十二章静不定问题
结构力学教程——第12章 渐进法和超静定结构的影响线
性质，可得到柱子两端弯矩。
知识点 12.5-3
柱间有水平荷载作用时的计算
I=∞
A
C
q
i1 h1
B
i2 h2 D
I=∞
A
C
q
i1 h1
i2 h2
B
+
D
A
i1 h1 B
I=∞ C
i2 h2 D
P 单跨梁计算
P 力矩分配法
知识点
12.6 用机动法绘制连续梁的影响线
力法基本方程
11 Z1 1P 0
SBA 1 5
CBA 1
例2：作图示刚架的弯矩图
解 （1）固端弯矩
M
F AB
M
F BA
1 4 kN 3.3m 2
= 6.6kN m
M
F BC
M
F CB
1 (4 8.5)kN 3.6m 2
= 22.5kN m
（2）分配系数
SBA iBA 3.5 SBC iBC 5 SBE 3iBE 162
（http://structuremechanics/index1.htm）
1. 课程导入
连续梁桥
q
多跨连续梁
2. 结点力矩下单结点力矩分配
2.1 力矩分配法概念的提出 回顾位移法
例1：若梁线刚度 i 相同，求梁各杆端弯矩。
M
M
B
A
MBA MBC
M BA 4iB
B
θB
C
M AB 2iB
M BC 3iB
SCB 4 SCF 2 SCD 3
CB 0.445 CD 0.333 CF 0.222
解（1）转动刚度和分配系数
EI0=1
范钦珊版材料力学习题全解 第12章 简单的静不定系统
（a）
（b） 习题 12－4 图
（A） FQA = FQB = 0 ， FNA = FNB = 0 ， M A = M B = 3( M / 3) ； （B）需解超静定才能确定； （C） FQA = FQB = 0 ， FNA
= FNB = 0 ，MA 、MB 需解超静定才能确定；
M 。 2
（D） FQA = FQB = FNA = FNB ，但需解超静定才能确定具体数值， M A = M B =
X 1δ11 + X 2δ12 + ∆1FP = 0 ⎫ ⎪ ⎬ X 1δ 21 + X 2δ 22 + ∆2 FP = 0 ⎪ ⎭
（a）
10
(a)
(b) 习题 12－7 (b) 解的图－1
利用图乘法求其中的位移，作用在静定基本系统上的载荷（图 c）以及沿多余约束力 X1 和 X2 方向施加的单位力（图 e 和 g）所产生的弯矩图分别如图 f 和 h 所示。据此，可以求得：
由此解得：
1 5 FP = FP （→） 6 3 10 考虑静定基本系统平衡，得到全部约束力 11 F Ax = FP + FRD = FP （←） 10 FRD =
M A = FP ⋅ l = FP l （逆）
12－7 平面刚架各杆的刚度都相同，所受载荷如图所示。若忽略轴力和剪力影响，试用 图乘法确定其约束力，并画出弯矩图,确定绝对值最大的弯矩值及其所在横截面。
应用卡氏定理，建立变形协调条件 ∆Dx = 0 。
∂M 3 = x3 ∂FRD
∆Dx =
l l ⎤ ∂M 3 ∂M 1 ∂M 2 1 ⎡ l dx1 + ∫ M 2 ( x2 ) dx2 + ∫ M 3 ( x3 ) dx3 ⎥ ⎢ ∫ 0 M 1 ( x1 ) 0 0 ∂FRD ∂FRD ∂FRD EI ⎣ ⎦
《工程力学》课程的知识体系和内容结构
《工程力学》课程的知识体系和内容结构1、课程的知识体系《工程力学》是一门是既与工程又与力学密切相关的技术基础课程，在基础课程和专业课程之间起桥梁作用。
通过本课程的学习，使学生掌握工程力学的理论和方法，具备从力学角度对工程问题的思维能力和初步解决此类问题的实践能力，并且获得大量的工程背景知识，为学习后续课程、掌握机械等工程设计技术打下牢固的基础。
本课程涵盖了“静力学”和“材料力学”两部分的内容。
“静力学”主要研究刚体的受力和平衡的规律；“材料力学”主要研究构件强度、刚度和稳定性的问题，在保证构件既安全适用又经济的条件下，为合理设计和使用材料提供理论依据。
静力学主要研究的问题：物体的受力分析、力系的简化和力系的平衡条件。
材料力学主要研究的问题：杆件在发生拉伸或压缩、剪切、扭转和弯曲基本变形时内力、应力和变形的计算，在各种基本变形下的强度和刚度计算；应力状态的基本理论；材料在复杂应力作用下破坏或失效规律及其应用；压杆稳定性问题。
2、课程的内容结构第一章介绍静力学的基本概念，常见的几类典型约束及约束力的特征，物体的受力分析。
第二章介绍汇交力系的简化和平衡条件。
第三章介绍力偶的概念及其对刚体的作用效应，力偶系的合成与平衡条件。
第四章介绍平面任意力系的简化、平衡条件和平衡方程，刚体系的平衡问题求解。
第五章介绍空间任意力系的简化和平衡条件。
第六章静力学专题：桁架杆件内力的求解；滑动摩擦、摩擦角和自锁现象、以及滚动摩擦的概念。
第七章介绍材料力学的研究对象、基本假设、外力和内力、应力和应变的概念。
第八章介绍拉压杆的内力、应力、变形及材料在拉伸与压缩时的力学性能，拉压杆的强度和刚度问题，简单静不定问题，拉压杆连接部分的强度计算。
第九章介绍圆轴扭转的外力、内力、应力与变形，圆轴的强度和刚度计算，静不定轴的扭转问题。
第十章介绍梁的外力和内力（剪力与弯矩），内力图的绘制。
第十一章介绍对称弯曲时梁的正应力、切应力、强度计算和梁的合理强度设计。
静不定问题分析(精)
• 另一相当系统的选取
M0 3R
M0 3R
Mo
• 对应单位载荷系统
1 1
计算A点水平位移。
q R B A RA
1.计算RA (1)变形协调条件 fA=0 (2)计算 M 在 d 微段上由
qRd
qRd
M
q
引起
d RA
dM qRd R1 cos
仅在结构内部存在多余约束－内力静不定结构
• 静不定度判断:平面桁架：
内力静不定度 = m - 2n + 3 m: 杆数 外力静定 内力静不定(一度) n: 节点数
几何可变
4 - 24 + 3 = -1
5 - 24 + 3 = 0
6 - 24 + 3 = 1
平面刚架：
静不定度判断
轴线为单闭合曲线的平面刚架或平面曲杆、且仅在轴线平 面内承受外力时，为 3 度内力静不定问题 断开： 内力静 定 刚性连接： 多了三个 约束
§2 Force method to solve statically indeterminate problems用力法分析静不定问题
外静不定问题 内静不定问题
力法求解步骤Procedure of Force Method 判断静不定度Identify the degree of statical indeterminacy; 选择与静不定度同等数量的多余约束 Select same number of statical redundants，either reactions or stress resultants，as redundant forces that are not needed to maintain an immovable structure in static equilibrium； 解除多余约束→静定的基本系统；加载荷及多余力→相当系 统Set up released structure (primary structure) which is statically determinate; loaded by actual loads and redundents; 建立协调方程，用单位载荷法计算相当系统在多余约束处 的位移，得到用多余未知力与载荷表示的变形补充方程Find compatible equations and solve for redundents by means of unit-load method; 由平衡方程及补充方程确定多余未知力Obtain redundents by equations of static equilibrium and equations of compatibility，通过相当系统，计算原结构的应力与位移等.
十二章静不定问题
相当系统和原静不定结构的变形比较，建立变形协调方程
变形协调方程
变形比较法
Ve Ve Ve 0, 0 0 FR1 FR 2 FRn
静力平衡方程
可求解全部未知力，进而可求内力。 欲求静不定结构某点的位移，可在相当系统上求解。
F 0.5 L B A L F B A C C
例 等截面梁如图，求B 点的挠度。 解：1.求多余未知力 ①取静定基如图 ②求内力 FC
Δ1= Δ11＋ Δ12＋ Δ1P = 0 Δ2= Δ21＋ Δ22＋ Δ2P = 0
将多余未知力分离出来，记 Δi j = δi j Xj
δi j —— Xj = 1 引起静定基的 i 点沿 Xi 方向 的位移,可用莫尔定理计算。 Δ1= δ11X1 ＋ δ12X2 ＋ Δ1P = 0 Δ2= δ21X1 ＋ δ22X2 ＋ Δ2P = 0
P
a
A
B P
11 X 1 1P 0
对称轴处沿铅直 (对称)方向位移为零
X1
X1
用莫尔定理求11和自由项1 P 。
变形协调方程的标准形式，即所谓的力法正则方程。
X1——多余未知力；
11——静定基上， X1=1时引起的 1 点沿 X1
方向的位移； 1P——静定基上， 由原载荷引起的与X1对 应的位移。
F 2
相当系统
F
1
X1
X2 Δ1=0
二次静不定
变形协调方程
Δ2=0
Δ1 —— 与 X1 对应的位移（1点水平线位移）， 由X1 ，X2 和 F 共同作用引起 Δ2 —— 与 X2 对应的位移（2点竖直线位移）， 由X1 ，X2 和 F 共同作用引起
————力法正则方程
对于静不定次数为 n的结构，正则方程如下：
静不定问题
一、轴的内力 扭矩 T
Me
T T
上节回顾
Me
留左半，求扭矩
留右半，求扭矩
∑Mx=0 , T-Me=0
∑Mx=0 , Me –T =0
T=Me
T=Me
扭矩的正负号：矩向量离开截面为正（图中T 为正3）
上节回顾
二、薄壁圆筒纯剪切 1、剪切胡克定律 当 τ ≤ τp
τ = G γ,
2、剪应力互等定理
等效系统多余未知力作用处的位移， 等于原静不定结构多余约束处的实际位 移。
满足上述条件后，等效系统的受力和 变形就与原静不定结构完全相同，等效 系统的解就是原静不定结构的解，也就 是说，解题可以在等效系统上进行。
24
A
Me C
Me D
B
例题 3
已知: Me，a，
a
a
a
GIP
A
Me C
Me D
B MB 求：作扭矩图
(a)
´ (b)
M
1. 点M的应力单元体如图(b)：
2. 斜截面上的应力；
取分离体如图(d)：
´ (c)
x
´
(d)
37
(d)
dA
n
n
dAcosα
x
´
´ dAsinα
t
t 由平衡方程：
Fn 0 ; dA (dAcos)sin (dAsin)cos 0
t
r
τ
T 2 r 2 t
τ
4
三、圆轴扭转切应力
上节回顾
扭转问题的变形特点分析
γρ ρ
dφ
dx
dx
材料力学 静不定系统
第十三章静不定问题分析§13-1 静不定结构概述1．定义用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构或结构系统，统称为静不定结构或系统，也称为超静定结构或系统。
2．静定、静不定结构（系统）无多余联系的几何不变的承载结构系统，其全部支承反力与内力都可由静力平衡条件求得，此系统称为静定结构或系统。
静定结构除了变形外，没有可运动的自由度（图12-1（a、b））如解除简支梁的右端铰支座，或解除悬臂梁固端对转动约束，使之成为铰支座，则此时的梁变成了图12.1（c）的可动机构，是几何可变系不能承受横向载荷。
在无多余联系的几何不变的静定系统上增加约束或联系，称为多余约束，并因而产生多余约束反力，则这样的有多余约束的系统，仅利用静力平衡条件无法求得其反力和内力，称为静不定（或超静定）系统，如图12-2。
外静不定：静不定结构的外部支座反力不能全由静力平衡方程求出的情况，常称为外静不定结构（图12-2b，d）内静不定：静不定结构内部约束(或联系)形成的内力不能单由静力平衡方程求出的情况称为内静不定结构（图12-2a，c）。
对于内、外静不定兼而有之的结构，有时称为混合静不定结构。
3．静不定次数的确定1）根据结构约束性质可确定内、外约束力总数，内、外约束力总数与独立静力平衡方程总数之差即为静不定结构的静不定次数。
2）外静不定的判断：根据结构与受力性质，确定其是空间或是平面承载结构，即可确定全部约束的个数。
根据作用力的类型，可确定独立平衡方程数，二者之差为静不定次数。
如图12-3（b），外载荷为平面力系，则为三次外静不定静，而图12-3（c）为空间力系，则为六次外静不定。
3）内静不定次数确定桁架：直杆用铰相连接，载荷只作用于结点，杆只受拉压力的杆系，其基本几何不变系由三杆组成（图12-4a）。
图12-4（b）仍由基本不变系扩展而成，仍是静定系，而（c）由于在基本系中增加了一约束杆，因而为一次超静定。
刚架：杆以刚结点相连接，各杆可以承受拉、压、弯曲和扭转，这样的杆系为刚架（图12-5）。
材料力学第十二章压杆的稳定
Pcr
=
π 2 EI (µL)2
= π 2EI
L2e
- - - - Euler formula
where : Le = µ L - - effective length;
µ - - coefficient of length concerned with boundary conditions
12-2 Limitation of the Euler Formulas and Slenderness
3. Stability
n=Pcr/Pmax=406/42=9.7 >nallow=8
Being in stable
12-3 提高压杆稳定性的措施
●尽量减小压杆长度 对于细长杆,其临界载荷与杆长平方成反比。因此,减小杆长可以显著
地提高压杆承载能力。在某些情况下,通过改变结构或增加支点可以达到 减小杆长、提高压杆承载能力的目的。例如,图a、b所示的两种桁架,不难 分析,两种桁架中的杆①、④均为压杆,但图b中的压杆承载能力要远远高 于图a中的压干杆。
Find the shortest length L for a steel
column with pinned ends having a cross-sectional area of 60
by 100 mm, for which the elastic Euler formula applies. Let
●合理选用材料
在其它条件均相同的情形下,选用弹性模量E数值大的材料,可以提高大 柔度压杆的承载能力,例如钢杆临界载荷大于铜、铸铁或铝制压杆的临界 载荷。但是,普通碳素钢、合金钢以及高强度钢的弹性模量数值相差不 大。因此,对于细长杆,若选用高强度钢对压杆临界载荷影响甚微,意义不大, 反而造成材料的浪费。但对于粗短杆或中长杆,其临界载荷与材料的比例 极限σP,和屈服强度σYP有关,这时选用高强度钢会使临界载荷有所提高。
清华出版社工程力学答案-第12章 简单的静不定问题
4． 联立求解 将（a） 、 （b） 、 （c）三式联立，求得：
F1 =
(16 + 2 ) l
2 Eδ
2 EAδ
， F2 =
1
(16 + 2 ) l
4 EAδ
1
据此求得二杆横截面上的正应力分别为：
F1杆 = F2杆 =
(16 + 2 ) l
4 Eδ
＝
2 × 200 ×109 × 1. 5 × 10−3
1
(16 + 2 ) ×1.5
= 16.2 MPa
(16 + 2 ) l
＝
4 × 200 × 109 ×1. 5 ×10−345.9 MPa
12－7 两端固定的阶梯杆如图所示。已知 AC 段和 BD 段的横截面面积为 A，CD 段的 横截面面积为 2A。杆材料的弹性模量 E=210GPa，线膨胀系数α =12×10-6 /oC。试求：当温 度升高 30°C 后，该杆各段横截面内的应力。
将式（2）代入式（1） ，得到 4 x − 2b = 3b − 2 x 由此解得
=
σi
（2）
x=
5 b 6
12－4 在图示结构中，假设梁 AC 为钢杆，杆 1，2，3 的横截面面积相等，材料相同。 试求：三杆的轴力。 解：设三杆轴力分别为 FN1、FN2、FN3，方向如图 b 所示。由于假设 3 杆缩短，1、2 杆 伸长，故应将 FN3 设为压力，而 FN1、FN2 设均为拉力。
A
(a) 固定端
圆管
m
B
M=ml
实心圆轴 l 刚性圆盘 M=ml m
A
(b)
圆管
B
MB 管
MB B管 管 MB B轴 轴 圆管 实心圆轴 刚性圆盘
材料力学试卷及答案
一、低碳钢试件的拉伸图分为、、、四个阶段。
(10分)二、三角架受力如图所示。
已知F=20kN,拉杆BC采用Q235圆钢，［钢］=140MPa,压杆AB采用横截面为正方形的松木，[木]=10MPa，试用强度条件选择拉杆BC的直径d和压杆AB的横截面边长a。
(15分)三、实心圆轴的直径D＝60 mm。
传递功率P＝70 kW，轴的转速n＝180 r/min，材料的许用切应力[]＝100 MPa，试校核该轴的强度。
（10分）四、试绘制图示外伸梁的剪力图和弯矩图，q、a均为已知。
（15分）qa a2qa2 qaABC五、图示为一外伸梁，l=2m，荷载F=8kN，材料的许用应力[]=150MPa，试校核该梁的正应力强度。
(15分)FCAB六、单元体应力如图所示，试计算主应力，并求第四强度理论的相当应力。
(10分)七、图示矩形截面柱承受压力F 1=100kN 和F 2=45kN 的作用，F 2与轴线的偏心距e =200mm 。
b =180mm ， h =300mm 。
求max和min。
（15分）σx ＝100MPaτx ＝100MPaσy ＝100MPalllFAB DC4F 100m m100mm60mm八、图示圆杆直径d =100mm ，材料为Q235钢，E =200GPa ，p=100，试求压杆的临界力F cr 。
(10分)《材料力学》试卷（1）答案及评分标准一、 弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、颈缩断裂阶段。
评分标准：各 2.5分。
二、 d =15mm; a =34mm ．评分标准：轴力5分， d 结果5分，a 结果5分。
三、 =87.５ＭＰa, 强度足够．评分标准：T 3分，公式4分，结果3分。
四、评分标准：受力图、支座反力5分，剪力图5分，弯矩图5分。
五、max =155.8MPa ＞［］=100 MPa ，但没超过许用应力的5%，安全． 评分标准：弯矩5分，截面几何参数 3分，正应力公式5分，结果2分。
工程力学试题复习
第十五章 压杆的稳定性一、 弹性平衡稳定性的概念1、 弹性体保持初始平衡状态的能力称为弹性平衡的稳定性。
2、 受压杆件保持初始直线平衡状态的能力称为压杆的稳定性。
二、 压杆的柔度：il μλ=，和压杆的长度、约束情况、截面形状及尺寸相关。
三、 压杆的分类根据压杆的柔度，压杆可分为三类：1） 细长杆（P λλ≥）：计算临界应力用欧拉公式22λπσE cr =；2） 中长杆（P sλλλ<≤）：计算临界应力用经验公式λσb a cr -=；3） 粗短杆（s λλ<）：计算临界应力用压缩强度公式s cr σσ=（或b σ）四、 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施可以从改善支承情况、减少压杆长度（或增加中间约束）、选择合理的截面形状、使压杆在各弯曲平面内的柔度相等（等稳定性结构）及合理选择材料等方面考虑。
第十四章疲劳强度一、疲劳强度的概念1、交变应力：随时间而周期性交替变化的应力。
2、疲劳破坏：构件在长期交变应力作用下，虽最大应力小于材料的静强度极限，而构件仍发生断裂破坏，这种破坏称为疲劳破坏。
构件抵抗疲劳破坏的能力称为疲劳强度。
3、疲劳强度的特点：1）疲劳强度比静强度低。
2）疲劳强度和交变应力的大小及应力循环次数有关。
3）疲劳破坏的断口有两个明显不同的区域：光滑区和粗糙区。
4、疲劳破坏的机理和过程：疲劳破坏是在长期交变应力作用下，构件裂纹萌生、扩展和最后断裂的过程。
5、材料的持久极限：材料经受无限次应力循环而不发生疲劳破坏的最高应力值。
二、是非判断题1、材料的持久极限仅与材料、变形形式和循环特征有关；而构件的持久极限仅与应力集中、截面尺寸和表面质量有关。
（错）2、塑性材料具有屈服阶段，脆性材料没有屈服阶段，因而应力集中对塑性材料持久极限的影响可忽略不计，而对脆性材料持久极限的影响必须考虑。
（错）3、当受力构件内最大工作应力低于构件的持久极限时，通常构件就不会发生疲劳破坏的现象。
（对）第十二章超静定问题一、超静定问题的概念1、当结构的支反力或内力仅用独立的平衡方程不能全部求出时，该结构称为超静定结构。
静不定问题1
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形分析与强度计算 章
结论与讨论
多余约束使结构由静定变为静不定，问题由静力平衡可 多余约束使结构由静定变为静不定 ， 解变为静力平衡不可解，这只是问题的一方面。 解变为静力平衡不可解， 这只是问题的一方面。 问题的另一 方面是，多余约束对结构或构件的变形起着一定的限制作用， 方面是，多余约束对结构或构件的变形起着一定的限制作用 ， 而结构或构件的变形又是与受力密切相关的， 而结构或构件的变形又是与受力密切相关的，这就为求解静 不定问题提供了补充条件。 不定问题提供了补充条件。
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形分析与强度计算 章
结论与讨论
未知力个数与独立的平衡方程数之差，称为静不定次数 未知力个数与独立的平衡方程数之差 ， 称为 静不定次数 (degree of statically indeterminate problem)。在静定结构上附 。 加的约束称为多余约束 多余约束(redundant constraint)，这种“多余” 加的约束称为多余约束 ，这种“多余” 只是对保证结构的平衡与几何不变性而言的， 只是对保证结构的平衡与几何不变性而言的，对于提高结构 的强度、刚度则是需要的。 的强度、刚度则是需要的。 关于静定与静不定问题的概念，本书将在第 章中介绍。 章中介绍。 关于静定与静不定问题的概念，本书将在第3章中介绍 但是，由于那时所涉及的是刚体模型， 但是， 由于那时所涉及的是刚体模型 ，所以无法求解静不定 问题。现在，研究了拉伸和压缩杆件的受力与变形后， 问题。 现在， 研究了拉伸和压缩杆件的受力与变形后 ，通过 变形体模型，就可以求解静不定问题。 变形体模型，就可以求解静不定问题。
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形分析与强度计算 章
结论与讨论
第十章 简单静不定问题
F
MA FB MC
y
0, FA FB 4q 0
FA 71.25 kN
M
FA
A
0,
M A 4q 2 4 FB 0
M A 125 kN m
F ’B
4.取BC 为研究对象，建立平衡方程：
FQ / kN
71.25
+
FC
F
y
0, FB FC F 0
M
max
3 qL 16
3 qL 16
5 qL 16
-
3 qL 16
7.5kN m
4.22kN m
+ 7.5kN m
+
5.建立强度条件 M max 32 M max 76.4MPa 3 WZ d 梁安全
目录
例10-10 梁AB 和BC 在B 处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，
建立补充方程
一、求解拉压静不定问题的约束反力
目录
例题10-1
解：1、列出独立的平衡方程
F 0 F 0
x y
FN1 FN 2 2FN1 cos FN 3 F 0
l1
l2
l3
2、找变形几何关系
l1 l2 l3 cos
3、物理关系
FN 1l l1 EA cos
A
EIZ
q
A
3.用叠加法求变形，建立补充方程
wB 1
wB 2
EIZ
B
qL4 FB L3 0 8 EI Z 3EI Z
3 FB ql 8
A
EIZ
B
FB
目录
西安交通大学 理论力学 静力学基础 平面任意力系5
(c)
FE ' = 2 P
取EC杆，其受力如图（c）所示，由
ΣM C = 0
取AED杆，其受力如图（b）所示，由
ΣM D = 0
ΣFx = 0
FE 2a FAy 2a + FAx 2a = 0
FAx + FBx = 0 得 P FBx = 2
得
FAx =
再取整体，其受力如图（a）所示，由
第五节 物体系统的平衡 静定与静不定问题的概念
1．物体系统的平衡 物体系统是指由几个物体通过约束组成的系统。其特点 有： （1）整体系统平衡，每个物体也平衡。可取整体或部 分系统或单个物体为研究对象。 （2）分清内力和外力。在受力图上不考虑内力。 （3）灵活选取平衡对象和列写平衡方程。尽量减少方 程中的未知量，简捷求解。 （4）如系统由n个物体组成，而每个物体在平面力系作 用下平衡，则有3n个独立的平衡方程，可解3n个未知量。 可用不独立的方程校核计算结果。
MA M
q
F
象，受力分析如图所示。
FAx
A
C
B
60
D
FB
l
∑F = 0
x x
l
l
l
FAx FB cos 60 F sin 30 = 0 Ax B ∑ Fyy = 0
FAy + FB sin 60 2 ql F cos 30 = 0 FAy + FB sin 60 2 ql F cos 30 = 0
Σ Fy = 0 : N – 2P = 0
Qmin
N
r = 2 P(1 ) R
课后作业：P 78 -79
4-13 4-15： (b)、(d) 4-16： (b)
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M CB ( x) x FC
M BA ( x) x FC
④变形协调方程
C
Ve FC
L
M ( x) M ( x) dx
EI FC
F 0.5 L
B
A
1 EI
0.5 L
0 FC x xdx
L 0.5L[FC x F ( x 0.5L)]
刚架 曲杆
桁架
第一类
第二类
平面杆系
第三类
静不定结构
受力 完
变形
全
等
价
相当系统
解除多余约束
静定结构
(几何不变)
解除约束处代之
解除不同的约 束可得到不同
的静定基
+ 多余约束力 原载荷
静定基
无任何载荷作
用的静定结构
求静不定问题只需对其静定的相当系统进行计算！
解除多余约束的方式：（平面问题） ①去掉一个可动铰或切断一根链杆（二力杆），相
qa4 6EI
A
2P
1 EI
a
(
0
12qx22 )
x2dx2
qa4 8EI
x1
X1=1
11
1 EI
(
a 0
x12dx1
a 0
a
2dx2
)
4a 3 3EI
A
22
1 EI
a 0
x22dx2
a3 3EI
x1
X2=1
12
21
1 EI
a
a3
当于解除一个约束；
②刚性联接改为铰联接，相当于解除一个约束；
③去掉一个单铰（圆柱铰或固定铰），相当于解除 两个约束；
④将刚性联接处切断（或去掉一个固定端），相当 于解除三个约束。
解除约束后的静定基必须是几何不变的静定结构。
§12–2 静不定结构的求解
一、卡氏定理求解静不定结构
静不定结构 承受载荷F1， F2… Fm 的作用
11X1 12 X 2 1n X n 1P 0
21X1 22 X 2 2n X n 2P 0
n1 X1 n2 X 2 nn X n nP 0
由位移互等定理知： i j ji
叠加 法求 位移
FR1
FR2
FRn
静力平衡方程
可求解全部未知力，进而可求内力。 欲求静不定结构某点的位移，可在相当系统上求解。
F 0.5 L
B
A L
F 0.5 L
B
A
例 等截面梁如图，求B 点的挠度。
C
解：1.求多余未知力
①取静定基如图
C FC
x
②求内力 MCB ( x) FC x x≤0.5L
M BA ( x) FC x F ( x 0.5L) x ≥0.5L
结构的变形是反对称的，结
构的内力是亦是反对称的。
例试求图示刚架的全部约束力，刚架EI为常数。 C
解：图示刚架有三个多余未知力。但 P
P
由于结构是对称的，而载荷反对称，
a
a
故对称轴横截面上轴力、弯矩为零，
只有一个多余未知力（剪力），只需
列出一个正则方程求解。
P
11X1 1P 0
对称 EI
l 2
F
(
x
) 2
xdx
5Fl 3 48EI
(d) A
(e) A
1
1X1 EI
l
0 X1 x xdx
X1l 3 3EI
11 X1
F
Cx
B
B x X1
B x1
④求多余约束力
11F
16
将上述结果代入变形协调方程得
l3
5Fl 3
3EI X1 48EI 0
Δ11, Δ12, Δ1P ——分别为X1 , X2 和 F 单独作用于静 定基上引起的1点水平线位移；
Δ21, Δ22, Δ2P ——分别为X1 , X2 和 F 单独作用于静 定基上引起的2点竖向线位移。
上述位移均可用能量法计算（如单位荷载法）
Δ1= Δ11＋ Δ12＋ Δ1P = 0 Δ2= Δ21＋ Δ22＋ Δ2P = 0
Δ1=0 Δ2=0
Δ1 —— 与 X1 对应的位移（1点水平线位移），
由X1 ，X2 和 F 共同作用引起
Δ2 —— 与 X2 对应的位移（2点竖直线位移）， 由X1 ，X2 和 F 共同作用引起
F
2
1
对线弹性、小变形材料
X1
Δ1= Δ11＋ Δ12＋ Δ1P = 0
X2
相当系统
Δ2= Δ21＋ Δ22＋ Δ2P = 0
称
轴
X3 X2 X2
X1 X1 X3 F
X2 X2
X1 X1 F/ 2
X3 F/ 2 F/ 2
X3 F/ 2
X2 X2
X1 X1 F/ 2
对称结构在对称载荷作用
F/ 2 下，对称轴处反对称内力 为零，结构的变形是对称
的，结构的内力是对称的。
X3 F/ 2
X3
对称结构在反对称载荷作用
F/ 2 下，对称轴处对称内力为零，
n为静不 完全等价
定次数
相当系统
承受原载荷F1， F2… Fm和 多余约束力FR1， FR2… FRn 的作用
Ve= Ve （ F1，… Fm , FR1，… FRn ） 应变能是原载荷与多余约束力的函数。
相当系统和原静不定结构的变形比较，建立变形协调方程
变形协调方程
变形比较法
Ve 0, Ve 0 Ve 0
不
是静不定的，称为外力静不定系统。
定
问 第二类：仅在结构内部存在多余约束，即内力是静不
题
定的，称为内力静不定系统。
分
类 第三类：在结构外部和内部均存在多余约束，即支座
约束力和内力均是静不定的，称为内外力静
不定系统。
分 析
1.力法：以未知力作为基本未知量的求解方法。
方 法
2.位移法：以未知位移作为基本未知量的求解方法。
(a)
求支座力，作弯矩图，并求梁
A
C
B
中点的挠度。
l
l
2
2
解：①判定多余约束力的数目
（一个） (b)
②选取并去除多余约束，代
A
之多余约束力，列出变形
协调方程，见图(b)。
F
C
B
X1
B 1X1 1P 0 变形协调方程 ③用莫尔定理计算 1P 和 1X1 (c)
A 由莫尔定理可得(图c、d、e)
M= M（ F1，… Fm , FR1，… FRn ） 弯矩是原载荷与多余约束力的函数。
M
M
M
FR1 M1, FR2 M2 FRn Mn
M1, M2 Mn
实际是静定基在解除约 束处分别单独作用一个 广义单位力时的弯矩。
1
Ve FR1
M M dx
⑤求其它约束力
X1
5F 16
(f
)
A
3Fl 16
由平衡方程可求得A端力，
其大小和方向见图(f)。 ⑥作弯矩图，见图(g)。
(g) –
3Fl
16
F C
5Fl 32
+
B
5F 16
⑦求梁中点的挠度
选取基本静定系( 图( b)) 作为计算对象，单位载荷如图(h) 。
用莫尔定理可得
F
1
vC EI
卡氏定理求静 定结构位移处 的载荷与其它 载荷要区别开
求偏导 之后
M BA ( x) x F
M BA ( x)
5 16
F(x
0.5L)
Fx
5 32
FL
11 16
Fx
③求变形
F 0.5 L
B
C
vB
Ve F
L
M ( x) M ( x) dx EI F
A
x
FC
l EI FR1
MM1 dx 0 l EI
2
l
MM 2 EI
dx
0
n
MMn dx 0 l EI
由于在解除约束处有力作用，单位载荷
法实质上与卡氏定理相同，但单位载荷法求
某点位移时不需各载荷用不同符号区分开来。
三、用力法求解静不定结构
F
例如图所示，梁EI为常数。试
A
B
P X1 X1
用莫尔定理求11和自由项1 P 。
x2 x2
P
x1
x1
X1=1
2a
a
Pa 3
1P EI 0 ( Px2 ) 2dx2 2EI
11
2 [
EI
a 2 0
x12 dx1
a 0
a (
2
)2
dx2
]
7Pa 3 12EI
则
7Pa 3 12EI
余约束力，得相当系统；
③建立力法正则方程；
B
11X1 12 X2 1P 0 21X1 22 X2 2P 0
④计算系数i j和自由项i P；
用莫尔定理求得
q B
a
A X1 X2