D12_1_2正项级数及审敛法
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一、正项级数及其审敛法
n n
如果 lim nun l 0 (或lim nun ), 则级数
u
n 1
n 发散;
如果有 p 1 , 使得lim n un 存在,
p n
则级数
u
n 1
n 收敛.
例 3 判定下列级数的敛散性:
1 (1) sin ; n n 1
1 (2) n ; n 1 3 n
n dx 1 设 p 1, 由图可知 p n1 p n x 1 1 1 sn 1 p p p 2 3 n 2 dx n dx o 1 1 p n1 p x x
y
1 ( p 1) xp
1
2
3
4
x
1 1
n
dx 1 1 1 (1 p1 ) 1 p 1 x p1 n p1
1 例 级数 发散, n 1 n
级数
n 1
n
( 1) 1 收敛 , 2
2.条件是充分的,而非必要.
2 ( 1) 3 例 un n vn , n 2 2
n
2 ( 1)n 级数 un 收敛, n 2 n 1 n 1
un1 2 ( 1)n1 但 an , n un 2( 2 ( 1) )
则(1) 当 0 l 时, 二级数有相同的敛散性; (2) 当 l 0 时，若
v n 收敛, 则 un 收敛; n 1
n 1
(3) 当 l 时, 若
v n 发散,则 un 发散;
n 1 n 1
如果 lim nun l 0 (或lim nun ), 则级数
u
n 1
n 发散;
如果有 p 1 , 使得lim n un 存在,
p n
则级数
u
n 1
n 收敛.
例 3 判定下列级数的敛散性:
1 (1) sin ; n n 1
1 (2) n ; n 1 3 n
n dx 1 设 p 1, 由图可知 p n1 p n x 1 1 1 sn 1 p p p 2 3 n 2 dx n dx o 1 1 p n1 p x x
y
1 ( p 1) xp
1
2
3
4
x
1 1
n
dx 1 1 1 (1 p1 ) 1 p 1 x p1 n p1
1 例 级数 发散, n 1 n
级数
n 1
n
( 1) 1 收敛 , 2
2.条件是充分的,而非必要.
2 ( 1) 3 例 un n vn , n 2 2
n
2 ( 1)n 级数 un 收敛, n 2 n 1 n 1
un1 2 ( 1)n1 但 an , n un 2( 2 ( 1) )
则(1) 当 0 l 时, 二级数有相同的敛散性; (2) 当 l 0 时，若
v n 收敛, 则 un 收敛; n 1
n 1
(3) 当 l 时, 若
v n 发散,则 un 发散;
n 1 n 1
正项级数的比较审敛法
正项级数的比较审敛法正项级数的比较审敛法是数学中一种常用的判别级数收敛性的方法。
通过与已知的收敛或发散级数进行比较，我们可以判断一个正项级数的收敛性。
本文将介绍正项级数的比较审敛法的基本原理和应用。
正项级数是指所有项都是非负数的级数。
我们知道，一个正项级数的收敛性与其项的大小相关。
如果一个级数的每一项都小于等于另一个级数的对应项，并且后者收敛，那么我们可以推断前者也收敛。
同样地，如果一个级数的每一项都大于等于另一个级数的对应项，并且后者发散，那么我们可以推断前者也发散。
这就是正项级数的比较审敛法的基本思想。
比较审敛法分为两种情况：比较法和极限比较法。
下面我们将分别介绍这两种方法。
一、比较法比较法是通过比较待判定级数与已知级数的大小关系来判断待判定级数的收敛性。
具体而言，我们选择一个已知的收敛级数和一个待判定级数，然后比较它们的项的大小。
如果待判定级数的每一项都小于等于已知级数的对应项，那么待判定级数也收敛；如果待判定级数的每一项都大于等于已知级数的对应项，那么待判定级数也发散。
比较法的关键在于选择合适的已知级数。
常用的已知级数包括调和级数、几何级数和指数级数等。
例如，我们可以使用调和级数来判断一个正项级数的收敛性。
调和级数是指形如1+1/2+1/3+1/4+...的级数。
根据比较法的原理，如果一个正项级数的每一项都小于等于调和级数的对应项，那么该正项级数也收敛。
二、极限比较法极限比较法是比较法的一种特殊情况。
当我们无法直接比较待判定级数和已知级数的项时，可以通过比较它们的极限值来判断待判定级数的收敛性。
具体而言，我们选择一个已知的收敛级数和一个待判定级数，然后比较它们的极限值。
如果待判定级数的极限值与已知级数的极限值相等或者待判定级数的极限值无穷大，那么待判定级数也收敛；如果待判定级数的极限值与已知级数的极限值比较大，那么待判定级数也发散。
极限比较法的关键在于计算级数的极限值。
对于一些常见的级数，我们可以通过取极限值来判断其收敛性。
D12_1_2正项级数及审敛法
2)
∞
n→ ∞
lim un = 0,
( )n−1 则级数 ∑ −1 un收敛 , 且其和 S ≤u , 其余项满足 1
n= 1
rn ≤un+1 .
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证: QS2n = (u −u2) +(u3 −u4) +L (u2n−1 −u2n) + 1
S2n =u −(u2 −u3) −(u4 −u5) −L (u2n−2 −u2n−1) − 1
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结束
1 1 1 (常数 p > 0) + 例1. 讨论 p 级数 1+ p + p +L p +L 2 3 n 的敛散性.
解: 1) 若 p ≤1, 因为对一切
1 而调和级数 ∑ 发散 , 由比较审敛法可知 p 级数 n= n 1
发散 .
∞
1 ≥ n
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结束
2) 若 p >1,因为当 n 1 1 = dx p ∫n− p 1n n n 1 1 1 1 − p− ≤∫ dx = 1 n− xp p −1 (n−1 p− n 1 ) 1
例13. 设 . （A） （B） （C） （D）
则级数（ ）。
C
提示： 提示： 据莱布尼茨判别法， 原级数收敛；
机动
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结束例14. 证明级数 Nhomakorabea是条件收敛的。
(−)n 1 ~ 解: ① Q 显然非绝对收敛 . n n−(−1 ) n
(−)n ②由 效 于 非 调 减 所 L iz 失 ； 单 递 ， 以 eibn n n−(−1 (− ) n n n (−1 ) (−1 (n+(−1 ) ) ) 1 n n 而 = = (−1 2 + 2 ) n 2 n−(−1 ) n −1 n −1 n −1 1 n n 对 敛 件 敛 ∑ ∑(−1) n2 −1条 收 ， n2 −1绝 收 ，
∞
n→ ∞
lim un = 0,
( )n−1 则级数 ∑ −1 un收敛 , 且其和 S ≤u , 其余项满足 1
n= 1
rn ≤un+1 .
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证: QS2n = (u −u2) +(u3 −u4) +L (u2n−1 −u2n) + 1
S2n =u −(u2 −u3) −(u4 −u5) −L (u2n−2 −u2n−1) − 1
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1 1 1 (常数 p > 0) + 例1. 讨论 p 级数 1+ p + p +L p +L 2 3 n 的敛散性.
解: 1) 若 p ≤1, 因为对一切
1 而调和级数 ∑ 发散 , 由比较审敛法可知 p 级数 n= n 1
发散 .
∞
1 ≥ n
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2) 若 p >1,因为当 n 1 1 = dx p ∫n− p 1n n n 1 1 1 1 − p− ≤∫ dx = 1 n− xp p −1 (n−1 p− n 1 ) 1
例13. 设 . （A） （B） （C） （D）
则级数（ ）。
C
提示： 提示： 据莱布尼茨判别法， 原级数收敛；
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结束例14. 证明级数 Nhomakorabea是条件收敛的。
(−)n 1 ~ 解: ① Q 显然非绝对收敛 . n n−(−1 ) n
(−)n ②由 效 于 非 调 减 所 L iz 失 ； 单 递 ， 以 eibn n n−(−1 (− ) n n n (−1 ) (−1 (n+(−1 ) ) ) 1 n n 而 = = (−1 2 + 2 ) n 2 n−(−1 ) n −1 n −1 n −1 1 n n 对 敛 件 敛 ∑ ∑(−1) n2 −1条 收 ， n2 −1绝 收 ，
正项级数及其审敛法
(1) 若 bn 收敛 , 则 an 也收敛 .
n1
n1
(2) 若 an 发散 , 则 bn 也发散 .
n1
n1
证明 (1) 设 n bn n 1
an bn , (n 1, 2, )
且 sn
a1 a2 an b1 b2
n1
单减函数 f ( x) 使得 f (n) an (n 1,2,)
则级数
an 与反常积分
f ( x)dx 同敛散 .
1
n1
思路：构造一个单调递减函数f (x)，使得f (n) an
则
an与
1
f (x)dx同敛散.
n1
例 判定级数
1 的敛散性.
n2 n ln n
n! (3) n1 nn ;
解
(1) lim an1 n an
1
lim
n
( n1)! 1
n!
lim 1 n n 1
0 , 1 收敛. n1 n!
(2) lim n
an1 an
lim
n
(
n 1)! 10n1
10n n!
lim n 1 n 10
0)
思考题 设正项级数 un 收敛, 能否推得 un2
n1
n1
收敛?反之是否成立?
解 由正项级数 un 收敛，可以推得 un2 收敛,
n1
n1
lim un2 u n
n
lim
n
un
0
成都理工大学 高数下 重修 PPT D12_正项级数及审敛法
sin 1 ～ n
1 n
1 根据比较审敛法的极限形式知 sin 发散 . n n 1 1 例4. 判别级数 ln 1 2 的敛散性. ln(1 12 ) ～ n n n 1
1 n2
1 2 1 解: lim n ln 1 2 lim n 2 1 n n n n
提示:
lim u n 0
n
2 由比较判别法可知 u n 收敛 . n 1
注意: 反之不成立. 例如,
1 n 2 收敛 , n 1
1 n 发散 . n 1
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备用题
1. 判别级数的敛散性:
不是 p–级数
解: (1)
1 n 发散 , 故原级数发散 . n 1
收敛于S ,
解:
n
un n
1 nn
由定理5可知该级数收敛 .
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结束
内容小结
1. un 收敛 部分和数列 {S n } 有极限
2. 判别正项级数敛散性的方法与步骤
必要条件 lim u n 0
n
不满足
发 散
满足
un 1 比值审敛法 lim u n n
第二节 正项项级数的审敛法
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结束
一、正项级数及其审敛法
若 un 0 , 则称 u n 为正项级数 .
n 1
定理 1. 正项级数 有界 . 证: “ “ 又已知 ” 若 ” 有界, 故
收敛
部分和序列
收敛 ,
故有界.
∴部分和数列
第二节数项级数的审敛法
定理2(比较审敛法) 设 un 和 vn 都是正项级数,
n 1
n 1
且 un vn (n 1,2,). 若 vn 收敛,则 un 收敛;
n 1
n 1
若 un 发散则 vn 发散.
n 1
n 1
证:
设 vn 收敛于σ,
n 1
则 un 部分和 n 1
Sn u1 u2 un v1 v2 vn
5 nn
n!2n nn
记
un
lim un1 2 1,由正项级数的比值判别法知
n un
e
un 收敛,
n1
再由正项级数的比较判别法知原级数绝对收敛.
证
设
vn
1 2
(un
| un
|)
则 vn 0,
vn | un |
由 | un | 收敛知 vn 收敛
n 1
n 1
而 un 2vn | un |
则 un 收敛
n 1
注意:(1) 逆命题不成立
(2)
如果用比值或根值审敛法判定 则 un 发散 (证明略)
|
n 1
un
| 发散
n 1
例 sin n 绝对收敛 n1 n 2
sin n 1
n2 n2
1
n1 n 2
sin n
收敛
n 1
n2
收敛
例 (1)n ln n
n1
n
条件收敛
对 (1)n ln n ln n
n 1
n
n1 n
发散
ln n 1 (n 3,4,...) nn
对
(1)n ln n
n1
n
而 收敛
1 发散
正项级数及其审敛法
判别法与极限审敛法
判别法是根据正项级数的通项性质来判断其收敛性的方法。通过对通项的分析，可以找到一些关键的 量，如相邻项的比值、绝对值的增长速度等，来判断级数的收敛性。
极限审敛法是通过分析级数部分和的极限行为来判断其收敛性的方法。它基于极限的性质，通过分析部 分和的极限是否存在或趋于无穷大，来判断级数的收敛性。
正项级数在数值分析中用于求解 微积分问题，例如数值积分、数 值微分等。
在物理中的应用
热力学
正项级数在热力学中用于描述热传导、热辐射 等过程，例如求解热传导方程。
波动理论
正项级数在波动理论中用于描述波动现象，例 如求解波动方程。
原子结构
正项级数在原子结构中用于描述电子的能级分布，例如求解薛定谔方程。
几何审敛法的优点
直观易懂，易于操作。
调和审敛法
调和审敛法
通过观察级数的调和级数部分（即分母）的增长情况来判断级 数的收敛性。如果调和级数部分增长速度较慢，则级数收敛；
反之，则发散。
调和审敛法的适用范围
适用于分母为连续正整数或分母为等差数列的正项级数。
调和审敛法的优点
适用于某些特殊类型的级数，计算简便。
详细描述
自然数幂级数的通项公式为$a_n = n^m$，其中$m$是一个常数。自然数幂级数的和可以通过公式$S_n = frac{n^{m+1}}{m+1}$计算。当$m = 1$时，自然数幂级数退化为等差级数。
几何级数
总结词
几何级数是每一项都与前一项成固定比例的级数。
详细描述
几何级数的通项公式为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$，其中$a_1$是首项，$r$是公比。几何级数的和可 以通过公式$S_n = frac{a_1 times (r^n - 1)}{r - 1}$计算，其中$S_n$表示前$n$项的和。当$r = 1$时， 几何级数退化为等差级数。
第二节正项级数及其审敛法、第三节绝对收敛与条件收敛
un1 r, 则 N , 当n N时, 有 un
uN 1 ruN , uN 2 ruN 1 r uN ,
2
,
uN m r uN ,
m
m m 1
而级数 r uN 收敛,
uN m
m 1
un收敛, n N 1
原级数收敛
(2)当 1时, 则 N , 当n N时,
故级数发散
e 1 1 n (1 ) n lim un 0
n
un 1 un
6.根值审敛法 (柯西判别法)：
设 un 是正项级数,如果lim n un
( 为数或 ) , 则 1时级数收敛;
1时级数发散; 1 时失效.
n 1
n
1 n 1 n
发散
an 例7 p n 1 n
n
(a 0)
解 lim n un lim n
n
an a lim n a p p n ( n ) n
故 (1) 当 a 1 时, 即 1 时,
(2) 当 a 1 时, 即 1 时,
n 1
1 n1 ) ( ln ; (3) n 1 n n
n
1 1 ~ n ( 2) n 时, n 3 n 3
1 又 n 收 敛, 故原级数收敛. n 1 3
1 n1 ) ( ln (3) n 1 n n
1 n1 ln x ln( 1 x) n n lim lim n x 0 1 x2 2 n 1 1 x 1 1 x lim lim , x 0 x 0 2 x (1 x ) 2x 2
D112数项级数及审敛法
证明级数
n
1
1 nn
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
nun
n
1 nn
1 n
0(n )
由定理5可知该级数收敛 . 令 rnSSn,则所求误差为
0rn(n1 1)n1(n1 2)n2
(n11)n1(n1 1)n2
1 n2
的敛散性.
ln(1
1 n2
)
～
1 n2
解:
lim n 2
n
ln
1
1 n2
limn2
n
1 n2
1
根据比较审敛法的极限形式知 n1ln1n12 收敛.
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定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设(1) 当un为正1项时级, 级数数, 且收敛nl im; uunn1 , 则
若 v n 收敛 , 则un也收敛;
n 1
n1
(3) 当l = ∞时, 存在 NZ,当nN时, un 1 , 即
un vn
vn
由定理2可知, 若 v n 发散 , 则un 也发散.
n 1
n1
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un,vn
是两个正项级数,
lim
n un
n n x n1
根据定理4可知:
当 0x1时 ,级数收敛 ;
当x1时,级数发散 ;
当x1时,级数n发散.
n1
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定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设 u n 为正项级
《微积分》正项级数及其审敛法
ln ln n
当 n 1 6 e e 1 5 .1 5 4 3 时，ln ln n 1 .0 2 1 ，
1
1
因此 n ln ln n n 1 .0 2 ，所以 n ln ln n n 1 .0 2 ( n 1 6 )
1
1
因为
n ln ln n
n 1.02
1
( n 1 6 ) ， n 1.02 n 16
n 1
的收敛性，其中
a 0.
解： a n
Q
lim n u n
n
lim n
n
= lim
np
n
a nn
=a
p
当 a 1 时级数收敛；当 a 1时级数发散； 当 a =1 时级数是p级数，当且仅当 p 1 时收敛.
小结：
1、正项级数 及 收敛基本定理.
（一般项、部分和数列的特点）.
n1
且 sn u1 u2 un v1 v2 vn ,
即部分和数列有界
u n收敛 .
n1
(2) 设 s (n ) 且 u v ,
n
n
n
则 s
n
n
不是有界数列
v n发散 .
定理证毕.
n1
推论: 若 un 收敛(发散)
例 讨论 P-级数
1 1 1 1 1 的收敛性.( p 0 )
2p 3p 4p
np
11
解
设 p 1,
, np n
则 P 级数发散
.
当 p 1 时，对于 k 1 x k ，有
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例7. 判定级数
的敛散性 .
证:
原级数与 p —级数有相同的敛散性。
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例8. 判定级数
证:
的敛散性 . 应用泰勒中值定理
1 1 1 1 o( ) 2 2 n ( n) ( n)
1 1 1 1 1 1 1 [1 o( )] 3 o( 3 ) 2 n n ( n) n n n 2 n 2
——比阶判别法.
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1 例5. 判别级数 sin 的敛散性 . n n 1 1 1 解: lim n sin lim n 1 n n n n
sin 1 ～ n
1 n
1 根据比较审敛法的极限形式知 sin 发散 . n n 1 1 例6. 判别级数 ln 1 2 的敛散性. ln(1 12 ) ～ n12 n n n 1 1 2 1 2 解: lim n ln 1 2 lim n 2 1 n n n n 1 收敛 . 根据比较审敛法的极限形式知 ln 1 n2 n 1
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 而调和级数 发散 , 由比较审敛法可知 p 级数 n 1 n
发散 .
1 n
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2) 若 p 1, 因为当 n 1 1 dx p p n 1 n n n 1 1 1 1 p 1 dx p p 1 n 1 x p 1 (n 1) n
例如 ： (1)
n 1
n
n 1
(1)
n 1
n 均为绝对收敛. n 10
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定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .
证: 设 收敛 , 令
v n 1 ( u n u n ) ( n 1 , 2 , ) 2 显然 vn 0 , 且 vn u n , 根据比较审敛法 vn 收敛,
1 1 n 1 1 n p 1 1 p 1 p 1 (k 1) (n 1) k 1 k
n
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在 N Z , 对一切 n N ,
时 从而
un 1 un un 1 u N
因此 lim u n u N 0 , 所以级数发散.
n
u n 1 说明: 当 lim 1 时,级数可能收敛也可能发散. n u n
例如, p – 级数 但
u n 1 lim n u n
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
收敛
定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
un 满足lim l , 则有 n v n
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义,
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( l ) vn u n ( l ) vn
1 ( n 1) p lim 1 n np
1
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例9. 讨论级数 解: 利用达兰贝尔比值判别法
的敛散性 .
级数收敛 ;
级数发散 ;
通项不趋于零，级数发散。
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例10. 判定
解一:
的敛散性 .
级数收敛 ;
级数收敛 ; 级数收敛 ;
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1 1 时, p p , 故 n x
1 1 1 1 1 1 1 考虑强级数 p 1 p 1 p 1 p 1 1 的部分和 (n 1) p 1 n p 1 p 1 n 2 n 22 3 (n 1)
n
存在 N Z ,
n un
即
1
( ) n un ( ) n
1
1 1
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
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说明 :
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
通 项
1 1 1 1 3 o( 3 ) n n n 2 n 2
1 1 o( 1 ),2 n n 3 1 x x 由比阶审敛法知) 原级数收敛。) x o( x (1 x 1 3 1 n 2 x n 2
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定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) u n 1 设 为正项级数, 且 lim , 则 n u n (1) 当 1 时, 级数收敛 ;
n
故级数收敛于S, 且 S u 1 ,
(un 1 un 2 )
rn un 1 un 2 un 1
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用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1 1 1 n 1 1 n1 1 1) 1 (1) n 1 收敛 2 3 4 u n 1 n (n 1) ! 1 1n 1 10 n n 1 1 1 1 u n n 1 1 1 10 收敛 n 2) 1 (1) n 2! 3! 4! n ! 10! n 1 2 3 4 n 1 n 3) 2 3 4 (1) 收敛 10 10 10 10 10n
称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
1) un un1 ( n 1, 2 , ) ;
2)
n
lim un 0 ,
(1) n 1u n 收敛 , 且其和 S u1 , 其余项满足 则级数
n 1
rn un 1 .
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(2) 当 1 或 时, 级数发散 . 证: (1) 当 1 时,
u n 1 知存在 N Z , 当n N 时, 1 un
收敛 , 由比较审敛法可知
un 收敛 .
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(2) 当 1 或 时,必存在 N Z , u N 0, 当n N
设对一切 都有 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
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(1) 若强级数 因此对一切
收敛, 则有 有 也收敛 .
由定理 1 可知, 弱级数 (2) 若弱级数 因此 发散, 则有
这说明强级数
也发散 .
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1 1 1 例1. 讨论 p 级数 1 p p p (常数 p > 0) 2 3 n 的敛散性.
证: S 2n (u1 u2 ) (u3 u4 2n u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) (u2n 2 u2n 1 ) u2n
是单调递增有界数列, 故
又
n
lim S 2 n 1 lim ( S 2 n u2 n 1 )
1
由定理5可知该级数收敛 .
n
n e lim 0 ② lim un lim n n ln n n ln n
由定理5可知该级数收敛 .
n 1 n n n 而n n (n ). ③ 2 2 2 2 由定理5可知该级数收敛 .
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例如 , p – 级数
n
1 1 ( n ) un n n
p
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
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例11. 审敛： ①
②
1 nn
ln n n
③
ln 2 n n
解: ①
n
un n
lim e
n
ln 2 n n
例10. 判定 解二:
的敛散性 .
所以级数收敛 ;
级数收敛 ; 即公比小于1的等比级数， 所以级数收敛 ;
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定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设
为正项级
数, 且 lim n un , 则
n
证明提示: lim n un , 对任意给定的正数
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1 1) ; n 1 n
发散
1 2) ; n 1 n !
收敛
n 3) n . n 1 10
收敛
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例14. 判定级数
解:
的敛散性 . 为交错级数，
因此
发散.
注意：
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例15. 设
例2. 证明级数 1 证: n (n 1)
发散 .
1 (n 1)
2
而
发散
所以原级数发散。
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例3. 判定级数
证:
的敛散性 .
是收敛的等比级数,
根据级数收敛的必要条件知
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例4. 判定级数
例7. 判定级数
的敛散性 .
证:
原级数与 p —级数有相同的敛散性。
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例8. 判定级数
证:
的敛散性 . 应用泰勒中值定理
1 1 1 1 o( ) 2 2 n ( n) ( n)
1 1 1 1 1 1 1 [1 o( )] 3 o( 3 ) 2 n n ( n) n n n 2 n 2
——比阶判别法.
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1 例5. 判别级数 sin 的敛散性 . n n 1 1 1 解: lim n sin lim n 1 n n n n
sin 1 ～ n
1 n
1 根据比较审敛法的极限形式知 sin 发散 . n n 1 1 例6. 判别级数 ln 1 2 的敛散性. ln(1 12 ) ～ n12 n n n 1 1 2 1 2 解: lim n ln 1 2 lim n 2 1 n n n n 1 收敛 . 根据比较审敛法的极限形式知 ln 1 n2 n 1
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 而调和级数 发散 , 由比较审敛法可知 p 级数 n 1 n
发散 .
1 n
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2) 若 p 1, 因为当 n 1 1 dx p p n 1 n n n 1 1 1 1 p 1 dx p p 1 n 1 x p 1 (n 1) n
例如 ： (1)
n 1
n
n 1
(1)
n 1
n 均为绝对收敛. n 10
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定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .
证: 设 收敛 , 令
v n 1 ( u n u n ) ( n 1 , 2 , ) 2 显然 vn 0 , 且 vn u n , 根据比较审敛法 vn 收敛,
1 1 n 1 1 n p 1 1 p 1 p 1 (k 1) (n 1) k 1 k
n
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在 N Z , 对一切 n N ,
时 从而
un 1 un un 1 u N
因此 lim u n u N 0 , 所以级数发散.
n
u n 1 说明: 当 lim 1 时,级数可能收敛也可能发散. n u n
例如, p – 级数 但
u n 1 lim n u n
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
收敛
定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
un 满足lim l , 则有 n v n
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义,
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( l ) vn u n ( l ) vn
1 ( n 1) p lim 1 n np
1
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例9. 讨论级数 解: 利用达兰贝尔比值判别法
的敛散性 .
级数收敛 ;
级数发散 ;
通项不趋于零，级数发散。
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例10. 判定
解一:
的敛散性 .
级数收敛 ;
级数收敛 ; 级数收敛 ;
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1 1 时, p p , 故 n x
1 1 1 1 1 1 1 考虑强级数 p 1 p 1 p 1 p 1 1 的部分和 (n 1) p 1 n p 1 p 1 n 2 n 22 3 (n 1)
n
存在 N Z ,
n un
即
1
( ) n un ( ) n
1
1 1
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
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说明 :
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
通 项
1 1 1 1 3 o( 3 ) n n n 2 n 2
1 1 o( 1 ),2 n n 3 1 x x 由比阶审敛法知) 原级数收敛。) x o( x (1 x 1 3 1 n 2 x n 2
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定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) u n 1 设 为正项级数, 且 lim , 则 n u n (1) 当 1 时, 级数收敛 ;
n
故级数收敛于S, 且 S u 1 ,
(un 1 un 2 )
rn un 1 un 2 un 1
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用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1 1 1 n 1 1 n1 1 1) 1 (1) n 1 收敛 2 3 4 u n 1 n (n 1) ! 1 1n 1 10 n n 1 1 1 1 u n n 1 1 1 10 收敛 n 2) 1 (1) n 2! 3! 4! n ! 10! n 1 2 3 4 n 1 n 3) 2 3 4 (1) 收敛 10 10 10 10 10n
称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
1) un un1 ( n 1, 2 , ) ;
2)
n
lim un 0 ,
(1) n 1u n 收敛 , 且其和 S u1 , 其余项满足 则级数
n 1
rn un 1 .
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(2) 当 1 或 时, 级数发散 . 证: (1) 当 1 时,
u n 1 知存在 N Z , 当n N 时, 1 un
收敛 , 由比较审敛法可知
un 收敛 .
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(2) 当 1 或 时,必存在 N Z , u N 0, 当n N
设对一切 都有 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
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(1) 若强级数 因此对一切
收敛, 则有 有 也收敛 .
由定理 1 可知, 弱级数 (2) 若弱级数 因此 发散, 则有
这说明强级数
也发散 .
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1 1 1 例1. 讨论 p 级数 1 p p p (常数 p > 0) 2 3 n 的敛散性.
证: S 2n (u1 u2 ) (u3 u4 2n u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) (u2n 2 u2n 1 ) u2n
是单调递增有界数列, 故
又
n
lim S 2 n 1 lim ( S 2 n u2 n 1 )
1
由定理5可知该级数收敛 .
n
n e lim 0 ② lim un lim n n ln n n ln n
由定理5可知该级数收敛 .
n 1 n n n 而n n (n ). ③ 2 2 2 2 由定理5可知该级数收敛 .
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例如 , p – 级数
n
1 1 ( n ) un n n
p
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
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例11. 审敛： ①
②
1 nn
ln n n
③
ln 2 n n
解: ①
n
un n
lim e
n
ln 2 n n
例10. 判定 解二:
的敛散性 .
所以级数收敛 ;
级数收敛 ; 即公比小于1的等比级数， 所以级数收敛 ;
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定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设
为正项级
数, 且 lim n un , 则
n
证明提示: lim n un , 对任意给定的正数
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1 1) ; n 1 n
发散
1 2) ; n 1 n !
收敛
n 3) n . n 1 10
收敛
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例14. 判定级数
解:
的敛散性 . 为交错级数，
因此
发散.
注意：
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例15. 设
例2. 证明级数 1 证: n (n 1)
发散 .
1 (n 1)
2
而
发散
所以原级数发散。
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例3. 判定级数
证:
的敛散性 .
是收敛的等比级数,
根据级数收敛的必要条件知
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例4. 判定级数