大庆实验中学2020届高三综合训练(四)数学(文)试题答案
2020年大庆实验中学高考数学综合训练试卷(文科)(三)(有解析)
2020年大庆实验中学高考数学综合训练试卷(文科)(三)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x2−2x−3≤0}，B={x|0<x<4}，则A∩B=()A. [−1,4)B. [−1,3)C. (0,3]D. (0,4)2.若z(1+i)=i−2(i为虚数单位)，则z.等于()A. −12+32i B. −12−32i C. −1+3i D. −1−3i3.设函数f(x)满足：①y=f(x+1)是偶函数；②在[1,+∞)上为增函数，则f(−1)与f(2)大小关系是()A. f(−1)>f(2)B. f(−1)<f(2)C. f(−1)=f(2)D. 无法确定4.如图是我国古代建筑的一种圆形装饰图案，圆中阴影部分由与圆有相同半径的四条四分之一圆弧围成，形若铜钱，寓意宝贵吉祥．在圆形图案内随机取一点，则该点取自阴影区域内的概率为A. 12B. 13C. 2−4πD. 4π−15.已知l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，则()A. 若m⊥α，m⊥β，则α//βB. 若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αC. 若α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥βD. 若m//n，m⊂α，则n//α6.执行如图所示的程序框图，如果输入的m=15，n=12，则输出的n是()A. 15B. 12C. 3D. 1807.记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1+a4=0，S5=5，则a1=()A. −3B. 2C. 3D. 58.已知向量a⃗=(−3,1)，b⃗ =(6,x)，若a⃗//b⃗ ，则a⃗⋅b⃗ 等于()A. −20B. −16C. 19D. −189.已知函数y=f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=x2−3x+1，则f(3)=()A. 17B. −17C. 19D. −1910.函数f(x)=−sin(ωx+φ)(|φ|<π,ω>0)的部分图象如图所示，则φ=()A. π3B. −π3C. −2π3D. π3或−2π311.直线y=kx−2交抛物线y2=8x于A、B两点，若弦AB的中点M(2,m)，则k=()A. 2或−1B. −1C. 2D. 312.函数f(x)的定义域为R，f(−1)=2，对任意x∈R，导函数f’(x)>2，则f(x)>2x+4的解集为()A. (−1,1)B. (−1,+∞)C. (−∞,−1)D. (−∞,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线f(x)=ax3+2x−1在点(1,f(1))处的切线过点(3,4)，则a=______．14. 等比数列{a n }中，a 1=1，a 4=8，S n 是{a n }的前n 项和，则S 5=______． 15. 如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，在D 点测得塔在北偏东30°方向，然后向正西方向前进10米到达C ，测得此时塔在北偏东60°方向．并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB =______米．16. 已知三棱锥P −ABC 的体积为83,PA ⊥底面ABC ，且△ABC 的面积为4，三边AB ，BC ，CA 的乘积为16，则三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 某地区2012年至2018年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如表：年份20122013 2014 2015 2016 2017 2018 年份代号t 1 2 34567人均纯收入2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y 关于t 的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入．附：参考公式：b ̂=∑(n i=1t i −t −)(y i −y −)∑(n i=1t i −t −)2，a ̂=y −−b ̂t −．y ̂=b ̂x +a ̂．18. 设函数f(x)=√3sin2x +cos(2x +π3).(1)求函数的单调递增区间．]上，函数的值域．(2)求在[0,π219.如图，在四棱锥P−ABCD中，ABCD为平行四边形，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，AC=1，点E是PD的中点．(1)求证：PB//平面AEC；(2)求D到平面AEC的距离．20.已知椭圆C的长轴长为2√6，左焦点的坐标为(−2,0)．(1)求C的标准方程；(2)设与x轴不垂直的直线l 过C的右焦点，并与C交于A，B两点，且|AB|=√6，试求直线l 的倾斜角．21. 已知函数f(x)=x 2−ln(x +a)(a >0)．(1)求函数f(x)的最小值g(a)； (2)当a ≥12时，求g(a)的最大值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)设A ，B 为曲线C 上两点(均不与O 重合)，且满足∠AOB =π3，求|OA|+|OB|的最大值．23.已知函数f(x)=|2x+2|−5．(Ⅰ)解不等式：f(x)≥|x−1|；(Ⅱ)设函数g(x)=m+|2x−m|，当x∈R时，f(x)+g(x)≥3，求m的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵集合A ={x|x 2−2x −3≤0}={x|−1≤x ≤3}， B ={x|0<x <4}，∴A ∩B ={x|0<x ≤3}=(0,3]． 故选：C ．先分别求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：B解析：解：由z(1+i)=i −2， 得z =i−21+i =(i−2)(1−i)(1+i)(1−i)=−1+3i 2=−12+32i ，则z .=−12−32i ． 故选：B ．由z(1+i)=i −2，得z =i−21+i ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z 得答案． 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的求法，是基础题．3.答案：A解析：本题重点考查学生对于函数性质的理解，属于中档题．由y =f(x +1)是偶函数，得到y =f(x)的图象关于直线x =1对称， ∴f(−1)=f(3)，又f(x)在[1,+∞)上为单调增函数， ∴f(3)>f(2)，即f(−1)>f(2)， 故选A ．4.答案：D解析：设圆的半径为1，利用几何概型的概率公式计算所求的概率即可．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．解：令圆的半径为1，则阴影部分的面积为π−4×2×(π4−12)=4−π，利用几何概型的概率公式，计算所求的概率为∴P=4−ππ=4π−1．故选D．5.答案：A解析：在A中，由面面平行的判定定理得α//β；在B中，l与α相交、平行或l⊂α；在C中，m与β相交、平行或m⊂β；在D中，n//α或n⊂α．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．解：由l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，知：在A中，若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判定定理得α//β，故A正确；在B中，若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l与α相交、平行或l⊂α，故B错误；在C中，若α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m与β相交、平行或m⊂β，故C错误；在D中，若m//n，m⊂α，则n//α或n⊂α，故D错误．故选：A．6.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得m=15，n=12r=3不满足条件r=0，执行循环体，m=12，n=3，r=0满足条件r=0，退出循环，输出n的值为3．故选：C．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．7.答案：A解析：本题考查等差数列基本量的运算，属于基础题．利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，即得解．解：S n为等差数列{a n}的前n项和，设公差为d，∵a1+a4=0，S5=5，∴{a1+a1+3d=05a1+5×42d=5 ,解得a1=−3，d=2，故选A．8.答案：A解析：解：向量a⃗=(−3,1)，b⃗ =(6,x)，若a⃗//b⃗ ，则−3x=6，解得，x=−2，则a⃗⋅b⃗ =−3×6+1×(−2)=−20．故选A．运用向量共线的坐标表示，可得−3x=6，解得x=−2，再由向量的坐标表示，即可得到所求值．本题考查向量的共线的坐标表示，考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于基础题．9.答案：D解析：本题考查了函数的奇偶性，根据奇函数得f(3)=−f(−3)，计算即可．解：因为函数y=f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=x2−3x+1，则f(3)=−f(−3)=−[(−3)2−3×(−3)+1]=−19，故选D．10.答案：C解析：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，属于基础题．由函数f(x)的部分图象，即可求得T、ω和φ的值．解：由函数f(x)=−sin(ωx+φ)的部分图象知，T=4×(7π12−π3)=π，又ω>0，∴ω=2πT=2，当x=7π12时，f(7π12)=−sin(2×7π12+φ)=−1，即7π6+φ=π2+2kπ，，解得φ=−2π3+2kπ，，又|φ|<π，∴φ=−2π3．故选C．11.答案：C解析：直线y=kx−2代入抛物线y2=8x，利用AB的中点的横坐标为2，结合韦达定理，求出k的值，本题考查弦长的求法，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．解：直线y=kx−2代入抛物线y2=8x，整理可得k2x2−(4k+8)x+4=0，Δ=(4k+8)2−16k2=64k+64>0，即k>−1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则∵AB的中点的横坐标为2，∴x1+x2=4k+8k2=4得k=−1(舍去)或k=2，故选：C12.答案：B解析：本题主要考查不等式的求解，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键，属于中档题．构造函数F(x)=f(x)−2x−4，根据F(x)的单调性即可求解．解：设F(x)=f(x)−2x−4，则F′(x)=f′(x)−2，因为f′(x)>2恒成立，所以F′(x)=f′(x)−2>0，即函数F(x)在R上单调递增，因为f(−1)=2，所以F(−1)=f(−1)−2(−1)−4=2+2−4=0，所以由F(x)=f(x)−2x−4>0，即F(x)=f(x)−2x−4>F(−1)，所以x>−1，即不等式f(x)>2x+4解集为(−1,+∞)．故选B．13.答案：−17解析：解：函数f(x)=ax3+2x−1的导数为：f′(x)=3ax2+2，f′(1)=3a+2，而f(1)=a+1，切线方程为：y−a−1=(3a+2)(x−1)，因为切线方程经过(3,4)，所以4−a−1=(3a+2)(3−1)，．解得a=−17．故答案为：−17求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可．本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．14.答案：31解析：本题考查等比数列的通项公式以及求和公式，属于基础题．由a1=1，a4=8可求出q，再由等比数列求和公式可求S5．解：因为a1=1，a4=a1q3=8，所以q=2，所以S5=a1(1−q5)1−q =1−251−2=31，故答案为31．15.答案：30解析：解：由题意，∠BCD=30°，∠BDC=120°，CD=10m，在△BCD中，由正弦定理得BC=sin120°sin30∘⋅10=10√3m.在Rt△ABC中，AB=BCtan60°=30m．故答案为：30．在△BCD中，由正弦定理，求得BC，在Rt△ABC中，求AB．本题考查正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．16.答案：8π解析：解：设△ABC的外接圆的半径为r，则S△ABC=12absinC=12ab×c2r=abc4r，解得r=1∵三棱锥P−ABC的体积为83,PA⊥底面ABC，且△ABC的面积为4．∴13×4×PA=83，∴PA=2如图，设球心为O，M为△ABC的外接圆的圆心，则OM=12PA=1则三棱锥P−ABC的外接球的半径R=√OM2+r2=√2．三棱锥P−ABC的外接球的表面积为4πR2=8π．故答案为：8π设△ABC 外接圆半径为r ，设三棱锥P −ABC 球半径为R ，由正弦定理，求出r =1，再由勾股定理得R =OP ，由此能求出三棱锥的外接球的表面积．本题考查三棱锥的外接球体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、勾股定理的合理运用．属于中档题．17.答案：解：(1)t −=1+2+3+4+5+6+77=4，y −=2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.97=4.3，b ̂=−3×(−1.4)+(−2)×(−1)+(−1)×(−0.7)+0+0.5+2××0.9+3×1.6=1428=0.5，a ̂=y −−b ̂×t −=4.3−0.5×4=2.3，y 关于t 的线性回归方程为：y ̂=0.5x +2.3．(2)2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入逐步提高，翻了一番． 当t =8时，y =0.5×8+2.3=6.3千元．∴预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为6.3千元．解析：本题考查了线性回归方程，属基础题． (1)根据公式计算可得：y ̂=0.5x +2.3． (2)t =8代入计算可得．18.答案：解：(1)f(x)=√3sin2x +cos2xcos π3−sin2xsin π3=√3sin2x +12cos2x −√32sin2x =√32sin2x +12cos2x=sin(2x +π6)，令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，则kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z．(2)∵0≤x≤π2，∴π6≤2x+π6≤7π6，∴sin(2x+π6)∈[−12,1]，即函数f(x)的值域为[−12,1]．解析：本题主要考查三角函数单调性和值域的求解，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键．(1)利用两角和与差的三角函数公式，结合辅助角公式进行化简，求解即可．(2)求出角的范围，结合正弦函数的值域进行求解即可．19.答案：证明：(1)连结BD，交AC于F点，连结EF，在△PBD中，EF//PB，又EF⊂面AEC，PB⊄面AEC，∴PB//面AEC．解：(2)∵DC//AB，AC⊥AB，∴DC⊥AC ，又DC⊥PA，AC∩PA=A，∴DC⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴DC⊥PC，在Rt△PDC中，EC=12PD=12√PA2+AD2=12√PA2+AC2+CD2=32，同理AE=32，EF=√(32)2−(12)2=√2，在等腰△AEC中，∴S△EAC=12×AC×EF=12×1×√2=√22，设D到平面AEC的距离为h，由V D−EAC=V E−DCA，得13⋅S△EAC⋅ℎ=13⋅S△ADC⋅EH，∴√22ℎ=1×1，解得ℎ=√2，∴D 到平面AEC 的距离为√2．解析：(1)连结BD ，交AC 于F 点，连结EF ，推导出EF//PB ，由此能证明PB//面AEC ． (2)推导出AC ⊥AB ，DC ⊥AC ，DC ⊥PA ，从而DC ⊥平面PDC ，进而DC ⊥PC ，设D 到平面AEC 的距离为h ，由V D−EAC =V E−DCA ，能求出D 到平面AEC 的距离．本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.答案：解：(1)由题意可知：椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆方程为：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，则c =2，2a =2√6，a =√6， b =√6−4=√2， ∴C 的标准方程x 26+y 22=1；(2)由题意可知：椭圆的右焦点(2,0)，设直线l 的方程为：y =k(x −2)，设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) {y =k (x −2)x 26+y 22=1；整理得：(3k 2+1)x 2−12k 2x +12k 2−6=0， 韦达定理可知：x 1+x 2=12k 23k 2+1，x 1x 2=12k 2−63k 2+1，丨AB 丨=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√(12k 23k 2+1)2−4⋅12k 2−63k 2+1=2√6(k 2+1)3k 2+1， 由丨AB 丨=√6，2√6(k 2+1)3k 2+1=√6，解得：k 2=1，故k =±1，经检验，k =±1，符合题意，因此直线l 的倾斜角为π4或3π4．解析：本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式的应用，考查计算能力． (1)由题意可知：设椭圆方程为：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，则c =2，2a =2√6，a =√6，即可求得椭圆的标准方程；(2)设直线l 的方程为：y =k(x −2)，将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式即可求得k 的值，即可求得直线l 的倾斜角．21.答案：解：(1)函数f(x)定义域为(−a,+∞)(a >0)，f′(x)=2x −1x+a=2x 2+2ax−1x+a，令f′(x)=0，得2x 2+2ax−1x+a=0，即2x 2+2ax −1=0，解得x 1=−a−√a2+22<−a ，x 2=−a+√a 2+22>0．∴当x ∈(−a,x 2)时，f′(x)<0；当x ∈(x 2,+∞)时，f′(x)>0， ∴函数f(x)在(−a,x 2)上递减，在(x 2,+∞)上递增． ∴函数f(x)的最小值g(a)=f(x 2)=a2+1−a√a 2+22−lna+√a 2+22(a >0);(2)令t =a +√a 2+2，则−a +√a 2+2=2t ，a 2+1−a√a 2+2=2t 2，∴a 2+1−a√a 2+22−ln a+√a 2+22=1t 2−lnt +ln2，当a ≥12时，t =a +√a 2+2≥2， ∵1t 2−lnt+ln2在t ∈[2,+∞)上递减，∴g(a)的最大值为14．解析：本题考查了用导数研究函数的单调性和最值，以及分类讨论的思想，属于中档题． (1)利用导数研究函数的最值，注意解题的一般步骤以及分类讨论的数学思想； (2)利用导数研究函数的单调性，从而求出函数的最值即可得到结果．22.答案：解：(I)曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为x 2+(y −1)2=1，整理得x 2+y 2−2y =0，转换为极坐标方程为ρ=2sinθ．(II)设A(ρ1,θ)，则B(ρ2,θ+π3)，故ρ1=2sinθ，ρ2=2sin(θ+π3)，所以|OA|+|OB|=ρ1+ρ2=2sinθ+2sin(θ+π3)=2√3sin(θ+π6)．当θ=π3时，|OA|+|OB|的最大值为2√3．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．(Ⅱ)利用三角函数关系式的恒等变换和极径的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)=|2x+2|−5，∴不等式f(x)≥|x−1|化为|2x+2|−5≥|x−1|，当x<−1时，不等式化为−2x−2−5≥1−x，解得x≤−8；当−1≤x≤1时，不等式化为2x+2−5≥1−x，解得x≥43(不合题意，舍去)；当x>1时，不等式化为2x+2−5≥x−1，解得x≥2；综上，不等式f(x)≥|x−1|的解集为(−∞,−8]∪[2,+∞)；(Ⅱ)函数g(x)=m+|2x−m|，当x∈R时，f(x)+g(x)=|2x+2|−5+m+|2x−m|≥|(2x+2)−(2x−m)|−5+m=|m+2|−5+m，当x=−1时“=”成立；所以x∈R时，f(x)+g(x)≥3等价于|m+2|−5+m≥3，当m≥−2时，不等式化为m+2−5+m≥3，解得m≥3；当m<−2时，不等式化为−m−2−5+m≥3，此时无解；综上，m的取值范围是m≥3．解析：(Ⅰ)利用分段讨论法去掉绝对值，求含有绝对值的不等式f(x)≥|x−1|的解集；(Ⅱ)利用绝对值不等式化f(x)+g(x)≥3为关于m的不等式，求出解集即可．本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。
2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学综合训练试卷(文科)(三)
2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学综合训练试卷（文科）（三）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合A={x|−1<x<3}，B={x|x2+x−6<0,x∈Z}，则A∩B=()A. (−1,2)B. (−3,3)C. {0,1}D. {0,1，2}2.已知i是虚数单位，复数z=6i1−i，则z−的虚部为()A. −3B. 3C. −2D. 23.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是()A. y=|x|+1B. y=x3C. y=−x2+1D. y=(12)x4.我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的精美图案．如图所示的窗棂图案，是将边长为2R的正方形的内切圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．若在正方形内随机取一点，则该点在窗棂图案上阴影内的概率为()A. 1−3√3πB. π2−3√34C. 2−3√3πD. π2−√345.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，下列命题正确的是()A. 若m//α，m//β，n//α，n//β，则α//βB. 若m//n，m⊥α，n⊥β，则α//βC. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD. 若m⊥n，m//α，n⊥β，则α⊥β6.执行如图所示的程序框图，若输入的a，b的值分别为1，1，则输出的S是()A. 29B. 17C. 12D. 57.记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为()A. 1B. 2C. 4D. 88. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,−4)，若A ，B ，C 三点共线，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 10B. 80C. −10D. −809. 已知函数y =f(x)是R 上的奇函数，函数y =g(x)是R 上的偶函数，且f(x)=g(x +2)，当0≤x ≤2时，g(x)=x −2，则g(10.5)的值为( ) A. 1.5 B. 8.5 C. −0.5 D. 0.510. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，已知f(x 1)+f(x 2)=0，且|x 2−x 1|<π2，则f(x 1+x 2)=( )A. √3B. 1C. −√3D. −111. 已知抛物线y 2=8x ，过点A(2,0)作倾斜角为π3的直线l ，若l 与抛物线交于B 、C 两点，弦BC 的中垂线交x 轴于点P ，则线段AP 的长为( )A. 163B. 83C. 16√33D. 8√312. 定义在R 上的可导函数f(x)满足f(1)=1，且2fˈ(x)>1，当x ∈[−π2,3π2]时，不等式f(2cos x)>32−2sin 2x2的解集为( )A. (π3,4π3)B. (−π3,4π3)C. (0,π3) D. (−π3,π3)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知x 轴为曲线f(x)=4x 3+4(a −1)x +1的切线，则a 的值为______．14. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2a 8=2a 3a 6，S 5=−62，则a 1的值是______．15. 如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角∠NAM =60°，C 点的仰角∠CAB =45°以及∠MAC =75°；从C 点测得∠MCA =60°，已知山高BC =1000m ，则山高MN =________m ．16. 如图所示，平面四边形ACBD 中，AB ⊥BC ，AB =√3，BC =2，△ABD 为等边三角形，现将△ABD 沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PB ⊥BC ，则三棱锥P −ABC 的体积为______，其外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 交通安全法有规定：机动车行经人行横道时，应当减速行驶，遇行人正在通过人行横道，应当停车让行．机动车行经没有交通信号的道路时，遇行人横过马路，应当避让．我们将符合这条规定的称为“礼让斑马线”，不符合这条规定的称为“不礼让斑马线”.如表是大庆市某十字路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“不礼让月份x1 2 3 4 5 “不礼让斑马线”的驾驶员人数y1201051008590(2)求“不礼让斑马线”的驾驶员人数y 关于月份x 之间的线性回归方程；(3)若从4，5月份“不礼让斑马线”的驾驶员中分别选取4人和2人，再从所选取的6人中任意抽取2人进行交规调查，求抽取的2人分别来自两个月份的概率；参考公式，线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂，b ̂=∑(ni=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑x i ni=1y i −nx −y −∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x −， 相关系数r =n i=1i −i −√∑(i=1x i −x −)2∑(i=1y i −y −)2．18. 已知f(x)=2√2cos2x ⋅cos(2x −π4)−1，将f(x)的图象向右平移π8个单位后，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数g(x)的图象．(1)求函数g(x)在[0,π2]上的值域及单调递增区间；(2)若g(B2)=√2，且b =2√2，sinC =12，求△ABC 的面积．19. 如图所示，四棱锥S −ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ，∠ABC =∠BAD =90°，AB =AD =SA =1，BC =2，M 为SB 的中点．(1)求证：AM//平面SCD ； (2)求点B 到平面SCD 的距离．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的长轴长为2√2，且离心率为√22． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左焦点为F ，点B 是椭圆与y 轴负半轴的交点，经过F 的直线l 与椭圆交于点M ，N ，经过B 且与l 平行的直线与椭圆交于点A ，若|MN|=√2|AB|，求直线l 的方程．21. 已知函数f(x)=x −2sinx ．(1)当x ∈[0,2π]时，求f(x)的最小值；(2)若x ∈[0,π]时，f(x)≤(1−a)x −x ⋅cosx ，求实数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：{x =tcosαy =tsinα(t 为参数，0<α<π2)，曲线C 1：{x =2cosβy =4+2sinβ(β为参数)，l 1与C 1相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1的极坐标方程及点A 的极坐标；(2)已知直线l 2：θ=π6(ρ∈R)与圆C 2：ρ2−4√3ρcosθ+2=0交于B ，C 两点，记△AOB 的面积为S 1，△COC 2的面积为S 2，求S 1S 2+S2S 1的值．23. 已知函数f(x)=|x −1|+|2x +m|(m ∈R)．(1)若m =2时，解不等式f(x)≤3；(2)若关于x 的不等式f(x)≤|2x −3|在x ∈[0,1]上有解，求实数m 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|−1<x<3}，B={x|x2+x−6<0,x∈Z}={x|−3<x<2,x∈Z}={−2,−1,0，1}，∴A∩B={0,1}．故选：C．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵z=6i1−i =6i(1+i)(1−i)(1+i)=−3+3i，∴z−=−3−3i，则z−的虚部为−3．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由共轭复数的概念求得z−，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】A【解析】解：f(x)=|x|+1，f(−x)=|−x|+1=|x|+1=f(x)，为偶函数，当x>0时，y=x+1在(0,+∞)上单调递增，故A正确；B：y=x3为奇函数，不符合题意；C：y=−x2+1为偶函数，在(0,+∞)上单调递减，不符合题意；D：y=(12)x为非奇非偶函数，不符合题意．故选：A．结合函数奇偶性及单调性的定义分别检验各选项即可判断．本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础试题．4.【答案】B【解析】解：连接A、B、O，得等边三角形OAB，则阴影部分的面积为S阴影=12×(16×πR2−12×R2×sin60°)=(2π−3√3)R2，故所求概率为S 阴(2R)2=(2π−3√3)R24R2=π2−3√34．故选：B．由题意知，阴影部分是由12个全等的弓形组成的面积，由此求出阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式计算概率值．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．5.【答案】B【解析】解：m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，知：在A中，若m//α，m//β，n//α，n//β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m//n，m⊥α，n⊥β，则由面面平行的判定定理得α//β，故B正确；在C中，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β相交或平行，故C错误；在D 中，若m ⊥n ，m//α，n ⊥β，则α与β相交或平行，故D 错误． 故选：B ．在A 中，α与β相交或平行；在B 中，由面面平行的判定定理得α//β；在C 中，α与β相交或平行；在D 中，α与β相交或平行．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题． 6.【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得 a =1，b =1，n =4执行循环体，S =3，a =1，b =3，n =3不满足条件n <2，执行循环体，S =7，a =3，b =7，n =2 不满足条件n <2，执行循环体，S =17，a =7，b =17，n =1 此时，满足条件n <2，退出循环，输出S 的值17． 故选：B ．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 7.【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查等差数列通项公式及等差数列求和公式，属于简单题．利用等差数列通项公式及前n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n }的公差． 【解答】解：S n 为等差数列{a n }的前n 项和，设公差为d ， ∵a 4+a 5=24，S 6=48，∴{a 1+3d +a 1+4d =246a 1+6×52d =48, 解得a 1=−2，d =4， ∴{a n }的公差为4． 故选C ． 8.【答案】A【解析】解：因为A ，B ，C 三点共线，所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则2x =−4，x =−2，所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2)； ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1)×(−2)+(−2)×(−4)=10；故选：A ．由三点共线求出x ；再代入其数量积即可．本题考查共线向量与平面向量的数量积，考查运算求解能力． 9.【答案】D【解析】解：由题意可得：因为函数y =f(x)是R 上的奇函数，并且f(x)=g(x +2)， 所以f(−x)=−f(x)，即g(−x +2)=−g(x +2)． 又因为函数y =g(x)是R 上的偶函数， 所以g(x +2)=−g(x −2)，所以g(x)=−g(x−4)，所以g(x−4)=−g(x−8)，所以g(x)=g(x−8)，所以函数g(x)是周期函数，并且周期为8．所以g(10.5)=g(2.5)=−g(−1.5)=−g(1.5)=0.5．故选：D．根据函数y=f(x)是R上的奇函数，并且f(x)=g(x+2)，得到g(−x+2)=−g(x+2).结合g(x)是R上的偶函数，得到g(x+2)=−g(x−2)，进而推出函数的周期为8，再结合函数的奇偶性与解析式可得答案．解决此类问题的关键是熟练掌握函数的有关性质，即奇偶性，单调性，周期性等性质．10.【答案】D【解析】解：函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象，可得A=2．3T 4=34⋅2πω=11π12−π6，∴ω=2．再根据五点法作图，可得2×π6+φ=π2，∴φ=π6，∴f(x)=2sin(2x+π6)，故f(x)的周期为π．∵f(x1)+f(x2)=0，且|x2−x1|<π2，故x1+x22为函数f(x)的零点，故2⋅x1+x22+π6=kπ，k∈Z，即x1+x2=kπ−π6，则f(x1+x2)=f(kπ−π6)=2sin(2kπ−π3+π6)=−1，故选：D．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，求得x1+x2=kπ−π6，可得结论．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的图象求函数解析式，正弦函数的图象和性质，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：由题意，直线l方程为：y=√3(x−2)，代入抛物线y2=8x整理得：3x2−12x+12=8x，∴3x2−20x+12=0，设B(x1,y1)、C(x2,y2)，∴x1+x2=203，∴弦BC的中点坐标为(103,4√33)，∴弦BC的中垂线的方程为y−4√33=−√33(x−103)，令y=0，可得x=223，∴P(223,0)，∵A(2,0)，∴|AP|=163．故选：A．本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．求出直线l的方程，代入抛物线方程可得方程3x2−20x+12=0，利用韦达定理，可求弦BC的中点坐标，求出弦BC的中垂线的方程，可得P的坐标，即可得出结论．12.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性，余弦函数的图象和性质，属于中档题．构造函数g(x)=f(x)−12x−12，可得g(x)在定义域R上是增函数，且g(1)=0，进而根据f(2cosx)>32−2sin2x2可得2cosx>1，解得答案．【解答】解：，f(2cos x)>32−2sin2x2，即，令g(x)=f(x)−12x−12，则g′(x)=f′(x)−12>0，∴g(x)在定义域R上是增函数，且g(1)=f(1)−12−12=0，∴g(2cosx)=f(2cosx)−cosx−12>0=g(1)，∴2cosx>1，即cosx>12，又∵x∈[−π2,3π2]，∴x∈(−π3,π3 )，故选D．13.【答案】14【解析】解：由f(x)=4x3+4(a−1)x+1，得f′(x)=12x2+4(a−1)，∵x轴为曲线f(x)的切线，∴f(x)的切线方程为y=0，设切点为(x0,0)，则f′(x0)=12x02+4(a−1)=0①，又f(x0)=4x03+4(a−1)x0+1=0②，由①②，得x0=12，a=14，∴a的值为14．故答案为：14．先对f(x)求导，然后设切点为(x0,0)，由切线斜率和切点在曲线上得到关于x0和a的方程，再求出a的值．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题．14.【答案】−2【解析】解：∵a 2a 8=2a 3a 6，S 5=−62∴q ≠1∴{a 12q 8=2a 12q 7a 1(1−q 5)1−q=−62解方程可得，q =2，a 1=−2 故答案为：−2由题意可知，q ≠1，结合等比数列的通项公式及求和公式可得{a 12q 8=2a 12q7a 1(1−q 5)1−q=−62，解方程可求 本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题15.【答案】1500【解析】 【分析】本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系，属于中档题． △ABC 中，由条件利用直角三角形中的边角关系求得AC ；在△AMC 中，利用正弦定理求得AM ；再在Rt △AMN 中，根据MN =AM ⋅sin∠MAN ，计算求得结果． 【解答】解：在△ABC 中，∵∠BAC =45°， ∠ABC =90°,BC =1000， ∴AC =1000sin45°=1000√2，又因在△AMC 中，∠MAC =75°,∠MCA =60°， ∴∠AMC =45°， 由正弦定理可得AMsin60°=1000√2sin45°，解得AM =1000√3，所以在Rt △AMN 中，，故答案为1500．16.【答案】√328π【解析】解：依题可知，AB ⊥BC ，PB ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAB ， 故三棱锥P −ABC 的体积为V =13×2×12×√3×√3×sin60°=√32．根据题意可将三棱锥补成棱柱，因为△ABD 为等边三角形，所以其外接球球心在上下两个底面的外心连线的中点上，因为2r =√3sin60°=2，即r =1，故R =√12+12=√2，即其外接球的表面积为S =4πR 2=8π．故答案为：√32；8π．根据题意可知，AB ⊥BC ，PB ⊥BC ，可得BC ⊥平面PAB ，即可计算出三棱锥P −ABC 的体积，将三棱锥补成棱柱，因为△ABD 为等边三角形，所以其外接球球心在上下两个底面的外心连线的中点上， 即可根据勾股定理求出外接球半径，从而求得体积．本题主要考查三棱锥的体积求法，以及其外接球的表面积求法，属于中档题．17.【答案】解：(1)依题意x −=3，y −=100，∑x i 5i=1y i =1420，∑x i 25i=1=55，∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)=−80，∑(5i=1x i −x −)2∑(5i=1y i −y −)2=7500，计算r =∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(ni=1x i −x −)2∑(n i=1y i −y −)2=√7500≈−0.921， ∵|r|=0.921>0.75，∴y 与x 具有很强的线性相关关系；(2)b ̂=∑x i 5i=1y i −5x −y−∑x i 25i=1−5x −2=1420−5×3×10055−5×9=−8，a ̂=y −−b ̂x −=100−(−8)×3=124， ∴y 关于月份x 之间的线性回归方程为y =−8x +124；(3)从4月份选取的4人分别记为a 1，a 2，a 3，a 4，从5月份选取的2人分别记为b 1，b 2．从这6人中任意抽取2人进行交规调查包含的基本事件有：(a 1,a 2)，(a 1,a 3)，(a 1,a 4)，(a 1,b 1)，(a 1,b 2)，(a 2,a 3)，(a 2,a 4)，(a 2,b 1)，(a 2,b 2)，(a 3,a 4)，(a 3,b 1)，(a 3,b 2)，(a 4,b 1)，(a 4,b 2)，(b 1,b 2)共15个，其中“抽取的2人分别来自两个月份”包含的基本事件为：(a 1,b 1)，(a 1,b 2)，(a 2,b 1)，(a 2,b 2)，(a 3,b 1)，(a 3,b 2)，(a 4,b 1)，(a 4,b 2)共8个，设抽取的2人分别来自两个月份为事件A ，则P(A)=815．【解析】(1)由已知数据结合相关系数公式求得r ，比较|r|与0.75的大小可得y 与x 具有很强的线性相关关系；(2)求出b ̂与a ̂的值，可得y 关于x 的线性回归方程；(3)利用枚举法写出从这6人中任意抽取2人进行交规调查包含的基本事件数，再找出“抽取的2人分别来自两个月份”包含的基本事件数，则概率可求．本题考查相关系数与线性回归方程的求法，考查利用枚举法求随机事件的概率，考查计算能力，是中档题． 18.【答案】解：(1)f(x)=2√2cos2x ⋅cos(2x −π4)−1=2√2cos2x(√22cos2x +√22sin2x)−1 =2cos 22x +2sin2xcos2x −1=cos4x +sin4x=√2sin(4x +π4) 将f(x)的图象向右平移π8个单位后，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数g(x)的图象则可得g(x)=√2sin(2x −π4)，x ∈[0,π2]，则2x −π4∈[−π4,3π4]，则sin(2x −π4)∈[−√22,1]， ∴g(x)的值域为[−1,√2].令2kπ−π2≤2x −π4≤2kπ+π2，k ∈Z ，则kπ−π8≤x ≤kπ+3π8，k ∈Z ， k =0时，−π8≤x ≤3π8，所以g(x)在[0,π2]上的单调递增区间为[0,3π8]； (2)g(B 2)=√2sin(B −π4)=√2，解得B =3π4，由sinC =12，可得C =π6， 则sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC =√22×√32−√22×12=√6−√24， 由正弦定理得b sinB =c sinC ，即√2√22=c12，解得c =2故△ABC的面积S=12bcsinA=12×2√2×2×√6−√24=√3−1．【解析】(1)利用三角恒等变换化简f(x)根据三角函数图象变换原则求得g(x)，由三角函数的性质即可求得值域及单调增区间；(2)由(1)中所求解得B，由正弦定理解得c，再求得sin A，则面积可求．本题考查利用三角恒等变换化简三角函数，求三角函数图象变换后的解析式，求三角函数的值域，单调区间，以及利用正弦定理求解三角形，属于综合中档题19.【答案】解：(1)取SC的中点N，连结MN和DN，∵M为SB的中点，∴MN//BC，且MN=12BC，∵∠ABC=∠BAD=90°，AD=1，BC=2，∴AD//BC，且AD=12BC，∴AD平行且等于MN，∴四边形AMND是平行四边形，∴AM//DN，∵AM⊄平面SCD，DN⊂平面SCD，∴AM//平面SCD．(2)∵AB=AS=1，M为SB中点，∴AM⊥SB，∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BC，∵∠ABC=∠BAD=90°，∴BC⊥AB，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AM，∴AM⊥平面SBC，由(1)可知AM//DN，∴DN⊥平面SBC，∵DN⊂平面SCD，∴平面SCD⊥平面SBC，作BE⊥SC交SC于E，则BE⊥平面SCD，在直角三角形SBC中，12SB⋅BC=12SC⋅BE，∴BE=SB⋅BCSC =√2√6=2√33，即点B到平面SCD的距离为2√33．【解析】(1)取SC的中点N，连结MN和DN，可证明得到四边形AMND是平行四边形，进而AM//平面SCD；(2)先证明得到AM⊥平面SBC，进而得到平面SCD⊥平面SBC，作BE⊥SC交SC于E，则BE⊥平面SCD，在直角三角形中利用等面积法即可求出距离本题考查线面平行的证明，考查求点到平面距离，数形结合思想，转化思想，等面积法，属于中档题20.【答案】解：(1)由题意可知得{2a=2√2ca=√22a2=b2+c2，解得{a=√2b=1c=1，所以椭圆C的标准方程为：x22+y2=1；(2)因为|MN|=√2|AB|>|AB|，所以MN 与x 轴不垂直，设直线l 的方程为y =k(x +1)，由{x 22+y 2=1y =k(x +1)，得(k 2+12)x 2+2k 2x +k 2−1=0， 设M(x 1,y 1 )，N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−4k 22k +1，x 1⋅x 2=2k 2−22k +1， ∴|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√8(k 2+1)2k 2+1，依题意，直线AB 的方程为y =kx −1，代入x 22+y 2=1中，得(2k 2+1)x 2−4kx =0， 设A(x 3,y 3)，且B(0,−1)，可得x 3=4k 2k 2+1，则|AB|=√k 2+1|x 3−0|=√k 2+1⋅|4k|2k 2+1，由|MN|=√2|AB|，所以√k 2+1⋅√8(k 2+1)2k 2+1=√2⋅√k 2+1⋅|4k|2k 2+1， 从而√8(k 2+1)=√2|4k|，则k =±√33， 故直线l 的方程为y =±√33(x +1)．【解析】(1)根据题意，列出关于a ，b ，c 的方程组，解出a ，b ，c 的值，即可得到椭圆C 的标准方程；(2)由题意直线MN 与x 轴不垂直，设直线l 的方程为y =k(x +1)，与椭圆方程联立利用弦长公式求出|MN|，依题意直线AB 的方程为y =kx −1，与椭圆方程联立，利用弦长公式求出|AB|，代入|MN|=√2|AB|，即可求出k 的值，从而得到直线l 的方程．本题主要考查了椭圆的坐标方程，以及直线与椭圆的位置关系，考查了弦长公式得应用，是中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=1−2cosx ，x ∈[0,2π]……………………(1分)令f′(x)>0⇒cosx <12，得x ∈(π3,5π3)；f′(x)<0，得x ∈(0,π3)和(5π3,2π] 所以f(x)在(0,π3)递减，在(π3,5π3)递增，在(5π3,2π)递减．……………………………………(3分) 所以最小值为min{f(π3),f(2π)}．又因为f(π3)=π3−√3，f(2π)=2π，f(π3)<f(2π)，所以x ∈[0,2π]时，f(x)min =f(π3)=π3−√3.…………………………(5分)(2)f(x)≤(1−a)x −x ⋅cosx ，即2sinx −xcosx −ax ≥0．设ℎ(x)=2sinx −xcosx −ax ，x ∈[0,π]，ℎ′(x)=2cosx −cosx +xsinx −a =cosx +xsinx −a ……………………(6分)ℎ′′(x)=xcosx ，∴x ∈[0,π2]，ℎ′′(x)>0，x ∈[π2,π]，ℎ′′(x)<0．∴ℎ′(x)≤ℎ′(π2)=π2−a ，又ℎ′(0)=1−a ，ℎ′(π)=−1−a.………………(7分)(i)π2−a ≤0即a ≥π2时，ℎ′(x)≤0，ℎ(x)在[0,π]上递减，ℎ(x)≤0，舍．………………(8分)(ii)π2−a >0即a <π2时，①当−1−a <0，1−a <0即1<a <π2时，∃x 0∈(0,π2)，使得ℎ′(x 0)=0.且0<x <x 0，ℎ′(x 0)<0，ℎ(x)在(0,x 0)内递减，ℎ(x)≤ℎ(0)=0，矛盾，舍………………(9分)②当−1−a <0，1−a ≥0即−1<a ≤1时，∃x 0∈(π2,π)，使得ℎ′(x 0)=0，且0≤x <x 0，ℎ′(x 0)≥0，x 0<x ≤π，ℎ′(x 0)<0，∴ℎ(x)在(0,x 0)上递增，在(x 0,π)上递减，又ℎ(0)=0，ℎ(π)=(1−a)π>0，所以ℎ(x)≥0成立．…………………………(10分)③−1−a ≥0，1−a ≥0即a ≤−1时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在[0,π]上递增，则ℎ(x)≥ℎ(0)=0.满足题意． 综上，a ≤1.……………………………………(12分)【解析】(1)f′(x)=1−2cosx ，x ∈[0,2π].分别解出f′(x)>0，f′(x)<0，可得其单调性，进而得出极值与最值．(2)f(x)≤(1−a)x −x ⋅cosx ，即2sinx −xcosx −ax ≥0.设ℎ(x)=2sinx −xcosx −ax ，x ∈[0,π]，ℎ′(x)=cosx +xsinx −a ，ℎ′′(x)=xcosx ，可得ℎ′(x)≤ℎ′(π2)=π2−a ，又ℎ′(0)=1−a ，ℎ′(π)=−1−a.对a 分类讨论即可得出． 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、三角函数求值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 22.【答案】解：(1)曲线C 1：{x =2cosβy =4+2sinβ(β为参数)，转换为直角坐标方程为x 2+(y −4)2=4．将{x =ρcosθy =ρsinθ代入得到ρ2−8ρsinθ+12=0． 直线l 1：{x =tcosαy =tsinα(t 为参数，0<α<π2)，转换为极坐标方程为θ=α(ρ∈R)．将θ=α代入ρ2−8ρsinθ+12=0得到ρ2−8ρsinα+12=0，由于△=(8sinα)2−4×12=0，解得α=π3，故此时ρ=2√3，所以点A 的极坐标为(2√3,π3).(2)由于圆C 2：ρ2−4√3ρcosθ+2=0，转换为直角坐标方程为(x −2√3)2+y 2=10．所以圆心坐标为(2√3,0).设B(ρ1,π6)，C(ρ2,π6)，将θ=π6代入ρ2−4√3ρcosθ+2=0，得到ρ2−6ρ+2=0，所以ρ1+ρ2=6，ρ1ρ2=2，由于S 1=12⋅ρ1⋅ρA ⋅sin(π3−π6)=√32ρ1， S 2=12⋅|OC 2|⋅ρ2⋅sin π6=√32ρ2， 所以S 1S 2+S 2S 1=ρ1ρ2+ρ2ρ1 =(ρ1+ρ2)2−2ρ1ρ2ρ1ρ2=62−2×22=16．【解析】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果；(2)利用三角形的面积公式的应用求出结果．23.【答案】解：(1)若m =2时，|x −1|+|2x +2|≤3，当x ≤−1时，原不等式可化为−x +1−2x −2≤3解得x ≥−43，⩽x⩽−1，所以−43当−1<x<1时，原不等式可化为1−x+2x+2≤3得x≤0，所以−1<x≤0，当x≥1时，原不等式可化为x−1+2x+2≤3解得x⩽2，所以x∈⌀，3⩽x⩽0}.综上：不等式的解集为{x|−43(2)当x∈[0,1]时，由f(x)≤|2x−3|得1−x+|2x+m|≤3−2x，即|2x+m|≤2−x，故x−2≤2x+m≤2−x得−x−2≤m≤2−3x，又由题意知：(−x−2)min≤m，且m≤(2−3x)max，即−3≤m≤2，故m的范围为[−3,2]．【解析】本题考查解绝对值不等式，分类讨论思想，化归与转化思想，考查运算化简的能力，属于中档题．(1)通过分段讨论去掉绝对值符号解不等式，最后将每一段的解集并在一起即可；(2)当x∈[0,1]时，转化为|2x+m|≤2−x有解，即−x−2≤m≤2−3x在x∈[0,1]时有解，(−x−2)min≤m，且m≤(2−3x)max，可求解实数m的取值范围．。
2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科数学试卷-学生用卷
2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科数学试卷-学生用卷一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第1题5分若复数z满足iz=2−2i (i为虚数单位)，则z的共轭复数z在复平面内对应的点所在的象限是（）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第2题5分设全集U=R，A={x∈N|y=ln(2−x)}，B={x|2x(x−2)⩽1}，A∩B=（）．A. {x|x⩾1}B. {x|1⩽x<2}C. {1}D. {0,1}3、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第3题5分已知焦点在x轴上的椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是（）．A. x 216+y27=1B. x 27+y216=1C. x 264+y228=1D. x 228+y264=14、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第4题5分2019~2020学年9月湖北襄阳市襄城区襄阳市第四中学高三上学期月考理科第8题5分如图所示的2个质地均匀的游戏盘中（图①是半径为2和4的两个同心圆组成的圆盘，O为同心，阴影部分所对的圆心角为90°；图②是正六边形，点P为其中心）各有一个玻璃小球，依次摇动2个游戏盘后（小球滚到各自盘中任意位置都是等可能的）待小球静止，就完成了一局游戏，则一局游戏后，这2个盘中的小球至少有一个停在阴影部分的概率是（）．A. 116B. 1124C. 1324D. 5165、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第5题5分2017~2018学年四川德阳旌阳区德阳市香港马会第五中学高二上学期期中长方体ABCD−A1B1C1D1中AB=AA1=2，AD=1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A. √1010B. √3010C. 2√1510D. 3√10106、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第6题5分设a =√22(sin56∘−cos56∘)，b =cos50°cos128°+cos40°cos38°，c =cos80∘，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）．A. a >b >cB. b >a >cC. c >a >bD. a >c >b7、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第7题5分已知A ，B 是圆O:x 2+y 2=4上的两个动点，|AB →|=2，OC →=13OA →+23OB →，若M 是线段AB 的中点，则OC →⋅OM →的值为（ ）．A. √3B. 2√3C. 2D. 38、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第8题5分已知可导函数f (x )的定义域为(−∞,0)，其导函数f ′(x )满足xf ′(x )−2f (x )>1，则不等式f (x +2020)−(x +2020)2f (−1)<0的解集为（ ）．A. (−∞,−2021)B. (−2021,0)C. (−2021,−2020)D. (−2020,0)9、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第9题5分已知函数f(x)=acos(x −π3)+√3sin(x −π3)是偶函数．若将曲线y =f(2x)向左平移π12个单位长度后，得到曲线y =g(x)，则不等式g(x)⩽1的解集是（ ）．A. {x|kπ−5π12⩽x ⩽kπ+π4,k ∈Z} B. {x|kπ+π12⩽x ⩽kπ+3π4,k ∈Z} C. {x|kπ−3π8⩽x ⩽kπ+7π24,k ∈Z}D. {x|2kπ−3π4⩽x ⩽2kπ+7π12,k ∈Z}10、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第10题5分已知函数f(x)=axlnx+b在(1,1)处的切线方程过(3,5)，则函数f(x)的最小值为（）．A. 1−2eB. 1C. −2eD. 1−1e11、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第11题5分2018~2019学年甘肃兰州城关区甘肃省兰州第一中学高二下学期期末文科第9题5分2019~2020学年上海浦东新区华东师范大学第二附属中学高三上学期期中第13题5分2019年高考真题浙江卷第3题4分若实数x，y满足约束条件{x−3y+4⩾03x−y−4⩽0x+y⩾0，则z=3x+2y的最大值是（）．A. −1B. 1C. 10D. 1212、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第12题5分设双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A，右焦点为F(c,0)，弦PQ过F且垂直于x轴，过点P、Q分别作直线AP、AQ的垂线，两垂线交于点B，若B到直线PQ的距离小于2(a+c)，则该双曲线离心率的取值范围是（）．A. (0,√3)B. (1,√3)C. (√3,2)D. (√3,+∞)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第13题5分甲、乙两支足球队进行一场比赛，A，B，C三位球迷赛前在一起聊天．A说：“甲队一定获胜．”B说：“甲队不可能输．”C说：“乙队一定获胜．”比赛结束后，发现三人中只有一人的判断是正确的．则比赛的结果不可能是．（填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个）14、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第14题5分2020年天津和平区高三二模第12题5分已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(−∞,0]上单调递增，若实数a满足f(2log3a)>f(−√2)，则a的取值范围是．15、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第15题5分2019~2020学年吉林通化梅河口市梅河口市第五中学高三上学期期末文科第16题5分2019~2020学年5月山东济宁兖州区高一下学期月考第16题5分设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知2a−√3bcos B =√3ccos C，则C=，a2+c2−b2ac的取值范围为．16、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第16题5分如图，在三棱锥P−ABC中PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=1，设M是底面三角形ABC内一动点，定义：f(M)=(m,n,P)，其中m、n、P分别是三棱锥M−PAB、三棱锥M−PBC、三棱锥M−PAC的体积．若f(M)=(12,2x,y)，且1x+ay⩾8恒成立，则正实数a的最小值是．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第17题12分已知四棱锥P −ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PB ⊥AD ，△PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 是菱形，点M 为PC 的中点．(1) 求证：PA//平面MDB ．(2) 求点P 到平面BDM 的距离．18、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第18题12分已知数列{a n }满足a 1=12，a n+1=an 2a n +1(n ∈N ∗)． (1) 求数列{a n }的通项公式．(2) 证明：a 12+a 22+a 32+⋯+a n 2<12．19、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第19题12分为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽数之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：(1) 从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m ，n ，求事件“m ，n 均不小于25”的概率．(2) 从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程．参考公式：对于一组数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，⋯，(x m ,y n )，其线性回归方程y ^=b ^x +a ^的系数的最小二乘法估计值为 b ^=∑x i n i=1y i −nxy∑x i 2n i=1−nx 2=−x)n i=1−y)∑(x −x)2n i=1， a ^=y −b ^x ．20、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第20题12分已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，离心率为1，右焦点到右顶点2的距离为1．(1) 求椭圆C的方程．(2) 过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，则△F1AB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．21、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第21题12分已知a为常数，函数f(x)=x2+ax−lnx．(1) 过坐标原点作曲线y=f(x)的切线，设切点为P(x0,y0)，求x0．(2) 令F(x)=f(x)，若函数F(x)在区间(0,1]上是单调减函数，求a的取值范围．e x四、选考题（本大题共2小题，每小题10分，选做1小题）【选修4-4：坐标系与参数方程】22、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第22题10分2016年山西高三三模文科第23题10分2016年山西高三三模理科第23题10分以坐标原点O为极点，O轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=)．2(sinθ+cosθ+1ρ(1) 写出曲线C的参数方程．(2) 在曲线C上任取一点P，过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，求矩形OAPB的面积的最大值．【选修4-5：不等式选讲】23、【来源】 2020年黑龙江大庆萨尔图区大庆实验中学高三零模文科第23题10分2019~2020学年5月重庆沙坪坝区重庆市第一中学高三下学期月考文科第23题10分2019~2020学年吉林通化梅河口市梅河口市第五中学高三上学期期末理科第23题10分已知函数f(x)=|x+1|−|x+a|．(1) 若a=−1，求不等式f(x)⩾−1的解集．(2) 若“∀x∈R，f(x)<|2a+1|”为假命题，求a的取值范围．1 、【答案】 B;2 、【答案】 D;3 、【答案】 A;4 、【答案】 B;5 、【答案】 B;6 、【答案】 B;7 、【答案】 D;8 、【答案】 C;9 、【答案】 A;10 、【答案】 A;11 、【答案】 C;12 、【答案】 B;13 、【答案】甲胜;14 、【答案】(0,√3);15 、【答案】π或30°;(−√3,0)∪(0,2);616 、【答案】6−4√2;17 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 2√155;18 、【答案】 (1) a n =12n ．;(2) 证明见解析．;19 、【答案】 (1) 310．;(2) y ^=52x −3．;20 、【答案】 (1) x 24+y 23=1．;(2) 存在，最大值3，方程为x =1． ;21 、【答案】 (1) x 0=1． ;(2) a ⩽2．;22 、【答案】 (1) {x =1+2cosθy =1+sinθ(θ为参数)． ;(2) 3+2√2．;23 、【答案】 (1) [−12,+∞)．;(2) [−2,0]．;。
2020年黑龙江省大庆市高考数学三模试卷(文科)(含答案解析)
2020年黑龙江省大庆市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，0，，则A. B. C. D. 0，2.设i是虚数单位，若复数z满足，则复数z对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.执行如图所示的程序框图，输出的s值为A.B.C. 4D. 54.设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，则“”是“且”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知圆与抛物线的准线相切，则A. 4B. 3C. 2D. 16.函数的单调减区间为A. ，B. ，C. ，D. ，7.已知向量、满足，，，则与夹角为A. B. C. D.8.设，，，则A. B. C. D.9.甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章．当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁10.已知，则的值为A. B. C. D.11.已知P为双曲线C：左支上一点，，分别为C的左、右焦点，M为虚轴的一个端点，若的最小值为，则C的离心率为A. B. C. D.12.定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立．则下列关系成立的是A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数，则______．14.已知实数x，y满足线性约束条件，则的最小值为______．15.设是等比数列的前n项的和，若，则______．16.已知四边长均为的空间四边形ABCD的顶点都在同一个球面上，若，平面平面CBD，则该球的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在矩形ABCD所在平面的同一侧取两E、F，使且，若，，．求证：取BF的中点G，求证平面ADGC求多面体的体积．18.已知数列的前n项和为，且满足，．求数列的通项公式；数列满足，记数列的前n项和为，求数列的前n项和．19.2021年，辽宁省将实施新高考，2018年暑期入学的高一学生是新高考首批考生，新高考不再分文理科，采用模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试选，每科目满分100分．为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生其中男生550人，女生450人中，采用分层抽样的方法从中抽取n名学生进行调查．已知抽取的n名学生中含女生45人，求n的值及抽取到的男生人数；学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在的条件下抽取到n名学生进行问卷调查假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目，如表是根据调查结果得到的列联表：请将如表的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；选择“物理”选择“历史”总计男生10女生30总计在抽取到的45名女生中技分层抽样再抽出6名女生，了解女生对“历史”的选课意向情况，在这6名女生中再抽取3人，求这3人中选择“历史”的人数为2人的概率．k参考公式：20.已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率，且经过抛物线的焦点．若过点的直线斜率不等于零与椭圆交于不同的两点E、在B、F之间，求椭圆的标准方程；求直线l斜率的取值范围；若与面积之比为，求的取值范围．21.设函数．当时，求函数在点处的切线方程；当时，恒成立，求整数m的最大值．参考数值：，，，22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．求C的普通方程和l的直角坐标方程；直线l与x轴的交点为P，经过点P的直线m与曲线C交于A，B两点，若，求直线m的倾斜角．23.已知函数．若，求不等式的解集；若“，”为假命题，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：由A中不等式变形得：，解得：，即，0，，0，．故选：D．求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：B解析：解：由，得．复数z对应的点的坐标为，在第二象限．故选：B．把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：A解析：解：按照程序框图依次执行为，；，；，；，；，，退出循环，输出．故选：A．首先分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量S的值，模拟程序的运行，运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．本题主要考查了循环结构的程序框图，一般都可以反复的进行运算直到满足条件结束，本题中涉及到三个变量，注意每个变量的运行结果和执行情况．4.答案：A解析：解：l，m，n均为直线，m，n在平面内，且由线面垂直性质定理．反之，如果且推不出，也即时，l也可能平行于．由充分必要条件概念可知，命题中前者是后者成立的充分非必要条件．故选：A．由题意可知：时，由线面垂直性质定理知，且但反之不能成立，由充分必要条件概念可获解．本题主要考查线面垂直和充分必要条件的有关知识．主要注意两点：线面垂直判定及性质定理．充分必要条件的判定，要注意方向性，即谁是谁的．5.答案：C解析：【分析】先把圆的方程整理标准方程，求得圆心和半径，进而根据圆与抛物线的准线相切推断圆心到抛物线的准线的距离为半径，进而求得本题主要考查了抛物线的标准方程，点到直线的距离及圆与直线的位置关系．解题的关键是利用圆和抛物线的标准方程求得圆心，半径及抛物线的准线方程．【解答】解：整理圆方程得，圆心坐标为，半径，圆与抛物线的准线相切，圆心到抛物线准线的距离为半径，即，求得．故选C．6.答案：D解析：解：函数，故本题即求的增区间．由，，可得，．故的增区间为，，故选D．化简可得函数，本题即求的增区间．由，，求得x的范围，即得所求．本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的单调增区间的求法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．7.答案：B解析：解：，，，，，即，，，且，．故选：B．根据对两边平方，进行数量积的运算即可求出的值，从而可得出的值，根据向量夹角的范围即可求出夹角．本题考查了向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，考查了计算能力，属于基础题．8.答案：C解析：【分析】本题考查指数函数和对数函数的性质，是基础题．利用指数函数与对数的函数的单调性分别比较a，b，c与0和1的大小得答案．【解答】解：；，；，．故选C．9.答案：B解析：解：当读了该篇文章的学生是甲，则四位同学都错了，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是甲，当读了该篇文章的学生是乙，则丙，丁说的是对的，与题设相符，故读了该篇文章的学生是乙，当读了该篇文章的学生是丙，则甲，乙，丙说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丙，当读了该篇文章的学生是丁，则甲说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丁，综合得：读了该篇文章的学生是乙，故选：B．先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．10.答案：B解析：【分析】用已知角表示未知角，再结合二倍角公式即可求得的值．本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．【解答】解：，则，故选：B．11.答案：D解析：解：由双曲线的定义可得，则，当M，P，F1三点共线时，取得最小值，即为，由题意可得，移项平方可得，化为，由，可得，解得舍去，故选：D．运用双曲线的定义和三点共线时取得最值的性质，结合a，b，c，e的关系，解方程可得所求值．本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率求法，考查化归与转化思想和方程思想，属于中档题．12.答案：D解析：解：当，，则不等式等价为，即，设，则，即函数在单调递增，则，，，，即，，，，则，故A错误，，故B错误，，故C错误，，故D正确，故选：D．根据条件构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性即得到结论．本题主要考查函数的大小比较，构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．13.答案：1解析：解：根据题意，函数，则，，故答案为：1．根据题意，由函数的解析式求出的值，进而计算可得答案．本题考查分段函数的求值，涉及分段函数解析式的计算，属于基础题．14.答案：1解析：解：绘制实数x，y满足线性约束条件，表示的平面区域如图所示，目标函数，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，联立直线方程：，可得A点的坐标为：，据此可知目标函数的最小值为：．故答案为：1．首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定函数的最值即可．本题考查了线性规划的问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义，属于基础题．15.答案：解析：解：设等比数列的公比为q，则，所以，．故答案为：．设该等比数列的公比为q，由已知条件得出，然后再利用等比数列求和公式可计算出答案．本题考查等比数列的通项和求和公式，解决本题的关键就是利用公比来表示题中的已知量，同时考查了计算能力，属于基础题．16.答案：解析：解：如图所示，设E是的外心，F是的外心，过E，F分别作平面ABD与平面BCD的垂线OE、OF，相交于O；由空间四边形ABCD的边长为，，所以与均为等边三角形；又平面平面CBD，所以O为四面体ABCD外接球的球心；又，，所以外接球的半径为；所以外接球的体积为．故答案为：．根据题意画出图形，结合图形得出与均为等边三角形，求出四面体ABCD外接球的半径，再计算外接球的体积．本题考查了多面体外接球体积的计算问题，也考查了数形结合的解题方法，是中档题．17.答案：证明：四边形ABCD是矩形，，又，，而，平面ABF，平面ABF，；证明：连结AC，BD交于点O，则OG是的中位线，，平面AGC，平面AGC，平面AGC；解：，，，底面ABCD为矩形，底面ABCD，F到平面CDE的距离等于AD，三角形CDE为直角三角形，．解析：由四边形ABCD是矩形，可得，再由已知得到，由线面垂直的判断可得平面ABF，从而得到；连结AC，BD交于点O，可得，由线面平行的判定可得平面AGC；由已知直接利用等积法求得多面体的体积．本题考查空间中直线与直线，直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．18.答案：解：因为，当时，，由得，即，当时，，，所以数列为等比数列，其首项为，公比为2，所以；由得，所以，，数列的前n项和为解析：运用数列的递推式，将n换为，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；运用等比数列的通项公式和对数的运算性质可得，由等差数列的求和公式可得，，再由数列的裂项相消求和，可得所求和．本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义、通项公式，以及等差数列的求和公式，同时考查数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．19.答案：解：由题意：，解得，男生人数为：人，列联表为：选择”物理“选择”历史“总计男生451055女生 301545总计75 25100，所以没有的把握认为选择科目与性别有关．选择物理与选择历史的女生人数的比为2：1，所以按分层抽样有4人选择物理，设为a，b，c，d，2人选择历史，设为A，B，从中选取3人，共有20种选法，其中由2人选择历史的有4种，故这3人中有2人选择历史的概率为：．解析：由题意：，解得，男生人数为：人；计算得，结合临界值表可得；选择物理与选择历史的女生人数的比为2：1，所以按分层抽样有4人选择物理，2人选择历史，根据古典概型概率公式可得．本题考查了独立性检验，属中档题．20.答案：解：设椭圆的方程为，则，抛物线的焦点为由解得，椭圆的标准方程为；如图，由题意知l的斜率存在且不为0，设l方程为，将代入整理得：，由得，；设，，则令，则，由此可得，，且，，，，即，，，解得又，，与面积之比的取值范围是．解析：由题意离心率和椭圆的短轴上的顶点坐标，及a，b，c之间的关系可得椭圆的标准方程；设直线方程与椭圆联立，用判别式大于零得有两个交点时的斜率的范围；面积之比高相同既是BE，BF的比，用横坐标的关系得出的取值范围．考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．21.答案：解：当时，，，所以，因为所以切线方程为，整理得：，，因为，所以恒成立设，则，设，则．所以在上单调递增，又，，所以存在使得，当时，，即；当时，即．所以在上单调递减，上单调递增．所以．因为，．所以，，设，当时，，所以在上单调递增．则，即．所以因为，所以，所以m的最大值为2．解析：先对函数求导，然后导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；由已知不等式分离参数后，构造新函数，然后结合导数与函数的性质可求．本题主要考查了导数的几何意义及由不等式的恒成立求解参数范围问题，属于中档试题．22.答案：解：曲线C的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为．直线l的极坐标方程为整理得，转换为直角坐标方程为．直线l与x轴的交点为P，所以，所以为参数，把直线的参数方程代入圆的方程得到：，整理得，所以，所以，解得或，所以或．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：当时，，由，得．故不等式的解集为．“，”为假命题，“，”为真命题，．，，则，，即，解得，的取值范围为．解析：将代入中，然后将写为分段函数的形式，然后求解不等式即可；由“，”为假命题可知，“，”为真命题，从而得到然后利用绝对值三角不等式求出的最大值，再解关于a的不等式即可得到a的范围．本题考查了绝对值不等式的解法，利用命题的否定求参数的范围和绝对值三角不等式，考查了转化思想，属中档题．。
2020届黑龙江省大庆市大庆实验中学年高三上学期期中数学(文)试题(解析版)
2020届黑龙江省大庆市大庆实验中学年高三上学期期中数学（文）试题一、单选题 1．若2a =，14b =，a 与b 的夹角为120,则a b ⋅=（ ） A ．14-B ．14C ．1D ．-2【答案】A【解析】根据向量的数量积运算即可. 【详解】111cos1202()424a b a b ⋅=⋅⋅︒=⨯⨯-=-故选：A 【点睛】本题主要考查数量积的基本运算cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅<>,属于基础题型. 2．已知复数z 满足2zi i x =-+()x R ∈，若z 的虚部为-2，则z =（ ）．A ．2B ．C D【答案】B【解析】根据2zi i x =-+求得z 再根据虚部为-2求得x ,进而求得z 【详解】 由22,2i xzi i x z xi i-+=-+==--,又z 的虚部为-2,故2,2x x -=-=故22z i =--,故z ==故选：B 【点睛】本题主要考查复数的一般运算与模长公式等,属于基础题型. 3．已知集合{}{}2230,ln()A x x x B x y x =+-≤==-，则A B =（ ）A ．[3,0]-B ．[3,1]-C ．[3,0)-D ．[1,0)-【答案】C【解析】解出集合,A B 中的范围,再求交集即可.【详解】由2230x x +-≤有(1)(3)0x x -+≤,即31x -≤≤,又ln()x -中0x ->即0x <. 故AB =[3,0)-故选：C 【点睛】本题主要考查二次不等式的求解与集合的基本运算,属于基础题型. 4．过点(2,0)且与直线2410x y --=平行的直线方程是（ ） A ．210x y --= B ．240x y +-=C ．220x y --=D ．220x y +-=【答案】C【解析】根据平行线的斜率相等,再利用点斜式得出方程即可. 【详解】直线2410x y --=的斜率为12k =,故过点(2,0)的直线方程为10(2)2y x -=- 化简得220x y --= 故选：C 【点睛】本题主要考查直线的方程,包括点斜式的用法与平行线的性质等,属于基础题型. 5．已知()sin()cos()f x x x ϕϕ=+++为奇函数，则ϕ的一个取值是（ ）A ．2πB ．2π-C ．4π D ．4π-【答案】D【解析】利用奇函数在0处有定义时(0)0f =,化简得tan 1ϕ=-再观察满足的选项即可. 【详解】由()sin()cos()f x x x ϕϕ=+++为奇函数知(0)sin cos 0f ϕϕ=+=,显然cos 0ϕ≠, 故sin cos tan 1ϕϕϕ=-⇒=-,观察选项知ϕ的一个取值是4π- 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的同角关系与三角函数求值问题,属于基础题型.6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，41a =，80S =，当n S 取最大值时n 的值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】利用等差数列求和公式知450a a +=,进而得出n S 取最大值时n 的值即可. 【详解】 因为80S =,所以188()02a a +=,即180a a +=,又1845450,1,1a a a a a a +=+=∴==-,故等差数列{}n a 公差20d =-<,当n S 取最大值时n 的值为4 故选：B 【点睛】本题主要考查首项为正公差为负的等差数列的前n 项和的最大值问题,当10n n a a +≥⎧⎨≤⎩ 时取得前n 项和的最大值,属于基础题型. 7．若a b >，则（ ） A ．a b > B ．lg()0a b ->C0>D ．22a b <【答案】C【解析】对A,B 举反例说明即可,C,D 根据单调性进行分析即可. 【详解】对A,当1,2a b =-=-时a b <,故A 错误.对B, 当1,0a b ==时lg()lg10a b -==,故B 错误. 对C, a b >0>成立,故C 正确. 对D,因为2xy =为增函数所以a b >时22a b >,故D 错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查不等式的性质与函数的单调性等,属于基础题型.8．已知三棱锥A-BCD ，点E 、F 、G 分别是BC 、AC 、AD 的中点，直线AB 与CD 所成的角为60︒，则EFG Ð的大小是（ ）A ．30︒B ．60︒C ．60︒或120︒D ．30︒或150︒【答案】C【解析】画出图像分析可得EFG Ð和直线AB 与CD 所成的角相等或者互补. 【详解】由题得EF 为ABC ∆的中位线,故EF ∥AB ,同理得FG ∥CD ,故AB 与CD 所成的角为EF 与FG 所成的角,又EFG Ð和直线EF 与FG 所成的角相等或者互补. 即可能为60︒或120︒故选：C 【点睛】本题主要考查立体几何中平行与角的运用,注意中位线的用法即可,属于基础题型.9．已知双曲线221:134x y C -=，双曲线2C 的焦点在y 轴上，它的渐近线与双曲线1C 相同，则双曲线2C 的离心率为（ ）A B C D 【答案】B【解析】由双曲线2C 的焦点在y 轴上,设22222:1y xC a b-=,则渐近线方程为a y x b =±.又渐近线与双曲线1C 相同,列出关于,a b 的关系式化简求离心率即可. 【详解】因为双曲线2C 的焦点在y 轴上,故设22222:1y xC a b-=,则渐近线方程为a y x b =±.又渐近线与双曲线1C 相同为y x =,即a b =故2b a =,故2C 的离心率e ===故选：B 【点睛】焦点在y 轴上的双曲线22221y xa b-=的渐近线方程为a y x b =±,双曲线离心率c e a ==属于基础题型. 10．已知在ABC ∆中,2BC CA =， 44C =︒，则ABC ∆三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角、直角或钝角三角形都可能【答案】C【解析】判断三角形的形状求最大角A 的余弦值即可,利用余弦定理求解三边的关系,注意44C =︒接近45︒,故利用角,A C 的余弦定理结合cos45︒进行A 的余弦值范围的判断即可. 【详解】设ABC ∆中,,A B C 的对边分别为,,a b c 则2a b =因为44C =︒,故cos cos 452C >︒=,即222222225cos (52242a b c b c C c b ab b +--=>⇒>⇒<-.故222223cos 022b c a c b A bc bc +--==<=<即cos 0A <,故90A >︒为钝角 故选：C 【点睛】本题主要考查解三角形中对三角形形状判断的应用,属于中等题型.11．过某一圆锥的高的中点和一个三等分点（该三等分点距圆锥顶点比距圆锥底面圆心更近），分别作平行于该圆锥底面的平面，圆锥被分割成三个部分，则这三个部分的侧面积之比为（ ） A ．2:1:3B ．2:3:6C ．4:5:27D ．4:9:36【答案】C【解析】设底面半径为R ,母线长为l ,再分别表示出三部分的侧面积即可. 【详解】设底面半径为R ,母线长为l ,则圆锥被分割成的三个圆锥的侧面积分别为1S Rl π=,2224R l Rl S ππ=⋅⋅=,3339R l RlS ππ=⋅⋅= 故圆锥被分割成三个部分的侧面积分别为11213'(1)44S S S Rl Rl ππ=-=-=, 223115'()4936S S S Rl Rl ππ=-=-=,33'9RlS S π==故侧面积比为321153':':'::4:5:279364S S S == 故选：C 【点睛】本题主要考查立体几何中的比例关系,注意设半径与母线长分别表示需要表达的量再求比值即可,属于基础题型.12．已知点F 是椭圆22:142x y C +=的右焦点，斜率为(0)k k >的直线l 过点F 并与椭圆C 交于A 、B 两点， 且满足4AF FB =,则k 的值为（ ）A ．1B ．6C ．2D【答案】B【解析】由题可设直线倾斜角为θ,再根据焦半径公式与4AF FB =求出cos θ,进而算得k 的值tan θ即可. 【详解】因为22:142x y C +=,所以离心率2e =,设直线倾斜角为θ,由焦半径公式与4AF FB =得4344cos 1cos cos 1cos 1cos 55ep ep e e e e e θθθθθ=⇒-=+⇒==-+.故tan θ===,即斜率k = 故选：B 【点睛】本题主要考查焦半径公式的运用,属于中等题型.二、填空题13．已知m 是2与8的等比中项，则圆锥曲线221yx m-=的离心率是_____．【解析】由m 是2与8的等比中项算出4m =±,再分两种情况计算圆锥曲线221yx m-=的离心率即可. 【详解】由m 是2与8的等比中项有22816m =?,故4m =±.当4m =时圆锥曲线方程2214y x -=,为焦点在x 轴的双曲线,其中1,a c ==此时离心率e =当4m =-时圆锥曲线方程2214y x +=,,为焦点在y 轴的椭圆,其中2,a c ==,此时离心率2e =【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线方程运用,属于基础题型.14．设曲线3(1)ln y a x x =--在点(1,0)处的切线方程为22y x =-,则a =_______. 【答案】1【解析】求导后代入1x =即可算得在点(1,0)处的切线斜率,与22y x =-斜率相等,列式求得a 即可. 【详解】由3(1)ln y a x x =--有1'3y a x=-,故在点(1,0)处的切线斜率为31a -,又切线方程为22y x =-,故312,1a a -==故答案为：1 【点睛】本题主要考查导函数的几何意义,在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率,属于基础题型.15．已知1sin 12αα-=-，则tan α=_______.【答案】【解析】将1sin 2αα合一变形算得α的取值集合,再求tan α即可.【详解】由1sin 12αα=-得cos sin sin cos sin()1333πππααα-=-=-,故232k ππαπ-=-,即26k παπ=-,故tan ta 6n(2)3k παπ-=-=故答案为：-【点睛】本题主要考查辅助角公式与三角函数求值等,属于基础题型.16．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，111BB B D =，点E 是棱1CC 上的一个动点，若平面1BED 交棱1AA 于点F ，给出下列命题：①四棱锥11B BED F -的体积恒为定值； ②存在点E ，使得1B D ⊥平面1BD E ；③对于棱1CC 上任意一点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得CG 平面1EBD ； ④存在唯一的点E ，使得截面四边形1BED F 的周长取得最小值.其中真命题的是____________．（填写所有正确答案的序号） 【答案】①②④【解析】对①,将四棱锥11B BED F -分成两部分11B BED -与11B BD F -分析即可 对②,根据线面垂直的判定,注意用到11B D BD ⊥再利用线面垂直与线线垂直的判定即可.对③,举出反例即可.对④,四边形1BED F 的周长012()C BE ED =+,展开长方体分析最值即可. 【详解】对①,111111112B BED F B BED B BFD B BED V V V V ----=+=,又三棱锥1111B BED E BB D =--底面 11BB D 不变,且因为1CC ∥底面11BB D ,故E 到底面11BB D 的距离即11E BB D -上的高长度不变.故三棱锥11B BED -体积一定,即四棱锥11B BED F -的体积恒为定值,①正确. 对②,因为111BB B D =,且长方体1111ABCD A B C D -,故四边形11BB D D 为正方形, 故11B D BD ⊥.要1B D ⊥平面1BD E 则只需1B D BE ⊥,又CD BE ⊥,故只需BE ⊥面1DCB .又1B C ⊂平面1DCB ,故只需1BE B C ⊥即可.因为111BB B D BD BC ==>,故当1BB BCBC CE=时存在点E ,使得1BE B C ⊥,即1B D ⊥平面1BD E .故②正确. 对③,当E 在C 时总有CG 与平面1EBD 相交,故③错误.对④,四边形1BED F 的周长012()C BE ED =+,分析1BE ED +即可.将矩形11BCC B 沿着1CC 展开使得B 在DC 延长线上时,此时B 的位置设为P ,则线段1D P 与1CC 的交点即为使得截面四边形1BED F 的周长取得最小值时的唯一点E .故④正确.故答案为：①②④ 【点睛】本题考查立体几何中的垂直平行判定等,在证明垂直等问题时需要用到线线线面垂直的性质和判定等,对空间想象能力以及立体几何证明有一定的要求,属于难题.三、解答题17．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：(1)用分层抽样方法在收看文艺节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？(2)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为大于40岁的概率． 【答案】（1）2名；（2）35. 【解析】(1)根据分层抽样的方法,用5乘以大于40岁的观众所占的比例即可.(2)用枚举法将所有可能的情况均列出来,再数出恰有1名观众的年龄为大于40岁的情况数,再利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】(1)大于40岁的观众中应抽取20550⨯=2名观众 (2)设5名观众中20至40岁的观众3人分别为,,A B C ,大于40岁的2人分别为(,)a b ,则任取2名所有可能的情况有：(,),A B (,),A C (,),A a (,),A b (,),B C (,),B a (,),B b (,),C a (,),C b (,),a b 共10种结果,每种结果发生的概率都是110,是古典概型. 抽取的3名观众中恰有1名观众的年龄为20至40岁包含(,),A a (,),A b (,),B a (,),B b (,),C a (,),C b 共6个基本事件,设“在上述抽取的5名观众中任取2名,求恰有1名观众的年龄为大于40岁”的事件为A 则A 发生的概率63()105P A == 【点睛】本题主要考查分层抽样以及基本的古典概型方法,属于基础题型. 18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1616a a +=，315S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11n n n n n S S b S S ++-=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =+（2）11(1)(3)3n T n n =-++【解析】(1)用基本量法求解首项与公差即可算得通项公式 (2)由11111n n n n n n nS S b S S S S +++-==-⋅,裂项相消后代入n S 即可.【详解】解：(1)设数列{}n a 的公差为d ,则1125163315a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得13a =,2d =,21n a n ∴=+. (2)由(1)知()()12321S 222n n n a a n n n n +++===+, 11111n n n n n n nS S b S S S S +++-==-⋅,1221321111111n n n n T b b b S S S S S S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111(1)(3)3n S S n n +=-=-++. 【点睛】本题主要考查基本量法求等差数列的方法以及简单的裂项相消问题,属于基础题型. 19．如图，在四棱锥S -ABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，ABCD 为正方形．且1SA AD ==，M 是SD 的中点，ANSC ⊥于点N ．（1）求证：SC AM ⊥； （2）求AMN 的面积． 【答案】（1）见解析；（2）12AMNS=【解析】（1）先证明AM ⊥平面SCD ，即证SC AM ⊥；（2）先求出11312S ACM AMN V SSC -=⨯=，再求AMN 的面积． 【详解】（1）∵SA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴SA CD ⊥．∵CD AD ⊥，AD SA A ⋂=，∴CD ⊥平面SAD ．∵AM ⊂平面SAD ，∴CD AM ⊥，又1SA AD ==，M 是SD 的中点，∴AM SD ⊥，∵SD CD D ⋂=， ∴AM ⊥平面SCD ，∵SC ⊂平面SCD ，∴SC AM ⊥．（2）∵M 是SD 的中点，∴S ACM D ACM M ADC V V V ---==，∴1111113232212S ACM ACDV S SA -=⨯=⨯⨯=． ∵AN SC ⊥，AM SC ⊥，AN AM A ⋂=，∴SC ⊥平面AMN ， ∴13S ACM AMNV S SC -=⨯．∵SC =∴AMN的面积3S ACM AMNV S SC -==． 【点睛】本题主要考查空间线面垂直关系的证明，考查空间几何体体积的计算和面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，短轴长为2直线11:22l y x =-与椭圆C 交于不同的两点M ，N . （1）求椭圆C 的方程；（2）若已知点(2,0)A ,求AMN ∆的面积.【答案】(1) 2214x y +=(2)【解析】(1)由题意列出,,a b c 的关系求解即可.(2) AMN ∆面积可以利用x 轴分割开的两个小三角形面积之和表示,或者以MN 为底,A 到直线11:22l y x =-的距离为高求解. 【详解】(1)由题意得22222b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩,解得1b =,所以椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)方法1：由222114x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去x,得28430y y +-=, 判别式2448(3)112∆=-⨯⨯-=,设点M ,N 的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,所以12y y -==所以AMN ∆的面积12(21)12y y S -⨯-=方法2：由22112214y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,消去y,得22230x x --=, 判别式2(2)42(3)28∆=--⨯⨯-=, 设点M ,N 的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,所以2MN ==, 又因为点()2,0A 到直线11:22l y x =-的距离1d =, 所以AMN ∆的面积11||2S MN d ===【点睛】本题主要考查椭圆的基本量运算以及简单的直线与椭圆的位置关系求有关面积的问题,属于基本题型.21．已知函数()ln f x x kx =+,()2g x x =.k ∈R .（1）求函数()f x 的极值点；（2）若()()f x g x ≤恒成立,求k 的取值范围.【答案】(1) 当0k ≥时无极值点, 当k 0<时,极大值点1k-,无极小值点. (2) (,1]-∞ 【解析】(1)求导()1f x k x'=+后分0k ≥和k 0<进行讨论即可. (2)由题()2ln 00x x kx x -+≤>恒成立,故参变分离写成ln x k x x≤-形式,分析函数()ln (0)xh x x x x=->的单调性求最大值即可.【详解】(1)()ln f x x kx =+的定义域为()0,∞+,()1f x k x'=+, 当0k ≥ 时,()10f x k x +'=>,所以()f x 在()0,∞+上单调递增,无极值点, 当k 0<时,解()10f x k x +'=>,得10x k <<-,解()10f x k x+'=<得1x k >-,所以()f x 在10,k ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增,在1,k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减, 所以函数()f x 有极大值点1k-,无极小值点. (2)由条件可得()2ln 00x x kx x -+≤>恒成立, 则当0x >时,ln xk x x≤-恒成立, 令()ln (0)x h x x x x =->,则()221ln x x h x x-+=', 令()21ln (0)k x x x x =-+>,则当0x >时,()120k x x x+'=>,所以()k x 在()0,∞+上为增函数. 又()10k =,所以在()0,1上,()0h x '<；在()1,+∞上,()0h x '>. 所以()h x 在()0,1上为减函数；在()1,+∞上为增函数. 所以()()min 11h x h ==,所以1k ≤.,故k 的取值范围是(,1]-∞. 【点睛】(1)根据导函数是否有零点对参数进行分类讨论.(2)恒成立问题利用参变分离转化为最值的讨论问题,同时注意导函数如果不能直接判断在区间上的正负,则还需对导函数进行求导分析.本题属于综合题型.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2x ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4ρ=. （1）求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；（2）若l 与C 相交于A ，B 两点，()2,0P -，求PA PB ⋅.【答案】(1) 直线l0y -+=.圆C 的直角坐标方程为2216x y +=.(2)12【解析】(1)根据所给的参数方程消去参数t 即可.(2)将参数方程2x t y =-+⎧⎪⎨=⎪⎩改写成标准形式1222x s y s⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(s 为参数),再代入C 求得交点的对应的参数关系与韦达定理.再利用直线的参数方程的几何意义求解PA PB ⋅即可. 【详解】(1)将直线l 的参数方程消去参数t , 得直线l0y -+=.由4ρ=,得2216x y +=,则圆C 的直角坐标方程为2216x y +=.(2)将直线l的参数方程变为122x s y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(s 为参数),代入2216x y +=,得22120s s --=,则1212s s =-,故121212PA PB s s s s ⋅=⋅==. 【点睛】本题主要考查直线参数方程的几何意义,注意参数方程需写成标准的结构,参数才有几何意义.属于基础题型.23．已知函数()2|1||1|f x x x =+--，x ∈R ． （1）求()1f x ≤的解集；（2）若()f x x a =-有两个不同的解，求a 的取值范围． 【答案】(1)[4,0]- ;(2) (3,1)-【解析】(1)分1x ≥,11x -<<,1x ≤-三种情况进行去绝对值再写成分段函数分情况讨论即可.(2)画出()f x 的函数图像,数形结合判断()f x x a =-有两个不同的解即()f x 与y x a =-有两个交点时a 的取值范围即可.【详解】解：(1)由绝对值的意义可得：3,1()31,113,1x x f x x x x x +≥⎧⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩,①当1x ≥时,31x +≤得：无解,②当11x -<<时,311x +≤,解得：10x -<≤, ③当1x ≤-时,31x --≤,解得：41x --≤≤,综合①②③可得()1f x ≤的解集为：{|40}x x -≤≤；(2)若()f x x a =-有两个不同的解,即()y f x =的图象与直线y x a =-有两个交点,当y x a =-过点(1,2)--时,1a =,当y x a =-与3,1()31,113,1x x f x x x x x +≥⎧⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩中的第一段重合时,3a =-结合图象可得31a -<<． 故a 的取值范围是(3,1)-. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法以及数形结合的思想,属于中等题型.。
2020届黑龙江省大庆实验中学高三下学期综合模拟考试数学(文)试卷及解析
2020届黑龙江省大庆实验中学高三下学期综合模拟考试数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题：本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位),则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数,然后求z 的共轭复数,即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限．详解：由题意,()()()222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅- 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.2.设全集U =R ,(2){|ln(2)},{|21}x x A x N y x B x -=∈=-=≤,A B =（ ）A. {|1}x x ≥B. {|12}x x ≤<C. {}1D. {}0,1【答案】D【解析】由题分别算出集合,A B 包含的范围,再取交集即可.【详解】由{|ln(2)}A x N y x =∈=-得20,2x x -><,又x ∈N 所以0,1x =.又(2){|21}x x B x -=≤,其中(2)0212(2)0x x x x -≤=⇒-≤所以02x ≤≤,故{}{0,1},|02A B x x ==≤≤ ,所以{}0,1A B =. 故选 D. 3.已知焦点在x 轴上的椭圆的长轴长是8,离心率是34,则此椭圆的标准方程是（ ） A. 221167x y += B. 221716x y += C. 2216428x y += D. 2212864x y += 【答案】A【解析】由椭圆的长轴长及离心率的值,可求出,,a b c ,进而结合椭圆的焦点在x 轴上,可得出椭圆的标准方程.【详解】由题意知,28a =,∴4a =,又34e =,∴3c =,则2227b a c =-=. 因为椭圆的焦点在x 轴上时,所以椭圆方程为221167x y +=. 故选：A .4.如图所示的2个质地均匀的游戏盘中(图①是半径为2和4的两个同心圆组成的圆盘,O 为圆心,阴影部分所对的圆心角为90︒；图②是正六边形,点Р为其中心)各有一个玻璃小球,依次摇动2个游戏盘后（小球滚到各自盘中任意位置都是等可能的）待小球静止,就完成了一局游戏,则一局游戏后,这2个盘中的小球至少有一个停在阴影部分的概率是（ ）A. 116B. 1124C. 1324D. 516【答案】B【解析】根据几何概型面积型可分别计算出两个图中小球落在阴影部分的概率,由独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式可求得结果.。
2020届黑龙江省大庆市第四中学高三下学期第四次检测数学(文)试题(解析版)
2020届黑龙江省大庆市第四中学高三下学期第四次检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}|ln 0A x x =>，3|11B x x ⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则A B =（ ） A ．()1,+∞ B ．()1,2-C ．()2,+∞D ．()1,2【答案】C【解析】分别利用对数不等式和分式不等式的解法化简集合A ，B ，然后利用交集运算求解. 【详解】因为集合{}{}|ln 0|1A x x x x =>=>，{3|1|11B x x x x ⎧⎫=<=<-⎨⎬+⎩⎭或}2x >， 所以A B =()2,+∞故选：C 【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及对数不等式和分式不等式的解法，属于基础题. 2．若复数z 满足1zi i =-（i 为虚数单位），则其共轭复数z 的虚部为（ ） A ．i - B ．iC ．1-D ．1【答案】D【解析】由已知等式求出z ，再由共轭复数的概念求得z ，即可得z 的虚部. 【详解】由zi ＝1﹣i ，∴z＝()()111·i i i i i i i ---==--- ，所以共轭复数z =-1+i ，虚部为1 故选D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念，属于基础题．3．设变量x ，y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数23z x y =+的最小值（ ）A ．5B ．4C ．9D ．2【解析】作出不等式组表示的平面区域，根据图形找到最优解，代入目标函数可得解. 【详解】作出不等式组20201x yx yy+-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域如图：联立2020x yx y+-=⎧⎨--=⎩，解得11xy=⎧⎨=⎩，所以(1,1)M，由图可知，直线23z x y=+经过点(1,1)M时，z取最小值，所以23z x y=+的最小值为21315⨯+⨯=.故选：A.【点睛】本题考查了利用线性规划求目标函数的最值，解题关键是正确作出可行域并找到最优解，属于基础题.4．已知等差数列{}n a的首项12a=，前n项和为nS，若810=S S，则18a=（）A．4-B．2-C．0D．2【答案】B【解析】设等差数列{}n a的公差为d，由810S S=和1a2=得d，即可得18a.【详解】设等差数列{}n a的公差为d，由810S S=，得910a a+=，所以12170a d+=，且1a2=，所以d=417-，得181417217217a a d⎛⎫=+=+⨯-=-⎪⎝⎭.故选B本题考查了等差数列的通项公式的应用，属于基础题. 5．在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2+6x+2=0的根，则2169a a a 的值为（ ） A． B． CD．【答案】B【解析】由韦达定理得a 3a 15=2，由等比数列通项公式性质得：a 92=a 3a 15=a 2a 16=2，由此求出答案． 【详解】解：∵在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2-6x+2=0的根， ∴a 3a 15=2＞0，a 3+a 15=6＞0 ∴a 2a 16=a 3a 15=2， a 92=a 3a 15=2， ∴a 9∴2169a a a = 故选C ． 【点睛】本题考查等比数列中两项积与另一项的比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．6．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωφωφπ=+>><<两条相邻对称轴为512x π=和34x π=，若3(0)5f =，则()6f π=（ ） A ．45- B ．35C ．35D ．45【答案】C【解析】由相邻对称轴可得周期，即得ω值，再由函数对称轴可得φ取值，结合()305f =得到A ，从而可求得6f π⎛⎫⎪⎝⎭值. 【详解】由函数()f x 两相邻对称轴为512x π=和34x π=，可知35-=24123T πππ=，即22=3T ππω=，则=3ω，∴()()sin 3f x A x φ=+， ∵34x π=为对称轴，∴33+=+k 42ππφπ⨯，即97=-+k =k -244πππφππ，0φπ<<， 所以=4πφ，即()sin 34f x A x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，又()305f =，则3sin ==45A A π，即=A 所以()354f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，33=6564545f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C . 【点睛】本题考查正弦函数解析式的求法，考查正弦函数周期和正弦函数的对称性，考查计算能力，属于中档题7．已知ba b c a 0.2121()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】B【解析】利用函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数12log y x =互为反函数，可得01a b <<<，再利用对数运算性质比较a,c 进而可得结论. 【详解】依题意，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数12log y x =关于直线y x =对称，则0.21210log 0.22⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即01a b <<<，又0.211220.2log 0.2log 0.20.20.20.211110.22252b c a a ⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====<= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，c a b <<. 故选：B. 【点睛】本题主要考查对数、指数的大小比较，属于基础题.8．已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，则(2020)f =（）A ．2-B ．2log 3C ．3D ．2log 5-【答案】D【解析】由题意利用函数奇偶性求得()f x 的周期为3，再利用函数的周期性求得(2020)f 的值．【详解】 解：已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，()()(3)f x f x f x ∴-=-=-，∴()f x 的周期为3.3,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，22(2020)(36731)(1)(1log (27)lo )5g f f f f =⨯+==-=--+-=-,故选D ． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性和周期性，函数值的求法，属于基础题．9．在空间四边形ABCD 中，若AB BC CD DA ===，且AC BD =，E F 、分别是AB CD 、的中点，则异面直线AC EF 与所成角为（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】B【解析】设空间四边形ABCD 的边长为2，作AD 的中点 并且连接MF 、EM ，在△EMF 中可由余弦定理能求出异面直线所成的角． 【详解】在图1中连接DE ，EC ，因为AB BC CD DA ====AC BD =，得DEC ∆为等腰三角形，设空间四边形ABCD 的边长为2，即AB BC CD DA ====AC BD ==2，在DEC ∆中，DE EC == 1CF =,得EF .在图2取AD 的中点M ，连接MF 、EM ，因为E 、F 分别是AB 、CD 的中点，∴MF＝1，EM ＝1，∠EFM 是异面直线AC 与EF 所成的角．在△EMF 中可由余弦定理得：cos∠EFM＝222221122?222FE MF ME FE MF +-+-==，∴∠EFM＝45°,即异面直线所成的角为45°． 故选B图1 图2 【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题.10．若函数1()xf x ae x=-在其定义域上只有3个极值点，则实数a 的取值范围（ ） A ．2,(1,)4e ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．2,4e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．()21,1,4e e ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由函数1()xf x ae x =-，求导21()x f x ae x '=+，根据函数1()xf x ae x=-在(),0(0,)-∞⋃+∞上只有3个极值点，转化为21()0x f x ae x'=+=在(),0(0,)-∞⋃+∞上只有3个零点，即 21x a x e=-⋅在(),0(0,)-∞⋃+∞上只有3个零点，令()21x g x x e=-⋅，用导数法作出函数()g x 图象，利用数形结合法求解.【详解】因为函数1()xf x ae x=-， 所以21()xf x ae x '=+， 因为函数1()xf x ae x=-在(),0(0,)-∞⋃+∞上只有3个极值点，所以21()0x f x ae x'=+=在(),0(0,)-∞⋃+∞上只有3个零点， 即 21xa x e=-⋅在(),0(0,)-∞⋃+∞上只有3个零点， 令()21x g x x e =-⋅，则 ()2xx g x x e +'=⋅ ， 当2x <-或 0x >时， ()0g x '>，当 20x -<<时，()0g x '>，当2x =-时，()224e g =-，作出函数()g x 图象，如图所示：所以24e a <-故选：B 【点睛】本题主要考查导数与函数的极值点，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题. 11．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，抛物线C 上动点A ，B 满足4AF FB =，若A ，B 的准线上的射影分别为M ，N 且MFN ∆的面积为5,则AB =（ ） A ．94B ．134C ．214D ．254【答案】D 【解析】分别利用5MFNS、AFCABD 对应边成比例、抛物线过焦点的弦长公式联立求解即可得到． 【详解】过点A 作x 轴的垂线垂足于C ，交NB 的延长线于点D．设221212,,,22y y A y B y p p，则12MN y y .5MFNS1210y y p ①AFCABDAF ACABAD ，即11245y y y124y y ②2212,2222y y AF AM FB BNppp p 22124()2222y y pp pp③联立①②③解得14y =，21y =-，2p =221225224y y AB p p p ∴=++=故选D【点睛】抛物线()2:20C y px p =>过焦点的弦长AB 可用公式12AB x x p =++ 得出．二、多选题12．数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美.如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，下列说法正确的是( )A ．对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个B ．()3f x x =可以是某个圆的“优美函数”C ．正弦函数sin y x =可以同时是无数个圆的“优美函数”D ．函数()y f x =是“优美函数”的充要条件为函数()y f x =的图象是中心对称图形 【答案】ABC【解析】利用“优美函数”的定义判断选项A ，B ，C 正确，函数()y f x =的图象是中心对称图形，则函数()y f x =是“优美函数”，但是函数()y f x =是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，举出反例，可判断选项D 错误． 【详解】解：对于A ：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分， 所以对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个，故选项A 正确； 对于B ：因为函数3()f x x =图象关于原点成中心对称，所以将圆的圆心放在原点，则函数3()f x x =是该圆的“优美函数”， 故选项B 正确；对于C ：将圆的圆心放在正弦函数sin y x =的对称中心上， 则正弦函数sin y x =是该圆的“优美函数”，故选项C 正确； 对于D ：函数()y f x =的图象是中心对称图形， 则函数()y f x =不一定是“优美函数”，如1()f x x=； 但是函数()y f x =是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图所示：，所以函数()y f x =的图象是中心对称图形是函数()y f x =是“优美函数” 的不充分不必要条件，故选项D 错误， 故选：ABC ． 【点睛】本题主要考查了函数的新定义，属于中档题．三、填空题13．已知向量()1,1a =-，()1,0b =，则b 在a 方向上的投影为________． 【答案】2 【解析】先求出a b •，a ，b 再代入向量的投影公式计算即可． 【详解】因为a b •＝-1()11101-⨯+⨯=- ，()22112a =-+= ，1b =∴向量b 在向量a 方向上的投影•22a b a =- ． 故答案为2【点睛】本题考查了平面向量的数量积和模长及投影公式，属于基础题． 14．若点(cos ,sin )P αα在直线2y x =上，则cos(2)2πα+的值等于______________ .【答案】45-【解析】根据题意可得sin 2cos αα=，再由22sin cos 1αα+=，即可得到结论. 【详解】由题意，得sin 2cos αα=，又22sin cos 1αα+=，解得cos α=，当cos 5α=时，则sin 5α=，此时4cos 2sin 222555παα⎛⎫+=-=-⨯=- ⎪⎝⎭；当cos α=时，则sin α=，此时4cos 2sin 2225παα⎛⎛⎛⎫+=-=-⨯⨯=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 综上，4cos 225πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 故答案为：45-. 【点睛】本题考查诱导公式和同角的三角函数的关系，考查计算能力，属于基础题.15．已知两圆相交于两点(),3A a ,()1,1B -，若两圆圆心都在直线0x y b ++=上，则+a b 的值是________________ .【答案】1-【解析】根据题意，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，可得AB 与直线0x y b ++=垂直，且AB 的中点在这条直线0x y b ++=上，列出方程解得即可得到结论. 【详解】由(),3A a ,()1,1B -，设AB 的中点为1,22a M -⎛⎫⎪⎝⎭， 根据题意，可得1202a b -++=,且3111AB k a -==+， 解得，1a =,2b =-，故1a b +=-. 故答案为：1-. 【点睛】本题考查相交弦的性质，解题的关键在于利用相交弦的性质，即两圆的连心线垂直平分相交弦，属于基础题.16．三棱锥P ABC -中，AB BC ==，6AC =，PC ⊥平面ABC ，2PC =，则该三棱锥的外接球表面积为__________．【答案】832π【解析】【详解】在ABC中，61cos30521515B-===-⨯⨯，B为钝角，126sin125B=-=，ABC的外接圆半径562sin446bRB===，12OP=，该三棱锥的外接球的半径为OC=256166()14+=，球的表面积1661668341642πππ⨯==四、解答题17．为了比较两种治疗某病毒的药分别称为甲药，乙药的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图1等高条形图.（1）根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；（2）为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间（单位：天）)，统计并绘制了如图2茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；（3）标准差s 除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在()3,3x s x s -+之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合2（）中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？48≈.【答案】（1）甲药的治愈率更高；（2）甲药的疗效更好；理由见解析；（3）应该对该患者进行进一步检查..【解析】（1）根据等高条形图直接判断即可；（2）根据茎叶图的知识从数据集中性，中位数，平均数等方面判断说明； （3）分别计算平均数和标准差，根据题意判断即可. 【详解】解：（1）甲药的治愈率更高， （2）甲药的疗效更好， 理由一：从茎叶图可以看出，有910的叶集中在茎0，1上，而服用乙药患者的治疗时间有35的叶集中在茎1，2上，还有110的叶集中在茎3上，所以甲药的疗效更好.理由二：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗的时间的中位数为10天，而服用乙药患者的治疗时间的中位数为12.5天，所以甲药的疗效更好.理由三：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗的时间的平均值为10天，而服用乙药患者的治疗时间的平均值为15天，所以甲药的疗效更好.（3）由（2）中茎叶图可知，服用甲药患者的治疗时间的平均值和标准差分别为45681010111212221010x +++++++++==，4.8s ==≈，所以3 4.4x s -≈-，324.4x s +≈， 而2624.4>，应该对该患者进行进一步检查. 【点睛】本题考查等高条形图，茎叶图，数字特征等知识，考查运算能力与分析能力，是中档题.18．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2c A b a =-．（1）求角C ；（2）若D 是边BC 的中点，11cos 14B =，21AD =ABC 的面积S ． 【答案】（1）3π．（2）3【解析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出C 的值． （2）利用正弦定理和余弦定理及三角函数关系式的变换的应用，进一步利用三角形的面积公式的应用求出结果． 【详解】 （1）2cos 2c A b a =-，∴由正弦定理得2sin cos 2sin sin C A B A =-，2sin cos 2sin()sin C A A C A ∴=+-，2sin cos 2sin cos 2cos sin sin C A A C A C A =+-∴， 2sin cos sin A C A ∴=，sin 0A ≠，1cos2C ∴=，(0,)C π∈，3C π∴∠=.（2）11cos 14B =，(0,)B π∈，53sin B ∴=， sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+53111343214=+=，43533::sin :sin :sin ::8:5:77142a b c A B C ∴===， 设8a x =，5b x =，7c x =，在ACD △中，2222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅⋅，22221251620x x x ∴=+-，1x ∴=，8a ∴=，5b =，7c =，1sin 1032ABCSab C ∴==. 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力． 19．如图1，在高为2的梯形ABCD 中，//,2,5AB CD AB CD，过A 、B 分别作,AECD BFCD ，垂足分别为E 、F ，已知1DE =，将梯形ABCD 沿AE 、BF 同侧折起，使得,//AF BD DE CF ，得空间几何体ADEBCF ，如图2．（1）证明：//BE 面ACD ； （2）求三棱锥B ACD -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）23【解析】（1）通过构造平行四边形证得//OE DG （即//BE DG ），由此证得//BE 面ACD .（2）利用等体积法，将B ACD V -转化为A CDE V -来求得三棱锥的体积. 【详解】（1）连接BE 交AF 于O ，设G 是AC 中点，连接,DG OG .依题意可知1,2,2DE EF AB CF ====，而2AE BF ==，所以四边形ABFE 是正方形，所以AF BE ⊥.因为AF BD ⊥，BD BE B ⋂=，所以AF ⊥平面BDE ，所以AF DE ⊥.因为,DE AE AE AF A ⊥⋂=，所以DE ⊥平面ABFE ，而//DE CF ，所以CF ⊥平面ABFE .由于O 是AF 中点，G 是AC 的中点，所以//OG CF 且12OG CF =，而//DE CF ，且12DE CF =，所以//DE OG =，所以四边形EOGD 为平行四边形，所以//OE DG ，即//BE DG ，由于BE ⊂平面ACD ,DG ⊂面ACD ，所以//BE 面ACD .（2）由（1）知//BE 面ACD ，所以B 到平面ACD 的距离，等于E 到平面ACD 的距离.由于,,AE EF AE DE EF DE E ⊥⊥⋂=，所以AE ⊥平面EDFC .所以13B ACD A CDE CDE V V S AE --∆==⨯⨯112122323=⨯⨯⨯⨯=.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查等体积法求几何体的体积，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20．如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，并且椭圆经过点P(1，3)，直线l 的方程为x ＝4．（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆内一点E(1，0)，过点E 作一条斜率为k 的直线与椭圆交于A ，B 两点，交直线l 于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3．问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1) 2214x y +=.(2) 存在2λ=，使得1232k k k +=．【解析】(1)根据已知得到a,b 的方程组，解方程组即得椭圆的方程.(2) 设直线AB 的方程为：()1y k x =-，利用韦达定理求出12323k k k +=-，336k k =-，即得1232k k k +=和λ的值.【详解】（1）因为椭圆的离心率为2，所以222114b a =-=⎝⎭，又椭圆过点1P ⎛ ⎝⎭，所以221314a b +=， 所以24a =，21b =，所以椭圆方程为2214x y +=．（2）设直线AB 的方程为：()1y k x =-，令4x =，则3y k =，所以点()43M k ，， 设()11A x y ，，()22B x y ，所以1212122211y y k k x x --+=+-- ()()1212112211k x k x x x ----=+--12112211k x x ⎫=-+⎪--⎝⎭()1212122221x x k x x x x ⎡⎤+-=-⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦． 由()22144y k x x y ，⎧=-⎨+=⎩，可得()2222148440kxk x k +-+-=．所以2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+，所以221222228214244811414k k k k k k k k k-++=--+++2k =-．又因为33236k k k ==-，所以1232k k k +=， 所以存在2λ=，使得1232k k k +=． 【点睛】(1)本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题的关键是求出韦达定理求出122k k k +=3k k =21．已知函数()()2ln 21f x x x ax a R =+-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：若对于任意的(a ∈，都存在(]00,1x ∈使不等式20()ln f x a a a+>-成立.【答案】（1）答案见详解；（2）证明见详解.【解析】（1）求出原函数的导函数，当0a ≤时，导函数恒大于0，然后利用二次函数的判别式对a 分类讨论，求出导函数在不同区间内的符号，得到原函数的单调性.（2）(a ∈时，()f x 在区间[]0,1上单调递增，()max ()122f x f a ==-由已知可得不等式222ln a a a a -+>-都成立，等价于2ln 320a a a +-+>对(a ∈恒成立，记()2ln 32h a a a a =+-+，只需证()0>h a 恒成立即可.【详解】（1）()2122122(0)'x ax x x x xf a x -+=+-=>，记()2221g x x ax =-+.当0a ≤时，因为0x >，所以()1g x >，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a <≤时，因为()2420a ∆=-≤，所以()0g x ≥，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当a >()00x g x >⎧⎨>⎩，解得22a a x ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间22a a ⎛-+⎪⎝⎭上单调递减，在区间⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增.（2）由（1）知道当(a ∈时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递增， 所以(]0,1x ∈时，函数()f x 的最大值是()122f a =-，对任意的(a ∈，都存在(]00,1x ∈使得不等式()20ln f x a a a +>-成立，等价于对任意的(a ∈，不等式222ln a a a a -+>-都成立，即对任意的(a ∈，不等式2ln 320a a a +-+>都成立， 记()2ln 32h a a a a =+-+，则()10h =，()1(21)(1)2'3h a a a a a a--=+-=，因为(a ∈，所以()'0h a >，当对任意(a ∈，()()10h a h >=成立.所以：对任意的(a ∈，都存在(]00,1x ∈使得不等式()2ln f x a a a +>-成立.【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，以及证明不等式恒成立，属于难题. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），圆2C 的方程为()2224x y -+=，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为()00θθρ=≥. （1）求曲线1C 与圆2C 的极坐标方程； （2）当002πθ<<时，若射线l 与曲线1C 和圆2C 分别交于异于点O 的M ，N 两点，且2ON OM =，求2MC N 的面积.【答案】（1）22413sin ρθ=+；4cos ρθ=；（2）3. 【解析】(1)消去参数α，可得1C 的普通方程，再把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，可得1C 的极坐标方程；把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入()2224x y -+=，可得圆2C 的极坐标方程；(2)把0θθ=代入22413sin ρθ=+，可得OM ；把0θθ=代入cos ρθ，可得ON ，利用2ON OM =解出202sin 3θ=，代入面积公式计算可得答案． 【详解】（1）由2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，得1C 的普通方程为2214x y +=，把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得22(cos )(sin )14ρθρθ+=，即222244cos 4sin 13sin ρθθθ==++， 所以1C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+，由()2224x y -+=，把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得4cos ρθ=， 所以2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（2）把0θθ=代入22413sin ρθ=+，得220413sin M ρθ=+，把0θθ=代入cos ρθ，得04cos N ρθ=，则2ON OM =，得2N M ρρ=，则224N M ρρ=，即()2020164cos 13sin θθ=+，解得202sin 3θ=，201cos 3θ=，又002πθ<<，所以3M ρ==04cos N ρθ==， 所以()111201sin 2MC N OC N OC M N M S S S OC ρρθ=-=-△△△122=⨯=【点睛】本题考查参数方程和极坐标方程与普通方程的互化，考查极径的几何意义，考查三角形的面积公式，属于中档题．23．已知函数()|1|||f x x x a =++-． （1）当2a =时，求不等式()5f x <的解集； （2）若()2f x ≥的解集为R ，求a 的取值范围．【答案】（1）-2,3（）；（2）13a a ≥≤-或【解析】（1）分段讨论去绝对值解不等式即可；（2）由绝对值三角不等式可得min ()1f x a =+，从而得12a +≥或12a +≤-，进而可得解. 【详解】努力的你，未来可期!精品 （1）当2a =时，原不等式可化为1-12212535215x x x x x <-≤≤>⎧⎧⎧⎨⎨⎨-<<-<⎩⎩⎩或或解得()2,3x ∈- 所以不等式的解集为()2,3-（2）由题意可得min ()2f x ≥,1(1)()1x x a x x a a ++-≥+--=+ 当(1)()0x x a +-≤时取等号.min ()1f x a ∴=+12a +≥或12a +≤-， 即1a ≥或3a ≤-【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的求解及绝对值三角不等式求最值，属于基础题.。
2020届黑龙江省大庆实验中学高三综合训练（四）英语试题（解析版）
2020届黑龙江省大庆实验中学高三综合训练（四）英语试题（解析版）大庆实验中学2020届高三综合训练（四）英语试卷第一部分：听力(共两节，满分30分)第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段材料后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. What does the woman need to do?A. Order some red wineB. Buy some wool pantsC. Have her clothes cleaned2. What row are the speakers in?A. Row 23B. Row 13C. Row 113. What are the speakers mainly talking about?A. A restaurantB. A jobC. Fast food4. How many students are there in the speakers' class?A. 21B. 20C. 185. Which place impressed the man most in Beijing?A. The Great WallB. The Forbidden CityC. The National Grand Theater第二节（共15小题，每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话。
每段对话后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听每段对话前，你将有时间阅读每个小题，听完后，每小题将给出5秒钟的作答时间，每段对话读两遍。
听第6段材料，回答第6至7题。
6. Where is the woman's scarf?A. On the bedB. On the sofaC. In the bag7. What did the woman forget to pack?A. Her glovesB. Her hatC. Her coat听第7段材料，回答第8至9题。
2020届黑龙江省大庆实验中学高三下学期复习考试数学(文)试题 扫描版
参考答案1．B 详解：由题意，()()()222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅-Q 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限．故选B ．2．D 【详解】由{|ln(2)}A x N y x =∈=-得20,2x x -><,又x ∈N 所以0,1x =．又(2){|21}x x B x -=≤,其中(2)0212(2)0x x x x -≤=⇒-≤所以02x ≤≤,故{}{0,1},|02A B x x ==≤≤ ,所以{}0,1A B =I ．故选D ．3．A 由题意知，2a=8，∴a=4，又34e =，∴c=3，则b 2=a 2﹣c 2=7．当椭圆的焦点在x 轴上时，椭圆方程为221167x y +=；故答案为：221167x y +=。
故答案为A 。
4．A 【详解】小球落在阴影部分的概率为：212213214464P πππ-⋅⋅=⋅=⋅，本题正确选项：A 5．B6．B 【解析】2(sin 56cos56)sin(5645)sin112a =-=-=o o o o o ，cos(9040)cos(9038)cos 40cos38sin 40sin 38cos 40cos38cos 78sin12b =-++=-+==o o o o o o o o o o o o ，cos80sin10c ==o o ，sin12sin11sin10,b a c >>∴>>o o oQ ，选B ．7．D 【详解】圆O 圆心为()0,0，半径为2，而||2AB =u u u r，所以OAB ∆是等边三角形．由于M 是线段AB的中点，所以1122OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ．所以OC OM ⋅u u u r u u u u r 12331122OA O O O B A B ⎛⎫=+⋅⎛⎫+ ⎪⎝ ⎪⎭⎝⎭u u u u u u r u u u r r u u u r 22111623OA OA OB OB =+⋅⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r 21422cos603323=+⨯⨯⨯+=o．故选：D8．C 【详解】由题意知，当(,0)x ∈-∞时，()2()1xf x f x ->'，可得2()2()x f x xf x x -'<，设2()()=f xg x x ，则243()2()1()0x f x xf x g x x x-=='<'，所以()g x 在(,0)-∞单调减． 不等式2(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<，即为(2020)(1)g x g +<-，解得(2021,2020)--，故选C ． 9．A 【详解】因为()1313cos sin 3sin cos 22a x x x x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎭1333cos sin 22a x a x ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，所以()()f x f x -=，所以330a +=，解得1a =-，所以()2cos f x x =-．将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，得到曲线2cos 2()2cos 2126y x x ππ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，则()2cos 26g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．由()1g x ≤，得2cos 216x π⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，得1cos 262x π⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭，则()22222363k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得()5124x k k k Z ππππ≤≤+∈-．不等式()1g x ≤的解集是()5,124k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦,故选：A ． 10．答案：A 解：()ln f x ax x b =+Q 过点（1,1），1b ∴=，()()ln 1f x a x '=+Q ，()()1ln11f a a '∴=+=，则()f x 在（1,1）处的切线方程为()11y a x =-+，()11y a x =-+Q 过（3,5），2a ∴=，()2ln 1f x x x ∴=+，()()2ln 1f x x '∴=+，令()0f x '=得1x e =，()f x ∴在10e ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，在1e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，+上单调递增，()f x ∴的最小值为121f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选A ．11．C 【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数32z x y =+经过平面区域的点时，32z x y =+取最大值max 322210z =⨯+⨯=．12．B 【解析】由题意,B 在x 轴上,22,,,b b P c Q c aa ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,∴2AP b a kc a=-，∴22BP ac a k b -=-，直线BP 的方程为()222b ac a y x c a b --=--，令y =0,可得()42b x c a c a =+-，∵B 到直线PQ 的距离小于2(a +c )，∴()()422b a c a c a <+-，∴2b a <，∴3c a <，∴3e <，∵e >1，∴13e <<B ．13．甲胜【详解】若甲队获胜，则A ，B 判断都正确，与三人中只有一人的判断是正确的矛盾，故甲不可能获胜.故答案为：甲胜14．(3【详解】因为()f x 是R 上的偶函数且在(],0-∞上递增，所以()f x 在()0,∞+上递减，又因为()(3log22af f>-，所以3log22aa⎧<-⎪⎨>⎪⎩，所以31log222aa⎧⎪<⎨⎪>⎩，所以31log2aa⎧<⎪⎨⎪>⎩，所以(3a∈．故答案为：(3．15．6π()()3,00,2-U233a b c-=，所以()()23cos3cos cos cos0a b C c B B C=⋅≠，所以()2sin3cos3cosA B C C B=，即()2sin cos3sin3sinA C CB A=+=，又sin0A>，所以3cos2C=，则6Cπ=，因为cos0B≠，所以50,,226Bπππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U，而2222cosa c bBac+-=，故()()2223,00,2a c bac+-∈U．故答案为：6π；()()3,00,2-U；16．642-,,PA PB PCQ两两垂直PC∴⊥平面PAB1113211332P ABC C PAB PABV V S PC--∆∴==⋅=⨯⨯⨯⨯=，即1212x y++=421x y∴+=()11242442424224242a a y ax y axx y a a a ax y x y x y x y⎛⎫∴+=++=+++≥++⋅++⎪⎝⎭24y axx y=，即2y ax=时取等号）又18ax y+≥恒成立，4228a a∴++≥，解得：642a≥-∴正实数a的最小值为642-17．（1）见解析；（237【详解】（1）连结AC，交BD于O，连接MO，由于底面ABCD为菱形，∴O为AC中点又M为PC的中点，∴MO PA∥，又MO⊂面MDB，PA⊄面MDB PA∴P平面MDB（2）M PCQ是的中点，∴P到平面BDM的距离等于A到平面BDM的距离．过P作PE AD⊥，垂足为E ，由于PAD ∆为正三角形，E 为AD 的中点．由于侧面PAD ⊥面ABCD ，由面面垂直的性质得PE ⊥面ABCD ，由AD PE AD PB ⊥⊥，，且PE PB PEB PE PB P ⊂=I ，平面，，得AD PEB ⊥平面∴60AD EB EAB ︒⊥∴∠=，2BD ∴=，连接CE 和BE ，得3BE =，又因为DE=1，CD=2，0120CDE ∠=，由余弦定理得7CE =，所以10PC =，又因为PCD V 为等腰三角形，M 为重点，所以6DM =，因为6,2,10PB BC PC ===，所以090PBC ∠=，M 是中点，所以10BM =，所以BDM V 为直角三角形，面积为15， M ABD A BDM V V --=由得，A 到平面BDM 的距离为215，故P 到平面BDM 的距离为215． 18．①12n a n=;②见解析． 试题解析：121n n n a a a +=+Q ，两边取到数得121112n n n na a a a ++==+，可知数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且首项为2，公差为2，故12n n a =，12n a n∴=． ②依题可知2221111112441n a n n n n ⎛⎫==⋅<⋅⋅ ⎪-⎝⎭＝()*1112,41n n N n n ⎛⎫-≥∈ ⎪-⎝⎭，所以222212311111111442231n a a a a n n ⎛⎫++++<+-+-++- ⎪-⎝⎭L L ，故222212312n a a a a ++++<L 19．（1）（2）解：（1）所有的基本事件为;，;;，共个．设“均不小于”为事件，则事件包含的基本事件为，，，共个．故由古典概型公式得．（2）由数据得，另天的平均数，，所以，，所以关于的线性回归方程为．20．（1）22143x y +=； （2）1F AB ∆的面积取得最大值3, 1x =．【详解】（1）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>因为12c e a ==，1a c -= 所以2,1a c == 即椭圆C ：22143x y += ． （2）设()()1122,,,A x y B x y ，不妨设 120,0y y ><由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=，则12122269,3434m y y y y m m --+==++ ，∴()1121212F AB S F F y y ∆=-=t =，可知1t ≥则221m t =-，∴1212121313F AB t S t t t∆==++令()13f t t t =+，则()213t f t =-＇，当1t ≥时，()>0f t ＇，即()f t 在区间[)1,+∞上单调递增，∴()()14f t f ≥=，∴13F AB S ∆≤，即当1,0t m ==时，1F AB ∆的面积取得最大值3，此时直线的方程为1x =．21．（1）01x =；（2）2a ≤．解（1）1()2f x x a x '=+-，所以切线的斜率为0001()2f x x a x '=+-，切线方程为00001(2)()y y x a x x x -=+--．将(0,0)O 代入得2200000ln 21x ax x x ax +-=+-，即200ln 10x x +-=，显然01x =是方程的解，又2ln 1y x x =+-Q 在(0,)+∞上是增函数，∴方程200ln 10x x +-=只有唯一解，故01x =；（2）221(2)ln ln (),(),x xx a x a x x ax x x F x F x e e -+-+-++-'==设21()(2)ln h x x a x a x x=-+-+-+，211()22h x x a x x '=-+++-在(0,1]上是减函数，()(1)2h x h a '∴≥=-，当20a -≥时，即2a ≤时，()0h x '≥，()h x ∴在(0,1)是增函数，又(1)0h =，()0≤h x 在(0,1]恒成立， 即()0F x '≤在(0,1]恒成立，()F x ∴在(0,1]上单调递减函数，所以2a ≤，满足题意，当20a -<时，即2a >，0,()x h x '→→+∞，函数()h x '有唯一的零点，设为0x ，则()h x 在0(0,)x 上单调递增，在0(),1x 单调递减，又0(1)0,()0h h x =∴>Q ，又()0,ah e -< ()h x ∴在(0,1)内唯一零点m ，当(0,)x m ∈时，()0,()0h x F x '<<，当(,1)x m ∈时，()0,()0h x F x '>>， 从而()F x 在(0,)m 单调递减，在(,1)m 单调递增，不合题意，所以a 的取值范围是2a ≤．22．（1）（为参数）；（2）．试题解析：（1）由得，所以，即．故曲线的参数方程（为参数）．（2）由（1）可设点的坐标为，则矩形的面积为令，，，故当时，．23．（1）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（2）[]2,0-【详解】解：（1）当1a =-时，()2,1,112,11,2, 1.x f x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=-<<⎨⎪≥⎩由()1f x -…，得12x -…．故不等式()1f x -…的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． （2）因为“x R ∀∈，()21f x a <+”为假命题，所以“x R ∃∈，()21f x a +…”为真命题，所以()max |21|f x a +…．因为()|1||||(1)()||1|f x x x a x x a a =+-++-+=-„，所以()max |1|f x a =-，则|1||21|a a -+…，所以()()22121a a -+…，即220a a +≤，解得20a -剟，即a 的取值范围为[]2,0-．。
2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学综合训练试卷(四) (含答案解析)
2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学综合训练试卷（四）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知复数z =3+2i ，则|2−3i z|=( )A. 1B. √13C. √1313D. 132. 已知集合A ={x|x >−2}，B ={x|x ≤1}，则A ∩B =( )A. {x|x >−2}B. {x|−2<x ≤1}C. {x|x ≤−2}D. {x|x ≤1}3. 若a <0，则下列不等式成立的是( )A. 2a >(12)a>(0.2)a B. (12)a>(0.2)a >2a C. (0.2)a >(12)a>2a D. 2a >(0.2)a >(12)a4. 若函数f(x)=cos 2x ，g(x)=sin (2x −π6)，则( )A. 曲线y =g(x)向右平移π6个单位长度后得到曲线y =f(x)+g(x) B. 曲线y =g(x)向左平移π6个单位长度后得到曲线y =f(x)+g(x) C. 曲线y =g(x)向右平移π12个单位长度后得到曲线y =g(x) D. 曲线y =g(x)向左平移π12个单位长度后得到曲线y =g(x)5. 我国古代的“割圆术”相当于给出已知圆的半径r ，计算其面积S 的近似值，进一步计算圆周率的近似值，根据π=3.14159……判断，下列近似公式最接近π的是( )． A. r ≈√50S157B. r ≈√S 3C. r ≈√7S 22D. r ≈√8S 276. 椭圆C 的长轴长是短轴长的3倍，则C 的离心率为( )A. √63B. √23C. √33D. 2√237. 若等差数列{a n }中，a 3=3，则{a n }的前5项和S 5等于( )A. 10B. 15C. 20D. 308. 已知tanα=12，则sinαcosα的值为( )A. 15B. 25C. 35D. −259. 设，若a −|b| >0，则下列不等式中正确的是( )A. b −a >0B. a 3+b 3<0C. b +a >0D. a 2−b 2<010. 如图所示，在△ABC 中，BD =2CD ，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 23a ⃗ +13b ⃗ B. 23a ⃗ −13b ⃗ C. 13a ⃗ +23b ⃗ D. 23a ⃗ −23b ⃗ 11. 已知a ，b ，c 为△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边，若3bcosC =c(1−3cosB)，sin C ：sinA =( ) A. 2：3B. 4：3C. 3：1D. 3：212. 已知双曲线C:x 216−y 248=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 为C 上一点，F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，O 为坐标原点，若|PF 1|=10，则|OQ|=( )A. 10B. 1或9C. 1D. 9二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知x ，y 满足约束条件{y ≤xx +y ≤4y +2≥0，则z =2x +y 的最大值为________． 14. 已知四棱锥的三视图(如图所示)，则该四棱锥的体积为______，在该四棱锥的四个侧面中，面积最小的侧面面积是______．15. 将函数y =sinx 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将图象向右平行移动2π3个长度单位，所得图象的函数解析式是______ ．16.已知函数f(x)=−x2−2x，g(x)={x+14x,x>0x+1,x⩽0.若函数y=g[f(x)]−a有4个零点，则a的取值范围是_____________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.如图，四棱锥E−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N分别为BC，DE中点．(1)证明：CN//平面AEM；(2)若△ABE是等边三角形，平面ABE⊥平面BCE，CE⊥BE，BE=EC=2，求三棱锥N−AEM的体积．18.已知数列{a n}为等差数列，且32，3，a4，a10成等比数列．(Ⅰ)求a n；(Ⅱ)求数列{2a n(a n+n)}的前n项和S n．19. 甲、乙两人参加知识竞赛活动，组委会给他们准备了难、中、易三档题，其中容易题2道，分值各10分，中档题1道，分值20分，难题1道，分值40分，两人需分别从这4道题中随机抽取1道题作答(甲、乙两人所选题目可以相同)． (1)求甲、乙所选题目分值相同的概率；(2)求甲所选题目分值大于乙所选题目分值的概率．20. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√53，设其左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B 1，且F 2到直线B 1F 1的距离为4√53．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过点(2,0)作直线与椭圆交于A ，B 两点，O 是坐标原点，是否存在这样的直线，使得|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |？若存在，求出直线的方程，若不存在，试说明理由．21. 已知函数f(x)=alnx −x 2．(1)当a =2时，求函数y =f(x)在[12,2]上的最大值；(2)令g(x)=f(x)+ax ，若y =g(x)在区间(0,3)上为单调递增函数，求a 的取值范围；(3)当a=2时，函数ℎ(x)=f(x)−mx的图象与x轴交于两点A(x1,0)，B(x2,0)，且0<x1<x2，又ℎ′(x)是ℎ(x)的导函数．若正实数α，β满足条件α+β=1，β≥α.证明:ℎ′(αx1+βx2)<0．22.在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为p=2cosθ+2sinθ(0≤θ<2π)，点M(1,π2)，以极点O为原点，以极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，已知直线l：{x=√32ty=1+12t(t为参数)与曲线C交于A，B两点．(Ⅰ)若P(ρ,θ)为曲线C上任意一点，求ρ的最大值，并求出此时点P的极坐标；(Ⅱ)求1|MA|+1|MB|的值．23.已知函数f(x)=|x−1|+|x−2|．(1)解不等式：f(x)≤x+3；(2)若不等式|m|·f(x)≥|m+2|−|3m−2|对任意m∈R恒成立，求x的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】把复数z=3+2i代入|2−3iz|，再由商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，是基础的计算题．【解答】解：∵z=3+2i，∴|2−3iz |=|2−3i3+2i|=|2−3i||3+2i|=1．故选：A．2.答案：B解析：【分析】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={x|x>−2}，B={x|x≤1}，∴A∩B={x|−2<x≤1}．故选B．3.答案：C解析：【分析】本题主要考查了不等式的大小比较，指数函数，幂函数，考查学生的计算能力，难度适中．根据指数函数和幂函数的性质即可判断，或者利用特殊值法．【解答】解：∵a<0，假设a=−1，∴(12)−1=2，(0.2)−1=5，2a=−2，∴(0.2)a>(12)a>2a，故选C．4.答案：B解析：【分析】本题考查三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，以及函数图象的平移变换的应用，属于基础题．通过函数图象的平移得到函数解析式的变化，化简得到结果．【解答】解：∵曲线g(x)=sin(2x−π6)向左平移π6，得到，曲线y=f(x)+g(x)=sin(2x−π6)+cos2x=sin2xcos π6−cos2xsinπ6+cos2x=√3sin2x+1cos2x=sin(2x+π6)．故选B．5.答案：C解析：【分析】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属基础题．先阅读理解题意，再通过运算进行简单的合情推理即可得解．【解答】解：由圆的面积公式得：S=πr2，所以r=√Sπ，对于选项A，π=15750=3.14，对于选项B，π=3，对于选项C，π=227≈3.14285，对于选项D，π=278≈3.375，3.14285−3.14159=0.00126，3.14159−3.14=0.00159，0.00126<0.00159即最接近π=3.1415926....的值为3.14285，故选C．6.答案：D解析：【分析】本题考查椭圆的简单几何性质，先根据长轴长是短轴长的2倍确定a与b的关系，进而根据椭圆a，b，c的关系a2=b2+c2可表示出c，再由e=ca得到答案．【解答】解：不妨设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，则2a=2b×3，即a=3b．所以a2=9b2=9(a2−c2).即c 2a2=89， 所以e =c a=2√23， 故选D ．7.答案：B解析： 【分析】本题考查了等差数列的通项公式及其性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，利用等差数列的通项公式及其性质与求和公式即可得出． 【解答】解：∵a 1+a 5=2a 3，∴S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3=5×3=15．故选B ．8.答案：B解析： 【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题． 利用同角三角函数的基本关系，求得sinαcosα的值． 【解答】解：∵tanα=12，则sinαcosα=sinαcosαsin 2α+cos 2α=tanαtan 2α+1=1214+1=25，故选：B ．9.答案：C解析： 【分析】由题意可以令a =1，b =0分别代入A ，B ，C ，D 四个选项进行一一排除．此题利用特殊值进行代入逐一排除错误选项，方法简洁、直观，为基础题． 【解答】解：利用赋值法：令a =1，b =0 b −a =−1<0，故A 错误； a 3+b 3=1>0，故B 错误； a 2−b 2=1>0，故D 错误； 排除A ，B ，D ， 故选C ．10.答案：C解析：解：AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a ⃗ +23b ⃗ ， 故选：C ．根据向量的三角形的法则和向量的加减的几何意义即可求出． 本题考查了向量的加减混运算和向量的数乘运算，属于基础题11.答案：C解析： 【分析】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式，属于基础题．由3bcosC =c(1−3cosB)，利用正弦定理可得3sinBcosC =sinC(1−3cosB)，化简整理即可得出． 【解答】解：由正弦定理asinA =bsinB =csinC =2R ， ∵3bcosC =c(1−3cosB)， ∴3sinBcosC =sinC(1−3cosB)， 化简可得 sinC =3sin(B +C)， 又A +B +C =π， ∴sinC =3sinA ，∴因此sin C ：sinA =3：1． 故选C ．12.答案：D解析： 【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力． 利用双曲线的定义，结合已知条件，转化求解|OQ|即可． 【解答】 解：双曲线C ：x 216−y 248=1可得a =4，b =4√3，c =8， c −a =4，由双曲线的定义可知：||PF 1|−|PF 2||=2a =8， 因为|PF 1|=10，所以|PF 2|=18或|PF 2|=2(舍去)， P 为C 上一点，F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以Q 为线段PF 1的中点， 所以|OQ|=12|PF 2|=9． 故选：D ．13.答案：10解析： 【分析】本题主要考查了线性规划等知识点，在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解． 【解答】解：根据x ，y 约束条件画出可行域如图所示：三角形ABC即为可行域，A(2,2)，B(6,−2)，C(−2,−2)；由图易得当x=6，y=−2时，z=2x+y的最大值为z max=2×6−2=10，故答案为10．14.答案：2；1解析：【分析】本题考查空间几何体的三视图，棱锥的体积的求法，考查计算能力，属于基础题．根据三视图正确还原几何体，画出图形，利用三视图的数据，求解即可．【解答】解：由题意可知：该几何体为如图所示的四棱锥：该四棱锥的底面是下底为2，高为2，上底为1的梯形，四棱锥的高为2，所以该四棱锥的体积为：13×2×12×(1+2)×2=2．面积最小的侧面面积是：12×1×2=1．故答案为：2；1．15.答案：y=sin(12x−π3)解析：【分析】本题考查三角函数图象变换，属基础题．由函数图象变换规律逐步变形可得．【解答】解：由函数图象变换规律可得：将函数y=sinx的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin12x的图象，再将图象向右平行移动2π3个长度单位得到y=sin[12(x−2π3)]的图象，化简可得y=sin(12x−π3).故答案为：y=sin(12x−π3).16.答案：[1,54)解析：【分析】本题主要考查了函数的零点，考查了数形结合思想，画出图象进行分析即可，属于中档题．【解答】解：由题意可得函数y=g[f(x)]与函数y=a有4个交点，当f(x)=−x2−2x>0，即−2<x<0时，y=g[f(x)]=−(x+1)2+1+14[−(x+1)+1]；当f(x)=−x2−2x≤0，即x≤−2或x≥0时，y=g[f(x)]=−(x+1)2+2．画出函数y=g[f(x)]与函数y=a的图象如图所示：，．结合图象可得1≤a<54)．故答案为[1,5417.答案：(1)证明：取AE中点F，连接MF、FN，∵△AED中，F、N分别为EA、ED的中点，∴FN=//1AD，2又∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=//AD，又M是BC中点，∴MC=//1AD，∴FN=//MC，2∴四边形FMCN是平行四边形，∴CN//MF，又CN⊄平面AEM，MF⊂平面AEM，∴CN//平面AEM；(2)解：取BE中点H，连接AH，如图，则AH ⊥BE ，因为△ABE 是等边三角形，BE =EC =2， 所以AH =√3，∵平面ABE ⊥平面BCE ，平面ABE ∩平面BCE =BE ，AH ⊂平面ABE ， ∴AH ⊥平面BCE ， 由(1)知CN//平面AEM ，∴V N−AEM =V C−AEM =V A−MEC=13×12×12×2×2×√3=√33， ∴三棱锥N −AEM 的体积为√33．解析：本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、空间想象能力，是中档题．(1)取AE 中点F ，连接MF 、FN ，推导出四边形FMCN 是平行四边形，从而CN//MF ，由此能证明CN//平面AEM ．(2)取BE 中点H ，连接AH ，则AH ⊥BE ，得出AH ⊥平面BCE ，利用等体积法即可得解．18.答案：解：(Ⅰ)∵32，3，a 4，a 10成等比数列．∴公比为332=2．∴a 4=32×22=6，a 10=32×23=12．设等差数列{a n }的公差为d ，则{a 1+3d =6a 1+9d =12，解得{a 1=3d =1，于是a n =3+(n −1)=n +2． (Ⅱ)由(Ⅰ)可知：2an (a n +n)=2(n+2)(2n+2)=1n+1−1n+2，于是S n =(12−13)+(13−14)+⋯+(1n+1−1n+2)=12−1n +2=n2n+4．解析：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(Ⅰ)由32，3，a 4，a 10成等比数列．可得公比为2.再利用等比数列与等差数列的通项公式即可得出． (Ⅱ)由(Ⅰ)可知：2an (a n +n)=2(n+2)(2n+2)=1n+1−1n+2，利用“裂项求和”即可得出．19.答案：解：(1)设容易题用A ，B 表示，中档题用C 表示，难题用D 表示，两人从中随机抽取一道题作答结果共16种， 它们是(A,A)，(A,B)，(A,C)，(A,D)， (B,A)，(B,B)，(B,C)，(B,D)， (C,A)，(C,B)，(C,C)，(C,D)， (D,A)，(D,B)，(D,C)，(D,D)，甲、乙所选题目分值相同的基本事件有(A,A)，(A,B)，(B,A)，(B,B)，(C,C)，(D,D)，共6个， ∴甲、乙所选题目分值相同的概率为616=38；(2)由(1)知甲所选题目分值大于乙所选题目分值的基本事件有： (C,A)，(C,B)，(D,A)，(D,B)，(D,C)，共5个， ∴甲所选题目分值大于乙所选题目分值的概率为516．解析：本题考查古典概型及其概率公式，列举是解决问题的关键，属基础题．(1)设容易题用A ，B 表示，中档题用C 表示，难题用D 表示，列举可得总的基本事件数为16，其中甲、乙所选题目分值相同的基本事件有6个，由古典概型的概率公式可得答案； (2)甲所选题目分值大于乙所选题目分值的基本事件共5个，由概率公式可得结果．20.答案：解：(Ⅰ)直线B 1F 1的方程为x −c +yb =1，即bx −cy +bc =0，由F 2到直线B 1F 1的距离为4√53，得√b 2+c2=2bc a=4√53， 又ca=√53，所以b =2，a =3，…(4分)所以椭圆的方程为x 29+y 24=1.…(5分)(Ⅱ)由|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，得：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 若直线的斜率不存在，直线的方程为x =2由{x =2x 29+y 24=1，得{x =2y =±2√53， 所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =169与OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0矛盾，故直线的斜率存在，…(7分) 设直线的方程为y =k(x −2)，由{y =k(x −2)x 29+y 24=1，得(9k 2+4)x 2−36k 2x +36(k 2−1)=0， 由题意△>0恒成立，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=36k 29k 2+4，x 1x 2=36(k 2−1)9k 2+4，…(9分)由OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得x 1x 2+y 1y 2=0， 所以x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+k 2(x 1−2)(x 2−2)=(1+k 2)x 1x 2−2k 2(x 1+x 2)+4k 2=0， 把x 1+x 2=36k 29k 2+4，x 1x 2=36(k 2−1)9k 2+4，代入得(1+k 2)⋅36(k 2−1)9k 2+4−2k 2⋅36k 29k 2+4+4k 2，解得k =±32，…(13分)所以直线的方程为y =±32(x −2)，即3x −2y −6=0或3x +2y −6=0.…(14分)解析：(Ⅰ)直线B 1F 1的方程为bx −cy +bc =0，由已知得2bc a=4√53，ca=√53，由此能求出椭圆的方程． (Ⅱ)由|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，得：OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，设直线的方程为y =k(x −2)，由{y =k(x −2)x 29+y 24=1，得(9k 2+4)x 2−36k 2x +36(k 2−1)=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出满足条件的直线方程．本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21.答案：(1)解：∵函数f(x)=alnx −x 2，可得当a =2时，f ′(x)=2x −2x =2−2x 2x，故函数y =f(x)在[12,1]是增函数，在[1,2]是减函数， ∴f(x)max =f(1)=2ln1−12=−1．(2)解：∵g(x)=alnx−x2+ax，∴g′(x)=ax−2x+a．∵g(x)在区间(0,3)上不单调，∴g′(x)=0在(0,3)上有实数解，且无重根，由g′(x)=0，有a=2x2x+1=(x+1)2−2(x+1)+1x+1=2(x+1+1x+1)−4∈(0,92)，(x∈(0,3))，综上可得，a∈(0,92)．(3)证明：由题意可得，ℎ′(x)=2x−2x−m，又f(x)−mx=0有两个实根x1，x2，∴{2lnx1−x12−mx1=02lnx2−x22−mx2=0，两式相减，得2(lnx1−lnx2)−(x12−x22)=m(x1−x2)，∴m=2(lnx1−lnx2)x1−x2−(x1+x2)．于是ℎ′(αx1+βx2)=2αx1+βx2−2(αx1+βx2)−2(lnx1−lnx2)x1−x2+(x1+x2)=2αx1+βx2−2(lnx1−lnx2)x1−x2+(2α−1)(x2−x1)，∵β≥α，∴2α≤1，∴(2α−1)(x2−x1)≤0．要证：ℎ′(αx1+βx2)<0，只需证：2αx1+βx2−2(lnx1−lnx2)x1−x2<0，只需证：x1−x2αx1+βx2−ln x1x2>0(∗)．令x1x2=t∈(0,1)，∴(∗)化为1−tαt+β+lnt<0，只证u(t)=lnt+1−tαt+β<0即可．∵u′(t)=1t +−(αt+β)−(1−t)α(αt+β)=1t−1(αt+β)=(αt+β)2−tt(αt+β)=α2(t−1)(t−β2α2)t(αt+β)，又∵β2α2≥1,0<t<1，∴t−1<0，∴u′(t)>0，∴u(t)在(0,1)上单调递增，故有u(t)<u(1)=0，∴lnt+1−tαt+β<0，即x1−x2αt+β+ln x1x2<0，∴ℎ′(αx1+βx2)<0．解析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性求函数在闭区间上的最值，用分析法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于难题．(1)当a =2时，利用导数的符号求得函数的单调性，再根据函数的单调性求得函数y =f(x)在[12,2]上的最大值；(2)先求得g′(x)=ax −2x +a ，因为g(x)在区间(0,3)上不单调，所以g′(x)=0在(0,3)上有实数解，且无重根．由g′(x)=0，求得a =2x 2x+1=2(x +1+1x+1)−4∈(0,92)，由此可得a 的范围； (3)由题意可得，f(x)−mx =0有两个实根x 1，x 2，化简可得m =2(lnx 1−lnx 2)x 1−x 2−(x 1+x 2).可得ℎ′(αx 1+βx 2)=2αx1+βx 2−2(lnx 1−lnx 2)x 1−x 2+(2α−1)(x 2−x 1)，由条件知(2α−1)(x 2−x 1)≤0，再用分析法证明ℎ′(αx 1+βx 2)<0．22.答案：解：(Ⅰ，∴当θ=π4时，ρ取得最大值2√2， 此时P 的极坐标为(2√2,π4)(2√2,π4)． (Ⅱ)由ρ=2cosθ+2sinθ， 得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ， ∴x 2+y 2−2x −2y =0，将l ：{x =√32t y =1+12t {x =√32ty =1+12t ，代入x 2+y 2−2x −2y =0， 并整理得：t 2−√3t −1=0， ∴{t 1+t 2=√3t 1t 2=−1． 由t 的几何意义得1|MA|+1|MB|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=√7．解析：本题考查的知识要点：极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于一般题型． (Ⅰ)利用转换关系，把极坐标方程转换为直角坐标方程．(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论，进一步利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．23.答案：解：(1)∵f(x)≤x +3，∴|x −1|+|x −2|≤x +3， ①当x ≥2时，，第21页，共21页 ②当1<x <2时，，③当x ≤1时，， 由①②③可得x ∈[0,6]；(2)①当m =0时，0≥0，∴x ∈R ； ②当m ≠0时，即f(x)≥|2m +1|−|2m −3|对m 恒成立，|2m +1|−|2m −3|≤|(2m +1)−(2m −3)|=4， 当且仅当2m ≥3，即0<m ≤23时取等号，∴f(x)=|x −1|+|x −2|≥4，由x ≥2，2x −3≥4，解得x ≥72；1<x <2，x −1+2−x ≥4，解得x ∈⌀；x ≤1时，3−2x ≥4，解得x ≤−12；综上可得x ∈(−∞,−12]∪[72,+∞)．解析：(1)分别讨论x ≥2，1<x <2，x ≤1时，去掉绝对值，解不等式求并集可得；(2)讨论m =0，m ≠0，由绝对值不等式的性质可得f(x)≥4，再讨论x ≥2，1<x <2，x ≤1时，解不等式求并集可得范围．本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，考查分类讨论思想方法和转化思想、运算能力，属于中档题．。
黑龙江省大庆实验中学2020届高三毕业班下学期6月高考综合训练(四)数学(文)试题(解析版)
C. 异面直线 与 所成的角为60°D. 直线 与平面 所成的角为30°
【答案】C
【解析】
【分析】
运用线面平行的判定定理可判断A正确；由面面垂直的性质定理,结合异面直线所成角可判断B正确；由异面直线所成角和勾股定理的逆定理可判断C错误；由线面角的求法,可判断D正确.
倾向选择生育二胎的人员中，男性人数为 人，女性人数为 人，男性人数与女性人数不相同，故C错误，故选C．
【点睛】本题主要考查了条形图的实际应用，其中解答中认真审题，正确理解条形图所表达的含义是解答的关键，着重考查了阅读理解能力、识图能力，属于基础题.
6.已知椭圆 的长轴长是短轴长的2倍，焦距等于 ，则椭圆C的方程为（ ）
【解析】
【分析】
用 , 表示 ,由 , , 三点共线得出 , 的关系,消去 ,得到 关于 的函数 ,利用导数求出 的最小值．
【详解】解： ．
∵ , , 三点共线,
∴ ．即 ．由图可知 ．
∴ ．
令 ,得 ,
令 得 或 （舍）．
当 时, ,当 时, ．
∴当 时, 取得最小值 .
故选D．
【点睛】本题考查了平面向量的基本定理,函数的最值,属于中档题．
绝密★启用前
黑龙江省大庆实验中学
2020届高三毕业班下学期6月高考综合训练(四)
数学(文)试题
(解析版)
2020年6月
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求．
1.已知复数 ，则 （ ）
A. B. C.1D.
【答案】D
【详解】取 ， ，则 ， ， ， ，
大庆实验中学2020-2021上学期高三期末考试数学(文)试题
大庆实验中学2020-2021上学期高三期末考试数学（文）试题一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分. 1．设集合{|}A x y x ==，{|124}B x x =-<<，则A B =（ ）A ．[0,2)B ．(0,2)C ．1(,2)2-D ．[0,4)2．若复数z 满足1i (2i )z +=(i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1B ．2C ．2D ．33．已知(1,2),A -(4,1),B -(3,2),C 则cos BAC ∠=（ ）A ．2-B ．2C ．2-D ．24．已知a ，b 都是实数，那么22a b >是22a b>的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5.若点P 为圆221x y +=上的一个动点，点(1,0)A -，(1,0)B 为两个定点，则||||PA PB +的最大值为（ ） A.2 B.22 C.4 D. 426.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（ ） A ．5 B ．34 C ．41 D ．527．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线与直线0x =的夹角为60°，若以双曲线C 的实轴和虚轴为对角线的四边形周长为8，则双曲线C 的标准方程为（ ）A ．2213x y -=B ．22193x y -=C ．22139x y -=D ．2213y x -=8.已知正方体1111ABCD A B C D -体积为8，底面1111A B C D 在一个半球的底面上，A 、B 、C 、D 四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（ ） A.323πB.42πC.12πD. 46π 9.已知实数ln 22a =，22ln 2b =+，2(ln 2)c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．c a b << B ．c b a << C ．b a c << D ．a c b << 10．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+，若(1)2f =，则(1)(2)(3)(2018)f f f f ++++=（ ）A ．2018-B ．2C ．0D ．5011．定义行列式运算12122112a a ab a b b b =-，已知函数sin 1()(0)cos 3x f x xωωω-=>，满足：1()0f x =，2()2f x =-，且12||x x -的最小值为π2，则ω的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4()()[]()()222121112.,,1,1,,2,2,xf x x ag x x e x x g x f x ⎡⎤=-+=∈-∈-⎢⎥⎣⎦=已知函数若对任意的存在唯一的 使得则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],4eB ．1,44e ⎛⎤+⎥⎝⎦C ．1,44e ⎛⎫+⎪⎝⎭D ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭二.填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分. 13．两直线330x y +-=与01my x 6=++平行，则它们之间的距离为_______．14．函数24,0()(),0x x f x g x x ⎧->=⎨<⎩是奇函数，则函数()f x 的零点是 .15.如图所示的圆锥中，轴截面APB 是等腰直角三角形，M 是底面圆周上AB的中点，N 为PB 的中点，则异面直线PA 与MN 所成角的正切值是 . 16．各项均为正数且公比01q <<的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若154a a =，245a a +=，则2522n nS a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为_____．三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） {}()122n n n a a a a n N +++=∈已知数列满足 (){}1n a 求数列的通项公式；()()2121log ,.n n n n b n a n S b ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭若求数列的前项和18．（本小题满分12分）为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机各选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm ）记录下来并绘制出如下的折线图：（1）分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值；（2）轮胎的宽度在[194,196]内，则称这个轮胎是标准轮胎．（i ）若从甲厂提供的10个轮胎中随机选取1个，求所选的轮胎是标准轮胎的概率；（ii ）试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好？19.（本小题满分12分）如图，在底面为梯形的四棱锥S ABCD -中，已知AD BC ∥，60ASC ∠=︒，2AD DC ==，2SA SC SD ===．（1）求证：AC SD ⊥；（2）求三棱锥B SAD -的体积．20．（本小题满分12分）已知圆221:60C x y x ++=关于直线1:21l y x =+对称的圆为C ．（1）求圆C 的方程；（2）过点(1,0)-作直线l 与圆C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，是否存在这样的直线l ，使得OA OB ⊥？若存在，求出所有满足条件的直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21.（本小题满分12分） 设函数()(2)xf x x e =-． （1）求()f x 在0x =处的切线；（2）当0x ≥时，()2f x ax ≤+，求a 的取值范围．请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为(sin 3cos )3ρθθ+=.（1）求C 的极坐标方程； （2）射线OM :1θθ=1()63ππθ≤≤与圆C 的交点为O P 、，与直线l 的交点为Q ，求||||OP OQ 的范围.23.已知函数1()||(0)2f x x a a a=-+≠. （1）若不等式()()1f x f x m -+≤恒成立，求实数m 的最大值；（2）当12a <时，函数()()|21|g x f x x =+-有零点，求实数a 的取值范围. 大庆实验中学2020-2021上学期高三期末考试数学（文）试题答案一．选择题 ACDDB DADAB AB 二．填空题 13.20107；14.2±；15.2；16.64441三．解答题17.【解析】（1）当n ＝1时，12a =，当2n ≥时a 1＋a 2＋a 3＋…＋1n a -＝12n -②①-②得12n n a -=经检验1a 不符合上式∴12,12,2n n n a n =-=⎧⎨≥⎩.（6分）（2）由（1）得当n ＝1时12b = 当2n ≥时()()n2n b n 1log a 11n n =+=+-（）,∴()()()n 111112b 11211n n n n n ⎛⎫==-≥ ⎪-+-+⎝⎭. ()n 12n 111521...b b b 421n S n n +∴=+++=-+.（12分） 18.【解析】（1）甲厂这批轮胎宽度的平均值为195194196193194197196195193197195(mm)10x +++++++++==甲；乙厂这批轮胎宽度的平均值为195196193192195194195192195193194(mm)10x +++++++++==乙．（2）甲厂这批轮胎宽度都在[194,196]内的数据为195，194，196，194，196，195， （i ）63105P ==． （ii ）甲厂标准轮胎的平均数为195，方差为23． 乙厂这批轮胎宽度都在[194,196]内的数据为195，196，195，194，195，195， 平均数为195，方差为13． 由于两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙的方差更小，所以乙厂的轮胎相对更好． 19.【解析】（1）设O 为AC 的中点，连接OS ，OD ，∵SA SC =，∴OSAC ⊥，∵DA DC =，∴DO AC ⊥，又OS ，OD ⊂平面SOD ，且OS DO O =，AC ⊥平面SOD ，又SD ⊂平面SOD ，∴AC SD ⊥． （2）连接BD ，在ASC △中，∵SA SC =，60ASC ∠=︒，O 为AC 的中点， ∴ASC △为正三角形，且2AC =，3OS =，∵在ACD △中，2224DA DC AC +==，O 为AC 的中点，∴90ADC ∠=︒，且1OD =， ∵在SOD △中，222OS OD SD +=，∴SOD △为直角三角形，且90SOD ∠=︒，∴SO OD ⊥， 又OSAC ⊥，且AC DO O =，∴SO ⊥平面ABCD ，∴111113223332323BAD B SADS BAD V V S SO AD CD SO --==⋅⋅=⨯⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=△． 20.解析：（1）圆化为标准为22(3)9x y ++=，设圆1C 的圆心1(3,0)C -关于直线1:21l y x =+的对称点为(,)C a b ，则111CC k k =-， 且1CC 的中点3(,)22a bM -在直线1:21l y x =+上， 所以有213(3)102ba b a ⎧⨯=-⎪⎪+⎨⎪--+=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，所以圆C 的方程为22(1)(2)9x y -++=．（2）①当直线l 的斜率不存在时，可得直线l 的方程为1x =-，与圆22:(1)(2)9C x y -++=，交于两点(1,52)A --，(1,52)B ---．因为(1)(1)(52)(52)0OA OB ⋅=-⨯-+-⨯--=，所以OA OB ⊥， 所以当直线l 的斜率不存在时，直线:1l x =-满足条件； ②当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为(1)y k x =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由22(1)(2)9(1)x y y k x ⎧-++=⎨=+⎩，得2222(1)(242)440k x k k x k k +++-++-=． 由于点(1,0)-在圆C 内部，所以0Δ>恒成立，21222421k k x x k +-+=-+，2122441k k x x k +-=+， 要使OA OB ⊥，必须使0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，也就是22122()441()101k k k x x k+-+++=+， 整理得222222244242(1)011k k k k k k k k k+-+-+-⋅+=++，解得1k =， 所以直线l 的方程为1y x =+，存在直线1x =-和1y x =+，使得OA OB ⊥．21.解析：（1）()(1)xf x x e '=-，(0)1f '=，(0)2f =，∴()f x 在0x =处的切线方程20y x --=．（2）()2(2)xg x ax x e =+--，()(1)xx a g x e =+-'． ∵()()0xg x xe '=≥'且仅有0x =，()()0g x ''=， ∴()g x '在[0,)+∞单调递增，∴()(0)1g x g a ''≥=-． （i ）1a ≥时，()(0)10g x g a ''≥=-≥，()g x 在[0,)+∞单调递增，()(0)0g x g ≥=满足题意；（ii ）01a <<时，(0)10g a '=<-，(1)0g a '=>， 而()g x '连续且递增，所以存在唯一01()0,x ∈使00()g x '=，00[),x x ∀∈，()0g x '<，在0[0,)x 上()g x 单调递减，取100(),x x ∈，则1()(0)0g x g <=，不合题意； （iii ）0a ≤时，(0)10g a '=-<，(1)0g a '=≤，而()g x '连续且递增，,1[)0x ∀∈，()0g x '<，在[0,1)上()g x 单调递减， 取11()0,x ∈，则1()(0)0g x g <=，不合题意，综上所述，1a ≥．22.【解析】（1）圆C 的普通方程是22(2)4x y -+=，…………………………………2分 将cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入上述方程，得22(cos 2)(sin )4ρθρθ-+=， …………………………………3分 由222x y ρ=+，化简得圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=. …………………………5分（2）设11(,)P ρθ，则有114cos ρθ=， …………………………………6分 设21(,)Q ρθ，且直线l 的方程是(sin 3)3ρθθ=，则有2113sin 3cos ρθθ=+， …………………………………8分所以11211114343||||()63sin 3cos 3tan OP OQ ππρρθθθθ===≤≤++，……………9分所以2||||3OP OQ ≤≤. …………………………………10分 23.【解析】（1）因为1()||2f x x a a =-+，所以1()||2f x m x m a a+=+-+，………1分 所以()()||||f x f x m x a x m a m -+=--+-≤，………………………………………3分所以||1m ≤，得11m -≤≤， ………………………………………4分所以实数m 的最大值为1. ………………………………………5分 （2）当12a <时， 1()()|21||||21|2g x f x x x a x a =+-=-+-+131,2111,221131,22x a x a a x a a x a x a x a ⎧-+++<⎪⎪⎪=--++≤≤⎨⎪⎪-+->⎪⎩，……7分 所以2min11121[()]()02222a a g x g a a a-++==-+=≤，………………………………8分所以2102210a a a ⎧<<⎪⎨⎪-++≤⎩或20210a a a <⎧⎨-++≥⎩，………………………………………9分 所以102a -≤≤， 所以实数a 的取值范围是1[,0)2-. ………………………………………10分。