专题26 动态几何之面动形成的函数关系问题(原卷版+解析版)
中考数学压轴专题训练——动态(动点)几何问题的解题技巧(含答案)
点 的坐标
为 ．……
一次函数的解读式
为 ．
(3) 两点在直线 上， 的坐标分别是 ．
， ．
过点 作 ，垂足为点 ．
，
又 ， 点坐标为 ．
3．(1)解方程 ，得 ．
由m＜n，知m=1，n=5．
∴A(1，0)，B(0，5)．………………………1分
∴ 解之，得
所求抛物线的解读式为 ……3分
(2)由 得 故C的坐标为(-5，0)．………4分
（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为_______
和位置关系为_____；
（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；
（2）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明.
（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
4、（1）如图1所示，在四边形 中， = ， 与 相交于点 ， 分别是 的中点，联结 ，分别交 、 于点 ，试判断 的形状，并加以证明；
（2）如图2，在四边形 中，若 ， 分别是 的中点，联结FE并延长，分别与 的延长线交于点 ，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论：；
(3)如图③，当∠DAB＝90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明．
7.设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ∥PC．
专题26 二次函数中的圆和直线相切问题(原卷版)
专题26 二次函数中的圆和直线相切问题【模型展示】圆与抛物线以及与坐标系相交，根据抛物线的解析式可求交点坐标，根据交点可求三角形的边长，由于圆的位置不同，三角形的形状也不同。
再根据三角形的形状，再解决其它问题。
【精典讲解】1、如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点．（1）则点A，B，C的坐标分别是A （2，0），B （8，0），C （0，4）；（2）设经过A，B两点的抛物线解析式为y=14（x-5）2+k，它的顶点为E，求证：直线EA与⊙M相切；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使⊙PBC是等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．2、如图，已知抛物线y=-12（x2-7x+6）的顶点坐标为M，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C．（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），并指出顶点M的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R的坐标；（3）以AB为直径作⊙N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：直线MP是⊙N的切线．3、已知二次函数y＝－x2＋bx＋c＋1.(1)当b＝1时，求这个二次函数的对称轴的方程；(2)若c ＝－14b 2－2b ，问：b 为何值时，二次函数的图象与x 轴相切；(3)如图所示，若二次函数的图象与x 轴交于点A(x 1，0)，B(x 2，0)，且x 1＜x 2，与y 轴的正半轴交于点M ，以AB 为直径的半圆恰好经过点M ，二次函数的对称轴l 与x 轴，直线BM ，直线AM 分别相交于点D ，E ，F ，且满足DE EF ＝13，求二次函数的表达式．4、如图所示，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象的顶点坐标是(2，1)，并且经过点(4，2)．直线y ＝12x＋1与抛物线交于B ，D 两点，以BD 为直径作圆，圆心为点C ，⊙C 与直线m 交于对称轴右侧的点M(t ，1)．直线m 上每一点的纵坐标都等于1.(1)求抛物线的表达式； (2)证明：⊙C 与x 轴相切；(3)过点B 作BE⊙m ，垂足为E ，再过点D 作DF⊙m ，垂足为F.求BE⊙MF 的值．5、已知抛物线y ＝x 2＋mx －2m －4(m >0)．(1)证明：该抛物线与x 轴总有两个不同的交点．(2)设该抛物线与x 轴的两个交点分别为A ，B (点A 在点B 的右侧)，与y 轴交于点C ，A ，B ，C 三点都在⊙P 上．①试判断：不论m 取任何正数，⊙P 是否经过y 轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；②若点C 关于直线x ＝－m2的对称点为点E ，点D (0，1)，连结BE ，BD ，DE ，△BDE 的周长记为l ，⊙P 的半径记为r ，求lr的值．设BD ＝a ，BE ＝2a ，则DE ＝5a ，∴l r ＝3a ＋5a 5a2＝10＋655.6、在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋53x ＋c 的图象经过点C (0，2)和点D (4，－2)，点E 是直线y ＝－13x ＋2与二次函数图象在第一象限内的交点． (1)求二次函数的表达式及点E 的坐标；(2)如图1，若点M 是二次函数图象上的点，且在直线CE 的上方，连结MC ，OE ，ME ，求四边形COEM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)如图2，经过A ，B ，C 三点的圆交y 轴于点F ，求点F的坐标．7、若抛物线L ：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，abc≠0）与直线l 都经过y 轴上的同一点，且抛物线L 的顶点在直线l 上，则称次抛物线L 与直线l 具有“一带一路”关系，并且将直线l 叫做抛物线L 的“路线”，抛物线L 叫做直线l 的“带线”．（1）若“路线”l 的表达式为y=2x ﹣4，它的“带线”L 的顶点的横坐标为﹣1，求“带线”L 的表达式； （2）如果抛物线y=mx 2﹣2mx+m ﹣1与直线y=nx+1具有“一带一路”关系，求m ，n 的值；（3）设（2）中的“带线”L 与它的“路线”l 在y 轴上的交点为A ．已知点P 为“带线”L 上的点，当以点P 为圆心的圆与“路线”l 相切于点A 时，求出点P 的坐标．8、如图⊙已知抛物线y=ax 2﹣3ax ﹣4a （a ＜0）的图象与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 的正半轴交于点C ，连结BC ，二次函数的对称轴与x 轴的交点为E ．（1）抛物线的对称轴与x 轴的交点E 坐标为_____，点A 的坐标为_____； （2）若以E 为圆心的圆与y 轴和直线BC 都相切，试求出抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，如图⊙Q （m ，0）是x 的正半轴上一点，过点Q 作y 轴的平行线，与直线BC 交于点M ，与抛物线交于点N ，连结CN ，将⊙CMN 沿CN 翻折，M 的对应点为M′．在图⊙中探究：是否存在点Q ，使得M′恰好落在y 轴上？若存在，请求出Q 的坐标；若不存在，请说明理由．9、如图，在平面直角坐标系xOy 中，经过C （1，1）的抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）顶点为M ，与x 轴正半轴交于A ，B 两点．（1）如图1，连接OC ，将线段OC 绕点O 逆时针旋转使得C 落在y 轴的正半轴上，求线段OC 过的面积；（2）如图2，延长线段OC 至N ，使得ON OC ，若⊙ONA ＝⊙OBN 且tan⊙BAM ＝2，求抛物线的解析式；（3）如图3，已知以直线x ＝52为对称轴的抛物线y ＝ax 2+bx +c 交y 轴于（0，5），交直线l ：y ＝kx +m （k ＞0）于C ，D 两点，若在x 轴上有且仅有一点P ，使⊙CPD ＝90°，求k 的值．10、如图1，抛物线2133=++y x x 与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 左边），O 为坐标原点．点D 是直线BC 上方抛物线上的一个动点，过点D 作DE ⊙x 轴交直线BC 于点E ．点P 为⊙CAB 角平分线上的一动点，过点P 作PQ ⊙BC 于点H ，交x 轴于点Q ；点F 是直线BC 上的一个动点．（1）当线段DE 的长度最大时，求DF +FQ +12PQ 的最小值． （2）如图2，将⊙BOC 沿BC 边所在直线翻折，得到⊙BOC ′，点M 为直线BO ′上一动点，将⊙AOC 绕点O 顺时针旋转α度（0°＜α＜180°）得到⊙A ′OC ′，当直线A ′C ′，直线BO ′，直线OM 围成的图形是等腰直角三角形时，直接写出该等腰直角三角形的面积．11、如图，抛物线y ＝﹣12x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B （A 左B 右），与y 轴交于C ，直线y ＝﹣x+5经过点B 、C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为第二象限抛物线上一点，设点P 横坐标为m ，点P 到直线BC 的距离为d ，求d 与m 的函数解析式；（3）在（2）的条件下，若⊙PCB+⊙POB ＝180°，求d 的值．12、在平面直角坐标系xOy 中，对“隔离直线”给出如下定义：点(,)P x m 是图形1G 上的任意一点，点(,)Q x n 是图形2G 上的任意一点，若存在直线l ：(0)y kx b k =+≠满足m kx b ≤+且n kx b ≥+，则称直线l ：(0)y kx b k =+≠是图形1G 与2G 的“隔离直线”，如图1，直线l ：2y x =--是函数4(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的一条“隔离直线”.（1）在直线⊙11y x =--，⊙231y x =+，⊙34y x =-+，⊙42y x =-中，是图1函数4(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的“隔离直线”的为 .（2）如图2，第一象限的等腰直角三角形EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D 的坐标是(2,1)，⊙OEDF ∆与⊙O 的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式：若不存在，请说明理由；（3）正方形1111D C B A 的一边在y 轴上，其它三边都在y 轴的左侧，点(1,)M t -是此正方形的中心，若存在直线2y x b =-+是函数223(40)y x x x =+--≤≤的图像与正方形1111D C B A 的“隔离直线”，请直接写出t 的取值范围.13、如图，已知直角坐标平面上的△ABC ，AC =CB ，∠ACB =90∘，且A(−1, 0)，B(m, n)，C(3, 0)．若抛物线y =ax 2+bx −3经过A 、C 两点．(1)求a 、b 的值；(2)将抛物线向上平移若干个单位得到的新抛物线恰好经过点B ，求新抛物线的解析式；(3)设(2)中的新抛物的顶点P 点，Q 为新抛物线上P 点至B 点之间的一点，以点Q 为圆心画图，当⊙Q 与x 轴和直线BC 都相切时，联结PQ 、BQ ，求四边形ABQP 的面积．14、如图，在直角坐标系中，直线y=﹣1x﹣1与x轴，y轴的交点分别为A、B，以x=﹣1为对称轴的抛物3线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A、C，直线x=﹣1与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）在线段AB上是否存在一点P，使以A，D，P为顶点的三角形与⊙AOB相似？若存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）若点Q在第三象限内，且tan⊙AQD=2，线段CQ是否存在最小值，如果存在直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．15、如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标．（3）抛物线上是否存在点P，使⊙BCP为等腰三角形？若存在，有几个？并请在图中画出所有符合条件的点P，（保留作图痕迹）；若不存在，说明理由．。
2022年必考点解析华东师大版九年级数学下册第26章 二次函数专题测试试卷(含答案解析)
华东师大版九年级数学下册第26章 二次函数专题测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知二次函数()21y a x =-，当0x <时，y 随x 增大而减小，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0a >B ．1a <C ．1a ≠D ．1a > 2、已知方程()()112x b x c x ----=的根是1x m =，2x n =，且m n <．若10b c <-<<，则下列式子中一定正确的是（ ）A ．m b n c <<<B ．b m n c <<<C ．m n b c <<<D ．m b c n <<< 3、二次函数 ()2`0y a x bx c a =++≠ 的图像如图所示， 现有以下结论： （1） 0b > ： （2）0abc <； （3）0a b c -+>， （4） 0a b c ++>； （5） 240b ac -> ； 其中正确的结论有（ ）A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5 个．4、对于二次函数y ＝﹣x 2＋2x ＋3，下列说法不正确的是（ ）A ．开口向下B ．当x ≥1时，y 随x 的增大而减小C ．当x ＝1时，y 有最大值3D ．函数图象与x 轴交于点（﹣1，0）和（3，0）5、如图，顶点为(3,6)--的抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点(1,4)--，则下列结论中正确的是（ ）A ．240b ac -<B ．若点(2,),(4,)--m n 在抛物线上，则m n >C ．当3x <-时，y 随x 的增大而减小D ．关于x 的一元二次方程27(0)++=-≠ax bx c a 有两个不相等的实数根6、二次函数y ＝3（x ﹣2）2+4的图像的顶点坐标是（ ）A ．（﹣2，﹣4）B ．（﹣2，4）C ．（2，﹣4）D ．（2，4）7、如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)-，对称轴为直线1x =，则下列结论中正确的是（ ）A ．0b <B ．当1x >时，y 随x 的增大而增大C ．0c <D ．3x =是一元二次方程20ax bx c ++=的一个根8、已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x 轴交于(),0m ，,0n 两点，且过()0,A a ，4,B b 两点．若03m n <<<，则ab 的取值范围为（ ）A ．06ab <<B ．08ab <<C ．012ab <<D ．016ab << 9、已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使1y ≤成立的x的取值范围是（ ）A ．31x -≤≤B ．1≥xC ．3x ≤-D ．3x ≤-或1≥x10、若二次函数2y ax =的图象经过点()2,4--，则a 的值为（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．1第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，已知二次函数()210y ax bx c a =++≠与一次函数()20y kx m k =+≠的图象相交于点()2,4A -和()82,B ，若无论x 取何值，S 总取1y ，2y 中的最大值，则S 的最小值是___________．2、若关于x 的函数22y x x k =++与x 轴只有一个交点，则实数k 的值为____．3、抛物线221y x x =--+的对称轴是________．4、二次函数2243y x x m =-+的图像的顶点在x 轴上，则m 的值为__________．5、已知一条抛物线经过点()0,1，且在对称轴右侧的部分是下降的，该抛物战的表达式可以是_________（写出一个即可）．6、若抛物线263y x x m =+++与y 轴交于原点，则m 的值为 __．7、如图，函数2y ax bx c =++的图象过点(1,0)-和(,0)m ，下列判断：①0abc <；②42a c b +<；③1m +； ④2x =和3x m =-处的函数值相等．其中正确的是__（只填序号）．8、已知抛物线y ＝（x ﹣1）2有点A （0，y 1）和B （3，y 2），则y 1___y 2．（用“＞”，“＜”，“＝”填写）9、已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）为函数y ＝﹣2（x ﹣1）2+3的图象上的两点，若x 1＜x 2＜0，则y 1_____y 2（填“＞”、“＝”或“＜”），10、抛物线22y ax =+经过点()2,6-，那么=a ________．三、解答题（5小题，每小题8分，共计40分）1、在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y ′），给出如下定义：如果y ′＝(0)(0)y x y x ≥⎧⎨-<⎩，那么称点Q 为点P 的“关联点”．例如点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（-5，6）的“关联点”为点（-5，-6）．(1)在点E （0，0），F （2，5），G （-1，-1），H （-3，5）中， 的“关联点”在函数y ＝2x +1的图象上；(2)如果一次函数y ＝x +3图象上点M 的“关联点”是N （m ，2），求点M 的坐标；(3)如果点P 在函数y ＝-x 2+4（-2＜x ≤a ）的图象上，其“关联点”Q 的纵坐标y ′的取值范围是-4＜y ′≤4，求实数a 的取值范围．2、已知抛物线223y x x =+-与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线m 经过点A 和点B ．(1)求直线m 的函数表达式；(2)若点()1,P a y 和点()2,Q a y 分别是抛物线和直线m 上的点，且30a -<<，判断1y 和2y 的大小，并说明理由．3、如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约5米高，球落地后又一次弹起，根据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；(2)足球第一次落地点C 距守门员多少米？(3)运动员乙要抢到足球第二个落点D ，他应从B 处再向前跑多少米？4、如图，抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点B （1，0）点，与y 轴交于点C （0，3），对称轴l 与x 轴交于点F ，点E 是直线AC 上方抛物线上一动点，连接AE 、EC ．(1)求抛物线的解析式；(2)当四边形AECO 面积最大时，求点E 的坐标；(3)在（2）的条件下，连接EF ，点P 是x 轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q ，使得以F 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．5、在平面直角坐标系中，已知抛物线243(0)y ax ax a =-+≠．(1)当点(1,0)A 在这个函数图象上时，直接写出a 的值： ；(2)当0a >时，函数图象上只有两个点到x 轴的距离等于2，求a 的取值范围；(3)在平面直角坐标系中，点(1,1)M -，点(3,1)N ，连结MN ．直接写出抛物线243(0)y ax ax a =-+≠与线段MN 只有一个公共点时a 的取值范围．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】根据函数的性质解答．【详解】解：∵二次函数()21y a x =-，当0x <时，y 随x 增大而减小， ∴a -1>0，∴1a >，故选：D ．【点睛】此题考查了二次函数2y ax =的性质：当a >0时，开口向上，对称轴是y 轴，对称轴左小右大；当a <0时，开口向下，对称轴是y 轴，对称轴左大右小，熟记性质并应用是解题的关键．2、A【解析】【分析】 将()()112x b x c x ----=看作二次函数()()12y x b x c =---与一次函数1y x =+的交点横坐标为m ，n ，结合图像即可得m b n c <<<．【详解】 将()()112x b x c x ----=变形为 ()()112x b x c x ---=+ 则可理解为二次函数()()12y x b x c =---与一次函数1y x =+的交点横坐标为m ，n 二次函数()()12y x b x c =---与x 轴交点横坐标为b 和c ． 如图所示由图象、题意可知c ＞n ，n ＞b ，由二次函数、一次函数性质可知1mn k =，1nb k <故m ＜b则m b n c <<<故选：A ．【点睛】 本题考查了二次函数和一次函数图像综合问题，将将()()112x b x c x ----=看作二次函数()()12y x b x c =---与一次函数1y x =+的交点横坐标为m ，n ，再结合图象判断是解题的关键． 3、C【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：（1）∵函数开口向下，∴a ＜0，∵对称轴在y 轴的右边，∴02b a->，∴b ＞0，故命题正确； （2）∵a ＜0，b ＞0，c ＞0，∴abc ＜0，故命题正确；（3）∵当x =-1时，y ＜0，∴a -b +c ＜0，故命题错误；（4）∵当x =1时，y >0，∴a +b +c >0，故命题正确；（5）∵抛物线与x 轴于两个交点，∴b 2-4ac ＞0，故命题正确；故选C ．【点睛】 本题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．4、C【解析】【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：y =-x 2++2x +3=-（x -1）2+4，∵a =-1＜0，∴该函数的图象开口向下，故选项A 正确；∵对称轴是直线x =1，∴当x ≥1时，y 随x 的增大而减小，故选项B 正确；∵顶点坐标为（1，4），∴当x =1时，y 有最大值4，故选项C 不正确；当y =0时，-x 2+2x +3=0，解得：x 1=-1，x 2=3，∴函数图象与x 轴的交点为（-1，0）和（3，0），故D 正确．故选：C ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．5、C【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质解答即可．【详解】解：A 、由图象可知，抛物线与x 轴交于两点，∴240b ac ∆=->，故A 错误；B 、∵抛物线在对称轴为直线x =－3，点(2,),(4,)--m n 在抛物线上，∴m=n ，故B 错误；C 、由图象可知，当3x <-时，y 随x 的增大而减小，故C 正确；D 、∵抛物线的最小值为－6，∴关于x 的一元二次方程27(0)++=-≠ax bx c a 无实数根，故D 错误，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用数形结合思想是解答的关键．6、D【解析】【分析】根据顶点式2()y a x h k =-+的顶点坐标为(),h k 求解即可．【详解】解：抛物线y ＝3（x ﹣2）2+4的顶点坐标是(2,4)故选D【点睛】本题考查了二次函数顶点式2()y a x h k =-+的顶点坐标为(),h k ，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．7、D【解析】【分析】根据二次函数图象的开口方向向下可得a 是负数，对称轴位于y 轴的右侧可得a 、b 异号；与y 轴的交点在正半轴可得c 是正数，根据二次函数的增减性可得B 选项错误，根据抛物线的对称轴结合与x 轴的一个交点的坐标可以求出与x 轴的另一交点坐标，也就是一元二次方程20ax bx c ++=的根，从而得解．【详解】解：A 、根据图象，二次函数开口方向向下，则0a <，对称轴位于y 轴的右侧可得a 、b 异号，即0b >，故本选项结论错误；B 、当1x >时，y 随x 的增大而减小，故本选项结论错误；C 、根据图象，抛物线与y 轴的交点在正半轴，则0c >，故本选项结论错误；D 、抛物线与x 轴的一个交点坐标是(1,0)-，对称轴是直线1x =，设另一交点为(,0)x ，121x -+=⨯，3x =，∴另一交点坐标是(3,0)，3x ∴=是一元二次方程20ax bx c ++=的一个根，故本选项结论正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的增减性，抛物线与x 轴的交点问题，熟记二次函数的性质以及函数图象与系数的关系是解题的关键．8、D【解析】【分析】由题意可设抛物线为y =（x -m ）（x -n ），则222424abm n ，再利用二次函数的性质可得答案.【详解】解：由已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x 轴交于两点（m ，0），（n ，0），所以可设交点式y =（x -m ）（x -n ），分别代入()0,A a ，4,B b ，∴,44,a mn b m n224444ab mn m n m m n n222424m n∵0＜m ＜n ＜3，∴0＜224m ≤4 ，0＜224n ≤4 ，∵m ＜n ，∴ab 不能取16 ，∴0＜ab ＜16 ，故选D【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质得到222424abm n 是解本题的关键.9、D【解析】【分析】根据函数图象写出y =1对应的自变量x 的值,再根据1y ≤判断范围即可．【详解】由图可知，使得()201y ax bx c a =++≠=时123,1x x =-=使1y ≤成立的x 的取值范围是3x ≤-或1≥x故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，准确识图是解题的关键．10、C【解析】【分析】把（-2，-4）代入函数y =ax 2中，即可求a ．【详解】解：把（-2，-4）代入函数y =ax 2，得4a =-4，解得a =-1．故选：C ．【点睛】本题考查了点与函数的关系，解题的关键是代入求值．二、填空题1、2【解析】【分析】分x ＞8，x ＜-2，-2≤x ≤8，确定S 的最小值，比较三个最小值的大小，下结论即可．【详解】∵二次函数()210y ax bx c a =++≠与一次函数()20y kx m k =+≠的图象相交于点()2,4A -和()82,B ，∴当x＞8时，1y＞2y，且1y的最小值为2，∴S=1y，且S的最小值为2；∴当x＜-2时，1y＞2y，且1y的最小值为4，∴S=1y，且S的最小值为4；∴当-2≤x≤8时，2y＞1y，∴S=2y，∴248=2k mk m-+=⎧⎨+⎩，解得1-518=5km⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩，∴S=2y=118-55x+，∴S随x的增大而减小，∴当x=8时，2y有最小值，且为118-855⨯+=2，∴S 的最小值为2，综上所述，S 的最小值为2，故答案为：2．【点睛】本题考查了一次函数的解析式和性质，二次函数与一次函数的综合，正确利用数形结合思想，熟练掌握性质是解题的关键．2、1【解析】【分析】对于二次函数解析式，令0y =得到关于x 的一元二次方程，由抛物线与x 轴只有一个交点，得到根的判别式等于0，即可求出k 的值．【详解】解：对于二次函数22y x x k =++，令0y =，得到220y x x k =++=，二次函数22y x x k =++的图象与x 轴只有一个交点，∴△440k =-=，解得：1k =，故答案为：1．【点睛】此题考查了抛物线与x 轴的交点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．3、直线1x =-【解析】【分析】根据顶点坐标公式计算即可得到答案．【详解】解：抛物线的对称轴是直线x=212(1)--=-⨯-，故答案为：直线1x=-．【点睛】此题考查了求抛物线的顶点坐标，熟记抛物线顶点坐标公式是解题的关键．4、2 3【解析】【分析】顶点在x轴上，即纵坐标为0．利用顶点坐标公式即可求出m的值．【详解】解：∵抛物线y=2x2-4x+3m的顶点在x轴上，∴()2423442m⨯⨯--=⨯，∴m=23．故答案为23．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-2424b ac ba a-，），应熟练掌握．5、y=-x2+1 【解析】【分析】首先根据在对称轴右侧部分是下降确定其开口方向，然后根据经过的点的坐标确定解析式即可．【详解】解：∵在对称轴右侧部分是下降，∴设抛物线的解析式可以为y =-x 2+b ，∵经过点（0，1），∴解析式可以是y =-x 2+1，故答案为：y =-x 2+1．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数在对称轴两侧的增减性相反是解题的关键，即根据增减性可以确定出开口方向进而确定出a 的符号．6、-3【解析】【分析】根据函数图象经过原点时，0x =，0y =，代入即可求出m 的值．【详解】 解：抛物线263y x x m =+++与y 轴交于原点，∴当0x =时，0y =，30m ∴+=，3m ∴=-，故答案为：3-．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握函数图象经过原点，即当0x =时，0y =是解决问题的关键．7、①③④【解析】【分析】根据抛物线开口方向，对称轴以及与y 轴的交点即可判断①；根据c 、a 的符号得出2c a >，即可得到422a c a c +>+，根据1x =-时，0y =得到b a c =+，即可得到42a c b +>，即可判断②；根据抛物线与一元二次方程的关系即可判断③；根据抛物线的对称性即可判断④．【详解】 解：抛物线开口向下，0a ∴<，抛物线交y 轴于正半轴，0c ∴>，02b a->， 0b ∴>，0abc ∴<，故①正确，0c >，0a <，2c a ∴>，422a c a c ∴+>+，1x =-时，0y a b c =-+=，则b a c =+，222a c b ∴+=，42a c b ∴+>，故②错误，2y ax bx c =++的图象过点(1,0)-和(,0)m ，∴方程20ax bx c ++=的根为11x =-，2x m =，方程20ax bx c ++=的根为x =，12x x ∴-=，1m ∴+ 2y ax bx c =++的图象过点(1,0)-和(,0)m ，∴抛物线的对称轴为直线12m x -=， 32122m m -+-=， 2x ∴=和3x m =-处的函数值相等，故④正确，故答案为：①③④．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，二次项系数a 决定抛物线的开口方向：当0a >时，抛物线向上开口；当0a <时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即0)ab >，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即0)ab <，对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于(0,)c ；△决定抛物线与x 轴交点个数：△240b ac =->时，抛物线与x 轴有2个交点；△240b ac =-=时，抛物线与x 轴有1个交点；△240b ac =-<时，抛物线与x 轴没有交点．8、＜【解析】【分析】分别把A 、B 点的横坐标代入抛物线解析式求解即可．解：x＝0时，y1＝（0﹣1）2＝1，x＝3时，y3＝（3﹣1）2＝4，∴y1＜y2．故答案为：＜．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出相应的函数值是解题的关键．9、＜【解析】【分析】找到二次函数对称轴，根据二次函数的增减性即可得出结论．【详解】解：∵y＝﹣2（x﹣1）2+3，∴抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3的开口向下，对称轴为x＝1，∴在x＜1时，y随x的增大而增大，∵x1＜x2＜0，∴y1＜y2．故答案为：＜．【点睛】本题考查二次函数的增减性，掌握其增减规律，找到对称轴是解本题关键．10、1【分析】把点的坐标代入解析式，得6=4a +2，解方程即可．【详解】∵抛物线22y ax =+经过点()2,6-，∴6=4a +2，解得a =1，故答案为：1．【点睛】本题考查了抛物线与点的关系，熟记图像过点，点的坐标满足函数的解析式是解题的关键．三、解答题1、 (1)F 、H(2)点M (-5，-2)(3)2≤<a 【解析】【分析】(1)点E (0，0)的“关联点”是(0，0)，点F (2，5)的“关联点”是(2，5)，点G (-1，-1)的“关联点”是(-1，1)，点H (-3，5)的“关联点”是(-3，-5)，将点的坐标代入函数y ＝2x +1，看是否在函数图象上，即可求解；(2)当m ≥0时，点M (m ，2)，则2＝m +3；当m ＜0时，点M (m ，-2)，则﹣2＝m +3，解方程即可求解；(3)如图为“关联点”函数图象：从函数图象看，“关联点”Q 的纵坐标y '的取值范围是-4＜y '≤4，而-2＜x ≤a ，函数图象只需要找到最大值(直线y ＝4)与最小值(直线y ＝-4)直线x ＝a 从大于等于0开始运动，直到与y ＝-4有交点结束．都符合要求-4＜y '≤4，只要求出关键点即可求解．(1)解：由题意新定义知：点E(0，0)的“关联点”是(0，0)，点F(2，5)的“关联点”是(2，5)，点G(-1，-1)的“关联点”是(-1，1)，点H(-3，5)的“关联点”是(-3，-5)，将点的坐标代入函数y＝2x+1，得到：F(2，5)和H(-3，-5)在函数y＝2x+1图象上；(2)解：当m≥0时，点M(m，2)，则2＝m+3，解得：m＝-1(舍去)；当m＜0时，点M(m，-2)，-2＝m+3，解得：m＝-5，∴点M(-5，-2)；(3)解：如下图所示为“关联点”函数图象：从函数图象看，“关联点”Q的纵坐标y'的取值范围是-4＜y'≤4，而-2＜x≤a，函数图象只需要找到最大值(直线y ＝4)与最小值(直线y ＝-4)直线x ＝a 从大于等于0开始运动，直到与y ＝-4有交点结束，都符合要求，∴-4＝-a 2+4，解得：a =舍去负值)，观察图象可知满足条件的a 的取值范围为：2≤<a【点睛】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于创新题目，读懂题意是解决本类题的关键．2、 (1)3y x =--(2)12y y <，理由见解析【解析】【分析】（1）令y =0，可得x 的值，即可确定点A 坐标，令x =0，可求出y 的值，可确定点B 坐标，再运用待定系数法即可求出直线m 的解析式；（2）根据30a -<<可得抛物线在直线m 的下方，从而可得12y y <．(1)令y =0，则2230x x +-=解得，123,1x x =-=∵点A 在另一交点左侧，∴A （-3，0）令x =0，则y =-3∴B (0，-3)设直线m 的解析式为y =kx +b把A （-3，0），B (0，-3)坐标代入得，303k b b -+=⎧⎨=-⎩ 解得，13k b =-⎧⎨=-⎩ ∴直线m 的解析式为3y x =--；(2)∵抛物线223y x x =+-与直线3y x =--的交点坐标为：A （-3，0），B (0，-3)又∵30a -<<∴抛物线在直线m 的下方，∵点()1,P a y 和点()2,Q a y 分别是抛物线和直线m 上的点，∴12y y <【点睛】本题考查了二次函数，其中涉及到运用待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴交点坐标的求法，运用数形结合的思想是解答本题的关键．3、 (1)y =-19（x -6）2+5(2)足球第一次落地点C 距守门员(6+米(3)运动员乙要抢到足球第二个落点D ，他应再向前跑(米【解析】【分析】（1）由条件可以得出M （6，5），设抛物线的解析式为y =a （x -6）2+5，由待定系数法求出其解即可；（2）当y=0时代入（1）的解析式，求出x的值即可；（3）根据题意得到CD=EF，由-19（x-6）2+5=2求出EF的长度，就可以求出OD的值，进而得出结论．(1)解：根据题意，可设第一次落地时，抛物线的表达式为y=a（x-6）2+5，将点A（0，1）代入，得：36a+5=1，解得：a=-19，∴足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式为y=-19（x-6）2+5；(2)解：令y=0，得：-19（x-6）2+5=0，解得：x1=6+x2=6-（舍去），答：足球第一次落地点C距守门员(6+米；(3)解：如图，足球第二次弹出后的距离为CD，根据题意知CD=EF（即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位），∴-19（x -6）2+5=2，解得：x 1=6-x 2=6+∴CD =x 2-x 1=∴BD =BC +CD =66++(米，答：运动员乙要抢到足球第二个落点D ，他应再向前跑(米．【点睛】本题考查了运用顶点式及待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．4、 (1)y ＝﹣x 2﹣2x +3(2)E （﹣32，154）(3)存在，（﹣12，154，﹣154，﹣154） 【解析】【分析】 （1）根据待定系数法求二次函数解析式即可；（2）连接OE ，设E （m ，﹣m 2﹣2m +3）,令0y =,求得A 点的坐标，进而根据S △AEC ＝S △AEO +S △ECO ﹣S △AOC 列出关系式，而AOC S 的面积是定值，进而当S △AEC 最大时，四边形AECO 面积最大，根据二次函数的性质求得最值即可；（3）分EF 是平行四边形的边和平行四边形的对角线分析，①EF 是平行四边形的边，根据平行四边形的对称性，满足条件的点Q 的纵坐标为±154，代入二次函数解析式，即可求得点Q 的坐标，②当EF 为对角线时，满足条件的点Q 的纵坐标为154，同①解方程即可(1)∵y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），则： ∴-1+03b c c +=⎧⎨=⎩， 解得23b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3．故答案为：y ＝﹣x 2﹣2x +3；(2)如图1中，连接OE ．设E （m ，﹣m 2﹣2m +3）．当﹣x 2﹣2x +3=0时x 1=-3,x 2=1(3,0)A ∴-∴OA ＝OC ＝3，AOC S 193322=⨯⨯=,AECO S 四边形AOC AEC S S =+△△ ∴当AEC S 取得最大值时，即四边形AECO 面积最大∵S△AEC＝S△AEO+S△ECO﹣S△AOC＝12×3×（﹣m2﹣2m+3）+12×3×（﹣m）﹣12×3×3＝﹣32（m+32）2+278，∵﹣32＜0，∴m＝﹣32时，△AEC的面积最大，即四边形AECO面积最大∴E（﹣32，154）；(3)存在．如图2中，因为点P是x轴上，点Q在抛物线上①EF是平行四边形的边，根据平行四边形的对称性，满足条件的点Q的纵坐标为±154，对于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，当y＝154时，﹣x2﹣2x+3＝154，解得x＝﹣32（舍弃）或﹣12，∴Q1（﹣12，154）．当y＝﹣154时，﹣x2﹣2x+3＝﹣154，解得x，∴Q 2，﹣154），Q 3154）． ②当EF 为对角线时,154Q y =﹣x 2﹣2x +3＝154，解得x ＝﹣32（舍弃）或﹣12， ∴Q 1（﹣12，154）．综上所述，满足条件的点Q 坐标为（﹣12，154，﹣154，﹣154） 【点睛】 本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的最值，平行四边形的性质，已知函数值求自变量的值，分类讨论是解题的关键．5、 (1)1 (2)1544a << (3)23a >或12a =或25a - 【解析】【分析】（1）把点A 的坐标代入抛物线的表达式中，即可求得a 的值；（2）由解析式可确定抛物线的顶点坐标，从而可得函数的最小值，由题意得：其最小值的绝对值小于2，从而可得关于a 的不等式，解不等式即可；（3）分a >0和a <0两种情况考虑：当a >0时，抛物线顶点在直线y =1上满足条件；由函数的对称性，当x =3时，y <1即可；当a <0时，由函数的对称性，当1x =-时，1y ，即符合条件；从而可求得a 的取值范围．(1)将点A 的坐标代入243y ax ax =-+得：043a a =-+，解得1a =，故答案为：1，(2)∵抛物线的表达式为243y ax ax =-+， ∴抛物线的对称轴为直线422a x a -=-=， 当2x =时，24334y ax ax a =-+=-，故顶点坐标为()2,34a -， 则342a -<，即2342a -<-<，如图所示，解得1544a <<； (3) ①当0a >时，当抛物线的顶点()2,34a -恰在直线1y =上时，符合条件，即341a -=，解得12a =； 当抛物线过点N 时，MN 与抛物线有两个交点，所以根据函数的对称性，只要3x =时，1y <，即符合条件，如图所示，当x =3时，91231y a a =-+<， 解得23a >， 故抛物线与MN 只有一个交点时，23a >或12a =； ②当0a <时，根据函数的对称性，只要1x =-时，1y ，即符合条件，如图所示，当1x =-时，243531y ax ax a =-+=+，解得25a -；综上，a 的取值范围为：23a >或12a =或25a -． 【点睛】 本题是二次函数的综合，有一定的难度，考查了二次函数的图象与性质，求函数解析式，数形结合是本题最大的特点．。
专题26 反比例函数与几何综合题型归纳-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练(原卷版)
专题26 反比例函数与几何综合题型归纳（原卷版）类型一 反比例函数与三角形综合1．（2022秋•岚山区校级期末）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB ＝30°，点A 在反比例函数y =6x（x ＞0）的图象上，则经过点B 的反比例函数解析式为（ ）A ．y =―1x B ．y =―2x C ．y =―4xD ．y =―6x2．（2022秋•金水区校级期末）如图，已知直角三角形ABO 中，AO =3，将△ABO 绕点O 点旋转至△A 'B 'O 的位置，且A '在OB 的中点，B '在反比例函数y =kx上，则k 的值为 ．3．（2022秋•荔湾区校级期末）如图，△ABC 是等腰三角形，AB 过原点O ，底边BC ∥x 轴，双曲线y =kx过A ，B 两点，过点C 作CD ∥y 轴交双曲线于点D ，若S △BCD ＝16，则k 的值是 ．4．（2023•南海区模拟）如图，在x 轴的正半轴上依次截取OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝A 3A 4＝A 4A 5，过点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5分别作x 轴的垂线与反比例函数y =2x(x ≠0)的图象相交于点P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，得直角三角形OP 1A 1，A 1P 2A 2，A 2P 3A 3，A 3P 4A 4，A 4P 5A 5，并设其面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，则S 2022＝ ．5．（2022秋•桥西区校级期末）如图，一次函数y 1＝k 1x +b 的图像与反比例函数y 2=k 2x(x ＞0)的图像相交于A （m ，6），B （6，1）两点，且与x 轴，y 轴交于点M ，N ．（1）填空：k 2＝ ；m ＝ ；在第一象限内，当y 1＞y 2时，x 的取值范围为 ；（2）连接OA ，OB ，求△AOB 的面积；（3）点E 在线段AB 上，过点E 作x 轴的垂线，交反比例函数图像于点F ，若EF ＝2，求点F 的坐标．6．（2022秋•龙泉驿区期末）某班在“图形与坐标”的主题学习中，第四学习小组提出如下背景“如图，在平面直角坐标系中，将一个边长为2的等边三角形ABC 沿x 轴平移（边AB 在x 轴上，点C 在x 轴上方），其中A （a ，0），三角形ABC 与反比例函数y =23x（x ＞0）交于点D ，E 两点（点D 在点E 左边）”，让其他小组提出问题，请你解答：（1）第一小组提出“当a ＝2时，求点D 的坐标”；（2）第二小组提出“若AD ＝CE ，求a 的值”；（3）第三小组提出“若将点E 绕点A 逆时针旋转60°至点E ′，点E ′恰好也在y =23x（x ＞0）上，求a 的值”．7．（2022秋•南山区期末）如图：△AOB 为等腰直角三角形，斜边OB 在x 轴上，S △OAB ＝4，一次函数y 1＝kx +b （k ≠0）的图象经过点A 交y 轴于点C ，反比例函数y 2=kx（x ＞0）的图象也经过点A ．（1）求反比例函数的解析式；（2）若CD ＝2AD ，求△COD 的面积；（3）当y 1＜y 2时对应的自变量的取值范围是 ．（请直接写出答案）8．（2022秋•老城区校级期中）如图，已知：直线y =12x 与双曲线y =k x （k ＞0）交于A ，B 两点，且点A的横坐标为4，若双曲线y =kx（k ＞0）上一点C 的纵坐标为8，连接AC ．（1）填空：k 的值为 8 ；点B 的坐标为 ；点C 的坐标为 ．（2）直接写出关于的不等式12x ―k x≥0的解集；（3）求三角形AOC 的面积．9．（2022秋•虹口区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝kx （k ＞0）分别交反比例函数y =1x 和y =9x 在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，交y =1x的图象于点C ，联结AC ，若△ABC 是等腰三角形，求k 的值．类型二 反比例函数与平行四边形综合10．（2022秋•襄都区校级期末）如图，反比例函数y =kx的图象经过平行四边形ABCD 对角线的交点P ．知A ，C ，D ，三点在坐标轴上，BD ⊥DC ，平行四边形ABCD 的面积为6，则k 的值为（ ）A ．﹣6B ．﹣5C ．﹣4D ．﹣311．（2022秋•滨城区校级期末）如图，平行四边形OABC 的顶点O ，B 在y 轴上，顶点A 在y =―2x 上，顶点C 在y =9x上，则平行四边形OABC 的面积是 ．12．（2022秋•平城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABOC 的面积为6，边OB 在x 轴上，顶点 A 、C 分别在反比例函数y =k x（x ＜0）和y =2x （x ＞0）的图象上，则k ﹣2的值为（ ）A ．﹣4B ．4C ．﹣6D ．613．（2022秋•高新区期末）如图，在平面直角坐标中，平行四边形ABCD 顶点A 的坐标为（1，0），点D 在反比例函数y =―6x 的图象上，点B ，C 在反比例函数y =kx（x ＞0）的图象上，CD 与y 轴交于点E ，若DE ＝CE ，∠DAO ＝45°，则k 的值为 ．14．（2022•湘潭县校级模拟）如图，在平面直角坐标系Oxy 中，函数y =kx （其中x ＜0）的图象经过平行四边形ABOC 的顶点A ，函数y =8x（其中x ＞0）的图象经过顶点C ，点B 在x 轴上，若点C 的横坐标为2，△AOC 的面积为6．（1）求k 的值；（2）求直线AB 的解析式．类型三 反比例函数与矩形综合15．（2022秋•永城市期末）如图，直线y ＝﹣x +3与坐标轴分别相交于A ，B 两点，过A ，B 两点作矩形ABCD ，AB ＝2AD ，双曲线y =kx在第一象限经过C ，D 两点，则k 的值是（ ）A ．6B ．274C ．272D ．2716．（2022秋•岚山区校级期末）如右图，已知矩形OABC 的面积为1003，它的对角线OB 与双曲线y =kx相交于点D ，且OB ：OD ＝5：3，则k ＝（ ）A ．10B ．20C ．6D ．1217．（2022秋•达川区期末）如图，矩形AOBC 的边OA ＝3，OB ＝4，动点F 在边BC 上（不与B 、C 重合），过点F 的反比例函数y =kx的图象与边AC 交于点E ，直线EF 分别与y 轴和x 轴相交于点D 和G ．给出下列命题：①若k ＝6，则△OEF 的面积为92；②若k =218，则点C 关于直线EF 的对称点在x 轴上；③满足题设的k 的取值范围是0＜k ≤12；④若DE ⋅EG =256，则k ＝2；其中正确的命题个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．（2023•黔江区一模）如图，矩形ABCD 中，点A 在双曲线y =―8x上，点B ，C 在x 轴上，延长CD 至点E ，使CD ＝2DE ，连接BE 交y 轴于点F ，连接CF ，则△BFC 的面积为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．819．（2022秋•荔城区校级期末）如图，点A 为双曲线y =―2x在第二象限上的动点，AO 的延长线与双曲线的另一个交点为B ，以AB 为边的矩形ABCD 满足AB ：BC ＝4：3，对角线AC ，BD 交于点P ，设P 的坐标为（m ，n ），则m ，n 满足的关系式为 ．20．（2022秋•滕州市校级期末）如图，矩形OABC 与反比例函数y 1=k 1x（k 1是非零常数，x ＞0）的图象交于点M ，N ，反比例函数y 2=k 2x（k 2是非零常数，x ＞0）的图象交于点B ，连接OM ，ON ．若四边形OMBN 的面积为3，则2k 2﹣2k 1＝ ．21．（2022秋•长安区校级期末）如图，矩形ABCD 顶点坐标分别为A （1，1），B （2，1），CB ＝2．（1）若反比例函数y =kx与的图象过点D ，则k ＝ ．（2）若反比例函数与矩形ABCD 的边CD 、CB 分别交于点E 、点F ，且△CEF 的面积是，则反比例函数的表达式为 ．（3）若反比例函数y =k x(x ＞0)的图象将矩形边界上横、纵坐标均为整数的点恰好等分成了两组，使两组点分别在双曲线两侧，则k 的取值范围是 ．22．（2022秋•松原期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点C 、A 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，点D 为AB 的中点．一次函数y ＝﹣3x +6的图象经过点C 、D ，反比例函数y =kx（x ＞0）的图象经过点B ，求k 的值．23．（2022•礼县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OC 、OA 分别在坐标轴上，且OA ＝2，OC ＝4，连接OB ．反比例函数y =k1x（x ＞0）的图象经过线段OB 的中点D ，并与AB 、BC 分别交于点B 、F ．一次函数y ＝k 2x +b 的图象经过E 、F 两点．（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式．（2）点P 是x 轴上一动点，当PE +PF 的值最小时，求点P 的坐标．25．（2022春•姑苏区校级月考）如图，在以O 为原点的平面直角坐标系中，点 A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点B （a ，b ）在第一象限，四边形OABC 是矩形，反比例函数y =kx（k ＞0，x ＞0）的图象与AB 相交于点D ，与BC 相交于点E ，且BE ＝2CE ．（1）求证：BD ＝2AD ；（2）若四边形ODBE 的面积是6，求k 的值．类型四 反比例函数与菱形综合26．（2022秋•江北区校级期末）如图，菱形ABCD 的边AD ⊥y 轴，垂足为点E ，顶点A 在第二象限，顶点B 在y 轴的正半轴上，反比例函数y =kx（k ≠0，x ＞0）的图象同时经过顶点C 、D ．若点C 的横坐标为10，BE ＝3DE ，则k 的值为（ ）A ．15B ．6C ．154D ．1027．（2022•珠海校级三模）如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y=k1x（k1＞0）和y=k2x的图象上，且∠ADC＝120°，则k2k1的值是（ ）A．﹣3B．―13C．3D．―3328．（2022秋•岚山区校级期末）如图，O为坐标原点，点C在x轴上．四边形OABC为菱形，D为菱形对角线AC与OB的交点，反比例函数y=kx在第一象限内的图象经过点A与点D，若菱形OABC的面积为242，则点A的坐标为 ．29．（2022秋•福州期末）如图，四边形ABOC为菱形，∠BOC＝60°，反比例函数y=kx(x＜0)的图象经过点B，交AC边于点P，若△BOP的面积为43，则点A的坐标为 ．30．（2022秋•通川区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（5，0），函数y=kx（x＞0）的图象经过菱形OABC的顶点C，若OB•AC＝40，则k的值为 ．31．（2023•西山区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A 在反比例函数y =kx（k ＞0，x ＞0）的图象上，点D 的坐标为（4，3）．（1）求反比例函数的关系式；（2）设点M 在反比例函数图象上，连接MA 、MD ，若△MAD 的面积是菱形ABCD 面积的14，求点M 的坐标．类型五 反比例函数与正方形综合32．（2022秋•东港市期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =43x +4的图象与x 轴，y 轴分别交于点B ，A ，以线段AB 为边作正方形ABCD ，且点C 在反比例函数y =k x（x ＜0）的图象上，则k 的值为（ ）A ．﹣21B ．21C ．﹣24D ．2433．（2022秋•龙岗区校级期末）如图，反比例函数y =kx(x ＞0)图象经过正方形OABC 的顶点A ，BC 边与y轴交于点D ，若正方形OABC 的面积为12，BD ＝2CD ，则k 的值为（ ）A ．3B ．185C ．165D ．10334．（2022秋•济南期末）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （4a ，a ）是反比例函数y =k x（k ＞0）的图象上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于16，则k 的值为（ ）A ．16B ．1C ．4D ．﹣1635．（2022•南关区校级模拟）如图，正方形ABCO 和正方形CDEF 的顶点B 、E 在双曲线y =6x（x ＞0）上，连接OB 、OE 、BE ，则S △OBE 的值为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.536．（2022•绿园区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，大、小两个正方形的一个顶点均为坐标原点，两边分别在x 轴，y 轴的正半轴上，若经过小正方形的顶点A 的函数y =k x（x ＞0）的图象与大正方形的一边交于点B （1，3），则阴影部分的面积为（ ）A ．6B ．3C ．32D ．3―337．（2022秋•徐汇区期末）点A 、M 在函数y =1x （x ＞0）图象上，点B 、N 在函数y =―3x（x ＜0）图象上，分别过A 、B 作x 轴的垂线，垂足为D 、C ，再分别过M 、N 作线段AB 的垂线，垂足为Q 、P ，若四边形ABCD 与四边形MNPQ 均为正方形，则正方形MNPQ 的面积是 ．38．（2022秋•薛城区期末）如图，点B 是反比例函数y =k x图象上的一点，矩形OABC 的周长是20，正方形OCDF 与正方形BCGH 的面积之和为68，则k 的值为 ．39．（2022春•姑苏区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y =k x(x ＞0)的图象与边长等于6的正方形OABC 的两边AB ，BC 分别相交于M ，N 两点，△MON 的面积是16，动点P 从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿x 轴向右运动，记运动时间为t ，当t ＝ s 时，PM +PN 最小．40．（2022•香洲区校级三模）如图，反比例函数y =k x（k ≠0，x ＞0）的图象过点B ，E ，四边形ODEF 和ABCD 是正方形，顶点F 在x 轴的正半轴上，A ，D 在y 轴正半轴上，点C 在边DE 上，延长BC 交x 轴于点G ．若AB ＝2，则四边形CEFG 的面积为 ．41．（2022秋•蚌山区月考）如图，两个边长分别为a ，b （a ＞b ）的正方形连在一起，三点C ，B ，F 在同一直线上，反比例函数y =k x在第一象限的图象经过小正方形右下顶点E ．若OB 2﹣BE 2＝8，则（1）S 正方形OABC ﹣S 正方形DEFB ＝ ；（2）k 的值是 ．42．（2022•九龙坡区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为（0，4），点B 的坐标为（2，0），连结AB ，以线段AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ，直线BD ：y ＝ax +b 交双曲线y =k x（k ≠0）于D 、E 两点，连结CE ．（1）求双曲线y =k x（k ≠0）和直线BD 的解析式；（2）求△BEC 的面积；（3）请直接写出不等式ax +b ＞k x 的解集．43．（2022•东湖区期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在y 轴上，顶点C 在x 轴上，反比例函数y ＝k 的图象过AB 边上一点E ，与BC 边交于点D ，BE ＝2，OE ＝10．（1）求k 的值；（2）直线y ＝ax +b 过点D 及线段AB 的中点F ，点P 是直线OF 上一动点，当PD +PC 的值最小时，直接写出这个最小值．44．（2021秋•榆林）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0，2），以线段AB 为一边在第一象限内作平行四边形ABCD ，其顶点D （3，1）在反比例函数y =k x（x ＞0）的图象上．（1）求证：四边形ABCD 是正方形；（2）设将正方形ABCD 沿x 轴向左平移m （m ＞0）个单位后，得到正方形A ′B ′C ′D ′，点C 的对应点C ′恰好落在反比例函数y =k x（x ＞0）的图象上，求m 的值．45．（2022秋•宝山区校级期中）如图，已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在函数y =k x （k ＞0，x ＞0）图象上，点P 是函数y =k x（k ＞0，x ＞0）图象上异于点B 的任意一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为点E 、F ．设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S ．（1）点B 的坐标是 ，k ＝ ；（2）当S =92，求点P 的坐标；（3）求出S 关于m 的函数关系式．46．（2022秋•武功县期末）如图，在平面直角坐标系中，A （﹣1，2），B （﹣1，﹣2），以AB 为边向右作正方形ABCD ，边AD 、BC 分别与y 轴交于点E 、F ，反比例函数y =k x(k ≠0)的图象经过点D ．（1）求反比例函数的表达式；（2）在反比例函数的图象上是否存在点P ，使得△PEF 的面积等于正方形ABCD 面积的一半？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．47．（2022•靖江市校级模拟）如图，在直角坐标系中，Rt △ABC 的直角边AC 在x 轴上，∠ACB ＝90°，AC＝1，反比例函数y =k x（k ＞0）的图象经过BC 边的中点D （3，1）．（1）直接写出这个反比例函数的表达式 ；（2）若△ABC 与△EFG 关于点M 成中心对称，且△EFG 的边FG 在y 轴的正半轴上，点E 在这个函数的图象上．①直接写出OF 的长 、对称中心点M 的坐标 ；②连接AF，BE，证明四边形ABEF是正方形．。
中考数学专题检测专题《动态几何之双(多)动点形成的函数关系》(含解析)
专题24动态几何之双（多）动点形成的函数关系问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与"不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
动态几何形成的函数关系和图象问题是动态几何中的基本问题，包括单动点形成的函数关系和图象问题，双（多）动点形成的函数关系和图象问题，线动形成的函数关系和图象问题，面动形成的函数关系和图象问题。
本专题原创编写单动点形成的函数关系问题模拟题。
双动点和多动点问题就是在一些基本几何图形上，设计几个动点，并对这些点在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究。
解决点动问题常常用的是“类比法”，也就是通过对两个或几个相类似的数学研究对象的异同进行观察和比较，从一个容易探索的研究对象所具有的性质入手，去猜想另一个或几个类似图形所具有的类似性质，从而获得相关结论。
类比法大致可遵循如下步骤：（1）根据已知条件，先从动态的角度去分析观察可能出现的情况。
（2）结合某一相应图形，以静制动，运用所学知识（常见的有三角形全等、三角形相似等）得出相关结论。
（3）类比猜想并证明其他情况中的图形所具有的性质。
在中考压轴题中，双（多）动点形成的函数关系和图象问题命题形式主要有选择题和解答题。
其考点类型主要有两类，一是根据条件求出函数关系式，由函数关系式判断函数图象或求相应变量的值；二是根据条件研究动点的变化趋势（特殊位置）来判断函数图象。
全国中考数学选择填空解答压轴题分类解析汇编：专题25 动态几何之线动形成的函数关系问题
1. （2014年甘肃兰州4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是【】2. （2014年内蒙古赤峰3分）如图，一根长为5米的竹竿AB斜立于墙AC的右侧，底端B 与墙角C的距离为3米，当竹竿顶端A下滑x米时，底端B便随着向右滑行y米，反映y 与x变化关系的大致图象是【】（无）1. （2014年湖南怀化10分）如图1，在平面直角坐标系中，AB=OB=8，∠ABO=90°，∠yOC=45°，射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动，设平行移动x秒后，射线OC扫过Rt△ABO的面积为y．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x=3秒时，射线OC平行移动到O′C′，与OA相交于G，如图2，求经过G，O，B 三点的抛物线的解析式；（3）现有一动点P在（2）中的抛物线上，试问点P在运动过程中，是否存在三角形POB的面积S=8的情况？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．解得x1=4﹣26，x2=4+26.此时，点P的坐标为（4﹣26，﹣2）或（4+26，﹣2）.2. （2014年江西南昌12分）如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A、B重合），点F在BC边上（不与点B、C重合）.第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依此操作下去…（1）图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为▲ ，求此时线段EF的长；（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH.①请判断四边形EFGH的形状为▲ ，此时AE与BF的数量关系是▲ ；②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围.（3）若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请直接写出其边长；如果不是，请说明理由．【答案】解：（1）等边三角形.∵四边形ABCD是正方形，．长为4243. （2014年江西省9分）如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A、B重合），点F在BC边上（不与点B、C重合）.第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依此操作下去…（1）图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为▲ ，求此时线段EF的长；（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH.①请判断四边形EFGH的形状为▲ ，此时AE与BF的数量关系是▲ ；②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围.∴4. （2014年辽宁锦州14分）如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，4），抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和C．（1）求抛物线的解析式．（2）该抛物线的对称轴将平行四边形ABCO分成两部分，对称轴左侧部分的图形面积记为S1，右侧部分图形的面积记为S2，求S1与S2的比．（3）在y轴上取一点D，坐标是（0，72），将直线OC沿x轴平移到O′C′，点D关于直线O′C′的对称点记为D′，当点D′正好在抛物线上时，求出此时点D′坐标并直接写出直线O′C′的函数解析式．∴S2=12EC•EF=()119241224⎛⎫⋅-⋅-=⎪⎝⎭，S1=S四边形ABCO﹣S2=9232444⋅-=．二次函数的性质；6.平行四边形的性质；7.锐角三角函数的定义；8.分类思想的应用．到点D′的坐标，然后求出DD′中点坐标就可求出对应的直线O′A′的解析式：5. （2014年四川攀枝花12分）如图，抛物线2y ax 8ax 12a =-+（a ＞0）与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，点D 的坐标为（﹣6，0），且∠ACD=90°．（1）请直接写出A 、B 两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得△PAC 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标及周长的最小值；若不存在，说明理由；（4）平行于y 轴的直线m 从点D 出发沿x 轴向右平行移动，到点A 停止．设直线m 与折线DCA 的交点为G ，与x 轴的交点为H （t ，0）．记△ACD 在直线m 左侧部分的面积为s ，求s 关于t 的函数关系式及自变量t 的取值范围．在R t△AOC 中，由勾股定理得：()22AC 2234=+=．【分析】（1）抛物线中.考.资.源.网的解析式为：2y ax 8ax 12a =-+（a ＞0），点C 关于对称轴的对称点为C′，连接AC′与对称轴交于点P ，由轴对称的性质可知点P 即为所求.。
2019中考数学高频考点剖析专题32动态几何之面动问题—原卷
备考2019中考数学高频考点剖析专题三十二动态几何之面动问题考点扫描☆聚焦中考动态几何中的面动问题，是每年中考的压轴试题内容之一，考查的知识点包括面动问题在函数中的研究和面动在几何图形中的综合应用两方面，总体来看，难度系数较高，以选择为主。
也有少量的解析题。
解析题主要以综合性问题为主。
结合2018年全国各地中考的实例，我们从两个方面进行动态几何中的面动问题的探讨：（1）面动问题在函数应用中的研究；（2）面动问题在几何图形中的研究；考点剖析☆典型例题2018•株洲市•3分）如图，O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝90°，点B的坐标为，将该三角形沿轴向右平移得到，此时点的坐标为，则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为______.【答案】4【解析】分析：利用平移的性质得出AA′的长，根据等腰直角三角形的性质得到AA′对应的高，再结合平行四边形面积公式求出即可．详解：∵点B的坐标为（0，2），将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′，此时点B′的坐标为（2，2），∴AA′=BB′=2，∵△OAB是等腰直角三角形，∴A（，），∴AA′对应的高，∴线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为2×=4．故答案为：4．点睛：此题主要考查了平移变换、等腰直角三角形的性质以及平行四边面积求法，利用平移规律得出对应点坐标是解题关键．3分）如图，在矩形中，=3，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点的对应点落在上，且则的长为 .（第10题）【解析】本题考察矩形的性质和旋转的对应线段，利用勾股定理计算的长.=3, =90°,所以可得分）将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′，使A、B、C′在同一直线上，若∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm ，则图中阴影部分面积为cm2．【分析】易得整理后阴影部分面积为圆心角为120°，两个半径分别为4和2的圆环的面积．【解答】解：∵∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm ，∴BC=2，AC=2，∠A′BA=120°，∠CBC′=120°，∴阴影部分面积=（S△A′BC′+S扇形BAA′）﹣S扇形BCC′﹣S△ABC=×（42﹣22）=4πcm2．故答案为：4π．【点评】本题利用了直角三角形的性质，扇形的面积公式求解．2018·山东潍坊·12分）如图1，在▱ABCD中，DH⊥AB于点H，CD的垂直平分线交CD于点E，交AB于点F，AB=6，DH=4，BF：FA=1：5．（1）如图2，作FG⊥AD于点G，交DH于点M，将△DGM沿DC方向平移，得到△CG′M′，连接M′B．①求四边形BHMM′的面积；②直线EF上有一动点N，求△DNM周长的最小值．（2）如图3，延长CB交EF于点Q，过点Q作QK∥AB，过CD边上的动点P作PK∥EF，并与QK交于点K，将△PKQ沿直线PQ翻折，使点K的对应点K′恰好落在直线AB上，求线段CP的长．【分析】（1）①根据相似三角形的判定和性质以及平移的性质进行解答即可；②连接CM交直线EF于点N，连接DN，利用勾股定理解答即可；（2）分点P在线段CE上和点P在线段ED上两种情况进行解答．【解答】解：（1）①在▱ABCD中，AB=6，直线EF垂直平分CD，∴DE=FH=3，又BF：FA=1：5，∴AH=2，∵Rt△AHD∽Rt△MHF，∴，即，∴HM=1.5，根据平移的性质，MM'=CD=6，连接BM，如图1，四边形BHMM′的面积=；②连接CM交直线EF于点N，连接DN，如图2，∵直线EF垂直平分CD，∴CN=DN，∵MH=1.5，∴DM=2.5，在Rt△CDM中，MC2=DC2+DM2，∴MC2=62+（2.5）2，即MC=6.5，∵MN+DN=MN+CN=MC，∴△DNM周长的最小值为9．（2）∵BF∥CE，∴，∴QF=2，∴PK=PK'=6，过点K'作E'F'∥EF，分别交CD于点E'，交QK于点F'，如图3，当点P在线段CE上时，在Rt△PK'E'中，PE'2=PK'2﹣E'K'2，∴，∵Rt△PE'K'∽Rt△K'F'Q，∴，即，解得：，∴PE=PE'﹣EE'=，∴，同理可得，当点P在线段DE上时，，如图4，综上所述，CP的长为或．【点评】此题考查四边形的综合题，关键是根据相似三角形的性质和平移的性质解答，注意（2）分两种情况分析．考点过关☆专项突破类型一面动问题在函数方面的应用1. （2018·山东潍坊·3分）如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C′D′的位置，B'C′与CD相交于点M，则点M的坐标为．2. （2017•宁德）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，AC与OB交于点D （8，4），反比例函数y=的图象经过点D．若将菱形OABC向左平移n个单位，使点C落在该反比例函数图象上，则n的值为．3. （2017湖北荆州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的负半轴、y 轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M．若经过点M的反比例函数y=（x＜0）的图象交AB于点N，S矩形OABC=32，tan∠DOE=，则BN的长为．4.（2018•山东淄博•4分）已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），5.（2018•四川凉州•8分）如图，在平面直角坐标系中，点O1的坐标为（﹣4，0），以点O1为圆心，8为半径的圆与x轴交于A，B两点，过A作直线l与x轴负方向相交成60°的角，且交y轴于C点，以点O2（13，5）为圆心的圆与x轴相切于点D．（1）求直线l的解析式；（2）将⊙O2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，当⊙O2第一次与⊙O1外切时，求⊙O2平移的时间．类型二面动问题在几何图形中的研究1．（2018•江苏扬州•3分）如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，4），把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为．2．（2018·湖南省常德·3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C 落在点H处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB= ．3. （2018•湖南省永州市•12分）如图1，在△ABC中，矩形EFGH的一边EF在AB上，顶点G、H分别在BC、AC上，CD是边AB上的高，CD交GH于点I．若CI=4，HI=3，AD=．矩形DFGI恰好为正方形．（1）求正方形DFGI的边长；（2）如图2，延长AB至P．使得AC=CP，将矩形EFGH沿BP的方向向右平移，当点G刚好落在CP上时，试判断移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？（3）如图3，连接DG，将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DF′G′I′，正方形DF′G′I′分别与线段DG、DB相交于点M，N，求△MNG′的周长．4．（2018年江苏省泰州市•12分）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）（1）根据以上操作和发现，求的值；（2）将该矩形纸片展开．①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC=90°；②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）。
几何动态型问题(解析版)
几何动态型问题（解析版）专题诠释：几何图形动态变化型问题是中考的热点问题。
对于图形运动与变化型试题，要用运动的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系，并特别关注一些特别的量，不变的关系或特殊关系，善于化动为静。
有特殊情形（特殊点、特殊位置、特殊值、特殊图形）逐步过渡到一般情形，再综合运用各种相关的数学知识，以及数形结合、分类讨论、转化等数学思想加以解决。
第一部分典例剖析+针对练习类型一动点问题典例1（2021•铜仁市模拟）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x 的函数关系图象如图②所示，则对角线BD的长为（）A．3B．4C．5D．6思路引领：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3．∴12AB•12BC＝3，即AB•BC＝12．当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，∴AB+BC＝7．则BC＝7﹣AB，代入AB•BC＝12，得AB2﹣7AB+12＝0，解得AB＝4或3，∵AB＜AD，即AB＜BC，∴AB＝3，BC＝4．∴AD＝BC＝4，∴BD＝5．故选：C．点睛：本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．针对训练11．（2019•本溪）如图，点P是以AB为直径的半圆上的动点，CA⊥AB，PD⊥AC于点D，连接AP，设AP＝x，P A﹣PD＝y，则下列函数图象能反映y与x之间关系的是（）A．B．C．D．思路引领：设圆的半径为R，连接PB，则sin∠ABP=AP2R=12R x，则PD＝AP sinα＝x×12R x=12R x2，即可求解．设：圆的半径为R，连接PB，则sin∠ABP=AP2R=12R x，∵CA⊥AB，即AC是圆的切线，则∠P AD＝∠PBA＝α，则PD＝AP sinα＝x×12Rx=12R x2，则y＝P A﹣PD=−12R x2+x，图象为开口向下的抛物线，故选：C．点睛：本题考查的动点的函数图象，涉及到解直角三角形、圆的切线的性质、二次函数基本性质等，关键是找出相应线段的数量关系，列出函数表达式．典例2（2021•中原区校级四模）如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE的面积取得最小值时，tan∠BAD＝．思路引领：如图，设直线x＝5交x轴于K．由题意KD=12CF＝5，推出点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，推出当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，作EH⊥AB于H．求出EH，AH即可解决问题．解：如图，设直线x＝5交x轴于K，连接DK，由题意KD=12CF＝5，∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，∵AD是切线，点D是切点，∴AD⊥KD，∵AK＝13，DK＝5，∴AD＝12，∵tan∠EAO=OEOA=DKAD，∴OE8=512，∴OE=10 3，∴AE=√OE2+OA2=26 3，作EH⊥AB于H．∵S△ABE=12•AB•EH＝S△AOB﹣S△AOE，∴EH=7√2 3，∴AH=√AE2−EH2=17√2 3，∴tan∠BAD=EHAH=7√2317√23=717．点睛：本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．针对练习22．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1．动点D在边AC上，以BD为边作等边△BDE （点E、A在BD的同侧）．在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路径长为√3．思路引领：取特殊点寻找点E的运动轨迹，利用等边三角形的性质即可解决问题；解：当点D与C重合时，点E与AB的中点M重合，当点D与A重合时，点E与等边三角形△ABN的顶点N重合，所以点E的运动轨迹是△ABN的中线MN，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，∴MN=√3，故答案为√3．点睛：本题考查轨迹、等边三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会取特殊点寻找点的运动轨迹，所以中考常考题型．类型二动图问题典例3 （2021秋•高州市期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°，矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．（1）如图，求点E的坐标；（2）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C'O'D'E'，点D，O，C，E的对应点分别为C'，O'，D'，E'．设OO'＝t，矩形C'O'D'E'与△ABO重叠部分的面积为s．如图，当矩形C'O'D'E'与△ABO 重叠部分为五边形时，C'E'、D'E'分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示s，并直接写出t的范围．思路引领：（1）由已知得出AD＝OA﹣OD＝4，再由含30°角的直角三角形的性质得AE＝2AD＝8，由勾股定理得出ED＝4√3，即可得出答案；（2）由平移的性质得：O′D′＝2，E′D′＝4√3，ME′＝OO′＝t，D′E′∥O′C′∥OB，则∠E′FM＝∠ABO＝30°，再由含30°角的直角三角形的性质得MF＝2ME′＝2t，FE′=√3t，求出S△MFE′=12√3t2，S矩形C′O′D′E′＝8√3，即可得出答案．解：（1）由点A（6，0）得OA＝6，又OD＝2，∴AD＝OA﹣OD＝4，在矩形CODE中，由DE∥CO，得∠AED＝∠ABO＝30°，∴在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，由勾股定理得：ED=√AE2−AD2=4√3，又CO＝4√3，∴点E的坐标为（2，4√3）；（2）由平移可知，O'D'＝OD＝2，E'D'＝ED＝4√3，ME'＝OO'＝t．由E'D'∥BO，得∠E'FM＝∠ABO＝30°，在Rt△MFE'中，MF＝2ME'＝2t．∴由勾股定理得FE′=√MF2−ME′2=√3t，∴S△MFE′=12ME′⋅FE′=12t⋅√3t=√32t2，S矩形C′O′D′E′=O′D′⋅E′D′=8√3，∴s=−√32t2+8√3（0＜t＜2）．点睛：本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握矩形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．针对训练33．（2019•宁夏）将直角三角板ABC按如图1放置，直角顶点C与坐标原点重合，直角边AC、BC 分别与x轴和y轴重合，其中∠ABC＝30°．将此三角板沿y轴向下平移，当点B平移到原点O 时运动停止．设平移的距离为m，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为s，s关于m的函数图象（如图2所示）与m轴相交于点P（√3，0），与s轴相交于点Q．（1）试确定三角板ABC的面积；（2）求平移前AB边所在直线的解析式；（3）求s关于m的函数关系式，并写出Q点的坐标．思路引领：（1）与m轴相交于点P（√3，0），可知OB=√3，OA＝1；（2）设AB 的解析式y ＝kx +b ，将点B （0，√3），A （1，0）代入即可； （3）在移动过程中OB =√3−m ，则OA ＝tan30°×OB =√33×（√3−m ）＝1−√33m ，所以s =12×（√3−m ）×（1−√33m ）=√36m 2−m +√32，（0≤m ≤√3）；当m ＝0时，s =√32，即可求Q （0，√32）． 解：（1）∵与m 轴相交于点P （√3，0）， ∴OB =√3， ∵∠ABC ＝30°， ∴OA ＝1， ∴S =12×1×√3=√32； （2）∵B （0，√3），A （1，0）， 设AB 的解析式y ＝kx +b ， ∴{b =√3k +b =0， ∴{k =−√3b =√3， ∴y =−√3x +√3；（3）在移动过程中OB =√3−m ，则OA ＝tan30°×OB =√33×（√3−m ）＝1−√33m ，∴s =12×（√3−m ）×（1−√33m ）=√36m 2−m +√32，（0≤m ≤√3） 当m ＝0时，s =√32，∴Q （0，√32）． 点睛：本题考查直角三角形平移，一次函数的性质；能够通过函数图象得到B （0，√3）是解题的关键．典例4 如图，等边△ABC 边长为2，四边形DEFG 是平行四边形，DG ＝2，DE ＝3，∠GDE ＝60°，BC 和DE 在同一条直线上，且点C 与点D 重合，现将△ABC 沿D →E 的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点B 与点E 重合时停止，则在这个运动过程中，△ABC 与四边形DEFG 的重合部分的面积S 与运动时间t 之间的函数关系图象大致是（ ）A．B．C．D．思路引领：分三种情况：①0≤t≤2时，由重叠部分为边长为t的等边三角形可得S=√34t2；②2＜t≤3时，由重叠部分即为△ABC得S=√34×22=√3；③3＜t≤5时由重叠部分是S△ABC﹣S△HEC且△HEC边长为t﹣3可得S=−√34t2+3√32t−5√34，据此可得答案．解：①当0≤t≤2时，如图1，由题意知CD＝t，∠HDC＝∠HCD＝60°，∴△CDH是等边三角形，则S=√34t2；②当2＜t≤3时，如图2，S=√34×22=√3；③当3＜t≤5时，如图3，根据题意可得CE＝CD﹣DE＝t﹣3，∠C＝∠HEC＝60°，∴△CEH为等边三角形，则S＝S△ABC﹣S△HEC=√34×22−√34（t﹣3）2=−√34t2+3√32t−5√34；综上，0≤t≤2时函数图象是开口向上的抛物线的一部分，2＜t≤3时函数图象是平行于x轴的一部分，当3＜t≤5时函数图象是开口向下的抛物线的一部分；故选：B．点睛：本题主要考查动点问题的函数图象，根据重叠部分形状的变化情况分类讨论是解题的关键．针对训练44．（2020•滁州模拟）在△EFG中，∠G＝90°，EG=FG=2√2，正方形ABCD的边长为1，将正方形ABCD和△EFG如图放置，AD与EF在一条直线上，点A与点E重合．现将正方形ABCD沿EF方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点A与点F重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）A．B．C．D．思路引领：分0≤t≤1、1＜t≤2、2＜t≤3、3＜t≤4分别求出函数表达式即可求解．解：EG=FG=2√2，则EF＝4，①当0≤t≤1时，如图1，设AB交EG于点H，则AE＝t＝AH，S=12×AE×AH=12t2，函数为开口向上的抛物线，当t＝1时，y=12；②当1＜t≤2时，如图2，设直线EG交BC于点G，交CD于点H，则ED＝AE﹣AD＝t﹣1＝HD，则CH＝CD﹣HD＝2﹣t＝CG，S＝S正方形ABCD﹣S△CGH＝1−12×CH×CG＝1−12（2﹣t）2，函数为开口向下的抛物线，当t＝2时，y＝1；③当2＜t≤3时，S＝S正方形ABCD＝1，④当3＜t≤4时，同理可得：S＝1−12（t﹣3）2，为开口向下的抛物线；故选：C．点睛：本题考查动点问题的函数过图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．第二部分专题提优练习1．（2021•罗湖区校级模拟）如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+√32PD的最小值等于（）A．√3B．3C．3√3D．2+2√3思路引领：过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，有锐角三角函数可得EP=√32PD，即PB+√32PD＝PB+PE，则当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE．解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，∵AB∥CD，∴∠EDP＝∠DAB＝60°，∴sin∠EDP=EPDP=√32，∴EP=√32PD∴PB+√32PD＝PB+PE∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，∵sin∠A=BEAB=√32，∴BE＝3√3，故选：C．点睛：本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．2．（2019•泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2B．4C．√2D．2√2思路引领：根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2=12CE，当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP，由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P=12CF，∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值，∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2，∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°，∴∠DP2P1＝90°，∴∠DP1P2＝45°，∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长，在等腰直角△BCP1中，CP1＝BC＝2，∴BP1＝2√2，∴PB的最小值是2√2．故选：D．点睛：本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．3．（2019•潍坊）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△P AB的周长最小时，S△P AB＝125．思路引领：根据轴对称，可以求得使得△P AB 的周长最小时点P 的坐标，然后求出点P 到直线AB 的距离和AB 的长度，即可求得△P AB 的面积，本题得以解决． 解：{y =x +1y =x 2−4x +5，解得，{x =1y =2或{x =4y =5，∴点A 的坐标为（1，2），点B 的坐标为（4，5）， ∴AB =√(5−2)2+(4−1)2=3√2，作点A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′B 与y 轴的交于P ，则此时△P AB 的周长最小， 点A ′的坐标为（﹣1，2），点B 的坐标为（4，5）， 设直线A ′B 的函数解析式为y ＝kx +b ， {−k +b =24k +b =5，得{k =35b =135， ∴直线A ′B 的函数解析式为y =35x +135， 当x ＝0时，y =135， 即点P 的坐标为（0，135），将x ＝0代入直线y ＝x +1中，得y ＝1， ∵直线y ＝x +1与y 轴的夹角是45°， ∴点P 到直线AB 的距离是：（135−1）×sin45°=85×√22=4√25， ∴△P AB 的面积是：3√2×4√252=125，故答案为：125．点睛：本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称﹣最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．4．（2020•长春一模）如图，直线y ＝x +1与抛物线y ＝x 2﹣4x +5交于A ，B 两点，点P 是y 轴上的一个动点，当△P AB 的周长最小时，点P 的坐标为 ．思路引领：首先确定点A 和点B 的坐标，然后根据轴对称，可以求得使得△P AB 的周长最小时点P 的坐标．解：{y =x +1y =x 2−4x +5，解得，{x =1y =2或{x =4y =5，∴点A 的坐标为（1，2），点B 的坐标为（4，5）， ∴AB =√(5−2)2+(4−1)2=3√2，作点A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′B 与y 轴的交于P ，则此时△P AB 的周长最小， 点A ′的坐标为（﹣1，2），点B 的坐标为（4，5）， 设直线A ′B 的函数解析式为y ＝kx +b ， {−k +b =24k +b =5，得{k =35b =135，∴直线A ′B 的函数解析式为y =35x +135， 当x ＝0时，y =135， 即点P 的坐标为（0，135），故答案为：（0，135）．点睛：本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称﹣最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．5．（2021春•汉阴县月考）如图，在三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，BC ＝11，把三角形ABC 向下平移至三角形DEF 后，AD ＝CG ＝6，则图中阴影部分的面积为 ．思路引领：先根据平移的性质得到AD ＝BE ＝6，EF ＝BC ＝11，S △ABC ＝S △DEF ，则BG ＝5，由于S阴影部分＝S 梯形BEFG ，所以利用梯形的面积公式计算即可．解：∵三角形ABC 向下平移至三角形DEF ， ∴AD ＝BE ＝6，EF ＝BC ＝11，S △ABC ＝S △DEF ， ∵BG ＝BC ﹣CG ＝11﹣6＝5， ∴S 梯形BEFG =12（5+11）×6＝48， ∵S 阴影部分+S △DBG ＝S △DBG +S 梯形BEFG ， ∴S 阴影部分＝S 梯形BEFG ＝48． 故答案为48．点睛：本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．6．（2021•仪征市二模）如图，Rt △ABC ≌Rt △FDE ，∠ABC ＝∠FDE ＝90°，∠BAC ＝30°，AC ＝4，将Rt △FDE 沿直线l 向右平移，连接BD 、BE ，则BD +BE 的最小值为 ．思路引领：根据平面直角坐标系，可以假设E（m，√3），则D（m+1，2√3），则BD+BE=√(m+1)2+(2√3)2+√m2+(√3)2，欲求BD+BE的最小值，相当于在x轴上找一点R（m，0），使得R到M（﹣1，2√3），N（0，√3）的距离和的最小值，如图1中，作点N关于x轴的对称点N′，连接MN′交x轴题意R，连接RN，此时RM+RN的值最小，最小值＝MN′的长．解：建立如图坐标系，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝4，∠BAC＝30°，∴BC=12AC＝2，AB=√3BC＝2√3，∴斜边AC上的高=2×2√34=√3，∵△ABC≌△FDE，∴EF＝AC＝4，斜边EF上的高为√3，∴可以假设E（m，√3），则D（m+1，2√3），∴BD+BE=√(m+1)2+(2√3)2+√m2+(√3)2，欲求BD+BE的最小值，相当于在x轴上找一点R（m，0），使得R到M（﹣1，2√3），N（0，√3）的距离和的最小值，如图1中，作点N关于x轴的对称点N′，连接MN′交x轴题意R，连接RN，此时RM+RN的值最小，最小值＝MN′=√12+(3√3)2=2√7，∴BD+BE的最小值为2√7，故答案为：2√7．点睛：本题考查轴对称最短问题，平面直角坐标系，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．7．（2019•乐山）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，直线l⊥AB．当直线l沿射线BC方向，从点B开始向右平移时，直线l与四边形ABCD的边分别相交于点E、F．设直线l向右平移的距离为x，线段EF的长为y，且y与x的函数关系如图2所示，则四边形ABCD的周长是．思路引领：根据题意和函数图象中的数据，可以得到AB、BC、AD的长，再根据平行线的性质和图形中的数据可以得到CD的长，从而可以求得四边形ABCD的周长．解：∵∠B＝30°，直线l⊥AB，∴BE＝2EF，由图可得，AB＝4cos30°＝4×√32=2√3，BC＝5，AD＝7﹣4＝3，由图象可得，AN＝5﹣4＝1，ND＝CM＝7﹣5＝2，DM＝2，∵∠B＝30°，EF⊥AB，∴∠M＝60°，又∵DM＝MC＝2，∴△DMC是等边三角形，∴DC＝DM＝2，∴四边形ABCD的周长是：AB+BC+AD+CD＝2√3+5+3+2＝10+2√3，故答案为：10+2√3．点睛：本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．（2019•大庆）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？思路引领：（1）由平行线得△ABC∽△ADE，根据相似形的性质得关系式；（2）由S=12•BD•AE；得到函数解析式，然后运用函数性质求解．解：（1）动点D运动x秒后，BD＝2x．又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x．∵DE∥BC，∴ADAB=AEAC，∴AE=6(8−2x)8=6−32x，∴y关于x的函数关系式为y=−32x+6（0＜x＜4）．（2）解：S△BDE=12⋅BD⋅AE=12×2x(−32x+6)=−32x2+6x（0＜x＜4）．当x=−62×(−32)=2时，S△BDE最大，最大值为6cm2．点睛：本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比是解题的关键．9．已知，大正方形的边长为4厘米，小正方形的边长为2厘米，状态如图所示．大正方形固定不动，把小正方形以1厘米/秒的速度向大正方形的内部沿直线平移，设平移的时间为t秒，两个正方形重叠部分的面积为S厘米2，完成下列问题：（1）平移到1.5秒时，重叠部分的面积为厘米2．（2）求小正方形在平移过程中，S与t的关系式．思路引领：（1）1.5秒时，小正方形向右移动1.5厘米，即可计算出重叠部分的面积；（2）分情况讨论：当0≤t＜2时，当2≤t≤4时，当4＜t≤6时，当t＞6时，分别用t表示出S即可．解：（1）1.5秒时，小正方形向右移动1.5厘米，S＝2×1.5＝3（厘米2）；故答案为：3；（2）分情况讨论：当0≤t＜2时，小正方形未完全进入大正方形，此时S＝2t；当2≤t≤4时，小正方形完全在大正方形内，此时S＝2×2＝4；当4＜t≤6时，小正方形逐渐离开大正方形，此时S＝2×2﹣2（t﹣4）＝12﹣2t；当t＞6时，无重叠部分，此时S＝0．综上所述：小正方形在平移过程中，当0≤t＜2时，S＝2t；当2≤t≤4时，S＝4；当4＜t≤6时，S＝12﹣2t；当t＞6时，S＝0．点睛：本题考查了正方形的性质，平移的性质，解决本题的关键是计算各个阶段S随t的变化规律．10．（2021•南通一模）如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝6cm，D是BC的中点．点E从A出发，以acm/s（a＞0）的速度沿AC匀速向点C运动，点F同时以1cm/s的速度从C出发，沿CB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，过点E作AC的垂线，交AD于点G，连接EF，FG．设它们运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t＝2时，△ECF∽△BCA，求a的值；（2）当a=12时，以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，求t的值；（3）当a＝2时，是否存在某个时间t，使△DFG是直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．思路引领：（1）先表示出CF ，AE ，EC ，由相似三角形的性质得出比例式建立方程求解即可得出结论；（2）先判断出△AEG ∽△ACD ，得出EG ，再判断出EG ＝DF ，最后分两种情况讨论，建立方程求解即可得出结论；（3）先表示出AG =52t 厘米，EG =32t ，DF ＝3﹣t 厘米，DG ＝5−52t （厘米），再分两种情况讨论，建立方程求解即可得出结论． 解：（1）∵t ＝2，∴CF ＝2厘米，AE ＝2a 厘米， ∴EC ＝（4﹣2a ） 厘米， ∵△ECF ∽△BCA ． ∴EC CB =CF AC．（2分）∴4−2a6=24．∴a =12．（2）由题意，AE =12t 厘米，CD ＝3厘米，CF ＝t 厘米． ∵EG ∥CD ， ∴△AEG ∽△ACD ． ∴EG CD=AEAC ，EG3=12t 4．∴EG =38t ．∵以点E 、F 、D 、G 为顶点的四边形是平行四边形， ∴EG ＝DF ．当0≤t ＜3时，38t =3−t ，∴t =2411．（7分）当3＜t ≤6时，38t =t −3，21 ∴t =245． 综上，t =2411或245 （3）∵点D 是BC 中点，∴CD =12BC ＝3，在Rt △ACD 中，根据勾股定理得，AD ＝5，由题意，AE ＝2t 厘米，CF ＝t 厘米，由（2）知，△AEG ∽△ACD ，∴AE AC =AG AD =EG CD ， ∴2t 4=AG 5=EG 3∴AG =52t 厘米，EG =32t ，DF ＝3﹣t 厘米，DG ＝5−52t （厘米）．若∠GFD ＝90°，则EG ＝CF ，32t =t ． ∴t ＝0，（舍去）若∠FGD ＝90°，则△ACD ∽△FGD ．∴AD CD=FD GD ， ∴53=3−t 5−52t ． ∴t =3219． 综上：t =3219，△DFG 是直角三角形．点睛：此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，分类讨论是解本题的关键．。
几何图形中的函数问题模块 第五讲动态几何中的函数问题
解：∵MN ∥AO ，∴MB BNBO AB=， ∵90C ∠=︒，AC BC =，6AB =，∴32BC =，∵O 是BC 边上的中点，∴322BO =，∵AN x =，BM y =， ∴66322y x-=∴()()26064x y x -=<<【点评】本题借助平行线找等量关系，难度一般，该方法在求函数关系式中是常用方法。
例2：已知：半圆O 的半径4OA =，P 是OA 延长线上一点，过线段OP 的中点B 作垂线交圆O 于点C ，射线PC 交圆O 于点D ，联结OD ． （1）若=AC CD ，求弦CD 的长．（2）若点C 在AD 上时，设=PA x ，CD y =，求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围. 解：（1）连接OC ，若当AC CD =时，有DOC POC ∠=∠∵BC 垂直平分OP , ∴4PC OC ==，∴∠P =∠POC =∠DOC ∴△DOC ∽△DPO ，∴DO DCDP DO= 设CD y =，则()164y y =+ ∴解得252y =- 即CD 的长为252-解：（2）作OE CD ⊥，垂足为E ， 可得12CE DE y ==∵P P ∠=∠，90PBC PEO ∠=∠=，∴△PBC ∽△PEO∴PB PC PE PO =， ∴442442x y x +=++ ∴28164x x y +-=(4244x -<<) 【点评】本题在圆的背景下展开，第二问借助相似三角形的性质找等量关系，也是求函数关系式的常用方法。
例3：如图，在四边形ABCD 中，∠B =90°，AD //BC ，AB =4，BC =12，点E 在边BA 的延长线上，AE =2，点F 在BC 边上，EF 与边AD 相交于点G ，DF ⊥EF ，设AG =x , DF =y ． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （2）当AD =11时，求AG 的长。
专题26 动态几何之面动形成的函数关系问题(压轴题)
《中考压轴题》专题26：动态几何之面动形成的函数关系问题一、选择题1. 如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是A．B．C．D．2. 如图，将足够大的等腰直角三角板PCD的锐角顶点P放在另一个等腰直角三角板PAB的直角顶点处，三角板PCD绕点P在平面内转动，且∠CPD的两边始终与斜边AB相交，PC交AB于点M，PD交AB于点N，设AB=2，AN=x，BM=y，则能反映y与x的函数关系的图象大致是A. B. C. D.3. 如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为A．B．C．8 D．4. 如图，矩形的长和宽分别是4和3，等腰三角形的底和高分别是3和4，如果此三角形的底和矩形的宽重合，并且沿矩形两条宽的中点所在的直线自右向左匀速运动至等腰三角形的底与另一宽重合．设矩形与等腰三角形重叠部分（阴影部分）的面积为y，重叠部分图形的高为x，那么y关于x的函数图象大致应为A．B．C．D．5. 如图，将边长为4的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是2和4的Rt△GEF的一边GF重合．正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运动．设正方形的运动时间为t秒，正方形ABCD与Rt△GEF重叠部分面积为s，则s关于t的函数图象为6. 如图，点G、E、A、B在一条直线上，Rt△EFG从如图所示是位置出发，沿直线AB向右匀速运动，当点G与B重合时停止运动．设△EFG与矩形AB CD重合部分的面积为S，运动时间为t，则S与t的图象大致是A．B．C．D．7、如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=23cm，E为CD边上的中点，点P从点A沿折线AE﹣EC运动到点C时停止，点Q从点A沿折线AB﹣BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．如果点P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△APQ的面积为y（cm2），则y与t的函数关系的图象可能是（）A．B．C．D．二、解答题1. 如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=4，DE=43，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：（1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME的度数．（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．2. 已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）如图①，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点E．是否存在一点P，使线段PE的长最大？若存在，求出PE长的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图②，过点A作y轴的平行线，交直线BC于点F，连接DA、DB．四边形OAFC沿射线CB方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点C与点B重合时立即停止运动．设运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积为S，请求出S与t的函数关系式．3. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC 重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．4.已知：在矩形ABCD中，E为边BC上的一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF。
动态几何之——面动问题
） ．
的 方 向 向 右平 移 ５个 单 位 ， 得到矩形 Ａ 。 Ｂ 。 Ｃ 。 Ｄ。 ，
第 ２次平移将矩形 Ａ ． Ｂ 。 Ｃ ． Ｄ． 沿Ａ 。 Ｂ。 的方 向向右平 移 ５个单位 ， 得到矩形 Ａ Ｂ ： Ｃ ： Ｄ …，
的位置时 ， 线段 Ａ Ｆ、 Ｂ Ｆ 、 Ｏ Ｅ之 间又有 怎样 的关系？请 直
接 写 出你 的猜 想 ， 并 选择一种情况给予证明．
： ＢＧ ． ＢＦ ＝ ＧＥ．
在正 方 形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中， Ｏ Ａ ＝Ｏ Ｂ，
之一 ， 面 动 问题 就 是 在 一 些基 本 几何 图形 上 ， 设 计 一 个 动
面（ 包括平移和旋转 ） ， 或 由点动 、 线动形成 面动 ， 并对 面 在运动变化 的过程中产生的等量关系、 变量关 系、 图形 的 特殊状 态、 图形间的特殊关系等进行研 究． 下面结合 ２ ０ １ ３ 年全国各地 中考 的实 例， 对动态 几何之面 动问题进行 简 单的分类探讨 ， 望对同学们 的学习能有所帮助．
例 １ 如图 １ ＝（ ｒ ｔ ＋１ ） ×５＋１ 求 出 ｎ即可．
解
图１
Ｂ Ｃ ， 点 Ｄ、 Ｅ分别 是边 Ａ Ｂ 、 Ａ Ｃ的
（ １ ） ‘ ． 。 Ａ Ｂ＝６ ， 第 １次平 移将矩 形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ沿 Ａ Ｂ
中点 ， 将 ＡＡ Ｄ Ｅ绕点 Ｅ旋转 １ ８ ０ 。 得
ＡＡｌ＝５ ， Ａｌ Ａ２＝ ５，
Ａ ． 矩 形 分析
Ｂ ． 菱形
Ｃ ． 正方形
Ｄ ． 梯形
‘ ．
．
根 据旋转 的性质 可得 Ａ Ｅ＝Ｃ Ｅ， Ｄ Ｅ＝Ｅ Ｆ， 再
专题25 动态几何之线动形成的函数关系问题(压轴题)-决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品(解析版)
一、选择题1．（2016浙江省温州市）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =2．P 是AB 边上一动点，PD ⊥AC 于点D ，点E 在P 的右侧，且PE =1，连结CE ．P 从点A 出发，沿AB 方向运动，当E 到达点B 时，P 停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S 1+S 2的大小变化情况是（ ）A ．一直减小B ．一直不变C ．先减小后增大D ．先增大后减小【答案】C ．【分析】设PD =x ，AB 边上的高为h ，想办法求出AD 、h ，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．【解析】在RT△ABC 中，∵∠ACB =90°，AC =4，BC =2，∴AB =22AC BC +=2242+=25，设PD =x ，AB 边上的高为h ，h =AC BC AB ⋅=45，∵PD ∥BC ，∴PD AD BC AC =，∴AD =2x ，AP =5x ，∴S 1+S 2=12•2x •x +145(2515)2x --⋅=22524x x -+-=225(1)3x -+-，∴当0＜x ＜1时，S 1+S 2的值随x 的增大而减小，当1≤x ≤2时，S 1+S 2的值随x 的增大而增大．故选C ．考点：动点问题的函数图象．2．（2016湖北省荆门市）如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，动点P 从点A 出发，在正方形的边上沿A →B →C 的方向运动到点C 停止，设点P 的运动路程为x （cm ），在下列图象中，能表示△ADP 的面积y （cm 2）关于x （cm ）的函数关系的图象是（ ）A．B．C．D．【答案】A．【分析】△ADP的面积可分为两部分讨论，由A运动到B时，面积逐渐增大，由B运动到C时，面积不变，从而得出函数关系的图象．【解析】当P点由A运动到B点时，即0≤x≤2时，y=12×2x=x，当P点由B运动到C点时，即2＜x＜4时，y=12×2×2=2，符合题意的函数关系的图象是A；故选A．考点：动点问题的函数图象．3．（2016湖北省鄂州市）如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A﹣B﹣M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s．设P点的运动时间为t（s），点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S（cm2），则描述面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象可以是（）A．B．C．D．【答案】A．【分析】分两种情况：①当0≤t＜4时，作O M⊥AB于M，由正方形的性质得出∠B=90°，AD=AB=BC=4cm，A M=B M=O M=12AB=2cm，由三角形的面积得出S=12AP•O M=t（cm2）；②当t≥4时，S=△OA M的面积+梯形O M BP的面积=t（cm2）；得出面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象是过原点的线段，即可得出结论．考点：动点问题的函数图象．4．（2016甘肃省白银市）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】过A点作AH⊥BC于H，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，BH=CH=AH=12BC=2，当0≤x≤2时，如图1，∵∠B=45°，∴PD=BD=x，∴y=12•x•x=212x；当2＜x≤4时，如图2，∵∠C=45°，∴PD=CD=4﹣x，∴y=12•（4﹣x）•x=2122x x-+，故选A．考点：动点问题的函数图象；分类讨论．5．（2016青海省）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A 出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B．【分析】根据点P在AD、DE、EF、FG、GB上时，△ABP的面积S与时间t的关系确定函数图象．考点：动点问题的函数图象；分段函数；分类讨论；压轴题．6．（2016青海省西宁市）如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C=34，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（）A．18cm2B．12cm2C．9cm2D．3cm2【答案】C．【分析】先根据已知求边长BC，再根据点P和Q的速度表示BP和BQ的长，设△PBQ的面积为S，利用直角三角形的面积公式列关于S与t的函数关系式，并求最值即可．【解析】∵tan∠C=34，AB=6cm，∴6ABBC BC=34，∴BC=8，由题意得：A P=t，BP=6﹣t，BQ=2t，设△PBQ的面积为S，则S=12×BP×BQ=12×2t×（6﹣t），S=26t t-+=2(3)9t--+，P：0≤t≤6，Q：0≤t≤4，∴当t=3时，S有最大值为9，即当t=3时，△PBQ的最大面积为9cm2；故选C．考点：解直角三角形；二次函数的最值；最值问题；动点型．7．（2016青海省西宁市）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C． D．【答案】A．【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y与x的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．【解析】作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，若右图所示，由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y，∵AD∥x轴，∴∠DAO+∠AOD=180°，∴∠DAO=90°，∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠OAB=∠DAC，在△OAB和△DAC中，∵∠AOB=∠ADC，∠OAB=∠DAC，AB=AC，∴△OAB≌△DAC（AAS），∴OB=CD，∴CD=x，∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A 到x的距离1，∴y=x+1（x＞0）．故选A．考点：动点问题的函数图象．8．（2015盐城）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）A． B． C． D．【答案】B．考点：1．动点问题的函数图象；2．分段函数；3．分类讨论；4．压轴题．9．（2015荆州）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA 运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）A． B． C． D．【答案】C．考点：1．动点问题的函数图象；2．分段函数．10．（2015邵阳）如图，在等腰△ABC中，直线l垂直底边BC，现将直线l沿线段BC从B点匀速平移至C 点，直线l与△ABC的边相交于E、F两点．设线段EF的长度为y，平移时间为t，则下图中能较好反映y 与t的函数关系的图象是（）A． B． C． D．【答案】B．考点：1．动点问题的函数图象；2．数形结合．11．（2014年甘肃兰州4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是（）A． B． C． D．【答案】D．【考点】1．动点问题的函数图象；2．正方形的性质；3．二次函数的性质和图象；4．分类思想的应用．【分析】根据三角形的面积即可求出S与t的函数关系式，根据函数关系式选择图象：①当0≤t≤4时，S=12×t×t=12t2，即S=12t2，该函数图象是开口向上的抛物线的一部分．故B、C错误；②当4＜t ≤8时，S =16﹣12×（t ﹣4）×（t ﹣4），即S =﹣12t 2+4t +8，该函数图象是开口向下的抛物线的一部分．故A 错误．故选D ． 12．（2014年内蒙古赤峰3分）如图，一根长为5米的竹竿AB 斜立于墙AC 的右侧，底端B 与墙角C 的距离为3米，当竹竿顶端A 下滑x 米时，底端B 便随着向右滑行y 米，反映y 与x 变化关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A ． 【考点】1．动线问题的函数问题；2．勾股定理；3． 排他法的应用．【分析】应用排他法解题：∵AB =5，BC =3，∴由勾股定理，得AC =4∴如答图，11A C 4x,CB 3y =-=+ .∵2221111A B A C CB =+，∴()()22254x 3y =-++ .∴y 与x 的变化关系不是一次函数的关系，选项B ，C 错误．故选A ．二、填空题三、解答题13．（2016黑龙江省龙东地区）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点O 是坐标原点，点A 在第一象限，点C 在第四象限，点B 在x 轴的正半轴上．∠OAB =90°且OA =AB ，OB ，OC 的长分别是一元二次方程211300x x -+=的两个根（OB ＞OC ）．（1）求点A 和点B 的坐标．（2）点P 是线段OB 上的一个动点（点P 不与点O ，B 重合），过点P 的直线l 与y 轴平行，直线l 交边OA或边AB 于点Q ，交边OC 或边BC 于点R ．设点P 的横坐标为t ，线段QR 的长度为m ．已知t =4时，直线l 恰好过点C ．当0＜t ＜3时，求m 关于t 的函数关系式．（3）当m=3.5时，请直接写出点P 的坐标．【答案】（1）A （3，3）， B （6，0）；（2）m=74t （0＜t ＜3）；（3）P （2，0）或（235，0）．（3）利用待定系数法求出直线AB 的解析式为y =﹣x +6，直线BC 的解析式为392y x =-，然后分类讨论：当0＜t ＜3时，利用74t =3.5可求出t 得到P 点坐标； 当3≤t ＜4时，则Q （t ，﹣t +6），R （t ，34-t ），于是得到﹣t +6﹣（34-t ）=3.5，解得t =10，不满足t 的范围舍去；当4≤t ＜6时，则Q （t ，﹣t +6），R （t ，392t -），所以﹣t +6﹣（392t -）=3.5，然后解方程求出t 得到P 点坐标．【解析】（1）∵方程211300x x -+=的解为1x =5，2x =6，∴OB =6，OC =5，∴B 点坐标为（6，0），作A M⊥x 轴于M ，如图，∵∠OAB =90°且OA =AB ，∴△AOB 为等腰直角三角形，∴O M=B M=A M=12OB =3，∴A 点坐标为（3，3）；（2）作CN ⊥x 轴于N ，如图，∵t =4时，直线l 恰好过点C ，∴ON =4，在Rt△OCN 中，CN =22OC ON -=2254-=3，∴C 点坐标为（4，﹣3），设直线OC 的解析式为y =kx ，把C （4，﹣3）代入得4k =﹣3，解得k =34-，∴直线OC 的解析式为34y x =-，设直线OA 的解析式为y =ax ，把A （3，3）代入得3a =3，解得a =1，∴直线OA 的解析式为y =x ，∵P （t ，0）（0＜t ＜3），∴Q （t ，t ），R （t ，34-t ），∴QR =t ﹣（34-t ）=74t ，即m=74t （0＜t ＜3）； （3）设直线AB 的解析式为y =px +q ，把A （3，3），B （6，0）代入得：3360p q p q +=⎧⎨+=⎩，解得：16p q =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为y =﹣x +6，同理可得直线BC 的解析式为392y x =-； 当0＜t ＜3时，m=74t ，若m=3.5，则74t =3.5，解得t =2，此时P 点坐标为（2，0）； 当3≤t ＜4时，Q （t ，﹣t +6），R （t ，34-t ），∴m=﹣t +6﹣（34-t ）=14-t +6，若m=3.5，则14-t +6=3.5，解得t =10（不合题意舍去）；当4≤t ＜6时，Q （t ，﹣t +6），R （t ，392t -），∴m=﹣t +6﹣（392t -）=52-t +15，若m=3.5，则52-t +15=3.5，解得t =235，此时P 点坐标为（235，0），综上所述，满足条件的P 点坐标为（2，0）或（235，0）．考点：四边形综合题；动点型；分类讨论；压轴题．14．（2016山东省青岛市）已知：如图，在矩形ABCD 中，Ab =6cm ，BC =8cm ，对角线AC ，BD 交于点0．点P 从点A 出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm/s ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO 并延长，交BC 于点E ，过点Q 作QF ∥AC ，交BD 于点F ．设运动时间为t （s ）（0＜t ＜6），解答下列问题：（1）当t 为何值时，△AOP 是等腰三角形？（2）设五边形OECQF 的面积为S （cm 2），试确定S 与t 的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）t为258或5；（2）2131232S t t=-++；（3）t=92；（4）t=2.88．【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理得到AC=10，①当AP=PO=t，如图1，过P作P M⊥AO，根据相似三角形的性质得到AP=t=258，②当AP=AO=t=5，于是得到结论；（2）作EH⊥AC于H，Q M⊥AC于M，DN⊥AC于N，交QF于G，根据全等三角形的性质得到CE=AP=t，根据相似三角形的性质表示出EH，根据相似三角形的性质表示出Q M，FQ，根据图形的面积即可得到结论；（3）根据题意列方程得到t的值，于是得到结论；（4）由角平分线的性质得到DM的长，根据勾股定理得到ON的长，由三角形的面积公式表示出OP，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解析】（1）∵在矩形ABCD中，Ab=6cm，BC=8cm，∴AC=10，①当AP=PO=t，如图1，过P作P M⊥AO，∴A M=12AO=52，∵∠P MA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD，∴△AP M∽△ADC，∴AP AMAC AD=，∴AP=t=258，②当AP=AO=t=5，∴当t为258或5时，△AOP是等腰三角形；（2）作EH⊥AC于H，Q M⊥AC于M，DN⊥AC于N，交QF于G，在△APO与△CEO中，∵∠PA O=∠ECO，AO=OC，∠AOP=∠COE，∴△AOP≌△COE，∴CE=AP=t，∵△CEH∽△ABC，∴EH CEAB AC=，∴EH=35t，∵DN=AD CDAC⋅=245，∵Q M∥DN，∴△CQ M∽△CDN，∴QM CQDN CD=，即62465QM t-=，∴Q M=2445t-，∴DG=2424455t--=45t，∵FQ∥AC，∴△DFQ∽△DOC，∴FQ DGOC DN=，∴FQ=56t，∴S五边形OECQF=S△OEC+S四边形OCQF =13152445(5)25265tt t-⨯⨯++⋅=2131232t t-++，∴S与t的函数关系式为2131232S t t=-++；（3）存在，∵S△ACD=12×6×8=24，∴S五边形OECQF：S△ACD=（2131232t t-++）：24=9：16，解得t=92，t=0，（不合题意，舍去），∴t=92时，S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16；（4）如图3，过D作DM⊥AC于M，DN⊥AC于N，∵∠POD=∠COD，∴DM=DN=245，∴ON=O M=22OD DN-=75，∵OP•DM=3PD，∴OP=558t-，∴P M=18558t-，∵222PD PM DM=+，∴22218524(8)()()585t t-=-+，解得：t≈15（不合题意，舍去），t≈2.88，∴当t=2.88时，OD平分∠COP．考点：四边形综合题；动点型；分类讨论；存在型；压轴题．15．（2016内蒙古赤峰市）（12分）如图，正方形ABCD的边长为3cm，P，Q分别从B，A出发沿BC，AD方向运动，P点的运动速度是1cm/秒，Q点的运动速度是2cm/秒，连接A，P并过Q作QE⊥AP垂足为E．（1）求证：△ABP∽△QEA；（2）当运动时间t为何值时，△ABP≌△QEA；（3）设△QEA的面积为y，用运动时刻t表示△QEA的面积y（不要求考t的取值范围）．（提示：解答（2）（3）时可不分先后）【答案】（1）证明见解析；（2）t3（3）2269tyt=+．【分析】（1）根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质证明即可；（2）根据全等三角形的判定和性质，利用勾股定理解答即可；（3）根据相似三角形的性质得出函数解析式即可．考点：相似形综合题；动点型．16．（2016浙江省湖州市）如图，已知二次函数2y x bx c =-++（b ，c 为常数）的图象经过点A （3，1），点C （0，4），顶点为点M ，过点A 作AB ∥x 轴，交y 轴于点D ，交该二次函数图象于点B ，连结BC ．（1）求该二次函数的解析式及点M 的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移m （m ＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边界），求m 的取值范围；（3）点P 是直线AC 上的动点，若点P ，点C ，点M 所构成的三角形与△BCD 相似，请直接写出所有点P 的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．【答案】（1）224y x x =-++，M （1，5）；（2）2＜m ＜4；（3）P 1（13，113），P 2（13-，133），P 3（3，1），P 4（﹣3，7）．【分析】（1）将点A 、点C 的坐标代入函数解析式，即可求出b 、c 的值，通过配方法得到点M 的坐标；（2）点M 是沿着对称轴直线x =1向下平移的，可先求出直线AC 的解析式，将x =1代入求出点M 在向下平移时与AC 、AB 相交时y 的值，即可得到m 的取值范围；（3）由题意分析可得∠M CP =90°，则若△P CM 与△BCD 相似，则要进行分类讨论，分成△P CM∽△BDC 或△P CM∽△CDB 两种，然后利用边的对应比值求出点坐标．【解析】（1）把点A （3，1），点C （0，4）代入二次函数2y x bx c =-++，得：23314b c c ⎧-++=⎨=⎩ 解得：24b c =⎧⎨=⎩，∴二次函数解析式为224y x x =-++，配方得2(1)5y x =--+，∴点M 的坐标为（1，5）； （2）设直线AC 解析式为y =kx +b ，把点A （3，1），C （0，4）代入得：314k b b +=⎧⎨=⎩ 解得：14k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AC 的解析式为y =﹣x +4，如图所示，对称轴直线x =1与△ABC 两边分别交于点E 、点F ．把x =1代入直线AC 解析式y =﹣x +4解得y =3，则点E 坐标为（1，3），点F 坐标为（1，1），∴1＜5﹣m ＜3，解得2＜m ＜4；（3）连接M C ，作M G ⊥y 轴并延长交AC 于点N ，则点G 坐标为（0，5）．∵M G =1，GC =5﹣4=1，∴M C 22MG CG +2211+2y =5代入y =﹣x +4解得x =﹣1，则点N 坐标为（﹣1，5），∵NG =GC ，G M=GC ，∴∠NCG =∠G CM=45°，∴∠N CM=90°，由此可知，若点P 在AC 上，则∠M CP =90°，则点D 与点C 必为相似三角形对应点．①若有△P CM∽△BDC ，则有MC CD CP BD =，∵BD =1，CD =3，∴CP =MC BD CD ⋅=213=23，∵CD =DA =3，∴∠DCA =45°，若点P 在y 轴右侧，作PH⊥y 轴，∵∠PCH =45°，CP =23，∴PH=22313，把x =13代入y =﹣x +4，解得y =113，∴P 1（13，113）； 同理可得，若点P 在y 轴左侧，则把x =13-代入y =﹣x +4，解得y =133，∴P 2（13-，133）； ②若有△P CM∽△CDB ，则有MC BD CP CD =，∴CP =231=32PH=322=3； 若点P 在y 轴右侧，把x =3代入y =﹣x +4，解得y =1；若点P 在y 轴左侧，把x =﹣3代入y =﹣x +4，解得y =7∴P 3（3，1）；P 4（﹣3，7），∴所有符合题意得点P 坐标有4个，分别为P 1（13，113），P 2（13-，133），P 3（3，1），P 4（﹣3，7）．考点：二次函数综合题；二次函数图象及其性质；分类讨论；动点型；平移的性质；二次函数图象与几何变换；压轴题．17．（2016湖北省襄阳市）如图，已知点A 的坐标为（﹣2，0），直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 和点C ，连接AC ，顶点为D 的抛物线2y ax bx c =++过A 、B 、C 三点．（1）请直接写出B 、C 两点的坐标，抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）设抛物线的对称轴DE 交线段BC 于点E ，P 是第一象限内抛物线上一点，过点P 作x 轴的垂线，交线段BC 于点F ，若四边形DEFP 为平行四边形，求点P 的坐标；（3）设点M 是线段BC 上的一动点，过点M 作M N ∥AB ，交AC 于点N ，点Q 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA 向点A 运动，运动时间为t （秒），当t （秒）为何值时，存在△Q M N 为等腰直角三角形？【答案】（1）B （4，0），C （0，3），233384y x x =-++，D （1，278）；（2）P （3，158）；（3）t =83或143或72． 【分析】（1）分别令y =0和x =0代入334y x =-+即可求出B 和C 的坐标，然后设抛物线的交点式为y =a （x +2）（x ﹣4），最后把C 的坐标代入抛物线解析式即可求出a 的值和顶点D 的坐标； （2）若四边形DEFP 为平行四边形时，则DP ∥BC ，设直线DP 的解析式为y =m x +n ，则m=34-，求出直线DP 的解析式后，联立抛物线解析式和直线DP 的解析式即可求出P 的坐标；【解析】（1）令x =0代入334y x =-+ ∴y =3，∴C （0，3），令y =0代入334y x =-+，∴x =4，∴B （4，0），设抛物线的解析式为：y =a （x +2）（x ﹣4），把C （0，3）代入y =a （x +2）（x ﹣4），∴a =38-，∴抛物线的解析式为：y =38-（x +2）（x ﹣4），即233384y x x =-++，∴顶点D 的坐标为（1，278）； （2）当DP ∥BC 时，此时四边形DEFP 是平行四边形，设直线DP 的解析式为y =m x +n ，∵直线BC 的解析式为：334y x =-+，∴m=34-，∴34y x n =-+，把D （1，278）代入34y x n =-+，∴n =338，∴直线DP 的解析式为33348y x =-+，∴联立：23338433348y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得：x =3或x =1（舍去），∴把x =3代入33348y x =-+，y =158，∴P 的坐标为（3，158）；②如图2，当∠Q NM=90°时，∵QB =t ，∴点Q 的坐标为（4﹣t ，0）∴令x =4﹣t 代入332y x =+，∴y =9﹣32t ，∴N （4﹣t ，9﹣32t ），∵M N ∥x 轴，∴点M 的纵坐标为9﹣32t ，∴令y =9﹣32t 代入334y x =-+，∴x =2t ﹣8，∴M（2t ﹣8，9﹣32t ），∴M N =（2t ﹣8）﹣（4﹣t ）=3t ﹣12，∵NQ ∥OC ，∴△AQN ∽△AOC ，∴NQ AQ OC OA =，∴NQ =9﹣32t ，当NQ =M N 时，∴9﹣32t =3t ﹣12，t =143，∴此时QB =143，符合题意； ③如图3，当∠NQ M=90°，过点Q 作QE ⊥M N 于点E ，过点M 作M F ⊥x 轴于点F ，设QE =a ，令y =a 代入334y x =-+，∴x =4﹣43a ，∴M（4﹣43a ，a ），令y =a 代入332y x =+，∴x =23a ﹣2，∴N （23a ﹣2，0），∴M N =（4﹣43a ）﹣（23a ﹣2）=6﹣2a ，当M N =2QE 时，∴6﹣2a =2a ，∴a =32，∴M F =QE =32，∵M F ∥OC ，∴△B M F ∽△BCO ，∴MF BF OC OB =，∴BF =2，∴QB =QF +BF =32+2=72，∴t =72，此情况符合题意． 综上所述，当△Q M N 为等腰直角三角形时，此时t =83或143或72．考点：二次函数综合题；动点型；存在型；分类讨论；压轴题．18．（2016甘肃省天水市）如图，二次函数2y ax bx c =++的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，且B （1，0），C （0，3），将△BOC 绕点O 按逆时针方向旋转90°，C 点恰好与A 重合．（1）求该二次函数的解析式；（2）若点P 为线段AB 上的任一动点，过点P 作PE ∥AC ，交BC 于点E ，连结CP ，求△PCE 面积S 的最大值；（3）设抛物线的顶点为M ，Q 为它的图象上的任一动点，若△O M Q 为以O M 为底的等腰三角形，求Q 点的坐标．【答案】（1）223y x x =--+；（2）S △PCE 的最大值为32；（3）Q （91378-+，813732），或（91378-，5913732-）．【分析】（1）先求出点A 坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式； （2）先求出S △PCE =S △PBC ﹣S △PBE ，即可求出最大面积；（3）先求出抛物线顶点坐标，由等腰三角形的两腰相等建立方程求出点Q 坐标． 【解析】（1）∵B （1，0），C （0，3），∴OB =1，OC =3．∵△BOC 绕点O 按逆时针方向旋转90°，C 点恰好与A 重合，∴OA =OC =3，∴A （﹣3，0），∵点A ，B ，C 在抛物线上，∴93009a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，∴123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴二次函数的解析式为223y x x =--+；（2）设点P （x ，0），则PB =1﹣x ，∴S △PBE =23(1)8x -，∴S △PCE =S △PBC ﹣S △PBE =12PB ×OC ﹣23(1)8x -=213(1)3(1)28x x -⨯--=233(1)82x --+，当x =1时，S △PCE 的最大值为32． （3）∵二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标（﹣1，4），∵△O M Q 为等腰三角形，O M 为底，∴M Q =OQ ，∴222(1)(234)x x x ++--+-=222(23)x x x +--+，∴281870x x +-=，∴x =9137-±，∴y =8137+或y =59137-，∴Q （9137-+，8137+），或（9137--，5913732-）．考点：二次函数综合题；动点型；旋转的性质；最值问题；二次函数的最值；综合题．19．（2016福建省漳州市）（满分12分）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 和点B （3，0），与y 轴交于点C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 是抛物线在x 轴下方上的动点，过点M 作M N //y 轴交直线BC 于点N ，求线段M N 的最大值； （3）在（2）的条件下，当M N 取最大值时，在抛物线的对称轴l 上是否存在点P ，使△PBN 是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）243y x x =-+；（2）94；（3）（2，12）、（2142）、（2，142-）、（2317-）或（2，317+． 【分析】（1）由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设出点M 的坐标以及直线BC 的解析式，由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，结合点M 的坐标即可得出点N 的坐标，由此即可得出线段M N 的长度关于m 的函数关系式，再结合点M 在x 轴下方可找出m 的取值范围，利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）假设存在，设出点P 的坐标为（2，n ），结合（2）的结论可求出点N 的坐标，结合点N 、B 的坐标利用两点间的距离公式求出线段PN 、PB 、BN 的长度，根据等腰三角形的性质分类讨论即可求出n 值，从而得出点P 的坐标．【解析】（1）将点B （3，0）、C （0，3）代入抛物线c bx x y ++=2中，得0933b c c =++⎧⎨=⎩：，解得：43b c =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为243y x x =-+；（2）设点M 的坐标为（m ，243m m -+），设直线BC 的解析式为y =kx +3，把点点B （3，0）代入y =kx +3中，得：0=3k +3，解得：k =﹣1，∴直线BC 的解析式为y =﹣x +3．∵M N ∥y 轴，∴点N 的坐标为（m ，﹣m+3）．∵抛物线的解析式为243y x x =-+=2(2)1x --，∴抛物线的对称轴为x =2，∴点（1，0）在抛物线的图象上，∴1＜m ＜3．∵线段M N =﹣m+3﹣（243m m -+）=23m m -+=239()24m --+，∴当m=32时，线段M N 取最大值，最大值为94； （3）假设存在．设点P 的坐标为（2，n ）．当m=32时，点N 的坐标为（32，32），∴PB =22(23)(0)n -+-=21n +，PN =2233(2)()22n -+-，BN =2233(3)(0)22-+-=322． △PBN 为等腰三角形分三种情况：综上可知：在抛物线的对称轴l 上存在点P ，使△PBN 是等腰三角形，点的坐标为（2，12）、（2，142）、（2，14-）、（2，317-）或（2，317+）． 考点：二次函数综合题；分类讨论；动点型；最值问题；二次函数的最值；存在型；压轴题．20．（2016黑龙江省哈尔滨市）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线22y ax ax c =++经过A （﹣4，0），B （0，4）两点，与x 轴交于另一点C ，直线y =x +5与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是第二象限抛物线上的一个动点，连接EP ，过点E 作EP 的垂线l ，在l 上截取线段EF ，使EF =EP ，且点F 在第一象限，过点F 作F M ⊥x 轴于点M ，设点P 的横坐标为t ，线段F M 的长度为d ，求d 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点E 作EH ⊥ED 交M F 的延长线于点H ，连接DH ，点G 为DH 的中点，当直线PG 经过AC 的中点Q 时，求点F 的坐标．【答案】（1）2142y x x =--+；（2）d ==5+t ；（3）F （46-，56-）． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）如图1，作辅助线构建两个直角三角形，利用斜边PE =EF 和两角相等证两直角三角形全等，得PA′=EB ′，则d =F M=OE ﹣EB ′代入列式可得结论，但要注意PA′=﹣t ；（3）如图2，根据直线EH 的解析式表示出点F 的坐标和H 的坐标，发现点P 和点H 的纵坐标相等，则PH 与x 轴平行，根据平行线截线段成比例定理可得G 也是PQ 的中点，由此表示出点G 的坐标并列式，求出t 的值并取舍，计算出点F 的坐标．【解析】（1）把A （﹣4，0），B （0，4）代入22y ax ax c =++得：16804a a c c -+=⎧⎨=⎩，解得：124a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以抛物线解析式为2142y x x =--+； （2）如图1，分别过P 、F 向y 轴作垂线，垂足分别为A ′、B ′，过P 作PN ⊥x 轴，垂足为N ，由直线DE 的解析式为：y =x +5，则E （0，5），∴OE =5，∵∠PEO +∠OEF =90°，∠PEO +∠E PA′=90°，∴∠E PA′=∠OEF ，∵PE =EF ，∠EA ′P =∠EB ′F =90°，∴△PEA ′≌△EFB ′，∴PA′=EB ′=﹣t ，则d =F M=OB ′=OE ﹣EB ′=5﹣（﹣t ）=5+t ；（3）如图2，由直线DE 的解析式为：y =x +5，∵EH ⊥ED ，∴直线EH 的解析式为：y =﹣x +5，∴FB ′=A ′E =5﹣（2142t t --+）=2112t t ++，∴F （2112t t ++，5+t ），∴点H 的横坐标为：2112t t ++，y =21152t t ---+=2142t t --+，∴H （2112t t ++，2142t t --+），∵G 是DH 的中点，∴G （215122t t -+++，21422t t --+），∴G （211242t t +-，211242t t --+），∴PH ∥x 轴，∵DG =GH ，∴PG =GQ ，∴21112242t t t -+=+-，t =6±，∵P 在第二象限，∴t ＜0，∴t =6-，∴F （46-，56-）．考点：二次函数综合题；动点型；压轴题．21．（2015广东深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y =－2x ＋b （b ≥0）的位置随b 的不同取值而变化．（1）已知⊙M 的圆心坐标为（4，2），半径为2．当b = 时，直线l ：y =－2x ＋b （b ≥0）经过圆心M ： 当b = 时，直线l ：y =－2x ＋b （b ≥0）与O M 相切：（2）若把⊙M 换成矩形ABCD ，其三个顶点坐标分别为：A （2，0）、B （6，0）、C （6，2）． 设直线l 扫过矩形ABCD 的面积为S ，当b 由小到大变化时，请求出S 与b 的函数关系式，【答案】解：（1）10；1025±．（2）由A （2，0）、B （6，0）、C （6，2），根据矩形的性质，得D （2，2）． 如图，当直线l 经过A （2，0）时，b =4；当直线l 经过D （2，2）时，b =6；当直线l 经过B （6，0）时，b =12；当直线l 经过C （6，2）时，b =14． 当0≤b ≤4时，直线l 扫过矩形ABCD 的面积S 为0．当4＜b ≤6时，直线l 扫过矩形ABCD 的面积S 为△EFA 的面积（如图1），在 y =－2x ＋b 中，令x =2，得y =－4＋b ，则E （2，－4＋b ）， 令y =0，即－2x ＋b =0，解得x =1b 2，则F （1b 2，0）． ∴AF =1b 22-，AE =－4＋b ．∴S =()21111AF AE b 24b b 2b+42224⎛⎫⋅⋅=⋅-⋅= ⎪⎝⎭－＋－．当6＜b ≤12时，直线l 扫过矩形ABCD 的面积S 为直角梯形DHGA 的面积（如图2），在 y =－2x ＋b 中，令y =0，得x =1b 2，则G （1b 2，0），令y =2，即－2x ＋b =2，解得x =1b 12-，则H （1b 12-，2）．∴DH =1b 32-，AG =1b 22-．AD =2∴S =()()11DH+AG AD b 52b 522⋅⋅=⋅-⋅=-．∴P （21b,b 55）．由P M=2，勾股定理得，2221b +b 455⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-4 -2，化简得24b 20b+80=0-．解得b=1025±（2）求出直线l 经过点A 、B 、C 、D 四点时b 的值，从而分0≤b ≤4，4＜b ≤6，6＜b ≤12，12＜b ≤14，b ＞14五种情况分别讨论即可．22．（2015湖北黄石）已知抛物线C 1的函数解析式为2y ax bx 3a(b 0)=+-<，若抛物线C 1经过点(0,3)-，方程2ax bx 3a 0+-=的两根为1x ，2x ，且12x x 4-=．（1）求抛物线C 1的顶点坐标． （2）已知实数x 0>，请证明：1x x +≥2，并说明x 为何值时才会有1x 2x+=. （3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C 2，设1A(m,y )， 2B(n,y )是C 2上的两个不同点，且满足： 00AOB 9∠=，m 0>，n 0<.请你用含有m 的表达式表示出△AOB 的面积S ，并求出S 的最小值及S 取最小值时一次函数OA 的函数解析式．（参考公式：在平面直角坐标系中，若11P(x ,y )，22Q(x ,y )，则P ，Q 222121(x x )(y y )-+-（3）由平移的性质，得C2的解析式为：y＝x2．∴Ａ（m，m2），B（n，n2）．由BOD △ ∽OAC △得 BD ODOC AC =，即22n n m m -=．∴mn 1=-． ∴1111S mn(m n)=m+2122m 2⎛⎫=--≥⋅= ⎪⎝⎭． ∴ＳΔAOB 的最小值为１，此时m ＝１，Ａ（１，１）． ∴直线OA 的一次函数解析式为ｙ＝x ．23．（2015山东省济南市）已知：如图①，在Rt△ACB 中，∠C =90°，AC =4cm ，BC =3cm ，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为t （s ）（0＜t ＜2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC；（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．【答案】（1）当t=107时，PQ∥BC．（2）y=-35t2+3t．（3）不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．（4）5059cm．（3）如果将三角形ABC的周长和面积平分，那么AP+AQ=BP+BC+CQ，那么可以用t表示出CQ，AQ，AP，BP 的长，那么可以求出此时t的值，我们可将t的值代入（2）的面积与t的关系式中，求出此时面积是多少，然后看看面积是否是三角形ABC面积的一半，从而判断出是否存在这一时刻．（4）我们可通过构建相似三角形来求解．过点P作P M⊥AC于M，PN⊥BC于N，那么PN CM就是个矩形，解题思路：通过三角形BPN和三角形ABC相似，得出关于BP，PN，AB，AC的比例关系，即可用t表示（2）过点P作PH⊥AC于H．∵△A PH∽△ABC，∴PH APBC AB=，∴535PH t-=，∴PH=3-35t，∴y=12×AQ×PH=12×2t×（3-35t）=-35t2+3t．（3）若PQ把△ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ，∴（5-t）+2t=t+3+（4-2t），解得t=1．若PQ把△ABC面积平分，则S△APQ=12S△ABC，即-35t2+3t =3．∵t=1代入上面方程不成立，∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．（4）过点P作P M⊥AC于M，PN⊥BC于N，若四边形PQP′C是菱形，那么PQ=PC．∵P M⊥AC于M，∴Q M=CM．∵PN ⊥BC 于N ，易知△PBN ∽△ABC ，∴PN BP AC AB =，∴45PN t =，∴PN =45t ，∴Q M=CM=45t ，∴考点：1．相似形综合题；2．动点型；3．存在型．24．（2014年湖南怀化10分）如图1，在平面直角坐标系中，AB =OB =8，∠ABO =90°，∠yOC =45°，射线OC 以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC 经过点B 时停止运动，设平行移动x 秒后，射线OC 扫过Rt△ABO 的面积为y ．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x =3秒时，射线OC 平行移动到O ′C ′，与OA 相交于G ，如图2，求经过G ，O ，B 三点的抛物线的解析式；（3）现有一动点P 在（2）中的抛物线上，试问点P 在运动过程中，是否存在三角形POB 的面积S =8的情况？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵AB =OB ，∠ABO =90°，∴△ABO 是等腰直角三角形．∴∠AOB =45°．∵∠yOC =45°，∴∠AOC =（90°﹣45°）+45°=90°． ∴AO ⊥CO ．∵C ′O ′是CO 平移得到，∴AO ⊥C ′O ′． ∴△OO ′G 是等腰直角三角形．∵射线OC 的速度是每秒2个单位长度，∴OO ′=2x ．∴y =()2212x 2x 2⋅=.（2）当x =3秒时，OO ′=2×3=6，∵12×6=3，∴点G 的坐标为（3，3）． 设抛物线解析式为y =ax 2+bx ，则9a 3b 364a 8b 0+=⎧⎨+=⎩，解得1a 58b 5⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∴抛物线的解析式为218y x x 55=-+.（3）存在． 设点P 到x 轴的距离为h ，则S △POB =12×8h =8，解得h =2， 当点P 在x 轴上方时，218x x 55-+=2，整理得，x 2﹣8x +10=0，解得x 1=4x 2此时，点P 的坐标为（42）或（2）．当点P 在x 轴下方时，218x x 55-+=﹣2，整理得，x 2﹣8x ﹣10=0，解得x 1=4，x 2此时，点P 的坐标为（42）或（，﹣2）．综上所述，点P 的坐标为（42）或（2）或（42）或（，﹣2）时，△POB 的面积S =8．【考点】1．二次函数综合题；2．线动平移和单动点问题；3．由实际问题列函数关系式；4． 等腰直角三角形的判定和性质；5．待定系数法的应用；6．曲线上点的坐标与方程的关系；7．分类思想和方程思想的应用．【分析】（1）判断出△ABO 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠AOB =45°，然后求出AO ⊥CO ，再根据平移的性质可得AO ⊥C ′O ′，从而判断出△OO ′G 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质列式整理即可得解．（2）求出OO ′，再根据等腰直角三角形的性质求出点G 的坐标，然后设抛物线解析式为y =ax 2+bx ，再把点B 、G 的坐标代入，利用待定系数法求二次函数解析式解答．（3）设点P 到x 轴的距离为h ，利用三角形的面积公式求出h ，再分点P 在x 轴上方和下方两种情况，利用抛物线解析式求解即可．25．（2014年江西南昌12分）如图1，边长为4的正方形ABCD 中，点E 在AB 边上（不与点A 、B 重合），点F 在BC 边上（不与点B 、C 重合）．第一次操作：将线段EF 绕点F 顺时针旋转，当点E 落在正方形上时，记为点G ；第二次操作：将线段FG 绕点G 顺时针旋转，当点F 落在正方形上时，记为点H ；依此操作下去…（1）图2中的△EFD 是经过两次操作后得到的，其形状为 ▲ ，求此时线段EF 的长； （2）若经过三次操作可得到四边形EFGH ．①请判断四边形EFGH 的形状为 ▲ ，此时AE 与BF 的数量关系是 ▲ ；②以①中的结论为前提，设AE 的长为x ，四边形EFGH 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式及面积y 的取值范围．（3）若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请直接写出其边长；如果不是，请说明理由．【答案】解：（1）等边三角形．∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =CD =BC =AB ，∠A =∠B =∠C =90°．∵ED =FD ，∴△ADE ≌△CDF （HL ）． ∴AE =CF ，BE =BF ．∴△BEF 是等腰直角三角形．设BE 的长为x ，则EF =2x ，AE =4x -，∵在Ｒt△AED 中，222AE AD DE +=，DE =EF ，∴()()2224 x 42x -+=，解得12x 443,x 443=-+=-- （不合题意，舍去）．∴EF =()2x 24438642=-+=-.（2）①四边形EFGH 为正方形；AE =BF ．②∵AE =x ，∴BE =4x -.∵在Ｒt△BED 中，222EF BF BE =+，AE =BF ，∴()222222y EF 4x x 168x x x 2x 8x 16==-+=-++=-+.。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第27讲动态几何问题透视(1)
第二十七讲动态几何问题透视动态几何问题，是指以几何知识和图形为背景，渗入运动变化观点的一类问题，常见的形式是：点在线段或弧线上运动、图形的翻折、平移、旋转等，解这类问题的根本策略是：1．动中觅静这里的“静〞就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性．2．动静互化“静〞只是“动〞的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静〞的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动〞与“静〞的关系．3．以动制动注：几何动态既是一类问题，也是一种观点与思维方法，运用几何动态的观点，可以把外表看来不同的定理统一起来，可以找到探求几何中的最值、定值等问题的方法；更一般情况是，对于一个数学问题，努力去开掘更多结论，不同解法，通过弱化或强化条件来探讨结论的状况等，这就是常说的“动态思维〞．【例题求解】【例1】如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到A″B″C″的位置，设BC=1，AC=，那么顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线所围成的面积是．思路点拨解题的关键是将转动的图形准确分割．RtΔABC的两次转动，顶点A所经过的路线是两段圆弧，其中圆心角分别为120°和90°，半径分别为2和，但该路线与直线所围成的面积不只是两个扇形面积之和．【例2】如图，在⊙O中，P是直径AB上一动点，在AB同侧作AA′⊥AB，BB′⊥AB，且AA′=AP，BB′=BP，连结A′B′，当点P从点A移到点B时，A′B′的中点的位置( ) A．在平分AB的某直线上移动B．在垂直AB的某直线上移动⌒C．在AmB上移动D．保持固定不移动思路点拨画图、操作、实验，从中发现规律．【例3】如图，菱形OABC的长为4厘米，∠AOC＝60°，动点P从O出发，以每秒1厘米的速度沿O→A→B路线运动，点P出发2秒后，动点Q从O出发，在OA上以每秒1厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿O→A→B路线运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线．设P点运动的时间为秒，这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的阴影局部)的周长为厘米，请你答复以下问题：(1)当=3时，的值是多少?(2)就以下各种情形：①0≤≤2；②2≤≤4；③4≤≤6；④6≤≤8．求与之间的函数关系式．(3)在给出的直角坐标系中，用图象表示(2)中的各种情形下与的关系．思路点拨本例是一个动态几何问题，又是一个“分段函数〞问题，需运用动态的观点，将各段分别讨论、画图、计算．注：动与静是对立的，又是统：一的，无论图形运动变化的哪一类问题，都真实地反映了现实世界中数与形的变与不变两个方面，从辩证的角度去观察、探索、研究此类问题，是一种重要的解题策略．建立运动函数关系就更一般地、整体-地把握了问题，许多相关问题就转化为求函数值或自变量的值．【例4】如图，正方形ABCD中，有一直径为BC的半圆，BC=2cm，现有两点E、F，分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1m／秒的速度向点A运动，点F沿折线A—D—C以2cm／秒的速度向点C运动，设点E离开点B的时间为2 (秒)．(1)当为何值时，线段EF与BC平行?(2)设1<<2，当为何值时，EF与半圆相切?(3)当1≤<2时，设EF与AC相交于点P，问点E、F运动时，点P的位置是否发生变化?假设发生变化，请说明理由；假设不发生变化，请给予证明，并求AP：PC的值．思路点拨动中取静，根据题意画出不同位置的图形，然后分别求解，这是解本例的根本策略，对于(1)、(2)，运用相关几何性质建立关于的方程；对于(3)，点P的位置是否发生变化，只需看是否为一定值．注：动态几何问题常通过观察、比拟、分析、归纳等方法寻求图形中某些结论不变或变化规律，而把特定的运动状态，通过代数化来定量刻画描述也是解这类问题的重要思想．【例5】⊙O1与⊙O2相交于A、B两点；如图(1)，连结O2 O1并延长交⊙O1于P点，连结PA、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点，连结C O2并延长交⊙O2于E点．⊙O2的半径为R，设∠CAD=．(1)求：CD的长(用含R、的式子表示)；(2)试判断CD与PO1的位置关系，并说明理由；(3)设点P′为⊙O1上(⊙O2外)的动点，连结P′A、P′B并分别延长交⊙O2于C′、D′，请你探究∠C′AD′是否等于? C′D′与P′O l的位置关系如何?并说明理由．学力训练1．如图，ΔABC中，∠C=90°，AB=12cm，∠ABC=60°，将ΔABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB延长线上的D处，那么AC边扫过的图形的面积是cm (π=3.14159…，最后结果保存三个有效数字)．2．如图，在RtΔABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC= cm，将ΔABC绕点B旋转至ΔA'BC'的位置，且使A、B、C'三点在同一条直线上，那么点A经过的最短路线的长度是cm．3．一块等边三角形的木板，边长为l，现将木板沿水平线翻滚，那么B点从开始至结束走过的路径长度为( )A．B．C．4 D．4．把ΔABC沿AB边平移到ΔA'B'C'的位置，它们的重叠局部的面积是ΔABC的面积的一半，假设AB=，那么此三角形移动的距离AA'是( )A．B．C．1 D．5．如图，正三角形ABC的边长为6厘米，⊙O的半径为r厘米，当圆心O从点A出发，沿着线路AB—BC—CA运动，回到点A时，⊙O随着点O的运动而移动．(1)假设r=厘米，求⊙O首次与BC边相切时AO的长；(2)在O移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况?写出不同的情况下，r的取值范围及相应的切点个数；(3)设O在整个移动过程中，在ΔABC内部，⊙O未经过的局部的面积为S，在S>0时，求关于r的函数解析式，并写出自变量r的取值范围．6．：如图，⊙O韵直径为10，弦AC=8，点B在圆周上运动(与A、C两点不重合)，连结BC、BA，过点C作CD⊥AB于D．设CB的长为，CD的长为．(1)求关于的函数关系式；当以BC为直径的圆与AC相切时，求的值；(2)在点B运动的过程中，以CD为直径的圆与⊙O有几种位置关系，并求出不同位置时的取值范围；(3)在点B运动的过程中，如果过B作BE⊥AC于E，那么以BE为直径的圆与⊙O能内切吗?假设不能，说明理由；假设能，求出BE的长．7．如图，A为∠POQ的边OQ上一点，以A为顶点的∠MAN的两边分别交射线OP于M、N两点，且∠MAN=∠POQ=(为锐角)．当∠MAN以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置开始，按逆时针方向旋转(∠MAN保持不变)时，M、N两点在射线OP上同时以不同的速度向右平移移动．设OM=，ON= (>≥0)，ΔAOM的面积为S，假设cos、OA是方程的两个根．(1)当∠MAN旋转30°(即∠OAM=30°)时，求点N移动的距离；(2)求证：AN2=ON·MN；(3)求与之间的函数关系式及自变量的取值范围；(4)试写出S随变化的函数关系式，并确定S的取值范围．8．：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3cm，∠C＝60°，BD⊥CD．(1)求BC、AD的长度；(2)假设点P从点B开始沿BC边向点C以2cm／s的速度运动，点Q从点C开始沿CD 边向点D以1cm／s的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD 的面积S与运动时间之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻，使线段PQ把梯形ABCD分成两局部的面积比为1：5？假设存在，求出的值；假设不存在，请说明理由．9．：如图①，E、F、G、H按照AE=CG，BF=DH，BF＝nAE(n是正整数)的关系，分别在两邻边长、的矩形ABCD各边上运动．设AE=，四边形EFGH的面积为S．(1)当n=l、2时，如图②、③，观察运动情况，写出四边形EFGH各顶点运动到何位置，使?(2)当n=3时，如图④，求S与之间的函数关系式(写出自变量的取值范围)，探索S随增大而变化的规律；猜测四边形EFGH各顶点运动到何位置，使；(3)当n=k (k≥1)时，你所得到的规律和猜测是否成立?请说明理由．10．如图1，在直角坐标系中，点E从O点出发，以1个单位／秒的速度沿轴正方向运动，点F从O点出发，以2个单位／秒的速度沿轴正方向运动，B(4，2)，以BE为直径作⊙O1．(1)假设点E、F同时出发，设线段EF与线段OB交于点G，试判断点G与⊙O1的位置关系，并证明你的结论；(2)在(1)的条件下，连结FB，几秒时FB与⊙O1相切?(3)如图2，假设E点提前2秒出发，点F再出发，当点F出发后，E点在A点左侧时，设BA⊥轴于A点，连结AF交⊙O1于点P，试问PA·FA的值是否会发生变化?假设不变，请说明理由，并求其值；假设变化，请求其值的变化范围．参考答案。
第八讲动态几何与函数问题(含解析)
第八讲动态几何与函数问题(含解析)第八讲动态几何与函数问题【前言】在第三讲中我们差不多研究了动态几何问题的一般思路，然而那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。
整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。
而另一个那么是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。
然而这两种侧重也没有特别严格的分野，特别多题型都特别类似。
因此相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。
其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。
只是从近年北京中考的趋势上看，要求所构建的函数为特别复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，表达了中考数学的考试说明当中“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。
然而这也不能放松，因此笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。
【例1】如图①所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l .将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E.〔1〕将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t 〔t ≥0〕，直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积〔图中阴影部份〕为s ，s 关于t 的函数图象如图②所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，且NQ 平行于x 轴，N 点横坐标为4，求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积.〔2〕当24t <<时，求S 关于t 的函数解析式.【思路分析】此题尽管不难，然而特别考验考生关于函数图像的理解。
特别多考生看到图二的函数图像没有数学感受，反应不上来那个M 点是何含义，因此无从下手。
事实上M 点就表示当平移距离为2的时候整个阴影部分面积为8，相对的，N 点表示移动距离超过4之后阴影部分面积就不动了。
脑中模拟一下就能想到阴影面积固定确实是当D 移动过了0点的时候.因此依照这么几种情况去作答就能够了。
2022中考压轴精品--动态几何3(动图中的函数关系)--数学
2022中考压轴精品--动态几何3(动图中的函数关系)--数学图形中引入动点以后 ，随着点 的移动，便会引起其他相关量的变化，如此就会显现变量之间的函数关系；而动点在运动过程中，也会引起相关图形的变化，如此就可能产生特定形状、特定位置或特定关系的图形。
这些问题就需要借助方程来解决。
但不管是动点问题引出的函数。
依旧由动点引出的方程，却都需要借助于几何运算来建立。
因此，几何运算才是图形动点问题得以解决的真正核心基础，也即一、图形中动点形成的函数例1 如图（1），ABC Rt ∆中，,5,4,90==︒=∠BA AC ACB 点P 是AC 上的动点（P 不与A ，C 重合）。
x PC =，点P 到AB 的距离为y 。
（1）求y 与x 的函数关系式； （2）试讨论以P 为圆心，半径为x 的圆与AB 所在直线的位置关系，并指出相应的x 取值范畴。
（1） （1`）【观看与摸索】（1）如图（1`），若AB PQ ⊥于Q ，要建立PQ 和CP 的函数关系，能够通过APQ Rt ∆和ABC Rt ∆的相似关系。
（2）确实是讨论⊙P 的半径（即x ）和圆心P 到AB 的距离（即y ）的大小关系。
解：（1）过P 作AB PQ ⊥于Q ，如图（1`），则y PQ =，图形动点问题通过几何运算（要紧是解直角形和三角形的相似关系函数（变化规律）方程（特定形状的图形、特定位置的图形、特定关系的图形）⇒ ⇒ACBPACBP易知AQP Rt ∆∽ACB Rt ∆，AB AP BC PQ ::=∴， ,543x y -=∴化简得：)40(51253<<+-=x x y 。
（2）令y x =，即,51253+-=x x 解得23=x ，现在⊙P 与直线AB 相切。
对应地有：230<<x 时，⊙P 与直线AB 相离；423<<x 时，⊙P 与直线AB 相交。
【说明】本题的关键确实是通过两直角三角形相似关系构成的比例等式导出函数关系式，再通过⊙P 和AB 相切这一专门情形来判定⊙P 和AB 的三种位置关系。
专题26 双曲线(解答题)(新高考地区专用)(解析版)
专题26 双曲线（解答题）1．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，实轴长为2． （1）求双曲线C 的标准方程； （2）若直线l：y kx =+C 的左支交于A ､B 两点，求k 的取值范围．【试题来源】宁夏长庆高级中学2020-2021学年高二上期期中考试（文）【答案】（1）2213x y -=；（2）13k <<．【分析】（1）由条件可得a =2c =，然后可得答案；（2）联立直线与双曲线的方程消元，然后可得()2221303610,0,90,13A B A B k k x x x x k ⎧-≠⎪∆=->⎪⎪⎪+=<⎨⎪-⎪=>⎪-⎪⎩，解出即可． 【解析】（1）设双曲线方程为22221x y a b -=(0a >，0b >)．由已知得a =2c =，再由222+=a b c ，所以21b =，所以双曲线方程为2213x y -=．（2）设()A A A x y ，，()B B B x y ，，将y kx =+2213x y -=，得()221390k x ---=，由题意知()22221303610,0,1390,13A B A B k k x x k x x k ⎧-≠⎪∆=->⎪⎪⎪+=<⎨-⎪-⎪=>⎪-⎪⎩1k <<．所以当13k <<时，l 与双曲线左支有两个交点．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22．已知双曲线22:12x C y -=．（1）求与双曲线C有共同的渐近线，且过点(（2）若直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，且A 、B 的中点坐标为（1，1），求直线l 的斜率． 【试题来源】江西省南昌市第十中学2020-2021学年高二上学期期中考试（文）【答案】（1）2212x y -=；（2）12． 【分析】（1）设所求双曲线方程为22(0)2x y k k -=≠，代入点坐标，求得k ，即可得答案；（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，利用点差法，代入A 、B 的中点坐标为（1，1），即可求得斜率．【解析】（1）因为所求双曲线与双曲线C 有共同的渐近线，所以设所求双曲线方程为22(0)2x y k k -=≠，代入(，得1k =-，所以所求双曲线方程为2212x y -=；（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，因为A 、B 在双曲线上，所以221122221(1)21(2)2x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，（1）-（2）得12121212()()()()2x x x x y y y y -+=-+，因为A 、B 的中点坐标为（1，1），即12122,2x x y y +=+=， 所以1212121212()2l y y x x k x x y y -+===-+．3．已知点(A和B ，动点C 到A ，B 两点的距离之差的绝对值为2，记点C 的轨迹为E ．（1）求轨迹E 的方程；（2）设E 与直线2y x =-交于两点M ，N ，求线段MN 的长度． 【试题来源】福建省南平市高级中学2020-2021学年高二上学期期中考试【答案】（1）212x -=；（2） 【分析】（1）设(,)C x y ，由于||||2CA CB -=，||AB =，利用双曲线的定义求解即可；（2）直线和双曲线方程联立消y ，利用根与系数关系以及弦长公式求解即可． 【解析】（1）设(,)C x y ，则||||2CA CB -=，所以点C 的轨迹E 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，且22a =，2||c AB ==则1a =，2222b c a =-=，所以轨迹E 的方程为2212y x -=；（2）由22122y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得2460x x +-=， 因为0∆>，所以直线与双曲线有两个交点， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则124x x +=-，126x x =-，故MN ===所以线段MN 的长度为4．已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点()2,0F ，一个顶点为)A ．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线:=+l y kx C 的左右两支各有一个交点，求k 的取值范围． 【试题来源】四川省雅安市雅安中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】（1）2213x y -=；（2）(．【分析】（1）由题可得2,c a ==b 即得双曲线方程； （2）联立直线与双曲线方程，利用判别式和根与系数关系即可求出． 【解析】（1）双曲线C 的一个焦点()2,0F ，一个顶点为)A，∴双曲线的焦点在x 轴上，且2,c a ==2221b c a ∴=-=，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4∴双曲线C 的方程为213y -=； （2）联立直线与双曲线方程2213x y y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，可得()221390k x ---=，直线与双曲线的左右两支各有一个交点，()22272361309013k k k ⎧∆=+->⎪∴⎨-<⎪-⎩，解得k ⎛∈ ⎝⎭．5．已知双曲线的中心在原点，焦点1F ，2F，且过点 （1）求双曲线C 的方程；（2）设双曲线两条渐近线分别为1l ，2l 已知直线:2l y x m =+交1l ，2l 于,A B 两点，若直线l 与轨迹C 有且只有一个公共点，求AOB 的面积【试题来源】四川省成都市树德中学2020-2021学年高二上学期12月月考数（文）学试题【答案】（1）22122x y -=；（2）2． 【分析】（1）设方程为22(0)x y λλ-=≠，将点代入方程即可求解．（2）求出直线2y x m =+与x 的交点(,0)2mD -， 再求出,A B y y ，由 12ACBA B S OD y y =⋅⋅-即可求解．【解析】（1，故该双曲线为等轴双曲线， 设方程为22(0)x y λλ-=≠，代入点，得422λ-==，故双曲线的方程为22122x y -=（2）在直线方程2y x m =+中，令0y =，得(,0)2mD -， 故12ACBA B SOD y y =⋅⋅-，联立2222x y y x m⎧-=⎨=+⎩，得223420x mx m +++=， 由题意得2221612(2)4240m m m ∆=-+=-=，故26m =，联立2y x y x m =⎧⎨=+⎩，得A y m =-；联立2y x y x m=-⎧⎨=+⎩，得3B my =，因此211222233AOBA B m m m SOD y y m =⋅⋅-=⋅-⋅--==. 6．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆22221x y a b +=与双曲线22221x y a b -=的离心率分别为1e ，2e ，其中0a b >>．（1）求2212e e +的值；（2）若双曲线渐近线的斜率小于2，求1e 和2e 的取值范围． 【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【答案】（1）2；（2）112e <<，212e <<． 【分析】（1）根据两曲线的方程分别计算1e 和2e ，即可求出2212e e +的值；（2）根据双曲线渐近线的斜率小于2，得2b a <，再由椭圆与双曲线的性质，即可计算出离心率的范围．【解析】（1）因为椭圆22221x y a b +=的离心率为1e a=，双曲线22221x y a b-=的离心率为2e =所以22222222221222a b a b a a e a e a-++===+； （2）因为双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±，若双曲线渐近线的斜率小于2，则2b a <，所以2212b a <，因此12e a ===>=，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！62e ===<=，又1e ，2e 分别为椭圆与双曲线的离心率，所以101e <<，21e >，11e <<，21e <<． 7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>经过点A且实轴长是半焦距的5．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线l 与双曲线C 交于P ，Q 两点，且线段PQ 的中点为()1,2，求直线l 的方程． 【试题来源】陕西省商洛市2020-2021学年高二上学期期末（文）【答案】（1）2214x y -=；（2）8150x y -+=． 【分析】（1）根据题意可得a =，再根据双曲线过点A ，再结合222c a b =+，代入即可求得2a =，1b =，即可得到双曲线C 的标准方程；（2）先设出P ，Q 的坐标，根据中点坐标公式即可求得122x x +=，124y y +=，将P ，Q 两点代入双曲线方程，两式相减即可得到斜率为18，再利用点斜式即可求出直线l 的方程． 【解析】（1）因为实轴长是半焦距的5倍，所以25a c =，即5a =，因为双曲线C经过点A ，22811a b∴-=， 因为222c a b =+，所以2a =，1b =，c =故双曲线C 的标准方程为2214x y -=；（2）设P ，Q 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，因为线段PQ 的中点为()1,2，所以122x x +=，124y y +=，因为221114x y -=，222214x y -=，所以12121212()()()()04x x x x y y y y -+--+=，整理得121218y y x x -=-，即直线l 的斜率为18， 所以直线l 的方程为12(1)8y x -=-，即8150x y -+=． 8．设中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点12,F F ，且12F F =，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3:7． （1）求这两曲线方程；（2）若P 为这两曲线的一个交点，求12cos F PF ∠的值．【试题来源】陕西省延安市黄陵中学2020-2021学年高二上学期期末（理）【答案】（1）椭圆方程为2214936x y +=，双曲线方程为22194x y -=；（2）45． 【分析】（1）利用题设分别求椭圆和双曲线的基本量；（2）根据椭圆及双曲线的定义建立等式121214,6PF PF PF PF +=-=，可求出12PF PF 、，再用余弦定理即可． 【解析】（1）由已知得c =，设椭圆长、短半轴长分别为a 、b ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ，则4,73a m a m -=⎧⎪⎨⋅=⋅⎪⎩解得7,3a m ==．所以6,2b n ==．故椭圆方程为2214936x y +=，双曲线方程为22194x y -=．（2）不妨设1F 、2F 分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则121214,6PF PF PF PF +=-=，所以1210,4PF PF ==．又12F F =，故22212121212cos 2PF PF F F F PF PF PF +-∠=⋅222104421045+-==⨯⨯．9．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>与双曲线22162y x -=的渐近线相同，且经过点()2,3．（1）求双曲线C 的方程；原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8（2）已知双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，直线l 经过2F ，倾斜角为3,4l π与双曲线C 交于,A B 两点，求1F AB 的面积．【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练【答案】（1）2213y x -=；（2） 【分析】（1）由两条双曲线有共同渐近线，可令双曲线C 方程为2262y x λ-=，求出λ即可得双曲线C 的方程；（2）根据已知有直线l 为()2y x =--，由其与双曲线的位置关系，结合弦长公式、点线距离公式及三角形面积公式求1F AB 的面积．【解析】（1）设所求双曲线C 方程为2262y x λ-=，代入点()2,3得223262λ-=，即12λ=-， 所以双曲线C 方程为221622y x -=-，即2213y x -=．（2）由（1）知()()122,0,2,0F F -，即直线AB 的方程为()2y x =--．设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22213y x y x ⎧=--⎪⎨-=⎪⎩得22470x x +-=，满足0∆>且122x x +=-，1272x x =-，由弦长公式得12||AB x x =-=6==，点()12,0F -到直线:20AB x y +-=的距离d ===所以111622F ABSAB d =⋅=⋅⋅= 【名师点睛】本题考查了双曲线，根据双曲线共渐近线求双曲线方程，由直线与双曲线的相交位置关系求原点与交点构成三角形的面积，综合应用了弦长公式、点线距离公式、三角形面积公式，属于基础题．10．双曲线C 的一条渐近线方程是x －2y ＝0，且双曲线C 过点(，1)．（1）求双曲线C 的方程；（2）设双曲线C 的左、右顶点分别是A 1，A 2，P 为C 上任意一点，直线P A 1，P A 2分别与直线l ：x ＝1交于M ，N ，求|MN |的最小值． 【试题来源】2021年高考数学（文）一轮复习讲练测【答案】（1）2214x y -=；（2 【分析】（1）设出双曲线方程x 2－4y 2＝k (k ≠0)，将点代入即可求解． （2）设直线P A 1，P A 2的斜率分别为k 1，k 2(k 1，k 2＞0)，由（1）可得k 1k 2＝14，写出直线P A 1的方程与P A 2的方程，求出点M ，N ，表示出|MN |，利用基本不等式即可求解． 【解析】由渐近线方程可设双曲线C 的方程为x 2－4y 2＝k (k ≠0)，把1)代入可得k ＝4，所以双曲线C 的方程为24x －y 2＝1．（2）由题易知，P 在右支上时|MN |取最小值．由（1）可得A 1(－2，0)，A 2(2，0)，设P (x ，y )，根据双曲线方程可得2y x -·2y x +＝14， 直线P A 1，P A 2的斜率分别为k 1，k 2(k 1，k 2＞0)，则k 1k 2＝14， P A 1的方程为y ＝k 1(x ＋2)，令x ＝1，得M (1，3k 1)， P A 2的方程为y ＝k 2(x －2)，令x ＝1，得N (1，－k 2)，所以|MN |＝|3k 1－(－k 2)|＝3k 1＋k 2，当且仅当3k 1＝k 2，即k 1＝6，k2故|MN |【名师点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系，解题的关键是求出k 1k 2＝14，再表示出|MN |，考查了运算能力．11．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(4，0)，实轴长为 （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l ：y ＝kx ＋与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围． 【试题来源】2021年高考数学（文）一轮复习学与练原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10【答案】（1）221124x y -=；（2）． 【分析】（1）根据双曲线的焦点坐标公式、实轴长公式，以及,,a b c 之间的关系进行求解即可；（2）直线l 与双曲线C 的方程联立，根据一元二次方程的判别式、根与系数的关系进行求解即可．【解析】（1）设双曲线C 的方程为 22221x y a b-= (a >0，b >0)．由已知得，a ＝c ＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝4，所以双曲线C 的方程为221124x y -=．（2）设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋与221124x y -=联立，得(1－3k 2)x 2－－36＝0．由题意可得2130(1)k -≠，22()4(13)(36)0(2)k ∆=--⋅-⋅->，1220(3)13x x k+=<-，122360(4)13x x k -=>-， 解不等式(1)(2)(3)(4)，得3<k <1．所以当3<k <1时，l 与双曲线的左支有两个交点． 所以k的取值范围为. 12．已知点1F 、2F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线在x 轴上方交上双曲线于点M ，且1230MF F ∠=，12MF F △的面积为 （1）求双曲线的方程；（2）过双曲线实轴右端点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求12PP PP ⋅的值．【试题来源】上海市交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】（1）22124x y -=；（2）49． 【分析】（1）求出点M 的坐标，根据已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出a 、b的值，即可得出双曲线的方程；（2）设渐近线10l y -=的倾斜角为θ，可得tan θ=求出cos2θ的值，利用点到直线的距离公式求出1PP 、2PP ，利用平面向量数量积的定义可求得12PP PP ⋅的值． 【解析】（1）设()2,0F c 、()()00,0M c y y >，则222c a b =+，将点M 的坐标代入双曲线的方程得220221y c a b-=，可得4202b y a =，00y >，20b y a∴=，22b MF a ∴=，1230MF F ∠=，2MF x ⊥轴，所以，21222b MF MF a==，由双曲线的定义可得2122b MF MF a a -==，b ∴=，则c ==，12222122MF F b b c S c a a=⨯⨯===△，a ∴=，2b =， 因此，双曲线的方程为22124x y -=；（2）双曲线的两条渐近线为10l y -=，20l y +=，易知)P，渐近线1l 的倾斜角为θ，则tan θ=22222222cos sin 1tan 1cos 2cos sin cos sin 1tan 3θθθθθθθθθ--∴=-===-++，21PP PP ===， 由平面向量数量积的定义可得()1212414cos 2339PP PP PP PP πθ⋅=⋅-=⨯=．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12【名师点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．13．已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，，过点（1）求双曲线C 的标准方程；（2）已知点()12N ，，过点N 的直线交双曲线C 于A 、B 两点，且()1.2ON OA OB =+求直线AB 的方程.【试题来源】天津市第八中学2020-2021学年高二上学期第三次统练【答案】（1）2212y x -=；（2）1y x =+． 【分析】（1）由离心率可得,a b关系，再将点代入可求出方程；（2）设直线AB 为()12y k x =-+，联立直线与双曲线方程，得出()122222k k x x k-+=-，由题可得N 是AB的中点，建立方程可求． 【解析】（1）由题意得ca=c =， 则22222232b c a a a a =-=-=，∴双曲线方程为222212x ya a-=，将点代入222212x y a a-=，得222212a a -=，得21a =，∴双曲线方程2212y x -=． 2（）由题意知直线AB 的斜率存在． 设直线AB ：()12y k x =-+，代入2212y x -=，得()()()()222222220.*kxk k x k ------=令()11A x y ，，()22B x y ，，则1x 、2x 是方程()*的两根，220k ∴-≠，且()122222k k x x k-+=-．()12ON OA OB =+，N ∴是AB 的中点，1212x x +∴=， ()222k k k ∴-=-+，1k =，∴直线AB 的方程为1y x =+．【名师点睛】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出根与系数关系；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入根与系数关系求解．14．过双曲线22142x y -=的右焦点F 作斜率为2的直线l ，交双曲线于A ，B 两点．（1）求双曲线的离心率和渐近线； （2）求AB 的长．【试题来源】安徽省名校联盟2020-2021学年高二上学期12月联考（文）【答案】（1）e =2y x=±；（2）207． 【分析】（1）由双曲线方程得出,a b ，再求出c ，可得离心率，渐近线方程；（2）写出直线方程，代入双曲线方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，由根与系数关系得原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！141212,x x x x +，然后由弦长公式计算弦长．【解析】（1）因为双曲线方程为22142x y -=，所以2a =，b =则c ==62c ea，渐近线方程为y x =．（2）双曲线右焦点为0)，则直线l 的方程为2(y x =-代入双曲线22142x y -=中，化简可得27520x -+=设()11,A x y ，()22,B xy ，所以127x x +=，12527x x ⋅=，所以2120||||7AB x x =-==． 【名师点睛】本题考查双曲线的离心率和渐近线方程，考查直线与双曲线相交弦长．解题方法是直线方程与双曲线方程联立并消元后应用根与系数关系求出1212,x x x x +，然后由弦长公式12d x =-求出弦长．15．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的实轴长为4，一条渐近线方程为2y x =．（1）求双曲线C 的方程；（2）直线l ：()1y k x =-与双曲线C 相交于不同两点，求实数k 的取值范围． 【试题来源】黑龙江省2020-2021学年高二第一学期学业水平考试 （文）【答案】（1）22143x y -=；（2）11k -<<且2k ≠±．【分析】（1）根据渐近线方程以及实轴长度求解出,a b 的值，则双曲线的方程可求； （2）联立双曲线与直线l 的方程，利用0∆>并结合2340k -≠求解出k 的取值范围．【解析】（1）由条件可知24a b a=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2243a b ⎧=⎨=⎩，所以双曲线C 的方程为22143x y -=；（2）因为()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩，所以()2223484120k x kx k -+--=，因为l 与双曲线交于不同两点，所以()()2222340644344120k k k k ⎧-≠⎪⎨∆=---->⎪⎩， 所以解得11k -<<且k ≠ 【名师点睛】本题中的第二问，解答问题的关键是通过联立方程分析∆与0的关系完成问题求解．16．已知双曲线2221x y a-=的渐近线倾斜角分别为30和150︒，F 为其左焦点，P 为双曲线右支上一个动点．（1）求||PF 的取值范围，并说明理由；（2）过点P 分别作两渐近线的垂线，垂足分别为,Q R ，求证：||||PQ PR ⋅为定值． 【试题来源】江西省南昌市八一中学2020-2021学年高二12月考试 【答案】（1）)+∞，理由见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）由渐近线求出双曲线方程，得焦点坐标，利用两点间的距离及二次函数求最值即可；（2）由点到直线的距离求出||||PQ PR ，，求积后由双曲线方程化简即可． 【解析】（1）双曲线渐近线方程为3y x =±，又1b =，所以23a =， 双曲线的标准方程为2213x y -=，则(F ，设00(,)P x y，0)x ∈+∞则22222000||((13x PF x y x =++=++-200413x =++所以2||5PF ≥+，所以||PF的取值范围是)+∞.（2）因为22000000|||||3|||||224x x x y PQ PR +-⋅=⋅=， 又220013x y -=，所以3||||4PQ PR ⋅=为定值．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16【名师点睛】00(,)P x y ，利用点到直线的距离求出2200|3|||||4x y PQ PR -⋅==后，根据点00(,)P x y 在双曲线上，化简求值是解题关键．17．已知12,F F 分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 是双曲线上一点，满足12PF PF ⊥且128,6PF PF ==． （1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线l 交双曲线于A ，B 两点，若AB 的中点恰为点(2,6)M ，求直线l 的方程． 【试题来源】重庆市巴蜀中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】（1）22124y x -=；（2）810y x ． 【分析】（1）由双曲线定义求a ，结合12PF PF ⊥求2b ，写出双曲线C 的标准方程；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，结合双曲线方程得1212121224y y y y x x x x -+⋅=-+，根据中点M 、直线斜率的坐标表示得324AB k ⋅=，即可写出直线方程．【解析】（1）1222a PF PF =-=，得1a =，在△12PF F 中2221212100F F PF PF =+=，所以24100c =，22225c a b ==+，则224b =，故双曲线的标准方程为22124y x -=；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，有221221221212222212424124y x y y x x y x ⎧-=⎪-⎪⇒-=⎨⎪-=⎪⎩， 所以221212122112122224y y y y y y x x x x x x --+=⋅=--+，又1212AB y y k x x -=-，1212632y y x x +==+， 所以324AB k ⋅=，得8AB k =， 所以直线AB 方程为810yx ，满足0∆>，符合题意．【名师点睛】（1）由双曲线定义：曲线上的点到两焦点距离差为定值m ，有2a m =，结合勾股定理求c ．（2）()()1122,,,A x y B x y ，利用中点1212(,)22x x y y ++、直线斜率1212y y k x x -=-，结合所得方程1212121224y y y y x x x x -+⋅=-+，求斜率并写出直线方程．18．已知双曲线C 的焦点F 30)，双曲线C 上一点P 到F 32． （1）求双曲线的标准方程和渐近线方程；（2）已知点M (0，1)，设P 是双曲线C 上的点，Q 是P 关于原点的对称点．设λ=MP MQ ，求λ的取值范围．【试题来源】【新教材精创】提高练-人教B 版高中数学选择性必修第一册【答案】（1）2212x y -=，22y x =±；（2）(,1]-∞-． 【分析】（1）由题可得3c =32c a -=程；（2）利用坐标关系表示出20322MP MQ x λ=⋅=-+，再由02x ≥ 【解析】（1）设双曲线的方程为2222x y a b-=1，因为双曲线C 的焦点F 30)，双曲线C 上一点P 到F 323c ∴=32c a -=2a ∴=222223)(2)1b c a ∴=-=-=，则双曲线的方程为2212x y -=，令2202x y -=，则22y x =±， 即渐近线方程为22y x =±．（2）设P 的坐标为(x 0，y 0)， 则Q 的坐标为()00,x y --，()()22200000003,1,1122MP MQ x y x y x y x λ∴=⋅=-⋅---=--+=-+．02x ≥，λ∴的取值范围是(,1]-∞-．【名师点睛】本题考查双曲线标准方程和渐近线的求解，以及数量积的范围，解题的关键是理清题意，得出双曲线C 上一点P 到F 的最短距离即为c a -，再利用双曲线x 的范围求解．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1819．已知()2,0A -，()2,0B ，直线AM ，BM 相交于点M ．且它们的斜率之积是3． （1）求点M 的轨迹C 的方程．（2）过点()2,3N 能否作一条直线m 与轨迹C 交于两点,P Q ，且点N 是线段PQ 的中点？若能，求出直线m 的方程；若不能，说明理由．【试题来源】四川省成都市第七中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】（1）221(2)412x y x -=≠±；（2）不能，理由见解析． 【分析】（1）设出点(),M x y ，利用斜率之积即可求出轨迹方程； （2）设出()()1122,,,P x y Q x y ，利用点差法可求出． 【解析】（1）设(),M x y ，2x ≠±，02AM y k x -=+，02BM y k x -=-， 3AM BM k k ⋅=，即00322y y x x --⋅=+-，整理得()223122x y x -=≠±， 即轨迹C 方程为221(2)412x y x -=≠±；（2）显然直线m 的斜率存在，设为k ，设()()1122,,,P x y Q x y ，则2211222214121412x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ，两式相减得()()()()121212120412x x x x y y y y -+-+-=，整理可得121212123y y x x x x y y -+=⨯-+，N 是线段PQ 的中点，∴12124326y y x x -=⨯=-，即2k =，故直线m 的方程为()322y x -=-，即210x y --=，将直线代入双曲线可得24130x x -+=，()244130∆=--⨯<， 此时直线与双曲线不相交．故不能作出这样的直线． 【名师点睛】解决中点弦问题的两种方法：（1）根与系数的关系法：联立直线与曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．20．双曲线221124x y -=，1F ､2F 为其左右焦点，曲线C 是以2F 为圆心且过原点的圆．（1）求曲线C 的方程；（2）动点P 在C 上运动，M 满足1F M MP →→=，求M 的轨迹方程．【试题来源】福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2020-2021学年高二上学期期中联考【答案】（1）()22416x y -+=；（2）224x y +=．【分析】（1）求出圆心和半径即得解；（2）设动点(),M x y ，()00,P x y ，由1F M MP →→=得00242x x y y =+⎧⎨=⎩，代入圆的方程即得解． 【解析】（1）由已知得212a =，24b =，故4c =，所以()14,0F -､()24,0F ，因为C 是以2F 为圆心且过原点的圆，故圆心为()4,0，半径为4， 所以C 的轨迹方程为()22416x y -+=；（2）设动点(),M x y ，()00,P x y ，则()14,F M x y →=+，()00,MP x x y y →=--， 由1F M MP →→=，得()()004,,x y x x y y +=--， 即()()004x x x y y y ⎧+=-⎪⎨=-⎪⎩，解得00242x x y y =+⎧⎨=⎩， 因为点P 在C 上，所以()2200416x y -+=，代入得()()22244216x y +-+=，化简得224x y +=．所以M 的轨迹方程为224x y +=．【名师点睛】求动点的轨迹方程常见的方法有：（1）直接法；（2）定义法；（3）相关点代入原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20法；（4）消参法．要根据数学情景灵活选择方法求动点的轨迹方程．21．已知双曲线22:1164x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ．（1）求与双曲线C 有共同渐近线且过点()2,3的双曲线标准方程； （2）若P 是双曲线C 上一点，且12150F PF ∠=︒，求12F PF △的面积． 【试题来源】宁夏海原县第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试（文）【答案】（1）221832y x -=；（2）8- 【分析】（1）根据题意，设所求双曲线方程为22(0)164x y k k -=≠，代入点()2,3，求得k值，即可得答案；（2）不妨设P 在C 的右支上，根据双曲线定义，可得1228PF PF a -==，根据方程可得12F F 的值，在12F PF △中，利用余弦定理可得12PF PF 的值，代入面积公式，即可求得答案．【解析】（1）因为所求双曲线与22:1164x y C -=共渐近线，所以设该双曲线方程为22(0)164x y k k -=≠，又该双曲线过点()2,3，所以49164k -=，解得k =-2， 所以所求双曲线方程为221832y x -=（2）不妨设P 在C 的右支上，则1228PF PF a -==，122F F c === 在12F PF △中，2222121212121212()280cos15022PF PF F F PF PF PF PF PF PF PF PF +--+-︒===解得1232PF PF =- 所以12F PF △的面积1212111sin (328222F P S F PF PF ∠==⨯-⨯=-【名师点睛】解题的关键是掌握共渐近线的双曲线方程的设法，即与22221x y a b-=共渐近线的方程可设为2222(0)x y k k a b -=≠；与22221x y a b -=共焦点的方程可设为22221x y a b λλ-=+-，再代入点求解即可，考查分析计算的能力，属中档题． 22．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为()12,0F -，()22,0F ，点(P 在双曲线C 上．（1）求双曲线C 的方程；（2）记O 为坐标原点，过点()0,2Q 的直线l 与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，若OAB的面积为，求直线l 的方程．【试题来源】河南省许昌市2020-2021学年高二上学期期末（理）【答案】（1）22122x y -=；（2）2y =+和2y =+． 【分析】（1）根据焦点坐标，可得2c =，所以224a b +=，代入双曲线方程，可得()222221044x y a a a-=<<-，将P 点坐标代入，即可求得a 值，即可得答案；（2）设直线l 的方程为2y kx =+，与双曲线C 联立，可得关于x 的一元二次方程，利用根与系数关系，可得1212,x x x x +的表达式，代入弦长公式，即可求得AB ，根据点到直线的距离公式，可求得原点到直线l 的距离d ，代入面积公式，结合题意，即可求得k 的值，即可得答案． 【解析】（1）依题意，2c =，所以224a b +=，则双曲线C 的方程为()222221044x y a a a-=<<-，将点P 代入上式，得22252314a a-=-，解得250a =(舍去)或22a =， 故所求双曲线的方程为22122x y -=．（2）依题意，可设直线l 的方程为2y kx =+，代入双曲线C 的方程并整理，得()221460k x kx ---=．因为直线l 与双曲线C 交于不同的两点,A B ，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22所以()22210(4)2410k k k ⎧-≠⎪⎨-+->⎪⎩，解得1k k ≠±⎧⎪⎨<<⎪⎩(*) 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122246,11k x x x x k k +==---，所以||AB =又原点O 到直线l 的距离d =所以11||22OABSd AB =⋅==．又OABS=1=，所以4220k k --=，解得k =(*)．故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为2y =+和2y =+．【名师点睛】解题的关键是熟练掌握弦长公式、点到直线的距离公式等知识，并灵活应用，易错点为解得k 值，需检验是否满足判别式0∆>的条件，考查计算化简的能力，属中档题．23．（1）已知双曲线2213x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，点11()P x y ，，点11()Q x y -，是双曲线2213x y -=上不同的两个动点，求直线1A P 与直线2A Q 的交点的轨迹E 的方程；（2）设直线11:2l y k x =+交轨迹E 于C D 、两点，且直线1l 与直线22:l y k x =交于点F ，若1213k k =-，试证明F 为CD 的中点． 【试题来源】江西省景德镇一中2020-2021学年高二上学期期末考试（理）【答案】（1）22:13x E y +=；（2）证明见解析． 【分析】（1）先由双曲线方程，得到12A A 、坐标，得出直线1A P 与直线2A Q 的方程，两式联立，结合题中条件，化简整理，即可得出所求轨迹方程；（2）设()22,C x y ，()33,D x y ，联立直线11:2l y k x =+与椭圆E 的方程，根据根与系数关系，结合中点坐标公式，得出CD 中点坐标，再由直线1l 与直线2l 联立，根据1213k k =-，求出点F 坐标，得出F 与CD 中点重合，即可证明结论成立．【解析】（1）由已知得()1A，)2A，1x ≠；则1:A P y x =①，2:A Q y x =②①⨯②得()22212133y y x x -=--，又221113x y -=-，所以2121313y x --=-， 因此()22133y x =--，所以所求轨迹方程为22:13x E y +=；（2）设()22,C x y ，()33,D x y ，由221132x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 可得，整理得2211(31)1290k x k x +++=， 则122131231k x x k +=-+，设CD 的中点()00,G x y ，则1021631k x k =-+，010212231y k x k =+=+， 由212y k x y k x =⎧⎨=+⎩得2122122x k k k y k k ⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩，则2212122,k F k k k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭因为1213k k =-，所以2113k k =-，则122116231F k x k k k -==-+，222112231F k y k k k ==-+，即F 与G 重合，所以F 为CD 的中点．【名师点睛】证明本题第二问的关键在于求出CD 中点以及点F 的坐标；求解时，联立直线与椭圆方程，结合根与系数关系以及中点坐标公式得出CD 中点；联立两直线方程，结合题中条件，求出F 坐标即可．24．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，点)是双曲线的一个顶点．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB ．【试题来源】2021年高考数学（文）一轮复习学与练【答案】（1）22136x y -=；（2． 【分析】（1和顶点)求出,a b ，即可得出双曲线方程；（2）可先求出直线方程为3)y x =-，联立椭圆方程，再利用弦长公式即可求出． 【解析】（1）由题可得ca a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得3c =，b =，所以双曲线的方程为22136x y -=；（2）双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F所以经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30°的直线的方程为3)y x =-．联立221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得256270x x +-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-．所以5AB ==．25．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为(,0)F c -，点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离等于a ．（1）求双曲线C 的离心率；（2）若c =(2,1)P -的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点，试求直线l 的方程．【试题来源】【南昌新东方】江西省南昌三中2020-2021学年高三上学期11月第一次月考（理） 【答案】（1；（2）23y x =--．【分析】（1）根据双曲线的一条渐近线为0bx ay -=，焦点(,0)F c -到0bx ay -=的距离bcd b c===，结合条件a b =，即可得解；（2）利用点差法，设点1122(,),(,)A x y B x y ，带入作差可得2k =-，利用点斜式即可得解．【解析】（1）由双曲线的一条渐近线为0bx ay -=， 焦点(,0)F c -到0bx ay -=的距离bcd b c===， 根据题意得a b =，所以离心率c e a === （2）由（1）知ce a==c =1a b ==， 所以双曲线方程为221x y -=，设1122(,),(,)A x y B x y ，带入双曲线方程可得2211222211x y x y ⎧-=⎨-=⎩，作差可得222212120x x y y --+=（*）， 由P 为线段AB 的中点，可得12124,2x x y y +=-+=， 带入（*）可得12124()2()0x x y y ----=，所以12122y y k x x -==--， 所以直线l 的方程为23y x =--， 带入221x y -=可得2312100x x ++=，144120240∆=-=>，有两个交点，满足题意，故直线l 的方程为23y x =--．【名师点睛】本题考查了焦点到渐近线的距离以及双曲线的基本量的计算，考查了点差法，有一定的计算量，属于中档题．本题的主要方法为点差法，点差法是圆锥曲线中解决中点和原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！26斜率关系的重要方法，利用点差法时，一定注意最后的检验．26．双曲线Γ：221169x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 经过2F 且与Γ的两条渐近线中的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限． （1）设P 为Γ右支上的任意一点，求1||PF 的最小值；（2）设O 为坐标原点，求O 到l 的距离，并求l 与Γ的交点坐标． 【试题来源】上海市普陀区2021届高三上学期一模 【答案】（1）1min9PF =；（2）O 到l 的距离3；l 与Γ的交点坐标为(4.1,0.675)．【分析】（1）设00(,)P x y ，由两点距离公式有1||PF 0544x =+，结合已知04x ≥，即可求1||PF 的最小值；（2）根据双曲线方程写出渐近线方程为34yx ，由题设知l ：34150x y +-=，由点线距离公式求O 到l 的距离，联立双曲线、直线方程即可求交点坐标．【解析】（1）根据题设条件，可得1(5,0)F -．设00(,)P x y ，其中04x ≥，且22009916y x =- 1||PF =0544x =+，04x ≥ 所以当04x =时，1min9PF =．（2）2(5,0)F ，Γ的两条渐近线方程为34yx ， 根据题设，得l ：34150x y +-=，O 到l的距离3d ==．将l 与Γ的方程联立，得2234150916144x y x y +-=⎧⎨-=⎩，消去y 得，1041x =，解得 4.1x =，代入得0.675y =，所以l 与Γ的交点坐标为(4.1,0.675)．【名师点睛】（1）设00(,)P x y ，应用两点距离公式以及点在曲线方程上列1||PF 关于0x 方程，P 在双曲线右支有04x ≥，求范围即可．（2）由直线l 与双曲线渐近线关系写出直线方程，结合点线距离公式求距离，联立方程求交点即可．27．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上．当BF AF ⊥时，||||AF BF =．（1）求C 的离心率；（2）若B 在第一象限，证明：2BFA BAF ∠=∠．【试题来源】2021年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考） 【答案】（1）2；（2）见解析．【分析】（1）根据已知条件可得2b a c a =+，据此可求离心率．（2）设()00,B x y ，则00tan y BFA x c∠=--，00tan y BAF x a ∠=+，再计算tan 2BAF ∠，利用点在双曲线上化简后可得tan 2tan BAF BFA ∠=∠，从而可得结论成立．【解析】（1）设双曲线的半焦距为c ，则(),0F c ，2,b B c a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，因为||||AF BF =，故2b ac a=+，故2220c ac a --=，即220e e --=，故2e =．（2）设()00,B x y ，其中00,0x a y >>． 因为2e =，故2c a =，b =，故渐近线方程为y =，所以0,3BAF π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，20,3BFA π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭， 当00,2x a x a >≠时， 又0000t n 2a y y BFA x c x a ∠=-=---，00tan y BAF x a∠=+， 所以()()()()000002222220000020222tan 121y y x a y x a x a BAF x x a y y x a b a x a +++∠===⎛⎫+-⎛⎫+--- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()()()()()()()0000022222200000022223331y x a y x a y x a x a x x a x a x a a a ++===+--⎛⎫+--+-- ⎪⎝⎭。
专题26动态几何之面动形成的函数关系问题(预测题)-决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品(解析版)
《中考压轴题全揭秘》第二辑原创模拟预测题专题26：动态几何之面动形成的函数关系问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射．动态几何形成的函数关系和图象问题是动态几何中的基本问题，包括单动点形成的函数关系和图象问题，双（多）动点形成的函数关系和图象问题，线动形成的函数关系和图象问题，面动形成的函数关系和图象问题．本专题原创编写面动形成的函数关系问题模拟题．面动问题就是在一些基本几何图形上，设计一个动面（包括平移和旋转），或由点动、线动形成面动，并对面在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究．在中考压轴题中，面动形成的函数关系问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类．原创模拟预测题1．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B、C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】考点：动点问题的函数图象．原创模拟预测题2．如图，在矩形ABCD中，AD=2，AB=1，P是AD的中点，等腰直角三角板45°角的顶点与点P重合，当此三角板绕点P旋转时，它的直角边和斜边所在的直线与BC分别相交于E、F两点．设线段BF=x，CE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】试题分析：如图，连接CP、BP，∵在矩形ABCD中，AD=2，AB=1，P是AD的中点，∴△APB与△DPC 都是等腰直角三角形，且△APB≌△DPC，∴PB=PC，∠BPC=90°．把△BPE绕点P逆时针旋转90°得到△CPG，连结FG．则PE=PG，∠PCG=∠PBE=45°，∴∠FCG=∠BCP+∠PCG=45°+45°=90°，∵∠EPF=45°，∴∠FPG=∠FPE=45°，在△PEF和△PGF中，∵PE=PG，∠FPE=∠FPG，PF=PF，∴△PEF≌△PGF（SAS），∴EF=GF，∵BC=AD=2，BF=x，CE=y，∴CG=BE=2﹣y，CF=2﹣x，EF=BC﹣BE﹣CF=2﹣（2﹣y）﹣（2﹣x）=x+y﹣2，在Rt△CFG中，CF2+CG2=FG2，即（2﹣x）2+（2﹣y）2=（x+y﹣2）2，整理得，2yx，纵观各选项，只有C选项图形符合．故选C．考点：动点问题的函数图象．原创模拟预测题3．如图，已知△ABC为等边三角形，AB=2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD=x，△DEF的面积为y，则能大致反映y 与x函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A．考点：动点问题的函数图象；动点型．原创模拟预测题4．如图，Rt△ABC中∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，以23为边长的正方形DEFG的一边CD在直线AB上，且点D与点A重合，现将正方形DEFG沿A﹣B的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D与点B重合时停止，则在这个运动过程中，正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A ．（2）当236t <≤时，S =11(tan 30)(23)[(23)tan 30]22t t t t ⋅---⋅=223t -； （3）当6＜t ≤8时，S =11[(23)tan 3023][6(23)][(8)tan 6023](6)22t t t t -⋅+⨯--+-⋅+⨯- =223(283)263t t -++-； S =223 (023)22 3 (236)23(283)26 3 (68)t t t t t t t ⎧≤≤⎪⎪⎪-<≤⎨⎪⎪-++-<≤⎪⎩，∴正方形DEFG 与△ABC 的重合部分的面积S 与运动时间t 之间的函数关系图象大致是A 图象．故选A ． 考点：动点问题的函数图象；分段函数；分类讨论；动点型；综合题；压轴题．原创模拟预测题5．已知，如图①，在▱ABCD 中，AB =3cm ，BC =5cm ，AC ⊥AB ，△ACD 沿AC 的方向匀速平移得到△PNM ，速度为1cm /s ；同时，点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速移动，速度为1cm /s ，当△PNM 停止平移时，点Q 也停止移动，如图②，设移动时间为t （s ）（0＜t ＜4），连接PQ ，MQ ，MC ，解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ ∥MN ？（2）设△QMC 的面积为y （cm 2），求y 与x 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使S △QMC ：S 四边形ABQP =1：4？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（4）是否存在某一时刻t ，使PQ ⊥MQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）920=t ；（2）236105y t t =-+（0＜t ＜4）；（3）t =2；（4）23=t ． 【解析】 试题分析：（1）根据勾股定理求出AC ，根据PQ ∥AB ，得出CB CQ CA CP =，544t t =-，求解即可； （2）过点P 作PD ⊥BC 于D ，根据△CPD ∽△CBA ，得出453t PD -=，求出PD =1235t -，再根据S △QMC =S △QPC ，得出y =S △QMC =12QC •PD ，再代入计算即可； （3）根据S △QMC ：S 四边形ABQP =1：4，得出S △QPC ：S △ABC =1：5，代入得出（236105t t -+）：6=1：5，再计算即可；（4）根据PQ ⊥MQ 得出△PDQ ∽△MQP ，得出2PQ =MP •DQ ，根据勾股定理得出22PD DQ +=MP •DQ ，再分别代入得出59165)5916()5312(22t t t -⨯=-+-，求出t 即可． （4）若PQ ⊥MQ ，则∠PQM =∠PDQ ，∵∠MPQ =∠PQD ，∴△PDQ ∽△MQP ，∴DQPQ PQ PM =，∴2PQ =MP •DQ ，∴22PD DQ +=MP •DQ ，∵CD =1645t -，∴DQ =CD ﹣CQ =1645t t --=1695t -，∴59165)5916()5312(22t t t -⨯=-+-，∴整理得0322=-t t ，解得10t =（舍去），232t =，∴23=t 时，PQ ⊥MQ ．考点：相似形综合题；动点型；存在型；综合题；压轴题．原创模拟预测题6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于A （﹣3，0），B （1，0）两点．与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D 的坐标；（2）如图1，点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿A →B 匀速运动，到达点B 时停止运动．以AP 为边作等边△APQ （点Q 在x 轴上方），设点P 在运动过程中，△APQ 与四边形AOCD 重叠部分的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式；（3）如图2，连接AC ，在第二象限内存在点M ，使得以M 、O 、A 为顶点的三角形与△AOC 相似．请直接写出所有符合条件的点M 坐标．【答案】（1）23233y x x =--+ D （﹣2，3）；（2）223 (02)43 3 (23)31143 3 (34)2t t t t t t t ⎧≤≤⎪⎪⎪-<≤⎨⎪-+-<≤⎪⎩；（3）M （﹣3，3）或（﹣3，33）或（94-，334）或（34-，334）． 【解析】 试题解析：（1）∵抛物线23y ax bx =+A （﹣3，0），B （1，0）两点，∴933030a b a b ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩，解得：3323a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩23233y x =-+D 点坐标为（﹣23； （2）∵点D 与A 横坐标相差13tan ∠DAP 3DAP =60°，又∵△APQ 为等边三角形，∴点Q 始终在直线AD 上运动，当点Q 与D 重合时，由等边三角形的性质可知：AP =AD 22(3)1+2．①当0≤t ≤2时，P 在线段AO 上，此时△APQ 的面积即是△APQ 与四边形AOCD 的重叠面积．AP =t ，∵∠QAP =60°，∴点Q 的纵坐标为t •sin 603，∴S =132t ⨯23． ②当2＜t ≤3时，如图：此时点Q 在AD 的延长线上，点P 在OA 上，设QP 与DC 交于点H ，∵DC ∥AP ，∴∠QDH =∠QAP =∠QHD =∠QP A =60°，∴△QDH 是等边三角形，∴S =S △QAP ﹣S △QDH ，∵QA =t ，∴S △QAP =23t ，∵QD =t﹣2，∴S △QDH =23(2)4t -，∴S =2233(2)44t t --=33t -； ③当3＜t ≤4时，如图：此时点Q 在AD 的延长线上，点P 在线段OB 上，设QP 与DC 交于点E ，与OC 交于点F ，过点Q 作AP 的垂涎，垂足为G ，∵OP =t ﹣3，∠FPO =60°，∴OF =OP •tan 603t ﹣3），∴S △FOP =132t ﹣3）（t ﹣3）233)t -，∵S =S △QAP ﹣S △QDE ﹣S △FOP ，S △QAP ﹣S △QDE 33t ∴S 23333)2t t -=231143322t -+ 综上所述，S 与t 之间的函数关系式为S =223 (02)3 3 (23)31143 3 (34)22t t t t t ≤≤-<≤⎪-+<≤⎪⎩；（3）∵OC=3，OA=3，OA⊥OC，则△OAC是含30°的直角三角形．①当△AMO以∠AMO为直角的直角三角形时；如图：过点M2作AO的垂线，垂足为N，∵∠M2AO=30°，AO=3，∴M2O=32，又∵∠OM2N=M2AO=30°，②当△AMO以∠OAM为直角的直角三角形时；如图：∵以M、O、A为顶点的三角形与△OAC相似，∴OAAM=3，或AMOA=3，∵OA=3，∴AM=3或AM=33，∵AM⊥OA，且点M在第二象限，∴点M的坐标为（﹣3，3）或（﹣3，33）．综上所述，符合条件的点M的所有可能的坐标为（﹣3，3），（﹣3，33），（94-，33），（34-，33）．考点：二次函数综合题；相似三角形综合题；分段函数；分类讨论；动点型；相似三角形的判定；综合题；压轴题．原创模拟预测题7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝900，AC=6，BC=8．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动；同时，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动．过线段MN的中点G作边AB的垂线，垂足为点G，交△ABC的另一边于点P，连接PM、PN，当点N 运动到点A 时，M 、N 两点同时停止运动，设运动时间为t 秒．（1）当t＝ 秒时，动点M 、N 相遇；（2）设△PMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；（3）取线段PM 的中点K ，连接KA 、KC ，在整个运动过程中，△KAC 的面积是否变化？若变化，直接写出它的最大值和最小值；若不变化，请说明理由．【答案】（1）2.5；（2）S =22275156 (0 1.4)4860100 (1.4 2.5)386010010 (2.5)33t t t t t t t t t ⎧--≤≤⎪⎪-+⎪<≤⎨⎪⎪-+-<≤⎪⎩；（3）在整个运动过程中，△KAC 的面积会发生变化，最小值为1.68，最大值为4．【解析】试题分析：（1）由∠ACB ＝900，AC =6，BC =8，得到AB =10，当M 、N 相遇时，AM +BN =AB =10，即310t t +=，解得 2.5t =；（2）由于N 比M 运动的速度快，故P 先在BC 上运动，然后在CA 上运动．先算出当P 与C 重合时，所用的时间1.4t =，由于相遇的时间 2.5t =，停止的时间103t =，故分三种情况讨论， ①当0 1.4t ≤≤时，M 在N 的左边，P 先在BC 上向C 靠近；②当1.4 2.5t <≤时，M 在N 的左边，在AC 上逐渐远离C ；③当102.53t <≤时，M 在N 的右边，在AC 上逐渐远离C ．由于S =ΔPMN S =12MN •PG ，MN =10－4t ，只需要表示出三种情况中的PG 即可，用三角函数计算比较简单；（3）分两种情况讨论，①当P 在BC 上运动时，如图4，当P 与C 重合时，ΔKAC S 最小，当t =0是，M 与A 重合，N 与B 重合，如图5，此时三角形ΔKAC S 最大；②当P 在CA 上运动时，如图6，过K 作KE ⊥AC 于E ，过M 作MF ⊥AC 于F ，可以得到ΔKAC S =65t ，而101.43t ≤≤，故当 1.4t =时，ΔKAC S 的最小值=6 1.4 1.685⨯=，当103t =时，ΔKAC S 的最大值=610453⨯=．综合①②可得到结论．①当0 1.4t ≤≤时，M 在N 的左边，P 先在BC 上向C 靠近，如图1，∵AM =t ，BN =3t ，∴MN =10－4t ，MG =GN =12MN =1(104)2t -=52t -，∴GB =GN +NB =523t t -+=5t +，∵tanB =PG AC GB BC =，∴658PG t =+，∴PG =3(5)4t +，∴S =ΔPMN S =12MN •PG = GN •PG =3(52)(5)4t t -⨯+=2751564t t --； ②当1.4 2.5t <≤时，M 在N 的左边，在AC 上逐渐远离C ，如图2，由①可知，GN =MG =52t -，AM =t ，∴AG =MG +AM =5t -，tanA=PG BC AG AC =，∴856PG t =-，∴PG =4(5)3t -，∴S =ΔPMN S =12MN •PG = GN •PG =4(52)(5)3t t -⨯-=28601003t t -+； ③当102.53t <≤时，M 在N 的右边，在AC 上逐渐远离C ，如图3．MN =NB +AM －AB =310t t +-=410t -，GN =MG =25t -，AM =t ，∴AG = A M －MG =(25)t t --=5t -，tanA =PG BC AG AC =，∴856PG t =-，∴PG =4(5)3t -，∴S =ΔPMN S =12MN •PG = GN •PG =4(25)(5)3t t -⨯-=28601003t t -+-； ∴S =22275156 (0 1.4)4860100 (1.4 2.5)386010010 (2.5)33t t t t t t t t t ⎧--≤≤⎪⎪-+⎪<≤⎨⎪⎪-+-<≤⎪⎩； （3）①当P 在BC 上运动时，如图4，当P 与C 重合时，ΔKAC S 最小，过M 作MF ⊥AC 于F ，则MF ∥BC ，∴MF AM BC AB =，，∴ 1.4810MF =，∴MF =1.12，∴ΔKAC S =12ΔMAC S =12•12AC •MF =16 1.124⨯⨯=1.68，当t =0是，M 与A 重合，N 与B 重合，此时三角形ΔKAC S 最大，如图5，此时BG =AG =5，cosB =BG BC PB AB =，∴5810PB =，∴PB =254，∴PC =BC －PB =8－254=74，∴ΔPAC S =12AC •PC =17624⨯⨯=214，∵K 是AP 的中点，∴ΔKAC S =12ΔPAC S =218，∴当P 在BC 上运动时，△KAC 面积的最小值为1.68，最大值为218；考点：三角形综合题；动点型；分类讨论；最值问题；分段函数；压轴题．原创模拟预测题8．如图1，矩形ABCD 的两条边在坐标轴上，点D 与坐标原点O 重合，且AD =8，AB =6．如图2，矩形ABCD 沿OB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P 从A 点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD 的边AB 经过点B 向点C 运动，当点P 到达点C 时，矩形ABCD 和点P 同时停止运动，设点P 的运动时间为t 秒．（1）当t =5时，请直接写出点D 、点P 的坐标；（2）当点P 在线段AB 或线段BC 上运动时，求出△PBD 的面积S 关于t 的函数关系式，并写出相应t 的取值范围；（3）点P 在线段AB 或线段BC 上运动时，作PE ⊥x 轴，垂足为点E ，当△PEO 与△BCD 相似时，求出相应的t 值．【答案】（1）D （﹣4，3），P （﹣12，8）；（2）424 (06)318 (614)t t S t t -+≤≤⎧=⎨-<≤⎩；（3）6． 【解析】试题解析：（1）延长CD 交x 轴于M ，延长BA 交x 轴于N ，如图1所示：则CM ⊥x 轴，BN ⊥x 轴，AD ∥x 轴，BN ∥DM ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD =90°，CD =AB =6，BC =AD =8，∴BD 2268+，当t =5时，OD =5，∴BO =15，∵AD ∥NO ，∴△ABD ∽△NBO ，∴23AB AD BD BN NO BO ===，即6823BN NO ==，∴BN =9，NO =12，∴OM =12﹣8=4，DM =9﹣6=3，PN =9﹣1=8，∴D （﹣4，3），P （﹣12，8）；（2）如图2所示：当点P 在边AB 上时，BP =6﹣t ，∴S =12BP •AD =12（6﹣t ）×8=﹣4t +24；综上所述：424 (06)318 (614)t tSt t-+≤≤⎧=⎨-<≤⎩；（3）设点D（45t-，35t）；①当点P在边AB上时，P（48 5t--，85t），若PE CDOE CB=时，8654885tt=+，解得：t=6；若PE CBOE CD=时，8854685tt=+，解得：t=20（不合题意，舍去）；②当点P在边BC上时，P（1145t-+，365t+），若PE CDOE CB=时，366518145tt+=-，解得：t=6；综上所述：当t=6时，△PEO与△BCD相似．考点：四边形综合题；动点型；分类讨论；分段函数；压轴题．。
初中数学中考模拟复习专题26动态几何之面动形成的函数关系问题考试卷及答案 .docx
xx学校xx学年xx 学期xx 试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:如图，点G、E、A、B在一条直线上，等腰直角△EFG从如图所示是位置出发，沿直线AB以1单位/秒向右匀速运动，当点G与B重合时停止运动。
已知AD=1，AB=2，设△EFG与矩形ABCD重合部分的面积为S平方单位，运动时间为t秒，则S与t的函数关系是。
试题2:如图，已知直线交坐标轴于两点，以线段为边向上作正方形，过点的抛物线与直线另一个交点为．（1）请直接写出点的坐标；评卷人得分（2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑，直至顶点落在轴上时停止．设正方形落在轴下方部分的面积为，求关于滑行时间的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围；试题3:如图，长是2宽是1的矩形和边长是1的正三角形，矩形的一长边与正三角形的一边在同一水平线上，三角形沿该水平线自左向右匀速穿过矩形。
设穿过的时间为t，矩形与三角形重合部分的面积为S，那么S关于t的函数大致图象应为【】A． B． C． D．试题4:如图，平面之间坐标系中，Rt△ABC的∠ACB=90º，∠CAB=30º，直角边BC在x轴正半轴上滑动，点C的坐标为（t，0），直角边AC=，经过O，C两点做抛物线（a为常数，a＞0），该抛物线与斜边AB交于点E，直线OA：y2=kx（k为常数，k＞0）（1）填空：用含t的代数式表示点A的坐标及k的值：A ，k= ；（2）随着三角板的滑动，当a=1时：①请你验证：抛物线的顶点在函数的图象上；②当三角板滑至点E为AB的中点时，求t的值。
试题5:如图（1），Rt△ABC和Rt△EFD中，AC与DE重合，AB=EF=1，∠BAC=∠DEF=90º，∠ ACB=∠EDF=30º，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止。
专题25动态几何之线动形成的函数关系问题 -《决胜中考压轴题全揭秘知识篇》(解析版)
《中考压轴题全揭秘知识篇》（解析版）专题25：动态几何之线动形成的函数关系问题一、选择题1. （2014年甘肃兰州4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是A. B. C. D.【答案】D．【考点】1.动点问题的函数图象；2.正方形的性质；3.二次函数的性质和图象；4.分类思想的应用．【分析】根据三角形的面积即可求出S与t的函数关系式，根据函数关系式选择图象：①当0≤t≤4时，S=12×t×t=12t2，即S=12t2，该函数图象是开口向上的抛物线的一部分．故B、C错误；②当4＜t≤8时，S=16﹣12×（t﹣4）×（t﹣4），即S=﹣12t2+4t+8，该函数图象是开口向下的抛物线的一部分．故A错误．故选D．2. （2014年内蒙古赤峰3分）如图，一根长为5米的竹竿AB斜立于墙AC的右侧，底端B与墙角C的距离为3米，当竹竿顶端A下滑x米时，底端B便随着向右滑行y米，反映y与x变化关系的大致图象是A. B. C. D.【答案】A．【考点】1.动线问题的函数问题；2.勾股定理；3. 排他法的应用.【分析】应用排他法解题：∵AB=5，BC=3，∴由勾股定理，得AC=4∴如答图，11A C4x,CB3y=-=+.∵2221111A B A C CB=+，∴()()22254x3y=-++.∴y与x的变化关系不是一次函数的关系，选项B，C错误.又∵当x=0时，y=0，∴选项D错误.故选A．3. （2013年湖北荆门3分）如下图所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是4、（2015盐城）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B．【解析】试题分析：当点P在AD上时，△ABP的底AB不变，高增大，所以△ABP的面积S随着时间t的增大而增大；当点P在DE上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；当点P在FG上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；当点P在GB上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小；故选B．考点：1．动点问题的函数图象；2．分段函数；3．分类讨论；4．压轴题．5、（2015荆州）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA 运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C．【解析】试题分析：由题意可得BQ=x．①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，则△BPQ的面积=12BP•BQ，解y =12•3x•x=232x；故A选项错误；②1＜x≤2时，P点在CD边上，则△BPQ的面积=12BQ•BC，解y=12•x•3=32x；故B选项错误；③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x，则△BPQ的面积=12AP•BQ，解y=12•（9﹣3x）•x=29322x x；故D选项错误．故选C．考点：1．动点问题的函数图象；2．分段函数．6、（2015邵阳）如图，在等腰△ABC中，直线l垂直底边BC，现将直线l沿线段BC从B点匀速平移至C点，直线l与△ABC的边相交于E、F两点．设线段EF的长度为y，平移时间为t，则下图中能较好反映y与t的函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B．考点：1．动点问题的函数图象；2．数形结合．二、填空题1. （2013年辽宁大连3分）如图，抛物线29y x bx2=++与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为▲．三、解答题1. （2014年湖南怀化10分）如图1，在平面直角坐标系中，AB=OB=8，∠ABO=90°，∠yOC=45°，射线OC 以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动，设平行移动x秒后，射线OC 扫过Rt△ABO的面积为y．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x=3秒时，射线OC平行移动到O′C′，与OA相交于G，如图2，求经过G，O，B三点的抛物线的解析式；（3）现有一动点P在（2）中的抛物线上，试问点P在运动过程中，是否存在三角形POB的面积S=8的情况？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵AB=OB，∠ABO=90°，∴△ABO是等腰直角三角形.∴∠AOB=45°.∵∠yOC=45°，∴∠AOC=（90°﹣45°）+45°=90°. ∴AO ⊥CO. ∵C′O′是CO 平移得到，∴AO ⊥C′O′. ∴△OO′G 是等腰直角三角形. ∵射线OC 的速度是每秒2个单位长度，∴OO′=2x.∴y=()2212x 2x 2⋅=.（2）当x=3秒时，OO′=2×3=6，∵12×6=3，∴点G 的坐标为（3，3）. 设抛物线解析式为y=ax 2+bx ，则9a 3b 364a 8b 0+=⎧⎨+=⎩，解得1a 58b 5⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.∴抛物线的解析式为218y x x 55=-+. （3）存在. 设点P 到x 轴的距离为h ，则S △POB =12×8h=8，解得h=2， 当点P 在x 轴上方时，218x x 55-+=2，整理得，x 2﹣8x+10=0， 解得x 1=4﹣6，x 2=4+6.此时，点P 的坐标为（4﹣6，2）或（4+6，2）.当点P 在x 轴下方时，218x x 55-+=﹣2，整理得，x 2﹣8x ﹣10=0，解得x 1=4﹣26，x 2=4+26.此时，点P 的坐标为（4﹣26，﹣2）或（4+26，﹣2）.综上所述，点P 的坐标为（4﹣6，2）或（4+6，2）或（4﹣26，﹣2）或（4+26，﹣2）时，△POB 的面积S=8．【考点】1.二次函数综合题；2.线动平移和单动点问题；3.由实际问题列函数关系式；4. 等腰直角三角形的判定和性质；5.待定系数法的应用；6.曲线上点的坐标与方程的关系；7.分类思想和方程思想的应用． 【分析】（1）判断出△ABO 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠AOB=45°，然后求出AO ⊥CO ，再根据平移的性质可得AO ⊥C′O′，从而判断出△OO′G 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质列式整理即可得解.（2）求出OO′，再根据等腰直角三角形的性质求出点G 的坐标，然后设抛物线解析式为y=ax 2+bx ，再把点B 、G 的坐标代入，利用待定系数法求二次函数解析式解答.（3）设点P 到x 轴的距离为h ，利用三角形的面积公式求出h ，再分点P 在x 轴上方和下方两种情况，利用抛物线解析式求解即可．2. （2014年江西南昌12分）如图1，边长为4的正方形ABCD 中，点E 在AB 边上（不与点A 、B 重合），点F 在BC 边上（不与点B 、C 重合）.第一次操作：将线段EF 绕点F 顺时针旋转，当点E 落在正方形上时，记为点G ； 第二次操作：将线段FG 绕点G 顺时针旋转，当点F 落在正方形上时，记为点H ； 依此操作下去…（1）图2中的△EFD 是经过两次操作后得到的，其形状为 ▲ ，求此时线段EF 的长； （2）若经过三次操作可得到四边形EFGH.①请判断四边形EFGH 的形状为 ▲ ，此时AE 与BF 的数量关系是 ▲ ；②以①中的结论为前提，设AE 的长为x ，四边形EFGH 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式及面积y 的取值范围.（3）若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请直接写出其边长；如果不是，请说明理由． 【答案】解：（1）等边三角形.∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=CD=BC=AB ，∠A=∠B=∠C=90°.∵ED=FD ，∴△ADE ≌△CDF(HL). ∴AE=CF ，BE=BF. ∴△BEF 是等腰直角三角形.设BE 的长为x ，则EF=2x ，AE=4x -， ∵在Ｒt △AED 中，222AE AD DE +=，DE=EF ， ∴()()2224 x 42x -+=，解得12x 443,x 443=-+=-- (不合题意，舍去).∴EF=()2x 24438642=-+=-.（2）①四边形EFGH 为正方形；AE=BF.②∵AE=x ，∴BE=4x -.∵在Ｒt △BED 中，222EF BF BE =+，AE=BF ， ∴()222222y EF 4x x 168x x x 2x 8x 16==-+=-++=-+. ∵点E 不与点A 、B 重合，点F 不与点B 、C 重合， ∴0＜x ＜4.∵222y 2x 8x 162(x 4x 4)82(x 2)8=-+=-++=-+， ∴当x=2时有最小值8，当x=0或4时，有最大值16. ∴y 的取值范围是8＜y ＜16.（3）经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是8，它可能为正多边形，边长为424-．【考点】1.线动旋转问题；2.正方形的判定和性质；3.等边三角形的判定和性质；4.全等三角形的判定和性质；5.勾股定理；6.二次函数的应用．【分析】（1）根据正方形的性质，证明旋转后得到的两个直角三角形全等，得出AE 和FC 相等，再用勾股定理列出方程即可.（2）①根据旋转的性质可判定四边形EFGH 是正方形，得出AE=BF ；②根据正方形的面积公式，找出AE 长与正方形面积之间的等量关系式.（3）经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是8，它可能为正多边形，边长为424-．如答图2所示，粗线部分是由线段EF 经过7次操作所形成的正八边形．设边长EF=FG=x ，则BF=CG=2x ， BC=BF+FG+CG=22x x x 4++=，解得：x=424-．3. （2014年江西省9分）如图1，边长为4的正方形ABCD 中，点E 在AB 边上（不与点A 、B 重合），点F 在BC 边上（不与点B 、C 重合）.第一次操作：将线段EF 绕点F 顺时针旋转，当点E 落在正方形上时，记为点G ； 第二次操作：将线段FG 绕点G 顺时针旋转，当点F 落在正方形上时，记为点H ； 依此操作下去…（1）图2中的△EFD 是经过两次操作后得到的，其形状为 ▲ ，求此时线段EF 的长； （2）若经过三次操作可得到四边形EFGH.②以①中的结论为前提，设AE 的长为x ，四边形EFGH 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式及面积y 的取值范围.【答案】解：（1）等边三角形.∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=CD=BC=AB ，∠A=∠B=∠C=90°.∵ED=FD ，∴△ADE ≌△CDF(HL). ∴AE=CF ，BE=BF. ∴△BEF 是等腰直角三角形.设BE 的长为x ，则2x ，AE=4x -， ∵在Ｒt △AED 中，222AE AD DE +=，DE=EF ， ∴())2224 x 42x -+=，解得12x 443,x 443=-+=--(不合题意，舍去).∴EF=()2x 24438642=-+=-. （2）①四边形EFGH 为正方形；AE=BF.②∵AE=x ，∴BE=4x -.∵在Ｒt △BED 中，222EF BF BE =+，AE=BF ， ∴()222222y EF 4x x 168x x x 2x 8x 16==-+=-++=-+. ∵点E 不与点A 、B 重合，点F 不与点B 、C 重合， ∴0＜x ＜4.∵222y 2x 8x 162(x 4x 4)82(x 2)8=-+=-++=-+， ∴当x=2时有最小值8，当x=0或4时，有最大值16. ∴y 的取值范围是8＜y ＜16.【考点】1.线动旋转问题；2.正方形的判定和性质；3.等边三角形的判定和性质；4.全等三角形的判定和性质；5.勾股定理；6.二次函数的应用．【分析】（1）根据正方形的性质，证明旋转后得到的两个直角三角形全等，得出AE 和FC 相等，再用勾股定理列出方程即可.（2）①根据旋转的性质可判定四边形EFGH 是正方形，得出AE=BF ；②根据正方形的面积公式，找出AE 长与正方形面积之间的等量关系式.4. （2014年辽宁锦州14分）如图，平行四边形ABCD 在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（0，4），抛物线y=﹣x 2+mx+n 经过点A 和C ． （1）求抛物线的解析式．（2）该抛物线的对称轴将平行四边形ABCO 分成两部分，对称轴左侧部分的图形面积记为S 1，右侧部分图形的面积记为S 2，求S 1与S 2的比． （3）在y 轴上取一点D ，坐标是（0，72），将直线OC 沿x 轴平移到O′C′，点D 关于直线O′C′的对称点记为D′，当点D′正好在抛物线上时，求出此时点D′坐标并直接写出直线O′C′的函数解析式．【答案】解：（1）如图1，∵四边形ABCO 是平行四边形，∴BC=OA ，BC ∥OA ．∵A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（0，4），∴点C 的坐标为（2，4）． ∵抛物线y=﹣x2+mx+n 经过点A 和C ．∴42m n 042m n 4--+=⎧⎨-++=⎩，解得：m 1n 6=⎧⎨=⎩．∴抛物线的解析式为2y x x 6=-++．（2）如答图1，∵抛物线的解析式为22125y x x 6x 24⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，∴抛物线的对称轴x=12， 设OC 所在直线的解析式为y=ax ，∵点C 的坐标为（2，4），∴2a=4，即a=2． ∴OC 所在直线的解析式为y=2x ． 当x=12时，y=1，则点F 为（12，1）．∴S 2=12EC•EF=()119241224⎛⎫⋅-⋅-= ⎪⎝⎭，S 1=S 四边形ABCO ﹣S 2=9232444⋅-=．∴S 1：S 2=234：94 =23：9，即S 1与S 2的比为23：9． （3）如图2，过点D 作DM ⊥CO ，交x 轴于点M ，∵点C 的坐标为（2，4），∴tan ∠BOC=2142=． ∵∠OMD=90°﹣∠MOC=∠BOC ，∴tan ∠OMD=OD 1OM 2=．∵点D 的坐标是（0，72），∴712OM 2=，即OM=7． ∴点M 的坐标为（7，0）． 设直线DM 的解析式为y=kx+b ，则有7k b 07b 2+=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：1k 27b 2⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵点D 与点D′关于直线O′C′对称，∴DD′⊥O′C′，且DD′的中点在直线O′C′上． ∵OC ∥O′C′，∴DD′⊥OC ．∴点D′是直线DM 与抛物线的交点．联立217y x 22y x x 6⎧=-+⎪⎨⎪=-++⎩，解得：21125x x 12,y 49y 4⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩，∴点D′的坐标为（﹣1，4）或（52，94）． 当点D′的坐标为（﹣1，4）时，直线O′C′的解析式为19y 2x 4=+；当点D′的坐标为（52，94）时，直线O′C′的解析式为3y 2x 8=+． 【考点】1.二次函数综合题；2.线动平移问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.二次函数的性质；6.平行四边形的性质；7.锐角三角函数的定义；8.分类思想的应用． 【分析】（1）由条件可求出点C 的坐标，然后用待定系数法就可求出抛物线的解析式．（2）由抛物线的解析式可求出其对称轴，就可求出S 2，从而求出S 1，就可求出S 1与S 2的比． （3）由题可知DD′⊥O′C′，且DD′的中点在直线O′C′上．由OC ∥O′C′可得DD′⊥OC ．过点D 作DM ⊥CO ，交x 轴于点M ，只需先求出直线DM 的解析式，再求出直线DM 与抛物线的交点，就得到点D′的坐标，然后求出DD′中点坐标就可求出对应的直线O′A′的解析式：设直线O′C′的解析式为y=2x+c ，①当点D′的坐标为（﹣1，4）时，如答图3，线段DD′的中点为（012-，7422+），即（12-，154），则有（1152c 24⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，解得：c=194．此时直线O′C′的解析式为19y 2x 4=+． ②当点D′的坐标为（52，94）时，如答图4，同理可得：此时直线O′C′的解析式为3y 2x 8=+．5. （2014年四川攀枝花12分）如图，抛物线2y ax 8ax 12a =-+（a ＞0）与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，点D 的坐标为（﹣6，0），且∠ACD=90°． （1）请直接写出A 、B 两点的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得△PAC 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标及周长的最小值；若不存在，说明理由；（4）平行于y 轴的直线m 从点D 出发沿x 轴向右平行移动，到点A 停止．设直线m 与折线DCA 的交点为G ，与x 轴的交点为H （t ，0）．记△ACD 在直线m 左侧部分的面积为s ，求s 关于t 的函数关系式及自变量t的取值范围．【答案】解：（1）A （2，0），B （6，0）．（2）抛物线的解析式为：2y ax 8ax 12a =-+（a ＞0），令x=0，得y=12a ，∴C （0，12a ），OC=12a ．在Rt △COD 中，由勾股定理得：()222222CD OC OD 12a 6144a 36=+=+=+； 在Rt △COD 中，由勾股定理得：()222222AC OC OA 12a 2144a 4=+=+=+； 在Rt △COD 中，由勾股定理得：DC 2+AC 2=AD 2， 即：()()222144a 36144a 48+++=，解得：a=36或a=36-（舍去）. ∴抛物线的解析式为：2343y x x 2363=-+． （3）存在．对称轴为直线：433x 4326-=-=⋅． 由（2）知C （0，23），则点C 关于对称轴x=4的对称点为C′（8，23），如答图1，连接AC′，与对称轴交于点P ，则点P 为所求．此时△PAC 周长最小，最小值为AC+AC′．设直线AC′的解析式为y=kx+b ，则有：2k b 08k b 23+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得3k 23b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ∴直线AC′的解析式为323y x =-． 当x=4时，23y =，∴P （4，23）．过点C′作C′E ⊥x 轴于点E ，则C′E=23，AE=6， 在Rt △AC′E 中，由勾股定理得：()22AC 23643'=+=，在Rt △AOC 中，由勾股定理得：()22AC 2234=+=．∴AC+AC′=443+．∴存在满足条件的点P ，点P 坐标为（4，23），△PAC 周长的最小值为443+． （4）①当﹣6≤t≤0时，如答图2．∵直线m 平行于y 轴，∴△DGH ∽△DCO. ∴GH DHOC OD =6t 623+=. ∴)3GH 6t =+ ∴())DGH 113S S DH GH 6t 6t 22∆==⋅=++2323t 63=++②当0＜t≤2时，如答图3．∵直线m 平行于y 轴，∴△AGH ∽△ACO. ∴GH AHOC OA =，即2t 223-=， ∴GH 3t 23=-+． ∴S=S △COD +S 梯形OCGH()11OD OC GH OC OH 22=⋅++⋅ ()21136233t 2323t t 23t 6322=⨯⨯+-++⋅=-++ ∴s 关于t 的函数关系式为S ()()223t 23t 636t 03t 23t 630t 2⎧++-≤≤⎪=⎨⎪-++≤⎪⎩＜．【考点】1.二次函数综合题；2.轴对称的应用（最短线路问题）；3.线动平移问题；4.勾股定理；5.待定系数法的应用；6.曲线上点的坐标与方程的关系；7.相似三角形的判定和性质；8.由实际问题列函数关系式；9.分类思想的应用．【分析】（1）抛物线的解析式为：2y ax 8ax 12a =-+（a ＞0），令y=0，即2ax 8ax 12a 0-+=，解得x 1=2，x 2=6，∴A （2，0），B （6，0）．（2）由∠ACD=90°可知△ACD 为直角三角形，利用勾股定理，列出方程求出a 的值，进而求出抛物线的解析式.（3）△PAC 的周长=AC+PA+PC ，AC 为定值，则当PA+PC 取得最小值时，△PAC 的周长最小．设点C 关于对称轴的对称点为C′，连接AC′与对称轴交于点P ，由轴对称的性质可知点P 即为所求.（4）直线m 运动过程中，有两种情形，需要分类讨论并计算，避免漏解．6. （2013年湖南邵阳8分）如图所示，已知抛物线y=﹣2x 2﹣4x 的图象E ，将其向右平移两个单位后得到图象F ．（1）求图象F 所表示的抛物线的解析式：（2）设抛物线F 和x 轴相交于点O 、点B （点B 位于点O 的右侧），顶点为点C ，点A 位于y 轴负半轴上，且到x 轴的距离等于点C 到x 轴的距离的2倍，求AB 所在直线的解析式．由题意，得b 42k b 0=-⎧⎨+=⎩，解得k 2b 4=⎧⎨=-⎩。
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2016中考数学预测押题--专题26 动态几何之面动形成的函数关系问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
动态几何形成的函数关系和图象问题是动态几何中的基本问题，包括单动点形成的函数关系和图象问题，双（多）动点形成的函数关系和图象问题，线动形成的函数关系和图象问题，面动形成的函数关系和图象问题。
本专题原创编写面动形成的函数关系问题模拟题。
面动问题就是在一些基本几何图形上，设计一个动面（包括平移和旋转），或由点动、线动形成面动，并对面在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究在中考压轴题中，面动形成的函数关系问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。
原创模拟预测题1.如图，点G、E、A、B在一条直线上，等腰直角△EFG从如图所示是位置出发，沿直线AB以1单位/秒向右匀速运动，当点G与B重合时停止运动。
已知AD=1，AB=2，设△EFG 与矩形ABCD重合部分的面积为S平方单位，运动时间为t秒，则S与t的函数关系是▲。
【答案】()()()221t t0t121S1<t2219t3t2<t322⎧-+≤≤⎪⎪⎪=≤⎨⎪⎪-+≤⎪⎩。
【考点】面动问题的函数图象，矩形和等腰直角三角形性质，数形结合思想和分类思想的应用。
【分析】分三种情况讨论：如图1，当点G 在点A 左侧，点E 在点A 右侧时， 此时0≤t ≤1，AE= t ，GA PA 1t ==- ∴()()2111S PA FE AE 1t 1t t t 222=⋅+⋅=⋅-+⋅=-+。
如图2，当点G ，E 在点A ，B 之间时， 此时1˂t ≤2，∴111S GE AE 11222=⋅⋅=⋅⋅=。
如图3，点G 在点B 左侧，点E 在点B 右侧时， 此时2˂t ≤3，PB=GB=()()AB AG AB AE GE 2t 13t -=--=--=-∴()221119S GB PB 3t t 3t 2222=⋅=⋅-=-+。
综上所述，S 与t 的函数关系是()()()221t t 0t 121S 1<t 2219t 3t 2<t 322⎧-+≤≤⎪⎪⎪=≤⎨⎪⎪-+≤⎪⎩。
原创模拟预测题2. 如图，已知直线121+-=x y 交坐标轴于两点，以线段为边向上作正方形，过点的抛物线与直线另一个交点为．B A ，AB ABCDCD ，A ，E（1）请直接写出点的坐标；（2）求抛物线的解析式； （3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑，直至顶点落在轴上时停止．设正方形落在轴下方部分的面积为，求关于滑行时间的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围； 【答案】（1）；（2）； （3）当01t <≤时，2115552224FB G t S FB GB t t '''=⨯=⨯=△ 当12t <≤时， ； 当23t <≤时，=． 【解析】（1）；（2）设抛物线为，抛物线过点，∴解得 DC ,5ABDxxS S t t)3,1(),2,3(D C 1617652++-=x x y ''1'')''2A B HG S A G B H A B =+⨯梯形（5)25255(21⨯+-=t t 4525-=t 22'''3555)2GA B C Ht S -=-五边形（）（425215452-+-t t )3,1(),2,3(D C cbx ax y ++=2),1,0()3,1(),2,3(⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.239,3,1c b a c b a c 5,617,61.a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩∴；∴∴， ∵，1617652++-=x xy 22''215,A B AB ==+=,55'-=t F A 255'-=t G A 25'tH B =∴； ③当点运动到轴上时，，当23t <≤时，如图3，∵， ∴∵11212AOF S =⨯⨯=△，1OA =， AOF GD H '△∽△ 2GD H AOF S GD S OA ''⎛⎫∴= ⎪⎝⎭△△， 23552GD Ht S '⎛⎫-∴= ⎪ ⎪⎝⎭△， ∴=． 考点：二次函数的综合题点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．原创模拟预测题3. 如图，长是2宽是1的矩形和边长是1的正三角形，矩形的一长边与正三角形的一边在同一水平线上，三角形沿该水平线自左向右匀速穿过矩形。
设穿过的时间为t ，矩形与三角形重合部分的面积为S ，那么S 关于t 的函数大致图象应为 【 】''1'')''2A B HG S A G B H A B =+⨯梯形（5)25255(21⨯+-=t t 4525-=t D x3=t 255'-=t G A 25532555'tt GD -=--=22'''3555)2GA B C Ht S -=-五边形（）（425215452-+-t t【答案】A 。
【考点】动面问题的函数图象，矩形和等边三角形的性质。
原创模拟预测题4. 如图，平面之间坐标系中，Rt △ABC 的∠ACB=90º，∠CAB=30º，直角边BC 在x 轴正半轴上滑动，点C 的坐标为（t ，0），直角边AC=23，经过O ，C 两点做抛物线()1y ax x t =-（a 为常数，a ＞0），该抛物线与斜边AB 交于点E ，直线OA ：y 2=kx （k 为常数，k ＞0）（1）填空：用含t 的代数式表示点A 的坐标及k 的值：A ▲ ，k= ▲ ； （2）随着三角板的滑动，当a=1时：①请你验证：抛物线()1y ax x t =-的顶点在函数2y x =-的图象上； ②当三角板滑至点E 为AB 的中点时，求t 的值。
【答案】（1）（t ，23）；23k t=（k ＞0）。
（2）①当a=时1，()21y x x t x tx =-=-，其顶点坐标为2t t 24⎛⎫- ⎪⎝⎭，。
对于2y x =-，当x=t 2时，22t t y 24⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭。
∴点2t t 24⎛⎫- ⎪⎝⎭，在抛物线21y x 4=-上。
∴当a=14时，抛物线()1y ax x t =-的顶点在函数21y x 4=-的图象上。
②如图，过点E 作EK ⊥x 轴于点K ，∵直角边AC=23，∴另一直角边CB=2。
∵AC ⊥x 轴，∴AC ∥EK 。
∵点E 是线段AB 的中点，∴K 为BC 的中点。
∴EK 是△ACB 的中位线。
∴EK=12AC=3，CK=12CB=1。
∴E （t+1，3）。
∵点E 在抛物线()1y x x t =-上，∴()()t 1t 1t 3++-=，解得t 31=-。
∴当三角板滑至点E 为AB 的中点时，t 31=-。
【考点】面动平移问题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，三角形中位线定理，含30度直角三角形的性质。
【分析】（1）∵点C 的坐标为（t ，0），直角边AC =23，∴点A 的坐标是（t ，23）。
∵直线OA ：y 2=kx （k 为常数，k ＞0），∴23=kt ，则23k t=（k ＞0）。
原创模拟预测题 5. 如图（1），Rt △ABC 和Rt △EFD 中，AC 与DE 重合，AB=EF=1，∠BAC=∠DEF=90º，∠ ACB=∠EDF=30º，固定△ABC ，将△DEF 绕点A 顺时针旋转，当DF 边与AB 边重合时，旋转中止。
现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE ，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G ，H 点，如图(2)（1）问：始终与△AGC 相似的三角形是 ▲ ； （2）设CG=x ，BG=y ，求y 关于x 的函数关系式； （3）问：当x 为何值时，△HGA 是等腰三角形。
【答案】（1）△HGA 。
（2）∵∠BAC =90º，∠ ACB =30º，AB =1，∴BG CG BC +=，即y x 2+=。
∴y 2x =-。
又∵BC=2，∴0x 2<<。
∴y 关于x 的函数关系式为()y 2x 0x 2<<=-。
（3）由（1）知，△AGC ∽△HGA ，若△HGA 是等腰三角形，则AGC 也是等腰三角形。
所以分两种情况：①当CG=AG 时，AG 是R t △ABC 斜边上的中线， 此时，x=CG=12BC=1。
②当CG= CA 时, x=CG=3。
∴当x=1或x 3=时，△AGH 是等腰三角形。
【考点】面动旋转问题，含30度角直角三角形的性质，三角形内角和外角性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，由实际问题列函数关系式，分类思想的应用。
原创模拟预测题6.如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．（1）求点B，C的坐标；（2）判断△CDB的形状并说明理由；（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．【答案】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y=﹣（x﹣1）2+c上，∴0=﹣（﹣1﹣1）2+c，解得c=4。
∴抛物线解析式为：y=﹣（x﹣1）2+4。
令x=0，得y=3，∴C（0，3）；令y=0，得x=﹣1或x=3，∴B（3，0）。
（2）△CDB为直角三角形。
理由如下：由抛物线解析式，得顶点D的坐标为（1，4）。
如答图1所示，过点D作DM⊥x轴于点M，（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（3，0），C（0，3），∴3k b0b3+=⎧⎨=⎩，解得k1b3=-⎧⎨=⎩。