点的位置.(2)求二面角1C PQ A --大小的余弦值.DCB 11第22题23．（本题满分10分）已知函数2()(21)ln(21)(21)(0)f x x x a x x a =++-+->．（1）若函数()f x 在0x =处取极值，求a 的值；（2）如图，设直线1,2x y x =-=-将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），若函数()y f x =的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a 的取值范围；（3）比较23420133452014⨯⨯⨯⨯与34520142342013⨯⨯⨯⨯的大小，并说明理由．参考答案1．已知全集{0,1,2,3}U =，集合{0,1},{1,2,3}A B ==则()U A B =ð ．2．命题：“2,20x R x x m ∃∈++≤”的否定是．答案：2,20x R x x m ∀∈++>3．若复数z 1=a ﹣i ，z 2=1+i （i 为虚数单位），且z 1⋅z 2为纯虚数，则实数a 的值为．答案：﹣14．已知角α终边经过点(2sin 2,2cos 2)P -，则sin α= ．答案：cos 2-5．“1a >”是“(1)2a x +>对(1,)x ∈+∞恒成立”的条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．答案：充分不必要6．已知{}n a 为等比数列，17562,8a a a a +==-，则110a a += ．答案：7-7．已知函数()2(1)ln f x f x x '=-，则()f x 的极大值为 . 答案：1-8．已知ABC ∆的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_________．答案：3159．已知向量,,a b c 中任意两个都不共线,且a b +与c 共线, b c +与a 共线,则向量a b c ++= ．答案：010．设函数()cos f x x ω=（0ω>），将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于．答案：611．设f （x ）是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，且在区间(0,)+∞上单调递增，若1()02f =，三角形的内角A 满足f （cos A ）＜0，则A 的取值范围是．答案：2(,)(,)323ππππ12．如图，在等腰三角形ABC 中，已知F E A AC AB ,,120,1︒===分别是边AC AB ,上的点，且,,n m ==其中),1,0(,∈n m 若BC EF ,的中点分别为,,N M 且,14=+n m的最小值是．13．等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式22d x ＋12d a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋c ≥0的解集为[0，22]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是．答案：1114．已知数列{}n a 满足122n n a qa q +=+-（q 为常数），若3456,,,a a a a ∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，30}，则1a = ．答案：﹣2或3-或12615．（本题满分14分）已知:p 实数x 满足22430x ax a -+<, 其中0a >；:q 实数x 满足23x <?. (1) 若1,a = 且p q ∧为真, 求实数x 的取值范围；(2) 若p 是q 的必要不充分条件, 求实数a 的取值范围.所以实数x 的取值范围是23x <<. ………………………7分 (2) p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p ,且p ⇒/q ，设A ={}()x p x , B={}()x q x , 则A ⊃≠B， ………………………10分又(2,3]B =，A =(,3)a a ；所以有2,33,a a ≤⎧⎨<⎩解得12;a <≤所以实数a 的取值范围是12a <≤. ………………………14分16．（本题满分14分）如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝2AC ，D ，E ，F 分别为线段AC ，A 1A ，C 1B 的中点．（1）证明：EF ∥平面ABC ；（2）证明：C 1E ⊥平面BDE ．证明（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG ．因为F 为C 1B 的中点，所以FG ＝∥12C 1C ．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝∥C 1C ，且E 为A 1A 的中点，所以FG ＝∥EA ．所以四边形AEFG 是平行四边形．所以EF ∥AG ． ………………………… 4分因为EF 平面ABC ，AG 平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ． ………………………… 6分（2）因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，BD 平面ABC ，所以A 1A ⊥BD ．因为D 为AC 的中点，BA ＝BC ，所以BD ⊥AC ．因为A 1A ∩AC ＝A ，A 1A 平面A 1ACC 1，AC 平面A 1ACC 1，所以BD ⊥平面A 1ACC 1．因为C 1E 平面A 1ACC 1，所以BD ⊥C 1E ． ………………………… 9分根据题意，可得EB ＝C 1E ＝62AB ，C 1B ＝3AB ，所以EB 2＋C 1E 2＝C 1B 2．从而∠C 1EB ＝90°，即C 1E ⊥EB ．……………………… 12分ABCDEC 1A 1B 1F （第16题）因为BD ∩EB ＝B ，BD 平面BDE ， EB 平面BDE ，所以C 1E ⊥平面BDE ． ………………………… 14分 17．（本题满分15分）已知向量(2sin ,cos ),(3cos ,2cos )a x x b x x ==. （1）若,2x k k Z ππ≠+∈，且//a b ，求222sin cos x x -的值；（2）定义函数1)(-⋅=b a x f，求函数)(x f 的单调递减区间；并求当[0,]2x π∈ 时，函数)(x f 的值域.解：（1）因为//a b ，所以24sin cos 0x x x =，…………………2分因为,2x k k Z ππ≠+∈，所以cos 0x ≠，即tan x =所以22222tan 122sin cos tan 17x x x x --==+．……………………………………5分（2）2()123cos 2cos 12cos 2f x a b x x x x x =⋅-=+-=+2sin(2)6x π=+，………………………………………………………………8分令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以函数)(x f 的单调递减区间是2[,],63k k k Z ππππ++∈．…………11分因为[0,]2x π∈，所以72[,]666x πππ+∈，1sin(2)[,1]62x π+∈-，所以当[0,]2x π∈ 时，函数)(x f 的值域[1,2]-． ……………………15分18．（本题满分15分）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），旅游人数()f t （万人．．）与时间t （天）的函数关系近似满足1()4f t t=+，人均消费()g t （元．）与时间t （天）的函数关系近似满足()115|15|g t t =--.（Ⅰ）求该城市的旅游日收益()w t （万元．．）与时间(130,)t t t N ≤≤∈的函数关系式；（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元．．）. 解：（Ⅰ）由题意得，1()()()(4)(115|15|)w t f t g t t t=⋅=+--(130,)t t N ≤≤∈……………………5分（Ⅱ）因为**1(4)(100),(115,)()1(4)(130),(1530,)t t t N tw t t t t N t ⎧++≤<∈⎪⎪=⎨⎪+-≤≤∈⎪⎩………………………………………7分①当115t ≤<时，125()(4)(100)4()401w t t t t t=++=++4401441≥⨯= 当且仅当25t t=，即5t =时等号………………………………………………………11分②当1530t ≤≤时，1130()(4)(130)519(4)w t t t t t=+-=+-，可证()w t 在[15,30]t ∈上单调递减，所以当30t =时，()w t 取最小值为14033…………………………14分由于14034413<，所以该城市旅游日收益的最小值为14033万元…………………15分19．（本题满分16分）已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1）求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程；（2）求函数)(x f 单调递增区间；（3）若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），求实数a 的取值范围.⑴因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+，所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+，(0)0f '=，…………………………………………2分又因为(0)1f =，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =． …………4分 ⑵由⑴，()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++．因为当0,1a a >≠时，总有()f x '在R 上是增函数， ………………………………8分又(0)0f '=，所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+，故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+．………………………………………………10分 ⑶因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立，而当[1,1]x ∈-时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤，所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可．……………………………………………12分又因为x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：所以()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()min 01f x f ==，()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值．因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++，令1()2ln (0)g a a a a a =-->，因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+，所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数．而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-．………………………………………14分所以，当1a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即l n e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥；当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即1ln e 1a a+-≥，函数1ln y a a =+在(0,1)a ∈上是减函数，解得10ea <≤．综上可知，所求a 的取值范围为1(0,][e,)e a ∈∞+．………………………………16分20．（本题满分16分）在数列{}n a 中，11a =，且对任意的*k N ∈,21221,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q . （1）若k q =2(*k N ∈),求13521...k a a a a -++++；（2）若对任意的*k N ∈，k a 2，12+k a ，22+k a 成等差数列，其公差为k d ，设11k k b q =-. ① 求证：{}k b 成等差数列，并指出其公差； ②若1d =2,试求数列{}k d 的前k 项的和k D ．解（1）因为2k q =，所以21214k k a a +-=，故13521,,,,k a a a a -是首项11a =，公比为4的等比数列，所以13521141(41)143n nk a a a a --++++==--．………………………4分（2）因为k a 2，12+k a ，22+k a 成等差数列，所以212+k a = k a 2+ 22+k a ，而21222211,k k k k k k a a a a q q ++++==⋅，所以112k kq q ++=，所以111111kk k k k q b b q q ++===+--，即11k k b b +-=，所以{}k b 成等差数列，其公差为1．………………………………………9分（3）因为12d =，所以322a a =+，即221322a a a a ==+，所以22a =或21a =-．………………………………………………………10分（ⅰ）当22a =时，2112a q a ==，所以1111k b q ==-，所以1(1)1k b k k =+-⨯=，即11k k q =-，得1k k q k +=．所以2221211()k k k a k q a k+-+== ， 222221112()()()(1)11k k k a a k k k ++=⋅⋅⋅⋅=+-， 212(1)k k ka a k k q +==+，所以2121k k k d a a k +=-=+，(21)(3)22k k k k k D +++==．………………………………………………………13分（ii ）当21a =-时，2111a q a ==-，所以11112k b q ==--，13(1)122k b k k =-+-⨯=-，即1312k k q =--，得1232k k q k -=-．所以22212112()32k kk k a q a k +--==- ，22222111311222()()()(21)31222k k k a a k k k +---=⋅⋅⋅⋅=----，212(21)(23)k k ka a k k q +==--，所以21242k k k d a a k +=-=-，2(242)22k k k D k +-==．综合得(3)2k k k D +=，或22k D k =．……………………………………………16分21（B ）已知矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001，N =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10021，试求曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的函数解析式．解：MN = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10021=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡20021…………………………………………………4分即在矩阵MN 变换下11122x x x y y y ⎡⎤⎡⎡⎤⎤⎢⎥→=⎢⎢⎥⎥⎢⎥⎦⎦⎣⎣⎢⎦⎣…………………………………………6分即曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的函数解析式为x y 2sin 2=……………10分21（C ）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，并与极坐标系取相同的单位长度，直线l 的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段长度.解：将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2240x y y +-=，即22(2)4x y +-=，它表示以(0,2)为圆心，2为半径的圆，…………………………4分直线方程的普通方程为1y =+， ………………………………6分圆C 的圆心到直线l 的距离21=d ，…………………………………………………8分故直线l 被曲线C 截得的线段长度为15)21(2222=-． …………………10分22．如图所示,在棱长为2的正方体1AC 中,点P Q 、分别在棱BC CD 、上,满足11B Q D P ⊥,且PQ =(1)试确定P 、Q 两点的位置.(2)求二面角1C PQ A --大小的余弦值.解(1)以1,,AB AD AA 为正交基底建立空间直角坐标系A xyz -，设(0C P a a =≤≤，则CQ =(2,2,0),(22,2,0)P a Q a ∴---1(2,2)B Q=-,1(2,,2)D P a =--,∵11B Q D P ⊥, ∴110BQ D P ⋅=，∴240a -+=，解得1a =…………………………………4分 ∴PC =1,CQ =1,即P Q 、分别为,BC CD 中点……………………………5分 (2)设平面1C P Q 的法向量为(,,)n a b c =，∵1(1,1,0),(0,1,2)P Q P C =-=,又10n PQ n PC ⋅=⋅=， ∴020a b b c -+=⎧⎨+=⎩，令1c =-，则2a b ==,(2,2,1)n =-………………………………………………8分 ∵(0,0,2)k =-为面APQ 的一个法向量,∴1cos ,3n k <>=,而二面角为钝角, 故余弦值为13-………………………………………………………………10分23．已知函数2()(21)ln(21)(21)(0)f x x x a x x a =++-+->．（1）若函数()f x 在0x =处取极值，求a 的值；（2）如图，设直线1,2x y x =-=-将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），若函数()y f x =的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a 的取值范围；DCB 11第22题（3）比较23420133452014⨯⨯⨯⨯与34520142342013⨯⨯⨯⨯的大小，并说明理由．解：2()(21)ln(21)(21)(0)f x x x a x x a =++-+->，()2ln(21)4(21)1f x x a x '=+-++．∵()f x 在0x =处取极值，∴(0)410f a '=-+=．∴14a =（经检验14a =符合题意）．……………3分（2）因为函数的定义域为1(,)2-+∞，且当0x =时，(0)0f a =-<．又直线y x =-恰好通过原点，所以函数()y f x =的图象应位于区域Ⅳ内，于是可得()f x x <-，即2(21)ln(21)(21)x x a x x x ++-+-<-．…………………………5分 ∵210x +>，∴ln(21)21x a x +>+．令ln(21)()21x h x x +=+，∴222ln(21)()(21)x h x x -+'=+．令()0h x '=，得e 12x -=． ∵12x >-，∴1e 1(,)22x -∈-时，()0m x '>，()m x 单调递增，e 1(,)2x -∈+∞时，()0m x '<，()m x 单调递减． ∴max e 11()()2eh x h -==． ∴a 的取值范围是1ea >． ……………………………………………7分（3）：由（2）知，函数ln(21)e 1()(,212x m x x x +-=∈+∞+在）时单调递减，。

【精品】2017年江苏省南通中学高一上学期期中数学试卷

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∵ A={ x| 3≤x＜ 10} ， ∴ A∪ B={ x| x≥ 3} ；（ 2）∵ A∩B={ x| 4≤x＜10} ， ∴ ?R（A∩B）={ x| x＜ 4 或 x≥10} ．
17．（ 9 分）（1）判断并证明函数 f （x）=x+ 的奇偶性；（ 2）证明函数 f （x）=x+ 在 x∈[ 2，+∞）上是增函数，并求 f（x）在 [ 4，8] 上的值域．【解答】解：（1）函数 f（x）是奇函数．理由：函数的定义域为（﹣∞， 0）∪（ 0，+∞）， f（﹣ x）=﹣x﹣ =﹣f（ x），∴函数 f（x）是奇函数；（ 2）证明：∵ f（ x）=x+ ，
4．（3 分）已知指数函数 f（x）=（a﹣1）x 在 R 上单调递减，则实数 a 的取值范围是（ 1， 2）．【解答】解：因为指数函数 f（x）=（ a﹣ 1） x 在 R 上单调递减，所以有 0＜a﹣1
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＜ 1，解得 1＜a＜2．故答案为：（ 1， 2）．
5．（3 分）函数 f（ 2x） =4x2+3x，则 f（ x）的解析式是【解答】解：设 t=2x，则 x= ，所以 f（t ）=4×（）2 所以 f （x） =x2+ ；
（ 2）证明函数 f （x）=x+ 在 x∈[ 2，+∞）上是增函数，并求 f（x）在 [ 4，8]
上的值域． 18．（ 9 分）已知函数 f（ x）=ax（ax﹣ 3a+1），其中 a＞0 且 a≠ 1，又 f （1）=﹣6 （ 1）求实数 a 的值；（ 2）若 x∈[ ﹣1，3] ，求函数 f（ x）的值域．（ 3）求函数 f（ x）零点． 19．（ 12 分）已知销售 “笔记本电脑 ”和“台式电脑 ”所得的利润分别是 P（单位：万元）和 Q（单位：万元），它们与进货资金 t（单位：万元）的关系有经验公式 P= t 和 Q= ．某商场决定投入进货资金 50 万元，全部用来购入这两种电脑，

江苏省南通中学高三数学上学期期中试题(含解析)

江苏省南通中学2015届高三数学上学期期中试题（含解析）本试卷是高三试卷，以基础知识和基本技能为为主导，在注重考查运算能力和分析问题解决问题的能力，知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、复数、导数、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、立体几何等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份好试卷.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．【题文】1．已知全集{0,1,2,3}U =，集合{0,1},{1,2,3}A B ==则()UA B =I ð ．【知识点】集合及其运算A1 【答案】{2，3} 【解析】{2,3}A U C =则()U A B =I ð{2，3}【思路点拨】先求出补集再求结果。

【题文】2．命题：“2,20x R x x m ∃∈++≤”的否定是．【知识点】命题及其关系A2【答案】2,20x R x x m ∀∈++> 【解析】“2,20x R x x m ∃∈++≤”的否定是2,20x R x x m ∀∈++>。

【思路点拨】根据全称命题存在命题求出否定。

【题文】3．若复数z1=a ﹣i ，z2=1+i （i 为虚数单位），且z1⋅z2为纯虚数，则实数a 的值为．【知识点】复数的基本概念与运算L4 【答案】-1 【解析】12z z ⋅=(a-i).(1+i) =(a+1)+(a-1)i 因为是纯虚数所以 a+1 = 0 a = -1【思路点拨】先化简再纯虚数的定义求出a.【题文】4．已知角α终边经过点(2sin 2,2cos 2)P -，则sin α= ．【知识点】角的概念及任意角的三角函数C1 【答案】-cos2【解析】=2由任意三角函数的定义：sin α=yr =-cos2【思路点拨】根据任意三角函数的定义求得。

【题文】5．“1a >”是“(1)2a x +>对(1,)x ∈+∞恒成立”的条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．【知识点】充分条件、必要条件A2【答案】充分不必要【解析】1a >能推出(1)2a x +>在(1,)x ∈+∞成立，(1)2a x +>，(1,)x ∈+∞，a<1 也可能成立。

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