轴对称最值问题(线段和最小或差最大)(北师版)(含答案)

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数学北师大版七年级下册线段和的最小值问题

线段和的最值小值问题

第8课时

线段和、差的最值问题是一类综合性较强的问题，主要归于两个几何模型：

1．求“变动的线段之和的最小值”时，可归于“两点之间线段最短（或三角形两边之和大于第三边）”．如图，在直线l 上确定一点P ，使PB PA

最小．

一、选择题

1．下列说法中正确提（）

（A ）到直线l 的距离相等的两点关于直线l 对称（B ）角是轴对称图形，对称轴是角平分线（C ）圆是轴对称图形，有无数条对称轴（D ）有一个内角是60º的三角形是轴对称图形 2．已知△ABC 和△ADC 关于直线AC 轴对称，若 ∠BAD +∠BCD =170º，那么△ABC 是（）

（A ）直角三角形

（B ）等腰三角形（C ）钝角三角形（D ）锐角三角形 3．如图，点P 、Q 在直线AB 外，点O 在直线AB 上从左往右运动形成无数个三角形：△O 1PQ 、△O 2PQ 、△O 3PQ 、…，在这样的运动变化过程中，这些三角形的周长（）

（A ）不断变大

（B ）不断变小（C ）先变小再变大（D ）先变大再变小

4．如图所示，在正方形网格中有格点A 、B ，在数轴上找一点P A ，使P 到点A 和点B 的距离之和最小．则点P 所对应的数为（）

（A ）−2 （B ）0 （C ）2 （D ）3 二、填空题

5．如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，沿DE 折叠△ABC 后，点A 落在点A ′处，若∠C =120º，∠A =26º，则∠A ′DB = º．

6．在△ABC 中，AC 边的垂直平分线l 交AC 于D ，BC =4，点P 在直线l 上，则P A +PB 的最小值是． 7．如图所示，点A 、B 均在由边长为1的相同小正方形组成的网格的格点上，若要在直线l 上找一点，使得P A 与PB 的差最大，那么P 点应在点处． 8．如图，点P 在∠AOB 的内部，点M 、N 分别点P 关于直线OA 、 OB 的对称点，线段MN 交OA 、 OB 于点E 、F ．若△PMN 的周长为20cm ，PG =2cm ，PH =4cm ，则△PEF 的周长为 cm ．三、解答题

八年级数学几何最值问题综合检测(二) (北师版)(含答案)

几何最值问题综合检测（二）（北师版）

一、单选题(共5道，每道16分)

1.如图，A，B是位于直线异侧的两点，点A到直线的距离AC=2，点B到直线的距离BD=1，且CD=3．若P是直线上一动点，则的最大值为( )

A. B.

C.3

答案：D

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题

2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=3，在△ABC内部以AC为斜边任意作Rt△ACD，连接BD，则BD长度的最小值为( )

A.2

B.4

C.5

D.1

答案：D

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边上中线等于斜边一半

3.如图，在锐角△ABC中，，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D．若M，N分别是边AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是( )

A.4

C.6

D.8

答案：A

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题

4.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=1，AB=2，BC=3，P为AB边上的一动点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，则对角线PQ的最小值是( )

A.2

B.3

C.4

D.5

答案：C

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：几何最值问题

5.如图，已知钝角三角形ABC的面积为3，最长边AB的长为2，BD平分∠ABC．若M，N 分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值为( )

A. B.3 C.6 D.2

答案：B

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：轴对称—最值问题

二、填空题(共1道，每道20分)

6.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E，F分别在AB，BC边上，将△BEF沿EF折叠，点B落在处，当在矩形ABCD内部时，的最小值为____.

北师大七年级下《第五章生活中的轴对称》能力提升训练含答案

生活中的轴对称能力提升训练

一、选择题

1.下列图形中，不一定是轴对称图形的是（）

A. 一条线段

B. 两条相交直线

C. 有公共端点的两条线段

D. 角

2.如图，已知△ABC的两条边AC=8，BC=6，现将△ABC沿DE折叠，使点A与点B重合，

则△BCE的周长是（）

A. 10

B. 12

C. 14

D. 22

3.把一个正方形纸片折叠三次后沿虚线剪断①②两部分，则展开①后得到的是（）

A. B. C. D.

4.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将

△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（）

A. 2-2

B. 6

C. 2-2

D. 4

5.如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1

处，BC1交AD于点E，则线段DE的长为（）

A.3

C. 5

6.在△PMN中，PM=PN，AB是线段PM的对称轴，

且AB分别交线段PM于A，交线段PN于B，

若△PMN的周长为60厘米，△BMN的周长为

36厘米，则MN的长为（）

A. 6厘米

B. 12厘米

C. 18厘米

D. 24厘米

7.如图，一张三角形纸片ABC，其中∠C=90°，AC=4，BC=3．现小林将纸片做三次折叠：

第一次使点A落在C处；将纸片展平做第二次折叠，使点B落在C处；再将纸片展平

做第三次折叠，使点A落在B处．这三次折叠的折痕长依次记为a，b，c，则a，b，c 的大小关系是（）

A. c＞a＞b

B. b＞a＞c

C. c＞b＞a

D. b＞c＞a

数学北师大版七年级下册专题复习——与轴对称有关的线段最值问题

M A 专题复习线段最值问题（1）

——与轴对称有关的最小值问题

成都市人民北路中学 2017级数学组薛强

【学习目标】

1、掌握“将军饮马”问题的数学模型。

2、利用“将军饮马”问题的数学模型解决与轴对称有关的最值问题。

3、感受数学建模思想、转化思想的同时，培养层层推衍的学习思维和不断挑战的创造力。【学习重点】

利用“将军饮马”问题的数学模型解决与轴对称有关的最值问题。【学习难点】

根据题意准确作出对称点，构建特殊三角形计算最值。【学习过程】一、原生问题【将军饮马】

一位将军从A 地出发到小河MN 边饮马，然后再前往B 地，怎样走才能使PA+PB 最小？

二、衍生问题

问题1 如图Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝4，D 为BC 的中点，E 为AC 边上一动点，连结ED 、EB ，则△BDE 周长的最小值为______.

问题2 如图所示，已知点C(1，0)，直线7y x =-+与两坐标轴分别交于 A ，B 两点，D ，E 分别是AB ，OA 上的动点，则△CDE 周长的最小值是______．

练习：如图，已知正方形ABCD 边长为3，点E 在AB 边上且BE=1，点P ，Q 分别是边BC ，CD 的动点（均不与顶点重合），则四边形AEPQ 的周长的最小值为__________.

A A

问题3 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD 是∠BAC 的平分线。若P 、Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC+PQ 的最小值为 ____________.

北师大版初中数学七年级下册第五单元《生活中的轴对称》单元测试卷(较易)(含答案解析)

北师大版初中数学七年级下册第五单元《生活中的轴对称》单元

测试卷（较易）（含答案解析）

考试范围：第五单元；考试时间：120分钟；总分：120分，

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列运动图标中，属于轴对称图形的是( )

A. B. C. D.

2. 如图，牧童家在B处，A、B两处相距河岸的距离AC、BD分别为500m和300m，且C、D两

处的距离为600m，天黑牧童从A处将牛牵到河边去饮水，在赶回家，那么牧童最少要走( )

A. 800m

B. 1000m

C. 1200m

D. 1500m

3. 如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，∠BAC=60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分

别是AD和AB上的动点，当BM+MN取得最小值时，AN=( )

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

4. 如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的( )

A. 中线

B. 中位线

C. 高线

D. 角平分线

5. 2021年是农历辛丑牛年，习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民服务孺子牛、创新发展拓荒牛、艰苦奋斗老黄牛”精神，某社区也开展了“迎新春牛年剪纸展”，下面的剪纸作品是轴对称图形的是( )

6. 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( )

A. SSS

B. ASA

C. AAS

D. 角平分线上的点到角两边距离相等

7. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边的中点，则下列结论中不一定正确的是( )

【北师大版】七年级数学下册《轴对称与轴对称图形》专题试题(附答案)

北师大版七年级数学下册专题训练系列（附解析）

专训轴对称与轴对称图形

名师点金：轴对称图形是指“一个图形”，成轴对称是指“两个图形”的位置关系．在某种情况下，二者可以互相转换．可以利用轴对称求几何图形中最短路径或最值．

轴对称及其作图

1．下列图形中，右边图形与左边图形成轴对称的是()

2．如图，已知△ABC和直线MN，求作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于直线MN对称(不要求写作法，只保留作图痕迹)．

(第2题)

轴对称图形再认识

3．如图，在由四个小正方形组成的田字格中，△ABC 的顶点都是小正方形的顶点．在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形共有________个．

(第3题)

(第4题)

4．如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了灰色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成灰色，使整个涂成灰色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有________个．

轴对称及轴对称图形性质的应用

类型1 利用轴对称及轴对称图形的性质求面积(转化思想)

(第5题)

5．如图，最外面大圆的面积为58π，则阴影部分的面积为( )

A ．58π

B ．29π C.583π D.292

π 类型2 利用轴对称解决四边形中的折叠问题

6．如图，把一张长方形纸片ABCD 按图中的方式折叠，使点A 与点E 重合，点C 与点F 重合(E ，F 两点均在BD 上)，折痕分别为BH ，DG .试说明：△BHE ≌△DGF.

(第6题)

类型3利用轴对称的性质解决几何中的最值问题

7．如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内一点，OP＝10，点M，N分别在OA，OB上，求△PMN周长的最小值．

七年级数学轴对称之最值问题(一)(北师版)(专题)(含答案)

轴对称之最值问题（一）（北师版）（专题）

一、单选题(共8道，每道12分)

1.如图，直线是一条河，P，Q两地位于的同侧，欲在上的某点M处修建一个水泵站，

向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是( )

A. B.

C. D.

答案：B

解题思路：

特征：定点：P，Q；动点：M；动点在定直线l上运动，

所求为PM+QM的和最短，属于轴对称路径最短问题

操作：

作定点P关于定直线l的对称点，则，

根据两点之间线段最短，连接交直线l于点M，

则PM+QM即为所求最短距离．

故选B．

试题难度：三颗星知识点：略

2.如图，A，B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线a表示输水总管道，直线b表示输煤气总管道．现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A，

B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料都最短．图中，点是点A关于直线b的对称点，分别交直线b，a于点C，D；点是点B关于直线a 的对称点，分别交直线b，a于点E，F．则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是( )

A.F和C

B.F和E

C.D和C

D.D和E

答案：A

解题思路：

首先根据特征判断此题为轴对称路径最短问题，需要明确

输水和输煤气分管道的位置，

点B关于直线a的对称点为，则线段与a的交点F

就是应建的输水分管道的连接点位置．

点A关于直线b的对称点为，则线段与b的交点C

就是应建的输煤气分管道的连接点位置．

故选A．

试题难度：三颗星知识点：略

3.如图，等边三角形ABC的边长为4，AD平分∠BAC，F是AD边上的动点，E是AC边上一点．若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则点F的位置为( )

(北师大版)北京市七年级数学下册第五单元《生活中的轴对称》测试(答案解析)

一、选择题

1．如图，在33⨯的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中ABC 是一个格点三角形，在这个33⨯的正方形格纸中，与ABC 成轴对称的格点三角形最多有（）

A ．3个

B ．4个

C ．5个

D ．6个 2．如图，ABC 与111A B C △关于直线MN 对称，点P 为MN 上任一点，下列结论中错

误的是（）

A ．1AA P 是等腰三角形

B ．MN 垂直平分1AA

C ．ABC 与111A B C △面积相等

D ．直线AB ，11A B 的交点不一定在MN 上 3．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔.若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（）

A ．1 号袋

B ．2 号袋

C ．3 号袋

D ．4 号袋 4．正方形是轴对称图形，它的对称轴有（）

A ．2条

B ．4条

C ．6条

D ．8条 5．如图，将长方形ABCD 沿线段EF 折叠到''EB C F 的位置，若'105EFC ∠=︒，'DFC ∠的度数为（）

A ．20︒

B ．30

C ．40︒

D ．50︒

6．如图，矩形纸片ABCD 沿着BE 折叠，使C 、D 两点分别落在C 1、D 1处，若∠ABC 1＝45°，则∠ABE 的度数为（）

A ．22.5°

B ．21.5°

C ．22°

D ．21° 7．把一张对边互相平行的纸条按如图所示折叠，EF 是折痕，若∠EFB ＝34°，则下列结论

不正确的是（）

A ．34C EF '∠︒＝

数学北师大版八年级下册最值问题专项练习

归纳小结：
运用几何知识解决有关平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；
（3）应用全等变换（对称和旋转）的性质及两个公理求最值；
请回答问题二、解决最值问题实质是什么？
——将几何最值问题转化为应用两点间线段最短的公理或者垂线段最短公理解决。
将几何最值问题转化为应用两点间线段最短的公理或者垂线段最短公理解拓展练习如图在abc中ab13bc14ac15点d在ac上可与点ac重合分别过点ac作直线bd的垂线垂足为ef设bdxaemcfn当点d与点a重合时我们认为sabd0求mn与x的函数关系式并求mn的最大值和最小值
最值问题专项练习 —— 评练
应用旋转的性质及两点之间线段最短或垂线段最短求最值：作业 931
针对练习5：如图，在锐角△ABC中，AB=4，BC=5， ∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到 △A1BC1．点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．
二、应用轴对称的性质及两点之间线段最短求最值作业（2）（8）8人
y
B D P O C A
x
应用轴对称的性质及两点之间线段最短求最值
针对练习3：如图，四边形ABCD中，∠BAD＝ 120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋ ∠ANM的度数为_____________.

数学北师大版八年级上册轴对称与坐标变化--线段和的最值与动点问题微探究

线段和的最值与动点问题探究

探究活动一

1、在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A（2，3），B（4，1）.

探究问题1：若P是x轴的一个点，当PA—PB最大时，求点P的位置坐标。

2、平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A（2，3），B（4，1）.

探究问题2：若P是x轴的一个动点，当PA+PB最小时，求点P的位置坐标。

探究活动二

问题再现2：如图，∠AOB=45°，角内有一动点P ，PO=10，在AO，BO上有两动点Q，R，求△PQR周长的最小值。

2、在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A（2，3），B（4，1）.

探究问题4：设M，N分别为x轴和y轴上的动点。当四边形ABMN的周长最小时，求M，N点的位置坐标。

3、在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A（2，3），B（4，1）.

探究问题5：

若EF是定长为1的线段，且在x轴上移动。当四边形ABEF的周长最短时，求E，F 的坐标。

四、中考链接：

1、在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n =______时，AC + BC的值最小．

2、如图，A，B分别为坐标轴上的点，P为∠AOB平分线上的点，PA⊥PB。

（1）若A（0，1），P（2，2），求B点坐标。

（2）如图，点M为△POB内一点，E为OB上的动点，F为OP上的动点。若0M=1，当△MEF的周长最短时，请画出图形并求此时的周长值。

练习选做：

1、在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.

轴对称最值问题(线段和最小或差最大)(北师版)(含答案)

轴对称最值问题（线段和最小或差最大）（北师

版）

一、单选题(共8道，每道12分)

1.已知A和B两地在一条河的两岸，现要在河上建造一座桥MN，使从A到B的路径AM-MN-NB 最短，则应按照下列哪种方式来建造（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）( )

A. B.

C. D.

答案：D

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题

2.如图，已知A（1，3），B（5，1），长度为2的线段PQ在x轴上平行移动，当AP+PQ+QB 的值最小时，点P的坐标为( )

A. B.

C.（1，0）

D.（5，0）

答案：B

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题

3.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．若E，F为边OA上的两个动点，且EF=2，则当四边形CDEF的周长最小时，点F的坐标为( )

A. B.

C.（2，0）

D.（3，0）

答案：B

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题

4.如图，当四边形PABN的周长最小时，a的值为( )

A. B.1 C.2 D.

答案：A

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题

5.如图，两点A，B在直线MN的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=6，CD=4，P 在直线MN上运动，则的最大值为( )

A. B.

C. D.

答案：C

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题

6.如图，已知两点A，B在直线的异侧，A到直线的距离AC=6，B到直线的距离BD=2，CD=3，点P在直线上运动，则的最大值为( )

新北师大版七年级数学下册第五章《生活中的轴对称》单元复习卷含答案解析(36)

一、选择题（共10题）

1.如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有( )

A．1个B．2个C．3个D．4个

2.点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于6，点Q是OB边上的任意一点，则

下列选项正确的是( )

A．PQ>6B．PQ≥6C．PQ<6D．PQ≤6

3.下列汽车标志中不是轴对称图形的是( )

A．B．C．D．

4.下列图形是轴对称图形的是( )

A．B．C．D．

5.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )

A．B．C．D．

6.下列图案中，属于轴对称图形的是( )

A．B．C．D．

7.下列不是轴对称图形是

A．B．

C．D．

8.下列美丽的图案中，不是轴对称图形的是( )

A．

B．

C．

D．

9.读书使人进步，下列图书馆的馆徽不是轴对称图形的是( )

A．B．C．D．

10.以下是各种交通标志指示牌，其中不是轴对称图形的是( )

A．B．

C．D．

二、填空题（共7题）

11.某公路急转弯处设立了一面大镜子，从镜子中看到汽车的车辆的号码如图所示，则该汽车的号码

是．

12.小刚从镜子中看到的电子表的读数是[15:01]，则电子表的实际度数是．

13.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，且DE=3cm，

BD=5cm，则BC=cm．

14.如果一个多边形是轴对称图形，那么这个多边形可以是（写出一个即可）．

15.在等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆这7种图形中，一定是轴对称

图形的共有种．

16.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D．若AB=6，CD=4，则△ABC的周长

轴对称的应用专项训练(一)(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题

问题1：轴对称最值问题的特征：

①有定点、_____；

②动点在____________上运动，

③求动点与定点连接组成的____________．

问题2：轴对称最值问题的解决方法：

以_______________为对称轴，作______的对称点，________________，利用_____________进行处理．

问题3：如图，AD垂直平分线段BC．看到像这样的条件“垂直平分”想什么？

问题4：如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D．看到像这样的条件“角平分线+垂直”想什么？

问题5：如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC．看到像这样的条件“等腰+角平分线”想什么？

问题6：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D．看到像这样的条件“等腰+高线”想什么？

问题7：如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点．看到像这样的条件“等腰+中线”想什么？

轴对称的应用专项训练（一）（北师版）

一、单选题(共7道，每道14分)

1.如图，在等腰△ABC中，AC=BC，AC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，△ABD 的周长为10，BC=6，则△ABC的周长为( )

A.16

B.14

C.22

D.26

答案：A

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：垂直平分线相关定理

2.如图，△ABC的周长为15cm，AC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，连接AD．若AE=2cm，则△ABD的周长是( )

A.13cm

B.12cm

C.11cm

D.10cm