矢量分析要点

重要的知识点
1 矢性函数，矢径，坐标表示方法
2 矢端曲线，可表示为曲线方程或参数方程
3 矢性函数的极限、导数、微分、不定积分与定积分，基本运算法则
4 矢性函数导数、微分的几何意义（物理意义）。

圆函数
5 数量场、矢量场
6 数量场的等值面、等值线
7 如何求等值面方程
8 数量场的方向导数、梯度，二者的关系，其基本运算公式
9 数量场对弧长的导数
10 矢量场的矢量线（区别于矢端曲线）
11 如何求矢量线方程
12 矢量场的通量、散度，基本运算公式，高斯公式（二维为格林公
式）
13 正源与负源
14 环量、环量面密度、旋度，基本运算，斯托克斯公式
15 环量面密度、旋度的关系
16 有势场、无旋场、保守场、梯度场，充要条件
17 势函数的求解法
18 无源场、管形场、旋度场，充要条件
19 矢势量的求解方法
20 调和场，无旋无源场，调和函数，拉普拉斯方程（二维/平面调和场的势函数与力函数, 共轭调和函数）21 哈密顿算子，拉普拉斯算子基本表示方法
22 梯度、散度、旋度的算子表示方法， 基本运算法则
()[()]'()grad uv vgradu ugradv
grad f u f u gradv =+=
()div uA udivA A gradu
=+⋅ ()rot uA urotA gradu A =+⨯
拉普拉斯算子 :x y z ∂∂∂∆++∂∂∂222
222 ， div grad() ， ()∇⋅∇ ， ∇2
p55.2 p55.5
求穿过非封闭曲面的通量
解题思路：
计算散度，如果散度为常数，则尝试高斯公式。

对于非封闭曲面，可考虑先用形状简单的曲面，将其补偿为封闭面。

如果散度不是常数或在一些区域无定义，则不考虑高斯公式，直接采用通量的一般计算式（p51例3）
p81.1
求势函数的两种方法
p82.2
判断矢量场是否保守（有势），并计算曲线积分
解题思路：
计算该矢量场的旋度。

若无旋，则根据有势场充要条件（p68定理1），该场保守、有势，积分与路径无关，然后任意选取最简捷的路径计算曲线积分；如果有旋度，则按曲线积分一般方法进行计算。

p82.5 证明为管形场
解题思路：
对该矢量场求散度()div gradu gradv ⨯或()u v ∇⋅∇⨯∇
可将所有矢量展开成坐标表达式进行运算（有效但十分繁琐） 或根据p65旋度基本公式()()()A B B A A B ∇⋅⨯=⋅∇⨯-⋅∇⨯ 计算
()()()000u v v u u v v u ∇⋅∇⨯∇=∇⋅∇⨯∇-∇⋅∇⨯∇=∇⋅-∇⋅= （梯度场无旋）
y x =-+A i j 沿曲线229x y +=，0=z 的环量d ⋅⎰A l ＝？。