2019高考数学总复习优编增分练8+6分项练6数列理
(京津专用)2019高考数学总复习 优编增分练：8 6分项练6 数列 文
8＋6分项练6 数 列1．(2018·大连模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( )A ．27B ．31C ．63D ．75答案 C解析 由题意得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，所以3,12，S 6－15成等比数列，所以122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.2．(2018·莆田质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13>0，S 14<0，则S n 取最大值时n的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．13答案 B解析 根据S 13>0，S 14<0，可以确定a 1＋a 13＝2a 7>0，a 1＋a 14＝a 7＋a 8<0，所以可以得到a 7>0，a 8<0，所以S n 取最大值时n 的值为7.3．已知数列{a n }中a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝2－2·(－1)n ，n ∈N *，则S 2 017的值为( )A ．2 016×1 010－1B ．1 009×2 017C ．2 017×1 010－1D ．1 009×2 016 答案 C解析 由递推公式，可得当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝4，数列{a n }的奇数项是首项为1，公差为4的等差数列，当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝0，数列{a n }的偶数项是首项为2，公差为0的等差数列， S 2 017＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 016)＝1 009＋12×1 009×1 008×4＋1 008×2＝2 017×1 010－1.4．(2018·南充质检)已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 56等于( ) A ．－ 3 B ．0 C. 3 D.32 答案 A解析 因为a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)， 所以a 1＝0，a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，a 5＝－3，a 6＝3，…， 故此数列的周期为3.所以a 56＝a 18×3＋2＝a 2＝－ 3.5．(2018·咸阳模拟)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配)．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得( )A ．三分鹿之一B ．三分鹿之二C ．一鹿D ．一鹿、三分鹿之一答案 A解析 显然5人所得依次成等差数列，设公士所得为x ， 则5⎝ ⎛⎭⎪⎫53＋x 2＝5，解得x ＝13. 6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)，数列{b n }的通项公式为b n ＝3n －1，记它们的公共项由小到大排成的数列为{c n }，令x n ＝c n 1＋c n ，则1x 1…x n －1x n 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．(1，e)C.233,e 2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，e 答案 C 解析 由题意知，{a n }，{b n }的共同项为2,8,32,128，…，故c n ＝22n －1. 由x n ＝c n 1＋c n ，得1x n ＝1＋1c n， 1x 1…x n －1x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c n .令F n ＝1x 1…x n －1x n ，则当n ≥2时，F n F n －1＝1x n>1， 故数列{F n }是递增数列，∴1x 1…x n －1x n ≥32. ∵当x >0时，ln(1＋x )<x ，∴ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c n <1c n， 则ln ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 2…⎝⎛⎭⎪⎫1＋1c n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 2＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c n <1c 1＋1c 2＋…＋1c n＝12＋123＋…＋122n －1 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n 1－14<121－14＝23， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c n <23e ， 故32≤1x 1…x n －1x n <23e ，故选C. 7．(2018·宁德质检)记S n 为数列{a n }的前n 项和，满足a 1＝32，2a n ＋1＋3S n ＝3(n ∈N *)，若S n ＋2S n≤M 对任意的n ∈N *恒成立，则实数M 的最小值为( ) A ．2 2 B.176 C.4112D ．4 答案 C解析 由a 1＝32，2a n ＋1＋3S n ＝3(n ∈N *)， 得2a n ＋3S n －1＝3，n ≥2.两式相减，可得2a n ＋1－2a n ＋3a n ＝0，即a n ＋1a n ＝－12＝q .∵a 1＝32，∴2a 2＋3S 1＝3，即2a 2＋3a 1＝3， ∴a 2＝－34，∴a 2a 1＝－12， ∴a n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1. 则S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1＋12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n . ∴当n ＝1时，S n 取最大值32； 当n ＝2时，S n 取最小值34. 要使S n ＋2S n≤M 对任意的n ∈N *恒成立． 根据对勾函数的性质，当S n ＝34时， S n ＋2S n 取得最大值4112， ∴M ≥4112， ∴实数M 的最小值为4112. 8．(2018·湖南省岳阳市第一中学模拟)已知数列{a n }满足当2k －1－1<n ≤2k －1(k ∈N *，n ∈N *)时，a n ＝k2k ，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则满足S n >10的n 的最小值为( ) A ．59 B ．58 C ．57 D ．60答案 B解析 由题意可得，当k ＝1时，20－1<n ≤21－1，即n ＝1，则a n ＝12，所以S 1＝12； 当k ＝2时，21－1<n ≤22－1，即1<n ≤3，n ∈N *，则a n ＝12，所以S 3－S 1＝12＋12＝1； 当k ＝3时，22－1<n ≤23－1，即3<n ≤7，n ∈N *，则a n ＝38，所以S 7－S 3＝4×38＝32；当k ＝4时，23－1<n ≤24－1，即7<n ≤15，n ∈N *，则a n ＝14，所以S 15－S 7＝8×14＝2； 当k ＝5时，24－1<n ≤25－1，即15<n ≤31，n ∈N *，则a n ＝532，所以S 31－S 15＝16×532＝52； 当k ＝6时，25－1<n ≤26－1，即31<n ≤63，n ∈N *，则a n ＝332，所以S 63－S 31＝32×332＝3， 则S 31＝12＋1＋32＋2＋52＝7.5， 设从a 32到a 63中有m 项，则m 项的和为m ×332＝3m 32， 令3m 32>2.5，解得m >803，所以当S n >10时，n >57， 所以n 的最小值为58.9．(2018·烟台模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7＝5，S 9＝27，则a 20＝________. 答案 18解析 由等差数列的前n 项和公式可知 S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝27，解得a 5＝3， 又由d ＝a 7－a 57－5＝5－32＝1，所以由等差数列的通项公式可得a 20＝a 5＋15d ＝3＋15×1＝18.10．(2018·三明质检)若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －2，则S 8＝________. 答案 510解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，据此可得a 1＝2，当n ≥2时，S n ＝2a n －2，S n －1＝2a n －1－2，两式作差可得a n ＝2a n －2a n －1，则a n ＝2a n －1，据此可得数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，其前8项和为S 8＝2×()1－281－2＝29－2＝512－2＝510. 11．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋r ，则a 3－r ＝________，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 的最大项是第k 项，则k ＝________.答案 19 4解析 等比数列前n 项和公式具有的特征为S n ＝aq n －a ，据此可知，r ＝－1，则S n ＝3n －1，a 3＝S 3－S 2＝()33－1－()32－1＝18， a 3－r ＝19.令b n ＝n ()n ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ，且b n >0， 则b n ＋1b n ＝23·n 2＋6n ＋5n 2＋4n， 由b n ＋1b n ＝23·n 2＋6n ＋5n 2＋4n>1可得n 2<10， 由b n ＋1b n ＝23·n 2＋6n ＋5n 2＋4n<1可得n 2>10， 据此可得，数列中的项满足b 1<b 2<b 3<b 4，且b 4>b 5>b 6>b 7>b 8>…，则k ＝4.12．(2018·河南省南阳市第一中学模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝pn 2－2n ，n ∈N *，b n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 1＋2＋3＋…＋n，若数列{b n }是公差为2的等差数列，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝3n －72解析 由S n ＝pn 2－2n ，n ∈N *可知，当n ＝1时，a 1＝S 1＝p －2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2pn －p －2， a 1＝p －2符合上式，所以对任意的n ∈N *均有a n ＝2pn －p －2，则a n ＋1－a n ＝2p ，因而数列{a n }是公差为2p 的等差数列，a 2＝3p －2， b 1＝a 1＝p －2，b 2＝a 1＋2a 21＋2＝7p －63，则b 2－b 1＝7p －63－(p －2)＝2， 得2p ＝3，p ＝32，a 1＝－12， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－12＋(n －1)×3＝3n －72，n ∈N *.13．(2018·大连模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 2＝2，a 3n ＝2n －2a n ，a 3n ＋1＝a n ＋1，a 3n ＋2＝a n －n ，则S 30＝________.(用数字作答)答案 75解析 ∵a 3n ＝2n －2a n ，a 3n ＋1＝a n ＋1，a 3n ＋2＝a n －n ，a 1＝1，a 2＝2，∴a 3＝2－2a 1＝2－2＝0，a 4＝a 1＋1＝2，a 5＝a 1－1＝0，∴a 3＋a 4＋a 5＝2.∵a 3n ＝2n －2a n ，a 3n ＋1＝a n ＋1，a 3n ＋2＝a n －n ，∴把上面三个式子相加得a 3n ＋a 3n ＋1＋a 3n ＋2＝n ＋1，∴a 10＝a 3×3＋1＝a 3＋1＝0＋1＝1，∴a 30＝a 3×10＝2×10－2a 10＝18.∴S 30＝a 1＋a 2＋(a 3＋a 4＋a 5)＋(a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 27＋a 28＋a 29)＋a 30＝1＋2＋(2＋10)×92＋18＝75. 14．数列{a n }满足a 1＝43，a n ＋1＝a 2n －a n ＋1(n ∈N *)，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 017的整数部分是________． 答案 2解析 因为a 1＝43，a n ＋1＝a 2n －a n ＋1(n ∈N *)， 所以a n ＋1－a n ＝(a n －1)2>0，所以a n ＋1>a n ，数列{a n }单调递增，所以a n ＋1－1＝a n (a n －1)>0，所以1a n ＋1－1＝1a n (a n －1)＝1a n －1－1a n ， 所以1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1， 所以S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1－1a 2－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1－1a 3－1＋…＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1－1a n ＋1－1＝1a 1－1－1a n ＋1－1， 所以m ＝S 2 017＝3－1a 2 018－1， 因为a 1＝43，所以a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432－43＋1＝139，a 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1392－139＋1＝13381，a 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133812－13381＋1>2，…，所以a 2 018>a 2 017>a 2 016>…>a 4>2， 所以a 2 018－1>1，所以0<1a 2 018－1<1，所以2<3－1a 2 018－1<3，因此m 的整数部分是2.。
2019高考数学总复习优编增分练8+6标准练2文
＋标准练．复数＝＋，＋＝＋，则复数·等于( )．－－．－－．＋．＋答案解析根据题意可得，＝＋－－＝－－，所以·＝(＋)·(－－)＝－－.．集合＝{<}，＝{<}，若∪＝{<}，则的取值范围是( )．[] ．(] ．(－∞，] ．(－∞，)答案解析根据题意可得＝{<}＝{<<}，因为∪＝{<}，所以<≤.．将函数()＝的图象向右平移φ(φ>)个单位长度，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，所得图象关于直线＝对称，则φ的最小值为( )答案解析函数()＝的图象向右平移φ(φ>)个单位长度，得到＝，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到＝，所得图象关于直线＝对称，即＝±，则φ－＝π＋，φ＝＋，∈，由φ>，取＝－，得φ的最小值为，故选.．如图所示的程序框图，输出的最大值是( )．．．．答案解析当＝－时，＝；当＝－时，＝；当＝－时，＝－；当＝时，＝；当＝时，＝；当＝时，＝；当＝时，＝，＝，结束，所以的最大值为..如图所示，若斜线段是它在平面α上的射影的倍，则与平面α所成的角是( )．° ．°．° ．°答案解析∠即是斜线与平面α所成的角，在△中，＝，所以∠＝，即∠＝°.故选.．在平面直角坐标系中，已知直线的方程为－－＝，圆的方程为＋－－＋＋＝(>)，动点在圆上运动，且动点到直线的最大距离为，则圆的面积为( )．π或(－)π．π．(＋)π．π或(＋)π答案解析因为＋－－＋＋＝等价于(－)＋(－)－＝，所以(－)＋(－)＝，圆的圆心坐标为()，半径为.因为点为圆上的动点，。
【配套K12】[学习](京津专用)2019高考数学总复习 优编增分练：8+6标准练1 文
2019高考数学总复习 优编增分练：8+6标准练1 文](https://img.taocdn.com/s3/m/dccd1069b307e87100f6961c.png)
8＋6标准练11．设复数z ＝1－2i(i 是虚数单位)，则|z ＋z |的值为( ) A ．3 2 B ．2 C ．1 D ．2 2 答案 B解析 ∵z ＋z ＝2，∴|z ＋z |＝2. 2．“p ∧q 为假”是“p ∨q 为假”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由“p ∧q 为假”得出p ，q 中至少有一个为假．当p ，q 为一假一真时，p ∨q 为真，充分性不成立；当“p ∨q 为假”时，p ，q 同时为假，所以p ∧q 为假，必要性成立． 3．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n (n 为常数)盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯( ) A ．2盏 B ．3盏 C ．26盏 D ．27盏 答案 C解析 设顶层有灯a 1盏，底层有灯a 9盏，灯数构成等差数列，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝13a 1，9(a 9＋a 1)2＝126，解得a 9＝26.4．如图是一个程序框图，若输入n 的值是13，输出S 的值是46，则a 的取值范围是( )A ．9≤a <10B ．9<a ≤10C ．10<a ≤11D ．8<a ≤9答案 B解析 依次运行程序框图，结果如下：S ＝13，n ＝12；S ＝25，n ＝11；S ＝36，n ＝10；S ＝46，n ＝9，此时退出循环，所以a 的取值范围是9<a ≤10.5．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为( ) A ．2 B. 2 C ．2 2 D ．4 答案 B解析 因为双曲线C ：x 2a －y 2b＝1的两条渐近线互相垂直，所以渐近线方程为y ＝±x ，所以a ＝b . 因为顶点到一条渐近线的距离为1， 所以a12＋12＝1，即22a ＝1， 所以a ＝b ＝2，双曲线C 的方程为x 22－y 22＝1，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b ＝ 2.6．已知数据x 1，x 2，…，x 10,2的平均数为2，方差为1，则数据x 1，x 2，…，x 10相对于原数据( ) A ．一样稳定B ．变得比较稳定C ．变得比较不稳定D ．稳定性不可以判断答案 C解析 因为数据x 1，x 2，…，x 10,2的平均数为2， 所以数据x 1，x 2，…，x 10的平均数也为2， 因为数据x 1，x 2，…，x 10,2的方差为1，所以111⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤∑i ＝110(x i －2)2＋(2－2)2＝1， 所以∑i ＝110(x i －2)2＝11，所以数据x 1，x 2，…，x 10的方差为110∑i ＝110 (x i －2)2＝1.1.因为1.1>1，所以数据x 1，x 2，…，x 10相对于原数据变得比较不稳定．7．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2,1，12，则此三棱锥外接球的表面积为()A.174πB.214π C ．4π D ．5π 答案 B解析 由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的四个顶点，即为三棱锥A －CB 1D 1， 且长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的长、宽、高分别为2,1，12，所以此三棱锥的外接球即为长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球，半径R ＝22＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1222＝214，所以三棱锥外接球的表面积为S ＝4πR 2＝4π⎝⎛⎭⎪⎫2142＝214π. 8．已知点P 是曲线y ＝sin x ＋ln x 上任意一点，记直线OP (O 为坐标原点)的斜率为k ，则下列一定成立的为( ) A ．k <－1 B ．k <0 C ．k <1 D ．k ≥1答案 C解析 任意取x 为一正实数， 一方面y ＝sin x ＋ln x ≤ln x ＋1， 另一方面容易证ln x ＋1≤x 成立， 所以y ＝sin x ＋ln x ≤x .因为y ＝sin x ＋ln x ≤ln x ＋1与ln x ＋1≤x 中两个等号成立的条件不一样， 所以y ＝sin x ＋ln x <x 恒成立， 所以k <1，所以排除D ；当π2≤x <π时，y ＝sin x ＋ln x >0， 所以k >0，所以排除A ，B.9．已知集合A ＝{x ∈Z |x 2－3x －4≤0}，B ＝{x |0<ln x <2}，则A ∩B 的真子集的个数为________． 答案 7解析 A ＝{x ∈Z |x 2－3x －4≤0}＝{x ∈Z |－1≤x ≤4}＝{－1,0,1,2,3,4}，B ＝{x |0<ln x <2}＝{x |1<x <e 2}，所以A ∩B ＝{2,3,4}，所以A ∩B 的真子集有23－1＝7(个)．10．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，x －2y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则z ＝－x3＋y 的最大值为________．答案 43解析 如图阴影部分所示，作出的可行域为三角形(包括边界)，把z ＝－x 3＋y 改写为y ＝x3＋z ，当且仅当动直线y ＝x3＋z 过点(2,2)时，z 取得最大值43.11．已知a ＝(1,2m －1)，b ＝(2－m ，－2)，若向量a ∥b ，则实数m 的值为________． 答案 0或52解析 因为向量a ∥b ，所以(2m －1)(2－m )＝－2， 所以m ＝0或m ＝52.12．从正五边形的对角线中任意取出两条，则取出的两条对角线为同一个等腰三角形的两腰的概率为________． 答案 12解析 从5条对角线中任意取出2条，共有10个基本事件，其中取出的两条对角线为同一个等腰三角形的两腰的有5个，所以取出的两条对角线为同一个等腰三角形的两腰的概率为510＝12.13．设函数f (x )＝x a －x 2－12对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≤0成立，则实数a ＝________.答案 1 解析 一方面，由a －x 2≥0对任意x ∈[－1,1]恒成立，得a ≥1； 另一方面，由f (x )＝x a －x 2－12≤x 2＋a －x 22－12≤0，得a ≤1，所以a ＝1.14．若对任意的x ∈R ，都有f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，且f (0)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π3的值为________． 答案 2解析 因为f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，①所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，②①＋②得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－f (x )，所以f (x ＋π)＝f (x )，所以T ＝π， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫100π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3. 在f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6中，令x ＝π6，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，因为f (0)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫100π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2.。
(京津专用)2019高考数学总复习 优编增分练：8+6分项练9 统计与统计案例 理
8＋6分项练9 统计与统计案例1．(2018·新乡模拟)某中学有高中生3 000人，初中生2 000人，男、女生所占的比例如下图所示．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是( )A ．12B ．15C ．20D ．21 答案 A解析 因为分层抽样的抽取比例为213 000×0.7＝1100，所以从初中生中抽取的男生人数是2 000×0.6100＝12.2．(2018·赣州模拟)某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号：001,002，…，699,700.从中抽取70个样本，如图提供了随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是( )32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 A ．623 B ．328 C ．253 D ．007 答案 A解析 从第5行第6列开始向右读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个数是253，重复， 第四个数是007，第五个数是328，第六个数是623.3．(2018·宁德质检)下图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线，若去掉一个点使得余下的5个点所对应的数据的相关系数最大，则应当去掉的点是( )A ．DB ．EC ．FD ．A 答案 B解析 因为相关系数的绝对值越大，越接近1，则说明两个变量的相关性越强．因为点E 到直线的距离最远，所以去掉点E ，余下的5个点所对应的数据的相关系数最大．4．某班一次测试成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息可确定被抽测的人数及分数在[90,100]内的人数分别为( )A ．20,2B ．24,4C ．25,2D ．25,4 答案 C解析 由频率分布直方图可知，组距为10，[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图可知[50,60)的人数为2，设参加本次考试的总人数为N ，则N ＝20.08＝25，根据频率分布直方图可知[90,100]内的人数与[50,60)内的人数一样，都是2.5．下列说法错误的是( )A ．回归直线过样本点的中心(x ，y )B ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C ．在线性回归方程y ^＝0.2x ＋0.8中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y ^平均增加0.2个单位 D ．对分类变量X 与Y ，随机变量K 2的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小答案 D解析 根据相关定义分析知A ，B ，C 正确．D 中对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故D 不正确．6．某科研机构为了研究中年人秃头是否与患有心脏病有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如下表所示：根据表中数据得K 2＝775×()20×450－5×300225×750×320×455≈15.968，由K 2≥10.828，断定秃发与患有心脏病有关，那么这种判断出错的可能性为( )A.0.1 B ．0.05 C ．0.01 D ．0.001 答案 D解析 由题意可知，K 2≥10.828，根据附表可得判断秃发与患有心脏病有关出错的可能性为0.001.7．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下折线图．下面关于这两位同学的数学成绩的分析中，正确的个数为( )①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故而平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110,120]内；③乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过40分．A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高130分，平均成绩为低于130分，①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110,120]内，②正确；③乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中的最高分大于130分且最低分低于90分，最高分与最低分的差超过40分，故④正确．故选C.8．(2016·北京)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( ) A ．2号学生进入30秒跳绳决赛 B ．5号学生进入30秒跳绳决赛 C ．8号学生进入30秒跳绳决赛 D ．9号学生进入30秒跳绳决赛 答案 B解析 由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为1～8号，所以进入30秒跳绳决赛的6人需要从1～8号产生，数据排序后可知第3,6,7号必须进跳绳决赛，另外3人需从63，a,60,63，a －1五个得分中抽取，若63分的人未进决赛，则60分的人就会进入决赛，与事实矛盾，所以63分必进决赛．故选B.9．(2018·河北省衡水中学模拟)若x 1，x 2，…，x 2 018的平均数为3，方差为4，且y i ＝－2()x i －2，i ＝1,2，…，2 018，则新数据y 1，y 2，…，y 2 018的平均数和标准差分别为________． 答案 －2,4解析 ∵x 1，x 2，…，x 2 018的平均数为3，方差为4， ∴12 018(x 1＋x 2＋…＋x 2 018)＝3， 12 018[(x 1－3)2＋(x 2－3)2＋…＋(x 2 018－3)2]＝4. 又y i ＝－2(x i －2)＝－2x i ＋4，i ＝1,2，…，2 018， ∴y ＝12 018[－2(x 1＋x 2＋…＋x 2 018)＋4×2 018]＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 018(x 1＋x 2＋…＋x 2 018)＋4＝－2， s 2＝12 018[(－2x 1＋4＋2)2＋(－2x 2＋4＋2)2＋…＋(－2x 2 018＋4＋2)2] ＝12 018[4(x 1－3)2＋4(x 2－3)2＋…＋4(x 2 018－3)2] ＝4×12 018[(x 1－3)2＋(x 2－3)2＋…＋(x 2 018－3)2]＝16，∴新数据y 1，y 2，…，y 2 018的平均数和标准差分别为－2,4.10．某学校为了制定节能减排的目标，调查了日用电量y (单位：千瓦时)与当天平均气温x (单位：℃)，从中随机选取了4天的日用电量与当天平均气温，并制作了对照表：由表中数据得到的线性回归方程为y ^＝－2x ＋60，则a 的值为________． 答案 38解析 x ＝17＋15＋10－24＝10，y ＝24＋34＋a ＋644，∵y ^＝－2x ＋60必过点()x ，y ，∴24＋34＋a ＋644＝－2×10＋60，解得a ＝38.11．(2018·大连模拟)某班共有36人，编号分别为1,2,3，…，36.现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知编号3,12,30在样本中，那么样本中还有一个编号是________． 答案 21解析 由于系统抽样得到的编号组成等差数列， 因为364＝9，所以公差为9，因为编号为3,12,30，所以第三个编号为12＋9＝21.12．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在[]50，60元的学生人数为________．答案 150解析 由频率分布直方图，得每天在校平均开销在[50,60]元的学生的频率为 1－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.3，∴每天在校平均开销在[50,60]元的学生人数为500×0.3＝150.13．如图是某市某小区100户居民2015年月平均用水量(单位：t)的频率分布直方图的一部分，则该小区2015年的月平均用水量的中位数的估计值为________．答案 2.01解析 由题图可知，前五组的频率依次为0.04,0.08,0.15,0.22,0.25，因此前五组的频数依次为4,8,15,22,25，由中位数的定义，应是第50个数与第51个数的算术平均数，而前四组的频数和为4＋8＋15＋22＝49，所以中位数是第五组中第1个数与第2个数的算术平均数，中位数是12[2＋2＋124×(2.5－2)]≈2.01，故中位数的估计值是2.01.14．(2018·芜湖模拟)某校开展“爱我家乡”演讲比赛，9位评委给小明同学打分的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字在茎叶图中无法看清，若记分员计算无误，则数字x ＝________.答案 1解析 由题意知，去掉一个最低分88， 若最高分为94时，去掉最高分94， 余下的7个分数的平均分是91，即17×(89＋89＋92＋93＋90＋x ＋92＋91)＝91， 解得x ＝1；若最高分为(90＋x )分，去掉最高分90＋x ， 则余下的7个分数的平均分是17×(89＋89＋92＋93＋92＋91＋94)≠91，不满足题意．。
2019高考数学(京、津)专用(文)优编增分练：8+6分项练1+Word版含解析
2019高考数学（京、津）专用（文）优编增分练8＋6分项练1 集合与常用逻辑用语1．(2018·烟台适应性考试)已知全集U ＝Z ，A ＝{0,1,2,3}，B ＝{x |x 2＝3x }，则A ∩(∁U B )等于( )A ．{1,3}B ．{1,2}C ．{0,3}D ．{3}答案 B解析 由题意得B ＝{x |x 2＝3x }＝{0,3}，∴A ∩(∁U B )＝{1,2}．2．(2018·南昌模拟)已知a ，b 为实数，则“ab >b 2”是“a >b >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由a >b >0，得ab >b 2成立，反之：如a ＝－2，b ＝－1，满足ab >b 2，则a >b >0不成立，所以“ab >b 2”是“a >b >0”的必要不充分条件，故选B.3．(2018·湖南省岳阳市第一中学模拟)已知集合A ＝{} |y y ＝x 2－1，B ＝{x |y ＝ln(x －2x 2)}，则∁R (A ∩B )等于( )A.⎣⎡⎭⎫0，12 B ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 C解析 A ＝[0，＋∞)，B ＝⎝⎛⎭⎫0，12，故A ∩B ＝⎝⎛⎭⎫0，12， 所以∁R (A ∩B )＝(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 4．下列命题中，假命题是( )A ．∀x ∈R ，e x >0B ．∃x 0∈R,02x>x 20 C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b＝－1 D ．a >1，b >1是ab >1的充分不必要条件答案 C解析 对于A ，根据指数函数y ＝e x 的性质可知，e x >0总成立，故A 正确；对于B ，取x 0＝1，则21>12，故B 正确；对于C ，若a ＝b ＝0，则a b无意义，故C 错误，为假命题； 对于D ，根据不等式的性质可得当a >1，b >1时，必有ab >1，但反之不成立，故D 正确．5．(2018·漳州质检)满足{2 018}⊆A {2 018,2 019，2 020}的集合A 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 由题意，得A ＝{2 018}或A ＝{2 018,2 019}或A ＝{2 018，2 020}．故选C.6．(2018·山西省榆社中学模拟)设集合A ＝{x |x 2－6x －7<0}，B ＝{x |x ≥a }，现有下面四个命题： p 1：∃a ∈R ，A ∩B ＝∅；p 2：若a ＝0，则A ∪B ＝(－7，＋∞)；p 3：若∁R B ＝(－∞，2)，则a ∈A ；p 4：若a ≤－1，则A ⊆B .其中所有的真命题为( )A ．p 1，p 4B ．p 1，p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 2，p 4答案 B解析 由题意可得A ＝()－1，7，则当a ≥7时，A ∩B ＝∅，所以命题p 1正确；当a ＝0时，B ＝[0，＋∞)，则A ∪B ＝(－1，＋∞)，所以命题p 2错误；若∁R B ＝()－∞，2，则a ＝2∈A ，所以命题p 3正确；当a ≤－1时，A ⊆B 成立，所以命题p 4正确．7．(2018·衡水金卷调研卷)已知a >0，命题p ：函数f (x )＝lg ()ax 2＋2x ＋3的值域为R ，命题q ：函数g (x )＝x ＋a x在区间(1，＋∞)内单调递增．若(綈p )∧q 是真命题，则实数a 的取值范围是( )。
2019高考数学总复习优编增分练：8+6标准练2文
8＋6标准练21．复数z 1＝3＋2i ，z 1＋z 2＝1＋i ，则复数z 1·z 2等于( ) A ．－4－7i B ．－2－i C ．1＋i D ．14＋5i答案 A解析 根据题意可得，z 2＝1＋i －3－2i ＝－2－i ， 所以z 1·z 2＝(3＋2i)·(－2－i)＝－4－7i.2．集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |log 3x <1}，若A ∪B ＝{x |x <3}，则a 的取值范围是( ) A ．[0,3] B ．(0,3] C ．(－∞，3] D ．(－∞，3) 答案 B解析 根据题意可得B ＝{x |log 3x <1}＝{x |0<x <3}，因为A ∪B ＝{x |x <3}，所以0<a ≤3. 3．将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小值为( )A.π8B.π4C.3π8D.π2 答案 C解析 函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π4，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －2φ＋π4，所得图象关于直线x ＝π4对称，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－2φ＝±1，则2φ－5π4＝k π＋π2，φ＝k π2＋7π8，k ∈Z ，由φ>0，取k ＝－1，得φ的最小值为3π8，故选C. 4．如图所示的程序框图，输出y 的最大值是( )A ．3B ．0C ．15D ．8 答案 C解析 当x ＝－3时，y ＝3；当x ＝－2时，y ＝0； 当x ＝－1时，y ＝－1；当x ＝0时，y ＝0； 当x ＝1时，y ＝3；当x ＝2时，y ＝8； 当x ＝3时，y ＝15，x ＝4，结束， 所以y 的最大值为15.5.如图所示，若斜线段AB 是它在平面α上的射影BO 的2倍，则AB 与平面α所成的角是( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．120°答案 A解析 ∠ABO 即是斜线AB 与平面α所成的角，在Rt△AOB 中，AB ＝2BO ，所以cos∠ABO ＝12，即∠ABO ＝60°.故选A.6．在平面直角坐标系中，已知直线l 的方程为x －2y －5＝0，圆C 的方程为x 2＋y 2－4ax －2y ＋3a 2＋1＝0(a >0)，动点P 在圆C 上运动，且动点P 到直线l 的最大距离为2，则圆C 的面积为( )A ．π或(201－885)πB ．πC ．(201＋885)πD ．π或(201＋885)π答案 B解析 因为x 2＋y 2－4ax －2y ＋3a 2＋1＝0 等价于(x －2a )2＋(y －1)2－a 2＝0，所以(x －2a )2＋(y －1)2＝a 2，圆C 的圆心坐标为(2a ,1)，半径为a . 因为点P 为圆C 上的动点，所以点P 到直线l 的最大距离为a ＋|2a －2－5|(－2)2＋12＝2， 当a ≥2＋52时，解得a ＝11－45，由于11－45<2＋52，故舍去，当0<a <2＋52时，解得a ＝1，符合题意，所以a ＝1，S 圆＝πa 2＝π.7．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且在R 上是单调函数，函数g (x )＝f (x －5)．数列{a n }为等差数列，且公差不为0，若g (a 1)＋g (a 9)＝0，则a 1＋a 2＋…＋a 9等于( ) A ．45 B ．15 C ．10 D ．0 答案 A解析 由y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数， 且在R 上是单调函数，可知g (x )＝f (x －5)关于(5,0)对称， 且在R 上是单调函数， 又g (a 1)＋g (a 9)＝0， 所以a 1＋a 9＝10，即a 5＝5，根据等差数列的性质得，a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 5＝45.8．若x ＝2是函数f (x )＝(x 2－2ax )e x的极值点，则函数f (x )的最小值为( )A ．(2＋22)eB ．0C ．(2－22)D ．－e答案 C解析 f (x )＝(x 2－2ax )e x， ∴f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x＝[x 2＋2(1－a )x －2a ]e x， 由已知得，f ′(2)＝0，∴2＋22－2a －22a ＝0，解得a ＝1. ∴f (x )＝(x 2－2x )e x， ∴f ′(x )＝(x 2－2)e x，∴令f ′(x )＝(x 2－2)e x＝0，得x ＝－2或x ＝2， 当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在(－2，2)上是减函数，当x ∈()－∞，－2或x ∈()2，＋∞时，f ′(x )>0， ∴函数f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数． 又当x ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，x 2－2x >0，f (x )>0， 当x ∈(0,2)时，x 2－2x <0，f (x )<0， ∴f (x )min 在x ∈(0,2)上，又当x ∈()0，2时，函数f (x )单调递减， 当x ∈()2，2时，函数f (x )单调递增，∴f (x )min ＝f ()2＝()2－229．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点到渐近线的距离等于其实轴长，则双曲线C 的离心率为________． 答案5解析 由题意可知b ＝2a ，即b 2＝4a 2， 所以c 2－a 2＝4a 2，解得e ＝ 5.10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．答案 2＋π解析 根据三视图可得该几何体由一个长方体和半个圆柱组合而成， 则V ＝1×1×2＋12×π×12×2＝2＋π.11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x ≥0，则z ＝－2x －y 的最小值为________．答案 －4解析 根据约束条件画出可行域，如图阴影部分所示(含边界)，直线z ＝－2x －y 过点A (1,2)时，z 取得最小值－4.12．在Rt△ABC 中，∠BAC ＝π2，H 是边AB 上的动点，AB ＝8，BC ＝10，则HB →·HC →的最小值为________． 答案 －16解析 以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)， 则A (0,0)，B (8,0)，C (0,6)， 设点H (x ,0)，则x ∈[0,8]， ∴HB →·HC →＝(8－x ,0)·(－x ,6) ＝－x (8－x )＝x 2－8x ，∴当x ＝4时，HB →·HC →的最小值为－16.13．已知α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，满足sin(α＋β)－sin α＝2sin αcos β，则sin 2αsin (β－α)的最大值为________．答案2解析 因为sin(α＋β)－sin α＝2sin αcos β，所以sin αcos β＋cos αsin β－sin α＝2sin αcos β， 所以cos αsin β－sin αcos β＝sin α， 即sin(β－α)＝sin α， 则sin 2αsin (β－α)＝sin 2αsin α＝2sin αcos αsin α＝2cos α.。
2019高考数学总复习优编增分练8+6标准练3文
＋标准练
．已知全集＝{}，若＝{}，＝{}，则(∁)∩(∁)等于( )
．{} ．{}
．{} ．{}
答案
解析根据题意得∁＝{}，∁＝{}，
故(∁)∩(∁)＝{}．
．如果数据，，…，的平均数为，方差为，则＋＋，…，＋的平均数和方差分别为( ) ，．＋
．＋×，×
答案
解析根据平均数的概念，其平均数为＋，方差为×，故选.
．已知＝，＝，＝，则( )
．>>．>>
．>>．>>
答案
解析∵＝>＝，＝<＝<＝<＝，∴>>.
.如图，已知正方形的面积为，向正方形内随机地撒颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为颗，以此试验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为( )
．．
．．
答案
解析由古典概型概率公式及对立事件概率公式可得，落在阴影部分的概率为－，因为正方形的面积为，所以由几何概型概率公式可得阴影部分的面积约为×＝.
．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为( )
．
答案
解析该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，
体积＝××＝.
．已知函数()＝＋(＋)－－＋，则关于的不等式(－)＋()>的解集为( )
．(－∞，) ．(，＋∞) ．() ．()
答案
解析由题意知，
()＝－－＋(＋)，
(－)＝－－＋(－)
＝－＋－＋，。
2019高考数学总复习优编增分练8+6分项练14导数理
＋分项练导数．(·四平模拟)定积分ʃ的值为( )．π．π答案解析∵＝，∴(－)＋＝表示以()为圆心，以为半径的圆，∴定积分ʃ等于该圆的面积的四分之一，∴定积分ʃ＝.．(·昆明模拟)已知函数()＝(－)－(∈)在区间(，＋∞)上单调递增，则的最大值是( ) ．－．．－．答案解析因为函数()＝(－)－(∈)，所以′()＝(－)＋(－)－＝(－)－(>)．因为函数()＝(－)－(∈)在区间(，＋∞)上单调递增，所以′()＝(－)－≥在区间(，＋∞)上恒成立，即≤(－)在区间(，＋∞)上恒成立，亦即≤(－)在区间(，＋∞)上恒成立，令()＝(－)，>，则′()＝(－)＋(－)＝(－＋－)＝(－)(＋＋)，>，因为∈(，＋∞)，所以＋＋>.因为>，令′()>，可得>，令′()<，可得<<.所以函数()在区间(，＋∞)上单调递增，在区间()上单调递减．所以()＝()＝(－)＝－.所以≤－.所以的最大值是－.．(·潍坊模拟)已知函数()＝(\\((＋(，>，,()＋，≤，))若<，且()＝()，则－的取值范围为( )．[－ ) ．[－ ]．[－) ．[－]答案解析作出函数()的图象，如图所示，若<，且()＝()，则当(＋)＝时，得＋＝，即＝－，则满足<≤－，－<≤，则(＋)＝＋，即＝(＋)－，则－＝＋－(＋)，设()＝＋－(＋)，<≤－，则′()＝－＝，<≤－，由′()>，解得<≤－，由′()<，解得<<，当＝时，函数()取得最小值()＝＋－(＋)＝－，当＝时，()＝－＝；。
2019高考数学总复习优编增分练8+6分项练12圆锥曲线理
＋分项练圆锥曲线．(·大连模拟)设椭圆：＋＝的左焦点为，直线：＝(≠)与椭圆交于，两点，则△周长的取值范围是( )答案解析根据椭圆对称性得△的周长为＋′＋＝＋＝＋(′为右焦点)，由＝，＋＝，得＝，∴＝·＝＝∈()(≠)，即△周长的取值范围是＝.．(·烟台模拟)已知双曲线－＝(>)两焦点之间的距离为，则双曲线的渐近线方程是( ) ．＝±．＝±．＝±．＝±答案解析由双曲线－＝(>)的两焦点之间的距离为，可得＝，所以＝，又由＝＋，即＋＝，解得＝，所以双曲线的渐近线方程为＝±＝±.．(·重庆模拟)已知抛物线＝的焦点为，以为圆心的圆与抛物线交于，两点，与抛物线的准线交于，两点，若四边形为矩形，则矩形的面积是( )．．．．答案解析根据题意，四边形为矩形，可得＝，从而得到圆心到准线的距离与到的距离是相等的，所以点的横坐标为，代入抛物线方程，设为轴上方的交点，从而求得()，(，－)，所以＝，＝，从而求得四边形的面积为＝×＝.．(·重庆模拟)已知双曲线：－＝(>，>)的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线相交于，两点，其中为坐标原点，若与圆相切，则双曲线的离心率为( )答案解析根据题意，有＝，＝，因为与圆相切，所以∠＝，所以由勾股定理可得＝，所以∠＝＝，所以∠＝－，且＝，由余弦定理可求得＝＝，所以＝＝＝.．已知点在抛物线＝上，点在圆＋(－)＝上，则的最小值为( )－－．－－答案解析设抛物线上点的坐标为(，)．圆心与抛物线上的点的距离的平方。
(京津专用)2019高考数学总复习优编增分练：8+6标准练4文
8＋6标准练41．在复平面内，复数z 1和z 2对应的点分别是A (2,1)和B (0，1)，则z 1z 2等于( ) A ．－1－2i B ．－1＋2i C ．1－2i D ．1＋2i答案 C解析 由复数z 1和z 2对应的点分别是A (2,1)和B (0,1)，得z 1＝2＋i ，z 2＝i ，故z 1z 2＝2＋i i＝1－2i. 2．已知集合M ＝{x |x <1}，N ＝{x |2x>1}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |0<x <1} B ．{x |x <0} C ．{x |x <1} D ．∅答案 A解析 N ＝{x |2x>1}＝{x |x >0}， ∵M ＝{x |x <1}，∴M ∩N ＝{x |0<x <1}．3．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为V ＝112×(底面圆的周长的平方×高)，则由此可推得圆周率π的取值为( )A ．3B ．3.1C ．3.14D ．3.2 答案 A解析 设圆柱体的底面半径为r ，高为h ， 由圆柱的体积公式得V ＝πr 2h . 由题意知V ＝112×(2πr )2×h .所以πr 2h ＝112×(2πr )2×h ，解得π＝3.4．已知向量a ＝(3，－4)，|b |＝2，若a ·b ＝－5，则向量a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.2π3答案 D解析 由题意可知，cos θ＝a ·b |a ||b |＝－510＝－12， 所以向量a 与b 的夹角为2π3.5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋y (a >0)的最大值为18，则a 的值为( )A ．3B ．5C ．7D ．9 答案 A解析 根据不等式组得到可行域是一个封闭的四边形区域(图略)，目标函数化为y ＝－ax ＋z ，当直线过点(4,6)时，有最大值，将点代入得到z ＝4a ＋6＝18，解得a ＝3.6．已知某简单几何体的三视图如图所示，若正(主)视图的面积为1，则该几何体最长的棱的长度为( )A. 5B. 3 C ．2 2 D. 6 答案 C解析 如图该几何体为三棱锥A －BCD ，BC ＝2，CD ＝2，因为正(主)视图的面积为1，故正(主)视图的高为1， 由此可计算BD ＝22为最长棱长．7．已知函数f (x )＝e x＋x 2＋(3a ＋2)x 在区间(－1,0)上有最小值，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1eB.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－e 3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3e ，－1D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13e 答案 D解析 由f (x )＝e x ＋x 2＋(3a ＋2)x ， 可得f ′(x )＝e x＋2x ＋3a ＋2，∵函数f (x )＝e x ＋x 2＋(3a ＋2)x 在区间(－1,0)上有最小值， ∴函数f (x )＝e x ＋x 2＋(3a ＋2)x 在区间(－1,0)上有极小值， 而f ′(x )＝e x＋2x ＋3a ＋2在区间(－1,0)上单调递增， ∴e x＋2x ＋3a ＋2＝0在区间(－1,0)上必有唯一解．由零点存在性定理可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝e －1－2＋3a ＋2<0，f ′(0)＝1＋3a ＋2>0，解得－1<a <－13e，∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13e . 8.如图，已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 2作以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆的切线，P 为切点，若切线段PF 2被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为( )A ．2 B. 2 C. 3 D.52答案 A解析 ∵O 是F 1F 2的中点， 设渐近线与PF 2的交点为M ， ∴OM ∥F 1P ， ∵∠F 1PF 2为直角， ∴∠OMF 2为直角．∵F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，一条渐近线方程为y ＝b ax ，则F 2到渐近线的距离为bcb 2＋a2＝b ， ∴|PF 2|＝2b . 在Rt△PF 1F 2中，由勾股定理得4c 2＝c 2＋4b 2,3c 2＝4(c 2－a 2)， 即c 2＝4a 2，解得c ＝2a ， 则双曲线的离心率e ＝c a＝2.9．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13，则cos 2α＝________. 答案 35解析 已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13＝tan α－11＋tan α， 解得tan α＝12，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α，将正切值代入得cos 2α＝35. 10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，则S 2 0172 017＝________.答案 1 009解析 S 2 017＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2 016＋a 2 017) ＝(2×0＋1)＋(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2 016＋1) ＝(1＋2×2 016＋1)×1 0092＝2 017×1 009，∴S 2 0172 017＝1 009. 11．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为________．答案 48解析 第1次运行，i ＝1，S ＝2，S ＝1×2＝2，i ＝2>4不成立；第2次运行，i ＝2，S ＝2，S ＝2×2＝4，i ＝3>4不成立； 第3次运行，i ＝3，S ＝4，S ＝3×4＝12，i ＝4>4不成立； 第4次运行，i ＝4，S ＝12，S ＝4×12＝48，i ＝5>4成立， 故输出S 的值为48.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象与x 轴的交点A ，B ，C 满足OA ＋OC ＝2OB ，则φ＝________.答案3π4解析 不妨设ωx B ＋φ＝0，ωx A ＋φ＝π，ωx C ＋φ＝2π， 得x B ＝－φω，x A ＝π－φω，x C ＝2π－φω.由OA ＋OC ＝2OB ，得3π－2φω＝2φω，解得φ＝3π4.13．函数y ＝x 2＋x ＋1x 与y ＝3sin πx2＋1的图象有n 个交点，其坐标依次为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则∑ni ＝1(x i ＋y i )＝________.答案 4解析 因为函数y ＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x ＋1，y ＝3sin πx2＋1的对称中心均为(0,1)．画出y ＝f (x )＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x ＋1，y ＝g (x )＝3sinπx2＋1的图象，由图可知共有四个交点，且关于(0,1)对称，x 1＋x 4＝x 2＋x 3＝0，y 1＋y 4＝y 2＋y 3＝2，故∑4i ＝1(x i ＋y i )＝4. 14．已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且满足f (3－x )＝f (x )，f (－1)＝3，数列{a n }满足a 1＝1且a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则f (a 36)＋f (a 37)＝________. 答案 －3解析 因为函数f (x )是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )， 又因为f (3－x )＝f (x )， 所以f (3－x )＝－f (－x )， 所以f (3＋x )＝－f (x )， 即f (x ＋6)＝f (x )，所以f (x )是以6为周期的周期函数． 由a n ＝n (a n ＋1－a n )，即(n ＋1)a n ＝na n ＋1， 可得a n ≠0，a n ＋1a n ＝n ＋1n， 则a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 2a 1·a 1 ＝nn －1×n －1n －2×n －2n －3×…×21×1＝n ， 即a n ＝n ，n ∈N *， 所以a 36＝36，a 37＝37. 又因为f (－1)＝3，f (0)＝0， 所以f (a 36)＋f (a 37)＝f (0)＋f (1) ＝f (1)＝－f (－1)＝－3.。
(京津专用)2019高考数学总复习优编增分练：8+6标准练4文
8＋6标准练41．在复平面内，复数z 1和z 2对应的点分别是A (2,1)和B (0，1)，则z 1z 2等于( ) A ．－1－2i B ．－1＋2i C ．1－2i D ．1＋2i答案 C解析 由复数z 1和z 2对应的点分别是A (2,1)和B (0,1)，得z 1＝2＋i ，z 2＝i ，故z 1z 2＝2＋i i＝1－2i. 2．已知集合M ＝{x |x <1}，N ＝{x |2x>1}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |0<x <1} B ．{x |x <0} C ．{x |x <1} D ．∅答案 A解析 N ＝{x |2x>1}＝{x |x >0}， ∵M ＝{x |x <1}，∴M ∩N ＝{x |0<x <1}．3．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为V ＝112×(底面圆的周长的平方×高)，则由此可推得圆周率π的取值为( )A ．3B ．3.1C ．3.14D ．3.2 答案 A解析 设圆柱体的底面半径为r ，高为h ， 由圆柱的体积公式得V ＝πr 2h . 由题意知V ＝112×(2πr )2×h .所以πr 2h ＝112×(2πr )2×h ，解得π＝3.4．已知向量a ＝(3，－4)，|b |＝2，若a ·b ＝－5，则向量a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.2π3答案 D解析 由题意可知，cos θ＝a ·b |a ||b |＝－510＝－12， 所以向量a 与b 的夹角为2π3.5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋y (a >0)的最大值为18，则a 的值为( )A ．3B ．5C ．7D ．9 答案 A解析 根据不等式组得到可行域是一个封闭的四边形区域(图略)，目标函数化为y ＝－ax ＋z ，当直线过点(4,6)时，有最大值，将点代入得到z ＝4a ＋6＝18，解得a ＝3.6．已知某简单几何体的三视图如图所示，若正(主)视图的面积为1，则该几何体最长的棱的长度为( )A. 5B. 3 C ．2 2 D. 6 答案 C解析 如图该几何体为三棱锥A －BCD ，BC ＝2，CD ＝2，因为正(主)视图的面积为1，故正(主)视图的高为1， 由此可计算BD ＝22为最长棱长．7．已知函数f (x )＝e x＋x 2＋(3a ＋2)x 在区间(－1,0)上有最小值，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1eB.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－e 3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3e ，－1D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13e 答案 D解析 由f (x )＝e x ＋x 2＋(3a ＋2)x ， 可得f ′(x )＝e x＋2x ＋3a ＋2，∵函数f (x )＝e x ＋x 2＋(3a ＋2)x 在区间(－1,0)上有最小值， ∴函数f (x )＝e x ＋x 2＋(3a ＋2)x 在区间(－1,0)上有极小值， 而f ′(x )＝e x＋2x ＋3a ＋2在区间(－1,0)上单调递增， ∴e x＋2x ＋3a ＋2＝0在区间(－1,0)上必有唯一解．由零点存在性定理可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝e －1－2＋3a ＋2<0，f ′(0)＝1＋3a ＋2>0，解得－1<a <－13e，∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13e . 8.如图，已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 2作以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆的切线，P 为切点，若切线段PF 2被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为( )A ．2 B. 2 C. 3 D.52答案 A解析 ∵O 是F 1F 2的中点， 设渐近线与PF 2的交点为M ， ∴OM ∥F 1P ， ∵∠F 1PF 2为直角， ∴∠OMF 2为直角．∵F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，一条渐近线方程为y ＝b ax ，则F 2到渐近线的距离为bcb 2＋a2＝b ， ∴|PF 2|＝2b . 在Rt△PF 1F 2中，由勾股定理得4c 2＝c 2＋4b 2,3c 2＝4(c 2－a 2)， 即c 2＝4a 2，解得c ＝2a ， 则双曲线的离心率e ＝c a＝2.9．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13，则cos 2α＝________. 答案 35解析 已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13＝tan α－11＋tan α， 解得tan α＝12，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α，将正切值代入得cos 2α＝35. 10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，则S 2 0172 017＝________.答案 1 009解析 S 2 017＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2 016＋a 2 017) ＝(2×0＋1)＋(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2 016＋1) ＝(1＋2×2 016＋1)×1 0092＝2 017×1 009，∴S 2 0172 017＝1 009. 11．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为________．答案 48解析 第1次运行，i ＝1，S ＝2，S ＝1×2＝2，i ＝2>4不成立；第2次运行，i ＝2，S ＝2，S ＝2×2＝4，i ＝3>4不成立； 第3次运行，i ＝3，S ＝4，S ＝3×4＝12，i ＝4>4不成立； 第4次运行，i ＝4，S ＝12，S ＝4×12＝48，i ＝5>4成立， 故输出S 的值为48.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象与x 轴的交点A ，B ，C 满足OA ＋OC ＝2OB ，则φ＝________.答案3π4解析 不妨设ωx B ＋φ＝0，ωx A ＋φ＝π，ωx C ＋φ＝2π， 得x B ＝－φω，x A ＝π－φω，x C ＝2π－φω.由OA ＋OC ＝2OB ，得3π－2φω＝2φω，解得φ＝3π4.13．函数y ＝x 2＋x ＋1x 与y ＝3sin πx2＋1的图象有n 个交点，其坐标依次为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则∑ni ＝1(x i ＋y i )＝________.答案 4解析 因为函数y ＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x ＋1，y ＝3sin πx2＋1的对称中心均为(0,1)．画出y ＝f (x )＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x ＋1，y ＝g (x )＝3sinπx2＋1的图象，由图可知共有四个交点，且关于(0,1)对称，x 1＋x 4＝x 2＋x 3＝0，y 1＋y 4＝y 2＋y 3＝2，故∑4i ＝1(x i ＋y i )＝4. 14．已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且满足f (3－x )＝f (x )，f (－1)＝3，数列{a n }满足a 1＝1且a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则f (a 36)＋f (a 37)＝________. 答案 －3解析 因为函数f (x )是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )， 又因为f (3－x )＝f (x )， 所以f (3－x )＝－f (－x )， 所以f (3＋x )＝－f (x )， 即f (x ＋6)＝f (x )，所以f (x )是以6为周期的周期函数． 由a n ＝n (a n ＋1－a n )，即(n ＋1)a n ＝na n ＋1， 可得a n ≠0，a n ＋1a n ＝n ＋1n， 则a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 2a 1·a 1 ＝nn －1×n －1n －2×n －2n －3×…×21×1＝n ， 即a n ＝n ，n ∈N *， 所以a 36＝36，a 37＝37. 又因为f (－1)＝3，f (0)＝0， 所以f (a 36)＋f (a 37)＝f (0)＋f (1) ＝f (1)＝－f (－1)＝－3.。
(京津专用)2019高考数学总复习优编增分练：8+6标准练4文
8＋6标准练41．在复平面内，复数z 1和z 2对应的点分别是A (2,1)和B (0，1)，则等于( )z 1z2A ．－1－2i B ．－1＋2i C ．1－2i D ．1＋2i答案 C解析 由复数z 1和z 2对应的点分别是A (2,1)和B (0,1)，得z 1＝2＋i ，z 2＝i ，故＝＝1－2i.z 1z 22＋i i2．已知集合M ＝{x |x <1}，N ＝{x |2x >1}，则M ∩N 等于( )A ．{x |0<x <1} B ．{x |x <0}C ．{x |x <1} D ．∅答案 A解析 N ＝{x |2x >1}＝{x |x >0}，∵M ＝{x |x <1}，∴M ∩N ＝{x |0<x <1}．3．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为V ＝×(底面圆的周长的平方×高)，则由此可推得圆周率π的取值为( )112A ．3B ．3.1C ．3.14D ．3.2答案 A解析 设圆柱体的底面半径为r ，高为h ，由圆柱的体积公式得V ＝πr 2h .由题意知V ＝×(2πr )2×h .112所以πr 2h ＝×(2πr )2×h ，112解得π＝3.4．已知向量a ＝(3，－4)，|b |＝2，若a ·b ＝－5，则向量a 与b 的夹角为( )A.B. C. D.π6π4π32π3答案 D解析 由题意可知，cos θ＝＝＝－，a ·b |a ||b |－51012所以向量a 与b 的夹角为.2π35．设x ，y 满足约束条件Error!若目标函数z ＝ax ＋y (a >0)的最大值为18，则a 的值为( )A ．3 B ．5 C ．7 D ．9答案 A解析 根据不等式组得到可行域是一个封闭的四边形区域(图略)，目标函数化为y ＝－ax ＋z ，当直线过点(4,6)时，有最大值，将点代入得到z ＝4a ＋6＝18，解得a ＝3.6．已知某简单几何体的三视图如图所示，若正(主)视图的面积为1，则该几何体最长的棱的长度为( )A. B. C ．2 D.5326答案 C解析 如图该几何体为三棱锥A －BCD ，BC ＝2，CD ＝2，因为正(主)视图的面积为1，故正(主)视图的高为1，由此可计算BD ＝2为最长棱长．27．已知函数f (x )＝e x ＋x 2＋(3a ＋2)x 在区间(－1,0)上有最小值，则实数a 的取值范围是( )A.B.(－1，－1e )(－1，－e 3)C.D.(－3e，－1)(－1，－13e )答案 D解析 由f (x )＝e x ＋x 2＋(3a ＋2)x ，可得f ′(x )＝e x ＋2x ＋3a ＋2，∵函数f (x )＝e x ＋x 2＋(3a ＋2)x 在区间(－1,0)上有最小值，∴函数f (x )＝e x ＋x 2＋(3a ＋2)x 在区间(－1,0)上有极小值，而f ′(x )＝e x ＋2x ＋3a ＋2在区间(－1,0)上单调递增，∴e x ＋2x ＋3a ＋2＝0在区间(－1,0)上必有唯一解．由零点存在性定理可得Error!解得－1<a <－，13e∴实数a 的取值范围是.(－1，－13e )8.如图，已知F 1，F 2是双曲线－＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 2作以F 1为圆心，|OF 1|x 2a 2y 2b2为半径的圆的切线，P 为切点，若切线段PF 2被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为( )A ．2 B. C. D.2352答案 A解析 ∵O 是F 1F 2的中点，设渐近线与PF 2的交点为M ，∴OM ∥F 1P ，∵∠F 1PF 2为直角，∴∠OMF 2为直角．∵F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，一条渐近线方程为y ＝x ，b a则F 2到渐近线的距离为＝b ，bcb 2＋a 2∴|PF 2|＝2b .在Rt△PF 1F 2中，由勾股定理得4c 2＝c 2＋4b 2,3c 2＝4(c 2－a 2)，即c 2＝4a 2，解得c ＝2a ，则双曲线的离心率e ＝＝2.c a9．若tan ＝－，则cos 2α＝________.(α－π4)13答案 35解析 已知tan ＝－＝，(α－π4)13tan α－11＋tan α解得tan α＝，12cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝＝，将正切值代入得cos 2α＝.cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α1－tan 2α1＋tan 2α3510．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，则＝________.S 2 0172 017答案 1 009解析 S 2 017＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2 016＋a 2 017)＝(2×0＋1)＋(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2 016＋1)＝＝2 017×1 009，(1＋2×2 016＋1)×1 0092∴＝1 009.S 2 0172 01711．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为________．答案 48解析 第1次运行，i ＝1，S ＝2，S ＝1×2＝2，i ＝2>4不成立；第2次运行，i ＝2，S ＝2，S ＝2×2＝4，i ＝3>4不成立；第3次运行，i ＝3，S ＝4，S ＝3×4＝12，i ＝4>4不成立；第4次运行，i ＝4，S ＝12，S ＝4×12＝48，i ＝5>4成立，故输出S 的值为48.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象与x 轴的交点A ，B ，C 满足OA ＋OC ＝2OB ，则φ＝________.答案 3π4解析 不妨设ωx B ＋φ＝0，ωx A ＋φ＝π，ωx C ＋φ＝2π，得x B ＝－，x A ＝，x C ＝.φωπ－φω2π－φω由OA ＋OC ＝2OB ，得＝，3π－2φω2φω解得φ＝.3π413．函数y ＝与y ＝3sin ＋1的图象有n 个交点，其坐标依次为(x 1，y 1)，(x 2，x 2＋x ＋1x πx2y 2)，…，(x n ，y n )，则 (x i ＋y i )＝________.∑ni ＝1答案 4解析 因为函数y ＝＝x ＋＋1，y ＝3sin ＋1的对称中心均为(0,1)．x 2＋x ＋1x 1x πx 2画出y ＝f (x )＝＝x ＋＋1，x 2＋x ＋1x 1x y ＝g (x )＝3sin ＋1的图象，πx2由图可知共有四个交点，且关于(0,1)对称，x 1＋x 4＝x 2＋x 3＝0，y 1＋y 4＝y 2＋y 3＝2，故 (x i ＋y i )＝4.∑4i ＝114．已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且满足f (3－x )＝f (x )，f (－1)＝3，数列{a n }满足a 1＝1且a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则f (a 36)＋f (a 37)＝________.答案 －3解析 因为函数f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，又因为f (3－x )＝f (x )，所以f (3－x )＝－f (－x )，所以f (3＋x )＝－f (x )，即f (x ＋6)＝f (x )，所以f (x )是以6为周期的周期函数．由a n ＝n (a n ＋1－a n )，即(n ＋1)a n ＝na n ＋1，可得a n ≠0，＝，a n ＋1a n n ＋1n 则a n ＝···…··a 1a n a n －1a n －1a n －2a n －2a n －3a 2a 1＝×××…××1＝n ，n n －1n －1n －2n －2n －321即a n ＝n ，n ∈N *，所以a 36＝36，a 37＝37.又因为f (－1)＝3，f (0)＝0，所以f (a 36)＋f (a 37)＝f (0)＋f (1)＝f (1)＝－f (－1)＝－3.。
(京津专用)2019高考数学总复习 优编增分练：8+6分项练10 立体几何 理
8＋6分项练10 立体几何1．已知a，b为异面直线，下列结论不正确的是( )A．必存在平面α，使得a∥α，b∥αB．必存在平面α，使得a，b与α所成角相等C．必存在平面α，使得a⊂α，b⊥αD．必存在平面α，使得a，b与α的距离相等答案 C解析由a，b为异面直线知，在A中，在空间中任取一点O(不在a，b上)，过点O分别作a，b的平行线，则由过点O的a，b的平行线确定一个平面α，使得a∥α，b∥α，故A正确；在B中，平移b至b′与a相交，因而确定一个平面α，在α上作a，b′夹角的平分线，明显可以作出两条．过角平分线且与平面α垂直的平面使得a，b′与该平面所成角相等，角平分线有两条，所以有两个平面都可以．故B正确；在C中，当a，b不垂直时，不存在平面α，使得a⊂α，b⊥α，故C错误；在D中，过异面直线a，b的公垂线的中点作与公垂线垂直的平面α，则平面α使得a，b与α的距离相等，故D正确．故选C. 2．(2018·河南省南阳市第一中学模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确命题的个数为( )①若m⊥α，α⊥β，则m∥β；②若m⊥α，α∥β，n⊂β，则m⊥n；③若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β；④若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α.A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析对于①，若m⊥α，α⊥β，则m∥β或m⊂β，所以不正确；对于②，若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又由n⊂β，所以m⊥n正确；对于③，若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β或α与β相交，所以不正确；对于④，若n⊥α，n⊥β，则α∥β，又由m⊥β，所以m⊥α是正确的，综上可知，正确命题的个数为2.3．(2018·福建省厦门外国语学校模拟)如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正(主)视图是( )答案 A解析取DD1的中点F，连接AF，C1F，平面AFC1E为截面．如图所示，所以上半部分的正(主)视图，如A选项所示，故选A.4．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.83 B ．8 C.203 D ．6 答案 A解析 如图所示，在棱长为2的正方体中，题图中的三视图对应的几何体为四棱锥P －ADC 1B 1， 其中P 为棱A 1D 1的中点， 则该几何体的体积11P ADC B V －＝211P DB C V －＝211D PB C V －＝2×13×11PB C S×DD 1＝83. 5．(2018·泸州模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．136πB ．144πC ．36πD ．34π 答案 D解析 由三视图可知几何体为四棱锥E －ABCD ，直观图如图所示．其中，BE ⊥平面ABCD ，BE ＝4，AB ⊥AD ，AB ＝2，C 到AB 的距离为2，C 到AD 的距离为22，以A 为原点，分别以AD ，AB 所在直线及平面ABCD 过A 的垂线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (0，2，0)，C (2,22，0)，D (4,0,0)，E (0，2，4)． 设外接球的球心为M (x ，y ，z )， 则MA ＝MB ＝MC ＝MD ＝ME ， ∴x 2＋y 2＋z 2＝x 2＋(y －2)2＋z 2＝(x －2)2＋(y －22)2＋z 2＝(x －4)2＋y 2＋z 2＝x 2＋(y －2)2＋(z －4)2， 解得x ＝2，y ＝22，z ＝2. ∴外接球的半径r ＝MA ＝4＋12＋4＝172， ∴外接球的表面积S ＝4πr 2＝34π.6.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知∠BCA ＝90°，∠BAC ＝60°，AC ＝4，E 为AA 1的中点，点F 为BE 的中点，点H 在线段CA 1上，且A 1H ＝3HC ，则线段FH 的长为( )A ．2 3B ．4 C.13 D ．3答案 C解析 由题意知，AB ＝8，过点F 作FD ∥AB 交AA 1于点D ，连接DH ，则D 为AE 中点，FD ＝12AB＝4，又A 1H HC ＝A 1DDA＝3，所以DH ∥AC ，∠FDH ＝60°， DH ＝34AC ＝3，由余弦定理得FH ＝42＋32－2×4×3×cos 60°＝13，故选C.7．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ 3163V ，人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是( ) A ．d ≈ 36031VB ．d ≈32V C ．d ≈ 3158VD ．d ≈ 32111V答案 D解析 根据球的体积公式V ＝43πR 3＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫d 23，得d ＝36V π，设选项中的常数为a b ，则π＝6ba ，选项A 代入得π＝31×660＝3.1，选项B 代入得π＝62＝3，选项C 代入得π＝6×815＝3.2，选项D 代入得π＝11×621＝3.142 857，D 选项更接近π的真实值，故选D.8．(2018·上饶模拟)在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内有两个球O 1，O 2相外切，球O 1与面ABB 1A 1、面ABCD 、面ADD 1A 1相切，球O 2与面BCC 1B 1、面CC 1D 1D 、面B 1C 1D 1A 1相切，则两球表面积之和的最大值与最小值的差为( ) A ．(2－3)π B.(2－3)π2 C ．(3－3)π D.(3－3)π2答案 A解析 设球O 1，O 2的半径分别为r 1，r 2， 由题意得3r 1＋r 1＋3r 2＋r 2＝3， 所以r 1＋r 2＝3－32，令a ＝3－32.表面积和为S ，所以S ＝4πr 21＋4πr 22，所以S4π＝r 21＋r 22＝r 21＋(a －r 1)2＝2⎝⎛⎭⎪⎫r 1－a 22＋a 22，又r 1最大时，球O 1与正方体六个面相切， 且()r 1max ＝12，()r 1min ＝3－32－12＝2－32，所以r 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－32，12. 又2－32<a 2<12， 所以当r 1＝a2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫S 4πmin ＝a 22，当r 1＝12或2－32时，⎝ ⎛⎭⎪⎫S 4πmax ＝a 2－a ＋12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫S 4πmax －⎝ ⎛⎭⎪⎫S 4πmin ＝a 22－a ＋12＝(a －1)22＝2－34.所以两球表面积之和的最大值与最小值的差为(2－3)π.9．(2018·烟台模拟)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧，则几何体的表面积为________．答案 3π＋42－2解析 由三视图还原出原几何体是一个半圆柱挖去一个三棱柱，尺寸见三视图，S ＝π×1×2＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π×12－12×2×1＋2×2×2 ＝3π－2＋4 2.10．(2018·漳州模拟)在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，A 1B 1＝3，B 1C 1＝4，A 1C 1＝5，AA 1＝2，则其外接球与内切球的表面积的比值为________．答案294解析 如图1，分别取AC ，A 1C 1的中点G ，H ，连接GH ， 取GH 的中点O ，连接OA ， 由题意，得A 1B 21＋B 1C 21＝A 1C 21， 即△A 1B 1C 1为直角三角形，则点O 为外接球的球心，OA 为半径， 则R ＝OA ＝1＋254＝292；如图2，作三棱柱的中截面，则中截面三角形的内心是该三棱柱的内切球的球心，中截面三角形的内切圆的半径r ＝3＋4－52＝1，也是内切球的半径，因为R ∶r ＝29∶2，则其外接球与内切球的表面积的比值为4πR 24πr 2＝294.11.如图所示，AB 是⊙O 的直径，PA ⊥⊙O 所在的平面，C 是圆上一点，且∠ABC ＝30°，PA ＝AB ，则直线PC 与平面ABC 所成角的正切值为________．答案 2解析 因为PA ⊥平面ABC ，所以AC 为斜线PC 在平面ABC 上的射影，所以∠PCA 即为PC 与平面ABC 所成的角．在Rt△PAC 中，AC ＝12AB ＝12PA ，所以tan∠PCA ＝PAAC＝2.12．(2018·大同、阳泉联考)若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，给出下列结论：①四面体ABCD每组对棱相互垂直；②四面体ABCD每个面的面积相等；③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分．其中正确结论的序号是________．答案②④解析①将四面体ABCD的三组对棱分别看作平行六面体的面对角线，由于三组对棱分别相等，所以平行六面体为长方体．由于长方体的各面不一定为正方形，所以同一面上的面对角线不一定垂直，从而每组对棱不一定相互垂直，①错误；②四面体ABCD的每个面是全等的三角形，面积是相等的，②正确；③由②可知，四面体ABCD的每个面是全等的三角形，从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角能够等量代换为同一个三角形内的三个内角，它们之和为180°，③错误；④四面体ABCD棱的中点即为长方体侧面的中心，所以对棱中点连线都过长方体的中心且相互垂直平分，④正确．13．(2018·南昌模拟)已知正三棱台ABC－A1B1C1的上、下底边长分别为33，43，高为7，若该正三棱台的六个顶点均在球O的球面上，且球心O在正三棱台ABC－A1B1C1内，则球O的表面积为________．答案100π解析因为正三棱台ABC－A1B1C1的上、下底边长分别为33，43，取正三棱台的上、下底面的中心分别为E，E1，则正三棱台的高为h＝EE1＝7，在上下底面的等边三角形中，可得AE ＝23AD ＝3，A 1E 1＝23A 1D 1＝4，则球心O 在直线EE 1上，且半径为R ＝OA ＝OA 1， 所以OE 2＋32＝OE 21＋42，且OE ＋OE 1＝7， 解得OE ＝4，所以R ＝OE 2＋32＝5， 所以球O 的表面积为S ＝4πR 2＝100π.14．已知三棱锥O —ABC 中，A ，B ，C 三点均在球心为O 的球面上，且AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝120°，若球O 的体积为256π3，则三棱锥O —ABC 的体积是________．答案54解析 三棱锥O —ABC 中，A ，B ，C 三点均在球心为O 的球面上，且AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝120°，则AC ＝3，∴S △ABC ＝12×1×1×sin 120°＝34，设球半径为R ，由球的体积V 1＝43πR 3＝256π3，解得R＝4.设△ABC 外接圆的圆心为G ，∴外接圆的半径为GA ＝32sin 120°＝1，∴OG ＝R 2－GA 2＝42－12＝15， ∴三棱锥O —ABC 的体积为V 2＝13S △ABC ·OG ＝13×34×15＝54.。
2019年高考数学总复习 优编增分练：8+6标准练1 文
8＋6标准练11．设复数z ＝1－2i(i 是虚数单位)，则|z ＋z |的值为( ) A ．3 2 B ．2 C ．1 D ．2 2 答案 B解析 ∵z ＋z ＝2，∴|z ＋z |＝2. 2．“p ∧q 为假”是“p ∨q 为假”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由“p ∧q 为假”得出p ，q 中至少有一个为假．当p ，q 为一假一真时，p ∨q 为真，充分性不成立；当“p ∨q 为假”时，p ，q 同时为假，所以p ∧q 为假，必要性成立．3．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n (n 为常数)盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯( )A ．2盏B ．3盏C ．26盏D ．27盏 答案 C解析 设顶层有灯a 1盏，底层有灯a 9盏，灯数构成等差数列，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝13a 1，9(a 9＋a 1)2＝126，解得a 9＝26.4．如图是一个程序框图，若输入n 的值是13，输出S 的值是46，则a 的取值范围是( )A ．9≤a <10B ．9<a ≤10C ．10<a ≤11D ．8<a ≤9答案 B解析 依次运行程序框图，结果如下：S ＝13，n ＝12；S ＝25，n ＝11；S ＝36，n ＝10；S ＝46，n ＝9，此时退出循环，所以a 的取值范围是9<a ≤10.5．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为( ) A ．2 B. 2 C ．2 2 D ．4 答案 B解析 因为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，所以渐近线方程为y ＝±x ，所以a ＝b . 因为顶点到一条渐近线的距离为1， 所以a12＋12＝1，即22a ＝1， 所以a ＝b ＝2，双曲线C 的方程为x 22－y 22＝1，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b ＝ 2.6．已知数据x 1，x 2，…，x 10,2的平均数为2，方差为1，则数据x 1，x 2，…，x 10相对于原数据( ) A ．一样稳定 B ．变得比较稳定 C ．变得比较不稳定 D ．稳定性不可以判断答案 C解析 因为数据x 1，x 2，…，x 10,2的平均数为2， 所以数据x 1，x 2，…，x 10的平均数也为2， 因为数据x 1，x 2，…，x 10,2的方差为1，所以111⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤∑i ＝110(x i －2)2＋(2－2)2＝1， 所以∑i ＝110(x i －2)2＝11，所以数据x 1，x 2，…，x 10的方差为110∑i ＝110 (x i －2)2＝1.1.因为1.1>1，所以数据x 1，x 2，…，x 10相对于原数据变得比较不稳定．7．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2,1，12，则此三棱锥外接球的表面积为( )A.174π B.214π C ．4π D ．5π 答案 B解析 由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的四个顶点，即为三棱锥A －CB 1D 1， 且长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的长、宽、高分别为2,1，12，所以此三棱锥的外接球即为长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球，半径R ＝22＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1222＝214，所以三棱锥外接球的表面积为S ＝4πR 2＝4π⎝⎛⎭⎪⎫2142＝214π. 8．已知点P 是曲线y ＝sin x ＋ln x 上任意一点，记直线OP (O 为坐标原点)的斜率为k ，则下列一定成立的为( ) A ．k <－1 B ．k <0 C ．k <1 D ．k ≥1答案 C解析 任意取x 为一正实数， 一方面y ＝sin x ＋ln x ≤ln x ＋1， 另一方面容易证ln x ＋1≤x 成立， 所以y ＝sin x ＋ln x ≤x .因为y ＝sin x ＋ln x ≤ln x ＋1与ln x ＋1≤x 中两个等号成立的条件不一样， 所以y ＝sin x ＋ln x <x 恒成立，所以k <1，所以排除D ； 当π2≤x <π时，y ＝sin x ＋ln x >0， 所以k >0，所以排除A ，B.9．已知集合A ＝{x ∈Z |x 2－3x －4≤0}，B ＝{x |0<ln x <2}，则A ∩B 的真子集的个数为________． 答案 7解析 A ＝{x ∈Z |x 2－3x －4≤0}＝{x ∈Z |－1≤x ≤4}＝{－1,0,1,2,3,4}，B ＝{x |0<ln x <2}＝{x |1<x <e 2}，所以A ∩B ＝{2,3,4}，所以A ∩B 的真子集有23－1＝7(个)．10．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，x －2y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则z ＝－x3＋y 的最大值为________．答案 43解析 如图阴影部分所示，作出的可行域为三角形(包括边界)，把z ＝－x 3＋y 改写为y ＝x3＋z ，当且仅当动直线y ＝x3＋z 过点(2,2)时，z 取得最大值43.11．已知a ＝(1,2m －1)，b ＝(2－m ，－2)，若向量a ∥b ，则实数m 的值为________． 答案 0或52解析 因为向量a ∥b ，所以(2m －1)(2－m )＝－2， 所以m ＝0或m ＝52.12．从正五边形的对角线中任意取出两条，则取出的两条对角线为同一个等腰三角形的两腰的概率为________． 答案 12解析 从5条对角线中任意取出2条，共有10个基本事件，其中取出的两条对角线为同一个等腰三角形的两腰的有5个，所以取出的两条对角线为同一个等腰三角形的两腰的概率为510＝12.13．设函数f (x )＝x a －x 2－12对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≤0成立，则实数a ＝________.答案 1 解析 一方面，由a －x 2≥0对任意x ∈[－1,1]恒成立，得a ≥1； 另一方面，由f (x )＝x a －x 2－12≤x 2＋a －x 22－12≤0，得a ≤1，所以a ＝1.14．若对任意的x ∈R ，都有f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，且f (0)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π3的值为________．答案 2解析 因为f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，①所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，②①＋②得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－f (x )，所以f (x ＋π)＝f (x )，所以T ＝π， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫100π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3. 在f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6中，令x ＝π6，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，因为f (0)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2.。
江苏省2019高考数学总复习 优编增分练：高考填空题分项练6 函数与导数
高考填空题分项练6 函数与导数1．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 答案 －2 解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，∴y ′＝－2(x －1)2. ∴曲线在点(3,2)处的切线斜率k ＝－12.∴－a ＝2，即a ＝－2.2．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．答案 4解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ， 所以f ′(1)＝g ′(1)＋2＝2＋2＝4. 3．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是________． 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a <12 解析 ∵f ′(x )＝2a －1(x ＋2)2，且函数f (x )在(－2，＋∞)上单调递减，∴f ′(x )≤0在(－2，＋∞)上恒成立，∴a ≤12.当a ＝12时，f ′(x )＝0恒成立，不合题意，应舍去．∴a <12.4．已知a ≤1－x x ＋ln x 对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2恒成立，则a 的最大值为________． 答案 0解析 令f (x )＝1－x x ＋ln x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则f ′(x )＝x －1x 2， 当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1时，f ′(x )<0，当x ∈[1,2]时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1上单调递减，在[1,2]上单调递增， ∴f (x )min ＝f (1)＝0，∴a 的最大值为0.5．若函数f (x )＝x 3＋mx 2－m 2x ＋1(m 为常数，且m >0)有极大值9，则m 的值是________． 答案 2解析 由f ′(x )＝3x 2＋2mx －m 2＝(x ＋m )(3x －m )＝0，得x ＝－m 或x ＝13m ，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：从而可知，当x ＝－m 时，函数f (x )取得极大值9， 即f (－m )＝－m 3＋m 3＋m 3＋1＝9，解得m ＝2.6．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是________． 答案 (0,1)解析 f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )． 当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0,1)内单调递增，无最小值． 当a >0时，f ′(x )＝3(x －a )(x ＋a )．当x ∈(－∞，－a )和(a ，＋∞)时，f (x )单调递增； 当x ∈(－a ，a )时，f (x )单调递减，所以当0<a <1，即0<a <1时，f (x )在(0,1)内有最小值．7．若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是______．(填序号)①f (x )＝2－x；②f (x )＝x 2； ③f (x )＝3－x ；④f (x )＝cos x . 答案 ①解析 若f (x )具有性质M ，则[e x f (x )]′＝e x[f (x )＋f ′(x )]>0在f (x )的定义域上恒成立，即f (x )＋f ′(x )>0在f (x )的定义域上恒成立．对于①式，f (x )＋f ′(x )＝2－x－2－xln 2＝2－x(1－ln 2)>0，符合题意． 经验证，②③④均不符合题意．8．如果函数f (x )＝x 3－32x 2＋a 在[－1,1]上的最大值是2，那么f (x )在[－1,1]上的最小值是_____． 答案 －12解析 ∵f ′(x )＝3x 2－3x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝1.∴在[－1,1]上，当x ∈[－1,0)时，f ′(x )>0， 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，∴x ＝0是f (x )的极大值点，也是最大值点， ∴f (x )max ＝f (0)＝a ＝2， ∴f (x )＝x 3－32x 2＋2.又f (－1)＝－12，f (1)＝32，∴f (x )在[－1,1]上的最小值为－12.9．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－2,2)解析 令f (x )＝0，得a ＝3x －x 3， 于是y ＝a 和y ＝3x －x 3应有3个不同交点， 令y ＝g (x )＝3x －x 3，则g ′(x )＝3－3x 2. 由g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－1，∴g (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减，在(－1,1)上单调递增，∴当x ＝－1时，g (x )取得极小值－2，当x ＝1时，g (x )取得极大值2.画出y ＝3x －x 3的图象如图，若y ＝a 和y ＝3x －x 3有3个不同交点，则－2<a <2.10．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意的x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________． 答案 4解析 当x ＝0时，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立； 当x >0，即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x3. 设g (x )＝3x 2－1x 3，x ∈(0,1]，则g ′(x )＝3(1－2x )x4. 所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减．因此g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4； 当x <0，即x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x3，g (x )在区间[－1,0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4.所以a ＝4.11．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30千米/时，当速度为10千米/时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)是每小时400元．如果甲、乙两地相距800千米，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为________千米/时． 答案 20解析 设航速为v 千米/时(0≤v ≤30)，每小时的燃料费为m 元，则m ＝kv 3， ∵当v ＝10时，m ＝25，代入上式，得k ＝140，则总费用y ＝800v ·m ＋800v ×400＝20v 2＋320 000v，∴y ′＝40v －320 000v2.令y ′＝0，得v ＝20. 经判断知当v ＝20时，y 最小．12．已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论： ①f (0)f (1)>0；②f (0)f (1)<0；③f (0)f (3)>0；④f (0)f (3)<0. 其中正确结论的序号是________． 答案 ②③解析 方法一 由f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ， 得f ′(x )＝3x 2－12x ＋9.令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝3. 当x <1时，f ′(x )>0； 当1<x <3时，f ′(x )<0； 当x >3时，f ′(x )>0. ∴当x ＝1时，f (x )有极大值， 当x ＝3时，f (x )有极小值． ∵函数f (x )有三个零点， ∴f (1)>0，f (3)<0， 且a <1<b <3<c .又∵f (3)＝27－54＋27－abc ＝－abc <0， ∴abc >0，得a >0，因此f (0)<f (a )＝0， ∴f (0)f (1)<0，f (0)f (3)>0. 故正确结论的序号是②③.方法二 由题设知f (x )＝0有3个不同零点．如图所示．设g (x )＝x 3－6x 2＋9x ，∴f (x )＝g (x )－abc ，f (x )有3个零点，需将g (x )的图象向下平移至如图所示位置． 观察图象可知，f (0)f (1)<0且f (0)f (3)>0. 故②③正确．13．已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )<f (x )，且f (0)＝12，则不等式f (x )－12e x<0的解集为________．答案 (0，＋∞)解析 构造函数g (x )＝f (x )ex，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )ex，因为f ′(x )<f (x )，所以g ′(x )<0， 故函数g (x )在R 上为减函数， 又f (0)＝12，所以g (0)＝f (0)e 0＝12，则不等式f (x )－12e x <0可化为f (x )e x <12，即g (x )<12＝g (0)，所以x >0，即所求不等式的解集为(0，＋∞)．14．(2018·苏州模拟)如果函数y ＝f (x )在其定义域内总存在三个不同实数x 1，x 2，x 3，满足|x i －2|f (x i )＝1(i ＝1,2,3)，则称函数f (x )具有性质Ω.已知函数f (x )＝a e x具有性质 Ω，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ 解析 由题意知，若f (x )具有性质Ω，则在定义域内|x －2|f (x )＝1有3个不同的实数根， ∵ f (x )＝a e x ，∴ 1a＝|x －2|·e x，即方程1a＝|x －2|·e x在R 上有3个不同的实数根．设g (x )＝|x －2|·e x＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)·e x，x ≥2，(2－x )·e x，x <2，当x ≥2时，g ′(x )＝(x －1)·e x>0，即g (x )在[2，＋∞)上单调递增； 当x <2时，g ′(x )＝(1－x )·e x，g (x )>0，∴g (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1,2)上单调递减． 又∵ g (1)＝e ，g (2)＝0，∴方程1a ＝|x －2|·e x在R 上有3个不同的实数根即函数g (x )与y ＝1a的图象有3个交点．∴0<1a <e ，∴a >1e.。
江苏省2019高考数学总复习优编增分练：高考解答题分项练(八)数列(B)
(八)数列(B)1．(2018·江苏金陵中学期末)设数列{a n }的前n 项的和为S n ，且满足a 1＝2，对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝(p －1)S n ＋2(其中常数p >1)，数列{b n }满足b n ＝1nlog 2(a 1a 2…a n )． (1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)若p ＝222017，求b 2 018的值；(3)若∃k ∈N *，使得p ＝2221k +，记c n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b n －32，求数列{c n }的前2(k ＋1)项的和． (1)证明 因为∀n ∈N *，都有a n ＋1＝(p －1)S n ＋2，a n ＋2＝(p －1)S n ＋1＋2，所以两式相减得a n ＋2－a n ＋1＝(p －1)a n ＋1，即a n ＋2＝pa n ＋1，当n ＝1时，a 2＝(p －1)a 1＋2＝pa 1，所以a n ＋1＝pa n (n ∈N *)，又a 1＝2，p >1，所以{a n }是以2为首项，p 为公比的等比数列．(2)解 由(1)得a n ＝2p n －1.b n ＝1n log 2(a 1a 2…a n )＝ 1n log 2(1)22n n n p -⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋n (n －1)2 017 所以b 2 018＝2.(3)解 由(1)得a n ＝2p n －1.b n ＝1n log 2(a 1a 2…a n )＝ 1n log 2(1)22n n n p -⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝ 1n log 2(1)2122n n n k -+⎡⎤⨯⎢⎥⎣⎦＝1＋n －12k ＋1. 因为b n －32＝2n －2k －32(2k ＋1)， 所以当1≤n ≤k ＋1时，c n ＝32－b n ， 当n ≥k ＋2时，c n ＝b n －32.因此数列{c n }的前2(k ＋1)项的和T 2k ＋2 ＝－(b 1＋b 2＋…＋b k ＋1)＋(b k ＋2＋b k ＋3＋…＋b 2k ＋2)＝－0＋1＋…＋k 2k ＋1＋ (k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋2k ＋12k ＋1＝－k (k ＋1)22k ＋1＋ (k ＋1)(k ＋2k ＋2)22k ＋1＝(k ＋1)22k ＋1. 2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a 2＝2，设b n ＝a n ＋a n ＋1，c n ＝a n ·a n ＋1(n ∈N *)．(1)若数列{b 2n －1}是公比为3的等比数列，求S 2n ；(2)若数列{b n }是公差为3的等差数列，求S n ；(3)是否存在这样的数列{a n }，使得{b n }成等差数列和{c n }成等比数列同时成立，若存在，求出{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由． 解 (1)b 1＝a 1＋a 2＝1＋2＝3， S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝b 1＋b 3＋…＋b 2n －1＝3(1－3n )1－3＝3n ＋1－32. (2)∵b n ＋1－b n ＝a n ＋2－a n ＝3，∴{a 2k －1}，{a 2k }均是公差为3的等差数列， a 2k －1＝a 1＋(k －1)·3＝3k －2，a 2k ＝a 2＋(k －1)·3＝3k －1，当n ＝2k (k ∈N *)时， S n ＝S 2k ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2k －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2k ) ＝k (1＋3k －2)2＋k (2＋3k －1)2 ＝3k 2＝3n 24； 当n ＝2k －1(k ∈N *)时， S n ＝S 2k －1＝S 2k －a 2k ＝3k 2－3k ＋1＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122－3·n ＋12＋1＝3n 2＋14. 综上可知，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3n 24，n ＝2k ，k ∈N *，3n 2＋14，n ＝2k －1，k ∈N *.(3)∵{b n }成等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， 即2(a 2＋a 3)＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)，a 2＋a 3＝a 1＋a 4，①∵{c n }成等比数列，∴c 22＝c 1c 3.即(a 2a 3)2＝(a 1a 2)·(a 3a 4)，∵c 2＝a 2a 3≠0，∴a 2a 3＝a 1a 4，②由①②及a 1＝1，a 2＝2，得a 3＝1，a 4＝2， 设{b n }的公差为d ，则b n ＋1－b n ＝(a n ＋1＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝d ， 即a n ＋2－a n ＝d ，即数列{a n }的奇数项和偶数项都构成公差为d 的等差数列， 又d ＝a 3－a 1＝a 4－a 2＝0，∴数列{a n }＝1,2,1,2,1,2，…，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，n ＝2k －1，k ∈N *，2，n ＝2k ，k ∈N *.此时c n ＝2，{c n }是公比为1的等比数列，满足题意．∴存在数列{a n }，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，n ＝2k －1，k ∈N *，2，n ＝2k ，k ∈N *，使得{b n }成等差数列和{c n }成等比数列同时成立．3．已知{a n }，{b n }，{c n }都是各项不为零的数列，且满足a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝c n S n ，n ∈N *，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，{c n }是公差为d (d ≠0)的等差数列．(1)若数列{a n }是常数列，d ＝2，c 2＝3，求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＝λn (λ是不为零的常数)，求证：数列{b n }是等差数列；(3)若a 1＝c 1＝d ＝k (k 为常数，k ∈N *)，b n ＝c n ＋k (n ≥2，n ∈N *)，求证：对任意的n ≥2，n ∈N *，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 单调递减． (1)解 因为d ＝2，c 2＝3，所以c n ＝2n －1. 因为数列{a n }是各项不为零的常数列， 所以a 1＝a 2＝…＝a n ，S n ＝na 1.则由c n S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 及c n ＝2n －1，得 n (2n －1)＝b 1＋b 2＋…＋b n ，当n ≥2时，(n －1)(2n －3)＝b 1＋b 2＋…＋b n －1， 两式相减得b n ＝4n －3，n ≥2.当n ＝1时，b 1＝1也满足b n ＝4n －3. 故b n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)证明 因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝c n S n ，当n ≥2时，c n －1S n －1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1， 两式相减得c n S n －c n －1S n －1＝a n b n ， 即(S n －1＋a n )c n －S n －1c n －1＝a n b n ，S n －1(c n －c n －1)＋a n c n ＝a n b n ，所以S n －1d ＋λnc n ＝λnb n .又S n －1＝λ＋λ(n －1)2(n －1)＝λn (n －1)2， 所以λn (n －1)2d ＋λnc n ＝λnb n ， 即n －12d ＋c n ＝b n ，(*) 所以当n ≥3时，n －22d ＋c n －1＝b n －1， 两式相减得b n －b n －1＝32d (n ≥3)， 所以数列{b n }从第二项起是公差为32d 的等差数列． 又当n ＝1时，由c 1S 1＝a 1b 1，得c 1＝b 1. 当n ＝2时，由(*)得b 2＝(2－1)2d ＋c 2＝12d ＋(c 1＋d )＝b 1＋32d ， 得b 2－b 1＝32d . 故数列{b n }是公差为32d 的等差数列． (3)证明 由(2)得当n ≥2时，S n －1(c n －c n －1)＋a n c n ＝a n b n ，即S n －1d ＝a n (b n －c n )．因为b n ＝c n ＋k ，所以b n ＝c n ＋kd ， 即b n －c n ＝kd ，所以S n －1d ＝a n ·kd ，即S n －1＝ka n ，所以S n ＝S n －1＋a n ＝(k ＋1)a n .当n ≥3时，S n －1＝(k ＋1)a n －1，两式相减得a n ＝(k ＋1)a n －(k ＋1)a n －1， 即a n ＝k ＋1ka n －1，故从第二项起数列{a n }是等比数列， 所以当n ≥2时，a n ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k n －2， b n ＝c n ＋k ＝c n ＋kd ＝c 1＋(n －1)k ＋k 2 ＝k ＋(n －1)k ＋k 2＝k (n ＋k )，另外由已知条件得(a 1＋a 2)c 2＝a 1b 1＋a 2b 2. 又c 2＝2k ，b 1＝k ，b 2＝k (2＋k )， 所以a 2＝1，因而a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k n －2，n ≥2. 令d n ＝b na n (n ≥2)，则d n ＋1d n ＝b n ＋1a n a n ＋1b n ＝(n ＋k ＋1)k (n ＋k )(k ＋1). 因为(n ＋k ＋1)k －(n ＋k )(k ＋1)＝－n <0， 所以d n ＋1d n<1， 又因为d n >0，所以d n ＋1<d n ，所以对任意的n ≥2，n ∈N *，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 单调递减．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
＋分项练数列
．(·烟台模拟)已知{}为等比数列，数列{}满足＝，＝，且(＋－)＝＋，则数列{}的前项和为( )
．＋．－
答案
解析∵＝，＝，且(＋－)＝＋，
∴(－)＝，即＝，
又数列{}为等比数列，
∴数列{}的公比＝，且≠，
∴＋－＝＝，
∴数列{}是首项为，公差为的等差数列，
∴数列{}的前项和为
＝＋×＝.
．(·河南省南阳市第一中学模拟)设是公差不为的等差数列{}的前项和，＝，且，，成等比数列，则等于( )
．．
．．
答案
解析设等差数列{}的公差为，
因为＝，所以＝，
解得＝或＝，
又因为，，构成等比数列，
所以＝，
所以(－)＝(－)(＋)，
若＝，则＝－，
此时＝，不符合题意，舍去，
当＝时，可得(－)＝(－)(＋)，
解得＝(＝舍去)，
所以＝＋＝＋×＝.
．(·南充质检)已知数列{}满足＝，＋＝(∈*)，则等于( )
．－．
答案
解析因为＋＝(∈*)，
所以＝，＝－，＝，＝，＝－，＝，…，
故此数列的周期为.
所以＝×＋＝＝－.
．《张丘建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为尺；②第一圈的周长为尺；③每节比其下面的一节多尺；④每圈周长比其下面的一圈少尺)问：此民谣提出的问题的答案是( )
．尺．尺
．尺．尺
答案
解析因为每竹节间的长相差尺，
设从地面往上，每节竹长为，，，…，，
所以{}是以＝为首项，以＝为公差的等差数列，
由题意知竹节圈长，上一圈比下一圈少尺，。