(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.5.1、2

数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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如图先求由直线 x＝2，y＝0 和曲线 y＝x2 围成的曲边梯形 的面积．
(1)分割 将区间[0,2]n 等分，则 Δx＝2n. 取 ξi＝章 导数及其应用
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2．已知汽车在时间[0，t1]内以速度v＝v(t)做直线运动， 则下列说法不正确的是( )
A．当v＝a(常数)时，汽车做匀速直线运动，这时路程s＝ vt1
B．当v＝at＋b(a，b为常数)时，汽车做匀速直线运动， 这时路程s＝bt1＋12at21
形面积为16.
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求曲边梯形面积的四个步骤： 第一步：分割．在区间[a，b]中任意插入n－1个分点，将 它等分成n个小区间[xi－1，xi](i＝1,2…，n)，区间[xi－1，xi]的长 度Δxi＝xi－xi－1， 第二步：近似代替，“以直代曲”．用矩形的面积近似代 替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值． 第三步：求和． 第四步：取极限． 特别提醒：最后所得曲边梯形的面积不是近似值，而是真 实值．
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(2)近似代替 用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积： ξi 在小区间i－n 1，ni 上任取一点 ξi(i＝1,2，…，n)，为了计 算方便，取 ξi 为小区间的左端点，用 f(ξi)的相反数－f(ξi)＝－ i－n 1i－n 1－1为其一边长，以小区间长度 Δx＝1n为另一边长的 小矩形对应的面积近似代替第 i 个小曲边梯形面积，可以近似 地表示为 ΔSi≈－f(ξi)Δx＝－i－n 1i－n 1－1·1n(i＝1,2，…，n)．
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如图所示，由梯形的面积公式得： S＝12×(2＋3)×1＝52.
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2 n
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4．利用分割、近似代替、求和、取极限的办法求函数y＝ 1＋x，x＝1，x＝2的图象与x轴围成梯形的面积并用梯形的面积 公式加以验证．
解析： f(x)＝1＋x 在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]分成 n 等份，则每个区间的长度为 Δxi＝1n，在[xi－1，xi]＝1＋i－n 1，1＋ni 上取 ξi＝xi－1＝1＋i－n 1(i＝1,2,3，…，n)，于是 f(ξi)＝f(xi－1)＝1 ＋1＋i－n 1＝2＋i－n 1，
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(3)求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似 值__求__和______；
(4)取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，所有小曲边 梯形的面积之和趋向一个__定__值___，即为曲边梯形的面积．
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1．5 定积分的概念
1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程
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1．曲边梯形面积的求解步骤 (1)将区间[a，b]分割，等分为 n 个小区间，每个小区间的 长度为 Δx＝b－n a； (2)“近似代替”中每个小区间上函数 f(x)的值可任意取一 点 ξi∈[xi－1，xi]，用 f(ξi)来代替，不影响极限的值．为了计算方 便，可以取区间的一些特殊点，如区间的端点或中点等；
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简写作i－n 1，ni (i＝1,2，…，n)． 每个小区间的长度为 Δx＝ni －i－n 1＝1n. 过各分点作 x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形， 它们的面积分别记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.
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1 ． 求 由 抛 物 线 y ＝ x2 与 直 线 y ＝ 4 所 围 成 的 平 面 图 形 的 面 积．
解析： ∵y＝x2 为偶函数，图象关于 y 轴对称， ∴所求曲边形的面积应为抛物线 y＝x2(x≥0)与直线 x＝0， y＝4 所围图形面积 S 的 阴影 2 倍，下面求 S 阴影． 由yy＝ ＝x42x≥0 得交点为(2,4)，
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(1)分割 将曲边梯形分割成 n 个小曲边梯形， 用分点1n，2n，…，n－n 1把区间[0,1]等分成 n 个小区间： 0，1n，1n，2n，…，i－n 1，ni ，…，n－n 1，nn，
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求曲边梯形的面积
求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成 的图形面积．
[思路点拨] 作出草图 ―→ 确定曲边梯形的形状 ―→ 分割 ―→ 近似代替 ―→ 求和 ―→ 取极限
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答案： B
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3．在计算由曲线y＝－x2以及直线x＝－1，x＝1，y＝0所 围成的图形面积时，若将区间[－1,1]n等分，则每个小区间的 长度为________．
解析： 每个小区间长度为1－n－1＝2n.
答案：
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(3)求和 因为每一个小矩形的面积都可以作为相应小曲边梯形面积 的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S的近似 值，即
n
n
S＝ΔSi≈－ f(ξi)Δx
i＝1
i＝1
n
＝
i＝1
－i－n 1i－n 1－1·1n
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解析： 对于v＝at＋b，当a＝0时为匀速直线运动，当 a≠0时为匀变速直线运动，其中a>0时为匀加速直线运动，a<0 时为匀减速直线运动，对于v＝at2＋bt＋c(a≠0)及v＝v(t)是t的 三次、四次函数时，汽车做的都是变速(即变加速或变减速)直 线运动，故B是错误的．
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1．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似 值( )
A．只能是左端点的函数值f(xi) B．只能是右端点的函数值f(xi＋1) C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1]) D．以上答案均正确
解析： 作近似计算时，Δx＝xi＋1－xi很小，误差可忽 略，所以f(x)可以是[xi，xi＋1]上任一值f(ξi)．
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(4)取极限
当分割无限变细，即 Δx 趋向于 0 时，n 趋向于∞，此时－
16n12－1趋向于
S.从而有
S＝lim n→∞
－16n12－1＝16.
所以由直线 x＝0，x＝1，y＝0 和曲线 y＝x(x－1)围成的图
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2．汽车行驶的路程与曲边梯形的面积之间的关系 求汽车行驶的路程实际上也是求时间－速度坐标系中的曲 边梯形的面积，所以求汽车行驶的路程与求曲边梯形的面积方 法一样．
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n
n
从而 Sn＝f(ξi)Δxi＝
i＝1
i＝1
2＋i－n 1·1n＝i＝n1
2n＋i－n21＝2n·n＋n12
[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝2＋n12·nn2－1＝2＋n2－n1＝52－21n. 则 S＝nli→m∞Sn＝nli→m∞ 52－21n＝52. 如下进行验证：
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连续函数
如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条_连__续__不__断___的 曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数．
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