仅直尺做圆外一点做圆切线
尺规作图两个圆的切线
尺规作图方法如下：先取得两圆半径——取半径的方法是在一个圆上任意做一条弦，然后过它与圆的一个交点作垂线，然后就得到圆的直径。
做中点即可（同时也得到了两圆圆心）然后取得半径之差d——画在旁边好了。
取得两圆圆心之间的距离p取得一个斜边为p、一条直角边为d的直角三角形。
方法是先过d的一个端点作垂线，再过d的另一个端点画半径为p的圆，取交点。
得到此直角三角形的另一条直角边q过小圆圆心以q为半径画圆，过大圆圆心以d为半径画圆，交于S延长大圆圆心和S，和大圆的交点就是一个切点。
过小圆圆心做平行线交小圆的就是另一个切点。
PS：尺规作图取中点、取垂线、取平行线等方法都是最基础的，不详细说明了。
已知两圆A、B，求作两圆之外公切线作法一：作AB线段的中点M点，以M为圆心，AM为半径作圆（绿色），再以A为圆心，圆A、B之半径差为半径作圆（黄色），则此两圆（黄、绿）交於点Q，连接AQ，则与圆A交於点P，过P点作垂直线（红色），即为公切线。
--------------------------------------------------------------------------------已知两圆A、B，求作两圆之外公切线作法：过A作直线L，过B作直线L'平行L，L与A交於点P，L'与B交於点Q，连接PQ交AB直线於C点（E即为两外内切线交点），作AC中点M，以M为圆心，AM为半径作圆（黄）与圆A交於点D，连CD即为所求。
注：C点称为两圆之位似中心，CB：CA等於BQ：AP等於圆B与圆A半径比，所以过两圆心作平行线得P、Q两点，其连线过C点。
注：上述公切线作法都应该有两条，省略不予说明，而内公切线的作法只需模仿外公切线便可作出。
五种基本的尺规作图
在建筑设计中，尺规作图被广泛 应用于绘制平面图、立面图和剖 面图等，以确保建筑的准确性和
美观性。
机械工程
在机械制图中，尺规作图是绘制精 确零件图和装配图的重要工具，有 助于提高机械制造的精度和效率。
艺术设计
在美术、设计等艺术领域，尺规作 图也被用于创作具有几何美感的作 品，展现出独特的艺术魅力。
技巧分享
分享一些在尺规作图中常用的技巧和注意事项，如如何准确确定切点、如何绘制 垂直直线等，以提高作图的准确性和效率。同时，也可以介绍一些在实际应用中 可能会遇到的特殊情况和处理方法。
06 综合应用与拓展
五种基本尺规作图的综合应用
作一条已知线段的垂直平分线
利用直尺和圆规，可以准确作出已 知线段的垂直平分线，这在几何作 图中非常有用。
技巧分享
在绘制大圆时，可以将圆规两脚间距离调整得稍大一些，以提高绘制效率；在绘制小圆时 ，则需要更加精细地调整圆规两脚间距离，以确保绘制出的圆足够准确。
注意事项
在实例演示和技巧分享中，要强调保持圆规两脚间距离不变的重要性，以及注意调整圆规 两脚间距离的方法。同时，还可以分享一些在绘制过程中可能遇到的问题和解决方法，例 如如何避免圆规针尖滑动导致绘制出的圆不准确等问题。
五种基本的尺规作图
目 录
• 五种基本尺规作图概述 • 直线与角平分线作图 • 垂直平分线与平行线作图 • 圆的作图 • 圆弧连接与切线作图 • 综合应用与拓展
01 五种基本尺规作图概述
定义与分类
定义
尺规作图是指使用无刻度的直尺和圆 规进行作图的方法，是几何学中的基 本作图技能之一。
分类
五种基本的尺规作图包括作一条线段 等于已知线段、作一个角等于已知角 、作已知角的平分线、作线段的垂直 平分线以及作已知线段的中点。
初三数学圆的切线练习题
初三数学圆的切线练习题圆的切线是数学中的一个基本概念，对于初三学生来说，掌握圆的切线的性质和求解方法十分重要。
下面将给出几道关于圆的切线的练习题，帮助初三学生更好地理解和掌握圆的切线的知识。
题1：已知圆C的半径为r，点A是圆上的一个定点，过点A作圆C的一条切线，切线与圆C的切点为B。
设点M是切点B关于点A的对称点，连接AM。
证明：AM的中垂线与BM重合。
解析：首先，我们可以明确题目中给出的条件：一条过点A的切线与圆C的切点为B。
根据切线的性质，切线与半径所构成的角是直角。
因此，在三角形ABO（O为圆C的圆心）中，BO与AO垂直。
由于点M是切点B关于点A的对称点，所以AM与AB互相垂直。
因此，AM的中垂线与BM重合，即AM的中垂线也与AO重合。
题2：已知圆C的半径为r，点P是圆外一点，用直尺和铅笔求圆C的切线。
解析：根据圆的性质，过一点外一点的切线只有两条。
为了求得切线，我们可以使用以下的方法：步骤1：用直尺连接点P和圆心O，并延长直线PO交圆C于点A。
步骤2：以点O为圆心，OP为半径画一个圆，与圆C交于点B和点C。
步骤3：连接点P与点B，并延长线段PB。
步骤4：线段PB即为所求的切线。
题3：已知圆C内接于正方形ABCD，正方形的边长为a，求圆C 的半径和正方形边长的关系。
解析：首先，由于圆C内接于正方形ABCD，所以图形的中心点O 即为圆心。
连接圆心O与圆上的任意一点，得到半径r。
连接正方形的对角线，则线段一半的长度为圆C的半径r。
由于线段的长度等于正方形的边长的一半，所以有r = a/2。
题4：已知直径为20cm的圆C，过圆心O作一条与圆C相交于点A和点B的直径为d的弦。
求弦AB的长度。
解析：根据题意可知，弦AB的长度等于圆C的直径d的长度。
由于直径为20cm，所以弦AB的长度也为20cm。
题5：已知点A在圆C上，圆C的半径为r。
点A与圆心O之间的距离为d。
若点A到切点B的距离为m，求切线的长度。
圆与圆的公切线求法
圆与圆的公切线求法
求两个圆的公切线，可以根据两圆的位置关系分为三种情况：外离、相交、内切或内含。
以下是各种情况下的公切线求法：
外离的两圆：
有四条公切线，每两条公切线都互相垂直。
先找到两圆心连线的中点，再找到其中一个圆上的切点，则该切点与中点的连线与两圆心连线垂直。
通过解方程组（包括圆的方程和切线的斜率条件）可以求出具体的公切线方程。
相交的两圆：
有两条公切线，它们分别是两个圆在交点处的公共切线。
可以通过联立两个圆的方程求出交点，然后利用切线的定义求出公切线的方程。
内切或内含的两圆（一个圆在另一个圆内部，且仅有一个交点或无交点）：
只有一条公切线，若两圆内切，则在切点处有一条公切线；若两圆内含，则没有公切线。
对于内切的情况，公切线可以通过解圆的方程和切线的斜率条件来求出。
需要注意的是，以上方法都需要利用到圆的方程、切线的定义（切线与半径垂直）以及解方程组的技巧。
然而，更一般和实用的方法是使用几何性质和构造：
对于外离的两圆，可以通过找到一个圆上的切点，然后作该切点与另一个圆心的连线，再通过该连线作垂线得到公切线。
对于相交的两圆，直接利用交点和切线的定义即可找到公切线。
对于内切或内含的两圆，根据定义判断是否存在公切线，并利用切点和圆心连线来找到它（如果存在）。
在实际操作中，通常使用绘图工具（如圆规、直尺）或者几何软件来辅助构造和验证公切线的正确性。
在数学题目中，可能需要通过证明来展示公切线的存在性和性质。
仅直尺做圆外一点做圆切线
圆外一点做圆切线的作图法(仅直尺)利用直尺和圆规过已知圆外一点作这个圆的切线，是一个比较简单的作图问题．但是，如果只利用直尺来完成这个作图问题，想必是中学时候未曾想过的问题事实上这是可以的,下面我们就来说明这样的一个事情:作法：1．作圆的三条割线PEC、PFD、PGH，交点如图示．2．连结DE、CF交于X，连结DG、HF交于Y．3．作直线XY交圆于A、B．4．作直线PA、PB，则PA、PB就是所求作的圆的切线．那么我们接下来就对其进行证明:首先引入两个引理：先给出一个定理引理1：在圆内接六边形ABCDEF中，若AB·CD·EF=FA·BC·DE，则AD、BE、CF相交于一点．证明设AD、BE相交于G，连结FG，并延长FG交⊙O于C＇，再连结BC＇、C＇D．易知△AGB∽△EGD，△C＇GD∽△AGF，△EGF∽△C＇GB.所以有',,'AB BG C D DG EF FG DE DG AF FG BC BG === 由之可得'1'AB C D EF DE AF BC ⋅⋅=，即''AB C D EF FA BC DE ⋅⋅=⋅⋅与已知式子相比较得''C D BC CD BC =即''CD BC BC C D ⋅=⋅ (1)连结CC ’、BD ，在园内接四边形BCC ’D 中，由托勒密定理，得'''CD BC BC C D BD CC ⋅=⋅+⋅ (2)(1)(2),那么可知 '0BD CC ⋅= 即 '0CC =从而可知C 、C ’两点重合，于是AD 、BE 、CF 相交于一点． # 注：托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．已知：圆内接四边形ABCD ，求证：AC·BD＝AB·CD ＋AD·BC．证明：如上图，过C 作CP 交BD 于P ，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC ：BC=AD ：BP ，AC·BP=AD·BC ①。
两圆的公切线(2)
为此先看比
O1P
O2P
，
注意CD为内公切线，
因此可得
O1P
O2P
＝
O1C
O2D
连O1C、O2D可得O1C∥O2D， ，
同样注意
O1Q
O2Q
和AB为公切线，
连O1B、O2A可得O1B∥O2A，可知
O1Q
O2Q
＝
O1B
O2A
，
而O1C＝O2B，O2A＝ O2D，
得
O1C
O2D
＝OO21AB
，故可以得证 .
编制计算机程序。其中必有原因｜他觉得身上有点～就上床睡觉了。【畅饮】ｃｈàｎɡｙǐｎ动尽情地喝（酒）：开怀～｜～几杯。【不哼不哈】ｂùｈēｎɡ ｂùｈā不言语（多指该说而不说）：有事情问到他， 【晨星】ｃｈéｎｘīｎɡ名①清晨稀疏的星：寥若～。花黄绿色， 指事物、现象等很平常。 紫褐色， 【变革】ｂｉàｎɡé动改变事物的本质（多指社会制度而言）：～社会｜伟大的历史～。 非～所能忍受。③〈方〉不好意思：大伙儿都看着她，【壁障】
∠APO1＝∠CPO2 .
3．内公切线长的计算： 如图，作O1E∥AB交O2B的延长线于E，
构成Rt△O1EO2，
A
D
r
R
O1
P
O2
C
B
E
设⊙ O1和⊙ O2的半径分别为r，R， 则O2E＝R＋r，O1O2＝d，
AB＝O1E＝ d 2 (R r)2 。
例2、（教材例2）已知：⊙ O1和⊙ O2的半径分别 为4厘米和2厘米，圆心距 为10厘米，AB是⊙ O1和 ⊙ O2的一条内公切线，切点分别是A，B．
4．范例解析：
例1 要做一个如图那个的V形架，将两个钢管托起，已知 钢管的外径分别为200mm和80mm，求V形角的度数。
尺规作图——过圆外一点作圆的切线方法归纳
尺规作图 过圆外一点作圆的切线方法归纳胡小华(江苏省南京市金陵中学河西分校㊀２１００３６)摘㊀要:尺规作图是初中平面几何中的重要知识ꎬ是中考的热门题型.本文阐述了用多种方法过圆外一点作圆的切线ꎬ对学生的数学知识㊁方法㊁经验和思维能力都有一定的要求.通过尺规作图既复习了基本作图知识ꎬ又对圆的性质㊁切线的性质㊁以及切线的判定等知识进行了复习.关键词:尺规作图ꎻ切线ꎻ切线的判定中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)３５－００３１－０２收稿日期:２０１９－０９－１５作者简介:胡小华ꎬ女ꎬ江苏省泰兴人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀尺规作图是初中平面几何中的重要知识ꎬ是中考的热门题型ꎬ学生需综合运用所学的知识ꎬ多角度思考问题.在初三第一轮复习时ꎬ我设计了这样一个问题 过圆外一点Ａ作☉Ｏ的切线ꎬ尺规作图ꎬ保留作图痕迹ꎬ并说明作图的依据ꎬ比一比谁的画法多 .学生作品展示图１方法一:利用直径所对的圆周角是直角.连接ＡＯꎬ以ＡＯ为直径作☉Ｂꎬ☉Ｂ与☉Ｏ相交于Ｄ㊁Ｅ两点ꎬ则ＡＤꎬＡＥ即为所求作的切线.理由:☉Ｂ中ȵＡＯ是直径ꎬʑøＡＤＯ＝９０ʎ即ＯＤʅＡＤ.ȵＡＤ经过半径ＯＤ的外端ꎬʑＡＤ与☉Ｏ相切.该方法是由切线想到垂直ꎬ构造直角的常用方法之一是利用直径所对的圆周角是直角这一定理.再由切线图２的判定方法:过半径外端ꎬ并且垂直于半径的直线是圆的切线.切线的作法即转化为主要考虑作半径的垂线的方法ꎬ联系初三刚学过的知识ꎬ我们首先想到的是直径所对的圆周角是直角这一定理ꎬ这一方法也就顺其自然而产生.方法二:利用 等腰三角形三线合一 的性质作垂直.以Ｏ为圆心ꎬＢＣ长为半径作弧ꎬ以Ａ为圆心ꎬＡＯ长为半径作弧ꎬ两弧交于点ＤꎬＯＤ与☉Ｏ相交于点Ｅꎬ连接ＡＥꎬ则ＡＥ即为☉Ｏ的切线.另一条切线也可以用同样的方法作出.理由:ȵＡＯ＝ＡＤꎬＯＤ＝ＢＣ＝２ＯＥꎬʑＥ为ＯＤ的中点.ʑＡＥʅＯＤꎬʑＡＥ与☉Ｏ相切.要作切线想到垂直ꎬ而利用等腰三角形三线合一的性质也是我们常见的构造垂直的方法之一.方法三:利用勾股定理的逆定理构造垂直.分析:先假设切线画出来了ꎬ则斜边长为ＡＯ长ꎬ一条直角边长为半径ｒꎬ根据勾股定理可以求出另一条直角边的长.图３作øＤＣＨ＝９０ʎꎬ在ＣＨ上截取半径ｒꎬ交ＣＨ于点Ｇꎬ以Ｇ为圆心ꎬＡＯ长为半径作弧ꎬ交ＣＤ于点Ｆꎬ则ＣＦ长即为所求作的切线长.以Ａ为圆心ꎬＣＦ长为半径作弧交圆Ｏ于点Ｅꎬ连接ＡＥꎬ则ＡＥ即为所求作的一条切线.理由:ȵøＣ＝９０ʎꎬ１３ʑＦＣ２＋ＣＧ２＝ＦＧ２.又ȵＡＯ＝ＦＧꎬＣＧ＝ＯＥꎬＦＣ＝ＡＥꎬʑＡＥ２＋ＯＥ２＝ＡＯ２.ʑＡＥʅＯＥꎬʑＡＥ是☉Ｏ的切线.图４该作图方法是利用勾股定理的逆定理构造直角ꎬ想法比较独特ꎬ通过先构造直角找到三边关系ꎬ再利用三边关系构造直角ꎬ从而创造切线.学生的思维让人眼前一亮.方法四:利用相似作垂直证半径.延长ＡＯ到Ｄꎬ使得ＯＤ＝ＯＡ.以Ｄ为圆心ꎬ以☉Ｏ直径长为半径作弧ꎬ以Ｏ为圆心ꎬＯＡ长为半径作圆ꎬ交弧于点Ｆꎬ连接ＡＦ.过Ｏ点作ＯＥʅＡＦꎬ交ＡＦ于点Ｅꎬ则ＡＥ即为所求作的切线.证明:ȵＡＤ为直径ꎬʑøＡＦＤ＝９０ʎ.ȵＯＥʅＡＦꎬʑＯＥʊＤＦꎬ㊀㊀ʑәＡＯＥʐәＡＤＦꎬʑＯＥＤＦ＝ＡＯＡＤ＝１２ꎬʑＯＥ＝１２ＤＦ＝ｒ.又ȵＯＥʅＡＦꎬʑＡＥ是☉Ｏ的切线.前三种方法均是连半径ꎬ作垂直ꎬ第四种方法是作垂直证半径ꎬ刚好复习了初中阶段的证明切线的两种方法ꎬ也是学生综合运用知识解决问题能力的一种体现.在复习期间这样一个开放性的问题激发了学生学习的热情和潜能ꎬ围绕数学问题展开的思维碰撞ꎬ无不是学生学习主动性㊁能动性和创造性的综合体现.在解决问题的过程中复习了初中阶段常见的构造垂直的几种重要方法ꎬ我不禁感叹 只要给学生一个舞台ꎬ他们必将还我一片精彩 !㊀㊀参考文献:[１]沈文选.中学数学思想方法[Ｍ].长沙:湖南师范大学出版社ꎬ１９９９.[２]罗增儒.数学思想方法的教学[Ｊ].中学教研(数学)ꎬ２００４(７):２９－３０.[责任编辑:李克柏]以情促教㊀践行自主课堂浅议培养初中生数学情感的策略芮亚琴㊀任㊀庆(江苏省宜兴市桃溪中学㊀２１４２００)摘㊀要:数学情感就是学生在数学活动中对数学产生的求知欲及好奇心ꎬ它更多地倾向于数学兴趣ꎬ能对学生的学习产生积极的影响.注重学生数学情感的培养可以促进教学ꎬ是提高学生学习数学的自主性和主动性的必要条件.本文根据笔者多年的教学经验ꎬ结合教学实例ꎬ就如何培养学生的数学情感提出几点建议.关键词:数学情感ꎻ数学兴趣ꎻ主动学习中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)３５－００３２－０２收稿日期:２０１９－０９－１５作者简介:芮亚琴(１９８２.２－)ꎬ女ꎬ江苏省宜兴人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.任庆(１９７９.９－)ꎬ男ꎬ江苏省宜兴人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀情感是人与生俱来的一种心理活动ꎬ是人们对客观事物是否符合个体需要而产生的态度体验.情感对教学质量有一定的影响ꎬ积极的情感能让学生主动㊁快乐地学习ꎬ养成良好的习惯ꎬ获得一定的成就ꎬ消极的情感则会影响学生的学习效果.当新课标对学生的情感态度目标提出培养要求时ꎬ 数学情感 便作为数学学科上的专有名词被提了出来.初中学生正处在身心快速发展的时期ꎬ在教学中强化情感对学生的学习主动性及自觉性都有着积极的作用.在初中数学教学中ꎬ如何培养学生的数学情感ꎬ对此ꎬ笔者有以下几点粗浅的看法ꎬ供同仁们参考.㊀㊀一㊁渗透情感意义ꎬ体会情感价值什么是数学情感?为何要渗透数学情感的教育?数学情感对数学学习而言有着怎样的意义?让学生明白这些问题的本质是培养学生数学情感的第一步.教师在进行教学时可以将上述问题渗透至教学中ꎬ让学生体会数学情感的价值.如笔者在初二开学的起始阶段ꎬ专门开设了一堂主２３。
几何画板绘制圆的切线技巧解析
几何画板绘制圆的切线技巧解析
作圆的切线是几何绘图时常见的问题，圆的切线具有很多特性。
接下来我们一同看看如何用几何画板绘制圆的切线。
1.构造圆和线段。
利用圆工具制作一个圆O。
选择“点工具”，在圆外适当的位置绘制点C。
然后选择“线段工具”，绘制出线段OC。
利用点和线段工具绘制线段OC
2.构造中点。
选中线段OC，选择“构造”—“中点”命令，制作出线段OC的中点D。
选中线段OC构造OC的中点
3.作圆。
选中点D和点O，菜单“构造”中选择“以圆心和圆周上的点绘圆”。
选中点D和点O构造圆D
4.构造三角形。
两圆交点为E、F，使用“线段工具”连接线段CF、线段CE、线段OF、线段OE。
用线段工具构造线段CF、CE、OF、OE
5.隐藏圆及多余的点。
选中圆D、点D、点B，选择“显示”—“隐藏对象”命令。
使用隐藏命令隐藏圆D、点D、点B
6.更改线型。
选中线段CO、EO、FO，“显示”菜单中选择“线型”——“细”——“点线”。
圆的切线就绘制完成了。
线段CO、EO、FO的线型更改为点线
以上详细为大家介绍了圆的切线是怎样用几何画板绘制出来的，方便新用户快速入门，大家多多练习就可以掌握。
过圆外一点作圆的切线的两种方法
过圆外一点作圆的切线是一个有趣且具有一定难度的几何问题。
在数学几何中，有两种方法可以用来找到过圆外一点作圆的切线，分别是几何构造法和解析几何法。
在本文中，我将探讨这两种方法，并对其进行全面评估，以帮助你深入理解这一概念。
1. 几何构造法几何构造法是通过几何图形的构造和推导来寻找问题的解。
在求解过圆外一点作圆的切线时，我们可以利用几何构造法来找到两种方法，即内切和外切。
我们来看内切的情况。
设圆的圆心为O，外点为P。
我们可以通过以下步骤来构造过外点P作圆的内切线：a. 以外点P为圆心，画一条与圆相切的直线L，相切点为T。
b. 连接PT，可得到过外点P作圆的内切线。
接下来，我们来看外切的情况。
同样假设圆的圆心为O，外点为P。
通过以下步骤可以构造过外点P作圆的外切线：a. 以外点P为圆心，画一条与圆相切的直线L，相切点为T。
b. 连接PT，可得到过外点P作圆的外切线。
通过几何构造法，我们可以清晰地看到过圆外一点作圆的内切线和外切线的构造过程，从而更好地理解这一概念。
2. 解析几何法解析几何法是通过坐标系和方程来寻找问题的解。
在求解过圆外一点作圆的切线时，我们同样可以利用解析几何法来找到两种方法。
设圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，外点P的坐标为(x₀, y₀)。
我们可以通过以下步骤来求解过外点P作圆的切线方程：a. 联立圆的方程和外点P到圆的距离公式，可得到切线方程。
b. 根据切线方程，可以求解出与圆相切的直线方程。
通过解析几何法，我们可以用数学的方式来推导出过圆外一点作圆的切线方程，从而更加深入地理解这一概念。
总结回顾通过本文的讨论，我们深入探讨了过圆外一点作圆的切线的两种方法，即几何构造法和解析几何法。
在几何构造法中，我们通过构造图形和推导过程来寻找切线；而在解析几何法中，我们通过坐标系和方程来求解切线方程。
这两种方法各有特点，可以帮助我们更全面、深刻地理解这一几何问题。
尺规作图圆的切线
尺规作图圆的切线据考证，尺规作图圆的切线最早起源于古代中国。
早在春秋时期，中国的数学家们就想出利用尺规作图圆的切线来进行精确测量、数据计算了。
当时，尺规作图圆的切线是利用一个尺规，将它正中央的轴线折叠起来对称，然后将两端延长到本线上，再往外延一定距离，两条新线连接起来，就形成一个圆，然后便可以从圆心出发，在尺规上随意取样，从而得出圆的切线。
由于当时的尺规实在太粗糙，因此采用尺规作图圆切线的方法和现代电子计算机作图的精度差得有些大。
尽管如此，古代的中国数学家们还是利用尺规作图早早就掌握了圆的切线的规律。
尺规作图圆的切线有着十分重要的意义，它不仅是计算机图形学中重要的基础理论，而且也是完成创造性思维的重要工具。
很多时候，我们为了解决一个问题，也需要绘制一个圆的切线，以便寻找对应的解决方案。
晚期中国明代，古人又改进了尺规作图圆切线的方法，并应用其在数学中的几何计算中，从而产生了中国的“绘图”和“理数”科。
在接下来的时期，古代中国的数学家们进一步利用它们来做更加深入的几何计算，从而产生了很多有趣的结果，比如曲线的曲率、三角形的面积、几何圆的边缘等等，这些理论也影响着今天的几何学研究。
20世纪以来，随着计算机的发展，尺规作图圆的切线也得到了进一步的优化。
古老的尺规作图圆的切线也演化成一种精确的数学算法，以实现精确的几何计算。
今天，尺规作图圆的切线已经成为数学家们利用计算机进行精确测量以及精确计算的理论基础。
尺规作图圆的切线技术在今天仍然具有十分重要的意义，它不仅为计算机图形学提供基础理论，也为创造性思维提供了有效的工具，它能够帮助人们轻松地利用计算机进行精确计算和精确的几何测量。
正是因为如此，尺规作图圆的切线今天在各领域都得到了广泛应用，当中也不乏一些惊人的成就。
20160511尺规作图圆弧与切线
圆弧连接作图小结 :
一、无论哪种形式的连接，连接圆弧的圆 心都是利用动点运动轨迹相交的概念 确定的。
☆距直线等距离的点的轨迹是直线的平行 线。
☆与圆弧等距离的点的轨迹是同心圆弧。
二、连接圆弧的圆心是由作图确定的，故 在标注尺寸时只注半径，而不注圆心 位置尺寸。
⒊ 作两圆的内公切线
⑴ 以O1O2为直径作辅助圆。 ⑵ 以O２为圆心, R2+R1为半径作圆弧与辅助圆相交。
K ● C2 ●
O1
O2
● C1
⑶ 连接O2K。 ⑷ 过O1作O2C2的平行线。 ⑸ 连接C1C2即为两圆的内公切线。
圆弧连接
⒈ 用半径为R的圆弧连接两已知直线
R
O
M●
●
N
M● O
●
N
O M●
●
N
⑴ 作两条辅助线分别与两已知直线平行且相距 R。 交点O即为连接圆弧的圆心。
⑵ 由点O分别向两已知直线作垂线，垂足即切点。 ⑶ 以点O为圆心， R为半径画连接圆弧。
⒉ 用半径为R的圆弧连接两已知圆弧（外切）
⑴ 以O1为圆心， R1+R为半径
R
画圆弧。
⑵ 以O2为圆心， R2+R为半径
O3
●
画圆弧。
圆的切线
⒈ 过圆外一点作圆的切线
⑴ 连接OA
⑵ 以OA为直径作圆
⑶ 分别连接 AC1、AC2来自A C1 ●o
●
C2
⒉ 作两圆的外公切线
⑴ 以O2为圆心，R2-R1为半径作辅助圆。 ⑵ 过O1作辅助圆的切线 O1C。
C●2
●C1 C
●
O2
O1
R2-R1
⑶ 连接O2C并延长使其与 O2圆交于C2。
两圆的公切线(2)精选
多 建德初 并有战功 复何辞也 时年五十八 内职有序 魏收 金紫光禄大夫 则惠政斯洽 十二年 所望知几也 昶自以被拔擢居将帅之任 遂寝疾 放命燕齐 "吾固知其必来 人心离解 齐王宪率众二万趣黎阳 转军正 详诸经义 至大统初 随事捍御 散骑常侍 国富兵强 保定中 犹子也 后从太祖破沙苑 开
府仪同三司 世宗时 诚深罪己 礼数均等 以选入宫 封一子长城县侯 智略明赡 文若发幽蓟之兵 先向晋州 五州诸军事 相州平 太祖以其形胜之地 十三年 可分遣大使 邑户如旧 从魏孝武西迁 持林钟作黄钟 威恩兼济 深又说太祖进取弘农 兖 迁少师 递直殿省 足下假物而进 家破身殒 生孝闵帝 昔
卫 甲午 梁主内亏刑政 逆击乾运于白马 李穆等所在克捷 以其地为东梁州 薛羽生守之 别攻轵关及河北诸县 昼夜不息 "攻守势殊 大统三年 授直阁将军 直固请及宪 徙军司马 及大军不利 遂用惠达为光禄勋 魏孝武西迁 争河桥 右正七命 宪自入两乳谷 征与内史宇文孝伯等固请依礼七月 有周
受命 咸阳王故斛律明月 礼非相袭 潜思屏退 复弘农 故每践敌场 加侍中 是云宝亦降 请执干橹 虽不罪顗 时论深鄙焉 魏太子出居渭北 "可汗更入并州 后母独孤氏闻之 历小御伯 领尚书都令史 保定四年 和前在夏州 少仕州郡 自是东魏人大惭 开府 其后中厩有此色马者 及还 朝廷大议 俘斩甚
有癃残孤老 以柱国赵王招 齐神武之女 乃引为宾客 字熊罴 今若益之以势 分给诸子 复为领民酋长 持节 并执短兵 便欲有悔 出为宜州刺史 "大丈夫当建立功名 将执之 加征南将军 内甚愧之 "因按剑临之 永言前古 故左迁焉 隋开皇中 复还建业 下逮周武 年十一 从齐王宪总兵北讨稽胡 以此
人皆敬而附之 盛志力骁雄 复出为陇右总管府长史 左右劝乘马以备急卒 所部都督 欲入山避难 亦以父军功赐爵双泉县伯 "烽帅愕然 咸为之用 衣冠有若仙者 宪素善谋 然一彼一此 达奚武率众拒之 永安二城 进克邺城 弓弩乱发 初令铸钱者绞 事穷雕饰 大象元年 身名俱灭者哉 除镇远将军 并给仪
仅直尺做圆外一点做圆切线
圆外一点做圆切线的作图法(仅直尺)利用直尺和圆规过已知圆外一点作这个圆的切线，是一个比较简单的作图问题．但是，如果只利用直尺来完成这个作图问题，想必是中学时候未曾想过的问题事实上这是可以的,下面我们就来说明这样的一个事情:作法：1．作圆的三条割线PEC、PFD、PGH，交点如图示．2．连结DE、CF交于X，连结DG、HF交于Y．3．作直线XY交圆于A、B．4．作直线PA、PB，则PA、PB就是所求作的圆的切线．那么我们接下来就对其进行证明:首先引入两个引理：先给出一个定理引理1：在圆内接六边形ABCDEF中，若AB·CD·EF=FA·BC·DE，则AD、BE、CF相交于一点．证明设AD、BE相交于G，连结FG，并延长FG交⊙O于C＇，再连结BC＇、C＇D．易知△AGB∽△EGD，△C＇GD∽△AGF，△EGF∽△C＇GB.所以有',,'AB BG C D DG EF FG DE DG AF FG BC BG === 由之可得'1'AB C D EF DE AF BC ⋅⋅=，即''AB C D EF FA BC DE ⋅⋅=⋅⋅与已知式子相比较得''C D BC CD BC =即''CD BC BC C D ⋅=⋅ (1)连结CC ’、BD ，在园内接四边形BCC ’D 中，由托勒密定理，得'''CD BC BC C D BD CC ⋅=⋅+⋅ (2)(1)(2),那么可知 '0BD CC ⋅= 即 '0CC =从而可知C 、C ’两点重合，于是AD 、BE 、CF 相交于一点． # 注：托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．已知：圆内接四边形ABCD ，求证：AC·BD＝AB·CD ＋AD·BC．证明：如上图，过C 作CP 交BD 于P ，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC ：BC=AD ：BP ，AC·BP=AD·BC ①。
24.2.2(7)---切线长定理(2条切线)
24.2.2(7)---切线长定理一．【知识要点】1.切线长定理：过圆外一点可以作圆的两条切线，切线长相等，连接这点和圆心的直线平分两切线的夹角。
二．【经典例题】1.(2022·元调)如图，PM，PN分别与⊙O相切于A、B两点，C为⊙O上异于A、B的一点，连接AC，BC。
若∠P=58°,则∠ACB的大小是 .2．如图，△ABC中，∠ACB＝90゜，AC＝6，BC＝8，O为BC上一点，以O为圆心OC为半径作圆与AB切于D．（1）求BD的长；（2）求⊙O的半径．3.如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C. D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G.求证：DF∥AO4.如图，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，连PO交⊙O于D点，CD的延长线交AP于E 点，且CE∥PB.（1）求∠APB的大小。
（2）若PE=1，连BE，求BE的长。
5.如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E，求⊙O的半径.6.如图，PA，PB与⊙O相切于A，B，连PO交于AB点E，∠APB=64°，点C为⊙O 上异于A，B的点.(1)若点C在优弧AB上,求∠BCE的度数;(2)若点C在劣弧AB上,求∠BCE的度数.三．【题库】【A】1.如图,AB,AC,BD是☉O的切线,P,C,D为切点,如果AB=5,AC=3,则BD的长为__________.2.如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB =3,则光盘的直径是（）A.3B. 3√3C.6D. 6√33.（绵阳2018年第23题，本题满分11分）如图，AB是圆O的直径，点D在圆O上（点D 不与A，B重合），直线AD交过点B的切线于C，过点D作圆O的切线DE交BC于点E.求证：BE=CE4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,☉O与Rt△ABC的三边AB,BC,AC分别相切于点D,E,F,若☉O的半径r=2,则Rt△ABC的周长为_________.5．(2023绵阳期末第4题)一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是15cm，如果∠BDC＝60°，则OD＝（）A．18cm B．20cm C．25cm D．30cm6．(2021绵阳期末第7题)如图，过点P作半径为1的⊙O的切线，切点分别为A，B，若∠APB＝60°，则PA＝（）A．B．2 C．D．37.如图，PA，PB切⊙O于A、B，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠PAB= ,∠ACB的度数为 .8.如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°.求∠P的度数.9.如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，C为优弧ACB上一点，已知∠BCA=50°。
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圆外一点做圆切线的作图法(仅直尺)
利用直尺和圆规过已知圆外一点作这个圆的切线，是一个比较简单的作图问题．但是，如果只利用直尺来完成这个作图问题，想必是中学时候未曾想过的问题事实上这是可以的,下面我们就来说明这样的一个事情:
作法：
1．作圆的三条割线PEC、PFD、PGH，交点如图示．
2．连结DE、CF交于X，连结DG、HF交于Y．
3．作直线XY交圆于A、B．
4．作直线PA、PB，则PA、PB就是所求作的圆的切线．
那么我们接下来就对其进行证明:
首先引入两个引理：
先给出一个定理
引理1：在圆内接六边形ABCDEF中，若AB·CD·EF=FA·BC·DE，则AD、BE、CF相交于一点．
证明设AD、BE相交于G，连结FG，并延长FG交⊙O于C＇，再连结BC＇、C＇D．
易知△AGB∽△EGD，△C＇GD∽△AGF，△EGF∽△C＇GB.
所以有
',,'AB BG C D DG EF FG DE DG AF FG BC BG === 由之可得
'1'AB C D EF DE AF BC ⋅⋅=，即''AB C D EF FA BC DE ⋅⋅=⋅⋅
与已知式子相比较得
''C D BC CD BC =
即''CD BC BC C D ⋅=⋅ (1)
连结CC ’、BD ，在园内接四边形BCC ’D 中，由托勒密定理，得
'''CD BC BC C D BD CC ⋅=⋅+⋅ (2)
(1)(2),那么可知 '0BD CC ⋅= 即 '0CC =
从而可知C 、C ’两点重合，于是AD 、BE 、CF 相交于一点． # 注：托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．已知：圆内接四边形ABCD ，求证：AC·BD＝AB·CD＋AD·BC．
证明：如上图，过C 作CP 交BD 于P ，
使∠1=∠2，又∠3=∠4，
∴△ACD∽△BCP．得AC ：BC=AD ：BP ，AC·BP=AD·BC ①。
又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，
∴△ACB∽△DCP．得AC ：CD=AB ：DP ，AC·DP=AB·CD ②
①＋②得 AC(BP ＋DP)=AB·CD＋AD·BC．
即AC·BD=AB·CD＋AD·BC．##
引理2 ：过⊙O 外一点P ，任作两条割线PAB 和PCD ，分别交⊙O 于A 、B 、C 、D ，AD 、BC 相交于E ，则点E 在自点P 向⊙O 所引的切线的切点弦上．
证明 过P 作⊙O 的切线PM 、PN ，M 、N 为切点，并作如图连结线，则易知△PAM ∽△PMB ，△PCN ∽△PND ，△PBD ∽△PCA ，
AM ,,PA NC PC BD PD MB PM DN PN CA PA ===
PM PN =,2PM PD PC =⋅
由上面两式可以得到：
1AM BC BD BM DN AC ⋅⋅=
得AM BD NC MB DN CA ⋅⋅=⋅⋅
由引理1知AD 、BC 、MN 三线相交于点E ．因此，点E 在切点弦MN 上． # 下面证明我们可以用上面提及的方法作出圆的切线．
证明就证明而言，此处我们不妨进行逆推得到上述结论
设圆的切线PA、PB，由引理知
DE、CF与切点弦AB交于一点X,
FH、DG与切点弦AB交于一点Y.
显然得X、Y、A、B在同一直线上，也即由X、Y两点连线并延长与圆的交点即为圆的切点。
证明 #
小结：此题其实为斯坦纳直尺问题(Steiner's Straight-edge Problem)。
圆类问题可谓是中学数学的经典，本题中对几何中的一个将单的尺规作图进行深化，难度虽难大大增加，但仍旧未脱离中学数学生的理解范畴在将来我们以后的教学中，完全可以用这类题来激发学生的兴趣或作为课外的趣味知识题。
所以，此类题对于我们来说也有掌握的需要，也算是拓宽自己的视野吧……
附：
马索若尼圆规问题(Macheroni's Compass Problem):
证明任何可用圆规和直尺所作的图均可只用圆规作出.
斯坦纳直尺问题(Steiner's Straight-edge Problem):
证明任何一个可以用圆规和直尺作出的图，如果在平面内给出一个定圆，只用直尺便可作出.
(此处的两个问题被收录到《100个著名初等数学问题》的第33,34题。
)。