常见递推数列通项公式求法(教案)

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常见递推数列通项的九种求解方法(1)

常见递推数列通项的九种求解方法(1)高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。

是一类考查思维能力的好题。

要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。

类型一：an1解决方法累加法af(n)（fn可以求和）n例1、在数列an中，已知a1=1，当n2时，有anan12n1n2，求数列的通项公式。

解析：anan12n1(n2)a2a11aa332a4a35上述n1个等式相加可得：anan12n1∴ana1n21ann2评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。

【类型一专项练习题】1、已知a11，anan1n（n2），求an。

2、已知数列an，a1=2，an1=an+3n+2，求an。

，a11，求数列{an}的通项公式。

3、已知数列{an}满足an1an2n14、已知{an}中，a13,an1an2n，求an。

11某5、已知a1,an1an(nN),求数列an通项公式.226、已知数列an满足a11,an3n1nan1n2,求通项公式an？7、若数列的递推公式为a13,an1an23n1(nN某)，则求这个数列的通项公式8、已知数列{an}满足an1an23n1，a13，求数列{an}的通项公式。

9、已知数列an满足a111，an1an2，求an。

2nn，2，3，）10、数列an 中，a12，an1ancn（c是常数，n1，且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．（I）求c的值；（II）求an的通项公式．11、设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)；当n4时，f(n)（用n表示）．n(n1）n(3n1)31答案:1.an2.an3.ann214.an2n15.an2222n1313n16.an7.an123n18.an3nn19.an10.(1)2(2)ann2n22n2n2n211.(1)5(2)2类型二：an1f(n)an（f(n)可以求积）累积法解决方法例1、在数列an中，已知a11,有nan1n1an，(n2)求数列an 的通项公式。

常见递推数列项的求法

常见递推数列通项的求法对于由递推式所确定的数列通项公式问题，往往将递推关系式变形转化为我们熟知的等差数列或等比数列，从而使问题简单明了。

这类问题是高考数列命题的热点题型，下面介绍常见递推数列求通项的基本求法。

类型1、()n g a a n n +=+1型解题思路：利用累差迭加法，将)1(1-=--n g a a n n ，--1n a 2-n a =)2(-n g ，…，-2a 1a =)1(g ,各式相加，正负抵消，即得n a .例1、在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .解：原递推式可化为：1111+-+=+n n a a n n 则,211112-+=a a 312123-+=a a413134-+=a a ，……，nn a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故na n 14-=.例2．在数列{}n a 中，01=a 且121-+=+n a a n n ，求通项n a .解：依题意得，01=a ，()32112,,3,112312-=--=-=-=--n n a a a a a a n n ，把以上各式相加，得()()()21232113231-=-+-=-+++=n n n n a n【评注】由递推关系得，若()n g 是一常数，即第一种类型，直接可得是一等差数列；若n n a a -+1非常数，而是关于n 的一个解析式，可以肯定数列n a 不是等差数列，将递推式中的n 分别用2,3,4,,2,1 --n n 代入得1-n 个等式相加，目的是为了能使左边相互抵消得n a ，而右边往往可以转化为一个或几个特殊数列的和。

例3、已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

解：由132a a n n 1n +⋅+=+ 得132a a n n 1n +⋅=-+则112232n 1n 1n n n a )a a ()a a ()a a ()a a (a +-+-++-+-=---3)1n ()3333(23)132()132()132()132(122n 1n 122n 1n +-+++++=++⋅++⋅+++⋅++⋅=----所以1n 32n 31332a n nn -+=++--⋅=评注：本题解题的关键是把递推关系式132a a n n 1n +⋅+=+转化为132a a n n 1n +⋅=-+，进而求出112232n 1n 1n n a )a a ()a a ()a a ()a a (+-+-++-+---- ，即得数列}a {n 的通项公式。

最全的递推数列求通项公式方法

最全的递推数列求通项公式方法递推数列是指数列中的每一项都由前一项通过其中一种规律得出。

求递推数列的通项公式是数学中的重要问题，可以通过多种方法实现。

下面将介绍最常用的几种方法。

1.等差数列通项公式等差数列是指数列中的每一项与前一项之差都相等的数列。

设等差数列的第一项为a1，公差为d，则第n项为an=a1+(n-1)d。

这是等差数列的通项公式。

2.等比数列通项公式等比数列是指数列中的每一项与前一项之比都相等的数列。

设等比数列的第一项为a1，公比为r，则第n项为an=a1*r^(n-1)。

这是等比数列的通项公式。

3.斐波那契数列通项公式斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和。

设斐波那契数列的第一项为a1，第二项为a2，则第n项为an=a(n-1)+a(n-2)。

但通常情况下，我们将斐波那契数列的第一项设为0，第二项设为1，此时的通项公式为an=F(n-1)，其中F(n-1)表示第n-1个斐波那契数。

4.龙贝尔数列通项公式龙贝尔数列是指数列中的每一项都是前一项与当前项索引之和。

设龙贝尔数列的第一项为a1，则第n项为an=a(n-1)+n。

这是龙贝尔数列的通项公式。

5.通项公式的递推法有些数列并没有明确的通项公式，但可以通过递推法求得通项公式。

递推法的核心思想是找到数列中的其中一种规律，通过前面的项得出后面的项。

这种方法比较灵活，可以适用于各种类型的数列。

总结起来，以上是求递推数列通项公式的几种常见方法。

在实际中，我们可以观察数列的规律，推测出通项公式，然后通过数学推导证明其正确性。

对于复杂的递推数列，我们可能需要运用更多的数学知识和技巧，如离散数学、线性代数等。

高中数学教案《由递推公式求通项公式

高中数学教案《由递推公式求通项公式》一、教学目标：1. 理解递推公式的概念，掌握递推公式的求解方法。

2. 能够运用递推公式求解简单的数列通项公式。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容：1. 递推公式的定义和性质。

2. 递推公式的求解方法。

3. 运用递推公式求解数列通项公式。

三、教学重点与难点：1. 重点：递推公式的求解方法，数列通项公式的求解。

2. 难点：递推公式的灵活运用，解决复杂问题。

四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究递推公式的求解方法。

2. 通过案例分析，让学生掌握递推公式在求解数列通项公式中的应用。

3. 利用数形结合的方法，帮助学生直观地理解递推公式的性质。

五、教学过程：1. 导入：引导学生回顾数列的相关知识，为新课的学习做好铺垫。

2. 递推公式的定义与性质：讲解递推公式的定义，引导学生理解递推公式的性质。

3. 递推公式的求解方法：介绍递推公式的求解方法，引导学生掌握求解技巧。

4. 数列通项公式的求解：讲解如何运用递推公式求解数列通项公式，引导学生独立解决问题。

5. 案例分析：分析典型例题，让学生加深对递推公式的理解和运用。

6. 练习与拓展：布置练习题，巩固所学知识，引导学生运用递推公式解决实际问题。

8. 作业布置：布置适量作业，让学生巩固所学知识。

9. 课后辅导：针对学生在作业中遇到的问题进行辅导，提高学生的解题能力。

10. 教学评价：对学生的学习情况进行评价，为下一步教学提供参考。

六、教学评价：1. 学生能够准确理解递推公式的概念及其在数列中的作用。

2. 学生能够运用不同的方法解决递推公式的问题，并正确求解通项公式。

3. 学生能够分析问题，将实际问题转化为数学问题，并运用递推公式解决。

4. 学生能够通过案例分析，理解递推公式在不同情境下的应用。

5. 学生能够独立完成课后作业，并对遇到的问题进行自主思考和解决。

七、教学拓展：1. 探讨递推公式在其他数学领域的应用，如组合数学、图论等。

高中数学必修5《由数列的递推公式求数列的通项公式》教学设计

《数列通项公式的方法》教学设计一、教学内容的地位和作用在高考中数列部分是必考内容，近四年的高考中，2010、2011年在17题的位置考查了数列的解答题，2012、2013年均考查了2—3道数列的小题，数列部分在高考中所占分值均在10—15分之间，可以说高考对于数列的考查是重点且难度不大，是高考中容易得分的部分。

而不论是选择题或填空题中对基础知识的检验，还是解答题中与数列知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键。

二教学目标：知识与技能：1、要求理解数列通项公式的意义,掌握等差、等比数列的通项公式的求法； 2、掌握并能熟练应用数列通项公式的常用求法:公式法、累加法、累乘法、由和求通项以及加数构造等比的方法。

过程与方法：通过对例题的求解引导学生从中归纳相应的方法，明确不同的方法适用不同的前提、形式，使学生形成解决数列通项公式的通法。

情感态度与价值观：感受知识的产生过程，通过方法的归纳，形成事物及知识间联系与区别的哲学观点。

三、教学重难点：重点：数列通项公式的常见求法难点：加数构造等比的方法的归纳和应用，以及针对形式的不同恰当选择通项公式的求法。

四、教学手段与方法教学采用导学案教学模式，启发、引导、归纳的方法。

突出学生的主体地位，充分发挥学生的学习自主性，教师引导学生分析例题及变式，并由学生归纳得到相应方法适用的形式特点，从而形成解决该类问题的通法，多媒体辅助教学，规范学生的答题过程。

五、教学过程（一）考情分析2012、2013年均考查了2—3道数列的小题，数列部分在高考中所占分值均在10—15分之间，可以说高考对于数列的考查是重点且难度不大，是高考中容易得分的部分。

而不论是选择题或填空题中对基础知识的检验，还是解答题中与数列知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键。

设计意图：使学生明确本节教学的重要性，并为本章的复习打下良好的思想基础。

（二）基础知识梳理1、数列{}n a的常用表示方法：，。

常见的递推数列

常见的递推数列的求法：(1)形如a n +1=a n +f (n )的一阶递归式，其通项求法为 (累加法)： a n =a 1+∑(a k +1-a k )= a 1+∑f (k )(2)形如a n +1=f (n )a n 的递归式，其通项求法为(累积法)：a n =a 1·∏a k +1a k= a 1·∏f (k )∵(3)形如a n +1=pa n +q (其中p ≠1)的递归式，法一：由a n +1=pa n +q 及a n =pa n -1+q ，两式相减得a n +1-a n =p (a n -a n -1)，可得：数列{a n +1-a n }是首项为a 2-a 1，且公比为p 的等比数列，先求出a n +1-a n ，再累加求出a n ；法二：则两边同时加上q p -1，变为a n +1+ q p -1 = p (a n + q p -1)，显然是以a 1+ q p -1为首项，p 为公比的等比数列，此法叫做特征根法； (4) 形如a n +1=pa n +f (n )(其中p ≠1)的递归式，其中f (n )不是常数，由p ≠1，则两边同时除以p n +1，变形为a n +1p n +1 = a n p n + f (n )p n +1，令b n = a n p n ，得b n +1= b n + f (n )p n +1，先累加求出b n ，再求a n ．即利用叠加法易得：a n p n = a 1p + ∑f (k )p k +1，从而a n =p n -1(a 1+∑f (k )pk +1)。

(5)形如a n +1=f(n)a n +g (n )(其中p ≠1)的递归式，其中f (n ),g(n)不是常数．（6）特征根法：a n +2=pa n +1+qa n ，特征方程为x 2=px +q ，令其两根为x 1，x 2，② 当12x x ≠时，则其通项公式为:a n =Ax 1n +Bx 2n ，A 、B 用待定系数法求得；②当12x x =时，则其通项公式为:1()n n a A Bn x =+，A 、B 用待定系数法求得．(7) 不动点法：当f (x )=x 时，x 的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法．典型例子：a n+1=aa n+bca n+d，令x=ax+bcx+d，即cx2+(d-a)x-b=0，设此方程的两个根为x1，x2，（1）若x1=x2，则有1a n+1-x1=1a n-x1+p，其中p可以用待定系数法求解，为p=2ca+d，然后再利用等差数列通项公式求解。

“anan1=f（n）（n∈n）”型递推数列通项求法

2014年第3期·高中数学教学·特级教师专栏·“a n +a n+1=f （n ）（n ∈N +）”型递推数列通项求法武汉市第一中学王少华求递推数列的通项公式是高中数学教学中的一个长期被关注的热点问题，因为它不仅能让学生领会数学的化归思想和方法，强化对基础知识、基本技能的理解和掌握，特别是对等差数列、等比数列的定义和前n 项和公式的本质的内涵和外延的认识，而且能有效地培养学生观察能力、发散思维能力。

本文根据教学实践对a n +a n +1=f （n ）（n ∈N +）”型递推数列的通项公式进行探讨，并根据f （n ）的特点给出几种常用方法：方法1：由a n +a n +1=f （n ）变形为a n +1g （n +1）=-a ·a n g （n ）+b ，设b n +1=a n g （n ），得b n +1=-a ·b n +b ，然后利用待定系数法转化为等比数列求出其通项。

方法2：由a n +a n +1=f （n ）变形得：a n +1（-1）n +1-a n（-1）n +1=f （n ）（-1）n +1，设b n =a n （-1）n +1，得b n +1-b n =f （n ）（-1）n +1，然后根据f （n ）（-1）n +1的特点利用累加法求出其通项。

方法3：由a n +a n +1=f （n ），a n+1+a n +2=f （n +1），两式相减得a n+2-a n =f （n +1）-f （n ），然后根据f （n +1）-f （n ）的特点分别求出数列奇数项和偶数项的通项。

方法4：由a n +a n +1=f （n ）利用待定系数法变形为a n +1+g （n +1）=-[a n +g （n ）]，设b n =a n +g （n ），得b n +1=-b n .然后转化为等比数列求出其通项。

例：已知数列{a n }中，a 1=5，a 2=2，a n +a n +1=7×3n -1，求出它的通项公式。

十类递推数列的通项公式的求法

十类递推数列的通项公式的求法
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文!黄爱民
一、ａｎ＋１＝ａｎ＋ｆ（ｎ）型这类递推数列可通过累加法求得其通项公式．当ｆ（ｎ）
为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式；当
ｆ（ｎ）为等差数列形式时，ａｎ＋１＝ａｎ＋ｆ（ｎ）为二阶等差数列，它的通项公式的形式为ａｎ＝ａｎ２＋ｂｎ＋ｃ．同时要注意它与等差数列求和公式的一般形式的区别，后者是Ｓｎ＝ａｎ２＋ｂｎ，它的常数项一定为０．
对数，得ｌｇａｎ＝ｌｇ２ａｎ４－１，则有ｌｇａｎ＝４ｌｇａｎ－１＋ｌｇ２．
∴ｌｇａｎ＋
１３
ｌｇ２＝４（ｌｇａｎ－
１＋
１３
ｌｇ２）．从而知｛ｌｇａｎ＋
１３
ｌｇ２｝是
首项为１ｌｇ２，公比为４的等比数列．３
∴ｌｇａｎ＝
（４ｎ－１－１）ｌｇ２３
＝（４ｎ－１－１）ｌｇ#３２
，即
高中生·高考指导１３
×（３２
）ｎ－１＝（３２
）ｎ，即
ａｎ＝
２ｎ３ｎ－２ｎ
．
九、ａｎ＋１＝
Ａａｎ＋ＢＣａｎ＋Ｄ
（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ为非零常数）型
这类递推数列的通项公式是利用函数的不动点来
求的．尽管这个知识点高考不作要求，但考题往往就从
这些地方出，只需增加一些铺垫．
例９若ｆ（ｘ０）＝ｘ０，则称ｘ０为ｆ（ｘ）的不动点．已知函数ｆ（ｘ）＝２ｘ＋３．
＋１２
．令
ｂｎ＝
ａｎ２ｎ
，则有
ｂｎ＋１＝
３２
ｂｎ＋

高考数学一轮复习-由数列的递推式求通项公式

复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
课后练习
点评：(1)累加法和累乘法是推导等差数列和等比数列的通项公式时所采用的方法，是递推关系求通项的两种最基本的方法．
(2)一般地，若 an－an－1＝f(n)，在 f(n)可求和的条件下，求 an 可采用累加法；
若aan－n1＝g(n)，在 g(n)可求积的条件下，求 an 可采用累乘法．
3．对给出辅助数列的问题，要充分利用辅助数列，转化为
上述类型的递推数列问题进行求解．不能变为上述类型的可以考
虑“归纳—猜想—证明”的方法进行求解．
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
课后练习
作业：
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
课后练习
思考
(2017·蚌埠期末)在数列{an}中，若它的前 n 项和为 Sn ＝1－nan(n∈N*)．
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
课后练习
1．数列{an}中，an＝an－1＋n(n≥2)，a1＝1，则数列{an}的通项公式为 an＝_____________.
2．已知 an>0，且 a1＝1，a2n－an2－1＝1，则{an}的通项公式 an＝____________.
3．已知数列{an}满足 a1＝1，an＋2＝3(an－1＋2)，则数列 {an}的通项公式 an＝__________.
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
课后练习
②转化法：通过变形，采用待定系数法、换元法或给出辅助数列等途径，将递推公式转化为等差数列、等比数列进行求解．
③归纳、猜想、证明的方法．先求出数列的前几项，发现规律得到数列通项公式的一个猜想，然后再进行证明．

递推数列通项公式求法(教案设计)

递推数列通项公式的求法彭山一中郑昌建一、课题：常见递推数列通项公式的求法二、教学目标1、知识与技能：会根据递推公式求出数列中的项，并能运用累加、累乘、待定系数等方法求数列的通项公式。

2、过程与方法：①复习回顾所学过的通项公式的求法，对比递推公式与通项公式区别认识到由递推公式求通项公式的重要性，引出课题。

②对比等差数列的推导总结出累加法的试用题型。

③学生分组讨论完成累乘法及待定系数法的相关题型。

3、情感态度与价值观：①通过对数列的递推公式的分析和探究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；②通过对数列递推公式问题的分析和探究，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯；③通过互助合作、自主探究等课堂教学方式培养学生认真参与、积极交流的主体意识。

三、教学重点：根据数列的递推关系式求通项公式。

四、教学难点：解题过程中方法的正确选择。

五、教学课型，课时：复习课 1课时六、教学手段：多媒体课件，黑板，粉笔七、教学方法：激励——讨论——发现——归纳——总结八、教学过程（一）复习回顾：1、通项公式的定义及其重要作用2、学过的通项公式的几种求法3、区别递推公式与通项公式，从而引入课题（二）新知探究：问题1:已知数列}{n a ，1a =1，1n a +=n a +2，求n a ?变式：已知数列}{n a ，1a =1，1n a +=n a +2n ，求n a ?活动：通过分析发现形式类似等差数列，故想到用累加法去求解。

教师引导学生细致讲解整个解题过程。

解：由条件知：n a a n n 21=-+分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a)1(2)2(232222-⨯+-⨯+⨯+⨯+=n n所以[]2)1(22)1(1-⨯+-=-n n a a n 由1a =1，12+-=∴n n a n 练习：已知数列}{n a ，1a =1，n n n a a 211=-+，求n a ? 总结：类型1：)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

类常见递推数列求通项公式方法

类常见递推数列求通项公式方法(总16页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除3递推数列通项求解方法类型一：1n n a pa q +=+（1p ≠）思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---⎡⎤=+=++=+++=⎣⎦……121(1n p a q p p -=++++…211)11n n q qp a p p p --⎛⎫+=+⋅+ ⎪--⎝⎭。

思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1qp μ=-，数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1111n n q q a a p p p -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，即1111n n q q a a p p p -⎛⎫=++ ⎪--⎝⎭。

例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：方法1（递推法）：()123232(23)3222333n n n n a a a a ---⎡⎤=+=++=+++=⎣⎦……1223(122n -=++++…211332)12232112n n n --+⎛⎫+=+⋅+=- ⎪--⎝⎭。

方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134a +=为首项、2为公比的等比数列，则113422n n n a -++=⋅=，即123n n a +=-。

4类型二：1()n n a a f n +=+思路1（递推法）：123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-=…111()n i a f n -==+∑。

由递推公式求数列通项公式常见题型及解法

由递推公式求数列通项公式常见题型及解法对于由递推公式所确定的数列通项公式问题,通常可通过对递推公式变形,转化成等差数列或等比数列加以解决,也可以通过构造法把问题转化后予以解决.下面分类举例说明.一,%+l=%+-厂(n)型累加法:%=(一%～1)+(n一l一%一2)+…+(oa一.I)+nl=-厂(n一1)+_厂(n一2)+…+f(1)+01.例1在数列{}中,已知+=,=2,求通项公式.解:已知递推式化为…_l__一:+%+12+I’又tan(a+c)=号,tanAtanC=2+厂,tanA+tanC=3+,/一.由IanA+tanc=+,[tanAtanC=2+,v/3.解得tanA=1,tanC=2+,/丁或tanA=2+,/,tanC=1.所以A=45.,B=60.,C=75.或A=75o.B=60..C=45..当=45咐,.=8c==8,6=Ac=每=4,c=4+4_当=75.时,.=8,b=4,厂一(x/一1),c=8(,/一1).【解题反思】此题将三角形,正弦定理,三角形内角和,方程思想等知识巧妙24基础教育论坛[2011年第2期j即一--1=1,%+1’所以一1=1,l:1,啦Z啦Z111111啦劬一2’’一l一2n’将以上(n一1)个式子相加,得1一1=_2211l+..’1,—_22”‘即an=争++寺++…+一(一一.21一所以=一=.2练习:已知数列{%}满足n.=1,+.=n+2n(孔∈N).求血,结合,对学生的综合能力的运用是一个很大的考验,只有熟练掌握了三角的基本公式和基本方法技巧,才能运用自如,完整解答问题.三,有益的启示《考试说明》明确提出:要在”突出数学基础知识,基本技能,基本思想方法的考查”的同时,”重视数学基本能力和综合能力的考查”,”注重数学应用意识和创新意识的考查”,由此可见,坚持和加强在知识的交汇点处命题势在必行.在知识的交汇处命题,一方面数学学科知识之间的纵横交融,渗透综合的鲜明特点,将正,余弦定理与向量,解析几何,立体几何,数列,不等式,数列,方程等重要知识有效交汇于一体;另一方面,可有效考查学生的各类方法技能和重要数学思想的合理运用,把对学生的数学思维能力和综合应用能力的考查融合在对学生双基考二,+l=_厂(n)?型累积法:=—旦L?上…??塑?c—l(一2nl.,所以=-厂(n一1(n一2(n一3)一1)01.例2求数列.t=_『1,%=_}.%一(n≥2)的通项公式.解:当n≥2时,=堕?盟?a4…??L.al0l啦%一1【即%=面可×}:一4,l2—1’当n=l,=}=所以r(n∈N+)?查之中,因此我们必须高度重视,积极应对.数学知识交汇题,一般具有背景清晰且内涵丰富,新颖脱俗且思路灵活的特点,这就需要我们在熟练掌握数学基础知识和基本技能的基础上,深刻理解题意, 洞察内在联系,准确选择方法,要依据题设条件,合理进行变换,灵活进行转化,严谨完善解题.正弦定理,余弦定理在高考中,一般不单设试题,而是融于其他知识当中去考查,学生学习中应重视四大数学思想方法的培养.在运用定理时,要注重与其他知识的交汇,多角度联想,观察和分析问题,教师要教给学生学习的方法, 让学生学会学习,真正做到与其他知识融会贯通,切实提高学生分析问题,解决问题的能力,,促进其思维能力的发展和提高.练习:已知数列{吼}满足土上_=n (11,∈N+),ot=l,求n,1.三,%+I--,pa~+叮型方法:1)+小t?),.’,再根据等比数列的相关知识求(2)+.～%=p(%一an一)再用累加法求.(争一,先用累加法求争,再求?例3在数列{}中,a.=1,当n≥2时,有%=3一1+2,求.解法1:设+A=3(%l+A),即有=3～1+2A,对比=3l+2,得A=1.于是%+I=3(1+1),数列{+}是以a.+l=2为首项,以3为公比的等比数列,所以有=2?3一1.解法2:由已知递推式,得%+l=3%+2,%=3a.一l+2(n≥2).上述两式相减,得%+l～:3(%一%一1),因此,数列{%+.一nJl}是以o.2一a=4. 为首项,以3为公比的等比数列.所以+l一=4?3’,即3一%=4?3,所以%=2?3’1.练习:已知{}的首项n.=n(a为常数),;2a.一1(n∈N+,n≥2),求‰四,%+l=p%+/(n)型例4设数列{}满足,a=1,=一一J+2n一1(n≥2),求通项公式%.解:设6=+An,+曰,则%=b一An—B,%一l=6一l—A(一1)一B,所以b一An—B=an=1[6-I--A(n一1)一B]+2n一1,即b=1b—j+(A+2)n+(}A+一-).设所以b=16且b=%一4n+6.厶由于il6}是以3为首项,以为公比的等比数列,所以有b=3丁._由此得:一;:十4n.6.【说明】通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构,经过变形与比较,把问题转化成基本数列(等差或等比数列). 五,+f:p%+q型例5已知b≠O,b≠士1,伪=,=了’+-+(n≥2),写出用/1,和b表示%的通项公式,解:将已知递推式两边乘以(1+6)”,得(1+6)=6(1+6)’an+l+,又设‰=(1+6),于是,原递推式化为n=bxT,仿类型三,可解得%=b—b=‘故%:.【说明】对于递推式+.=p+g,可两边除以q’,得争+上争’争,引入辅助数列6争,得n+争6n+,然后可归结为类型三.g六,+2p%+j+口型方法:待定系数法,设%+.一衄(一一%),构造等比数列.例6已知数列{}中,=1啦=2,+=++,求%.解:在%+2=%+l+两边减去+l,得%+2一+I:一一(+l一).所以{%+一%{是以02一n.=l为首项,以一为公比的等比数列.所以%+一=(一})..令E式=1,2,3,:一.(一1),再把这(n一1)个等式累加,得%一o=1 (一})+(_丁1)+?+(一})一=囊[1(一】.以;1哼((一}-11..t:,线性分式型..例7.(倒数法)已知数列{}中,a.: },+J=打,求{}的通项公式-解:j一::+2,所以{}是以为-NN,公差为2的等差数列,即l_:丁5+2(一1):,jj所以丁?练习:已知数列{}中,a.=1,=精,求{%}的通项公式?解.=}:击,所以f专}是以1为首项,公差为2的等差数列.所以=l+2(一1)_2,卜l,即Sn?所以=一一丁一1一=一fl(,n=1),删{2n1一2n3(.1一一…等差,等比数列是两类最基本的数列,是数列部分的重点,自然也是高考考查的热点,而考查的目的在于测试学生灵活运用知识的能力,这个”灵活”往往集中在”转化”的水平上.转化的目的是化陌生为熟悉,当然首先是等差,等比数列,根据不同的递推公式,采用相应的变[2011年第2期]基础教育论坛●_’r4:=A得解Il,l0一扛一2++A一2A一2。

《数列的递推公式》公开课学案

学习好资料欢迎下载 2.1 数列的概念与简单表示法《数列的递推公式》导学案※ 导学准备 ※【学习目标】 1、知识目标⑴了解递推公式的概念;⑵明确递推公式与通项公式的异同; ⑶会由递推公式求数列的有限项. 2、过程与方法类比，实践，归纳. 3、情感态度价值观①培养大家归纳，类比，特殊、一般的认知能力; ②用独立思考与合作探究的模式去解决问题. 【知识链接】数列的通项公式. 【学习重难点】重点:利用递推公式求数列的有限项; 难点:递推公式和通项公式的异同.※ 导学过程 ※┍【导学1:复习回顾】┑例题1:已知数列{}n a 的前几项为1,7,13,19,… ⑴ 试写出{}n a 的一个通项公式;⑵ 据⑴的结论判定55和101是不是该数列中的项? 反思:▲通项公式的定义是:________________________ ___________________________________________. ▲知道一个数列的通项公式有什么作用?___________________________________________________________________________________________________________________________________. ▲数列是定义在*N 上的函数,从这个角度上去认识通项,其就是函数的__________,记作()n a f n =,数列的图像是__________ 变式⒈⑴ 例题1中的数列,项与项之间的关系是什么?⑵ 已知数列{}n a 的前几项为1,1,2,3,5,8,13,21, …,你能发现其中项与项之间的关系吗?┍【导学2:递推公式】┑例题2:已知数列{}n a 满足下列条件,写出它的前5项⑴ 11a =,12n n a a +=+ ⑵ 11a =,12n n a a +=⑶ 11a =,132n n a a -=+, (n 1)> 反思:▲例题2中的三个小题中出现的等式是通项公式吗?______________,▲利用这些等式求出了对应数列的前5项,理想状态下,数列的其他项可以都求出来吗?_________,求解方法是:对n 进行_______.▲像题中给出数列的方法叫做___________,其中这些等式（如12n n a a +=+,12n n a a +=…）叫做_________,其定义是:如果已知数列{}n a 的首项（或前几项）,且从第2项（或某一项）开始的任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.※ 导学评价 ※变式⒉写出下面数列{}n a 的前5项学习好资料欢迎下载⑴114a =-,111,(1)n n a n a -=->⑵11,a =22a =,12,(2)n n n a a a n --=+>⑶10,a =1(2n 1)n n a a +=+-变式⒊给出下面的图形及对应的点数,在空格和括号中分别填上适当的图形和点数,并写出它的一个递推公式.⑴ ●● ● ● ●● ● ● ● ●● ● ________________;1 4 7 （）⑵ ●●●●●●●●● ●●●●●●●● ●●●● ●●●●● ________________;3 8 15 （）※ 小结 ※▲通项公式可以确定一个数列，通过今天的学习你能收获确定数列的另外一种方法吗?_________________________________________ ▲请思考“通项公式”和“递推公式”有何异同? ___________________________________________________________________________________________________________________________________.想一想?递推公式和通项公式可以互相转化吗? ※ 预习探究:由递推公式求通项公式 ※例题 3 :数列{}n a 中,11a =,12n n a a +=+,试求数列的通项公式?提示1:写出前几项,能归纳吗? 提示2:观察12n n a a +=+,对n 赋值.能得到212a a =+ 322a a =+ :122n n a a --=+ 12,(n 1)n n a a -=+> 由这些式子求得n a 吗?变式⒋已知{}n a 满足:10a =,1n n a a n +=+,求数列{}n a 的通项公式（提示:(1)122n n n ++++=）反思:▲用自己的体会将以上方法命名:___________ ▲以上方法的操作过程中应该注重哪些细节? _______________________________________________________________________________________.▲以后遇到什么类型的递推公式可以用以上方法,尝试归纳:。

人教版高中数学《数列》全部教案

人教版高中数学《数列》全部教案人教版高中数学《数列》全部教案一、教学目标1、理解数列的概念，掌握数列的通项公式及其求解方法。

2、掌握等差数列和等比数列的特点及其求解方法。

3、能够根据实际问题中的数据特点，建立相应的数列模型并解决实际问题。

二、教学内容1、数列的概念及通项公式2、等差数列的特点及求解方法3、等比数列的特点及求解方法4、数列在实际问题中的应用三、教学方法1、讲授数列的概念及通项公式，通过例题和练习题加深学生对数列的理解。

2、通过实例和练习题，让学生掌握等差数列和等比数列的特点及求解方法。

3、通过案例分析和实际问题，让学生了解如何根据实际问题中的数据特点，建立相应的数列模型并解决实际问题。

四、教学步骤1、导入新课：通过一些简单的练习题，让学生了解数列的概念及通项公式。

2、讲授新课：（1）数列的概念及通项公式（2）等差数列的特点及求解方法（3）等比数列的特点及求解方法（4）数列在实际问题中的应用3、课堂练习：通过一些例题和练习题，让学生进一步掌握数列的概念及通项公式、等差数列和等比数列的特点及求解方法。

4、课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调数列在实际问题中的应用。

5、布置作业：让学生进一步巩固本节课所学内容，提高对数列的理解和应用能力。

五、教学重点难点1、数列的概念及通项公式的理解。

2、等差数列和等比数列的求解方法。

3、如何根据实际问题中的数据特点，建立相应的数列模型。

六、教学评价1、通过课堂练习和作业，检查学生对数列的理解和应用能力。

2、通过实际问题的解决，评价学生对数列的应用能力。

3、通过学生之间的交流和讨论，了解学生对数列的理解情况。

七、教学建议1、加强对数列概念的理解，注重数列的实际应用。

2、练习等差数列和等比数列的求解方法，掌握其特点。

3、注重数列在实际问题中的应用，提高学生的数学应用能力。

4、提倡学生之间的合作学习，通过交流和讨论，加深对数列的理解。

八、教学实例例1：已知某品牌汽车的价格为20万元，每年按发票金额的10%递增，求5年后该汽车的价格。

谈谈三类递推数列通项公式的求法

思路探寻求递推数列的通项公式问题是一类难度系数较大的问题，侧重于考查同学们的运算和推理能力.求递推数列的通项公式问题中的递推式多种多样,解答这类问题的关键是合理整合递推式,将问题转化为简单的、易于求解的数列问题.本文主要分析三类递推数列通项公式的求法.一、a n +1=qa n -1+d 型递推数列对于形如a n +1=qa n -1+d （q ≠1,d ≠0）的递推数列问题，我们一般采用待定系数法进行求解.在解题时，要先设出待定系数m ，使a n +1+m =q (a n −1+m )，然后将其与原递推式中对应项的系数相比较，建立含有待定系数的方程或方程组，解方程或方程组，求出待定系数的值，就能构造出一个等比数列{}a n +m ，再根据等比数列的通项公式就可以求出数列{}a n 的通项公式.例1.在若数列{}a n 中，a 1=1，a n +1=12a n +1()n ∈N +，求a n .解：令a n +1+m =12()a n+m ，则m =-2，所以{}a n -2是首项为-1，公比为12的等比数列，所以a n -2=-æèöø12n -1，即a n =-æèöø12n -1+2.该递推式属于a n +1=qa n -1+d 型，因此我们需从a n +1=12a n +1入手，运用待定系数法进行求解.二、a n +1=ca n +f ()n 型递推数列当遇到形如a n +1=ca n +f ()n （c ≠0）型的数列递推式时，一般要先将递推式变形为a n +1f ()n =ca nf ()n +1的形式，然后令a n f ()n =b n ，得到b n +1=c q b n +1q ，这样便将问题转化求a n +1=qa n −1+d 型递推数列的通项公式.运用待定系数法构造出等比数列便可解答出来.例2.在数列{}a n 中，a 1=1，a n +1=3a n +2n ()n ∈N +，求a n .解：由a n +1=3a n +2n得2∙a n +12n +1=3∙a n 2n +1，令b n =a n 2n ，则b n +1=32b n +12.由待定系数法得b n +1+1=32(b n +12)，令c n =b n +1，则c n +1=32c n ，所以{}c n 是首项为c 1=b 1+1=32，公比为32的等比数列，所以c n =æèöø32n，b n =æèöø32n-1，即a n =2n ∙b n =32-2n .我们先通过换元，把分散的条件联系起来，让隐含的条件显露出来，将问题转化为求a n +1=qa n −1+d 型递推数列的通项公式.再运用待定系数法便可求出数列的通项公式.三、a n +1∙a n =ca n +1+da n 型递推数列对于形如a n +1∙a n =ca n +1+da n （c ≠0，d ≠0）递推数列，在求其通项公式时，我们先要在递推式的两边同时除以a n +1·a n ，得到c a n +da n +1=1，将问题转化为a n +1=qa n −1+d 型递推数列问题，再运用待定系数法求解即可.例3.已知数列{}a n 满足：a n ≠0，且a n =3a n -1a n -1+3()n ≥2，a 1=12，求数列的通项公式.解：在递推式a n =3a n -1a n -1+3的两边取倒数得1a n =1a n -1+13，所以数列{}a n 是首项为1a 1=2、公差为13的等差数列，所以1a n=2+()n -1∙13=13()n +5，所以a n =3n +5.我们先在递推式的两边取倒数，便可构造出首项为1a 1=2、公差为13的等差数列，再根据等差数列的通项公式求得数列的通项公式.虽然求递推式数列的通项公式问题的难度较大，但是我们只要掌握方法，善于整合数列的递推式，将问题转化为等比、等差数列问题进行求解，问题便能迎刃而解.在解题时，要抓住关键，重点分析数列的递推式，将其合理进行变形，如引入待定系数、取倒数、换元等，构造出等差、等比数列，根据等差、等比数列的通项公式进行求解.（作者单位：湖北省襄阳市南漳县第一中学）谈谈三类递推数列通项公式的求法石磊53Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

数列通项公式、前n项和求法总结(全)讲课讲稿

一.数列通项公式求法总结：1.定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。

特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.变式练习：1.等差数列{}n a 中,71994,2,a a a ==求{}n a 的通项公式2. 在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和.2.公式法求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n nn 求解。

特征：已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系例2.已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。

（1）13-+=n n S n 。

（2）12-=n s n1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S =2n 2+n ，n ∈N ﹡，数列{b }n 满足n a =4log 2n b +3，n ∈N ﹡.求n a ，n b 。

2. 已知数列{}n a 的前n 项和212n S n kn =-+（*k N ∈）,且S n 的最大值为8，试确定常数k 并求n a 。

3. 已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n n S n ，22.求数列{}n a 的通项公式。

3.由递推式求数列通项法类型1 特征：递推公式为)(1n f a a n n +=+对策：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法求解。

例3. 已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

1. 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

17由递推关系求数列的通项公式

三、课堂小结 1 、构造等差数列 2、构造等比数列
5、由an = Sn − Sn−1 (n ≥ 2)得到
若已知an+1 = x ⋅ an + y，则可转化为： y an+1 + A = x(an + A)，其中A = ． x −1 3 形 an+1 − an = f (n) 迭加法、如 an+1 4、如形 = f (n) 迭乘法 an
例6、已知S n为数列{a n } 的前n项和，且S n = 2 − 2a n，求数列{a n } 的通项公式．
5、由an = Sn − Sn−1 (n ≥ 2)得到
Sn+1 = 2 − 2an+1 解： ⇒ Sn+1 − Sn = 2an − 2an+1 Q Sn = 2 − 2an
教学目标：教学目标：
1、掌握等差数列与等比数列的递推公式，会进行递推公式与通项公式的互化． 2、掌握一些非等差(等比) 数列的通项公式的求法： (1) 构造一个等差(或等比)数列； (2)迭加法、迭乘法、公式法、归纳法等．
教学重点与难点：教学重点与难点：
教学重点：求一些非等差(等比) 数列的通项公式．教学难点：通过变形构造一个等差(或等比)数列的递推公式．教学方法：教学方法：讨论法、练习法为主．教学手段：教学手段：多媒体辅助教学．
二、课前练习
(1)写出a1 = 2，d = 3的等差数列的递推公式；
(2)写出a1 = 2，q = 3的等比数列的递推公式；
a1 = 2 an+1 = an + 3
(3)已知a1 = 3，a n = a n −1 − 4(n ≥ 2)，求a n； an = 3+ (n −1) ⋅ (−4)= 7− 4n 1 (4)已知a1 = 2，a n = − a n −1 (n ≥ 2)，求a n． 3 1 n−1 an = 2 ⋅ (− ) 3