2018版高中数学(人教B版)必修五学案：第二章 2.2.2 等差数列的前n项和(一) Word版含答案

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高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修5 2.2.2 等差数列的前n项和》

《等差数列前n项和》教学设计一、教学目标1、知识与技能（1）掌握等差数列前n项和公式的推导过程和公式的简单应用（2）通过对公式从不同角度的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力2、过程与方法经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思进一步培养学生灵活运用公式的能力。

3、情感态度价值观（1）公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶。

（2）通过生动具体的现实问题，令人着迷的历史素材和数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感二、教学重难点教学重点：等差数列前n项和公式教学难点：等差数列前n项和公式的推导方法及公式的灵活应用三、教学过程结课后作业2 在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（）A．5880 B．5684 C．4877 D．45663．已知等差数列{}n a，150a=，2d=-，0nS=，则n等于（）A．48 B．49 C．50 D．514等差数列{}n a中，4612a a+=，nS是数列{}n a的前n项和，则9S等于（）A．48 B．54 C．60 D．665已知数列{}n a的通项公式为23na n=-，则{}n a的前n项和n S等于（）A,2322nn-+ B．2322nn-- C．2322nn+D．2322nn-6、求集合M={m| m=2n - 1 n∈*N，且m < 60} 的元素个数，并求这些元素的和。

课堂小结（1）回顾从特殊到一般，一般到特殊的研究方法（2）体会等差数列的基本元表示方法，倒序相加的算法，及数形结合的数学思想（3）掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。

2、课后作业：1 数列｛na｝是等差数列，公差为3，na＝11，前n和nS＝14，求n和3a2 在小于100的正整数中共有多少个数被3除余2 这些数的和是多少？3：求4：已知函数，求)10099(10098)1002()1001(ffff++⋯⋯⋯++）（的值学生代表进行分析。

2017-2018学年高中数学人教B版5学案：2.2.2等差数列的前N项和学案

2.2。

2 等差数列的前n项和1．理解等差数列前n项和公式的推导过程．2．掌握等差数列前n项和公式，并能利用前n项和公式解决有关等差数列的实际问题．3．熟练掌握等差数列的五个量a1，d,n，a n，S n的关系，能够由其中的三个量求另外的两个量．1．等差数列的前n项和公式(1）倒序相加法是解决等差数列求和问题的基本方法,利用倒序相加法可以推出等差数列的前n项和公式．（2)等差数列的前n项和公式有两个，一共涉及a1，a n，S n,n，d 五个量,通常已知其中三个量,可求另外两个量，解答方法就是解方程组．(3)当已知首项a1和末项a n及项数n时，用公式S n＝错误!来求和，用此公式时常结合等差数列的性质．(4）当已知首项a1和公差d及项数n时，用公式S n＝na1＋错误!d 来求和．【做一做1－1】已知数列｛a n｝为等差数列，a1＝35，d＝－2，S n＝0，则n等于（）．A．33 B．34 C．35 D．36【做一做1－2】等差数列{a n｝的前n项和为S n,若a3＋a17＝10,则S19的值为（)．A．55 B．95C．100 D．不能确定2．等差数列前n项和公式与函数的关系由于S n＝na1＋错误!d＝错误!n2＋（a1－错误!)n，当d≠0时，此公式可看做二次项系数为错误!,一次项系数为（a1－错误!)，常数项为0的________，其图象为抛物线y＝错误!x2＋（a1－错误!)x上的点集，坐标为（n,S n)（n∈N＋）．因此,由二次函数的性质立即可以得出结论：当d＞0时,S n有最____值；当d＜0时，S n有最____值．数列中的最值问题可以根据二次函数的最值加以求解，这也是利用函数解决数列问题的一个重要应用．【做一做2－1】已知等差数列｛a n｝的通项公式a n＝19－2n，则{a n｝的前________项和最大．【做一做2－2】已知数列{a n｝的前n项和S n＝n2－12n，则当n 等于________时,S n最小．一、关于等差数列中奇数项和、偶数项和的问题剖析:(1)当等差数列｛a n}有偶数项时，设项数为2n，设S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，①S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1,②①－②，得S偶－S奇＝nd.①＋②，得S偶＋S奇＝S2n.错误!，得错误!＝错误!＝错误!＝错误!。

2018年秋新课堂高中数学人教B版必修五学案：第2章 2.2.2 第2课时等差数列前n项和的综合应用 Word版含答案

第2课时等差数列前n 项和的综合应用学习目标：1.掌握等差数列前n 项和的性质及应用．(重点)2.会求等差数列前n 项和的最值．(重点、易错点)[自主预习·探新知]1．S n 与a n 的关系 a n ＝⎩⎨⎧S 1，(n ＝1)S n －S n －1，(n ≥2)2．等差数列前n 项和的性质(1)等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，则{a n }中连续的n 项和构成的数列S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…构成等差数列．(2)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)． 3．等差数列前n 项和S n 的最值(1)若a 1<0，d >0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最小值．(2)若a 1>0，d <0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最大值．特别地，若a 1>0，d >0，则S 1是{S n }的最小值；若a 1<0，d <0，则S 1是{S n }的最大值．思考：{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{|a n |}的前n 项和也是S n 吗？ [提示] 不一定．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若S n 为等差数列{a n } 的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列．( )(2)在等差数列{a n }中，当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝a n ＋1.( ) (3)若a 1>0，d <0，则等差数列中所有正项之和最大．( ) (4)在等差数列中，S n 是其前n 项和，则有S 2n －1＝(2n －1)·a n .( )[解析] (1)正确．因为由等差数列前n 项和公式知S n n ＝d 2n ＋a 1－12d ，所以数列S nn 为等差数列．(2)错误．当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝nd . (3)正确．由实数的运算可知该说法正确． (4)正确．因为S 2n －1＝(a 1＋a 2n －1)(2n －1)2＝2n －12[a n ＋(1－n )d ＋a n ＋(n －1)d ]＝(2n －1)a n . [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√2．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为________.【导学号：12232173】5 [由条件知a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝30，又∵a 1＋a 11＝a 3＋a 9＝a 5＋a 7，∴a 5＋a 7＝2a 6＝10， ∴中间项a 6＝5.]3．等差数列{a n }中，S 2＝4，S 4＝9，则S 6＝________. 15 [由S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列， ∴4＋(S 6－9)＝2×5，∴S 6＝15.]4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为________.【导学号：12232174】23或24 [由a n ≤0得，2n －48≤0，n ≤24. ∴当n ＝23或24时，S n 最小．][合作探究·攻重难](1)已知数列{a n }n n n 2－3n ，求证数列{a n }是等差数列．(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝35n －2n 2，求使S n 最大的n . [解] (1)证明：a 1＝S 1＝1－3＝－2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－3n )－[(n －1)2－3(n －1)]＝2n －4，当n ＝1时，2n －4＝－2＝a 1， ∴a n ＝2n －4.又因为a n －a n －1＝(2n －4)－[2(n －1)－4]＝2(n ≥2)，所以{a n }是等差数列． (2)由S n ＝35n －2n 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －3542＋1 2258.当且仅当n ＝9时，S n 最大，故n ＝9.[规律方法] 一般地，a n 与S n 有如下关系a n ＝⎩⎨⎧S 1 (n ＝1)，S n －S n －1 (n ≥2).a n ＝S n －S n －1并非对所有的n ∈N ＋都成立，而只对n ≥2的正整数成立，由S n 求通项公式a n 时，要分n ＝1和n ≥2两种情形，然后验证n ＝1时是否满足n ≥2的解析式，若不满足，则用分段函数的形式表示．[跟踪训练]1．已知正数数列{b n }的前n 项和S n ＝14(b n ＋1)2，求证{b n }为等差数列，并求其通项.【导学号：12232175】[解] 当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1， ∴b n ＝14(b n ＋1)2－14(b n －1＋1)2 ＝14(b 2n －b 2n －1＋2b n －2b n －1)．整理，得b 2n －b 2n －1－2b n －2b n －1＝0，∴(b n ＋b n －1)(b n －b n －1－2)＝0， ∵b n ＋b n －1>0，∴b n －b n －1＝2(n ≥2)．又∵b 1＝14(b 1＋1)2，∴b 1＝1，∴{b n }为等差数列，∴b n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.n m 2m 3m m ，前2m ，前3m 项和，若S m ＝30，S 2m ＝100，求S 3m .[解] 法一：设{a n }的公差为d ，依据题设和前n 项和公式有：⎩⎨⎧ma 1＋m (m －1)2d ＝30， ①2ma 1＋2m (2m －1)2d ＝100，②②－①，得ma 1＋m (3m －1)2d ＝70，所以S 3m ＝3ma 1＋3m (3m －1)2d＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ma 1＋m (3m －1)2d ＝3×70＝210.法二：S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 成等差数列，所以30、70、S 3m －100成等差数列．所以2×70＝30＋S 3m －100. 所以S 3m ＝210.法三：在等差数列{a n }中，因为S n ＝a 1n ＋12n (n －1)d ，所以S n n ＝a 1＋(n －1)d 2.即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 构成首项为a 1，公差为d2的等差数列．依题中条件知S m m 、S 2m 2m 、S 3m3m 成等差数列，所以2·S 2m 2m ＝S 3m 3m ＋S mm .所以S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30) ＝210.[规律方法] 在等差数列中，前n 项和S n 的问题利用公式可列出关于a 1和d 的方程(组).要注意等差数列中S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也成等差数列且公差为m 2d ，S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m ，…也成等差数列，用此性质可简化运算.[跟踪训练]2．项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数．【导学号：12232176】[解] 设等差数列共2n ＋1项，则奇数项有n ＋1项，偶数项有n 项，中间项是第n ＋1项，记为a n ＋1，设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝44，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝33. ∴S 奇－S 偶＝a 1＋nd ＝a n ＋1＝11，即中间项a n ＋1＝11. 又S 2n ＋1＝S 奇＋S 偶＝77. ∴(2n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(2n ＋1)·2a n ＋12＝77，∴(2n ＋1)×11＝77， ∴2n ＋1＝7，即数列的中间项为11，这个数列共7项．[探究问题]1．将首项为a 1＝2，公差d ＝3的等差数列的前n 项和看作关于n的函数，那么这个函数有什么结构特征？如果一个数列的前n 项和为S n ＝3n 2＋n ，那么这个数列是等差数列吗？上述结论推广到一般情况成立吗？[提示] 首项为2，公差为3的等差数列的前n 项和为S n ＝2n ＋n (n －1)×32＝32n 2＋12n ，显然S n 是关于n 的二次型函数．如果一个数列的前n 项和为S n ＝3n 2＋n ，那么当n ＝1时，S 1＝a 1＝4. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n －2，则该数列的通项公式为a n ＝6n －2，所以该数列为等差数列．一般地，等差数列的前n 项和公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，若令A ＝d 2，B ＝a 1－d2，则上式可写成S n ＝An 2＋Bn (A ，B 可以为0)．2．已知一个数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－5n ，试画出S n 关于n 的函数图象．。

高中数学人教B版必修5学案2.2.2等差数列的前N项和课堂探究学案

等差数列的前项和课堂探究一、关于等差数列中奇数项和、偶数项和的问题剖析：()当等差数列{}有偶数项时，设项数为，设偶＝＋＋＋…＋，①奇＝＋＋＋…＋－，②①－②，得偶－奇＝．①＋②，得偶＋奇＝．，得＝＝＝．()当等差数列{}有奇数项时，设项数为＋，设奇＝＋＋＋…＋＋，③偶＝＋＋＋…＋，④③－④，得奇－偶＝＋＝＋．③＋④，得偶＋奇＝＋＝(＋)．，得＝＝＝．综上，等差数列奇数项和、偶数项和有如下性质：()项数为时，偶－奇＝，偶＋奇＝，＝．()项数为＋时，奇－偶＝＋＝，偶＋奇＝＝(＋)，＝＝．熟练运用这些性质，可以提高解题速度．知识链接：除了上述性质外，与前项和有关的性质还有：①等差数列的依次连续每项之和，－，－，…组成公差为的等差数列．②若为数列{}的前项和，则{}为等差数列等价于是等差数列．③若{}，{}都为等差数列，，′为它们的前项和，则＝．二、教材中的“？”如果仅利用通项公式，能求出使得最小的序号的值吗？剖析：如果仅利用通项公式，也可求出最小序号的值．因为该数列的通项公式为＝－，其各项为－，－，…，－，，，…，可以看出，所有负数或非正数的项相加其和最小时，的值为或．三、教材中的“思考与讨论”．如果已知数列{}的前项和的公式，那么这个数列确定了吗？如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？剖析：确定了，由公式＝来求解，求解时注意要分类讨论，然后对＝的情况进行验证，能写成统一的形式就将合进来，否则保留分段函数形式．．如果一个数列的前项和的公式是＝＋＋(，，为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？剖析：等差数列前项和公式变形为＝＋)．当≠时，是关于的二次函数，如果一个数列的前项和公式是＝＋＋(，，为常数)，那么这个数列的通项公式是＝只有当＝时，＝＋＋才满足＝－＋．因此，当数列的前项和公式为＝＋时，所确定的数列才是等差数列，这时，等差数列的公差＝．题型一等差数列的前项和公式的直接应用【例】在等差数列{}中，()已知＝，＝，＝，求；()已知＝，＝，求和；()已知＝，＝，求和；()已知＝，求．分析：在等差数列的前项和公式中有五个基本量，，，，，只要已知任意三个量，就可以求出其他两个量．解：()由得∵＝，∴＋×＝．解得＝或＝－(舍去)．∴＝．()由得∴＝－，＝．()由得∴＝＋＝，＝＝．()＝×＝×＝．反思：在等差数列{}中，首项与公差是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，均可化成有关，的方程或方程组求解．解题过程中，要注意：()选择适当的公式；()合理利用等差数列的有关性质．题型二与的关系问题。

人教B版数学必修五：2.2《等差数列》学案(含答案解析)

§2.2 等差数列1．等差数列的判定(1)a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)⇔{a n }是公差为d 的等差数列； (2)2a n ＝a n －1＋a n ＋1 (n ≥2)⇔{a n }是等差数列；(3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数)⇔{a n }是公差为k 的等差数列(n ≥1)；(4)S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是公差为2A 的等差数列(n ≥1)．例如：已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝(n －1)2＋λ，则λ的值是________．解析 S n ＝(n －1)2＋λ＝n 2－2n ＋(1＋λ)， ∵{a n }是等差数列，∴1＋λ＝0，λ＝－1. 答案－12．等差数列的通项公式将a n ＝a 1＋(n －1)d 可整理为a n ＝dn ＋(a 1－d )，它是关于n 的一次函数(d ≠0)或常函数(d ＝0)，它的图象是一条射线上的一群横坐标为正整数的孤立的点，公差d 是该射线所在直线的斜率．例如：等差数列{a n }中，若a n ＝m ，a m ＝n (m ≠n )，则a m ＋n ＝______. 解析由点(n ，a n )，(m ，a m )，(m ＋n ，a m ＋n )三点共线， ∴a m ＋n －a n (m ＋n )－n ＝a m －a n m －n .即a m ＋n －m m ＝n －m m －n＝－1，易得a m ＋n ＝0. 答案 03．等差数列的前n 项和公式(1)将公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 变形可得S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n .故当d ≠0时，等差数列前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 上横坐标为正整数的一群孤立点．(2)S n n ＝d2n ＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2是关于n 的一次函数(d ≠0)或常函数(d ＝0)．当涉及等差数列前n 项和S n 的计算问题时，有时设S n ＝An 2＋Bn 的形式更简便快捷．例如：等差数列{a n }中，若S p ＝q ，S q ＝p (p ≠q )，则S p ＋q ＝__________. 解析设S n ＝An 2＋Bn ，则⎩⎪⎨⎪⎧S p ＝Ap 2＋Bp ＝q (1)S q ＝Aq 2＋Bq ＝p (2) 由(1)－(2)得Ap 2＋Bp －Aq 2－Bq ＝q －p ， ∴A (p 2－q 2)＋B (p －q )＝q －p ， ∵p ≠q ，∴A (p ＋q )＋B ＝－1. ∵S p ＋q ＝A (p ＋q )2＋B (p ＋q ) ＝[A (p ＋q )＋B ]·(p ＋q ) ＝－(p ＋q )．答案－(p ＋q ) 4．等差数列的性质(1)若数列{a n }和{b n }均是等差数列，则{ma n ＋kb n }仍为等差数列，其中m 、k 均为常数． (2)若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .(3)等差数列中依次k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，公差为k 2d (d 是原数列公差)．(4)若{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别为S n 与S ′n ，则a m b m ＝S 2m －1S ′2m －1.(5)等差数列{a n }中，奇数项的和记作S 奇，偶数项的和记作S 偶，则S n ＝S 奇＋S 偶．当n 为偶数时：S 偶－S 奇＝n2d ；当n 为奇数时：S 奇－S 偶＝a 中，S 奇＝n ＋12a 中，S 偶＝n －12a 中，S 奇S 偶＝n ＋1n －1.(其中a 中是等差数列的中间一项)例如：已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是________．解析 S 偶－S 奇＝n2d ＝5d ，∴5d ＝30－15＝15，∴d ＝3.答案 35．等差数列前n 项和的最值求等差数列前n 项和的最值的常用方法： (1)通项法当a 1>0，d <0时，数列{a n }只有前面有限项为非负数，从某项开始所有项均为负数，因此，S n 有最大值，当n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0a n ＋1<0时，S n 取到这个最大值；当a 1<0，d >0时，数列{a n }只有前面有限项为非正数，从某项开始所有项均为正数，因此，S n 有最小值，当n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1>0时，S n 取到这一最小值．(2)二次函数法由于S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，n ∈N *是关于n 的二次函数式，故可转化为求二次函数的最值问题，但要注意数列的特殊性n ∈N *.例如：{a n }是等差数列，a 1>0，a 2 009＋a 2 010>0，a 2 009·a 2 010<0，则使前n 项和S n 最大时，n 的值是________；使前n 项和S n >0成立时，n 的最大值是________．答案 2 009 4 018一、等差数列的判断方法方法链接：判定等差数列的常用方法： (1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)；(2)通项公式法：a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数) (n ∈N *)； (3)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)；(4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)，n ∈N *.例1 数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝n (a 1＋a n )2，判断{a n }是否为等差数列？并证明你的结论．解 {a n }是等差数列，证明如下：因为a n ＝S n －S n －1＝n (a 1＋a n )2－(n －1)(a 1＋a n －1)2(n ≥2)，所以a n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)2－n (a 1＋a n )2，所以a n ＋1－a n ＝12[(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)－2n (a 1＋a n )＋(n －1)(a 1＋a n －1)]＝12[(n ＋1)a n ＋1－2na n ＋(n －1)a n －1] (n ≥2)，即(n －1)(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝0，所以a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ≥2)，所以数列{a n }为等差数列．二、等差数列中基本量的运算方法链接：在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a 1和d 是两个基本量，利用通项公式与前n 项和公式，求出a 1和d ，等差数列就确定了．例2 在等差数列{a n }中，(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8；(2)已知前3项和为12，前3项积为48，且d >0，求a 1； (3)已知前3项依次为a,4,3a ，前k 项和S k ＝2 550，求a 及k . 解 (1)∵a 6＝10，S 5＝5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝105a 1＋10d ＝5. 解方程组得a 1＝－5，d ＝3， ∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 8＝8×(a 1＋a 8)2＝44.(2)设数列的前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意有： ⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝12(a －d )·a ·(a ＋d )＝48， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4a (a 2－d 2)＝48， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4d ＝±2. ∵d >0，∴d ＝2，a －d ＝2.∴a 1＝2. (3)设公差为d ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3a ＝8，d ＝4－a ，ka ＋k (k －1)2d ＝2 550，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，d ＝2，k ＝50或k ＝－51(舍去).因此，a ＝2，k ＝50.三、等差数列的性质及运用方法链接：等差数列有一些重要的性质，例如： (1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； (2)若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ；(3)若{a n }是等差数列，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 也成等差数列．(其S k 为前k 项和)(4)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等差数列{b n }的前n 项和为T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.熟练运用这些性质，可以提高解题速度，获得事半功倍的功效．例3 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，求a 2＋a 4＋a 9的值； (2)已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，求证：①a n b n ＝S 2n －1T 2n －1；②a n b m ＝2m －12n －1·S 2n －1T 2m －1.(1)解由S 9＝9(a 1＋a 9)2＝72，∴a 1＋a 9＝16，∴a 1＋a 9＝2a 5＝16，∴a 5＝8，∴a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝24.(2)证明 ①a n b n ＝2a n 2b n ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2n －1＝(a 1＋a 2n －1)2n －12(b 1＋b 2n －1)2n －12＝S 2n －1T 2n －1.②a n b m ＝2a n 2b m ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2m －1＝(a 1＋a 2n －1)2n －12·2m －12(b 1＋b 2m －1)2m －12·2n －12＝2m －12n －1·S 2n －1T 2m －1.四、等差数列前n 项和的最值方法链接：等差数列前n 项和最值问题除了用二次函数求解外，还可用下面的方法讨论：若d >0，a 1<0，S n 有最小值，需⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0；若a 1>0，d <0，S n 有最大值，需⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0.n 取正整数．例4 (1)首项为正数的等差数列，前n 项和为S n ，且S 3＝S 11，问n 为何值时，S n 最大？(2)等差数列{a n }中，a 1＝－60，a 17＝－12，求{|a n |}的前30项和及前n 项和．解 (1)设首项为a 1，公差为d ，则由题意知，d <0，点P (n ，S n )在抛物线y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 上，其对称轴方程为x ＝7(由S 11＝S 3知)，故(7，S 7)是抛物线的顶点，∴n ＝7时，S n 最大．(2)设公差为d ，则由a 1＋16d ＝a 17，得d ＝3>0，因此a n ＝3n －63.点Q (n ，a n )在增函数y ＝3x －63的图象上．令y ＝0则得x ＝21，故当n ≥22时，a n >0；当1≤n ≤21且n ∈N *时，a n ≤0，于是|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝－a 1－a 2－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30 ＝a 1＋a 2＋…＋a 30－2(a 1＋a 2＋…＋a 21) ＝765.记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，则由上面的求解过程知：当1≤n ≤21，n ∈N *时， T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝－a 1－a 2－…－a n ＝(123－3n )n 2＝－32n 2＋1232n .当n >21，n ∈N *时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 20|＋|a 21|＋…＋|a n | ＝－(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋a 22＋a 23＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )－2(a 1＋a 2＋…＋a 21) ＝32n 2－1232n ＋1 260. ∴数列{|a n |}的前n 项和T n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1232n (1≤n ≤21，n ∈N *)，32n 2－1232n ＋1 260 (n >21，n ∈N *).五、关于等差数列的探索性问题方法链接：对于与等差数列有关的探索性问题，先由前三项成等差数列确定参数后，再利用定义验证或证明所得结论．例5 已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1 (n ≥2且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13， a 3＝2a 2＋23－1＝33.(2)假设存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列．则a 1＋λ2，a 2＋λ22，a 3＋λ23成等差数列，∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23，∴13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8.解得λ＝－1.当λ＝－1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1－12n ＋1－⎝⎛⎭⎫a n －12n＝12n ＋1[(a n ＋1－1)－2(a n －1)] ＝12n ＋1(a n ＋1－2a n ＋1) ＝12n ＋1[(2a n ＋2n ＋1－1)－2a n ＋1] ＝12n ＋1×2n ＋1＝1. 综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2为等差数列，且首项是2，公差是1.六、关于等差数列的创新型问题方法链接：关于等差数列的创新型试题，常以图表、数阵、新定义等形式出现．解决此类问题时通过对图表的观察、分析、提炼，挖掘出题目蕴含的有用信息，利用所学等差数列的有关知识加以解决．ij(1)写出a 45的值；(2)写出a ij 的计算公式．解 (1)通过观察“等差数阵”发现：第一行的首项为4，公差为3；第二行首项为7，公差为5.归纳总结出：第一列(每行的首项)是以4为首项，3为公差的等差数列，即3i ＋1，各行的公差是以3为首项，2为公差的等差数列，即2i ＋1.所以a 45在第4行，首项应为13，公差为9，进而得出a 45＝49.(2)该“等差数阵”的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a 1j ＝4＋3(j －1)；第二行是首项为7，公差为5的等差数列： a 2j ＝7＋5(j －1)； ……第i 行是首项为4＋3(i －1)，公差为2i ＋1的等差数列，因此，a ij ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1)＝2ij ＋i ＋j ＝i (2j ＋1)＋j .1．审题不细心，忽略细节而致错例1 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，求公差d 的取值范围．[错解] a 10＝a 1＋9d ＝－24＋9d >0，∴d >83.[点拨] 忽略了“开始”一词的含义，题目强调了第10项是该等差数列中的第一个正项，应有a 9≤0.[正解] 设a n ＝－24＋(n －1)d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋(9－1)d ≤0a 10＝－24＋(10－1)d >0，解不等式得：83<d ≤3.温馨点评审题时要细心，包括问题的细节，有时细节决定解题的成败.2．忽略公式的基本特征而致错例2 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且对一切正整数n 都有S n T n ＝5n ＋32n ＋7，试求a 9b 9的值． [错解] 设S n ＝(5n ＋3)k ，T n ＝(2n ＋7)k ，k ≠0，则a 9＝S 9－S 8＝(5×9＋3)k －(5×8＋3)k ＝5k ， b 9＝T 9－T 8＝(2×9＋7)k －(2×8＋7)k ＝2k ，所以a 9b 9＝52.[点拨] 此解答错在根据条件S n T n ＝5n ＋32n ＋7，设S n ＝(5n ＋3)k ，T n ＝(2n ＋7)k ，这是把等差数列前n 项和误认为是关于n 的一次函数，没有准确把握前n 项和公式的特点．[正解] 因为{a n }和{b n }是公差不为0的等差数列，故设S n ＝n (5n ＋3)k ，T n ＝n (2n ＋7)k ，k ≠0，则 a 9＝S 9－S 8＝9×(5×9＋3)k －8×(5×8＋3)k ＝88k ，b 9＝T 9－T 8＝9×(2×9＋7)k －8×(2×8＋7)k＝41k ，所以a 9b 9＝8841.温馨点评等差数列的前n 项和S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，当d ≠0时，是关于n 的二次函数式，且常数项为零，当d ＝0时，S n ＝na 1，但是本题不属于这种情况(否则S n T n ＝na 1nb 1＝a 1b 1与S nT n＝5n ＋32n ＋7矛盾)． 3．对数列的特点考虑不周全而致错例3 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 有最大值，并求出它的最大值．[错解] 设公差为d ，∵S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，得120d ＝－200，即d ＝－53，∴a n ＝20－(n －1)·53，当a n >0时，20－(n －1)·53>0，∴n <13.∴n ＝12时，S n 最大，S 12＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130.∴当n ＝12时，S n 有最大值S 12＝130.[点拨] 解中仅解不等式a n >0是不正确的，事实上应解a n ≥0，a n ＋1≤0.[正解] 由a 1＝20，S 10＝S 15，解得公差d ＝－53.∵S 10＝S 15，∴S 15－S 10＝a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0， ∵a 11＋a 15＝a 12＋a 14＝2a 13＝0，∴a 13＝0. ∵公差d <0，a 1>0，∴a 1，a 2，…，a 11，a 12均为正数，而a 14及以后各项均为负数．∴当n ＝12或13时，S n 有最大值为S 12＝S 13＝130.4．忽略题目中的隐含条件而致错例4 一个凸n 边形的各内角度数成等差数列，其最小角为120°，公差为5°，求凸n 边形的边数．[错解] 一方面凸n 边形的内角和为S n ，S n ＝120°n ＋n (n －1)2×5°.另一方面，凸n 边形内角和为(n －2)×180°.所以120n ＋n (n －1)2×5＝(n －2)×180.化简整理得：n 2－25n ＋144＝0. 所以n ＝9或n ＝16.即凸n 边形的边数为9或16.[点拨] 凸n 边形的每个内角都小于180°.当n ＝16时，最大内角为120°＋15°×5°＝195°>180°应该舍掉．[正解] 凸n 边形内角和为(n －2)×180°，所以120n ＋n (n －1)2×5＝(n －2)×180解得：n ＝9或n ＝16.当n ＝9时，最大内角为120°＋8°×5°＝160°<180°；当n ＝16时，最大内角为120°＋15×5°＝195°>180°舍去．所以凸n 边形的边数为9.例一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．分析本题可从基本方法入手，先求a 1，d ，再求前110项之和，为了简化计算，也可利用等差数列前n 项和的性质．解方法一设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知得⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100， ①100a 1＋100×992d ＝10. ②①×10－②整理得d ＝－1150，代入①，得a 1＝1 099100，∴S 110＝110a 1＋110×1092d＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫－1150＝110⎝⎛⎭⎫1 099－109×11100＝－110. 故此数列的前110项之和为－110. 方法二设S n ＝an 2＋bn . ∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10，解得⎩⎨⎧a ＝－11100，b ＝11110.∴S n ＝－11100n 2＋11110n .∴S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110.方法三设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎨⎧S p ＝pa 1＋p (p －1)2d ＝q ， ①(p ≠q )S q＝qa 1＋q (q －1)2d ＝p . ②①－②得(p －q )a 1＋(p －q )(p ＋q －1)2d＝－(p －q )．又p ≠q ，∴a 1＋p ＋q －12d ＝－1，∴S p ＋q ＝(p ＋q )a 1＋(p ＋q )(p ＋q －1)2d＝(p ＋q )(－1)， ∴S 110＝－110.方法四数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100 成等差数列，设其公差为D .前10项的和10S 10＋10×92·D ＝S 100＝10，解得D ＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)D ＝100＋10×(－22)＝－120. ∴S 110＝－120＋S 100＝－110.方法五 ∵S 100－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 100 ＝90(a 11＋a 100)2＝90(a 1＋a 110)2.又S 100－S 10＝10－100＝－90，∴a 1＋a 110＝－2.∴S 110＝110(a 1＋a 110)2＝－110.1．已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n . 解设{a n }的公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋2d )(a 1＋6d )＝－16，a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＋8da 1＋12d 2＝－16，a 1＝－4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2.因此S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)，或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9)．2．设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7. (1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2为数列{a n }中的项．解 (1)由题意，设等差数列{a n }的通项公式为 a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ≠0.由a 22＋a 23＝a 24＋a 25得a 22－a 25＝a 24－a 23，由性质得－3d (a 4＋a 3)＝d (a 4＋a 3)，因为d ≠0 所以a 4＋a 3＝0，即2a 1＋5d ＝0.① 又因为S 7＝7，所以a 1＋3d ＝1.② 由①②可得a 1＝－5，d ＝2.所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －7，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2－6n .(2)因为a m a m ＋1a m ＋2＝(a m ＋2－4)(a m ＋2－2)a m ＋2＝a m ＋2－6＋8a m ＋2为数列{a n }中的项，故8a m ＋2为整数．又由(1)知a m ＋2为奇数，所以a m＋2＝2m－3＝±1，即m＝1,2.经检验，符合题意的正整数只有m＝2.赏析试题考查了等差数列的有关知识，起点较低，落点较高，难度控制得恰到好处．第(2)问要求考生有一定的分析问题解决问题的能力．。

高中数学人教B版必修5学案2.2等差数列名师导航学案

等差数列知识梳理.等差数列的定义一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫等差数列的公差,通常用字母表示,定义的表达式为(∈)..等差数列的通项公式如果等差数列{}的首项为,公差为,那么它的通项公式为()..等差中项若三个数、、成等差数列,则叫做、的等差中项,且..等差数列前项和公式或..等差数列的单调性等差数列{}的公差为,若＞,则数列为递增数列,且当＜时,前项和有最小值;若＜,则数列为递减数列,且当＞时,前项和有最大值..等差数列的常用性质已知数列{}是等差数列,首项为,公差为.()若,则;推论:若,则.()等差数列中连续项的和组成的新数列是等差数列,公差等于,即,…为等差数列,则有().()从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列.如,…(下标成等差数列).知识导学等差数列是一种特殊的数列,所以学习前先对上节有关数列的概念、性质进行回顾,同时复习前面学习过的一次函数的形式与图象,并且思考一次函数与等差数列的区别.本节内容的重点是等差数列的定义和等差数列的通项公式及前项和公式,要能够运用公式解决简单问题,在实际解题中注意有关技巧的运用.在理解定义时,要重视两点:一是“从第二项起”,二是“同一常数”,同时要对的取值对单调性的影响加以分析,以加深对概念的理解和知识的巩固.疑难突破.如何去判断或证明一个数列为等差数列呢?剖析:判断一个数列是否为等差数列,最基本也最常用的就是看这个数列是否符合等差数列的定义.一般有以下五种方法:()定义法(常数)(∈){}是等差数列;()递推法(∈){}是等差数列;()性质法:利用性质来判断;()通项法(、为常数){}是等差数列;()求和法(、为常数为{}的前项和){}是等差数列.其中()()两种方法主要应用于选择、填空题中,在解答题中判断一个数列是否是等差数列,一般用()()()这三种方法,而方法()还经常与()()混合运用.证明数列{}是等差数列有两种基本方法:()利用等差数列的定义,证明(≥)为常数;()利用等差中项的性质,即证明(≥)..如何求等差数列前项和的最值?剖析:可从以下两个方面思考:()利用前项和公式,转化为一元二次函数的最值问题.,当≠时,此式可看作二次项系数为,一次项系数为,常数项为的二次函数,其图象为抛物线()上的点集,坐标为()(∈),因此,由二次函数的性质立即可以得出结论:当＞时有最小值;当＜时有最大值.()结合数列的特征,运用函数单调性的思路.当＞时,则数列为递增数列,且当＜时,一定会出现某一项,在此之前的项都是非正数,而后面的项都是正数,前项和有最小值;当＜时,则数列为递减数列,且当＞时,一定会出现某一项,在此之前的项都是非负数,而后面的项都是负数,前项和有最大值.显然最值问题很容易判断.第二种思路运算量小.。

2018版高中数学人教B版必修五教师用书：第2章 2-2-2

2.2.2 等差数列的前n 项和第1课时等差数列的前n 项和1.了解等差数列前n 项和公式的推导过程.(难点),2.掌握等差数列前n 项和公式及其应用.(重点),3.能灵活应用等差数列前n 项和的性质解题.(难点、易错点)基础·初探]教材整理等差数列的前n 项和阅读教材P 39第二自然段～P 39例1，完成下列问题. 1.数列的前n 项和的概念一般地，称a 1＋a 2＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .2.等差数列的前n 项和公式1.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A.13 B.35 C.49 D.63 【解析】 a 2＋a 6＝a 1＋a 7＝14， ∴S 7＝7(a 1＋a 7)2＝49.【答案】 C2.等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n ＝________. 【解析】因为a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n ＋n (n －1)2×1 ＝2n ＋n 2－n 2＝n 2＋n 2＝n (n ＋1)2. 【答案】n (n ＋1)23.在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10＝________. 【解析】由S 10＝10(a 1＋a 10)2＝120，得a 1＋a 10＝24.【答案】 244.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝3. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －(n －1)2－2(n －1) ＝2n ＋1.因为n ＝1时，a 1＝3，也满足a n ＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1. 【答案】 2n ＋1小组合作型]已知等差数列{a n }中， (1)a 1＝12，S 4＝20，求S 6；(2)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ； (3)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .【精彩点拨】利用等差数列求和公式的两种形式求解.【自主解答】 (1)S 4＝4a 1＋4(4－1)2d ＝4a 1＋6d ＝2＋6d ＝20， ∴d ＝3.故S 6＝6a 1＋6(6－1)2d ＝6a 1＋15d ＝3＋15d ＝48. (2)∵S n ＝n ·32＋n (n －1)2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－15，整理得n 2－7n －60＝0，解得n ＝12或n ＝－5(舍去)， a 12＝32＋(12－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4.(3)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－512＋1)2＝－1 022，解得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解得d ＝－171.a 1，n ，d 为等差数列的三个基本量，a n 和S n 都可以用这三个基本量来表示，五个量a 1，n ，d ，a n ，S n 中可知三求二.一般是通过通项公式和前n 项和公式联立方程(组)求解，这种方法是解决数列问题的基本方法.在具体求解过程中，应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.再练一题]1.已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 10. 【解】 ⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝5， a 6＝a 1＋5d ＝10，解得a 1＝－5，d ＝3.∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－5)＋5×9×3＝85.某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？【精彩点拨】因为每隔20分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列.工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明24小时内可完成第二道防线工程.【自主解答】从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a 1，a 2，…，a 25.由题意可知，此数列为等差数列，且a 1＝24，公差d ＝－13.25辆翻斗车完成的工作量为：a 1＋a 2＋…＋a 25＝25×24＋25×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线.1.本题属于与等差数列前n 项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列.2.遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点： (1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型. (2)深入分析题意，确定是求通项公式a n ，或是求前 n 项和S n ，还是求项数n .再练一题]2.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米.【导学号：18082026】【解析】假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S ＝9×20＋9×82×20＋10×20＋10×92×20＝2 000(米). 【答案】 2 000探究共研型]的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根.假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少钢管？原来有多少根钢管？图2-2-2【提示】在原来放置的钢管中，从最上面一层开始，往下每一层的钢管数分别记为a 1，a 2，…，a 6，则数列{a n }构成一个以a 1＝4为首项，以d ＝1为公差的等差数列，设此时钢管总数为S 6，现再倒放上同样一堆钢管，则这堆钢管每层有a 1＋a 6＝a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝…＝a 6＋a 1＝13(根)，此时钢管总数为2S 6＝(a 1＋a 6)×6＝13×6＝78(根)，原来钢管总数为S 6＝a 1＋a 62×6＝39(根).探究2 通过探究1，你能推导出等差数列{a n }的求和公式吗？【提示】 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ， ①把数列{a n }各项顺序倒过来相加得 S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 2＋a 1，② ①＋②得2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a n ＋a 1)＝n (a 1＋a n )，则S n ＝(a 1＋a n )n2.探究3 你能用a 1，d ，n 表示探究2中的公式吗？该结果与S n ＝(a 1＋a n )n2有什么区别与联系.【提示】 S n ＝(a 1＋a n )n 2＝[a 1＋a 1＋(n －1)d ]n2＝a 1n ＋n (n －1)d 2，即S n ＝a 1n ＋n (n －1)d2.该公式是由探究2中的公式推导得出，都是用来求等差数列的前n 项和，在求解时都可以“知三求一”，求S n 时，都需知a 1，n ，不同在于前者还需知a n ，后者还需知d.(1)已知等差数列{a n }中，若a 1 009＝1，求S 2 017；(2)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，求a 5b 5.【精彩点拨】由等差数列的前n 项和公式及通项公式列方程组求解，或结合等差数列的性质求解.【自主解答】 (1)法一：∵a 1009＝a 1＋1008d ＝1，∴S 2017＝2017a 1＋2017×20162d ＝2 017(a 1＋1 008d )＝2017.法二：∵a 1009＝a 1＋a 20172，∴S 2017＝a 1＋a 20172×2 017＝2017a 1009＝2017. (2)法一：a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53.法二：∵S n T n＝2n ＋2n ＋3＝n (2n ＋2)n (n ＋3)，∴设S n ＝2n 2＋2n ，T n ＝n 2＋3n ，∴a 5＝S 5－S 4＝20，b 5＝T 5－T 4＝12， ∴a 5b 5＝2012＝53.1.若{a n }是等差数列，则S n ＝a 1＋a n2·n ＝na 中(a 中为a 1与a n 的等差中项). 2.若{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.再练一题]3.在等差数列{a n }中. 已知a 3＋a 15＝40，求S 17.【解】法一：∵a 1＋a 17＝a 3＋a 15，∴S 17＝17×(a 1＋a 17)2＝17×(a 3＋a 15)2＝17×402＝340.法二：∵a 3＋a 15＝2a 1＋16d ＝40，∴a 1＋8d ＝20， ∴S 17＝17a 1＋17×162d ＝17(a 1＋8d )＝17×20＝340.法三：∵a 3＋a 15＝2a 9＝40，∴a 9＝20，∴S 17＝17a 9＝340.1.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A.8 B.10 C.12 D.14【解析】由题意知a 1＝2，由S 3＝3a 1＋3×22×d ＝12，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12，故选C.【答案】 C2.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A.5 B.7 C.9 D.11【解析】法一：∵a 1＋a 5＝2a 3， ∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3， ∴a 3＝1，∴S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5，故选A.法二：∵a 1＋a 3＋a 5＝a 1＋(a 1＋2d )＋(a 1＋4d )＝3a 1＋6d ＝3，∴a 1＋2d ＝1， ∴S 5＝5a 1＋5×42d ＝5(a 1＋2d )＝5，故选A. 【答案】 A3.在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________. 【解析】 S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19·2a 102＝19a 10＝190. 【答案】 1904.记等差数列前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d ＝________.【导学号：18082027】【解析】法一：由⎩⎨⎧S 2＝2a 1＋d ＝4，S 4＝4a 1＋6d ＝20，解得d ＝3.法二：由S 4－S 2＝a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 2＋2d ＝S 2＋4d ，∴20－4＝4＋4d ，解得d ＝3. 【答案】 35.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，求a 9. 【解】设等差数列的公差为d ，则 S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1， S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8.由⎩⎨⎧ a 1＋d ＝1， 2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎨⎧a 1＝－1， d ＝2. 故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15.。

2018版高中数学人教B版必修五学案：第二单元 2.2-2 等

2．2.2 等差数列的前n 项和(一)学习目标 1.掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个．知识点一等差数列前n 项和公式的推导思考高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和．但如果是求1＋2＋3＋…＋n ，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？梳理 “倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n 项和，其方法如下： S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a n＝a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋…＋[a 1＋(n －2)d ] ＋[a 1＋(n －1)d ]；S n ＝a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1＝a n ＋(a n －d )＋(a n －2d )＋…＋[a n －(n －2)d ] ＋[a n －(n －1)d ]．两式相加，得2S n ＝n (a 1＋a n )，由此可得等差数列{a n }的前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2.根据等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，代入上式可得S n ＝na 1＋________________.知识点二等差数列前n 项和公式的特征思考1 在等差数列{a n }中，若已知a 2＝7，能求出前3项和S 3吗？思考2 我们对等差数列的通项公式变形：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )，分析出通项公式与一次函数的关系．你能类比这个思路分析一下S n ＝na 1＋n (n －1)2d 吗？梳理对于等差数列{a n }的前n 项和S n ，有下面几种常见变形： (1)S n ＝n ·a 1＋a n2；(2)S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ；(3)S n n ＝d 2n ＋(a 1－d 2)({S n n }是公差为d2的等差数列)．知识点三等差数列前n 项和公式的性质思考如果{a n }是等差数列，那么a 1＋a 2＋…＋a 10，a 11＋a 12＋…＋a 20，a 21＋a 22＋…＋a 30是等差数列吗？梳理 (1)S m ，S 2m ，S 3m 分别为等差数列{a n }的前m 项的和，前2m 项的和，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，公差为m 2d .(2)若等差数列的项数为2n (n ∈N ＋)，则S 2n ＝____________，且S 偶－S 奇＝____，S 奇S 偶＝a n a n ＋1.(3)若等差数列的项数为2n －1(n ∈N ＋)，则S 2n －1＝____________，且S 奇－S 偶＝a n ，S 奇＝na n ，S 偶＝(n －1)·a n ，S 奇S 偶＝nn －1.类型一等差数列前n 项和公式的应用命题角度1 方程思想例1 已知一个等差数列{a n }的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？反思与感悟(1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用．(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，a n，S n，知其三能求另外两个．跟踪训练1在等差数列{a n}中，已知d＝2，a n＝11，S n＝35，求a1和n.命题角度2实际应用例2某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？反思与感悟建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．本题是根据首项和公差选择前n项和公式进行求解．跟踪训练2甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟第一次相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？类型二等差数列前n 项和性质的应用例3 (1)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ； (2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值．反思与感悟等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．跟踪训练3 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .1．在等差数列{a n }中，若S 10＝120，则a 1＋a 10的值是( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．482．记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．73．在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________. 4．已知在等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ；(2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .1．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，a n，S n，n，d五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量．在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下列结论的运用：若m＋n＝p＋q，则a n＋a m＝a p＋a q(n，m，p，q∈N＋)；若m＋n＝2p，则a n＋a m＝2a p. 3．本节涉及的数学思想：方程思想，函数思想，整体思想，分类讨论思想．答案精析问题导学知识点一思考不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对．但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：设S n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ，又S n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1，∴2S n ＝(1＋n )＋[2＋(n －1)]＋…＋[(n －1)＋2]＋(n ＋1)， ∴2S n ＝n (n ＋1)， ∴S n ＝n (n ＋1)2.梳理n (n －1)2d 知识点二思考1 S 3＝3(a 1＋a 3)2＝3×a 1＋a 32＝3a 2＝21.思考2 按n 的降幂展开S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n 是关于n 的二次函数形式，且常数项为0. 知识点三思考 (a 11＋a 12＋…＋a 20)－(a 1＋a 2＋…＋a 10)＝(a 11－a 1)＋(a 12－a 2)＋…＋(a 20－a 10) ＝10d ＋10d ＋…＋10d 10个＝100d ，类似可得(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝100d .∴a 1＋a 2＋…＋a 10，a 11＋a 12＋…＋a 20，a 21＋a 22＋…＋a 30是等差数列．梳理 (2)n (a n ＋a n ＋1) nd (3)(2n －1)a n 题型探究类型一命题角度1例1 解方法一由题意知 S 10＝310，S 20＝1 220，将它们代入公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得到⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝310，20a 1＋190d ＝1 220，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝6.∴S n ＝n ×4＋n (n －1)2×6＝3n 2＋n .方法二 S 10＝10(a 1＋a 10)2＝310⇒a 1＋a 10＝62，① S 20＝20(a 1＋a 20)2＝1 220⇒a 1＋a 20＝122，② ②－①得a 20－a 10＝60， ∴10d ＝60， ∴d ＝6，a 1＝4.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝3n 2＋n .跟踪训练1 ⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5，a 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1.命题角度2例2 解设每次交款数额依次为a 1，a 2，…，a 20，则 a 1＝50＋1 000×1%＝60(元)， a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)， …a 10＝50＋(1 000－9×50)×1% ＝55.5(元)，即第10个月应付款55.5元．由于{a n }是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，所以有S 20＝60＋(60－19×0.5)2×20＝1 105(元)，即全部付清后实际付款1 105＋150 ＝1 255(元)．跟踪训练2 解 (1)设开始运动n 分钟后第一次相遇，依题意，有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0. 解得n ＝7，n ＝－20(舍去)．所以第一次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设开始运动m 分钟后第二次相遇，依题意，有2m ＋m (m －1)2＋5m ＝3×70，整理得m 2＋13m －420＝0. 解之得m ＝15，m ＝－28(舍去)．所以第二次相遇是在开始运动后15分钟．类型二例3 解 (1)方法一在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列． ∴30,70，S 3m －100成等差数列． ∴2×70＝30＋(S 3m －100)， ∴S 3m ＝210.方法二在等差数列中， S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m 成等差数列， ∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m3m. 即S 3m ＝3(S 2m －S m ) ＝3×(100－30)＝210. (2)a 5b 5＝12(a 1＋a 9)12(b 1＋b 9) ＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2 ＝S 9T 9＝7×9＋29＋3 ＝6512. 跟踪训练3 解设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1.∴S nn ＝a 1＋n －12d ＝n 2－52， ∴S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n ＝n ×(－2)＋n (n －1)2×12＝n 2－9n4.当堂训练 1．B 2.B 3.1904．(1)n ＝12，a n ＝a 12＝－4. (2)d ＝－171.。

2018版高中数学第2章数列2.2.1第1课时等差数列学案新人教B版必修5

第1课时等差数列1.理解等差数列的概念难点2.掌握等差数列的通项公式及运用重点、难点3.掌握等差数列的判定方法重点)[基础·初探]教材整理1 等差数列的含义阅读教材P35第一行～P35例1，完成下列问题.等差数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.(2)符号语言：a n＋1－a n＝d(d为常数，n∈N＋).判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.( )(2)如果一个无穷数列{a n}的前4项分别是1,2,3,4，则它一定是等差数列.( )(3)当公差d＝0时，数列不是等差数列.( )(4)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列.( )【解析】(1)×.因为若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列.(2)×.因为一个无穷数列前四项构成公差为1的等差数列，往后各项与前一项的差未必是同一个常数1.(3)×.因为该数列满足等差数列的定义，所以该数列为等差数列，事实上它是一类特殊的数列——常数列.(4)√.因a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列.【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√教材整理2 等差数列的通项公式及等差中项阅读教材P 35倒数第5行～P 37例3以上部分，完成下列问题. 1.等差中项(1)条件：如果a ，A ，b 成等差数列.(2)结论：那么A 叫做a 与b 的等差中项.(3)满足的关系式是a ＋b ＝2A .2.等差数列的通项公式以a 1为首项，d 为公差的等差数列{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d . 3.从函数角度认识等差数列{a n }若数列{a n }是等差数列，首项为a 1，公差为d ，则a n ＝f (n )＝a 1＋(n －1)d ＝nd ＋(a 1－d ).(1)点(n ，a n )落在直线y ＝dx ＋(a 1－d )上； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d 个单位.1.已知等差数列{a n }中，首项a 1＝4，公差d ＝－2，则通项公式a n ＝________. 【解析】 ∵a 1＝4，d ＝－2， ∴a n ＝4＋(n －1)×(－2)＝6－2n . 【答案】 6－2n2.等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是________. 【解析】由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可知－89＝1＋(n －1)·(－2)，所以n ＝46. 【答案】 463.方程x 2＋6x ＋1＝0的两根的等差中项为________.【解析】设方程x 2＋6x ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－6，所以x 1，x 2的等差中项为A ＝x 1＋x 22＝－3.【答案】－3[小组合作型]n n (1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列？ (2)求证：对任意实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }是等差数列.【精彩点拨】利用等差数列定义判断或证明a n＋1－a n为一个常数即可.【自主解答】(1)欲使{a n}是等差数列，则a n＋1－a n＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q应是一个与n无关的常数，所以只有2p＝0，即p＝0时，数列{a n}是等差数列.(2)因为a n＋1－a n＝2pn＋p＋q，所以a n＋2－a n＋1＝2p(n＋1)＋p＋q.而(a n＋2－a n＋1)－(a n＋1－a n)＝2p为一个常数，所以{a n＋1－a n}是等差数列.等差数列的判定方法有以下三种：定义法：a n＋1－a n＝d常数n∈N＋⇔{a n}为等差数列；等差中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2n∈N＋⇔{a n}为等差数列；通项公式法：a n＝an＋b a，b是常数，n∈N＋⇔{a n}为等差数列.但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.[再练一题]1.判断下列数列是否是等差数列，并给出证明.(1)a n＝4－2n；(2)a n＝n2＋n.【解】(1)是等差数列.证明如下：∵a n＋1－a n＝4－2(n＋1)－(4－2n)＝4－2n－2－4＋2n＝－2(常数)，∴{a n}是等差数列，且公差为－2.(2)不是等差数列.证明如下：∵a1＝2，a2＝6，a3＝12，∴a2－a1≠a3－a2，∴{a n}不是等差数列.n1n＋x1，x4，x5成等差数列，求p，q的值.【导学号：18082021】【精彩点拨】将x1，x4，x5用p，q表示出来，由x1，x4，x5成等差数列，即2x4＝x1＋x5列出关于p，q的方程组求解.【自主解答】由x 1＝3，得2p ＋q ＝3，① 又x 4＝24p ＋4q ，x 5＝25p ＋5q ，且x 1＋x 5＝2x 4，得 3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ，② 由①②得q ＝1，p ＝1.三数a ，b ，c 成等差数列的条件是b ＝\f(a ＋c,或2b ＝a ＋c ，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.如若证{a n }为等差数列，可证2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2n ∈N ＋[再练一题]2.若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，则m 与n 的等差中项是________. 【解析】由m 和2n 的等差中项为4，则m ＋2n ＝8，又由2m 和n 的等差中项为5，则2m ＋n ＝10. 两式相加，得m ＋n ＝6. ∴m 与n 的等差中项为m ＋n 2＝62＝3.【答案】 3[探究共研型]后，往后每隔50米安装一盏，试问安装第5盏路灯时距离第一盏路灯有多少米？你能用第一盏灯为起点和两灯间隔距离表示第n 盏灯的距离吗？【提示】设第一盏路灯到第一盏路灯的距离记为a 1，第2盏路灯到第一盏路灯的距离记为a 2，第n 盏路灯到第一盏路灯的距离记为a n ，则a 1，a 2，…，a n ，…构成一个以a 1＝0为首项，以d ＝50为公差的一个等差数列. 所以有a 1＝0，a 2＝a 1＋d ＝0＋50＝50，a 3＝a 2＋d ＝a 1＋2d ＝0＋2×50＝100， a 4＝a 3＋d ＝a 1＋3d ＝0＋3×50＝150， a 5＝a 4＋d ＝a 1＋4d ＝0＋4×50＝200，…a n ＝a 1＋(n －1)d ＝50n －50，所以，第5盏路灯距离第一盏路灯200米，第n 盏路灯距离第一盏路灯(50n －50)米.探究2 第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算，你能算出2016年8月在巴西里约热内卢举行的奥运会是第几届吗？若已知届数，你能确定相应的年份吗？【提示】设第一届的年份为a 1，第二届的年份为a 2，…，第n 届的年份为a n ，则a 1，a 2，…，a n ，…构成一个以a 1＝1 896为首项，以d ＝4为公差的等差数列，其通项公式为a n＝a 1＋(n －1)d ＝1 896＋4(n －1)＝4n ＋1 892，即a n ＝4n ＋1 892，由a n ＝2 016，知4n ＋1 892＝2 016，所以n ＝31.故2016年举行的奥运会为第31届.已知举办的届数也能求出相应的年份，因为在等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 中，知道其中任何三个量，均可求得第四个量.探究3 在等差数列{a n }中，能用a 1，d 两个基本量表示a n ，那么能否用{a n }中任意一项a m 和d 表示a n?【提示】由a n ＝a 1＋(n －1)d ，①a m ＝a 1＋(m －1)d ，②两式相减可得：a n －a m ＝(n －m )d ，则a n ＝a m ＋(n －m )d .(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＝7，a 10＝25，求通项公式a n ； (2)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝54，a 7＝－74，求a 15的值.【精彩点拨】设出基本量a 1，d .利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式a n ＝a m ＋(n －m )d 求解.【自主解答】 (1)法一：∵a 4＝7，a 10＝25，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝7，a 1＋9d ＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2， d ＝3.∴a n ＝－2＋(n －1)×3＝3n －5， ∴通项公式a n ＝3n －5(n ∈N ＋). 法二：∵a 4＝7，a 10＝25， ∴a 10－a 4＝6d ＝18，∴d ＝3， ∴a n ＝a 4＋(n －4)d ＝3n －5(n ∈N ＋). (2)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝54， a 7＝－74，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝54， a 1＋6d ＝－74，解得a 1＝114，d ＝－34.∴a 15＝a 1＋(15－1)d ＝114＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－314. 法二：由a 7＝a 3＋(7－3)d ，即－74＝54＋4d ，解得d ＝－34.∴a 15＝a 3＋(15－3)d ＝54＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－314.1.应用等差数列的通项公式求a 1和d ，运用了方程的思想.一般地，可由a m ＝a ，a n ＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋m －d ＝a ，a 1＋n －d ＝b ，求出a 1和d ，从而确定通项公式.2.若已知等差数列中的任意两项a m ，a n ，求通项公式或其它项时，则运用a m ＝a n ＋(m －n )d 较为简捷.[再练一题]3.－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？【解】由a 1＝－5，d ＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为a n ＝－5－4(n －1)＝－4n －1.由题意知，－401＝－4n －1，得n ＝100，即－401是这个数列的第100项.1.数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列( )A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n 的等差数列【解析】 ∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋5－(2n ＋5)＝2， ∴{a n }是公差为2的等差数列. 【答案】 A2.等差数列的前3项依次是x －1，x ＋1,2x ＋3，则其通项公式为( )【导学号：18082022】A.a n ＝2n －5B.a n ＝2n －3C.a n ＝2n －1D.a n ＝2n ＋1【解析】 ∵x －1，x ＋1,2x ＋3是等差数列的前3项， ∴2(x ＋1)＝x －1＋2x ＋3，解得x ＝0. ∴a 1＝x －1＝－1，a 2＝1，a 3＝3， ∴d ＝2，∴a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3，故选B.【答案】 B3.等差数列的第3项是7，第11项是－1，则它的第7项是________. 【解析】设首项为a 1，公差为d ，由a 3＝7，a 11＝－1，得a 1＋2d ＝7，a 1＋10d ＝－1，所以a 1＝9，d ＝－1，则a 7＝3. 【答案】 34.若5，x ，y ，z,21成等差数列，则x ＋y ＋z ＝________.【解析】 ∵5，x ，y ，z,21成等差数列，∴y 是5和21的等差中项也是x 和z 的等差中项，∴5＋21＝2y ，∴y ＝13，x ＋z ＝2y ＝26，∴x ＋y ＋z ＝39.【答案】 395.若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，求a 75的值. 【解】法一：因为{a n }是等差数列，设公差为d ，由a 15＝8，a 60＝20，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋14d ＝8，a 1＋59d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6415， d ＝415.所以a 75＝a 1＋74d ＝6415＋74×415＝24.法二：因为{a n }为等差数列，所以a 15，a 30，a 45，a 60，a 75也为等差数列.设这个等差数列的公差为d ，则a 15为首项，a 60为第4项，所以a 60＝a 15＋3d ，即20＝8＋3d ，解得d ＝4，所以a 75＝a 60＋d ＝20＋4＝24.法三：因为{a n }是等差数列，设其公差为d . 因为a 60＝a 15＋(60－15)d ，所以d ＝20－860－15＝415，所以a 75＝a 60＋(75－60)d ＝20＋15×415＝24.。

2018版高中数学人教B版必修5课件：2.2.2 等差数列的前n项和第一课时

(2)结合数列的特征,利用单调性: 当d>0,则数列为递增数列 ,且当a1<0时,一定会出现某一项,在此项及以前的项都是非正数 ,而后面的项都是正数 ,即Sn有最小值;当d<0时,数列为递减数列,且当a1>0时,一定会出现某一项,在此项及以前的项都是非负数,而
后面的项都是负数,即Sn有最大值.
n n 1 2
d,且 a1=1,an=-512,Sn=-1 022,则
① ②
将(n-1)·d=-513 代入②得 n+
1 n·(-513)=-1 022,解得 n=4,所以 d=-171. 2
(2)等差数列{an}中,已知a5=-1,a8=2,求S12.
思路点拨:(2)中结合等差数列的性质得a5+a8=a1+a12,再用公式求解.
(B)210
(C)380
a1 3 , d 4
(D)400
a1 d 7 解析: ⇒ a1 3d 15
所以 S10=10a1+ 故选 B.
10 9 ×d=210, 2
3.在等差数列{an}中,S10=4S5,则 (A) (C)
1 4 1 2
a1 等于( d
C
从而 Sn=25n+
n n 1 2
(-2)=-(n-13) +169.
2
故前 13 项和最大,且最大值为 169.
法二由 S17=
17( a1 a17 ) 9(a a ) =17a9,S9= 1 9 =9a5 以及 S17=S9,a1=25 得 d=-2. 2 2
所以 an=a1+(n-1)d=25-2(n-1)=27-2n. 显然,当 n≤13 时,an>0;当 n≥14 时,an<0. 所以前 13 项和最大,最大值为 S13=

高中数学人教B版必修5 2.2 教学设计《2.2.2等差数列的前n项和》(人教B)

《2.2.2等差数列的前n项和》讲解了等差数列的定义；掌握等差数列的通项公式；培养学生的观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程思想。

【知识与能力目标】进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究的最值。

【过程与方法目标】经历公式应用的过程【情感态度与价值观】通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。

【教学重点】熟练掌握等差数列的求和公式。

【教学难点】灵活应用求和公式解决问题。

根据本节知识的特点，为突出重点、突破难点，增加教学容量，便于学生更好的理解和掌握所学的知识，我利用计算机辅助教学。

（一）复习回顾师出示课件第2页，回顾之前了解的关于数列定义、通项、分类、实质。

1.数列定义:按照一定顺序排成的一列数。

2.通项公式:如果数列{an}中第n项an与n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做数列的通项公式。

3.数列的分类1)按项数分：项数有限的数列叫有穷数列项数无限的数列叫无穷数列2)按项之间的大小关系：递增数列，摆动数列，常数列4.数列的实质数列可以看作是一个定义域为正整数集（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

5.递推公式:如果已知{an}的第1项(或前n项)，且任一项an与它的前一项an-1(或前n项)间的关系可用一个公式来表示，这个公式叫做数列的递推公式。

（二）等差数列1、定义打开课件第4页。

高中数学人教B版必修五教案：2.2《等差数列的性质二》1

)
A ． 32
B．－ 32
C． 35 答案 C
D．－ 35
解析由 a8－ a4＝ (8－ 4)d＝4d，得 d＝ 3，所以 a15＝a8＋ (15－ 8)d＝14＋ 7×3＝ 35.
3．在等差数列 { an} 中， a4＋ a5＝ 15， a7＝ 12，则 a2 等于 ( )
A．3
B．－ 3
C.3 2
公差为 d 的等差数列 (c 为任一常数 ) 公差为 cd 的等差数列 (c 为任一常数 ) 公差为 2d 的等差数列 (k 为常数， k∈ N＋) 公差为 pd＋ qd′的等差数列 (p， q 为常数 )
(3){ an} 的公差为 d，则 d>0 ? { an} 为递增数列； d<0? { an} 为递减数列； d＝ 0? { an} 为常数列 .
14 km 处的目的地，且
一路畅通，等候时间为 0，需要支付多少车费？
2018—2019 学年度第一学期
渤海高中高二数学教案
主备人：
使用人：
时间： 2018 年 9 月 10 日
课题等差数列的性质
课时 2
课型新授课
教学等差数列性质的应用
依据：数学课程标准
重点
教学等差数列性质的理解
依据：教材、教参
难点
一、知识目标
理由：
1、学生归纳等差数列的一些常见性质。
依据本
学习
(2)设数列 {bn}满足 b n＝
2log2 (an＋1－ n)，求 {bn}的通
项公式．
强化学生
4．
知识储备
总
1、知识点
教师提问，教学生发言，相及养成良 5
结

人教课标版(B版)高中数学必修5参考教案2-等差数列

2.2.1等差数列
教学过程
课堂教学设计说明：
1、本节课由具体例子引入等差数列的定义，培养了学生由感性认识到理性认识
的抽象能力.
2、教学中注意充分发挥学生的主体作用的同时，教师的主导作用必须充分体现，
引导学生领会数学知识发生、发展的过程，激发学生对数学学习的兴趣，同时要揭示知识的内在联系和规律，使学生能从更高的层次解决问题.
3、由不完全归纳法得出通项公式，提高学生归纳推理的逻辑思维能力.
教学反思：在差数列概念的理解上采用学生讨论的方法让学生自己去探究、发现、归纳，通过老师将定义分点强调，让学生理解更加深刻.对通项公式的推导上运动归纳猜想的方法，鼓励学生自己动手，让知识更加透彻.。

人教版高中数学必修5第二章数列-《2.2等差数列》教案(4)

课题：2.2.1 等差数列教学目的：1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式教学难点：等差数列的性质授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体教学过程：一、导入新课：上节课我们已经学习了数列的定义，请同学们来看这样一个例子1、在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星： 1682，1758，1834，1910，1986，（）你能预测出下一次的大致时间吗？2、通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰在9km 的温度。

从上面两例中，我们分别得到两个数列① 1682，1758，1834，1910，1986，2062和 ②32, 25.5, 19, 12.5, 6, …, -20 你能根据规律在（）内填上合适的数吗？1，4，7，10，（），16，…2， 0， -2， -4， -6，（）…请同学们仔细观察一下，看看以上几个数列有什么共同规律？？共同规律：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列二、讲解新课：1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）⑴公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；高度(km)温度(℃) 1 2 3 28 21.5 154 5 8.5 2 … …⑵对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +，则此数列是等差数列，d 为公差练习：判断它们是等差数列吗？(1) 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10(2) 5，5，5，5，5，5，…你会求它们的通项公式吗？(1) 1，4，7，10，13，16，…(2) 2，0，-2，-4，-6，-8 …师生共同讨论，运用所学知识解决，得到（1）（2）提出设想：任意等差数列的通项公式？ 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+= 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得：d a a =-12即：d a a +=12d a a =-23即：d a d a a 2123+=+=d a a =-34即：d a d a a 3134+=+=……由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n )1(1-+=三、例题讲解例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？解：⑴由35285,81-=-=-==d an=20，得49)3()120(820-=-⨯-+=a⑵由4)5(9,51-=---=-=d a得数列通项公式为：)1(45---=n a n1(1)3n a n =+-⨯2(1)(2)n a n =+-⨯-由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得)1(45401---=-n 成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项练一练：（1）求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项；（2）100是不是等差数列2，9，16，…中的项？（3）-20是不是等差数列0，- ，-7…中的项？例2 在等差数列{}n a 中，已知105=a ，3112=a ，求1a ,d ,解：∵105=a ，3112=a ，则⎩⎨⎧=+=+311110411d a d a ⇒⎩⎨⎧=-=321d a 练一练：在等差数列中四、小结等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=五、布置作业：习题2.2（1） 1、2、3、4六、教学反思72471(1)10,19,.a a a d ==已知求与3912(2)9,3a a a ==已知，求。

高中数学(人教新课标B版)教学设计必修五：：2.2.2等差数列的前n项和

教学设计2．2.2 等差数列的前n项和整体设计教学分析本节等差数列求和共分2课时，第1课时是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并能利用它解决数列求和的有关问题．等差数列求和公式的推导，是由计算工厂堆放的钢管数这一实例引入的，采用了倒序相加法，思路的获得得益于等差数列任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识和发现，通过对等差数列求和公式的推导，使学生能掌握“倒序相加”这一重要数学方法．第2课时的主要内容是让学生进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式，进一步了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题．通过本节课的教学使学生对等差数列的前n项和公式的认识更为深刻，并进一步感受数列与函数、数列与不等式等方面的联系，促进学生对本节内容认知结构的形成．通过探究一些特殊数列求和问题的思路和方法，体会数学思想方法的运用．在本节教学中，应让学生融入问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、活动、探索、交流、反思，来认识和理解等差数列的求和内容．在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆猜想，学会探究．在教法上，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位．通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析问题的能力和积极思维、追求新颖的创新意识．三维目标1．通过经历等差数列求和公式的发现、探究过程，掌握等差数列前n项和公式的推导及应用，会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究S n的最值．2．学会常用的数学方法和体现出的数学思想，促进学生的思维水平的发展．通过例题及其变式例题的训练，进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式．3．通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学来源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并用数学知识解决问题．重点难点教学重点：掌握等差数列的前n项和公式；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题，能用多种方法解决数列求和问题．教学难点：对等差数列求和公式的深刻理解及其灵活应用．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(情境导入)我们在日常生活中常常遇到这样的事情：(可利用多媒体课件或幻灯片)有一堆钢管放置如图1，请你帮助管理人员算一算一共有钢管多少根？求图2共有多少朵花？当然一根根地数钢管或一朵朵地数小花能算出来，但有没有更好的方法呢？若让你求出第100层的钢管数或让你求出第100个圆圈上的小花数，那么你怎样求呢？这实际上就是等差数列的求和问题，由此展开新课．图1图2思路2.(事例导入)关于“加薪的学问”有一报道如下：在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两个加工资的方案，一是每年年末加1 000元；二是每半年结束时加300元．请选一种，一般不擅长数学的，很容易选择前者．因为一年加1 000元总比两个半年共加600元要多．其实，由于加工资是累计的，时间稍长，往往第二种方案更有利．例如，在第二年的年末，依第一种方案可以加得1 000＋2 000＝3 000(元)；而第二种方案在第一年加得(300＋600)元，第二年加得900＋1200＝2 100(元)，总数也是3 000元．但到第三年，第一种方案可得1 000＋2 000＋3 000＝6 000(元)，第二种方案则为300＋600＋900＋1 200＋1 500＋1 800＝6 300(元)，比第一种方案多了300元．第四年、第五年会更多．因此，你若在该公司干三年以上，则应选择第二种方案．以上材料的正确解答恰是我们要研究的数列求和问题，由此导入新课．推进新课新知探究提出问题(1)教师出示幻灯投影1.印度泰姬陵(Taj Mahal)是世界七大建筑奇迹之一，所在地是阿格拉市．泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征．陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝．传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(如下图)，奢华之程度，可见一斑．你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？(该问题赋予了课堂人文历史的气息，缩短了数学与现实之间的距离，引领学生步入探讨高斯算法的阶段)(2)教师出示幻灯投影2.高斯是伟大的数学家、天文学家．高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：“现在给大家出道题目：1＋2＋…100＝？”过了两分钟，正当大家在：1＋2＝3；3＋3＝6；4＋6＝10；…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1＋2＋3＋…＋100＝5 050.”你知道高斯是如何算出答案的吗？(3)根据问题(1)(2)你能探究出等差数列的求和公式吗？(4)等差数列的前n项和公式有什么结构特征？(5)怎样运用这两个公式解决数列求和问题？活动：教师引导学生探究以上两个著名的历史问题，一方面展示了历史文化奇迹，如问题(1)，另一方面切身感受一下历史名人的成长足迹，激发学生的探究兴趣．高斯是18世纪德国著名的数学家，被称为历史上最伟大的三位数学家之一，他与阿基米德、牛顿齐名，是数学史上一颗光芒四射的巨星.10岁的小高斯能迅速写出1＋2＋3＋…＋99＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋(3＋98)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5 050，将加法问题转化为乘法运算，迅速准确地得到了结果，的确思维非凡．可见作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，因此能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西．今天我们重温这段历史，是想让学生从中感悟学习的真谛，站在巨人的肩膀上去学习，实际上，高斯用的是首尾配对相加的方法．也就是：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝50＋51＝101，有50个101，所以1＋2＋3＋…＋100＝50×101＝5 050.高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101,50个101就等于5 050了．高斯的这种算法，就是等差数列求和的方法，也就是我们将要探究的等差数列的前n 项和问题．现在，我们再来探究前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案，在图中我们取下第1层到第21层，得到下图，则下图中第1层到第21层一共有多少颗宝石呢？这是求“1＋2＋3＋…＋21”奇数个项的和的问题，高斯的方法不能用了．要是偶数项的数求和就好首尾配成对了．高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和，适用于偶数个项，我们是否有简单的方法来解决这个问题呢？我们发现用几何的方法，将这个全等三角形倒置，与原图补成平行四边形．平行四边形中的每行宝石的个数均为22个，共21行．则三角形中的宝石个数就是(1＋21)×212.这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，很有创意，用数学式子表示就是： 1＋2＋3＋...＋21， 21＋20＋19＋ (1)这就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”．探究了以上两个实际问题的求和，学生对数学求和问题有了一定的认识，比较以上两种探究过程学生自然会思考能否把“倒序相加法”推广到任意一个等差数列呢？这种类比的联想就是思维智慧的闪现．为了降低难度，教师可先与学生一起探究1＋2＋3＋…＋n 的问题，得到如下算式： 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ n －1 ＋ n n ＋ n －1 ＋ n －2 ＋ … ＋ 2 ＋ 1 (n ＋1)＋(n ＋1)＋(n ＋1)＋…＋(n ＋1)＋(n ＋1)可知1＋2＋3＋…＋n ＝(n ＋1)×n 2.再进一步探究，等差数列{a n }的前n 项和的问题，让学生明白S n 就表示{a n }的前n 项和，即S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n，根据倒序相加法可得如下算式：S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n，S n＝a n＋a n－1＋a n－2＋…＋a1，2S n＝(a1＋a n) ＋(a2＋a n－1) ＋(a3＋a n－2) ＋…＋(a n＋a1).根据上节课等差数列的性质有a1＋a n＝a2＋a n－1＝a3＋a n－2＝…＝a n＋a1.所以，2S n＝n(a1＋a n)．由此可得等差数列{a n}的前n项和公式：S n＝n(a1＋a n)2这就是说，等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半．将等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d代入上式，可得等差数列{a n}前n项和的另一公式：S n＝na1＋n(n－1)2d以上两种推导过程都很精彩，一是用的“倒序相加法”，二是用的基本量来转化为用我们前面求得的结论，并且我们得到了等差数列前n项求和的两种不同的公式．这两种求和公式都很重要，都称为等差数列的前n项和公式．从以上探究我们可以看出这两个公式是可以转化的，从结构特征看，前一个公式反映了等差数列任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质；后一个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较．两个公式从不同角度反映了数列的性质．两个公式的共同点是需要知道a1和n，不同点是前者还需知a n，后者还需要知道d.从方程角度看两公式共涉及5个元素：a1，d，n，a n，S n，教师要点拨学生注意这5个元素，其中a1，d称为基本元素．因为等差数列的首项a1，公差d已知，则此数列完全确定，因此等差数列中不少问题都可转化为求基本元素a1和d的问题，这往往要根据已知条件列出关于a1，d的方程组，再解这个方程组求出a1，d.讨论结果：(1)～(3)略．(4)前一个公式的结构特征是可与梯形面积公式(上底＋下底)×高÷2相类比，上底就是等差数列的首项a1，下底是第n项a n，高是项数n；后一个公式是二次函数的形式．(5)运用这两个公式解题时要让学生明确解方程或方程组的思路．应用示例例1计算：(1)1＋2＋3＋…＋n ； (2)1＋3＋5＋…＋(2n －1)； (3)2＋4＋6＋…＋2n ；(4)1－2＋3－4＋5－6＋…＋(2n －1)－2n.活动：对于刚学完公式的学生来讲，直接解答课本上的例1跨度太大．因此先补充了这样一个直接运用公式的题目．目的是让学生迅速熟悉公式，用基本量观点认识公式，教学时可让学生自己去解答完成，只是对(4)需做必要的点拨：本小题数列共有几项？是否为等差数列？能否直接运用S n 公式求解？若不能，应如何解答？引导学生观察，本小题中的数列共有2n 项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，所以原式＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]－(2＋4＋6＋…＋2n)＝n 2－n(n ＋1)＝－n.有的学生可能观察得很快，本小题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为－1，故可得另一解法：原式＝(－1)＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)＝－n.解：(1)1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2；(2)1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n (1＋2n －1)2＝n 2； (3)2＋4＋6＋…＋2n ＝n (2n ＋2)2＝n(n ＋1)；(4)原式＝－n.点评：本例前3小题直接利用等差数列求和公式，对于(4)小题给我们以启示：在解题时我们应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法．注意在运用求和公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起错解．变式训练已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10等于( )A ．138B ．135C ．95D ．23 答案：C解析：由a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，可解得d ＝3，a 1＝－4，∴a 10＝a 1＋9d ＝23， ∴S 10＝a 1＋a 102×10＝95.例2(教材本节例2)活动：通过本例介绍由求和公式求通项公式的方法，分析求和公式与二次函数的联系．并结合边注引导学生探究数列中项的性质问题．教学中应引起高度重视，可让学生自己探究，教师给予适当点拨．点评：求使S n 最小的序号n 值的方法很多，可鼓励学生课后进一步探究．例3已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由此可以确定求其前n 项和的公式吗？活动：教师与学生一起探究，本例的已知条件是在等差数列{a n }中，S 10＝310，S 20＝1 220.由前面我们所学知道，将已知条件代入等差数列前n 项和的公式后，可得两个关于a 1与d 的关系式，它们都是关于a 1与d 的二元一次方程，解这个二元一次方程组可求得a 1与d ，a 1与d 确定了，那么就可求出这个等差数列的前n 项和公式．解：方法一：由题意可知 S 10＝310，S 20＝1 220，将它们代入公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得到⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝310，20a 1＋190d ＝1 220.解这个关于a 1与d 的方程组，得到a 1＝4，d ＝6，所以S n ＝4n ＋n (n －1)2×6＝3n 2＋n.方法二：由S 10＝a 1＋a 102×10＝310，得a 1＋a 10＝62，①S 20＝a 1＋a 202×20＝1 220. 所以a 1＋a 20＝122.②②－①，得10d ＝60，所以d ＝6.代入①，得a 1＝4，所以有S n ＝a 1n ＋n (n －1)2d ＝3n 2＋n.点评：本例的给出方式是设问“由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和吗”，而不是“求这个数列的前n 项和”．这就更深了一层，让学生领悟到a 1与d 一旦确定，那么这个等差数列就确定了，同时通过本例也让学生领悟等差数列中a 1与d 是所给5个量中的基本量.5个量中已知3个量则可求其他量，只需通过构造方程或方程组，运用方程思想即可解决问题．教学时教师要充分利用本题的训练价值，使学生熟练地掌握这一基本题型．解完后教师要再引领学生反思总结．变式训练设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 4＝14，S 10－S 7＝30，求S 9. 解：由S 4＝14，S 10－S 7＝30，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝14，(10a 1＋45d )－(7a 1＋21d )＝30，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ＝7，a 1＋8d ＝10.解得a 1＝2，d ＝1， ∴S 9＝9a 1＋36d ＝54.例4已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？活动：这是一道合作探究题．教学时给出一定的时间让学生对本题进行思考探究．本题给出了一个数列的前n 项和的式子，来判断它是否是等差数列．解题的出发点是从所给的和的公式去求出通项．那么通项与前n 项和的公式有何种关系呢？由S n 的定义可知，当n ＝1时，S 1＝a 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.这种由已知数列的S n 来确定数列通项的方法对任意数列都是可行的．本题即用这种方法求出的通项a n ＝2n －12，我们从中知道它是等差数列，这时当n＝1也是满足的，但是不是所有已知S n 求a n 的问题都能使n ＝1时，a n ＝S n －S n －1满足呢？请同学们来探究一下．解：根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 与S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n ＞1)，可知当n ＞1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋12n －[(n －1)2＋12(n －1)]＝2n －12，①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32.也满足①式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12.由此可知，数列{a n }是一个首项为32，公差为2的等差数列．点评：如果一个数列的前n 项和公式是常数项为0，且是关于n 的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，从而使我们能从数列的前n 项和公式的结构特征上来认识等差数列．实质上等差数列的两个求和公式中皆无常数项．通过本例，教师应提醒学生注意：这实际上给出了已知数列前n 项和求其通项公式的一个方法，即已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.这种已知数列S n 来确定a n 的方法对于任何数列都是可行的，但要强调a 1不一定满足由S n －S n －1＝a n 求出的通项表达式．因此最后要验证首项a 1是否满足已求出的a n .这点要引起学生足够的注意．变式训练已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{a n }的通项公式．解：由条件，知当n ＝1时，a 1＝S 1＝－32×12＋2052×1＝101.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－32n 2＋2052n)－[－32(n －1)2＋2052(n －1)]＝－3n ＋104.把n ＝1代入上式也适合．∴数列通项公式为a n ＝－3n ＋104(n ∈N *)．知能训练1．等差数列{a n }中，(1)已知a 1＝5，a n ＝95，n ＝10，求S n ；(2)已知a 1＝100，d ＝－2，n ＝50，求S n .2．已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5.(1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值．答案：1．解：由等差数列求和公式，直接求得：(1)S n ＝500；(2)S n ＝2 550.2．解：(1)设{a n }的公差为d ，由已知条件，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解出a 1＝3，d ＝－2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5.(2)S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋4n ＝4－(n －2)2，所以n ＝2时，S n 取到最大值4.课堂小结1．本节的小结由学生来完成，首先回顾总结本节都学习了哪些内容？(两个重要的等差数列求和公式)通过等差数列的前n 项和公式的推导，你都从中学到了哪些数学思想方法？(数列倒序相加法)对你今后的学习有什么启发指导？2．你是怎样从方程的角度来理解等差数列求和公式的？又是怎样从等差数列的性质来理解等差数列的求和公式的？上节学习的等差数列的通项与本节学习的等差数列的求和公式有什么联系？本节的重要题型是什么？作业课本习题2—2 A 组8、9.设计感想本教案设计力求突出实际背景的教学，以大量的日常生活实例及古今中外的数列故事来铺垫学生学习等差数列的本质内涵．除了本教案设计的几个实例，教学时还可根据实际情况再补加一些实例背景．本教案设计突出了发散思维的训练．通过一题多解，多题一解的训练，比较优劣，换个角度观察问题，这是数学发散思维的基本素质．说到底，学数学，其实是要使人聪明，使人的思维更加缜密．本节的思考与探究没有涉及，设计的意图是留给学有余力的学生课后选做．鉴于习题2—2B 组中3,4,5,6都有一定的难度，因此也设计为选做．(设计者：周长峰)第2课时导入新课思路 1.上一节课我们一起探究推导了等差数列的求和公式，得到了求和公式的两种形式．我们知道以前在公式的学习过程中，不仅要会对公式正用、逆用及变形用，还要从运动、变化的观点来认识公式，从函数及数列结合的角度透彻理解公式．这里公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 表明S n 是关于n 的二次函数，且常数项为0，那么你能看出点列(n ，S n )均在同一条抛物线上吗？这样的抛物线有什么特点？由此展开新课．思路2.上一节课我们从几个日常生活中的实例探究了等差数列的很重要的公式，我们也知道等差数列有着十分丰富的有趣性质，那么根据等差数列的特点，你能探究出等差数列的哪些重要结论呢？比如单调性、奇偶性、最大值等．教师引导学生由此导入新课．推进新课新知探究提出问题(1)回忆上节课等差数列前n 项和公式的推导方法，并写出等差数列前n 项和的两个公式.(2)等差数列求和公式中共有几个量？基本量是什么？(3)等差数列前n 项和公式与二次函数有着怎样的关系？(4)你能探究出哪些与和有关的等差数列的性质？(5)怎样利用所学知识灵活地处理求和问题？活动：教师与学生一起回忆上节课我们用倒序相加法探究的等差数列的两个求和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2，S n ＝na 1＋n (n －1)2d.在公式涉及的5个量a 1，d ，n ，a n ，S n 中，知三可求其二．其中a 1，d 是最基本的两个量．我们称为基本元素，在等差数列的不少问题中，我们往往都转化为这两个量来求．当然如果熟悉并掌握一些常用结论及性质，往往能找到简洁明快、轻盈优美的灵活解题技巧，提高我们的解题速度．下面我们探究等差数列求和的一些性质问题．从等差数列的两个求和公式中我们可以看出，公式里不含常数项．教师引导学生进一步探究，如果a 1，d 是确定的，那么S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n.可以看出当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式．从图象角度看(n ，S n )在二次函数y ＝Ax 2＋Bx(A ≠0)的图象上．所以当d ≠0时，数列S 1，S 2，S 3，…，S n 的图象是抛物线y ＝Ax 2＋Bx 图象上的一群孤立点，这样我们就可以借助于二次函数的有关性质(如单调性、最值等)来处理等差数列前n 项和S n 的有关问题．若d ＝0，则S n ＝na 1.因此我们可以得出这样的结论：数列{a n }为等差数列的充要条件是：数列{a n }的前n 项和可以写成S n ＝an 2＋bn 的形式(其中a 、b 为常数)且公差为2a.结合二次函数图象与性质我们还可得到：当a 1＞0，d ＜0时，由⎩⎨⎧ a m ≥0a m ＋1≤0 ⇒S m 为最大值；当a 1＜0，d ＞0时，由⎩⎨⎧a m ≤0a m ＋1≥0 ⇒S m 为最小值．通过具体例子验证、猜想并推广到一般，我们还可得到：设等差数列{a n }的前n 项和为A ，紧接着n 项的和为B ，再紧接着n 项的和为C ，…，则A ，B ，C ，…也成等差数列．通过以上这些探究，我们在处理等差数列有关和的问题时可有更多的选择余地，而且有些解法更加简单、快捷，提高了我们解题的质量和效果．如下例：已知等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，求a 10，则可这样解：∵S 5＝5a 3＝40，∴a 3＝8，a 2＋a 5＝a 3－d ＋a 3＋2d ＝2a 3＋d ＝16＋d ＝19，得d ＝3.∴a 10＝a 3＋7d ＝29.此解法比常规解法优越得多，这类解题技巧在等差数列中比比皆是，让学生在解题探究中细心领悟．讨论结果：(1)(4)(5)略．(2)等差数列求和公式中共有5个量，其中a 1，d 是基本量．(3)等差数列求和公式可看作n 的二次函数式，上节课的例题中初步涉及了这一思想，本节将作进一步的探究．应用示例例1已知等差数列5,427，347，…的前n 项和为S n ，求使得S n 最大的序号n 的值．活动：本例目的是让学生在上节初步理解的基础上，对等差数列求和公式的二次函数特征做进一步的螺旋提升．我们知道，等差数列{a n }的前n 项和公式可以写成S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ，所以S n 可以看成函数y ＝d 2x 2＋(a 1－d 2)x(x ∈N *)当x ＝n 时的函数值．另一方面，容易知道S n 关于n 的图象是一条抛物线上的一些点，因此我们可以利用二次函数来求n 的值．解：由题意知，等差数列5,427，337，…的公差为－57，所以S n ＝n 2[2×5＋(n －1)(－57)] ＝75n －5n 214＝－514(n －152)2＋1 12556. 于是，当n 取与152最接近的整数7或8时，S n 取得最大值．点评：我们能否换一个角度再来思考这个问题呢？由已知，它的首项为5，公差为－57.因为它的首项为正数，公差小于零，因而这个数列是个单调递减数列，当该数列的项出现负数时，则它的前n 项的和一定会开始减小，在这样的情况下先求出它的通项，求得结果是a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－57n ＋407.令a n ＝－57n ＋407≤0，得到了n ≥8，这样就可以知道a 8＝0，而a 9＜0.从而便可以发现S 7＝S 8，从第9项和S n 开始减小，由于a 8＝0对数列的和不产生影响，所以就可以说这个等差数列的前7项或8项的和最大．这就是上节课留给学生课后探究的问题．教师与学生一起归纳一下这种解法的规律：①当等差数列{a n }的首项大于零，公差小于零时，它的前n 项的和S n 有最大值，可通过⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0求得n 的值．②当等差数列{a n }的首项不大于零，公差大于零时，它的前n 项的和S n 有最小值，可以通过⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≤0，a n ＋1≥0求得n 的值．有了这种方法再结合前面的函数性质的方法，我们求等差数列的前n 项的和的最值问题就可从通项与求和两个角度入手解决：(1)利用a n 取值的正负情况来研究数列的和的变化情况；(2)利用S n ：由S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n 利用二次函数求得S n 取最值时n 的值．变式训练已知a n ＝1 024＋lg21－n (lg2＝0.301 0)，n ∈N *.问前多少项之和最大？前多少项之和的绝对值最小？(让一位学生上黑板去板演)解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝1 024＋(1－n )lg2≥0a n ＋1＝1 024－nlg2＜0 1 024lg2＜n ≤1 024lg2＋1 3 401＜n ＜3 403.所以n ＝3 402.(2)S n ＝1 024n ＋n (n －1)2(－lg2)，当S n ＝0或S n 趋近于0时其绝对值最小，令S n ＝0，即1 024＋n (n －1)2(－lg2)＝0，得n ＝2 048lg2＋1≈6 804.99. 因为n ∈N *，所以有n ＝6 805.例2等差数列{a n }中，a 1＜0，S 9＝S 12，求该数列前多少项的和最小？活动：写出前n 项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路．教学时，教师充分让学生合作讨论此题，从不同角度来探究此题的解法，教师只是给予必要的点拨．解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意，得9a 1＋12×9×(9－1)·d ＝12a 1＋12×12×(12－1)·d ，即3a 1＝－30d ， ∴d ＝－110a 1. 又∵a 1＜0，∴d ＞0.∴S n ＝na 1＋12n(n －1)d ＝12dn 2－212dn ＝d 2(n －212)2－2128d. ∵d ＞0，∴S n 有最小值．又∵n ∈N *，∴当n ＝10或n ＝11时，S n 取最小值．解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝a 1＋(n －1)d ≤0，a n ＋1＝a 1＋nd ≥0，即⎩⎨⎧ 1－110(n －1)≥0，1－110n ≤0，解得10≤n ≤11.∴取n ＝10或n ＝11时，S n 取最小值．解法三：∵S 9＝S 12，即a 1＋a 2＋…＋a 9＝a 1＋a 2＋…＋a 12，∴a 10＋a 11＋a 12＝0，即3a 11＝0.又∵a 1＜0，∴前10项或前11项的和最小．点评：解完本题后教师引领学生对以上三种解法进行反思总结．本题的三种解法从三个不同的视角说明了等差数列前n 项和的最值问题，方法迥异，殊途同归，由此看出等价转化思想在简化运算中的作用，其中第一种解法运算量偏大，不容易进行到底，即便做对了，所花时间也较多，要让学生深刻领悟这一点．事实上，本题还能探究出另一种解法——图象法．∵S 9＝S 12，∴S n 的图象所在的抛物线的对称轴为x ＝9＋122＝10.5，又∵a 1＜0，∴数列{a n }的前10项或前11项和最小．例3(教材本节例3)活动：本例是教材等差数列部分的最后一个例题，目的是让学生通过学到的等差数列知识，解决实际问题．教学时，教师引导学生分析题中的数量关系，观察教育储蓄的规律．通过分析知李先生的每个100元的利息依次可组成等差数列，然后得出算式求解．点评：解决本例的关键是建立等差数列的数学模型．例4已知等差数列{a n }中，公差d ＞0，其前n 项和为S n ，且满足：a 2·a 3＝45，a 1＋a 4＝14.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)由通项公式b n ＝S n n ＋c构造一个新的数列{b n }，若{b n }也是等差数列，求非零常数c. 活动：让学生自己探究本题(1)，对(2)教师可引导学生充分利用等差数列的特征，可由学生合作探究，教师仅给予必要的点拨．解：(1)∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝14.又a 2·a 3＝45，∴a 2，a 3是方程x 2－14x ＋45＝0的两实根．又公差d ＞0，∴a 2＜a 3.∴a 2＝5，a 3＝9.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5a 1＋2d ＝9⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4. ∴a n ＝4n －3. (2)由(1)知S n ＝n·1＋n (n －1)2×4＝2n 2－n ， ∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c. ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 又{b n }也是等差数列，即b 1＋b 3＝2b 2.∴2·62＋c ＝11＋c ＋153＋c. 解之，得c ＝－12(c ＝0舍去)．∴b n ＝2n 2－n n －12＝2n. 易知{b n }是等差数列，c ＝－12. 例52000年11月14日，教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？活动：这是一道实际应用题，从题中给出的信息我们发现了等差数列的模型，这个等差数列的首项是500，记为a 1，公差为50，记为d ，而从2001年到2010年应为十年，所以这。

人教版数学高二B版必修5学案第二章数列第1课时

§2.2 等差数列2.2.1 等差数列第1课时等差数列的概念及通项公式学习目标 1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用.知识点一等差数列的定义思考给出以下三个数列：(1)0，5，10，15，20；(2)4，4，4，4，…；(3)18，15.5，13，10.5，8，5.5.它们有什么共同的特征？答案从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数.梳理一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示. 知识点二等差中项的概念思考观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：(1)2，4；(2)－1，5；(3)a ，b ；(4)0，0.答案插入的数分别为3，2，a ＋b 2，0. 梳理如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，且A ＝x ＋y 2. 知识点三等差数列的通项公式思考对于等差数列2，4，6，8，…，有a 2－a 1＝2，即a 2＝a 1＋2；a 3－a 2＝2，即a 3＝a 2＋2＝a 1＋2×2；a 4－a 3＝2，即a 4＝a 3＋2＝a 1＋3×2.试猜想a n ＝a 1＋( )×2.答案 n －1梳理若一个等差数列{a n}，首项是a1，公差为d，则a n＝a1＋(n－1)d.此公式可用叠加法证明.1.若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，则这个数列是等差数列.(√)2.等差数列{a n}的单调性与公差d有关.(√)3.根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项.(√)4.若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列.(√)类型一等差数列的概念例1判断下列数列是不是等差数列？(1)9，7，5，3，…，－2n＋11，…；(2)－1，11，23，35，…，12n－13，…；(3)1，2，1，2，…；(4)1，2，4，6，8，10，…；(5)a，a，a，a，a，….解由等差数列的定义得(1)(2)(5)是等差数列，(3)(4)不是等差数列.反思与感悟判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证a n－a n(n≥1，n∈N＋)是不是一个与n无关的常数.＋1跟踪训练1数列{a n}的通项公式a n＝2n＋5，则此数列()A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列答案 A解析∵a n＋1－a n＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，∴{a n}是公差为2的等差数列.类型二等差中项例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这五个数成等差数列，求此数列. 解 ∵－1，a ，b ，c ，7成等差数列，∴b 是－1与7的等差中项，∴b ＝－1＋72＝3. 又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1. 又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5. ∴该数列为－1，1，3，5，7.反思与感悟在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，即a n ＝a n ＋1＋a n －12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.跟踪训练2 若m 和2n 的等差中项为4，2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项. 解由m 和2n 的等差中项为4，得m ＋2n ＝8.又由2m 和n 的等差中项为5，得2m ＋n ＝10.两式相加，得m ＋n ＝6.所以m 和n 的等差中项为m ＋n 2＝3. 类型三等差数列通项公式的求法及应用命题角度1 基本量(a 1，d ，n )例3 在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36，求通项公式a n .解由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋17d ＝36.解得d ＝2，a 1＝2.∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .反思与感悟把已知量都用基本量a 1，d ，n 表示，列出方程求解的思想方法，称为方程思想.跟踪训练3 已知等差数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝18，a 2a 3a 4＝66.求数列{a n }的通项公式. 解 ∵a 2＋a 4＝2a 3，∴a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝18.∴a 3＝6，a 2＋a 4＝12.又a 2a 3a 4＝66，∴a 2a 4＝11.由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 4＝12，a 2a 4＝11，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，a 4＝11或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 4＝1.由a 2＝1，a 4＝11知，d ＝a 3－a 2＝5，a 1＝a 2－d ＝－4，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－4＋(n －1)×5＝5n －9，n ∈N ＋.由a 2＝11，a 4＝1知，d ＝a 3－a 2＝－5，a 1＝a 2－d ＝16，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝16＋(n －1)×(－5)＝－5n ＋21，n ∈N ＋.∴a n ＝5n －9(n ∈N ＋)或a n ＝－5n ＋21(n ∈N ＋). 命题角度2 等差数列的实际应用例4 某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4km(不含4km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？解根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km 时，每增加1 km ，乘客需要支付1.2元. 故可以建立一个等差数列{a n }来计算车费.令a 1＝11.2，表示4km 处的车费，公差d ＝1.2，那么当出租车行至14km 处时，n ＝11，此时需要支付车费a 11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元).即需要支付车费23.2元.反思与感悟在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决.在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题.跟踪训练4 在通常情况下，从地面到10km 高空，高度每增加1km ，气温就下降某一个固定数值.如果1km 高度的气温是8.5℃，5km 高度的气温是－17.5℃，求2km ，4km ，8km 高度的气温.解用{a n }表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a 1＝8.5，a 5＝－17.5，由a 5＝a 1＋4d ＝8.5＋4d ＝－17.5，解得d ＝－6.5，∴a n ＝15－6.5n (n ∈N ＋).∴a 2＝2，a 4＝－11，a 8＝－37，即2km ，4km ，8km 高度的气温分别为2℃，－11℃，－37℃.1.已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( )A.2B.3C.－2D.－3答案 C解析由等差数列的定义，得d ＝a 2－a 1＝－1－1＝－2.2.已知在△ABC 中，三内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于( )A.30°B.60°C.90°D.120°答案 B解析因为A ，B ，C 成等差数列，所以B 是A ，C 的等差中项，则有A ＋C ＝2B ，又因为A ＋B ＋C ＝180°，所以3B ＝180°，从而B ＝60°.3.已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＝a n －1＋3(n ≥2)，则a n ＝.答案 3n解析因为当n ≥2时，a n －a n －1＝3，所以{a n }是以a 1＝3为首项，d ＝3为公差的等差数列.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋3(n －1)＝3n .4.在等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，若a n ＝33，求n 的值. 解 ∵a 2＋a 5＝(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＝2a 1＋5d ＝4，∴d ＝23.∴a n ＝13＋(n －1)×23＝23n －13. 由a n ＝23n －13＝33，解得n ＝50.1.判断一个数列是不是等差数列的常用方法(1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列；(2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列；(3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列.但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.2.由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.一、选择题1.若a ≠b ，则等差数列a ，x 1，x 2，b 的公差是( )A.b －aB.b －a 2C.b －a 3D.b －a 4答案 C解析由等差数列的通项公式，得b ＝a ＋(4－1)d ，所以d ＝b －a 3. 2.已知等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5等于( )A.15B.22C.7D.29答案 A解析设{a n }的首项为a 1，公差为d ，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝22，a 6＝a 1＋5d ＝7，解得a 1＝47，d ＝－8.所以a 5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.3.等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是( )A.第7项B.第8项C.第9项D.第10项答案 B解析 ∵a 1＝20，d ＝－3，∴a n ＝20＋(n －1)×(－3)＝23－3n ，∴a 7＝2＞0，a 8＝－1＜0.4.若5，x ，y ，z ，21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( )A.26B.29C.39D.52答案 C解析 ∵5，x ，y ，z ，21成等差数列，∴y 既是5和21的等差中项也是x 和z 的等差中项.∴5＋21＝2y ，∴y ＝13，x ＋z ＝2y ＝26，∴x ＋y ＋z ＝39.5.若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1(n ∈N ＋)，则数列{a n }是( )A.公差为1的等差数列B.公差为13的等差数列 C.公差为－13的等差数列 D.不是等差数列答案 B解析由3a n ＋1＝3a n ＋1，得3a n ＋1－3a n ＝1，即a n ＋1－a n ＝13，所以数列{a n }是公差为13的等差数列. 6.已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( )A.15B.30C.31D.64答案 A解析方法一由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1＋3d ＝1，a 7＋a 9＝2a 1＋14d ＝16，得⎩⎨⎧ a 1＝－174，d ＝74，∴a 12＝a 1＋11d ＝－174＋11×74＝15. 方法二由等差中项的定义可得a 7＋a 9＝a 4＋a 12，∴a 12＝16－1＝15.二、填空题7.已知x ≠y ，且两个数列x ，a 1，a 2，…，a m ，y 与x ，b 1，b 2，…，b n ，y 各自都成等差数列，则a 2－a 1b 2－b 1＝. 答案 n ＋1m ＋1解析设这两个等差数列公差分别是d 1，d 2，则a 2－a 1＝d 1，b 2－b 1＝d 2.第一个数列共(m ＋2)项，∴d 1＝y －x m ＋1；第二个数列共(n ＋2)项，∴d 2＝y －x n ＋1.这样可求出a 2－a 1b 2－b 1＝d 1d 2＝n ＋1m ＋1. 8.2－1与2＋1的等差中项是.答案 2解析设等差中项为a ，则有a ＝2－1＋2＋12＝ 2. 9.若一个等差数列的前三项为a ，2a －1，3－a ，则这个数列的通项公式为.答案 a n ＝n ＋44，n ∈N ＋解析 ∵a ＋(3－a )＝2(2a －1)，∴a ＝54. ∴这个等差数列的前三项依次为54，32，74， ∴d ＝14，a n ＝54＋(n －1)×14＝n ＋44. 故a n ＝n ＋44，n ∈N ＋. 10.若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝.答案 24解析设{a n }的公差为d .由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a 15＝a 1＋14d ＝8，a 60＝a 1＋59d ＝20，解得⎩⎨⎧ a 1＝6415，d ＝415，所以a 75＝a 1＋74d ＝6415＋74×415＝24. 11.在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N ＋)，则该数列的通项为. 答案 a n ＝1n，n ∈N ＋解析由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2，得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n，n ∈N ＋. 三、解答题12.已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2.数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由. 解数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下： ∵a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2， ∴1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ， ∴1a n ＋1－1a n ＝12，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公差为12的等差数列. 13.已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，令b n ＝1a n －2. (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明因为a n ＝4－4a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，所以a n ＋1－2＝2－4a n ＝2(a n －2)a n(n ≥1，n ∈N ＋)，所以1a n ＋1－2＝a n 2(a n －2)＝12＋1a n －2(n ≥1，n ∈N ＋)，所以1a n ＋1－2－1a n －2＝12(n ≥1，n ∈N ＋)，即b n ＋1－b n ＝12(n ≥1，n ∈N ＋). 所以数列{b n }是等差数列.(2)解由(1)知⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －2是首项为1a 1－2＝12，公差为12的等差数列，所以1a n －2＝12＋(n －1)·12＝n 2，解得a n ＝2＋2n. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2＋2n，n ∈N ＋. 四、探究与拓展14.在数列{a n }中，a 1＝3，且对于任意大于1的正整数n ，点(a n ，a n －1)都在直线x －y －3＝0上，则a n ＝.答案 3n 2解析由题意得a n －a n －1＝3，所以数列{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，所以a n ＝3n ，a n ＝3n 2.15.已知等差数列{a n }：3，7，11，15，….(1)135，4m ＋19(m ∈N ＋)是{a n }中的项吗？试说明理由；(2)若a p ，a q (p ，q ∈N ＋)是数列{a n }中的项，则2a p ＋3a q 是数列{a n }中的项吗？并说明你的理由. 解 a 1＝3，d ＝4，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －1，n ∈N ＋.(1)令a n ＝4n －1＝135，∴n ＝34，∴135是数列{a n }中的第34项.令a n ＝4n －1＝4m ＋19，则n ＝m ＋5∈N ＋，∴4m ＋19是数列{a n }中的第m ＋5(m ∈N ＋)项.(2)∵a p ，a q 是数列{a n }中的项，高中数学打印版∴a p＝4p－1，a q＝4q－1.∴2a p＋3a q＝2(4p－1)＋3(4q－1)＝8p＋12q－5＝4(2p＋3q－1)－1，其中2p＋3q－1∈N＋，∴2a p＋3a q是数列{a n}中的第2p＋3q－1项.校对完成版本。

高中数学人教B版必修五教案：2.2《等差数列的前n项和》新授课(2)4

2018—2019学年度第一学期渤海高中高二教案主备人：使用人：时间：2018年9月12日4．总结提升1、知识2、方法3、能力引导学生归纳总结本节课解题方法及注意事项1、讨论思考2、抽签小组展示讨论的结果。

3、提出的问题。

强化学生知识储备及养成良好的学习习惯，加强数学思维的培养3分钟5．目标检测随堂测试小卷1、巡视学生作答情况。

2、公布答案。

3、评价学生作答结果1、小考卷上作答。

2、组间互批。

3、独立订正答案。

检查学生对本课所学知识的掌握情况6分钟6.布置下节课自主学习任务探究一：等差数列的前n项和的常见性质探究二：等差数列的前n项和的最值探究三：前n项和的常见性质3分钟课堂检测1．在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是()A ．12B ．24C ．36D ．48答案B 解析由S 10＝10(a 1＋a 10)2，得a 1＋a 10＝S 105＝1205＝24.2．记等差数列前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于()A ．2B ．3C ．6D ．7答案B 解析方法一2＝2a 1＋d ＝4，4＝4a 1＋6d ＝20，解得d ＝3.方法二由S 4－S 2＝a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 2＋2d ＝S 2＋4d ，所以20－4＝4＋4d ，解得d ＝3.3．首项为正数的等差数列，前n 项和为S n ，且S 3＝S 8，当n ＝________时，S n 取到最大值．答案5或6解析∵S 3＝S 8，∴S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝5a 6＝0，∴a 6＝0.∵a 1＞0，∴a 1＞a 2＞a 3＞a 4＞a 5＞a 6＝0，a 7＜0.故当n ＝5或6时，S n 最大．4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3＋2n ，求a n .解(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋2＝5.(2)当n≥2时，S n－1＝3＋2n－1，又S n＝3＋2n，∴a n＝S n－S n－1＝2n－2n－1＝2n－1.又当n＝1时，a1＝5≠21－1＝1，∴a n(n＝1)，n－1(n≥2).。