25.1锐角三角比的意义1

1、在RtABC中，C 90，如果将这个三角形的 各边 扩大2倍后得到ABC , 那么tan A与 tan A的关系是（）
（A） tan A 2 tan A
（B） tan A 2 tan A
（C） tan A tan A
（D）大小不能确定
2、在直角三角形中，一 个锐角的正切、余切的 值（）
B1C1 AC1 B1C1 AC1 ， B 2 C2 AC2 B3C3 AC3
A
C3
C2
C1
结论1：如果给定直角三角形的一个锐角，那 么这个锐角的对边与邻边的长度的比值就是一 个确定的数。 锐角A的对边 一个确定的值 锐角A的邻边
B1C1 B 2 C 2 B3C3 AC1 AC2 AC3
N
P
M
2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB, 垂足为点D. (1)在Rt△ABC中，∠A的对边是___________， ∠A的邻边是___________， 在Rt△ACD中，∠A的对边是___________， ∠A的邻边是___________, （2）在Rt△_____中，∠B的对边是AC， 在Rt△_____中，∠B的邻边是BD. (3) ∠ACD的邻边是___________， ∠BCD的对边是_________中，求锐角的正切或余切，
（1）首先要找出直角三角形的直角，确定锐角的对边与邻边； （2）然后求出所需的边的长度，如果已知的是一条直角边和 一条斜边的长度，就根据勾股定理去计算另一条直角边的长 度； （3）最后根据正切和余切的定义代入进行计算。
注意过程的完整性，特别是“在Rt△ABC中” 这个大前提，不能漏掉。
A的 对 边 a A的 斜 边 c
概念辨析
在Rt△ABC中，∠C=90°， 我们把锐角A的邻边与对边的 比叫做∠A的余弦。记作cosA。
cosA＝ A的 邻 边 b
A的 斜 边 c

例题分析
1.如图, 在Rt△ABC 中 ∠c=90 ， AB 6, BC 3 求sinB，cosB的值. 解：在Rt△ABC中 AC AB2 BC2 ∵AB= 6 ， BC= 3 ∴AC= sinB=
C
A
问题拓展
例题3. 在直角坐标平面中有 一点P（3，4）。求OP与x轴 正半轴的夹角的正切、正弦、 和余弦的值。 解：过点P向x轴引垂线， 0 垂足为点Q，则∠OPQ=90 . 由点P的坐标为（3，4）得OQ=3,QP=4. 在Rt⊿OPQ中，OP= . OQ2 PQ2 32 42 5. ∴tan = PQ 4 Sin = P Q 4 OP 5
锐角A的邻边 AC b 如图，锐角A的余切记作cotA，这时 cot A 锐角A的对边 BC a 1 根据正切与余切的意义，可以得到 tan A cot A
C
b
想一想：在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角B的余切用哪两条 边的比表示？cotB与tanA有什么关系？
在Rt△ABC中，∠C=90°，cotB=tanA
问题2：当直角三角形中一个锐角的大小变化时， 这个锐角的对边与邻边的长度的比值随着变化吗？
Q
A2 A A1
F E D N
M
O
结论2：直角三角形中，一个锐角的对边与邻 边的长度的比值随着这个锐角的大小的变化而 变化。
B2
B
B1
A
C
P
结论1：如果给定直角三角形的一个锐角，那么这个锐角 可以得到：在 Rt△ABC中（∠C=90°），当 的对边与邻边的长度的比值就是一个确定的数。 锐角A的大小确定后，不论Rt△ABC的边长怎 结论2：直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的长度 样变化，∠ A的对边BC与邻边AC的比值总是 的比值随着这个锐角的大小的变化而变化。 确定的。
B c a A
C
b
我们把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比 叫做这个锐角的正切。(tangent)
如图，锐角A的正切记作tanA，这时 tan A
锐角A的对边 BC a 锐角A的邻边 AC b
例题1.在ABC中，C 90，AC 3，BC 2， 求 tan A和 tan B的值。
如图，已知ABC中，ACB 90，CD AB, 垂足为点D，AD 9，BD 4. （ 1）求CD的长. （2)求 cot A、 tan BCD的值.
C
A
D
B
在RtABC中，C 90，且CD AB，AB 13，BC 5， CD AD 求 BD CD
0
6 3.=
3
2 2
AC 3 1 = AB 6 2
cosB=
BC 3 1 2 AB 2 6 2
问题1：对于一个直角三角形，如果给定了它 的一个锐角的大小，那么它的两条直角边的比 值是否是一个确定的值？
B3 B2 B1
C3
C2
C1
A
△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3
B3 B2 B1
C
A
例题分析
2.在Rt△ABC中, ∠C=90°,BC=6, 3 ,求cosA 和tanB的值.。 si n A
5
B
解：在Rt△ABC中
BC s in A AC BC 5 AB 6 . 1 0 s in A 3 AC AB2 BC2 1 02 6 2 8 AC 4 AC 4 c o s A , ta n B BC 5 BC 3
o
概念辨析
如图：Rt△ABC与Rt△A’B’C’， ∠C=∠DC’A =90o，∠A=α ， 那么BC 与 B' C ' 有什么关系?
BA
B' A
B D
结论：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小 如何，∠A的对边与斜边的比是一 个固定值。
C
C’
A
概念辨析
如图，在Rt△ABC中，∠A、 ∠B、∠C所对的边分别记为a、 b、c。在Rt△ABC中，∠C=90°， 我们把锐角A的对边与邻边的比 叫做∠A的正弦。记作sinA。 sinA＝
（A）与这个三角形的面积 大小有关 （B）与这个角的对边、邻 边的大小有关 （C）只与这个三角形的斜 边大小有关 （D）只与这个角的大小有 关
4 3、已知RtABC中，C 90， tan A , BC 8，则AC等于（） 3
（ A） 6
32 （B） 3
B
（ C） 10
（D） 12
C
A
D
B
1.观察
(1)在Rt△ABC中，∠C=90o， ∠A=30o，BC=10m,求AB .
(2) Rt△ABC，使∠C=90o， ∠A=45o，计算∠A的对边与 斜边的比.
想一想
通过上面的计算，你能得到什么结论？ 在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30 ， 那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜 边的比值都等于 ；在一个直角三角形中，如果 o 一个锐角等于45 ，那么不管三角形的大小如何， 这个角的对边与斜边的比值都等于 。
解：在RtABC中，
AC 3，BC 2,
.
B
BC 2 tan A AC 3
AC 3 tan B BC 2
C
A
B
当直角三角形的一个锐角的大小 确定时，这个锐角的邻边与对边 的比值也是确定的。
c a A
我们把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比 叫做这个锐角的余切(cotangent)。
3、了解正切与正弦、余弦的关系.
经过本节课的学习，你有哪些 收获？
知识小结： 1、正切、余切概念及相互的关系； 2、锐角的正切、余切的符号语言； 3、用锐角的正切和余切概念求出锐角的正切和余切的值。 数学思想： 转化的数学思想 方法小结： 定量研究问题的策略。
谢 谢！
例题2.在RtABC中，C 90，BC 4，AB 5， 求 cot A和cot B的值。
解：在RtABC中， 由勾股定理得AB 2 AC 2 BC 2
BC 4，AB 5,
AC AB2 BC 2 52 42 3 AC 3 cot A BC 4 BC 4 cot B AC 3 C
OQ 3
Y 4 3 2 1 0 1 2 3 P
Q
X
cos
OQ 3 = OP 5
问题拓展
从定义可以看出sinB与cosA有什么关系？ sinA与cosA呢？满足这种关系的 ∠A与∠B 又是什么关系呢？利用定义及勾股定理你还能发 现sinA与cosA的关系吗？再试试看tanA 与sinA 和 cosA存在特殊关系吗？ 0, 若∠ ∠ 那么cosB=sinA或 (1) A+ B=90 . sinB=cosA
C
A
D
B
例题分析
例题2.在Rt△ABC中，∠C=90 ， BC=4，AB=5，求cotA和cotB的值。 。 解：
0
B
在Rt△ABC中，由勾股定理得 2 2 2 AB =AC +BC ∵BC=4,AB=5, . 2 ∴AC= AB BC2 52 42 3
∴cotA= A C 3 cotB= B C 4 AC 3 BC 4
A
1、如图，PQR是直角三角形， R 90，PQ 13，PR 5， 则 tan P _________;cot Q ________.
P 5 R
C
13
A
Q
D
B
2、如图，ABC是直角三角形， ACB 90，CD AB, 垂足为点D， 则
CD AC AD _________， __________， ___________ （用正切或余切表示） . BD BC CD
(2)sin A+cos A=1 (3)